МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ МІСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА

С.О.Станішевський

ВИЩА МАТЕМАТИКА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

Модуль 1

Харків – ХНАМГ – 2009

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ МІСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА

С.О.Станішевський

ВИЩА МАТЕМАТИКА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

Модуль 1

Напрям підготовки 6.060101 – «Будівництво»

Харків – ХНАМГ – 2009

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

УДК 517.2 + 517.51 С.О.Станішевський. Вища математика. Конспект лекцій. Модуль 1. Напрям підготовки 6.060101 – «Будівництво». – Харків: ХНАМГ, 2009. – 151 с.

Конспект містить двадцять вісім лекцій з вищої математики.

Зміст яких відповідає діючої програмі першого модуля дисципліни для бакалаврів денної та заочної форм навчання за фаховим напрямом під-готовки 6.060101 «Будівництво».

В лекціях наведено стислі теоретичні відомості з аналітичної геометрії на площині та у просторі, лінійної та векторної алгебри, ди-ференціального та інтегрального числення функцій однієї змінної, які підкріплені відповідними прикладами.

Рецензент: д-р ф.-м. наук, професор А.І.Колосов Рекомендовано кафедрою вищої математики, протокол № 6 від 27.01.09.

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3

ПЕРЕДМОВА

Даний конспект є першою частиною цикла лекцій з вищої мате-матики, які автор читає на факультеті інженерної екології міст Харків-ської національної академії міського господарства (ХНАМГ).

Програма курсу вищої математики для бакалаврів денної та за-очної форм навчання за фаховим напрямом підготовки 6.060101 «Буді-вництво» складається з трьох модулів, які розраховані на 14,5 кредитів або 522 години.

Для денної форми навчання ці години розподіляються так: 138 – лекції; 156 – аудиторні практичні заняття; 228 – самостійна робота по засвоєнню лекційного курсу.

Для заочної форми навчання відповідно: 30 – лекції; 24 – прак-тичні заняття і 468 – самостійна робота.

Кожний модуль містить по три залікових модуля, кожний з яких охоплює відповідні теми курсу.

Програмою за першим модулем (210 годин) охоплені такі розді-ли вищої математики, як аналітична геометрія на площині та у просто-рі, лінійна та векторна алгебра, диференціальне та інтегральне числен-ня функцій однієї змінної.

Кожна лекція має відповідні приклади, що дає змогу студентам всіх форм навчання самостійно опановувати курс вищої математики.

Нумерація рисунків і формул має дві цифри. Перша цифра вка-зує на порядковий номер теми, а друга – номер у темі.

Зауваження і пропозиції щодо конспекту лекцій надсилайте на кафедру вищої математики за адресою: м. Харків, вул. Революції, 12, ХНАМГ.

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4

ТЕМА 1. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ

ЛЕКЦІЯ № 1

Дійсні числа. Число - це найважливіше математичне поняття, яке з'явилось у давнину і на протязі тисячоліть удосконалювалось та узагальнювалось.

1. Дійсні числа охоплюють: натуральні числа - це числа 1, 2, 3,...,n, які використовують для лічби; цілі числа - це числа утворені внаслідок додання до множини всіх натуральних чисел числа нуль і від'ємних цілих чисел (...,-3,-2,-1,0,1,2,З,...); раціональні числа - це такі числа, які можна подати у вигляді p/q, де р належить до множини ці-лих чисел, а q - до множини натуральних чисел; ірраціональні числа - це такі числа, які не можна записати у вигляді p/q.

Раціональні числа можна записати у вигляді десяткового дробу (скінченого або нескінченного періодичного), а ірраціональні числа можна записати у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу.

Приклад: число 2/3 = 0,6666...= 0,(6) - раціональне; число 2 - ірраціональне, його можна записати раціональним числом:

≈2 1,414213... Для кожної множини чисел введено позначення: N – натуральні;

Ζ - цілі; Q - раціональні; S – ірраціональні; R – дійсні. Отже, до множини Q належать множини Ζ та N, а множина R

утворена з об'єднання множин Q та S. 2. Дійсні числа упорядковані по величині, тобто для кожної па-

ри дійсних чисел х та у має місце одне і тільки одне із співвідношень: х<у, х = у, х>у

Дійсні числа можна відобразити точками числової прямої (осі). Числовою віссю називають нескінченну пряму (рис.1.1), на якій узято:

1) довільну точку О, яку звуть початком координат; 2) додатний напрям, який позначаємо стрілкою; 3) масштаб для вимірювання довжин ( ОЕ – одиниця вимірю-

вання).

Риc.1.1

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5

Якщо число х1 додатне, то його зображує точка М1, яка лежить праворуч від точки О на відстані ОМ1 = х1; якщо число х від'ємне, то його зображує точка М2, яка лежить ліворуч від точки О на відстані ОМ2 = –х2. Точка О відображує число нуль. Отже, кожне дійсне число відображається визначеною точкою на числовій вісі, а кожна точка числової вісі є відображенням тільки одного дійсного числа (раціона-льного або ірраціонального).

Таким чином, між дійсними числами і точками числової вісі іс-нує взаємно однозначна відповідність. Нагадаємо (без доведення) важ-ливу властивість дійсних чисел: між двома довільними дійсними чис-лами знайдуться як раціональні, так і ірраціональні числа.

Отже, координатою точки М0, що лежить на координатній вісі, називають число х0, яке визначається рівністю х0 = ±|ОМ| / |ОЕ|; знак '+' беруть, якщо M0 розташоване праворуч і '–' - ліворуч від точки О.

3. Абсолютним значенням (або модулем) числа а називають чи-сло, яке позначають |а| і обчислюють за правилом

<−≥

=.0 а якщо ,а

,0а якщо ,а а

Приклад. Знайти абсолютні значення чисел 4 та –3. 33 ;44 =−= тому, що ( ) 333 =−−=− .

Нагадаємо деякі властивості абсолютних величин: а) ухух +≤+ ; б) ухух −≥− ;

в) ухух ⋅=⋅ ; г) у/ху/х = .

4. Відстань d між точками М1 і М2 з координатами х1 і х2 обчис-люють за формулою 12 ххd −= .

Приклад. Знайти відстань між точками: М1 (–3); М2 (2). d = |–3–2| = |–5| = 5.

Метод координат. Прямокутна система координат на площині. Візьмемо на площині дві взаємно перпендикулярні прямі. Далі їх бу-демо називати координатні вісі Ох і Оу. Точку перетину осей позна-чимо через О і на кожній вісі відкладемо одиничні відрізки 1ОЕ і

2ОЕ (рис. 1.2).

Вісі Ох і Оу упорядкуємо так: якщо вісь Ох повернути навколо точки О на кут 2/π проти руху стрілки годинника, то вона співпаде з віссю Оу. При цьому точки Е1 і E2 теж збігаються тому, що

1 2|ОЕ | |ОЕ | 1= = . Прийнято називати вісь Ох віссю абсцис, а вісь Оу –

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6

віссю ординат. Отже, площину з побудованою системою координат звуть коор-

динатною площиною. Розглянемо дві задачі у методі координат. 1. Ділення відрізку у даному відношенні. Нехай А(х1,у1) і В(х2,у2)

дві точки на координатній площині Oxy (рис.1.2). Проведемо пряму АВ і встановимо на ній додатний напрям від А

до В. Нехай M(x,y) - точка прямої АВ. Якщо Μ лежить між точками А i В, кажуть, що вона ділить відрізок [АВ] внутрішнім чином; якщо точка Μ лежить праворуч або ліворуч від точок А і В - кажуть, що точка Μ ділить відрізок [АВ] зовнішнім чином. Назвемо відношенням, у якому точка Μ ділить відрізок [АВ], число λ, яке знаходимо за правилом

λ = AM/MB,

Рис. 1.2

якщо відомі координати точок А, В і М. Коли ж маємо число λ, треба знайти координати точки М. Число λ 0> , якщо відрізок ділиться внут-рішнім чином, і λ 0< у другому випадку (відрізки AM і MB мають про-тилежні напрями). λ = 0 коли A = B (точки збігаються). Розглянемо проекції відрізка [ΑΒ] на вісь Ох (рис.1.2).

Тоді: λ = (х – х1)/(х2 – х), звідки x = (х1+ λx2)/(1+λ). Зробивши те саме з у-ю координатою, матимемо:

у =(у1+ λy2)/(1 + λ).

Приклад. Знайти координати точки М(x,y), якщо А(1, 2), В(–1, –2) і λ = 1/2. Рішення:

;3/1)2/3/()2/1()2/11/())1(2/11(х ==+−+=

•

•

•

у

у2

у

у1

х1 х х2 х

А

М

В

О

Е1

φ0С N

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7

;3/2)2/3/(1)2/11/())2(2/12(у ==+−+=

Відповідь: М (1/3, 2/3). 2. Площа трикутника. Відомі координати вершин АВС∆ : А(х1,

у1), В(х2, у2) і С(х3,.у3) (рис.1.3). Знайти площу ∆ΑΒС.

Рис. 1.3

Нехай |CA|=d1, |CB|=d2 і φ - кут між відрізками [АС] і [ВС]. Ві-домо, що площа трикутника обчислюється за формулою:

1 2S 1 / 2 | d d sin |∆ ϕ= ,

де 12 ααϕ −= . Перетворимо вираз: ( )1 2 2 11 / 2 d d sinα α− =

1 2 2 1 2 11 / 2 d d (sin cos cos sin )α α α α= − =

1 1 2 2 2 2 1 11 / 2 d сos d sin dсos d sinα α α α= − =

1 3 2 3 1 3 2 3 АВС1 / 2 (х х )( у у ) ( у у )( х х ) S∆= − − − − − =

Тут скорочено позначені проекції сторін трикутника на відповідну вісь: Ох 1 1 1 3Пр АС d cos х хα= = − ; Оу 1 1 1 3Пр АС d sin у уα= = − ;

Ох 2 2 2 3Пр ВС d cos х хα= = − ; Оу 2 2 2 3Пр ВС d sin у уα= = − .

Приклад. Обчислити площу ∆ АВС, де: А(1, 2),В(-2,3) і С(0,5). 42/8|)52)(02()53)(01(|2/1S АВС ==−−−−−−=∆ од2.

Наслідок. Якщо 0)хх)(уу()уу)(хх( 32313221 =−−−−− , то

точки А, В і С лежать на одній прямій.

y

y1

B

A

C φ

α2

α1 y3

x2 x1 x x3 0

y2

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8

ЛЕКЦІЯ № 2

Лінії першого і другого порядку на площині. Візьмемо на коор-динатній площині деяку лінію і її довільну точку. Якщо ця точка буде переміщатися по цій лінії, то її координати х і у будуть змінюватися, залишаючись, однак, зв'язаними деякими умовами, які характеризують точки лінії. Виходячи з цих умов, лінії на площині відповідатиме деяке рівняння F(x,y)=0.

Якщо F(x,y) - многочлен першого степеня, то лінія, яка визнача-ється цим рівнянням, є лінія першого порядку. Лінія першого порядку - це пряма.

Якщо F(х,y) - многочлен другого степеня, то лінія, яка визнача-ється цім рівнянням, є лінія другого порядку.

Лінія другого порядку залежно від коефіцієнтів визначатиме: коло, еліпс, гіперболу або параболу, а при деяких значеннях коефіцієн-тів – точку або дві прямі (останні випадки звуть виродженими).

Лінії першого порядку на площині. Щоб скласти рівняння пря-мої треба якимось чином задати умови, що визначають положення її відносно прямокутної системи координат.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Назвемо кут нахилу прямої до вісі Ох той кут, на який треба повернути вісь Ох проти стрі-лки годинника, щоб вона збіглась з даною прямою.

Тангенс кута нахилу прямої до вісі Ох називають кутовим кое-фіцієнтом прямої.

Якщо кутовий коефіцієнт дорівнює нулю, то пряма паралельна вісі Ох. При додатному значенні коефіцієнта кут нахилу прямої до вісі Ох буде гострим, при від'ємному значенні - кут тупий. Пряма, перпен-дикулярна до вісі Ох, не має кутового коефіцієнта.

Розглянемо рівняння Ах + Ву + С = 0. (1.1) Розв'яжемо його відносно змінної у:

у = (–А/В) х – С/В, це можливо при В ≠ 0. Якщо позначити: –A/B=k; –C/B=b, то останнє рівняння матиме

вигляд у = kx + b, (1.2)

який має назву: рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Якщо х=0, маємо у=b - це відрізок, який відсікає дана пряма на вісі ординат. Як-що α - кут, який утворює пряма з віссю Ох, то k=tgα.

Рівняння (1.2) можна скласти безпосередньо з рис.1.4 через від-повідні проекції (Пр) на вісі.

Так: ОхBN ОР Пр ВМ х= = = ; ОуQB МN Пр ВМ у b= = = − .

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9

Рис. 1.4

З BNM∆ знаходимо: b)/х-(уQB/OPMN/BNtg ===α . Розв'яза-

вши останнє співвідношення відносно у, маємо (1.2). Рівняння прямої у відрізках. Якщо рівняння (1.1) перетворити

таким чином: х/(–С/А) + у/(–С/В) = 1 і позначити: –С/А = а; –С/В = b, то ма-

тимемо рівняння прямої у відрізках х/а + у/b = 1 . (1.3)

Останнє можливо коли 0А ≠ , 0В ≠ і 0С ≠ . Дослідження прямої (1.1): а) нехай С=0. Рівняння має вигляд Ах+Ву = 0 і визначає пряму,

яка проходить крізь початок координат; б) нехай Α = 0. Рівняння має вигляд Ву + С = 0 i визначає пряму,

яка паралельна вісі абсцис; в) нехай В=0. Рівняння має вигляд Ах + С = 0 i визначає пряму,

яка паралельна вісі ординат; г) нехай В=0, С=0. Рівняння має вигляд Ах=0 i при 0А ≠ визна-

чає вісь Оу; ж) A=0, С=0. Рівняння має вигляд Bу = 0 і при 0В ≠ визначає

вісь Ох. Таким чином усяке рівняння першого порядку відносно змінних

x і у визначає пряму лінію. Приклад. Перетворити рівняння 2х – 3у + 6 = 0 до вигляду (1.2) та

(1.3). Розв'язання: а) 3у = 2х + 6; у = (2/3)х + 6/3; у = 2х/3 + 2; б) 2х – Зу = –6; 2х/(–6) – Зу/(–6) = 1; х/(–3) + y/2 = 1.

y

B

A α

x a 0

Q

N

M(x,y)

P

b α

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10

Рівняння прямої, яка визначена двома точками. Нехай маємо дві точки, які не збігаються: А(х1, у1) і В(х2, у2).

Треба знайти рівняння прямої у вигляді у = kx + b. Припустимо, що точка А належить цій прямій, тоді y1 = kx1 + b.

Віднімемо з рівняння (1.2) останнє рівняння. Матимемо: у – у1 = k(x – х1). Ця пряма проходить крізь точку В(х2, у2), тобто маємо тотожність у2 – у1 = k(x2 – х1), звідки

k = (у2 – у1)/(x2 – х1). Таким чином, шукане рівняння має вигляд:

у – у1 = (у2 – у1)(x – х1)/(x2 – х1), або

(у – у1)/(у2 – у1) = (x – х1)/(x2 – х1) . (1.4)

Приклад. Знайти рівняння прямої, яка визначена двома точками А(–1,2) і B(2,5).

Розв'язання. Скористаємося рівнянням (1.4): 3ху1х2у)12/()1х()25/()2у( +=⇒+=−⇒++=−− .

З рівняння (1.4) маємо необхідну і достатню умову того, що три точки А(х1, у1), В(х2, у2), С(х3, у3) належать до однієї прямої:

(x3 – х1)/(x2 – х1) = (у3 – у1)/(у2 – у1). Рівняння прямої, яка проходить через задану точку А(х1, у1) у ві-

домому напрямі k. Рівняння прямої будемо шукати у вигляді (1.2). Невідоме b зна-

ходимо з умови проходження прямої через точку А(х1, у1): 11 kxуb −= .

Таким чином, маємо: 11 kxуkxу −+= або

)xх(kуу 11 −=− . (1.5)

Тангенс кута між двома прямими. Нехай маємо дві прямі:

11 bxkу += і 22 bxkу += , які зображено на рис. 1.5. Нехай φ - кут, на

який треба повернути проти стрілки годинника пряму І до прямої II , щоб вони збіглися. Тоді 12 ααϕ −= . Обчислимо tgφ:

)tgtg1/()tgtg()(tgtg 121212 ααααααϕ +−=−= , але 11 ktg =α , а

22 ktg =α . Тобто:

)kk1/()kk(tg 1212 +−=ϕ . (1.6)

З останнього виразу випливають дві умови: умова їх паралельності 12 kk = ; (1.7)

умова їх перпендикулярності 2 1k k 1= − . (1.8)

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

11

Рис. 1.5

Приклад. Знайти кут між прямими y = 2x – 3 і у = –3х+2. Розв’язок. Тут k1 = 2, a k2 = –3. Підставимо їх у формулу (1.6):

1)2)3(1/()23(tg =−+−−=ϕ . Тобто, tgφ = 1. Відкіля φ = 450.

Нормальне рівняння прямої лінії. Рівняння (1.1) помножимо на

число ОМ ≠ : 0МСМВуМАх =++ .

Нехай: МА = cosα, ΜВ = sinα i МС = –р. Тоді: 0рnуsiхcоs =−+ αα , (1.9)

це нормальне рівняння прямої. Знайдемо М:

α22 cоs)МА( = , α22 sin)МВ( = . Додамо ці вирази:

1sincоs)МВ()МА( 2222 =+=+ αα . Звідки M2(A2+ B2) = 1, або

)ВА/(1М 22 +±= .

Число Μ звуть нормуючим множником, його знак беруть проти-лежним знаку вільного члена С.

З'ясуємо, що це за кут α? Тут МА = cosα, a МB =sinα, або

)ВА/(Аcos 22 +±=α , )ВА/(Вsin 22 +±=α .

Поділимо ці вирази: А/Вcos/sin =αα ; 1kА/Вtg ==α .

У рівнянні (1.2) мали k = –A/В. Якщо перемножити k і 1k , ма-

тимемо (1.8). Тобто кут α має пряма y = k1x, яка перпендикулярна до прямої (1.2). Довжина відрізка від початку координат до точки перети-ну цих прямих дорівнює –р (рис. 1.6).

y

α1

x 0

φ

α2

II

I

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

12

Відстань від довільної точки М(x1, y1) до прямої (1.1). Позначимо шукану величину через d. Тоді, якщо

0СВуАхМ =++∈ , матимемо d = 0.

Нехай точка і пряма розташовані так, як зображено на рис. 1.6. Позначимо дану пряму – II. Пряму, яка їй перпендикулярна - І. Розглянемо ламану замкнену лінію OPKMRO. На прямій ОР ви-

беремо додатній напрям від точки О до Ρ і позначимо цю вісь буквою ℓ. Довжина відрізка КМ = d. Спроектуємо замкнену ламану лінію на

вісь ℓ. Відомо, що сума проекцій (позначимо її Прl

)замкненої ламаної

дорівнює нулю. Запишемо це: Пр ОР Пр РК Пр КМ Пр MR Пр RО 0+ + + + =

l l l l l.

Рис. 1.6

Розглянемо кожну проекцію: Пр ОР р=l

; Пр КМ d=l

;

Пр РК 0=l

; 1Пр MR NQ y sinα= − = −l

; 1Пр RО NO х cosα= − = −l

.

Додамо знайдені величини: 0cosxsinуdp 11 =−−+ αα

З останнього виразу маємо; |рcosxsinу| d 11 −+= αα . (1.10)

Таким чином, щоб знайти d, треба рівняння (1.1) привести до вигляду (1.10) і замість координат х і у підставити координати х1 і у1 точки М. Число d матиме знак "+", якщо М(x1,y1) і О(0,0) розташовані по різні сторони від прямої II , і знак "–" у протилежному випадку. Оскільки d - відстань, то праворуч у (1.10) взято абсолютну величину.

Приклад. Знайти відстань від точки А(1,2) до прямої 3х – 4у + 10 = 0.

y

x 0

α

II

I

Q

P K

R

N

M(x1,y1)

d

ℓ

–р

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

13

Розв'язок: 5/125/1))4(3/(1М 2/122 −=−=−+−= ;

1|1||10)/583(||1/5)(101/5)(421/5)(31|d =−=−+−=−⋅+−⋅⋅−−⋅⋅= .

Взаємне розміщення двох прямих на площині. Нехай маємо дві прямі:

А1х + В1у + С1 = 0, А2х + В2у + С2 = 0. Розглянемо систему двох лінійних рівнянь:

1 1 1

2 2 2

А х В у С 0,

А х В у С 0.

+ + = + + =

Можливі такі випадки: прямі перетинаються, якщо 1 2 1 2А / А В / В≠ ;

прямі паралельні, якщо 1 2 1 2 1 2А / А В / В С / С= ≠ ;

прямі збігаються, якщо 1 2 1 2 1 2А / А В / В С / С= = .

Приклад. З'ясувати, як розташовані прямі: 5x3y −= ,

4y2x =+ .

Розв'язок. Складемо систему 3x y 5,

x 2y 4

− = + =

. Тут 3 1

1 2≠ − .

Отже, маємо перший випадок. Систему розв’язуємо шляхом ви-ключення невідомих. Маємо: 27/14x == ; 17/7y == .

Висновок. Прямі перетинаються. Точка перетину М (2;1).

ЛЕКЦІЯ № 3

Лінії другого порядку на площині. Розглянемо рівняння

0LКуDxСуВхуАх 22 =+++++ , де 0СВА 222 ≠++ , це многочлен

другого степеня. Як було сказано вище, він визначатиме (в залежності від коефіцієнтів) відомі криві другого порядку: коло, еліпс, гіперболу або параболу. Розглянемо їх.

Коло - це множина всіх точок площини, які лежать на даній до-датній відстані (радіус) від даної точки площини.

Виведемо рівняння кола. Нехай: М(х, у) довільна точка кола;

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

14

О(а, b) – центр і R - радіус. Із визначення кола запишемо співвідно-

шення: ОМ R= ; ( ) ( )2 2х а у b R− + − = . Звідки

222 )bу()ах(R −+−= , (1.11)

яке і є канонічним рівнянням кола. Приклад. Записати канонічне рівняння кола, якщо його радіус

R=3 і центр знаходиться у точці О(1,-2). Розв’язання. Підставимо дані величини у (1.11). Маємо каноніч-

не рівняння кола: 9)2у()1х( 22 =++− .

Еліпс – це множина точок площини, для яких сума відстаней від двох даних точок площини (фокусів) дорівнює 2а. 2а 0> і більша за відстань між фокусами.

