1. QA603 G69FRANCISCO GRANERO1111111111/1 1/11111111 1/11111111l1li1111/111/1/ 11111111111110233000604CALCULO INTEGRAL YAPLICACIONES francisco Granero

2. http://carlos2524.jimdo.com/ 3. http://carlos2524.jimdo.com/Clculo Integral yAplicaciones 4. , .http://carlos2524.jimdo.com/ ", I ~ ", . i" ",,:: ,; ". . : ~. . , . ". "lt: : 1. 5. http://carlos2524.jimdo.com/ Clculo Integral y AplicacionesFrancisco GraneroDoctor Ingeniero Industrial Profesor Titular de Matemtica AplicadaE.T.S . Ingenieros Industriales y de Telecomunicaciones de Bilbao Universidad del Pas Vasco - Euskal Herriko UnibertsitateaPrentice ------ Hall Madrid. Mx ico. Santaf de Bogot . Buenos Aires. Caracas. Lima . MontevideoSan Juan. San Jos . Santiago. Sao Paulo White Plains 6. http://carlos2524.jimdo.com/ /datos de cata logacin bibliogrficaGRANERO, F.CLCULO INTEGRAL Y APLICACIONESPEARSON EDUCACI N, S. A., Madrid, 2001 ISBN: 84-205-3223-1 Materia: Clculo integral:517F o rmalo 195 X 250 Pginas: 312Todos los derechos reservadosNo est permitida la reproduccin total o parcial de esta obrani su tratamiento o transmisin por cualquier medio o mtodo,si n autorizacin escrita de la Editorial.DERECHOS RESERVADOS 200 1 PEARSON EDUCACIN, S. A.Nez de Balboa, 12028006 MADRIDFRANCISCO GRANEROCLCULO INTEGRAL Y APLICACIONESISBN: 84-205-3223-1Depsito legal: TO. 1112- 2001PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIN, S. A.Equipo editorial:Editora: Isabel CapellaAsistente editorial: Sonia AyerraEquipo de produccin:Director: Jos Antonio CIaresTcnico: Jos Antonio HernnDiseo de cubierta: Mario Guindel, Yann Boix y La SenzComposicin: COPIBOOKImpreso por: GRAFILLESIMPRESO EN ESPAA - PRINTED IN SPAINEste li bro ha sido impreso con papel y tintas ecolgicos 7. http://carlos2524.jimdo.com/A Alicia, Patxi, Joseba y muy especialmente a Arantza 8. http://carlos2524.jimdo.com/ 9. http://carlos2524.jimdo.com/eontenidoPRLOGO XI1. INTEGRALES DEFINIDAS SIMPLES ......... . ..... ..... . .. ... ......... ... . . 1.1. La integral de Riemann . . . . . ........................................ . .... 1Algunas condiciones suficientes de integrabilidad .. ... .... .......... ....... 4Propiedades de la integral de Riemann ... . ......................... . . .. . ... 5Teoremas fundamentales del Clculo integral . . ..... .. .. ... ................ 8Aplicaciones al clculo de reas planas ............... . . . .......... .. ...... 9Generalizacin de la regla de Barrow .. ..... .. .... .. ..... .. . . .... .. . ... ....11 1.2. Integrales impropias . . .. . . .. ... ... ..... . . . .... . ...... .. .. . ........ . . .. . .. 12Carcter de una integral impropia ..... .......... ..... .. .... ..... . ... ... .... 13Caso en el que el intervalo de integracin es infinito ..... . ...... . . . . . .... .. 14Caso en el que la funcin subintegral f(x) no es acotada ..... .. .... ... ... . .16 1.3. Integrales eulerianas ............... .. . ...... . .. . . . . .. .. ............ . ..... . 17Convergencia y clculo de la funcin rep) .............. . . ... .. . .. . ... . .... 17Prolongacin de la funcin Gamma .... ......... . ... .. . .... . . .. ...... . .. ...20La funcin euleriana B(p, q) .. .... ... .. . .. ... .. ..... .. ...... .. . ...... . .. .. . 21 1.4. Integrales paramtricas .. . ...... .... . . .. .. . ... . . . ...... ... . . ....... . .. . .. 25Propiedades de las integrales paramtricas . .. . ................. .... . .. . ....26Aplicaciones de la derivacin paramtrica .. .. . . . .. . ...... . .. .. .. . ... ...... . 29 1.5. Aplicaciones de la integral definida simple .......... . ..... . ...... . . .. .... 29reas planas en coordenadas paramtricas y polares ..... ... .... . . .... .. . .. .30Longitud de un arco de curva .. .... .... ............... . .. . .. . .. . . . .........33 10. http://carlos2524.jimdo.com/VIII ContenidoVolumen de un slido de secciones conocidas . .... . .. . . .. .. ... . .... . . .. . ..38Volumen de un slido de revolucin .... . .......... . . . .. . . . .... . ... .. . . .. . .40rea lateral de un slido de revolucin ..... .. ...... . .... . .. ....... . ..... . . 41Centros de gravedad o centroides . .. .......... . . . ... . .......... . .... .... . . . 44Momentos de inercia . . .............. . . . ..... .. .. .. . . .............. . ... ... .50 Ejercicios resueltos ....... . . . .. . . ... . . . .. .... . . .... .. ...... . . ...... . . . .. . ... ....58 Ejercicios propuestos ... . . .. . .. . . . ............ . .... . .. . .. .. . . ... . .. . ............ 83 2.INTEGRALES CURVILNEAS....................... . . . . . ... . .. .. . ... . . .. . ... 99 2.1.Introduccin... .. .. . . . .. . .. . ... . ... . ..... .. . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99 2.2.Integrales curvilneas en R 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . .. . .. . . 99 Propiedades ................ . .. . .. . . . .. . . .. .... . ........ ....... ... .. . . .. ....100 Resolucin de una integral curvilnea en R2 .. .. . . . . . . . .. . ... ... . . . ... .. .. . . . 101 2.3.Integrales curvilneas en R 3 . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ... . . . . 105 2.4.Integral curvilnea de una funcin vectorial en R 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 109 Propiedades y clculo .............. . ... .. .......... . .... ... .... ...... .. . ..109 Independencia del camino. Funcin potencial ..... . .. . .. . ...... . .. . .. . .. . . .111 Independencia del camino con puntos singulares . . ... . ... . .. . .. . .. ..... . ...115 2.5.Integral curvilnea de una funcin vectorial en R 3 .. . . .. .... . . .. .. 117 Ejercicios propuestos .. ............ . ..... . ..... . ... .. . .. .... . . . .... . .... .. . .....1193. INTEGRALES DOBLES.. ... ............. ... .. . . .. . . . . .... . .. . ...... . . . ... ....125 3.1.La integral doble . .. .. . .. . . .. ..... . ... . .. .. . .. . . ... .. . .. . .. . . ... . .. .. . . . . .125 Clculo de reas planas ... . .. . . ................. . . .. . ... . . . ...... .. . . ...... 125 Clculo de volmenes . . .. . . ......................... . ..... . ... . ... . .... . ..127 Cambio de variables en una integral doble ..... . . . ...... . .............. .. . . 131 Teorema de Green .. . . . . .. . .... . ... . .................. . ... . . . ........ . .... . 135 Simplificaciones en el Clculo de una integral doble . .. . .. . ..... . .. . . . . .. ..139 Clculo de reas de superficies .............. . ................ .. ........... 140 Integral de superficie de una funcin escalar .... ... . .. .. ... . . .. ... . .. .. ... .143 Integral de superficie de una funcin vectorial . .. . .. ... . . . ... . ... .. ... . . . . . 146 Teorema de Stokes ............. . .. . ...... . . . ...... . ...... .. . . . ....... . ... . 149 Ejercicios resueltos .... . .. . .. . ......... . ..... .. . . ......... . . .... .. . . . .. .. .. ... .. 155 Ejercicios propuestos ...... . ........ . ... . ......... . ...... ... ........ . ..... . .. . . . 1624. INTEGRALES TRIPLES .. ....... . .. . .. . ...... .. . ... . .... . .. . ........ . .. . .....165 4.1.La integral triple . .... . .. . . .. .. . .. . . . ...... . ...................... . ... .. . . 165 Cambio de variables en una integral triple . .. . .... . .............. .. . ...... .168 Lmites de integracin en cilndricas y esfricas .... ... . .. . . . . .. .. .. .. .... . . 170 Simplificaciones en el clculo de una integral triple .. . . ... .. . . . .......... . . 175 Teorema de Gauss-Ostrogradski . ... . ........ . .. . .. . .. . ............ .. .. . . . . 176 Interpretacin vectorial de los teoremas de Gauss y Stokes . . . .. .. ..........177 Otras aplicaciones de las integrales mltiples . .. .. .. .. .. . . ... . . . .... . ..... . 184 Integrales doble y triple de Dirichlet . .. . .... .. . ... . . ... .... .. ...... . . ... . . . 189 Ejercicios resueltos ... . ... . . . .. . ......... . ... . ..... . ......... . .. . ... . ...... ... .. 193 Ejercicios propuestos . . . .. . . . ... . .. . .. . . .. .. .. .. . .... .. ....... ... .. . ... .. .... . .. 199 11. http://carlos2524.jimdo.com/ Contenido IX TEMAS DE REPASOTI.MTODOS DE INTEGRACIN ..... .. ...... . ......... . . .. . . ........ .. .. . . ..207T1.1.La integral indefinida ... . .. ............. .. . ... . .. .. . . . .... . .. . . .. .. ..207TI.2.Integrales inmediatas ........ .. ... .. ...... . . ... ..... . ... .. . . ...... . ...209T1.3.Mtodos usuales de integracin .. ..... ............ .... . . ......... . . . .211 Integracin inmediata por simple observacin . . .... ... .. . .. ... . .. ......211 Integracin por descomposicin o transformacin de la funcin f(x) . . ..212 Integracin por partes ............ . ................ . . .. ... . ............ 213 Integracin mediante cambios de variable ....... ... ..... ... . .... . ...... 215 Integracin por recurrencia ....... . .... . ..... . . .. ......... . ........ ....217TI.4.Integrales de funciones racionales ...... ... .... ................ . . .. ... 219 Resolucin de integrales racionales por el mtodo de Hermite ..... . .. .. 223T1.5.Transformacin de diversos tipos de integrales en integrales racio- nales . ..... ......... . ... . ...... . ..................... . ......... . ....... 225 Integracin de las funciones R (sen x, cos x) .. ...... .... .... . ... .. . .. . .. 225Integracin de las funciones R (x, J ax + 2bx + e) .................. . .2232Integracin de las funciones R [x, (ax + b)PI", (ax + b)/"IS, ... ] .... ... .234 ex + dex + dIntegracin de las funciones del tipo xlll(a + bx")J . ... ... .. .... ... .. . . . .235Integracin de las funcio nes del tipo R(c{") .. . .... . . . ............ . ......237T1.6. Integracin aproximada .. .... .. ........... . .. ......... .. ... .... ...... 237Introduccin .. . ..... . ..................... .. .. . ...... ... . . . . . .. . ....... 237Aproximacin mediante desarrollo en serie ..... . ... .. ......... . ........ 238Aproximacin mediante el mtodo de Simpson .. . ....... . ... . .. . .. . . . ..240Ejercicios resueltos .. ... . . . .. .. ..... . .. . .. . .. . .......... . .... ... .. ... ........... 244Ejercicios propuestos .. .... .. . ...... . . .. .. . .. . ... . .. .. .... . . . ......... ........ .. 249T2. CURV AS y SUPERFICIES ... .... .. . ..... ... . .. . . . ....... ... .... . . .. . .. .. ...255T2.1. Introduccin......... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255T2.2. Secciones cnicas .. . .... ....... . .. ... .......... . . . .. . . . . .... . . . .. . .. . . 259T2.3. Curvas en R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262T2.4. Recta tangente a una curva alabeada en un punto de la misma ..... 264T2.5. Superficies en general .. .... ............. ... ....... .... . . . ...... . .....267T2.6. Curvas sobre una superficie ..... . . ..... ....................... . ... . ..270T2.7. Plano tangente y recta normal a una superficie en un punto de lamisma ... .... .. . . .. . ......... .. ............. ... ............ .. . .. . .. .. .272 T2.8.Superficies de revolucin ............. . .. .. .. . .. . .. . ............ ... . ..273 T2.9.Superficies regladas .. ...... . ........ . ........ ... ... ............ . .. .. . 276 Superficies cnicas o conos ... . ........ . ...... ... . .. ... . ... .... . .... ..276 Superficies cilndricas o cilindros .. . .. . .. .. .... . .. . . . .... . ........ .. ... 279 Superficies cuadrticas o cudricas .... . ... .... . .. ........ ......... . ...284REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS291NDICE .... .. .. . ...... .. . .. ... . . ..... . . . .......... .. . . .. . .. .. . . .... ...... ...... . .... 293 12. http://carlos2524.jimdo.com/ 13. http://carlos2524.jimdo.com/ Es al mismo Arqumedes a quien hace 2.200 aos se debe el primer enfoque de la verdadera integracin: obtuvo que el rea de un seg- mento parablico es los cuatro tercios de la del tringulo con iguales base y vrtice, o lo que es lo mismo (cuadratura de la parbola), los dos tercios del paralelogramo circunscrito.Dos son los motivos por los que este libro, Clculo Integral y Aplicaciones, ha sido publicado.El primero resulta evidente, ya que durante un segundo cuatrimestre deber explicarse su conte-nido, exceptuando algunas aplicaciones de la integral, a nuestros alumn os de primer cursode Ingeniera. stos, conjuntamente con los estudiantes de Ciencias de cualquier Facultad o Es-cuela Superior, constituyen, pues, sus primeros y ms directos destinatarios.Sin embargo, no ha sido escrito pensando nicamente en ellos. Hay un segundo motivo de-bido a la existencia de otros destinatarios, a los que me referir despus de comentar la estructu-ra de este libro, en la cual han tenido tanta influencia como los anteriores.Se ha dudado, y mucho, del lugar que debiera ocupar el tema Mtodos de Integracinque, .aunque finalmente ha sido relegado a tema de repaso, lo consideramos el ms necesario detodos y es en el que, conj untamente con el primer tema Integrales definidas simples, ms noshemos esmerado.Estos dos temas, por el modo en que han sido estructurados, constituyen la herramienta fun-damental que permitir manejar con eficacia los restantes conceptos del texto, o dicho de otraforma, aquellos estudiosos que se enfrenten a ambos temas y salgan con pie firme, poco ha desuponerles vrselas con las integrales curvilneas, dobl es, de superficie, triples, campos vecto-riales y todas las aplicaciones.De ninguna de las integrales mltiples hemos necesitado sus definiciones, dado que han sidoobtenidas a partir exclusivamente de la integral simple de Riemann, definida y desarrollada deun modo exhaustivo en nuestro primer tema.Por lo que respecta al clculo de las integrales mltiples, recuerdo que en mi poca de estu-diante nunca llegu a manejarlas con soltura; ello se debi a los numerosos cambios en el ordende integracin que entonces con tanta frecuencia se nos exiga. Esta experiencia y, claro est, la docente, nos ha guiado en muchos ejemplos del libro; enellos se presentan y discuten las pautas y caminos a segu ir para llevar a buen trmino el clculo 14. http://carlos2524.jimdo.com/XII Prlogo de las integrales dobles y triples. Asimismo, se aconseja (en funcin de las superficies que inter- vienen) el tipo de coordenadas a utilizar y los rdenes ms convenientes de integracin. Las aplicaciones de la integral , los centros de gravedad, momentos de inercia, clculos apro- ximados, etc. , se definen y resuelven utilizando, cuando es posible, las tres integrales: simples, dobles y triples, indicando en cada caso la conveniencia del empleo de una u otra de ellas. En la Teora de Campos (Captulo 4), desde un punto de vista vectorial se definen y de- muestran varios notables teoremas, algunos de los cuales tuvieron su origen en la Fsica: El teorema de Green (descubierto en 1828) apareci en relacin con la teora de los potenciales elctrico y gravitatorio. El teorema de Gauss (1845) -tambin debe sealarse como autor el matemtico ruso Ostrogradski- surgi con relacin a la electrosttica. El teorema de Stokes fue sugerido por primera vez al mismo en una carta que le enviara, en 1850, el fsico Lord Kel- vin; Stokes 10 utiliz para la concesin de un cierto premio en 1854. Ha llegado el momento de referirnos a los otros destinatarios de este libro. Ellos son anti- guos ingenieros que por determinadas circunstancias desean recordar algunas materias o apren- der otras. Considero que una buena forma de hacerlo es trayendo aqu varias respuestas de un gran tcnico sobre cuestiones relacionadas con la integral. Las respuestas de Pedro G. S., coinci- dentes con las de muchos amigos ingenieros, son las siguientes:En mi trabajo nunca he utilizado integrales. En cierta ocasin las necesit para calcularla superficie exacta de una estructura y me lo resolvi otro profesor.Fuera del trabajo las he necesitado en ocasiones y siempre por el mismo motivo. lti-mamente con relativa frecuencia, mi hijo y un compaero suelen exigirme que les re-suelva algunas integrales, lo cual consigo a veces.Hace unos meses, al entregarle varias integrales resueltas exigidas por algn familiar, le adjunt mis apuntes sobre Mtodos de integracin (prcticamente iguales que los de este li- bro) e intent convencerlo para que los leyera como una novela, aunque con un bolgrafo en la mano. El resultado fue el siguiente: no recordando inicialmente gran parte de las derivadas, logr resolver en una semana (veinte hora,s) todas las integrales que en el tema mencionado aqu se presentan. Actualmente, < O), se tiene:11 m(b - a) ~ImLU ~IMLU ~ M(b - a) i= 1= 1Es claro que todos los miembros de las desigualdades, representan reas de valor positivo(producto de factores positivos) . En el caso de que f(x) < 0, obviamente dichos productos da-rn lugar a un valor negativo.Las reas intermedias: 11 Sl (P]) =Imi~x,SI(P 1 ) =I MLU = 1 = 1reciben respectivamente el nombre de suma inferior y suma superior, correspondientes a la par-ticin P l Realizando seguidamente otra particin P 2 ms fina que P 1 (P 1 e P 2) es inmediato que seproducen las desigualdades: --S2(P 2) ~ SI(P 1 )/ S2(P 2) ~ SI(P l ) V Pi Pj : s(p)~S(P)Efectuando indefinidamente particiones P 3 P 4 ... , PI/l cada vez ms finas, resultarn dossucesiones {Sil} y {SI/l } cuyos trminos y comportamiento hemos presentado en la Figura l.2,ideada por nosotros con el fin de dejar bien fijado este importantsimo concepto.Al ser la sucesin {sl/l} montona creciente y estando acotada superiormente por todas lassumas superiores, tendr extremo superior (lmite de esta sucesin). El citado extremo que de-notaremos por s, se denomina Integral por defecto de f(x) en el correspondiente intervalo.Igualmente suceder con la sucesin {SI/l} cuyo lmite (S) se denomina Integral por exce-so de f(x) en el intervalo [a , b].En el caso de que s = S, o sea si:lim sl/l = lim SI/l m - oom - ooentonces se dice que y = f(x) es integrable segn Riemann en el intervalo [a, b]. 17. http://carlos2524.jimdo.com/Integrales definidas simples3 A (reas) M(b-a) , SI, S211, S31IIIII SIIIIIIII , sm11 11s31 T SI+ Is2111m (b - a)11 I 11 I 11 I II IPo P 1P2P3 ............ PmP (particiones) Figura 1.2Dicho valor comn, recibe el nombre de Integral definida simple de Riemann y se repre-senta por:s= S=ff(x) dxEs inmediato deducir que la anterior igualdad Iim s", = lim implica doblemente (vase Fi- SIIlgura 1.2) que el valors; puede hacerse tan pequeo como se desee, sin ms que elegir unaSI11 -particin lo suficientemente fina. Consecuentemente puede darse tambin la siguiente definicinequivalente, relativa a la integracin segn Riemann: Q-La condicin necesaria y suficiente para que y = f(x) acotada en un intervalo finito seaintegrable en el mismo, es que si elegido un 8 E R+ exista una particin P tal que Sp - Sp < 8.EjemploSupongamos una [uncin y = f(x) definida en el intervalo [a = O, b = 3] de la siguiente forma:2X-+l si x EQY =f(x) = 3 2 {si xr/= Qal Determinar las sumas inferior(SI) y superior (SI) correspondientesa la particin: PI ={a=O, 1,2,b=3}b) Calcular en [O, 3] el valor de s (integral por defecto) y el de S (integral por exceso), deduciendo conello la existencia o no de la integral simple de Riemann. 18. http://carlos2524.jimdo.com/4 Clculo integral y aplicacionesRESOLUC iN514al SI = m 1 1 + 111 2 .1 + 111 3 .1 =11 + 3 I + 2] 3 223 y 32o3/2 2x Figura 1.3bl Habida cuenta de que s= lim I mi fuifui ...... O V iE { I,2 , ... ,n}1/ -+ ex) i= 1y observando la Figura 1.3 en donde hemos sombreado dos elementos de rea correspondientes al anteJiorsumatorio (s), resulta inmediato lo siguiente: s=4 (rea entre y 2 + 3 (3 a 3) = 4 9_ 3) de 2 21Asimismo S= 33)de O a -+ - ( de -15 3a 3)27 =-(24 2 4 Consecuentemente al ser s =1= S, se tendr que y = f(x) no es integrable (sentido Riemann) en el inter-valo [0, 3], o lo que es lo mi smo, que la integral simple! 1) de Riemann f: f(x) dx , no existe.Algunas condiciones suficientes de integrabilidadLa funcin constante y = f(x) = K es integrable en todo intervalo cerrado de R, pues evidente-mente (cualquiera que sea la particin), se verifica:11f [a ,b]cR,s=S= I Kfu=K(b-a) = 1(1) En lo que sigue de este Cap tulo, prescindiremos de aadir el adjeti vo simpl e para referirnos a esta integraldefinida de Riemann . 19. http://carlos2524.jimdo.com/ Integrales definidas simples5Si Y = f(x) es una funcin montona (creciente o decreciente) en el intervalo [a , b] , enton-ces es integrable en l. Efectivamente: como ambas demostraciones son anlogas, supongamospor ejemplo, que en [a, b] la funcin es montona creciente (y, por consiguiente, acotada). Eli-jamos un 8 1 E R +, y efectuemos una particin P de [a , b] en n partes iguales, de modo que la b - aamplitud de cada parte (subintervalo) - - sea menor que 8 1 , En estas condiciones y apoyn- ndonos en la Figura lA, escribiremos:SI = f(a) (Xl - a) + f(xI) (X 2 - XI) + ... + f(xll - ) (b- XIl - ) SI= f(x) (Xl - a) + f(x 2 ) (x 2 - XI) + ... + f(b) (b -x lI-l) b-aCon lo que restando y al ser X - X_ = - - , resulta:n b -aSI - sI = [f(x) +f(x 2 ) + ... + f(b) - fea) -f(x l ) -... - f(x ll - )] - - = n b - a= [f(b) - fea)] - - < [f(b) - f(a)]8 1 nConsecuentemente (f acotada) SI - sI < B => f(x) es integrable. y--_---*-_~_-L-_ _ _- L - _.......--l~xoa = xo XI X2.... XII _ I x lI=b Figura 1.4Toda funcin continua o continua a trozos en un intervalo [a , b] es integrable en el mi smo.En efecto: elijamos un 8 E R + Y efectuemos una particin P de forma que en cualquier subin -tervalo se verifique (continuidad) M - m < 8 1 , En estas condiciones:1111 SI - s/, = IM/1x -I111l1x = I(M - m)l1x < /,(b - a) = E = t= t= 1Propiedades de la integral de RiemannPuesto que la mayor parte de las propiedades que aqu presentaremos se desprenden claramentedel concepto y definicin de esta integral, prescindiremos cuando sea posible de las correspon-dientes demostraciones. 20. http://carlos2524.jimdo.com/6 Clculo integra l y aplicaciones 1.Sea y = f(x) una funcin integrable y con signo constante en [a, b]. En estas condicio- nes ff(x) dX es el valor del rea encerrada por el eje x, la curva y = f(x), y las rectas x = a, x = b. 2.Si f(x) y g(x) son integrables en [a , b] , entonces las funciones:K -f(x), f(x) + g(x),f(x) f(x) g(x), - g(x)I g(x) -=1 O 1 x E [a, b] son tambin integrables en [a, b], verificndose:f Kf(x) dx = K f ff(x) dx, [f(x) + g(x)] dx = f f(x) dx + fg(x) dx 3.f f(x) dx = O4. f f(x) dx = f f(t) dt5. f f(x) dx = f f(x) dx + r f(x) dx6. fb f(x) dx = - ar Jbaf(x) dx7. Si IxE [a, b], f(x)~ O:ff(X)dX ~O8. Si 1 x E[a , b], f(x)~ g(x):f f(x) dx ~ fg(x) dx9. f f(x) dX~ f If(x) 1dx 10. Teorema del valor medio integral Sea y = f(x) una funcin integrable en el intervalo [a , b] , Y sean m ME R tales que 1 x E [a, b], 111 ~ f(x) ~ M. En estas condiciones:Existe un valorj,l E [111, M] tal que fb f(x) dx= j,l(b - a).aEste valor j,l se denomina valor medio o valor medio integral de la funcin y = f(x) enel intervalo [a, b]. 