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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SAN LUIS POTOSÍ
FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS
Materia: Estadística
Descripción: Proyecto “Proceso industrial del yogurt”
Nombre del alumno:
Lares Villaseñor Eunice
Rivera Rodríguez Jorge de Jesús
Montoya Hernández Julio Cesar
Nombre del profesor:
Reyes Harfush María Teresa
INTRODUCCIÓN
El yogurt es un producto lácteo fermentado, levemente ácido, de cultivo semisólido que es producido por homogeneización y pasteurización. El yogurt, es un producto efectivo para restaurar y mantener el funcionamiento normal de nuestro equilibrio intestinal, rico en vitaminas B. el yogurt es producido a bajo costo lo que es un beneficio para los consumidores y productores.
El yogur natural se define como “el producto de leche coagulada obtenida por fermentación láctica mediante la acción del Lactobacillus bulgaricus y Streptococus thermophilusa partir de leche pasterizada, leche concentrada pasterizada, leche total o parcialmente desnatada pasterizada, leche concentrada pasterizada total o parcialmente desnatada con o sin adición de nata pasterizada, leche en polvo entera, semidesnatada o desnatada, suero en polvo, proteínas de leche y/u otros productos procedentes del fraccionamiento de leche”.
El yogurt tuvo sus orígenes en Turquía. Los procedimientos usados para la producción en masa fueron desarrollados en naciones occidentales. La importancia de la planta descrita en este estudio no sólo es el bajo costo para instalarla, sino también para operarla. Ambas en conjunto con el crecimiento de la popularidad internacional del yogurt, hace de este estudio una inversión razonable para cualquier emprendedor que desee establecer una producción capaz de generar un rápido retorno de la inversión, así como también un flujo estable de ganancias para los años siguientes.
La importancia de este producto se debe a la gran demanda que tiene dentro del ámbito alimenticio, formando parte de la dieta básica desde niños hasta adultos, ya que aporta una gran variedad de nutrientes en tan poca cantidad de yogurt.
Éste producto lácteo ya se encuentra posicionado como uno de los productos principales de las empresas de lácteos debido a la demanda que tienen en los mercados por ser un producto completo. Es por ello que en este proyecto se analiza mediante el uso de la probabilidad y estadística diversos aspectos importantes como el control de calidad, tomando en cuenta que ésta área tiene la responsabilidad de proveer de productos de calidad que cumplan con las Normas Oficiales Mexicanas para poder ser comercializados y con la demanda de calidad que solicitan los consumidores; en base a información que proporcionan en línea diversas empresas se realizaron los análisis presentados en éste trabajo.
MISIÓN
Proporcionar información a la población consumidora basada en análisis probabilísticos y estadísticos sobre aspectos de calidad del yogurt. De igual manera relacionar la información recaudada en base a los análisis con las áreas de ingeniería química y la químico-farmacobiología.
OBJETIVO
Ejemplificar el uso de la estadística en un proceso industrial, mediante la elaboración y/o interpretación de análisis, y así relacionar esta ciencia con el área de estudio de la ingeniería química y la químico-farmacobiología.
JUSTIFICACIÓN
Debido a la gran importancia de la estadística análisis y procesos industriales, se realiza una investigación de cómo se utiliza esta ciencia, específicamente en la producción de yogurt, ya que en este producto es imprescindible el registro de calidad y producción en los que se emplea el proceso estadístico para el muestreo, análisis cualitativo y cuantitativo, control de procesos Y control de calidad.
BENEFICIOS DEL YOGUR
Beneficio para la diarrea por antibióticos, quimioterapia, etc
Ayuda a reestablecer la flora bacteriana del intestino, mejorando el sistema inmunitario
El yogur desnatado ayuda a reducir los valores del colesterol sanguíneo
Gran fuente de calcio
Mejora el tránsito intestinal combatiendo el estreñimiento
Previene el cáncer de colon
Reduce metabolitos tóxicos del colón
Son alimentos pro bióticos "para la vida" , alimentos que llevan bacterias vivas que aportan efectos beneficiosos para nuestra flora intestinal, combatiendo contra aquellas bacterias negativas que pudieran provocar efectos perjudiciales para nuestra flora intestinal, como enfermedades, diferentes hábitos alimenticios,
Algunos estudios relacionan el consumo del yogur con efectos beneficiosos sobre alergias e infecciones. También hay estudios que indican que el consumo regular de este alimento reduce la formación de H.Pylori.
