Matemáticas Avanzadas I

Lic.: Edgar Gerardo Mata Ortiz

YAZMIN BARRIENTOS GALVAN

7°”A” T.M

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales

Conceptos Básicos:

Es una expresión que involucra a una función desconocida y sus derivadas por ejemplo:

Y + y´ = 0

Clasificación de las ecuaciones Diferenciales:

Ecuación Diferencial Ordinaria.

Ecuación Diferencial Parcial.

Orden de una Ecuación Diferencial

El orden de la derivada máximo que aparece en la ecuación:

Y´ significa derivada de Y.

Y¨ significa segunda derivada.

Solución de una ecuación diferencial:

La solución de una ecuación diferencial en una

función desconocida “y” y la variable independiente

“x” definida en un intervalo y es una función y que

satisface la ecuación diferencial para todos los

valores de x en el intervalo dado.

Y¨+ 4y = 0

Solución:

Y= sen2x + cos2x

Y´ = 2cos2x – 2sen2x

Y¨= 2 (-sen2x)(2) – 2 (cos2x)(2)

Y¨= - 4sen2x – 4cos2x

Comprobación y¨+4y = 0

- 4sen2x – 4cos2x+ 4 (sen2x+cos2x) = 0

- -4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x = 0

Y¨ + 4y = 0

Y= 5sen2x + 3cos2x

Y´= 5(cos2x)(2) + 3(-sen2x) (2)

Y´= 10(cos2x) – 6sen2x

Y¨= - 20sen2x – 12cos2x

Comprobación: Y¨ + 4y = 0

y= - 20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x)

Y= -20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x = 0

Estas dos soluciones se llaman soluciones particulares, pero lo que generalmente se obtiene es la solución general:

Y = C1 sen2x + C2 cos2x

Comprobar si es la solución que:

Y= x2 – 1 es solución de (y´)4 + y2 = - 1

Y´= 2x

No es la solución : (2x)4 + ( x2 – 1 )2 = - 1

Y´+ y2 = 0 -1

𝑥2+ (

1

𝑥)2 = 0

Y = 1

𝑥= x -1 -

1

𝑥2+ 1

𝑥2= 0

y´= - 1x-2

Y= −1

𝑥2

Y = e2x

Solución : y¨ + y´- 6y = 0

Y´= 2 e2x

Y¨ = 4 e2x

Comprobación :

4 e2x + 2 e2x - 6(e2x) = 0

6 – 6 = 0

Y = e-2x + e3x

Solución: y¨ - y´ - 6y = 0

Y´= -2 e-2x + 3e3x

Y¨ = 4 e-2x + 9 e3x

Comprobación:

-4 e-2x + 9 e3x – (- 2 e-2x + 3 e3x )- 6(e-2x + e3x )

6 e-2x + 6 e3x - 6 e-2x - 6 e3x = 0

Y = x2 + ex + e-2x

Solución : y¨ + y´- 2y = 2(1+ x - x2 )

Y´= 2x + ex + (-2e-2x )

Y¨ = 2 + ex + 4e-2x

Comprobación:

2 + ex + 4e-2x + 2x + ex + (-2e-2x ) – 2 (x2 + ex + e-2x )

2(1+ x - x2 ) = 2(1+ x - x2 ) 2 x2 - 2 ex - 2

e-2x

Y = C1 e2x + C2 (xe2x)

Solución : y¨ - 4y´ + 4y = 0

Y´= 2 C1 e2x + 2 C2 xe2x + C2e2x

Y¨= 4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 2 C2e2x + 2C2e

2x

Comprobación :

4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 2 C2e2x + 2C2e

2x - 4(2 C1

e2x + 2 C2 xe2x + C2e2x ) + 4 (C1 e2x + C2 (xe2x)) =

0

4 C1 e2x - 8 C1 e2x + 4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 4 C2

xe2x

- 8 C2 xe2x - 4 C2e2x - 4 C2e

2x = 0

Ecuaciones diferenciales por

separación de variables

Ecuaciones diferenciales con variables

separables:𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦

𝑥

𝑑𝑦

𝑦=

𝑑𝑥

𝑥

ln 𝑦 = ln 𝑥 + ln 𝐶𝑖

ln 𝑦 = ln 𝐶𝑖 x

Aplicando anti-logaritmo

𝑦 = 𝐶𝑖𝑥

Comprobación:

𝑦 = 𝐶𝑖𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝐶𝑖

Sustituyendo:𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑦

𝑥

𝐶𝑖 =𝐶𝑖𝑥

𝑥𝐶𝑖 = 𝐶𝑖

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥

𝑦

𝑦𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥

𝑦2

2=𝑥2

2+𝐶1

22

Ecuaciones diferenciales exactas

𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦2dy = 0

𝑀 = 𝑋2 + 2𝑥𝑦 + 𝑥 𝑁 = 𝑦2

∂ 𝑀∂ 𝑦

=2𝑥∂ 𝑁∂ 𝑥

=0

5𝑥 + 4𝑦 𝑑𝑥 + 4𝑥 − 8𝑦3 𝑑𝑦 = 05𝑥𝑑𝑥 + 4𝑦𝑑𝑥 + 4𝑥𝑑𝑦 − 8𝑦3𝑑𝑦 = 0𝑥 5𝑑𝑥 + 4𝑑𝑦 + 4𝑦 𝑑𝑦 − 2𝑦2𝑑𝑦 = 0

No es posible separar las variables, por lo que es

necesario buscar otro método.

Formula : ∂ 𝑀∂ 𝑦

= ∂ 𝑁∂ 𝑥

𝑀 = 5𝑥 + 4𝑦 𝑁 = 4𝑥 − 8𝑦3

∂ 𝑀∂ 𝑦

= 4∂ 𝑁∂ 𝑥

=4

Si es una ecuación

diferencial exacta por que :

∂ 𝑀∂ 𝑦

= 4 es igual a ∂ 𝑁∂ 𝑥

=4

1.- 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0

𝑀 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 𝑁 = 𝑥𝑦

∂ 𝑀∂ 𝑦

= 2𝑦∂ 𝑁∂ 𝑥

=𝑦

No es exacta porque: ∂ 𝑀∂ 𝑦

= 2𝑦 no es igual ∂ 𝑁∂ 𝑥

=𝑦

Sin embargo, a veces es posible encontrar un factor (

que llamamos factor integrante), el cual al

multiplicarse por la ecuación diferencial la convierte

en exacta. Para encontrar este factor integrante

podemos utilizar la siguiente formula:

𝜕𝑀

𝜕𝑦−𝜕𝑁

𝜕𝑥

𝑁=2𝑦−𝑦

𝑥𝑦=

𝑦

𝑥𝑦=1

𝑥Encontrar factor integrante

Ahora utilizaremos este resultado para obtener el

factor integrante por medio de la expresión:

𝜇 𝑥 = 𝑒 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑒 1

𝑥𝑑𝑥 𝑒

𝑑𝑥

𝑥 𝑒𝑙𝑛𝑥 = 𝑥

Ahora multiplicaremos la ecuación diferencial original

por este factor integrante, y el resultado de la

multiplicación será una ecuación diferencial exactas.

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑦𝑑𝑦 = 0

𝑀 = 𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝑥2 𝑁 = 𝑥2𝑦

∂ 𝑀∂ 𝑦

=2𝑥𝑦∂ 𝑁∂ 𝑥= 2𝑥𝑦

A continuación aplicamos el método de solución de

ecuaciones diferenciales exactas:

Integramos: 𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝑥2 𝑑𝑥

𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥3𝑑𝑥 + 𝑦2 𝑥𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑥

𝑥4

4+ 𝑦2

𝑥2

2+𝑥3

3+ 𝑔 𝑦

𝑓 =𝑥4

4+ 𝑦2

𝑥2

2+𝑥3

3+ 𝑔 𝑦

Solo falta determinar el valor g(y).

Para determinar el valor g(y) derivamos la función f

encontrada respecto a y.

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 2𝑦

𝑥2

2+ 𝑔´ 𝑦 ∴

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 𝑥2𝑦 + 𝑔 𝑦

Este resultado se iguala con N

𝑥2𝑦 + 𝑔 𝑦 = 𝑥2𝑦

Simplificando:

+𝑔´ 𝑦 = 𝑥2𝑦- 𝑥2𝑦 𝑔´ 𝑦 =0

Si 𝑔´ 𝑦 =0 entonces 𝑔 𝑦 = C1

Por lo tanto la función buscada es :

𝑓 =𝑥4

4+ 𝑦2

𝑥2

2+𝑥3

3+ 𝐶1

Y la solución se obtiene igualando esta función a una

constante C2:

𝑥4

4+ 𝑦2

𝑥2

2+𝑥3

3+ 𝐶1 = 𝐶2

𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜𝑥4

4+𝑥2𝑦2

2+𝑥3

3+ 𝐶

Multiplicando por 12 3𝑥4 + 4𝑥3 + 6𝑥2𝑦2 + 𝐶

2.- 3𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0

𝑀 = 3𝑥2 + 𝑦2 𝑁 = −2𝑥𝑦𝑑𝑦𝜕𝑀

𝜕𝑦= 2y

𝜕𝑁

𝜕𝑋= −2y

No son exactas por lo cual se aplica la formula para

encontrar el factor integrante: 𝜕𝑀

𝜕𝑦−𝜕𝑁

𝜕𝑥

𝑁= 2𝑦−(−2𝑦)

−2𝑥𝑦=2𝑦+2𝑦

−2𝑥𝑦=

4𝑦

−2𝑦=−2

𝑥

𝜇 𝑥 = 𝑒 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑒 −2

𝑥𝑑𝑥 𝑒−2

𝑑𝑥

𝑥 𝑒𝑙𝑛𝑥−2

= 𝑥−2 =1

𝑥2

3𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 01

𝑥2

3 +𝑦2

𝑥2𝑑𝑥 −

2𝑦

𝑥𝑑𝑦 = 0

𝑀 = 3 +𝑦2

𝑥2𝑁 = −2𝑦

𝑥

𝜕𝑀

𝜕𝑦=2𝑦

𝑥2𝑢 = −2𝑦 𝑣 = 𝑥

𝑣𝑑𝑢

𝑑𝑥−𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑣2

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 0

𝑑𝑣

𝑑𝑥= 1

𝜕𝑁

𝜕𝑥=𝑥 0 − 2 −2𝑦 (1)

(𝑥)2

𝜕𝑁

𝜕𝑥= 2𝑦

𝑥2

Integramos : 3 +𝑦2

𝑥2dx

3 +𝑦2

𝑥2dx =3 𝑑𝑥 + 𝑦2

𝑑𝑥

𝑥2= 3𝑥 + 𝑦2 𝑥−2

𝑓 = 3𝑥 + 𝑦2𝑥−1

−1+ 𝑔 𝑦

𝑓 = 3𝑥 −𝑦2

𝑥+ 𝑔 𝑦

Determinar : 𝑔 𝑦𝜕𝑓

𝜕𝑦= −

2𝑦

𝑥+ 𝑔´ 𝑦

−2𝑦

𝑥+ 𝑔´ 𝑦 =−

2𝑦

𝑥

𝑔´ 𝑦 =−2𝑦

𝑥+2𝑦

𝑥= 𝑔´ 𝑦 =0

𝑓 = 3𝑥 −𝑦2

𝑥+ 𝐶1 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛: 3𝑥 −

𝑦2

𝑥+ C1 = C2

3𝑥 −𝑦2

𝑥= C 𝑥

3𝑥2 − 𝑦2 = 𝐶𝑥