Electromagnetismo

Fórmula de Eulere ix=cos x+ i· sen x

ez=ex+ iy=ex (cos y+i· sen y )Forma fasorial

Paso 1: Adopte una referencia cosenoEsto significa que se deberá expresar la función forzadora como un coseno, si aún no está en esa forma; por consiguiente todas las funciones que varían con el tiempo, como la corriente presente en el circuito y el voltaje a través de R y C, también tendrán una referencia coseno. Por ejemplo:

vs (t )=V 0 sen (ωt+ϕ0 )=V 0 cos(ωt+ϕ0−π2 )

Paso 2: Exprese las variables dependientes como fasoresCualquier función que varía con el tiempo de forma cosenoidal z (t) se expresa como

z (t )=R e [~Z e jωt ]Para distinguir las cantidades instantáneas de sus contrapartes fasoriales, a la letra que denota un fasor se le coloca una tilde ( ) encima. El voltaje vs(t) del ejemplo se escribe de la forma

vs (t )=R e[V 0 ej(ωt+ϕ0−

π2 ) ]=Re [V 0 e

j(ϕ0−π2 )e jωt ]={~V s=V 0 e

j (ϕ0−π2 )}=Re [~V s e

jωt ]

Si tenemos la variable desconocida i(t) en función de un fasor ~I : i (t )=R e [~I e jωt ] la ecuación que se está

tratando de resolver contiene derivadas o integrales, se utilizan las siguientes propiedades:

didt

= ddt

[Re (~I e jωt ) ]=Re [ ddt (~I e jωt )]=Re [ jω~I e jωt ]

∫ idt=∫R e (~I e jωt )dt=R e∫ (~I e jωt )dt=Re (~Ijω

e jωt) Paso 3: Rescriba la ecuación diferencial/integral en forma fasorial

Si tenemos la ecuación del voltaje de un circuito RC y lo ponemos en forma fasorial usando las ecuaciones anteriores:

vs (t )=R e [~V s ejωt ]=Ri (t )+ 1

C∫ idt=RR e [~I e jωt ]+ 1

CR e(

~Ijω

e jωt)Gradiente

El gradiente de una función escalar ϕ es un vector cuya magnitud es la máxima derivada direccional en el punto en consideración y cuya dirección es la dirección de la máxima derivada direccional de ese punto.

En coordenadas rectangulares queda definido como:

gradϕ=∇ϕ=∂ϕ∂ x

i⃗+ ∂ϕ∂ y

j⃗+ ∂ϕ∂ z

k⃗

En coordenadas cilíndricas:

1

gradϕ=∇ϕ=∂ϕ∂ ρ

ρ⃗+ 1ρ∂ϕ∂φ

φ⃗+ ∂ϕ∂z

z⃗

En coordenadas esféricas:

gradϕ=∇ϕ=∂ϕ∂r

r⃗+ 1r∂ϕ∂θ

θ⃗+ 1r senθ

∂ϕ∂φ

φ⃗

Divergencia

La divergencia de un campo vectorial es una medida del flujo neto hacia fuera por unidad de volumen a través de una superficie cerrada que circunda el volumen unitario.

En coordenadas rectangulares obtenemos:

¿ F⃗=∂F x

∂x+∂F y

∂ y+∂ F z

∂z En coordenadas cilíndricas es

¿ F⃗=1ρ

∂∂ ρ

(ρ Aρ )+ 1ρ

∂ Aφ

∂φ+∂ A z

∂ z En coordenadas esféricas

¿ F⃗= 1r2

∂∂r

(r2 A r )+ 1r senθ

∂∂θ

( Aθ senθ )+ 1r senθ

∂ Aφ

∂φ

Teorema de la divergencia

El teorema de divergencia transforma la integral de volumen de la divergencia de un campo vectorial en una integral de superficie del flujo del campo a través de una superficie cerrada que circunda el volumen

∫V

❑

¿ F⃗ dv=∮S

❑

F⃗ · n⃗ ds

Rotacional

El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

rot F⃗=limS →0

1S∫C

❑

F⃗ ·d l⃗

La forma del rotacional en coordenadas rectangulares la podemos obtener resolviendo el siguiente determinante:

rot F⃗=| i⃗ j⃗ k⃗∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

Fx F y F z|

En coordenadas cilíndricas:

rot F⃗= 1ρ·| ρ⃗ ρ φ⃗ z⃗

∂∂ ρ

∂∂φ

∂∂ z

Fρ ρ Fφ F z|

En coordenadas esféricas:

2

ro t F⃗= 1r 2 senθ

·| ρ⃗ r θ⃗ senθ ⃗⃗φ∂∂r

∂∂θ

∂∂φ

F r r Fθ r senθ Fφ|

Identidades vectoriales que implican el rotacional

Para dos vectores A y B cualesquiera,

1. ∇× ( A+B )=∇× A+∇×B

2. ∇ · (∇× A )=0 para cualquier vector A

3. ∇× (∇V )=0 para cualquier función escalar V

Operador Vectorial Diferencial (nabla)

Este operador está definido en coordenadas cartesianas como:

∇= ∂∂ x

i⃗+ ∂∂ y

j⃗+ ∂∂ z

k⃗

Se aplica solamente delante de una función de (x , y , z) la cual queda así diferenciada, es un vector que obedece a las leyes del álgebra vectorial. Nos permite realizar una notación alternativa para los tres tipos de diferenciación vectorial que se definió anteriormente: el gradiente, la divergencia y el rotacional.

{ ¿ F⃗=∇ · F⃗gradϕ=∇ϕrot F⃗=∇×F⃗

Operador LaplacianoUna combinación que aparece con frecuencia es la divergencia del gradiente de un escalar.

∇ · (∇V )=∇ ·( ∂V∂ x i⃗+ ∂V∂ y

j⃗+ ∂V∂z

k⃗)=∇ · A⃗=∂ Ax

∂ x+∂ A y

∂ y+∂ A z

∂ z=∂2V

∂x2 + ∂2V∂ y2 + ∂2V

∂ z2

Por conveniencia, ∇ · (∇V ) se llama el laplaciano de V y se denota por ∇2V (el símbolo ∇2se la "nabla al cuadrado"). Es decir,

∇2V ≜∇ · (∇V )=∂2V∂x2 + ∂2V

∂ y2 + ∂2V∂ z2

En coordenadas cartesianas, el laplaciano de un vector es un vector cuyos componentes son iguales a los laplacianos de sus componentes. Mediante sustitución directa, se demuestra que:

∇2 E⃗=∇ · (∇ E⃗ )−∇× (∇×E⃗ )Teorema de StokesEl teorema de Stokes convierte la integral de superficie del rotacional de un vector sobre una superficie abierta S en una integral lineal del vector a lo largo del contorno C que limita la superficie S.

∫S

❑

(∇×B⃗ ) · d s⃗=∮C

❑

B⃗ · d l⃗

Si ∇×B⃗=0, se dice que el campo B es conservativo o irrotacional porque su circulación, representada por el lado derecho de la ecuación, es cero.

