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第第 11 章 翼型低速气动特性章 翼型低速气动特性

1.1 翼型的几何参数和翼型研究的发展简介1.2 翼型的空气动力系数1.3 低速翼型的低速气动特性概述1.4 库塔 - 儒可夫斯基后缘条件及环量的确定1.5 任意翼型的位流解法1.6 薄翼型理论1.7 厚翼型理论1.8 实用低速翼型的气动特性

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1.1 翼型的几何参数及其发展

一、翼型的定义

在飞机的各种飞行状态下，机翼是飞机承受升力的主要部件，而立尾和平尾是飞机保持安定性和操纵性的气动部件。

一般飞机都有对称面，如果平行于对称面在机翼展向任意位置切一刀，切下来的机翼剖面称作为翼剖面或翼型。

翼型是机翼和尾翼成形重要组成部分，其直接影响到飞机的气动性能和飞行品质。

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1.1 翼型的几何参数及其发展

翼型按速度分类有

低速翼型

亚声速翼型

超声速翼型

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1.1 翼型的几何参数及其发展

翼型按形状分类有

圆头尖尾形尖头尖尾形

圆头钝尾形

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1.1 翼型的几何参数及其发展

二、翼型的几何参数

NACA 4415

前缘

厚度中弧线

后缘

弯度 弦线

弦长 b

后缘角

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1.1 翼型的几何参数及其发展

1 、弦长

前后缘点的连线称为翼型的几何弦。但对某些下表面大部分为直线的翼型，也将此直线定义为几何弦。翼型前、后缘点之间的距离，称为翼型的弦长，用 b 表示，或者前、后缘在弦线上投影之间的距离。

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1.1 翼型的几何参数及其发展

2 、翼型表面的无量纲坐标

翼型上、下表面曲线用弦线长度的相对坐标的函数表示：

)()(

)()(

xfb

xf

b

yy

xfb

xf

b

yy

lll

l

uuu

u

10 x

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1.1 翼型的几何参数及其发展

通常翼型的坐标由离散的数据表格给出：

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1.1 翼型的几何参数及其发展

3 、弯度

弯度的大小用中弧线上最高点的 y 向坐标来表示。此值通常也是相对弦长表示的。

翼型上下表面 y 向高度中点的连线称为翼型中弧线。

如果中弧线是一条直线（与弦线合一），这个翼型是对称翼型。

如果中弧线是曲线，就说此翼型有弯度。

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1.1 翼型的几何参数及其发展

中弧线 y 向坐标（弯度函数）为：

)(2

1)( lu

ff yy

b

yxy

相对弯度 maxfyb

ff

最大弯度位置b

xx f

f

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1.1 翼型的几何参数及其发展

厚度分布函数为：

)(2

1)( lu

cc yy

b

yxy

相对厚度 maxmax 2

2c

c yb

y

b

cc

最大厚度位置b

xx c

c

4 、厚度

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1.1 翼型的几何参数及其发展

5 、前缘半径 ，后缘角Lr

翼型的前缘是圆的，要很精确地画出前缘附近的翼型曲线，通常得给出前缘半径。这个与前缘相切的圆，其圆心在 处中弧线的切线上。05.0x

翼型上下表面在后缘处切线间的夹角称为后缘角。

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1.1 翼型的几何参数及其发展

三、翼型的发展

对于不同的飞行速度，机翼的翼型形状是不同的。如对于低亚声速飞机，为了提高升力系数，翼型形状为圆头尖尾形；而对于高亚声速飞机，为了提高阻力发散 Ma 数，采用超临界翼型，其特点是前缘丰满、上翼面平坦、后缘向下凹；对于超声速飞机，为了减小激波阻力，采用尖头、尖尾形翼型。

通常飞机设计要求，机翼和尾翼的尽可能升力大、阻力小。

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1.1 翼型的几何参数及其发展 对翼型的研究最早可追溯到 19 世纪后期，那时的人们已经知道带有一定安装角的平板能够产生升力，有人研究了鸟类的飞行之后提出，弯曲的更接近于鸟翼的形状能够产生更大的升力和效率。

鸟翼具有弯度和大展弦比的特征

平板翼型效率较低，失速迎角很小 将头部弄弯以后的平板翼型，失速迎角有所增加

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1.1 翼型的几何参数及其发展

1884年， H.F.菲利普使用早期的风洞测试了一系列翼型，后来他为这些翼型申请了专利。

早期的风洞

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1.1 翼型的几何参数及其发展

与此同时，德国人奥托·利林塔尔设计并测试了许多曲线翼的滑翔机，他仔细测量了鸟翼的外形，认为试飞成功的关键是机翼的曲率或者说是弯度，他还试验了不同的翼尖半径和厚度分布。

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1.1 翼型的几何参数及其发展

美国的赖特特兄弟所使用的翼型与利林塔尔的非常相似，薄而且弯度很大。这可能是因为早期的翼型试验都在极低的雷诺数下进行，薄翼型的表现要比厚翼型好。

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1.1 翼型的几何参数及其发展 随后的十多年里，在反复试验的基础上研制出了大量翼型，有的很有名，如 RAF-6 ， Gottingen 387 ， Clark Y。这些翼型成为 NACA翼型家族的鼻祖。

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1.1 翼型的几何参数及其发展

在上世纪三十年代初期，美国国家航空咨询委员会（ National Advisory Committee for Aeronautics，缩写为 NACA，后来为 NASA， National Aeronautics and Space Administration）对低速翼型进行了系统的实验研究。他们发现当时的几种优秀翼型的折算成相同厚度时，厚度分布规律几乎完全一样。于是他们把厚度分布就用这个经过实践证明，在当时认为是最佳的翼型厚度分布作为 NACA翼型族的厚度分布。厚度分布函数为：