Канонічне рівняння еліпса. Нехай на площині взято прямокутну систему координат Оху, а точки F1(-с;О) і F2 (с;О) - фокуси еліп-са(рис.1.7). Якщо М(x,y) - довільна точка еліпса, то, згідно з означен-ням еліпса, виконується рівність

.а2МFМF 21 =+ (1.12)

Рис. 1.7

Відрізки [F 1 M] і [F 2 M] є фокальні радіуси еліпса, довжини яких обчислюємо за формулами:

( ) 221 усхМF ++= , ( ) 22

2 усхМF +−= .

Підставимо ці вирази у рівність (1.12) і виконаємо відповідні перетворення:

( ) ( ) 2222усха2усх +−−=++ ;

( ) 222222222 уссх2хусха4а4усхс2х ++−++−−=+++ ;

y

x

B b M(x,y)

A a

c -c F1 F2

-b

-a a e

a e

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

15

( ) сх4а4усха4 222 −=+− ; ( ) ( ).саауахса 22222222 −=+− .

Розділимо обидві частини останньої рівності на величину

( ) 222 аса − і позначимо 222 саb −= (тут а > с), матимемо канонічне

рівняння еліпса:

1b/уа/х 2222 =+ . (1.13)

Точки перетину еліпса з його вісями симетрії (рис.1.17), які співпадають з вісями координат Ох і Оу, є вершинами еліпса. Вони мають координати: (а;О), (-а;О), (О;b), (O;-b). Відрізок |ОА|=а звуть великою піввіссю еліпса, а відрізок |ОВ|=b - малою піввіссю еліпса. Точка О є центр еліпса. Еліпс є центрально-симетричною фігурою від-носно центру.

Ексцентриситет еліпса це відношення відстані між фокусами еліпса до довжини його великої осі:

1)а2/()с2(е <= , або 2)a/b(1е −= . (1.14)

Ексцентриситет характеризує форму еліпса: чим ближчий екс-центриситет до одиниці, тим менше відношення b/а і тим більше еліпс витягнутий; чим менший ексцентриситет, тим ближче відношення b/а до одиниці і тим ближче еліпс за формою наближається до кола.

Директриси еліпса. Припустимо, що еліпс, заданий канонічним рівнянням (1.13), має а >b. Тобто, він має таку форму, як на рис.1.7. Дві прямі, перпендикулярні до великої вісі еліпса (у цьому випадку вісі Ох) і розміщені на відстані а/e від центра еліпса, звуть директри-сами еліпса. Рівняння директрис еліпса мають вигляд:

е/ах ±= . (1.15) Оскільки для еліпса е<1, то директриси розміщені зовні від еліпса. Властивість директрис еліпса. Якщо r - відстань від довільної

точки еліпса до якого-небудь фокуса, d - відстань від тієї самої точки до директриси, яка відповідає цьому фокусу, то відношення r/d є стала величина, яка дорівнює ексцентриситету еліпса: r/d = е.

Приклад. Скласти канонічне рівняння еліпса, велика піввісь

якого дорівнює 3, а фокус знаходиться у точці )0 ,5(F .

Розв'язок. Канонічне рівняння еліпса має вигляд (1.13). За умо-

вою задачі велика піввісь а = 3, а половина фокусної відстані 5с = .

Ці величини зв'язані співвідношенням 222 bас −= . Підставивши дані

величини, маємо ( ) 453b222 =−= . Шукане рівняння еліпса:

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

16

14/у9/х 22 =+ .

Гіпербола – це множина точок, для яких абсолютна величина рі-зниці відстаней від двох даних точок площини (фокусів) дорівнює 2а. 2а 0> і менша за відстань між фокусами.

Канонічне рівняння гіперболи. Нехай на площині узято прямо-кутну декартову систему координат Оху (рис. 1.18), а точки F1(–c;O) і F2(c;O) - фокуси гіперболи. Множина точок М(х,у), які згідно з озна-ченням утворює гіперболу, задовольняє рівняння

.а2МFМF 21 =− (1.16)

Відрізки F1М і F2М є фокальні радіуси гіперболи. Обчисливши

їх довжину, маємо рівняння ( ) ( ) а2усхусх 2222 =+−−++ .

Перетворення цього рівняння аналогічні тим, що робилися з рі-внянням (1.12) еліпса. Звільнившись від ірраціональностей, рівняння

зводимо до вигляду ( ) ( )22222222 асауахас −⋅=−⋅− . Позначивши

)aс(bас 222 >=− , і поділивши останнє рівняння на ( )2 2 2а c a⋅ − , зво-

димо його до канонічного рівняння гіперболи:

1b/уа/х 2222 =− . (1.17)

Точки перетину гіперболи з віссю Ох є вершини гіперболи (на рис. 1.8 це точки А1(-а;О) і А2 (а;О) відповідно). Точка О є центр гіпер-боли. Відрізок |A1 A2| є дійсною віссю гіперболи, а відрізок |В1 В2| є уявною віссю гіперболи. Прямокутник зі сторонами 2a і 2b, розміще-ний симетрично відносно осей гіперболи, звуть основним прямокутни-ком гіперболи.

Рис. 1.8

В1

-b А1 0

b

у

х

В2

а с -а -с

F2F1 А2

М(х,у)

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

17

Асимптоти гіперболи. Гіпербола є центрально-симетричною фі-гурою і має дві вітки. Вітки гіперболи, що лежать у першій і третій координатних чвертях, при нескінченному зростанні х наближаються до прямої у=(b/a)x. Вітки гіперболи, що лежать у другій та четвертій координатних чвертях, при нескінченному зростанні x наближаються до прямої у=(-b/a)x. Ці прямі звуть асимптотами гіперболи. Подамо загальне визначення асимптоти.

Асимптота графіка функції у = f(х) є пряма, яка має таку власти-вість, що відстань від точки на графіку (х, f(х)) до цієї прямої наближа-ється до нуля, якщо ця точка рухається вздовж вітки графіка до не-скінченності.

Тобто, рівняння асимптот гіперболи знаходимо з рівняння (1.17), розв'язавши його відносно у:

( ) ( )2х/а1хa/bу −⋅±= .

Зробивши граничний перехід, коли х прямує до нескінченності, маємо рівняння асимптот гіперболи:

( )хa/bу ±= . (1.18)

Ексцентриситет гіперболи є відношення відстані між її фокуса-ми до відстані між вершинами цієї гіперболи:

1)а2/()с2(е >= , або ( )2a/b1е += . (1.19)

Ексцентриситет гіперболи характеризує форму її основного прямокутника, а отже , і форму самої гіперболи: чим менший ексцент-риситет гіперболи, тим більше витягнутий її основний прямокутник у напрямі осі, яка з'єднує вершини.

Якщо b = a, то гіперболу звуть рівносторонньою. Директриси гіперболи. Дві прямі, перпендикулярні до дійсної

осі гіперболи і розміщені на відстані а/е від центра гіперболи, звуть директрисами гіперболи.

Рівняння директрис у прямокутній системі координат, відносно якої гіпербола задається канонічним рівнянням (1.17), мають вигляд:

е/ах ±= . (1.20) Оскільки для гіперболи е > 1, то директриси розміщені між вершинами гіперболи (рис. 1.8). Директриса гіперболи має таку властивість: якщо r - відстань від довільної точки гіперболи до якого-небудь фокуса, d - відстань від тієї самої точки до директриси, яка відповідає цьому фо-кусу, то відношення r/d - стала величина, яка дорівнює ексцентрисите-ту гіперболи. Тобто, r/d=e.

Приклад. Точки

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

18

М(5,8/3) і N(–4,(2 7 /3)) належать гіперболі. Знайти її канонічне рів-няння, ексцентриситет, рівняння асимптот і директрис, якщо вісі коор-динат є вісями симетрії гіперболи.

Розв'язок. Канонічне рівняння гіперболи будемо шукати у ви-гляді (1.17). Оскільки точки Μ і N належать до гіперболи, то маємо тотожності:

( ) 1b/3/8а/5 2222 =− і ( ) ( ) 1b/3/72а/4 2222 =−− .

Це система двох рівнянь з двома невідомими 2а і 2b . Нехай

uа/1 2 = і vb/1 2 = , тоді:

( )( )

25u 64 / 9 v 1,

16u 28 / 9 v 1.

− =

− =

Розв'язок цієї системи дає: 9/1u = , 4/1v = . Тобто, а2 = 9 і b2

= 4 і канонічне рівняння гіперболи матиме вигляд .14/у9/х 22 =−

Обчислимо ексцентриситет за формулою (1.19): е 13 / 3.= Рівняння асимптот: ( )х3/2у ±= .

Рівняння директрис: ( )х 9 13 / 13= ± .

Парабола – це множина точок площини, для яких відстань до заданої точки F (фокуса), дорівнює відстані до певної заданої прямої (директриси).

Відстань p ( 0р ≠ ) від фокуса F до директриси параболи є па-

раметр параболи. Таким чином, множина точок М, які утворюють па-раболу, відповідно до означення параболи, задовольняє рівняння:

/FM/ = /MN/ . (1.21)

Канонічне рівняння параболи. Нехай на площині узято прямо-кутну декартову систему координат Оху, а точка F (p/2; 0) - фокус па-раболи; пряма х = –р/2, є директриса параболи (рис.1.9). Координати будь-якої точки М(x, y), яка належить параболі, задовольняють рівнян-

ня (1.21). Отже, маємо: ( ) 2/рху2/рх 22 +=+− .

Звільнившись від ірраціональності, останнє рівняння зводимо до вигляду

рх2у2 = , (1.22)

яке є канонічним рівнянням параболи. Вісь симетрії параболи (у дано-му випадку це вісь Ох) є вісь параболи. Точка перетину параболи з віссю симетрії є вершина параболи.

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

19

Зазначимо (згідно з означенням параболи і властивостями дире-ктрис еліпса і гіперболи), що парабола має ексцентриситет, який дорі-внює одиниці.

Рис. 1.9

Приклад. Скласти канонічне рівняння параболи, у якої рівняння директриси х = –4.

Розв'язок. Оскільки рівняння директриси х = –р/2, то –р/2 = –4. Звідси р = 8. Вісь симетрії параболи співпадає з віссю Ох. Таким чи-

ном, рх2у2 = або х16у2 = є шукане рівняння.

ЛЕКЦІЯ № 4

Полярна система координат. Щоб визначити положення точ-ки на площині, крім розглянутої вище прямокутної системи координат, ще є полярна система координат. Визначимо її. Для цього візьмемо на площині довільну точку О, яку звуть полюсом, і направлений промінь ОР, який звуть полярною віссю. На ній відкладемо відрізок ОЕ який звуть одиничним або масштабним відрізком (рис.1.10).

Рис. 1.10

у

х

М(х,у)

0 F(р/2,0)

N(-р/2,у)

-р/2

0 E P

M (r,φ)

φ

M0 (3,π/6)

3 r

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

20

Точці Μ, яка належить площині і відмінна від точки О, ставить-ся у відповідність упорядкована пара чисел ( r ;ϕ ), яку звуть полярни-

ми координатами точки М. Число r є полярним радіусом точки М - це довжина відрізка ОМ. Число ϕ , яке звуть полярним кутом, є радіан-

ною величиною кута ЕОМ. Між множиною всіх точок площини (крім точки О) і множиною

упорядкованих пар чисел (r ,φ), де 0r ≥ і [ ]πϕ 2;0∈ існує взаємно од-

нозначна відповідність. Для точки О величина полярного кута не ви-значена. Приклад. Знайти точку ( )6/;3М0 π у полярній системі координат.

Розв'язок. На рис. 1.10 наведено полярну систему координат. Точка Μ0 буде розташована на перетині дуги радіуса r0 = 3 і променя з початком у точці О, що утворює кут 6/0 πϕ = з полярною віссю.

Рис. 1.11

Зв'язок між полярними і прямокутними координатами. Якщо за полюс узяти початок прямокутної декартової системи координат, а за полярну вісь – додатний напрям вісі Ох (рис. 1.11), то полярні коорди-нати точки М, яка не збігається з полюсом, і її прямокутні координати зв'язані рівностями:

х rcоsϕ= , у r sinϕ= , (1.23)

які маємо з прямокутного ∆ОМN. Перехід від прямокутних координат точки М до її полярних ко-

ординат робимо за формулами: 2 2r х у= + ; ( )arctg у / хϕ = , де [ ]0;2ϕ π∈ .

Приклад. Знайти декартові координати точки М(3; / 6π ), яка дана у попередньому прикладі.

y

x

y

0

М(r,φ)

E

r

x

φ

М(х, у)

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

21

Розв'язок. За формулами (1.23) маємо:

x 3 cos / 6π= ⋅ = 3 3 / 2; у 3 sin / 6 3 / 2π= ⋅ = .

Таким чином: ( )М 3 3 / 2,3 / 2 .

Рівняння ліній другого порядку у полярних координатах. Нехай АВС (рис. 1.12) - крива лінії другого порядку (еліпса, гіперболи або параболи), у якої: точка А - вершина; точка F - фокус і лінія DE - від-повідна директриса. Полярну систему координат розташуємо таким чином, щоб полюс був у точці F (тобто у фокусі), а полярна вісь збіга-лася з віссю симетрії. Ексцентриситет кривої раніше позначено буквою е. Нехай М0 - точка кривої АВС, яка лежить на перпендикулярі FK до полярної вісі. Позначимо довжину відрізка FM0 через р. Цю величину звуть фокальним параметром кривої.

С

Рис. 1.12

Нехай Μ - довільна точка кривої у обраній полярній системі ко-ординат. Складемо рівняння, яке виявляє залежність між її полярними координатами r ,φ та даними числами е і р.

З попереднього відомо, що е = |FM|/|MN|. Відрізок NM = NK + +KM. Тут KF||DE, і NK||N0M0, тому NK = N0M0. З ∆FKM маємо: KM = FM cosφ. Таким чином,

NM = N0M0 + FM cosφ. (1.24)

З другого боку, е = FM0 / M0N0 або M0N0 = р/е. Перше відношення для е дає: NM = FM/e або NM = r/е, тому що FM=r . Формула (1.24), після підстановки обчислених величин, має вигляд:

ϕcosre/pe/r += , звідки:

r = p /(1– ecosφ). (1.25) Рівняння (1.25) визначає: еліпс, якщо е < 1; параболу, якщо е =

1; гіперболу, якщо е > 1.

М0

D

В

F Р

N0

N

Е К

М(r,φ)

А

р

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

22

Фокальний параметр р зв'язаний з параметрами а і b еліпса і гі-

перболи співвідношенням: а/bр 2= .

Приклад. Записати рівняння параболи 16х8у2 += у полярній

системі координат. Розв'язок. Скористаємося формулами (1.23). Маємо

16cosr8sinr 22 += ϕϕ . Додамо до обох частин останнього рівняння

величину r2cos2φ. Тоді: sin2 2 2 2 2 2r r сos r сos 8rсos 16ϕ ϕ ϕ ϕ+ = + + ,

( ) ( )22 2 2r сos sin rсos 4 ; r rсos 4ϕ ϕ ϕ ϕ+ = + = + .

Розв'язавши останнє рівняння відносно r, маємо шукане рівняння ( )ϕcos1/4r −= .

ТЕМА 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

ЛЕКЦІЯ № 5

Змінна. Функція. У результаті вимірювання таких фізичних ве-личин, як час, довжина, об'єм, маса, швидкість, тиск, температура та ін., визначаються числові значення фізичних величин. Математика займається величинами, відвертаючись від їх конкретного змісту. Далі, розглядаючи величини, матимемо на увазі їх числові значення.

Змінна. Поняття змінної величини є основним поняттям дифе-ренціального та інтегрального числень.

Визначення. Змінною величиною є величина, яка набуває різних числових значень. Величина, числові значення якої не змінюються, має назву сталої величини. Далі змінні величини будемо позначати буквами х, у, z, u, ... і т. д. Сталі величини будемо позначати буквами а, b, с, ... і т. д. Величини, які зберігають своє значення у будь-якому явищі, звуться абсолютними сталими. Наприклад, відношення довжи-ни кола до діаметра є абсолютна стала величина π=....14159,3 .

Значення змінної величини геометрично зображується точками числової вісі. Наприклад, змінна αcosх = при будь-яких значеннях α зображується сукупністю точок відрізка числової вісі від –1 до 1.

Визначення. Сукупність всіх числових значень змінної величи-ни є її областю визначення.

Відзначимо такі області зміни: проміжок або інтервал, це суку-

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

23

пність усіх чисел х, які знаходяться між даними числами а і b (a < b), при цьому самі числа їй не належать. Його позначають (а, b) або а < х < b; відрізок або сегмент – це сукупність усіх чисел х, які знаходяться між даними числами а і b, при цьому обидва числа а і b їй належать. Його позначають [a,b] або bха ≤≤ .

Якщо одне з чисел а або b, приєднується до проміжку, а друге - ні, то маємо напівзачинений проміжок, його позначають (a,b] або [a,b). За допомогою нерівностей: bха <≤ або bха ≤< . Якщо змінна x на-буває будь-яких значень, більших за а, то такий інтервал позначають

),а( ∞ або ∞<< ха . Аналогічно маємо нескінченні інтервали

∞<≤ ха , сх ≤<−∞ , ∞<<−∞ х . Наведені вище визначення можна сформулювати, використову-

ючи замість поняття "число" поняття "точка". Наприклад, відрізок –це сукупність усіх точок х, які знаходяться між двома даними точками а і b (кінці відрізка), причому кінці відрізка належать цій сукупності.

Околом даної точки 0х ,звуть довільний інтервал (а,b), який має

цю точку усередині себе, тобто bха 0 << . Визначення. Змінна x є упорядкована величина, якщо відома об-

ласть її зміни і про кожне з двох будь-яких її значень можна сказати, яке значення попереднє і яке наступне. Тут ці поняття не зв'язують з часом, а є спосіб упорядкування значень змінної величини.

Окремим випадком упорядкованої змінної величини є змінна величина, значення якої утворюють числову послідовність х1, x2, ..., хi , .... Тут при i < k значення xi попереднє, а хk - наступне незалежно від того, яке з цих значень більше.

Визначення. Змінна величина є монотонно зростаючою (спада-ючою), якщо кожне послідовне її значення більше (менше) поперед-нього.

Визначення. Змінна величина х обмежена, якщо є таке стале чи-сло Μ > 0, що всі наступні значення змінної, починаючи з деякого, задовольняють умові МхМ ≤≤− , тобто М|х| ≤ .

Приклад. Площина S правильного уписаного у коло многокут-ника при подвоєнні його сторін є монотонною зростаючою величиною, але вона обмежена площиною кола.

Функція. Досліджуючи різні явища природи або розв'язуючи те-хнічні проблеми, в математиці доводиться розглядати зміну однієї з величин у залежності від зміни іншої величини.

Визначення. Якщо кожному значенню змінної х, яке належить деякій області, відповідає одне визначене значення другої змінної у, то

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

24

у є функцією від х, або у символьній формі у =f(x). Змінна х тут незалежна змінна або аргумент. Буква f показує, що

над змінною х треба виконати відповідні операції, щоб мати значення у. Замість запису у = f(x), іноді пишуть у = у(х). Тобто буква у поз-

начає і залежну змінну, і сукупність операцій над х. Запис у = С, де С - стала, позначає функцію значення якої при будь-якому х одне й теж і дорівнює С.

Визначення. Сукупність значень х, для яких визначаються зна-чення функції у за правилом f(x), звуть областю визначення функції (або областю існування функції), а сукупність утворену з різних чисел у, які обчислюють за правилом f(x), - областю зміни функції f(x).

Іноді область визначення і область зміни функції у = f(x) відпо-відно позначають D(f) і Е(f).

Якщо змінні x і у розглядати як декартові координати точок на площині, то графіком функції у = f(x) є множина точок координатної площини Оху з координатами (х; f(x)).

Способи завдання функції. Табличний спосіб завдання функції. При цьому способі пишуть

у визначеному порядку значення аргументу х1, x2, ..., хn, і відповідні значення функції у1, у2, ..., уn :

х х1 х2 … хn

y y1 y2 … yn

Графічний спосіб завдання функції. Якщо у прямокутній систе-мі координат на площині маємо деяку сукупність точок М(х,у), при цьому ніякі дві точки не належать до однієї прямої, яка паралельна осі Оу, то ця сукупність точок визначає деяку однозначну функцію у = f(x); значеннями аргументу є абсциси точок, значеннями функції - від-повідні ординати.

Аналітичні способи завдання функції. Явна форма завдання функції. Функцію задають у вигляді фор-

мули, що визначає операції (і послідовності їх виконання), які потріб-но виконати над значенням незалежної змінної, щоб визначити зна-чення залежної змінної.

Приклад. 22/1 )1х(у −= , де 0х ≥ .

Неявна форма завдання функції. Під неявним завданням функції розуміють завдання функції у вигляді рівняння

F(x,y) = 0, яке задає функцію тільки тоді, коли множина впорядкованих пар (х; у),

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

25

які є розв'язком даного рівняння, така, що для будь-якого числа х0 у цій множині є не більш як одна пара (х0 ; у0) з першим елементом х0.

Приклад. х·у – 4 = 0. Параметрична форма завдання функції. Якщо функцію задано

параметрично, то значення змінних х і у, що відповідають одне одно-му, визначають через третю величину, яка є параметром:

)t(х φ= , )t(у Ψ= .

У деяких випадках функцію, задану у параметричному вигляді, можна записати і в явній формі. Тобто виключити параметр t. Прик-лад. Функція, задана у параметричній формі:

tsinх = , tcosу = , ]2/ ,0[t π∈ ,

допускає запис у явній формі: 2х1у −= , де ]1;0[х∈ .

Основні елементарні функції. Степенева функція: у = хα. а) α - ціле додатне число. Функція визначена у нескінченному

інтервалі ∞<<−∞ x . Графіки функції у цьому випадку при деяких значеннях α мають вигляд, зображений на рис. 2.1 і рис. 2.2;

Рис. 2.1 Рис. 2.2 Рис. 2.3 б) α - ціле від'ємне число. У цьому випадку функція визначена

для усіх значень х, окрім х = 0. Графіки функцій при деяких значеннях α мають вигляд, зображений на рис.2.3 і рис.2.4;

в) число α - раціональний дріб. На рисунках 2.5, 2.6 і 2.7 зобра-жені графіки степеневої функції для 2 / 3α = ; 3 / 2α = ; 1 / 3α = .

Показникова функція: у = ах, а > 0 i Rх∈ . Графік її має вигляд, зображений на рис. 2.8. Розглянуті випадки, коли 0 < а < 1 і а > 1.

