Teoría de Grafos

Teoría de Grafos

Estudiamos:- Idea intuitiva de grafo- Camino mínimo- Flujo máximo- Problemas de transporte- Problemas de asignación

Teoría de grafos:

La teoría de grafos estudia las propiedades de los grafos. Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas que pueden ser orientados o no.

Típicamente, un grafo se representa mediante una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (las aristas).

Formalmente: Grafo es un par (V,A) donde V es un conjunto de elementos llamados “vértices” o “nodos” y A es un subconjunto de VxV cuyos elementos son los “arcos”.

Teoría de Grafos

En el ejemplo de la derecha vemos un grafo que tiene cuatro vértices: V={1,2,3,4} y se han definido un conjunto de cinco arcos:

A={(1,2),(1,3),(2,4),(3,2),(4,2)}

Para cada arco, por ejemplo, el (3,2), «3» es el origen y «2» elextremo del arco.

Teoría de Grafos

Matriz de incidencia

Concepto de redUna red es un

grafo cuyos arcos tienen asociada alguna medida.

Teoría de Grafos

El grafo anterior será una red y esta será bilateral ya que admite ambas orientaciones de los arcos; o dicho de otra forma, si existe (M,G), existe (G,M). En las redes bilaterales a los arcos se les suele llamar aristas.

Cuando una red no es bilateral se llama dirigida. Por ejemplo, una red de conducción de aguas en una ciudad es dirigida.

Algunos conceptos relativos a grafos:- Orden de un grafo es el número de sus vértices.- Dos vértices son adyacentes si existe un arco que los une.- Un grafo es completo si todos sus vértices están relacionados, es decir, dos vértices cualesquiera son adyacentes- Llamaremos grado de un vértice al número de arcos que terminan en él.- Un grafo es simple si no contiene bucles y sólo hay una arista que une a cada dos vértices

Teoría de Grafos

Un grafo es una red de transporte si verifica:1) Existe un vértice y sólo uno, tal que a él no llega ningún arco: la entrada a la red, nodo fuente.2) Existe un vértice, y sólo uno, tal que de él no sale ningún arco: la salida de la red, nodo sumidero.

Ejemplos:

Teoría de Grafos

En una red de transporte (o en general se le suele llamar simplemente red), la matriz de incidencia deja de tener “0” y “1” para tener cantidades:

0000000120000001000000008700000110900000540000003210

Teoría de Grafos

Un camino o ruta es una sucesión de arcos adyacentes del mismo sentido (el extremo de un arco es el origen del siguiente)

Origen y final del camino. Longitud generalizada de un camino.

Teoría de Grafos

Un ciclo, circuito o camino cerrado es un camino en el cual el último extremo coincide con el primer origen.

Teoría de Grafos

MATHEMATICA en redes

Versión 8.0 o siguientes

Para definir un grafo G, tenemos que dar:(*) Los vértices que lo componen, dando las coordenadas de cada uno de ellos sobre el plano. Se realiza mediante la matriz de vértices. (*) Los arcos que forman el grafo. Se realiza mediante la matriz de incidencia.

Por ejemplo, sea el grafo:

Teoría de Grafos

Matriz de vértices:Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas (en rojo).

El vértice “1” coincidirá con el (0,0), el “2” puede ser el (1,0), el “3” el (2,1) y el “4” el (2,-1)Entonces la matriz de vértices será:

Teoría de Grafos

Teoría de Grafos

Si cambiamos el origen de coordenadas:

la matriz de vértices cambia:

Matriz de incidencia:

Teoría de Grafos

¡Es única!

Dibujar un grafo:

pintaGrafos[matrizIncidencia, verticesGrafo->matrizVertices, etiquetasArcos->matrizIncidencia]

miPintaGrafos[matrizIncidencia, matrizVertices]

Teoría de Grafos

Modelo de Camino Mínimo o Ruta MínimaConcepto intuitivoEjemplo: Una empresa quiere enviar un pedido desde la planta de producción (vértice 1) a un cliente (vértice 6). Los vértices 2 a 5 son cruces por donde pueden circular sus camiones y los números de los arcos son el coste de enviar cada camión por el trayecto representado por ese arco. ¿Cuál es el camino mas barato?

