TRANSFORMADA ZETA

TRANSFORMADA ZETA

Señales y Sistemas

AGENDA

DEFINICION PROPIEDADES TRANSFORMADA INVERSA ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y SISTEMAS

DISCRETOS FUNCION DE TRANSFERENCIA ANALISIS DE SISTEMAS

TRANSFORMADA ZETA

La transformada Z es una herramienta básica para el análisis y síntesis de sistemas discretos.

Utilizaremos la transformada Z para la caracterización y análisis de sistemas discretos.

Definición de la Transformada Z

Utilización: análoga a la de la transformada de Laplace en tiempo continuo

Definición de la Transformada Z

Se define la Transformada Z, X(z) de una secuencia x[n]

La cantidad compleja z generaliza el concepto de frecuencia al dominio complejo como

Para una secuencia x[n]={6 4 3 2 -3}, la Transformada Z es X(z)=6z2+4z1+3z0+2z-1-3z-2. El valor z-1 es el operador de retraso unidad.

∑∞

−∞=

−==n

nznxzXnxZ )()(]}[{

)2exp( sftjrz π=

Definición de la Transformada Z

Ya que X(z) es una series de potencias, podría no converger para todo z.

Los valores de z para los cuales X(z) converge definen la región de convergencia (ROC).

Toda X(z) lleva asociada una ROC, ya que podría ocurrir que dos secuencias distintas produzcan una X(z) idéntica con diferentes ROCs.

La ROC y la relación entre Tz y la TF en tiempo discreto

ωjrez = { } { }nnj

n

nj rnxFernxreX −−∞

−∞=

− == ∑ )()()( ωω

∞<== ∑

∞

∞=

−

-n

)( cual elen nj rnxrezROC ω

• Solo depende de r = | z|, al igual que la ROC en el plano de s depende solo de Re(s).

• Circulo unitario (r=1) en la ROC existe la TF X(ejω) en tiempo discreto

ROC

Para una secuencia x[n] de longitud finita, X(z) converge para todo z, excepto para z=0 y/o z=∞ (dependiendo de si X(z) tiene términos z-k y/o zk).

Transformadas Z de algunas secuencias: Impulso Unidad

x[n] = δ[n] X(z) = 1, ROC -∞<z<∞ Pulso Rectangular

x[n] = u[n]-u[N-n]

Escalón Unitario

x[n] = u[n]

0z ,1

1)(

1≠

−−= −

−

ROCz

zzX

N

1z ,1

)( >−

= ROCz

zzX

Ejemplo 1

derecho lado del ,][][ nuanx n=

az

z

azazzazX

n

n

n

nn

−=

−=== −

∞

=

−∞

=

− ∑∑ 10

1

0 1

1)()(

Si | az-1| <1, es decir |z |> |a |

Es decir, ROC |z |> |a | fuera del circulo

Ejemplo 2

]1[][ −−−= nuanx n

az

z

zazazazazX

n

n

n

n

n

nn

−=

−−=−==−= −

∞

=

−∞

=

−−

−∞=

− ∑∑∑ 11

1

1

11

1

11)(1)()(

Si | a-1z| <1, es decir |z |< |a |

Es decir, ROC |z |< |a | dentro del circulo

Observación

En estos dos últimos ejemplos se observa que la Transformada Z es idéntica para las dos secuencias. Sin embargo la ROC es distinta.

Para la secuencia causal, la ROC es |z|>|a|, mientras que para la anticausal |z|<|a|.

La ROC dependerá de si la señal es causal (definida en el eje positivo), anticausal (eje negativo) o no causal (dos ejes).

Propiedades

Superposición

ax[n]+by[n] aX[z] + bY[z]

Desplazamiento

x[n-1] z-1X[z]+x(-1)

x[n-N] z-NX[z]+z-(N-1)x(-1)+…. x(-N)

x[n+N] zNX[z]-zNx(-1)-…. zx(N-1)

Propiedades

Escalado

anx[n] X[z/a]