3

Corriente eléctrica

Ecuación de continuidad de la carga

{I=−dQdt

=−d∫

V

ρ vdv

dtI=∮

S

J ds=∫V

∇ J dv

⟹−d∫

V

ρ vdv

dt=∫

V

∇J dv⟹∇ J=−d ρvdt

Resistencia

R=VI=∫L

E⃗ d l⃗

∫S

J⃗ d s⃗=

∫L

E⃗ d l⃗

∫S

σ c E⃗ d s⃗=[Si el campo E⃗esconstante ]= l

σc S=[σc=

1ρc ]=ρc ·

lS

Conductancia

G= 1R

= IV

=∫S

J⃗ d s⃗

∫L

E⃗ d l⃗=∫S

σc E⃗ d s⃗

∫L

E⃗ d l⃗=[Si el campo E⃗es constante ]=σc S

l=[ ρc=

1σ c ]= 1

ρ c

·Sl

Corriente de desplazamiento

∫S

(∇×H⃗ ) · d s⃗=∮C

❑

Hdl=∫S

J⃗ c · d s⃗+∫S

∂ D⃗∂ t

· d s⃗=∫S(J⃗ + ∂ D⃗

∂ t )· d s⃗

Siendo J⃗ la densidad de corriente y D⃗ la densidad de flujo eléctrico (que también se llama desplazamiento

eléctrico). A lo largo de un contorno C, la integral de superficie (∇×H⃗ ) puede convertirse mediante el

teorema de Stokes en:

∮C

H⃗ · d l⃗=I c+∫S

∂ D⃗∂ t

· d s⃗=I c+ I d(Ley de Ampèℜgeneralizada)

La corriente de conducción se relaciona con la capacidad y el voltaje de esta forma:

I c=J c S={J c=nq ⟨ v ⟩=[ ⟨ v ⟩∝E ]=nq (kE )=[nq=ρ ]= ρ ( kE )=[ ρk=σc ]=σcE }=σcES=C·d V c

dtSabiendo que D=εE:

I d=J dS=[J d=∂ D∂ t

=ε∂E∂t ]=εS

∂E∂t

Ecuaciones de Maxwell

Referencia Forma diferencial Forma integral

Ley de Gauss ∇ · D⃗=ρv∮S

D⃗ · d s⃗=Q

Ley de Faraday ∇× E⃗=−∂ B⃗∂ t

∮C

E⃗ · d l⃗=−∫S

∂B∂ t

·d s⃗

Cargas no magnéticas (ley de Gauss para el

magnetismo)∇ · B⃗=0 ∮

S

B⃗ · d s⃗=0

4

Corriente de conducción:

I c

Corriente de desplazamiento:

I d

Ley de Ampère ∇× H⃗= J⃗+ ∂ D⃗∂ t

∮C

H⃗ · d l⃗=∫S

J⃗ · d s⃗+∫S

∂ D⃗∂ t

· d s⃗

Ley de Gauss

La ley de Gauss es consecuencia de la ley del inverso del cuadrado de la distancia. Es útil cuando la superficie gaussiana es tal que el módulo del campo eléctrico es constante sobre la

misma. En su forma integral nos dice que el flujo total del vector desplazamiento a través de una superficie

cerrada es igual a la carga libre que encierra. En su forma diferencial expresa una relación puntual entre la divergencia del vector D⃗ y la densidad de

carga libre, no ligada, en el punto considerado, es decir, muestra que una fuente de las líneas del vector D⃗ son las cargas libres.

Ley de Ampère y Faraday con fasores

Recordando que la diferenciación en el dominio del tiempo equivale a multiplicar por jω en el dominio fasorial , la ley de Ampère se vuelve:

∇×~H=~J+ jωε~E ó~E=~J−( 1jωε

∇×~H ) Los vectores fasoriales ~E y ~H también están relacionados por la forma fasorial de la ley de Faraday:

∇×~E=− jωμ~H ó~H= −1jωμ

∇×~E

Ley de Biot-Savart

Corriente filiforme

d B⃗=μ0

4 πI d⃗l× ( r⃗−r⃗ ' )

|r⃗−r⃗ '|3

Distribución superficial de corriente

d B⃗=μ0

4 πK⃗ dS× ( r⃗−r⃗ ' )

|r⃗−r⃗ '|3

Distribución volumétrica de corriente

d B⃗=μ0

4 πJ⃗ dV × ( r⃗−r⃗ ' )

|r⃗−r⃗ '|3

Tipos de dieléctricos

Dieléctricos con polarización permanenteSon los que presentan polarización de forma espontánea sin que se aplique un campo exterior. Ejemplos de este tipo son los electretes y ferroeléctricos.

Dieléctricos lineales y no linealesDieléctricos no lineales son materiales cuya susceptibilidad y permitividad dependen del campo aplicado. Los ferroeléctricos son materiales que tienen esta propiedad. Cuando χ y ε no dependen de E⃗ en el punto considerado los materiales reciben el nombre de isótopos, de los contrario se los llama anisótropos.

Dieléctricos homogéneosEn el caso de que los valores de χ y ε no dependan del punto considerado, el material es homogéneo.

5

Ecuaciones constitutivas de la materiaPara poder determinar los cuatro campos vectoriales fundamentales E⃗ , D⃗ , B⃗ , H⃗ , a las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo del apartado anterior hay que añadir otras dos ecuaciones, denominadas “relaciones constitutivas” de la materia, que se expresan, cuando se esta tratando con medios distintos del vacío, por

{B⃗=μ0 ( H⃗+M⃗ )D⃗=ε0 E⃗+ P⃗

Donde el primer término representa la contribución del campo externo, y el segundo representa la contribución de la magnetización del material. En general, el vector magnetización M⃗ es en respuesta al campo externo H⃗ . De ahí a que M⃗ se exprese como:

M⃗= χm H⃗

Si la magnetización es positiva, el campo magnético se refuerza en el interior del material (como ocurre en los paramagnetos y en los ferromagnetos, por ejemplo).En cambio, si la magnetización es negativa, el campo magnético se debilita en el interior del material (como ocurre en los diamagnetos). En los superconductores, la inducción magnética B⃗ es nula, así que la magnetización ha de ser siempre de la misma magnitud y dirección que el campo magnético H⃗ , pero en sentido inverso.Con frecuencia es conveniente definir las propiedades magnéticas de un material en función de la permeabilidad relativa μr:

B⃗=μ0 ( H⃗+M⃗ )=μ0 ( H⃗+ χm H⃗ )=μ0 H⃗ (1+ χm )⟹ μr=μμ0

=1+ χm

Para un medio lineal la relación entre B⃗ y H⃗ se expresa por:

B⃗=μ H⃗

Para un medio lineal, homogéneo e isótropo, la relación campo eléctrico-polarización se reduce a:

P⃗ ( r⃗ ,t )=ε0 χe E⃗ ( r⃗ , t )

donde el escalar χe se denomina susceptividad eléctrica.

Si se introduce esta ecuación en la del desplazamiento se tiene:

D⃗=ε0 E⃗+ P⃗=ε0 E⃗+ε0 χe E⃗=ε0 ( 1+ χe ) E⃗=[1+ χe=εr ]=ε0 εr E⃗=[ε0 ε r=ε ]=ε E⃗

Potencial debido a un material polarizado

Densidad de carga de polarización superficial

σ p ( r⃗ ' )=P⃗ (r ' ) ·n⃗Es la densidad superficial de carga que se obtiene en la superficie de separación a través del producto escalar de la polarización en dicha superficie por el vector normal a ella.