Teoría de Grafos

Hay varias rutas:Ruta 1:

Longitud: 20+15+10=45

Teoría de Grafos

Ruta 2:

Longitud: 20+10+10=40

Teoría de Grafos

Ruta 3:

Longitud: 15+15+10=40

Teoría de Grafos

Existen diversos algoritmos que permiten la resolución del problema de camino mínimo; entre los mas conocidos: el de Disjktra.Nosotros los resolveremos mediante un modelo de programación lineal, llamando xij a la variable que toma el valor “1” si se sigue el arco (i,j) o “0” en caso contrario.

Teorema:Cualquier solución admisible básica del problema de camino mínimo tiene todas sus variables xij iguales a “cero” o a “uno”.

Teoría de Grafos

n n

ij iji 1 j 1

1k knk k

jk kij i

ij ij

Minimizar d x

Sujeta: x 1, x 1

x x , k 1,n

x 0 x 0/1

Ejemplo:

Un estudiante se desplaza a diario desde su casa (nodo 1) a la facultad (nodo 4). Desea saber cual es el trayecto más corto para llegar. En el siguiente grafo se representa las calles y sus distancias (expresadas en kilómetros):

1

2

3

4

6

4

9

10

5

3

Teoría de Grafos

Minimizar 6x12+4x13+9x14+10x23+5x24+3x34Sujeta a:

x12+x14+x13=1 x24+x14+x34=1 x12=x23+x24 x13+x23=x34 xij≥0 xij=0 ó 1

1

2

3

4

6

4

9

10

5

3

Teoría de Grafos

MODELO DE CAMINO MÁXIMO O RUTA MÁXIMA

Este problema podemos plantearlo como modelo de Programación Lineal con la misma forma que el camino mínimo, pero como problema de “Maximizar”

Teoría de Grafos

Flujo máximo en redesAquí trabajamos con redes de transporte.

Un grafo es una red de transporte si verifica:1) Existe un vértice y sólo uno, tal que a él no llega ningún arco: la entrada a la red, nodo fuente.2) Existe un vértice, y sólo uno, tal que de él no sale ningún arco: la salida de la red, nodo sumidero.

Diremos que ϕ es un flujo sobre la red si se verifica:1) Para todo arco “a” se verifica la condición de compatibilidad: ϕ (a) ≤ C(a)2) Cada nodo i verifica la condición de conservación del flujo:

n

1j

n

1ssiij xx

Teoría de Grafos

EjemploDebido a las obras del metro en Málaga se ha cerrado una avenida con una capacidad de 15.000 vehículos/día. Los técnicos van a desviar dicha circulación por distintas calles de acuerdo con el siguiente grafo donde se incluyen el número de vehículos (en miles) que pueden circular por ellas.Querrían saber los técnicos: a) Si la red viaria alternativa podría sustituir la avenida cerrada. b) Flujo máximo de vehículos que permite cada calle. Una posible solución:

1

2

3

4

7

4

5

10

6

9

1

2

3

4

7

4

5

1

6

5

Teoría de Grafos

La resolución del problema consistente en la obtención, para una red de transporte dada, del flujo máximo circulante entre el nodo fuente y el sumidero, se puede realizar de varias formas. La mas conocida es el algoritmo de Ford-Fukerson

La resolución mediante Programación Lineal se hace:Con: F: Flujo máximo desde el nodo fuente al sumidero.xij: cantidad de unidades que se envían desde el vértice i al j.Cij: capacidad máxima del arco (i,j)

1kk

knk

jk kij i

ij ij

Maximizar FSujeta: x F

x F

x x , k 1,n

0 x CF 0

Teoría de Grafos

Problema de TransporteIntroducción

Ejemplo: Un fabricante desea enviar varias unidades de un producto desde 2 centros de distribución CD1 y CD2, a 3 tiendas T1, T2 y T3. En el primero de ellos dispone de 15 unidades y en el segundo de 20. La demanda de cada tienda es 15, 10 y 10 respectivamente. Los gastos de transporte son:

¿Cómo ha de realizar el transporte para que sea lo más económico posible?