)10150.028430.035160.012600.029690.0(2.0

432 xxxxxc

yc

最大厚度为 。 %30cx

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1.1 翼型的几何参数及其发展

1932年，确定了 NACA四位数翼型族。

12)21()1(

0)2(

22

22

x x xxxxx

fy

xx xxxx

fy

ffff

f

ff

f

f

式中， 为相对弯度， 为最大弯度位置。f fx

例 : NACA ② ④ ① ②

2%f 40%fx 12%c

中弧线取两段抛物线，在中弧线最高点二者相切。

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1.1 翼型的几何参数及其发展

1935年， NACA又确定了五位数翼型族。

五位数翼族的厚度分布与四位数翼型相同。不同的是中弧线。它的中弧线前段是三次代数式，后段是一次代数式。

例 : NACA

12%c

2 3 0 1 2

3.020

32

23

20

设

设

y

y

C

C%15

%302

f

f

x

x

：来流与前缘中弧线平行时的理论升力系数设yC

中弧线

0：简单型

1 ：有拐点

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1.1 翼型的几何参数及其发展 1939年，发展了 NACA1 系列层流翼型族。其后又相继发展了 NACA2 系列， 3 系列直到 6 系列， 7 系列的层流翼型族。 层流翼型是为了减小湍流摩擦阻力而设计的，尽量使上翼面的顺压梯度区增大，减小逆压梯度区，减小湍流范围。

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1.1 翼型的几何参数及其发展

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1.1 翼型的几何参数及其发展

1967年美国NASA兰利研究中心的Whitcomb 主要为了提高亚声速运输机阻力发散 Ma 数而提出来超临界翼型的概念。

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1.2 翼型的空气动力系数

1 、翼型的迎角与空气动力 在翼型平面上，把来流 V∞ 与翼弦线之间的夹角定义为翼型的几何迎角，简称迎角。对弦线而言，来流上偏为正，下偏为负。

翼型绕流视平面流动，翼型上的气动力视为无限翼展机翼在展向取单位展长所受的气动力。

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1.2 翼型的空气动力系数

当气流绕过翼型时，在翼型表面上每点都作用有压强p（垂直于翼面）和摩擦切应力（与翼面相切），它们将产生一个合力 R，合力的作用点称为压力中心，合力在来流方向的分量为阻力 X，在垂直于来流方向的分量为升力 Y。

dspA

dspN

)sincos(

)sincos(

22 NAR

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1.2 翼型的空气动力系数翼型升力和阻力分别为

cossin

sincos

ANX

ANY

空气动力矩取决于力矩点的位置。如果取矩点位于压力中心，力矩为零。如果取矩点位于翼型前缘，前缘力矩；如果位于力矩不随迎角变化的点，叫做翼型的气动中心，为气动中心力矩。规定使翼型抬头为正、低头为负。薄翼型的气动中心为 0.25b ，大多数翼型在 0.23b-0.24b 之间，层流翼型在 0.26b-0.27b 之间。

ydsp

xdspM z

)sincos(

)sincos(

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2 、空气动力系数

1.2 翼型的空气动力系数

翼型无量纲空气动力系数定义为

升力系数bV

YCy

2

21

阻力系数bVρ

XCx

2

21

22

21

bV

Mm z

z

俯仰力矩系数

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1.2 翼型的空气动力系数

由空气动力实验表明，对于给定的翼型，升力是下列变量的函数：

),,,,( bVfY

根据量纲分析，可得),(Re,),,(Re,),,(Re, MafmMafCMafC mzxxyy

对于低速翼型绕流，空气的压缩性可忽略不计，但必须考虑空气的粘性。因此，气动系数实际上是来流迎角和 Re数的函数。至于函数的具体形式可通过实验或理论分析给出。

对于高速流动，压缩性的影响必须计入，因此 Ma 也是其中的主要影响变量。

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1.3 低速翼型的低速气动特性概述

1 、低速翼型绕流图画

低速圆头翼型在小迎角时，其绕流图画如下图示。

总体流动特点是

（ 1 ）整个绕翼型的流动是无分离的附着流动，在物面上的边界层和翼型后缘的尾迹区很薄；

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1.3 低速翼型的低速气动特性概述

（ 2 ）前驻点位于下翼面距前缘点不远处，流经驻点的流线分成两部分，一部分从驻点起绕过前缘点经上翼面顺壁面流去，另一部分从驻点起经下翼面顺壁面流去，在后缘处流动平滑地汇合后下向流去。

（ 3 ）在上翼面近区的流体质点速度从前驻点的零值很快加速到最大值，然后逐渐减速。根据 Bernoulli 方程，压力分布是在驻点处压力最大，在最大速度点处压力最小，然后压力逐渐增大（过了最小压力点为逆压梯度区）。

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1.3 低速翼型的低速气动特性概述

（ 5 ）气流到后缘处，从上下翼面平顺流出，因此后缘点不一定是后驻点。

（ 4 ）随着迎角的增大，驻点逐渐后移，最大速度点越靠近前缘，最大速度值越大，上下翼面的压差越大，因而升力越大。

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1.3 低速翼型的低速气动特性概述

2 、翼型绕流气动力系数随迎角的变化曲线

一个翼型的气动特性，通常用曲线表示。有升力系数曲线，阻力系数曲线，力矩系数曲线。

NACA 23012 的气动特性曲线

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1.3 低速翼型的低速气动特性概述

（ 1 ）在升力系数随迎角的变化曲线中，在迎角较小时是一条直线，这条直线的斜率称为升力线斜率，记为

d

dCC y

y

这个斜率，薄翼的理论值等于 2/弧度，即 0.10965/度，实验值略小。 NACA 23012 的是 0.105/度， NACA 631-212的是 0.106 /度。实验值所以略小的原因在于实际气流的粘性作用。有正迎角时，上下翼面的边界层位移厚度不一样厚，其效果等于改变了翼型的中弧线及后缘位置，从而改小了有效的迎角。

