Fallas por fatiga

Cap. 3 Fatiga Pág. 3-1

Por Jorge Rodríguez Hernández, Dipl.-Ing. Profesor de la Sección de Ingeniería Mecánica

Pontificia Universidad Católica del Perú CAPÍTULO 3: FATIGA 3.1 Introducción

Hasta ahora se han estudiado tanto el análisis de esfuerzos como el diseño de elementos sometidos a cargas estáticas, es decir, cargas que no varían en el tiempo. Sin embargo, el comportamiento de las piezas cuando están sometidas a cargas variables en el tiempo es completamente diferente y por ello es necesario hacer el estudio de dicho comportamiento de tal manera que los elementos diseñados resistan con seguridad tales cargas.

El estudio de la fatiga es un tópico muy importante dentro de la Ingeniería Mecánica pues muchos de los elementos de máquinas son sometidos durante el trabajo a esfuerzos que varían cíclicamente en función del tiempo. Como ejemplos se pueden mencionar las partes de un mecanismo de biela-manivela de un motor de combustión interna (Fig. 3.1), las cuales se encuentran solicitadas por fuerzas que varían periódicamente. La ley de variación de estas fuerzas se determina a partir del análisis de la variación de presión al interior del cilindro, así como del análisis cinemático del mecanismo. Otro ejemplo es el de los ejes de transmisión de una caja reductora de velocidades (Fig. 3.2), en los cuales los esfuerzos debidos a flexión son cíclicos aún cuando las cargas exteriores son constantes en el tiempo.

Fig. 3.2 Sección de una caja reductora de velocidades.

Fig. 3.1 Sección de un motor de combustión interna.

3.2 Falla por fatiga Hay casos en que se analizan elementos de máquinas que han fallado bajo la acción de esfuerzos repetidos o variados en el tiempo. Un análisis correspondiente de falla muestra que los esfuerzos máximos reales estaban por debajo del esfuerzo máximo o de rotura del material, o lo que es aún más sorprendente, por debajo del esfuerzo de fluencia. El común denominador de estas fallas es que los esfuerzos fluctuaron en el tiempo. A este tipo de falla se le denomina falla por fatiga.

Pontificia Universidad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Diseño


En un principio se pensó que este tipo de falla estaba relacionado con una variación de la estructura cristalina debido a la acción de cargas variables y por ello recibió el nombre de fatiga. Sin embargo, investigaciones posteriores han determinado que en el progreso de una falla por fatiga no se produce variación de la estructura del metal. A pesar de ello se ha mantenido por tradición el nombre de fatiga para este fenómeno.

La falla por fatiga tiene un inicio de carácter local. Ella comienza con una grieta microscópica que no es posible de percibir a simple vista. Es más, aún utilizando técnicas de inspección como rayos X o ultrasonido es muy difícil localizar dichas microgrietas. Normalmente estas grietas se originan en puntos de discontinuidad del material, tales como un cambio brusco de sección, un canal, un orificio o hasta en alguna irregularidad causada por el maquinado, lo cual produce, como se vio en el anterior capítulo, concentración de esfuerzos. Una grieta puede también originarse al interior del material en una dislocadura intercristalina, por ejemplo, o en una irregularidad causada por el proceso de fabricación. Una vez formada una grieta, el esfuerzo variable la hace crecer y con ello aumenta su efecto concentrador de esfuerzos. Al crecer la grieta disminuye el área que soporta el esfuerzo y ello conlleva al crecimiento del esfuerzo neto. En algún momento el área ha disminuido tanto que ya no es capaz de soportar el esfuerzo y se rompe bruscamente. En la figura 3.3 se muestran tres ejemplos diferentes de sección fracturada por fatiga.

Zona de rotura frágil


Zona de rotura por fatiga

(b)


Zona de r frágil

otura

(a)

Líneas de avance de la grieta





(c)

Fig. 3.3 Características de la rotura por fatiga. a) eje trasero de automóvil, b) eje cigüeñal y c) eje de caja reductora de velocidades.



En todos los casos se puede ver que hay dos zonas marcadamente diferentes: una zona lustrosa producida para la expansión de la grieta, la cual empezó en una zona de concentración de esfuerzos provocada por el canal chavetero, y la otra zona áspera, similar a la que presenta una fractura de material frágil, como el hierro fundido, bajo carga estática. Generalmente se puede apreciar claramente la dirección del desarrollo de la grieta. Se aprecian, por ejemplo, las líneas de frenado o descanso de la grieta, las cuales están relacionadas con la variación del régimen de trabajo de la pieza.

Los elementos de máquinas que fallan bajo la acción de cargas estáticas sufren generalmente deformaciones relativamente grandes pues el esfuerzo superó la resistencia a la fluencia. Por ello, muchas fallas de este tipo son visibles y se pueden prever. Sin embargo la rotura por fatiga es repentina y por tanto peligrosa.

Entre los muchos factores que afectan la resistencia a la fatiga, el más importante es el ya mencionado de las concentraciones locales de esfuerzos y debido a ello el cálculo correspondiente de los esfuerzos se hace bastante más complicado en comparación a la evaluación de esfuerzos estáticos. La resistencia a la fatiga depende además, como veremos más adelante, de otros factores, entre los cuales podemos mencionar el tamaño real y el acabado superficial de la pieza que se calcula, la magnitud relativa entre los esfuerzos estáticos y alternantes y el número de ciclos de carga que soportará el material.

Ahora se ve la necesidad de un estudio del mecanismo interno que causa la fatiga de tal manera que podamos encontrar ciertos esfuerzos límites del material, análogos a los utilizados en el cálculo y diseño de elementos de máquinas, de tal manera que podamos diseñar elementos de máquinas seguros contra la falla por fatiga.

El análisis teórico de la fatiga presenta muchos obstáculos y dificultades. Uno de ellos es que la naturaleza de la destrucción por fatiga es determinada por las particularidades de la estructura molecular y cristalina de la materia. Aquí, entonces, ya no se pueden utilizar modelos que se emplearon hasta ahora con mucho éxito en lo que hemos aprendido en un primer curso de resistencia de materiales, en el cual se utilizó el esquema del medio continuo (continuum) para la solución de muchos problemas. Aquí necesitaremos una base teórica que se apoye mas bien en la estructura de los cristales y de las ligaduras entre los cristales para luego hacer uso de la estadística y de la teoría de probabilidades. Así podremos acumular la suficiente cantidad de datos experimentales que nos permitirá, mediante adecuado análisis y posterior interpretación, definir las reglas pertinentes para establecer métodos de cálculo. Así pues, la teoría de la resistencia a la fatiga está constituida principalmente por la agrupación y sistematización de datos experimentales y por ello no es una teoría universal ni mucho menos.

Siempre es una buena práctica de ingeniería elaborar un programa de ensayos de los materiales que se emplearán en el diseño y la fabricación. De hecho, ésto es un requisito y no una opción para prevenir la posibilidad de una falla por fatiga. Debido a esta necesidad de ensayos, sería realmente innecesario proseguir aquí el estudio de la falla por fatiga si no fuera por una razón importante: el deseo de saber por qué ocurre, a fin de poder emplear el método o métodos más efectivos para aumentar la resistencia. Por lo tanto, nuestro objetivo principal al estudiar la fatiga es comprender por qué ocurren estas fallas, de manera que se puedan prevenir en forma óptima. Por esta razón, los enfoques analítico y de diseño presentados no producen resultados precisos. Éstos deben considerarse como una guía, como un indicador de lo que es importante y de lo que no en el diseño por fatiga.



Los métodos de análisis son una combinación de ciencia e ingeniería, pues a menudo aquella no puede proporcionar las respuestas que se necesitan y, sin embargo, deben seguir haciéndose aviones para que vuelen sin peligro, y un automóvil debe fabricarse con una confiabilidad que asegure una vida larga, sin averías y, al mismo tiempo, produzca utilidades a los accionistas de la industria. El caso de la fatiga es similar. La ciencia no ha podido todavía explicar completamente el mecanismo real de la fatiga, pero el ingeniero tiene que seguir creando cosas que no fallen debido a fatiga. En cierto sentido, éste es un ejemplo clásico del verdadero sentido de la ingeniería, en contraste con el de la ciencia. Los ingenieros emplean la ciencia para resolver sus problemas, si es factible utilizarla; pero lo sea o no, debe resolverse el problema y, cualquiera que sea la forma que tome la solución en estas condiciones, es lo que se denomina Ingeniería. 3.3 Nomenclatura En general un cierto elemento de máquina tendrá una ley de variación de cargas, y por consiguiente de esfuerzos, de acuerdo al funcionamiento de la máquina a la que pertenece, es decir, de acuerdo al movimiento particular que realiza durante la operación de la máquina. Por consiguiente, es de esperar que los esfuerzos sean cíclicos y que dentro de un ciclo característico se presente un esfuerzo máximo denominado esfuerzo superior (σs) y un esfuerzo mínimo denominado esfuerzo inferior (σi). Según sea la relación entre ellos su efecto sobre el elemento solicitado será diferente. Las investigaciones sobre la fatiga muestran que el proceso de formación de una grieta está relacionada con la acumulación de deformaciones plásticas y éstas son consecuencia de los valores de los esfuerzos superior e inferior. Por consiguiente el mecanismo de falla por fatiga es independiente de la forma que tenga la “onda” de esfuerzo y sólo interesan los valores de esfuerzo mencionados. Por consiguiente se pueden representar los esfuerzos variables, cualquiera sea la forma de variación, como una onda que varía entre un valor máximo y otro mínimo de esfuerzo (ver Fig. 3.4).

Campo pulsatorio (Compresión) Campo alternante

Campo pulsatorio (Tracción)

Fig. 3.4 Tipos de esfuerzo variable.



