Financial Risk Management

Vrijednost pod Vrijednost pod rizikom – vodič rizikom – vodič za praktičareza praktičare

Tomislav PetrovTomislav Petrov

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 22/75/75

Što je Vrijednost Što je Vrijednost pod Rizikom?pod Rizikom?

Srce naprednog pristupa za određivanje ekonomskog kapitala i upravljanje tržišnim rizicima u financijskim institucijama.Ovaj jednodnevni tečaj je autorova obrada knjige P.F.Cristoffersen: “Elements of Financial Risk Management” namijenjene izvođenju na preddiplomskom studiju financija.

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 33/75/75

Tko je Tomislav Tko je Tomislav Petrov?Petrov?

Tomislav Petrov je nezavisni savjetnik za alokaciju financijske imovine s međunarodnim iskustvom, specijalist za benchmarking modeliranje, predviđanje tržišnih rizika i analizu deviznog tržišta.

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 44/75/75

Što je cilj ovog Što je cilj ovog tečaja?tečaja?

Cilj tečaja je regulatorima te upraviteljima rizicima i kvantitativnim analitičarima zaposlenim u financijskim institucijama prezentirati osnove upravljanja tržišnim rizicima korištenjem obilja praktičnih primjera sa dioničkog, obvezničkog i deviznog tržišta te sa robnih burza.

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 55/75/75

Čemu će nas ovaj Čemu će nas ovaj tečaj naučiti?tečaj naučiti?

Modeliranju volatilnosti i korelacija (EWMA i GARCH modeli s objašnjavajućim varijablama)Izračunu VaR i ETL za različite modeleModeliranju ne-normalnih distribucija vjerojatnostiMonte Carlo simulacijamaPrimjeni na portfelje opcija – Grčka slovaZa rizik prilagođenom mjerenju učinkaTestiranju stresa portfelja

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 66/75/75

Mean-Variance Mean-Variance granicagranica

Variance

Mean

0

EfficientFrontier

MinimumVariancePortfolio

MarketPortfolio Maximum

ReturnShare

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 77/75/75

Računanje Računanje očekivanja i očekivanja i varijance varijance portfeljaportfeljai

n

iip RwRE

1

)( ijnji

jii

n

iip Covwww

1

22

1

2 ))((2)()()(

jiijij rCov )]([)]([1

1

1jtjt

n

tititij RERRER

nCov

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 88/75/75

Klase imovine u Klase imovine u rizik-prinos rizik-prinos koordinatnom koordinatnom sustavusustavu

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 99/75/75

Klase imovine u Klase imovine u rizik-prinos rizik-prinos koordinatnom koordinatnom sustavusustavu

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 1010/75/75

Linija tržišta kapitala Linija tržišta kapitala izvedena iz pretpostavke izvedena iz pretpostavke davanja i primanja davanja i primanja zajmova po stopi prinosa zajmova po stopi prinosa bez rizikabez rizika

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 1111/75/75

Security Market LineSecurity Market Line (SML) razdvaja (SML) razdvaja podcijenjene i podcijenjene i precijenjene precijenjene vrijednosnicevrijednosnice

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 1212/75/75

Što je rizik i zašto Što je rizik i zašto ga mjeriti?ga mjeriti?

Moderna teorija portfelja uči nas da se specifični rizici mogu ukloniti diversifikacijomCilj upravljanja portfeljem je ostvariti što viši prinos uz što nižu volatilnost jer to smanjuje percepciju mogućeg bankrota, smanjuje porezne izdatke, povećava adekvatnost kapitala i tako omogućava financiranje većom polugom što povećava profitabilnost

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 1313/75/75

Proces Proces upravljanja upravljanja portfeljemportfeljemKonstruiranje izjave o politici ulaganja

koja sadrži benchmark portfelj određenciljevima investitora opisanim u prostoru prinosa i rizikaograničenjima vezanim uz investitora (tolerantnost prema riziku, trenutno neto bogatstvo, očekivanje budućeg dohotka, potreba za likvidnošću, vremenski horizont, porezi, subjektivne preferencije, …)

