Superficies de Respuesta

SUPERFICIES DE RESPUESTA

DISEÑO EXPERIMENTAL

“UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE

BASADRE GROHMANN”

FACULTAD DE CIENCIAS JURÍDICAS Y EMPRESARIALES

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE

INGENIERÍA COMERCIAL

PROFESOR: DR. HUMBERTO ESPADA

ALUMNOS: CHINO, Daydith

MARCA, Fanny

MAMANI, Aydee

PÉREZ, Jimmy

VELASQUEZ, Alicia


DISEÑO EXPERIMENTAL 1

ÍNDICE

INTRODUCCION ............................................................................................................................. 2

I. OBJETIVO DEL ESTUDIO .................................................................................................... 3

1.1 OBJETIVOS GENERALES ............................................................................................ 3

1.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS .......................................................................................... 3

II. MARCO TEORICO ............................................................................................................. 4

2.1 DEFINICION .................................................................................................................... 4

2.2 CARACTERISTICAS ...................................................................................................... 4

2.3 FINALIDAD ...................................................................................................................... 5

2.4 TERMINOLOGÍA. ........................................................................................................... 5

2.5 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL ANALISIS DE SUPERFICIES DE

RESPUESTAS. .............................................................................................................................. 8

2.6 ELEMENTOS DE LA MSR ............................................................................................. 8

2.7 METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA ............................................... 9

2.8 TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN ................................................................................ 10

2.9 PRINCIPALES PROPIEDADES DE SUPERFICIE DE RESPUESTA} .................. 16

2.10 DISEÑOS DE SUPERFICIE DE RESPUESTA ........................................................... 17

III. APLICACIÓN A LA INGENIERÍA COMERCIAL ....................................................... 20

3.1 PLANTEAMIENTO ....................................................................................................... 20

3.2 DESARROLLO DEL CASO SOFTWARE STATGRAPHICS ................................. 20

CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 29



INTRODUCCION

La metodología de superficies de respuesta, es una colección de técnicas de diseño

experimental, métodos de regresión y optimización de procesos. La base está en encontrar

niveles óptimos de un factor sobre una respuesta. Se hacen pocos experimentos y se enfoca

la atención sobre los niveles donde la respuesta es óptima por lo que se considera una

experimentación secuencial. Su nacimiento se desarrolló alrededor de la ingeniería química,

por la necesidad de encontrar un modelo que correlacionaras diversos factores influyentes en

los procesos de reacción química.




I. OBJETIVO DEL ESTUDIO

1.1 OBJETIVOS GENERALES

Explicar el concepto de optimización y su relación con la superficie de

respuesta.

Aplicar la metodología de superficie de respuesta y sus respectivos

diseños y modelos.

Describir las técnicas de optimización y aplicarlas adecuadamente.

1.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS

Acopiar información precisa y necesaria para el desarrollo de la Análisis

de superficies de Respuesta.

Implementar el modelo de Análisis de Superficies de Respuesta con bases

aplicables a la ingeniería comercial.

Desarrollar el modelo de Análisis de Superficie de Respuesta, de manera

clara y específica para su debida comprensión.

Demostrar la utilización de paquetes estadísticos como una forma fácil y

practica en el Análisis de Superficie de Respuesta.

Saber aplicar el Análisis de Superficies de Respuesta, con ayuda del

statgraphics.



II. MARCO TEORICO

2.1 DEFINICION

La Metodología de Superficies de Respuesta es un conjunto de técnicas

Matemáticas y estadísticas utilizadas para modelar y analizar problemas en los

que una variable de interés es influenciada por otras. El objetivo es optimizar la

variable de interés. Esto se logra al determinar las condiciones óptimas de

operación del sistema.

La MSR es la estrategia experimental y de análisis que permite resolver el

problema de encontrar las condiciones de operación óptimas de un proceso, es

decir, aquellas que dan por resultado “valores óptimos” de una o varias

características de calidad del producto.

La Metodología de la Superficie de Respuesta (RSM) es un conjunto de técnicas

matemáticas y estadísticas utilizadas para modelar y analizar problemas en los

que una variable de interés es influenciada por otras. El propósito inicial de estas

técnicas es diseñar un experimento que proporcione valores razonables de la

variable respuesta y, a continuación, determinar el modelo matemático que mejor

se ajusta a los datos obtenidos. El objetivo final es establecer los valores de los

factores que optimizan el valor de la variable respuesta. Esto se logra al

determinar las condiciones óptimas de operación del sistema.