Para analizar la resistencia a la fatiga de elementos sometidos a esfuerzos variables o fluctuantes se procederá a descomponer el esfuerzo en dos componentes, una correspondiente a un esfuerzo estático (sin variación en el tiempo) y que se denomina componente estática del esfuerzo o esfuerzo medio y otra correspondiente a un esfuerzo alternante que se denomina componente alternante o esfuerzo alternante (ver Figs. 3.5 y 3.6). σ σ

σi

σm σa

σa

σs

σmσi

σa

σaσs

t t

Fig. 3.5 Esfuerzo variable en

el campo pulsatorio. Fig. 3.6 Esfuerzo variable en

el campo alternante. En el presente capítulo utilizaremos la siguiente nomenclatura 1):

σs : esfuerzo superior o máximo σi : esfuerzo inferior o mínimo σm : esfuerzo medio o componente estática del esfuerzo σa : esfuerzo alternante o amplitud del esfuerzo

En general se cumplirán las siguientes relaciones:

• Esfuerzo medio: σσ σ

ms i=

+2

(3.1)

• Esfuerzo alternante: σσ σ

as i=

−2

(3.2)

o expresado de otra manera:

• Esfuerzo superior: σs = σm + σa (3.3) • Esfuerzo alternante: σs = σm - σa (3.4)

Se define el coeficiente de asimetría del ciclo como:

κσσ

= i

s (3.5)

1) En este capítulo y en general en todos los que abarca nuestro curso utilizaremos subíndices minúscula

para denotar esfuerzos en el material (también denominados esfuerzos de trabajo), y subíndices mayúscula para los límites de resistencia del material. Así por ejemplo, mientras σa denota la amplitud del esfuerzo de trabajo (componente alternante), σA denota el límite de la amplitud para un cierto material y para N ciclos de carga.



Distinguiremos, además, los siguientes casos particulares en cuanto a las variaciones de esfuerzo: esfuerzo alternante puro (Fig. 3.7) y esfuerzo pulsante puro (Fig. 3.8). σ

σa

σm σa

σs

σi=-σa

σs=σa

σ

t

t

Fig. 3.7 Variación del esfuerzo Fig. 3.8 Variación del esfuerzo alternante puro (κ = -1). pulsante puro (κ = 0). σm = 0 σm = σa σs = σa σs = 2 σa σi = -σa σi = 0

3.4 El diagrama de Wöhler 1) Debido a la naturaleza estadística de la fatiga se tienen que hacer gran número de pruebas en el laboratorio para determinar los parámetros de resistencia de los metales frente a la fatiga. Para ello se han ideado los más diversos tipos de ensayo y las máquinas correspondientes para realizarlos. Uno de los ensayos más conocidos es el denominado de flexión rotatoria. En este ensayo se somete a la probeta normalizada a flexión pura y se la hace girar mediante un dispositivo accionado por un motor eléctrico (Fig. 3.9).

Fig. 3.9 Esquema de la máquina de flexión rotatoria Schenk del laboratorio de materiales de nuestra Sección de Ingeniería Mecánica.

El valor del momento flector al que se somete la parte central de la probeta ha sido fijada previamente a través de un sistema de pesos. La probeta cargada se hace girar hasta que se rompe. Entonces se llevan los resultados de esfuerzos debidos a flexión y el número de revoluciones de la probeta al momento de la rotura. Se repite muchas veces el experimento para diferentes valores de carga aplicada y se obtienen los resultados mostrados en la figura 3.10. El diagrama resultante se conoce como diagrama de Wöhler o diagrama σ-N.

1) August Wöhler (1819, Soltau – 1914, Hannover), ingeniero alemán, considerado como el pionero del

estudio de la fatiga.



N=106 log N

log ?A

log ?Alt?m = 0

O

log 0,9 ?B

N=103

Fig. 3.10 Diagrama de Wöhler.

N

σA

σAltσm = 0

x

x

xx

x xx x x x x x x

Vida finita Vida infinita

Se suele representar los mencionados resultados en escala semilogarítmica o logarítmica, de tal manera que la curva se convierte en dos tramos rectos: uno inclinado y otro horizontal (ver figura 3.11).

Fig. 3.11 Diagrama de Wöhler en escala logarítmica.

La resistencia a la fatiga se define como el valor máximo del esfuerzo alternante que resistirá sin fallar un material para un número dado de ciclos de carga. Por consiguiente, la resistencia a la fatiga está siempre ligada a una cierta vida del elemento expresada en número de ciclos de carga.

Las curvas de Wöhler están determinadas usualmente en un intervalo de aproximadamente 105 ... 108 ciclos. Sólo para algunas aplicaciones especiales se utiliza la resistencia a la fatiga para ensayos de menos de 104 ciclos. Hay algunos materiales para los que la falla ocurre muy rara vez después de ensayos de más de un millón de ciclos, incluso si los ensayos se prolongan a 108 o más ciclos.

El diagrama de Wöhler presenta una línea inclinada, en la cual las probetas se rompen, y otra horizontal por debajo de la cual las probetas no se rompen. La solicitación a la cual la curva es horizontal se conoce como límite de fatiga. La fig. 3.12 muestra la curva de Wöhler para un acero suave laminado en frio, para el cual el límite de fatiga es de aproximadamente 19,5 ton/pulg2 (302 N/mm2). Ello implica, como ya se dijo, que una probeta de ese material sometida a un esfuerzo por debajo de ese valor, podría girar indefinidamente sin fallar por fatiga, o lo que es lo mismo, tendría vida infinita.



Fig. 3.12 Diagrama de Wöhler para acero suave laminado en frio. Los metales para los cuales existe un límite de fatiga son, entre otros, los aceros de baja y mediana resistencia, los aceros inoxidables, el hierro forjado y la fundición, las aleaciones de aluminio-magnesio y algunas aleaciones de titanio. Como se podrá comprobar en el siguiente curso de Laboratorio de Resistencia de Materiales 2A, un rasgo característico del comportamiento a la fatiga es la dispersión en los resultados de los ensayos. Esta dispersión se puede atribuir a errores experimentales, como una defectuosa alineación de la probeta o una determinación inexacta del valor del esfuerzo, sin embargo, parece ser cierto que la dispersión de resultados es una característica inherente al comportamiento a la fatiga. Las figura 3.13 a 3.16 muestran curvas de Wöhler para diferentes materiales metálicos

Fig. 3.13 Curva de Wöhler para aleación de aluminio 26-S tratada térmicamente.



Fig. 3.14 Curva de Wöhler para algunos aceros de baja aleación laminados en frío y para algunas aleaciones de aluminio.

Fig. 3.15 Diagrama de Wöhler para diversos aceros de alta aleación.



Fig. 3.16 Diagrama de Wöhler para diversas aleaciones de aluminio.

Existe una gran cantidad de datos publicados acerca de resultados obtenidos mediante pruebas con la máquina de flexión rotatoria y ensayos de tracción simple. Al graficarlos (Fig. 3.17) se observa que existe una cierta correlación entre ambos conjuntos de resultados. La gráfica indica que el límite de resistencia a la fatiga (σAlt) varía para los aceros, desde aproximadamente 40 a 60% de la resistencia máxima a la tracción (σB) hasta un valor cercano para σB de aproximadamente 200 kpsi (1400 N/mm2) .

0,4

0,5 σAlt/σB = 0,6

σAlt [kpsi]

σB [kpsi]

Fig. 3.17 Gráfica de límites de fatiga en función de resistencias a la tracción para aceros al carbono, aceros forjados y hierros fundidos. [Ref. Fatigue Design Handbook, SAE]



Debe quedarnos muy en claro, entonces, que esta diseminación de los valores de los límites de la resistencia a la fatiga deberá ser tenida en cuenta al momento que se elijan factores de seguridad. En la tabla 3.1 se puede ver que la resistencia a la fatiga depende además de la microestructura de los materiales. Se puede decir que en general las microestructuras más dúctiles tienen las relaciones más altas de σAlt/σB. La martensita es muy quebradiza y muy susceptible al agrietamiento inducido por fatiga; así que el valor de σAlt/σB es bajo.

Tabla 3.1 Relación σAlt/σB para diversas microestructuras de acero.

Ferrita Perlita Martensita intervalo promedio intervalo promedi intervalo promedio

Acero al carbono 0,57 - 0,63 0,60 0,38 - 0,41 0,40 --- 0,25 Acero aleado --- --- --- --- 0,23 - 0,47 0,35

En las tablas anexas A y B se muestran valores de esfuerzo alternante σAlt para cargas de tracción-compresión (σAlt), de flexión (σf Alt) y de torsión (τt Alt). En dichas tablas se presentan también valores de lo que se denomina esfuerzo pulsante (σPul), el cual resulta ser un valor característico (ver Figura 3.22) interesante en el cálculo por fatiga y que será utilizado en diversos temas como por ejemplo en el cálculo por fatiga de uniones soldadas en el siguiente curso de Elementos de Máquinas 1. Si no se dispone de valores más exactos para materiales que no están contenidos en las mencionada tablas, se pueden recomendar, como aproximación, los valores mostrados en la Tabla 3.2 para el cálculo por fatiga.

Tabla 3.2 Valores aproximados de esfuerzo alternante para aceros, hierros y aceros fundidos.

Material σAlt

Aceros σAlt = 0,5 σB si σB ≤ 1400 N/mm2

σAlt = 700 N/mm2 si σB > 1400 N/mm2

hierros y aceros fundidos σAlt = 0,45 σB si σB ≤ 600 N/mm2

σAlt = 275 N/mm2 si σB > 600 N/mm2

En realidad no existe una relación matemática general válida entre los valores de resistencia a la fatiga y los valores de esfuerzo máximo a la tracción (σB), esfuerzo de fluencia (σF) y esfuerzo convencional (σ0,2) obtenidos a través de ensayos de tracción, sin embargo, según sea el material se pueden establecer ciertas relaciones referenciales aproximativas, como lo muestra la tabla 3.3. En dicha tabla se pueden observar algunas relaciones interesantes entre los límites de resistencia a la fatiga para diversos tipos de carga y los límites obtenidos de ensayos de tracción para varios materiales de común uso en ingeniería mecánica.



Tabla 3.3 Valores promedio de resistencia para diferentes materiales en N/mm2 1).