Логарифмічна функція: у = lоgаx, а > 0, х > 0. Графік її зображено на рис. 2.9. Розглянуті випадки, коли 0 < а

< 1 і а > 1. lgx –десятковий логарифм, lnx – натуральний логарифм.

у

1

1

у = х2

х

1

1

у

х

у = х3 у

-1 1

у = х-2

х

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

26

Рис.2.4 Рис.2.5 Рис. 2.6 Тригонометричні функції: у = sinx; y = cosx; y = tgx; y = ctgx.

Незалежна змінна x набуває значення у радіанах. Усі названі тригоно-метричні функції періодичні.

Рис. 2.7 Рис. 2.8 Рис. 2.9 Визначення. Функція f(x) є періодичною з періодом Т (Т > 0,

T∈R), якщо: а) для будь-якого значення аргументу х з області визначення

функції значення аргументу х+Т і х – Т також належать області визна-чення функції;

б) при будь-якому х з області визначення функції маємо рів-ність: f(х ± T) = f(x).

Звичайно під періодом функції розуміють Т0 - найменший з усіх додатних періодів (якщо такий існує). У цьому разі всі періоди функції йому кратні: Т = kT0 , де k Ν∈ .

Приклад. Знайти найменший період функції f(х) = sin(ax+b), де 0а ≠ , ( )х ;∈ −∞ ∞ .

Розв'язання. Припустимо, що ця функція періодична, тоді вико-

у

1

у = х1/3

х

1

у

х 0

у = 2х

у = ( )х

1

2

1

у

1 х 0

у = log3х

у = log1/3х

у

-1

1

у = х-3

х

1

-1

у

-1 1

у = х2/3

х

1

1

1

у

х

у = х3/2

-1

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

27

нується рівність sin(ax+b) = sin[a(x+T)+b]. Звідки 2 n ax b ax aTY bπ + + = + + . Отже, ,а/)n2(Т π= Zn∈ .

Остання формула задає нескінченну множину чисел. Най-меншим додатним числом з них є число 0Т 2 / |а |π= .

За означенням функції синуса при будь-якому х, значення |а|/2х π+ і |а|/2х π− , також належать області визначення функції,

тобто умову а) виконано. Умову б) виконано внаслідок використання способу знаходження числа Т. Отже, 0Т 2 / |а |π= - період і функція

sin(ax+b) - періодична.

Рис. 2.10 Функції у = cosx і у = sinx періодичні і мають період π2 . Ці фу-

нкції визначені для х R∈ . Функція у = tgx не визначена у точках:

2/)1k2(х π+= , Zk∈ .

Функції у = ctgx не визначена у точках: πkх = , Zk∈ .

Графіки тригонометричних функцій зображені на рисунках 2.10 і 2.11.

Рис. 2.11

у

х

у = sin х

у = cos х

0

1

π/2

-π/2 -π π

-1

π/2 π

у

х

у = tg х у = ctg х

-π/2 0

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

28

Перш ніж розглянути обернені тригонометричні функції, згада-ємо такі поняття, як обмеженість, монотонність функцій і обернена функція.

Обмежені функції. Функція f(х) є обмеженою зверху, якщо існує таке число М, що для всіх значень аргументу з області визначення фу-нкції виконується нерівність f(х) ≤ М, і обмеженою знизу, якщо існує таке число т, що для всіх значень аргументу з області визначення фу-нкції виконується нерівність f(х) ≥ т.

Функція, обмежена зверху і знизу, є обмеженою. Функції у = sinx і у = соsх обмежені зверху числом 1, а знизу числом –1. Функ-ції у = tgx і у = ctgx необмежені.

Монотонні функції. Функція f(х) є зростаючою у проміжку (а, b), якщо для будь-якої пари значень х1 і х2 ∈ (а;b) з нерівності х1 > х2 випливає нерівність f(x1) > f(x2), тобто більшому значенню ар-гументу відповідає більше значення функції. Якщо з нерівності х1 > х2 випливає нерівність f(x1) ≥ f(x2), то функція зветься неспадною.

Функція f(х) є спадною в проміжку (а;b), якщо для будь-якої па-ри значень x1 і х2 ∈ (а;b) з нерівності х1 > х2 випливає нерівність f(x1) < f(x2), тобто більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. Якщо з нерівності х1 > х2 випливає нерівність f(x1) ≤ f(x2), то функція зветься незростаючою. Зростаючі і спадні фун-кції звуть строго монотонними. Ці функції разом з неспадними і не-зростаючими є монотонними.

Якщо область визначення можна розбити на деяке число -проміжків, які не перетинаються, таких, що на кожному з цих проміж-ків функція монотонна, то такі проміжки звуть проміжками монотон-ності функції.

Приклад. Функція у = х2 визначена на всій числовій осі. Вона має два проміжки монотонності )0 ;( −∞ і ) 0; ( ∞ .

Поняття оберненої функції. Нехай у = f(x) - числова функція з областю визначення D(f) і областю зміни E(f). Припустимо що множи-ни D(f) і E(f) - деякі проміжки.

Візьмемо яке-небудь значення у з множини E(f); тоді у множині D(f) обов’язково знайдеться хоча б одне значення х = х0 таке, що f(х0) = у0.

Якщо функція у = f(x ) неперервна і строго монотонна, то для кожного значення у0 з множини значень функції E(f) знайдеться єдине значення x0 з області визначення функції D(f) таке, що f(х0) = у0.

Відповідність, яка відносить кожному даному числу у0 з множи-ни E(f) єдине число х0 з множини D(f), звуть функцією оберненою до

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

29

функції f, позначають символом 1f − i записують

x = 1f − (y).

У цьому запису: у - незалежна змінна, а х - залежна. Функція 1f −, обернена до неперервної і строго монотонної функції f, також

неперервна і строго монотонна. Функції f і 1f − звуть взаємно оберне-

ними. Графіки цих функцій збігаються. Якщо утворимо осьову симет-рію координатної площини відносно бісектриси першого і третього координатних кутів і запишемо рівняння оберненої функції у вигляді

у = 1f − (x), то графіки функцій у = f(х) і у = 1f − (x) будуть симетричні

відносно бісектриси у = х. Приклад. Функція у = х2 на інтервалі ] ;0[ ∞ неперервна і моно-

тонна. Вона має обернену ху = . Графіки цих функцій зображені на

рис. 2.12.

Рис. 2.12 Властивості взаємно обернених функцій:

а) якщо функція 1f − обернена до функції f, то й функція f бу-

де оберненою до функції 1f − ;

б) область визначення функції f є областю зміни функції 1f − ,

область зміни функції f є областю визначення функції 1f − ;

в) графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно бісектриси першого і третього координатних кутів площини Оху.

Обернені тригонометричні функції. у = arcsinx. Виділимо на числовій вісі Ох проміжок

]2/ ,2/[ ππ− . На цьому проміжку функція у = sinx зростає від –1 до

у

х 0

у = х2

ху = 1

у = х

1

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

30

1, є неперервною і монотонною, тобто вона має обернену функцію; її звуть арксинусом і записують х = arcsiny. Позначивши незалежну змінну буквою х, а залежну – буквою у, далі писатимемо у = arcsinх. Область її визначення - проміжок [–1, 1], область зміни – проміжок ]2/ ,2/[ ππ− . Графік подано на рис. 2.13.

Рис. 2.13 Рис. 2.14 Рис. 2.14 Рис. 2.15 у = arccosx. Виділимо на числовій вісі Ох проміжок ] ,0[ π . На

цьому проміжку функція у = cosх спадає від 1 до –1, є неперервною і монотонною, тобто вона має обернену функцію; її звуть арккосинусом і записують х = arccosy. Позначивши незалежну змінну буквою х, а залежну - буквою у, далі писатимемо у = arсcosx. Область зміни про-міжок ] ,0[ π ; область визначення - проміжок [–1;1]. Графік подано на

рис. 2.14. у = arctgx. Виділимо на числовій вісі проміжок ]2/ ,2/[ ππ− .

На цьому проміжку функція відповідає умовам існування у неї обер-неної функції. Функцію обернену до у = tgx звуть арктангенсом і запи-сують х = arctgy, де у - незалежна змінна, а х - залежна. Позначивши незалежну змінну буквою х, а залежну - буквою у, далі писатимемо у = arctgx. Область визначення - вся числова пряма; область зміни - про-міжок ]2/ ,2/[ ππ− . Графік подано на рис. 2.15.

у = arcctgx. Виділимо на числовій осі Ох проміжок ] ,0[ π . На

цьому проміжку функція у = ctgx відповідає умовам функції, яка має обернену. Цю функцію звуть арккотангенсом і записують х = arcctgy, де у - незалежна змінна, а х - залежна. Позначивши, незалежну змінну буквою х, а залежну - буквою у, далі писатимемо у = arcctgx Область визначення - вся числова пряма; область зміни - проміжок ] ,0[ π .

Графік функції у = arcctgx подано на рис. 2.16.

-1 1

у

х

π/2

0

-π/2 -1 1

у

х

π/2

0

π

у

х

π/2

0

-π/2

π/2

у

х 0

π

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

31

Складна функція. Нехай у - f(х) - числова функція з областю ви-значення D(f) і областю аміни E(f), z = g(y) - числова функція, задана на множині E(f) або деякій її підмножині, з областю зміни E(g). Відповід-ність, яка відносить кожному даному числу х з множини D(f) єдине число у з множини E(f), a числу у - єдине число z з множини E(g) звуть складною функцією і записують

z = G(f(x)). Більшість функцій, які вивчають у математиці, можна розгля-

дати як складні функції.

Приклад. Функцію 1хz −= можна записати: ху = ; z = y –1.

Операція "функція від функції", може робитись не один, а будь-яке скінчене число разів.

Приклад. Функція у = lg(sin(x2 + 1)) утворюється внаслідок та-ких операцій (визначення таких функцій);

1х2 +=ν , vsinu = , gu1у = .

Елементарна функція. Елементарною функцією зветься функція, яка може бути задана однією формулою у = f(x), де праворуч записано вираз, складений із основних елементарних функцій і сталих величин за допомогою скінченого числа операцій додавання, віднімання, мно-ження, ділення та узяття "функції від функції". Таким чином, елемен-тарні функції є функції, які задані аналітично.

Приклад. Функція )arctgxх10/()tgx2х4х(lgу х3 +−++= , є

елементарною. Приклад. Функція у = ⋅⋅⋅ 321 … п⋅ = n! не є елементарною, тому

що число операцій змінюється із змінною n. Читається "ен факторіал". Алгебраїчні функції. Ціла раціональна функція або многочлен

n1n

1n

0 а...хахау +++= − ,

де n10 а,...,а ,а - сталі числа, які є коефіцієнтами; n - ціле додатне чис-

ло, яке має назву степінь многочлена. Зрозуміло, що ця функція визна-чена і неперервна при будь-якому Rх∈ .

Приклад. у = ах + b - лінійна функція. у = ах2 +bх+с - квадрати-чна функція )0а( ≠ . Ці функції розглядалися раніше.

Дробово-раціональна функція. Ця функція визначається як від-ношення двох многочленів:

)b...хbхb/()а...хаха(у m1m

1m

0n1n

1n

0 ++++++= −− .

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

32

Приклад. Функція у = а/х, )0х ,0а( ≠≠ виражає обернено про-

порційну залежність. Ірраціональна функція. Якщо у функції у = f(х) має місце підне-

сення до степені з раціональним дробовим показником, то вона є ірра-ціональною.

Приклад. Функція )х51/()хх2(у 22 ++= є ірраціональна.

Зауваження. Розглянуті три види алгебраїчних функцій не виче-рпують усіх алгебраїчних функцій. Функції, які не є алгебраїчні, звуть трансцендентними.

Приклад. Функція у = cosx + 10х є трансцендентна.

ЛЕКЦІЯ № 6

Границі. Границя змінної величини. Будемо розглядати упоряд-ковані змінні величини, які змінюються спеціальним чином, який ви-значається термінами "змінна величина прямує до границі". Далі по-няття границі змінної (функції) буде мати фундаментальне значення, тому що з ним безпосередньо зв'язані основні поняття математичного аналізу: похідна, інтеграл та ін.

Визначення. Стале число а є границею змінної величини х, якщо для кожного наперед даного довільно малого числа 0>ε можна вка-зати таке значення змінної х, що всі наступні значення змінної будуть задовольняти нерівності |х - а| < ε .

Якщо число а є границя змінної величини х, то кажуть, що х прямує до границі а, і пишуть ах → або lίт x = а.

Приклад. Змінна величина x послідовно набуває значення: 11х1 += , 2/11х2 += , 3/11х3 += ,… n/11хn += ,…

Довести, що змінна величина має границю а = 1. Розв'язання. За визначенням:

n/1|1)n/11(||1х| n =−+=− .

Для будь-якого довільно малого 0>ε всі наступні значення змінної, починаючи з номера n, де ε<n/1 , буде виконуватись нерів-ність ε<− |1х| n , що і треба було довести.

Зауваження: а) границя сталої величини є сама стала величина; б) змінна величина не може мати дві границі; в) не кожна змінна величина має границю.

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

33

Границя функції. Нехай функція f(х) визначена в усіх точках проміжку (а;b), за винятком, можливо, деякої точки ∈0х (а;b). Побу-

дуємо послідовність значень її аргументу:

1 2 n і 0х , х ,..., х , n N, х х , і 1, n∈ ≠ = (*)

таку, щоб всі х і у (а;b) і вона збігалась до точки х0 : 0nn

ххlim =∞→

.

Тоді значення функції f(х) також утворюють деяку числову пос-лідовність.

1 2 nf ( х ), f( х ),..., f (х ) . (**)

Визначення 1. Число А є границею функції f(х) при х, яке прямує до х0, якщо для будь-якої послідовності значень аргументу (*), яка збі-гається до числа х0, послідовність значень функції (**) збігається до числа A, і записують:

А)х(flim0хх

=→

.

Є й інше, еквівалентне сформульованому вище, означення гра-ниці функції.

Визначення 2. Число А є границею функції f(x) при x, яке прямує до х0, якщо для будь-якого малого числа 0>ε знайдеться таке мале число 0>δ , яке залежить від ε , що при всіх )b;а(х∈ , які задоволь-

няють нерівність 0 | х х | δ− < , виконується нерівність

ε<− |А)х(f| .

Якщо f(x)=A, коли х→х0 , то на графіку (рис. 2.17) це означає, що для всіх точок х які лежать від точки х0 не далі ніж на δ, точки Μ (х, f(х))

Рис. 2.17

лежать у середині смуги шириною 2ε, межі якої прямі: ε−= Ау i

у

А+ε

А−ε

y=f(x)

2ε M

0 x x0−δ x0 x0+δ

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

34

ε+= Ау .

Приклад. Довести, що границя функції )1х/()1х()х(f 2 +−=

при x, яке прямує до –1, дорівнює –2. Розв'язання. Доведемо, що для будь-якого числа 0>ε існує чи-

сло )(εδ при всіх 1х −≠ , які задовольняють нерівність δ<+ |1х| ,

виконується нерівність

ε<++− |2)1х/()1х(| 2 . (І)

Справді, при 1х −≠ маємо:

|1х||21х||2)1х/()1х)(1х(| |2)1х/()1х(| 2 +=+−=+++−=++− (ІІ)

Якщо взяти εδ = , то з нерівності δ<+ |1х| випливає

ε<+ |1х| , і внаслідок (II) нерівність (І) доведено.

Тобто, 2)1х/()1х(lim 2

1х−=+−

−→.

Сформульовані вище означення границі функції можна узагаль-нити на випадок, коли замість числа х0 , береться +∞ (або −∞ ).

Односторонні границі. Число А є границею функції f(х), де

( )0х а; х∈ , у точці x0 ліворуч і записують:

А)х(flim0хх 0

=−→

. (ІІІ)

Аналогічно, число А є границею функції f(x), де ( )0х х ;b∈ , у

точці 0х праворуч і записують:

0х х 0lim f ( х ) А

→ += . (IV)

Ці границі функції звуть односторонніми і вони повинні відпо-відати визначенню.

Якщо функція визначена на проміжку (а;b), крім, можливо, точ-ки )b,a(х0 ∈ , то для існування границі (2.1) необхідно і достатньо,

щоб обидві границі (ІІІ) і (IV) функції f(x) у точці х0 існували і були рівними:

=−→

)х(flim0хх 0

А)х(flim0хх 0

=+→

.

У загальному випадку обидві границі функції f(х) у точці х0 мо-жуть існувати, але не дорівнювати одна одній.

Наприклад, функція у = arctg(1/x) має область визначення Rх0 ∈ і 0х0 ≠ . Розглянемо:

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

35

2/)х/1(arctglim0х

π=+→

, 2/)х/1(arctglim0х

π−=−→

,

тобто, обидві границі існують, але не дорівнюють одна одній. Нескінченно малі величини. Поняття нескінченно малої величини. Числова функція f(x) не-

скінченно мала величина при х, яке прямує до а, якщо виконується визначення 2, коли А 0= . Тобто, 0)х(flim

ах=

→.

Підкреслимо, що нескінченно малу величину треба розуміти як змінну величину, яка тільки в процесі своєї зміни (коли х прямує до а) буде менша за довільне наперед дане мале число ε > 0.

Приклад. Величини: )2/х(сos)х(f π+= ; 2х)х(f = ;

f(x) = ln(x + 1) нескінченно малі при х, яке прямує до нуля. Властивості нескінченно малих величин: - якщо функція у = f(х) має границю b, то вона може бути запи-

сана у вигляді α+= bу , де х аlim ( х ) 0α

→= α (х). Правильно й зворотне;

- якщо α (х) нескінченно мала величина і не дорівнює нулю при ах → (або при ∞→х ), то )х(/1у α= нескінченно велика величина;

- алгебраїчна сума двох, трьох і взагалі скінченого числа нескін-ченно малих величин є нескінченно мала величина;

- добуток нескінченно малої величини на обмежену функцію, коли х прямує до а (або ∞→х ), є нескінченно малою величиною;

- частка від ділення нескінченно малої величини на обмежену величину, яка має границю відмінну від нуля, коли ах → (або

∞→х ), є нескінченно мала величина. Усі ці властивості можна подати як теореми і доводити їх. На-

приклад, доведемо останнє твердження. Нехай α (х) - нескінченно мала величина, тобто 0)х(lim

ах=

→α ;

z(x) - обмежена функція, тобто 0b)х(zlimах

≠=→

Розглянемо функцію

α (х)/z(x) коли ах → . Функцію можна записати так α (х)(1/z(x)). Але 0)х( →α , коли ах → , а b/1)х(z/1 → , тому що 0b ≠ .

Маємо добуток нескінченно малої величини на обмежену величину, який дає нескінченно малу величину.

Нескінченно великі величини. Поняття нескінченно великої величини. Функція f(x) нескінчен-

но велика величина при х, яке прямує до а, якщо для будь-якого напе-

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

36

ред даного скільки завгодно великого числа Е > 0 знайдеться таке чис-ло 0>δ , яке )Е(δ , що для усіх ах ≠ , які належать області визначен-

ня функції і задовольняють нерівності |х а| δ− < , виконується нерів-

ність Е |)х(f| > .

Як і у випадку з нескінченно малими, треба зазначити, що жод-не окремо взяте значення нескінченно великої величини не можна на-звати як "нескінченно великим" - нескінченно велика величина - це функція, яка тільки в процесі своєї зміни може стати більшою від дові-льно взятого числа Е > 0. Тобто ∞=

→)х(flim

ах.

Приклад. Величини: f(x) = 1/х при х, яке прямує до нуля; f(х) = tg(х) при х, яке прямує до 2/π є нескінченно великими.

Нескінченно малі й нескінченно великі величини зв'язані між собою такою залежністю: якщо величина f(х) - нескінченно велика при

ах → , то її обернена величина )х(f/1)х( =α є нескінченно малою

величиною. Сформульовані вище означення нескінченно малої та нескін-

ченно великої величин можна узагальнити і на випадок, коли замість числа а береться +∞ або −∞ .

Приклад. ∞=±∞→

2

ххlim . Це нескінченно велика величина;

0хlim 1

х=−

±∞→. Це нескінченно мала величина.

Обмеженість функції. Поняття про обмеженість функції, яка прямує до границі, розв'язується теоремою.

Теорема. Якщо b)х(flimах

=→

, при цьому b є скінчена величина,

то функція f(x) є обмеженою. Доведення. З рівняння b)х(flim

ах=

→, маємо, що ε<− |b)х(f| ,

якщо )( |ах| εδ<− . Перепишемо першу нерівність у вигляді

ε+< |b| |)х(f| . А це і означає, що функція f(х) обмежена при ах → .

Основні теореми про границі. Теорема 1. Границя алгебраїчної суми скінченого числа змінних

дорівнює алгебраїчній сумі границь цих змінних:

kах

2ах

1ах

k21ах

ulim...ulimulim)u...uu(lim→→→→

++=+++ .

Доведіть самостійно.

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

37

Теорема 2. Границя добутку скінченого числа змінних дорівнює добутку границь цих змінних:

kах

2ах

1ах

k21ах

ulim...ulimulimu...uulim→→→→

⋅⋅= .

Доведіть самостійно. Висновок. Сталий множник можна виносити за знак границі:

ulimссulimахах →→

= .

Доведіть самостійно. Теорема 3. Границя частки двох змінних дорівнює частці цих

змінних, якщо границя знаменника не дорівнює нулю: )vlim/()ulim()v/u(lim

ахахах →→→= , якщо 0vlim

ах≠

→.

Доведення. Нехай 1

ахаulim =

→. Тобто α+= au , β+= bv , де βα ,

- нескінченно малі. Напишемо тотожність =++= )b/()а(v\u βα

))b(b/()аb(b/а)b/а)b/()а((b/а ββαβα +−+=−+++= .

Частка а/b є стала величина, а частка ))b(b/()аb( ββα +− є не-

скінченно мала величина. Знаменник )b(b β+ має границею 0b2 ≠ .

Отож, )vlim/()ulim(b/аv/ulimахахах →→→

==

Приклад. =−+=−+→→→

))2х4(lim/())5х3(lim()2х4/()5х3(lim1х1х1х

42/8)214/()513()2хlim4/()5хlim3(1х1х

==−⋅+⋅=−+=→→

.

Теорема 4. Якщо між відповідними значеннями трьох функцій u = и(х), z = z(x), ν = v(x) виконується нерівність vzu ≤≤ , при цьому и(х) і ν(x) при ах → (або при ±∞→х ) прямують до однієї границі b, то z = z(x) при ах → (або при ±∞→х ) прямує до тієї ж границі b.

Доведіть самостійно. Теорема 5. Якщо при ах → (або при ∞→х ) функція у прий-

має значення 0y ≥ і при цьому прямує до границі b, то 0b ≥ .

