GEOMETRÍA

Página 1

LA CIRCUNFERENCIA

Uno de los grandes descubrimientos de la humanidad

ha sido la rueda .En la antigüedad , este instrumento

fue un elemento fundamental en los grandes

construcciones en el transporte y la fabricación de

diversos objetos .

1.- DEFINICIÓN : La Circunferencia es el conjunto de

puntos que están en un mismo plano y que equidistan

de otro punto fijo del mismo plano llamado centro.

La circunferencia es el lugar geométrico de aquellos

puntos equidistantes de otro fijo llamado centro y que

se encuentran en un mismo plano

2.- ELEMENTOS:

Centro : “O”

Diámetro : AB

Radio : OB y OD

Arco :

Cuerda : MN

Flecha o sagita : RK

R. Secante : CD

R. Tangente: TS

Pto. de Tangencia: T

3.- CÍRCULO: Es la porción del plano limitado por una

circunferencia. La circunferencia y el círculo están

íntimamente ligados tal que, los elementos de uno le

corresponden al otro.

4.- POSICIÓN RELATIVA DE DOS CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO: ( d = distancia entre los centros ) Circunferencias Exteriores :

Circunferencias Interiores : Circunferencia Concéntricas : Circunferencias Tangentes Interiores : Circunferencias Tangentes Exteriores : Circunferencias ortogonales:

K

R

N

M

B

A

O

D

C

T

S

r

r

BD

R r

d

d > R + r

R

r

d d < R –r

rr

R r d = 0

R

d r d = R – r

R r

d

d = R + r

O

R

O1

r

12OO = R

2 + r

2

GEOMETRÍA

Página 2

Circunferencias secantes:

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE TODA CIRCUNFERENCIA

1. En toda circunferencia a cuerdas congruentes

le corresponde arcos congruentes .

Si AB = CD

Entonces:

=

2. En toda circunferencia, cuerdas paralelas

determinan que los arcos comprendidos entre dicha

paralelas sean congruentes.

Si BC // AD

Entonces:

=

3. El radio correspondiente al punto del contacto es

perpendicular a la tangente.

OT L

4. En una circunferencia todo diámetro

perpendicular a una cuerda, biseca a dicha cuerda y a

los arcos respectivos.

MN = diámetro

Si: MN AB

Entonces:

m = m

AO = OB

5. Si por un punto exterior a una circunferencia

se trazan segmentos de tangente, entonces se cumple

que dichos segmentos son congruentes.

5.- ÁNGULO EN LA CIRCUNFERENCIA:

ANGULO CENTRAL :

Se llama ángulo central al ángulo cuyo vértice se

encuentra en el centro de la circunferencia El ángulo

central es igual a la medida angular del arco opuesto

ANGULO INSCRITO :

El ángulo inscrito es la mitad de la medida del arco opuesto:

= 2

AC

ANGULO SEMI - INSCRITO :

El ángulo semi-inscrito es la mitad de la medida

del arco comprendido entre sus lados:

ANGULO INTERIOR :

El ángulo interior es la semisuma de la medida de

los dos arcos opuestos

O

R

O1

r

R – r < 1OO < R + r

C A

D

B

AB CD

AB CD

D

A

C B

T L

O

AM MB

N

M

B A O

A

B

P

AP = BP

A

B

O

= AB

2

aα

GEOMETRÍA

Página 3

ÁNGULO EXTERIOR :

El ángulo exterior es la semidiferencia de la

medida de los dos arcos comprendidos entre sus

lados:

= m - m .

2

= m - m .

2

= m - m .