La diferencia entre (RSM) y un diseño experimental corriente estriba en que un

diseño experimental por si solo tiene como objetivo localizar el tratamiento

“ganador” entre todos aquellos que se han probado. En cambio, RSM pretende

localizar las condiciones óptimas de operación del proceso. Ello supone un reto

para el investigador, requiere una estrategia más completa e incluye la posibilidad

de efectuar varios experimentos secuenciales y el uso de técnicas matemáticas

más avanzadas.

2.2 CARACTERISTICAS

La característica del sistema de superficie de respuesta (máximo, mínimo, o punto

silla):



Genera una distribución satisfactoria de los puntos experimentales sobre

la región experimental. Los diseños más utilizados son puntos distribuidos

de manera uniforme sobre la región experimental, o cuando menos tienen

alguna simetría con respecto al centro de ésta.

Requiere un número mínimo de corridas experimentales, ya que en cada

prueba realizada se gastan recursos que siempre son escasos.

Permitir que otros diseños de orden mayor se construyan a partir de él.

Esto permite que, cuando el comportamiento de la respuesta resulta ser

más complicado de lo que se pensaba (por ejemplo, se detecta curvatura),

se agregan puntos adicionales al diseño para tratar de explicar ese

comportamiento.

Permite la detección de la falta de ajuste, para lo cual se requieren

repeticiones al menos en el centro del diseño.

Proporciona un estimador puro de la varianza del error, lo cual se logra

con repeticiones al menos en el punto central.

2.3 FINALIDAD

Es optimizar la variable de interés. Esto se logra al determinar las condiciones

óptimas de operación del sistema.

La Metodología de Superficies de Respuesta es la estrategia experimental y de

análisis que permite resolver el problema de encontrar las condiciones de

operación óptimas de un proceso, es decir, aquellas que dan por resultado “valores

óptimos” de una o varias características de calidad del producto.

2.4 TERMINOLOGÍA.

A continuación se presenta la terminología que se utilizará:

Factores.

Son las condiciones del proceso que influencian la variable de respuesta.

Estos pueden ser cuantitativos o cualitativos.

Respuesta.



Es una cantidad medible cuyo valor se ve afectado al cambiar los niveles

de los factores. El interés principal es optimizar dicho valor.

Función de respuesta.

Al decir que un valor de respuesta Y depende de los niveles x1, x2, ... xk de

k factores, x1, x2,... xk, estamos diciendo que existe una función matemática

de x1, x2, ... xk cuyo valor para una combinación dada de los niveles de los

factores corresponde a Y, esto es Y=f(x1, x2, ... xk.).

Función de respuesta predicha.

La función de respuesta se puede representar con una ecuación

polinomial. El éxito en una investigación de una superficie de respuesta

depende de que la respuesta se pueda ajustar a un polinomio de primer o

segundo grado.

Supongamos que la función de respuesta para los niveles de dos factores

se puede expresar utilizando un polinomio de primer grado:

Y = b0 + b1x1 + b2x 2

donde b0, b1, b2 son los coeficientes de regresión a estimar, x1 y x2

representan los niveles de x1 y x2 respectivamente. Suponiendo que se

recolectan N‡3 valores de respuesta (Y), con los estimadores b0, b1 y b2 se

obtienen b0, b1 y b2 respectivamente. Al remplazar los coeficientes de

regresión por sus estimadores obtenemos:

Yˆ = b0 + b1x1 +b2x 2

donde Yˆ denota el valor estimado de Y dado por x1 y x2.

Superficie de respuesta

La relación Y=f(x1, x2,... xk.) entre Y y los niveles de los k factores x1, x2,...

xk representa una superficie. Con k factores la superficie está en k+1

dimensiones. Por ejemplo cuando se tiene Y=f(x1.) la superficie esta en dos

dimensiones como se muestra en la figura 2.1 (Cornell [12] (1990)),

mientras que si tenemos Y=f(x1, x2.) la superficie está en tres dimensiones,

esto se observa en la figura 2.2 (Cornell [12] (1990)).



