Probabilidade - Prof.Dr. Nilo Sampaio

Prof.Dr. Nilo Sampaio

Exemplos:

1. Resultado no lançamento de um dado;

2. Hábito de fumar de um estudante sorteado

em sala de aula;

3. Condições climáticas do próximo domingo;

4. Taxa de inflação do próximo mês;

5. Tipo sangüíneo de um habitante escolhido ao

acaso.

Experimento Aleatório: procedimento que, ao

ser repetido sob as mesmas condições, pode

fornecer resultados diferentes

Espaço Amostral (): conjunto de todos os

resultados possíveis de um experimento aleatório.

4. Tempo de duração de uma lâmpada.

= {t: t 0}

1. Lançamento de um dado.

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. Exame de sangue (tipo sangüíneo) .

= {A, B, AB, O}

3. Hábito de fumar.

= {Fumante, Não fumante}

Exemplos:

Notação: A, B, C ...

(conjunto vazio): evento impossível

: evento certo

Alguns eventos:

A: sair face par A = {2, 4, 6}

B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6}

C: sair face 1 C = {1}

Eventos: subconjuntos do espaço amostral

Exemplo: Lançamento de um dado.

Espaço amostral: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A B: interseção dos eventos A e B.

Representa a ocorrência simultânea dos eventos A

e B.

Operações com eventos

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral.

A B: união dos eventos A e B.

Representa a ocorrência de pelo menos um dos

eventos, A ou B.

O complementar de A é representado por Ac.

• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos

quando não têm elementos em comum, isto é,

A B =

• A e B são complementares se sua interseção é

vazia e sua união é o espaço amostral, isto é,

A B = e A B =

•sair uma face par ou face 1A C = {2, 4, 6} {1} = {1, 2, 4, 6}

• sair uma face par e face 1A C = {2, 4, 6} {1} =

• sair uma face par e maior que 3A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6}

• sair uma face par ou maior que 3A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}

Exemplo: Lançamento de um dado

• não sair face parAC = {1, 3, 5}

Probabilidade

• Medida da incerteza associada aos resultados

do experimento aleatório

• Deve fornecer a informação de quão verossímil

é a ocorrência de um particular evento

Como atribuir probabilidade aos

elementos do espaço amostral?

Duas abordagens possíveis:

1. Freqüências de ocorrências

2. Suposições teóricas.

Exemplo: Lançamento de um dado

Admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado

P(face 1) = ... = P(face 6) = 1/6.

Probabilidade

Atribuição da probabilidade:

1. Através das freqüências de ocorrências.• O experimento aleatório é repetido n vezes

• Calcula-se a freqüência relativa com que cada

resultado ocorre.

Para um número grande de realizações, a

freqüência relativa aproxima-se da probabilidade.

2. Através de suposições teóricas.

•A probabilidade P(w) para cada ponto amostral

de tal forma que:

.

1ii21

i

1 )P(w ...}) , w,({w P )( P

e 1 )P(w 0

No caso discreto, todo experimento aleatório

tem seu modelo probabilístico especificado

quando estabelecemos:

•O espaço amostral = {w1,w2, ... }

Ainda no caso discreto,

• Se A é um evento, então

Aw

j

j

)(w P (A) P

Ω de elementos de nº.

Ade elementos de nº. (A) P

• Se } w..., , w,{w Ω N21

e

N

1 )(w P

i (pontos equiprováveis), então

Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso

em Sergipe.

Exemplo: A tabela a seguir apresenta dados

relativos à distribuição de sexo e alfabetização em

habitantes de Sergipe com idade entre 20 e 24 anos.

SexoAlfabetizado

TotalSim Não

Masc. 39.577 8.672 48.249

Fem. 46.304 7.297 56.601

Total 85.881 15.969 101.850Fonte: IBGE- Censo 1991

: conjunto de 101.850 jovens de Sergipe, com

idade entre 20 e 24 anos.

Definimos os eventos

M: jovem sorteado é do sexo masculino;

F : jovem sorteado é do sexo feminino;

S : jovem sorteado é alfabetizado;

N : jovem sorteado não é alfabetizado.

