Resolver las siguientes integrales

1.∫ 2x4+x3+x2

dx

∫ 2x2 (x2+x+1 )

dx Ax

+ Bx2

+ CX+Dx2+x+1

2=Ax (x2+x+1 )+B (x2+x+1 )+x2(Cx+D)x=0→B=2x=−1→−A+B−C+D=2→−A−C+D=0x=1→3 A+3 B+C+D=2→3 A+C+D=−4

x=−2→−6 A+3B−8C+4D=2→−6 A−8C+4D=−4

A=−2B=2C=2D=0

∫(−2x + 2x2

+ 2xx2+x+1 )dx→−2∫ dx

x+2∫ dx

x2+∫ 2 xdx

x2+x+1

−2 lnx−2x+∫ 2 xdx

x2+x+1→−2lnx−2

x+∫ 2 x+1−1

x2+x+1

−2 lnx−2x+∫ 2 x+1

x2+x+1−∫ dx

x2+x+1

−2 lnx−2x+ ln|x2+x+1|−∫ dx

(x+ 12 )2

+ 34

−2 lnx−2x+ ln|x2+x+1|− 1

√32

ArcTg ( x+ 12

√32

)Rpt :−2lnx−2

x+ln|x2+ x+1|− 2

√3ArcTg ( 2x+1

√3 )+C

2.∫ 5x2+3 x−1x2−2 x2+x−2

dx

∫ 5 x2+3 x−1(x−2)(x2+1)

dx→ Ax−2

+Bx+Cx2+1

5 x2+3 x−1=A (x2+1 )+(x−2)(Bx+C)

5 x2+3 x−1=A x2+Bx2+Cx−2Bx+A−2C

¿ x2 ( A+B )+x (C−2B )+(A−2C)

→A+B=5→C−2 B=3→A−2C=1

Dónde: A=5 B=0 y C=3

∫ 5x−2

+ 3x2+1

→∫ 5x−2

+∫ 3x2+1

5 ln ( x−2 )+3∫ 1x2+1

Rpt :5 ln (x−2)+3 ArcTgx

3. Determinar el valor medio de una función g ( x )=sen2 xcosx para el intervalo [0 , π2 ]1

π2−0

∫0

π2

sen2 xcosx∫ f ( x)p f ' (x )= f (x)p+1

p+1

g ( x )= 2π [ sen3 x3 ]0

π2

g ( x )= 2π [ sen3 π23 − sen30

3 ]→g ( x )= 2π [13−0 ]

Rpt : g ( x )= 23 π

4. Halla el valor promedio de la función f ( x )=a+bcosx , en el intervalo [π ,−π ]

1π−(−π )∫−π

π

(a+bcosx )dx

12π ∫−π

π

adx+ 12 π ∫−π

π

bcosdx→ 12 π

[ax+bsenx ]− ππ

12π (aπ+bsenπ−(−aπ+bsen (−π ) ) ) senπ=0

Rpt : 12 π

(2aπ )=a

5. Halla el volumen el sólido que se forma cuando se tiene como base una circunferencia x2+ y2=4 y sobre esta se encuentra una sección triangular h=5 moviéndose perpendicularmente sobre la base

dy

5

x

x

dv=At∗dy

v=∫−2

2

At .dy→v=∫−2

2

5 xdy

x2+ y2=4 x=√4− y2

v=∫−2

2

5√4− y2dy y=2 senθ ᶺ dy=2cosθdθ

v=∫−π2

π2

5√4−4 sen2θ .2cosdθ→20∫−π2

π2

√1−sen2θ .cosθdθ

v=20∫−π2

π2

cos2θdθ→20∫−π2

π21+2cos2θ

2

Rpt :10(θ+ sen2θ2 )−π

2

π2 =10 π

6. Hallar el volumen que genera el líquido en su interior si el cilindro es inclinado tal y como se muestra en la figura. El radio de la base es 2

v=∫−2

2

Atdx→ At= y . z2

y=√4−x2

Por semejanzas de triángulos:

2y=10

z→z=5 y por lo tanto: z=5 √4−x2

v=∫−2

2 5√4−x2√4−x2

2dx→ 5

2∫−22

(4−x2 )dx

v=5∫0

2

(4−x2 )dx Rpt :5[4 x− x3

3 ]0

2

=803

7. Se ubica un triángulo en el plano con las sig. coordenadas A (1,2) B (2,3) y C (3,1). Hallar el volumen que se obtiene al girar dicho triángulo