2

ANGULO EX INSCRITO :

El ángulo ex-inscrito es la semisuma de la medida de

los dos arcos comprendidos entre sus lados:

=2

CB AB

TEOREMAS

TEOREMA I (DE STEINER)

En todo cuadrilátero exinscrito, la diferencia de 2

lados opuestos es igual a la de los otros 2:

a - c = d - b

TEOREMA II

Del exradio relativo a un cateto:

r a = p - c

TEOREMA III

Todo ángulo inscrito opuesto a un diámetro, es

recto:

= 90°

TEOREMA IV

En todo inscrito, la altura y el circunradio que parten

de un vértice común, forman ángulos iguales con los

lados adyacentes:

ˆˆ

TEOREMA V (PONCELT)

En todo triángulo rectángulo la suma de las longitudes de los

catetos es igual a la longitud de la hipotenusa más la

longitud del diámetro de la circunferencia inscrita .

a + b = c + 2R

TEOREMA VI

C

A

B

AB AC

AB CD

C B

A

D

BCA AB

C

B

A

GEOMETRÍA

Página 4

El inradio es la diferencia del semiperimetro y la

hipotenusa :

r = p - c

TEOREMA VII

El exradio relativo a la hipotenusa es igual al

semiperimetro del triángulo rectángulo:

R b = P

TEOREMA VIII

Del segmento que une un vértice con el punto

de tangencia más próximo, con el incírculo:

x = p - a y = p - b z = p - c

TEOREMA IX

La suma de los exradios relativos a los catetos es

igual a la hipotenusa:

R a + R c = b

TEOREMA X

La altura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de

los 3 inradios de los triángulos rectángulos mostrados:

h = R + R1 + R2

TEOREMA XI (DE PITOT)

En todo cuadrilátero circunscrito, la suma de dos

lados opuestos es igual a la suma de los otros

dos:

a + c = b + d

CUADRILATEROS INSCRITO

El cuadrilátero inscrito es aquel cuyos cuatro vértices

pertenecen a una circunferencia .

TEOREMA I

En todo cuadrilátero inscrito, los ángulos opuestos

son suplementarios:

ˆˆ = 180°

TEOREMA II

En todo cuadrilátero inscrito las diagonales forman

ángulos iguales con los lados opuestos:

ˆˆ

m A + mC = 180o

mB + mD =180o

A

C

B

θ

D

θ

GEOMETRÍA

Página 5

B

2r

N

x

45º45º

A

r C

2r

DryE

rx

2r

y

CIRCUNFERENCIA -Ejercicios

1. En un triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos miden 37° y

53°. Calcule la relación entre las

medidas inradio y el circunradio.

A) 2/5 B) 1/5 C)3/10

D) 3/5 E) 2/7

2. En un triángulo rectángulo las

medidas del inradio y el circunradio

están en la relación de 1 a 3. Calcule

la longitud del inradio si el perímetro

del triángulo es 42.

A) 2 2 B) 2 C) 3

D) 3 2 E) 6

3. En un rectángulo ABCD se

traza la bisectriz del ángulo B,

interceptando en “E” a AD . Calcule

la longitud del radio de la

circunferencia inscrita en el

cuadrilátero BEDC, si ésta

determina el punto “N” en BE y BN

– NE = 16.

A) 16 B) 12 C) 10

D) 8 E) 4

4. En un paralelogramo ABCD se traza

la altura BH (H en AD ). Si la

longitud del inradio del triángulo ABH

es igual a r y el cuadrilátero HBCD es circunscriptible a una circunferencia

de radio cuya longitud es R, calcule

HD.

A) rR 2 B) r3R2 C) rR

D) rR2 E) )rR(2

5. En una circunferencia de centro “O”

se ubican los puntos A, B y C de

modo que AC es diámetro y

mAB 90 º. En AB y en la

prolongación de BO se ubica los

puntos P y S respectivamente.

Siendo m<PSC = 90º. Calcule la

m<SPC.

A) 30º B) 45º C) 60º

D) 37º E) 20º

6. Desde el punto C exterior a la

circunferencia de diámetro AB se

traza la tangente CT (T en el arco

AB) y CH AB (H en AB ) siendo

6 TC 4 AB , calcule la

m THA .

A) 53º B) 37º C) 30º

D) 60º E) 45º

7. En un triángulo rectángulo ABC

(recto en B) de incentro “I”, AI =

1 e IC =3 2 . Se traza la

perpendicular CH a la prolongación

de AI; calcule la longitud del inradio

del triángulo rectángulo AHC.