Las proteínas son más digeribles por la acción enzimática de las bacterias que utilizamos para la elaboración del yogurt.
DIAGRAMA DE FLUJO DE LA ELABORACIÓN DEL YOGUR
PROCESO INDUATRÍAL DE LA ELABORACIÓN DEL YOGURT
RECEPCIÓN DE LA LECHE
La leche cruda debe ser de la más alta calidad bacteriológica. Debe tener un bajo contenido en bacterias y sustancias que puedan impedir el desarrollo de los cultivos típicos del yogur (antibióticos, residuos de sustancias de limpieza, enzimas, bacteriófagos, etc.).
ESTANDARIZACIÓN DE LA LECHEEl contenido de grasa y sólidos de la leche se estandariza de acuerdo con las normas y principios FAO/OMS, con lo que se obtiene una clasificación de los grupos de yogur:
Yogur: contenido graso mínimo de 3’5 %Yogur semidesnatado: contenido graso entre 1 % y 2 %Yogur desnatado o de bajo contenido graso: contenido graso máximo de 0’3 %.
Para el ajuste de los sólidos solubles no grasos, se concentra la leche por evaporación, mediante la adición de leche desnatada en polvo, por adición de leche concentrada o por adición de retenidos del lactosuero. El aumento de sólidos solubles no grasos incrementa la viscosidad y la estabilidad de la cuajada del yogur. La leche añadida debe tener la misma calidad bacteriológica.
ADICIÓN DE COMPONENTES MINORITARIOS
Consiste en añadir todos aquellos ingredientes minoritarios, como la adición de azúcar o edulcorantes, sustancias estabilizantes, colorantes y aromas que sean capaces de aguantar la posterior pasterización a la que será sometida la leche.
DESAIREADO
Se realiza un desaireado para eliminar el aire que se ha incorporado durante las etapas de estandarización y adición de ingredientes.
HOMOGENIZACIÓN DE LA LECHELa homogenización otorga mayor viscosidad y brillantez al yogur que se obtiene con dicha leche.
También evita la separación de la nata durante el periodo de incubación y asegura así una distribución uniforme de la grasa de la leche en el yogur.
La leche entra al homogenizador a una temperatura de 50 ºC-60º C.
PASTERIZACIÓN
Los objetivos de esta etapa del proceso de fabricación son:
Eliminar microorganismos patógenos
Reducir la población microbiana total para que no interfiera con el desarrollo
de las bacterias lácteas del cultivo iniciador.Desnaturalizar las proteínas del suero para mejorar la textura del producto final y para ayudar a evitar la separación del suero durante la conservación del yogur (especialmente en el yogur firme o compacto).Hidratar los estabilizantes (añadidos anteriormente) que se disuelven en caliente.
El tratamiento térmico se realiza en un intercambiador de calor de placas o tubular a diferentes temperaturas y tiempos de duración en función del producto. Los tratamientos más comunes son:
85 ºC durante 30 minutos,90 ºC-95 ºC durante 5-10 minutos,120 ºC durante 3-5 segundos.
Pasterizador de placas Pasterizador tubular
REFRIGERACIÓN
La leche se enfría hasta 43 ºC, temperatura óptima para la siembra del cultivo.
ADICIÓN DE FERMENTOS
Se inocula el cultivo Lactobacillus bulgaricus y Streptococus thermophilus .
Según el tipo de yogur (firme o batido), la incubación se realizará en el envase o en tanques de coagulación.
YOGUR FIRME
Adición de componentes minoritarios
Se añaden los componentes minoritarios no resistentes al calor (aromas, colorantes, purés de frutas...), ya que de haber sido añadidos en la primera adición de componentes minoritarios hubiesen sido destruidos por las altas temperaturas de la pasterización.
Las preparaciones o purés de frutas se elaboran siguiendo las instrucciones de la empresa láctea, con tipos y cantidades muy diferentes de frutas, azúcar, estabilizantes, colorantes y aromatizantes. El puré no debe aportar ningún microorganismo que pueda alterar el yogur. Por ello hay que asegurar que recibe un tratamiento térmico suficiente.
Envasado y tapado
La finalidad del envase es la de contener, proteger y conservar los alimentos, además de servir para informar al consumidor. También facilita la venta del producto y su empleo.
