View
259
Download
3
Category
Preview:
DESCRIPTION
Psikometri Bab a22
Citation preview
Bab 22
Estimasi Paramter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Bab 22
ESTIMASI PARAMETER SECARA TERPISAH
A. Estimasi Parameter Responden
1. Pendahuluan
• Ada tiga besaran pada karakteristik butir model logistik
a, b, c
P()
I II
III
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Pada estimasi parameter secara terpisah, ada tiga kemungkinan
I dan II diketahui, mengestimasi III
Di sini terjadi estimasi probabilitas jawaban betul
II dan III diketahui, mengestimasi I
Di sini terjadi estimasi satu parameter kemampuan pada responden
Jika ada M responden, maka terjadi M estimasi
I dan III diketahui, mengestimasi II
Di sini terjadi estimasi satu, dua, atau tiga parameter butir
Jika ada N butir, maka terjadi N, 2N, atau 3N estimasi butir
• Banyaknya estimasi parameter yang perlu dilakukan adalah dari M + N, M + 2N, sampai M + 3N
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Paremter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
2. Estimasi Parameter Kemampuan Melalui Coba- coba
Sebelum menggunakan rumus estimasi, di sini kita mencoba pengestimasian parameter kemampuan dengan cara coba-coba
Contoh 1
Satu responden menjawab tiga butir dengan hasil
Bu- Parameter butir Ha-
tir a b c sil
1 0,75 –2,00 0,10 1
2 1,25 0,00 0,18 1
3 1,00 1,75 0,16 0
Kebolehjadian
321
13
03
02
12
01
11
QPP
QPQPQPL
))()((
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Karakteristik butir model L3P adalah
Masukkan parameter butir ke dalam butir 1, 2, dan 3
)(
)(
)(
)(
)(
ii
ii
ii
bDai
i
bDa
bDai
i
e
cQ
e
ecP
1
11
),)(,)(,(
),)(,)(,(
),)(,)(,(
),)(,)(,(
),)(,)(,(
,)(
,)(
,)(
751001713
00025171
00025171
2
00275071
00275071
1
1
16011
180
1
100
eQ
e
eP
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Kebolehjadian dari tiga butir ini menjadi
Masukkan berbagai nilai ke dalam L
= – 1,00 P1() = 0,803438 L = 0,178855
P2() = 0,267486
Q3() = 0,832239
= 0,00 P1() = 0,934816 L = 0,410909
P2() = 0,550000
. Q3() = 0,799203 . .
= 2,00 P1() = 0,994546 L = 0,326450
P2() = 0,988468
Q3() = 0,332070
),)(,())(,(
))(,(
),)(,(
),)(,( ,,,751711252
1252
0022751
0022751
321
1
840
1
180
1
100
ee
e
e
e
QPPL
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Dihitung untuk berbagai dan disusun ke dalam tabel
P1() P2() Q3() L
–1,00 0,803438 0,267486 0,832239 0,178855
0,00 0,934816 0,550000 0,799203 0,410909
0,50 0,964325 0,789398 0,750380 0,571261
0,70 0,972106 0,848876 0,719303 0,593078
0,75 0,973779 0,861537 0,710249 0,595861
0,76 0,974101 0,863966 0,708373 0,596160
0,77 0,974420 0,866360 0,706475 0,596405
0,78 0,974735 0,868720 0,704555 0,596597
0,79 0,975046 0,871046 0,702612 0,596735
0,80 0,975354 0,873338 0,700461 0,596822
0,81 0,975657 0,875598 0,704100 0,601501 maks
0,82 0,975958 0,877824 0,696651 0,596834
0,83 0,976254 0,880017 0,694618 0,596760
0,84 0,976547 0,882177 0,692563 0,596634
0,85 0,976837 0,884305 0,690485 0,596456
0,90 0,978233 0,894466 0,679751 0,594780