σAlt / σB (τAlt / σB) σF / σ0,2 (τF / σ0,2) Material Valores de Resistencia Trac. Flex. Tors. Trac. Flex. Tors. E G

Acero de construcción

Valores mínimos para σB, σF

0,44 0,5 1,4 0,58

Acero bonificable (σ0,2) según el material (ver Tabla anexa B). 0,4 0,48 0,3 1 1,25 0,65

210 000 81 000

Acero cementable Valores de resistencia según diagramas de fatiga (ver Figs. 0,45 0,5 1,25 0,58

Acero fundido 3.23 a 3.26).

0,35 0,4 0,23 1 1,3 0,58

σB σB, σ0,2 σcB σfB

Hierro fundido nodular grafítico (comparable al tipo mecanita)

GGG-40 (SF 400) 400 250 700 830 167 000 65 000

GGG-50 (SF 500) 500 320 800 930 170 000 66 000

GGG-60 (SF 600) 600 380 870 1000 0,3 0,5 0,28 1 1,3 0,8 177 000 67 000

GGG-70 (SF 700) 700 440 1000 1100 180 000 67 000

GGG-80 (SF 800) 800 500 1150 1100 180 000 67 000

Fundición maleable

GTW-40-05 400 220 1000 800 en forma aproximada igual que para GGG 175 000 67 000

GTS-35-10 350 200 1200 700

σt,c Alt(σt,c Pul)

σf Alt(σf Pul)

τt Alt(τt Pul)

Hierro fundido laminar grafítico 2) (comparable al tipo mecanita)

σ0,1

GG-10 100 500 200 - - - 88 000 34 000

GG-15 (GF150) 150 90 600 250 40 (60)

70 (110)

60 (90)

95 000 37 000

GG-20 (GE200) 200 130 720 290 50 (70)

90 (145)

75 (110)

105 000 40 000

GG-25 (GD250) 250 165 840 340 60 (85)

120 (190)

100 (145)

115 000 44 000

GG-30 (GB/GC300) 300 195 960 390 75 (110)

140 (220)

120 (175)

125 000 48 000

GG-35 (GA350) 350 228 1080 490 85 (125)

145 (230)

125 (180)

135 000 52 000

Fuente: Roloff & Matek, Maschinenelemente, Vieweg Verlag, Braunschweig 1996 1) Las normas de materiales contienen normalmente sólo valores guía para valores mínimos de σB, σF (σ0,2). Los

valores de resistencia a la fatiga son escasos y presentan a menudo fuerte dispersión. 2) Los módulos E y G dependen de la estructura microcristalina y del tipo y tamaño de la solicitación. Si los espesores

de pared crecen, se reducen la resistencia y dureza de la pieza fundida. Los valores proporcionados son promedio.



Tabla 3.3 (Continuación ...)

Valores de Resistencia σt,c Alt σf Alt τt Alt E GσB σB, σ0,2 σcB σfB

Aleaciones de Cu

G-CuSn12 260 140 - - 50 60 35 90 000 33 000

G-CuZn33Pb 180 70 - - 30 40 25 90 000 33 000

G-CuAl 10Ni 600 270 - - 110 140 85 120 000 45 000

CuZn39Pb3F44 430 250 - - 80 100 60 95 000 35 000

Aleaciones de Al

Al Mg3F25 250 180 - - 80 100 60

AlMgSi1F31 310 260 - - 100 125 80

AlCuMgPbF37 370 250 - - 120 150 90

AlZn4.5Mg1F35 350 290 - - 110 140 85 70 000 27 000

G-AlSi6Cu4 160 100 - - 45 55 35

G-AlSi12 160 70 - - 50 60 40

G-AlSi10Mgwa 220 180 - - 80 100 60

Aleaciones fundidas de Mg

G-MgAl8Zn1 160 90 - - 65 80 50 43 000 16 000

G-MgAl9Zn1ho 240 110 - - 70 90 55

Aleaciones de Ti

TiAl6V4F89 890 820 - - - - - 116 000 43 000

Aceros sinterizados

σ0,1

Sint-C10 (6,6 g/cm3) 230 160 85 100 000

Sint-D10 (6,9 g/cm3) 300 210 120 130 000

Sint-E10 (7,3 g/cm3) 400 290 175 160 000

Sint-F30 (bonificado) 950 800 320 200 000

Termoplásticos

PVC duro 50 - - 95 10 15 - 2 300 900

POM 70 - - 100 20 30 - 2 800 1 000

PA6.6 65 - - 50 30 30 - 2 000 750

Duroplásticos 3)

PF Typ 31 25 - 200 70 10 15 - 7 000 2500

Hgw 2082.5 60 - 150 115 18 25 -

Fuente: Roloff & Matek, Maschinenelemente, Vieweg Verlag, Braunschweig 1996

3) Estos valores son válidos para 20°C. Ellos disminuyen fuertemente para temperaturas crecientes.



3.5 Construcción aproximada del diagrama de Wöhler Para efectos del diseño por resistencia, si no se dispone de datos exactos para el material con que se trabaja, se puede construir un diagrama de Wöhler aproximado. Este diagrama se muestra en la figura 3.17.

log 103 log 106 log N

log σA

log σAlt

log 0,9 σB

σm = 0

Fig. 3.17 Diagrama aproximado de Wöhler para σm = 0.

Recordar que el valor que corresponde a la amplitud límite para obtener vida ilimitada se denomina en este caso límite de fatiga o esfuerzo límite alternante (σAlt). Se debe notar, además, que el diagrama mostrado corresponde a esfuerzos alternantes puros, es decir a una componente estática nula (σm = 0). Si se requiere el diagrama para un esfuerzo con una determinada componente estática no nula (σm ≠ 0), entonces se deberá proceder como lo indica la figura 3.18.

log 103 log 106log N

log σA

log σA( )

log (0,9 σB - σm)

σm = 0

Fig. 3.18 Diagrama aproximado de Wöhler para σm ≠ 0.

El valor que corresponde a la amplitud límite para obtener vida ilimitada se denomina, en este caso, amplitud límite para un valor específico de σm y se denota por σA(∞). Hasta aquí debe resultar claro, entonces, que si disponemos de curvas de Wöhler para un cierto material y para diferentes valores de σm, entonces contamos con cierta información que nos permitirá limitar la amplitud de los esfuerzos de trabajo de un cierto elemento, que es ciertamente lo que estamos buscando. Sin embargo, se pueden presentar los resultados de los diagramas de Wöhler de una mejor manera, en el sentido de hacerlos más fáciles de utilizar. Ello se logra a través del denominado diagrama de Smith.



Ejemplo 3.1 En una máquina de flexión rotativa se ensaya una probeta de fatiga de diámetro φ10 mm. El momento flector en la zona central de la probeta es Mf = 50 000 N-m (constante). Sabiendo que el material es acero Ck 45 (σB = 700 N/mm2), se pide:

a) Decir si la probeta fallará o no por fatiga. b) En caso de falla, estimar el número de revoluciones de la probeta al momento de la

rotura por fatiga.

Solución:

a) Cualquier punto de la periferia de la sección central de la probeta está sometida a flexión alternante:

σA

σAlt

Ν

σm= 0

σ

t

σs=σa

σi=-σa

σm = 0

σs = σa = 296,509)10(

)50000(323233 ==

ππ dM f N/mm2

Como 296,509=aσ N/mm2 > σA = σAlt = 350 N/mm2 ⇒ falla por fatiga

b) En la siguiente figura se muestra la forma que tendría el diagrama aproximado de

Wöhler para una variación alternante pura del esfuerzo ( 0=mσ ). Aquí se han considerado σB = 700 N/mm2 y σAlt = 350 N/mm2.

log σA

log σAlt=2,544

log Ν

log 0,9 σΒ=2,799

log 103 log 106

log N

log σa=2,707

σm= 0

log σA = -0,085 log N + 3,054

Si σa = 509,296 N/mm2 → N ≅ 12 088 ciclos de carga



Ejemplo 3.2 En una máquina de flexión rotatoria se ensaya una probeta de fatiga de diámetro φ10 mm en su parte media. El momento flector en la zona central de la probeta es Mf = 30 000 N-m (constante) y además actúa una fuerza axial de tracción Ft = 4000 N (constante). Sabiendo que el material es acero St 52 (σB = 520 N/mm2) y conociendo además el diagrama de Wöhler mostrado, se pide:

σA [N/mm2]

Ν

σm= 50,93 N/mm2

190A =∞)(σ

a) Decir si la probeta fallará o no por fatiga.

b) En caso de falla, estimar el número de revoluciones de la probeta al momento de la rotura por fatiga.

Solución:

a) Cualquier punto de la periferia de la sección central de la probeta está sometida a un esfuerzo variable que es resultado de la superposición de un esfuerzo alternante (flexión rotatoria) más un esfuerzo constante (tracción) esquematizado según:

σm = 2tt

dF4

AF

π= = 50,93 N/mm2

σa = 58,305)10(

)00030(323233 ==

ππ dM f N/mm2

Como 58,305=aσ N/mm2 > )(∞Aσ = 190 N/mm2 ⇒ falla por fatiga

b) En la siguiente figura se muestra la forma que tendría el diagrama aproximado de Wöhler para el caso de σm = 50,93 N/mm2. Aquí se ha considerado σB = 520 N/mm2.

Si σa = 30

t

σsσa

σa

σi

σ

σm

Pontificia Univers

5,58 N/mm2 → N ≅ 13 653 ciclos de carga

log σA

log Ν

log (0,9 σΒ− σm) = 2,62

log 103 log 106

log N

log σa=2,49

σm= 50,93 N/mm2

log σa = -0,11 log N + 2,94

28,2log )( =∞Aσ

idad Católica del Perú Sección Ingeniería Mecánica – Área de Diseño


3.6 El diagrama de Smith Antes de hablar del diagrama de Smith debemos modificar un poco la información de los diagramas de Wöhler. Para ello construimos, en una misma figura, los denominados diagramas log (σA + σm) vs. log N, los cuales son simplemente los diagramas de Wöhler a los que se le han modificado las ordenadas. Ver figura 3.19.

106N

σS=σm+σA

σm = 0σm1

σm2

σm3

σAlt

Fig. 3.19 Gráficos log (σA + σm) vs. log N para diferentes valores de σm.