Temos ir para a tabela

0,157101.850

15.969P(N)0,843

101.850

85.881P(S)

0,526101.850

56.601P(F)0,474

101.850

48.249P(M)

• Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser

alfabetizado ou ser do sexo masculino?

M S : jovem é alfabetizado ou é do sexo masculino

• Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser

alfabetizado e ser do sexo masculino?

0,928 101850

39577 - 48249 85881

em elementos de nº.

LM em elementos de nº. L)P(M

S)

S

389,0101850

39577

em elementos de nº.

LM em elementos de nº. L)P(M

S)

S

• Para qualquer evento A de ,

P(A) = 1 - P(Ac).

Regra da adição de probabilidades

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Conseqüências:

• Se A e B forem eventos disjuntos, então

P(A B) = P(A) + P(B).

. 0 P(B) ,P(B)

B)P(A B)|P(A

PROBABILIDADE CONDICIONAL E

INDEPENDÊNCIA

Da definição de probabilidade condicional,

obtemos a regra do produto de probabilidades

B).|P(A P(B) B)P(A

Analogamente, se P(A) >0,

. A)|P(B P(A) B)P(A

0,82.

101.850

48.249101.850

39.577

39.577 / 48.249 = 0,82.

Diretamente da tabela

temos P(S | M) =

• Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser

alfabetizado sabendo-se que é do sexo masculino?

P(M)

M)P(SM)|P(S

definição,Pela

SexoAlfabetizada

TotalSim Não

Masc. 39.577 8.672 48.249

Fem. 46.304 7.297 56.601

Total 85.881 15.969 101.850

A: 2ª bola sorteada é branca

C: 1ª bola sorteada é branca

P(A) = ???

Para representar todas as possibilidades,

utilizamos, um diagrama conhecido como

diagrama de árvores ou árvore de

probabilidades.

Exemplo: Em uma urna, há 5 bolas: 2

brancas e 3 vermelhas. Duas bolas são

sorteadas sucessivamente, sem reposição.

53

52 B

V

42

42

V

B

43

41

V

B

1Total

V V

VB

BV

BB

ProbabilidadesResultados

20

2

4

1

5

2

20

6

4

3

5

2

20

6

4

2

5

3

20

6

4

2

5

3

e 5

2

20

6

20

2)A(P

Temos

. 4

1)C|A(P

1Total

VV

VB

BV

BB

ProbabilidadeResultados

25

4

5

2

5

2

25

6

5

3

5

2

25

6

5

2

5

3

25

9

5

3

5

3

Considere agora que as extrações são feitas

com reposição, ou seja, a 1a bola sorteada é

reposta na urna antes da 2a extração. Nesta

situação, temos

53

52 B

V

53

52

V

B

V

B

53

52

ou seja, o resultado na 2a extração independe

do que ocorre na 1a extração.

e 5

2

25

6

25

4P(A) = P(branca na 2ª) =

Neste caso,

P(A | C) = P( branca na 2ª | branca na 1ª) = )A(P5

2

)A(P5

2P(A | C

c) = P(branca na 2ª | vermelha na 1ª) =

Independência de eventos: Dois eventos A e

B são independentes se a informação da

ocorrência (ou não) de B não altera a

probabilidade de ocorrência de A, isto é,

P(B). P(A) B)P(A

Temos a seguinte forma equivalente:

P(A), B)|P(A 0. P(B)

Exemplo: A probabilidade de Jonas ser

aprovado no vestibular é 1/3 e a de Madalena

é 2/3. Qual é a probabilidade de ambos

serem aprovados?

A: Jonas é aprovado

B: Madalena é aprovada

P(A B) = P(A) x P(B) = 1/3 x 2/3 = 2/9

Qual foi a suposição feita?

Prof. Dr. Nilo Sampaio

É distribuição discreta de probabilidade. Ela está associada a um experimento de múltiplas etapas.