1,00 0,980783 0,912514 0,656542 0,587591
1,25 0,985946 0,946204 0,588476 0,548993
1,50 0,989738 0,967496 0,507930 0,486377
2,00 0,994546 0,988468 0,332070 0,326450
L maksimum terletak di sekitar = 0,81
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
3. Estimasi Parameter Kemampuan melalui Metoda Pendekatan Newton-Raphson
• Kebolehjadian pada jawaban dikotomi
Xi = 1 untuk jawaban betul
Xi = 0 untuk jawaban salah (dan blanko)
sehingga pada Xi = 1 P()Q() = P()
pada Xi = 0 P()Q() = Q()
dan fungsi kebolehjadian menjadi
Dengan mengenakan logaritma, diperoleh
N
i
Xi
Xi
iiQPL1
1)()(
N
iiiii QXPXL
1
1 )(ln)()(lnln
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Kebolehjadian maksimum dicapai melalui
• Estimasi melalui metoda pendekatan Newton-Raphson menghasilkan iterasi
Dengan memasukkan model karakteristik butir (L1P, L2P, atau L3P), maka diperoleh bentuk iterasi untuk tiap model
0dLd ln
2
21
dLd
dLd
ss ln
ln
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi pada L1P
sehingga oleh karenanya
))]()(([ln
)]([ln
N
iii
i
N
ii
PPDd
Ld
PXDd
Ld
1
22
2
1
1
N
iii
N
iii
ss
QPD
PX
1
11
)()(
)]([
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi pada L2P
sehingga oleh karenanya
))]()(([ln
)]([ln
N
iiii
i
N
iii
PPaDd
Ld
PXaDd
Ld
1
222
2
1
1
N
iiii
N
iiii
ss
QPaD
PXa
1
2
11
)()(
)]([
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi pada L3P
sehingga oleh karenanya
)(
)(
)(
)(
)(
])([ln
])[(
])()][([ln
i
iii
i
i
i
iiN
ii
N
i ii
iiiii
P
PcX
P
Q
c
cPaD
d
Ld
cP
cPPXaD
d
Ld
2
21
222
2
1
1
1
N
i ii
iiiiiii
N
i ii
iiiii
ss
cP
QPcXcPaD
cP
cPPXa
122
221
1
1
1
])[(
)()](][)([
])[(
])()][([
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
4. Prosedur Estimasi Parameter Kemampuan
• Paramter butir telah diketahui pada metrik tertentu sehingga hasil estimasi parameter kemampuan terletak pada metrik itu
• Di ini prosedur ini dilakukan melalui contoh pada model L1P
Contoh 2
Suatu responden menjawab tiga butir dengan hasil
Butir bi Xi
1 – 1 1
2 0 0
3 1 1
Estimasi parameter dari responden itu
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Probabilitas pada setiap butir
• Perhitungan ini memerlukan sejumlah data, mencakup
Titik awal iterasi 0 yang ditentukan oleh logit sukses
Rumus iterasi pada metoda pendekatan Newton-Raphson untuk L1P
))(,(
))(,(
)(
)(
),(
),(
)(
)(
))(,(
))(,(
)(
)(
)(
)(
)(
171
171
3
71
71
2
171
171
1
11
11
11
3
3
2
2
1
1
e
e
e
eP
e
e
e
eP
e
e
e
eP
bD
bD
bD
bD
bD
bD
N
iii
N
iii
ss
QPD
PX
1
11
)()(
)]([
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Nilai titik awal
0 = 0,693
• Perhitungan estimasi memerlukan beberapa besaran, seperti tampak pada rumus, meliputi
Pi()
Qi()
Xi – Pi()
DPi()Qi()
Perhitungan dilakukan dalam bentuk tabel untuk memudahkan perhitungan
Setiap iterasi menghasilkan satu tabel
69302
3132
0 ,lnln)(
)(ln
g
g
Q
P
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi 1
Butir 1
Dengan 0 = 0,693
(1,7)( + 1) = (1,7)(0,693 + 1) = 2,878
Q1(0,693) = 1 – P1(0,693) = 1 – 0,947 = 0,053