21. http://carlos2524.jimdo.com/ Integrales definidas simples7 Si por aadidura, la funcin y = f(x) es continua en [a, b J, entonces: Existe al menos un punto e E [a , bJ tal que j-L = f(e) =ff(x)dx-,,--=--a- - - b- a(propiedad evidente puesto que por la continuidad,f alcanza todos los valores entre In y M; Yen particular alcanzar el valor {L.) Probemos pues el primer apartado: Como ti xE [a, b J In ~ f(x) ~ M, aplicando la Propiedad 8, se tiene:bmdx = m(b -fb f(x)dx fbMdx = M(b - .fa a) ~a~ a) acon lo que dividiendo por b - a, resulta:rn. ~ faf(x)dx ~M ~ existe {LE [m , MJ/{L ff(X)dX = ,,--,,--a- - -b-a b-aLa Figura 1.5 muestra, utilizando una funcin y = f(x) continua, la interpretacin geomtri-ca de este teorema. Ntese que en el segundo grfico, existen dos puntos e 1 y e 2 para los que{L = f(e l ) =f(e 2 ). y y MM , ,~ =/(c) , , , , , , m ----- ,, - -- - - - ., - - - -- --- -- - - - - -- -- - --r---- , ,m ------- OL----a~----~c--------~--~x o a xFigura 1.5Generalizacin. Consideremos dos funciones f(x), g(x) integrables en el intervalo [a , bJ,teniendo adems g(x) signo constante en dicho intervalo: SiendoIn, ME R de modo que m ~f(x) ~M , existe un valor {L E[m, M] tal que: f b f(x) g(x) dx= j-l fb g(x) dx a aSi por aadidura y = f(x) es continua en [a, b J, entonces existe al menos un punto e E [a , b Jtal que {L = f(e).La demostracin de esta generalizacin es totalmente anloga a la anterior (se parte de ladesigualdad m ~ f ~ M, se multiplican sus trminos por g, oo.). 22. http://carlos2524.jimdo.com/8 Clculo integral y aplicaciones Teoremas fundamentales del clculo integralDefinicinSea y = f(t) una funcin integrable sobre el intervalo [a , b]. Apoyndonos en quef x f(t) dt = fX f(x) dx (x E (l II [a, b])es evidentemente funcin de x (continua en el citado intervalo, como fcilmente se prueba apartir de la relacin 1), daremos la siguiente definicin:Se denomina funcin primitiva de f a toda funcin F tal quef f(t) dt = F(x)+e (1)Visto lo anterior, enunciemos y probemos ahora el siguiente teorema :Primer teorema fundamental del clculo integralSi y = f(t) es una funcin continua en el intervalo [a, b], la funcin F(x) definida en (1 ) esderivable en dicho intervalo, verificndose que F(x) = f(x).Para probarlo, veamos que existe el lmite que define a la derivada de F(x) y que el citadolmite es f( x) :dF(x)F(x) = - - = lim F(x + Lli)A"- F(x) = lim 1A " [fx+x f(t) dt - e - (fX f(t) dt - e)] = l. dx I.x~O Ll I.x~O Lla a1fX + I.X(2)1limA " f(t) dt = lim - . f(c)Lli = lim f(c) = f(x)I.x~O Llx I.x~O LliI.x~O(pues como e E [x, x + Lli], e-+x cuando Lli -+ O).IAcabamos de obtener la derivada de una integral respecto de su extremo superior (x) >>. Te-niendo en cuenta que IX f(t) dt=-f(t) dt, resultan inmediatas las siguientes relaciones quems adelante se aplicarn: -d fX f(t) dt = f(x) - d fa f(t) dt = - f(x)(2) dxadx xSegundo teorema fundam ental del clculo integ ralSi f es una funcin continua en el intervalo [a , b] y la funcin F es una de sus primitivas,entonces: ff(x) dx = F(b) - F(a) (regla de Barrow) ( 3) (2)Dado que f es continu a en [x, x + ~xle [a , bJ, podr escri birse (T. del valor medio):3eE [x, x + fu1 jf HX f(t) dI = f(e) fu ( 3) El Tema de repaso I (Mtodos de integrac i n) trata con detalle del clculo de primiti vas. 23. http://carlos2524.jimdo.com/ Integrales definidas simples 9 Este resultado se pone rpidamente de manifiesto, particularizando la relacin (1) parax = a y para x = b, es decir: para x = a: "f(t) dt = O = F(a) + e-+ e= - F(a)f" para x = b : fb f(t)dt = F(b) + e = F(b) - F(a)(3)"Aplicaciones al clculo de reas planasTeniendo en cuenta la relacin que existe entre el rea y la integral de Riemann, habiendo pro-bado mediante los anteriores teoremas fundamentales que: A(rea) = fb f(x) dx = F(b) -F(a),siendo P(x) = f(x)(4)"y razonando finalmente con elementos diferenciales (tanto en la variable x como en la varia-ble y), son inmediatos los resultados siguientes (Figura 1.6): dA 1 = [f(x) - g(x)] dx -+ Al = f [f(x) - g(x)] dx d dA 2 = [f(y) - g(y)] dy -+ A2 = f e [f(y) - g(y)] dy y L---+----,F--------------_ - -- _ x o .. ", "x f(y) - g (y)Figura 1.6 (4) Supondremos para todo lo que sigue que se domina el clculo de primitivas. 24. http://carlos2524.jimdo.com/10 Clculo integral y aplicaciones Ejemplo al Calcular el rea (A) encerrada por el eje x en el intervalo [O, 7[/ 2] y las curvas y = cosx, y = senx. bl Hall ar el rea limitada por las curvasy2 + X - 3 = O, x - y - 1 = O. RESOLUCiN al Una vez dibujada la Figura l.7 (primer grfico), se tiene:yy x = g(y)=y+ I -------:-+-----F---------+-------~ x3 L---------~--------~------~xy = cosx(- 1, -2) Figura 1.7A = Al + A 2=f "/4 sen xdx + f"/2cos x dx = -cosx J "/4 + senxJ"/2o "/4 o" /4 - j2 = 2 - j2 (calclese nuevamente mediante una nica2integral en la variab le y)Obtengamos asi mi smo el rea A 3 : [Jj2 j2 f " /4 1[/4A3 =(cosx-senx)dx= sen x+cosx= - + - - 0 - 1 =j2 - oo 22bl Efectuemos la integracin con relacin a la variable y, que evidentemente es mucho ms simple [cual-quier recta r normal al eje y, corta (en la regin) primero a una curva y luego, siempre a la otra].?dA = [f(y) - g(y) ] ely = [3 - y- - (y + J)] ely --+ A =JI? - (2 - y- 9y) ely = --2 2Para dejar bien fijados estos conceptos, se propone finalmente comprobar que el rea de la regin limi-tada por las curvas y = fex) = - X2 + 3x - 1, Y = g(x) = x 3 - 2 X2 + X - 1, es A = 37/ 12 (en caso deduda, vase el ejemplo Resuelto 2 al final de la seccin). 25. http://carlos2524.jimdo.com/Integrales definidas simples 11RecomendacionesLa aplicacin no controlada de la regla de Barrow (3), puede dar lugar a graves errores. Se hadicho anteriormente, que si la funcin f es integrable en [a, b] entonces su primitiva F es conti-nua en ese intervalo. Consecuentemente, siempre debe aplicarse (3) a lo largo de una rama con-tinua de la funcin y = F(x). Veamos algunos casos:1. El clculo: I1JIn 3n n 1=J--2 _ 11+x dx = arctg x- 1= arctg 1 - arctg ( - 1) = - - - = 4 42no es correcto, ya que al ser f(x) > O en [ - 1, 1] debera resultar (Propiedad 7) 1> O. Con-secuentemente deber tomarse la rama continua de F(x) = arctg x (Figura 1.8). Con ello, setendra:1 = arctg 1 - arctg ( - 1)= 4.n- ( - 4. = 2: n) n yyy =:rr/2-~-~~--~~- ~- ~~~-~~~- ~~ ~ -~ ~---~~-~-~~-----~x--~---~-_L-_------~x -3o Figura 1.82. Ms escandaloso todava, sera el clculo:~ dx = - ~J [~ -~)J = 4 Ji-3Xx1-3= - 1 (-3 --< O3pues en esta ocasin son dos las causas del error: F(x) = - l/x no es continua en [ - 3, 1], yadems (segundo grfico de la Figura 1.8) la funcin subintegral f(x) no est acotada en dichointervalo, lo cual fue una de las exigencias que se impusieron a la integral de Riemann.Aunque el tipo de integrales en las que y = f(x) no est acotada en algn o algunos puntosdel intervalo de integracin se estudiarn con detalle en la Seccin 1.2, consideramos oportunoenunciar aqu la Regla de Barrow generalizada.Generalizacin de la Regla de BarrowCuando la funcin y = f(x) no es continua en ciertos puntos del intervalo de integracin, perotiene primitiva F(x) y sta es continua en dicho intervalo, entonces, es correcta la aplicacin dela regla de Barrow. 26. http://carlos2524.jimdo.com/12 Clculo integral y aplicacionesEsto sucede por ejemplo con la funcin: 1 f(x) = 3G (cuyo grfico es similar al segundo de la Figura 1.8)~X2 El clculo: - 1- dx = 2 ~ JIoX- 2 3/ . dx = 23 ifx JIo=6 es correcto, pues la funcin f(x) tiene primitiva F(x) = 3 ifx continua en[ - 1, 1].1.2.INTEGRALES IMPROPIAS Consideremos una funcin subintegral f(x) con igual signo (no negativo, por ejemplo) en todo su intervalo de integracin. Supongamos para centrar ideas que el grfico de la citada funcin es el representado en la Figura 1.9, y que quieren determinarse las reas sombreadas Al y A 2 .JI ~--------~*---~----------~------------~~--------~x O a pb e H Figura 1.9 La obtencin de A I (intervalo de integracin infinito) y A 2 (con funcin no acotada en su interval o de integracin), hace imprescindible generalizar el concepto de integral definida de Riemann (rea A, correspondiente a una funcin acotada en un intervalo finito). Cuando la integral en cuestin presenta al menos una de las anteriores desviaciones respecto de la integral de Riemann (desviaciones que llamaremos singularidades), se dice que es una integral impropia (de primera especie si tiene intervalo infinito, o de segunda especie si la fun - cin subintegral no es acotada). Para el clculo de Alse escribir (Figura 1.9): Al = f OO f (x) dx = limf11 f(x ) dx = [lim F(H)J - F(c) eH -+ CIJe H -"*a:., y se dir que la integral es convergente, divergente, o que no tiene sentido (en ocasiones se emplea tambin aqu la denominacin oscilante), si respectivamente el anterior lmite existe y es finito , es infinito, o finalmente si no existe. 27. http://carlos2524.jimdo.com/Integrales definidas simples13En el caso del intervalo (- 00 , e] o del ( - 00 , 00 ) que descompondramos en (- 00 , e] uu [e , 00 ), todos los conceptos son similares. Para el clculo de A 2 se utilizan iguales denominaciones, escribiendo ahora: A 2= fb f(x) dx ={IIim /1 -+ (1 +fb f(x) dx = F(b) - J1lim F(P)p ..., a"o lo que es lo mismo (8 siempre es un nmero real positivo): A 2= f bf(x) dxa = lim /;-+ 0 fb a +c.f(x ) dx= F(b) - lim F(a +e-+ Q8)Carcter de una integral impropiaHabida cuenta de que en gran nmero de ocasiones no disponemos de una funcin primitivaF(x) , o porque nicamente interesa el carcter de la integral, es necesario estudiar ciertos mto-dos para determinar esta convergencia o divergencia.Teniendo presente, adems, que cualquier intervalo puede dividirse en subintervalos dondela funcin f(x) tiene siempre el mismo signo, y puesto que si f(x) ~ O en [a , b] puede tomarsela determinacin positiva haciendofb f(x) dx = - fb - f(x) dx,limitaremos todo el estudio a anintegrales cuyas funciones subintegrales f(x) son no negativas.Asimismo, si la funcin f(x) no est acotada en varios puntos de su intervalo de integracin(Figura 1.10), se escribir:bf e fd fe fb fa f(x)dx = a + e + d + ey este estudio de las integrales impropias de segunda especie quedar reducido a integrales enlas que f(x) no est acotada en el extremo inferior (ya comentado) o en el superior (cuyo con-cepto, evidentemente, es totalmente anlogo al anterior). yx =e dos singularidades (en x = e y en x = e)oa e debxFigura 1.10 28. http://carlos2524.jimdo.com/14 Clcu lo integral y aplicaciones Ejemplo Las tres integrales impropias (m E R +): TI =fooa-XIII1e/x (a >0)T2=fb---a(X - a)1IIdx T 2 =fb--- a (b - X)IIIdx representantes de las tres singularidades a las que ha quedado reducido el estudio de dichas integrales im- propias, reciben el nombre de integrales tipo (TI de primera especie, T 2 y T~ de segunda) y se suelen utilizar para determinar el carcter de otras integrales por comparacin con ellas. convergesi m > 1 converge si m < 1Probar que:TI { T, { .divergesi m ";; 1- dlverge si m ~1RESOLUCiNL1x1JH, si m=1 oo -;;; e/X = 1 fHjaTI =lim X- III dx =limfaX H ~ ooaH~ oo x-III+ I JHsi m =1= 1 - m+ 1 .con lo que si m = 1, evidentemente TI=00(divergente). si 1 - m < Osi m =1= 1: TI = -I-( lim H I - III -al-III) = {finito,l - m H ~oo 00 ,si 1 - m > OConsecuentemente converge si m > 1 Y diverge en los dems casos.Probemos ahora que con T 2 (y T ~ del mismo modo) sucede al revs (hagmoslo con m =1= 1, pues param =1 claramente tambin es divergente): bb 1fb (x-a)_III+IJ T = dx = lim (x - a)-lIIdx = lim - -- - - 2f a (X - a)11I e-Oa +t:l:-+ Q- In +1 a +e si 1 - m > O= -1- [ .