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1.3 低速翼型的低速气动特性概述

（ 2 ）对于有弯度的翼型升力系数曲线是不通过原点的，通常把升力系数为零的迎角定义为零升迎角 0 ，而过后缘点与几何弦线成 0 的直线称为零升力线。一般弯度越大，

0越大。

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1.3 低速翼型的低速气动特性概述

（ 3 ）当迎角大过一定的值之后，就开始弯曲，再大一些，就达到了它的最大值，此值记为最大升力系数，这是翼型用增大迎角的办法所能获得的最大升力系数，相对应的迎角称为临界迎角 。过此再增大迎角，升力系数反而开始下降，这一现象称为翼型的失速。这个临界迎角也称为失速迎角。

lj

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1.3 低速翼型的低速气动特性概述

yC

1max2max12, yyljlj CC

以及失速后的 曲线受粘性影响较大，当时， 。

maxylj C、

12 ReRe

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1.3 低速翼型的低速气动特性概述

12 xx CC 时， 。12 ReRe

（ 4 ）阻力系数曲线，存在一个最小阻力系数。在小迎角时，翼型的阻力主要是摩擦阻力，阻力系数随迎角变化不大；在迎角较大时，出现了粘性压差阻力的增量，阻力系数与迎角的二次方成正比。 后，分离区扩及整个上翼面，阻力系数大增。 但应指出的是无论摩擦阻力，还是压差阻力，都与粘性有关。因此，阻力系数与 Re数存在密切关系。

lj

xC2Re

1Re

0

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（ 5 ）mz1/4(对 1/4 弦点取矩的力矩系数 )力矩系数曲线，在失速迎角以下，基本是直线。如改成对实际的气动中心取矩，那末就是一条平直线了。但当迎角超过失速迎角，翼型上有很显著的分离之后，低头力矩大增，力矩曲线也变弯曲。

1.3 低速翼型的低速气动特性概述

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3 、翼型失速

1.3 低速翼型的低速气动特性概述

随着迎角增大，翼型升力系数将出现最大，然后减小。这是气流绕过翼型时发生分离的结果。

翼型的失速特性是指在最大升力系数附近的气动性能。

翼型分离现象与翼型背风面上的流动情况和压力分布密切相关。

在一定迎角下，当低速气流绕过翼型时，过前驻点开始快速加速减压到最大速度点（顺压梯度区），然后开始减速增压到翼型后缘点处（逆压梯度区），随着迎角的增加，前驻点向后移动，气流绕前缘近区的吸力峰在增大，造成峰值点后的气流顶着逆压梯度向后流动越困难，气流的减速越严重。

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这不仅促使边界层增厚，变成湍流，而且迎角大到一定程度以后，逆压梯度达到一定数值后，气流就无力顶着逆压减速了，而发生分离。这时气流分成分离区内部的流动和分离区外部的主流两部分。

1.3 低速翼型的低速气动特性概述

在分离边界（称为自由边界）上，二者的静压必处处相等。分离后的主流就不再减速不再增压了。分离区内的气流，由于主流在自由边界上通过粘性的作用不断地带走质量，中心部分便不断有气流从后面来填补，而形成中心部分的倒流。

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1.3 低速翼型的低速气动特性概述

小迎角翼型附着绕流

大迎角翼型分离绕流

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1.3 低速翼型的低速气动特性概述

大迎角翼型分离绕流 翼型分离绕流

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1.3 低速翼型的低速气动特性概述

根据大量实验，在大 Re数下，翼型分离可根据其厚度不同分为：

（ 1 ）后缘分离（湍流分离）

这种分离对应的翼型厚度大于 12%-15%。

这种翼型头部的负压不是特别大，分离是从翼型上翼面后缘近区开始的。

随着迎角的增加，分离点逐渐向前缘发展。

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1.3 低速翼型的低速气动特性概述

起初升力线斜率偏离直线，当迎角达到一定数值时，分离点发展到上翼面某一位置时（大约翼面的一半），升力系数达到最大，以后升力系数下降。

后缘分离的发展是比较缓慢的，流谱的变化是连续的，失速区的升力曲线也变化缓慢，失速特性好。

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1.3 低速翼型的低速气动特性概述

（ 2 ）前缘分离（前缘短泡分离）

气流绕前缘时负压很大，从而产生很大的逆压梯度，即使在不大迎角下，前缘附近发生流动分离，分离后的边界层转捩成湍流，从外流中获取能量，然后再附到翼面上，形成分离气泡。

中等厚度的翼型（厚度 6%-9%），前缘半径较小。

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1.3 低速翼型的低速气动特性概述

起初这种短气泡很短，只有弦长的 1%，当迎角达到失速角时，短气泡突然打开，气流不能再附，导致上翼面突然完全分离，使升力和力矩突然变化。

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1.3 低速翼型的低速气动特性概述

（ 3 ）薄翼分离（前缘长气泡分离）薄的翼型（厚度 4%-6%），前缘半径更小。

气流绕前缘时负压更大，从而产生很大的逆压梯度，即使在不大迎角下，前缘附近引起流动分离，分离后的边界层转捩成湍流，从外流中获取能量，流动一段较长距离后再附到翼面上，形成长分离气泡。