Prognoza budućih trendovaKonstruiranje portfeljaPraćenje potreba investitora

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 1414/75/75


Poslovni rizik je rizik da će promjena varijabli poslovnog plana poduzeća rezultirati njegovom neodrživostiSadrži predvidive rizike poput pada potražnje u poslovnom ciklusu i nepredvidive rizike poput tehnoloških inovacija i promjene ponašanja konkurencije

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 1515/75/75


Tržišni rizik je rizik gubitka vrijednosti financijskog portfelja uslijed pada tržišnih cijena financijske imovine poput dionica, tečaja, kamatnih stopa ili cijena osnovnih sirovina.

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 1616/75/75


Rizik likvidnosti je rizik ulaganja na tržište kapitala s niskim volumenom i visokim rasponom cijena između najboljih ponuda za prodaju i kupnju. Pod takvim uvjetima bilo kakav pokušaj prodaje imovine rezultira njenom prodajom po nižoj cijeni od fundamentalne ili traje mnogo duže nego što bi prodavatelji željeli.

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 1717/75/75


Kreditni rizik je rizik da suprotna strana u poslovnom ugovoru neće biti u stanju ispuniti svoje obvezeOperativni rizik je rizik gubitka uslijed prirodne katastrofe, tehničke greške ili ljudske greške što uključuje moralni hazard Uprave

Zadnja cijena S&P 500 indeksa od 1997. do 2001. godine

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

02-Jan-97 24-Jun-97 12-Dec-97 08-Jun-98 25-Nov-98 20-May-99 09-Nov-99 02-May-00 20-Oct-00 16-Apr-01 10-Oct-01

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 1919/75/75

Definicija Definicija prinosaprinosa

Geometrijski ili logaritamski prinosi vrijednosti imovineSvojstvo aditivnosti logaritamskih prinosa

)ln(S-)(SlnR t1t1t

Kt1ttKtKt:1t ...RR)ln(S)ln(SR

Prinosi S&P500 indeksa od 1997. do 2001. godine

-20%

-15%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

Prinosi na američke trezorske zapise od 1997. do 2001. godine

-20%

-15%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

Prinosi cijene sirove nafte na robnoj burzi u New Yorku od 1997. do 2001. godine

-20%

-15%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

Autokorelacija vremenske serije prinosa S&P 500 indeksa u ovisnosti o vremenskom pomaku od 1 do 100

-10%

-8%

-6%

-4%

-2%

0%

2%

4%

6%

8%

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97

Pretpostavka normalne distribucije prinosa S&P 500 indeksa od 1997. do 2001. godine

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

-7.2

%-6

.6%

-6.0

%-5

.4%

-4.8

%-4

.2%

-3.6

%-3

.0%

-2.4

%-1

.8%

-1.2

%-0

.6%

0.0%

0.6%

1.2%

1.8%

2.4%

3.0%

3.6%

4.2%

4.8%

Distribucija frekvencija Normalna distribucija

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 2525/75/75

Normalna Normalna distribucija distribucija prinosaprinosa

Ako S&P 500 indeks tretiramo kao jednu klasu imovine, možemo pretpostaviti da je distribucija vremenske serije prinosa približno normalno distribuirana i buduće prinose generirati stohastičkim procesom

)1,0(...~, 11*111 DdiiZZR ttttt

15-day Frequency and Normal Distribution

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

-15% -13% -11% -9% -7% -5% -3% -1% 1% 3% 5% 7% 9% 11% 13% 15%

15-day Frequency Normal Distribution

0%

5%

10%

15%

20%

25%

-5% -4% -3% -2% -1% 0% 1% 2% 3% 4% 5%

Distribucija frekvencija Raiffeisen C. Europe Normalna distribucija

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 2828/75/75

Koraci u Koraci u modeliranju modeliranju vrijednosti pod vrijednosti pod rizikomrizikom