X1 – P1(0,693) = 1 – 0,947 = 0,053
DP1(0,693)Q1(0,693) = (1,7)(0,947)(0,053)
= 0,085
94701
69308782
8782
1 ,),(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Butir 2
Dengan 0 = 0,693
(1,7)()= (1,7)(0,693) = 1,178
Q2(0,693) = 1 – P2(0,693) = 1 – 0,765 = 0,235
X2 – P2(0,693) = 0 – 0,765 = – 0,765
DP2(0,693)Q2(0,693) = (1,7)(0,765)(0,235)
= 0,306
76501
69301781
1781
2 ,),(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Butir 3
Dengan 0 = 0,693
(1,7)( – 1) = (1,7)(0,693 – 1) = – 0,522
Q3(0,693) = 1 – P3(0,693) = 1 – 0,372 = 0,628
X3 – P3(0,693) = 1 – 0,372 = 0,628
DP3(0,693)Q3(0,693) = (1,7)(0,372)(0,628)
= 0,397
37201
69305220
5220
3 ,),(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Hasil iterasi pertama
0 = 0,693
Butir Xi Pi(0,693) Qi(0,693) Xi – Pi(0693) DPi(0,693)Qi(0,693)
1 1 0,947 0,053 0,053 0,085
2 0 0,765 0,235 – 0,765 0,306
3 1 0,372 0,628 0,628 0,397
– 0,084 0,788
1 = 0 + (– 0,084 / 0,788) = 0,693 – 0,107 = 0,586
Selisih = |0 – 1| = |0,693 – 0,586| = 0,107
Selisih masih cukup besar sehingga dilanjutkan dengan iterasi kedua
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi 2
Butir 1
Dengan 1 = 0,586
(1,7)( + 1) = (1,7)(0,586 + 1) = 2,696
Q1(0,586) = 1 – P1(0,586) = 1 – 0,937 = 0,063
X1 – P1(0,586) = 1 – 0,937 = 0,063
DP1(0,586)Q1(0,586) = (1,7)(0,937)(0,063)
= 0,100
93701
58606962
6962
1 ,),(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Butir 2
Dengan 1 = 0,586
(1,7)()= (1,7)(0,586) = 0,996
Q2(0,586) = 1 – P2(0,586) = 1 – 0,730 = 0,270
X2 – P2(0,586) = 0 – 0,730 = – 0,730
DP2(0,586)Q2(0,586) = (1,7)(0,730)(0,270)
= 0,335
73001
58609960
9960
2 ,),(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Butir 3
Dengan 1 = 0,586
(1,7)( – 1) = (1,7)(0,586 – 1) = – 0,704
Q3(0,586) = 1 – P3(0,586) = 1 – 0,331 = 0,669
X3 – P3(0,586) = 1 – 0,331 = 0,669
DP3(0,586)Q3(0,586) = (1,7)(0,331)(0,669)
= 0,376
33101
58607040
7040
3 ,),(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Hasil iterasi kedua
1 = 0,586
Butir Xi Pi(0,586) Qi(0,586) Xi – Pi(0,586) DPi(0,586)Qi(0,586)
1 1 0,937 0,063 0,063 0,100
2 0 0,730 0,270 – 0,730 0,335
3 1 0,331 0,669 0,669 0,376
0,002 0,811
2 = 1 + ( 0,002 / 0,811) = 0,586 + 0,002 = 0,588
Selisih = |1 – 2| = |0,586 – 0,588| = 0,002
Selisih sudah cukup kecil, sehingga iterasi
dihentikan
Hasil estimasi parameter kemampuan
= 0,588 ≈ 0,59
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Rekapitulasi
0 = 0,693
Butir Xi Pi(0,693) Qi(0,693) Xi – Pi(0693) DPi(0,693)Qi(0,693)
1 1 0,947 0,053 0,053 0,085
2 0 0,765 0,235 – 0,765 0,306
3 1 0,372 0,628 0,628 0,397
– 0,084 0,788
1 = 0,586 Selisih = 0,107
1 = 0,586
Butir Xi Pi(0,586) Qi(0,586) Xi – Pi(0,586) DPi(0,586)Qi(0,586)
1 1 0,937 0,063 0,063 0,100
2 0 0,730 0,270 – 0,730 0,335
3 1 0,331 0,669 0,669 0,376
0,002 0,811
2 = 0,588 Selisih = 0,002
Estimasi ≈ 0,59
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 3
Satu responden menjawab 3 butir dengan hasil
Butir bi Xi 1 – 2,00 1 2 0,00 1 3 1,75 0
