Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con variables separables o reducibles a esta

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VARIABLES SEPARABLES O REDUCIBLES A

ESTA

ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES

Iniciaremos nuestras técnicas de solución a “Ecuaciones Diferenciales”con las ecuaciones más sencillas de resolver. Este

tipo de ecuaciones son resueltas directamentemediante una o dos integraciones.

DEFINICIÓNUna ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:

y’ = F(x, y)

Se dice de Variables Separables si es posible factorizar F(x, y) en la forma:

F(x, y) = f(x) · g(y)

Una EDO de variables separables puederesolverse usando la siguiente estrategia:- Procedimiento: Variables Separables- Entrada: Una EDO en la forma y0 = F(x, y)- Salida: La solución de la ED.

Paso I: Factorizar el segundo miembroFactorizar F(x, y) = f(x) · g(y),si tal factorización no es posible, se concluye quela ED no es de variables separables y elprocedimiento no continua.

Paso II: Separar las variablesHacer álgebra para poner variables diferentes enlados diferentes: y’ = F(x, y) = f(x) · g(y)

[= f(x)dx

Paso III: IntegrarIntegrando la expresión anterior con respecto a xobtenemos: ∫[]dx = ∫f(x) dxo simplemente: ∫[]dy = ∫f(x) dx + C

Paso IV: Despejar y OpcionalDebido a que “y” representa la función incógnita a determinar, lo ideal es determinarla porcompleto, es decir tener como solución unaexpresión de la forma:y = Expresión en xEn caso que este despeje sea posible, se diceque la solución está dada en forma explícita, encaso contrario (cuando no fue posible despejary) se dice que la solución está dada en formaimplícita.

Ejemplo 1Resuelve la ED: = -Paso I: Primero revisamos si la Ecuación Diferencial es de Variables Separables: = - = (-2x)() = f(x).g(x)Paso II: Separando las variables: y dy = -2x dxPaso III: Integrando: y ) dy = -2x )dxPaso IV: Resolviendo: = - + C

La expresión = - + C representa una familia de soluciones: una solución para cada valor de la constante C. Si graficamos las funciones para diferentes valores de C tenemos:

PROBLEMA CON CONDICIONES INICIALESUn problema con valores (condiciones) inicialesconsiste de una ecuación diferenciales y de unpunto del plano x − y:= f(x, y) sujeto a y() = El problema consiste en encontrar una funcióny = y(x) solución a la ecuación diferencial y queademás cumpla y() = (es decir, que al evaluardicha función en x = el valor resultante sea ).

Generalmente este problema se resuelve primeroencontrando la solución general (aparece C arbitraria) y posteriormente se sustituyen los datos del punto (, ) para determinar el valor de C.

Ejemplo 2Resuelve el problema con condiciones iniciales: = - sujeto a y(1)=1Por el ejemplo anterior la solución general es: = - + CComo el punto , =1) Debe cumplir: = - + C Por tanto C= 3/2 y la solución buscada es: = - + 3/2 ó = 3 - 2