El siguiente paso será la construcción misma del diagrama de Smith para una cierta vida finita N para la que se requiere el diagrama. Los pasos están ilustrados en la figura 3.20. Se traza una línea vertical determinada por el valor de N. La intersección de esta línea vertical nos proporciona valores σS = σA + σm, los cuales son llevados a una nueva gráfica (ver a la derecha) en la que se originan puntos (σS = σA + σm , σm). La curva así originada muestra el límite superior del esfuerzo y también la amplitud máxima σA que debería tener el esfuerzo para que, dado un σm, se cuente con una vida de servicio N del elemento que se está diseñando.

106N

σS=σm + σA

σm = 0

σS3

σS2σS1

σSo

σm1

σm2

σm3

N σm3σm2σm1

σS = σm+σA

σm

σB

σB

σAlt

45°

Fig. 3.20 Construcción del diagrama de Smith a partir de los diagramas σS vs. N para una cierta vida finita N.



En particular se puede hacer esta construcción para una vida de servicio infinita. Para ello se deberán tomar los valores de amplitud límites, es decir los valores σAlt, σA(∞)1, σA(∞)2,. σA(∞)3, etc. (ver fig. 3.21). La curva resultante muestra el límite superior del esfuerzo y también la amplitud máxima σA que debería tener el esfuerzo para que, dado un σm, se cuente con una vida de servicio ilimitada o infinita del elemento que se está diseñando. La figura 3.22 muestra lo mismo que la construcción mostrada en la anterior figura.

106 N

σS = σm+σA

σm = 0σAlt

σm1

σm2

σm3

·

σm3σm2σm1

σS = σm+σA

σm

σB

σB

σm3 + σA(∞)3σm2 + σA(∞)2σm1 + σA(∞)1

45°

Fig. 3.21 Construcción del diagrama de Smith para vida infinita.

0,9 σB

σB

σm

σAlt

σm±σA

σF

σm±σA

103

106

σAlt

log N

− σAlt

Carga pulsante pura

Carga alternante pura

σPul

σm

σB

Diagram

a de S

mith

Fig. 3.22 Otra perspectiva de la construcción del diagrama de Smith para vida infinita.



Normalmente los autores presentan también la curva que representa el límite inferior del esfuerzo (σI), por lo que los diagramas de Smith tienen la apariencia que se muestra en la figura 3.23. La punta del diagrama de falla por fatiga (linea de trazos) es modificada por los tramos rectos determinados por el valor del esfuerzo de fluencia, debido a que, como sabemos del cálculo para carga estática, el esfuerzo no debe sobrepasar al valor del esfuerzo de fluencia σF (o σ0,2 según sea el caso).

σm

σB

σB

σS=σm+σA

σAlt

− σAlt

σFσPul

45°

Fig. 3.23 Diagrama de Smith típico. Los diferentes investigadores y autores de libros sobre fatiga proponen diversas maneras de simplificar el diagrama de Smith. Por ejemplo, una muy usual consiste en unir con una linea recta los puntos de la curva correspondientes a los resultados de ensayos alternante puro y pulsante puro respectivamente (puntos (1) y (2)) en la figura 3.24. Se prolonga esta recta hasta intersectar a la recta horizontal que representa a la fluencia del material en el punto (3). Se completa la línea superior de falla con la recta horizontal hasta el punto (4).

σm

σB

σB

σS=σm+σA

σAlt

σFσPul

45°

(1)

(2)

(3)(4)

2Pulσ0

Fig. 3.24 Diagrama de Smith simplificado. En las figuras 3.25 a 3.28 se muestran diagramas de Smith para diferentes materiales. Ellos han sido tomados del libro Maschinenelemente de Roloff & Matek, Vieweg Verlag Berlin, 13. Auflage, 1994.



b) Resistencia a la fatiga para flexión.

a) Resistencia a la fatiga para tracción-compresión.

c) Resistencia a la fatiga para torsión.

σf Pul

σf Alt

τt Alt

τt Alt

σF = 365

σf F

σf Alt

σt,c Alt

σt,c Alt

Fig. 3.25 Diagramas de Smith para aceros de construcción según DIN EN 10025 (DIN 17 100).






σt,c Alt

σt,c Alt

σf Alt

σf Alt

τt Alt

τt Alt

σF

σf F

Fig. 3.26 Diagramas de Smith para aceros bonificables según DIN 17 200.



σt,c Alt

σt,c Alt


τt Alt

τt Alt

σF

σf F


σf Alt

σf Alt


Fig. 3.27 Diagramas de Smith para aceros de cementación según DIN 17 210.




σ0,2

τt Altσt,c Alt

τt Alt

σt,c Alt

a) Resistencia a la fatiga para tracción-compresión. c) Resistencia a la fatiga para

torsión.

σf F

Fig. 3.28 Diagramas de Smith para hierros fundidos nodulares grafíticos según DIN 1693 T1.


σf Alt

σf Alt


Otra manera práctica y muy usual de dibujar un diagrama aproximado de Smith se muestra en la figura 3.29. Para su construcción se necesita tan sólo conocer los valores σB y σAlt del material. Para el valor de σm mostrado, el valor de σA que da el diagrama es el límite de la amplitud del esfuerzo para que un elemento pueda trabajar un número indefinido de ciclos de carga, es decir, es el límite de fatiga. En otras palabras, una probeta de un cierto material en la que ocurre un esfuerzo que varía en el tiempo (esfuerzo que está caracterizado por las componentes del esfuerzo σm y σa) tendrá vida infinita si σa < σA (3.6) donde σA se obtiene del gráfico de Smith como lo muestra la figura 3.29 y tiene un valor que depende a su vez del valor de σm.

σB

σBσm

σAlt

−σAlt

σm

σΑ

σΑ

σm

σm+σA

σΑ

45.0°

σΑ

Fig. 3.29 Diagrama de Smith aproximado. Otro diagrama comúnmente utilizado y que contiene la misma información que el diagrama de Smith es el denominado diagrama de Haigh (Fig. 3.30). En él se muestra sólo la curva superior de falla y el eje de ordenadas muestra directamente el valor de σA.

σA

σA

σB

σm

σAlt

σm

Fig. 3.30 Diagrama de Haigh.



Ejemplo 3.3

Se desea estimar la vida de una probeta sometida a un esfuerzo flector que varía entre un nivel superior igual a 655 N/mm2 y uno inferior igual a –55 N/mm2. La sección que se está analizando tiene un diámetro pequeño y el concentrador de esfuerzos es mínimo. Utilizar los diagramas de Haigh y Wöhler adjuntos.



Solución:

Con 655=sσ N/mm2 y 55−=iσ N/mm2

t

σ

σm

σm

σa

σa

σs

σi

Obtenemos 3002

=+

= ism

σσσ N/mm2

y también 3552

=−

= isa

σσσ N/mm2

Para construir la curva de Wöhler correspondiente a 300=mσ N/mm2 debemos ubicar los puntos de paso (1) y (2), para los cuales las abscisas son (log 103) y (log 106) respectivamente. Ver la construcción en la siguiente página. Punto (1): Tiene ordenada log ( ) ( ) 62,2420log9,0 ==− mB σσ Punto (2): Tiene ordenada ( )∞Aσlog donde ( )∞Aσ es la amplitud límite para lograr vida

infinita en el caso de 300=mσ N/mm2.

El valor de ( )∞Aσ se obtiene del diagrama de Haigh para 300=mσ N/mm2

→ ( ) 250=∞Aσ N/mm2

es decir: ( ) 4,2log =∞Aσ Una vez ubicados los puntos (1) y (2) se traza la recta inclinada correspondiente a vida finita para 300=mσ N/mm2. Finalmente y utilizando la recta trazada se ubica el punto correspondiente a

( ) 55,2355loglog ==aσ para el cual la abscisa es: 95,3log =N finalmente: N ≅ 8913 ciclos de carga





3.7 Características de gráficos y tablas Como habrá observado el lector, hasta ahora ya hemos podido definir los límites del material que nos permitirían diseñar un elemento que esté sometido a cargas variables y que a su vez originen en la pieza esfuerzos variables. Nos referimos obviamente al valor de σA. Sin embargo ahora debemos decir que en realidad los elementos que diseñemos a la fatiga tienen en la realidad características geométricas (forma, tamaño, cambios de sección), de fabricación y de operación completamente diferentes a las que tienen las probetas con las que hemos hasta ahora diseñado el camino de solución en el problema de cálculo por fatiga. Tenemos pues, en este punto, que adaptar los valores hasta ahora obtenidos mediante probetas, a las características reales que tienen los diversos elementos de máquinas. Los gráficos y tablas presentados hasta ahora representan resultados de laboratorio (flexión rotatoria, por ejemplo) obtenidos con probetas normalizadas mediante ensayos que tienen las siguientes características:

• diámetro constante (sin cambio de sección en la zona de rotura): ≈ φ 10 mm • superficie pulida longitudinalmente • temperatura ambiente 20°C • probabilidad de falla con confiabilidad R = 50% • tipo de carga: flexión

Luego, lo natural sería preguntarse ahora, cómo influyen en la resistencia a la fatiga condiciones distintas a las enunciadas líneas arriba, puesto que los elementos de máquinas no tienen porqué tener necesariamente esas características. Para responder a la interrogante planteada será necesario realizar ensayos de laboratorio variando a su turno una de las condiciones y manteniendo las demás inalterables y entonces determinar la nueva resistencia a la fatiga. De esta serie de ensayos se llega a una serie de conclusiones que se describen a continuación.

a) Influencia del acabado superficial en la resistencia a la fatiga Un acabado superficial distinto al pulido longitudinal presenta crestas y valles originados por la herramienta cortante durante el proceso de mecanizado. Estas crestas y valles pueden dar origen a la aparición de microgrietas que se comportan como puntos de concentración de esfuerzos (ver capítulo 2). Mientras más rugosa sea la superficie la resistencia a la fatiga será menor. Esta influencia se cuantifica con el denominado coeficiente de superficie o factor superficial (cs), que se define:

A

Asc

σσ ′

= (3.7)

donde Aσ ′ es la resistencia a la fatiga del elemento con acabado superficial cualquiera σA es la resistencia de la probeta pulida axialmente ( Aσ ′ < σA)

En la figura 3.31 se observa la relación entre el coeficiente superficial, el acabado superficial (representado por la profundidad de rugosidad Rt) y la resistencia máxima a la tracción (σB).