T1 T2 T3CD1 1 5 10CD2 10 1 5

Teoría de Grafos

Teoría de Grafos

Esquemáticamente:

Teoría de Grafos

Una vez resuelto quedaría:

Su resolución mediante Programación Lineal:

Si llamamos xij al número de unidades transportadas del centro de oferta i al de demanda j tendremos:

- Minimizar el coste de transporte:Minimizar x11+5x12+10x13+10x21+x22+5x23

- Restricciones de oferta:x11+x12+x13=15 x21+x22+x23=20

- Restricciones de demanda:x11+x21=15 x12+x22=10 x13+x23=10

- Variables no negativas y enteras: xij≥0 xij

Teoría de Grafos

T1 T2 T3CD1 1 5 10CD2 10 1 5

Su resolución mediante Programación Lineal:

Si llamamos xij al número de unidades transportadas del centro de oferta i al de demanda j tendremos:

- Minimizar el coste de transporte:Minimizar x11+5x12+10x13+10x21+x22+5x23

- Restricciones de oferta:x11+x12+x13=15 x21+x22+x23=20

- Restricciones de demanda:x11+x21=15 x12+x22=10 x13+x23=10

- Variables no negativas y enteras: xij≥0

Teoría de Grafos

Teoría de Grafos

Hemos obtenido la solución:

En general la formulación mediante Programación Lineal del problema

de transporte con m centros de oferta y n centros de demanda es:

Cij: costes unitarios de transporte del centro i al centro j.

xij: cantidades a transportar de cada centro i al centro j.

ei: cantidades del producto disponibles en cada origen.

dj: demanda en cada destino.0x

n,,2,1jdx

m,,2,1iex:Sujeta

xCimizarMin

iji

jij

jiij

m

1i

n

1jijij

Teoría de Grafos

TeoremaEl conjunto de oportunidades X definido por las restricciones del problemaanterior es no vacío si los ei y dj son finitos.

Siempre se supone que la oferta=demanda:

Teoría de Grafos

hemos de suponer un centro de demanda artificial cuya demanda sea:

Análogamente en el caso de un exceso de demanda respecto de oferta:hemos de construir un centro de oferta artificial que oferte el exceso dedemanda y con costes unitarios cero.

La matriz de coeficientes de las restricciones:

La matriz A es de rango m+n-1 y es unimodular, es decir, toda submatriz cuadrada de A tiene como determinante 0,1 ó -1.

...1 1 ... 1 0 0 ... 0 0 0 ... 0

...0 0 ... 0 1 1 ... 1 0 0 ... 0

...... ... ... ... .. .. .. .. ... ... ... ...

...0 0 ... 0 0 0 ... 0 1 1 ... 1A ...1 0 ... 0 1 0 ... 0 1 0 ... 0

...0 1 ... 0 0 1 ... 0 0 1 ... 0

...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

...0 0 ... 1 0 0 ... 1 0 0 ..

. 1

Teoría de Grafos

Problema de Asignación

Concepto: Aquel que trata de determinar la asignación óptima de “n” agentes u objetos indivisibles a “n” tareas.

Ejemplo 1: Queremos repartir tres tareas (oferta) a tres alumnos (demanda). El coste que conlleva la realización de cada tarea por cada alumno viene dada por la siguiente matriz:

Calcular la asignación óptima de cada tarea a cada alumno.

Teoría de Grafos

Ejemplo 2: En una empresa se van a ofertar dos nuevos puestos de trabajo a cuatro trabajadores de la misma empresa en base a la puntuación obtenida por la mayor o menor puntualidad al trabajo durante los últimos dos años y que están representados por la matriz:

¿cuál es la asignación óptima de cada puesto de trabajo a cada trabajador?

Teoría de Grafos