O experimento consiste de uma seqüência de n ensaios idênticos;

Dois resultados são possíveis em cada ensaio: sucesso e fracasso;

P(sucesso)=p P(fracasso)= 1-p = q

p+ q=1

Os ensaios são independentes.

O experimento consiste em 8 jogadas do dado (ensaios idênticos);

Cada ensaio resulta em sucesso (sair 6) ou fracasso(não sair 6);

P(sucesso)= P(sair 6)=1/6

P(fracasso)= P(não sair 6)=5/6

Os ensaios são independentes.

Ensaios 1 2 3 4 5 6 7 8

Resultados s s s s f f f f f

Probabilidade 1/6 1/6 1/6 5/6 5/6 5/6 5/6 5/6

0019,03939,0.0049,0

83,0.17,06

5.

6

1 53

53

Se os 3 sucessos cairem em qualquer um dos 8 ensaios, deve-se calcular tadas as combinações possíveis de se obter 3 faces 6, em 8 jogadas.

Ensaios 1 2 3 4 5 6 7 8

Resultados s f s f s f f f

Resultados s f f f s s f f

O que resulta em uma Combinação de 8, 3 a 3;

561.2.3

6.7.8

1.2.3.4.5.1.2.3

1.2.3.4.5.6.7.8

)!38!.(3

!88

3

E unindo as duas partes da fórmula teremos:

1064,00019,0.566

5.

6

1.

538

3

Probabilidade de x sucessos em n ensaios é

)!!.(

!

1..

xnx

n

onde

pp

n

x

xnxn

x

E(X)= n.p

Variância da Binomial

•Var(X)= n.p.(1-p)

Principais Modelos Discretos

AULA:

Principais modelos probabilísticos discretos

1. Modelo BernoulliNa prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados

Exemplo:

1. Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;

2. O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo

ou negativa.

3. Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;

4. No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;

5. No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.

Situações com alternativos dicotômicas, podem ser representadas

genericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso.

Esses experimentos recebem o nome de Ensaio de Bernoulli e originam uma

v.a. com distribuição de Bernoulli.

1.2 Aleatória De Bernoulli

É uma variável aleatória X que apenas assume

apenas dois valores 1 se ocorrer sucesso (S) e 0 se

ocorrer fracasso (F), e, sendo p a probabilidade de

sucesso, 0 < p <1. Isto é, se X(S)=1 e X(F)=0. Logo a

distribuição de probabilidade é dado por:x

P(X=x)

0 1

1-p p

Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli.

Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que:

E(X)=p

Var(X)=p(1-p).

Repetições independentes de um ensaio de

Bernoulli dão origem ao modelo Binomial.

cc

xppxXPxf

xx

.;0

1,0;)1()()(

1

2. Modelo BinomialExemplo 1: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes e probabilidade de

cara seja p em cada lançamento. Determinar a distribuição de probabilidade

da variável X, número de caras nos 3 lançamentos.

Denotemos, S: sucesso, ocorrer cara (c) e F:fracasso, ocorrer coroa(k).

O espaço amostral para o experimento de lançar um moeda 3 vezes é:

={FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS}

Seja, Xi é uma variável aleatória Bernoulli (i=1,2,3). Então a variável

X=X1+X2+X3, representa o número de caras nos 3 lançamentos.

Probabilidade X1 X2 X3 X=X1+X2+X3

FFF (1-p)3

0 0 0 0

FFS (1-p)2p 0 0 1 1

FSF (1-p)2p 0 1 0 1

SFF (1-p)2p 1 0 0 1

FSS (1-p)p2

0 1 1 2

SFS (1-p)p2 1 0 1 2

SSF (1-p)p2 1 1 0 2

SSS P3

1 1 1 3

3

2

2

3

})({)3(

)1(3}),,({)2(

)1(3}),,({)1(

)1(})({)0(

pSSSPXP

ppSSFSFSFSSPXP

ppSFFFSFFFSPXP

pFFFPXP

Daí temos que:

A distribuição de probabilidade da v.a. X é dada por:

3223 )1(3)1(3)1()()(

3210

ppppppxXPxf

x

O comportamento de X , pode ser representado pela seguinte função:

)!3(!

