Aplicaciones del cálculo a la ingeniería

Rivera Cervantes Abel

Universidad Peruana Unión

LAS MATEMÁTICAS EN LA INGENIERÍA

El objeto formal de la ingeniería es la mejora de la calidad de vidade la humanidad, su objeto material es la naturaleza. El términonaturaleza es muy amplio, un primer acercamiento a su significadolo encontramos en el orden semántico que los diccionariosexplican como el “conjunto de seres y cosas que forman eluniverso y en los que no ha intervenido el hombre”.

CÁLCULO EN LA INGENIERÍA

El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócritocalculó el volumen de pirámides y conos, se cree queconsiderándolos formados por un número infinito de secciones degrosor infinitesimal (infinitamente pequeño).

EUDOXO Y ARQUÍMEDES

Utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de uncírculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonosinscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con númerosirracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formularuna teoría sistemática del cálculo.

DERIVADAS PARCIALES

Las Derivadas Parciales son utilizadas en ingeniería paradeterminar la velocidad o el ritmo de cambio de una función devarias variables respecto a una de sus variables independientes,es decir, la derivada de una función de dos variables, mide larapidez de cambio de una de ellas llamada “variable dependiente”en relación con la denominada “variable independiente”.

POR EJEMPLO

Si z = 𝑥2 - xy + 3𝑦2 se tiene que𝜕𝑧

𝜕𝑥= 2x – y . Y que

𝜕𝑧

𝜕𝑦= -x + 6y.

Geométricamente, una ecuación z = f(x, y) define unasuperficie en un espacio tridimensional; si los ejes x e y son

horizontales y el eje z es vertical, entonces𝜕𝑧

𝜕𝑥y

𝜕𝑧

𝜕𝑦representan

los gradientes de dicha superficie en el punto (x, y, z) en ladirección de los ejes x e y, respectivamente.

Las derivadas parciales también se pueden calcular parafunciones con más de dos variables, considerando que todas lasvariables menos una son constantes y derivando con respecto aésta. Utilizando este procedimiento es posible calcular derivadasparciales de orden superior. Las derivadas parciales sonimportantes en las matemáticas aplicadas, pues existen funcionesque dependen de diversas variables, como el espacio y el tiempo.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

En matemática, una

derivada parcial de una

función de diversas

variables, es su derivada

respecto a una de esas

variables manteniendo las

otras como constantes.

Las derivadas parciales

son útiles en cálculo

vectorial y geometría

diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x serepresenta con cualquiera de las siguientes notacionesequivalentes:

df/dx = dxf = f’x

Donde ∂ es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...),es decir:

A = f (x, y, z,…)

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permiteobtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en unpunto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de laincógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.

Analíticamente el gradiente de una función es la máximapendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientrasvisto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indicahacia donde hay mayor variación en la función.

APLICACIÓN EN LA FÍSICA MATEMÁTICA

Algunos ejemplos típicos de ecuaciones en derivadas parcialesson:

Ecuación de Difusión del Calor:Es la clásica ecuación unidimensional de difusión del calor, desegundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝑐2 ∗

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2

ECUACIÓN DE ONDA

Es la clásica ecuación de onda unidimensional, que describefenómenos de tipo oscilatorios y es también de segundo orden,lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2= 𝑐2 ∗

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2

ECUACIÓN DE LAPLACE

Esta es una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal,homogénea y de coeficientes constantes, describiendo potencialeseléctricos o gravitatorios o procesos de difusión en los que se haalcanzado un equilibrio térmico.

𝜕2 𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2= 0

ECUACIÓN DE POISSON

Es también una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal,de coeficientes constantes, pero no homogénea.

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2= 𝑓 (𝑥, 𝑦)

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES

Acá se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas comogeométricas de las integrales múltiples como específicamente paraintegrales dobles y las integrales triples.

APLICACIONES EN LAS INTEGRALES DOBLES

• Tienen muchas aplicaciones: una de las que más aplicadas es laTransformada de Fourier, que se utiliza para el tratamiento digitalde señales: con eso se hacen las barritas que se ven que bajan ysuben en los equipos de sonido y los reproductores de música.

• Para hallar volúmenes en ingeniería civil (aunque hay equipospara hacerlo), áreas en ingeniería textil. (También hay equipospara hacerlo), para hallar la catenaria de un cable en ingenieríaeléctrica (también hay software para hacerlo).

• Puede que se utilicen en el diseño de líneas de transmisión,eléctrica o electrónica, antenas, puentes colgantes.

