Тема. Найбільше і найменше значення функції на відрізку.

Мета: навчити учнів застосовувати поняття похідної для знаходження

найбільшого і найменшого значення функції на відрізку; застосовувати

дані знання для розв’язування прикладних задач; розвивати логічне

мислення вміння аналізувати і узагальнювати; виховувати культуру

математичного запису.

Тип уроку: засвоєння нових знань, умінь, навичок.

Хід уроку

І. Організаційна частина.

ІІ. Актуалізація опорних знань і умінь.

1.Чи належить проміжок [-3;2] обасті виначення функції

у=2х+3; у=2х2+3х-5;

2.Знайти похідні заданих функцій усно:

1) у=3х2+8х-3;

2¿ у=4√х ;

3) у= 3у ;

4 ¿ у= 10х2 ;

5) у=5sin х-4соs х;

6) у=соs 6х.

3.Знайти критичні точки функції, якщо її похідна дорівнює:

1) х2+8х;

2) х2+4х-5;

3) х2-16;

4) х3+8.

III. Повідомлення теми та мети уроку, мотивація навчання

Людині у своїй діяльності часто доводиться вирішувати завдання, коли

потрібно затратити якомога менше часу, сил, коштів для одержання

найкращого результату. Наприклад, яких розмірів має бути ящик, щоб об’єм

був найбільшим з вказаного матеріалу?

Як зробити так, щоб деталі космічного корабля мали меншу масу? В якому

місці побудувати міст через річку, щоб дорога була коротшою?

Задачі такого типу називаються задачами на оптимізацію (від лат. Optimum

– найкращий).

Одна із стародавніх задач – задача Дідони, теж належить до задач на

оптимізацію. Згідно легенди, Дідона – цариця Карфагену могла отримати тільки

ту ділянку землі, яку обмежить шкіра вола. Цариця порізала шкіру вола на

смужки і розклала їх так, що обмежена ділянка землі стала значно більшою, в

порівнянні з тією, яку ю могла обмежити вся шкіра.

В техніці усе тримається на стандартах. Відповідність деталей одна одній

забезпечує саме стандартизація – тобто, встановлення єдиних норм і вимог до

сировини, напівфабрикатів, готових виробів і матеріалів. Служби

стандартизації розробляють свою систему стандартів у державі – ДСТУ.

В усіх цих задачах ми маємо справу з двома величинами, одна з яких

залежить від іншої, потрібно знайти значення однієї, щоб інша була

найбільшою, найкращою за даних умов.

В основі усіх цих задач лежать математичні методи, зокрема знаходження

найбільшого і найменшого значення функції за допомогою похідної. І уміння

розв’язувати ці задачі потрібні інженеру, економісту, будівельнику, екологу.

ІІІ. Пояснення нового матеріалу.

Задачі на знаходження найбільшого і найменшого значення функції Вам

добре відомі, особливо коли побудований графік функції, це графіки зміни

температури, руху туристів, курсу валюти.

Спочатку розглянемо суто математичну задачу. Нехай на малюнку

зображено графік функції у=f(х), заданої на відрізку [а, b], і необхідно знайти її

найбільше і найменше значення на цьому відрізку.

Розглянемо різні можливі випадки (рис. 1—3).

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Можна помітити, що своє найбільше або найменше значення функція

може приймати або в точках екстремумів, або на кінцях заданного відрізку.

Тому для розв'язання задачі на знаходження найбільшого і найменшого

значення функції, заданої на відрізку, необхідно виконати такі кроки.

За поданими графіками вкажіть точку і відповідно значення функції, яке є

найбільшим, найменшим.

 

Як бачимо у випадку коли функція зростає або спадає на відрізку [a,b] найбільше і найменше значення досягається на кінцях відрізка.

У випадку, коли функція є неперервною і має скінчену кількість стаціонарних точок ситуація змінюється, наприклад, стаціонарні точки х1, х2розбивають відрізок [a,b] на менші відрізки, в середині яких стаціонарних точок немає.

 

Тому найбільше і найменше значення функції слід шукати серед усіх цих точок. Функція може набувати найбільших і найменших значень як на кінцях відрізка так і у внутрішніх точках.

Цю властивість неперервних функцій узагальнив німецький математик Карл Вейєрштрас.

Теорема: Якщо Функція f(x) неперервна на [a,b], то вона має на цьому відрізку найбільше і найменше значення.

Проблемна ситуація Звичайно знаходження найбільшого і найменшого значення за графіком

очевидне і легке завдання, як же бути у випадку, коли графік відсутній і

складно його побудувати? Як. Використовуючи похідну, знайти найбільше і

найменше значення?

Алгоритм знаходження найбільших і найменших значень.