Estimasi parameter
Contoh 4
Satu responden menjawab 5 butir dengan hasil
Butir bi Xi 1 – 1,0 1 2 0,0 1 3 1,0 0 4 1,5 1 5 2,0 0
Estimasi parameter
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 5
Satu responden menjawab 3 butir dengan hasil
Butir ai bi Xi
1 1,0 – 1,0 1
2 1,2 0,0 0
3 0,8 1,0 1
Estimasi parameter
• Probabilitas tiga butir itu adalah
))(,(
))(,(
)(
)(
),(
),(
)(
)(
))(,(
))(,(
)(
)(
)(
)(
)(
1361
1361
3
042
042
2
171
171
1
11
11
11
33
33
22
22
11
11
e
e
e
eP
e
e
e
eP
e
e
e
eP
bDa
bDa
bDa
bDa
bDa
bDa
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Rumus iterasi pada estimasi
• Titik awal estimasi 0 pada logit sukses
0 = 0,693
N
iiii
N
iiii
ss
QPaD
PXa
1
2
11
)()(
)]([
69302
3132
0 ,lnln)(
)(ln
g
g
Q
P
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi 1
Butir 1
Dengan 0 = 0,693
(1,7)( + 1) = (1,7)(0,693 + 1) = 2,878
Q1(0,693) = 1 – P1(0,693) = 1 – 0,947 = 0,053
a1[X1 – P1(0,693)] = 1,0 (1 – 0,947) = 0,053
Da21 P1(0,693)Q1(0,693)
= (1,7)(1,0)2(0,947)(0,053)
= 0,085
94701
69308782
8782
1 ,),(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Butir 2
Dengan 0 = 0,693
(2,04)()= (2,04)(0,693) = 1,414
Q2(0,693) = 1 – P2(0,693) = 1 – 0,804 = 0,196
a2[X2 – P2(0,693)] = (1,2)(0 – 0,765) = – 0,965
Da22 P2(0,693)Q2(0,693)
= (1,7)(1,2)2(0,765)(0,235)
= 0,386
80401
69304141
4141
2 ,),(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Butir 3
Dengan 0 = 0,693
(1,36)( – 1) = (1,36)(0,693 – 1) = – 0,418
Q3(0,693) = 1 – P3(0,693) = 1 – 0,397 = 0,603
a3[X3 – P3(0,693)] = (0,8)(1 – 0,397) = 0,482
Da23P3(0,693)Q3(0,693)
= (1,7)(0,8)2(0,397)(0,603)
= 0,260
39701
69304180
4180
3 ,),(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Hasil iterasi pertama
0 = 0,693
Butir Xi ai[Xi – Pi(0693)] Da2iPi(0,693)Qi(0,693)
1 1 0,053 0,085
2 0 – 0,965 0,386
3 1 0,482 0,260
– 0,430 0,731
1 = 0 + (– 0,430 / 0,731) = 0,693 – 0,588 = 0,105
Selisih = |0 – 1| = |0,693 – 0,105| = 0,588
Selisih masih cukup besar sehingga dilanjutkan dengan iterasi kedua
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi 2
Butir 1
Dengan 1 = 0,105
(1,7)( + 1) = (1,7)(0,105 + 1) = 1,879
Q1(0,105) = 1 – P1(0,105) = 1 – 0,867 = 0,133
a1[X1 – P1(0,105)] = (1,0)(1 – 0,867) = 0,133
Da21P1(0,105)Q1(0,105)
= (1,7)(1,0)2(0,867)(0,133)
= 0,196
86701
10508791
8791
1 ,),(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Butir 2
Dengan 1 = 0,105
(2,04)()= (2,04)(0,105) = 0,214
Q2(0,105) = 1 – P2(0,105) = 1 – 0,553 = 0,447
a2[X2 – P2(0,693)] = (1,2)(0 – 0,553) = – 0,664
Da22 P2(0,105)Q2(0,105)
= (1,7)(0,8)2(0,553)(0,447)
= 0,605
55301
10502140
2140
2 ,),(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Butir 3
Dengan 1 = 0,105
(1,36)( – 1) = (1,36)(0,105 – 1) = – 1,217
Q3(0,105) = 1 – P3(0,105) = 1 – 0,228 = 0,772
a3[X3 – P3(0,105)] = (0,8)(1 – 0,228) = 0,618
Da23P3(0,105)Q3(0,105)
= (1,7)(0,8)2(0,228)(0,772)
= 0,192
22801
10502171
2171
3 ,),(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Hasil iterasi kedua
1 = 0,105
Butir Xi ai[Xi – Pi(0693)] Da2iPi(0,693)Qi(0,693)