El yogur se comercializa en envases de vidrio o plástico. Los envases de plástico se fabrican mediante un sistema de inyección en moldes o por un proceso de termoformado que se conoce con el nombre de: “formado-llenado-cerrado”.
Para cerrar los envases del yogur suele utilizarse una hoja de aluminio forrada interiormente con una capa de plástico. Este permite el cierre por termosellado.
Fermentación
La fermentación de los envases de yogur firme se realiza en una cámara de incubación. Durará de dos a seis horas dependiendo del grado de acidificación que se pretenda alcanzar (generalmente un pH inferior a 4,6) y de la cantidad de cultivo que se añadió.
Refrigeración y almacenado
Cuando se alcanza un pH óptimo se detiene la actividad de los fermentos haciendo descender la temperatura del producto hasta 18 ºC-20 ºC.
Los envases son trasladados a la cámara de refrigeración con mucho cuidado, ya que el coágulo formado es muy frágil.
En la cámara de refrigeración se baja la temperatura de forma suave hasta temperaturas inferiores a 5 ºC. A esta temperatura el coágulo adquiere firmeza.
Los yogures permanecerán en almacenamiento en esta cámara de refrigeración hasta su distribución.
La temperatura debe mantenerse durante todo el periodo de conservación entre 2 ºC y 5 ºC, y nunca sobrepasar los 10 ºC en las etapas intermedias de la cadena de distribución.
Los yogures firmes tienen una caducidad entre quince y veintiún días.
YOGUR BATIDO
Fermentación
La leche se incuba en grandes tanques de fermentación a temperaturas de 42 ºC-43 ºC durante dos horas y media o tres horas. El proceso de fermentación suele interrumpirse cuando el pH de la leche es aproximadamente de 4,2-4,4.
Refrigeración
El contenido del tanque se enfría haciendo pasar por un intercambiador de placas o tubular, donde se consigue el enfriamiento rápido del yogur hasta una temperatura de 18 ºC-20 ºC, en que se detiene la actividad microbiana.
Adición de componentes minoritarios
Igual que en el yogur firme, se realiza la adición del puré de frutas, colorantes, estabilizantes y aromatizantes no resistentes al tratamiento térmico.
Batido
Consiste en la ruptura del coágulo caliente (20 ºC) y la reincorporación del lactosuero.Generalmente, para obtener un gel homogéneo es suficiente una agitación muy suave durante un periodo de cinco a diez minutos.
Envasado
La finalidad del envase es la de contener, proteger y conservar los alimentos, además de servir para informar al consumidor. También facilita la venta del producto y su empleo.
El yogur batido se comercializa principalmente en envases de vidrio y plástico. Para cerrar los envases de yogur suele utilizarse una hoja de aluminio forrada interiormente con una capa de plástico que evita el contacto del producto ácido con la tapa y permite el cierre sobre el envase por termosellado.
Refrigeración y almacenado
Los yogures ya envasados se refrigeran a temperaturas inferiores a 5 ºC en cámaras de refrigeración donde permanecerán hasta su posterior distribución.
La temperatura debe mantenerse durante todo el periodo de conservación entre 2 ºC y 5 ºC, y nunca sobrepasar los 10 ºC en las etapas intermedias de la cadena de distribución.
Los yogures líquidos tienen una caducidad de entre quince y veintiún días.
YOGUR DE LARGA DURACIÓN
El yogur de larga conservación (dos a cuatro meses) es un producto que ha sido tratado térmicamente (tratamiento UHT 137 ºC durante 4 segundos) después de la incubación, con el fin de destruir las bacterias lácteas u otros microorganismos alterantes que puedan haber contaminado el yogur durante el proceso de fabricación.
Posteriormente se envasará de forma aséptica en envases de plástico.
Su almacenado, distribución y conservación pueden realizarse a temperatura ambiente. Los yogures de larga duración tienen una caducidad de entre dos y cuatro meses.
CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN
La producción del yogurt a nivel industrial consta de operar 3 turnos de 8 horas diarias, 25 días al mes para obtener una producción de 1200 toneladas de
producto por mes; el yogurt puede ser envasado en diversas presentaciones o
someterse a procesos extra de operación para ofrecer diversas consistencias o propiedades diferentes al consumidor.