Multiplicado por n

nx[n] -zdX[z]/dz

n2

−−⇒

dz

zdXz

dz

dznxn

)(][2

Propiedades

Multiplicado por cos

sin

{ } { }[ ])()(

2

1][)cos( TjTj

ooo zeXzeXnxTn ωωω −+⇒

{ } { }[ ])()(

2

1][)sin( TjTj

ooo zeXzeXjnxTn ωωω −−⇒

Propiedades

Convolucion

Diferencia

][][][*][ zYzXnynx ⇒

][)1(]1[][ 1 zXznxnx −−⇒−−

Propiedades

Teorema del Valor Inicial

Teorema del Valor Final

][]0[ lim zXxz ∞→

=

][1

][ limlim1

zXz

znx

zn

−=

→∞→

Algunas Transformadas Z

Secuencia Transformada Z ROC

δ(n) 1 Todo z

δ(n-m),m>0 z-m |z |>0

δ(n+m),m>0 zm |z |<∞

µ(n) z/(z-1) |z |>1

−µ(-n-1) z/(z-1) |z |<1

Secuencia Transformada Z ROC

anµ(n) z/(z-a) |z |>a

-anµ(-n-1) z/(z-a) |z |<a

nanµ(n) az/(z-a)2 |z |>a

Cos(ωonT)µ(n) |z |>1

Sin(ωonT)µ(n) |z |>1

rnCos(ωonT)µ(n) |z |>r

rnSin(ωonT)µ(n) |z |>r

[ ]1)(2

)(2 +−

−zTCosz

TCoszz

o

o

ωω

1)(2

)(2 +− zTCosz

TzSin

o

o

ωω

[ ]22 )(2

)(

rzTrCosz

TrCoszz

o

o

+−−

ωω

22 )(2

)(

rzTrCosz

TzrSin

o

o

+− ωω

Transformada Inversa

La transformada Z es una secuencia de muestras que esta escrita por definición:

X(z)=x(0)+x(T)z-1+x(2T)z-2+……

Si podemos manipular X(z) en esta forma, los valores de la muestras, x(nT), pueden ser determinados por inspección.

Esto se logra por una división donde X(z) es expresada como una relación polinomial en z.

Antes de dividir es conveniente arreglar tanto el numerador como el denominador en potencias ascendentes de z-1.

Ejemplo

)2.0)(1()(

2

−−=

zz

zzX

Propiedades de la ROC

La ROC de X(z) consiste en un anillo en el plano z centrado aproximadamente en el origen (equivalente a una tira vertical en el plano s)

La ROC no contiene ningún polo

Propiedades de la ROC

Si x[n] tiene duración finita, la ROC constituye todo el plano z, excepto posiblemente en z = 0 y/o z = ∞.

Si x[n] es una secuencia del lado derecho, y si |z| = ro se encuentra en la ROC, todos los valores finitos de z para los cuales |z| > r o se encuentran (converge más rápido que) también en la ROC.

Propiedades de la ROC

Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, y si |z| = ro se encuentra en la ROC, todos los valores finitos de z para los que 0 < |z| < ro se encuentran también en la ROC.

Si x[n] es bilateral, y si |z| = ro se encuentra en la ROC, la ROC consiste en un anillo en el plano z que incluye el círculo |z| = ro.

A que tipo de señales corresponden las siguientes ROC?

Ejemplo

0b ,)( >= nbnx

Sistemas Discretos en Tiempo

Con la transformadas Z, tenemos la herramienta necesaria para explorar los sistemas discretos en el tiempo.

Propiedades de los Sistemas: Sistemas Invariante en el Tiempo

Sistemas Causales y no Causales: Un sistema discreto en tiempo es causal si y solo si:

implica

)]([)( nTxΗnTy =

)]([)( TnnTxΗTnnTy oo −=−

021 ),()( nnnTxnTx ≤=

021 )],([)]([ nnnTxHnTxH ≤=

Sistemas Discretos en Tiempo

En otras palabras, si la diferencia entre dos entradas a un sistema es cero para n<no, la diferencia entre las salidas respectivas debe ser cero. Sistemas Lineales: Un sistema discreto es lineal si y solo si:

Donde

Sistemas Estables: Un sistema lineal discreto es estable BIBO si:

)()()]()([ 22112211 nTynTynTxnTxH αααα +=+

1,2i para )],([)( == nTxHnTy ii

∞<)(nTy

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−≤−=kk

kTnThkTxkTnThkTxnTy )()()()()(

Sistemas Discretos

Pero se sabe que la entrada es limitada, es decir:

De esto, se puede observar que

Entonces la estabilidad del sistema se reduce a comprobar que

∞≤≤ MnTx )(

∑∞

−∞=

≤k

nThMnTy )()(

∞≤∑∞

−∞=k

nTh )(

ECUACIONES DE DIFERENCIAS

La ecuación diferencial modela un sistema de tiempo continuo, la ecuación de diferencia modela un sistema de tiempo discreto.