DENSIDAD Y MASA

Conociendo las integrales dobles, podemos considerar una láminacon densidad variable. Supongamos que la lámina ocupa unaregión D del plano xy y su densidad (en unidades de masa porárea unitaria) en un punto (x,y) en D está dada por ρ(x,y), donde ρes una función continua en D. Esto significa que:

DENSIDAD Y MASA

Conociendo las integrales dobles, podemos considerar una láminacon densidad variable. Supongamos que la lámina ocupa unaregión D del plano xy y su densidad (en unidades de masa porárea unitaria) en un punto (x,y) en D está dada por ρ(x,y), donde ρes una función continua en D. Esto significa que:

𝜌 𝑥, 𝑦 ≈ 𝐿𝑖𝑚∆𝑚

∆𝐴

Donde ∆𝑚 𝑦 ∆𝐴 son la masa y el área de un pequeño rectánguloque contiene a 𝑥, 𝑦 y el límite se toma cuando las dimensionesdel rectángulo se aproximan a 0. Para hallara la masa total 𝑚 de lalámina, dividimos el rectángulo R que contiene a D, en sub-rectángulos Rij del mismo tamaño y consideramos que ρ(x,y) es 0fuera de D. Si escogemos un punto (𝑥∗𝑖𝑗, 𝑦∗𝑖𝑗) de Rij, entonces lamasa de la parte de la lámina que ocupa Rij es aproximadamente𝜌(𝑥∗𝑖𝑗, 𝑦∗𝑖𝑗)∆𝐴, donde ∆𝐴 es el área de R (𝑥∗𝑖𝑗, 𝑦∗𝑖𝑗). Si sumamostodas estas masas, obtenemos una aproximación a la masa total:

𝑚 =

𝑖=𝑗

𝑘

𝑗=1

𝑗

𝜌(𝑥∗𝑖𝑗 , 𝑦∗𝑖𝑗)∆𝐴

Si ahora aumentamos el número de sub-rectángulos, obtenemosla masa total m de la lámina como el límite del valor de lasaproximaciones.

Los físicos también consideran otros tipos de densidad que sepueden tratar en la misma manera. Por ejemplo, si una cargaeléctrica se distribuye sobre una región D y la densidad de carga(en unidades de carga por área unitaria) está dada por σ(x,y) enun punto (x,y) en D, entonces la carga total Q está dada por:

𝑄 = 𝜎 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

D

RADIO Y ROTACIÓN

Su concepto implica al punto en el que la masa se concentra sinque los momentos respecto de los ejes cambien. Su nomenclaturaobedece al orden del momento involucrado, su cálculo se hace enconsideración del momento cruzado al eje respectivo, así,podemos decir que:

( 𝑿, 𝒀 )

( 𝑿 ) = 𝑰𝒚

𝒎

( 𝒀 ) = 𝑰𝒙

𝒎

APLICACIONES DEL CÁLCULO EN LA INGINIERIA AMBIENTAL

• En la práctica profesional de la ingeniería ambiental, enmuchos casos, se hace necesario conocer el caudal de unrío, que es la velocidad que lleva el agua y que es funciónde los meses del año, ya que ésta información permiteconocer con buena precisión el balance hidrológico quetiene ésta corriente de agua, además que son datosbásicos para la construcción de obras hidráulicas comopresas o acueductos, y para determinar las causas deincremento o disminución extremos en el caudal del río.

EJERCICIO APLICATIVO

Si se sabe que la cantidad de agua que pasa por un río en unperiodo de tiempo es igual al área encerrada por el eje x y la curvaen el intervalo de tiempo correspondiente, ¿Cuál es la cantidad deagua en hectolitros que pasa por un río en un año?, teniendo encuenta que la función que mide el caudal en función de los mesesdel año está dada por:

F(x) = 3 + 2 cos πx/6

Entonces:

Volumen = ∫_0^12〖(3+2 cos〖πx/6) dx〗 〗

V = 3x+ 12/π sen πx/6

F (12) = 36, F

Estas son algunas de las aplicaciones tanto físicas comogeométricas de las integrales múltiples, específicamente para lasintegrales dobles por ende que se utiliza en la ingeniería.

EJEMPLOS APLICADOS A NUESTRO ENTORNO

1) Una compañía planea gastar 10.000 dólares en publicidad. Cuesta 3.000dólares un minuto de publicidad en la televisión y 1.000 dólares un minuto depublicidad en la radio. Si la empresa compra x minutos de comerciales en latelevisión e y minutos de comerciales en la radio, su ingreso en miles dedólares, está dado por:

f(x,y) = -2x2 – y2 + xy + 8x + 3y

¿Cómo puede la empresa maximizar su ingreso?