(b - a)I-1II - lim(;)I - 1II]= {finito (convergente),1- In 1 : / 1 converge SI 11m - - = x-+ oo ~k =f. O (pudiera ser (0 ), con m ~ 1 : /1 divergex"Criterio de comparacin (equivalente al anterior)Aplicando la propiedad (8) de la integral de Riemann se tienen los siguientes resultados (kE R+):1 Si Vx E [a, (0 ), kf(x) < - IH con m > 1 : /1 converge x 1 Si Vx E [a , (0), kf(x) > XIII con m - ~ 1: /1 es divergenteCriterio integralSea y = f(x) , como se ha dicho, una funcin acotada y no negativa en el intervalo [a E R, (0 ): Si f(x) es decreciente en [b ~ O, (0 ), entonces, la serie f(n) y la integral/ 1 tienen el mis-mo carcter (6).Ejemplos1. Probar que si lim f(x) =1= O, entonces, la integral impropia de primera especie 11 es divergente . x-+ eo Ntese que este enunciado resulta equivalente al siguiente: Es condicin necesaria para la convergencia de 11 quelim f(x) (caso de que este lmite exista) = Ox- 00RESOLUC iNPor la hiptesis, si lim f(x)= k(kE R + al ser f no negativa) =1= O, entonces podr determinarse un X o talx- 00que Vx > X o se verifique f(x) > K. Consecuentemente: = aeo f(x)dx = f~ f(x)dx + f Xo f(x)dx >11fa eo Al (finito) + f eo Xo Kdx = rocon lo que 11 sera divergente. (6) Ntese, con relacin a la convergencia, que si a < b, el intervalo la, b] no influye por corresponderle (funcinacotada en intervalo finito) un rea finita. 30. http://carlos2524.jimdo.com/16 C lcul o integra l y ap li cac ion es2 . Utilizando los tres criterios estudiados , determnese el carcter de la integral impropia (de primeraespecie): ro X21= f - 2(2x2+ 3) 2dx (una nica singularidad)RESOLUC iN (s iempre debe comprobarse previamente la condicin necesaria de convergencia) .f(x). X21 xm + 2al ]m - - = 11m 4 2: - lim4x ~ ro I x ~ ro 4x+ 12x + 9 XIII x ~ ro 4x + 12x 2 + 9xl1!XIII +21 XIII1 = Iim-4-= - Iim 2" = -(finito) con m = 2> 1= 1 converge. x ~ ro4x 4x~ ro X4X2 1 11bl V X E [- 2 00 ) f(x) " 1)= 1 converge.el Puesto que sera muy engorroso precisar todas las exigencias del criterio integral (f decrece a partirde x = ~ ), con las integrales que generalmente se estudian es suficiente un razonamiento anlogo alsiguiente (~ == tiene igual carcter que): f(x) es acotada y no negativa en [ - 2, 00 ), y necesariamente decrecer en [b ~ O, w ) puesto quelim f(x) = O. En consecuencia:x -tCX)Caso en el que la funcin subintegral ((x) no es acotadaConsideremos la integral 12 =f: f(x) dx, siendo f(x) no acotada (supongamos en su extremoinferior x = a) y no negativa por lo repetidamente mencionado.Sin ms consideraciones, nicamente apoyndonos en los resultados hasta aqu obtenidos ytrasladndolos al criterio del lmite, por ejemplo, el carcter de la integral 12 podr extraerse delsiguiente cuadro: Si limf(x) = {k fin ito, siendo In < 1 : 2 es convergente1x --+a + 1 k =1= O (puede ser (0 ), con In ~ 1 : 12 diverge - - -- (x - a)"En el caso de que la singularidad tuviera lugar en el extremo superior b, el primer trminode la anterior igualdad sera: lim [f(X) : x--+ b -1 (b - x)" J.Si la funcin f(x) integrable en [a, b] no est definida en el punto C E [a, b] pero la disconti- nuidad en C es evitable, entonces (regla de Barrow generalizada) la correspondiente integral, denominada por tal motivo seudoimpropia, es convergente con relacin a dicho punto c. 31. http://carlos2524.jimdo.com/Integrales definidas simples171.3. INTEGRALES EULERIANASEstas integrales, llamadas tambin funciones eulerianas Gamma y Beta, aparecen muy frecuen-temente en todo tipo de clculos, y su concurso da lugar a la resolucin de numerossimas inte-grales definidas.B(p, q) = J:XP- l(1 -X)q- ldx con p, q E R+con pE R+Con frecuencia, se las denomina asimismo, integrales eulerianas de primera y segunda espe-cie respectivamente.Convergencia y clculo de la funcin euleriana r(p)Veamos en primer lugar, que esta integral converge Vp > O y diverge en los dems casos.Para ello, descomponemos rep) en dos integrales con una nica singularidad (cuando p < 1,en x = O obviamente existe singularidad):No es difcil observar que la ltima integral (impropia por tener infinito su intervalo deintegracin) siempre converge (cualquiera que sea p). Comprobmoslo mediante el criterio dellmite: 1X",+p -l lim(XP-l e-X) : -= lim.= O (siempre) finito, con m = 2 > 1 x--+ wx11lx--+oo eXpor lo que concierne a la singularidad debida a x = O, escribiremos:1 1 x"lim (x p -e - X) : {e -X --t l= lim - -x-+O (X- O) "fx-+O X 1- py como la convergencia se da cuando m < 1 y este lmite finito (m~ 1 - p), resultar paraello que:l-p ~ mOoperando de forma anloga se probara que, cuando p~ O, la integral r(p) es divergente.Clculo de r(p)Obtendremos su valor a partir de la funcin euleriana r(p + 1) e integrando por partes (recur-dese que p > O) : 32. http://carlos2524.jimdo.com/18 Clculo integral y aplicaciones [(p + 1) = f oo xpe - Xdx{x~ = u........ du = PXP~ldX} = - xpe-xJo oo +o e x dx = dv v= - e x Aplicando esta ley de reculTencia (para valores donde la funcin Gamma es convergente) e inicindola con [(p) = (p - 1)[,(p - 1), escribiremos:[(p) = (p - 1)r(p - 1) , [(p - 1) = (p - 2)r(p - 2) [(p - 3) = (p - 3)[,(p - 3), ... que da lugar a la forma ms conveniente:[(p) = (p - 1)r(p - 1)[(p) = (p - 1)(P - 2)[,(p - 2)[(p) = (p - 1)(P - 2)(P - 3)[,(p - 3)(4) de donde resulta finalmente la relacin: [(p) = (p - 1) (p - 2) (p - 3) ... r1(r), r(a eleccin) > O (5) Cuando p E N, Y puesto que [(1) = Loo e - xdx = 1, se tiene: [(p) = (p - 1)(P - 2)(P - 3) .. . 321 [(1) = (p - 1)1lo cual justifica, an cuando p no sea natural, que se escriba frecuentemente:y que sirve para generalizar el concepto factorial de un nmero. Ntese asimismo que [(1) = 1 = (l - 1) 1 ~ 01 = 1. Cuando p if: N, el clculo de [(p) suele llevarse a cabo mediante unas tablas (Figura 1.11),con las que, como se ver, pueden obtenerse muy aproximados todos los valores de [(p) conp E R +. Obsrvese que los valores de estas tablas son las ordenadas [(P), p E [1 , 2), de unapequea porcin de la curva representada en la Figura 1.12. 33. http://carlos2524.jimdo.com/ Integrales definidas simples 19 I VALORES DE r(p), 1 :S P < 2 ~~-0----------2-----3------4-----5-----6-----7------8-----9~ 1,010,99430,9888 0,9835 0,97840,9735 0,9687 0,9642 0,9597 0,9555 1,1 0,95140,94740,9436 0,9399 0,93640,9330 0,9298 0,9267 0,9237 0,9209 1,2 0,91820,91560,9131 0,9108 0,90850,9064 0,9044 0,9025 0,9007 0,9990 1,3 0,89750,89600,8946 0,8934 0,89220,8912 0,8902 0,8893 0,8885 0,8879 1,4 0,88730,88680,8864 0,8860 0,88580,8857 0,8856 0,8856 0,8857 0,8859 1,5 0,88620,88660,8870 0,8876 0,88820,8889 0,8896 0,8905 0,8914 0,8924 1,6 0,89350,89470,8959 0,8972 0,89860,9001 0,9017 0,9033 0,9050 0,9068 1,7 0,90860,91060,9126 0,9147 0,91680,9191 0,9214 0,9238 0,9262 0,9288 1,8 0,93140,93410,9368 0,9397 0,94260,9456 0,9487 0,9518 0,9551 0,9584 1,9 0,96180,96520,9688 0,9724 0,97610,9799 0,9837 0,9877 0,9917 0,958Figura 1.11 Consecuentemente, para calcular el valor r(p), se har:Cuando p E N-> ro = (p - 1)!r(p)si p E (O, 1) -> r(p+ 1) (en tablas) = pr(p) { p t/= N {Si P > 1 -> se aplica (5) con r E O, 2) Y tablasComplementando lo expuesto con la siguiente frmula, que aqu no demostraremos (mtodode integracin de los residuos): ti r(p) .ro- p) = --, O

O,t:j x), resulta el valorr(~) = Jn, con el que se obtienen los r(~) para todo n E N. Ejemplo 9 Calcular el valor r(p) cuando a) p = 11, b) p = 0,32, e) p = 4,36, d) p = - . 2 RESOLUCiN(vanse previamente valores aprox imados en la Figura 1.12) alPara un valor de p relativamente grande, e l clculo de r(p) ser difcil. Si no se requiere exactitud, puede utili za rse la frmula aproximada (Stirling) p! ~ j2;;;c .pI. e - P En este caso se tendr: r(l l) = lO! = 3.628.800 (exactamente) , r(ll) ~ 3.598.696 (Stirling)0,8946 bl r(0,32 < 1) : r(l ,32) = 0,32r(0,32) => r(0,32) = -- = 2,7956.0,32 el r(4,36) = 3,362,36 1,36 r(l,36) = 10,78420,8902 = 9,600l. dI r ( 2 {tablas} = 222 r (3) = 8. 0 ,8862 = 11 ,631375.9) 7 5 32 105 9) r ( - {aplicando r(J /2) = 2Jn} = -. -2 . -. -2 r (1) = -105 Jn = 6,5625 1,7724 =7 5 3 12 2 - 216 II ,631375 Prolongacin de la funcin Gamma En el caso de que p~ O,la integral r(p) = LX)XP-l e - Xdx es, como se ha visto, divergente. No obstante, si r(p) se define exclusivamente a partir de la relacin: r(p + 1) t:j P E R : r(p + 1) =pr(p) =*"r(p)= -- - (7) phabremos realizado una extrapolacin de la funcin Gamma, dado que si p > O su valor coinci-de con el de la integral, y si p < O resulta un valor finito. Vemoslo calculando, por ejemplor( - 5/2). 35. http://carlos2524.jimdo.com/ Integrales definidas simples21 Mediante la frmula (7) se tiene:m-~)p=--1r(-~) = r(l/2)= -2Jn 2 2-1/2p=- - 3r(-~) = r(l/2)=~Jn 2 2- 3/2 3p=-- S 2r(-~)2= n-3/2) - 5/2= - ~ 15Jnresultado al que se puede llegar mucho ms rpidamente, escribiendo:r(-~)= - ~ 2 15Jntud,Este mtodo de obtener el valor de np) para p < 0, recibe el nombre de prolongacin anal-tica de la funcin Gamma. La correspondiente prolongacin grfica puede observarse en la Fi-gura l.12.La funcin euleriana B(p, q)Empezaremos, como anteriormente, probando que la integral euleriana de primera especie:converge cuando p y q son mayores que cero, y diverge en los dems casos (ntese que existesingularidad en ambos extremos de integracin: en x = cuando p - 1 < 0, y en x = 1 cuando q - 1 < O) .Nos limitaremos a efectuar dicha demostracin, estudiando nicamente la singularidad enx = 1 utilizando el criterio del lmite, puesto que el proceso correspondiente al extremo inferiorx = es totalmente anlogo: .xP-l(l-X)q-l. (l -x)" x=l: 11m 111m1nte. x--+l- x->l-(l-X)-q(l - x)"y como la convergencia se da cuando m < 1 Y este lmite finito (m ?= 1 - q), resultar para(7) ello, que: l-q~mOinci- plode igual forma se probara la convergencia con p > en el extremo inferior, y asimismo la di-vergencia en los dems casos. 36. http://carlos2524.jimdo.com/22 Clculo integral y aplicaciones Clculo de B(p, q) El valor de B(p, q), suele obtenerse, utilizando su relacin con la funcin r(p) que en estos momentos tan bien conocemos. Dicha relacin, que se demuestra con rigor (p, q E R +) en el Ejercicio resuelto 5 del Tema 3 (Integrales dobles) y que aqu probaremos parcialmente (en la tercera de las propiedades que siguen) viene definida por: r(p) r(q) B(p, q) =r(p + q)(8) Ejemplo Consideremos la integral impropia convergente:1 f 2!= dx-2 .j(2 - x)(2 + X)2Efectuando el cambio de variable x=4t - 2 (vase propiedad 4) se transforma en una integral euleria- na B(p, q). Hllese su valor. RESO LUCiN Haciendo x= 4t - 2 {x = 2, tt = O el intervalo [ - 2, 2] se transforma en el [O, 1] Y consecuentemente x -2, = l} = podra resultar una integral B(p, q). Vemoslo: Como (2 - x)(2+ X)2{X =4t - 2} = (4 - 4t)(4t)2 = 4 3 . tl(l - t), tendremos: con lo que al ser dx= 4 dt, resulta:1!