Superficie de respuesta en dos dimensiones

Gráfica de contornos.

La gráfica de contornos facilita la visualización de la forma de una

superficie de respuesta en tres dimensiones. En ésta las curvas de los

valores iguales de respuesta se grafican en un plano donde los ejes

coordenados representan los niveles de los factores. Cada curva representa

un valor específico de la altura de la superficie, es decir un valor específico

de Yˆ . Esto se muestra en la figura 2.3 (Cornell [12] 1990). Esta gráfica

nos ayuda a enfocar nuestra atención en los niveles de los factores a los

cuales ocurre un cambio en la altura de la superficie.

Región experimental.

La región experimental especifica la región de valores para los niveles de

los factores. Esto se puede hacer empleando los niveles actuales de

operación para cada factor; si se desea explorar el vecindario se

incrementa y decrementa el valor del nivel en una cantidad determinada.



Superficie de respuesta tridimensional

2.5 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL ANALISIS DE SUPERFICIES DE

RESPUESTAS.

2.5.1 VENTAJAS:

La MSR es la estrategia experimental y de análisis que permite

resolver el problema de encontrar las condiciones de operación

óptimas de un proceso.

Ofrece por resultado “valores óptimos” de una o varias

características de calidad de un producto.

2.5.2 DESVENTAJAS:

Tiene un nivel de complejidad elevado al de un diseño

experimental simple.

2.6 ELEMENTOS DE LA MSR

La metodología de superficie de respuesta implica tres aspectos: diseño, modelo

y técnica de optimización. El diseño y el modelo se piensan al mismo tiempo, y

dependen del tipo de comportamiento que se espera en la respuesta. De manera

específica, el modelo puede ser de primero o segundo orden (plano o con

curvatura); por ello, el tipo de diseño utilizado y el método de optimización se

clasifican, según sea el caso, como de primero o segundo orden.



El aspecto diseño implica que para optimizar un proceso se debe aplicar

el diseño de experimentos, en particular aquellos que sirven para ajustar

un modelo de regresión lineal múltiple. Más adelante se presentan

algunos de estos diseños, conocidos genéricamente como diseños para

superficie de respuesta.

El aspecto del modelo utiliza el análisis de regresión lineal múltiple, junto

con sus elementos básicos que son: parámetros del modelo, modelo

ajustado, significancia del modelo, prueba de falta de ajuste, residuos,

predichos, intervalos de confianza para predichos y coeficiente de

determinación.

Por último, el aspecto de optimización está formado por algunas técnicas

matemáticas que sirven para que, dado un modelo ajustado, explorarlo a

fin de obtener información sobre el punto óptimo. Conviene recordar

técnicas como: derivadas de funciones, multiplicadores de Lagrange,

operaciones con matrices, valores y vectores propios y sistemas de

ecuaciones simultáneas.

2.7 METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA

Se distinguen tres etapas en la búsqueda del punto óptimo, que son:

Cribado: La optimización de un proceso se inicia con esta etapa cuando

tiene muchos factores (más de 6 u 8) que influyen en la variable de interés.

Búsqueda I o de primer orden: Esta etapa se aplica cuando se tienen pocos

factores (k £5), y se sabe que éstos influyen en la variable de respuesta.

En esta etapa se corre un diseño de primer orden que permita caracterizar

en forma preliminar el tipo de superficie de respuesta y detectar la

presencia de curvatura. Por lo general se utiliza un diseño factorial

completo o fraccionado con repeticiones al centro.

Búsqueda II o de segundo orden: En el momento en que se detecta la

presencia de curvatura, o bien, que la superficie es más complicada que

un hiperplano, se corre o se completa un diseño de segundo orden para



caracterizar mejor la superficie y modelar la curvatura. Con el modelo

ajustado se determinan las condiciones óptimas de operación del proceso

2.8 TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN

Una vez que se tiene el modelo debidamente ajustado y validado se procede a

explorar la superficie descrita por el modelo para encontrar la combinación de

niveles en los factores que dan por resultado un valor óptimo de la respuesta, o

bien, para determinar la dirección óptima de movimiento en la que se debe

experimentar en el futuro. Si el modelo no explica un mínimo de 70% del

comportamiento de la respuesta, en términos del R2aj, no se recomienda utilizarlo

para fines de optimización porque su calidad de predicción es mala. En adelante

supondremos niveles codificados para los factores (–1, +1), lo cual facilita las

interpretaciones y los cálculos. Por lo que siempre que se encuentren las

condiciones óptimas o la dirección de experimentación futura, primero se hará en

condiciones codificadas y después eso se debe traducir a condiciones o niveles

reales. Aunque el uso de un software puede evitar el uso de códigos.