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1.3 低速翼型的低速气动特性概述

起初这种气泡不长，只有弦长的 2%-3%，随着迎角增加，再附点不断向下游移动，当到失速迎角是，气泡延伸到右缘，翼型完全失速，气泡突然消失，气流不能再附，导致上翼面突然完全分离，使升力和力矩突然变化。

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1.3 低速翼型的低速气动特性概述

另外，除上述三种分离外，还可能存在混合分离形式，气流绕翼型是同时在前缘和后缘发生分离。

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库塔 (MW.Kutta,1867-1944) ，德国数学家

儒可夫斯基（ Joukowski ， 1847~1921

），俄国数学家和空气动力学家。 1906年儒可夫斯基引入了环量的概念，发表了著名的升力定理，奠定了二维机翼理论的基础。

1 、库塔 - 儒可夫斯基后缘条件

1.4   库塔 - 儒可夫斯基后缘条件及环量的确定

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1.4   库塔 - 儒可夫斯基后缘条件及环量的确定

根据库塔—儒可夫斯基升力环量定律，对于定常、理想、不可压流动，在有势力作用下，直匀流绕过任意截面形状的有环量绕流，翼型所受的升力为

VY

需要说明的是，不管物体形状如何，只要环量值为零，绕流物体的升力为零；对于不同的环量值，除升力大小不同外，绕流在翼型上前后驻点的位置不同。

这就是说对于给定的翼型，在一定的迎角下，按照这一理论绕翼型的环量值是不定的，任意条件都可以满足翼面是流线的要求。

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1.4   库塔 - 儒可夫斯基后缘条件及环量的确定

当不同的环量值绕过翼型时，其后驻点可能位于上翼面、下翼面和后缘点三个位置的流动图画。

但实际情况是，对于给定的翼型，在一定的迎角下，升力是唯一确定的。

这说明对于实际的翼型绕流，仅存在一个确定的绕翼型环量值，其它均是不正确的。

要确定这个环量值，可以从绕流图画入手分析。

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1.4   库塔 - 儒可夫斯基后缘条件及环量的确定

后驻点位于上、下翼面的情况，气流要绕过尖后缘，势流理论得出，在该处将出现无穷大的速度和负压，这在物理上是不可能的。

因此，物理上可能的流动图画是气流从上下翼面平顺地流过翼型后缘，后缘速度值保持有限，流动实验也证实了这一分析， Kutta 、儒可夫斯基就用这一条件给出确定环量的补充条件。

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1.4   库塔 - 儒可夫斯基后缘条件及环量的确定

库塔 - 儒可夫斯基后缘条件表达如下：

（ 1 ）对于给定的翼型和迎角，绕翼型的环量值应正好使流动平滑地流过后缘去。

（ 2 ）若翼型后缘角 >0，后缘点是后驻点。即V1=V2=0。

（ 3 ）若翼型后缘角 =0 ，后缘点的速度为有限值。即 V1=

V2=V≠0 。

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1.4   库塔 - 儒可夫斯基后缘条件及环量的确定

（ 4 ）真实翼型的后缘并不是尖角，往往是一个小圆弧。实际流动气流在上下翼面靠后很近的两点发生分离，分离区很小。所提的条件是： p1=p2 V1=V2

2 、环量的产生与后缘条件的关系 根据海姆霍兹旋涡守衡定律，对于理想不可压缩流体，在有势力作用下，绕相同流体质点组成的封闭周线上的速度环量不随时间变化。 d/dt=0。

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1.4   库塔 - 儒可夫斯基后缘条件及环量的确定

翼型都是从静止状态开始加速运动到定常状态，根据旋涡守衡定律，翼型引起气流运动的速度环量应与静止状态一样处处为零，但库塔条件得出一个不为零的环量值，这是乎出现了矛盾。环量产生的物理原因如何？

为了解决这一问题，在翼型静止时，围绕翼型取一个很大的封闭曲线。

（ 1 ）处于静止状态，绕流体线的速度环量为零。

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1.4   库塔 - 儒可夫斯基后缘条件及环量的确定

（ 2 ）当翼型在刚开始启动时，因粘性边界层尚未在翼面上形成，绕翼型的速度环量为零，后驻点不在后缘处，而在上翼面某点，气流将绕过后缘流向上翼面。

随时间的发展，翼面上边界层形成，下翼面气流绕过后缘时将形成很大的速度，压力很低，从有后缘点到后驻点存在大的逆压梯度，造成边界层分离，从产生一个逆时针的环量，称为起动涡。

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1.4   库塔 - 儒可夫斯基后缘条件及环量的确定

（ 3 ）起动涡随着气流流向下游，封闭流体线也随气流运动，但始终包围翼型和起动涡，根据涡量保持定律，必然绕翼型存在一个反时针的速度环量，使得绕封闭流体线的总环量为零。这样，翼型后驻点的位置向后移动。只要后驻点尚未移动到后缘点，翼型后缘不断有逆时针旋涡脱落，因而绕翼型的环量不断增大，直到气流从后缘点平滑流出（后驻点移到后缘为止）为止。

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1.4   库塔 - 儒可夫斯基后缘条件及环量的确定

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1.4   库塔 - 儒可夫斯基后缘条件及环量的确定

由上述讨论可得出：

（ 1 ）流体粘性和翼型的尖后缘是产生起动涡的物理原因。绕翼型的速度环量始终与起动涡环量大小相等、方向相反。

（ 2 ）对于一定形状的翼型，只要给定绕流速度和迎角，就有一个固定的速度环量与之对应，确定的条件是库塔条件。

（ 3 ）如果速度和迎角发生变化，将重新调整速度环量，以保证气流绕过翼型时从后缘平滑汇合流出。

（ 4 ）代表绕翼型环量的旋涡，始终附着在翼型上，称为附着涡。根据升力环量定律，直匀流加上一定强度的附着涡所产生的升力，与直匀流中一个有环量的翼型绕流完全一样。

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对于迎角不大的翼型附着绕流，粘性对升力、力矩特性曲线影响不大，因此可用势流理论求解。

