บทท 1

ลมตและความตอเนอง

การพฒนาของแคลคลสในชวงเวลาทผานมา ทำใหนกวทยาศาสตรไดเขาใจความหมายทแทจรงของ อตรา

การเปลยนแปลงขณะใดขณะหนง เชน ความเรว และความเรง เมอเกดความเขาใจแลว วธการคำนวณทมประสทธภาพกเกดขนตามมา และรากฐานทสำคญของอตราการเปลยนแปลงคอ ลมต

ในบทนเราจะกลาวถงบทนยามของลมต สญลกษณทใชแทนลมตทฤษฎบท และวธการตางๆ สำหรบการหาคาลมต และจะจบบทนดวยการใชลมตในการศกษาความตอเนองของฟงกชน

1.1 ลมตของฟงกชน

ในแคลคลสและการประยกตของแคลคลสบอยครงทเราสนใจคาของฟงกชน f(x) เมอ x มคาเขาใกลจำนวน a แตอาจไมเทากบ a นนคอ a ไมเปนสมาชกของโดเมนของ f หรอ f(a) หาคาไมได ตวอยางเชนหากพจารณาฟงกชน

f(x) =x3 − 2x2

3x− 6

เมอ x มคาเขาใกล 2 สงเกตไดวา 2 ไมอยในโดเมนของ f และเมอแทน x = 2 ลงในฟงกชนจะได 0

0ตารางตอไปนแสดงคาของฟงกชน f(x) เมอ x มคาเขาใกล 2

x f(x)

1.9 1.20333333

1.99 1.32003333

1.999 1.33200033

1.9999 1.33320000

1.99999 1.33332000

1.999999 1.33333200

x f(x)

2.1 1.47000000

2.01 1.34670000

2.001 1.33466700

2.0001 1.33346667

2.00001 1.33334667

2.000001 1.33333467

จากตารางจะเหนไดวาเมอ x มคาเขาใกล 2 คาของ f(x) มคาเขาใกล 4

3และเพอยนยน

ขอสงเกตนเราพบวาตวเศษและตวสวนของ f(x) สามารถแยกตวประกอบได นนคอ

f(x) =x2(x− 2)

3(x− 2)

1

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 2

ถาหาก x 6= 2 แลวเราสามารถตดตวประกอบรวม x−2 ออกได และจะไดวา f(x) = 1

3x2 ดงนน

กราฟของ f จะเปนกราฟพาราโบลา y = 1

3x2 ทไมรวมจด

(

2, 4

3

)

ดงรป

bc

x

y

y =x3 − 2x2

3x− 6

โดยทวไปถาฟงกชน f นยามบนชวงเปดใดๆทมจำนวนจรง a แตอาจไมนยามท a เราอาจมคำถามวา

• เมอ x มคาเขาใกล a (แต x 6= a) คาของฟงกชน f(x) มคาเขาใกลจำนวนจรง L

บางจำนวนหรอไม?

• เราสามารถทำใหคาของฟงกชน f(x) เขาใกล L ตามตองการ โดยเลอก x ใหมคาเขาใกล a มากเพยงพอ (แต x 6= a) ไดหรอไม?

ถาหากคำตอบของคำถามขางตนเปนไปได เราจะเขยนแทนดวย

limx→a

f(x) = L

และกลาววา ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล a มคาเทากบ L หรอกลาววา f(x) มคา

เขาใกล L เมอ x มคาเขาใกล a

จากการใชสญลกษณลมตดงกลาว จะไดวา

limx→2

x3 − 2x2

3x− 6=

4

3

ตารางตอไปนแสดงขอสรปทไดกลาวไปขางตน พรอมทงการตความในรปกราฟ

สญลกษณ ความหมาย การตความในรปกราฟ

limx→a

f(x) = L เราสามารถทำใหคาของฟงกชน f(x)

เขาใกล L ตามตองการ โดยเลอก x

ใหมคาเขาใกล a มากเพยงพอ และx 6= a

x

y

x a x

f(x) L f(x)

y = f(x)