Veamos el siguiente ejemplo de ecuación diferencial

La salida del sistema puede ser expresada de la forma:

Lo que nos dice que el valor presente de la salida del sistema, y(t) depende de valores previos de la entrada del sistema y es también una función de valores pasados de la salida del sistema

)()()(

tbxtaydt

tdy =+

αααα ∫∫∞−∞−

−=tt

dyadxbty )()()(

Un sistema discreto opera de la misma manera, ya que la salida presente del sistema depende de la entrada presente x(nT), entradas pasadas x(nT-kT) y salidas pasadas del sistema y(nT-kT) .

La estructura de tal procesador sigue la ecuación de diferencias general

ECUACIONES DE DIFERENCIAS

..)2()(.....)2()()()( 21210 −−−−−+−+−+= TnTyKTnTyKTnTxLTnTxLnTxLnTy

x(nT)

x(nT-T)

x(nT-2T)

x(nT-rT)

L0

L1

L2

Lr

Z

y(nT)

y(nT-T)

y(nT-2T)

y(nT-mT)

-K1

-K2

-km

PROCESADOR LINEAL DE DIGITAL

FUNCION DE TRANSFERENCIA DISCRETA Aplicando la transformada Z a ambos lados de la ecuación de

diferencia usando la propiedad de retardo. La relación entre Y(z) y X(z) definen la función de transferencia

del sistema H(z).

Por definición, se sabe que si la entrada al sistema discreto es la función pulso unitario, la salida del sistema es H(z). Con la transformada inversa de zeta obtendremos que

y(nT) = h(nT)

mm

rr

zKzK

zLzLLzH

zX

zY−−

−−

++++++==

.....1

.....)(

)(

)(1

1

110

FUNCION DE TRANSFERENCIA DISCRETA

Podemos expresar la función de transferencia factorizada

Se denominan polos del sistema a los valores p1,p2,...,pm. Determinan la forma de la respuesta del sistema (modos naturales del sistema). Los ceros del sistema (z1,z2,...,zr) determinan las frecuencias bloqueadas por el sistema.

))........()((

)).....()((

.....1

.....)(

21

211

1

110

m

rm

m

rr

pzpzpz

zzzzzzK

zKzK

zLzLLzH

−−−−−−

=+++

+++= −−

−−

El plano z y Estabilidad del Sistema

La estabilidad de un sistema LTI discreto requiere que la respuesta al impulso h[n] sea absolutamente sumable (integrable en continuo).

Esto quiere decir que h[n]=0 en n=∞. Para ello es necesario que los polos de la función de transferencia H(z) estén todos dentro del círculo unidad en el plano z (|pi|<1). Esto evita que la respuesta tenga exponenciales crecientes.

La estabilidad de una función de Transferencia puede determinarse simplemente inspeccionando los coeficientes del denominador de la función de Transferencia. Para ello, debe estar en forma de términos de 2º Orden,

int

1

12

21

1

22

11

0 2

1NL ,

1

1

)(

)()(

+=

++++

== ∏−

=−−

−−L

i ii

ii

zz

zza

zD

zNzH

ααββ

Para cada uno de los términos de 2º Orden podemos calcular las raíces (λ1i y λ2i) del denominador de la siguiente forma:

Para las raíces del polinomio y los coeficientes se cumple

La raíces deben estar dentro del círculo unidad, por lo que |λ1i| <1 y |λ2i| <1. Esto implica que el coeficiente |α2i|<1.

)1)(1(1)( 12

11

22

11

−−−− −−=++= zzzzzD iiii λλαα

).(

)(

2121

211

iii

iii

λλαλλα

=+−=

RAICES DEL POLINOMIO

2

4 ,

2

4 212

12

212

11

iiii

iiii

αααλ

αααλ

−−−=

−+−=

iiiiii

121221

21 241

2

4ααα

ααα−<−⇒<

−+

iiiiii 2112

1212 144 αααααα +<⇒+−<−

α1i

α2i

1

-1

1 2-1-2

Transformada Inversa por Inversión de la Integral

Ejemplo de un Sistema Discreto

)()()( TnTynTkxnTy −+= α

)()()( nTkxTnTynTy =−−α

)()()( 1 zkXzYzzY =− −α

11)(

)()( −−

==z

k

zX

zYzH

α

TjTj

e

keH ω

ω

α −−=

1)(

Ejemplo de un Procesador Digital

kx(nT)

Σ

z-1

α

y(nT)+

+