i

SIFAT-SIFAT 𝑷-GRUP DAN 𝑷-SUBGRUP SYLOW

SKRIPSI

untuk memenuhi sebagian persyaratan

mencapai derajat Sarjana S-1

Program Studi Matematika

Diajukan oleh

Lia Setyawati

08610036

Kepada

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SUNAN KALIJAGA

YOGYAKARTA

2012

ii

iii

iv

v

KATA PENGANTAR

Segala puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT Tuhan semesta

alam atas limpahan rahmat serta hidayah-Nya. Atas ridho-Nya sehingga tulisan ini

dapat terselesaikan. Sholawat serta salam tak lupa tercurahkan kepada nabi akhir

zaman, nabi Muhammad SAW, yang telah menuntun umatnya menuju jalan yang

terang.

Skripsi ini disusun guna memperoleh gelar sarjana Sains (matematika). Isi

dari skripsi ini membahas tentang sifat-sifat p-grup dan p-subgrup Sylow.

Atas terselesaikannya skripsi ini penulis tidak bisa terlepas dari bantuan

dan bimbingan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan ini penulis

mengucapkan terima kasih setinggi-tingginya kepada:

1. Bapak Prof. Drs. H. Akh. Minhaji, M.A., Ph.D selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta.

2. Ibu Dra. Hj. Khurul Wardati, M.Si selaku Pembantu Dekan I Fakultas

Sains dan Teknologi, sekaligus pembimbing pertama, atas bimbingan,

arahan, motivasi dan ilmu yang diberikan kepada penulis.

3. Bapak M. Zaki Riyanto, S.Si., M.Sc selaku pembimbing kedua, atas waktu

dan kesabaran dalam membimbing, mengarahkan serta tak segan-segan

membagi ilmunya kepada penulis.

4. Bapak/Ibu Dosen dan seluruh Staf karyawan Fakultas Sains dan

Teknologi, khususnya Bapak M. Farhan Qudratullah, M. Si. selaku PA

penulis, atas ilmu yang telah diberikan serta bantuan selama perkuliahan.

5. Mama, Bapa, Mega dan Kiki yang penulis sayangi atas motivasi, bantuan

baik yang material maupun non material sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini. Segala apa yang telah kalian curahkan untuk

penulis, tiadalah cukup dan mampu penulis gambarkan itu semua dengan

kata-kata.

vi

6. Sahabat-sahabatku di prodi matematika angkatan 2008 yang selalu

membuat penulis merasa bersyukur dapat bertemu kalian. Khususnya

untuk Okta, Rossi, Hani, Ranto, dan Tuty yang selalu bersedia membantu

dan memotivasi penulis dalam pengerjaan skripsi ini.

7. Anak-anak kost pak Waliko (Syifa, mba’ Yuni, Nuy, Hana, Lia, Riri, Chili

dan Ayu) atas hari-hari indah yang telah tertoreh bersama kalian untuk

menjadi lembaran berarti dalam catatan hidup penulis.

Semoga segala bantuan dan motivasi yang penulis terima dapat

bermanfaat untuk melanjutkan ke jenjang selanjutnya. Semoga budi baik dari

semua pihak yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang

setimpal dari Allah SWT. Amin. Penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini

masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis sangat mengharapkan kritik serta

saran dari para pembaca demi sempurnanya skripsi ini. Walaupun masih

banyaknya kekurangan yang ada, semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat

kepada para pembaca terutama teman-teman di bidang matematika.

Yogyakarta, 31 Juli 2012

Penulis

Lia Setyawati

vii

Skripsi ini penulis persembahkan kepada :

Mama dan Bapakku tercinta yang telah membesarkan,

mendidik, mendo’akan serta mencurahkan segala kasih

sayangnya untukku

Kedua adikku tersayang, Mega Rahmah Rukmana

dan Rizqy Putra Ramadhan yang selalu

menyemangatiku, serta Okta Arfiyanta yang selalu

ada dan sabar menemaniku ^_^

Keluarga besar Bapak Solechan dan Ibu Sutini

Pak Royo (Guru Matematika di SMAN 1

Binangun) yang telah membuatku lebih mencintai

matematika

Teman-teman Matematika UIN Sunan Kalijaga

angkatan 2008

Teman-teman kos Bapak Waliko

viii

MOTTO

“Dan (ingatlah juga), tatkala Tuhanmu memaklumkan; “Sesungguhnya jika kamu

bersyukur, pasti Kami akan menambah (nikmat) kepadamu, dan jika kamu

mengingkari (nikmat-Ku), Maka Sesungguhnya azab-Ku sangat pedih”. (Surat

Ibrahim : 7)

“Tidak akan masuk surga orang yang dihatinya ada setitik kesombongan”.