1 1 0,133 0,196
2 0 – 0,664 0,605
3 1 0,618 0,192
0,087 0,993
2 = 1 + (0,087 / 0,993) = 0,105 + 0,088 = 0,193
Selisih = |1 – 2| = |0,105 – 0,193| = 0,088
Selisih masih cukup besar sehingga dilanjutkan dengan iterasi ketiga
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi 3
Butir 1
Dengan 2 = 0,193
(1,7)( + 1) = (1,7)(0,193 + 1) = 2,028
Q1(0,193) = 1 – P1(0,193) = 1 – 0,884 = 0,116
a1[X1 – P1(0,193)] = (1,0)(1 – 0,884) = 0,116
Da21P1(0,193)Q1(0,193)
= (1,7)(1,0)2(0,884)(0,116)
= 0,174
88401
19300282
0282
1 ,),(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Butir 2
Dengan 2 = 0,193
(2,04)()= (2,04)(0,193) = 0,394
Q2(0,193) = 1 – P2(0,193) = 1 – 0,597 = 0,403
a2[X2 – P2(0,193)] = (1,2)(0 – 0,597) = – 0,716
Da22 P2(0,193)Q2(0,193)
= (1,7)(0,8)2(0,597)(0,403)
= 0,589
59701
19303940
3940
2 ,),(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Butir 3
Dengan 2 = 0,193
(1,36)( – 1) = (1,36)(0,193 – 1) = – 1,098
Q3(0,193) = 1 – P3(0,193) = 1 – 0,250 = 0,750
a3[X3 – P3(0,193)] = (0,8)(1 – 0,250) = 0,600
Da23P3(0,193)Q3(0,193)
= (1,7)(0,8)2(0,250)(0,750)
= 0,204
25001
19300981
0981
3 ,),(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Hasil iterasi ketiga
2 = 0,193
Butir Xi ai[Xi – Pi(0693)] Da2iPi(0,693)Qi(0,693)
1 1 0,116 0,714
2 0 – 0,716 0,589
3 1 0,600 0,204
0,000 0,967
3 = 2 + (0,000 / 0,967) = 0,193 + 0,000 = 0,193
Selisih = |1 – 2| = |0,193 – 0,193| = 0,000
Selisih sudah cukup kecil sehingga iterasi dihentikan
Estimasi = 0,193
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Rekapitulasi
0 = 0,693
Butir Xi ai[Xi – Pi()] Da2iPi()Qi()
1 1 0,053 0,085 2 0 – 0,965 0,386 3 1 0,482 0,260 – 0,430 0,731
1 = 0,105 selisih = 0,588
1 = 0,105
Butir Xi ai[Xi – Pi()] Da2iPi()Qi()
1 1 0,133 0,196 2 0 – 0,664 0,605 3 1 0,618 0,192 – 0,087 0,993
2 = 0,193 selisih = 0,088
2 = 0,193
Butir Xi ai[Xi – Pi()] Da2iPi()Qi()
1 1 0,116 0,174 2 0 – 0,716 0,589 3 1 0,600 0,204 0,000 0,967
3 = 0,193 selisih = 0,000 = 0,193
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 6
Satu responden menjawab 3 butir dengan hasil
Butir ai bi Xi
1 0,75 – 2,00 1
2 1,25 0,00 1
3 1,00 1,75 0
Estimasi parameter
Contoh 7
Satu responden menjawab 5 butir dengan hasil
Butir ai bi Xi
1 2,00 0,00 1
2 1,00 – 0,50 0
3 2,50 0,00 1
4 1,50 – 0,50 0
5 2,50 0,50 0
Estimasi parameter
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
5. Beberapa Hal pada Estimasi Parameter
Ada sejumlah hal yang perlu diperhatikan pada estimasi parameter ini
• Parameter kemampuan akan menuju minus atau plus tak hingga jika semua butir adalah betul atau semua butir adalah salah
• Pada L3P, apabila responden berkemampuan tinggi banyak menjawab salah pada butir mudah atau sebaliknya maka nilai parameter kemampuan juga menuju ke minus atau plus tak hingga
• Parameter kemampuan memiliki ciri asimptotik, artinya, jika butirnya banyak, distribusi parameter kemampuan menuju ke distribusi probabilitas normal, sehingga
• Pada taraf keyakinan 1 , dapat dibuat estimasi