Model za prognozu varijance za svaku pojedinačnu klasu imovine (RiskMetrics model eksponencijalnog izglađivanja i GARCH proširen objašnjavajućim varijablama)Model za prognozu korelacija između svake dvije klase imovineModel za izvođenje vrijednosti pod rizikom koji vodi računa o što više čimbenika

Vektor posjedovanja

portfelja

Podaci sa financijskog

tržišta

Proceduramapiranja

Proceduraizvođenja

Mapiranje portfelja 1P=(1R)

Karakterizacija uvjetne

distribucije od 1R

Proceduratransformacije

Vrijednost VaR metrike

Autokorelacija vremenske serije kvadrata prinosa S&P 500 indeksa u ovisnosti o vremenskom pomaku od 1 do 100

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 3131/75/75

RiskMetrics RiskMetrics model za model za prognozu prognozu varijancevarijanceJPMorganov model

eksponencijalnog izglađivanja za prognozu sutrašnje volatilnosti je ponderirani prosjek današnje volatilnosti i kvadrata prinosa

2t

2t

21t )(R*x)-(1)(*x)(

RiskMetrics Conditional St. Deviation (Exponentially Smoothed Variance)

0.0%

0.5%

1.0%

1.5%

2.0%

2.5%

02-Jan-97 06-Aug-97 12-Mar-98 14-Oct-98 20-May-99 22-Dec-99 27-Jul-00 02-Mar-01 10-Oct-01

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 3333/75/75

GARCH model GARCH model za prognozu za prognozu varijancevarijanceRiskMetrics model ima svojstvo da je za

prognozu sutrašnje volatilnosti današnja volatilnost značajnija od nekadašnjih prinosa, da model sadrži samo jedan parametar te da je dovoljan samo mali broj podatakaDa bi riješili problem autoregresivnosti i uvjetovane heteroskedastičnosti, znanstvenici su konstruirali GARCH modele koji imaju svojstvo da će se buduća varijanca težiti povijesnom prosijeku

...)(R*a)(*aa)( 2t2

2t10

21t

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 3434/75/75

Vrijednost pod Vrijednost pod rizikomrizikom

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 3535/75/75


Koliko iznosi gubitak vrijednosti portfelja financijske imovine za sljedećih N trgovinskih dana za koji je pouzdanost p% da stvarni gubitak neće biti veći?VaR je vrijednost gubitka od koje stvarni gubitak ne bi trebao biti veći za unaprijed zadanu vjerojatnost. VaR je pokušaj da se jednim brojem izrazi ukupan rizik portfelja financijske imovineRegulatori investicijskih banaka u razvijenim zemljama adekvatnost njihovog kapitala povezuju sa VaR-om

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 3636/75/75


Vrijednost pod rizikom izražena u kunama definirana je implicitnom jednadžbom iz vjerojatnosti ostvarivanja još većeg gubitkaVaRHRK je vrijednost od koje gubitak izražen u kunama neće biti veći uz zadanu vjerojatnost

p)VaRP(HRK HRKgubitka

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 3737/75/75


Vrijednost pod rizikom može se izraziti i relativnom vrijednošću u odnosu na vrijednost portfelja i ta definicija za upravitelje portfeljima predstavlja operativnu definicijuVjerojatnost je p*100% da će negativan prinos portfelja biti veći od iznosa VaR

pVaR)P(RPF

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 3838/75/75


Povjerenstvo za mjerenje tržišnog rizika bankarskih portfelja iz Basela 1996. godine izdalo je amandman “Kapitalni zahtjevi za tržišne rizike” koji bankama nalaže da kapital povežu uz VaR s vremenskim horizontom 10 dana i razinom pouzdanosti 99% (vjerojatnosti p=0.01). Za portfelj nezavisnih jednoliko i normalno distribuiranih slučajnih varijabli:

VaRday -110VaRday -10

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 3939/75/75


ww')( 1t2

1tPF,

F(p)-(p)VaR *1tPF,1t

Varijanca portfelja je kvadratna forma pridružena matrici kovarijanci te vektoru težina imovine u portfeljuF(p)=broj takav da se 100*p% distribucije vjerojatnosti nalazi ispod tog broja

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 4040/75/75

VaR primarno VaR primarno ovisi o alokaciji ovisi o alokaciji portfeljaportfelja

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 4141/75/75

Modeliranje Modeliranje uvjetovanih uvjetovanih kovarijanci i kovarijanci i korelacijakorelacija

)/mR*R...R*(R m1tj,m1ti,tj,ti,1tij,

...*aRR*aa tij,2tj,ti,101tij,

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 4242/75/75

Modeliranje Modeliranje uvjetovanih uvjetovanih kovarijanci i kovarijanci i korelacijakorelacijaS&P500 T-Bill $/Yen Oil Price TSE300

S&P500 1.00000 -0.16626 -0.06188 -0.03316 0.70127T-Bill -0.16626 1.00000 -0.06021 -0.03074 -0.16314$/Yen -0.06188 -0.06021 1.00000 0.06866 0.02831

Oil Price -0.03316 -0.03074 0.06866 1.00000 0.03891TSE300 0.70127 -0.16314 0.02831 0.03891 1.00000

Korelacija u pet zadnjih godina

Unconditional Correlation

S&P500 T-Bill $/Yen Oil Price TSE300S&P500 1.00000 -0.10505 -0.07383 -0.02915 0.69902

T-Bill -0.10505 1.00000 -0.06768 -0.04075 -0.12942$/Yen -0.07383 -0.06768 1.00000 0.06679 0.00801

Oil Price -0.02915 -0.04075 0.06679 1.00000 0.04033TSE300 0.69902 -0.12942 0.00801 0.04033 1.00000

Uvjetovana korelacija

Constant Conditional Correlation

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 4343/75/75

Modeliranje Modeliranje uvjetovanih uvjetovanih kovarijanci i kovarijanci i korelacijakorelacijaTablica koeficijenata korelacije 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1. CROBEX 1.00 0.72 0.91 0.89 0.89 0.22 0.24 0.25 0.142. VIN 0.72 1.00 0.75 0.70 0.74 0.30 0.37 0.42 0.123. Erste Adriatic Equity 0.91 0.75 1.00 0.94 0.94 0.22 0.27 0.20 0.164. PBZ Equity 0.89 0.70 0.94 1.00 0.90 0.17 0.20 0.16 0.235. Raiffeisen C. Europe 0.89 0.74 0.94 0.90 1.00 0.25 0.28 0.26 0.236. Aureus Equity 0.22 0.30 0.22 0.17 0.25 1.00 0.42 0.45 0.197. Fima Equity 0.24 0.37 0.27 0.20 0.28 0.42 1.00 0.36 0.208. KD Victoria 0.25 0.42 0.20 0.16 0.26 0.45 0.36 1.00 0.079. ZB Euroaktiv 0.14 0.12 0.16 0.23 0.23 0.19 0.20 0.07 1.00

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 4444/75/75

Modeliranje Modeliranje uvjetovanih uvjetovanih kovarijanci i kovarijanci i korelacijakorelacijaRiskMetrics uvjetovane korelacije 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1. CROBEX 1.00 0.72 0.82 0.80 0.79 0.24 0.24 0.32 0.102. VIN 0.72 1.00 0.80 0.72 0.76 0.28 0.33 0.39 0.123. Erste Adriatic Equity 0.82 0.80 1.00 0.89 0.88 0.26 0.30 0.29 0.144. PBZ Equity 0.80 0.72 0.89 1.00 0.83 0.17 0.21 0.20 0.265. Raiffeisen C. Europe 0.79 0.76 0.88 0.83 1.00 0.28 0.32 0.35 0.246. Aureus Equity 0.24 0.28 0.26 0.17 0.28 1.00 0.39 0.41 0.177. Fima Equity 0.24 0.33 0.30 0.21 0.32 0.39 1.00 0.29 0.198. KD Victoria 0.32 0.39 0.29 0.20 0.35 0.41 0.29 1.00 0.059. ZB Euroaktiv 0.10 0.12 0.14 0.26 0.24 0.17 0.19 0.05 1.00