Solución:Se tiene el programa no lineal siguiente:

Max z = -2x2 – y2 + xy + 8x + 3y

s.a 3x + y = 10

Entonces: L (x, y, λ) = -2x2 – y2 + xy + 8x + 3y + λ (10 - 3x - y)

Hacemos 𝜕L

𝜕x=

𝜕L

𝜕y=

𝜕L

𝜕𝛌= 𝟎

𝜕L

𝜕x= −𝟒𝒙 + 𝒚 + 𝟖 − 𝟑𝛌 = 𝟎 (Ec. 1)

𝜕L

𝜕y= −𝟐𝒚 + 𝒙 + 𝟑 − 𝛌 = 𝟎 (Ec. 2)

𝜕L

𝜕𝛌= −𝟏𝟎 − 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟎 (Ec. 3)

Obsérvese que 10 - 3x -y = 0 se convierte en la restricción 3x + y = 10. La ecuación (1) da y = 3λ – 8 + 4x y la ecuación (2) da y x = λ – 3 + 2y. Así, y= 3λ – 8 + 4(λ – 3 + 2y) =

7λ – 20 + 8y, 𝑦 =20

7− 𝛌 (Ec. 4), 𝑥 = 𝛌 − 3 + 2

20

7− 𝛌 =

19

7− 𝛌 (Ec. 5)

Sustituyendo (4) y (5) en la (3), obtenemos, 4 λ - 1 = 0 ⇒ λ =1

4.

Entonces (4) y (5) nos dan

𝑦 =20

7−1

4=73

28; 𝑥 =

19

7−1

4=69

28

El hessiano f (x,y) es H 𝑥, 𝑦 =−4 11 −2

= 7

Ya que cada mejor principal de primer orden es negativo, y H2 𝑥, 𝑦 =7 > 𝑂, f(x, y) es una función cóncava. La restricción es lineal y, por lotanto da la solución óptima para el programa no lineal.

Así, la empresa tendría que comprar 69/28 minutos de tiempo entelevisión y 73/28 minutos de tiempo en la radio. Ya que l = ¼, el gastode un D extra (en miles) (para un D pequeño) aumentaría los ingresosde la empresa en aproximadamente 0.25 D dólares (en miles).

En general, si la empresa tiene a dólares para gastar en lapublicidad, se puede demostrar que λ=(11-a)/4 . Vemosque si gasta más dinero en la publicidad, el incremento enel ingreso porcada dólar adicional para la publicidad sehace más pequeño.

EJEMPLO 2.

• Tres estudiantes de ingeniería comercial se asocian para importar dos tipos de bebidas energéticas.

Cuentan con U$8.000 para realizar la importación de bebidas.

• Si x son las unidades de bebidas energéticas importadas desde Holanda, estiman que venderán12𝑥

𝑥−6

unidades de esta bebida, a un precio de U$200. Cada una.

• Si y son las unidades de bebidas energéticas importadas desde Alemania, estiman que venderán24𝑦

𝑥+3

unidades a un precio de U$200. Cada una.

• Si el costo por unidad vendida de cada bebida es de U$50.

a) Determinar cuántas unidades de cada bebida energética deben importar para maximizar su

utilidad.

b) Determinar la utilidad máxima.

SOLUCIÓN:

a) 𝑈 𝑥, 𝑦 = 𝐼 𝑥 − 𝐶 𝑥 =12𝑥

𝑥+6200 +

24𝑦

𝑦+3200 −

12𝑥

𝑥+650 +

24𝑦

𝑦+350

s.a. 50𝑥 + 50𝑦 = 8000

𝐿 𝑥, 𝑦, λ =12𝑥

𝑥+6150 +

24𝑦

𝑦+3150 + λ 50𝑥 + 50𝑦 − 8000

𝑑𝐿

𝑑𝑥=

108000

(𝑥+6)2+ 50λ = 0

𝑑𝐿

𝑑𝑦=

108000

(𝑦+3)2+ 50λ = 0 => 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑦 = 81,5 ; 𝑥 = 78,5

𝑑𝐿

𝑑λ= 50𝑥 + 50𝑦 − 8000 = 0

b) 𝑈 78,5; 81,5 =12 . 78,5

78,5+6150

24 . 81,5

81,5+3150 = 5144,7 Dólares.