1. Знайти стаціонарні точки функції на [a; b];

2. Обчислити значення функції в стаціонарних точках;

3. Обчислити значення функції в точках a і b;

4. Вибрати найбільше і найменше значення серед усіх знайдених.

Приклад №1

Зразок

f(x)=х3-3х2+3 на [-1; 1].

1. f'(x)=3x2-6x;

2. 3х2-6х=0;

3x(x-2)=0;

х=0 або х=2.

Точок, в яких похідна не існує, немає.

3. х=0 належить проміжку [-1; 1].

4. f(0)=03-3∙02+3=3;

f(-1)=(-1)3-3∙(-1)2+3=-1;

f(1)=13-3∙12+3=1.

5. Найбільше значення функції на відрізку [-1; 1] дорівнює 3.

Найменше значення функції на відрізку [-1; 1] дорівнює -1.

Розв’яжемо разом Особливий інтерес представляють задачі прикладного змісту, так звані

задачі на оптимізацію, коли мова йде про дві величини, які залежать одна від

одної, а саме потрібно знайти значення однієї, щоб інша була найбільшою або

найменшою. Їх розв’язують за такою схемою:

1.Аналіз умови задачі; створення математичної моделі.

2.Одну з невідомих величин вважають незалежною і позначають х.

3.Виражають у через х і записують за допомогою функції цю залежність.

4.Розв’язують математичну задачу;

5.Адаптовують розв’язок до основної задачі

Задача

Периметр прямокутника дорівнює 40 км. Якими мають бути розміри

цього прямокутника, щоб його площа набувала найбільшого можливого

значення?

Позначимо одну сторону прямокутника х, тоді друга буде 20-х, площа

прямокутника дорівнює х(20-х). З умови задачі випливає, що хє(0;20). Таким

чином, задача звелася до знаходження найбільшого значення функції f(х)=20х-

х2на відрізку [0; 20].

Знайдемо похідну:

f'(х)=20-2х.

Знайдемо критичні точки:

20-2х=0;

х=10.

Точок, в яких похідна не існує, немає.

Точка х=0 належить проміжку [0; 20].

Знайдемо значення функції у критичній точці і на кінцях відрізка:

f(0)=0;

f(20)=0;

f(10)=100.

Звідси отримуємо, що функція f(х)=20х-х2на інтервалі (0; 20) набуває

найбільшого значення при х=10.

Таким чином, із усіх прямокутників із периметром 40 км найбільшу

площу має квадрат.

Відповідь: квадрат зі стороною 10 км.

IV. Закріплення матеріалу

1. №13.1(1,4)

2. Знайти найбільше і найменше значення функції:

f(x)=2х2-9x2-3 на відрізку [-1; 4]

Розв'язання

Знайдемо похідну: f(x)=6х2-18х.

Знайдемо критичні точки:

6х2-18х=0;

6х(х-3)=0;

х=0 або х=3.

Точок, в яких похідна не існує, немає.

Точки х=0 і х=3 належать проміжку [-1; 4].

Знайдемо значення функції у критичних точках і на кінцях відрізка:

f(0)=2∙03-9∙02-3=3;

f(3)=2∙33-9∙32-3=-30;

f(-1)=2∙(-1)3-9∙(-1)2-3=-14;

f(4)=2∙43-9∙42-3=-19.

Найбільше значення функції на відрізку [-1; 4] дорівнює 3.

Найменше значення функції на відрізку [-1; 4] дорівнює -30.

Відповідь: 3; -30.

3. Прикладна задача. 

Нехай Маші у спадок дісталась ділянка землі 9 соток, тобто 900 м2 для

ведення господарства і у неї є вибір, якими мають бути розміри цієї ділянки. Як

їй вчинити, щоб витрати на огорожу були найменшими?

Розв'язання

Позначимо одну сторону прямокутної ділянки за х, а другу за  , тоді периметр

буде  . Знайдемо найменше значення функції   на

інтервалі (0; ∞). Шукаємо похідну:  .

Шукаємо критичні точки:

х=30 і х=-30 (не входить в інтервал).

Знаходимо знак похідної зліва і справа від критичної точки:

f'(20)<0;

f'(40)>0,

Отже, х=3 — точка мінімуму.

Таким чином, функція приймає своє найменше значення при х=30. Отримуємо,

що оптимальні розміри ділянки 30×30 метрів.

Відповідь: квадрат зі стороною 30 м.

Завдання 1. Знайти різницю найбільшого та найменшого значення

функції: f(x)=x2 + (16-x)2 на [8;16]

Завдання 2. Рекламний білборд має форму прямокутника площею

9м2. Як його виготовити, щоб периметр був найменшим?

V. Підсумок уроку.VІ. Д/з п.13 №13.2, 13.8