Upload
sam-chen
View
150
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
單元1 直線方程式 1
1
1. 象限與坐標的正負:
直角坐標平面上,水平坐標軸 x與垂直坐標軸 y,將坐標平面分成四個象限。
(1) x軸與 y軸的交點為O,稱為直角坐標平面的原點。
(2) 坐標軸上的點不屬於任一象限。
x軸 ( ){ },0 |a a= ∈� , y軸 ( ){ }0, |b b= ∈� 。
若 0a > , 0b > ,則點 ( ),P a b 位於第一象限
若 0a > , 0b < ,則點 ( ),P a b 位於第四象限
2. 點與坐標:
坐標平面上,任意一點P所對應的「數對」為 ( ),a b ,稱為P點的
「坐標」。
(1) a是P點的「 x坐標(橫坐標)」。
(2) b是P點的「 y坐標(縱坐標)」。
平面上任意一點都有一個(且恰有一個)有序「數對」與其對應;反之,每一個有序數
對,也都可以在平面上找到與之對應的點,即每一個數對代表平面上的一個點。
這樣就得到一個「平面直角坐標系」或稱「直角坐標系」。
已知 ( ),Q a b 位於第二象限,則點 ( ),P ab a b−
在第幾象限?
∵ ( ),Q a b 位於第二象限
⇒
0
0
a
b
<⎧⎨
>⎩⇒
0
0
ab
a b
<⎧⎨
− <⎩
∴ 點 ( ),P ab a b− 在第三象限內
若點 ( ),A a b a+ 在第二象限,則點 2,
aP b
b
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
在
第幾象限?
∵ ( ),A a b a+ 在第二象限
⇒
0
0
a b
a
+ <⎧⎨
>⎩⇒ 0b < ⇒
2
0
0
a
b
b
⎧<⎪
⎨⎪ >⎩
∴ 點 2,
aP b
b
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
在第二象限內
1 直線方程式
直角坐標 1-1
焦點一 直角坐標
判別點所在象限
解
1
補 給 站
例
說明
解
QRcode影音解題
蘋果系列行動裝置無法觀看
單元1 直線方程式2
1. 實數線上,兩點的距離:
在數線上,兩點 ( )P a 、 ( )Q b ,則PQ a b b a= − = − 。
2. 坐標平面上,兩點的距離:
在坐標平面上,相異兩點 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2
,P x y ,
則1P與
2P兩點間距離為 ( ) ( )
2 2
1 2 2 1 2 1PP x x y y= − + − 。
3. 內分點坐標公式:
設 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2
,P x y ,若 ( ),P x y 為1 2PP 之內分點(
1 2P P P− − ),且
1 2: :PP PP m n= ,則
P點坐標為
1 2
1 2
nx mxx
n m
ny myy
n m
+⎧=⎪⎪ +
⎨+⎪ =
⎪ +⎩
(交叉相乘的和
比的和)。
(1) ( )2 2 2,P x y 稱為 ( )1 1 1
,P x y 、 ( ),P x y 之外分點。
(2) 解內分點或外分點之題型,只需使用內分點觀念即可解出。
(3) 其實就是在這三點之中,任給兩點坐標,求第三點坐標。
4. 中點公式(當內分點公式中, : 1:1m n = 時):
設 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2
,P x y ,若 ( ),P x y 為1 2PP 之中點 ( )1 2
P P P− − ,即1 2
: 1:1PP PP = ,則
( ) 1 2 1 2, ,2 2
x x y yP x y
+ +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
。
設 ( )1,1A 、 ( )5,4B − 為坐標平面上兩點,且
A P B− − , : 2 :1AP PB = ,試求:
(1) P點坐標
(2) P點與原點的距離。
(1) 設 ( ),P x y
由內分點公式:
( )1 2
1 2
1 2 53
1 2
1 2 43
1 2
nx mxx
n m
ny myy
n m
⎧ + × −+= = = −⎪⎪ + +
⎨+ + ×⎪ = = =
⎪ + +⎩
∴ ( ) ( ), 3,3P x y = −
(2) ( ) ( )2 2
3 0 3 0 18 3 2PO = − − + − = =
設 A、B、C三點共線,且C介於 A、B兩點