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 4545/75/75


20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 4646/75/75

Teorija ekstremnih Teorija ekstremnih vrijednostivrijednosti

Najveći rizik za portfelj je iznenadno pojavljivanje velikog negativnog prinosa. Poznavanje vjerojatnosti pridružene takvom ekstremnom događaju zbog toga je bit upravljanja financijskim rizicima. Upravitelji rizicima stoga posebnu pažnju posvećuju modeliranju repova distribucija prinosa.Iz teorije ekstremnih vrijednosti izvode se posebne mjere vrijednosti pod rizikom koje se najčešće značajno razlikuju od klasičnih i koje poslovne banke smiju koristiti za izračunavanje adekvatnosti kapitala.

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 4747/75/75

Očekivani Očekivani repni gubitakrepni gubitak

C-VaR ili očekivani repni gubitak (u oznaci ES skraćeno od eng. Expected Shortfall) je očekivani gubitak ukoliko je gubitak veći od razine VaR ili očekivani sutrašnji prinos ukoliko se dogodi da prinos bude lošiji od VaR-a. Matematički,

(p)]VaRR|[RE(p)ES 1t1t1tt1t

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 4848/75/75

Metode Metode simulacijasimulacija

Naša je želja uvesti metode za prognoziranje sutrašnje distribucije prinosa portfelja.Metoda povijesne simulacije (HS) pretpostavlja da je distribucija sutrašnjih prinosa portfelja dobro aproksimirana empirijskom distribucijom prethodnih m opažanja. U praksi je neizostavna jer ju je vrlo lako implementirati (najčešće se uzima m=250) i ne ovisi o matematičkom modelu. No, što je za prognoziranje sutrašnje distribucije prinosa portfelja optimalan broj opažanja?

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 4949/75/75


Metoda ponderirane povijesne simulacije (WHS) u odnosu na davna opažanja dodjeljuje veću težinu nedavnim opažanjima, a ključan problem tog pristupa je kako u modelu odrediti težine. U praksi se najčešće koristi eksponencijalno ponderiranje s bazom 0,99.

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 5050/75/75

VaR za dulje VaR za dulje razdobljerazdoblje

Naša je želja pronaći način kako modele za prognozu dnevnog rizika iskoristiti za prognozu rizika tijekom duljeg vremenskog razdoblja.Ako su dnevni prinosi normalno distribuirane slučajne varijable s konstantnim očekivanjem μ i varijancom σ2,

F(p))K-(K(p)VaR Kt:1t

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 5151/75/75


Metoda Monte Carlo simulacije (MCS) zasnovana je na današnjoj procjeni sutrašnje varijance, a najbolje se ilustrira primjerom:

Iz standardne normalne distribucije generiramo 1000 slučajnih brojeva koje iskoristimo za izračunavanje hipotetskih GARCH(1,1) sutrašnjih prinosa i hipotetskih GARCH(1,1) sutrašnjih varijanci.Iz hipotetskih sutrašnjih dnevnih prinosa običnim zbrajanjem izračunamo hipotetske prinose za K sljedećih dana, a zatim izračunamo Vrijednost pod Rizikom za K sljedećih dana jednostavnim uzimanjem željenog percentila.