(H.R. Muslim)

“Orang yang berhenti belajar, akan menjadi pemilik masa lalu. Orang yang

masih terus belajar, akan menjadi pemilik masa depan”. (Mario Teguh)

ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i

SURAT PERSETUJUAN SKRIPSI ................................................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iii

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN ..................................................... iv

KATA PENGANTAR ....................................................................................... v

HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................ vii

HALAMAN MOTTO ....................................................................................... viii

DAFTAR ISI ...................................................................................................... ix

ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN .......................................................... xi

ABSTRAK ......................................................................................................... xiii

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1

1.1 Latar Belakang .................................................................................... 1

1.2 Batasan Masalah ................................................................................. 6

1.3 Rumusan Masalah ............................................................................... 6

1.4 Tujuan Penelitian ................................................................................ 6

1.5 Manfaat Penelitian .............................................................................. 6

1.6 Tinjauan Pustaka ................................................................................. 7

BAB II LANDASAN TEORI ........................................................................... 9

2.1 Relasi .................................................................................................. 9

2.2 Bilangan Bulat ................................................................................... 14

2.3 Kongruensi ......................................................................................... 24

x

2.4 Grup .................................................................................................. 26

2.5 Homomorfisma Grup ........................................................................ 57

2.6 Grup Aksi .......................................................................................... 60

BAB III METODE PENELITIAN ................................................................. 68

BAB IV PEMBAHASAN ................................................................................ 71

4.1 Kelas Konjugasi ................................................................................. 71

4.2 Teorema Cauchy dan 𝑃-grup ............................................................ 100

4.3 Teorema Sylow dan 𝑃-subgrup Sylow ............................................. 111

4.4 Aplikasi Teorema Sylow pada Grup Sederhana ............................... 124

BAB V PENUTUP ........................................................................................... 129

5.1 Kesimpulan ....................................................................................... 129

5.2 Saran ................................................................................................. 130

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 132

xi

ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN

𝐴 × 𝐵 Perkalian kartesius dari 𝐴 dan 𝐵

(𝑥, 𝑦) Pasangan berurutan dari 𝑥, 𝑦

𝑥𝑅𝑦 𝑥 berelasi 𝑅 dengan 𝑦

~ Ekuivalensi

[𝑥] Kelas ekuivalensi yang memuat 𝑥

𝑚|𝑛 𝑚 membagi habis 𝑛

𝑚 ∤ 𝑛 𝑚 tidak membagi habis 𝑛

𝐹𝑃𝐵(𝑎, 𝑏) Faktor persekutuan terbesar dari 𝑎 dan 𝑏

𝑥 ≡ 𝑦(𝑚𝑜𝑑 𝑛) 𝑥 kongruen 𝑦 modulo 𝑛

𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 elemen dari 𝐴

𝑦 ∉ 𝐵 𝑦 bukan elemen dari 𝐵

ℤ Himpunan semua bilangan bulat

ℤ+ Himpunan semua bilangan bulat positif

ℚ Himpunan semua bilangan rasional

ℝ Himpunan semua bilangan real

𝕂 Himpunan semua bilangan kompleks

ℤ𝑛 Himpunan semua kelas ekuivalensi modulo 𝑛

ℤ𝑛0 Himpunan semua kelas ekuivalensi modulo 𝑛 tanpa 0

∀ Untuk setiap (kuantor universal)