La técnica de optimización a utilizar depende del tipo de modelo ajustado y

existen básicamente tres métodos, que son:

Escalamiento ascendente (o descendente).

Análisis canónico.

Análisis de cordillera.

El escalamiento ascendente es para el modelo de primer orden y las otras dos

Técnicas son para el modelo de segundo orden. A continuación se describen cada

uno de estos métodos.

2.8.1 Escalamiento ascendente (descendente)

Cuando la variable de respuesta de interés es del tipo: mientras más grande

es mejor, se tiene un escalamiento ascendente; pero si lo que interesa es:

mientras más pequeña mejor, se trata de escalamiento descendente.

De aquí en adelante, diremos simplemente escalamiento ascendente, en

lugar de “escalamiento ascendente (descendente)”, puesto que el

escalamiento descendente se convierte en ascendente al cambiar los



signos de los términos del modelo ajustado. Cuando la respuesta es del

tipo: el valor nominal es lo mejor, el problema es localizar la curva de

nivel específica que tenga la altura o valor requerido de la variable de

respuesta. En este caso, cada punto sobre la curva de nivel es una solución,

y de todos ellos se elige el de menor variabilidad y/o menor costo.

La técnica de optimización de escalamiento se aplica cuando, de acuerdo

con la valoración inicial, se cree que se está lejos de la condición óptima,

por lo que será necesario explorar una región de experimentación inicial

y a partir de ésta determinar una dirección en la cual experimentar fuera

de la región inicial.

Así, a partir del conocimiento que ya se tiene del problema es preciso

seleccionar los niveles de los factores para determinar la región de

exploración. A continuación se corre un diseño de primer orden

(típicamente un diseño 2k completo o fraccionado con puntos al centro)

para explorar la región experimental determinada antes. Se analizan con

detalle los resultados y se ajusta un modelo de primer orden con niveles

codificados. Si éste explica satisfactoriamente la variabilidad observada

es necesario continuar como se indica más adelante, de lo contrario,

investigar a qué se debe la falta de ajuste: ¿Mucha variabilidad?

¿Curvatura? ¿Región más complicada? y proceder en consecuencia. Con

el siguiente ejemplo vamos a ilustrar la metodología.

2.8.2 Análisis canónico

Se aplica un diseño de segundo orden cuando se quiere explorar con más

amplitud una región experimental y/o cuando se espera que el punto

óptimo ya esté cerca (probablemente dentro de la región experimental). El

análisis canónico es una de las técnicas para analizar el modelo de segundo

orden y consiste en los siguientes pasos:

1. A partir del conocimiento que ya se tiene del problema,

seleccionar los niveles de los factores para determinar la región de

exploración.



2. Correr un diseño de segundo orden (un diseño de composición

central, por ejemplo) para explorar la región experimental

determinada antes.

3. Ajustar un modelo de segundo orden con niveles codificados. Si

éste explica bien la variabilidad observada continuar al siguiente

paso; de lo contrario, investigar por qué la falta de ajuste (¿mucha

variabilidad?, ¿región más complicada?) y proceder en

consecuencia.

4. Encontrar las coordenadas del punto estacionario.

5. Expresar el modelo ajustado en su forma canónica. El análisis

canónico consiste en reescribir el modelo ajustado de segundo

orden en su forma canónica, es decir, se expresa en términos de

nuevas variables llamadas variables canónicas, las cuales son

transformaciones de las variables codificadas. La ventaja es que la

ecuación canónica proporciona información a simple vista sobre

el tipo de superficie que se está observando y sobre su forma.

6. Evidenciar la relación entre las variables canónicas y las variables

codificadas.