粘性对阻力和最大升力系数、翼型分离绕流的气动特性曲线影响较大，不能忽略。

1.5   任意翼型的位流解法

1 、保角变换法

绕翼型的二维不可压缩势流，存在速度势函数和流函数，两者均满足 Laplace 方程，因此可用复变函数理论求解。保角变换法的主要思想是，通过复变函数变换，将物理平面中的翼型变换成计算平面中的圆形，然后求出绕圆形的复势函数，再通过变换式倒回到物理平面中的复势函数即可。

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1.5   任意翼型的位流解法

2 、绕翼型的数值计算法——面元法

在平面理想势流中，根据势流叠加原理和孤立奇点流动，可得到某些规则物体的绕流问题。

对于任意形状的物体绕流，当然不可能这样简单。但是，这样的求解思路是可取的。

例如，通过直匀流与点源和点汇的叠加，可获得无环量的圆柱绕流；通过直匀流、点源和点汇、点涡的叠加，可获得有环量的圆柱绕流，继而求出绕流的升力大小。

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1.5   任意翼型的位流解法

对于一定迎角下，任意形状、任意厚度的翼型绕流，利用势流叠加法求解的基本思路是：

（ a ）在翼型弦线上布置连续分布的点源q（ s) ，与直匀流叠加求解。

（ b ）在翼型上下表面布置连续分布的点涡（ s) ，与直匀流叠加求解。

满足翼面是一条流线的条件，从而模拟无升力的翼型厚度作用。

满足翼面是一条流线的条件和尾缘的 kutta 条件，从而模拟由于迎角和翼型弯度引起的升力效应，确定翼型的升力大小。

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1.5   任意翼型的位流解法

对于任意形状的翼型精确给出分布源函数或分布涡是不容易的。通常用数值计算方法进行。将翼面分成若干微分段（面元），在每个面元上布置待定的奇点分布函数（点源或或点涡），在选定控制点上满足物面不穿透条件和后缘条件，从而确定出分布函数，最后由分布函数计算物面压强分布、升力和力矩特性。

（ 2 ）面源函数的基本特性

设单位长度的面源强度为 q，则 ds微段上面源强度为 qds，其在流场P点处诱导的速度为（与 P点的距离 r）

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1.5   任意翼型的位流解法

r

qdsdVr 2

绕面源封闭周线的流量为

rqds

d ln2

b

aqdsQ

dsrqb

a ln2

方向沿 r的方向

ds微短面源在 P点产生的扰动速度势为

整个面源在 P点产生的速度势函数为

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1.5   任意翼型的位流解法

任意一个面源元素在空间流场中任一点所诱导的速度是连续分布的，所以整个面源诱导的速度场在所有的空间点是连续分布的。 面源上除外，面源上切向速度连续，法向速度面源是个间断面。