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 5252/75/75


Metoda iscijeđene povijesne simulacije (FHS) kombinira GARCH modele za procjenu varijance s povijesnim opažanjima distribucije prinosa.Nakon što izvedemo FH K-dnevnih prinosa i VaR procijenimo iz pripadajućeg percentila standardiziranog reziduala, očekivani repni gubitak izračunamo iz sljedeće formule:

FHi

KttKttiKtti pVaRRRFHp 1

:1:1,:1,Kt:1t ))((*

1(p)ES

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 5353/75/75

Black-Scholes-Black-Scholes-Merton Merton (BSM) (BSM) formulaformulaSt = vrijednost povezane varijable danas

T = # dana do dospijeća opcijeSt+T = vrijednost povezane varijable u trenutku dospijećaX = izvršna cijena opcijer = stopa prinosa na portfelj bez rizikac = cijena europske call opcijep = cijena europske put opcijeΦ(z) = funkcija distribucije standardizirane normalne slučajne varijable

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 5454/75/75

Black-Scholes-Black-Scholes-Merton Merton (BSM) (BSM) formulaformulaCijene call i put opcija u Black-

Scholes-Merton modelu iznose

T

rTXSd

dSdTXep

TdXedSc

t

trT

BSM

rTtBSM

)2/()/ln(

)()(

)()(

2

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 5555/75/75

Vrednovanje Vrednovanje opcijaopcija

Praksa je pokazala da Black-Scholes-Merton (BSM) formula krivo vrednuje opcije te je zbog toga, za razliku od modela normalne distribucije, nužno dozvoliti postojanje momenata trećeg i četvrtog reda te varijance izvedene GARCH modelima.Pristup implicitne funkcije volatilnosti (IVF) za vrednovanje opcija danas je uobičajen u praksi.

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 5656/75/75

Implicitna Implicitna funkcija funkcija volatilnosti volatilnosti (IVF)(IVF)

Cijena europske call opcije je prema Black-Scholes-Merton modelu funkcija šest varijabli, a ako ju izjednačimo sa tržišnom cijenom opcije, iz formule izvodimo implicitnu funkciju volatilnosti (IVF):

);,,,,(

);,,,,(1 mkt

tBSMivBSM

tBSM

cqTXrSc

qTXrScc

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 5757/75/75

Postojanje Postojanje momenata momenata trećeg i trećeg i četvrtog redačetvrtog reda

Koeficijent asimetričnosti (moment trećeg reda) dnevnih prinosa u pravilu je za dioničke indekse negativan, a za dioničke indekse u pravilu pozitivan višak zaobljenosti vrha distribucije (moment četvrtog reda) dnevnih prinosa sugerira nam da su stvarne distribucije dnevnih prinosa debljeg repa od repa distribucije normalne slučajne varijable.

3)(

;)(

4

41

213

31

11

tt RERE

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 5858/75/75

Postojanje Postojanje momenata momenata trećeg i trećeg i četvrtog redačetvrtog reda

Ako pretpostavimo da standardizirani u odnosu na rizik neutralni prinosi s vremenskim horizontom T slijede Gram-Charlier (GC) distribuciju, cijena call opcije može se aproksimirati GC modelom za vrednovanje opcija

)]331(!4

)2(!3

[)()()(

2221

11

TTddT

dTdSTdXedSc trT

tGC

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 5959/75/75

Tko još danas Tko još danas koristi Gram-koristi Gram-Charlier Charlier model?model?

Ad hoc cijene opcija izvedene primjenom modela normalne višestruke linearne regresije na modificiranu implicitnu funkciju volatilnosti (MIVF) rezultiraju mnogo nižim očekivanim kvadratom grešaka u odnosu na cijene opcija izvedene Black-Scholes-Merton modelom ili njegovom generalizacijom, Gram-Charlier modelom.

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 6060/75/75

GARCH modeli GARCH modeli za vrednovanje za vrednovanje opcijaopcijaPretpostavimo da dnevni prinosi

slijede GARCH(1,1) proces u koji je ugrađen efekt financijske poluge i simulirajmo MC=5000 putova u Monte Carlo simulacijama za svaki dan do dospijeća.