En la práctica, si se cuenta con un software adecuado no necesaria mente

se siguen los últimos tres pasos del análisis canónico. La mejor estrategia

será encontrar, primero los coeficientes de la ecuación canónica que

indican el tipo de superficie observa da y sólo si ésta es del tipo que

interesa (por ejemplo máximo), entonces se procede a localizar las

coordenadas del punto estacionario. Si la superficie encontrada no es del

tipo deseado se sigue el análisis de cordillera descrito en la siguiente

subsección. Sin embargo, primero veamos cómo determinar el punto

estacionario, dado que interviene en el término independiente de la

ecuación canónica.

Determinación del punto estacionario (candidato a óptimo). El punto

estacionario es el punto (x10, x20, …, xk0) en el espacio de factores,

sobre el cual el plano tangente a la superficie tiene pendiente igual a cero.



Por ejemplo, si la superficie tiene un máximo, el punto estacionario es

justo el punto donde se ubica ese máximo.

De aquí que el punto estacionario sea un candidato natural a punto óptimo,

que resulta “electo” sólo cuando es del tipo que interesa y se encuentra

dentro de la región experimental. Podría pasar que aunque se esté

buscando un máximo, el punto estacionario sea un mínimo o punto silla,

en cuyo caso evidentemente no se trataría del óptimo buscado.

Suponga que ya se realizaron los tres primeros pasos de un análisis

canónico, y que por lo tanto ya se tiene ajustado un modelo de segundo

orden:

Para el cual se quiere encontrar su punto estacionario (donde la derivada

es igual a cero). El punto se localiza derivando al modelo con respecto a

cada variable xi, igualando a cero y resolviendo en forma simultánea todas

las ecuaciones. Todo esto se facilita si el modelo se reescribe en notación

matricial como:

Donde x¢= (xl, x2,…, xk) es cualquier punto en la región de operabilidad

del proceso, en unidades codificadas; el vector b son los coeficientes de

la parte lineal (efectos principales) del modelo y la matriz B son los

coeficientes de las interacciones y de los términos cuadráticos puros. Esto

es:



Derivando el modelo dado por (12.3) con respecto al vector X e igualando

a cero se obtiene:

Resolviendo para X se llega a que el punto estacionario está dado por:

donde B–l es la inversa de la matriz B.

2.8.3 Análisis de cordillera

Muchas veces, el punto estacionario no es del tipo que se requiere, y en

esos casos la opción es encontrar el “mejor punto posible” dentro de la

región experimental. Este punto se ubica sobre la cordillera óptima a partir

del centro del diseño, y es aquel que predice la mejor respuesta sobre la

región. Esta búsqueda se hace precisamente con el llamado análisis de

cordillera, que consiste en calcular el máximo o mínimo de la superficie

de respuesta sobre esferas concéntricas al centro del diseño, empezando

por una esfera de radio casi cero y posteriormente se abre la exploración

incrementando el radio de la siguiente esfera. Así se continúa hasta llegar

a la primera esfera que cubre los puntos experimentales. El mejor punto

posible es aquel sobre el que se predice el óptimo desempeño de la

variable de respuesta. Con frecuencia, este punto se ubica en la esfera de

radio más grande. En el caso de k= 2 factores, no son esferas sino

circunferencias como en las de la figura 12.12. Note que en esta figura se

van alcanzando mejores puntos y se va escalando la superficie. Asimismo,

en cada paso se corrige el rumbo debido a la curvatura de la superficie.

Ahora, brevemente veamos en forma matemática el análisis de cordillera.

Consideremos el modelo ajustado de segundo orden escrito en su forma

matricial



Donde b y B se construyen como en (12.4). Sea la esfera centrada en el

origen con radio Ri, cuyos puntos sobre ella cumplen la restricción:

El problema del análisis de cordillera es encontrar el punto sobre la esfera,

donde la respuesta predicha por el modelo es máxima (o mínima). Para

ello se plantea la función objetivo dada por

Donde L es multiplicador de Lagrange. Derivando esta última relación

con respecto al vector x e igualando a cero, se obtiene

y de aquí se llega al sistema de ecuaciones

El punto (x1, x2,..., xk) óptimo sobre una esfera particular se encuentra al

sustituir un valor para l, que no sea un valor propio de la matriz Ben esta

última relación, y se resuelve el sistema de ecuaciones resultante.