Densidad volumétrica de carga de polarización

ρp ( r⃗ ' )=−∇ ' · P⃗(r ')Es la densidad volumétrica de carga de polarización obtenida mediante la divergencia de la polarización dentro del volumen ocupado por el material.

6

Atendiendo a estas definiciones podemos expresar el potencial de la forma siguiente

V ( r⃗ )= 14 π ε0

(∫S '

❑ σ p ( r⃗ ' )|r⃗−r⃗ '|

ds '+∫S '

❑ ρp ( r⃗ ' )|r⃗−r⃗ '|

dv ')Condiciones de frontera para los campos eléctrico y magnético

Componentes del campo

Forma general Medio 1 Medio 2 dieléctrico dieléctrico

Medio 1 Medio 2dieléctrico conductor

E tangencial n⃗2× ( E⃗1−E⃗2 )=0 E1 t=E2 t E1 t=E2 t=0

D tangencial D1 t / ε1=D2 t / ε2 D1 t / ε1=D2 t / ε2 D1 t=D2 t=0

E normal n⃗2 ·(ε1 E⃗1−ε2 E⃗2)=ρ s ε 1E1n−ε2E2n=ρ s E1n= ρs/ε1 E2n=ρ s/ε2

D normal n⃗2 ·( D⃗1−D⃗2 )=ρs D1n−D2n= ρs D1n=ρ s D2n=0

H tangencial n⃗2× ( H⃗ 1−H⃗ 2 )= J⃗ s H⃗ 1 t=H⃗ 2 t H 1 t=J s H 2 t=0

B normal n⃗2 ·( B⃗1−B⃗2)=0 B⃗1n=B⃗2n B1n=B2n=0

La componente tangencial de un campo E es continua a través de una superficie de separación. La componente normal del campo D es discontinua a través de una superficie de separación cuando

existe una carga superficial, y que la cantidad de la discontinuidad es igual a la densidad superficial de carga.

La componente normal de B es continua a través de una superficie de separación. La componente tangencial de H es continua a través de la frontera de casi todos los medios físicos.

Campos y potenciales estáticos y dinámicos

Campo y potencial eléctrico

Electroestática Caso dinámico

E⃗=−∇V E⃗=−∇V−∂ A⃗∂ t

Campo y potencial magnético

Magnetoestática Caso dinámico

∇ · A⃗=0 Φ=∫S

❑

B⃗ d s⃗=¿∫S

❑

(∇× A⃗ )d s⃗=¿∮C

❑

A⃗ d⃗l¿¿

B⃗=∇× A⃗

B ( r⃗ )=μ0

4 π∫V

❑ J⃗m×(r⃗−r⃗ i ')

|r⃗−r⃗ i '|3 dv '+

μ0

4π∮S

❑

( K⃗m×( r⃗−r⃗ i ')

|r⃗−r⃗i|3 )ds '

A ( r⃗ )=μ0

4π∫V❑ J⃗m ( r⃗ 'i )

|r⃗−r⃗i '|dv '+

μ0

4 π∮S❑ ( K⃗ m( r⃗ ' i )

|r⃗−r⃗i| )× n⃗ds '

Densidad de corriente de imanación en el volumen V :

J⃗m ( r⃗ )=∇×M⃗ (r i')

7

Densidad de corriente de superficie:

K⃗ m ( r⃗ )=M⃗ (ri' )× n⃗

Ecuaciones de Laplace y Poisson

∇2V=0(Poisson)

∇2V=− ρε

(ℒ)

Requisitos para usar las ecuaciones de Laplace y Poisson

1. Conocemos la distribución de cargas libres en su interior (y no necesariamente en las superficies que la limitan).

2. Conocemos ciertas condiciones que se satisfacen en las superficies que la limitan (condiciones de frontera).

Soluciones a las ecuaciones de Laplace y Poisson

En ocasiones puede ser muy conveniente resolver la ecuación de Laplace como paso previo a la resolución de la de Poisson, teniendo en cuenta que, según la teoría de ecuaciones diferenciales, la solución general de una ecuación no homogénea (Poisson) es igual a la solución general de la correspondiente homogénea (Laplace) más una solución particular de la no homogénea (Poisson).

Coordenadas cartesianas

1X ( x )

d2 X (x )d x2 + 1

Y ( y )d2Y ( y)d y2 + 1

X ( x )d2Z (z)d z2 =0

α 2+ β2+γ2=0

En el caso de que las tres constantes α ,β , γ sean nulas:

d2 X (x)d x2 =0⟹ X ( x )=Ax+A '(Análogamente :Y ( y )=Bx+B ' , Z ( z )=Cx+C' )

V ( x , y , z )=( Ax+A' ) (Bx+B' ) (Cx+C ' ) Coordenadas cilíndricas

{d2Z ( z )d z2

=k2Z ( z )

d2Φ (φ )d φ2

=n2Φ (φ )

1ρ

ddρ ( ρ dR ( ρ )

dρ )+ (K2ρ2−n2 ) R ( ρ )=0

o En el caso de que k y n sean nulas:

8

{d2Z (z)d z2 =0⟹Z ( z )=Az+A '

d2Φ (z)d φ2 =0⟹Φ (φ )=Bφ+B '

1ρ

ddρ ( ρ dR ( ρ )

dρ )=0⟹ ρdR ( ρ )dρ

=C⟹dR ( ρ )=dρρC⟹R ( ρ )=Cln ρ+C '

V ( ρ ,φ , z )=(Az+A' ) (Bφ+B ' ) (Cln ρ+C ' )

o En el caso de que k=n≠0:

{ Z ( z )=Ak ekz+Ak

' e−kz

Φ (φ )=Bn sen (nφ )+Bn' cos (nφ )

R ( ρ )=Cn J n (k ρ )+Cn' N n ( k ρ )

Donde Jn y Nn son las funciones de Bessel. Hay casos en los que es necesario una función periódica de z. En estos casos k debe ser imaginario y la solución se modifica en 1ª y 3ª ecuación:

{Z ( z )=Ak sen (kz )+Ak' cos (kz )

Φ (φ )=Bn sen (nφ )+Bn' cos (nφ )

R ( ρ )=Cn I n (k ρ )+Cn' Kn (k ρ )

Donde I n y Kn son conocidas como funciones modificadas de Bessel.

o Caso en el que k ≠0 y n=0

{ Z ( z )=Ak ekz+Ak

' e−kz

R ( ρ )=C0 J 0 (k ρ )+C0' N0 (k ρ )

Φ (φ )=Bφ+B'

{Z ( z )=Ak sen (kz )+Ak' cos ( kz )

R ( ρ )=C0 I 0 ( k ρ )+C0' K0 (k ρ )

Φ (φ )=Bφ+B'

o Caso en el que k=0 y n≠0

{ Z (z )=Az+A'

R ( ρ )=Cn ρn+Cn

' ρ−n

Φ (φ )=Bn sen (nφ )+Bn' cos (nφ )

Coordenadas esféricas

{ 1r2

ddr (r2 dV

dr )=0⟹ r2 dVdr

=K⟹dV=Kdrr2 ⟹V (r )=

C1

r+C2

1r 2 senθ

ddθ (senθ dVdθ )=0⟹ senθ

dVdθ

=C1⟹V (θ )=C1 ln( tg θ2 )+C2

Cuando la simetría es esférica la solución a la ecuación de Poisson es:

9

1

r2

ddr (r2 dV

dr )=−ρε 0

V (r )=¿ Solución de Laplace +¿ Solución particular

Una solución particular para la ecuación de Poisson es una del tipo V=k r−n

Condiciones de frontera

Las condiciones de frontera conforman la información necesaria para determinar las constantes de integración que aparecen al resolver las ecuaciones de Laplace o Poisson. Pueden ser de diferentes tipos:

1. El valor del potencial en alguna de las superficies que delimitan la región del espacio a la que aplicamos la ecuación.