Доведіть самостійно. Теорема 6. Якщо між відповідними значеннями двох функцій

u = и(х) і ν = ν(x), які прямують до границь при ах → (або при ∞→х ), виконується нерівність uv ≥ , то має місце нерівність

0ulimvlimахах

≥≥→→

.

Доведіть самостійно.

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

38

Приклад. Довести, що 0xsinlim0х

=→

.

Розв'язання. Розглянемо сектор АОВ одиничного кола

(рис.2.18). Якщо: ОА = 1, х > 0, то відрізок АС = sinx, дуга хАВ =∪

, sinx < х. Очевидно, що при х < 0 буде |sinx|<|x|. З цих нерівностей та тео-рем 5 і 6 прямує, що 0xsinlim

0х=

→.

Теорема 7. Якщо змінна величина ν зростаюча, тобто будь-яке її наступне значення більше від попереднього, і якщо вона обмежена (v < М), то ця змінна величина має границю Avlim

ах=

→, яка не переви-

щує М . Доведіть самостійно. Приклад. Довести, що 1xcoslim

0х=

→.

Розв'язання. Змінна величина cos xобмежена зверху одиницею.

З тригонометричних тотожностей маємо: )2/x(sin21xcos 2−= , тоб-

то ))2/x(sin21(limxcoslim 2

0х0х−=

→→, але |xsin| |)2/xsin(| < і тому

0)2/xsin(lim0х

=→

. Таким чином

101))2/xsin(lim(21))2/x(sin21(lim 2

0х

2

0х=−=−=−

→→.

Отже, х 0lim cos x 1

→= .

ЛЕКЦІЯ № 7

Деякі важливі границі. У теорії границь важливе місце займають подані нижче границі, за допомогою яких обчислюють багато границь від елементарних функцій:

1х/)x(sinlim0х

=→

; е)x1(lim х/1

0х=+

→; е)x/11(lim х

х=+

∞→;

alnх/)1а(lim х

0х=−

→; 1х/)1е(lim х

0х=−

→;

aln/1х/))х1((loglim а0х

=+→

; х 0lim( ln(1 х )) / х 1

→+ = .

Тут введено число ...71828,2е = , яке є ірраціональним.

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

39

Теорема 1. 1)х/x(sinlim0х

=→

.

Доведення. Функція у = sinx/x не визначена при х = 0, тому що чисельник та знаменник дробу перетворюються у нуль. Знайдемо границю цієї функції коли 0х → . Розглянемо сектор АОМ кола, раді-

ус якого ОА = ОМ = 1; центральний кут ∠МОА = x = ∪МА , нехай

2/х0 π<< (рис.2.19). Відносно площин безпосередньо маємо: S∆MOA < Sсектора МOA < S∆ОАС. Обчислимо кожну з цих площин:

MOAS (1/2)ОА МВ (1/2)1sinx (1/2)sinх∆ = = = ;

Sсектора МОА2(1/2)ОА МА (1/2)1x (1/2)х= = = ;

OAСS (1/2)ОА АС (1/2)1tgx (1/2)tgх∆ = = = .

Рис. 2.18 Рис. 2.19

Ці величини підставимо у нерівність. Після скорочення на 1/2, маємо: sinx < х < tgx. Розділимо усі члени нерівності на sinx;

1 < x/sinx < 1/cosx, або 1 > sinx/x > cosx. Останні нерівності виведені з умови, що х > 0, але функції: sin(–х)/(–х) = sinx/x і cos(–x) = cosx парні, тобто нерівність правильна, коли х < 0.

Раніше було доведено, що 1xcoslim0x

=→

, а 11lim0x

=→

.

Отже, змінна sinx/x розташована між двома величинами, які ма-ють одну й ту ж границю, яка дорівнює 1; таким чином, за теоремою 4 (попередня лекція), маємо 1)х/x(sinlim

0x=

→.

Приклад. Знайти границю )х2/()xcos1(lim 2

0x−

→.

Розв'язання. 2 2 2 2

x 0 x 0lim( 2 sin ( x / 2 )) /( 2х ) lim sin ( x / 2 ) /( 2х / 2 )

→ →=

M

B

C

0

x

A

A

B C 0

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

40

2 2 2 2

x 0(1 / 2 ) lim(sin( x / 2 )) /(х / 2 )) (1 / 2 ) 1 1 / 4

→= = ⋅ =

Число е. Розглянемо змінну величину n)n/11( + , де n - зроста-

юча змінна величина, яка має значення 1,2, 3, ...

Теорема 2. Змінна величина n)n/11( + при ∞→n має границю,

яка розташована між 2 і 3. Доведення. Запишемо формулу бінома Ньютона:

+⋅−++=+ 2n )n/1)(21/())1n(n()n/1)(1/n(1)n/11( n3 )n/1(...)n/1)(321/())2n)(1n(n( ++⋅⋅−− .

Перетворимо частину, яка розташована праворуч:

++−−⋅⋅+−⋅++=+ ...)n/21)(n/11)(321/(1)n/11)(21/(111)n/11( n

)n/)1n(1)...(n/21)(n/11)(n...321/(1 −−−−⋅⋅+ .

Остання рівність вказує на те, що величина n)n/11( + - зростаюча

змінна величина при зростаючому n. Покажемо, що вона обмежена. Замінимо одиницею кожний вираз вигляду: )n/11( − , )n/21( − …,

матимемо:

)n...321/(1...)321/(1)21/(111)n/11( n ⋅⋅++⋅⋅+⋅++<+ ,

перетворимо кожний добуток у знаменнику у степінь двійки і запише-мо:

+<+ 1)n/11( n 1n2 2/1...2/12/11 −++++ .

Підкреслені праворуч елементи нерівності утворюють геометричну прогресію із знаменником 1/2 і першим членом 1, тому

3)2/1(21)2/11/())2/1(1(1)n/11( 1nnn <−+=−−+<+ − .

Якщо n = 1 маємо ліворуч 2. Тобто, 3)n/11(2 n <+≤ , що й треба бу-

ло довести. Таким чином, розглянута змінна величина зростаюча і обме-

жена, тому за теоремою 7 (попереднього розділу) вона має грани-

цю. Цю границю позначають буквою е: е)n/11(lim n

n=+

∞→.

Теорема 3. Функція у = (1 + 1/х)х , коли ±∞→х , прямує до гра-

ниці, яка дорівнює е: е)х/11(lim х

х=+

±∞→.

Доводити цю теорему не будемо, а розглянемо її графік (рис.2.20). Функція визначена, коли x ( ; 1) (0; )∈ −∞ − ∪ ∞

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

41

Рис. 2.20

Бачимо, що е)х/11(lim х

х=+

±∞→. Якщо зробити заміну 1/х = α, то

коли ∞→х , маємо: 0→α (але 0≠α ) і можемо записати:

е)1(lim /1

0=+

→α

αα .

Приклад. Обчислити границю: х

х)х/21(lim +

∞→.

Розв'язання. 222/х

х

х

хе))х/21(lim()х/21(lim =+=+

∞→∞→.

Приклад. Обчислити границю: 3х

х))1х/()3х((lim +

∞→−+ .

Розв'язання. =−+ +

∞→

3х

х))1х/()3х((lim

=−+=−−++= +

∞→

+

∞→

3х

х

3х

х))1х/(41(lim)1)1х/()3х(1(lim .

41х

4)3х(lim

4

1х

хе))1х/(41(lim( х =−+= −

+−

∞→∞→ ,

де 4)1х/()4)3х((limх

=−⋅+∞→

.

Зауваження. Функція хеу = має назву експонента. Вона відіграє

дуже велику роль у технічних науках. Функція у = lnx має назву лога-рифма натурального. У його основі лежить число е. Між логарифмом десятковим і логарифмом натуральним є зв'язок:

lgx = lnx/ln10, або lпх = 2,302585 lgx. Порівняння нескінченно малих величин. Нехай одночасно декі-

лька нескінченно малих величин )х(α , )х(β , )х(γ прямують до ну-

у е

х

1

–1 0

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

42

ля, коли ах → (або ±∞→х ). Розглянемо їх відношення (при цьому мають на увазі, що величина, яка стоїть у знаменнику дробу, відмінна від нуля принаймні для значень х, досить близьких до числа а).

Будемо далі користуватися такими визначеннями: Визначення 1. Якщо А/lim

ах=

→αβ , причому 0≠Α і 1А ≠ , то

нескінченно малі )х(α і )х(β одного порядку мализни.

Приклад. Нехай х)х( =α , х2sin)х( =β , де 0х → .

2)x/x2(sinlim0х

=→

. Отже, нескінченно малі х і sin2x одного по-

рядку. Визначення 2. Якщо 0/lim

ах=

→αβ , то нескінченно мала β вищо-

го порядку мализни, ніж нескінченно мала α.

Приклад. Нехай х=α , nх=β , 1n > , 0х → . Тоді

0xlimx/xlim 1n

0х

n

0х== −

→→. Тобто, нескінченно мала α нижчого по-

рядку мализни, ніж нескінченно мала β. Визначення 3. Нескінченно мала β k -го порядку мализни відно-

сно нескінченно малої α, коли β і αk - нескінченно малі одного порядку.

Приклад. Нехай х=α , 3х=β . Коли 0х → величина β є не-

скінченно мала третього порядку мализни відносно нескінченно малої α.

Визначення 4. Величини α і β звуть еквівалентними нескінченно малими і пишуть βα ∼ , якщо 1/lim

ах=

→αβ .

Приклад. Показати, що 2х/)1х( +=α і х/1=β еквівалентні нескінченно малі величини, коли ∞→х .

Розв’язання. =+=∞→∞→

)х/1/()х/)1х((lim/lim 2

ххβα

1)х/11(limх/)1х(limхх

=+=+=∞→∞→

.

Дані величини еквівалентні. Зауваження 1. Якщо відношення двох нескінченно малих α і β

не має границі і не прямує до нескінченності, то α і β непорівнянні між собою.

Приклад. х)х( =α , )х/1sin(х)х( =β при 0х → .

Зауваження 2. Нескінченно великі і нескінченно малі величини порівнюють між собою однаково.

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

43

ЛЕКЦІЯ № 8

Неперервність функцій. З поняттям границі функції тісно пов'я-зане інше важливе поняття математичного аналізу - поняття непере-рвності функції.

Поняття неперервності функції. Розглянемо функцію у = f(х), визна-чену на деякому проміжку. Нехай x0 деяка точка цього проміжку, в якій функція має значення у0 = f(х0). Якщо x одержить деякий додатний або від'ємний - не має значення - приріст х∆ і матиме значення ххх 0 ∆+= , то і функція у одержить деякий приріст

у∆ . Нове значення функції буде )xx(fуу 00 ∆∆ +=+ (рис. 2.21).

Рис. 2.21

Визначення. Функція у = f(х) неперервна у точці х0, якщо вона визначена у деякому околі точки х0 (очевидно, і у самій точці х0) і як-що 0уlim

0х=

→∆

∆. Тут

)x(f)xx(fу 00 −+= ∆∆ (2.1)

Умову (2.1) можна записати так: )x(f)xx(flim 00

0х=+

→∆

∆, тут 0ххх −=∆ . (2.2)

Тому )x(f)x(flim 0хх 0

=→

, але xlimх0хх

0→

=

Рівність (2.2) можна переписати так: )x(f)xlim(f)x(flim 0

хххх 00

==→→

. (2.3)

тобто, для того, щоб знайти границю функції коли 0хх → , достатньо у

вираз функції підставити замість аргументу х його значення х0. Приклад. Доведемо, що функція у = sinx неперервна у довільній

у

х

у0+∆у у=f(х)

∆у у0

0 х0+∆х х0

∆х

М

М0

N

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

44

точці х0. Справді, 00 xsinу = , )xxsin(yу 00 ∆∆ +=+ ,

)2/xxcos()2/xsin(2xsin)xxsin(y 000 ∆∆∆∆ +=−+= . Раніш було

доведено, що 0)2/xsin(lim0х

=→

∆∆

. Величина )2/xxcos( 0 ∆+ обмеже-

на. Отже, 0ylim0х

=→

∆∆

.

Аналогічним чином, розглядаючи кожну основну елементарну функцію, можемо довести, що вона неперервна у кожній точці свого визначення.

Спираючись на властивості границі, можна довести такі теоре-ми.

Якщо функції f1(x), f2(x) неперервні у точці х0 , то функції )x(f)x(f)х( 21 ±=ψ , або )x(f)x(f)х( 21 ⋅=ψ , або

)x(f/)x(f)х( 21=ψ , якщо 0)x(f2 ≠ , також є неперервні у точці х0.

Якщо )x(u ϕ= неперервна у точці х0 і f(u) неперервна у точці

)x(u 00 ϕ= , то й складна функція ))x((f ϕ неперервна у точці х0.

Таким чином, будь-яка елементарна функція неперервна у кож-ній точці, у якій вона визначена.

Визначення. Якщо функція у = f(x) неперервна у кожній точці деякого інтервалу (а, b), де а < b, то кажуть, що функція неперервна на цьому інтервалі.

Однобічна неперервність. Нехай функція f(x) визначена на проміжку (а; х0]. Кажуть, що функція f(х) неперервна у точці х0 ліворуч, якщо

)x(f)x(flim 00хх 0

=−→

. (2.4)

Аналогічно, функція f(x), визначена на проміжку [x0;b), непере-рвна в точці x0 праворуч, якщо

)x(f)x(flim 00хх 0

=+→

. (2.5)

Якщо функція f(x) визначена на інтервалі (а;b) і точка )b;а(х0 ∈ , то для неперервності функції у точці х0 необхідно і достат-

ньо, щоб функція f(x) була неперервна ліворуч і праворуч від точки х0. Якщо рівність (2.4) або рівність (2.5) не виконується, то кажуть

що функція f(x) розривна у точці х0 ліворуч або - праворуч. Точка х = х0, у цьому випадку зветься точкою розриву функції.

Класифікація розривів функції. Розрізняють такі види розривів функції у точці: розриви першого роду і розриви другого роду. Коли функція f(х) у точці х0 не визначена або має стрибок скінченої величи-

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

45

ни, то кажуть, що це розрив першого роду. Якщо функція у точці х0 не має хоча б однієї з односторонніх границь, або вона дорівнює ±∞ , то кажуть, що функція f(x) має у точці х0, розрив другого роду. У обох випадках точка х0, може як належати, так і не належати області визна-чення функції.

Розриви першого роду. Границі функції f(x) ліворуч і праворуч від точки )b;а(х0 ∈ іс-

нують і скінченні. А)x(flim

0хх 0

=−→

, В)x(flim0хх 0

=+→

, А)x(f 0 = або f(x0) = В.

А)x(flim0хх 0

=−→

, В)x(flim0хх 0

=+→

, А)x(f 0 ≠ або В)x(f 0 ≠ .

А)x(flim0хх 0

=−→

, А)x(flim0хх 0

=+→

, В)x(f 0 = .

У цих випадках функція у точці х0 має стрибок, який дорівнює В А− .

Границі функції f(х) ліворуч і праворуч від точки )b;а(х0 ∉ :

)b;x()x;a()f(D 00 ∪= існують і скінченні.

А)x(flim0хх 0

=−→

, B)x(flim0хх 0

=+→

.

Тут функція має стрибок, який дорівнює В А− .

А)x(flim)x(flim0хх0хх 00

==+→−→

.

Тут 0x - точка усувного розриву, бо поклавши f(x0) = А, діста-

немо неперервну функцію.

Приклад. З'ясувати, який розрив має функція х/12у = .

Розв’язання. Ця функція не визначена у точці 0х = 0.

Розглянемо: +∞=+→

х/1

0x2lim ; 02lim х/1

0x=

−→. Функція у точці 0х

= 0 має розрив другого роду (рис.2.22).

Приклад. З'ясувати, який розрив має функція 2х/12у −= .

Розв’язання. Функція не визначена у точці 0х = 0 (рис.2.23).

Розглянемо: 02lim2х/1

0x=−

−→ і 02lim

2х/1

0x=−

+→. Якщо додамо до

функції рівність f(0) = 0, то дістанемо неперервну функцію у точці 0х

= 0. Отже, маємо усувний розрив першого роду.

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

46

Рис. 2.22 Рис. 2.23

Деякі властивості неперервних функцій.

Теорема 1. Якщо функція у = f(x) неперервна на відрізку [а;b], то знайдеться хоча б одна точка x = x1, де ]b;а[х1 ∈ така, що значення

функції у цій точці буде влаштовувати нерівності: )x(f)x(f 1 ≥

і знайдеться хоча б одна точка x = x2, ]b;а[х2 ∈ така, що значення

функції у цій точці буде влаштовувати нерівності: )x(f)x(f 2 ≤ .

Тоді f(x1) матиме назву найбільшого, а f(x2) - найменшого зна-чення функції. Нехай f(х1) = М, а f(х2) = m. Сенс цієї теореми наочно ілюструється рис.2.24.

Рис. 2.24 Зауваження. Твердження теореми може бути невірним, якщо

у

х

1

0

у

х

1

0

у

у=f(х)

х х2 х1 b а 0

М

m

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

47

( )х а;b∈ .

Теорема 2. Нехай функція у = f(х) неперервна на відрізку [а,b] і на кінцях його має значення різних знаків f(a) < 0; f(b) > 0, тоді між точками а і b знайдеться хоча б одна точка x = с, така, що f(с) = 0.

Ця теорема має просту геометричну ілюстрацію (рис.2.25).

Рис. 2.25

Теорема 3. Нехай функція у = f(x) визначена і неперервна на ві-дрізку [а,b]. Якщо на кінцях цього відрізка функція приймає значення f(а) = А, f(b) = B і А < B, то яке б не було число (А < µ < B) знайдеться

така точка х = d, (a < d < b), що f(d) = µ . Сенс цієї теореми чітко ілюструється рис. 2.25.

ЛЕКЦІЯ № 9

Похідна. Нехай у = f(х), )b,а(х∈ і )b,а(х0 ∈ . Візьмемо довіль-

не )b,а(х∈ і складемо різницю 0хх − . Це приріст незалежної змінної,

який позначають х∆ . Приріст функції f(х) у точці x0 позначають у∆ . Він дорівнює

у)х(f)хх(f 00 ∆∆ =−+ .

Оскільки точка х0 фіксована, то приріст функції у∆ є функцією

приросту аргументу х∆ . Складемо відношення х/ух/))х(f)хх(f( 00 ∆∆∆∆ =−+ ,

f(a)=А

у=f(х)

f(b)=В

c

µ

у

х d

а

0 b

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

48

яке також буде функцією приросту аргументу х∆ . Визначення похідної. Розглянемо границю виразу при х∆ , яке

прямує до нуля довільно. Якщо ця границя існує, то кажуть, що функ-ція f(x) має похідну у точці х0, і записують

)х(fх/уlimх/))х(f)хх(f(lim 00х

000х

′==−+→→

∆∆∆∆∆∆

. (2.6)

Число )х(f 0′ є значення похідної функції f(x) у точці х0. Похід-

ну функції у = f(x) у точці х0, також позначають 0хх

(x) fу =′= або

dx/)х(df 0 .

Якщо існує границя (2.6), то також кажуть, що функція f(х) ди-ференційована у точці х0. Коли функція f(х) диференційована у кожній точці проміжку (а;b), то кажуть, що вона диференційована у проміжку (а;b). Похідна функції f(х) диференційованої у проміжку (а;b), сама є функцією х.

Приклад. Дано функцію у = х2. Знайти її похідну і обчислити її, коли х = 3.

Розв'язання. Для будь-якого х маємо у = х2. Якщо аргумент до-

рівнює хх ∆+ , маємо 2)хх(уу ∆∆ +=+ . Звідси 222 )х(хх2х)хх(у ∆∆∆∆ +=−+= .

Складемо відношення хх2х/))х(хх2(х/у 2 ∆∆∆∆∆∆ +=+= . Обчис-

лимо границю: х2)хх2(lim0х

=+→

∆∆

. Тобто х2у =′ ; 632у 3х

=⋅=′= ,

або 632)3(fу =⋅=′=′ .

Швидкість руху. Нехай матеріальна точка рухається під дією деяких сил. Візьмемо який-небудь момент часу t і розглянемо промі-жок часу t∆ від моменту t0 до моменту ttt 0 ∆+= . За цей проміжок

часу точка пройде деякий шлях, який позначимо через )t(S 0∆ . За ві-

домим з фізики означенням, відношення )t(S 0∆ / t∆ є середня швид-

кість руху точки за час t∆ . Розглядатимемо дедалі менші проміжки t∆ , щоб t∆ прямувало до нуля. Границя

)t(V)t(St/)t(Slim 0000t

=′=→

∆∆∆

є миттєвою швидкістю точки у момент часу t0. Геометричний сенс похідної. Нехай дано деяку лінію L і на ній

точку М (рис. 2.26). Візьмемо на лінії L деяку точку N, яка не збігаєть-ся з точкою М. Пряма МN є січною для лінії L. Нехай тепер точка N

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

49

наближається до точки М, залишаючись на лінії L. Тоді кожному по-ложенню точки N відповідатиме своя січна і усі ці січні проходити-муть через точку М.

Рис. 2.26

Дотичною до лінії L у точці М звуть граничне положення МK січної MN, якщо точка N прямує до точки М. Нехай у = f(х) - деяка фу-нкція, графіком якої є лінія L, диференційована у точці х0. У декарто-вій прямокутній системі координат точка М, яка лежить на графіку функції у =f(x) і має абсцису х0, має координати (x0; f(x0)). Нехай точка N належить графіку функції (рис. 2.26) і має координати

)хх(f);хх( 00 ∆∆ ++ . Проведемо через точку М пряму, паралельну вісі

Ох, і позначимо точку перетину цієї прямої і прямої хх0 ∆+ через Р.

Розглянемо ∆ ΜΝΡ. Відношення його катетів NP : MP має вигляд: α∆∆ tgх/))х(f)хх(f( 00 =−+ . (2.7)

Тобто, це тангенс кута нахилу січної MN до додатного напряму вісі Ох.

Якщо приріст 0х →∆ , то геометрично це означає, що точка )уу ,хх(N 00 ∆∆ ++ рухатиметься по лінії L, наближаючись до точки

М, а кут α прямуватиме до кута 0α - кута нахилу дотичної до додат-

ного напряму вісі Ох. Оскільки границя рівності (2.7) при 0х →∆ з одного боку дорі-

внює )х(f 0′ , а з другого боку дорівнює 0tgα , тому

)х(f 0′ = 0tgα . (2.8) Використавши формулу (2.8), рівняння дотичної до графіка фу-

нкції у = f(х), яка проходить через точку Μ (х0; у0), має вигляд:

у

0 х

f(x0+∆x)

f(x0)

N

L

K

P M

x0+∆x x0 α0 α

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

50

)хх()х(fуу 000 −⋅′=− . (2.9)

Приклад. Знайти тангенс кута нахилу дотичної до графіку фун-

кції 2ху = у точці M(1/2, 1/4).