LINEAMIENTOS Y RESTRICCIONES
NORMA Oficial Mexicana NOM-181-SCFI-2010, Yogurt-Denominación, especificaciones fisicoquímicas y microbiológicas, información comercial y métodos de prueba.
Al margen un sello con el Escudo Nacional, que dice: Estados Unidos Mexicanos.- Secretaría de Economía.
NORMA OFICIAL MEXICANA NOM-181-SCFI-2010, YOGURT-DENOMINACION, ESPECIFICACIONES FISICOQUIMICAS Y MICROBIOLOGICAS, INFORMACION COMERCIAL Y METODOS DE PRUEBA.
CHRISTIAN TUREGANO ROLDAN, Director General de Normas y Presidente del Comité Consultivo Nacional de Normalización de Seguridad al Usuario, Información Comercial y Prácticas de Comercio, con fundamento en los artículos 34 fracciones XIII y XXXI de la Ley Orgánica de la Administración Pública Federal; 39 fracción V, 40 fracciones I y XII, 46, 47 fracción IV de la Ley Federal sobre Metrología y Normalización y 19 fracciones I, XIV y XV del Reglamento Interior de esta Secretaría, y
CONSIDERANDO
Que es responsabilidad del Gobierno Federal procurar las medidas que sean necesarias para garantizar que los productos que se comercialicen en territorio nacional contengan los requisitos necesarios con el fin de garantizar los aspectos de seguridad e información comercial para lograr una efectiva protección del consumidor;
Que con fecha 4 de febrero de 2010, el Comité Consultivo Nacional de Normalización de Seguridad al Usuario, Información Comercial y Prácticas de Comercio, aprobó la publicación del Proyecto de Norma Oficial Mexicana PROY-NOM-181-SCFI-2010"Yogurt, yogurt, yoghurt, yoghurth o yogurthDenominación, especificaciones fisicoquímicas y microbiológicas, información comercial y métodos de prueba", la cual se realizó en el Diario Oficial de la Federación el 17 de marzo de 2010, con objeto de que los interesados presentaran sus comentarios;
Que la manifestación de impacto regulatorio a que hace referencia el artículo 45 de la Ley Federal sobre Metrología y Normalización, fue sometida a la consideración de la Comisión Federal de Mejora Regulatoria, emitiéndose el dictamen total aprobatorio por parte de dicha Comisión el 19 de febrero de 2010;
Que durante el plazo de 60 días naturales contados a partir de la fecha de publicación de dicho proyecto de norma oficial mexicana, la Manifestación de Impacto Regulatorio a que se refiere el artículo 45 de la Ley Federal sobre Metrología y Normalización estuvo a disposición del público en general para su
consulta; y que dentro del mismo plazo, los interesados presentaron comentarios, conforme a la Ley Federal sobre Metrología y Normalización, sobre el contenido del citado proyecto de norma oficial mexicana, por lo que se realizaron las modificaciones conducentes al proyecto de NOM;
Que la manifestación de impacto regulatorio a que hace referencia el artículo 45 de la Ley Federal sobre Metrología y Normalización, fue sometida a la consideración de la Comisión Federal de Mejora Regulatoria, emitiéndose el dictamen final aprobatorio por parte de dicha Comisión el 19 de febrero de 2010;
Que con fecha 10 de septiembre de 2010, el Comité Consultivo Nacional de Normalización de Seguridad al Usuario, Información Comercial y Prácticas de Comercio, aprobó por unanimidad la norma oficial mexicana NOM-181-SCFI-2010,"YogurtDenominación, especificaciones fisicoquímicas y microbiológicas, información comercial y métodos de prueba";
Que la Ley Federal sobre Metrología y Normalización establece que las normas oficiales mexicanas se constituyen como el instrumento idóneo para la protección de los intereses del consumidor, expide la siguiente:
Norma Oficial Mexicana NOM-181-SCFI-2010, "YogurtDenominación, especificaciones fisicoquímicas y microbiológicas,información comercial y métodos de prueba".
México, D.F., a 27 de septiembre de 2010.- El Director General de Normas y Presidente del Comité Consultivo Nacional de Normalización de Seguridad al Usuario, Información Comercial y Prácticas de Comercio, Christian Turégano Roldán.- Rúbrica.