En la figura 3.32 se muestran valores típicos de profundidad promedio de la rugosidad (Rz) para diversos procesos de fabricación. Conviene aquí recordar del anterior curso de Dibujo Mecánico 1 algunas relaciones entre parámetros de rugosidad:

Valor medio de la rugosidad: Ra (donde R15,11,0 zR≅ z ≅ Rt)

cs

Fig. 3.31 Coeficiente de superficie cs.

Fundición en molde de arena Fundición por presión

Forjado Torneado

Refrentado Cepillado

Mortajado Rasqueteado

Taladrado Escariado

Fresado Brochado

Rectificado longitudinal Rectificado transversal

Pulido Bruñido longitudinal

Lapeado Oxicorte

Fig. 3.32 Profundidad promedio de la rugosidad Rz.



b) Influencia del tamaño Se observa que la resistencia a la fatiga disminuye a mayor tamaño de la sección transversal. Una de las hipótesis que tratan de explicar esta influencia establece que a mayor tamaño de la sección la probabilidad de encontrar puntos con esfuerzo relativamente elevado es mayor y por lo tanto es más probable la falla por fatiga. Esta hipótesis pierde vigencia al encontrarse en los ensayos para carga axial pura que el tamaño no tiene influencia; pero sí en flexión y en torsión. Hay otra hipótesis que plantea que la influencia de tamaño está relacionada con la distribución en gradiente de los esfuerzos por flexión o por torsión y el tamaño de la zona esforzada. La influencia del tamaño se cuantifica a través del coeficiente o factor de tamaño (ct), el cual se define como:

ct =A

A

σσ ′

(3.8)

donde Aσ ′ es la resistencia a la fatiga del elemento con diámetro mayor que el de la

probeta σA es la resistencia de la probeta de diámetro pequeño ( Aσ ′ < Aσ ) En la figura 3.33 se puede observar la relación entre el factor de tamaño y el diámetro del elemento estudiado.

Flexión o torsión

Tracción – compresión: ct = 1

ct

Fig. 3.33 Coeficiente de tamaño ct. Para elementos que no tengan sección circular se puede utilizar el gráfico mencionado con la dimensión que tiene la sección en el plano en el que se produce la flexión. Notar que en el caso de esfuerzos axiales ct = 1.



c) Influencia de la temperatura Se define el coeficiente de temperatura como:

ctemp=A

A

σσ ′

(3.9)

donde: σA' es la resistencia a la fatiga del elemento trabajando a temperaturas superiores a 250°C

σA es la resistencia de la probeta a 20°C ( Aσ ′ < Aσ )

Tabla 3.4 Factor de temperatura ctemp

T (°C) ctemp

20 1,000 50 1,010 100 1,020 150 1,025 200 1,020 250 1,000 300 0,975 350 0,927 400 0,922 450 0,840 500 0,766 550 0,670 600 0,546

[Ref.: Joseph Shigley & Larry Mitchell: Diseño en Ingeniería Mecánica]

Entre los 20°C y 200°C se observa un ligero aumento en la resistencia y a partir de 250°C la resistencia va disminuyendo. Para el cálculo por fatiga se emplea el coeficiente de temperatura, asumiendo que es igual a la unidad (ctemp = 1) hasta los 250°C.

d) Influencia del tipo de carga Puesto que los valores que se han presentado hasta ahora se refieren mayormente a ensayos de flexión rotatoria, cuando se calcule elementos que no están sometidos predominantemente a flexión habrá que considerar este aspecto a través de un factor de corrección, el cual en este caso se denomina factor de carga (ccarg). Ver tabla 3.5.

Se define ccarg = A

A

σσ ′

(3.10)

donde Aσ ′ es la resistencia a la fatiga aproximada para el tipo de carga actuante (flexión, torsión o axial) sobre el elemento

σA es la resistencia a la fatiga a la flexión ( Aσ ′ < Aσ )



Tabla 3.5 Factor de carga ccarg

Tipo de carga ccarg

Flexión 1,0 Axial 0,85

Torsión 1,00 [Ref.: Ch. Lipson & R. Juvinall: Handbook of Stress and Strength]

Se debe tener en cuenta que al aplicar estos factores se están empleando valores promedio, por lo tanto, si en un caso particular se conocen los valores de resistencia del material para los distintos tipos de carga sería mucho mejor determinarlos antes que emplear los de la tabla.

e) Confiabilidad estadística Antes de proceder al cálculo hay que tener en cuenta si la información de los valores de resistencia con que se va a trabajar son valores medios o los denominados "mínimos encontrados en el ensayo de laboratorio". Si se trata de valores medios quiere decir que habría una confiabilidad del 50% de que la resistencia del material adquirido tenga una resistencia más baja. Por lo tanto conviene aumentar la confiabilidad del trabajo con valores menores al valor medio, empleando el denominado coeficiente de confiabilidad (cc).

Se define: cc = A

A

σσ ′

(3.11)

donde Aσ ′ es la resistencia con confiabilidad mayor que 50 % σA es la resistencia con confiabilidad de 50 % ( Aσ ′ < Aσ )

Tabla 3.6 Factor de confiabilidad cc

Confiabilidad R cc

0,50 1,000 0,90 0,897 0,95 0,868 0,99 0,814 0,999 0,753 0,999 9 0,702 0,999 99 0,659 0,999 999 0,620 0,999 999 9 0,584 0,999 999 99 0,551 0,999 999 999 0,520

[Ref.: Joseph Shigley & Larry Mitchell: Diseño en Ingeniería Mecánica



f) Influencia de la concentración de esfuerzos Sabemos del capítulo anterior que la presencia de discontinuidades (cambios de sección) en la geometría de un elemento ocasionará concentración de esfuerzos. Si por añadidura los esfuerzos en el elemento son variables en el tiempo, entonces empezará a caminar el mecanismo de falla por fatiga. Es de esperar entonces, que si hacemos ensayos con probetas entalladas (cambios de diámetro, canales chaveteros, agujeros transversales, canales circunferenciales, etc.) obtendremos valores de amplitud límite menores que los encontrados en probetas sin entallar (ver figura 3.34). Se define el factor efectivo de concentración de esfuerzos como:

A

AK σ

σβ

′= (3.12)

donde σA es la amplitud límite del esfuerzo para probetas sin entalla Aσ ′ es la amplitud límite del esfuerzo para probetas con entalla ( Aσ ′ < Aσ )

Fig. 3.34 Curva de Wöhler para resistencia a la fatiga a tracción-compresión alternativa de probetas con entalla (según Wellinger/Dietmann). Probeta sin entalla: βK = 1.

Recordar del capítulo 2 que el factor efectivo de concentración de esfuerzos (βK) ha sido también definido a través del factor geométrico de concentración de esfuerzos (αK) y del factor de sensibilidad a la entalla (η): βK = 1 + η (αK - 1) donde η = η (r, σB, σF) (3.13) A continuación se presentan tablas y gráficos para la determinación del factor βK para algunos casos de especial interés en el diseño de elementos de máquinas.



Tabla 3.7 Factores efectivos de concentración de esfuerzos βK para rebajes en ejes. [Ref.: Roloff/Matek, Maschinenelemente, Vieweg Verlag, Braunschweig, 1996]

Flexión:

βK = 1 + c1 (βK(2,0) - 1) con: c1 factor de corrección βK(2,0) factor de concentración de esfuerzos

para D/d = 2,0

Torsión:

βK = 1 + c2 (βK(1,4) - 1) con: c2 factor de corrección βK(1,4) factor de concentración de esfuerzos

para D/d = 1,4

Válido para Válido para

σβK(2,0

)

βK(1,4

) σ

c1 c2



Tabla 3.8 Factores efectivos de concentración de esfuerzos βK para uniones eje-cubo. [Ref.: Roloff/Matek, Maschinenelemente, Vieweg Verlag]

σB [N/mm2]

βK

torsión

flexión

D = 40 mm; H8 / u8

βK

torsión

flexión

σB [N/mm2]

r / D ≥ 0,06

D = 40 mm; H8 / u8

βK

σB 2

torsión

flexión

D = 40 mm; H8 / u8

D = 40 mm; H8 / u8

σB [N/mm2]

torsión

flexión

βK

r / D = 0,5



Tabla 3.8 (continuación …)

Lugar peligroso

σB [N/mm2]

βK

flexión

torsión

Formas de canal N1 y N3 según DIN 6885 T1

βK

torsión

flexión

σB [N/mm2]

r Lugar peligroso

Forma de canal N2 según DIN 6885 T1

βK

σB [N/mm2]

torsión

flexión

Según DIN 5471 DIN 5472 DIN 5480

βK

tracción

torsión

flexión

σB [N/mm2] d / D ≈ 0,15 … 0,3



Tabla 3.9 Factores efectivos de concentración de esfuerzos para diferentes tipos de ranuras y canales en ejes para aceros de construcción St 37 a St 60.