∃ Terdapat (kuantor eksistensial)

|𝐺| Order dari grup 𝐺

∘ (𝑥) Order dari elemen 𝑥

∅ Himpunan kosong

∎ Akhir dari suatu pembuktian

𝐴 ∩ 𝐵 Irisan

xii

𝐴 ∪ 𝐵 Gabungan

𝐴 ⊂ 𝐵 Himpunan bagian

𝐻 ≤ 𝐺 𝐻 subgrup dari 𝐺

𝐻 ⊴ 𝐺 𝐻 subgrup normal dari 𝐺

⇔ Biimplikasi atau jika dan hanya jika

⇒ “Berakibat” atau bukti implikasi ke arah kanan

⇐ Bukti implikasi ke arah kiri

< 𝑎 > Subgrup yang dibangun oleh elemen 𝑎

𝐺 𝑁 Grup faktor 𝐺 modulo 𝑁

𝐻𝑔 Koset kanan dari 𝐻 dengan koset representatif 𝑔

𝑔𝐻 Koset kiri dari 𝐻 dengan koset representatif 𝑔

𝐻 ||𝐺| Order grup H membagi habis order grup 𝐺

𝜑: 𝐺 → 𝐺′ 𝜑 suatu pemetaan dari grup 𝐺 ke grup 𝐺′

[𝐺: 𝐻] Indeks dari 𝐻 dalam 𝐺

𝐺 ≅ 𝐺′ 𝐺 isomorfis dengan 𝐺′

𝐶(𝑎) Centralizer 𝑎

𝑍(𝐺) Center dari 𝐺

𝑁𝐺(𝐻) Normalizer dari 𝐻 dalam 𝐺

𝐺𝑎 Stabilizer dari 𝑎

𝐶𝑙(𝑎) Kelas konjugasi dari 𝑎

𝑆𝑛 Grup permutasi dari himpunan {1, … . 𝑛}

𝑎−1 Invers dari 𝑎

𝑎𝐻𝑎−1 𝑎𝐻𝑎−1 = {𝑎𝑕𝑎−1|𝑕 ∈ 𝐻}

𝐴\𝐵 𝐴\𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 tetapi 𝑥 ∉ 𝐵}

xiii

SIFAT-SIFAT 𝑷-GRUP DAN 𝑷-SUBGRUP SYLOW

Oleh : Lia Setyawati (08610036)

ABSTRAK

Diberikan suatu grup berhingga 𝐺. Jika setiap elemen 𝐺 berorder pangkat

dari suatu bilangan prima 𝑝, maka 𝐺 dinamakan 𝑝-grup. Sifat-sifat 𝑝-grup pada

skripsi ini yang pertama adalah 𝐺 merupakan 𝑝-grup jika dan hanya jika order 𝐺

merupakan pangkat dari suatu bilangan prima 𝑝. Sifat 𝑝-grup yang lain memiliki

hubungan dengan konjugat dan center dari 𝑝-grupnya. Jika 𝐺 adalah 𝑝-grup dan

𝑎 ∈ 𝐺 maka 𝑎𝐺𝑎−1 merupakan konjugat dari 𝐺, sebarang konjugat dari 𝐺 adalah

𝑝-grup. Center dari 𝐺 adalah himpunan elemen 𝐺 yang komutatif dengan semua

elemen 𝐺, jika 𝐺 adalah 𝑝-grup maka center dari 𝐺 pasti nontrivial.

Jika ditemukan subgrup maksimal yang merupakan 𝑝-grup pada suatu

grup berhingga, maka subgrup tersebut dinamakan 𝑝-subgrup Sylow. Misalkan 𝐻

grup yang berorder 𝑝𝑟𝑚 untuk suatu 𝑟 ∈ ℤ, 𝑚 ∈ ℤ+, 𝑝 bilangan prima serta 𝑝 dan

𝑚 relatif prima, maka 𝐻 memiliki subgrup yang berorder 𝑝𝑖 dimana 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟,

pernyataan tersebut lebih dikenal dengan istilah Teorema Sylow I. Sifat 𝑝-subgrup

Sylow yang dapat diambil dari Teorema Sylow I adalah jika subgrup dari 𝐻 tepat

memiliki order 𝑝𝑟 , maka subgrup tersebut merupakan 𝑝-subgrup Sylow. Sifat 𝑝-

subgrup Sylow yang lain memiliki kaitan dengan subgrup normal, yakni 𝑃 satu-

satunya 𝑝-subgrup Sylow dari 𝐻 jika dan hanya jika 𝑃 subgrup normal dari 𝐻.

Kata kunci : bilangan prima, p-grup, p-subgrup Sylow, teorema Sylow.