ANÁLISIS PROBABILISTICOS Y ESTADÍSTICOS
Planteamiento 1: El yogurt saborizado o con fruta podrá contener hasta 50% (m/m) de ingredientes no lácteos, a saber: edulcorantes, frutas y verduras, así como jugos, purés, pastas, preparados y conservadores derivados de los mismos, cereales, miel, chocolate, frutos secos, café, especias y otros alimentos aromatizantes naturales e inocuos y/o sabores. Los ingredientes no lácteos pueden ser añadidos antes o luego de la fermentación.
El yogurt deberá cumplir con las especificaciones fisicoquímicas descritas en la siguiente Tabla
Planteamiento 2: Microorganismos viables
El yogurt deberá contener como mínimo 107 UFC/g de la suma de Streptococcus thermophilus y Lactobacillus delbrueckiisubespecie bulgaricus viables, conforme al método de prueba de bacterias que fermentan los productos, del numeral 8 de la NMX-703-COFOCALEC-2004.
En caso de contener cultivos alternativos adicionales, éstos deberán estar en valores de 106 UFC/g viables de cultivos lácticos, como mínimo.
Los microorganismos deben permanecer viables, activos y abundantes hasta la fecha de caducidad del producto.
Para la producción de yogurt se requiere un número estimado de microorganismos (lactobacillus bulgaricus) el cual debe ser de 10 millones por gramo,(NOM-181-SFCI-2010) para esto en una muestra de yogurt de 250gr se estima que la media es de 2.308e+10 por lo cual se quiere saber cuánto yogurt QUE se produce contienen lactobacillus menores a la media, ya que es importante mantener esa cantidad de lactobacillus en las muestras para lograr la adecuada fermentación del producto.
En base a esto el proceso de producción en masa queda descrito como:
Planteamiento 3: La compañía Danone® produce una gran cantidad de yogurt de diversos sabores, del cual el de mayor demanda es el de sabor fresa con un porcentaje de preferencia del 67%. Este yogurt contiene una bacteria llamada Lactobacillus bulgaricus, la cual actúa como conservador, acidificante y coagulante del yogurt; este Lactobacillus tienen una distribución normal de vida, con una media de 14 días y una desviación estándar de 2 días. De 1000 botes de yogurt, cuántos de ellos tendrán una duración entre 9 y 19 días.
N= 1000 Yogurts
m m= 14
s s= 2
n X= 8.5 19.5
Probabilidad 0.00297976 0.99702024 0.99404047
¿Cuántos de ellos tendrán una duración entre 9 y 19 días? 994 Yogurts
Dist. Normal
Planteamiento 4: Según un análisis del departamento de calidad el 3% de los botes de yogurt producidos durante un mes están fuera las especificaciones de la NOM-181-SCFI-2010. ¿Cuál es la probabilidad de que 4 botes de yogurt de 100 seleccionados al azar sean defectuosos?
Población 6000 n 100 muestras
P 3%
nProbabilidad bruta
Probabilidad acumulativa
Frecuencia Teórica
0 0.047552508 0.047552508 285
1 0.147069612 0.19462212 882
2 0.225152963 0.419775083 1351
3 0.227474127 0.64724921 1365
4 0.170605596 0.817854806 1024
5 0.101308065 0.919162871 608
6 0.049609619 0.968772491 298
P(4 defectuosos) 17.06%
Dist. Binomial
Planteamiento 5: 10 000 botes de yogurt se producen por hora en la planta de Danone cuya duración varía según el lote. Si el departamento de calidad selecciona 100 botes de yogurt al azar, se determinará la probabilidad de que al seleccionar al azar 1 bote de yogurt de los 60 que caducarán antes de tiempo.
NTamaño de la población 10000
SEl número total de éxitos 60
nTamaño de la muestra 100
xEl número de éxitos de interés 1
CSx CN-S
n-x CNn Ecuación:
60 3.619E+239 6.521E+241 P(X)= CSXCN-S
n-x
CNn
P= 33%
Probabilidad con fórmula 33.30%
Planteamiento 6: Se registró el tiempo de vida en días de los Lactobacillus bulgaricus en un una muestra de 55 botes yogurt tomada de un lote listo para su comercialización.