=- JIt- 2j3 .(I-t)-1/3 4dt= JI t - l /3(l _ t)-1 /3dt {P-1 = -2/3} =4 ooq - 1= - 1/ 3 = B(~ ~) = r(lj3)r(2/3) = r(~)r(~) {(6)} = _n_ = 2J3n 3 3 reI) 3 3nsen -33 Propiedades de la funcin B(p, q)1.Existe la simetra B(p, q) = B(q, p), puesto que: B(p, q) = JI x P - l (1 - X)q-ldX{X = 1 -dx = -dt = - t}IlO (1 - t)p-ltq -l dt= B(q, p) 37. http://carlos2524.jimdo.com/ Integrales definidas simples 231< / 22.Clculo de todas las integralesf osen" x cos" X dx (m ~ O, n ~ O): = o xp- l(l - X)q-l dx{x = sen 2 t} = f~ sen 2l-=-2 t cos 2 (J - 2 tL2 senLCstdt) = B(p, q)l fo2P -l=mcon lo que al ser { , resulta:2q-l=n1 (m + 1 n+ 1) f 1 2 sen"xco s"xdx = - B - - - -(9) o 22 2(es conveniente, aplicando la relacin anterior, comprobar las frmulas obtenidas en el Ejemploresuelto 3 que posteriormente aparece en la Seccin La integral de Riemann).3.Relacin entre las funciones B(p, q) Y r(p) En estos momentos, estamos en disposicin de probar la relacin (8) cuando, como se hadicho, uno de los parmetros p o q sea natural y el otro real positivo.Para lograrlo, integraremos por partes B(p, q) rebajando el exponente q - ], y supondremosque q E N, P E R + (hacemos hincapi en que la demostracin con p, q E R + se realiza en eltema de Integrales dobles):= - ( 1 - X)q-l ]xl p 1 o q - 1 + --Pfo1 q - 1 xl(l - x)q- 2 dx{q = 1,2, oo .} = - - B(p + 1, q - 1)Pcon lo que aplicando esta ley de recurrencia, escribiremos :q - 1 B(p, q) =-- B(p + 1, q - 1) Pq - 2 B(p + 1, q - 1) = - - B(p + 2, q - 2)p +1 1 B(p +q- 2, 2) = B(p +q - 1, 1) puesto que qE Np+q-2 38. http://carlos2524.jimdo.com/24 Clculo integral y aplicaciones habida cuenta adems que: B(p +q - 1, 1) = J1 o Xp +q - 2 dx = _ ___ 1 p+l-l se tiene:(q - l)(q - 2) 32 1(q - 1)! B(p,q) =p-(P--+~1 ) --.(p~+-q----2)-(p-+--q---1-)~ .. p(p + 1) .. . (p +q - 1) y multiplicando el numerador y el denominador del cociente anterior por (p - 1)!, resulta fi- nalmente: (P-1)!(q-l)! (P-1)!(q-1)!r(p)T(q) B(p, q) = (p _ 1)![P(P + 1) .. . (p + q - 1)] (p + q - 1)!r(p + q) 4. Cambios de variable Las integrales eulerianas, en particular B(p, q), dan lugar al clculo de numerosas integrales definidas. Este clculo se basa generalmente en lograr, haciendo un cambio de variable adecua- do en la integral 1, que sta se transforme en una funcin B(p, q), es decir: La transformacin del intervalo de integracin de cualquier integral en el intervalo [0, 1], se lleva a cabo mediante los siguientes cambios de variable, que darn lugar (o no) a una fun- cin B(p, q): Si el intervalo de 1 es [a, b] : x = (b - a)t+aa a Si es [a, (0) o (- 00, a] : x = -. Tambin x= -- (lO)t1- t a Si [O, (0 ) o (-00 , O] siendo (a + bxPF divisor en f(x) : a+ bx P = - tA veces, a los cambios anteriores, hay que aadir el cambio t lll = u(m > O), cambio que trans-forma el intervalo [O, 1] en s mismo, y que igualmente puede transformar tambin en funcionesB(p, q) otras integrales enmascaradas cuyo intervalo de integracin sea el [O, 1] (vase el cuartoy quinto de los Ejercicios resueltos correspondientes).Puede tambin suceder, aunque menos frecuentemente, que la integral enmascarada 1 seauna funcin r(p) . Si esto ocurre, los correspondientes cambios de variable (que dependern dela apariencia de 1) son muy numerosos, aunque evidentemente todos ellos debern conducir a laobtencin del intervalo [0, (0 ) asociado a dicha funcin Gamma (vase el primero de los Ejem-plos resueltos, y asimismo el primero de los propuestos). 39. http://carlos2524.jimdo.com/Integrales definidas simples251.4. INTEGRALES PARAMTRICASToda aquella integral (simple) que adems de la variable de integracin presente ciertos par-metros situados en su funcin subintegral o en sus extremos, recibe el nombre de Integral para-mtrica o Integral dependiente de parmetros. Estas integrales, por tanto, son de la forma: leA) =f (x, A) dxJ( A, 11) = f (x, A, 11) dx , .. .donde los citados parmetros se consideran constantes durante el proceso de integracin, pu-diendo suceder que los extremos de integracin dependan tambin de estos parmetros.Estudiaremos el caso de la anterior integral leA), es decir, el caso de un solo parmetro. Lageneralizacin (Ejemplo resuelto 6 y propuestos 3 y 4) es inmediata.Previamente, para fijar ideas, resolveremos un ejemplo muy simple, que a parte de justificarla notacin le A) (aunque resulta evidente que la integral l es funcin nicamente de A), presentaun resultado (que inmediatamente probaremos) y que corresponde a la ms notable relacin deesta seccin.EjemploConsideremos la integral leA) = f f(x , A) dx , f(x, A) = 3}.x 2 + A2 + 2al Resolver la integral, obteniendo su valor le },). Seguidamente dervese este valor respecto de A, es dl(},)decir, hllese -;- .bl Comprubese que tambindl(},)-;- = f3f~.(x, },) dx. 1RESOLUCiN dl( A) f 3X3] 3al I U,) = (3h 2 + A2 + 2)dx = 3A -+ A2X + 2x = 2},2 + 26), + 4 ->--= 4}, + 26. 13 1 dA 3f~(x, A)dx = f3 (3x2 + 2A)dx = x 3 + 2h] 3= 4 ), + 26 =dl( A)bl f 11 1-dA -o Hacemos hincapi en que se ha realizado la siguiente comprobacin (que como veremos, en ciertascondiciones, y siendo a y b constantes, siempre se verifica): bf(x, },) dx dl( A)-;- =fb f~(x, A) dxSi IV,) =fa,entonces a 40. http://carlos2524.jimdo.com/26 Clculo integral y aplicaciones Propiedades de las integrales para mtricas 1.Continuidad Consideremos la integral leA) = parmetro A. f f(x, J,) dx, con a y b independientes, en pnncIpIO, del Si la funcin subintegral f(x, J,) (supuesta como una funcin de dos variables) es continua en el dominio D = {(x, J E R 2 / a ~ x ~ b, e ~ A ~ d} (subconjunto rectangular de R 2 ), enton-,) ces, elegido un e l E R + podr lograrse (en D) que If(x, A + L1A) - f(x, J < e l Y por consi-,)I guiente: t/ A E [e , d] : IIU, + L1A) -IU,) 1 = Irf(x, A + L1J,) dx -ff(x, A) dxl = = Ir [f(x, A + L1 A) - f(x , J,)]dxl ~ f If(x, J,+ L1J, ) - f(x, A dx < )I fel dx de donde resulta que: t/ A E [e, d] : II(A+ L1A)- I(A) < 1 el (b - a) =e lo cual implica, en el intervalo [e, d], la continuidad (y continuidad uniforme por ser intervalo cerrado) de la funcin lCA). Por otra parte y debido a esta continuidad de leA) podemos escribir:t/ J,o E [e , d] : lim leA)J. -+ ;0=IU,o) finito => l-+;.in: "-o fb f(x,a A) dx = fb f(x,a Ao) dx con lo que aplicando (continuidad) lim f(x, A) = f(x, AO) finito , resulta:), -+;0limfb f(x , A) dx = fblim f(x, A) dx (11)A -+ .loaa A -+ ;0(el lmite de la integral es igual a la integral del lmite) .Cuando los extremos de integracin dependan del parmetro J" y sean estas funciones a( A) yb(A) continuas t/ A E [e, d] , de igual forma se probaran la continuidad de la funcin leA) y laanterior igualdad entre el lmite de la integral y la integral del lmite.2. Derivacin bajo el signo integralal Comencemos, como anteriormente, suponiendo quea y b no dependen del parmetro A. Si las funciones f(x, A) yf~(x,A) son continuas en el mencionado dominio D, para todoA E [e, d] podr escribirse: bdI U,) . I( A + L1J,) - le A).fa[f(x, J, + L1A) - f(x, A)] dx-- =hm =hmdA L -+ O H L1A 6 . X2 2:y2+ 2: = 1 (cartesiana) y = bsen tab blAunque, como se observa, los ngulos intermedios t y IX son distintos, sin embargo el rea sombreada (A /4) corresponde igualmente a los valores O ~ t ~ n/2, O ~ IX ~ n/2, pudiendo por tanto obtenerse ha- ciendo variar t entre O y n/2. En consecuencia, escribiremos:{x = acos t x= a, t = O} = 4 f O b sen t( - a sen t dt)A =4 f oa Y dx_ Y - b sen t ->.{Si SI_X -_O, t - n/2,,/ 2= " /2n= 4ab f osen 2 t dt = 4ab . -4=>A = nab 2.El grfico de toda curva cuya ecuacin polar es p = k(1 cos e), p = k(1 sen e) , tieneforma de corazn y recibe el nombre de cardioide. al Dibjese la curva cardioide de ecuacin p = 4(1 + cos e).bl Calcular el rea interior a esta cardioide y exterior a la circunferenciaX2 + y2= 36.RESOLUCiNal Razonando con la ecuacinp = 4(1 + cos e), se tiene entre otras cosas que: - Cuandoe crece de O a n, p decrece de 8 a O. Al crecer e de n a 2n, p tambin lo hace de O a 8 (lo cual se desprende de la simetra existente respecto del eje polar x, puesto que al cambir e por - e, p no vara -> puntos (p,e) y (p, - e). 47. http://carlos2524.jimdo.com/Integrales definidas simples33 - Dando asimismo algunos valores a la coordenadae (e ~ n) resultan los pares de valores:b) Puesto que la ecuacin de la circunferencia en coordenadas polares es p = 6(x 2 + y2 = p2 cos 2e++p2 sen 2 e = p2 = 36), la interseccin de ambas curvas se tendr de la resolucin del sistema: p = 4(1 + cos e)}-> 6 = 4(1+ cos e) -> (e, p) = ( -, 6 )n p=6 3con lo que (segundo grfico de la Figura l.16), escribiremos: A= Al (sector correspondiente a la cardioide) - A 2 (sector circular) = 1=- f"/3 pi d8 -1 - f"/3 p~ d8 = -1 f"/3 (pi -pD de {simetra} =f"/3(pi - p~) de 2- ,,/3 2- ,,/32- ,,/ 3 o Como pi - p~ = 16 (1 + cos 8)2 - 36 = 4 (4,cos 2 e + 8 cos e - 5), resulta finalmente: A = 4 fo"/3 (4cos2 e + 8cos8 - 5)de f"/3 = 4 o [2(1 + cos2e) + 8cos8 - 5]de = 18 )3 -2n n /22nl3 n l3n l4 e=~3 x (e = O) x e=-~34nl3 5nl3 3nl2 Figura 1.16 Longitud de un arco de curvaSea una curva plana (C) definida en cartesianas, paramtricas y polares respectivamente, por lasecuaciones: X =x(t)y = f(x)p = p(e) { y =y(t)Consideremos un arco (porcin de dicha curva) liso, comprendido entre los puntos de absci-sa x = a, x = b (Figura 1.17), cuya longitud (s) se desea calcular. 48. http://carlos2524.jimdo.com/34 C lculo integra l y aplicacionesye ~------~--------------------~--------- x o a bFigura 1.17 Para ello, razonaremos de igual modo que anteriormente, es decir, partimos del elemento diferencial de arco (ds), teniendo presente que, si se supone dicho elemento rectilneo, se comete un error despreciable (por ser este error un infinitsimo de orden superior al de ds) . Por todo lo, cual podr escribirse ds = JdX2 + dy 2, Y en consecuencia:Cartesianas: ds =JI (:y+dx--+s=f JI + [f(x)] 2dx(18)2 (-Paramtricas: ds =dX) + (dy ) 2 dt--+ - (19)dt dt X = pcos ePolares:La diferenciacin de las frmulas da lugar a { y = psen e dx= cos edp - p sen ede}: ds = J dx 2 + dy2 = J (dp)2 + (pde)2 dy = sen dp e + P cos edey multiplicando y dividiendo por de , resulta: (20) En el caso de una curva en R 3 , recordando (repsese si es preciso el Apndice 2) que todacurva del espacio (plana o alabeada) puede venir definida por los sistemas (entre otros):= x(t){~ : ~(t)X F(X, y, z) : Oz = f(x , y) y = f(x) { G(x, y, z) - O { z = g(x, y){ z = g(x) y = y(t){z= g(t) .z= z(t) 49. http://carlos2524.jimdo.com/Integrales definidas simples35y razonando, como anteriormente, a partir de la diferencial de arco ds=J dX2+ dy2 + dz 2, es-cribiremos:Cartesianas:ds = J y 1 + (d )2dx + (dZ)2 dx ---7 S = fXdxXl 2 J y 1 + (d )2dx+ (dZ)2 dx dx2Paramtricas: ds = dX)2 ( dt+ (dy)2 + (dZ)dtdtdx ---7 s =1t2 JX(t)2 + y(t)2 + Z(t)2 dtt1Ejemplos1. Consideremos una circunferencia de radio r y un punto P(x, y) de la misma. Cuando esta circunferen-cia rueda sin deslizar sobre una recta, el punto P genera una curva plana denominada cicloide (Figu-ra 1.18).al Determinar unas ecuaciones paramtricas de la cicloide y estudiar si es una curva lisa.bl Calcular