如右图所示，对于布在 x轴上的二维平面面源，有

),(),();,(),( yxvyxvyxuyxu

0y当 时，有)0,()0,();0,()0,( xvxvxuxu

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1.5   任意翼型的位流解法

由此得出：面源上下流体切向速度是连续的，面源法向速度是间断的。对曲面的面源布置也是如此。

下面求法向速度的突跃值。

dnVVdsVVqds ssnn )()( 1221

22 12

ds

s

VVV

ds

s

VVV s

sss

ss

，

通过矩形周线的体积流量为

由于面源上的切向速度是连续的，设 ds中点处的切向速度为 Vs, 则

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1.5   任意翼型的位流解法

21 nn VVq

所以dnds

s

VdsVVqds s

nn

)( 21

当ds和 dn均趋于零时得

这说明，面源是法向速度间断面，穿过面源当地法向速度的突跃值等于当地的面源强度。对于平面面源有

2/)0,()0,(

)0,()0,(

)0,()0,(

qxvxv

xvxv

xvxvq

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1.5   任意翼型的位流解法

（ 3 ）面涡的基本特性

设单位长度的面涡强度为 ，则 ds微段上面涡强度为 ds，其在流场P点处诱导的速度为（与 P点的距离 r）

r

dsdVs

2

2

dsd

ds微短面源在 P点产生的扰动速度势为

整个面源在 P点产生的速度势函数为

b

a

b

a

dsd

2

EXIT

1.5   任意翼型的位流解法

绕面涡封闭周线的环量为 b

ads

任意一个面涡元素在空间流场中任一点所诱导的速度是连续分布的，所以整个面涡诱导的速度场在所有的空间点是连续分布的。

面涡上除外，面涡上法向速度连续，切向速度面涡上是个间断面。 如右图所示，对于布在 x 轴上的二维平面面涡，有

),(),();,(),( yxvyxvyxuyxu

0y当 时，有)0,()0,();0,()0,( xvxvxuxu

EXIT

1.5   任意翼型的位流解法

由此得出：面涡上下流体切向速度是间断的，但法向速度是连续的。对曲面的面涡布置也是如此。

下面求切向速度的突跃值。

绕矩形周线的速度环量为

由于面涡上的法向速度是连续的，设 ds中点处的法向速度为 Vn, 则

dnVVdsVVds nnss )()( 2121

2,

2 12

ds

s

VVV

ds

s

VVV n

nnn

nn

EXIT

1.5   任意翼型的位流解法

所以dnds

s

VdsVVds n

ss

)( 21

当ds和 dn均趋于零时得

这说明，面涡是切向速度间断面，穿过面涡当地切向速度的突跃值等于当地的面涡强度。对于平面面涡有

21 ss VV

2/)0,()0,(

)0,()0,(

)0,()0,(

xuxu

xuxu

xuxu

EXIT

（ b ）如果求解升力翼型（模拟弯度和迎角的影响），可用面涡法，除满足翼面是流线外，要求翼型尾缘满足Kutta条件 =0。

1.5   任意翼型的位流解法

（ 4 ）面源法和面涡法

（ a ）当求解无升力的物体绕流问题时，包括考虑厚度影响的无升力的翼型绕流问题，可用面源法。

EXIT

1.6   薄翼型理论

对于理想不可压缩流体的翼型绕流，如果气流绕翼型的迎角、翼型厚度、翼型弯度都很小，则绕流场是一个小扰动的势流场。这时，翼面上的边界条件和压强系数可以线化，厚度、弯度、迎角三者的影响可以分开考虑，这种方法叫做薄翼理论。（ Thin airfoil theory ）

1 、翼型绕流的分解

（ 1 ）扰动速度势的线性叠加（ a ）扰动速度势及其方程

EXIT

0 0

0)()(

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

yxyx

yxyx

1.6   薄翼型理论

扰动速度势满足叠加原理。

（ b ）翼面边界条件的近似线化表达式

设翼面上的扰动速度分别为 ，则在小迎角下速度分量为ww vu ,

www

www

vVvVv

uVuVu

sin

cos

EXIT

1.6   薄翼型理论

由翼面流线的边界条件为

对于薄翼型，翼型的厚度和弯度很小，保留一阶小量，得到

w

w

w

ww

uV

vV

u

v

dx

dy

Vdx

dyu

dx

dyVv w

ww

w

Vdx

dyVv w

w

其中， yf 为翼型弯度函数， yc 为翼型的厚度函数。

cfulw yyy

由于翼型的上下物面方程为

EXIT

1.6   薄翼型理论

Vdx

dyV

dx

dyVv cf

ulw

上式说明，在小扰动下，翼面上的 y方向速度可近似表示为弯度、厚度、迎角三部分贡献的线性和。

（ c）扰动速度势函数的线性叠加

根据扰动速度势的方程和翼面 y方向速度的近似线化，可将扰动速度势表示为弯度、厚度、迎角三部分的速度势之和。

cf

对 y方向求偏导，得到

EXIT

1.6   薄翼型理论

Vdx

dyV

dx

dyVvvvv

yyyyv

cfwwcwfw

ww

c

w

fww

可见，扰动速度势、边界条件可以分解成弯度、厚度、迎角三部分单独存在时扰动速度势之和。

（ 2 ）压强系数 Cp的线化表达式

对于理想不可压缩势流，根据 Bernoulli 方程，压强系数2

21

21

V

V

V

ppC p

EXIT

1.6   薄翼型理论

把扰动速度场代入，得到

2

22 )sin()cos(1

V

vVuVC p

在弯度、厚度、迎角均为小量的假设下，如只保留一阶小量，得到

wppcwpfwwp

ppcpfcf

p

cfcf

CCCC

CCCV

uuuC

uuuxxxx

u

2

V

uC p

2

EXIT

1.6   薄翼型理论 可见，在小扰动下，扰动速度势方程、物面边界条件、翼面压强系数均可进行线化处理。

（ 3 ）薄翼型小迎角下的势流分解

在小迎角下，对于薄翼型不可压缩绕流，扰动速度势、物面边界条件、压强系数均可进行线性叠加，作用在薄翼型上的升力、力矩可以视为弯度、厚度、迎角作用之和，因此绕薄翼型的流动可用三个简单流动叠加。即

薄翼型绕流 = 弯度问题（中弧线弯板零迎角绕流） + 厚度问题（厚度分布 yc对称翼型零迎角绕流） + 迎角问题（迎角不为零的平板绕流）

EXIT

1.6   薄翼型理论

x

xy

y

V

V

x

y

V

x

y

V

fy

cy

cy

EXIT

1.6   薄翼型理论

厚度问题，因翼型对称，翼面压强分布上下对称，不产生升力和力矩。弯度和迎角问题产生的流动上下不对称，压差作用得到升力和力矩。把弯度和迎角作用合起来处理，称为迎角弯度问题，因此对于小迎角的薄翼型绕流，升力和力矩可用小迎角中弧线弯板的绕流确定。

2 、迎角 - 弯度绕流问题

迎角弯度问题的关键是确定涡强的分布。要求在中弧面上满足

)( dx

dyVv f

w

和 kutta 条件。

EXIT

1.6   薄翼型理论（ 1 ）面涡强度的积分方程

因为翼型弯度一般很小，中弧线和弦线差别不大，因而在中弧线上布涡可近似用在弦线上布涡来代替，翼面上 y方向的扰动速度可近似用弦线上的值取代。

这是因为，按照泰勒级数展开，有

...)0,(),(

ffww y

y

vxvyxvv

略去小量，得到

)0,(),( xvyxv f

EXIT

1.6   薄翼型理论

在一级近似条件下，求解薄翼型的升力和力矩的问题，可归纳为在满足下列条件下，面涡强度沿弦线的分布。

（ a ）无穷远边界条件

0,0 vu

（ b ）物面边界条件

)( dx

dyVv f

w

（ c） Kutta 条件

0)( b

EXIT

1.6   薄翼型理论

在弦线上，某点的面涡强度为 ，在 d段上的涡强为 ，其在弦线上 x点产生的诱导速度为

整个涡面的诱导速度为

即关于涡强的积分方程。

)(

d)(

)(2

)()0,(

x

dxvd

b

x

dxv

0 2

)()0,(

)(2

)(0

dx

dyV

x

d fb

EXIT

1.6   薄翼型理论

（ 2 ）涡强的三角级数求解

然后，令

,,0,0,sin2

)cos1(2

),cos1(2 1

bdb

d

bx

b

)(coscos2

sin)(0

1

dx

dyV

d f

)sin2

(2)(1

0

nn nActgAV

EXIT

1.6   薄翼型理论

这个级数有两点要说明： (1)第一项是为了表达前缘处无限大的负压（即无限大的流速）所必需的（如果有负无限大压强的话）； (2)在后缘处，这个级数等于零。后缘处载荷应该降为零，这是库塔条件所要求的。