Розв'язання. Візьмемо похідну від функції 2ху = .

х2у =′ ; 0 0tg у ( х ) 2(1 / 2 ) 1α ′= = = . Відкіля 0α = 45°.

Загальні правила здобуття похідної. Нехай маємо деякі функції )х(uu = , ( х )υ υ= , які диференційовані у проміжку (а,b). Тоді:

- якщо сuу = , то uс)сu(у ′=′=′ , (2.10)

де с – const, тобто сталий множник можна виносити з-під знаку похід-ної;

- якщо у u υ= ± , то у ( u ) u 'υ υ′ ′ ′= ± = ± (2.11)

тобто похідна суми або рівниці функцій дорівнює сумі або різниці їх-ніх похідних;

- якщо у uυ= , то у ( u ) u ' uυ υ υ′ ′ ′= = + , (2.12)

тобто похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків похідної першої функції на другу функцію і похідної другої функції на першу функцію;

- якщо у u /υ= , то 2у ( u / ) ( u ' u ) /υ υ υ υ′ ′ ′= = − , (2.13)

тобто похідна частки двох функцій дорівнює дробу, у якому знамен-ник є квадрат знаменника, а чисельник є різниця між добутками похід-ної чисельника на знаменник і добутком похідної знаменника на чисе-льник дробу;

- якщо функція у = f(x) має похідну у деякій точці )b;а(х∈ , а

функція z = F(y) має похідну у відповідній точці у = f(x), то й складна функція z = F(f(x)) май похідну у точці х, причому

)х(f))х(f(F))х(f(F(z x'у

′⋅=′=′ , (2.14)

де індекси у і x біля похідних кажуть, за яким аргументом обчислюють похідні;

- якщо функція у = f(х) задовольняє умові існування оберненої функції і у точці )b;а(х∈ має скінчену і відмінну від нуля похідну, то

обернена функція х = f –1(у) у відповідній точці у = f(х ) також має похі-дну. Похідні цих взаємно обернених функцій зв'язані рівністю

)х(f/1))у(f( 'х

'у

1 =− . (2.15)

Кожне з цих правил можна розглядати як теорему. Доведемо, наприклад, правило (2.13). Тут: у = u/υ ; ∆y, ∆u i ∆υ

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

51

є прирости функцій у(х), и(х), υ (x), відповідні приросту ∆x аргументу х.

Тоді у у ( u u ) /( ),∆ ∆ υ ∆υ+ = + +

у ( u u ) /( ) u / ,∆ ∆ υ ∆υ υ= + + − = ( u u ) /( ( ))υ∆ ∆υ υ υ ∆υ= − + . Останню рівність розділимо на ∆x:

у / х ( u u ) /( х ( ))∆ ∆ υ∆ ∆υ ∆ υ υ ∆υ= − ⋅ + =

( u / х u / х ) /( ( )).υ∆ ∆ ∆υ ∆ υ υ ∆υ= − +

Знайдемо границю цього співвідношення. Маємо:

х 0 х 0 х 0у lim у / х lim ( u / х u / х ) / lim ( ( ))

∆ ∆ ∆∆ ∆ υ∆ ∆ ∆υ ∆ υ υ ∆υ

→ → →′ = = − + =

2

х 0 х 0 х 0( lim u / х u lim / х ) /( lim ).

∆ ∆ ∆υ ∆ ∆ ∆υ ∆ υ υ ∆υ

→ → →= − +

Так як ν(x) - диференційована і, отже, неперервна функція, то

х 0lim 0

∆∆υ

→= . Маємо 2у ( u u ') /υ υ υ′ ′= − , де 0υ ≠ ,

що і треба було довести. Похідні елементарних функцій.

Якщо у = const, то у' = 0. Степенева функція; у = uα, 1у u uaa -ў ў= Ч , де u=u(x).

Тригонометричні функції: у = sinx, y' = cosx; у = cosx, y' = –sinx; у = tgx, y' = 1/cos2x; у = ctgx, y' = –1/sin2x.

Обернені тригонометричні функції: xarcsinу = , 2х1/1у −=′ ;

xarccosу = , 2х1/1у −−=′ ; arctgxу = , )х1/(1у 2+=′ ; arcсtgxу = ,

)х1/(1у 2+−=′ .

Показникова функція: хау = , alnау х=′ ; якщо у = ex, хеу =′ .

Логарифмічна функція: хlogу а= , )alnх/(1у =′ ; якщо хlnу = ,

х/1у =′ .

Гіперболічні функції: shxу = , сhxу =′ ; сhxу = , shxу =′ ; thxу = ,

xсh/1у 2=′ ; сthxу = , xsh/1у 2−=′ .

Показниково-степенева функція: у uυ= , (де u( х ), (х))υ ; 1у u u u ' lnuυ υυ υ−′ ′= ⋅ + . (2.16)

Доведення деяких формул диференціювання. Теорема. Похідна від sinx є cosx. Доведення. Дамо аргументу х приріст х∆ ;

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

52

тоді: )ххsin(уу ∆∆ +=+ , де у = sіnx.

=++⋅−+=−+= )2/)хххcos(()2/)хххsin((2хsin)ххsin(у ∆∆∆∆

)2/ххcos()2/х(хsin2 ∆∆ +⋅= ; розділимо на х∆ .

х/))2/ххcos()2/х(хsin2(х/у ∆∆∆∆∆ +⋅= .

Знайдемо границю: )2/ххcos(lim)2/х/()2/х(sin(limх/уlimу

0х0х0х∆∆∆∆∆

∆∆∆+==′

→→→,

але 1))2/х/()2/х(sin(lim0х

=→

∆∆∆

, тому

xcos)2/ххcos(limу0х

=+=′→

∆∆

.

Остання рівність має місце тому, що функція cosx є непере-рвною у області свого визначення.

Теорема. Похідна від tgx є хcos/1 2 . Доведення. Функція у = tgx може бути записана у вигляді дробу:

у = sinx/cosx, за правилом (2.13), маємо:

x.1/cosxx)/cossinx(cosxcos/)хsin)(cosx-cosx)x((sinу 22222 =+=′′=′

Теорема. Похідна від функції хlogа дорівнює )alnх/(1 ⋅ .

Доведення. Якщо у∆ є приріст функції хlogу а= , який відпо-

відає приросту х∆ аргументу х, то );хх(logуу а ∆∆ +=+

хlog)хх(logу аа −+= ∆∆ ; після потенціювання )х/х1(logу а ∆∆ += .

Поділимо обидві частини останньої рівності на х∆ : )х/х1(log)х/1(х/у а ∆∆∆∆ += .

Помножимо і поділимо на х вираз, який стоїть праворуч у останній рівності:

х/хаа )х/х1(log)х/1()х/х1(log)х/х)(х/1(х/у ∆∆∆∆∆∆ +=+= .

Вираз, який стоїть під знаком логарифму, має границю е, коли 0х →∆ . Виконавши граничний перехід з обох сторін, маємо:

х / ха а

х 0 х 0у lim у / х lim (1 / х )log (1 х / х ) (1 / х )log∆

∆ ∆∆ ∆ ∆

→ →′ = = + = ×

х / ха

х 0lim (1 х / х ) (1 / х )log е 1 /( х ln a )∆

∆∆

→× + = = ⋅ .

Отже, теорему доведено.

Теорема. Похідна від функції αху = , де R∈α , дорівнює 1x −αα . Доведення. Нехай х > 0. Логарифмуємо дану функцію, маємо

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

53

xlnyln α= . Візьмемо похідну від обох частин рівності:

x/у/y α=′ . Звідси 1x)x/(x)x/(yy −===′ αα ααα .

Теорема. Похідна від показниково-степеневої функції ( х )у u( х )υ= дорівнює u ( ' lnu u / u )υ υ υ ′+ .

Доведення. Логарифмуємо дану функцію: ln y lnuυ= .

Візьмемо похідну від обох частин рівності: y / у ' lnu u / uυ υ′ ′= + ⋅ .

Відкіля y u ( ' lnu u / u )υ υ υ′ ′= + . Це формула (2.16).

Приклад. Знайти похідну від функції хху = .

Розв'язання. xlnxyln = ; )х/1(xxlnу/у +=′ ;

)1x(lnуу +=′ ; )1x(lnху х +=′ .

Теорема. Похідна від функції xarcsinу = дорівнює 2х1/1 − .

Доведення. Оберненою функцією до функції xarcsinу = є фун-

кція х = siny. За теоремою про похідну оберненої функції (формула 2.15) маємо:

))xin/(cos(arcs1ycos/1)у/(sin1)x(arcsin ==′=′ .

Оскільки 2х1)xcos(arcsin −= , то 2х1/1у −=′ .

Теорема. Похідна від гіперболічної функції shx дорівнює chx. Доведення. За визначенням гіперболічних функцій:

2/)ее(shx хх −−= ; 2/)ее(сhx хх −+= . ( )'ахе = ахае . Маємо

chx2/)ее()2/)ее(()shx( хххх =+=′−=′ −− .

Приклади. Знайти похідні:

x3sinху 2= ; =′+′=′ )x3(sinхx3sin)х(у 22 22х sin3x 3х cos 3x+ ;

x2cos/ху 3= ; =′−′=′ x2cos/)х)x2(cosx2cos)х((у 233

x2cos/)x2sinх2x2cos3(хx2cos/)х)x2sin2(x2cosх3( 22232 +=+= .

ЛЕКЦІЯ № 10

Похідна функції, заданої у параметричній формі. Нехай функ-цію задано у параметричній формі:

)t(у ψ= , )t(х ϕ= , де t – параметр. (2.17)

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

54

Функції )t(ψ і )t(ϕ - неперервні і диференційовані, коли

);(t βα∈ . Нехай у деякій точці );(t0 βα∈ існує додатна похідна

)t(х 0tt ϕ ′=′ , тоді вона додатна і у деякому околі 0t і, отже, у цьому

околі функція )t(ϕ монотонно зростаюча. З попереднього відомо, що

неперервна і монотонно зростаюча функція має обернену функцію t = t(x), їх похідні зв'язані рівністю

xt t/1х ′=′ . (2.18) Підставивши t = t(x) у другу з рівностей (2.17), дістанемо явну

форму завдання функції (2.17) на деякому проміжку значень х: )х(f))х(t(у ==ψ .

її похідну, як похідну складної функції, обчислюємо за формулою

хtх tу ′⋅′=′ ψ .

За формулою (2.18) цю похідну запишемо у вигляді:

ttх х/у)t(/)t(у ′′=′′=′ ϕψ або )dt/dх/()dt/dy(dx/dy = . (2.19)

Знайдений вираз для першої похідної функції, заданої в параме-тричному вигляді, дає можливість обчислити тангенс кута нахилу до-тичної до її графіка:

tt х/уtg ′′=α , (2.20)

а також написати рівняння дотичної до графіка функції (2.17) у заданій точці, коли 0tt = .

Приклад. Знайти кут нахилу дотичної до графіка функції: tcosах = , tsinау = , де π≤≤ t0 , у точці, яка відповідає 4/t π= .

Розв'язання. ctgt)tsinа/()tcosа()tcosа/()tsinа(у ttх −==′′=′ ;

1)4/(ctgtg −=−= πα ; відкіля 4

31350 πα == .

Похідні вищого порядку. Нехай функція f(х) диференційована у проміжку (а;b). Похідна цієї функції f'(x) є функцією аргументу x. Ві-зьмемо деяку точку )b;а(х0 ∈ ; дамо приріст аргументу 0ххх −=∆ , і

матимемо приріст функції f'(x) у точці х0: )х(f)хх(f)х(f 000 ′−+′=′ ∆∆ .

Розглянемо границю )х(fх/)х(flim 000х

′′=′→

∆∆∆

.

Якщо ця границя існує, то кажуть, що функція f(х) має похідну другого порядку (або другу похідну) у точці х0 і ЇЇ позначають:

)х(fу 0′′=′′ , або 20

2 dx/)х(fd , або 0хх

)х(f =′′ .

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

55

Аналогічно визначають похідні третього, четвертого і наступ-них порядків.

Складніше обчислити другу похідну функції, заданої у парамет-ричній формі:

ххtххtххtхххх )t(t)()t()у(у ′′′+′⋅′′=′′⋅′=′′=′′ ψψψ .

Обчисливши похідну по х від функції tψ ′ як похідну складної

функції: хttхt t)( ′⋅′′=′′ ψψ , дістанемо ххt2

хtttt t)t(у ′′⋅′+′′′=′′ ψψ . Оскільки

tх х/1t ′=′ , то 3tttхtt

2tхtхххх )х/(хtх))х/(1()х/1()t(t ′′′−=′⋅′′⋅′−=′′=′′=′′ .

Остаточно маємо: 3ttttttttt )х/()хуху(у ′′′⋅′−′⋅′′=′′ . (2.21)

Приклад. Знайти у ′′′ , якщо у = sin3х.

Розв'язання. Послідовно знайдемо у', у", у ′′′ : xcosxsin3у 2=′ ;

=′=′′ )xcosxsin3(у 2 2 2 33sin x( 2cos x sinх ) 6 sin x 9 sin х− = − .

)хsin92(xcos3xcosхsin27xcos6)xsin9xsin6(у 223 −=−=′−=′′′ .

Приклад. Знайти xxy ′′ , якщо tcosах = , tsinbу = .

Розв'язання. Знайдемо xxy ′′ за формулою (2.21). Для цього обчи-

слимо перші і другі похідні від даних функцій по змінній t: tsinахt −=′ , tcosахtt −=′′ ; tcosbуt =′ , tsinbуtt −=′′ .

2 2 3d y / dx (( а sin t )( b sin t ) ( bcos t )( аcos t )) /( а sin t )= − − − − −

)tsinа/(b 32−= .

Диференціал. Визначення. Нехай у = f(х) функція, де х∈ (а;b), неперервна у деякій тичці x0 ( а;b )∈ і приросту аргументу х∆ відпові-

дає приріст функції: )х(f)хх(f)х(fу 000 −+== ∆∆∆ , який є функці-

єю аргументу х∆ . Якщо для приросту функції у∆ існує таке число 0А ≠ , що при-

ріст функції можна записати у вигляді: у А х ( х ) х∆ ∆ ε ∆ ∆= ⋅ + ⋅ , де до-

даток )х( ∆ε задовольняє рівності: 0х/)х(lim0х

=→

∆∆ε∆

, то кажуть, що

дана функція диференційована у точці х0. Вираз хА ∆⋅ є диференціалом функції у = f(x) у точці х0, його

позначають dy або )х(df 0 . Отже, диференціал - це лінійна частина

приросту функції. Зв'язок між диференційованістю функції та існуванням її похід-

ної встановлюють за теоремою.

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

56

Теорема. Щоб функція у = f(х) у точці х0 була диференційована, необхідно і достатньо, щоб вона мала у цій точці скінчену похідну

)х(f 0′ . Якщо виконується ця умова, то f'(х0) = А і х)х(fdу 0 ∆′= .

Тут х∆ не обов'язково нескінченно мала; але якщо х∆ - нескін-ченно мала, то й dy - нескінченно мала і саме у цих випадках dy (за умови, що 0)х(f 0 ≠′ ) є головною частиною нескінченно малого при-

росту функції у∆ .

Диференціалом незалежної змінної х у точці х0 звуть її приріст х∆ , тобто хdx ∆= . З урахуванням цієї рівності, маємо:

dx)х(fdу ′= . (2.22)

Отже: dx/dy)х(f =′ , (2.23)

тобто похідна дорівнює відношенню диференціалів функції та аргуме-нту.

Правила обчислення диференціалів. Правила обчислення дифе-ренціалів суми, різниці, добутку і частки двох функцій аналогічні від-повідним правилам обчислення похідних:

d(cf(x)) = c(df(x)), де с - стала;

d(f(x) ± g(x)) = df(x) ± dg (x);

d(f(x) · g(x)) = g(x) df(х) + f(x)dg(x);

d(f(x)/g(x)) = (g(x)·df(x) – f(х) dg(x))/g2(x).

Приклад. Знайти диференціал функції у = x2/sinx.

Розв'язання. =−= xsin/))x(sindх)х(xd(sin)xsin/х(d 2222

xsin/dx)xcosxxsinх2( 22−= .

Геометрична інтерпретація диференціала. Нехай у = f(х) - деяка функція, Μ (х0 ; f(х0))- точка, яка належить графіку функції. Проведемо через точку Μ дотичну до графіка функції. Кутовий коефіцієнт нахилу дотичної (тангенс кута нахилу) дорівнює значенню похідної )х(f 0′ .

Якщо аргументу функції надати приріст х∆ , то приріст функції у∆

дорівнюватиме: )х(f)хх(fу 00 −+= ∆∆ .

На рис. 2.27 приріст ординати функції у∆ дорівнює довжині ві-

дрізка М1Р. При тому самому прирості аргументу х∆ приріст дотичної до-

рівнюватиме довжині відрізка ΝΡ. Обчисливши |ΝΡ| як катет прямоку-тного трикутника МNР, знаходимо: 0| NP | |МP | tg f (х ) хα ∆′= = . За

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

57

означенням dyх)(хf 0 =′ ∆ , отже |NP| = dy. Таким чином, dy є прирос-

том ординати дотичної.

Рис. 2.27

Диференціал у наближених обчисленнях. Формули приросту функції записуємо у вигляді:

)f(хх)(хfх)f(х 000 +′≈+ ∆∆ . (2.24)

Приклад. Обчислити sin460. Розв’язання. Покладемо 4/х0 π= , що відповідає 450;

180/х π∆ = , що відповідає 10; 180/4/хх ππ∆ +=+ . Підставивши ці величини у (2.24), будемо мати:

)4/cos()180/sin()4/sin()180/4/sin(46sin 0 πππππ ⋅+≈+= ;

7191,00175,07071,07071,0180/2/22/246sin 0 ≈⋅+≈⋅+≈ π . Інваріантність диференціала. Нехай у = f(x) і х = g(t) - деякі фун-

кції зазначених аргументів такі, що з них можна утворити складну фу-нкцію ))t(g(fу = .

Диференціал функції у = f(x) в припущенні, що х - незалежна змінна, визначається рівністю dх)x(fdy ′= .

Якщо розглядати функцію у як функцію незалежної змінної t, то її диференціал визначається рівністю dtydy t ⋅′= .

Підставивши в цю рівність замість похідної tу′ її вираз через хf ′

і tg′ , за формулою похідної складної функції, дістанемо

dtgfdy tх ⋅′⋅′= . (2.25)

Але, з іншого боку, dxdgdtgt ==′ ; отже, рівність (2.25) запи-

у

0 х

f(x0+∆x)

f(x0)

N

P M

x0+∆x x0

M1

dу

y=f(x)

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

58

шемо у вигляді dхfdy х ⋅′= .

Таким чином, припустивши, що у є функція аргументу t, ми діс-тали той самий вираз для диференціала dy, як і тоді, коли припускали, що у є функція аргументу х, тобто форма диференціала не залежить від того, чи є функція х незалежною змінною, чи вона в свою чергу є фун-кцією якоїсь змінної. Це і є інваріантність диференціала.

Диференціали вищих порядків. Вище введено перший диферен-ціал: dх)х(fdy ⋅′= . Він є функцією х, але від x може залежати тільки

перший множник )х(f ′ , другий множник dх є приріст незалежної

змінної х і від значення цієї змінної не залежить. Оскільки dy є функція від х, то маємо право говорити про диференціал цієї функції.

Диференціал від диференціала функції називають другим дифе-ренціалом або диференціалом другого порядку і позначають:

22 )dx)(х(fdx)dx)х(f()dx)х(f(d)dy(dyd ′′=′′=′== .

Прийнято, коли записуємо степінь диференціала, дужки не пи-сати. Тобто, замість (dx)2 пишемо dx2.

Третім диференціалом або диференціалом третього порядку функції зветься диференціал від її другого диференціала і так далі.

ЛЕКЦІЯ № 11

Основні теореми диференціального числення.

Теорема 1. Про корені похідної або теорема Ролля. Якщо функ-ція f(x) неперервна на відрізку [а;b], диференційована в усіх внутріш-ніх точках цього відрізку і f(а) = f(b), то знайдеться хоча б одна точка х = с, де а < с < b, в якій 0)с(f =′ .

Доведення. Оскільки функція f(x) неперервна на [а,b], то вона має на ньому найбільше значення Μ і найменше значення т.

Якщо Μ = т, то функція стала. Похідна від сталої величини до-рівнює нулю і теорема доведена.

Нехай f(c) = Μ, де а < с < b. Через те, що f(с) - найбільше зна-чення функції, то f(с + ∆ x) – f(с) 0≤ як при 0х >∆ , так і при 0х <∆ . Отже: 0х/))с(f)хс(f( ≤−+ ∆∆ , коли 0х >∆ ,

0х/))с(f)хс(f( ≥−+ ∆∆ , коли 0х <∆ .

Оскільки за умовою теореми f(с) існує, тобто, )с(fх/))с(f)хс(f(lim

0х′=−+

→∆∆

∆. Але тут 0)с(f ≤′ , коли 0х >∆ і

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

59

0)с(f ≥′ , коли 0х <∆ . Ці співвідношення сумісні лише тоді, коли

f ( с )′ = 0. Отже, між а і b є точка с, де похідна дорівнює нулю.

Теорема доведена повністю. Геометрично це означає, що дотич-на до графіка функції у точці с паралельна вісі абсцис.

Теорема 2. Про скінченні прирости функції або теорема Лагра-нжа. Якщо функція f(х) неперервна і диференційована на відрізку [а;b], то знайдеться хоча б одна точка с, де а < с < b, в якій

)ab)(с(f)а(f)b(f −′=− .

Доведення. Визначимо число Q рівністю Q)ab/())а(f)b(f( =−− . Складемо допоміжну функцію

F( х ) f ( х ) f ( а ) ( х а )Q= − − − . Очевидно, що 0)а(F = і 0)b(F = .

Функція F(x) неперервна на відрізку [a,b] і диференційована у кожній внутрішній точці. Отже, вона відповідає теоремі Ролля, за якою усере-дині відрізка є точка с така, що 0)с(F =′ . Але Q)х(f)х(F −′=′ .

Отже, 0Q)с(f)с(F =−′=′ , відкіля Q)с(f =′ , тобто

)ab)(с(f)а(f)b(f −′=− , що і треба було довести.

Рис. 2.28

Геометрично це означає, що на дузі графіка функції у = f(x) знайдеться точка С між А і В, у якій дотична паралельна хорді, яка з'єднує точки А і В (рис. 2.28).

Теорема 3. Про відношення приросту двох функцій або теорема

Коші. Якщо f(х) і ϕ(х) - дві функції, неперервні і диференційовані на відрізку [а,b], причому ( х ) 0ϕ ′ ≠ , то знайдеться така точка х = с, а < с

< b, що матиме місце рівність: )с(/)с(f))a()b(/())а(f)b(f( ϕϕϕ ′′=−− .

α α

у

у=f(х)

В

А

0 с b

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

60

Доведення. Визначимо число Q рівністю Q))a()b(/())а(f)b(f( =−− ϕϕ , де 0)a()b( ≠−ϕϕ .

Складемо допоміжну функцію ))a()х((Q)а(f)х(f)х(F ϕϕ −−−= .

Очевидно, що F(a) = F(b) = 0. Тобто функція F(x) задовольняє умовам теореми Ролля. Тому між а і b є така точка с, що 0)с(F =′ .

Але )х(Q)х(f)х(F ϕ ′−′=′ , отже 0)с(Q)с(f)с(F =′−′=′ ϕ , звідки

)с(/)с(fQ ϕ ′′= . Частину ліворуч замінимо відношенням приростів

функцій )с(/)с(f))a()b(/())а(f)b(f( ϕϕϕ ′′=−− , що й треба було

довести. Теорема 4. Правило Лопіталя. Нехай функції f(x) і )х(ϕ на де-

якому відрізку [а;b] задовольняють умовам теореми Коші і дорівню-ють нулю у точці х = а, тобто f(a) = ϕ(а) = 0; тоді, якщо існує границя відношення похідних f'(x) i )х(ϕ ′ , коли ах → , то існує і

))х(/)х(f(limах

ϕ→

, причому ))х(/)х(f(lim))х(/)х(f(limахах

ϕϕ ′′=→→

.

Доведення. Візьмемо на відрізку [а,b] яку-небудь точку ах ≠ . Застосовуючи теорему Коші, маємо

)(/)(f))a()х(/())а(f)х(f( ξϕξϕϕ ′′=−− , де ха << ξ .

Але за умовою теореми f(a) = ϕ(а) = 0, отже )(/)(f)х(/)х(f ξϕξϕ ′′= .

Якщо ах → , то і а→ξ , тому що ха << ξ . При цьому, якщо

А))х(/)х(f(limах

=′′→

ϕ , то ))(/)(f(limа

ξϕξξ

′′→

теж існує і дорівнює А.

Доведемо останнє: =→

))х(/)х(f(limах

ϕх аlim( f ( ) / ( ))ξ ϕ ξ

→′ ′ =

а х аlim( f ( ) / ( )) lim( f ( х ) / ( х )) Аξ

ξ ϕ ξ ϕ→ →

′ ′ ′ ′= = = . Отже,

=→

))х(/)х(f(limах

ϕ ))х(/)х(f(limах

ϕ ′′→

.

Зауваження: - теорема має місце і у тому разі, якщо функції f(х) і ϕ(x) не ви-

значені коли x = а, але 0)х(flimах

=→

і 0)х(limах

=→

ϕ ;

- якщо )а()а(f ϕ ′=′ = 0 і похідні задовольняють умовам, які

були накладені за умовами теореми на функції )х(f і )х(ϕ , то засто-

совуючи правило Лопіталя до відношення )х(/)х(f ϕ ′′ , матимемо:

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

61

)х(/)х(flim)х(/)х(flimахах

ϕϕ ′′′′=′′→→

і т.д.

- якщо 0)а(f ≠′ , а 0)а( =′ϕ , то теорема може бути прикладена

до оберненого відношення )х(f/)х(ϕ , яке прямує до нуля при

ах → . Отже, відношення )х(/)х(f ϕ прямує до нескінченності;

- правило Лопіталя може бути прикладене і у тому разі, коли 0)х(flim

х=

∞→ і 0)х(lim

х=

∞→ϕ ;

- правило Лопіталя може бути застосоване і у тому разі, коли ∞=

→∞→

)х(flim

ахабо х

і ∞=→

∞→)х(lim

ахабо х

ϕ .

Розглянуте правило Лопіталя застосовується для розкриття не-визначеностей, які з'являються при обчисленні границь відношення двох функцій. У теоремі розглянута невизначеність вигляду |0/0|, а у зауваженнях його застосування було розширено.

Якщо виконувати відповідні перетворення функцій при обчис-ленні границь, можна розкривати невизначеності типу:

|0| ∞⋅ ; |0| 0 ; || 0∞ ; |1| ∞ ; || ∞−∞ .

Приклади. 1. 2/12/))х1/(1(lim|0/0|)х2/())х1(ln(lim

0х0х=+==+

→→;

2. k)х/kcos(limk|0/0|)х/1/())х/k(sin(limхх

===∞→∞→

;

3. ∞===∞∞=∞→∞→∞→

)2/е(lim))х2/(е(lim|/|)х/е(lim х

х

х

х

2х

х;

4. с/а)сх2/()ах2(lim|/|)dсх/()bах(limх

22

х==∞∞=−+

∞→∞→;

5. ;0)2/х(lim)х/2/()х/1(lim

|/|)х/1/()х(lnlim|0|хlnхlim

2

0х

3

0x

2

0х

2

0х

=−==−=

=∞∞==∞⋅=

→→

→→

6. Знайти х

0ххlim

→. Тут невизначеність |0| 0 . Покладемо хху = ,

знаходимо =∞⋅====→→→→

|0|хlnхlim)хln(limуlnlim)уlimln(0х

х

0х0х0х

0хlim)х/1/()х/1(lim|/|)х/1/()х(lnlim0х

2

0х0х=−=−=∞∞==

→→→.

Отже, 0)уlimln(0х

=→

, відкіля 1ехlim 0х

0х==

→.

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

62

ЛЕКЦІЯ № 12

Дослідження функції однієї змінної та побудова ескіза її гра-фіка. Дослідження кількісної сторони різних явищ природи зводить до встановлення та дослідження функціональної залежності між змінни-ми величинами, які відображають відповідне явище.

Очевидно, зробити повне дослідження функції, обчислюючи її значення у окремих точках, важко. Тому у цій лекції будуть встанов-лені загальні правила дослідження поведінки функції з застосуванням першої похідної, які дозволяють зробити ескіз графіка функції.

Зростання (спадання) функції. Вище було дано визначення зрос-таючої і спадної функцій. Тепер застосуємо поняття похідної для дос-лідження зростання і спадання функції.

Теорема. 1) Якщо функція f(х) має похідну і зростає на відріз-ку[a,b], то її похідна 0)х(f >′ .

2) Якщо функція f(х) на відрізку [а,b] має 0)х(f >′ , то на цьому

відрізку вона зростає. Доведення. 1) Нехай функція f(х) зростає на відрізку [а,b]. До-

дамо аргументу x приріст х∆ і розглянемо відношення х/))х(f)хх(f( ∆∆ −+ . (2.26)

Оскільки f(x) зростаюча, то )х(f)хх(f >+ ∆ , коли 0х >∆ і

)х(f)хх(f <+ ∆ , коли 0х <∆ . В обох випадках відношення (2.26)

додатне, отже 0х/))х(f)хх(f(lim)х(f

0х>−+=′

→∆∆

∆,

тобто 0)х(f >′ , що і треба було довести.

2) Нехай 0)х(f >′ на відрізку [ ]а,b . Розглянемо будь-які зна-

чення х1, і х2 ∈ [а,b], такі, що х1 < х2. За теоремою Лагранжа про скін-ченні прирости маємо:

)хх)((f)х(f)х(f 1212 −′=− ξ , де 21 хх << ξ .

За умовою теореми 0)(f >′ ξ , отже, 0)х(f)х(f 12 >− , це озна-

чає, що f(х) зростаюча функція. Теорема доведена повністю. Аналогічна теорема має місце і

для спадної функції. Приклад. Визначити інтервали зростання і спадання функції

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

63

4ху = .

Розв'язання. Похідна цієї функції 3х4у =′ . Коли 0х > , маємо

0у >′ - функція зростає; коли 0х < , маємо 0у <′ - функція спадає.

Максимум і мінімум функції. Визначення. Функція f(x) у точці х1, має максимум (maximum),

якщо )х(f)хх(f 11 <+ ∆ , коли 0х >∆ або 0х <∆ .

Визначення. Функція f(x) у точці х2 має мінімум (minimum), як-що )х(f)хх(f 22 >+ ∆ , коли 0х >∆ або 0х <∆ . В обох визначеннях

х∆ досить мала величина. Зауваження: 1. Функція, визначена на відрізку, може досягати

максимуму або мінімуму тільки при тих значеннях х, які знаходяться усередині розглядуваного відрізка.

2. Не слід думати, що максимум і мінімум функції є відповідно і найбільшим, і найменшим її значеннями на розглядуваному відрізку.

Локальний максимум або мінімум функції звуть екстремумом або екстремальним значенням функції.

Необхідна умова існування екстремуму функції. Теорема. Якщо диференційована функція у = f(x) має у точці х1

максимум або мінімум, то її похідна у цій точці дорівнює нулю, тобто 0)х(f 1 =′ .

Доведення цієї теореми спирається на теорему Ролля. Приклад. Функція у = х3 ,коли х = 0 має похідну у' = 0, але у цій

точці функція екстремуму не має. Раніше було розглянуто неперервну функцію, яка має в усіх то-

чках х∈ [а,b] похідну. Що матимемо у тих точках, де похідна не іс-нує? Розглянемо приклади:

функція: у = |х|. Ця функція неперервна, але у точці х = 0 не має похідної. З графіка (рис.2.29) бачимо, що у точці х = 0 функція має мінімум: у(0) = 0;

функція: 2/33/2 )х1(у −= не має похідної у точці х = 0 ( ∞→′у ,

коли 0х → , перевірте самостійно). З графіка (рис. 2.30) бачимо, що у точці х = 0 функція має максимум: у(0) = 1;

функція: 3/1ху = не має похідної у точці х = 0 ( ∞→′у , коли

0х → ). У цій точці функція екстремуму не має (рис. 2.31). Таким чином, функція може мати екстремум лише у двох випа-

дках: або у тих точках, де похідна існує і дорівнює нулю, або у тих

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

64

точках, де функція неперервна, але похідна не існує.

Рис. 2.29 Рис. 2.30 Рис. 2.31

Значення аргументу, при яких похідна дорівнює нулю або не іс-нує, звуть критичними.

Дослідження функції у критичних точках спирається на теорему про достатні умови існування її екстремуму.

Теорема. Функція f(х) неперервна у деякому інтервалі, який має критичну точку х1, і диференційована в усіх точках цього інтервалу (крім, може бути, самої точки х1). Якщо рухаючись через цю точку від

1х х∆− до 1х х∆+ , де х 0∆ > :

1) у′ змінює знак з плюса на мінус, то 1f ( x )– максимум;

2) у′ змінює знак з мінуса на плюс, то 1f ( x )– мінімум;

3) у′ не змінює знаку, то функція не має екстремуму.

Доведемо 1. Нехай у′ змінює знак з плюса на мінус; тобто для

усіх х достатньо близьких до точки х1, маємо: f'(х) > 0, коли х < х1, і f'(х) < 0, коли х > х1. За теоремою Лагранжа запишемо:

)хх)((f)х(f)х(f 11 −′=− ξ , де 1хх << ξ .

Можливі такі випадки: х < х1, тоді 1х<ξ , 0)(f >′ ξ ,

0)хх)((f 1 <−′ ξ і отже,

0)х(f)х(f 1 <− , або )х(f)х(f 1< ; (2.27)

х > х1, тоді 1х>ξ , 0)(f <′ ξ , 0)хх)((f 1 <−′ ξ і отже,

0)х(f)х(f 1 <− , або )х(f)х(f 1< . (2.28)

З (2.27) і (2.28) прямує, що для усіх значень х у околі точки х1, значення функції менше, ніж значення функції у точці х1. Отже, у точці х1 максимум.

Останні твердження теореми доводяться аналогічно.

y

x 1 0 –1

1

y=(1–x2/3)3/2

y

x 1 0 –1

1 y=|x|

y

x 1 0

–1

1 y=x1/3

–1

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

65

Найбільше та найменше значення функції на відрізку. Нехай функція f(х) визначена і неперервна на скінченому замкненому промі-жку [а,b]. Щоб знайти найбільше і найменше значення функції на від-різку, треба знайти усі її локальні максимуми і мінімуми на інтервалі (а;b); обчислити її у точках а і b; порівняти усі отримані числа і з них вибрати найменше і найбільше значення.

Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції 23 х43/ху −= на відрізку [–3; 3].

Розв'язання. Обчислимо похідну цієї функції х8ху 2 −=′ . Роз-

в'яжемо рівняння у' = 0, 0х0х8х2 =⇒=− ; х = 8. [ ]8 3,3∉ − .

Обчислимо значення функції у точках: х = –3, х = 0, х = 3. Маємо: у(–3) = –45; у(0) = 0 і у(3) = –27. Найбільше значення

у = 0, а найменше значення у = –45.

Асимптоти графіка функції. Визначення асимптоти було дано в розділі аналітичної геометрії на площині. Нагадаємо його.

Асимптотою графіка функції у = f(х) звуть пряму у kx b= + , яка

має таку властивість, що відстань від точки (х;f(х)) до цієї прямої пря-мує до нуля, якщо ця точка рухається вздовж вітки до нескінченності.

Асимптоти бувають двох видів: вертикальні й похилі (зокрема, горизонтальні).

Вертикальна асимптота. Пряма, яку задає рівняння х = а, визна-чає вертикальну асимптоту, якщо хоча б одна з границь:

)х(flim0ах −→

; )х(flim0ах +→

дорівнює +∞ (або −∞ ). Приклад. Функція у = 1/х має вертикальну асимптоту х = 0. Похила асимптота. Нехай функція у = f(x) має похилу асимпто-

ту: y kx b= +

Визначимо числа k і b. Нехай М (х,у) - точка, яка належить гра-фіку функції, і N(x1,y1) - точка, яка належить асимптоті (рис.2.32). До-вжина відрізка МР дорівнює відстані від точки Μ до асимптоти.

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

66

0

Q

y=kx+bP

M

y

x

N

Рис. 2.32

Позначимо черев ϕ кут нахилу асимптоти до осі Ох. З NMP∆

знайдемо NM cosϕ = MP. За визначенням асимптоти.

хlim NМ cos 0ϕ→∞

= , але

NМ = |QM – QN| = |f(х) - (kx + b)|, то остання границя запишеться таким чином:

хcos lim [ f (х ) kx b ] 0ϕ

→∞− − = , (2.29)

або х

cos limх[ f ( х ) / х k b / х ] 0ϕ→∞

− − = . Через те, що ∞→х , має вико-

нуватись рівність 0]х/bkх/)х(f[limх

=−−∞→

. Оскільки cosϕ , b і k -

сталі величини, тому 0)kх/)х(f(limх

=−∞→

, або

х/)х(flimkх ∞→

= . (2.30)

З рівності (2.29) маємо: )kх)х(f(limb

х−=

∞→. (2.31)

Отже, якщо пряма у = kx + b є похила асимптота, то k і b знахо-дяться за формулами (2.30) і (2.31). Якщо хоча б одна з границь не іс-нує, то похилої асимптоти не існує.

Аналогічно розглядаємо випадок, коди −∞→х . Зауваження. Лінія у = b є горизонтальною асимптотою і знахо-

диться із (2.31), коли k = 0.

Приклад. Знайти асимптоти функції х/)1х2х(у 2 −+= .

Розв'язання. Вертикальна асимптота х = 0. Похила асимптота:

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

67

1)х/1х/21(limх/)1х2х(limх/уlimk 2

х

22

хх=−+=−+==

±∞→±∞→±∞→;

2

х х хb lim ( у kх ) lim (( х 2х 1) / х х ) lim ( 2 1 / х ) 2

→±∞ →±∞ →±∞= − = + − − = − = .

Отже, пряма у = х + 2 є похила асимптота даної функції.

ЛЕКЦІЯ № 13

Застосування другої похідної у дослідженні функції. Напрям угнутості кривої. Нехай функція f(х) визначена і неперервна на промі-жку (а;b) і у точці )b;а(х0 ∈ має скінчену похідну. Тоді до графіка

даної функції у точці М0(х0, f(х0)) можна провести дотичну, рівняння якої має вигляд

)хх)(х(fуу 000 −′=− .

Кажуть, що у точці М0 крива (графік функції) напрямлена угну-тістю в певний бік (вгору чи вниз) від дотичної, якщо у досить малому околі точки М0, усі точки кривої лежать з одного боку від дотичної (рис.2.33, рис.2.34). Точка М0, є точкою перегину, якщо у досить ма-лому її околі точки кривої, з абсцисами х < х0, лежать з одного боку від дотичної, а точки з абсцисами х > х0 - з другого (рис.2.35), тобто у точ-ці М0 крива переходить а одного боку дотичної до іншого.

Рис. 2.33 Рис. 2.34 Рис. 2.35

Напрям угнутості кривої у = f(х) у деякій точці x0 з'ясовують, користуючись такими правилами:

- якщо в деякому околі точки х0 друга похідна )х(f 0′′ зберігає

знак плюс (як ліворуч, так і праворуч від точки х0), то крива у точці х0 напрямлена угнутістю вгору (рис.2.33);

- якщо в деякому околі точки х0 друга похідна f"(х0) зберігає

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

68

знак мінус (як ліворуч, так і праворуч від точки х0), то крива у точці х0

напрямлена угнутістю вниз (рис. 2.34); - якщо друга похідна змінює знак при переході черев точку х0,

то у точці х0 графік функції f(x) має перегін (рис. 2.35). Якщо скористатися сформульованими правилами при дослідже-

ні функції на екстремум, то можна зробити такі висновки: функція у = f(х) у точці х1, де 0)х(f 1 =′ , має максимум, коли 0)х(f 1 <′′ , і має мі-

німум, коли 0)х(f 1 >′′ .

Приклад. Нехай в результаті однакових і ретельно проведених експериментів дістали n різних значень величини х: 1а , 2а , ..., nа .

Найти те значення величини х, при якому сума квадратів похибок най-менша. Розв'язання. Сума квадратів похибок є функцією:

2n

22

21 )ax(...)ax()ax()x(f −++−+−= ,

тому шукане значення величини х знаходиться з умови найменшого значення цієї функції.

Маємо: )ax(2...)ax(2)ax(2)x(f n21 −++−+−=′ ; n2)x(f =′′ .

З рівняння 0)x(f =′ , знаходимо єдину критичну точку

n/)a...aa(x n21 +++= . Оскільки 0)x(f >′′ , то у цій точці функція

досягає найменшого значення. Отже, найімовірнішим значенням величини х буде середнє ари-

фметичне її наближених значень. Загальний план дослідження функції:

- знаходження області визначення функції; - знаходження області зміни функції; - з'ясування, чи буде ця функція періодичною; - з'ясування, чи буде ця функція парною (чи непарною) (якщо

функція парна, то її графік симетричний відносно осі Оу, якщо функція непарна, то її графік центральносиметричний віднос-но початку координат);

- з'ясування поводження функції в нескінченності, обчислюючи відповідні границі: )х(flim

х ∞→, )х(flim

х −∞→;

- знаходження точок перетину графіка функції з віссю Оу, обчи-слюючи f(0), і з віссю Ох, розв'язуючи рівняння f(х) = 0;

- обчислення похідної за для знаходження точок максимуму і мінімуму, встановлюючи проміжки зростання і спадання фун-кції;

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

69

- обчислення другої похідної за для знаходження точок переги-ну функції, встановлюючи проміжки, де крива повернута угнутістю вгору або вниз, причому у точках перегину обчис-люють кут нахилу дотичної;

- знаходження асимптот функції; - побудова ескізу графіка функції. Якщо досліджують конкретні функції, то не обов'язково додер-

жуватись зазначеної вище схеми. Можна навіть не з'ясовувати тих чи інших властивостей, якщо вони досить очевидні. Так, на періодичність треба досліджувати тільки тригонометричні функції.

Приклад. Дослідити функцію 3 32 хх6у −= і побудувати ескіз

її графіка. Розв'язання:

- область визначення - Rх:)f(D ∈ ;

- область зміни - Rу:)f(Е ∈ ;

- )х(у)х(у ≠− ; )х(у)х(у −≠− - функція не є парною і не є непа-

рною;

- +∞=−=−∞→

3 32

ххх6уlim ; −∞=−=

+∞→

3 32

ххх6уlim ;

- точки перетину графіка функції з віссю Оу:

0)006()0(у 3/1 =−⋅= і з віссю Ох: 2 3 1/ 30 (6х х )= − ⇒

0хх6 32 =− ⇒ 0)х6(х2 =− ⇒ 0х2 = ; 6х = . Маємо дві точки

(0;0) і (6;0);

- обчислимо похідну: 3' 2 3 23у ( 6х х ) ( 4 х ) / х(6 х )′= − = − − ;

- розв'яжемо рівняння: 0у =′ ; 0)х6(х/)х4( 3 2 =−− ; 4х = .

Похідна не існує у точках х = 0 і х = 6;

- обчислимо значення функції в критичній точці: 3 42)4(у = .

Маємо три критичні точки 0х1 = , 4х2 = і 6х3 = . Вони утво-

рюють інтервали: )0;( −∞ ; (0;4); (4;6) і );6( ∞ . Обчислимо знак похід-

ної на цих інтервалах. Відповідно маємо: 0у <′ , 0у >′ , 0у <′ і 0у <′ .

Отже, у точці 0х1 = функція має мінімум; у точці 4х2 = функція має

максимум; у точці 6х3 = функція має перегин. Таким чином, маємо

інтервали монотонності: при 0х <<−∞ і ∞<< х4 функція спадає, при 4х0 << функція зростає;

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

70

- обчислимо другу похідну: ))х6(х/()8(у 3/53/4 −−=′′ . Друга

похідна не існує у точці 0х1 = і у точці 6х3 = .

Розглянемо знак похідної у околі кожної з цих точок: коли х < 0, маємо 0у <′′ - графік функції напрямлений угнутістю вниз; коли х > 0,

маємо 0у <′′ - графік функції напрямлений угнутістю вниз.

Отже точка з абсцисою 0х1 = є точкою мінімуму.

x02 4 6

2

y

32 4

Рис. 2.36

Коли х < 6, маємо 0у <′′ - графік функції напрямлений угнутістю

вниз і коли х > 6, маємо 0у >′′ - графік функції напрямлений угнутістю

вгору. Отже точка з абсцисою 6х3 = є точкою перегину;

- шукаємо похилу асимптоту:

1)1х/6(limх/)хх6(limх/уlimk 3/1

х

3/132

хх−=−=−==

±∞→±∞→±∞→,

/)ххх6(lim)х)хх6(lim)kху(limb 332

х

3/132

хх+−=+−=−=

±∞→±∞→±∞→

23/6)х)хх6(х)хх6/(( 23/1323/232 ==+−−− .