[Ref.: Tochtermann/Bodenstein, Konstruktionselemente de Maschinenbaues, Band 2, Springer Verlag]

Tipo del concentrador de esfuerzos

Factor efectivo de concentración de esfuerzos βK

Para flexión βK Para torsión βK

Canal redondeado

1,5 ... 2 1,3 ... 1,8

Canal rectangular para anillos de seguridad (tipo Seeger)

2,5 ... 3,5 2,5 ... 3,5

Cambio de sección con redondeo (valores más exactos ver Capítulo 2)

≈ 1,5

para ρ/d = 0,1 y d/D = 0,7

≈ 1,25 para ρ/d = 0,1 y d/D = 0,7

Agujero transversal

1,4 ... 1,8 para d/D = 0,7

1,4 ... 1,8

para d/D = 0,7

Canal chavetero (fabricado con fresa de dedo)

1,6 ...2 1,3

Canal chavetero (fabricado con fresa de disco)

1,3 ... 1,5 1,3 ... 1,5

Unión mediante apriete de interferencia (zunchado)

1,7 ... 1,9 1,3 ... 1,4

Unión mediante chaveta

2 ... 2,4 1,5 ... 1,6



Después de haber analizado los factores que afectan al límite a la fatiga podemos decir que el límite real a la fatiga para un cierto elemento de máquinas diferente de la probeta se puede expresar como:

′ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟σ

βσA

s t temp c c

KA

c c c c carg (3.14)

Dada la naturaleza de las definiciones para los diferentes coeficientes se puede afirmar ahora que el límite a la fatiga ha disminuido. En la figura 3.35 se puede ver cómo la recta superior de falla del diagrama de Smith ha descendido y consecuentemente hay un valor modificado (disminuido) para el esfuerzo alternante:

σB

σBσm

σ'Alt

−σ'Alt

σm

σ'Α

σm

σ'Α

σ'Α

σm+σA

σAlt

45.0°

′ =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟σ

βσAlt

s t temp c c

KAlt

c c c c carg (3.15)

Fig. 3.35 Curvas superior e inferior de falla del diagrama de Smith modificadas (“disminuidas”) por los coeficientes que afectan al límite de fatiga.

Por consiguiente, diremos que un cierto elemento de máquinas para el cual el análisis de un punto crítico ha determinado las componentes de esfuerzo σm y σa, no fallará por fatiga si se cumple que: σa < ′σ A (3.16) donde ′σ A es el límite a la fatiga para el elemento de máquina y depende del valor de σm. El diagrama de Haigh muestra también de manera sencilla el valor de ′σ A (ver Fig. 3.36). Esto se puede ver de otra manera: la expresión (3.16) puede ser reemplazada por:

σa < c c c c cs t temp c c

KA

arg

βσ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ (3.17)



Fig. 3.36 Curva superior de falla del diagrama de Haigh modificada (“disminuida”) por los coeficientes que afectan al límite de fatiga.

σ'A

σA

σB

σm

σAlt

σm

σ'Alt

De la expresión 3.17, acomodando los diversos factores que afectan a la fatiga:

β

σK

s t temp c cac c c c carg

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ < σA (3.18)

Si denominamos a ′ =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟σ

βσa

K

s t temp c cac c c c carg como la amplitud del esfuerzo de trabajo

“aumentada”, entonces la condición de no falla para fatiga expresada por la relación 3.16 se puede expresar también como:

′σ a < σA (3.19) Es decir, las expresiones (3.16) y (3.19) son equivalentes. 3.8 Factor de seguridad a la fatiga Ahora debemos hacernos una pregunta similar a la que nos planteamos en el primer capítulo, capítulo en el cual estudiamos la falla por resistencia ocasionada por la acción de cargas estáticas: ¿Cuánto falta para la falla por fatiga? Obviamente esta pregunta deberá ser contestada echando mano a cualquiera de las expresiones (3.16) o (3.19) para comparar ya sea σa con ′σ A ó ′σ a con σA. Sin embargo, una comparación directa de esas variables implicaría aceptar de antemano, que en una posible sobrecarga sobre el elemento que estamos calculando, sólo crecería la componente alternante mientras que la componente media permanece constante. Es evidente que esto no será siempre cierto, excepto en algún caso particular. En general el tipo de sobrecarga, incluyendo la posibilidad de que el sistema no sea susceptible a sobrecarga, dependerá de cómo se originan las cargas sobre el elemento a diseñar. Y ello dependerá a su vez de cómo repercutiría en dicho elemento una sobrecarga en el sistema.



Resulta claro imaginarse, que cuando el sistema es complejo, el efecto de una sobrecarga sobre él se manifestará en forma igualmente compleja, de tal manera que la mejor manera de saber cómo crecen en realidad las componentes del esfuerzo será construyendo la respectiva curva de sobrecarga. Las figuras 3.37 y 3.38 muestran la curva de sobrecarga graficada tanto en diagramas de Smith como en diagramas de Haigh.

σB

σBσm

σÁlt

− σAlt

σm

σm+σA

σ´Α

45.0°

curva desobrecarga

σa

Fig. 3.37 Curva de sobrecarga mostrada en diagramas de resistencia a la fatiga en los cuales el esfuerzo en la pieza ha sido “aumentado”: a) según Smith y b) según Haigh.

σB

σBσm

σAlt

−σAlt

σm

σm+σA

σΑ

45.0°

curva desobrecarga

σá

(a)

σBσm

σAlt

σm

σA

σΑ

curva desobrecarga

σá

(b)

σBσm

σm

σA

σ´Α

curva desobrecarga

σa

σÁlt

(b) (a)

Fig. 3.38 Curva de sobrecarga mostrada en diagramas de resistencia a la fatiga en los cuales la resistencia del material ha sido “disminuida”: a) según Smith y b) según Haigh.



El factor de seguridad quedará definido, según sea el caso, como:

a

AFSσσ

′= (3.30)

ó también: a

AFSσσ ′

= (3.31)

En la práctica no resulta muy sencillo construir la curva de sobrecarga y mas bien se opta por asumir que las componentes del esfuerzo aumentan en forma proporcional. Si estamos comparando el esfuerzo de trabajo (aumentado) con el límite de fatiga (sin disminuir), la línea de sobrecarga se construye de manera sencilla pues debe partir del origen de coordenadas y pasar por el punto que representa las componentes del esfuerzo de trabajo del material (σm y ′σ a ). La línea de sobrecarga así construida se muestra en la figura 3.39.

σB

σBσm

σAlt

−σAlt

σm

σm+σA

σΑ

45.0°

línea desobrecarga

σá

σBσm

σAlt

σm

σA

σΑ

línea desobrecarga

σá

(a) (b)

Fig. 3.39 Curva de sobrecarga mostrada en diagramas de resistencia a la fatiga para el caso de crecimiento proporcional de las componentes σá y σm del esfuerzo: a) según Smith y b) según Haigh.

Si medimos el valor de σA determinado por la intersección de la línea de sobrecarga con la línea de falla por fatiga, entonces, según (3.30) el factor de seguridad a la fatiga será:

a

AFSσσ

′= (3.32)

A continuación se mostrará que a partir de la expresión 3.32 se puede deducir una expresión analítica para el cálculo del factor de seguridad a la fatiga. Para ello utilizaremos el gráfico de Haigh (fig. 3.39b).

La ecuación de la recta de falla será: mB

AltAltA σ

σσ

σσ −=−



es decir: → mB

AltAltA σ

σσ

σσ −= (i)

Ecuación de la recta de sobrecarga: mA m σσ = (ii) donde m es su pendiente. La intersección de dichas rectas determina el valor de la ordenada Aσ . Igualando las expresiones (i) y (ii):

mmB

AltAlt mσσ

σσ

σ =−

→ mB

AltAlt m σ

σσ

σ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

despejando: m

B

Alt

Altm

+=

σσ

σσ

Reemplazando en (ii): m

m

B

Alt

AltA

+=

σσ

σσ

y como la pendiente de la recta de sobrecarga es: m

amσσ ′

=

entonces

m

a

B

Alt

Alt

m

aA

σσ

σσ

σσσ

σ ′+

⋅′

=

Ahora, de acuerdo a la expresión (3.32) para factor de seguridad:

a

AFSσσ

′= →

a

m

a

B

Alt

a

FSσ

σσ

σσ

σ

′

′+

′

=

De donde simplificando se obtiene finalmente:

→ B

m

Alt

a

FS σσ

σσ

+′

=1 (3.33)



En forma análoga, si estamos comparando el esfuerzo de trabajo con el límite de resistencia a la fatiga “disminuido”, la línea de sobrecarga debe partir del origen de coordenadas y pasar por el punto que representa los esfuerzos de trabajo del material (σm y σa). La línea de sobrecarga así construida se muestra en la figura 3.40.

σB

σBσm

σÁlt

−σAlt

σm

σm+σA

σ´Α

45.0°

σa

línea desobrecarga

σBσm

σm

σA

σ´Α

línea desobrecarga

σa

σÁlt

(a) (b)

Fig. 3.40 Curva de sobrecarga mostrada en diagramas de resistencia a la fatiga para el caso de crecimiento proporcional de las componentes σá y σm del esfuerzo: a) según Smith y b) según Haigh.

Si medimos el valor de σA determinado por la intersección de la línea de sobrecarga con la línea de falla por fatiga, entonces, según (3.31), el factor de seguridad a la fatiga será:

a

AFSσσ ′

= (3.34)

Se puede mostrar a partir de la expresión 3.34 que una expresión analítica para el cálculo del factor de seguridad a la fatiga será en este caso:

1

FSa

Alt

m

B=

′+

σσ

σσ

(3.35)

Si se dispone de diagramas de resistencia a la fatiga (de Smith) como los mostrados en las páginas 3-17 a 3-20 (Figs. 3.25 a 3.28) también es posible, dado que ellos son proporcionados a escala, localizar en ellos el punto que representa a las componentes del esfuerzo (σm , σm+σa) y trazar entonces la línea de sobrecarga a partir del origen de coordenadas. Una vez ubicado el punto en que ella corta a la curva superior de falla, se puede medir en el diagrama la magnitud de σA (ver Fig. 3.39a), y entonces aplicar la expresión 3.30 para determinar el factor de seguridad.



Si no se dispone de diagramas de resistencia a la fatiga a escala, entonces se pueden dibujar a escala los diagramas aproximados (Figs. 3.24 y 3.29) y luego se procede a la determinación gráfica de σA (ó σÁ) para luego, mediante alguna de las expresiones (3.30 ó 3.31), calcular el factor de seguridad.

Pues bien, hasta ahora aparece como una solución práctica el asumir que la curva de sobrecarga es una recta y que las componentes de esfuerzo σm y σa crecen en forma proporcional ante una eventual sobrecarga. Mas si en algún cálculo en particular resulta evidente que ante una eventual sobrecarga no crecen ambas componentes del esfuerzo, sino sólo una de ellas, entonces valdrá la pena trazar la recta de sobrecarga correspondiente para definir más adecuadamente los valores de σA ó ′σ A , según sea el caso. A continuación analizaremos estos casos.