2. La continuidad del potencial en alguna de las superficies que delimitan la región del espacio a la que aplicamos la ecuación.

3. El valor de la componente normal del campo eléctrico (−∂V∂n ) en alguna de las superficies que

delimitan la región del espacio a la que aplicamos la ecuación.

4. Las condiciones en los límites para la componente normal del campo eléctrico (−∂V∂n )en alguna de

las superficies que delimitan la región del espacio a la que aplicamos la ecuación.5. Otras.

Energía y fuerza electrostática

Si existe campo externo, el trabajo del campo para trasladar la carga desde el infinito a una posición r1sin

variar su energía cinética es: W=−q (V 1−V (∞ ) )=−qV 1. La energía electrostática es el trabajo que

deben realizar las fuerzas externas contra el campo, por eso es de signo contrario. Si no existe campo externo, el trabajo para trasladar una carga puntual q1 desde el infinito a r1 es nulo, W e=qV 1.

La energía de un sistema de cargas es:

W e=12· (q1V 1+q2V 2+q3V 3+…+qnV n )

Es el trabajo que hay que realizar para trasladar esas cargas desde regiones de potencial cero a sus regiones respectivas.

La energía de una distribución continua de cargas es:

W=12∫V

❑

ρ (r )V (r )dv+ 12∫S

❑

σ (r )V (r )ds

En un conductor toda la carga Q se distribuye sobre la superficie y el volumen que ocupa cada conductor está al mismo potencial. Además la integral de σ (r ) a lo largo de toda su superficie es la carga Q.

W=12∫V

ρ (r )V (r )dv+ 12∫S

σ (r )V (r )ds=12V (r )∫

S

σ (r )ds=12·Q·V (r )

Si se trata de N conductores:

V i=1

4 π ε0∑j=1

N q j

|⃗r j−r⃗i|⟶W e=

12∑j=1

N

Q j ·V j

10

En este caso, el potencial en cada conductor se debe a las cargas en los otros conductores además de la propia carga. El motivo es que al trasladar una carga puntual desde el ∞ hasta r=0 es nulo (si no existen otras cargas), y según esta ecuación como E=f (1/r) el resultado daría energía infinita. Esta esta es la principal diferencia con la energía de un sistema de cargas puntuales.

La energía en función de los vectores del campo electrostático es:

W e=12∫V

❑

D⃗ · E⃗ dv

El volumen V puede incluir a los conductores, ya que dentro el campo electrostático es nulo y por tanto no contribuye a la energía. El producto escalar D⃗ · E⃗ es siempre positivo por tanto, la energía electrostática es positiva. En un medio lineal, uniforme e isótropo, considerando una permitividad cuyo valor es la constante ε , la ecuación constitutiva D⃗=ε E⃗, nos permite transformar la ecuación anterior en la siguiente,

W e=12∫V

❑

ε E2dv

La densidad de energía electrostática viene dad por:

w e=dW e

dV=1

2D⃗ · E⃗

El trabajo de la fuerza F⃗ en un desplazamiento virtual elemental d l⃗ está relacionado con la variación de energía electrostática de la forma siguiente,

F⃗ · d l⃗=−dW e

Esto es consecuencia de la conservación de la energía, es decir, si el campo realiza un trabajo disminuirá la energía electrostática; al contrario, si se hace un trabajo contra el campo aumentará su energía.

Desarrollo multipolar

Las características del potencial en función de la distancia a la distribución de carga se ponen de manifiesto a través de los momentos multipolares, que dependen de como están distribuidas las cargas en el volumen considerado. Entonces se puede obtener el potencial en forma de serie con sus términos expresados de tal manera que se pueda calcular la parte que corresponde a las coordenadas de posición de las cargas con independencia de las coordenadas del punto donde se calcula el potencial.

Para distribuciones de cargas, los 3 primeros términos del potencial multipolar son:

El momento monopolar será,

Q=∫V

❑

ρ ( r⃗ ' )dτ '=∑i=1

N

qi

El momento dipolar,

p⃗=∫V

❑

r⃗ ' ρ (r⃗ ' )d τ '=∑i=1

N

qi r i

Si la carga neta del sistema es nula, el momento dipolar es independiente del sistema de referencia.

Será el término dominante del desarrollo multipolar cuando ∑ qi=0.

V D ( r⃗ )= 14 π ε 0

·r⃗ · p⃗

r3

El momento cuadripolar,

11

Q jk=∑i=1

N

qi (3 ji k i−ri2δ jk )

El momento cuadripolar de una distribución no depende del origen de coordenadas que tomamos como referencia si tanto el momento monopolar como el dipolar son nulos.

V Q ( r⃗ )= 1

8 π ε0 r5∫

V

❑

ρ ( r⃗ ') [ 3 ( r⃗ r⃗ ' )2−(r ' )2 r2 ]d τ '= 1

8 π ε0 r5 r⃗

tQ jk r⃗=1

8π ε 0r5

(x y z )(Q xx Q xy Q xz

Q xy Q yy Q yz

Q xz Q yz Q zz)( xyz )

La matriz que representa el tensor es simétrica, es decir, es un tensor simétrico, ya que como puede deducirse de las ecuaciones que lo definen,

Q jk=Q kj

por tanto de las nueve sólo pueden ser distintas seis. Además, la suma de los términos de la diagonal verifica lo siguiente:

Q xx+Q yy+Q zz=0

En distribuciones lineales y superficiales de carga, se sustituirá

ρ (r⃗ ') por λ ( r⃗ ' )oσ ( r⃗ ') y el diferencial de

volumen dτ ' por dl ' o d s ' respectivamente.

Sistemas de

conductores

Los coeficientes de potencial pij son factores que dependen únicamente de la simetría del sistema y determinan la relación lineal existente entre las cargas y potenciales en los distintos conductores que lo forman.