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 3

กราฟของฟงกชน f ในตารางสรปขางตนแสดงเพยงแต f(x) มคาเขาใกล L เมอ x มคาเขาใกล a แตไมไดแสดงคาของฟงกชน f(x) เมอ x = a เนองจากแนวคดของลมต เราสมมตให x 6= a และเราจะเหนวา f(a) อาจมคาแตกตางจาก L หรออาจเทากบ L หรออาจหาคาไมได ขนอยกบลกษณะของฟงกชน

จากฟงกชน f(x) =x3 − 2x2

3x− 6ทพจารณาไปขางตน พบวาเราสามารถจดใหอยในรปอยางงาย

โดยการแยกตวประกอบของตวเศษและตวสวน แตมหลายกรณทเราไมสามารถเขยนฟงกชนใหอยในรปอยางงายได

จงพจารณาหาคา limx→1

x− 1√x− 1

ตวอยาง 1.1

วธทำ สงเกตวาฟงกชน f(x) =x− 1√x− 1

ไมนยามท x = 1 เนองจาก x = 1 ไมอยในโดเมน

ของ f แตจากกราฟของฟงกชนซงเปนกราฟของสมการ y =x− 1√x− 1

และจากตารางแสดงคา

ของฟงกชน f(x) เมอ x มคาเขาใกล 1 ตอไปน

1

2

3

1 2 3x

y

b b

b

b

b

bc

x x

y =x− 1√x− 1

x f(x)

0.9 1.9

0.99 1.99

0.999 1.999

0.9999 1.9999

0.99999 1.99999

0.999999 1.999999

x f(x)

1.1 2.1

1.01 2.01

1.001 2.001

1.0001 2.0001

1.00001 2.00001

1.000001 2.000001

เหนไดวา f(x) มคาเขาใกล 2 เมอ x มคาเขาใกล 1 ดงนน

limx→1

x− 1√x− 1

= 2 z

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 4

จงพจารณาหาคา limx→0

sin x

x

ตวอยาง 1.2

วธทำ ในทนฟงกชน f(x) =sin x

xไมนยามท x = 0 แตจากกราฟสมการ y =

sin x

xและจาก

ตารางแสดงคาของฟงกชน f(x) เมอ x มคาเขาใกล 0 ตอไปน

x

y

y =sin x

x

1

0

b b

bb b

x x

f(x)

x f(x)

±0.1 0.998334

±0.01 0.999983

±0.001 0.99999983

±0.0001 0.9999999983

±0.00001 0.999999999983

จะไดวา f(x) มคาเขาใกล 1 เมอ x มคาเขาใกล 0 ดงนน

limx→0

sin x

x= 1 z

ในบางครงเราอาจจะกลาวถง ลมตดานเดยว (one-sided limits) ดงตารางตอไปน

สญลกษณ ความหมาย การตความในรปกราฟ

limx→a−

f(x) = L

(ลมตซาย)เราสามารถทำใหคาของฟงกชน f(x)

เขาใกล L ตามตองการ โดยเลอก x

ใหมคาเขาใกล a มากเพยงพอ และx < a

x

y

x a

f(x) L

y = f(x)

limx→a+

f(x) = L

(ลมตขวา)เราสามารถทำใหคาของฟงกชน f(x)

เขาใกล L ตามตองการ โดยเลอก x

ใหมคาเขาใกล a มากเพยงพอ และx > a

x

y

a x

L f(x)

y = f(x)

สำหรบลมตซาย ฟงกชน f ตองนยามบนชวงเปด (c, a) เมอ c เปนจำนวนจรงบางจำนวนแตสำหรบลมตขวา ฟงกชน f ตองนยามบนชวงเปด (a, c) เมอ c เปนจำนวนจรงบางจำนวนสญลกษณ x → a− อานวา x มคาเขาใกล a ทางซาย และ x → a+ อานวา x มคาเขาใกล

a ทางขวา

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 5

ให f(x) =√x− 2 จงวาดกราฟของ f พรอมทงหาคาลมตตอไปน (ถาหาได)

(a) limx→2+

f(x) (b) limx→2−

f(x) (c) limx→2

f(x)

ตวอยาง 1.3

วธทำ

ความสมพนธระหวางลมตดานเดยวกบลมตสองดานเปนไปตามทฤษฎบทตอไปน

limx→a

f(x) = L กตอเมอ limx→a−

f(x) = L = limx→a+

f(x)

