1

Тема: Основы электростатики Д/З 1-14 Сав, 13.1 – 14.2 Д-Я

План:

1. Основные понятия и определения,

2. основные характеристики электростатического поля,

3. графическое изображение электростатического поля,

4. закон Кулона,

5. работа сил электростатического поля,

6. циркуляция вектора Е,

7. поток вектора Е,

8. теорема Гаусса,

9. связь Е с φ,

10. электростатическое поле точечного заряда и точечного диполя,

11. принцип суперпозиции для электростатического поля.

Основные теоретические сведения

Электростатикой называется раздел физики, изучающий взаимодействие неподвижных зарядов и характеристики их

электрических полей.

Наблюдения показывают, что в природе существует два вида зарядов: положительные и отрицательные.

Электрический заряд обозначается буквой q и измеряется в кулонах (Кл).

Было обнаружено, что минимальный заряд в природе неразрывно связан с очень маленькой частицей, которая была

названа электроном. Заряд электрона оказался равным 1,6·10-19

Кл и условно считается отрицательным.

Электрический заряд любого тела дискретен, то есть составляет целое кратное от элементарного электрического заряда

Клe 19106.1 , то есть eNq .

Действие одного электрически заряженного тела на другое осуществляется посредством электрического поля.

Электрическим полем называется особый вид материи, не воспринимаемый органами чувств человека, возникающий вокруг

заряженных тел и оказывающий на электрические заряды силовое воздействие.

Основное свойство электрического поля – это силовое воздействие на электрические заряды.

Электростатическим называется электрическое поле, характеристики которого не изменяются с течением времени.

(такое поле создаётся неподвижными электрическими зарядами).

Точечным называется заряд, размером и формой которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Наблюдения показывают, что разноимённые заряды притягиваются, а одноимённые заряды отталкиваются.

Силу электростатического взаимодействия между двумя точечными зарядами можно определить по закону Кулона:

сила взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов пропорциональна произведению их зарядов и обратно

пропорциональна квадрату расстояния между ними:

1 2

2кул

q qF k

r , (1)

где F - сила взаимодействия заряда с полем,

29

2

0

19 10

4

Hмk

Кл - коэффициент пропорциональности,

(физический смысл k : он равен силе, с которой взаимодействуют два точечных заряда по 1 Кл каждый, находящиеся на

расстоянии 1м друг от друга)

q1 и q2 - точечные заряды, Кл - Кулон,

r – расстояние между зарядами, м

12

0 8.85 10Ф

м - электрическая постоянная,

. .

. .

в вакууме в вакууме

в веществе в веществе

F Е

F Е - диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между зарядами безр -

безразмерная. (физический смысл ε: она показывает, во сколько раз вещество ослабляет внешнее электрическое поле).

Для вакуума ε = 1 , воздуха ε = 1.0006, вода ε = 81.

Сила Кулона направлена вдоль прямой, проходящей через центры взаимодействующих электрических зарядов

(см. рис).

2

Электрически изолированной называется система, которая не обменивается с внешними телами электрическим зарядом.

Для такой системы справедлив закон сохранения электрического заряда:

Алгебраическая сумма электрических зарядов электрически изолированной системы не изменяется при любых процессах,

происходящих в этой системе, то есть

constqi или i i

начальное конечное

q q

Основные характеристики электростатического поля

Основной характеристикой электрического поля является напряжённость электрического поля.

Напряженность электрического поля – это физическая величина, равная силе, действующей на положительный

единичный точечный заряд, помещенный в данную точку поля

q

FE

. (2)

м

В

Кл

НE , Ньютон на Кулон или Вольт на метр

(пр., Кл

НE 10 означает, что на точечный заряд в 1 Кл в данной точке поля действует сила равная 10 Н).

Из определения напряженности следует, что сила, действующая со стороны электрического поля на точечный

заряд, равна:

EqF

.

Исходя из закона Кулона (1) и определения (2), можно легко рассчитать напряженность электрического поля,

создаваемого одиночным точечным зарядом:

2

qE k

r .

Второй характеристикой электростатического поля является потенциал.

Потенциалом электростатического поля называется величина, равная потенциальной энергии положительного

единичного точечного заряда, помещенного в данную точку поля:

φ = q

П (3),

где - потенциал, В, П - потенциальная энергия взаимодействия электрического заряда с полем, Дж,

q - величина этого заряда, Кл.

Размерность потенциала в системе СИ: ВКл

Дж

. Вольт

(пр., φ = 10 В означает, что точечный заряд в 1 Кл в данной точке электрического поля имеет потенциальную энергию

равную 1 Дж).

Из уравнения (3) следует, что потенциальную энергию точечного заряда в данной точке поля можно определить по формуле:

П = q φ .