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pada umumnya orang beranggapan bahwa matematika hanya berkenaan

dengan perhitungan-perhitungan yang berkutat pada bilangan yang dilakukan

berdasarkan rumus atau aturan-aturan tertentu. Anggapan seperti ini tidak

sepenuhnya benar karena hampir semua cabang matematika, salah satunya aljabar

yang memfokuskan pembahasannya tidak pada perhitungan, tetapi pada

pengembangan konsep yang menggunakan penalaran deduktif yaitu

pengembangan konsep dasar untuk memperoleh prinsip-prinsip yang berupa

teorema 1. Aljabar dalam matematika dapat dipilah menjadi beberapa kategori

berikut ini: aljabar dasar, aljabar abstrak, aljabar linear, aljabar universal, dan

aljabar komputer 2. Salah satu yang dipelajari oleh penulis dalam perkuliahan

adalah aljabar abstrak. Aljabar abstrak sendiri merupakan bidang subjek

matematika yang mempelajari struktur aljabar, seperti grup, ring, lapangan (field),

modul, ruang vektor, dan aljabar lapangan3.

Salah satu yang dipelajari dalam aljabar abstrak adalah teori grup. Grup

adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner dan

memenuhi aksioma-aksioma grup. Materi teori grup yang telah didapatkan

penulis selama menempuh perkuliahan adalah mengenai konsep grup, grup

1 Sukirman, Pengantar Aljabar Abstrak, (Malang : penerbit Universitas Negeri Malang, 2005,

Edisi I), hal. ii 2 Wikipedia, Aljabar, diunduh dari http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar pada tanggal 3 Maret 2012,

pukul 16.47 WIB 3 Wikipedia, Abstract algebra, diunduh http://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_algebra pada tanggal

3 Maret 2012, pukul 17.02 WIB

2

permutasi, grup siklik, subgrup, koset, teorema Lagrange, subgrup normal, grup

faktor dan homomorfisma. Salah satu contoh grup yang menarik untuk dipelajari

adalah grup berhingga. Misal 𝐺 grup dan 𝑎 ∈ 𝐺, banyaknya elemen dalam 𝐺

disebut order grup 𝐺 sedangkan order elemen 𝑎 (dinotasikan dengan ∘ 𝑎 ) adalah

bilangan bulat positif terkecil katakan 𝑘, sedemikian sehingga 𝑎𝑘 = 𝑒, 𝑒 elemen

identitas 𝐺. Jika suatu grup mempunyai order yang berhingga maka disebut grup

berhingga. Salah satu contoh grup berhingga adalah grup yang berorder prima

(grup yang memiliki elemen sebanyak suatu bilangan prima tertentu). Teorema

Lagrange memiliki kaitan dengan order dalam grup berhingga.

Teorema Lagrange adalah salah satu teorema fundamental dalam teori

grup, yang menyatakan bahwa jika 𝐺 suatu grup berhingga dan 𝐻 subgrup dari 𝐺

maka order subgrup 𝐻 membagi habis order grup 𝐺. Berarti, banyaknya elemen 𝐻

membagi habis banyaknya elemen 𝐺. Teorema Lagrange sangat berguna untuk

menganalisa suatu grup berhingga, yaitu untuk memberi gambaran tentang adanya

subgrup dengan kemungkinan order subgrup dari suatu grup berhingga. Misalkan

suatu grup memiliki order 30, maka subgrupnya tidak mungkin berorder 4, 7, 8, 9,

11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 dan 29. Misalkan

𝑚 adalah suatu bilangan bulat positif yang membagi order grup 𝐺, apakah grup 𝐺

tentu memiliki subgrup yang berorder 𝑚? Apakah konvers teorema Lagrange

berlaku untuk sebarang grup berhingga?

Salah satu contoh grup yang menarik untuk dikaji adalah himpunan

bilangan bulat modulo 𝑛 (ℤ𝑛 , +). Telah diketahui bahwa ℤ𝑛 adalah grup siklik.

Contoh ℤ12 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}, ℤ12 memiliki order 12. Menurut

3

konvers dari teorema Lagrange, kemungkinan order subgrup-subgrup dari ℤ12

dapat dicari melalui faktor-faktor order ℤ12 . Faktor-faktor order ℤ12 adalah 1, 2,

3, 4, 6 dan 12.