!33

.,0

3,2,1,0,)1(3

)(3

xxxonde

cc

xppxxf

xx

Definição[Distribuição Binomial]

Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com

a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta o

número total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de

variável aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de

probabilidade é dado por:

Binomial. ecoeficient o representa,)!(!

!

.,0

,,1,0,)1()(

xnx

n

x

nonde

cc

nxppx

n

xfxnx

Notação, X~B(n,p), para indicar que v.a. X tem distribuição Binomial com

parâmetros n e p.

Se X~B(n,p) pode-se mostrar que:

E(X)=np

Var(X)=np(1-p).

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

x

P(X

=x)

p=0,1

0 2 4 6 8

0.0

00.2

0

x

P(X

=x)

p=0,3

0 2 4 6 8

0.0

00.1

5

x

P(X

=x)

p=0,5

0 2 4 6 8

0.0

00.2

0

x

P(X

=x)

p=0,8

Distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p

0 5 10 15 20

0.0

00.2

0

x

P(X

=x)

p=0,1

0 5 10 15 20

0.0

00.1

5

x

P(X

=x)

p=0,3

0 5 10 15 20

0.0

00.1

0

x

P(X

=x)

p=0,5

0 5 10 15 20

0.0

00.1

5

x

P(X

=x)

p=0,8

Distribuição Binomial com parâmetros n=20 e p

0 10 20 30

0.0

00.1

5

x

P(X

=x)

p=0,1

0 10 20 30

0.0

00.1

0

x

P(X

=x)

p=0,3

0 10 20 30

0.0

00.1

0

x

P(X

=x)

p=0,5

0 10 20 30

0.0

00.1

5

x

P(X

=x)

p=0,8

Distribuição Binomial com parâmetros n=30 e p

O professor da disciplina de Estatística elaborou um prova de múltipla

escolha, consistente em 10 questões cada uma com 5 alternativas cada

questão. Suponha que nenhum dos estudantes que vão a fazer a prova

não vão as aulas e não estudaram para a prova (o que é muito freqüente).

O professor estabeleceu que para aprovar deve contestar corretamente ao

menos 6 questões. Se 200 alunos se apresentaram, quantos alunos

aprovaram a disciplina?.

Solução:Seja a v.a. X: número de questões respondidas corretamente nas 10

questões. Então o evento de interesse é:

S: “questão respondida corretamente”

F:”questão respondida incorretamente”

P(S)=1/5 e P(F)=4/5. Logo, X~B(10,p).

cc

xxxf

xx

.,0

10,,1,0,5

4

5

110

)(

10

A probabilidade de aprovar a prova um aluno

é:000637,00,99363061)5(1)6(1)6( FXPXP

Portanto, dos 200 alunos que fizeram a prova aprovariam:200(0,00637)2, alunos

Exemplo 2.

x f(x) F(x)

0 0,107374 0,10737

1 0,268435 0,37581

2 0,301990 0,67780

3 0,201327 0,87913

4 0,088080 0,96721

5 0,026424 0,99363

6 0,005505 0,99914

7 0,000786 0,99992

8 0,000074 1,00000

9 0,000004 1,00000

10 0,000000 1,00000

0 2 4 6 8 10

0.0

00

.10

0.2

00

.30

x

P(X

=x)

B(10,p=0,20)

Na prática muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de

eventos discretos em um intervalo contínuo (unidade de medida)

Exemplo:

1. Número de consultas a uma base de dados em um

minuto.

2. Número de acidentes de trabalho por semana em

uma empresa industrial.

3. Número de machas (falhas) por metro quadrado no esmaltado de uma

geladeira.

4. Número de chamadas que chegam a uma central telefônica de uma

empresa num intervalo de tempo (digamos de 8,0 a 12,0).