- Потенциал поля точечного заряда в вакууме можно рассчитать по формуле: q

kr

Результирующее значение напряженности и потенциала электростатического поля, создаваемого одновременно

несколькими электрическими зарядами в одной и той же точке пространства, определяется согласно принципу

суперпозиции: результирующая напряженность электрического поля равна векторной сумме

напряженностей полей, создаваемых каждым из имеющихся зарядов:

1 2рез n iЕ Е Е Е Е .

результирующий потенциал электрического поля равен алгебраической сумме

потенциалов полей, создаваемых каждым из имеющихся зарядов:

1 2рез n i .

Отметим, что потенциал - скалярная величина, которая определяется с точностью до произвольной постоянной.

3

Разность потенциалов между двумя точками поля и напряжённость поля между этими точками связаны

соотношениями:

2

2 1

1

E dl или E i j kx y z

Выражение в скобках называется градиентом потенциала и сокращенно записывается так: d

E graddr

.

Градиент функции - это вектор, характеризующий быстроту пространственного изменения функции, и

направлен в сторону максимального её возрастания.

Как видно из формулы, вектор напряженности электрического поля направлен в сторону, противоположную

максимальному возрастанию потенциала.

Графическое изображение электростатических полей

Электростатические поля можно изображать:

1. с помощью силовых линий,

2. с помощью эквипотенциалей.

Зная вектор напряженности в каждой точке, электрическое поле наглядно можно представить с помощью линий

вектора напряженности (силовых линий).

Силовой линией электрического поля называется линия, касательная в каждой точке которой совпадает по направлению с

вектором E

в данной точке поля.

(за направление вектора E

приняли направление, совпадающее с вектором силы F

, действующей на положительный

точечный заряд в данной точке поля).

Силовые линии могут иметь вид прямых или кривых произвольной формы. Через каждую точку пространства

проходит только одна силовая линия. Условно принято, что силовые линии начинаются на положительных зарядах и

заканчиваются на отрицательных зарядах, то есть силовые линии электростатического поля незамкнуты.

На рис. 1 представлены силовые линии уединённых положительного и отрицательного точечных зарядов, а так же

поле электрического диполя и поле внутри плоского конденсатора .

рис. 1

Эквипотенциалью называется геометрическое место точек одинакового потенциала.

На рис. 2 представлены эквипотенциальные линии уединённых положительного и отрицательного точечных зарядов,

а так же электрического диполя и поля внутри плоского конденсатора .

Рис. 2.

Силовые линии всегда перпендикулярны в каждой точке поля к

эквипотенциалям.

Эквипотенциали обычно проводить так, чтобы разность потенциалов между

соседними поверхностями была одинаковой. Тогда по густоте

эквипотенциальных поверхностей можно наглядно судить о значении

напряженности поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены

гуще, там напряженность поля больше.

В качестве примера на рис. 3 приведено двумерное изображение

электростатического поля.

Поле уединённых

точечных зарядов

Поле диполя

Поле плоского

конденсатора

Поле уединённых

точечных зарядов

Поле диполя

Поле плоского

конденсатора

4

Принято, что:

1. силовые линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных,

2. силовые линии нигде не пересекаются.

3. силовые линии всегда перпендикулярны к эквипотенциалям.

Однородным называется электростатическое поле, в каждой точке которого вектор напряжённости

E имеет одну и ту же величину и направление.

Графически однородное поле изображается параллельными силовыми линиями, расположенными на

одинаковом расстоянии друг от друга.

Работа сил электростатического поля по перемещению точечного заряда

Пусть заряд создаёт электростатическое поле. Найдём работу сил этого поля по перемещению точечного заряда

из точки 1 в точку 2 (см. рис 2)

cosdA Fdl Fdl

002

2

cos

кул

q qq qF k

dA k drrr

dl dr

2

1

2 2

0 0

1 2 2 2

1 1

r

r

q q q q drA dA k dr k

r r

2

1

0 0 0

1 2

2 1

1r

r

q q q q q qA k k k

r r r

Видно, что работа равна разности какой-то величины. Эту величину назвали потенциальной

энергией электростатического взаимодействия двух точечных зарядов П.

1 2q qП k

r ,

Тогда 1 2 2 1A П П , то есть работа сил электростатического поля равна изменению потенциальной энергии

электростатического взаимодействия точечных зарядов, взятому с противоположным знаком.

(это утверждение есть теорема о потенциальной энергии для электростатического поля).

Можно показать, что работа сил электростатического поля не зависит от формы траектории, по которой движутся

точечные заряды, а определяется лишь начальным и конечным положением этих зарядов, и на любом замкнутом участке

траектории равна нулю. Отсюда следует, что электростатическое поле является потенциальным, а электростатическая

сила консервативной.

Таким образом можно записать, что 0dA .

Так как П

q П q 1 2 2 1 1 2dA q q q

1 2 1 2dA q qU

Величина 1 2U - называется разностью потенциалов или напряжением между точками 1 и 2 в

электростатическом поле.