En general es mejor recurrir a un software para hacer el análisis de

cordillera.



2.9 PRINCIPALES PROPIEDADES DE SUPERFICIE DE RESPUESTA}

2.9.1 Ortogonalidad:

Se considera que un diseño es ortogonal cuando los coeficientes

estimados en el modelo ajustado no están correlacionados entre sí, lo cual

hace que el efecto de cada término, representado por el parámetro

correspondiente, se estime de manera más precisa. Un experimento es

ortogonal si en la matriz de diseño todos los vectores columna son

independientes entre sí. Es fácil verificar que en un diseño factorial

completo 2klas columnas de su matriz de diseño son independientes:

multiplique dos columnas cualesquiera, término a término usando la

notación –1 y +1, y el resultado es cero.

Cuando las columnas de la matriz de diseño son independientes

entre sí, hace que los coeficientes del modelo ajustado no estén

correlacionados.

2.9.2 Rotabilidad:

Un diseño se llama rotable si la varianza de Yˆ(x) sólo depende de la

distancia del punto xal centro del diseño y no de la dirección en la que se

encuentra. Es decir, si pensamos en la variable var[Yˆ(x)] como otra res

puesta, su gráfica de contornos tiene la forma de círculos concéntricos

alrededor del centro del diseño. La rotabilidad del diseño asegura que la

calidad de la predicción, medida por var[Yˆ(x)], sea invariante a cualquier

rotación del diseño alrededor del centro del mismo; de aquí se deriva el

nombre de esta propiedad.

La importancia práctica de la rotabilidad en el problema de encontrar un

punto óptimo es porque asegura que, con independencia de la dirección

en que se explore a partir del centro del diseño, la calidad de predicción

se comporta de igual manera.

Es aquel en el que la varianza de la respuesta estimada sobre un

punto depende de la distancia de éste al centro del diseño y no de

la dirección en la que se encuentra.



2.10 DISEÑOS DE SUPERFICIE DE RESPUESTA

2.10.1 Diseños de primer orden

Suponga que se desea utilizar el modelo de primer orden dado por la

ecuación (12.3) para estudiar el comportamiento de cierta característica

de calidad, que se supone depende de k factores de proceso. En principio,

al proponer un diseño de primer orden se supone que sólo son importantes

los efectos principales. Estrictamente hablando, para estimar los k + 1

parámetros del modelo de primer orden se requiere un mínimo de k + 1

puntos experimentales.

Un criterio de selección del diseño de primer orden es que la varianza de

la respuesta predicha (var[Yˆ(x)]) en el punto x¢= (x1,x2,...,xk) sea

mínima. Este criterio es importante porque cuando se busca determinar la

dirección óptima de movimiento a partir de los predichos por el modelo,

éstos tienen mayor precisión, lo cual se traduce en mayor certeza de la

dirección seleccionada. Los diseños que satisfacen este criterio son los que

tienen la propiedad de ortogonalidad. Entre los más utilizados están los

siguientes:

Diseños factoriales 2k

Diseños factoriales fraccionados 2k – p

Diseño de Plackett-Burman

Diseño simplex

Todos estos diseños, excepto el diseño simplex, emplean dos niveles en

cada factor, lo cual tiene que ver con el hecho de que sólo interesa detectar

el efecto principal de cada factor. Sin embargo, una vez superada la etapa

de cribado es importante aumentar estos arreglos con repeticiones al

centro a fin de detectar la presencia de curvatura o falta de ajuste del

modelo; las repeticiones al centro también proporcionan más grados de

libertad para el error aleatorio. Lo diseños 1 a 3 se explicaron en los

capítulos previos.

El diseño simplex para k factores se representa por medio de una figura

de forma regular dibujada en un espacio de dimensión k – 1, y se



caracteriza por el hecho de que el ángulo q formado por cualquier par de

vértices con el origen, es tal que cos(q) = –1/k. Así, para k = 2 factores,

los tratamientos del diseño simplex corresponden a los vértices de un

triángulo equilátero (véase figura 12.15); para k = 3 son los vértices de un

tetraedro (figura 12.15). Las matrices de diseño en unidades codificadas

para estos dos casos también se muestran en la figura. Observe que

algunos factores se prueban en dos niveles y otros en tres.