5. Número de autos que chegam ao Campus entre 7,0 a.m. a 10,0 a.m.

6. Número de microorganismos por cm cúbico de água contaminada.

Distribuição de Poisson

Suposições básicas:

Considere que o intervalo pode ser dividido em

subintervalos com comprimento suficientemente

pequeno tal

• a probabilidade de mais uma contagem em um

subintervalo seja zero,

• a probabilidade de uma contagem em um

subintervalo seja a mesma para todos os

subintervalos e proporcional ao comprimento de

subintervalo e

• a contagem em cada subintervalo seja

independente de outros subintervalos.

Onde: X: número de eventos discretos em t unidades de medida,

: media de eventos discretos em uma unidade de medida,

t: unidade de medida

= t: media de eventos discretos em t unidades de medida

Notação: X~P(), para indicar que a v.a. X tem distribuição de Poisson com

parâmetro .

Definição[Distribuição de Poisson] Uma variável discreta X tem distribuição

de Poisson com parâmetro se sua função de probabilidade é dada por:

..;0

,2,1,0!)(

cc

xx

exf

x

0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.1

0.2

0.3

x

P(X

=x)

P(1)

0 5 10 15 20 25 30

0.0

00.1

00.2

0

x

P(X

=x)

P(2)

0 5 10 15 20 25 30

0.0

00.1

00.2

0

x

P(X

=x)

P(4)

0 5 10 15 20 25 30

0.0

00.0

40.0

80.1

2

x

P(X

=x)

P(8)

0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.1

0.2

0.3

x

P(X

=x)

P(1)

0 5 10 15 20 25 30

0.0

00.1

00.2

0

x

P(X

=x)

P(2)

0 5 10 15 20 25 30

0.0

00.1

00.2

0

x

P(X

=x)

P(4)

0 5 10 15 20 25 30

0.0

00.0

40.0

80.1

2

x

P(X

=x)

P(8)

Exemplo 1. As consultas num banco de dados ocorrem de forma

independente e aleatório seguindo a distribuição de Poisson. Suponha que a

média de consultas é 3 a cada 4 minutos. Qual é a probabilidade que banco

de dados seja consultado no máximo 2 em um intervalo de 2 minutos?

Se X: número de consultas num banco de dados em 2 minutos,

então, X ~P(). Aqui t=2 e =3/4=0,75, então =(0,75)(2)=1,5. Ou seja

X~P(1,5)

....3,2,1,0,!

5,1)(

5,1

xx

exf

x

.808847,0]2

5,15,11[)2()1()0()2(

....3,2,1,0,!

5,1)(

25,1

5,1

eXPXPXPXP

xx

exf

x

Exemplo 2: O número de pedidos de empréstimos

que um banco recebe por dia é uma variável

aleatória com distribuição de Poisson com

=7,5. Determine as probabilidades de que, em

um dia qualquer, o banco receba

(a) Exatamente 2 pedidos de empréstimo;

(b)No máximo 4 pedidos de empréstimo;

(c) No mínimo oito pedidos de empréstimo.

X: número de pedidos de empréstimos que um

banco recebe por dia

X~P(7,5)

,2,1,0,!

5,7)(

5,7

xx

exf

x

0 5 10 15 20 25 30

0.0

00

.05

0.1

00

.15

x

P(X

=x)

P(7,5)

x f(x)=P(X=x)

0 0,000553

1 0,004148

2 0,015555

3 0,038889

4 0,072916

5 0,109375

6 0,136718

7 0,146484

8 0,137329

9 0,114440

10 0,085830

11 0,058521

12 0,036575

13 0,021101

14 0,011304

15 0,005652

16 0,002649

17 0,001169

18 0,000487

19 0,000192

20 0,000072

21 0,000026

22 0,000009

23 0,000003

24 0,000001

25 0,000000

26 0,000000

27 0,000000

0,0155552

)5,7()2()(

25,7

e

XPa

0,0202567 0,0155550,0041480,000553

)2()1()0()2()(

XPXPXPXPb

0,62185.0,37815 -1

0,136718]0,000553[1

)(1)8(1)8()(7

0

x

xXPXPXPd

PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO DE

POISSON

Se X ~P(), então.