• Si sólo crece σa

En este caso la línea de sobrecarga será una recta vertical pues σm permanece invariable. El procedimiento que sigue luego para determinar el factor de seguridad será el mismo que se definió para el caso general de sobrecarga. La figura 3.41 muestra los diagramas de resistencia a la fatiga con la recta de sobrecarga. El factor de seguridad a la fatiga está dado por:

a

AFSσσ ′

= (3.36)

σB

σBσm

σAlt

−σAlt

σm

σm+σA

σΑ

45.0°

línea desobrecarga

σá

Fig. 3.41 Línea de sobrecarga mostrada en diagramas de resistencia a la fatiga para el caso de sobrecarga en que sólo crece la componente σá del esfuerzo: a) según Smith y b) según Haigh.

Al igual que en los casos ya comentados, el valor de Aσ se puede tomar de un diagrama de resistencia a la fatiga a escala o de uno construido en forma aproximada. Utilizando los valores característicos del diagrama de Haigh (fig. 3.41b), se puede mostrar que a partir de la expresión 3.36 se deduce la siguiente expresión analítica para el factor de seguridad:

FS Alt

a

m

B=

′−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

σσ

σσ

1 (3.37)

σBσm

σAlt

σm

σA

σΑ

línea desobrecarga

σá

(a) (b)



De manera análoga se puede analizar el caso comparando aσ ′ con σA. En este caso la línea de sobrecarga se verá como lo muestran las figuras 3.42a y 3.42b.

σB

σBσm

σÁlt

−σAlt

σm

σm+σA

σ´Α

45.0°

σa

línea desobrecarga

(a)

σBσm

σm

σA

σ´Α

línea desobrecarga

σa

σÁlt

(b)

Fig. 3.42 Línea de sobrecarga mostrada en diagramas de resistencia a la fatiga para el caso de sobrecarga en que sólo crece la componente σa del esfuerzo: a) según Smith y b) según Haigh.

En este caso la expresión analítica correspondiente será:

FS Alt

a

m

B=

′−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

σσ

σσ

1 (3.38)

• Si sólo crece σm Se puede analizar el caso comparando σ a con ′σ A . Entonces, en el diagrama de Smith (Fig. 3.43a), la recta de sobrecarga será una recta de pendiente 45° pues σa permanece invariable. En el diagrama de Haigh la línea de sobrecarga será una recta horizontal (Fig. 3.43b). El procedimiento para determinar el factor de seguridad será el mismo que se definió para el caso general de sobrecarga. El factor de seguridad a la fatiga está dado por:

m

MFSσσ

= (3.39)

Una expresión analítica que nos permita calcular el factor de seguridad será:

FS B

m

a

Alt= −

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

σσ

σσ

1 (3.40)



σB

σBσm

σÁlt

−σ'Alt

σm

σm+σA

45.0°

σa

línea desobrecarga

σM

σBσmσm

σA

línea desobrecarga

σa

σÁlt

σM

(b)

(a)

Fig. 3.43 Línea de sobrecarga mostrada en diagramas de resistencia a la fatiga para el caso de sobrecarga en que sólo crece la componente σm del esfuerzo: a) según Smith y b) según Haigh.

De manera análoga se puede analizar el caso comparando ′σ a con σ A . Las líneas de sobrecarga se verán como muestran las figuras 3.44a y 3.44b. El procedimiento para determinar el factor de seguridad será también aquí el mismo que se definió para el caso general de sobrecarga. Así, el factor de seguridad a la fatiga está dado por:

m

MFSσσ

= (3.41)

σBσm

σAlt

σm

σA

línea desobrecarga

σá

σΜ

σB

σBσm

σAlt

−σAlt

σm

σm+σA

45.0°

línea desobrecarga

σá

σΜ

(a)

(b)

Fig. 3.44 Línea de sobrecarga mostrada en diagramas de resistencia a la fatiga para el caso de sobrecarga en que sólo crece la componente σm del esfuerzo: a) según Smith y b) según Haigh.



Una expresión analítica que nos permite calcular el factor de seguridad será:

FS B

m

a

Alt= −

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

σσ

σσ

1 (3.42)

Puede darse un último caso: el sistema al que pertenece la pieza a calcular no es susceptible a sobrecarga. En este caso lo que haremos será establecer un margen de seguridad a través de desplazar la línea de falla paralelamente a sí misma en una cantidad determinada justamente por lo que sería el factor de seguridad (ver figs. 3.45a y 3.45b).

σBσm

σm

σA

σa

σÁlt

σB/FS

σÁlt/FS

σBσm

σAlt

σm

σA

σá

σB/FS

σAlt/FS

(b) (a)

Fig. 3.45 Línea de sobrecarga mostrada en diagramas de resistencia a la fatiga para el caso en que el sistema no es susceptible a sobrecarga: a) según Smith y b) según Haigh.

En este caso se puede demostrar que para la fig. 3.45a el factor de seguridad estará dado por:

B

m

Alt

a

FS σσ

σσ

+′

=1 (3.43)

mientras que, de manera análoga, el factor de seguridad para la fig. 3.41b será:

1

FSa

Alt

m

B=

′+

σσ

σσ

(3.44)

Notar que en ambos casos las expresiones son idénticas a las mostradas por las expresiones 3.33 y 3.35, las cuales se referían al caso de sobrecarga con crecimiento proporcional de las dos componentes del esfuerzo.



Ejemplo 3.4 Para el resorte plano (placa) de acero St 70 (σB = 700 N/mm2) del dispositivo alimentador de bolas mostrado en la figura, se pide calcular sus dimensiones transversales (sección rectangular con relación b/t = 8) para un factor de seguridad de 2,5. Despreciar los efectos de las cargas cortantes. El espesor t debe ser un número entero en mm. Considerar además: Temperatura de trabajo: 20°C Rugosidad superficial: Rt = 200 µm Confiabilidad del 50% L = 200mm Solución: Sabemos que para el caso de elemento empotrado en un extremo y carga F aplicada en el extremo libre, se cumple: F

LE, I y

yLEIF

EIFLy 3

3 33

=→= En nuestro caso: N/mm5101,2 ⋅=E 2

( ) 433

328

121

121 tttbtI === [mm4]

mm 200=L El momento flector máximo se presenta en la sección del empotramiento: Mf = F L

El esfuerzo máximo debido a flexión en dicha sección será: ItM f

f

2=σ

Entonces: ytL

ytEI

tyLLEI

ItFL

f 875,72

3232

2

3====σ [N/mm2]



para mm → 8=maxy tyt maxsf 63875,7 ==σ [N/mm2] para mm → 3=miny tyt minif 63,23875,7 ==σ [N/mm2]

De aquí: tifsfmf 32,43)(21

=+= σσσ

tifsfaf 69,19)(21

=−= σσσ

Determinación de los factores que afectan la resistencia a la fatiga: • Con mRt µ200= → 65,0=sc • Para mm → 010<t ,1=tc (habrá que verificarlo!) • Para CT °= 20 → 0,1=tempc • Para flexión → 0,1arg =cc • Para %50=R → 0,1=cc • No hay cambio de sección ( 1=tK ) → ( ) 111 =−+= tKηβ La amplitud del esfuerzo (“aumentada” por los factores) será:

tccccc fa

cctemptsfa 29,30

arg

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=′ σβσ [N/mm2]

El factor de seguridad a la fatiga está dado por:

Alt

af

B

mfFS

σσ

σσ ′

+=

1

donde 5,2=FS 700=Bσ N/mm2

370=Altσ N/mm2

Reemplazando y despejando: 78,2=t mm → 3=t mm (< 10 mm OK) tc→ Finalmente chequeamos la fluencia:

eq

FFSσσ

= donde ( ) 18936363 ==== tsfeq σσ N/mm2

⇒ 38,2189450

==FS (OK!)



3.9 Caso de cargas combinadas Finalmente debemos tocar el caso en que actúan, como es usual en elementos de máquinas, varios tipos de carga a la vez, los cuales ocasionan simultáneamente esfuerzos variables debidos a tracción-compresión, flexión y/o torsión.

Supongamos que cada uno de estos esfuerzos varía entre un valor máximo y uno mínimo:

• Esfuerzo debido a tracción-compresión: varía entre σn i y σn s

⇒ σn m = σ σn s n i+

2 (3.45)

σn a = σ σn s n i−

2 ⇒ σ’n a = β

c c c c cs t temp c cargσn a (3.46)

• Esfuerzo debido a flexión: varía entre σf i y σf s

⇒ σf m = σ σf s f i+

2 (3.47)

σf a = σ σf s f i−

2 ⇒ σ’f a = β

c c c c cs t temp c cargσf a (3.48)

• Esfuerzo debido a torsión: varía entre τf i y τf s

⇒ τf m = τ τf s f i+

2 (3.49)

τf a = σ σf s f i−

2 ⇒ τ’f a = β

c c c c cs t temp c cargτ f a (3.50)

Aplicando una teoría de falla apropiada obtendremos: σ’a eq = f (σ’na , σ’f a , τ’f a) y del mismo modo: σm eq = f (σn m , σf m , τf m)

Por ejemplo, si estamos analizando una determinada sección de un árbol de transmisión, la cual en general está sometida a carga normal, momento flector y momento torsor, entonces aplicaremos la teoría de von Mises para definir las componentes de esfuerzo equivalentes: σ’a eq = ( )′ + ′ + ′σ σ τn a f a t a

2 23 y σm eq = 22 3)( mtmfmn τσσ ++ Una vez obtenidas las componentes del esfuerzo equivalente σ’a eq y σm eq se puede graficar el punto (σm eq , σm eq + σ’a eq) en el diagrama de Smith (ver Fig. 3.46) para luego trazar una recta de sobrecarga apropiada y entonces determinar el valor de la amplitud límite σA.