2
1
2
1ˆˆˆ zz
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
B. Estimasi Parameter Butir
1. Parameter yang diestimasi
• Ada tiga besaran yang menentukan parameter butir. Mereka adalah
• Di sini I dan III diketahui sehingga melalui kebolehjadian maksimum, II diestimasi
• Pada L1P hanya satu parameter (b) yang diestimasi, pada L2P dua parameter (a dan b) dan pada L3P tiga parameter (a, b, dan c)
P()
a, b, cI II
III
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
2. Estimasi Parameter Butir melalui Cara Coba-coba
Sebelum menggunakan rumus untuk melakukan estiamsi, di sini, estimasi parameter butir dilakukan dengan cara coba-coba
Contoh 8
Pada model L1P, 9 responden dengan berbagai parameter kemampuan menjawab satu butir. Jawaban betul (X = 1) dan jawaban salah (X = 0) adalah
Responden g Xg
1 – 1,72 0
2 – 1,13 0
3 – 0,72 0
4 – 0,40 0
5 – 0,10 0
6 0,20 1
7 0,52 1
8 0,92 1
9 1,52 0
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Kebolehjadian L adalah
L = (P01Q1
1)(P02Q1
2)(P03Q1
3)(P04Q1
4)(P05Q1
5)
(P16Q0
6)(P17Q0
7)(P18Q0
8)(P09Q1
9)
= Q1Q2Q3Q4Q5P6P7P8Q9
Dengan D = 1,7, pada model L1P
sehingga
)(7,1)(7,1 1
1)(;
1
1)(
bgbg eQ
eP
),(,
),(,
),(,
),(
.
.
.
),(
),(
b
b
b
eQ
eQ
eQ
521719
131712
721711
1
1521
1
1131
1
1721
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Disusun ke dalam tabel untuk berbagai b
b Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 P6 P7 P8 Q9 Lx10-3
–1,5 0,592 0,348 0,210 0,134 0,085 0,947 0,969 0,984 0,005 0,003
–1,0 0,773 0,555 0,383 0,265 0,178 0,885 0,930 0,963 0,014 0,084
–0,5 0,888 0,745 0,592 0,458 0,336 0,767 0,850 0,918 0,031 1,127
0,0 0,949 0,872 0,773 0,664 0,542 0,584 0,708 0,827 0,070 5,525
0,1 0,957 0,890 0,801 0,701 0,584 0,542 0,671 0,801 0,082 6,688
0,2 0,963 0,905 0,827 0,735 0,625 0,500 0,633 0,773 0,096 7,763
0,3 0,969 0,919 0,850 0,767 0,664 0,458 0,592 0,742 0,112 8,645
0,4 0,974 0,931 0,870 0,796 0,701 0,416 0,551 0,708 0,130 9,241
0,5 0,978 0,941 0,888 0,822 0,735 0,375 0,508 0,671 0,150 9,490
0,6 0,981 0,950 0,904 0,846 0,767 0,336 0,466 0,633 0,173 9,373
0,7 0,984 0,957 0,918 0,866 0,796 0,299 0,424 0,592 0,199 8,914
0,8 0,986 0,964 0,930 0,885 0,822 0,265 0,383 0,551 0,227 8,173
0,9 0,989 0,969 0,940 0,901 0,846 0,233 0,344 0,508 0,258 7,236
1,0 0,990 0,974 0,949 0,915 0,866 0,204 0,307 0,466 0,292 6,194
1,5 0,996 0,989 0,978 0,962 0,938 0,099 0,159 0,272 0,492 1,823
2,0 0,998 0,995 0,990 0,983 0,973 0,045 0,075 0,138 0,693 0,300
Kebolehjadian maksimum adalah 9,490.10-3
dengan b di sekitar 0,5
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
3. Perhitungan Kebolehjadian Maksimum
Untuk M responden pada satu butir, kebolehjadian
Dalam bentuk logaritma naturalis
Estimasi parameter butir melalui kebolehjadian maksimum
Untuk parameter b
M
g
Xg
Xg
ggQPL1
1)()(
M
ggggg QXPXL
1
1 )(ln)()(lnln
0)()(
)(
1
0ln
1
gigi
M
g gi
igi
i
i PXP
cP
c
Da
b
L
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Untuk parameter a
Untuk parameter c
0
1
0
1
M
g gi