(i) A função de distribuição acumulada é

dada por:

0!

00

)()(

0

xx

e

x

xXPxFx

k

x

(ii) E(X)=, Var(X)= .

x P(X=x) P(Xx)

0 0,000553 0,00055

1 0,004148 0,00470

2 0,015555 0,02026

3 0,038889 0,05915

4 0,072916 0,13206

5 0,109375 0,24144

7 0,136718 0,37815

8 0,146484 0,52464

9 0,137329 0,66197

10 0,114440 0,77641

11 0,085830 0,86224

12 0,058521 0,92076

13 0,036575 0,95733

14 0,021101 0,97844

15 0,011304 0,98974

16 0,005652 0,99539

17 0,002649 0,99804

18 0,001169 0,99921

19 0,000487 0,99970

20 0,000192 0,99989

21 0,000072 0,99996

22 0,000026 0,99999

23 0,000009 1,00000

24 0,000003 1,00000

25 0,000001 1,00000

26 0,000000 1,00000

27 0,000000 1,00000

28 0,000000 1,00000

29 0,000000 1,00000

30 0,000000 1,00000

X~P(7,5)

Exemplo 3: Consideremos o exemplo 2,

0,15560,00470-0,02026)2()3()2()( FFXPa

0!

5,7

00

)()(

0

5,7

xx

e

x

xXPxFx

k

x

0,02026)2()2()( FXPb

0,62185.0,378151)7(1

)7(1)8(1)8()(

F

XPXPXPc

Exemplo 3. Contaminação é um problema de fabricação de discos

ópticos de armazenagem. O número de partículas de contaminação que

ocorrem em um disco óptico tem uma distribuição de Poisson e o número

médio de partículas por centímetro quadrado da superfície é 0,1. A área do

disco em estudo é 100 centímetros quadrados. Encontre a probabilidade de

que 12 partículas ocorram na área de um disco sob estudo.

Se X: número de partículas na área de um disco sob estudo,

então, X ~P(). Aqui t=100 e =0,1, então =(100)(0,1)=10. Ou seja

X~P(10)

,2,1,0,!

10)(

10

xx

exf

x

0,09512

)10()12(

1210

e

XP

A Distribuição Poisson Como Aproximação da

Distribuição BinomialA distribuição Binomial para x sucessos em n

ensaios de Bernoulli ´e dada por:

.,,0,)1()( nxppx

nxXP xnx

Se =np, p=/n, substituindo p na função

probabilidade temos

x

n

xxnx

n

n

xn

x

nnnnx

nxXP

1

1

!

11

21

111)(

!)(,

x

exXPtemosnFazendo

x

Exemplo 5. 5. A probabilidade de um rebite particular

na superfície da asa de uma aeronave seja

defeituosa é 0,001. Há 4000 rebites na asa. Qual é a

probabilidade de que seja instalados não mais de

seis rebites defeituosos?

6

0

400

.8894,0999,0001,04000

)6(x

xx

xXP

Usando a aproximação de Poisson, =4000(0,001)=4 X~P(4)

6

0

4

.889,0!

4)6(

x

x

x

eXP

Se X: número de rebites defeituosos na asa da aeronave. Então,X~B(400,0,001)

Teorema: Se n

XX ,,1 são variáveis aleatórias independentes, com

distribuição de Poisson com parâmetros, n

,,1 , spectivamente,

então a variável aleatória,

nXXY

1

tem distribuição de Poisson com parâmetro, n

1

.

Exemplo 6. Em uma fabrica foram registradas em três semanas a média

de acidentes: 2,5 na primeira semana, 2 na segunda semana e 1,5 na terceira

semana. Suponha que o número de acidentes por semana segue um

processo de Poisson. Qual é a probabilidade de que haja 4 acidentes nas

três semanas?

Seja a variável aleatória, i

X : número de acidentes na i-ésima

semana, i=1,2,3. )(~ii

PX , então, a v.a. ,321

XXXY tem

distribuição de Poisson com parâmetro, 65,125,2 .