la longitud de un arco completo de esta curva. y x o fI2:n:rFigura 1.18RESOLUCiNal Tomaremos como parmetro el ngulot (en radianes) que en un tiempo (T) ha girado el punto Palrededor del centro de la circunferencia (C).De la observacin de las Figuras 1.18 y l.19, se tiene:x = OH ~ MC = rt + rcos(3 n2~ t) =rt + - = p( e) =de de _- - sen 2e----> (d P _ sen- )2 -22e _ sen 2 2e--- ---- p@p2 cmW s = r 4 Jo/4 )2p2 + ( d: de d= 4f"/4 ocos2e+--de =4sen22ef"/4~ de{2e=t} = cos 2e o y cos 2e _ - 2 f" /2 cos - .1 /2 (t) dt{2P- 1 O = (1 1) _} - 2 . -1 B - - - - - - --_1(1/2)10/4)o 2q - 1 = - 1/ 2 22 4 1(3/4) 1(p+ 1)en donde aplicando que 1(P) = , y tablas (Figura 1.11), resulta:P1(l /4) = 41(5/4) = 3,6256{ 1(3/4) = (4/3)1(7/4) = 1,2254 --> s = Jn .2,9585 = 5,2438 52. http://carlos2524.jimdo.com/38 Clculo integral y ap licacion es b) Puesto que la recta genrica r barre el rea pedida cuando fJ vara entre ser r : y = tg P . x) y n/2, tendremos: (se prueba fcilmente al 48l = - [1 ,571 J 3,467 + L(l,571 + J 3,467)] = 2,0792 Volumen de un slido de secciones conocidasConsideremos un cuerpo slido del que se conoce el rea de cualquier seccin perpendicular auno de los ejes coordenados. Supongamos que el eje es el z, que dicha rea es una funcin con-tinua de la variable z definida por A = A(z), y finalmente, para centrar ideas, que el slido encuestin es el representado en el primer grfico de la Figura 1.21.Si el elemento (diferencial) de volumen, sombreado en este grfico, tiene adems una alturadz, podr tomarse como valor de su volumen (error despreciable) el valor dV = A(z) dz . Conse-cuentemente, y razonando como en los casos anteriores, resulta: ll f IZ?dV = A(z) dz --4 V = o A(z) dz . En general: V=A(z)dz (21)ZILas frmulas correspondientes, cuando las secciones conocidas son normales a los otros dosejes coordenados, son evidentes.La relacin (21) se conoce COn el nombre de Regla de Cavalieri. z z A (z)5 Y - / - ----..yx x Figura 1.21 53. http://carlos2524.jimdo.com/ Integrales definidas simples39Ejemplos1.Consideremos un slido cuya base es la elipse X2 + y2 = 1. Obtener su volumen, sabiendo que toda 16 25.seccin normal al eje y es un tringulo issceles de altura 6 unidades.RESOLUCiNUna vez reflejados los datos (segundo grfico de la Figura 1.21) y teniendo en cuenta que: 25 - y2 4 x2 = 16 -*x = - J 25 - y2 (cuando x ~ O)25 5escribiremos : ,1 A(y ) (tringulo ABe) = 2 (Area tringulo sombreado) = 2 - 6x =2 4 24 = 6 - J 25 - y2 5= A(y) = - 5 J 25 - y2 En consecuencia: dV = A(y) dy-* V=- 24 f5 24 J 25 - y 2 dy {simetra} = 2 - f5 J 25 - y2 dy 5 - 55 oy realizando el cambio y =5 sen t {y = 5, t = n , resulta:/2}y = O, t = O 48 fn/2fn/2n V=- J 25(1 - sen 2 t) (5 costtdt) = 240cos 2 tdt=240 - = 60 n5oo 4 X2 y2 Z22. Determinar el volumen del elipsoide 2: + -; + 2: =l. ab- eRESOLUCiNIntersecando el elipsoide con el plano z = O (por ejemplo), se tiene la elipsex: + by = 1, cuya rea comoa:sabemos, es nabo Como la seccin A(z) del elipsoide por un plano paralelo al z=O, y distante z de l, es una elipse desemiej es (dibjese el grfico correspondiente):ba a - -_z=-Jc -e 2 2b = -eJc - - 2 - Z2se tendr que: 54. http://carlos2524.jimdo.com/40 Clculo integral y aplicaciones Por consiguiente:dV = A(z) dz ---+ V = - 2nab fe (e 2 - Z2 ) dz 2nab= -2- fC(e 2 - Z2) dz 4=- nabee- ce o3 Volumen de un slido de revolucin Supongamos una curva e definida por la funcin y = f(x) continua en un cierto intervalo [a , b]. Al girar esta curva alrededor del eje x (por ejemplo) engendra un slido de revolucin (Figu- ra 1.22) cuyo volumen, podr calcularse aplicando (21) ya que se conoce el rea de cualquier seccin normal a dicho eje.yy yy=: g (x)R ~-"" ~~----~L------J----~--------~------~ x o ax x + dx b ab Figura 1.22 Aplicando pues la frmula de Cavalieri, y como A(x) (rea circular sombreada) es n[y = f(x)] 2, resultar que el volumen del slido en cuestin comprendido entre a y b, vendr dado por: (22) Las frmulas correspondientes en paramtricas (obvias) y en polares por giro alrededor del eje polar (prubese sta), vienen expresadas por las siguientes relaciones: t2 V = n f tl [y(t)]2 X (t) dt(23)En caso de que la curva e pueda expresarse por la ecuacin x = g(y), el volumen del cuerpode revolucin engendrado por e al girar alrededor del eje y, resulta (22) evidente (vase Figu-ra 1.24 y ejemplo correspondiente).Consideremos ahora la regin R 1 de la Figura 1.22 (rea limitada por la curva y el eje xentre a y b). Evidentemente el volumen engendrado por R 1 al girar alrededor del eje x vendrdado por (22) pues el cuerpo generado es el mismo que cuando gira la curva y = f(x).Hecho este comentario, tratemos ahora de obtener el volumen engendrado por la citada re-gin R 1 al girar alrededor del eje y, utilizando nicamente la ecuacin y = f(x). Para ello, razo-naremos, como siempre, con elementos diferenciales. 55. http://carlos2524.jimdo.com/Integrales definidas simples41El rectngulo sombreado en R 1 de base dx y altura y = f(x), genera, por giro alrededordel eje y , una corona cilndrica (tubo de grosor dx), cuyo volumen diferencial (dV) es: dV= V 1 (cilindro de radio x + dx) - V 2 (cilindro de radio x) = n(x + dX)2y - nx2y = = n[2x dx + (dx)2 ]y " 2nx -j(x) dxAsimismo, el elemento diferencial de volumen generado por el rectngulo de la regin R 2al girar alrededor del eje y, vendr expresado por dV = 2nx[f(x) - g(x) ] dx.Consecuentemente, el giro alrededor del eje y de las secciones R 1 y R 2 (segundo grfico dela Figura 1.22), generan slidos de revolucin cuyos volmenes respectivos V(R 1 ) y V(R 2) son:VeR 1) = 2n f xf(x) dxV(R 2) = 2n f x [f(x) - g(x) ] dx(24)rea lateral de un slido de revolucinSupongamos que la curva anteriormente definida por la funcin continua y = f(x) (considreseel segundo grfico de la Figura 1.22) gira alrededor del eje x, dando lugar a un cuerpo de revo-lucin cuya rea lateral (A) se desea obtener. Habida cuenta de que el elemento diferencial sombreado engendra un tronco de cono (r 1y r 2 radios de sus bases, y generatriz rectilnea g " ds) , cuya rea lateral es, como sabemos:resulta:dA = 2ny JI + (~~y dx -t A = 2n f f(x) J l + [f(x) ]2 dx (25)Ejemplos1. Consideremos la circunferencia C de centro (O, 2) Y de radio 2.alDetermnese el volumen generado por C al girar alrededor del eje x, y comprubese el resultado utili-zando coordenadas polares.bl Traslademos la circunferencia C hasta que su centro sea el punto (O, 5). Calcular el rea del cuerporesultante (toro) al girar esta ltima circunferencia alrededor del eje x .RESOLUCiNal Observando la Figura 1.23, es claro que el volumen (V) pedido ser el generado por la semicircunfe-rencia C 1 de trazo continuo (y ~ 2) menos el correspondiente a la C 2 (Y :S 2). 56. http://carlos2524.jimdo.com/42 Clculo integral y aplicaciones y Q (O, 4) rToro.," ", ,,", ~/, I() -2 2 x Figura 1.23 Como:, y- 2= J4-- {e- X2 ----> l : Y = 2 + J4 J--- X2e2 : Y = 2 -4 - X2 y operando por la simetra con la regin sombreada, escribiremos: 2 x 2 dx{x = 2sent} = 16n4f"/2 cos 2 ntdt = 64n - = 16n 2 = 16n fo J4 -o4 En polares: del tringulo rectngulo OPQ se tiene de inmediato que p = 4 sen 8 es la ecuacin de e (comprubese sustituyendo x = p cos 8, y = p sen 8 en su ecuacin cartesiana). n Como para que r barra la zona sombreada, 8 debe variar entre O y - , aplicando la frmula (23), se 2 tendr:2n V=2- f"/2(4sen8) 3 sen 8d8= -256n f"/2sen- 48de {2P - __== 1 4} 3o 3 o 2q ]- 0= 256n.~ B(~ ~) = 12Sn 1(52)r(l 2) = 64n (~ ~ n) = 16n 23 22 2 31(3) 3 2 2b) Razonando como anteriormente se tiene que el : 5 + J 4 - x 2 , e2 : 5 - J 4 - X2 ; con lo cual,aplicando la frmula (25) resulta (dibjese e y analcese el porqu del signo + que aparece en la relacinque sigue):2-- 2dxf2 dx A = 2 2nfo[5 +J 4- X2 + (5 - J4 - X2) ] J4 -X2= SOn . o J 4 - X2= 40n 2 57. http://carlos2524.jimdo.com/ Integra les defini das simp les432. La curva de la Figura 1.24, es parte del grafo de una funcin y =f(x) definida implcitamente por laecuacin x(4 - X)2 - y2 = O.y 4xFigura 1.24 Hallar el volumen engendrado por la regin sombreada al girar alrededor del eje y:a) A partir de la frmula (22) dV = rrx 2 dy.b)Mediante la relacin (24) dV = 2rrxf(x) dx.RESOLUCiNa) De la ecuacin x 3 - 8X2 - y2 + 16x = O dada, difcilmente podra despejarse x = g(y) para con elloaplicar la frmula (22). Sin embargo, como se nos exige aplicar dicha frmul a, consideramos que una so-lucin es escribir lo siguiente:dV = rrx 2 dy {y = f(x) } = rrx 2 . f(x) dxy en consecuencia: dy V{simetra, y~ O} =2 rr f:2 x f(x) dxObtengamos f(x)= -: dx- dy1 - 4 - 3x Al ser (y ~ O) Y = J X(4 - x), - = - - - (4 - x) - J x = - ---dx2Jx2J xcon lo que: IX2 f(x) dx = - (4X 3 / 2 - 3X 5 / 2) dx. 2En consecuencia:1V = 2rr-f4 [8(4X 3 / 2 - 3X 5 / 2) dx = rr - X5 / 2 -6 72- X /J42.048= - - rr (valor absoluto)2 o 5 7 o 35 4 f4 -f4 (4x 2.048b)V{(24)} =22rrfo xf(x)dx = 4rr o x. J x(4 -x)dx=4rro3 2 /_x 5 / 2 )dx=-- rr. 35 58. http://carlos2524.jimdo.com/44 Clculo integral y aplicaciones Teoremas de Pappus En el segundo grfico de la Figura 1.22, se muestra un elemento diferencial de rea dA = f(x) dx, que por giro alrededor del eje y engendra otro elemento diferencial de volumen dV = 2nxf(x) dx. Si lo anterior se expresa, escribiendo:dV = 2nx dA poda este resultado, enunciarse en los siguientes trminos: el volumen engendrado por la regin sombreada (de rea dA) al dar una vuelta alrededor del eje y, es igual al producto de dA por la distancia recorrida por dicha regin. Lo anterior justifica los dos siguientes teoremas debidos a Pappus (300 a.e.) y que podrn probarse con rigor al estudiar centros de gravedad en la siguiente Seccin. Consideremos una regin A del plano situada a un solo lado de una recta (r ) de este plano: El volumen del cuerpo engendrado por A al dar una vuelta completa alrededor de r, es igual al producto del rea de la regin A por la distancia que ha reconido su centro de gravedad. El rea de un slido de revolucin, es igual al producto de la longitud del arco que lo gene- ra por la distancia recorrida al dar una vuelta completa el centro de gravedad de dicho arco. Ejemplo al Aplquense estos teoremas para comprobar los resultados del primer ejemplo anterior (vase la Figu- ra 1.23). bl Obtnganse las frmulas generales del vol umen y rea del toro engendrado por una circunferencia de centro (0, a) y radio r (1 < a) que gira alrededor del eje x . RESOLUCiN al La circunferencia de centro C(O, 2) y de radio r = 2, encielTa un rea de 4n 2 (u == unidades). Al dar una vuelta alrededor del eje x, su centro de gravedad C reCOITe una distancia de 4n u. En consecuencia:V(pedido) = 4n . 