Subgrup ℤ12 yang berorder 1 = {0}

Subgrup ℤ12 yang berorder 2 = {0,6}

Subgrup ℤ12 yang berorder 3 = {0,4,8}

Subgrup ℤ12 yang berorder 4 = {0,3,6,9}

Subgrup ℤ12 yang berorder 6 = {0,2,4,6,8,10}

Subgrup ℤ12 yang berorder 12 = ℤ12

Dikarenakan terdapat subgrup yang berorder 1,2,3,4,6 dan 12 dari ℤ12 maka

konvers dari teorema Lagrange berlaku pada ℤ12 .

Ternyata konvers dari teorema Lagrange itu tidak selalu benar. Counter

example, 𝐴4 (grup alternating berderajat 4) adalah subgrup dari 𝑆4 dimana

elemen-elemennya dapat dibentuk ke dalam sebuah transposisi (sebuah cycle

dengan panjang 2) dan banyaknya transposisi adalah genap.

𝑨𝟒 = { 𝟏 , 𝟏𝟐 𝟑𝟒 , 𝟏𝟑 𝟐𝟒 , 𝟏𝟒 𝟐𝟑 , 𝟏𝟐𝟑 , 𝟏𝟑𝟐 , 𝟏𝟑𝟒 , 𝟏𝟒𝟑 , 𝟐𝟑𝟒 , 𝟐𝟒𝟑 , 𝟏𝟐𝟒 , 𝟏𝟒𝟐 }

Grup 𝐴4 memiliki order 12. Kemungkinan 𝐴4 memiliki subgrup yang berorder 1,

2, 3, 4, 6 dan 12. Setelah diselidiki ternyata 𝐴4 hanya memiliki subgrup yang

berorder 1, 2, 3, 4 dan 12 saja.

Subgrup dari 𝐴4 yang berorder 1 adalah { 1 }

Subgrup dari 𝐴4 yang berorder 2 adalah 1 , 12 34 , 1 , 13 24

4

dan 1 , 14 23

Subgrup dari 𝐴4 yang berorder 3 adalah 1 , 123 , 132 , { 1 , 134

143 }, 1 , 234 , 243 dan { 1 , 124 , 142 }

Subgrup dari 𝐴4 yang berorder 4 adalah { 1 , 12 34 , (13)(24),

(14)(23)}

Subgrup dari 𝐴4 yang berorder 12 adalah 𝐴4

Berdasarkan uraian diatas, 𝐴4 tidak memiliki subgrup yang berorder 6, sementara

6|12 4.

Konvers teorema Lagrange secara keseluruhan tidak berlaku dalam grup

berhingga, namun dapat dipenuhi pada teorema Sylow. Teorema Sylow I

menjelaskan, misalkan 𝐺 grup berhingga yang berorder 𝑝𝑟𝑚 dimana 𝑝 suatu

bilangan prima, 𝑟 ∈ ℤ, 𝑚 ∈ ℤ+ dan 𝑝 & 𝑚 relatif prima, maka 𝐺 memiliki subgrup

yang berorder 𝑝𝑘 , untuk semua 𝑘, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑟.

Grup 𝐴4 memiliki order 12 sehingga 𝐴4 = 12 = 22. 3 = 31. 4. Dilihat

dari bunyi teorema Sylow I, maka 𝐴4 memiliki subgrup yang berorder (ketika

𝑝 = 2) 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4 dan (ketika 𝑝 = 3) 30 = 1, 31 = 3. Dikarenakan

𝐴4 memiliki subgrup yang berorder 1,2,3 dan 4 maka konvers teorema Lagrange

berlaku pada 𝐴4 dalam teorema Sylow I.

4 Wikipedia, Lagrange’s theorem (group theory), diunduh dari

http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange's_theorem_(group_theory) pada tanggal 3 Maret 2012,

pukul 22.22 WIB

5

Sebelum menjelaskan alasan penulis mengkaji 𝑝-subgrup Sylow, terlebih

dahulu dijelaskan alasan mengkaji 𝑝-grup. Definisi 𝑝-grup adalah grup yang

setiap elemennya memiliki order 𝑝𝑛 dengan 𝑝 suatu bilangan prima dan 𝑛 ∈ ℤ.