1339,0!4

6)4(

64

e

XP

O modelo multinomial é uma generalização do binomial:

São efetuados n experimentos iguais e independentes.

Cada um dos experimentos tem mais de 2 resultados possíveis e excludentes (k resultados).

A probabilidade de sim para o resultado “k” (pk) (i=1, 2, ...) em todos os experimentos é constante.

A variável aleatória de interesse é o número de sim em cada categoria.

P(X=x1, x2, ..., xk) = p1x1 p2

x2 ...pkxk

n!

x1! x2!... xk!

n = x1 + x2 + ... + xk

Considere o experimento: retiram-se bolasda urna (com reposição), até que se consigauma bola vermelha. Define-se uma v.a. X

cujos valores representam o número total debolas azuis (fracassos) retiradas da urna atéobter uma bola vermelha (sucesso).

O experimento envolve de 1 a infinitos eventos

independentes.

Para cada evento:

P(vermelha) = 5/7

P(azul) = 2/7

Considere o experimento: retiram-se bolas

da urna (com reposição), até que se

consiga uma bola vermelha. Define-se

Define-se uma v.a. X cujos valores

representam o número total de bolas

azuis (fracassos) retiradas da urna até

obter uma bola vermelha (sucesso).

50,714

7( 0)P X

( 1)P X 2 5

7 7

100,204

49

( 2)P X 2 2 5

7 7 7

22 5 20

0,0587 7 343

xpq

( 3)P X 2 2 2 5

7 7 7 7

32 5 40

0,0177 7 2401

( ) xf x pq

( ) ?

( ) ?

E X

Var X

0

( ) ( )x

E X xP X x

0

( ) x

x

E X xpq

1

1

( ) x

x

E X pq xq

xdq

dq

1

( )x

x

dqE X pq

dq

1

( ) x

x

dE X pq q

dq

1

q

q

( )1

d qE X pq

dq q

2

1

p

2

1( )E X pq

p

( )q

E Xp

X: {0, 1, 2,

..., }

( ) xf x pq

( )q

E Xp

2 2( ) ( ) [ ( )]Var X E X E X

2 2

0

( ) ( )x

E X x P X x

2 2

0

( ) x

x

E X x pq

22

2( )

q qE X

p

Considere o experimento: retiram-se

bolas da urna (com reposição), até que

se consiga uma bola vermelha. Define-

se uma v.a. X cujos valores

representam o número total de bolas

azuis (fracassos) retiradas da urna até

obter uma bola vermelha (sucesso).

X: {0, 1, 2,

..., }

( ) xf x pq

( )q

E Xp

2 2( ) ( ) [ ( )]Var X E X E X

2 2

2 2( )

q q qVar X

p p

2( )

qVar X

p

( ) xf x pq

( )q

E Xp

2( )

qVar X

p

p =

5/7

q =

2/7

5 2

7 7

x

2 7 20,4

7 5 5

2 49 140,56

7 25 25

As probabilidades não podem mais ser

calculadas através de equações do tipo

P(X=k) = FÓRMULA.

Para identificar uma distribuição contínua,

existe a função densidade de probabilidade,

que é uma equação do tipo y=f(x).

Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem reposição). Define-se uma v.a.X cujos valores representam o número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.

X: {1, 2, 3}

( 0)P X 2 1 0

7 6 5 0

( 1)P X 5 2 1

7 6 5

3!

1!2!

2 13

42 7

( 2)P X 5 4 2

7 6 5

3!

2!1!

8 43

42 7

( 3)P X 5 4 3

7 6 5

12 2

42 7

! ( )!

( )! [( ) ( )]!

!

( )!

K M K

K x M K n x

M

M n

!

!( )!

n

x n x

( )

K M K

x n xf x

M

n

número de bolas retiradas da urna

número total de bolas na urna

número de bolas vermelhas na urna

Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem

reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores

representam o número total de bolas vermelhas dentre as

3 escolhidas.

X: {1, 2, 3}

( )

K M K

x n xf x

M

n

( ) ?