2221

1112

111

)(

)1,0(~,2

1

ttttt

tttttt

z

NzzrR

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 6161/75/75

GARCH modeli GARCH modeli za vrednovanje za vrednovanje opcijaopcijaTada se cijena call opcije može

izračunati iz izraza

0,1 1

,

1

XeSMaxMC

ec

T

jjtiRMC

it

rTGH

gdje je Ri,t+j simulirani u odnosu na rizik neutralni prinos u razdoblju t+j za put simulacije i.

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 6262/75/75

Delta opcijeDelta opcijeZa call i put opcije definiramo delta sa

;;t

p

t

c

S

p

S

c

Iz perspektive upravitelja rizicima delta je nezadovoljavajuća aproksimacija stvarne cijene opcije jer upravljanje rizicima vezano je uz značajne šokove vrijednosti povezane varijable.

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 6363/75/75

Delta opcije u Delta opcije u praksipraksi

Iz Gram-Charlier modela i GARCH modela slijedi

gdje je Si,t+T* simulirana u odnosu na rizik neutralna

vrijednost povezane varijable.

XSS

S

MC

e

TTdTdTddT

TTddT

d

Tti

MC

i t

TtirT

cGH

GC

*,

1

*,

3332221

2211

]344)21(3)[(24

)231)((6

)(

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 6464/75/75

Vrijednost pod Vrijednost pod rizikom rizikom portfelja opcijaportfelja opcijaVrijednost pod rizikom izražena u

obliku novčanih jedinica za portfelj koji se sastoji od opcija na n povezanih varijabli iznosi

1,,,,1

21,

11,1 ;$

tijtjti

njijitDVptDV

pt SSVaR

Praksa je pokazala da je koeficijente korelacija najbolje aproksimirati rezultatima GARCH modela.

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 6565/75/75

Aproksimacija Aproksimacija korištenjem korištenjem simulacija i simulacija i ukrštenih gamaukrštenih gamaAko Monte Carlo metodom simuliramo K-dnevne prinose za n povezanih varijabli, promjena vrijednosti portfelja opcija izražena u novčanim jedinicama približno je jednaka

ji

cij

KttjKtti

n

i

n

jtjtiij

n

iKttitiiKtPF

SS

c

RRSSRSDV

2

:1,:1,1 1

,,1

:1,,, 2

1

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 6666/75/75

Greška BSM Greška BSM modela za modela za vrednovanje vrednovanje opcijaopcija

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 6767/75/75

Puno Puno vrednovanje vrednovanje rizika rizika portfeljaportfelja

Za složene portfelje (koji se, na primjer, sastoje od n dionica i svakoj dionici i pridruženih mij call opcija tipa j) upravitelji rizicima ponekad su prinuđeni koristiti puno vrednovanje koje se sastoji od simuliranja hipotetskih prinosa povezane varijable te računanja vrijednosti povezane varijable, cijena call opcija i $VaR-a. Pristup je jednostavan, ali računalno spor.

n

i j

mktijiijijij

Khijitihi

n

ii

KhPF

MC

h

KhPF

pKtt

cqTXrScmSSwDV

pDVPercentileVaR

1

*,,,

*,

1,

1,:1

));,,,,(()(

100,$

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 6868/75/75

Usporedba punog Usporedba punog vrednovanja sa vrednovanja sa Gamma Gamma aproksimacijomaproksimacijom

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

85 90 95 100 105 110 115

Full Valuation

Delta Approximation

Gamma Approximation

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 6969/75/75

Testiranje Testiranje uspješnosti uspješnosti prezentiranih prezentiranih mjera rizikamjera rizika

Usporedimo ex ante mjere rizika (VaR, ES, oblik lijevog repa distribucije prinosa) koje su davali prognostički modeli s ex post ostvarenim prinosima složenih portfelja promatranjem vremenske serije:

1,01.011, /0),( tPFttPF VaRRMin

Zaključujemo da se mjere rizika izvedene iz povijesnih simulacija presporo prilagođavaju povećanju tržišne volatilnosti te da su probijanja VaR-a uvijek posljedica rizika događaja poput Ruske krize ili propasti LTCM-a.Zato financijske institucije razvijaju modele (zasnovane na Bayesovoj vjerojatnosti) koji pokušavaju predvidjeti nakon kojih događaja će uslijediti kršenje VaR-a.

