Teoría de grafos

Sabrina Dechima

Euler, fue contemporáneo de varios otros famosos matemáticos , tales como Immanuel Kant, Johann Hamann y Christian Goldbach, por lo que Königsberg fue un importante epicentro científico. Es en este ambiente que surge la formulación del problema, propagándose a modo de juego matemático entre los intelectuales de la época

El trabajo de Leonhard Euler, en 1736, sobre el problema de los puentes de Königsberg es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. Pero a la vez se lo considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría

Un poco de Historia

La ciudad era atravesada

por un río, el cual dividía

el terreno en cuatro regiones,

las que estaban unidas

mediante siete puentes

Puente del herrero, Puente conector, Puente verde, Puente del mercado, Puente de madera, Puente alto y Puente de la miel

¿Cuál era la consigna a resolver?

¿Es posible dar un paseo

comenzando desde cualquier

regiones, pasando por todos

los puentes, recorriendo

sólo una vez cada uno, y

regresando al mismo punto

de partida?

Euler demuestra una solución general del problema, para ello recurre a una abstracción del mapa, enfocándose exclusivamente en las regiones terrestres y las conexiones entre ellas

Euler determinó, que los puntos intermedios de un recorrido posible deben estar conectados a un número par de líneas. Ya que, si llegamos a un punto desde alguna línea, entonces el único modo de salir de ese punto es por otra diferente. Esto significa que tanto el punto inicial como el final serían los únicos que podrían estar conectados con un número impar de líneas. Sin embargo, el requisito adicional del problema dice que el punto inicial debe ser igual al final, por lo que no podría existir más de un único punto conectado con un número impar de líneas.

Es imposible recorrer los puentes pasando SOLO una vez por cada uno

Como en este diagrama los cuatro puntos poseen un número impar de líneas incidentes, entonces se concluye que es imposible definir un camino con las características buscadas

Veamos si entendieron

Un grafo se puede dibujar de un solo trazo y sin levantar el lápiz cuando tienen dos o ningún vértice impar.

Será posible recorrer la figura SIN LEVANTAR EL LÁPIZ.

¿Por qué?

La importancia de este concepto

La abstracción del problema dio pie a la primera noción de grafo, que es un tipo de estructura de datos, utilizada ampliamente en matemática discreta y en ciencias de la computación. A los puntos se les llaman vértices y a las líneas aristas. Al número de aristas incidentes a un vértice se le llama el grado de dicho vértice.

No hay restricciones para formar un grafo

Puede haber varias aristas entre dos vérticeEl vértice de partida y el de llegada puede ser el mismoLas aristas pueden o no llevar flechas

Grafos simples : no poseen aristas orientadas, ni bucles, pero además, entre un mismo par de vértices no se admiten dos o más aristas

Multígrafo: se permiten aristas múltiples

Pseudografo: se permiten aristas múltiples y bucles

Multígrafos dirigidos

Grafos orientados

Pseudografos dirigidos

Aplicación más conocida Teorema de los cuatro colores

Dado cualquier mapa con regiones continuas, puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes (que compartan todo un segmento de borde en común) con el mismo color

Fue planteado por primera vez por Francis Guthrie en 1852 y resuelto positivamente en 1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken. El problema más importante referido a la demostración es que necesitaron computadoras para hacerlo, lo cual le resta prestigio, pero algo a favor es que de manera manual hubiera sido imposible realizarla de otra forma.Convirtiéndose, de esta manera en el primer teorema demostrado de esta forma

Vamos a un ejemplo concreto

Mapa de Mc Gregor, 1975

¿Qué otra aplicaciones conoces?

Transito vehicular

Cantidad de ordenadores conectados

Orden en los horarios de festivales

artísticos