En el capítulo 15 se emplea una variante especial de diseños simples para

estudiar experimentos con mezclas.

2.10.2 Diseños de segundo orden

Se llaman diseños de segundo orden aquellos que permiten ajustar un

modelo de segundo orden para así estudiar, además de los efectos lineales

y de interacción, los efectos cuadráticos o de curvatura pura. Por

consiguiente, estos diseños se emplean cuando se quiere explorar una

región que se espera sea más compleja o cuando se cree que el punto

óptimo ya se encuentra dentro de la región experimental. El modelo de

segundo orden está dado por:

Tiene p = (k + 1)(k + 2)/2 términos, por lo tanto se requiere al menos esa

cantidad de puntos de diseño. El diseño debe tener al menos tres niveles

en cada factor para estimar la curvatura de la superficie en la dirección de

cada factor. Es deseable que estos diseños sean ortogonales, pero a veces

no es fácil que cumplan esta propiedad y se admite alguna dependencia

entre las columnas de los contrastes. Los más utilizados tienen la

propiedad de ser rotables.

A continuación se presentan las matrices de diseño, la geometría y

propiedades de los diseños de segundo orden más recomendados como

son: el diseño de Box-Behnken y el diseño central compuesto o de

composición central.



a) Diseño de Box-Behnken: Este diseño se aplica cuando se tienen

tres o más factores, y suelen ser eficientes en cuanto al número de

corridas. Es un diseño rotable o casi rotable que se distingue

porque no incluye como tratamientos a los vértices de la región

experimental.

b) Diseño de composición central: El diseño de composición

central (DCC) es el más utilizado en la etapa de búsqueda de

segundo orden debido a su gran flexibilidad: se puede construir a

partir de un diseño factorial completo 2k o fraccionado 2k – p

agregando puntos sobre los ejes y al centro (véase ejemplos 12.3

y 12.4), además de otras propiedades deseables. Este diseño se

compone de tres tipos de puntos:

1. Una réplica de un diseño factorial en dos niveles,

completo o fraccionado. A esta parte del DCC se le

llama porción factorial.

2. n0puntos o repeticiones al centro del diseño, con n0

≥1.

3. Dos puntos sobre cada eje a una distancia a del

origen. Estos pun tos se llaman porción axial.



III. APLICACIÓN A LA INGENIERÍA COMERCIAL

3.1 PLANTEAMIENTO

La panadería el BUEN SABOR realiza un experimento desarrollado para

optimizar la resistencia de una envoltura de pan. El diseño implica los siguientes

factores experimentales y el rango de valores sobre los cuales serán variados.

Factores Bajo Alto Unidades

Temperatura de Lacre 225 285 °F

Temperatura de Conversión 46 64 °F

Polietileno 0.5 1.71 %

3.2 DESARROLLO DEL CASO SOFTWARE STATGRAPHICS

PASO N° 01: Para el desarrollo del caso usaremos el software

STATGRAPHICS.

PASO N° 02: Para este modelo no se ingresan los datos al inicio del

ejercicio, se siguen los siguientes pasos; DDE > Crear Diseño > Diseño

Nuevo.



PASO N° 03: Nos aparece la siguiente ventana en la cual seleccionamos

la opción “Superficie de Respuesta”. Y damos click en “Aceptar”.

PASO N° 04: Nos aparecerá la siguiente ventana en la cual tendremos que

llenar con los datos correspondientes (*) seleccionando “A, B, C”

respectivamente. Y damos click en “Aceptar”.



PASO N° 05: Después de llenar los datos correspondientes nos aparece la

siguiente ventana en la cual colocamos el sistema de medida de la

resistencia de las bolsas. Y damos click en “Aceptar”.

PASO N° 06: En la siguiente ventana en la cual tendremos que elegir el

método de “Diseño de compuesto central”. Y aceptamos.



PASO N° 07: A continuación nos aparece una ventana en la cual en el

punto central colamos la cantidad de datos. Y escogemos la Ubicación de

“Al Final”.