dx

dynAA f

nn

110 cos

0

11

0

10

0

10

cos2

1

1

dndx

dyA

ddx

dyA

ddx

dyA

fn

f

f

EXIT

1.6   薄翼型理论（ 3 ）求迎角弯度的气动特性

V

x

V

xuC p

)()0,(2

100 2

1AAbVdxx

b

10

2

2

1AAbVVY

0

11

102

)1(cos1

2

2

2

ddx

dyC

AAbV

YC

y

y

EXIT

1.6   薄翼型理论

升力线的斜率为

2d

dCy

上式说明，对于薄翼而言，升力线的斜率与翼型的形状无关。写成通常的表达形式

)(2)( 00

d

dCC y

y

其中， 0 为翼型的零升力迎角，由翼型的中弧线形状决定，对于对称翼型 0=0，非对称翼型 0 <>0。

0

110 )1(cos1

ddx

dy

EXIT

1.6   薄翼型理论

对前缘取矩，得俯仰力矩为

)2

(4

)cos1(sinsincos12

210

22

0 11

11112

022

00

AAAbV

dnAAbV

xdxVxdYM

n

bb

z

4

4)(

4

)(2

1)

2(

2

2/2

2

0

12

211

0

21022

yz

y

z

zz

Cm

CAA

AAA

Am

AAAbV

Mm

EXIT

1.6   薄翼型理论

其中，mz0为零升力矩系数

0

111120 )cos2(cos2

1)(

4d

dx

dyAAm f

z

对 b/4 点取距，得到

24)

2

1

2(

4

42

1)

2(

44

122210

210

22

1022

1022

4

1

AAbVAA

AAAbV

bAAbV

AAAbVL

bMM z

01222

4/14/1 4

)(4

2

zy

z mC

mAAbV

Mm

EXIT

1.6   薄翼型理论 这个式子里没有迎角，说明这个力矩是常数（不随迎角变），即使升力为零仍有此力矩，可以称为剩余力矩。只要对1/4 弦点取矩，力矩都等于这个零升力矩。这说明 1/4 弦点就是气动中心的位置。另外，还有个特殊的点，称为压力中心，表示气动合力作用的位置，通过该点的力矩为零。

EXIT

1.6   薄翼型理论

翼型前缘吸力系数为

bV

dvC

b

f2

0

21

x

y

V

Y

A

N

x

y

V

Y

A

N

)( dx

dyVv f

其中

平板翼型上的压强总是垂直于板面的，压强合力必定也是垂直板面的，它在来流方向有一个分力，似应有阻力存在，但根据理想流理论，翼型阻力应为零。问题在于上面分析没有考虑前缘的绕流效应，或者说漏算了一个名为前缘吸力的力。

EXIT

1.6   薄翼型理论

3 、厚度问题的解

在零迎角下厚度分布函数 yc 的对称薄翼型的绕流问题称为厚度问题。

对于厚度问题，可使用布置面源法求解。即在翼型表面上连续布置面源求解。但对薄翼型而言，可用弦线上布源近似代替翼面上布源，设在 x 轴上连续布置面源强度为 q( 负值为汇 )，根据物面是流线条件确定 q。

物面是流线的边界条件为

dx

dyVxvv c

ulw )0,(

EXIT

1.6   薄翼型理论

又由于 2/)0,()0,( qxvxv

则有

x

c

dx

dyVq 2)(

翼型表面上的压强

V

uC wc

pwc

2

bc

pwc

bc

b

wc

x

ddx

dy

C

x

ddx

dyV

x

qdxuu

0

00

)(

)(2

)(

)(

)(2)0,(

EXIT

1.7 厚翼型理论

薄翼型理论只适用于绕薄翼型小迎角的流动。如翼型的相对厚度 >12%，或迎角较大，薄翼型理论和实验值相差较大，需要用厚翼理论计算。

1 、对称厚翼型无升力绕流的数值计算方法

对于二维不可压缩对称无升力的绕流，用面源法进行数值模拟。也可以在对称轴上布置平面偶极子与来流叠加的方法求解。 现考虑直匀流和在 x 轴上一段AB（一般应小于物体长度）上布置偶极子源叠加的流动，假定偶极子强度为（ x)。在P(x,y)点处的流函数为

EXIT

1.7 厚翼型理论

22)(

)(

yx

ydd

整个直匀流与偶极子的叠加结果为

b

a yx

ydyV

22)(

)(

如果给定 =0为物面条件，则由上式可确定偶极子分布。然而这是一个积分方程，解析求解通常是很困难的。可通过数值解法求解，把偶极子分布区域分成 n段，把上式应用到物面外形上的 n个已知点，建立 n元一次的线性方程组，求得 j 。

d

)(

)(x,yP

y

y

xo

x

A B

ab

EXIT

1.7 厚翼型理论

速度分量为

xv

yu

,

物面上的压强系数为

2

22

1

V

vuC ss

ps

在物面外任意一点的流函数为

n

j pjp

pjpp yx

yyV

122)(

)(

EXIT

1.7 厚翼型理论2 、任意厚翼型有升力时的数值计算方法

一般而言，计算任意形状、厚度、迎角下，翼型绕流的压强分布、升力和力矩特性，可以使用面涡法。

该方法的思路是：将翼面分成 n段，在每个子段上布置常值未知涡，涡强度分别是 1 ， 2 ，…， n ，在每个涡片上取适当的控制点，在这些控制点上准确满足物面边界条件。