gigiigiig
i
i
P
PXcPb
c
D
a
L
)(
)()()(
ln
0)(
)(
1
1
0ln
1
M
g gi
gigi
i
i
P
PX
c
c
L
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
4. Estimasi Parameter Butir melalui Metoda Pendekatan Newton-Raphson
• Kebolehjadian pada jawaban dikotomi
Xi = 1 untuk jawaban betul
Xi = 0 untuk jawaban salah (dan blanko)
sehingga pada Xi = 1 P()Q() = P()
pada Xi = 0 P()Q() = Q()
dan fungsi kebolehjadian menjadi
Dengan mengenakan logaritma, diperoleh
M
g
X
g
X
gggQPL
1
1)()(
M
ggggg QXPXL
1
1 )(ln)()(lnln
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Pada model L1P, M responden menjawab 1 butir
• Kebolehjadian maksimum dicapai melalui
• Estimasi melalui metoda pendekatan Newton-Raphson menghasilkan iterasi
Dengan memasukkan model karakteristik butir (L1P, L2P, atau L3P), maka diperoleh bentuk iterasi untuk tiap model
0db
Ld ln
2
21 ln
ln
dbLd
dbLd
bb ss
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi pada L1P
sehingga oleh karenanya
M
ggg
g
M
gg
QPDdb
Ld
PXDdb
Ld
1
22
2
1
)().(ln
)]([ln
N
igg
N
igg
ss
QPD
PXbb
1
11
)().(
)]([
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
5. Prosedur Estimasi Parameter Butir pada Model L1P
• Paramter kemampuan telah diketahui pada metrik tertentu sehingga hasil estimasi parameter butir terletak pada metrik itu
• Di ini prosedur ini dilakukan melalui contoh pada model L1P
Contoh 9
Suatu responden menjawab tiga butir dengan hasil
Responden g Xg
1 – 1 1 2 0 0 3 1 1
Estimasi parameter b dari butir itu
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Probabilitas pada setiap fresponden
• Perhitungan ini memerlukan sejumlah data, mencakup
Titik awal interasi b0 yang ditentukan oleh logit gagal
Rumus iterasi pada metoda pendekatan Newton-Raphson untuk L1P
))(,(
))(,(
)(
)(
,
,
)(
)(
))(,(
))(,(
)(
)(
)(
)(
)(
b
b
bD
bD
b
b
bD
bD
b
b
bD
bD
e
e
e
eP
e
e
e
eP
e
e
e
eP
171
171
3
71
71
2
171
171
1
11
11
11
3
3
2
2
1
1
M
ggg
M
ggg
s
QPD
PX
bb
1
101
)()(
)]([
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Nilai titik awal
bo = – 0,693
• Perhitungan estimasi memerlukan beberapa besaran, seperti tampak pada rumus, meliputi
Pg()
Qg()
Xg – Pg()
DPg()Qg()
Perhitungan dilakukan dalam bentuk tabel untuk memudahkan perhitungan
Setiap iterasi menghasilkan satu tabel
69302
1
3231
0 ,lnln)(
)(ln
i
i
P
Qb
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi 1
Responden 1: 1 = – 1
Dengan b0 = – 0,693
– 1,7 (1 + b0) = – (1,7)(1 – 0,693) = – 0,522
Q1(– 1) = 1 – P1(– 1) = 1 – 0,372 = 0,628
X1 – P1(– 1) = 1 – 0,372 = 0,628
DP1(– 1)Q1(– 1) = (1,7)(0,372)(0,628) = 0,397
37201
15220
5220
1 ,)(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Responden 2: 2 = 0
Dengan b0 = – 0,693
– 1,7 b0 = – (1,7)( – 0,693) = 1,178
Q2( 0 ) = 1 – P2( 0 ) = 1 – 0,765 = 0,235
X2 – P2( 0 ) = 0 – 0,765 = – 0,765
DP2( 0 )Q2( 0 ) = (1,7)(0,765)(0,235) = 0,306
76501
01781
1781
2 ,)(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Responden 3: 3 = 1
Dengan b0 = – 0,693
1,7 (1 – b0) = (1,7)(1 + 0,693) = 2,878