之間, ( )1,3A 、 ( )6, 2B − 且3 2AC BC= ,試求:
(1) C點之坐標
(2) C點與原點的距離。
(1) 設 ( ),C x y
∵ 3 2AC BC= ⇒ : 2 :3AC BC =
由內分點公式:
( )
2 6 3 1 153
2 3 5
2 2 3 3 51
2 3 5
x
y
× + ×⎧= = =⎪ +⎪
⎨× − + ×⎪ = = =
⎪ +⎩
∴ ( ) ( ), 3,1C x y =
(2) ( ) ( )2 2
3 0 1 0 10CO = − + − =
焦點二 距離公式與平面直角坐標系中的分點坐標公式
求內分點坐標
解
2
補 給 站
解
單元1 直線方程式 3
1
平面上二點 ( )2,5A − 、 ( )4, 1B − ,C在 AB 的
延長線上,且 : 5 : 2AC BC = ,試求 C 點坐
標。
設 ( ),C x y
∵ : 5 : 2AC BC = ⇒ : 3 : 2AB BC =
由內分點公式知:
( )2 2 34
2 3
2 5 31
2 3
x
y
⎧ × − + ×=⎪⎪ +
⎨× + ×⎪− =
⎪ +⎩
⇒ 8
5
x
y
=⎧⎨
= −⎩
∴ ( ) ( ), 8, 5C x y = −
平面上三點 ( )7,4A 、 ( )4, 2B − 、 ( ),C x y 共
線,且 B在線段 AC 上,若 3AB BC= ,試求
C點坐標。
∵ 3AB BC= ⇒ : 3 :1AB BC =
由內分點公式知:
3 1 74
3 1
3 1 42
3 1
x
y
× + ×⎧=⎪⎪ +
⎨× + ×⎪− =
⎪ +⎩
⇒ 3
4
x
y
=⎧⎨
= −⎩
∴ ( ) ( ), 3, 4C x y = −
設平面上三點 ( )5, 4A − 、 ( ),P x y 、 ( )1,0B − ,
且 ( ),P x y 為 AB 之中點,則 ( ),P x y 與原點
( )0,0 的距離為何?
∵ P為 AB之中點
⇒ ( )( )
( )5 1 4 0
, , 2, 22 2
P x y P P⎛ ⎞+ − − +
= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∴ ( ) ( )2 2
2 0 2 0 2 2PO = − + − − =
設平面上三點 ( )3,5A − 、 ( ),M x y 、 ( )5,9B ,
且 ( ),M x y 為 AB 之中點,則 ( ),M x y 與點
( )1,1P 的距離為何?
∵ M 為 AB之中點
⇒ ( ) ( )3 5 5 9
, , 1,72 2
M x y M M− + +⎛ ⎞
= =⎜ ⎟⎝ ⎠
∴ ( ) ( )2 2
1 1 7 1 36 6MP = − + − = =
若 ( )1 1,A x y 、 ( )2 2
,B x y 、 ( )3 3,C x y 、 ( )4 4
,D x y 為平行四邊形 ABCD的
四個頂點,則由平行四邊形對角線互相平分性質知M 為 AC與 BD的
共同中點 ⇒ 1 3 1 3 2 4 2 4, ,2 2 2 2
x x y y x x y y+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠。
內分點觀念不變—求外分點坐標
解
3
解
中點坐標與平面上兩點距離
解
4
解
焦點三 中點公式應用—有限定順序的平行四邊形ABCD
單元1 直線方程式
4
設一平行四邊形 ABCD 中,已知 ( )3,4A 、
( )2,5B 、 ( )1, 2C − − ,求點 ( ),D x y 。
由平行四邊形對角線互相平分性質知:
( ) ( )3 1 4 2 2 5, ,
2 2 2 2
x y⎛ ⎞+ − + − + +⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⇒ ( )
( )
3 1 2
4 2 5
x
y
⎧ + − = +⎪⎨
+ − = +⎪⎩
⇒ 0
3
x
y
=⎧⎨
= −⎩
∴ ( ) ( ), 0, 3D x y = −
設一平行四邊形 ABCD 中,已知 ( )3,7A 、
( )2,4B 、 ( )8,5C ,求點 ( ),D x y 。
由平行四邊形對角線互相平分性質知:
3 8 7 5 2 4, ,
2 2 2 2
x y+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒ 3 8 2
7 5 4
x
y
+ = +⎧⎨
+ = +⎩ ⇒
9
8
x
y
=⎧⎨
=⎩
∴ ( ) ( ), 9,8D x y =
設 ( )1 1,A x y 、 ( )2 2