Отже, пряма у = –х + 2 є похила асимптота;

- ескіз графіка дослідженої функції побудовано на рис. 2.36.

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

71

ТЕМА 3. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ

ЛЕКЦІЯ № 14

Визначники. Визначником n-го порядку звуть число n∆ , яке за-

писано у вигляді квадратної таблиці чисел ijа :

11 12 1n

21 22 2nn

n1 n2 nn

а а ... а

а а ... а

... ... ... ..

а а ... а

∆ = , де n,j ,n,і 11 == .

Індекс і вказує номер строки, індекс j - номер стовпця. Числа

ijа звуть елементами визначника (їх n2).

Елементи: nn2211 а ....., ,а ,а , утворюють головну діагональ ви-

значника; 1nа , 2n 1а − ,…, n1а – побічну діагональ визначника.

Правило обчислення визначника базується на таких поняттях як мінор ijМ та алгебраїчне доповнення ijА елемента ijа .

Мінор ijМ - це визначник ( n 1− ) -го порядку 1n−∆ , який утво-

рюється із визначника n-го порядку n∆ викреслюванням i-ї строки та j

-го стовпця.

Алгебраїчне доповнення ijА є добуток ijji

ij М)1(А ⋅−= + .

Правило обчислення визначника n-го порядку:

∑∑==

⋅=⋅=n

1ккjкj

n

1кікікn АаАа∆ . (3.1)

Тобто, визначник n-го порядку дорівнює сумі n добутків елеме-нтів рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення. Його звуть: розк-ладання визначника по елементах і-го рядка, або j-го стовпця.

Визначник 2∆ відповідно введеному правилу обчислюється так:

211222112221

12112 аааа

а а

а а−==∆ . (3.2)

Визначник 3∆ можна обчислювати відповідно правилу (3.1), а

також за правилом трикутників (правило Саррюса):

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

72

(3.3) Останнє схематично виглядає так:

+ –

Приклад: Обчислити 3∆ за правилами (3.1) і (3.3).

Розв’язання. За правилом Саррюса

3

4 7 2

3 1 5

5 0 7

∆−

= −.101471017528)054737

5)1()2(()2(035577)1(4

−=−−+−=⋅⋅+⋅⋅++⋅−⋅−−−⋅⋅+⋅⋅+⋅−⋅=

За правилом (3.1)

3

4 7 2

3 1 5

5 0 7

∆−

= −.10102828)50(2)2521(7)7(4

0 5

1 3)1()2(

7 5

5 3)1(7

7 0

5 1)1(4 312111

−=−+−=+−−⋅−−⋅=

=−

−⋅−+−⋅+−

⋅−⋅= +++

Основні властивості визначників:

- заміна елементів рядка елементами стовпця не змінює величини ви-значника;

- якщо один з рядків або з стовпців визначника складається тільки з нулів, то визначник дорівнює нулю;

- при переставленні місцями двох рядків визначника дістаємо визнач-ник супротивного знака;

- визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю; - якщо всі елементи деякого рядка визначника помножити на число

k ≠ 0, то сам визначник помножиться на k; - якщо один з рядків визначника пропорційний другому рядку, то ви-значник дорівнює нулю;

11 12 13

3 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 32 21 13 22 31

31 32 33

12 33 21 11 23 32 13 22 31

а а а

а а а а а а а а а а а а а а а

а а а

а а а а а а а а а .

∆ = = + + − −

− − −

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

73

- якщо всі елементи і-го рядка визначника n-го порядку записати у

вигляді суми двох додатків )n,1j(bа jj =+ , то визначник дорівнює

сумі двох визначників, у яких всі рядки, крім і-го, такі самі, як і в по-чатковому визначнику, і-й рядок одного з визначників складається з елементів аj, а другого – з елементів bj;

- визначник не змінюється, якщо до елементів одного з рядків дода-ються елементи другого рядка, помножені на одне й те саме число.

Усі ці властивості доводяться за допомогою правила обчислення визначника.

Остання властивість дозволяє утворювати нульові елементи у визначнику, що потім робить його обчислення дуже простим.

Приклад. Обчислити визначник

.

1 32 0 3

1 15 0 4

1 2 0 4

8 12 1 3

10

158 2 9

7 3 1 1

2334 3 5

80 120 10 30

4

−

−

=

−−−

−−−−

=∆

З першого рядка винесли множник 10; далі застосовуємо остан-ню властивість, тобто послідовно перший рядок помножили на 3 і склали з другим рядком; потім перший рядок склали з третім рядком; потім перший рядок помножили на 2 і склали з четвертим рядком. Тим самим у другому стовпці утворили три нульові елементи.

Розкладемо останній визначник по елементах другого стовпця:

=−

⋅=−

⋅−⋅−⋅= +

1 23 7

1 15 0

1 2 0

10

1 23 3

1 15 4

1 2 4

)1()1(10 214∆

.910)152(70 1 15

1 2 )7()1(10 13 =−⋅−=⋅−⋅−⋅= +

Третій стовпець помножили на –4 та склали а першим стовпцем; потім визначник 3-го порядку розклали по елементах першого стовп-ця. Визначник другого порядку розкрили за правилом (3.2).

Остання властивість дозволяє також початковий визначник при-вести до трикутного вигляду, це коли всі елементи під (або над) голов-ною діагоналлю дорівнюють нулю. Тоді обчислення визначника стає зовсім простим. Він дорівнює добутку елементів головної діагоналі. Так, розглянутий вище визначник матиме вигляд:

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

74

4

30 10 120 80 1 8 3 12

5 3 34 23 0 1 4 210 10 1 1 7 13

1 1 3 7 0 0 7 30

9 2 8 15 0 0 0 13

∆

−− − −

= = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =− −

− −

910.

Тут, після отримання у другому стовпці нульових елементів,

другий стовпець перемістили на перше місце. Винесли (–1) і поміняли знак у визначника. Потім четвертий стовпець перемістили на друге місто. Знак визначника не змінився. Потім із другого рядка відняли послідовно третій і четвертий рядок. Третій і четвертий рядки поміня-ли місцями. Змінили знак визначника. Винесли (–1) з рядка і отримали визначник трикутного вигляду.

ЛЕКЦІЯ № 15

Матриці і операції над ними. Прямокутна таблиця

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

а а ... а

а а ... аА ,

... ... ... ..

а а ... а

=

складена з nm⋅ чисел, називається матрицею з m рядків і n стовпців або матрицею розміру m на n.

Числа ijа , де n,1j ;m,1і == , є елементи матриці. Перший ін-

декс і елемента означає номер рядка, в якому стоїть елемент матриці, а другий індекс j - номер стовпця.

Матрицю позначають також ijаА = , або ijА ( а )= , де

n,1j ;m,1і == .

Матриця квадратна, коли m=n.

Дві матриці ijа i klb рівні, якщо ijа = klb при i = k i j = l, де

і,k 1,m; j,l 1,n= = .

Множення матриці на число. Добутком числа с і матриці

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

75

ijаА = є матриця ijbВ = , елементи якої обчислюють за правилом

ijij асb ⋅= , тобто кожен елемент ijb , матриці В є добутком числа с і

елемента ijа матриці А.

Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається ну-льовою матрицею і звичайно позначається символом О (або Оij).

Сума і різниця матриць. Сумою двох матриць ijаА = і

klbВ = , що мають відповідно однакове число рядків і стовпців (і,

n,1l ,j ;m,1k == ), є матриця ijсС = розміру m на n з елементами,

які дорівнюють сумам відповідних елементів матриць A i B:

ijijij bас += . Сума матриць A і В позначається A + В = С.

Різницею матриць А і В є матриця С, яка складена з різниць від-повідних елементів заданих матриць. Її записують С = А – В.

Добуток матриць. Добутком матриць ijаА = і jlВ b= , де

і 1,m j 1,n, l 1,k= = = , є матриця С порядку m на k, елементи якої об-

числюють за правилом

il i1 1l in nlс а b ... а b= ⋅ + + ⋅ , ( k,1l ,m,1і == ),

тобто елемент, що стоїть у i-му рядку і l-му стовпці матриці С А В= ⋅ , дістаємо внаслідок множення елементів i-го рядка матриці А на відпо-відні елементи l-го стовпця матриці В і наступного додавання усіх цих пар добутків. Добуток матриць існує, якщо число рядків матриці А дорівнює числу стовпців матриці B.

Операція множення матриць, взагалі кажучи, некомутативна

Приклад: .

5 1

1- 1

0 2

В ,0 3 2

1 2- 2А

=

−=

Тут розмірність матриці А є 2 3× , а розмірність матриці В є 3 2× .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

−−

=

⋅+−⋅+⋅⋅+⋅+⋅

⋅+−⋅−+⋅−⋅+⋅−+⋅−=⋅

37

75

501302 101322

111202 111222ВА .

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

76

( ) =

⋅+⋅⋅+−⋅⋅−+⋅

⋅−+⋅⋅−+−⋅⋅−+−⋅

⋅+⋅⋅+−⋅⋅+−⋅

=⋅

0511 35)2(1 0)1(11

0)1(11 31)2(1 2)1()2(1

0012 30)2(2 20)2(2

АВ

4 4 2

4 5 1 .

8 13 1

− − − −

У першому випадку маємо матрицю розмірністю 2 × 2, a y дру-

гому – 3 × 3. У множині квадратних матриць порядку n операції додавання і

множення визначені для будь-яких двох матриць. Квадратна матриця, всі діагональні елементи якої дорівнюють 1,

а решта - нулі, зветься одиничною і позначається Е (або En, де n - її порядок). Для будь-якої квадратної матриці А порядку n, та En, справе-длива рівність АЕААЕ nn =⋅=⋅ .

Транспонування матриць. Нехай ijаА = - матриця розміром

m на n: матриця, що утворюється з матриці А заміною рядків стовпця-ми, зветься транспонованою і позначається Ат.

Обернена матриця. Квадратна матриця n -го порядку зветься не-виродженою, якщо її визначник n∆ (елементами якого є елементи мат-

риці А) відрізняється від нуля, тобто ndet(А ) ∆= . Якщо det(A)=0,

матриця А зветься виродженою. Тільки до квадратних невироджених матриць А введено поняття

оберненої матриці А–1. Матриця А–1 є оберненою для квадратної неви-

родженої матриці А, якщо ЕАААА 11 =⋅=⋅ −− , де Е - одинична матри-ця порядку n.

Припустимо, що det(А ) 0≠ . Тоді А–1 існує і знаходиться таким

чином: транспонуємо матрицю А; будуємо приєднану матрицю А*, яка має елементами алгебраїчні доповнення Aij елементів аij транспонова-ної матриці Ат . Після цього кожний елемент матриці А* ділемо на det(А ) .

де

11 21 n1

12 22 n21 * *

1n 2n nn

A A ... A

A A ... AА А / det(А ), А

... ... ... ..

A A ... A

−

= =

Приклад. Дана матриці А. Переконатися, що вона невироджена,

знайти обернену їй матрицю А–1 і перевірити, що ЕАААА 11 =⋅=⋅ −− .

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

77

−−−

=111

351

142

А ,

2 4 1

det(А ) 1 5 3 10 12 1 5 4 6 8.

1 1 1

−= − = − − − + + + = −

−

Матриця А невироджена. Записуємо тА :

Ат

−−−=131

154

112

. Знаходимо Aij:

213

15)1(А

1111 −=

−−⋅−= + ; 3

11

14)1(А

1221 =

−−⋅−= + ;

731

54)1(А

1331 −=

−−⋅−= + ; 2

13

11)1(А

2112 =⋅−= + ;

111

12)1(А

2222 =⋅−= + ; 5

31

12)1(А

2332 −=⋅−= + ;

415

11)1(А

3113 =

−−⋅−= + ; 2

14

12)1(А

3223 −=

−−−

⋅−= + ;

651

42)1(А

3333 −=

−−

⋅−= + . Будуємо А*:

.

624

512

732

А*

−−−−−

= Отже: .

624

512

732

)8/(1А1

−−−−−

−=−

Перевірка добутку ЕАА 1 =⋅− :

1

2 3 7 2 4 1

А А 1 / 8 2 1 5 1 5 3

4 2 6 1 1 1

−− − − ⋅ = − ⋅ − ⋅ − = − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 3 1 7 1 2 4 3 5 7 1

1 / 8 2 2 1 1 5 1 2 4 1 5 5 1

4 2 2 1 6 1 4 4 2 5 6 1

− ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ − + ⋅ − + − ⋅ −= − ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ − + ⋅ − + − ⋅ − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ ⋅ − + − ⋅ − + − ⋅ −

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

78

( ) ( )( )

( ) ( )

2 1 3 3 7 1 8 0 0 1 0 0

2 1 1 3 5 1 1 / 8 0 8 0 0 1 0 .

0 0 8 0 0 14 1 2 3 6 1

− ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅ + − ⋅ = − ⋅ − = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅

Маємо: 1А А Е− ⋅ = . Отже, обернена матриця знайдена вірно. У тому,

що ЕАА 1 =⋅ − переконайтесь самостійно.

Ранг матриці. Нехай ( )ijаА = , де n,1j ;m,1і == . Візьмемо які-

небудь k рядків і k стовпців матриці А (k не перевищує найменше з чисел m, n). Елементи матриці А, що лежать на перетинах взятих ряд-ків і стовпців, записані у їхньому звичайному порядку, утворюють квадратну матрицю порядку k; її визначник звуть мінором k-го поряд-ку матриці А.

Рангом матриці rang (А) звуть найвищий порядок відмінних від нуля мінорів матриці А.

Приклад. Знайти ранг матриці

.

010

121

342

А

−−−

=

На перетині першого рядка і першого стовпця стоїть елемент матриці а11 = – 2. Отже, ранг матриці А не менший від одиниці.

З елементів, що стоять на перетині перших двох рядків і перших

двох стовпців, утворимо матрицю

−−−

21

42, визначник якої

84421

422 =+=

−−−

=∆

Отже, ранг даної матриці принаймні дорівнює двом. Мінором наступного (третього) порядку буде визначник матриці

А, який відмінний від нуля 53 =∆ . Отже, ранг даної матриці дорівнює

трьом. Розібраний спосіб знаходження rang (А) має назву "спосіб обві-дних мінорів".

Ранг матриці можна знайти і без обчислення різних обвідних мінорів цієї матриці. Цей метод обчислення рангу матриці ґрунтується на використанні таких елементарних перетворень матриці, що не змі-нюють її рангу:

1) зміна місць двох рядків (стовпців);

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

79

2) множення рядка (стовпця) на довільне, відмінне від нуля чис-ло;

3) додавання до одного рядка (стовпця) другого рядка (стовпця) помноженого на деяке, відмінне від нуля, число.

Для знаходження рангу матриці розміру т на п за допомогою елементарних перетворень зводимо матрицю до вигляду, в якому всі елементи aij=0, коли jі ≠ . Ранг початкової матриці дорівнюватиме

числу елементів aij=1, коли jі = , утвореної матриці.

Цей метод має назву "метод елементарних перетворень мат-риці".

Приклад. Знайти ранг матриці 1 2 4

1 4 1А

3 1 2

1 1 1

− − − =

−

.

Додамо перший рядок до другого, а другий рядок до четвертого, потім другий рядок множимо на 3 і додаємо до третього рядка. Маємо, у першому стовбці один елемент 1, а останні 0.

1 2 4 1 2 4

0 2 3 0 2 3

0 11 5 0 11 5

0 3 0 0 1 0

− − − − − − ≈ ≈ − −

−

1 0 4 1 0 0 1 0 0

0 0 3 0 0 1 0 1 0

0 0 5 0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0 0 0 0

− − ≈ ≈

.

Четвертий рядок ділимо на –3. Тепер цей рядок дає можливість

зробити нульовими елементи другого стовпця крім останнього шляхом послідовного множення його на –2, 2 та 11 і додавання до першого, другого та третього рядка. Маємо у перших двох стовбцях два елемен-ти одиничні, а останні нульові. Перетворюємо третій стовбець наступ-ним чином: перший стовпець множимо на 4 і додаємо до третього сто-впця; другий рядок поділимо на –3; третій рядок поділимо на 5; другий рядок множимо на –1 і додаємо до третього рядка. Таким чином, після зміни місць другого та четвертого рядків, маємо останню матрицю.

Тут елементи а11 = а22 = а33 = 1. Тобто, Rang (A) = 3.

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

80

ЛЕКЦІЯ № 16

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь та методи їх розв'я-зання. Система т лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими x1, x2, ..., xn має вигляд:

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

m1 1 m2 2 mn n m

а х а х ... а х b ,

а х а х ... а х b ,

... ... ... ... ... ... ... ... ,

а х а х ... а х b .

⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

(3.4)

Величини а11, а12,…, а1n, a21, a22, … , amn звуть коефіцієнтами; 1х ,

2х ,…, nx – невідомими. Індекси біля коефіцієнтів означають номер

рівняння та номер невідомого. Величини b1, b2, …, bm – звуть вільними членами.

Система рівнянь однорідна, якщо всі bi = 0( m,1і = ), і неоднорі-дна, якщо хоча б одне bi 0≠ .

Упорядковану множину n чисел k1, k2. ..., kn звуть розв’язком си-стеми (3.4), якщо при їх підстановці у (3.4) замість невідомих х1, х2, .... хn усі рівняння системи (3.4) перетворюються у тотожності. Система рівнянь сумісна, якщо вона має хоча б один розв'язок, і несумісна, як-що вона не має жодного розв'язку.

Сумісну систему лінійних рівнянь звуть визначеною, якщо вона має єдиний розв'язок.

Сумісна система лінійних рівнянь є невизначеною, якщо розв'я-зків більше ніж один.

Система однорідних рівнянь завжди має нульовий розв'язок: х1 = х2 = ...= хn = 0.

Якщо система однорідних рівнянь має ненульовий розв'язок k1, k2 ..., kn, (тобто, хоча б одне з цих чисел відмінне від нуля), то така сис-тема має і незліченну множину розв'язків вигляду αk1, αk2, ..., αkn, де

R∈α . Методи розв’язання. Метод послідовного виключення невідо-

мих (метод Гаусса). Цей метод вивчається у середній школі. Приклад. Розв'язати систему:

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

81

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3х 3х 9х 5х 2,

2х 3х 11х 5х 2,

х х 5х 2х 1,

2х х 3х 4х 3,

х х 3х 4х 3.

+ + + = − + + + = + + + = + + + = −+ + + = −

Розв'язання. Третє рівняння перепишемо першим і виключимо невідоме х1 із решти рівнянь. З третього рівняння виключимо х2 і пере-пишемо систему.

1 2 3 4 1 2 3 4

3 4 2 3 4

2 3 4 3 4

2 3 4

3 4

х х 5х 2х 1, х х 5х 2х 1,

6х х 5, х 7х 2 х 5,

х х х 0, 6х х 5,

х 7х 2х 5, 6х

2х 2х 4.

+ + + = + + + =+ = + + =+ + = + =+ + =− =

1 2 3 4

2 3 4

3 43 4

43 4

х х 5х 2х 1,

х 7х 2 х 5,

6х х 5, х 5,

-2х 2. х х 2.

+ + + =

+ + = + = + = = − =

Маємо два однакових рівняння (третє та четверте). Виключимо невідоме х3 із останнього рівняння.

Отримані системи еквівалентні даній системі і з неї послідовно знизу вгору знаходимо: х4 = –1; х3 = 1; х2 = 0; х1 = –2. Тобто, система сумісна і визначена.

Формули Крамера. Розглянемо систему (3.4), коли m = n. Такі системи звуться крамерівськими. Запишемо визначники:

nn n21n

n22221

n121 11

n

а ...а а

.. ... ... ...

а ... а а

а ... аа

=∆ ,

nn n2n

n2222

n112 1

х

а ...а b

.. ... ... ...

а ... а b

а ... аb

1

=∆ ,

nn n1n

n2221

n11 11

х

а ...b а

.. ... ... ...

а ... b а

а ... b а

2

=∆ , . . . ,

n n21n

22221

112 11

х

b ...а а

.. ... ... ...

b ... а а

b ... а а

n

=∆ .

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

82

∆n- головний визначник системи; n21 ххх ,.... , , ∆∆∆ - допоміжні

визначники, які утворені заміною і-гo стовпця у головному визначнику стовпцем вільних членів системи (3.4). Якщо 0n ≠∆ , то за формулами

Крамера: nхі /хі

∆∆= , тут n 0∆ ≠ . (3.5)

Випадок, коли 0n =∆ розглянемо нижче.

Приклад. Розв'язати систему:

1 2 3

1 2 3

2 3

2х х 3х 3,

3х 4х 5х 8,

2х 7х 17.

− − = + − = − + =

Обчислимо визначники:

3

2 1 3

3 4 5 79

0 2 7

∆− −

= − = ; 1х

3 1 3

8 4 5 395;

17 2 7

∆− −

= − − =

2х

2 3 3

3 8 5 158;

0 17 7

∆−

= − − = − 3х

2 1 3

3 4 8 237;

0 2 17

∆−

= − =

За формулами (3.5): 1х 395 / 79 5= = ; 2х 158 / 79 2= − = − ;

3х 237 / 79 3= = . Відповідь: x1 = 5; х2 = –2; х3 = 3.

Матричний метод. Для запису системи т лінійних рівнянь з п невідомими використовується і більш коротка (матрична) форма запи-су. Записавши коефіцієнти при невідомих у вигляді матриці А, невідо-мі і вільні члени у вигляді матриць Χ і В, систему (3.4) можна записати у вигляді: ВХА =⋅ . Тобто:

11 21 1n 1 1

21 22 2n 2 2

n nm1 m2 mn

а а ... а х b

а а ... а х b

... ...... ... ... ..

х bа а ... а

=

. (3.6)

Побудуємо нову матрицю приєднанням матриці В до А. Цю ма-

трицю позначимо А . Вона має назву розширеної матриці.

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

83

=

3

2

1

nm2m1m

n22221

n11211

b

...

b

b

а...аа

............

а...аа

а...аа

А .

Повну відповідь на питання про існування розв'язку системи т лінійних рівнянь з n невідомими дає теорема Кронекера-Капеллі, яку приймемо без доведення.

Теорема. Щоб система рівнянь (3.6) мала розв'язок, необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці дорівнював рангу основної матриці.

Якщо ранги основної і розширеної матриць збігаються з числом невідомих, то система має єдиний розв'язок.

Якщо ранг основної і розширеної матриць менший від числа не-відомих, то система має більш ніж один розв'язок, тобто несчислену множину.

