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Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matematicas
ALGEBRA LINEAL
Taller unidad III
VECTORES RECTAS Y PLANOS
Pf. Martha C. Moreno
I) u y w son vectores ortogonales y unitarios de Rn, a partir de la siguientefigura:
uw
v = u+w
Encontrar:(1 y 2 graficamente, 3 y 4 numericamente)1.−2v + 1
2w 2. u− w + v 3. ‖u+ w‖ 4. u • 1
2v
II) Dados los siguientes puntos: A = (3,−1, 2), B = (2, 5, 4), C = (4, 2, 6),D = (−5,−4, 6), E = (6, 2, 1), F = (2,−1, 1) encontrar(si esta definido):
1. (−−→AB • C)
−−→EF
2.−−→AB • C + 2
−−→AB
3.−−→AB •
−−→CD + ‖
−−→EF‖
4. ‖−−→AB + 3
−−→DC‖
5. (Proy−−→CD−−→
AB) • (
−−→CE − 2
−−→DA)
6. (−−→BC •
−−→AD)
−−→EF
7.−−→AB × (
−−→ED +
−−→AB)
8. Para el triangulo cuyos vertices son los puntos A,B y C, determinar:a) El perımetro. b) El area. c)Los cosenos de los angulos inte-riores. d) Clasificarlo de acuerdo a las longitudes de sus lados y alas medidas de sus angulos.
9. Un vector unitario paralelo a−−→BC
1
10. Un vector unitario ortogonal a los vectores−−→CD y
−−→AB
11. Todos los vectores no nulos ortogonales a−−→AB
12. El volumen del paralelepıpedo que tiene como aristas los vectores−→CA,
−−→CB y
−−→CD.
13. Las ecuaciones parametricas de la recta que contiene los puntos C y D.
14. La ecuacion del plano que contiene los puntos A, B y C.
15. Las ecuaciones parametricas y simetricas de la recta que contiene el
punto E y es paralela al vector−−→AB.
16. La ecuacion del plano que contiene el punto C y tiene como vector
normal a−−→BC.
17. La recta del punto 13 intercepta al plano del punto 14? En caso afir-mativo, en que punto?
18. Respecto a las rectas de los puntos 13 y 15, estas: se interceptan, sonparalelas o son sesgadas?
19. Encontrar la ecuacion de la recta de iterseccion de los planos a los quese refieren los puntos 14 y 16.
20. Encontrar la distancia del punto A a la recta del punto 13.
21. Encontrar la distancia entre el punto E y el plano que se refiere al punto14.
III) Completar
1. Los vectores (4, α) y (3, 4) forman un angulo de 60o si α =
2. (a, 2, 1, a) y (a,−1,−2,−3) son ortogonales si a =
3. ‖(a, 2,−1, a)‖ = 5, si a =
4. El punto (1, 2, 3) pertenece al plano 2x+3y+αz = 20 si α =
5. El vector (α2, α3, α4) es paralelo al vector (1,−2, 4) si α =
6. El vector−→i +c
−→j es una combinacion lineal de los vectores
−→i +2
−→j +
−→k
y 3−→i + 6
−→j + 2
−→k si c =
7. El vector (a, b, c) es unitario, ortogonal a (0, 1, 1) y forma un angu-lo de 60o con el vector (−1, 0, 0) si a = , b = yc =
8. Si −→u + −→v = O y ‖−→w‖ = ‖−→v ‖ = 2, entonces:(−→w −−→u ) • (−→w −−→v ) =
9. Los vectores A,B,C ∈ R3 y satisfacen: ‖A‖ = ‖C‖ = 5, ‖B‖ = 1,
‖A − B + C‖ = ‖A + B + C‖ , el angulo que forman A y B es π
8,
entonces el angulo formado por B y C es:
IV) Para cada uno de los siguientes enunciados decida si son verdaderos o falsos(JUSTIFIQUE).
2
1. Si −→u • −→v = −→u • −→w , entonces −→v = −→w
2. Si −→w es ortogonal a −→u y a −→v , entonces −→w es ortogonal a α−→u + β−→vpara todo α, β en R.
3. El triangulo de vertices (2, 3,−4), (3, 1, 2) y (7, 0, 1) es rectangulo.
4. Proy−→w (−→u +−→v ) = Proy−→w (−→u ) + Proy−→w (−→v )
5. Proy−→w (α−→u ) = α(Proy−→w−→u )
6. Proy−−→v+w
(−→u ) = Proy−→v (−→u ) + Proy−→w (−→u )
7. ‖−→u +−→v ‖2 + ‖−→u −−→v ‖2 = 2‖−→u ‖2 + 2‖−→v ‖2.
8. los puntos (2, 3, 2), (−1, 4,−2) y (−4, 5,−6) son colineales.
9. Si ‖−→u +−→v ‖ = 1 y ‖−→u −−→v ‖ = 5, entonces −→u • −→v = 5.
10. Si ‖−→u +−→v ‖ = ‖−→u −−→v ‖, entonces −→u y −→v son ortogonales.
11. Sean A,B,C vectores no nulos tales que el angulo formado por A y C
es igual al angulo formado por B y C, entonces el vector C es ortogonalal vector ‖B‖A− ‖A‖B.
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