Universidad Nacional de Colombia

Departamento de Matematicas

ALGEBRA LINEAL

Taller unidad III

VECTORES RECTAS Y PLANOS

Pf. Martha C. Moreno

I) u y w son vectores ortogonales y unitarios de Rn, a partir de la siguientefigura:

uw

v = u+w

Encontrar:(1 y 2 graficamente, 3 y 4 numericamente)1.−2v + 1

2w 2. u− w + v 3. ‖u+ w‖ 4. u • 1

2v

II) Dados los siguientes puntos: A = (3,−1, 2), B = (2, 5, 4), C = (4, 2, 6),D = (−5,−4, 6), E = (6, 2, 1), F = (2,−1, 1) encontrar(si esta definido):

1. (−−→AB • C)

−−→EF

2.−−→AB • C + 2

−−→AB

3.−−→AB •

−−→CD + ‖

−−→EF‖

4. ‖−−→AB + 3

−−→DC‖

5. (Proy−−→CD−−→

AB) • (

−−→CE − 2

−−→DA)

6. (−−→BC •

−−→AD)

−−→EF

7.−−→AB × (

−−→ED +

−−→AB)

8. Para el triangulo cuyos vertices son los puntos A,B y C, determinar:a) El perımetro. b) El area. c)Los cosenos de los angulos inte-riores. d) Clasificarlo de acuerdo a las longitudes de sus lados y alas medidas de sus angulos.

9. Un vector unitario paralelo a−−→BC

1

10. Un vector unitario ortogonal a los vectores−−→CD y

−−→AB

11. Todos los vectores no nulos ortogonales a−−→AB

12. El volumen del paralelepıpedo que tiene como aristas los vectores−→CA,

−−→CB y

−−→CD.

13. Las ecuaciones parametricas de la recta que contiene los puntos C y D.

14. La ecuacion del plano que contiene los puntos A, B y C.

15. Las ecuaciones parametricas y simetricas de la recta que contiene el

punto E y es paralela al vector−−→AB.

16. La ecuacion del plano que contiene el punto C y tiene como vector

normal a−−→BC.

17. La recta del punto 13 intercepta al plano del punto 14? En caso afir-mativo, en que punto?

18. Respecto a las rectas de los puntos 13 y 15, estas: se interceptan, sonparalelas o son sesgadas?

19. Encontrar la ecuacion de la recta de iterseccion de los planos a los quese refieren los puntos 14 y 16.

20. Encontrar la distancia del punto A a la recta del punto 13.

21. Encontrar la distancia entre el punto E y el plano que se refiere al punto14.

III) Completar

1. Los vectores (4, α) y (3, 4) forman un angulo de 60o si α =

2. (a, 2, 1, a) y (a,−1,−2,−3) son ortogonales si a =

3. ‖(a, 2,−1, a)‖ = 5, si a =

4. El punto (1, 2, 3) pertenece al plano 2x+3y+αz = 20 si α =

5. El vector (α2, α3, α4) es paralelo al vector (1,−2, 4) si α =

6. El vector−→i +c

−→j es una combinacion lineal de los vectores

−→i +2

−→j +

−→k

y 3−→i + 6

−→j + 2

−→k si c =

7. El vector (a, b, c) es unitario, ortogonal a (0, 1, 1) y forma un angu-lo de 60o con el vector (−1, 0, 0) si a = , b = yc =

8. Si −→u + −→v = O y ‖−→w‖ = ‖−→v ‖ = 2, entonces:(−→w −−→u ) • (−→w −−→v ) =

9. Los vectores A,B,C ∈ R3 y satisfacen: ‖A‖ = ‖C‖ = 5, ‖B‖ = 1,

‖A − B + C‖ = ‖A + B + C‖ , el angulo que forman A y B es π

8,

entonces el angulo formado por B y C es:

IV) Para cada uno de los siguientes enunciados decida si son verdaderos o falsos(JUSTIFIQUE).

2

1. Si −→u • −→v = −→u • −→w , entonces −→v = −→w

2. Si −→w es ortogonal a −→u y a −→v , entonces −→w es ortogonal a α−→u + β−→vpara todo α, β en R.

3. El triangulo de vertices (2, 3,−4), (3, 1, 2) y (7, 0, 1) es rectangulo.

4. Proy−→w (−→u +−→v ) = Proy−→w (−→u ) + Proy−→w (−→v )

5. Proy−→w (α−→u ) = α(Proy−→w−→u )

6. Proy−−→v+w

(−→u ) = Proy−→v (−→u ) + Proy−→w (−→u )

7. ‖−→u +−→v ‖2 + ‖−→u −−→v ‖2 = 2‖−→u ‖2 + 2‖−→v ‖2.

8. los puntos (2, 3, 2), (−1, 4,−2) y (−4, 5,−6) son colineales.

9. Si ‖−→u +−→v ‖ = 1 y ‖−→u −−→v ‖ = 5, entonces −→u • −→v = 5.

10. Si ‖−→u +−→v ‖ = ‖−→u −−→v ‖, entonces −→u y −→v son ortogonales.

11. Sean A,B,C vectores no nulos tales que el angulo formado por A y C

es igual al angulo formado por B y C, entonces el vector C es ortogonalal vector ‖B‖A− ‖A‖B.

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