В останньому випадку число "вільних" невідомих, через які ви-ражається решта невідомих, які мають назву "базові" невідомі, дорів-

нює n – r. Припустимо, що rang (А) = rang(А ) = n і т = n. Тоді матри-ця А є невиродженою і для неї є обернена матриця А–1. Розв'яжемо ма-

тричне рівняння таким чином: .ВАХАА 11 ⋅=⋅⋅ −−

Оскільки ЕАА 1 =⋅− , тоді ВАХ 1 ⋅= − . Тобто для рішення сис-теми п лінійних рівнянь з п невідомими, коли матриця А невироджена, достатньо знайти обернену матрицю А–1 і знайти добуток двох матриць А

–1 і В, це буде матриця стовпець. Відповідні елементи матриці стовп-ця Χ будуть дорівнювати елементам матриці стовпця добутку. Це і буде розв'язком системи.

Приклад. Розв'язати систему рівнянь матричним методом:

=+−−=+−

=+−

.1z y х

,1z3y5х

,3z y4 х2

Розв’язання. 2 4 1

А 1 5 3

1 1 1

− = − −

,

=

=1

1-

3

В,

z

у

х

Х . 3

2 4 1

1 5 3 8

1 1 1

∆−

= − = −−

,

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

84

отже А - невироджена і її ( )rang А 3= .

Запишемо розширену матрицю системи і визначимо її ранг.

( )2 4 1 3 0 1 0 0

А 1 5 3 1 0 0 1 1 , rang А 3.

1 1 1 1 1 0 0 2

− = − − ≈ − =

Оскільки ( )rang А = ( )rang А 3= , то за теоремою Кронекера-

Капеллі система сумісна і має єдиний розв’язок. Ранг розширеної мат-риці шукали за методом елементарних перетворень матриці. Оскільки оперували тільки з її строками, то одержали розв’язок даної системи.

Для цього останню трансформовану матрицю А запишемо у вигляді:

1 0 0 2 x

0 1 0 0 y

0 0 1 1 z

=

−

.

Тобто х = 2, y = 0, z = –1 є розв'язок даної системи. Приклад. Розв'язати систему однорідних рівнянь:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3х х 2х 0,

2х 4х 5х 0,

х 2х 3х 0.

− + = − + = + + =

Розв’язання.

.1130688536

321

542

213

3 =−−++−=−

−−

=∆

Оскільки 03 ≠∆ , ( ) ( )rang A rang A 3= = , то за теоремою Кро-

некера-Капеллі система має єдиний тривіальний розв'язок: .0ххх 321 ===

Приклад. Розв'язати систему однорідних рівнянь:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3х 4х х 0,

х 3х 5х 0,

4х х 4х 0.

+ − = − + = + + =

Розв’язання:

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

85

.015161218036

414

531

143

3 =−−−−+−=−−

=∆

Оскільки 03 =∆ - система сумісна, але невизначена. Ранг цієї

системи дорівнює двом. Одне з рівнянь можна виключити.

1 2 3

1 2 3

3х 4х х 0,

х 3х 5х 0.

+ − = − + =

Виразимо х1 і х2 через х3:

−=−=+

,х5х3х

,х х4х3

321

321

Розв'яжемо останню систему за формулами Крамера або за ме-тодом виключення невідомих. Виконайте самостійно.

Отримаємо: х1 = (-17/13)х3; х2 = (16/13)х3. Нехай х3 = 13k, де Rk ∈ , тоді розв'язок початкової системи:

.k13х ,k16х ,k17х 321 ==−=

ТЕМА 4. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

ЛЕКЦІЯ № 17

Вектори. Основні поняття. Нехай А і В - дві різні точки пло-щини або простору. Відрізок AВ, в якому точку А вважають початком,

а точку В - кінцем, називають вектором АВ і позначають АВ . Тобто вектор - це напрямлений відрізок. Напрям, який визначається проме-

нем АВ, називають напрямом вектора АВ , а довжину відрізка |АВ|

називають довжиною (або модулем) вектора АВ . Довжину (модуль)

вектора АВ позначають |АВ |. На рисунках вектор АВ звичайно зо-бражують прямолінійною стрілкою з початком у точці А і кінцем у точці В.

Серед усіх векторів з початком у точці А є один вектор, довжина якого дорівнює нулю. Його називають нульовим вектором і познача-

ють АА . Поняття напряму для нульового вектора не вводять.

Рівність векторів. Нехай АВ і СD - два вектори. Вектор АВ

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

86

дорівнює вектору СD , якщо:

1) довжина відрізка АВ дорівнює довжині відрізка СD ;

2) промені АВ і СD однаково напрямлені. За такого означення рівності векторів множину всіх векторів,

які дорівнюють вектору АВ , називають вільним вектором. Вільні век-

тори звичайно позначають малими латинськими буквами: а , b , с , а

їхні довжини - відповідно |а| , |b| , |с| .

Додавання векторів. Нехай а і b - два не нульові вектори. Від-

кладемо вектор а від точки О і позначимо його кінець буквою А:

аОА = . Відкладемо від точки А вектор b і позначимо його кінець бу-

квою В: bАВ = . Вектор з початком у точці О і кінцем у точці В

( сОВ = ) називають сумою векторів а і b і записують с = а +b . Це правило трикутника (рис.4.1).

Властивості операції додавання векторів:

1) аоа =+ ;

аr

аr

br

br

с а b= +r r r

Рис. 4.1 Рис. 4.2

2) асоціативність: )сb(ас)bа( ++=++ ;

3) комутативність: аbbа +=+ .

Суму двох векторів а і b можна побудувати за правилом пара-лелограма (рис. 4.2).

Вектор, протилежний вектору а , це такий вектор (його позна-

чають а− ), що сума вектора а і вектора а− дорівнює нульовому

вектору: а + ( а− ) = 0r

. Вектор, протилежний вектору АВ , познача-

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

87

ють ВА .

Ненульові протилежні вектори мають рівні довжини ( |a||а| −= )

і протилежні напрями.

Рис. 4.3 Рис. 4.4

Різниця двох векторів bа − є сума вектора а і вектора, протилежного

вектору b (рис. 4.3), тобто вектор )b(а −+ . Або її можна знайти за

правилом трикутника (рис.4.4).

Множення вектора на число. Добутком ненульового вектора а

на число λ називають вектор, який має напрям а , якщо λ додатне, і протилежний напрям, якщо λ від'ємне; довжина цього вектора дорів-

нює добутку вектора а на абсолютне значення (модуль) числа λ.

Добуток вектора а на число λ позначається аλ . Якщо а = 0

або λ = 0, відповідно вважають: 00 =⋅λ для будь-якого λ , 0а0 =⋅

для будь-якого а . Властивості операції множення вектора на число:

1) комутативність: λ а = а λ;

2) асоціативність: а)()а( ⋅℘=℘ λλ ;

3) дистрибутивність: bа)bа( λλλ +=+ ; ааа)( ℘+=⋅℘+ λλ .

Два ненульові вектори називають колінеарними, якщо їхні на-прями збігаються або протилежні.

Пряма l із заданим на неї напрямом, яке приймається за додат-не, зветься віссю l .

Проекція вектора а на вісь l це число, яке позначається lпр а

a

b

–b c = a–b

B

C

A

–b

a

c = a–b

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

88

і дорівнює ϕcos|а| ⋅ , де ϕ ( πϕ ≤≤0 ) - кут між додатним напрямом

вісі l та напрямом вектора а , тобто за визначенням lпр ϕcos|а|а = .

Геометрично проекцію вектора а можна визначити довжиною відрізка MN (рис.4.5), яка береться із знаком "+", якщо 2/0 πϕ ≤≤ , та

із знаком "–", якщо πϕπ ≤≤2/ .

Рис. 4.5

Координати вектора. На координатній вісі вектор 0ОМ має

координату х0 і записується так:

ехОМ 00 ⋅= , де е - орт, 1| e| = .

Рис. 4.6

На координатній площині (рис. 4.6) вектор 0ОМ є діагональ

прямокутника ОМ1М0М2 і, якщо 1 0ОМ х i = ⋅uuuuur ur

; 2 0ОМ у j= ⋅uuuuur r

, то за пра-

y

E2

x E1

M2

M1

M0(x0,y0)

j

i

ℓ

φ

а

N

а

M

0

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

89

вилом паралелограма запишемо: jуi хОМОМОМ 00210 ⋅+⋅=+= це

розклад вектора у заданому базисі i , j , де i j 1= = , на складові век-

тора. Тобто вектор 0ОМ має координати х0 та у0 і записують

)у;х(ОМ 000 = . Модуль вектора 0ОМ , буде обчислюватись за фор-

мулою: 20

200 ух|ОМ| += .

Відстань між довільними точками А і В на площині, які мають відповідно координати (х1 ;у1) і (х2 ;у2) обчислюють за формулою:

( ) ( )2122

12 ууххАВ −+−= .

За цією ж формулою обчислюють довжину вектора АВuuur

, який

має ті ж координати: ( ) ( ) jуу iххАВ 1212 ⋅−+⋅−= .

У координатному просторі (рис. 4.7) вектор 0ОМ є діагональ

паралелепіпеда, який утворено на векторах 1ОМ , 2ОМ , і 3ОМ ; век-

тори 1ОЕ , 2ОЕ , 3ОЕ є базисними векторами (ортами) прямокутної

системи координат їх позначають: і , j , k ; i j k 1= = = .

Рис. 4.7

Отже: іхОМ 01 = ; jуОМ 02 = ; kzОМ 03 = . За правилом пара-

лелепіпеда 3210 ОМОМОМОМ ++= , це розклад вектора по трьом

z

E3

x

M3

M2

M0(x0,y0,z0)

k

i

y E2

z0

0 E1

x0 M1

y0 j

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

90

складовим векторам. У заданому базисі: kzjу іхОМ 0000 ++= . Тобто,

вектор 0ОМ , має координати х0 ; у0 ; z0 , що записують 0ОМ =(х0 ; у0

; z0). Довжина (модуль) вектора 0ОМ обчислюється за формулою

20

20

200 zух|ОМ| ++= .

Відстань між точками А(х1 ; у1 ; z1) і В(х2 ; у2 ; z2) обчислюють за

формулою ( ) ( ) ( )2122

122

12 zzууххАВ −+−+−= . (4.1)

За цією ж формулою обчислюють і |АВ| , який має відповідні коорди-

нати: ( ) ( ) ( ) kzzjуу іххАВ 121212 ⋅−+⋅−+⋅−= .

Розклад вектора за трьома некомпланарними векторами. Нехай

с ,b ,а - три некомпланарні (не лежать у одній площині) ненульові

базові вектори. Тоді будь-який просторовий вектор d єдиним чином

можна записати у вигляді суми: сzbуахd ⋅+⋅+⋅= .

Доведення. Нехай існує другий розклад: сzbуахd 111 ⋅+⋅+⋅= .

Ліворуч один і той же вектор, тому:

сzbуахсzbуах 111 ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅ або

0с)zz(b)уу(а)хх( 111 =⋅−+⋅−+⋅− . Але 0|с|і 0|b| ,0|а| ≠≠≠

Тотожність можлива, якщо 0zz ;0уу ;0хх 111 =−=−=− . Звідси ма-

ємо: 111 zz ;уу ;хх === . Тобто, розклад єдиний.

Добутки векторів. Скалярний добуток. Скалярним добутком

двох ненульових векторів а і b , який позначають ( а , b ), або ⋅а b , є число, що дорівнює добутку довжин векторів на косинус кута між ни-

ми: ( а , b )= ϕcos|b||а| ⋅⋅ , де ) b ,а(∧

=ϕ - кут між векторами а і b .

Властивості скалярного добутка векторів:

- комутативність ( а , b ) = ( b , а );

- асоціативність )b,а(k)b),аk(( ⋅=⋅ ;

- дистрибутивність )с,а()b,а())сb(,а( +=+ ;

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

91

- скалярний добуток 2|а|аа =⋅ .

Якщо хоча б один з двох векторів нульовий, або вектори а і b перпендикулярні один до одного, то скалярний добуток дорівнює ну-лю.

Векторний добуток. Векторним добутком двох векторів а і b є

вектор сr

, який позначають [ а , b ] = сr

, або а × b = сr

, який визна-чається такими трьома умовами:

- він перпендикулярний як до вектора а , так і до вектора b ;

- упорядкована трійка векторів ( а ; b ; с ), відкладених від одні-єї точки, утворює правий (у загальному випадку косокутний) базис;

- модуль вектора |с | = ϕsin|b||а| ⋅ , де j - кут між векторами а

і b , чисельно дорівнює площі паралелограма побудованого на

векторах аr

і br

. Властивості векторного добутку: - зміна місць множників дає протилежний вектор

]а ,b[]b ,а[ −= ;

- асоціативність ]b ,а[k]b ),а k[( = ;

- дистрибутивність ]с ,b[]с ,а[]с ),b а[( +=+ .

Якщо хоча б один з векторів нульовий, або вони колінеарні ( πϕϕ == ;0 ), то їх векторний добуток дорівнює нульовому вектору.

Мішаний (скалярно-векторний) добуток трьох векторів. Міша-ним добутком трьох некомпланарних векторів є число, абсолютна ве-

личина якого дорівнює об'єму паралелепіпеда з ребрами а , b , с , які відкладені від однієї точки.

Мішаний добуток векторів а ; b ; с позначають ( а b с )r r r

. Якщо

вектори а , b , с компланарні, то мішаний добуток дорівнює нулю.

ЛЕКЦІЯ № 18

Правила дій над векторами, заданими координатами. Якщо у

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

92

прямокутній системі координат Oxyz точки А і В мають координати (х1,

у1, z1) і (х2, у2, z2), то координатами вектора АВ буде трійка чисел (x2 –

x1;y2 – у1;z2 – z1), тобто АВ = (x2 – x1;y2 – у1;z2 – z1), або АВ =

k)zz(j)уу( і)хх( 121212 ⋅−+⋅−+⋅− . Вектори , а , b і , с у базисі

( k ,j , і ) задані своїми координатами:

= а (х1, у1, z1); = b (х2, у2, z2); = с (х3, у3, z3).

Тоді: довжину вектора аr

обчислюємо за формулою (4.1); - координати суми (різниці) двох векторів дорівнюють сумі (рі-

зниці) відповідних координат доданків

)zz ,уу ,хх( b а 212121 ±±±=± ;

- координати добутку вектора на число дорівнюють добутку ві-дповідних координат даного вектора на це число

;1 1 1а ( х ; у ; z )λ λ λ λ=uur

- скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків від-повідних координат цих векторів

212121 z zуу хх) b, а( ⋅+⋅+⋅= . (4.2)

Доведення. =++⋅++= )kzjу iх ()kzjу iх() b, а( 222111

+⋅++⋅+⋅+⋅+= k jz уjуу i jху k iz хj iух iхх 21

2

21

2

212121

2

21

.z zуу хх kz zjkуz ikхz 212121

2

212121 ++=⋅+⋅+⋅+

Тут: ,0kj ,0k i ,0j i =⋅=⋅=⋅ а 1k ,1j ,1 i222

=== ;

- векторний добуток двох ненульових векторів а і b , заданих

своїми координатами, є вектор с , який обчислюємо з визначника тре-тього порядку

;

zух

zух

kj i

с

222

111= або

=

22

11

22

11

22

11

ух

ух ,

хz

хz ,

zу

zус , (4.3)

де координати вектора с є визначниками другого порядку.

Доведення. 1 1 1 2 2 2[ а ,b ] [ х i у j z k , х i у j z k ]= + + + + =uur uur ur r r ur r r

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

93

1 2 1 2х х [ i , i ] х у [ i , j ]= + +ur ur ur r

++++++ ]і ,k[хz]k ,j[zу]j ,j[уу] i ,j[хy]k , i[zх 2121212121

=−++−−=++ iуzjхzі zуkхуjzхkух]k ,k[zz]j ,k [уz 2121212121212121

=−+−−−= k)хуух(j)хzzх( i)уzzу( 212121212121

.с

zух

zух

kj i

kух

ухj

хz

хz i

zу

zу

222

11122

11

22

11

22

11 ==⋅+⋅+⋅=

Тут: ;0] і, і[ = ;0]j,j[ = ;0]k,k[ = ;k]j, і[ = ; i]k,j[ =

;j] i,k[ = ;k] i,j[ −= ; і]j,k[ −= ;j]k, i[ −=

- мішаний добуток векторів а , b , і с, заданих своїми координа-тами, обчислюють як визначник третього порядку

( abс )r rr

=

333

222

111

zух

zух

zух

. (4.4)

Трійка векторів а , b , і с може утворювати новий базис, якщо їх мішаний добуток не дорівнює нулю;

- косинус кутаϕ між двома ненульовими просторовими векто-

рами а і b , заданими своїми координатами, обчислюємо з рівності

cos cos(а,b ) (а b ) /(|а | | b |)ϕ∧

= = ⋅ ⋅ =r r r r r r

2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2( х х у у z z ) /( х у z х у z )= + + + + ⋅ + + ; (4.5)

- косинуси кутів α, β, γ між вектором а і векторами базису і ,

j , k мають назву "напрямні косинуси", їх обчислюємо за формулами:

|а|/xcos 1=α ; |а|/уcos 1=β ; |а|/zcos 1=γ (4.6)

- напрямні косинуси будь-якого ненульового вектора а зв'язані рівністю

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

94

1coscoscos 222 =++ γβα , що безпосередньо випливає з їх визначен-

ня. Приклад. Піраміда має вершини у точках А(–2;–5;–1), В(–6; –7;

9), С(4;–5;1) і D(2;1;4). Знайти: а) косинус кута ADB; б) площу грані АВС; в) об'єм піраміди. Розв'язання. а) косинус кута ADB знайдемо за формулою (4.5).

Для цього побудуємо вектори DA і DВ :

k5j6 і4k)14(j)51( і)22(DA −−−=⋅+−⋅+−⋅+−= ;

k5j8 і8k)49(j)17( і)26(DВ ⋅+⋅−⋅−=⋅−+⋅+−⋅+−= .

Тоді =⋅= |)DB||DA/(|)DBDA(cosϕ

⋅−+−+−⋅−+−⋅−+−⋅−= 222 )5()6()4(/()5)5()8()6()8()4((

=++⋅++−+=+−+−⋅ )256464253616/()254832()5)8()8( 222

51,015377/55 ≈⋅= . б) площа грані АВС є площа трикутника:

АВСS 0,5 [АВ,АС ] 0,5 |АВ | | АС | sin( AВ,АС )∆

∧

= ⋅ = ⋅ ⋅uuur uuur uuur uuur uuur uuur

.

Побудуємо вектори АВ і АС :

k10j2 і4k)19(j)57( і)26(AВ +−−=⋅++⋅+−+⋅+−= ;

k2 і6k)11(j)55( і)24(AС +=⋅++⋅+−+⋅+= .

Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма,

який побудовано на векторах АВ і АС , а довжина вектора

АВ, АС

uuur uuurчисельно дорівнює площі цього ж паралелограма. Третя

умова векторного добутку двох векторів. Тоді:

[ АВ , АС ] = =−−

⋅+−

⋅−−

⋅=−−06

24k

26

104j

20

102 i

206

1024

kj i

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

95

с k12j68 і4 =++−= . =++=++−= 14446241612684)( |с| 222

4784 69,17= ≈ ; 6,34S АВС ≈∆ од. кв.

в) Об'єм піраміди дорівнює одній шостій об'єму паралелепіпеда,

який побудовано на трьох векторах: АD , ВD , СD , і обчислюється за допомогою мішаного добутку (4.4). Побудуємо ці вектори:

k5j6 і4k)14(j)51( і)22(AD ++=⋅++⋅++⋅+= ;

k5j8 і8k)94(j)71( і)62(ВD −+=⋅−+⋅++⋅+= ;

k3j6 і2k)14(j)51( і)42(СD ++−=⋅−+⋅++⋅−= .

( АD , ВD , СD ,) = 452144120802406096

362

588

564

=−++++=−

− .

Таким чином, 6

452VАВСD = од.куб. =

3

175 од.куб.

Приклад. Довести, що вектори: а ( 3; 1;0 )= −r

; b =(2;3;1), і

с ( 1;4;3 )= −r

утворюють базис. Знайти розклад вектора )7;3;2(d = у

цьому базисі.

Розв'язання. Якщо ( а, b, с) 0≠r r ur

, то вектори а , b і с утворюють

базис. Перевіримо це: 3 1 0

( а, b ,с ) 2 3 1 27 1 6 12 22.

1 4 3

−= = + + − =

−

r r r

Отже, ( а, b ,с ) 0≠r r r

. Дані вектори утворюють базис.

Розклад вектора d має вигляд: сzbуахd ++= , де х, у, z - неві-

домі числа. Векторне рівняння перепишемо у вигляді системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими х, у і z:

3х 2у z 2,

х 3у 4z 3,

у 3z 7.

+ − = − + + = + =

Розв'яжемо систему за методом Крамера. Головний визначник

Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

96

цієї системи обчислено вище: з 22∆ = .

Допоміжні визначники х∆ , у∆ і z∆ - дорівнюють:

66

317

433

122

х =−

=∆ ; 44

370

431

123

у −=−−

=∆ ; 66

710

331

223

z =−=∆ ;

322/66/х 3х === ∆∆ ; 222/44/у 3у −=−== ∆∆ ;

322/66/z 3z === ∆∆ .

Таким чином: с3b2а3d +−= . ТЕМА 5. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ

ЛЕКЦІЯ № 19

Прямокутна система координат у просторі. Нехай α - деяка площина у просторі з узятою на ній прямокутною системою координат Оху (розглянуто у аналітичній геометрії на пло-щині). Проведемо через точку О пряму, яку позначимо Оz, перпенди-кулярну до площини Оху (рис. 4.7). Візьмемо на прямій Оz напрям і

масштабний відрізок ОЕ3, який дорівнює відповідно масштабним від-різкам ОЕ1 і OE2 координатних вісей Ох і Оу. Пряма Oz - третя коор-динатна вісь. Таким чином, прямокутною системою координат у прос-торі називають упорядковану трійку взаємно перпендикулярних коор-динатних осей Ох, Оу і Oz. Вісь Ох називають віссю абсцис, вісь Оу - віссю ординат, вісь Оz - віссю аплікат. Площини Оху, Oxz, Oyz - нази-вають координатними площинами; тривимірний простір, у якому уве-дено систему координат, називають координатним.

Площина. Нормальне рівняння площини. Положення площини у просторі буде повністю визначено, якщо задати її відстань р від по-чатку координат О, тобто довжину перпендикуляра ОТ, який опущено

з точки О на площину, та одиничний вектор еr

на ньому, (рис.5.1).