Contoh, ℤ5 = 0,1,2,3,4 adalah grup dengan operasi penjumlahan modulo 5

dengan ∘ 0 = 1 = 50 ,∘ 1 = 5 = 51 ,∘ 2 = 5 = 51 ,∘ 3 = 5 = 51 ,∘ 4 = 5 = 51,

dikarenakan semua order elemen ℤ5 berbentuk 5𝑛 untuk suatu 𝑛 ∈ ℤ maka ℤ5

merupakan 5-grup. Order ℤ5 juga berbentuk 5𝑚 untuk suatu 𝑚 ∈ ℤ, yakni,

ℤ5 = 5 = 51, sehingga muncul pertanyaan apakah setiap order 𝑝-grup dan order

setiap elemen 𝑝-grup memiliki kesamaan yaitu sama-sama merupakan pangkat

suatu bilangan prima 𝑝. Hal ini yang melatarbelakangi penulis untuk mengkaji

lebih dalam tentang 𝑝-grup beserta sifatnya.

Definisi 𝑝-subgrup Sylow adalah subgrup maksimal (subgrup yang tidak

termuat pada subgrup lain) dari suatu grup yang setiap elemennya memiliki order

𝑝𝑛 dengan 𝑝 suatu bilangan prima dan 𝑛 ∈ ℤ. Contoh 𝑝-subgrup Sylow dari 𝐴4

adalah 𝐴′ = 1 , 12 34 , 13 24 , 14 23 , dikarenakan ∘ 1 = 1 = 20 ,

∘ 12 (34) = 2 = 21 ,∘ 13 (24) = 2 = 21 dan ∘ 14 (23) = 2 = 21 sehingga

𝐴′ adalah 2-subgrup Sylow dari 𝐴4 dimana 𝐴′ = 4 = 22. Dilihat dari

𝐴4 = 22 . 3 dan 𝐴′ = 22 maka muncul suatu pertanyaan apakah setiap grup

yang berorder 𝑝𝑟𝑚 dimana 𝑝 suatu bilangan prima, 𝑟 ∈ ℤ, 𝑚 ∈ ℤ+ dan 𝑝 & 𝑚

relatif prima, maka subgrup yang berorder 𝑝𝑟 merupakan 𝑝-subgrup Sylow dari

grup tersebut. Hal ini yang melatarbelakangi penulis untuk mengkaji lebih dalam

tentang 𝑝-grup Sylow beserta sifatnya.

6

1.2 Batasan Masalah

Pembatasan masalah dalam suatu penelitian sangatlah penting, guna

menghindari kesimpangsiuran terhadap objek dari suatu penelitian dan untuk

membantu penulis lebih fokus dan terarah sesuai dengan tema penelitian. Sesuai

latar belakang masalah maka skripsi ini akan difokuskan pada pembuktian

teorema Sylow, sifat-sifat 𝑝-grup dan 𝑝-subgrup Sylow serta dikaji pula beberapa

aplikasi teorema Sylow.

1.3 Rumusan Penelitian

Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah diuraikan

diatas, maka dirumuskan permasalahan sebagai berikut:

1. Bagaimanakah konsep dari 𝑝-grup?

2. Bagaimanakah konsep dari 𝑝-subgrup Sylow?

3. Bagaimanakah sifat-sifat yang dimiliki oleh 𝑝-grup dan 𝑝-subgrup Sylow?

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Mengkaji tentang konsep dari 𝑝-grup

2. Mengkaji tentang konsep 𝑝-subgrup Sylow

3. Mengkaji tentang sifat-sifat yang berlaku pada 𝑝-grup dan 𝑝-subgrup

Sylow.

1.5 Manfaat Penelitian

Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat, antara lain

sebagai berikut:

7

1. Memberikan pengetahuan tentang konsep 𝑝-grup

2. Memberikan pengetahuan tentang konsep 𝑝-subgrup Sylow

3. Memberikan pengetahuan tentang sifat-sifat yang berlaku pada 𝑝-grup dan

𝑝-subgrup Sylow

4. Memberikan salah satu gambaran bahwa ternyata pengembangan konsep

aljabar abstrak khususnya tentang grup masih sangat luas.

1.6 Tinjauan Pustaka

Penelitian yang ditulis oleh saudari Rizky Susti Ningrum, mahasiswi IPB

yang berjudul “Analisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian dengan Order 33,

34 dan 3

5” telah menginspirasi penulis

5. Masalah yang dibahas di dalam

penelitian tersebut adalah menganalisis faktorisasi grup abelian pada beberapa

3-grup dengan order 33, 3

4 dan 3

5 dan 3-grup sendiri merupakan contoh dari

𝑝-grup dengan 𝑝 = 3. Pada penelitian tersebut hanya dijelaskan definisi 𝑝-grup

dan contoh-contohnya, dimana sifat-sifat yang ada kaitannya dengan 𝑝-grup

belum dijelaskan, sehingga penulis terinspirasi untuk mengkaji 𝑝-grup beserta

sifat-sifatnya lebih dalam.