14 14 16 14 15 12 16 12 13 16 14
15 12 16 15 16 12 16 13 14 16 12
15 13 15 16 16 14 15 14 14 16 15
16 15 15 17 15 13 14 14 13 15 13
15 16 14 18 14 13 15 15 15 15 15
N 55
máximo 18
mínimo 12
rango 6
no. Opt clases 6.81
anchura 0.9
Tabla de distribución de frecuencias
FrecuenciaFrecuencia % FrecuenciaFrecuencia
Frecuencia %
Lim. Inf
Lim. Sup Frecuenciaxj
Frecuencia % Acum Acum Acum < Acum > Acum >
12.0012.88 5 12.440.091 5 500.00% 5 55 100.00%
12.8813.76 7 13.320.127 12 21.82% 12 50 90.91%
13.7614.64 12 14.200.218 24 43.64% 24 43 78.18%
14.6415.53 17 15.080.309 41 74.55% 41 31 56.36%
15.5316.41 12 15.970.218 53 96.36% 53 14 25.45%
16.4117.29 1 16.850.018 54 98.18% 54 2 3.64%
17.2918.17 1 17.730.018 55 100.00% 55 1 1.82%
55
Fj*Xj
62.20
93.25Cálculo de la media por método directo
170.4414.7
256.44suma(Fj*X
j) N
191.59808.50 55
16.85
17.73
808.497956
Gráficos Representativos
Análisis de los gráficos: La información presentada por los gráficos nos dice que en base al tiempo de duración media del producto que es de 14.7 días, en el estudio realizado a una muestra tomada de un lote, el grueso de la muestra se encuentra en un periodo de duración de entre 14 a 16 días, lo cual corresponde a lo esperado por el producto en base al microorganismo de estudio. Esto nos dice que el lote puede ser aprobado para su distribución comercial y el mecanismo de producción es eficiente.
Planteamiento 7: El jefe de control de calidad en la producción de yogurt requiere saber si la concentración de sólidos lácteos no grasos se encuentran dentro de lo establecido a la nom-182-SCFI-210, 8.25% M/M. se selecciona Una muestra de cada uno de los 30 lotes y se realiza el análisis. Los resultados fueron que las 40 botellas tuvieron una media de 8.12%, con una desviación estándar de 0.2 oz.
Al nivel de significación de 0.05 está fuera de control el proceso, ¿la producción debe de aceptarse?
CONCLUSIONES
En este proyecto se observó como la estadística es de gran importancia tanto para los análisis de laboratorio como para el análisis de mercado del producto de interés, dando un panorama del comportamiento del producto y, de esa manera predecir sucesos que ayuden a la mejora y optimización del proceso y del producto.
Para el caso del yogurt es de gran importancia establecer los parámetros estadísticos del comportamiento del producto ya que éste infiere directamente en la salud del consumidor. Debido a esto, la industria del yogurt en su área de control de calidad, se encarga de verificar cada lote de producción, y debido a que no es factible económicamente para la empresa detener la producción para analizar el producto, se hace uso fundamental de la estadística para agilizar las operaciones y dar legalidad de que el producto se encuentra dentro de los parámetros que rige la ley y de igual forma sea un producto de calidad.
Junto con esto cabe destacar que las normas oficiales mexicanas rigen los parámetros que debe seguir determinado producto para ser comercializado, y la
estadística nos da un acercamiento a lo requerido sin necesidad de que los procesos se vean afectados en tiempo y forma.
En base a esto podemos resaltar la importancia de la probabilidad y estadística en todos los procesos industriales, puesto que cada producto debe cumplir con sus debidos requerimientos y de igual forma aumentar la eficiencia en su producción.
BIBLIOGRAFÍA
Referencias de Internet:
http://dof.gob.mx/nota_detalle.php?codigo=5167303&fecha=16/11/2010
http://ben.upc.es/documents/eso/aliments/HTML/lacteo-5.html
http://turnkey.taiwantrade.com.tw/showpage.asp?subid=074&fdname=FOOD+MANUFACTURING&pagename=Planta+de+produccion+de+yogurt
http://www.textoscientificos.com/alimentos/yogur/bacterias
Referencias bibliográficas:
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Mendenhall, William. Introducción a la probabilidad y estadística. 13ª Ed. Thomson Cengage Learning; México 2011.
Spiegel, Murray R. Teoría y problemas de probabilidad y estadística.McGraw-Hill, Serie Schaum; 3ª Ed. México 2010.
Mode B. Elmer. Elementos de probabilidad y estadística. Reverté; España 2011.
Gómez Rodríguez J. M. Microorganismos y salud: Bacterias lácticas y bifidobacterias probióticas. 1ª Ed. Editorial: Complutense. México 2012.