A) 3 B) 5 C)4

D) 2 E) 1

8. La circunferencia inscrita en un

triángulo rectángulo ABC recto en B,

(BC AB), es tangente en N a AB y

en P a BC . Exteriormente se

construye el trapezoide BCED en el

cuál la circunferencia inscrita es

tangente en M a BD y en Q a BC .

Calcule PQ si ED = 5, AC = CE y

DM + AN = 3.

A) 1 B) 1,5 C) 2

D) 2,5 E) 3

9. La suma de las longitudes de los

catetos de un triángulo rectángulo es

igual a 8u. Calcule la suma de las

GEOMETRÍA

Página 6

longitudes de su inradio y de su

exradio relativo a la hipotenusa.

A) 8u B) 12u C) 4u

D) 16u E) 6u

10. Los catetos de un triángulo

rectángulo miden 10 cm y 24 cm.

Calcule la distancia del incentro al

circuncentro.

A) 41 cm B) 65 cm

C) 51 cm D) 35 cm

E) 3 5 cm

11. En un triángulo ABC se traza la

mediana BM. Las circunferencias

inscritas en los triángulos ABM y

BMC determinan los puntos de

tangencia P y Q sobre BM . Calcule

PQ si BC – AB = 12.

A) 10 B) 8 C) 6

D) 4 E) 3

12. De la figura calcule UN-CP; Si QT

= 3 y el perímetro de la región

UNC es igual al de la región QUCP

(T Punto de tangencia).

P C N

Q

TU

A) 3 B) 6 C) 9

D) 5 E) 2

13. En un rectángulo ABCD en BC se

ubica el punto P de modo que la

m APD 90º siendo AB = 10,

calcule la suma de las longitudes de

los inradios de los triángulos ABP,

APD y PCD.

A) 2,5 B) 5 C) 10

D) 15 E) 20

14. En una circunferencia se ubica los

puntos A, B, C y D de modo que

AC BD P yAC BD. Si el

inradio del triángulo BPC mide 1 cm,

AP 3 cm y mAB 2mAD, calcule

BP.

A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm

D) 5 cm E) 8 cm

15. En un triángulo ABC, la mediatriz de

AC intersecta a AC Y BC en M y N

respectivamente; luego se traza la

altura AH (H en BN ). Si AB NC y

m ABC 70º . Calcule m HMN .

A) 10º B) 20º C) 15º

D) 18º E) 12º

16. En un cuadrado ABCD de centro “O”.

en la región exterior relativa al lado

AB se ubica el punto Q de modo que la m AQB 90º; luego se traza

OP AQ . Siendo OP 2 BQ ,

calcule la m BOQ

A) 30º B) 15º C) 16º

D) 26,5º E) 18,5º

17. Una circunferencia se encuentra

inscrita en un trapecio ABCD cuyo

perímetro es 20 m. Calcule la

longitud de la base media de dicho

trapecio.

A) 2,5 B) 5 C) 7,5 D) 10 E) 12

GEOMETRÍA

Página 7

18. En un triángulo rectángulo ABC recto

en B, T es el punto de contacto

entre BC y la circunferencia inscrita.

P es el punto medio del arco BC de la

circunferencia circunscrita. La

medida del ángulo PTC es:

A) 30 B) 45 C) 60

D) 63,5 E) 71,5

19. Calcule “x” en el gráfico

6° 6°

57° 27°

x°

A) 15° B) 84° C) 63°

D) 60° E) 75°

20. En un triángulo ABC mBAC= 60 y

BC = 6u. Calcule la distancia del

incentro al excentro relativo a BC .

