Variable aletoria

VARIABLES ALEATORIAS

Definición: una variable aleatoria X es una función que asocia a cada resultado del espacio muestral (Ω) un número realNotación:X = Variable aleatoria (v.a)x = valor de la variable aleatoria

Ejemplo: analizar la variable aleatoria x: número de caras que se obtienen al arrojar dos monedas: 1°) El espacio muestral es: 2°) el recorrido de la variable aleatoria x es x : 0, 1, 2

2. CLASES DE VARIABLES ALEATORIAS

VARIABLE ALEATORIA DISCRETAx es una variable aleatoria discreta si el recorrido de x es un conjunto finito numerable, es decir

Podemos distinguir:

Función de probabilidadFunción de distribución de probabilidad

b) SU FUNCIÓN DE PROBABILIDAD (llamada función de cuantía) Sea X una variable aleatoria discreta.

F(x)= Px(x) = P[X=x]= P(w Ω /X(w)=x) Es decir es la probabilidad asignada a cada elemento del espacio muestral:

Expresados como el conjunto de parejas ordenados (x, P(x)) donde

Propiedades i) P(x) > 0 x R; yi i) iii)

X X1 X2 ………. Xn

P(X=x) P(X1) P(X2) P(Xn)

La distribución de probabilidad, incluye solo valores discretos la cual se describe mediante tres formas: La grafica (graficas de batones) Tabla de valores de v.a. y sus respectivas probabilidades Fórmula

EJEMPLO: La función de probabilidad del ejercicio anterior es:

X 0 1 2

P(x) ¼ 2/4 ¼

Observamos que cada valor numérico de x le corresponde una probabilidad.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE X

Definición: sea X una v.a. discreta es una suma en la que F es la función de DISTRIBUCIÖN ACUMULATIVA de la variable aleatoria X como Propiedades de la función de distribución

1. 2. F(x) es no decrecientes decir si 3. 4. si eso implica que F(x) es una función escalera

EJEMPLO: La función de probabilidad del ejercicio anterior es:

x<0

0 ¼ ¾ 1

Dónde:si x< 0 entonces P(x 0) = 0Si entonces P(x x) = si entonces P(x x) = Si entonces P(x x) =

ESPERANZA MATEMÁTICA

𝜇=𝐸 [ 𝑥 ]=∑ x . P [ x ]PROPIEDADES E(c) = 0 c es constanteE(cx) = cE(x) c es constanteE(cx + m ) = cE(x) c y m = constantesE(ax + by) = aE(x) + bE(y) a,b = constantes

VARIANZA

v

PROPIEDADES 1. V(c) = 0 c es constante2. V(cx) = V(x) c es constante3. V(ax + b ) = V(x) a y b = constantes4. Si “x” e “y” son variables independientes V(ax + by) = (x) + (y) a,b = constantes

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

x es una variable aleatoria continua si existe una función f(x) con x perteneciente a un intervalo , es decir el número de valores posibles de la variable en estudio es un conjunto no numerable. Es decir, la variable toma infinitos valores

FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

Se define como función a la v.a.c si cumple las siguientes propiedades:

i) f(x) > 0 x intervalo yii) iii) Siendo F(x) la función de distribución donde

Ejemplo

Verifica que la función es una función de densidad

Solución

1. Debo probar que Pues 2 > 0 y

2. Debo probar que

Vemos

¿21−2

𝑒−2 𝑥𝑥=0𝑥→+∞

¿ (−𝑒−∞)−(−𝑒¿¿ 0)¿

3.𝑃 (0<𝑥<𝐿𝑛3 )=∫0

𝐿𝑛3

2𝑒− 2𝑥𝑑𝑥

¿−𝑒− 2𝑥𝑥=0𝑥=𝐿𝑛 3

¿ (−𝑒−2 𝐿𝑛3)−(−𝑒¿¿0)¿

¿−19+1=

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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

sea x una v.a.c. con función de densidad f(x); luego, la función de probabilidad acumulada o función de distribución de una v.a.c. x se define como:

PROPIEDADES

1. 2. 3. 4. 5. 6.

ESPERANZA MATEMATICA

PROPIEDADES E(c) = 0 c es constanteE(cx) = cE(x) c es constanteE(cx + m ) = cE(x) + m c y m = constantesE(ax + by) = aE(x) + bE(y) a,b = constantes

VARIANZA

PROPIEDADES 1. V(c) = 0 c es constante2. V(cx) = V(x) c es constante3. V(ax + b ) = V(x) + m a y b = constantes4. Si “x” e “y” son variables independientes V(ax + by) = (x) + (y) a,b = constantes