4n = 16n 2 En el segundo apartado nos piden un rea: cuando la circunferencia de longitud 2nr = 4n, gira alrede- dor del eje x, su centro de gravedad C(O, 5) recorre 2n 5 = IOn. Por tanto: A(pedida) = 4n IOn = 40n 2 bl Teniendo en cuenta los siguientes datos del toro: rea del Crculo = nr 2 , longitud de su circunferen- cia = 2nr, distanci a recorrida por su centro de gravedad C(O, a) = 2na, resulta:V(toro) = nr 2 2na = 2a(nr)2 A (toro) = 2nr 2na = 4a(n 2r) Centros de gravedad o centroidesSean dos masas In 1 Y 1n 2 sobre las que acta el campo gravitacional terrestre (para centrar ideastrataremos con fuerzas gravitatorias). Consideremos asimismo (Figura 1.25) una referencia, en 59. http://carlos2524.jimdo.com/ Integrales definidas simples45x,m) dm m (C)m 99 C(x,y,Z)I II-1- x) IXX IX OIX OXnIIla m)gI IIIIIInII I I I ttmgo:mg Figura 1.25alla que hemos representado el origen O (punto arbitrario) y nicamente uno de sus ejes (aunquee-se ha tomado este eje x normal a las fuerzas mig, el resultado que buscamos no depende de ladireccin de dicho eje). .Recordando de mecnica elemental que la fuerza resultante mg, para producir el mismoefecto que las m1g Y m2g, adems de verificar mg = m1g + m2g (m = m1 + m2) deber tener elmismo momento esttico M (respecto de cualquier punto, por ejemplo O) que ellas, tendremos(vase el primer grfico de la Figura 1.25):u- m1x1 + m2x2 => x= m = m1 + m2desiendo en R3 inmediatas las siguientes relaciones (m = L m):_ __ LmXiLmiZ iC(x, y, Z) : x = --z=--m marSupongamos ahora (segundo grfico de la Figura 1.25) un cuerpo de masa m. Razonandocon elementos diferenciales, operando de igual forma que anteriormente, y prescindiendo de loslmites de integracin, escribiremos:e-d(M)= tdm- g)x ~ M (momento respecto de O) = g f x dmy puesto que el momento de la fuerza mg es M = mg X, resulta:0-M= g f x dm = mg x =>f x dm = m .x En consecuencia: _ fXdmfYdm fZdm as C(x,y, z) : x=---y=-- z=--(26) mm m n 60. http://carlos2524.jimdo.com/46 Clculo integral y aplicacionesI Este punto C (donde puede considerarse concentrada toda la masa del cuerpo) se denomina cefitroide o centro de gravedad del sistema de partculas o del cuerpo por ellas formado.Si el cuerpo es de densidad constante (p), al ser m = p V(dm = p dV) las relaciones (26) darn lugar a las:_ __ fXdVfYdV _ fZdVC(x, y, Z) : x = -V- Y=-V-z=-- (27)V De igual modo, cuando el cuerpo en cuestin fuese una superficie plana (en este caso p sera la masa por unidad de superficie) o una lnea plana o alabeada (p sera la masa por unidad de longitud), se tendran respectivamente para el centroide C las siguientes relaciones:_ __ fXdAIYdAC(x, y) : x= -- ji = - - (A es el rea de la placa) (28) A A _ __ fXdSfYdSfZdS C(x, y, Z) : x = - - sy=;= - -s z= -s -(s == longitud) (29) Ejemplos 1. Calcular el centroide C(x, ji) de una placa plana homognea (densidad superficial constante) en forma de tringulo rectngulo, siendo a y b la dimensin de sus catetos.RESOLUCiN Para hallar la coordenadax operaremos con el primer tringulo de la Figura 1.26, en donde dA = Y dx =1= f(x)dx, A = - ab:2X= - A 1 f xdA = - abo2fa x[f(x)dx] = -X - aboadx = -32 fa bx 2ayy bx y= - b - -- - --- --- --- -- ---- -- ---- --- -- --- -ba---- -- --- --- ---~======1y -------- ---- -----yxax o x axFigura 1.26 61. http://carlos2524.jimdo.com/ Integra les definid as simples 47asimismo, observando el segundo tringu lo [dA = (a - x) dy], escribiremos:ji = AY dA { dA = ( a - b dy = ab 1ay)}2 o a) b fb (ay - b yZ dy = "3Obtengamos nuevamente el resultado ji = b/ 3 integrando en la variable x (q ue en alguna ocasi n pu-diera facilitar los clculos):ji = -1 Af {y dA y = - , dA = (a - x) dy = (a - x) - dx } = -2 bxa b aab fa -bx (a - oabb x) - dx = -a3Veamos otra forma de hallar el centroide C(x, ji) de placas planas que suele resultar ms si mple quecon las frm ulas (28):Consideremos la Figura l.13, y supongamos que la superficie (A) es la limitada por la curva y = f(x),el eje x, y las rectas x = X lX = x z .Habida cuenta de que (x, y/2) es el centroide del elemento diferencial (de rea dA) sombreado, setiene:Los momentos de A respecto de los ejes x e y, son: Los momentos de dA= f(x) dx respecto de dichos ejes, son: yf(x) 1 d(M) = (dA)- =f(x)d.x- --+ M _= -x22" 2 x, 2 _ fZ(x)dx = AyIXd(M) = (dA) . x = xf(x) d.x--+ My = f,2 xf(x) d.x = A .xen consecuencia: C(x, ji) : x = -1A Ix,X2 xf(x) dx , )1 = -1 2A Ix, X 2 fZ(x) dx(30) aApliquemos (30) para obtener de nuevo la ordenada ji = b/ 3 (Figura 1.26): Z_ 1 y- - fa(bX) Zdx_- - b- fax Zd x -b- a- - --1_ b 3 _ Z 32AO aab aoa 33 2.Consideremos un cuadrante del crculo defi nido por la ecuacinXZ+ yZ~ R2.a)Hallar su centroide aplicando las frm ulas (28), (30) Y el Teorema de Pappus.b)Este cuadrante al girar alrededor de uno de sus ejes, engendra una semiesfera (x 2 + y2 + zZ ~ R Z).Obtngase su centro de gravedad. 62. http://carlos2524.jimdo.com/48 Clculo integral y aplicaciones RESOLUCiN a) (28). Puesto que C(x, ji = x),calculemosx (primer grfico de la Figura 1.27):_ 1 R34 R3 4Rx = - - = - - = -=> C(4R, 4R)A 3 nR 2 3 3n3n 3nzyR / / / / / / / /yoxR x x Figura 1.27 (30). Calculemos ji que parece ms sencillo: 1 fb f2(X)dx2 iR (R 2 - 2 2R 3 4R ji = - = - x2)dx = -. -=-2Aa nR 2 OnR 2 3 3n (Pappus). El cuadrante sombreado al girar alrededor del eje y, genera una semiesfera de volumen2 ~nR 3 , el cual deber ser igual al rea de cuadrante (n: ) por el camino recorrido por su centroide C(2nx). En consecuencia: -4R =>x=-3n b)Puesto que C(O, O, Z), escribiremos (segundo grfico de la Figura 1.27):Al ser dV{ cilindro} = na 2 . dz = n(R 2 - Z2) dz, aplicando (27), se tiene:3. Consideremos una regin (R) limitada por la curva y = f(x) = 2x - x 2, y el eje x. Dicha regin giraalrededor del eje y. 63. http://carlos2524.jimdo.com/Integrales definidas simples49al Prubese aplicando Pappusy la frmula (24), que el volumen del cuerpo de revolucin engendradoes V = Sn/3.bl Hllese nuevamente V utilizando la frmula usual dV = nx z dy. Ntese ahora que en y = f(x) debernconsiderarse dos ramas, la x = l - ~ a izquierda de x = 1, Y la x = 1 + ~ a derecha. Conello, resultar:V= n I J o (l + ~)Zdy- n JIo(1 - ~fdy = 4nJIo Sn(l - y)l /zdy = - 3el Comprubese que los centroides de R y del cuerpo tienen por coordenadas respectivas (1 , 2/5) Y(O, y, O), siendo: y = -1 VfydV= -3SnJI o y 4n(l-y)l /zdy = - B ( 2,- = - (tambin)323) 22 54. Reptase el anterior ejemplo con y = f(x) = senx (entre O y n/2), comprobando que:dV = nx z dy-+ V= n IJo (n)Z dy - n "2JI"4 - o (arc seny)z dy = n3 Zn (n - 2 ) = 2n "4Intntese asimismo obtener V (entre O y n) = 2n z, utilizando nicamente la relacin dV = nx z dy .Centroides de slidos de revolucinConsideremos nuevamente la Figura 1.13 y supongamos que el rea (A) encenada por la curva y = f(x) , yel eje x entre Xl y xz gira alrededor de dicho eje.En las condiciones dadas, resulta evidente que C(i, O, O) ser el centroide del cuerpo de revolucinengendrado.Como adems dV (generado por la regin sombreada) = nyz dx, sustituyendo esta relacin en (27), setendr: 1C(i,O,O):i=- V fxdV = -1V fnx nyZdx=-IXlV x, xf2(x)dx (31)Ejemploal Suponiendo que un cuadrante de crculo (primer grfico de la Figura 1.27) gira alrededor del eje x,comprubese mediante (31) que el centroide de la semiesfera engendrada es C(i, O, O)/i = 3R z/ S.bl Aplicando las frmulas (27) y (31) transformada, obtngase el centroide C(O, O, Z) de un cono derevolucin (cuyo eje es el z) de altura h y radio de la base r.RESOLUCiN__nal C(x, O,O) : x = -2- - nR 3 3 64. http://carlos2524.jimdo.com/50 Clculo integral y aplicaciones b) Habiendo situado el cono en la posicin de la Figura 1.28, y puesto que:dV = {r a} na 2 dz - hz = - =(rz)2 dz n -11 z hy- rz = O r -1 o 1 yx Figura 1.281 siendo V = - nr 2 . 11, se tiene:3 Adecuacin de (31): la curvahy - rz =O (del plano yz)gira alrededor del eje z. El equivalente de Xf2(X) dx, ser obviamente:Consecuentemente (31):que coincide con la expresin integral anteriormente obtenida. Momentos de inerciaConsideremos una masa puntual m distante r de un punto o un eje (E) a.lrededor del cual giracon velocidad angular w (Figura 1.29). Su energa cintica (W) vendr expresada, como sabe-mos, por: 65. http://carlos2524.jimdo.com/ Int egrales definidas simp les 51 zxInr-----~-- y --------~, , , , : r d (y) / z V ----------------------- ---j--- -___y / / / /Ex Figura 1.29Si el cuerpo (de masa m) no es puntual, la igualdad anterior resulta vlida para cada una desus partculas de masa mi (m = L m) puesto que w es la misma para todas. Con ello, podremosescribir:1 11W = - (m r 2 )w 2 + - (m r 2 )w 2 + .. . = - (L m.r 2 )w 22 112 22 2"Por definicin, los factores mr 2 , L mir~ se denominan momentos de inercia (de la masa pun-tual o del cuerpo en cuestin) respecto del elemento (E) alrededor del que giran. Los momentosde inercia suelen representarse por la letra mayscula I.El momento de inercia respecto de un plano se define del mismo modo: producto de m (sies puntual) por el cuadrado de su distancia a dicho plano.Por otra parte, como el cuerpo, en general, estar formado por infinitas partculas, el clculode su momento de inercia deber llevarse a cabo mediante integracin. Razonando con elemen-tos diferenciales, es decir: momento de inercia diferencial correspondiente a una masa dm quedista r del punto, eje o plano, escribiremos:(32) Ntese que para aplicar correctamente (32), la distancia entre cualquier punto de dm (dmpuede ser un anillo delgado, una placa delgada circular, ...) y el punto, eje o plano considerado,debe ser constante e igual a r .EjemploHallar en funcin de su masa CM) los momentos de inercia de los siguientes cuerpos:al Un cilindro de masa M y radio R respecto de su eje CE). 66. http://carlos2524.jimdo.com/52 Clcu lo integral y aplicaciones b) Una varilla muy delgada de masa M y longitud L respecto de un punto (o eje E) que pase por uno de sus extremos. RESOLUCi N a)Supongamos que la altura del cilindro es h , y p su densidad (V = nR 2 h , M = pV):di = r 2 dm {dm = pdV, dV = 2nrdr h} = 2nhp r 3 dr : 1i R I = 2nhpr 3 dr = - nhp R 4o2 Como se pide I en funcin de M , multiplicando y dividiendo por M = pV = pnR 2 h, resulta:1 M1I = - nhp . R 4 . - - -=>I (cilindro) = - MR 22 p nR 2 h2 Si el cilindro fuese hueco de radio r (interior) y R (exterior), del mismo modo se probara que:1 I(cilindro de radios r y R)= - M(R 2 + r2 )2 y en el caso de ser hueco con pared muy delgada (R~r) , se tendra: I (cilindro hueco de pared delgada --> tubo o anillo) = MR 2b) Aunque se simplificar de igual forma que la h anterior, supongamos que la seccin transversal de lavarilla (Figura 1.30) es A (V = A . L , M = p V): di = r 2 dm {dm = p dV = peA dr)} = pA . r 2 dr :L11 M1I =f r 2 dm = pA for 2 dr = - pAL 3 = - pAL 3 . - - = - ML 2 3 3 pAL 3dm 1_ _- - r - -__ E .