A) 3 u B) 6 u C) 4 u

D) 32 u E) 34 u

PRÁCTICA N° 02

1. Desde un punto exterior P se traza la tangente PA a una circunferencia y la secante PBC que forman en P un ángulo de 50o. Si el arco BC mide 120o, Calcular el ángulo formado por los segmento AC y BC. a) 20o b) 25o c) 30o d) 35o e) 40o

2. Desde un punto exterior a una circunferencia,

se traza tangente PA y la secante PBC siendo 32 o la medida del ángulo APC. Hallar la medida del ángulo ABN, si N es punto medio del arco BC a) 122 o b) 106 o c) 102 o d) 128 o e) 118 o

3. En una circunferencia se prolonga el diámetro

AB hasta “C” luego se trazan la tangente CD y la cuerda DA si el

5θDABmy2θBCDm Calcular “”

a) 7º b) 7.5º c) 12º d) 12.5º e) 15º

4. Desde el punto C, se trazan dos tangentes CA y CB, a una circunferencia formando un ángulo de 70º ¿Cuál es el valor del ángulo capaz del segmento capaz AB?

a) 125º b) 115 º c) 105º d) 135º e) 100º

5. Se tiene un pentágono convexo. ABCDE circunscrito a una circunferencia Si: AB+ CD+ AE = 11 y BC+ ED = 7, Calcular la longitud de la tangente trazada desde A a dicha circunferencia. a) 2 b) 3 c) 4 e) 2,5 e) 3,5

6. El perímetro de trapecio circunscrito a una circunferencia es 36. Calcular la longitud de la mediana del trapecio. a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

7. Una circunferencia es tangente a tres lados de un romboide cuyas alturas miden 8 y 10. Determinar ¿a qué distancia del centro se encuentra el cuarto lado? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

8. Un trapecio isósceles ABCD circunscrito a una circunferencia tiene un ángulo de 30o. Si el radio de la circunferencia mide R. calcular el perímetro del cuadrilátero. a) 10R b) 12R c) 14R d) 16R e) 18R

9. La circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, toca en “P” a BC. Calcular BP, si AB + BC = 31 y AC = 25 a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3

GEOMETRÍA

Página 8

10. En la figura : PB y PC son tangentes , m E mide 26 o y m F mide 25 o Hallar el valor “ x ”

a) 51 o b) 102 o c) 94 o d) 47 o e) 68 o 11. Hallar “ x ” , Si m ALQ = 80o a) 50 o b) 45 o c) 40 o d) 60 o e) 70 o 12. En la figura, calcular x + y + z:

a) 100 b) 110 c) 140 d) 180 e) 200

13. Hallar "X"

a) 108° b) 100° c) 98° d) 90° e) 88°

14. Hallar x

a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25°

15. En la figura m

AF = 140°, m

DC = 30°.

Calcular m

AE .

a) 110 b) 120 c) 130 d) 100 e) 90

16. En el gráfico, calcular x , si P y N son

puntos tangencia.

250CPUN

a) 90° b) 100° c) 110° d) 120° e) 130°

17. Calcular x en:

a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25°

18. Si + = 160°. Calcular JOP.

a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25°

19. Hallar ""

a) 75° b) 60° c) 57° d) 50° e) 30°

20. Calcular "X" si: m

AC - m

AB = 40°

a) 40° b) 50° c) 60° d) 70° e) 80°

A

B

C

F

E

P

x

A

Q

F

B

L x

GEOMETRÍA

Página 9

L

P

Q

N x

21. Calcular "X", si: m ABC + m CDE + m EFG = 400° a) 120° b) 130° c) 140° d) 150° e) 160°

22. En la figura O es centro. Calcular “x”

a) 40° b) 45° c) 50° d) 60° e) 65°

23. De la figura calcular el valor de “x” si la

medida del arco AB es 120o y la medida del CD arco es 80o a) 60° b) 70° c) 80° d) 90° e) 75°

24. Siendo L ,N , P y Q puntos de tangencia

Calcular “ x ” a) 50 o b) 45 o c) 40 o d) 60 o e) 70 o 25. Hallar la medida del arco CR a) 21 o b) 22 o c) 23 o d) 24 o e) 25 o

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA TEOREMA DE THALES

Si tres rectas paralelas interceptan a dos o más rectas

secantes, se cumplirá que los segmentos

determinados en cada recta secante son

proporcionales.

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR

En todo triángulo se cumple que la razón de dos lados

es igual a la razón de los segmentos que una bisectriz

interior determina sobre el tercer lado.