Penelitian lain yang ditulis oleh saudari Ratna Mei Hastuti, mahasiswi

UGM yang berjudul “Penerapan Teorema Sylow pada Grup Solvable” pun

memiliki andil dalam inspirasi yang didapat penulis. Penelitian tersebut

membahas tentang aplikasi teorema Sylow pada grup solvable. Pembuktian

teorema Sylow yang dijelaskan pada penelitian tersebut semuanya menggunakan

5 Skripsi yang berjudul Analisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian dengan Order 3

3, 3

4, dan

35 diunduh dari http://repository.ipb.ac.id/handle/123456789/48364 pada tanggal 22 Februari

2012, pukul 21.06 WIB

8

kelas konjugasi sedangkan penelitian yang dilakukan penulis untuk membuktikan

teorema Sylow menggunakan 2 jalur, yaitu kelas konjugasi dan grup aksi. Pada

penelitian penulis, teorema Sylow I dibuktikan dengan menggunakan kelas

konjugasi sedangkan teorema Sylow II dan III dibuktikan dengan menggunakan

grup aksi. Digunakan grup aksi karena untuk mempersempit batasan yang

dibahas. Pada penelitian tersebut hanya menjelaskan definisi 𝑝-subgrup Sylow

sehingga penulis terinspirasi untuk mengkaji 𝑝-subgrup Sylow beserta sifat-sifat

yang dimiliki 𝑝-subgrup Sylow.

Penulisan penelitian ini mengacu pada literatur utama yang bersumber dari

buku yang ditulis oleh D. S. Malik, J. N. Mordeson dan S. K. Sen, buku tersebut

membahas tentang kelas konjugasi, teorema Cauchy, 𝑝-grup, teorema Sylow yang

sekaligus 𝑝-subgrup Sylow dan aplikasi teorema Sylow. Buku dari D. S. Dummit

dan R. M. Foote, J. A. Gallian, I. N. Herstein ikut andil dalam memberikan

penjelasan untuk landasan teori penelitian ini.

Selain tinjauan pustaka yang telah digambarkan di atas masih ada referensi

lain yang digunakan oleh penulis yang berupa buku-buku lain ataupun situs

internet sebagai referensi pelengkap guna menunjang kelengkapan penelitian.

127

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil studi literatur yang telah penulis lakukan mengenai

𝑝-grup dan 𝑝-subgrup Sylow, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

1. 𝑝-grup adalah grup yang setiap order elemennya merupakan pangkat dari

suatu bilangan prima 𝑝, sedangkan 𝑝-subgrup adalah suatu subgrup yang

merupakan 𝑝-grup.

2. 𝑝-subgrup Sylow adalah 𝑝-subgrup dari suatu grup yang tidak termuat

dalam 𝑝-subgrup lain dari grup tersebut. Jadi 𝑝-subgrup Sylow adalah

𝑝-subgrup maksimal dari suatu grup.

3. 3.1 Sifat-sifat 𝑝-grup :

3.1.1 𝐺 merupakan 𝑝-grup jika dan hanya jika 𝐺 = 𝑝𝑘 untuk suatu

𝑘 ∈ ℤ.

3.1.2 Center dari 𝑝-grup adalah nontrivial.

3.1.3 Jika 𝐺 grup yang berorder 𝑝2 maka 𝐺 abelian.

3.1.4 Jika 𝑃 merupakan 𝑝-grup maka sebarang konjugat dari 𝑃

merupakan 𝑝-grup.

3.1.5 Misalkan 𝐻 ⊴ 𝐺. Jika 𝐻 dan 𝐺 𝐻 kedua-duanya merupakan

𝑝-grup maka 𝐺 merupakan 𝑝-grup.

128

3.2 Sifat-sifat 𝑝-subgrup Sylow :

3.2.1 Untuk setiap 𝑝 bilangan prima, grup berhingga 𝐺 memiliki

𝑝-subgrup Sylow.