PASO N° 08: Luego de haber llenado correctamente el Diseño el

programa STATGRAPICHS nos arroja la siguiente tabla de datos. Y sus

especificaciones.



PASO N° 09: Ahora para poder obtener los graficos es necesario llenar

manualmente. Los siguientes datos que nos proporcionó el

STATGRAPHICS:



Resultados Estimados para Fuerza

Observados Ajustados Inferior 95.0% Superior 95.0%

Fila Valores Valores para Media para Media

1 6.6 6.51022 4.52392 8.49651

2 6.9 6.00289 4.01659 7.98918

3 7.9 7.08462 5.09833 9.07092

4 6.1 5.1773 3.191 7.16359

5 9.2 9.25114 7.26484 11.2374

6 6.8 6.74381 4.75751 8.7301

7 10.4 10.4255 8.43925 12.4118

8 7.3 6.51822 4.53192 8.50451

9 9.8 9.87243 7.98102 11.7638

10 5.0 6.16014 4.26873 8.05155

11 6.9 7.06963 5.17823 8.96104

12 6.3 7.36295 5.47155 9.25435

13 4.0 5.2001 3.30869 7.0915

14 8.6 8.63248 6.74107 10.5239

15 10.1 10.1648 9.17488 11.1546

16 9.9 10.1648 9.17488 11.1546

17 12.2 10.1648 9.17488 11.1546

18 9.7 10.1648 9.17488 11.1546

19 9.7 10.1648 9.17488 11.1546

20 9.6 10.1648 9.17488 11.1546

El StatAdvisor

Esta tabla contiene información acerca de los valores de Fuerza generados

usando el modelo ajustado. La tabla incluye:

(1) los valores observados de Fuerza (si alguno)

(2) el valor predicho de Fuerza usando el modelo ajustado

(3) intervalos de confianza del 95.0% para la respuesta media

Cada item corresponde a los valores de los factores experimentales en una

fila especifica de su archivo de datos. Para generar pronósticos para las

combinaciones adiciones de los factores, agregue filas al final su archivo

de datos. En cada nueva fila, introduzca valores para los factores

experimentales pero deje vacía la celda para la respuesta. Cuando regrese

a esta ventana, se habrán agregado pronósticos a la tabla para las nuevas

filas pero el modelo no se verá afectado.



PASO N° 10: Para las opciones graficas nos dirigimos al a barra de menú:

DDE > Procedimientos DOE Heredados > Analizar Diseño > Analizar

Diseño.

PASO N° 11: En la siguiente ventana seleccionamos la variable fuerza. Y

aceptamos.



PASO N° 12: En esta ventamos solo damos click en “Aceptar”.

PASO N° 13: En la siguiente ventana seleccionamos los gráficos

necesarios.



GRAFICOS

Diagrama de Pareto Estandarizada para Fuerza

0 1 2 3 4 5

Efecto estandarizado

B:Temperatura de Conversión

BC

AB

AC

AA

C:Polietileno

BB

A:Temperatura de Lacre

CC +-

Superficie de Respuesta EstimadaPolietileno=1.1

200 220 240 260 280 300 320

Temperatura de Lacre

4649

5255

5861

64

Temperatura de Conversión

5.3

6.3

7.3

8.3

9.3

10.3

11.3

Fu

erz

a

-1.4

2.2

5.8

Contornos de la Superficie de Respuesta Estimada

Polietileno=1.1

200 220 240 260 280 300 320

Temperatura de Lacre

39

49

59

69

79

Te

mp

era

tura

de

Co

nv

ers

ión

Fuerza-5.0-3.2-1.40.42.24.05.87.69.411.213.0

-3.2

0.4

4.07.69.4



CONCLUSIONES

La metodología de superficies de rspuesta (MSR) es una estrtega experimental y de

modelaion que permit encontrar condiciones de operación optimas de un proceso,

implica 3 apectos: DISEÑO, MODELO Y TECNICA DDE OPTIMIZACION.

El diseño y el modelo dependen del tipo de comportamiento que se espera en la

rspuesta, el modelo puede ser de primro o segundo orden (plano o con curvatura); por

ello el tipo de diseño utilizado y el método de optimización sse clasifican según como

sea el caso.

Data & Analytics

Superficies de Respuesta