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

En todo triángulo se cumple que la razón de dos lados

es igual a la razón de los segmentos que una bisectriz

exterior determina sobre el tercer lado.

EF

DE

BC

AB

OD

CO

OB

AO

A

C F

E

D

D

O

C A

B

B

n

m

a

c

A

α

n m

a c

P C

α

B

n

m

a

c

c a

A C n P

m

x

GEOMETRÍA

Página 10

TEOREMA DEL INCENTRO

En todo triángulo se cumple que la razón entre la

suma de dos lados y el tercer lado es igual a la razón

de los segmentos que determina el incentro sobre la

bisectriz interior relativa a dicho tercer lado.

TEOREMA DE MENELAO

Si una recta intercepta a los lados de un triángulo se

determinan seis segmentos sobre los lados de éste de

manera que el producto de tres segmentos no

consecutivos es igual al producto de los otros tres.

TEOREMA DE CEVA

Si en un triángulo se trazan tres cevianas concurrentes

se determinan seis segmentos sobre los lados de éste

de manera que el producto de tres segmentos no

consecutivos es igual al producto de los otros tres.

EJERCICOS DE RESUELTOS

PROBLEMA Nº 01

Se trazan 3 rectas paralelas L1, L2 y L3 las cuales son

interceptadas por 2 rectas secantes “x´” e “y” en los

puntos A, B, C y D, E y F respectivamente. Además

AB = 12, BC = 16, DE = 8. Calcular “EF”:

Solución: 1ero) Construimos la gráfica ubicando los valores de

los segmentos:

2do) Ahora aplicamos el Teorema de Thales:

EF

DE

BC

AB

x

18

16

12

EF 24x

PROBLEMA Nº 02

Se tiene un triángulo ABC en el cual se traza una recta

paralela MN al lado AC, tal que NC = 2BN y AC =

12. Calcular MN.

1ero) Construimos la gráfica asumiendo BN = NC/2 =

a

2do) Luego aplicamos el T. De Thales:

a

aMN

BN

BC

AC

MN

312

4 xMN

¡APRENDIENDO A

RESOLVER ……………

……………………………

RESOLVIENDO!

ID

BI

b

ca

I

D A C

b

B

c a θ θ

a . b . c = m . n .

P m

B

b Q

a

n R

c C A

a . b . c = m . n .

B

O P

m b

n

Q

a

A R c C

A

N M

C

B

a

12

2a x

16

A

B

C

D

E

F

12 18

X

L1

L2

L3

x´ y

GEOMETRÍA

Página 11

SEMENJANZA DE TRIANGULOS

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Los criterios de semejanza de triángulos nos

permitirán identificar a dos triángulos semejantes,

estos criterios son :

PRIMER CRITERIO:

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos

respectivamente congruentes.

Si :

DA y

FC entonces ABC DEF

SEGUNDO CRITERIO:

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados

proporcionales y congruentes los ángulos

comprendidos.

Si :

DA y DF

DE

AC

AB , entonces ABC

DEC

TERCER CRITERIO :

Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados

respectivamente proporcionales.

Si : DF

AC

EF

BC

DE

AB , entonces ABC - DEF

COROLARIOS :

1. Dos triángulos rectángulos son semejantes si

tienen un ángulo agudo congruente.

Si :

DA , entonces ABC ~ DEF

2. Toda recta secante a un triángulo y paralela a uno

de los lados, determina dos triángulos

semejantes.

Si ACMN // entonces MBN ~ ABC

3.- Todo triángulo es semejante al triángulo formado al

unir un vértice con los pies de las alturas trazadas

desde los otros dos vértices.

El cuadrilátero APQC es inscriptible.

Luego :

BPQ

ACB y

BQP

BAC

Dos triángulos rectángulos son semejantes si

tienen sus catetos proporcionales

GEOMETRÍA

Página 12

Todo triángulo es semejante al triángulo formado

por dos de sus lados y la ceviana relativa a uno de

estos lados, la cual forma con el otro un ángulo que

es congruente al ángulo del triángulo opuesto a dicho

lado.