EXIT

1.7 厚翼型理论

对于第 j个涡片在第 i个控制点上引起的扰动速度势，有涡的速度势公式为

ji

jiij

s

jijj

ij xx

yytgdsd

j

1,2

翼面上所有涡片对 i个控制点引起的总扰动速度势为

n

j s

jijj

i

j

ds1 2

引起的法向速度为

nV i

ni

EXIT

1.7 厚翼型理论

则在第 i控制点上满足物面边界条件为

n

j s

ji

ijji

j

dsn

V1 2

cos

对每个控制点应用上式，可建立 n阶线性微分方程。为满足尾缘 Kutta 条件，可取 1 = - n 。

其中 βi 为来流与第 i个涡片外法线间的夹角。

求出涡强后，可求出各涡片控制点上的切向速度为

n

ijj s

ji

ijjiisi

j

dss

VV1 22

sin

EXIT

2

2

1

V

VC si

pi控制点处的压强系数分布为

1.7 厚翼型理论

因为任意厚翼型的面涡数值计算法是将涡分布在翼型的表面上，并在控制点上满足准确的边界条件，所以它包括了迎角、厚度和弯度的综合作用。实际计算结果表明，只要 n值取得足够大，数值结果和试验结果符合得较好。

EXIT

1.8 实用低速翼型的气动特性

1 、翼型表面上的压强分布

1

0

1

0

y

)(

)(

dxCCxm

dxCCC

puplz

pupl

2 、翼型的升力特性

翼型的升力特性通常指升力系数与迎角的关系曲线。实验和计算结果表明，在小迎角下，升力系数与迎角为线性关系

)( 0 yy CC

EXIT

1.8 实用低速翼型的气动特性

在失速迎角处，升力系数达到最大 Cymax 。

因此，确定升力特性曲线的三个参数是，升力线斜率，零升迎角，最大升力系数（失速迎角）。

（ 1 ）升力线斜率与 Re数关系不大，主要与翼型的形状有关。对薄翼的理论值为 2 ，厚翼的理论值 > 2( 随厚度和后缘角的增加而增大 )。由于未计入粘性的影响，实验值小于理论值。对于平板

29.0y C

NACA翼型的升力线斜率与理论值较接近。经常用的一个经验公式为

)8.01(29.0 cCy

EXIT

1.8 实用低速翼型的气动特性

（ 2 ）零升力角主要与翼型弯度有关。 NACA四位数字翼型1000 f

（ 3 ）最大升力系数主要与边界层分离有关。取决于翼型的几何参数、 Re数、表面光洁度。常用低速翼型为 1.3—1.7 。

3 、翼型的纵向力矩特性

翼型纵向力矩特性通常用mz—Cy 曲线表示。

yCzzz Cmmm y 0

EXIT

1.8 实用低速翼型的气动特性

对于正弯度的翼型 为一个小负数； 为力矩曲线斜率，也是负值。薄翼理论可以估计这两个值， 与翼型弯度函数有关，力矩曲线斜率为 -0.25 ，常用的 NACA翼型的 和 有表可查。

0zm yCzm

0zm

0zm yCzm

4 、压心位置与焦点（气动中心）位置

翼型上升力的作用点 (升力作用线与弦线的交点 )为压力中心 P， 弦向位置用 表示，小迎角时压心位置为

ycz

y

z

y

zp m

C

m

C

mx 0

b

xx p

p

迎角越小，压力中心越靠后。

EXIT

1.8 实用低速翼型的气动特性

翼型上还存在这样的一个点，对该点的力矩系数与升力的大小无关，恒等于零升力矩系数，此点称为焦点（或气动中心） F，弦向位置用 表示，对焦点的力矩为

0)( zFPyzF mxxCm

y

zFp

CzF C

mxxmx y 0,

b

xx F

F

x

y

V

yC yC

PF

b

Fx

Px

ycz

y

zp m

C

mx 0

气动中心反映了翼型随迎角变化而引起的升力增量的作用点，正弯度时，压力中心位于焦点之后。

EXIT

1.8 实用低速翼型的气动特性

EXIT

1.8 实用低速翼型的气动特性

5 、翼型的阻力特性与极曲线

翼型阻力包括摩擦阻力和压差阻力。翼型阻力的产生实质是空气粘性引起的。摩擦阻力是物面上直接的摩擦切应力引起的，压差阻力是因物面边界层的存在改变了压强分布造成的。

Cy=0的阻力系数称为零升阻力系数， Cx0 表示。通常008.0005.00 xC

失速前的粘性压差阻力系数可近似表示为2yxp kCC

20 yxx kCCC

EXIT

1.8 实用低速翼型的气动特性

翼型的阻力特性可用 Cx-α曲线表示，但在飞机设计上常用 Cy-Cx 曲线来表示翼型的升阻特性，称为极曲线（由德国航空先驱李林达尔（ Otto Lilienthal， 1834-1906 ）提出的）。 翼型的升阻比表征了翼型的气动效率，定义为

x

y

C

CK

性能好的翼型，最大升阻比可达到 50 以上。