L AB=3−22−1

= y−2x−1

→x+1= y

LBC=3−12−3

= y−2x−3

→−2x+7= y

L AC=2−11−3

= y−1x−3

→ y=−x+52

dv 1=π (r 12−r 22)dx

v1=∫1

2

π ( (x+1 )2−( 52−12 x)2)dx

v1=π∫1

2

[ x2+2x+1−( 254 −52x+ 14x2)]dx

v1=π∫1

2

[ 34 x2+ 92

x−214 ]dx→π [ 14 x3+ 9

4x2−21

4x ]1

2

→v 1=134

π

v2=∫2

3

π [(7−2 x )2−( 52− 12 x)2]dx

v2=π∫2

3

[49−28 x−4 x2−( 254 −52x+ 14

x2)]dxv2=π∫

2

3

( 154 x2−512

x+ 1714 )dx

v2=π ( 1512 x3−514

x2+1714 )

2

3

→v 2=124

π

Rpt :v 1+v 2=134

π+ 124

π=254

π

8. Hallar el volumen que se genera al rotar el triángulo alrededor de la recta x=5

v=∫1

3

π ( r12−r22 )dy donde :r 1=5−x=5− yr 2=2

v=∫1

3

π [ (5− y )2−22 ]dy→v=π∫1

3

(25−10 y+ y2−4 )dy

v=π∫1

3

( y2−10 y+21 )dy→v=π [ y33 −10 y2

2 +21x ]1

3

Rpt :v=27π−493

π=323

π

9. Hallar el centroide de la región generada por :y=√x x∈ [1,4 ]

A ( R )∫1

4

√x dx→ [23 x32 ]1

4

=23

(8−1 )=143

x= 1143

∫1

4

x .√x dx→ 314∫1

4

x32 dx→ 3

14 ( 25 x52 )1

4

= 314

. 625

=9335

y= 1

2. 143

∫1

4

xdx→ 328 [ x22 ]

1

4

=328 [ 162 −

12 ]=4556

Rpt : ( x , y )=[ 9335 , 4556 ]

10. Hallar el centroide que se encuentran entre f ( x )=x2 y g ( x )=√ x

x2=√ x x (1−x3 )=0 (1,1 ) y (0,0)

A ( R )=∫0

1

(√x−x2 )dx→ [ 23 x32− x3

3 ]0

1

=13

x= 113

∫0

1

x (√ x−x2)dx→3∫0

1 (x32−x3)dx→[ 25 x

52−14

x4]0

1

= 920

y= 113.2∫0

1

(x−x 4 )dx→ 32 [ x22 −

x5

5 ]0

1

=32 . 310=

920

Rpt : ( x , y )=[ 920 , 920 ]

11. Hallar el volumen de un sólido en revolución usando el teorema de pappus donde se tiene un cuadrado de lado 2 que rotara con respecto a la recta que pasa por los puntos (0,5) y (6,0)-Entonces centroide por deducción (1,1)

5−00−6

= y−0x−6

→−56= y

x−6

0=6 y+5 x−30

d=|Ax1+By1+C|

√a2+b2→|5 x+6 y−30|

√52+62=

|5+6−30|√61

= 19√61

V=4.2πr=8πd→Rpt :8 π 19√61

=152√61

12. Hallar el volumen que se forma al hacer girar la región definida por y=1−x2

Con respecto al eje que pasa por los puntos (0,3) y (2,0)

X=0 ya q la parábola es simétrica

y=1−x2

0=(1−x)(1+x)x=1 x=−1

A ( R )=∫−1

1

(1−x2 )dx→(x− x3

3 )−1

1

= 43

y=38∫−1

1

(1−2 x2+ x4 )dx

y=38 [ x−23 x3+ 1

5x5]

−1

1

=38 (1−23+ 15 )−38 (−1+23−15 )=25

Hallar la recta 3−00−2

= y−2x−2

→0=2 y+3 x−6

d=[3 x+2 y−6 ]

√9+4=

|3 (0 )+2( 25 )−6|√13

=

265

√131

= 265√13

V=2πd . A→Rpt : 43.2π ( 26

5√13 )= 20815√13

Zeta Mendez Leshly --------------------- aula B55