3.2.2 Misalkan 𝐺 grup yang berorder 𝑝𝑟𝑚 dimana 𝑝 suatu bilangan

prima, 𝑟 ∈ ℤ, 𝑚 ∈ ℤ+, 𝑝 & 𝑚 relatif prima dan 𝐻 ≤ 𝐺, maka 𝐻

merupakan 𝑝-subgrup Sylow dari 𝐺 jika dan hanya jika

𝐻 = 𝑝𝑟 .

3.2.3 Jika 𝑃 merupakan 𝑝-subgrup Sylow maka sebarang konjugat

dari 𝑃 merupakan 𝑝-subgrup Sylow.

3.2.4 𝑃 satu-satunya 𝑝-subgrup Sylow dari 𝐺 jika dan hanya jika

𝑃 ⊴ 𝐺.

5.2 Saran-saran

Berdasarkan pada proses penelitian yang telah penulis lakukan, maka

dapat disampaikan beberapa saran berikut :

1. Penelitian ini hanya dibatasi pada pembahasan mengenai sifat-sifat 𝑝-grup

dan 𝑝-subgrup Sylow, diharapkan ada penelitian lebih lanjut untuk

mengaplikasikan sifat-sifat 𝑝-grup dan 𝑝-subgrup Sylow yang telah ada.

2. Penelitian ini juga hanya membahas gambaran kecil tentang aplikasi

Teorema Sylow pada grup sederhana, sehingga dimungkinkan dilakukan

penelitian lebih mendalam tentang aplikasi Teorema Sylow pada grup

sederhana atau mengaplikasikan Teorema Sylow pada grup lain.

129

Demikian saran-saran yang dapat disampaikan oleh penulis. Semoga

skripsi ini dapat menjadi inspirasi bagi pembaca untuk mengembangkan lebih

lanjut tentang sifat-sifat 𝑝-grup dan 𝑝-subgrup Sylow khususnya, dan konsep

aljabar abstrak pada umumnya.

130

DAFTAR PUSTAKA

Arifin, Ahmad. 2000. Aljabar. Bandung : Penerbit ITB.

Bhattacharya, P. B.., S. K. Jain, dan S. R. Nagpaul. 1994. Basic Abstract Algebra.

Second Edition. Cambridge : Cambridge University Press.

Dummit, David S. dan Foote, Richard M. 2004. Abstract Algebra. Third Edition.

USA : John Wiley & Sons, Inc.

Fraleigh, John B. 2002. A First Course in Abstract Algebra. Seventh Edition.

Addison Wesley.

Gallian, Joseph A. 1990. Contemporary Abstract Algebra. Second Edition.

Toronto : D. C. Heath Company.

Gilbert, Jimmie dan Linda Gilbert. 2000. Elements of Modern Algebra. Fifth

Edition. USA : Brook/Cole.

Hastuti, Ratna Mei. 2009. Penerapan Teorema Sylow pada Grup Solvable. Skripsi

S1. Yogyakarta : Jurusan Matematika FMIPA UGM.

Herstein, I.N. 1996. Abstract Algebra. Third Edition. USA : Prentice – Hall, Inc.

Malik, D. S., J. N. Mordeson, dan M. K. Sen.1997. Fundamental of Abstract

Algebra. Singapore : The McGraw-Hill Companies.

Ningrum, Rizky Susti. 2011. Analisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian

dengan Order 33, 3

4, dan 3

5. Skripsi S1. Bogor : Departemen Matematika

FMIPA IPB.

Raisinghania, M. D. dan R. S. Aggarwal. 1980. Modern Algebra. Second Edition.

New Delhi : S. Chand & Company Ltd.

131

Sukirman. 2005. Pengantar Aljabar Abstrak. Cetakan Pertama. Malang :

Universitas Negeri Malang.

Wikipedia. Aljabar. http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar. 3 Maret 2012 pukul

16.47 WIB.

Wikipedia. Abstract algebra. http://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_algebra. 3

Maret 2012 pukul 17.02 WIB.

Wordpress. Dihedral Group. anrusmath.files.wordpress.com/2008/07/

dihedral_group.pdf . 18 Maret 2012 pukul 21.43 WIB.

Wikipedia. Lagrange’s theorem (group theory).

http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange's_theorem_(group_theory). 3 Maret

2012 pukul 22.22 WIB.

http://repository.ipb.ac.id/handle/123456789/48364