Физ. смысл U : напряжение между двумя точками 1 и 2 в электростатическом поле равно работе, которую совершают

силы этого поля при перемещении единичного точечного заряда из точки 1 в точку 2.

Потенциальную энергию системы точечных зарядов можно определить по формуле: 1

2i iП q ,

где i - потенциал в точке, где находится заряд iq , создаваемый всеми зарядами системы, кроме iq (определяется по

принципу суперпозиции).

5

Циркуляция вектора E

Циркуляцией вектора E называется интеграл, взятый вдоль замкнутой кривой, вида

L

Edl .

Для электростатического поля справедливы уравнения

0L

dA

dA Fdl qEdl

0

L L

dA q Edl ,

Так как 0q , 0L

Edl , то есть циркуляция вектора Е электростатического поля равна нулю.(это говорит о том,

что силовые линии электростатического поля незамкнуты)

Поток вектора E электростатического поля

Элементарным потоком вектора E через поверхность dS называется величина равная

скалярному произведению E на Sd

:

cosЕdФ EdS EdS , мВФЕ .

Если поле однородно и поверхность плоская, то поток вектора E можно рассчитать по

формуле cosESФЕ ,

где α – угол между вектором E и нормалью n к поверхности S.

В общем случае поток через произвольную поверхность равен:

cos n

S S S

Ф EdS EdS E dS ,

где cosnE E - проекция вектора E на нормаль к поверхности n .

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме Для расчета напряженности электрического поля, создаваемого заряженными телами, поля которых обладают

какой – либо определенной симметрией, используют теорему Гаусса:

Поток вектора напряженности E электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую

поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, делённой на

электрическую постоянную

0

1i

s

Ф EdS q

.

Если заряд распределён в пространстве непрерывно, то

S

q dV 0

1

L S

EdS dV

,

где dq

dV - объёмная плотность электрического заряда,

3

Кл

м

.

6

Используя теорему Гаусса легко рассчитать:

1. Напряжённость электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью

заряда σ

0

1

2E

,

где q

S

- поверхностная плотность электрического

заряда,2

Кл

м.

2. Напряжённость электрического поля между двумя параллельными бесконечными разноимённо заряженными

плоскостями с поверхностными плотностями зарядов +σ и –σ (поле плоского конденсатора)

0

E

.

3. Напряжённость электрического поля равномерно заряженной с поверхностной плотностью зарядов σ сферы (или

шара):

- если r R, то Е=0 (то есть внутри сферы или шара электрического поля нет),

- если r = R, то 2 2

0

1

4

q qЕ k

R R ,

- если r R, то 2 2

0

1

4

q qЕ k

r r ,

где r - расстояние от центра сферы до рассматриваемой точки, м,

R – радиус сферы или шара, м.

4. Напряжённость электрического поля бесконечного равномерно заряженного с линейной плотностью зарядов τ

цилиндра:

- если r R, то Е=0 (то есть внутри цилиндра электрического поля нет),

- если r = R, то 2

E kR

,

- если r R, то 2

E kr

где r - расстояние от центра цилиндра до рассматриваемой точки, м.

R – радиус цилиндра, м.

7

4. Напряжённость электрического поля бесконечной равномерно заряженной с линейной плотностью зарядов τ

нити.

2

E kr

,

где r - расстояние от нити до рассматриваемой точки, в метрах.

l

q

- линейная плотность электрического заряда, Кл/м

Работа сил электростатического поля.

При перемещении заряда силы электростатического поля совершают работу, величину которой можно определить по

одной из следующих формул:

ЭП начальный конечныйA q ,

ЭП начальная конечнаяA П П ,

cosЭПA qES ,

где начальный и конечный - начальный и конечный потенциал электрического поля, В ,

начальнаяП и конечнаяП - начальная и конечная потенциальная энергия заряда в электрическом поле, Дж ,

S - вектор перемещения точечного заряда,

Е - вектор напряжённости электрического поля,

cos α – угол между векторами Е и S .

Электрический диполь

Диполем называется система, состоящая из двух одинаковых по величине и противоположных по знаку зарядов.

Плечом диполя называется вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному.

Электрический момент диполя определяется по формуле

p ql , p Кл м , где l - плечо диполя.

Диполь называется точечным, если расстояние от центра диполя до рассматриваемой точки много больше плеча

диполя.

Напряженность поля точечного диполя:

а) в общем случае 3

0

13cos 1

4

pЕ

r

,

где p – электрический дипольный момент,

- угол между радиус-вектором r и вектором p .

б) на оси диполя 3

0

1 2

4

pЕ

r ,

в) на перпендикуляре к оси диполя 3

0

1

4

pЕ

r .

Потенциал поля точечного диполя:

а) в общем случае 2

0

1cos

4

p

r

,

б) на оси диполя 2

0

1

4

p

r

,

в) на перпендикуляре к оси диполя 0 .

8