,B x y 、 ( )3 3,C x y ,則 ABC△ 之三中線交點(重心G)坐標為
( ) 1 2 3 1 2 3, ,3 3
x x x y y yG x y
+ + + +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
。
設 ABC△ 之三頂點為 ( )3, 1A − 、 ( )5,2B − 、
( ),C x y ,若 ABC△ 的重心為2 5,
3 3G⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎝ ⎠
,試
求 ( ),C x y 。
∵ 重心為2 5,
3 3G
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )3 52
3 3
5 1 2
3 3
x
y
⎧ + − +=⎪⎪
⎨− + +⎪− =
⎪⎩
⇒ 4
6
x
y
=⎧⎨
= −⎩
∴ ( ) ( ), 4, 6C x y = −
設 ( )2, 2A − 、 ( )5,4B 、 ( )1,4C − ,試求
ABC△ 之重心坐標 ( ),G x y 。
( )( )2 5 1 2 4 4
, ,3 3
G x y⎛ ⎞+ + − − + +
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
( )2,2=
中點公式應用
解
5
解
重心公式應用
解
6
解
焦點四 重心公式
單元1 直線方程式 5
1
觀念『○』與『×』 觀念澄清加強
(×)1. 若點 ( ),P a b 在 y軸上,則 0b = 。 0a =
(×)2. 若 0a < , 0b < ,則點 ( ),P a b 位於第四象限。 第三象限
(○)3. 平面上相異兩點 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2
,P x y ,則 ( ) ( )2 2
1 2 2 1 2 1PP x x y y= − + − 。
(○)4. 直線上相異三點 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2
,P x y 、 ( ),P x y ,若 P在1 2PP 上,且
1 2: :PP PP m n= ,則 1 2
nx mx
x
n m
+=
+
, 1 2ny my
yn m
+=
+
。
(○)5. 平面上相異兩點 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2
,P x y ,若 ( ),M x y 為1 2PP 之中點,則
1 2
2
x x
x
+= , 1 2
2
y yy
+= 。
1. 已知 ( ),P a b 在第二象限,則點 2,
bQ a b
a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
在第 二 象限。
★ 2. 已知0 a b< < ,則點 ( )2,P b a a ab− − 在第 四 象限。
3. 坐標平面上兩點 ( )3, 5P − 、 ( )5,1Q ,則
(1) PQ = 2 10 (2) PQ中點M = ( )4, 2− 。
4. 坐標平面上三點 ( )3, 2A − 、 ( )3,5B − 、 ( ),C x y ,若B為 AC的中點,則點 ( ),C x y =
( )9,12− 。
5. 一圓直徑之兩端點為 ( )4,3A − 、 ( )2,1B ,則圓心坐標為 ( )1,2− ,半徑為 10 。
★ 6. 平面上一平行四邊形 ABCD,其中 ( )2,4A 、 ( )1, 2B − − 、 ( )3, 3C − 、 ( ),D x y ,則
( ),D x y = ( )6,3 。
7. 坐標平面上三點 ( )3, 2A − − 、 ( )5,7B 、 ( ),P x y ,若P點介於 A、B兩點之間且
: 2 : 3AP BP = ,則P點坐標為1 8,
5 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
。
★ 8. 平面上 ( )3, 6A − 、 ( )4,5B − 、 ( ),C x y ,若B點介於 A、C之間且 : 3:1AC BC = ,則C點坐標
為15 21
,2 2
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠。
9. 設 ( )2,5A − 、 ( )3,1B 、 ( ),C x y 、 ( )5,3G ,若 G 為 ABC△ 之重心坐標,則 C 點坐標為
( )14,3 。
年 月 日動手
年 月 日完成