(V 1

V 2

⋮V n

)=(p11 p12 … p1n

p21 p22 … p2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮pn1 pn2 … pnn

)(Q1

Q2

⋮Qn

)⟺ {V 1 ¿ p11Q1 p12Q2 … p1nQn

V 2 ¿ p21Q1 p22Q2 … p2nQn

⋮ ¿ ⋮ ⋮ ⋱ ¿ ¿=¿ pn1Q1¿ pn2Q2¿…¿pnnQn¿

Los coeficientes de potencial pij se pueden interpretar como la razón del cambio producido en el potencial del conductor i al cambiar la carga del conductor j, cuando las cargas en los demás conductores se mantienen constantes.

pij=( ∂V i

∂Q j)

Propiedades de los coeficientes de potencial:

12

DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE CARGA

Q xx=∫V

❑

ρ (r⃗ ' ) (2 x ' 2− y '2−z ' 2 )dτ ' Q xx=∑i

q i (2x 'i2− y 'i2−z ' i

2)

Q yy=∫V

❑

ρ ( r⃗ ' ) (2 y ' 2−x '2−z ' 2)dτ ' Q yy=∑i

q i (2 y 'i2−x 'i

2−z 'i2 )

Q zz=∫V

❑

ρ (r⃗ ' ) (2 z ' 2−x '2− y ' 2 )dτ ' Q zz=∑i

q i (2 z 'i2−x 'i2− y 'i

2 )

Q xy=3∫V

❑

ρ (r⃗ ' ) x ' y ' dτ ' Q xy=3∑i

q i x 'i y ' i

Q xz=3∫V

❑

ρ ( r⃗ ') x ' z ' dτ ' Q xz=3∑i

qi x 'i z ' i

Q yz=3∫V

❑

ρ (r⃗ ' ) y ' z ' dτ ' Q yz=3∑i

q i y 'i z ' i

1. Son positivos: Pii≥ pij>0 (la igualdad incluye el caso de un conductor dentro de otro

2. Son simétricos: pij=p ji

3. Como el potencial debido a una carga Qi sobre el propio conductor es mayor que el potencial en el

conductor j debido a la carga Qi sobre el conductor i , se verifica:

pii≥ pij>0

Los coeficientes de capacidad c ii y de inducción c ij tal que i≠ j, representan la relación entre la carga que

se induce en el conductor i, cuando el conductor j está a potencial V j y los demás conductores están unidos a tierra (potencial 0).

Qi=∑j=1

n

cijV j

(Q1

Q2

⋮Qn

)=(c11 c12 … c1n

c21 c22 … c2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮cn1 cn2 … cnn

)(V 1

V 2

⋮V n

)⟺ {Q1 ¿ c11V 1 c12V 2 … c1nV n

Q2 ¿ c21V 1 c22V 2 … c2nV n

⋮ ¿ ⋮ ⋮ ⋱ ¿ ¿=¿cn1V 1¿cn2V 2¿…¿cnnV n¿

Propiedades de los coeficientes de capacidad y de inducción:

1. Los coeficientes de influencia o inducción son simétricos: c ij=c ji, ( i≠ j ).2. Los coeficientes de influencia son negativos: c ij<0, pues la carga inducida sobre un conductor unido a

tierra por otro cargado positivamente es negativa. 3. Los coeficientes de capacidad son positivos: c ii>0, pues la carga de un conductor con potencial

positivo es positiva.

Régimen cuasiestático

Cuando la distribución de carga y corriente varían lentamente con el tiempo (es decir, a frecuencias muy bajas) y el rango de interés de R⃗ es pequeño en comparación con la longitud de onda, no es necesario considerar los efectos de retardo en los campos ni en los potenciales. En este régimen cuasiestático, el potencial escalar adopta la forma de la expresión utilizada en electrostática para una distribución continua de carga,

V= 14πε

∫V '

❑ρR '

dv '

Y el potencial vector, adopta la forma correspondiente de magnetostática,

A⃗=μ0

4 π∫V '

❑ J⃗ ( R⃗i)R '

d v '

Autoinductancia, inducción mutua y reluctancia

Coeficiente de autoinducción:

L=ϕI

Coeficiente de inductancia mutua:

L21=ϕ12

I 1

=L12=M

13

Si se considera una corriente lentamente variable en el tiempo (de baja frecuencia) se puede asumir que el sistema está en régimen cuasiestático, por lo que no sólo se pueden ignorar los efectos de retardo y radiación, además, se puede asumir que el campo que crea la intensidad i(t), en cada instante equivale al de una corriente continua de igual intensidad, de manera que se pueden utilizar, junto con la ley de Faraday, las leyes de la magnetostática. En esta situación se tiene una definición general de la autoinductancia:

L=dϕdI

Y de la inductancia mutua:

L21=d ϕ12

d I 1

Si lo que se considera es un único elemento y una variación de flujo, también existirá una fuerza electromotriz inducida en el propio elemento:

V=−dϕdI

=−LdIdt

Reluctancia:

R=∮ dlS μ

Se puede observar que sólo depende de la geometría del circuito y de la permeabilidad del material, desempeñando un papel similar al de la conductividad cuando lo que se expresa es la resistencia de un circuito eléctrico.

Ley de Hopkinson:

Φ= ¿R

= f .m.m.R

Campos magnéticos y energía magnética de algunas distribuciones

En el interior de un solenoide:

B= μNIl

Um=12· L· I 2=[L=ϕ

I=NBS

I=

μ N2 Il

· π R2

I=μ N2

l· π R2]=1

2·( μ N2

l· π R2) · I 2

En el interior de un toroide:

B= μNI2 πr

Um=1

2 μ0∫

todo elespacio

❑

B2dτ= 12 μ0

∫z=0

z=h

∫ρ=a

ρ=b

∫φ=0

φ=2π μ02 N2 I 2

4 π2 ρ2 ρ dφdρdz=μ0

4π·N 2 I 2h· ln( ba )

Ondas electromagnéticas

En una dimensión, una ecuación escalar de onda adopta la forma de :

∂2E∂t 2 −u2 ∂

2 E∂ z2 =0

Habiendo insertado el factor de tiempo, las posibles soluciones de la ecuación son:14

E=E+¿+E−¿=A e j(ωt−βz)+Be j (ωt+ βz)¿ ¿

Donde A y B son constantes reales. Considerando la parte imaginaria de esta ecuación se obtiene:

E=A sen (ωt−kz )

Donde ω es la frecuencia angular y β la constante de fase o número de onda.

Ondas planas

Una onda plana uniforme es una aproximación de una esférica cuando el observador se encuentra a una gran distancia. Tiene propiedades uniformes en todos los puntos del plano tangente al frente de ondas.El campo eléctrico E(z , t) tiene componentes a lo largo de las direcciones x y y . En una posición específica z, la dirección de E(z , t) está determinada en el plano x− y (en ese valor de z) por el ángulo de inclinación ψ, definido con respecto al componente de referencia de fase cero de E(z , t), que en este caso es el componente x . Por lo tanto,

ψ ( z , t )=t g−1( E y (z , t)Ex (z , t))

La permitividad compleja, ε c, queda definida como:

ε c≜ε− jσω

=[ ε'=ε

ε ' '= σω ]=ε '− j ε ' '={ ε '⟶Parte real

ε ' '⟶Parte imaginaria

La constante de propagación, ε c, queda definida como:

γ 2=−ω2μ εc

Ecuación de onda homogénea para ~E y ~H

{∇2~E−γ2~E=0∇2~H−γ2~H=0

Cuando el medio es sin pérdidas, se acostumbra a introducir el número de onda k definido por:

k=2πλ

=ω √με

Por lo que se deduce que γ 2=−k2 y las ecuaciones se vuelven:

{∇2~E+k 2~E=0∇2~H+k 2~H=0

Ondas planas uniformes en un medio sin pérdidas

Las propiedades de propagación están regidos por la frecuencia angular ω y los tres parámetros constitutivos del medio: ε , μ y σ . Si el medio es “no conductor” (σ=0 ), un dieléctrico perfecto, la onda no sufre atenuación al viajar a través del medio y entonces se dice que éste es “sin pérdidas”. Por tanto,

ε c=ε− jσω

=ε

Una “onda plana uniforme” se caracteriza por campos eléctricos y magnéticos que tienen propiedades uniformes en todos los puntos a través de un plano infinito. Si éste es el plano x− y , entonces E⃗ y H⃗ no

15

varían con x y y. Como ∂~H y /∂x=∂

~H x/∂ y=0, se deduce que ~Ez=0. Esto significa que una onda plana no

tiene componentes eléctricos ni magnéticos a lo largo de su dirección de propagación.

La impedancia intrínseca de un medio sin pérdidas se define como:

η=ωμ0

k=[k=ω√ μ0 ε0 ]= ωμ0

ω √μ0 ε 0

=√ μ0

ε0

≈120 π [Ω ]

Los campos eléctrico y magnético se escriben entonces como

{~E ( z )=Ex ( z ) u⃗x+Ey ( z ) u⃗ y=(Ex0

u⃗x+Ey0u⃗y )e− jkz

~H ( z )=1ηu⃗z×

~E ( z )=1η· (−E y0

u⃗x+Ex0u⃗y ) · e− jkz

¿

En el caso general, E x 0+¿ ¿ podría ser una cantidad compleja compuesta de una magnitud ¿ y un ángulo de

fase ϕ+¿ ¿. Es decir E x 0+¿=¿Ex 0

+¿∨e j ϕ+¿¿¿¿.

Como E⃗(z , t) y H⃗ (z , t) exhiben la misma dependencia funcional en z y t , se dice que están en fase cuando la amplitud de una de ellas es máxima la amplitud de la onda también lo es. Esta propiedad de estar en fase es una característica de las ondas que se propagan en medios sin pérdidas.

Relación general entre E y H~H=1

ηu⃗z×

~E (z )~E=−ηu⃗z×

~H ¿

Polarización de una onda planaLa polarización de una onda plana uniforme describe la forma y el lugar geométrico de la punta del vector E⃗ (en el plano ortogonal a la dirección de propagación) en un punto dado del espacio en función del tiempo. Polarización lineal

Se dice que una onda está linealmente polarizada si E x (z , t) y E y(z , t) están en fase (es decir, δ=0) o fuera de fase (δ=π ). Esto es porque a un valor específico de z, por ejemplo z=0, la punta de E⃗(0 ,t ) traza una línea recta en el plano x− y .

|E⃗ (0 , t)|=[ax2+ay

2 ]1 /2cosωt

Polarización circular

Ahora se considera el caso especial en que las magnitudes de los componentes x e y de ~E(z ) son iguales (ax=ay ) y la diferencia de fase δ=± π /2. Por razones que pronto se volverán evidentes, la polarización de onda se llama circular de mano izquierda cuando δ=π /2 y circular de mano derecha cuandoδ=−π /2.

El módulo del campo eléctrico es:

|E⃗ (z , t)|=[Ex2 ( z ,t )+E y

2 ( z ,t ) ]1 /2=a

o Polarización circular de mano izquierda (LHC)

16

~E (z )=a (u⃗x+u⃗y ej π /2 )e− j kz=a (u⃗x+u⃗y e

j π /2 )e− j kz

E⃗ ( z ,t )=ℜ [~E (z)e jωt ]=u⃗x acos (ωt−kz )+u⃗y acos (ωt−kz+π /2 )=¿=u⃗xacos (ωt−kz )+u⃗ ya sen (ωt−kz )¿

o Polarización circular de mano derecha (RHC)

E⃗ ( z ,t )=ℜ [~E (z)e jωt ]=u⃗x acos (ωt−kz )+u⃗y acos (ωt−kz−π /2 )=¿=u⃗x acos (ωt−kz )−u⃗y a sen (ωt−kz )¿

Polarización elíptica

Es el caso más general, donde ax≠0 , a y≠0 y δ ≠0, la punta de E traza una elipse en el planox− y , y se dice que la onda está elípticamente polarizada.

Estado de polarización

El estado de polarización, que puede ser lineal, circular o elíptico, está regido por la razón de las magnitudes de las fases y la diferencia de fase entre los dos componentes ortogonales del vector de campo eléctrico. Para ver el tipo de polarización de una onda plana hay que comparar γ y χ . Los valores positivos de χ , correspondientes a senδ>0, están asociados con rotación izquierda y los valores negativos de χ , correspondientes a senδ<0, están asociados con rotación derecha.

Lo 1º es calcular la diferencia de fase:δ=δ y−δ x

Si hay algún ángulo negativo se le suman 180º.

El ángulo auxiliar ψ0 se obtiene con:

ψ0=t g−1( ay

ax)

El ángulo γ se obtiene despejándolo de la siguiente ecuación:

tg 2 γ=tg2ψ0 ·cos δ

Teniendo en cuenta que de las 2 soluciones hay que escoger la que tenga el mismo signo que cos δ. Para

ver las distintas soluciones se suma o se resta π /2 sin alcanzar el valor ±π .

Por último, el ángulo χ se obtiene despejándolo de la siguiente ecuación:

sen2 χ=sen2ψ0 · sen δ

Ondas planas en medios con pérdidas

Constante de propagación:

γ 2=(α+ jβ )2=−ω2μεc= [εc=ε '− j ε ' ' ]=−ω2μ ( ε '− j ε ' ' )=[ ε '=εε ' '=σ /ω]=−ω2 μ(ε− j·

σω )

Constante de atenuación:

α=ω {με '2 [√1+( ε' '

ε ' )2

−1]}12

Constante de fase:

17

β=ω {με '2 [√1+( ε' '

ε ' )2

+1]}12

~E (z )=u⃗x ·

~Ex ( z)=u⃗x ·Ex 0 e

−αz e− jβz

El campo ~H se puede determinar:

~H ( z )=u⃗y~H y (z )=u⃗y

~Ex ( z )ηc

=u⃗y

~Ex 0

ηc

e−αz e− jβz

donde

ηc=√ με c

=√ με ' (1− j

ε ' '

ε ' )−12

|~Ex (z )|=|Ex 0e−αz e− jβz|=|Ex 0|e−αz

La distancia δ s, llamada profundidad de penetración del medio, caracteriza qué tan bien una onda electromagnética logra penetrar en un medio conductor.

δ s=1α

= 1

√πfμ σc

(m)

Si el medio es “no conductor” (σ=0 ), un dieléctrico perfecto, la onda no sufre atenuación al viajar a

través del medio y entonces se dice que éste es “sin pérdidas”. Por tanto ε c=ε− jσω

=ε , α=0 y δ s=0.

En el otro extremo si el medio es un conductor perfecto con σ=∞, α=∞ y la profundidad de penetración será δ s=0.

Clasificación de ondas planas según ε /ε

Cuando ε /ε'≪, el medio se conoce como dieléctrico de bajas pérdidas, y cuando ε /ε'≫, el medio se caracteriza como buen conductor. En la práctica, el medio se considera como dieléctrico de bajas pérdidas si ε /ε'< {10} ^ {-2, como buen conductor si ε /ε'> {10} ^ {2 y como cuasi-conductor si

10−2≤ε /ε'≤ {10} ^ {2.

18

Cualquier medioMedio sin pérdidas

(σ=0 )

Medio de bajas

pérdidas

( ε ' 'ε ' ≪1)

Buen conductor

( ε ' 'ε ' >100)Unidades

α=¿ ω{μ ε '2 [√1+( ε' '

ε ' )2

−1]}12

0 σ2 √ με √πfμσ (Np/m)

β=¿ ω{μ ε '2 [√1+( ε' '

ε ' )2

+1]}12

ω √με ω √με √πfμσ (rad/m)

ηc=¿ √ με ' (1− j

ε ' '

ε ' )−1 /2

√ με √ μ

ε(1+ j ) α

σ(Ω )

up=¿ ω / β 1/√ με 1/√ με √4 πf / μσ (m/s)

λ=¿ 2π / β=up/ f up/ f up/ f up/ f (m)

Potencia y energía de un campo electromagnético

dW q=F⃗ d r⃗=q ( E⃗+ v⃗× B⃗ )d r⃗=[ (v⃗ × B⃗ ) · d r⃗=0d r⃗=v⃗ dt ]=q E⃗ v⃗dt

El trabajo total realizado sobre una carga dependerá del tiempo que haya estado actuando el campo sobre ésta, por lo que resulta más sencillo utilizar el trabajo por unidad de tiempo. Se define la potencia sobre una carga como:

P=dW q

dt=q E⃗ v⃗ dt

dt=q E⃗ v⃗

Si se considera un material con N cargas, todas con igual velocidad, se puede definir la potencia sobre un diferencial de volumen dV como:

dP=N·q· E⃗ · v⃗ dV=[ J⃗ c=Nq v⃗ ]=E⃗ · J⃗ c dV

Y la potencia total que se pone en juego en el volumen V será

P=∫V

❑

E⃗ · J⃗ c dV

Esta potencia (que es un incremento de energía de las cargas) puede disiparse en forma de calor, o transformarse en energía mecánica o térmica. Esto supone una disminución de la energía del campo electromagnético en el interior del volumen V .Cuando es el caso de que la energía pasa de la materia a los campos, se dice que se están generando campo electromagnético, las corrientes (las cargas) irán en sentido opuesto al de los campos y las cargas perderán energía cinética que pasa a los campos. La expresión de la potencia suministrada será:

P=−∫V

❑

E⃗ · J⃗ gdV

19

Teorema de Poynting

∮S

❑

( E⃗× H⃗ )ds=−∫V

❑

E⃗ · J⃗c dV− ∂∂ t∫V

❑

( 12D⃗ · E⃗+1

2B⃗ · H⃗)dV Observando los términos, se encuentra que el

primer término del segundo miembro de la igualdad (que corresponde a la potencia sobre las cargas) representa la potencia disipada en el volumen considerado (como se ha asumido que el medio es conductor,

σ ≠0, representa las pérdidas óhmicas).

El segundo término, que es una suma de la densidad de energía del campo eléctrico y de la densidad de energía del campo magnético, indica la variación de la densidad de energía almacenada en el campo electromagnético.

Considerando lo que representan los términos de la derecha de la ecuación, resulta evidente que el término de la izquierda de la igualdad, el correspondiente a la integral sobre una superficie cerrada del producto vectorial E⃗× H⃗ , representa (por aplicación de la ley de conservación de la energía) el flujo de potencia que abandona el volumen V , o el flujo de energía por unidad de tiempo que sale a través de la superficie cerrada que limita al volumen V .

Vector de PoyntingLa magnitud vectorial representada por el producto S⃗= E⃗× H⃗ (W·m−2 ) es conocida como el vector de

Poynting, S, e indica la energía que se propaga por unidad de tiempo y unidad de superficie (potencia por unidad de área, o densidad de potencia en cada punto), y también la dirección y sentido en que se propaga.

La potencia total que fluye a través de la abertura o que es interceptada por ella es:

P=∫A

❑

S⃗ · n⃗ dA

Si además del campo eléctrico que actúa sobre las cargas existiese una fuente externa, habría que añadir un término que se correspondiese con el trabajo por unidad de tiempo suministrado o realizado por las fuentes externas en el volumen V considerado. De manera que si además del campo E⃗ existiese un campo E⃗ b, correspondiente a la presencia de una batería o generador, que está generando potencia eléctrica, el teorema de Poynting se expresaría:

−∫V

❑

E⃗b · J⃗ dV=∮S

❑

( E⃗× H⃗ )ds+∫V

❑

E⃗ · J⃗ cdV + ∂∂ t

∫V

❑

( 12D⃗ · E⃗+1

2B⃗ · H⃗)dV

El término de la izquierda de la igualdad indica la potencia total suministrada al volumen por el generador,

que será invertida en los tres términos de la derecha: la potencia que abandona la región, las pérdidas óhmicas y el aumento de energía electromagnética del volumen V .El teorema de Poynting expresa el hecho de que la potencia suministrada a un cierto volumen puede aumentar la energía electromagnética de ese volumen, transformarse en pérdidas y /o abandonar el volumen. Es decir, que expresa el balance energético en el volumen V y el hecho de que la energía electromagnética se transforma en energía mecánica o de otro tipo o en calor.

20

Potencia disipada

Variación de la densidad de energía del campo

electromagnético

Flujo de potencia que abandona el volumen V

Potencia suministrada por el generador al

volumen V

Como E⃗ y H⃗ son funciones de tiempo, también lo es el vector de Poynting S⃗. Sin embargo, en la práctica, la

cantidad de mayor interés es la densidad de potencia promedio de la onda S⃗prom es el valor promedio con

respecto al tiempo de S. Para una línea de transmisión excitada por una fuente armónica (sinusoidal) en el dominio del tiempo la potencia promedio con respecto al tiempo que fluye hacia la carga se calcula con la ecuación

S⃗prom=12

ℜ [~E×~H ]

En un medio sin pérdidas la ecuación se aplica así:

S⃗prom=12

ℜ [~E×~H ]= 12η (|Ex0

|2+|Ey0

|2)u⃗z=|~E|2

2ηu⃗z (W /m2 )

En un medio con pérdidas con constantes de propagación γ=α+ jβ:

S⃗prom=12

ℜ [~E×~H ]= (|Ex0|2+|E y0

|2)2

e−2αzℜ( 1η ) u⃗z=

|E0|2

2|η|e−2αz ·cosθη u⃗z (W /m2 )

Guías de onda

La constante de propagación es:

β=√k2−kc2=√ω2με−(mπa )

2

−( nπb )2

o k es el número de onda de propagación sin frontera definido como

k=ω√ με

{ kc2=k2−β2=ω2με−β2

kc2=kx

2+k y2=(mπa )

2

+( nπb )2

Correspondiente a cada modo, especificada por valores enteros de m y n, existe una frecuencia de corte f mn, a la cualβ=0:

f mn=up0

2 √(ma )2

+( nb )2

Donde up0=1/√με es la velocidad de fase de una onda TEM en un medio sin fronteras con parámetros

constitutivos μ y ε .

Velocidad de fase

up=ωβ

=up0

√1− (f mn/ f )2

21

{~Ex=

jωμkc

2 ( nπb )H0 cos (mπxa ) sen( nπyb )e− jβz

~E y=− jωμkc

2 (mπa )H 0 sen(mπxa )cos( nπyb )e− jβz

~E z=0

~H x=jβk c

2 (mπb )H 0 sen (mπxa )cos ( nπyb )e− jβz=−ZTE~E y

~H y=jβkc

2 ( nπa )H 0cos (mπxa )sen( nπyb )e− jβz=ZT E~Ex

~H z=H 0 cos (mπxa )cos ( nπyb )e− jβz

o La impedancia de onda para el modo transversal eléctrico es:

ZTE=~Ex~H y

=−~Ey

~H x

= βηk

= η

√1−( f mn/ f )2

La velocidad con la que la envolvente –o, de forma equivalente, el grupo de ondas– viaja a través del medio se llama velocidad de grupo ug

ug=1

dβ /dω=u p0√1−( f mnf )

2

La relación entre la velocidad de fase, la velocidad de grupo y up0 es:

upug=up0

2

Por encima del corte ( f > f mn ), up≥up0 y ug≤up0

. Conforme f⟶∞, o más precisamente, conforme

( f / f mn)⟶0, los modos TE y TM se aproximan al caso TEM, en el cual up=ug=up0.

Guías de ondas rectangulares Onda plana

Modos TE Modos TM Modo TEM

22

~Ex=jωμ

k c2 ( nπb )H 0 cos(mπxa )sen ( nπyb )e− jβz

~E y=

− jωμ

kc2 (mπa )H 0 sen (mπxa )cos ( nπyb )e− jβz

~E z=0

~H x=−ZTE~E y=

jβk c

2 (mπb )H 0 sen(mπxa )cos( nπyb )e− jβz

~H y=ZTE~Ex=

jβkc

2 ( nπa )H 0 cos(mπxa )sen ( nπyb )e− jβz

~H z=H 0cos (mπxa )cos ( nπyb )e− jβ z

ZTE=~Ex~H y

=−~Ey~H x

= βηk

= η

√1−( f mn/ f )2

~Ex=− jβ

kc2 (mπa )E0cos (mπxa ) sen( nπyb )e− jβz

~Ey=− jβ

k c2 ( nπb )E0 sen(mπxa )cos( nπyb )e− jβz

~Ez=E0 sen (mπxa )cos ( nπyb )e− jβz

~H x=−ZTM~E y=

jωε

kc2 ( nπb )E0 sen(mπxa )cos( nπyb )

~H y=ZTM~Ex=

− jωε

kc2 (mπa )E0 cos (mπxa )sen ( nπyb )e− jβz

~H z=0

ZTM=~Ex~H y

=−~E y

~H x

=β ηk

=η√1−( f mn/ f )2

~Ex=Ex0

e− jβz

~Ey=E y0

e− jβz

~Ez=0

~H x=−η

~Ey

~H y=η

~Ex

~H z=0

η=√μ /ε

f mn=noaplicable

k=ω√ μεup=1/√με

Propiedades comunes a los modos TE y TM

f mn=up0

2 √(ma )2

+( nb )2

β=k √1−( f mn/ f )2

up=ωβ

=up0/√1−( f mn/ f )2

Resonadores de cavidad

Frecuencia resonante

f mnp=u p0

2 √(ma )2

+( nb )2

+( pd )2

Factor de calidad

Q≈f mnp∆ f

Radiación y antenas

El ángulo sólido de patrón Ω p describe el ancho equivalente del lóbulo principal del patrón de antena.

Se define como la integral de la intensidad de radiación normalizada F (θ ,ϕ) sobre una esfera:

Ω p=∬4 π

❑

F (θ ,ϕ)d Ω

Para el dipolo corto (o hertziano) el vector de Poynting promedio (o densidad de potencia) es

S (R ,θ )=( η0 k2 I 0

2 l2

32 π2R2 ) sen2θ=S0 sen2θ

Para el dipolo hertziano la radiación es máxima en la dirección del lado ancho (θ=π /2), correspondiente al plano azimutal, y se determina mediante:

Smáx=S0=η0k

2 I 02l2

32π 2R2 =15π I 0

2

R2 ( lλ )2

23

donde se utilizaron las relaciones k=2π / λ y η0≅ 120 π . Se observa que Smáx es directamente

proporcional a I 02 y a l2 (con / medida en longitudes de onda), y se reduce con la distancia como 1/R2.

La intensidad de radiación F (θ ,ϕ ) normalizada describe el patrón direccional de cualquier antena

como la razón de l densidad de potencia S (R ,θ ,ϕ) y Smáx:

F (θ ,ϕ )= S (R ,θ ,ϕ )Smáx

La directividad D de una antena se define como la razón entre su intensidad de radiación máxima normalizada, Fmáx (la que por definición es igual a 1) y el valor promedio de F (θ ,ϕ) en el espacio 4 π:

{D=Fmáx

Fprom

=1

14 π

Ωp

=1

14 π∬4 π

❑

F(θ ,ϕ)d Ω=

4 π

∬4π

❑

F (θ ,ϕ )dΩ

D=4π R2Smáx

Prad

=[S prom=P rad

4 π R2 ]= SmáxS prom

Como Sprom=S iso, donde Siso es la densidad de potencia radiada por una antena isotrópica, D representa la razón entre la densidad de potencia máxima radiada por la antena considerada y la densidad de potencia radiada por una antena isotrópica, ambas medidas en el mismo rango R y excitadas por la misma cantidad de potencia de entrada.

La ganancia de una antena se define como:

G=4 π r2Smáx

P t

que es de forma similar a la expresión de la ecuación para la directividad D, excepto que se refiere a la potencia de entrada a la antena, Pt, en lugar de a la potencia radiada Prad.

Potencia de una antena

o La potencia radiada promedio con respecto al tiempo:

Prad=12I 0R rad

o La potencia disipada es:

Ppérdida=12I 0Rpérdida

Eficiencia de radiación

De la potencia total Pt, (potencia del transmisor) suministrada a la antena, una parte, Prad, se irradia

hacia el espacio y el resto, Prad, se disipa como pérdida de calor en la estructura de la antena. La eficiencia de radiación expresa qué parte de la potencia suministrada se emite y cuál se disipa.

ξ=Prad

Pt

Área efectiva de una antena receptora

La capacidad de una antena de capturar energía proveniente de una onda incidente de densidad de

potencia Si(W /m2) y de convertirla en una potencia interceptada P¿t (W ) para suministrarla a una

carga acoplada se caracteriza por el área efectiva Ae:24

Ae=P∫¿

S i

(m2 )¿

25