Si a dos rectas secantes se trazan dos

rectas paralelas estas determinarán

triángulos semejantes.

PROPORCIONALIDAD Y

SEMEJANZA

1. En la figura calcule z,

si:1 2 3

xx.y x y , L //L //L

y

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

2. En la figura, calcule BF si: AE 3

EC 2 ,

CD=6

A) 6 2 B) 7 2 C) 8 2

D) 9 2 E) 12 2

3. En la figura, calcule AB, si: BD=4 y

DC = 5

A) 6

B) 8

C) 9

D) 12

E) 15

4. En la figura, calcule CF, si: AD=3 y

DC=2.

Si : EF

DE

BC

AB ,

entonces ABC ~

DEF

Si

ACBABF ,

entonces ABF ~

ABC

A

N M

C α θ

B

α θ

Si AC//MN

entonces MNB ~

ABC

1L

2L

3L

z-1

z+1

6x

y+5

B

A

CD

45º 45ºF

CAE

B

D

GEOMETRÍA

Página 13

A) 5 B) 6 C) 8

D) 10 E) 12

5. En la figura, calcule CF, si: el

triángulo ABC es equilátero, BD=3,

AD=5, BE=4.

A) 8 B) 9 C) 10

D) 12 E) 15

6. En un cuadrilátero convexo ABCD, el

ángulo externo D mide la mitad del ángulo interior B y la diagonal BD

biseca al ángulo ABC. Calcule BD, si

AB = 25 y BC = 16.

A) 12 B) 15 C) 18

D) 20 E) 36

7. Calcule AF en la figura, Si: BD = 5 y

DF= 4.

A) 5 B) 5,5 C) 6

D) 6,5 E) 8

8. En un triángulo ABC la base AC mide

30 cm. y la altura BH mide 15 cm.

Calcule la longitud del lado del cuadrado

inscrito en dicho triángulo y que tiene un

lado contenido en AC

A) 15 cm. B) 12 cm.

C) 10 cm. D) 8 cm.

E) 13 cm.

9. En la figura, MN es paralela a BC ,

AB = 18 cm, AC = 27 cm y BC = 36

cm. Calcule AM para que el

perímetro del triángulo AMN sea igual al perímetro del trapecio MNCB.

A) 14,5 cm.

B) 16,2 cm.

C) 12,5 cm.

D) 18,2 cm.

E) 19,2 cm.

10. En la figura, calcule EC, si:

BD = 12 y DE = 15

A) 20

B) 22

C) 24

D) 25

E) 27

11. En la figura, calcule AB, si ABCD es

cuadrado, BF = 3 y FE = 2.

A) 10

B) 12

C) 13

D) 15

E) 18

B

45º45º45º

A D C F

B

ED

CA F

B

CA

F

D

A

M N

B C

B D CE

A

C

P

EFB

DA

GEOMETRÍA

Página 14

12. En un triángulo rectángulo ABC recto

en B, AB=6, BC=8, se trazan: la mediana BM y la bisectriz interior

AD D BC que se intersectan en

P. La prolongación de CP intersecta

a AB en E; calcule AE.

A) 3 B) 4 C) 11

4

D) 15

4 E)

17

4

13. En la figura, calcule CF. Si: AE= 4 y

EC= 2

A) 6 B) 8 C) 10

D) 12 E) 16

14. En un triángulo rectángulo ABC recto

en B cuyo circunradio mide R, el inradio mide r, R=5r, siendo “I” el

incentro, se traza BI cuya

prolongación intersecta a AC en D.