~=========::::I:::::I==:=J I~dr L Figura 1.30 67. http://carlos2524.jimdo.com/Integrales defin idas simpl es53Relaciones entre momentos de inerciaA continuacin, se presentan ciertas relaciones entre los momentos de inercia de un cuerpo, quefacilitarn en gran medida el clculo de stos. Para fijar ideas, las deduciremos utilizando lamasa puntual m (vase Figura 1.29), pues en el caso de un cuerpo, dichas relaciones, que tam-bin son vlidas, se obtienen de forma totalmente anloga (operando con dm).Denotemos por lo, Ix, Ixy, ... los momentos de inercia de m (o del cuerpo en cuestin) res-pecto del origen, del eje x, del plano xy . ... Observando la Figura 1.29, las distancias expresadasen ella, y aplicando las definiciones dadas, escribiremos:de donde son inmediatas, entre otras, las siguientes relaciones: (33)EjemploConsideremos una esfera maciza de radio R y masa M. Calclese:a) El momento de inercia respecto de un eje que pase por su centro.b) El momento de inercia respecto de su centro, aplicando (32).RESOLUCiNa) Tratar de obtener este momento de inercia aplicando la frmula (32) y operando en cartesianas, pre-senta gran dificultad. Mucho ms sencillo resulta hallar el momento de inercia (l x) respecto de un planoque pasa por el centro de la esfera, y aplicar las relaciones (33).Basndonos en el segundo grfico de la Figura l.27 (esfera completa), y t01~ando como dm el cilin-dro diferencial sombreado (todos los puntos de dm distan un constante r = z del plano horizontal), escri-biremos:4multiplicando y dividiendo por M = PV = p."3 nR 3 , se tiene: M 68. http://carlos2524.jimdo.com/54 Clculo integral y aplicaciones 1 Y al ser IXY = I xz = IyZ = "5 MR 2, aplicando (33) resulta:=> b)Utilizando (33) es inmediato que:3 ?1o = 31xy = - MR-5 Comprobemos este resultado mediante integraci n (32): para que la distancia entre cada punto de dm y el centro O (O, O, O) de la esfera sea constante e igual a r, el elemento dm deber ser la masa de un globo esfrico delgado (radio interior r, y exterior r + dr). Obtengamos pues la masa dm = p dV de dicho globo: 4444 dV = - n(r3+ dr) 3 - - nr = - n(3r 2 + 3r dr + dr 2 )dr ~ -n(3r 2 ) dr = 3333 = 4nr 2 dr (difernciese el volumen de la esfera V= ~ nr 3)Con ello se tiene (O ~r ~ R): Vase tambin el Ejemplo resuelto 6 en donde de nuevo se obtiene el momento Ix de esta esfera de dos formas relativamente simples mediante dos artificios : uno, general para todo tipo de cuerpos, y el otro, particular para cuerpos de revolucin. Teorema de Steiner. Radio de GiroSi se conoce el momento de inercia de un cuerpo respecto de un eje, este teorema permite cal-cular el momento de inercia respecto de cualquier otro eje paralelo al anterior.La frmula de Steiner viene expresada por la siguiente relacin :(34)siendole : Momento de inercia respecto de un eje (e) que pasa por el centroide (e).1: Momento de inercia (que se busca) respecto de un eje Ce) paralelo al e.Myd: Masa del cuerpo y distancia entre dichos ejes.Probemos esta relacin (34) que se obtuvo por primera vez en 1783:Apoyndonos en que los tres puntos: P (punto cualquiera del cuerpo) e (centro de gravedad)y el punto donde est situada la masa puntual dm, definirn un plano, hemos dibujado plana laFigura 1.31. Se ha elegido una referencia cartesiana cuyo origen coincide con e, por lo cual,como se ha plasmado en dicha Figura, f x dm = O. 69. http://carlos2524.jimdo.com/Integrales definidas simples 55 y Al ser Ce = O, y = O):a ~: r J dm x > = - - = O => J dll1 X= O a X c (O, O)x xFigura 1.31 Sin ms consideraciones, y teniendo en cuenta que 1 =f r 2 dm, l e = fa 2 dm, escribiremos:1= f r 2 dm {teorema del coseno} =f (a 2 + d2 - 2adcosrx)dm {ccosrx = x } =Radio de giro: cualquiera que sea la forma de un cuerpo, siempre ser posible encontrar unpunto Q situado a una distancia (k) de un eje (e) dado (puede tratarse tambin de un punto oplano) en el que cabe imaginar concentrada toda la masa (M) del cuerpo, sin modificar el co-rrespondiente momento de inercia l e.Dicha distancia k, recibe el nombre de radio de giro del cuerpo respecto del eje e. En conse-cuencia, le = Me. .As por ejemplo, en una esfera maciza, el radio de giro respecto de su eje de revolucinvendr determinado por:1= 2 MR 2 = Mk- ~? SEjemplos1. El momento de inercia de un cuerpo de masa M = 4 kg respecto de un eje (e) situado a 2 m de sucentroide (C) es l e = 20 kg m 2 . Probar que el momento de inercia respecto de otro eje paralelo que dista 3m de C, es 1 = 40 kgm 2 .2. Consideremos un cuerpo de masa M cuyos momentos de inercia respecto de su centroide (C) y de unplano (n) que pasa por C, se conocen.Probar mediante las relaciones (33) que sus momentos de inercia con relacin a otro punto C u otroplano n (paralelo al n) verifican tambin la frmula de Steiner (se prueba de inmediato supon iendo Csituado en la posicin m de la Figura 1.29). 70. http://carlos2524.jimdo.com/56 C lculo integra l y aplicacionesX2 y2 Z2 3. Sea el elipsoide 2:+ 2: + 2: = 1, de masa M. Comprubese que sus momentos de inercia respectoa be del plano z = e/S, y respecto de su centroide, son respectivamente: 61= -Me 2 25 Momentos de inercia de superficies planas En resistencia de materiales, cuando se estudia la flexin, aparece frecuentemente un concepto denominado momento de inercia de una seccin transversal (momento, que resulta ser inver- samente proporcional a la flexin transversal de una viga cargada). Los correspondientes momentos de inercia de dichas secciones vienen definidos (Figu- ra 1.32) por: (35) yyhy = -x p ahyox xab x Figura 1.32 . EjemploLos anteriores momento de inercia lo , Ix, Iy se denominan respectivamente momento de inercia polar (lo) ymomentos de inercia axiales. Determnense estos momentos cuando la superficie en cuestin es la deltringulo escaleno de la Figura 1.32.R ESOLUCiNDividiremos este tringulo en dos tringulos rectngulos y obtendremos, en principio el Ix del tringulosombreado (todos los puntos del elemento dA, distan, como siempre, una constante r = y del eje x respectodel cual queremos hallar el momento de inercia): 1Ix (tringulo sombreado) = -JI! (ahy 2 -11 1 ay3)dy = - ah 3 - - ah 3 = - ah 3ho3412 71. http://carlos2524.jimdo.com/ Integrales definidas simples 1 eto Expresemos este resultado en funcin del rea Al=-ah del citado tringulo:2 1Al 1I, - ah3- Al h2 1216- ah 2 1Resulta inmediato que en el segundo tringulo, L, = - A2 h2. En consecuencia:6eptover-igu-Del mismo modo se obtendra que: I 1(35) 1=- bhta? + b2 + ab)=-A(a2+ b2 + ab)y 12 6 Este resultado puede lograrse muy rpidamente aplicando, adems del resultado anterior, que el Iy de1 1 un rectngulo (tal como el de vrtices O, a, P, h) viene dado por Iy = - a3h = - Aa233Consecuentemente: 1 1o = 1x +1y =-6A(h2+ a2 + b2 + ab) x(lo) yla delngulopecto 72. http://carlos2524.jimdo.com/58 Clculo integral y aplicaciones La integral de Riemann 1. alCalcular en el intervalo [ - 1, 1] el rea CA) limitada por el eje de abscisas y la curva y= fCx) = xix!. bl Determinar el valor de la integral 1 = J ~ 1 f(x) dx. elHllese en dicho intervalo, grfica y analticamente, el valor medio integral J1= f(e) , e igualmente el punto intermedio e. RESOLUCiN ;2si x? O al Al ser y = f(x) =xlxl = { - , 2se tiene la curva representada en el primer grfico de la - x si x < O , Figura 1.33; Y habida cuenta de la simetra existente, escribiremos:IJI2 J 2 A = rea sombreada = 2 X2dx = - x 3o3 o 3 y I y=g(x)I Ixx Figura 1.33bl 1= JI - 1 xlxl dx =JO --1 X2dx + JI o X2 dx = O (concepto)el Por la simetra resulta evidente que el valor medio integral (valor medio de todas las ordenadas) esJ1 = f( e) = O, Y asimismo que e = O. Comprobmoslo mediante la frmu la correspondiente: {l = fCe) = - 1 - fb f(x)dx = -1 JIxlxldx = O = e=O b - a {/2- 1 73. http://carlos2524.jimdo.com/Integra les definidas simpl es 592. Hallar el rea de la regin limitada por las curvas: y = f(x) = - X2+ 3x -1,Y = g(x) = X3 - 2x 2+X-1 RESOLUCi N Despus de haber dibujado la frontera de dicha regin y obtenido los resultados plasmados en el segundo grfico de la Figura 1.33, se tiene:A(rea pedida) =fO[g(x) - f(x)] dx+f2 [f(x) - g(x)] dx= -1 o f25 837 =f-1(x 3- X2 - 2x) dx+ (-x3 + X2 + 2x) dx = - + - = -12 3123. Efectuando en las integrales (m, n E N): [(m) = f:2sen"xdxJ(m, n) = f: 2 sen"xcos"xdx a) una nica integraci n por partes (hgase en ambas sen l1l - 1 x = u), se consigue obtener una senci lla ley de recurre ncia. Hallar con ella, el valor de [(5), [(6) y J(4, 5) que justificar n la siguiente f rmula: (m - 1)!! (n - l)!!1tm y n pares(m + n)!! 2 f "O/ 2 sen"x cos"x dx = (m - l )!!(n - I)!! ----------------, en los dems casos(m + n)!! b) e igualmente la relacin:(m - 1)!!1t m par f: 2 sen"x dx =f: 2cos"x dx= m!!(m - 1)!!- - - - , m impar2 m!! (vase el Ejemplo 4 que sigue). RESOLUC iN sen" - Ix = u du = (m - I)Senl" - 2x.cOSXdx} J "/2 [ (m).-> = - sen,,, - Ix cosx + { sen x dx = dvv = - cos x . "/2 + (m - 1) fsen"-2xcos 2x dx {cos 2x = I - sen 2x} = O + (m - 1)[/(m - 2) - [(m)) 74. http://carlos2524.jimdo.com/60 Clculo integral y apl icaciones de donde m - 1l(m)[1+ (m - 1)] = (m - 1)/(m - 2)= I(m) = - -m /(m - 2)Haciendo igualmente en J(m , n) el cambio sem" - 1x= u, y sustituyendo del mjsmo modo cos 2x porm - 11 - sen 2x, resulta J(m, n) = - - J(m - 2, n).m+nConsecuentemente:44 2 4 .2f"/2sen x dx = -4 . 2 1 al I(S) =- /(3) = --/(1) = -SS 3 S3oS3SS 3 S 3 1S 3 1 1(6) = - /(4) = --/(2) = - - - 1(0) = -. - .-f"/2dx664642642 0con lo cual: " /2 411 S!! n f"/2l(S) = osen 5 xdx = -.:..:.S!! , 1(6)= fosen 6 xdx = - -6!! 2"/2 4 54 - 13 2- 13 . 1 f"/2 5bl J(4 S)=f o sen xcos xdx=-- J(2S)=- - + SS)= -97 o cos xdx=- J(O, 4+S92 31421(4 - 1)!!(S - I)!! =-.- - = 97 S 3 (4 + S)!! Ntese que f:2 sen 2 dx =xf:2 cos 2 dx =x , resultado que es conveniente recordar pues estas dosintegrales aparecen muy frecuentemente.n n 4. al Efectuando los cambios de variable x = - - 2 t, x = -2+ t,respectivamente, demostrar las siguientesigualdades: "/2 f "/2 1 f" f o f(senx)dx = o f(cosx)dx = - o f(senx)dx 2bl Aplicando lo anterior calcular el valor del rea del recinto limitado por los ejes coordenados y la cur-va y = L (sen x) en el intervalo [O, n/2]. Hgase para lograrlo el cambio x = 2t en la tercera integral (9).(9 ) Aunque el estudio en el caso de que la funci n subintegral f(x) no est acotada en algn punto de [a, b1 (L sen xno lo est en x = O) ya ha sido realizado en la Seccin 1.2, raznese para resolver este ejemplo sin tener en cuenta dichasingu laridad. 75. http://carlos2524.jimdo.com/Integrales definidas simples 61 RESOLUC iNn alPuesto que el cambio x = - - t, transforma el intervalo de integracin [O, n/2] en el [n/2 , O] , escri-2 biremos:(n)J f o/2 f(se n x)dx = tr o/2 [ sen " f "2 - t(- dt) =r "/2Jo f(cost)dtDe igual forma se probara la segunda relacin. blComo Vx E [O, n/ 2] f(x) = Lsenx ~ O (mismo signo) , para hallar el rea pedida deber resolverse una integral (H) cuyo valor absoluto ser dicha rea (A) . En consecuencia: H ="/2i" {x 2t } i"/2I= io Lsenxdx {indicacin } =- o Lsenxdx dx, -_ 2dt o L sen(2t)dt = 2==f:/2L(2 sen tcos t) dt = f:/2(L2 + L sen t + Lcost t) dt==L2 f:2 dt +H+H =nH = - L22+ 2H =H = - - L2n2= n A = - L2 2Integrales impropias oo I1. Consideremos la integral impropia 1 =f3X2- 4x +3dx . al Calcu lar su valor. obteniendo para ello una funcin primitiva. bl Comprubese el resultado mediante estudio de la convergencia. RESOLUCiN al Puesto que 1 ti [3 , co ), dos son las singularidades de la integral 1: intervalo infinito y no estar acotada en x = 3. Para calcular esta integral a partir de su primitiva, podemos escribir:1= lim (H"j-( oo . O) f H 2 dx3+, x -4x+3= -.I2 lim(I1. ,j-( oo ,Oj IX - 3IJ[ L -- x - IH3+, =-1[ lim L (H - 3) - 2 H -oo -- H - Ilim L - -,-o[; (2 + E)J = -12 [O - ( -00 )] = coConsecuentemente / diverge (el rea relativa a x = 3 es infinita) . bl Estudiaremos las dos singu laridades . I I -Intervalo infinito (criteri o integral): 1 ~ I: ?~ I: 2 (converge) ./1- -4/1 +3 n 76. http://carlos2524.jimdo.com/62 Clculo integral y aplicaciones- f(3)= 00 (criterio del lmite):(x - l )(x - 3) 1(x - 3)/111 limx~3 + = - lim 2x~3 + X - 3 = - i= O, con 2 m = 1=1 diverge. (x - 3)/11 2. Consideremos la integral impropia:al Determinense cuantas singularidades presenta.bl Estudiar su carcter utili zando siempre el criterio del lmite.RESOLUCiNal La primera singularidad es evidente: interv