Kelompok 5 VD-108;104;115;120;121;131

STRUKTUR ALJABAR

GRUP SIMETRI DAN GRUP SIKLIK

DISUSUN OLEH :

SHOLIHA NURWULAN : 15.1.12.4.108

SEMESTER/KELAS : VD

DOSEN PEMBIMBING :

SYAHARUDDIN, M.pd

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI

MATARAM

2014

Kelompok 5 VD-108;104;115;120;121;131

A. Grup Simetri

1. Definisi-definisi

Definisi 1:

Misalkan S suatu himpunan berhingga yang banyak elemennya adalah n. Suatu pemetaan

satu-satu dari S ke S sendiri disebut suatu permutasi dari elemen-elemen S. Banyaknya

elemen dari S merupakan tingkat permutasi itu sendiri.

Definisi 2:

Misalkan A adalah suatu himpunan berhingga dan S(A) adalah himpunan semua

pemetaan bijektif dari himpunan A pada dirinya sendiri, maka komposisi pemetaan

<S(A), ○> adalah merupakan Grup Permutasi.

Definisi 3:

Grup dari semua permutasi dari himpunan unsur disebut Grup Simetris Berderajat n dan

dinyatakan dengan (Sn, ○).

Order dari Sn adalah n! Dan bila n > 2 dimana n bilangan bulat positif, maka Sn tidak

komutatif.

Dalam konteks yang lebih luas, grup simetri merupakan bagian dari grup transformasi

atau grup automorfism. Ketika kita mengetahui struktur matematika yang kita dalami,

kita dapat mengetahui pemetaan dari struktur itu.

Contoh:

Misalkan f dan g dua permutasi yang didefinisikan sebagai berikut :

𝑓 = (1 2 3 2 1 5

4 5 63 6 4

) dan 𝑔 = (1 2 3 3 1 2

4 5 65 6 4

)

Tentukan 𝑓 𝑜 𝑔 𝑑𝑎𝑛 𝑔 𝑜 𝑓 serta tentukan orbit dan sikelnya ! Penyelesaian :

𝑓 𝑜 𝑔 = (1 2 3 5 2 1

4 5 66 4 3

)

Orbitnya = ( 1 5 4 6 3 )

Sikelnya = 1

𝑔 𝑜 𝑓 = (1 2 3 1 3 6

4 5 62 4 5

)

Orbitnya = ( 2 3 6 5 4 )

Sikelnya = 1

Urutan baris pertama dapat diubah, asal bayangan masing-masing anggota tetap, dan

akan menghasilkan permutasi(simetri) yang sama

Contoh:

(1 2 3 2 1 5

4 5 63 6 4

) = (1 4 6 2 3 4

2 3 51 5 6

) =(2 1 4 1 2 3

6 3 54 5 6

)

B. Grup Siklik

1. Definisi-definisi

Definisi 1:

Key Word: Grup Simetris Komposisi Fungsi Obit dan Sikel

Grup Siklik Generator (Perpangkatan)

Kelompok 5 VD-108;104;115;120;121;131

Misalkan G suatu grup dan a ∈ G. Periode (Order/Ordo) a yang disimbolkan p(a) adalah

suatu bilangan bulat positif terkecil misalnya m sedemikian sehingga am = e. Apabila

bilangan bulat positif m demikian itu tidak ada, maka dikatakan bahwa periode a adalah

takhingga atau nol.

Definisi 2:

Grup G disebut grup siklik apabila ada suatu elemen G, misalnya a ∈ G, sedemikian

sehingga untuk setiap x ∈ G, x = am untuk suatu bilangan bulat m. selanjutnya, a disebut

generator (elemen penghasil) dari G dan ditulis G = (a).

Definisi 3: (terhadap perkalian)

Grup (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a|G sedemikian hingga G = {an | n|Z}. Elemen

a disebut generator dari grup siklik tersebut.

Contoh :

Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .).

Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.

Penyelesaian :

Generator dari G = {-1, 1} adalah -1 dan 1

[-1] = {(-1)n | n ∈ Z} = {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …}

= {-1, 1}

[1] = {(1)n| n ∈ Z} = {(1)0, (1)1, (1)2, …} = {1}

generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga :

[-1] = {-1, 1}

generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga :

[1] = {1}.

Definisi 4 : (terhadap penjumlahan)

Grup (G, +) disebut siklik, bila ada elemen a|G sedemikian hingga G= {na | n | Z}.

Contoh:

Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G,+).

Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.