( ) ?

E X

Var X

( )K

E X nM

( )1

K M K M nVar X n

M M M

OBS: se M for muito grande:

Kp

M (probabilidade de sucesso)

M Kq

M

(probabilidade de fracasso)

11

M n

M

Hipergeométrica Binomial

( ) ( )E X np Var X npq

Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem

reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores

representam o número total de bolas vermelhas dentre as

3 escolhidas.

( )

K M K

x n xf x

M

n

( )K

E X nM

( )1

K M K M nVar X n

M M M

M =

7

K =

5

n = 3

5 2

3

7

3

x x

53 2,143

7

5 2 4 1203 0,408

7 7 6 294

X: {?, ..., ?}:{max(0, ),...,min( , )}X n M K n K X: {1, 2, 3}

f x e

x

( )( )

1

2

1

2

2

- média

- desvio padrão

f(x)

X

f x e

x

( )( )

1

2

1

2

2

Variável identificada pela média e pelo desvio padrão.

X

Média e Desvio Padrão

= 1

= 2

= 3

= 4

X

Média e

Desvio Padrão

X

= 3

1 32

Simetria em relação à média.

X

50%

A área sob a curva entre a média e um ponto qualquer é função da distância padronizada entre a média e aquele ponto.

Distância padronizada - distância expressa em função do número de desvios padrões (distância dividida pelo desvio padrão).

+-

área = 68,3%

+2-2

área = 95,4%

+3-3

área = 99,7%

X a

P ( X < a )

As áreas referem-se a probabilidades.

O cálculo de áreas sob a curva normal é consideravelmente complexo.

Por isso, é conveniente trabalhar com valores padronizados.

Para padronizar uma variável normal, toma-se a média como ponto de referência e o desvio padrão como medida de afastamento.

Z =

X -

Z - variável normal padronizada

X - variável normal

- média

- desvio padrão

= 0

= 1

Z

X- +-2 +2

0Z

-1 1-2 2

O peso de uma peça é normalmente

distribuído com média de 500 gramas e

desvio padrão de 5 gramas.

Encontrar os valores padronizados relativos

aos pesos: 485g, 490g, 495g, 500g, 505g,

510g e 515g.

X = 510 g

Z =

X -

510 - 500

5= = 2=

10

5

Z

495

-1

505

1

485 515

-3 3

510490

2-2 0

= 5

X500

Z

510

20

= 5

X500

P(X<510) = P(Z<2)

Com base na tabela da normal padronizada, calcular:

a) P(Z < -1)

Z0-1

0,158655

b) P(Z > 1)

Z0 +1

0,158655

c) P(Z < 1)

Z0 1

0,841345

c) P(-1 < Z < 1)

1- 0, 158655 - 0,158655 = 0,68269

Z0 1-1

c) P(-2 < Z < 2)

1 - 0, 022750 - 0,022750 = 0,9545

Z0 2-2

c) P(-3 < Z < 3)

1- 0,001350 - 0,001350 = 0,9973

Z0 3-3

Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de:

a) menos de 49.000 Km?

0,158655

Supondo que a vida útil dos pneus de

caminhões seja normal, com média de

50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,

qual é a probabilidade de um pneu, escolhido

ao acaso, apresentar vida útil de:

b) mais de 51.000 Km?

0,158655

Supondo que a vida útil dos pneus de

caminhões seja normal, com média de

50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,

qual é a probabilidade de um pneu, escolhido

ao acaso, apresentar vida útil de:

c) entre 49.000 Km e 51.000 Km?

0,68269

Supondo que a vida útil dos pneus de

caminhões seja normal, com média de

50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,

qual é a probabilidade de um pneu, escolhido

ao acaso, apresentar vida útil de:

d) entre 48.000 Km e 52.000 Km?

0,9545

Supondo que a vida útil dos pneus de

caminhões seja normal, com média de

50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,

qual é a probabilidade de um pneu, escolhido

ao acaso, apresentar vida útil de:

e) entre 47.000 Km e 53.000 Km?

0,9973