PRESENTACIÓN

• TODOS LOS APUNTES Y HOJAS DE EJERCICIOS ESTÁN EN EL BLOG QUE HE CREADO PARA MIS CLASES:

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CONCEPTOS PREVIOS• PROPORCIONALIDAD

• Recta: línea continua formada por infinitos puntos, que no tieneprincipio ni final

• Semirrecta: es cada una de las partes en que queda divididauna recta por uno cualquiera de sus puntos

• Segmento: es un fragmento de recta que está comprendidoentre dos puntos, llamados extremos

• Ángulo: es la parte del plano comprendido entre dossemirrectas que tienen el mismo punto origen

CONCEPTOS PREVIOS

Teorema de TALES

TEOREMA DE TALES

• Si tres rectas PARALELAS a, b y c cortan a otras dosrectas cualesquiera r y r’, se cumple que:

TEOREMA DE TALES

• Otra conclusión del Teorema de Tales es la siguiente:

APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES

• Calcular una longitud desconocidaEjemplo: Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES

• Dividir un segmento en partes iguales o proporcionales

APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES

• Comprobar el paralelismo entre rectas• Ejemplo: Sabemos que las rectas a y b son paralelas. Teniendo en cuenta

las medidas que se dan en el dibujo, ¿podemos asegurar que c esparalela a las rectas a y b?

Por tanto, la recta c es paralela a las rectas a y b.

TRIÁNGULO

Es un polígono cerrado de tres lados

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

1) Un lado de un triángulo es menor que la sumade los otros dos, y mayor que la diferencia.

2) La suma de los ángulos interiores de untriángulo es igual a 180º.

3) El valor de un ángulo exterior es igual a lasuma de los otros dos interiores noadyacentes.

EJEMPLOS• Comprueba si los siguientes lados pueden formar un triángulo:

a=7 , b=10 , c=8

Debemos comprobar si se cumple que:

b < a+c a+c = 7+8 = 15 ; b = 10, por tanto 10 < 15 SE CUMPLEa > b-c b-c = 10-8 = 2 ; a = 7 , por tanto 7 > 2 SE CUMPLEc > b-a b-a = 10-7 = 3 ; c = 8 , por tanto 8 > 3 SE CUMPLE

Solución: Los lados a, b y c, sí pueden formar un triángulo

• Hacer lo mismo con:1) a=8 ; b= 2 ; c = 7 3) a = 2 ; b = 3 ; c = 82) A = 10 ; b = 20 ; c= 31 4) a = 18 ; b = 24 ; c = 30

EJEMPLOS• Calcula el tercer ángulo interior de un triángulo sabiendo que

los otros dos son: Â = 37º y ^B = 68º

Aplicando la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo:

 + ^B + Ĉ = 180ºĈ = 180º -  - ^B = 180º - 37º - 68º = 75º

Solución: El valor del ángulo Ĉ es 75º

• Hacer lo mismo con:1) Â = 25º ; Ĉ = 110º2) Â = 174º ; Ĉ = 5º3) Â = 14º ; Ĉ = 90º

CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS

• CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOSSegún la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en:

EQUILÁTEROS: Sus tres lados son igualesISÓSCELES: Tienen dos de sus lados igualesESCALENOS. Sus tres lados son diferentes

CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS

• CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOSSegún la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en:ACUTÁNGULO: Sus tres ángulos son agudos (menores de 90º)RECTÁNGULO: Tiene un ángulo recto (igual a 90º)OBTUSÁNGULO. Tiene un ángulo obtuso (mayor de 90ª)

EJEMPLOS• Dibuja y clasifica los siguientes triángulos, en

función de sus ángulos interiores

1) Â = 25º ; Ĉ = 110º Obtusángulo2) Â = 174º ; Ĉ = 5º Obtusángulo3) Â = 14º ; Ĉ = 90º Rectángulo4) Â = 40º ; Ĉ = 80º Acutángulo

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

• DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES CUANDO TIENEN SUS ÁNGULOS HOMÓLOGOS IGUALESY SUS LADOS HOMÓLOGOS PROPORCIONALES

• RAZÓN DE SEMEJANZA: Es la razón deproporcionalidad entre los lados de dos triángulossemejantes.

En el dibujo:• a/d = b/e = c/f• α , β son iguales en

los dos triángulos

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS• Dos triángulos SON SEMEJANTES si:

1. Tienen 2 ángulos iguales2. Tienen los tres lados proporcionales3. Tienen 2 lados proporcionales y el ángulo

comprendido entre ellos es igual.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS• Un caso particular de los triángulos son los

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS, que son aquellos enlos que se cumple que dos de sus lados forman unángulo recto (90º).

• Dos triángulos rectángulos son semejantes si:1. Tienen un ángulo agudo igual.2. Tienen los 2 catetos proporcionales3. Tienen la hipotenusa y un cateto proporcionales

SEMEJANZA DE POLÍGONOS

• Dos POLIGONOS SON SEMEJANTES si tienen los ángulos homólogos iguales y los lados homólogos proporcionales.

ESCALAS

ESCALAS• Se define la ESCALA de una representación como

la razón de semejanza entre la figura representada y la figura real.

• Se representa: – Escala numérica: e=1:100 ; e=1:5000

– Escala gráfica:

ESCALAS• Las ESCALAS que se utilizan en la

representación pueden ser:• Escala Natural: es aquella en que las

dimensiones de la representación son iguales alas del objeto real. En este caso la escala ese=1:1

• Escala de Reducción: es aquella en que lasdimensiones de la representación son menores alas del objeto real.

• Escala de Ampliación : es aquella en que lasdimensiones de la representación son menores alas del objeto real.

EJEMPLOS: ESCALA NATURAL

Representación objeto real

EJEMPLOS: ESCALA DE REDUCCIÓN

EJEMPLOS: ESCALA DE AMPLIACIÓN

Representación objeto real

TEOREMA DE PITÁGORAS• En un triángulo rectángulo, se cumple siempre

que el cuadrado de la hipotenusa es igual a lasuma de los cuadrados de los catetos.

Aplicaciones del Teorema de Pitágoras

• El Teorema de Pitágoras nos permite clasificar un triángulo en función de sus ángulos:

• Si , el triángulo es RECTÁNGULO

• Si el triángulo es ACUTÁNGULO

• Si el triángulo es OBTUSÁNGULO

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Ejemplos Teorema de Pitágoras

• Calcula la altura de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 4,8 y el otro 3,6.

Ejemplos Teorema de Pitágoras

1. Calcula la diagonal del rectángulo.

Ejercicio

Una escalera de 3,7 m de longitud se encuentra apoyada en una pared,quedando el pie a 1,5 m de la misma. ¿Qué altura alcanza la escalerasobre la pared?

GEOMETRIA PLANA

DEFINICIONES• POLÍGONO es una figura plana delimitada por

segmentos rectos llamados lados.

– Polígono regular, es aquel polígono que tiene suslados iguales y sus ángulos iguales.

• ÁREA es la superficie delimitada por los lados de un polígono.

• PERÍMETRO es la suma de las longitudes de los lados de un polígono.

• APOTEMA es la distancia entre el centro de un polígono regular y cualquiera de sus lados.

• El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto de su perímetro por su apotema

DEFINICIONES

ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES