EstadísticaMedidas de tendencia central

Bachiller:

Mariangel Vivenzio G.

C.I: 26.346.930Sección MV

Medidas de Tendencia Central

• Las medidas de tendencia central, son medidas estadísticas que pretenden resumir en un solo valor a un conjunto de valores. Representan un centro en torno al cual se encuentra ubicado el conjunto de los datos. Las medidas de tendencia central más utilizadas son: media, mediana y moda. Las medidas de dispersión en cambio miden el grado de dispersión de los valores de la variable. Dicho en otros términos las medidas de dispersión pretenden evaluar en qué medida los datos difieren entre sí. De esta forma, ambos tipos de medidas usadas en conjunto permiten describir un conjunto de datos entregando información acerca de su posición y su dispersión.

Importancia de medidas de tendencia central

Las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba.

En resumen, el propósito de las medidas de tendencia central es:

• Mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo.

• Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con el puntaje central o típico.

• Sirve como un método para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones.

• Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más grupos.

Tipos de promedios, matematicos y estadísticos

• La media aritmética, es la medida de posición utilizada con más frecuencia. Si se tienen n valores de observaciones, la media aritmética es la suma de todos y caca uno de los valores dividida entre el total de valores: Lo que indica que puede ser afectada por los valores extremos, por lo que puede dar una imagen distorsionada de la información de los datos.

• La Mediana, es el valor que ocupa la posición central en un conjunto de datos, que deben estar ordenados, de esta manera la mitad de las observaciones es menor que la mediana y la otra mitad es mayor que la mediana, resulta muy apropiada cuando se poseen observaciones extremas. 

• La Moda, es el valor de un conjunto de datos que aparece con mayor frecuencia. No depende de valores extremos, pero es más variables que la media y la mediana.

• La media geométrica, es un promedio muy útil en conjuntos de números que son interpretados en orden de su producto, no de su suma (tal y como ocurre con la media aritmética). Por ejemplo, las velocidades de crecimiento.

• La media armónica, es un promedio muy útil en conjuntos de números que se definen en relación con alguna unidad, por ejemplo la velocidad (distancia por unidad de tiempo).

Rango Medio es la media de las observaciones menor y mayor. como intervienen solamente estas observaciones, si hay valores extremos, se distorsiona como medida de posición, pero ofrece un valor adecuado, rápido y sencillo para resumir al conjunto de datos. 

Calculo y Aplicación

• Media Aritmética

Es aquella medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable por la frecuencia total. En palabras más simples, corresponde a la suma de un conjunto de datos dividida por el número total de dichos datos.

Ejemplo:

En matemáticas, un alumno tiene las siguientes notas: 4, 7, 7, 2, 5, 3 n = 6 (número total de datos)

La media aritmética de las notas de esa asignatura es 4,8. Este número representa el promedio.

• Promedio Geometrico

Dadas “N” cantidades, su promedio geométrico es la raíz enésima del producto de dichas cantidades o números.

Ejemplo:

Calcular el promedio geométrico de 48, 45, 100.

• Moda

Es la medida que indica cual dato tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos; o sea, cual se repite más.

Ejemplo:

Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las edades de niñas de un Jardín Infantil.

5, 7, 3, 3, 7, 8, 3, 5, 9, 5, 3, 4, 3.

La edad que más se repite es 3, por lo tanto, la Moda es 3

(Mo = 3)

• Mediana

Para reconocer la mediana, es necesario tener ordenados los valores sea de mayor a menor o lo contrario. Usted divide el total de casos (N) entre dos, y el valor resultante corresponde al número del caso que representa la mediana de la distribución.

Es el valor central de un conjunto de valores ordenados en forma creciente o decreciente. Dicho en otras palabras, la Mediana corresponde al valor que deja igual número de valores antes y después de él en un conjunto de datos agrupados.

Según el número de valores que se tengan se pueden presentar dos casos:

Si el número de valores es impar, la Mediana corresponderá al valor central de dicho conjunto de datos.

Si el número de valores es par, la Mediana corresponderá al promedio de los dos valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen por 2).

Ejemplo impar: si el numero de datos es impar, la mediana se encuentra ubicada en el centro del conjunto de los datos.

Se tienen los siguientes datos:  5, 4, 8, 10, 9, 1, 2

Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene:  1, 2, 4, 5, 8, 9, 10

El 5 corresponde a la Mediana, porque es el valor central en este conjunto de datos impares.

Ejemplo par: si el numero de datos es par, la mediana se determina por el promedio aritmetico de los dos valores centrales.

Se tienen los siguientes datos: 2, 4, 5, 8, 7, 9, 3, 1, al ordenarlos en forma creciente, se tiene: 1,2,3,4,5,7,8,9, se tiene que los dos datos centrales son el 4 y 5. se determinaria de la siguiente manera:

Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (varianza).

Medidas de dispersión para series simples

Rango o recorrido

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.

Desviación media

La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.

Di = X - La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

La desviación media se representa por:

Medidas de dispersión para datos agrupados

• Rango

• Varianza

• Media

• Desviación Estandar

• Coeficiente de variación

Medidas de posición

Son indicadores usados para señalar que porcentaje de datos dentro de una distribución de frecuencias superan estas expresiones, cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama " Medidas de Tendencia Central ".

Pero estas medidas de posición de una distribución de frecuencias han de cumplir determinadas condiciones para que lean verdaderamente representativas de la variable a la que resumen. Toda síntesis de una distribución se considerara como operativa si intervienen en su determinación todos y cada uno de los valores de la distribución, siendo única para cada distribución de frecuencias y siendo siempre calculable y de fácil obtención. A continuación se describen las medidas de posición más comunes utilizadas en estadística, como lo son:

• Cuartiles: Hay 3 cuartiles que dividen a una distribución en 4 partes iguales: primero, segundo y tercer cuartil.

• Deciles: Hay 9 deciles que la dividen en 10 partes iguales: (primero al noveno decil).

• Percentiles: Hay 99 percentiles que dividen a una serie en 100 partes iguales: (primero al noventa y nueve percentil).

• Cuartiles (Q1, Q2, Q3)

Aquel valor de una serie que supera al 25% de los datos y es superado por el 75% restante.Formula de Q1 para series de Datos Agrupados en Clase.

Donde:

Posición de Q1, la cual se localiza en la primera frecuencia acumulada que la contenga, siendo la clase de Q1, la correspondiente a tal frecuencia acumulada.

Li, faa, fi, Ic : idéntico a los conceptos vistos para Mediana pero referidos a la medida de la posición correspondiente.

• Primer cuartil (Q1):

• Segundo cuartil (Q2):

Coincide, es idéntico o similar al valor de la Mediana (Q2 = Md). Es decir, supera y es superado por el 50% de los valores de una Serie.

• c) Tercer cuartil (Q3):

Aquel valor, termino o dato que supera al 75% y es superado por el 25% de los datos restantes de la Serie.Formula de Q3 para series de Datos Agrupados en Clase.

Donde:

Posición de Q3, todo idéntico al calculo de la Mediana.

Deciles (D1, D2, … D9)Primer Decil (D1), Quinto Decil (D5) y Noveno Decil (D9).El primer decil es aquel valor de una serie que supera a 1/10 parte de los datos y es superado por las 9/10 partes restantes (respectivamente, hablando en porcentajes, supera al 10% y es superado por el 90% restante),

Conclusión

• Las medidas de tendencia central, nos permiten identificar los valores más representativos de los datos, de acuerdo a la manera como se tienden a concentrar.

• La Media nos indica el promedio de los datos; es decir, nos informa el valor que obtendría cada uno de los individuos si se distribuyeran los valores en partes iguales.

• La Mediana por el contrario nos informa el valor que separa los datos en dos partes iguales, cada una de las cuales cuenta con el cincuenta por ciento de los datos.

• La Moda nos indica el valor que más se repite dentro de los datos

Bibliografia

• Stephen p. shao. (1960). Estadística para economistas y administradores de empresas. Libro.