Q3(1) = 1 – P3(1) = 1 – 0,947 = 0,053
X3 – P3(1) = 1 – 0,947 = 0,053
DP3(1)Q3(1) = (1,7)(0,947)(0,053) = 0,085
94701
18782
8782
3 ,)(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Hasil iterasi pertama
b0 = – 0,693
Responden Xg Xg – Pg() DPg()Qg()
1 1 0,628 0,397
2 0 – 0,765 0,306
3 1 0,053 0,085
– 0,084 0,788
b1 = b0 – (– 0,084 / 0,788) = – 0,693 + 0,107
= – 0,586
Selisih = |b0 – b1| = |– 0,693 + 0,586| = 0,107
Selisih masih cukup besar sehingga dilanjutkan dengan iterasi kedua
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Iterasi 2
Responden 1: 1 = – 1
Dengan b1 = – 0,586
– 1,7 (1 + b1) = – (1,7)(1 – 0,586) = – 0,704
Q1(– 1) = 1 – P1(– 1) = 1 – 0,331 = 0,669
X1 – P1(– 1) = 1 – 0,331 = 0,669
DP1(– 1)Q1(– 1) = (1,7)(0,331)(0,669) = 0,376
33101
17040
7040
1 ,)(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Responden 2: 2 = 0
Dengan b1 = – 0,586
– 1,7 b1 = – (1,7)( – 0,586) = 0,996
Q2( 0 ) = 1 – P2( 0 ) = 1 – 0,730 = 0,270
X2 – P2( 0 ) = 0 – 0,730 = – 0,730
DP2( 0 )Q2( 0 ) = (1,7)(0,730)(0,270) = 0,335
73001
09960
9960
2 ,)(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Responden 3: 3 = 1
Dengan b1 = – 0,586
1,7 (1 – b1) = – (1,7)(1 + 0,586) = 2,696
Q3( 1 ) = 1 – P3( 1 ) = 1 – 0,937 = 0,063
X3 – P3( 1 ) = 1 – 0,937 = 0,063
DP3( 1 )Q3( 1 ) = (1,7)(0,937)(0,063) = 0,100
93701
16962
6962
3 ,)(,
,
e
eP
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Hasil iterasi kedua
b1 = – 0,586
Responden Xg Xg – Pg() DPg()Qg()
1 1 0,669 0,376
2 0 – 0,730 0,335
3 1 0,063 0,100
0,002 0,811
b2 = b1 – ( 0,002 / 0,811) = – 0,586 – 0,002
= – 0,588
Selisih = |b1 – b2| = |– 0,586 + 0,588| = 0,002
Selisih sudah cukup kecil, iterasi dihentikan
b = – 0,588 ≈ – 0,59
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
• Rekapitulasi
b0 = – 0,693
Responden Xg Xg – Pg() DPg()Qg() 1 1 0,628 0,397 2 0 – 0,765 0,306 3 1 0,053 0,085 – 0,084 0,788
b1 = – 0,586 selisih = 0,107
b1 = – 0,586
Responden Xg [Xg – Pg() DPg()Qg() 1 1 0,669 0,376 2 0 – 0,730 0,335 3 1 0,063 0,100 0,002 0,811
b2 = – 0,588 selisih = 0,002
b = – 0,59
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 10
Tiga responden menjawab satu butir dengan hasil
Responden g Xg
1 – 1 0
2 0 0 3 1 1
Estimasi parameter b dari butir itu
Contoh 11
Tiga responden menjawab satu butir dengan hasil
Responden g Xg
1 – 2,00 0 2 0,00 1 3 1,75 1
Estimasi parameter b dari butir itu
------------------------------------------------------------------------------Estimasi Parameter Secara Terpisah
------------------------------------------------------------------------------
6. Prossedur Estimasi Parameter Butir pada Model
L2P dan L3P
• Estimasi parameter butir model L2P melibatkan 2 parameter butir
• Untuk N butir, ada 2N parameter butir yang perlu diestimsi
• Estimasi parameter butir model L3P melibatkan 3 parameter butir
• Untuk N butir ada 3N parameter butir yang perlu diestimasi
• Prosedur estimasi menjadi cukup rumit sehingga sebaiknya dilakukan melalui program komputer
Recommended