El factor de seguridad a la fatiga estará dado por: FS = σ

σA

a eq′ (3.51)

σB

σBσm eq

σAlt

−σAlt

σm

σm+σA

σΑ

45.0°

línea desobrecarga

σá eq

Fig. 3.46 Línea de sobrecarga en el diagrama de Smith para el caso de cargas combinadas.

Con las componentes del esfuerzo equivalente σ’a eq y σm eq también se puede graficar el punto (σm eq , σ’a eq) en el diagrama de Haigh (ver Fig. 3.47), en el cual se puede luego trazar una recta de sobrecarga apropiada y entonces se determina el valor de la amplitud límite σA. El factor de seguridad a la fatiga estará dado en este caso también por la expresión 3.51.

σBσm eq

σAlt

σm

σA

σΑ

línea desobrecarga

σá eq

Fig. 3.47 Línea de sobrecarga en el diagrama de Haigh para el caso de cargas combinadas.

Normalmente una sobrecarga repercute de manera compleja en cada una de las componentes del esfuerzo, de tal manera que, en general, la línea de sobrecarga será una curva. Esta curva se puede construir tal como se explicó mediante las figuras 3.37b y 3.38b, lo cual es normalmente complicado. Para efectos prácticos bastará asumir que la línea de sobrecarga es una recta que parte del origen de coordenadas, tal como se mostró en las figuras 3.46 y 3.47. Del mismo modo como se hizo para el caso en que actúa un sólo tipo de carga, para el caso de carga combinada se puede utilizar una expresión analítica equivalente a la expresión 3.51, la cual será (ver 3.33):



1

FSa eq

Alt

m eq

B=

′+

σσ

σσ

(3.52)

Finalmente se debe realizar el chequeo de la fluencia, para lo cual habrá que utilizar la expresión:

FS = σσ

Lim

s eq donde σs eq = f (σn s , σf s , τf s) (3.53)

Ejemplo 3.5: En la figura se muestra un árbol de transmisión de potencia de acero St 50

con las cargas (fuerzas y momentos) actuantes y los correspondientes diagramas de momentos flectores y torsores. Se sabe además:

• Acabado superficial del árbol: torneado fino (Rt = 10 µm). • Temperatura de trabajo: 30°C. • Confiabilidad: 50%. • Considerar que el momento torsor varía en forma pulsante pura (como se verá más

adelante en el curso de Elementos de Máquinas 2, esta consideración es usual en el diseño de árboles de transmisión).

Calcular el factor de seguridad (a la fatiga y a la fluencia) de las secciones A, B y C.



Análisis de la Sección A • Momento flector: N-mm 00070=fM

rGeometría: D = 25 mm

dD d = 20 mm r = 2 mm

• Esfuerzos: puesto que el árbol gira, entonces el esfuerzo de flexión es alternante puro:

t

fσ

sfσ

ifσ0

=fmσ 0 fsfa σσ =

Es decir: 13,8932

3 ===dM f

fsfa πσσ N/mm2

0=fmσ

• Factores que afectan la resistencia a la fatiga: i) Coeficiente de superficie: con mRt µ10= y 500=Bσ N/mm2, obtenemos de

gráfico . 94,0=tc

ii) Coeficiente de tamaño: con d = 20 mm y para flexión obtenemos 84,0=tc

iii) Coeficiente de temperatura: de tabla 3.4 y con T = 30°C, obtenemos 0,1=tempc

iv) Coeficiente de carga: de tabla 3.5 y sabiendo que el esfuerzo es de flexión obtenemos 0.1arg =cc

v) Coeficiente de confiabilidad: tabla 3.6 y sabiendo que la confiabilidad requerida es del 50% obtenemos 0,1=cc

vi) Factor de concentración de esfuerzos:

Con D/d = 1,25 y r/d = 0,1 obtenemos del gráfico de la figura 2.19 el factor geométrico de concentración de esfuerzos: 67,1=tK .

El factor de sensibilidad al entalle η es: 3

181

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

B

F

r σσ

η

con: r = 2 mm (radio del redondeo) 320=Fσ N/mm2 (esfuerzo de fluencia) 500=Bσ N/mm2 (esfuerzo máximo de tracción) 843,0=⇒ η



El factor efectivo de concentración de esfuerzos será: )1(1 −+= tKηβ es decir: 56,1=β

• Factor de seguridad a la fatiga: Alt

fa

B

fm

FS σ

σ

σ

σ ′+=

1

Debemos calcular la componente alternante “aumentada” del esfuerzo:

facctempts

fa cccccσ

βσ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=′

arg

como 13,89=faσ N/mm2 → 9,174=′faσ N/mm2

además: 0=fmσ (componente estática del esfuerzo) 500=Bσ N/mm2 (esfuerzo máximo de tracción) 250=Altσ N/mm2 (esfuerzo alternante del material) Reemplazando valores: FS = 1,43

• Factor de seguridad a la fluencia: fs

FFSσσ

=

donde 320=Fσ N/mm2 (esfuerzo de fluencia) 13,89=fsσ N/mm2 (esfuerzo de flexión superior) Reemplazando: FS = 3,59 Análisis de la Sección B • Momento flector: Mf = 140000 N-mm momento torsor: Mt = 105000 N-mm

Geometría:

d d = 25 mm

• Esfuerzos: análogamente a lo expresado en el análisis de la sección A, el esfuerzo de flexión es alternante puro.

Es decir: 3

32dM f

fsfa πσσ == = 91,27 N/mm2

0=fmσ



Adicionalmente en esta sección hay torsión. Como ella tiene carácter estático (no varía en el tiempo), entonces:

t

fσ

itst ττ =

0

tmtits τττ == 0=taτ

Aquí: 316

dM t

stmt πττ == = 34,22 N/mm2

• Factores que afectan la resistencia a la fatiga:

i) Coeficiente de superficie: con mRt µ10= y 500=Bσ N/mm2, obtenemos de gráfico . 94,0=tc



iv) Coeficiente de carga: de tabla 3.5 y sabiendo que los esfuerzos son de flexión y torsión obtenemos 0.1arg =cc


vi) Factor de concentración de esfuerzos: como en esta sección no hay cambios de sección, entonces Kt = 1 y por lo tanto � = 1 (tanto para flexión como para torsión).

• Esfuerzo equivalente medio o estático:

Para flexión: 0=mfσ Para torsión: 22,34=mtτ N/mm2

El esfuerzo equivalente según von Mises será: σm eq = 22 3 mtmf τσ +

→ σm eq = 59, 27 N/mm2

• Esfuerzo equivalente alternante:

Para flexión: facctempts

fa cccccσ

βσ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=′

arg

como: 27,91=faσ N/mm2 → 91,122=′faσ N/mm2

Para torsión: atcctempts

at cccccτβτ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

arg

'

como: 0=atτ → 0' =atτ

El esfuerzo equivalente según von Mises será: 2'2'' 3 atafeqa τσσ +=

→ = 122,91 N/mm'eqaσ 2




eqa

B

eqm

FS σσ

σσ ′

+=1

Reemplazando valores: FS = 1,64

• Factor de seguridad a la fluencia: eqs

FFSσσ

=

El esfuerzo equivalente superior es: σs eq = 22 3 stsf τσ + donde 27,91=fsσ N/mm2 (esfuerzo de flexión superior) 22,34=stτ N/mm2 (esfuerzo de torsión superior) → σs eq = 108,83 N/mm2

y como 320=Fσ N/mm2 (esfuerzo de fluencia) entonces: FS = 2,94

Análisis de la Sección C • Momento flector: Mf = 42000 N-mm momento torsor: Mt = 105000 N-mm

Geometría: r

D = 25 mm

dD d = 20 mm r = 2 mm

• Esfuerzos: análogamente a lo expresado en el análisis de las secciones A y B, el esfuerzo de flexión es alternante puro.

Es decir: 3

32dM f

fsfa πσσ == = 53,48 N/mm2

0=fmσ En esta sección también hay torsión. Análogamente a lo señalado para la sección B:

3

16dM t

stmt πττ == = 66,85 N/mm2



• Factores que afectan la resistencia a la fatiga: i) Coeficiente de superficie: con mRt µ10= y 500=Bσ N/mm2, obtenemos de

gráfico . 94,0=tc



iv) Coeficiente de carga: de tabla 3.5 y sabiendo que el esfuerzo es de flexión obtenemos 0.1arg =cc


vi) Factor de concentración de esfuerzos:

Con D/d = 1,25 y r/d = 0,1 obtenemos de los gráficos de las figuras 2.19 y 2.20 los factores geométricos de concentración de esfuerzos:

(para flexión) 67,1=tK (para torsión) 35,1=tK Ya hemos calculado el factor de sensibilidad al entalle: 843,0=η Los factores efectivos de concentración de esfuerzos serán: )1(1 −+= tf Kηβ = 1,56 (para flexión) )1(1 −+= tt Kηβ = 1,30 (para torsión)

• Esfuerzo equivalente medio o estático:

Para flexión: 0=mfσ Para torsión: 85,66=mtτ N/mm2

El esfuerzo equivalente según von Mises será: σm eq = 22 3 mtmf τσ +

→ σm eq = 115,79 N/mm2

• Esfuerzo equivalente alternante:

Para flexión: facctempts

fa cccccσ

βσ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=′

arg

como: 48,53=faσ N/mm2 → 66,105=′faσ N/mm2

Para torsión: atcctempts

at cccccτβτ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

arg

'

como: 0=atτ → 0' =atτ



El esfuerzo equivalente según von Mises será: 2'2'' 3 atafeqa τσσ +=

→ = 105,66 N/mm'eqaσ 2


eqa

B

eqm

FS σσ

σσ ′

+=1

Reemplazando valores: FS = 1,53

• Factor de seguridad a la fluencia: eqs

FFSσσ

=

El esfuerzo equivalente superior es: σs eq = 22 3 stsf τσ + donde 48,53=fsσ N/mm2 (esfuerzo de flexión superior) 85,66=stτ N/mm2 (esfuerzo de torsión superior) → σs eq = 127,54 N/mm2

y como 320=Fσ N/mm2 (esfuerzo de fluencia) finalmente: FS = 2,51

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