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 7070/75/75

Testiranje Testiranje uspješnosti uspješnosti prezentiranih prezentiranih mjera rizikamjera rizika

Testirajmo hipotezu slijedi li niz kršenja VaR ograničenja Bernoullijevu funkciju distribucije, gdje je p je broj između 0,01 i 0,05 ovisan o tome koji VaR testiramo:

1111

11,

11,1 )1();(,

,0

,1

tt IItp

ttPF

pttPF

t pppIfVaRR

VaRRI

Korištenjem χ2 distribucije računamo P-vrijednost te greške tipa 1 i tipa 2. Ako nemamo dovoljan broj opažanja potreban za testiranje uspješnosti implementiranih mjera rizika, možemo se osloniti na Monte Carlo simulacije.

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 7171/75/75

Testiranje Testiranje vremenskih vremenskih klastera klastera probijanja VaR-aprobijanja VaR-aAko se svih p% probijanja VaR ograničenja

dogodilo tijekom kratkog vremenskog razdoblja, rizik bankrota financijske institucije veći je nego ako su probijanja VaR ograničenja raspršena tijekom vremena.U slučaju postojanja klastera VaR ograničenja jasno je da je VaR nezadovoljavajuća mjera rizičnosti portfelja te je ukoliko postoje klasteri probijanja VaR-a potrebno odbaciti VaR.Problemom “ako se danas dogodilo probijanje VaR-a, veća je sutrašnja vjerojatnost probijanja VaR-a” bavi se teorija Markovljevih procesa.

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 7272/75/75

Testiranje Testiranje modela koji modela koji objašnjava objašnjava kršenje VaR-akršenje VaR-a

Ako sa Xt definiramo vektor objašnjavajućih varijabli dostupnih upravitelju rizicima u vremenskom razdoblju t, tada nul-hipotezu korektnosti modela možemo zapisati kao:

pXIEpXIH tttt ]|[)|1Pr(: 110

Za testiranje hipoteze može se koristiti F-test pridružen pripadajućem modelu regresije.

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 7373/75/75

Testiranje Testiranje oblika lijevog oblika lijevog repa repa distribucije distribucije prinosaprinosa

Upravitelje rizicima u praksi zanima jedino testiranje hipoteze o obliku lijevog repa distribucije prinosa portfelja, a provodi se korištenjem pokazatelja vjerodostojnosti i χ2 distribucije.

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 7474/75/75

Testiranje Testiranje stresa stresa vrijednosti vrijednosti portfeljaportfelja

Upravitelji rizicima u praksi su često prisiljeni raditi s vrlo malim uzorkom podataka iz kojeg su izostavljeni ekstremni događaji poput sloma dioničkog tržišta.Umjetno generiranje ekstremnih scenarija u upravljanju rizicima naziva se testiranje stresa.Standardne metode za testiranje stresa upravitelju portfelja ne govore ništa o vjerojatnosti da će se pretpostavljeni ekstremni scenariji dogoditi.Ključni su izazovi za upravitelja rizicima

kreiranje relevantnih scenarijasimuliranje šokova za portfelj koji su vjerojatniji nego što to sugerira raspoloživi uzorak podatakasimuliranje šokova koji se do sada nikada nisu dogodili, ali se mogu dogoditisimuliranje mogućnosti strukturalnih promjena

20,21 Oktobar 2009 20,21 Oktobar 2009 7575/75/75

Business

Financial Risk Management