Calcule BI

ID

A) 1,2 B) 1,5 C) 1,6

D) 1,8 E) 2,1

15. Calcule x en la figura.

A) 5 B) 2 C) 3

D) 2 E) 1

16. En un cuadrilátero ABCD circunscrito

a una circunferencia, los lados AD y BC son tangentes a la circunferencia

en M y N respectivamente, MN

intersecta a AC en P, si PC = 10, NC

= 8 y AM = 4; calcule AP.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

17. En un triángulo ABC se inscribe un

rombo BFDE, F en AB, D en AC y E

en BC . Calcule la longitud del lado

de dicho rombo, si: AB = 6 y BC =

12

A) 3 B) 4 C) 8 D)9 E) 10

18. Las medidas de los lados de un triángulo son tres números pares

consecutivos además el mayor

interno mide el doble de la medida

del menor ángulo interno. Calcule la

medida del menor lado.

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

19. En la figura, calcule ET, si: DP=3 y

PE = 2, D, E y F son puntos de

tangencia.

A)5 B) 6 C) 8 D)10 E) 12

20. En un triángulo rectángulo ABC recto

en B, la prolongación de la altura BH

intersecta a la bisectriz exterior del

ángulo C en el punto P.

Calcule BP, Si: AB = 4, BC = 3 y AC = 5

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 8

x3

6

EA

B

CF

B

D

EP

F C TA

GEOMETRÍA

Página 15

2a

1L

2L

3L

J

R

xa

AR

SB

D

AD L

a

b

O

A S

M

D

Q

L

1 3 x

PRÁCTICA N° 2

1. En la figura 1 2 3

L L L . Calcular x .

2

x

3b

6a

a

b

1L

3L

2L

a) 2 b) 2 2 c) 3

d) 2 3 e) 2 .

2. Según la figura, calcular “ x ”, siendo

1 2 3L L L y JR igual a la distancia entre 1L

y 2L .

a) 110º b) 120º c) 130º d) 140º e) 150º

3. Del gráfico, calcular x . Si: 1 2 3 4

L L L L .

6 y

x

3x+2

1L

3L

2L

4L

2

2y+1

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

4. Del gráfico, hallar “ SB ”, si 8AR y

3 4DR RB . ( R es punto de tangencia)

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

5. Del gráfico, calcular “ AS ”, si 6BE .

AB

E

2

13

S

a) 1 b) 2 c) 3

d) 0.5 e) 1.5

6. Del gráfico, calcular a

b, si

2

3

DA

LO .

a) 2 / 3

b) 3 / 2

c) 2

d) 3

e) 5

7. Del gráfico, calcular “ DQ ” si 16QS y

2ML MA .

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 1

8. En un triángulo ABC se traza la bisectriz

interior BD y en BC se ubica el punto E tal

que DE AB . Calcular BC si 3DE y

3BC AB .

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

9. Del gráfico. Calcular x .

a) 9

b) 10

c) 11

d) 12

e) 13

GEOMETRÍA

Página 16

D

2

O

R

5

A

D

R

T

I

O

2n

n

A

D

I

O

L

U

Nx

x

5

13

2

x4

A

S

E

B

SL

U I

E

B

24 x

A

D

I

N

10. En la figura, calcular RO , si 7DO .

a) 1.5

b) 2.5

c) 2.8

d) 3.5

e) 3.8

11. En la figura, si 8TI , 2IR , calcular RA .

( , ,D R O son puntos de tangencia)

a) 1.5

b) 2.5

c) 2.8

d) 3.5

e) 3.8

12. Del gráfico, hallar “ ”. 1

4tan14º

a) 20º b) 45º c) 38º d) 75º e) 30º

13. En la figura DILO y LUNA son cuadrados.

Hallar x .

a) 30º

b) 37º

c) 45º

d) 60º

e) 15º

14. Del gráfico, hallar x .

a) 10/3

b) 5/2

c) 7/4

d) 13/7

e) 8/5

15. Del gráfico, calcular x .

a) 0.5

b) 1

c) 1.5

d) 2

e) 2.5

16. En la figura, calcular SE , si 2EB y 4BA

( E es punto de tangencia).

a) 2 b) 4 c) 6 d) 5 e) 3

17. Del gráfico, hallar “ x ” siendo LUIS un

paralelogramo.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 5 e) 3

18. Del gráfico, hallar “ DI ”, si 1IA y 3AN .

a) 2 b) 4 c) 6 d) 5 e) 3