Penyelesaian :

Generator dari G = {0, 1, 2, 3} adalah 0, 1, 2 dan 3

[0] = {n(0) | n ∈ Z}

= {0}

[1] = {n(1) | n ∈ Z}

= {0.1, 1.1, 2.1, 3.1, …}

= {0, 1, 2, 3}

[2] = {n(2) | n ∈ Z}

= {0.2, 1.2, 2.2, 3.2, …}

= {0, 2}

[3] = {n(3) | n ∈Z}

= {0.3, 1.3, 2.3, 3.3, …}

= {0, 3, 2, 1}

generator 1 dan 3 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga :

[1] = [3] = {0, 1, 2, 3}

Kelompok 5 VD-108;104;115;120;121;131

generator 0 dan 2 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga :

[0] = {0}

[2] = {0, 2}

Contoh 4.3 :

Grup (Z,+) merupakan Grup Siklik tak hingga yang dibangun

oleh 1.

Penyelesaian :

[1] = {…, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, …}

= {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Jadi, 1 merupakan genertor yang membentuk Grup Siklik tak hingga.

Definisi 3 :

Misalkan (G,*) adalah suatu grup da a| G, maka generator a yang membangun suatu Sub

grup [a] dinamakan Sub grup Siklik dari (G,*).

Jadi yang dimaksud dengan Sub grup Siklik yaitu Sub grup yang dibangkitkan

oleh satu unsur.

2. Teorema-teorema

Teorema 1:

Jika G suatu grup berhingga, maka p(a)| n(G), ∀a ∈ G dengan n(G) banyaknya elemen

grup G.

Teorema 2:

Jika grup berhingga G memuat suatu elemen yang periodenya sama dengan order G,

maka G adalah grup siklik dengan generator elemen tersebut.

Teorema 3:

Suatu grup yang berorder prima adalah grup siklik.

Teorema 4:

Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik.

Contoh 1:

Selidiki apakah (Z5, +) merupakan grup siklik? Jika iya tentukan semua generatornya!

Penyelesaian :

Z = {0,1,2,3,4} terhadap penjumlahan modulo 5

Tidak termasuk grup siklik. Karena tidak memiliki generator.

Contoh 2:

Selidiki apakah (Z4, *) merupakan grup siklik? Jika iya tentukan semua generatornya!

Penyelesaian :

Z = {1,2,3} terhadap perkalian modulo 4

11 = 112 = 213 = 3

21 = 222 = 023 = 0

31 = 332 = 233 = 1

Kelompok 5 VD-108;104;115;120;121;131

Termasuk grup siklik dengan generatornya adalah 1 dan 3.

RANGKUMAN

1. Misalkan S suatu himpunan berhingga yang banyak elemennya adalah n. Suatu pemetaan satu-satu dari S ke S sendiri disebut suatu permutasi dari elemen-elemen S. Banyaknya elemen dari S merupakan tingkat permutasi itu sendiri.

2. Grup G disebut grup siklik apabila ada suatu elemen G, misalnya a ∈ G, sedemikian

sehingga untuk setiap x ∈ G, x = am untuk suatu builangan bulat m. selanjutnya, a

disebut generator (elemen penghasil) dari G dan ditulis G = (a)

Kelompok 5 VD-108;104;115;120;121;131

LATIHAN

1. Tuliskan permutasi-permutasi berikut ini sebagai hasil kali sikel-sikel yang saling asing dan

carilah inversnya.

(a)

1234567

7654321

(b)

589672413

987654321

(c)

1243567

7654321

4765132

7654321

2. Nyatakan permutasi-permutasi berikut ini sebagai hasilkali sikel-sikel saling asing dan

carilah invers dari setiap permutasi.

(a) 75321 6742

(b) 21 31 51 41 62 72

(c) 4321 4132

3. Jika a = 4231 , tunjukkan bahwa G= {a, a2, a3, a4} dengan komposisi fungsi adalah

suatu grup abelian.

4. Jika a dan b dua sikel yang saling asing, buktikan bahwa ab = ba.

5. Misalkan G suatu grup dan Gba , , buktikan bahwa

(i) abb 1 = a

(ii) ab = ba

6. Buktikan setiap grup siklik adalah suatu grup Abelian! Tunjukkan bahwa konversnya tidak

benar!.

7. Manakah dari grup berikut yang termasuk grup siklik dan jelaskan jawaban anda

a. Z5 b. Z4 c. Z6 d. Z7 e. Z9

8. Misalkan I4 = {1, -1, i, -i} adalah Grup bilangan kompleks terhadap

perkalian (I4, .). Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut.

Kelompok 5 VD-108;104;115;120;121;131