ทฤษฎบท 1.1

จากทฤษฎบท 1.1 กลาวไดวา ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล a หาคาได กตอเมอ ลมตซายและลมตขวาหาคาได และมคาเทากน

ให f(x) =x

|x| จงวาดกราฟของ f พรอมทงหาคาลมตตอไปน (ถาหาได)

(a) limx→0−

f(x) (b) limx→0+

f(x) (c) limx→0

f(x)

ตวอยาง 1.4

วธทำ

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 6

จงวาดกราฟของฟงกชน f ทนยามดงน

f(x) =

3− x สำหรบ x < 1

4 สำหรบ x = 1

x2 + 1 สำหรบ x > 1

พรอมทงหาคา limx→1−

f(x), limx→1+

f(x) และ limx→1

f(x)

ตวอยาง 1.5

วธทำ

1.2 ทฤษฎบทลมตและการหาคาลมต

ในหวขอนเราจะกลาวถงทฤษฎบททชวยใหการหาคาลมตของฟงกชน เรมดวยทฤษฎบทพนฐานตอไปน

ให a และ c เปนจำนวนจรงใดๆ

(a) limx→a

c = c

(b) limx→a

x = a

ทฤษฎบท 1.2

ทฤษฎบทตอไปจดเปนเครองมอเบองตนทใชในการหาคาลมต

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 7

ให a และ c เปนจำนวนจรงใดๆ และสมมตให

limx→a

f(x) = L1 และ limx→a

g(x) = L2

นนคอลมตหาคาไดและมคาเทากบ L1 และ L2 ตามลำดบ แลว

(a) limx→a

[f(x) + g(x)] = limx→a

f(x) + limx→a

g(x) = L1 + L2

(b) limx→a

[f(x)g(x)] =(

limx→a

f(x))(

limx→a

g(x))

= L1L2

(c) limx→a

f(x)

g(x)=

limx→a

f(x)

limx→a

g(x)=

L1

L2

เมอ L2 6= 0

(d) limx→a

[cf(x)] = c(

limx→a

f(x))

= cL1

(e) limx→a

[f(x)− g(x)] = limx→a

f(x)− limx→a

g(x) = L1 − L2

ทฤษฎบท 1.3

ทฤษฎบท 1.3 สามารถขยายสลมตของผลบวก ผลตาง ผลคณ และผลหารทเกยวของกบฟงกชนจำนวนจำกด

ถา n เปนจำนวนเตมบวกใดๆ แลว

(a) limx→a

xn = an

(b) limx→a

[f(x)]n =(

limx→a

f(x))n

ทฤษฎบท 1.4

จงหาคาของ limx→3

(x2 − 4x+ 5)

ตวอยาง 1.6

วธทำ

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 8

จากตวอยาง 1.6 สงเกตไดวา ลมตของฟงกชนพหนาม p(x) = x2−4x+5 มคาเทากบ p(3)

ซงผลลพธดงกลาวมใชความบงเอญ ทฤษฎบทตอไปนจะกลาวโดยทวไปวา ลมตของฟงกชนพหนามp(x) เมอ x → a มคาเทากบคาของฟงกชนพหนามท a

ถา p เปนฟงกชนพหนามใดๆ และ a เปนจำนวนจรงใดๆ แลว

limx→a

p(x) = p(a)

ทฤษฎบท 1.5

จงหาคาของ limx→2

(5x3 − 9x2 − 2)10

ตวอยาง 1.7

วธทำ

ถา f เปนฟงกชนตรรกยะ และ a เปนสมาชกในโดเมนของ f แลว

limx→a

f(x) = f(a)

ทฤษฎบท 1.6

จงหาคาของ limx→3

5x2 + 2x− 7

2x3 − 9

ตวอยาง 1.8

วธทำ

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 9

ถา a > 0 และ n เปนจำนวนเตมบวกใดๆ หรอถา a ≤ 0 และ n เปนจำนวนเตมบวกคใดๆ แลว

limx→a

n

√x = n

√a

ทฤษฎบท 1.7

ถาฟงกชน f หาคาลมตไดเมอ x มคาเขาใกล a แลว

limx→a

n

√

f(x) = n

√

limx→a

f(x)

เมอ n เปนจำนวนเตมบวกคใดๆหรอ n เปนจำนวนเตมบวกคใดๆและ limx→a

f(x) > 0

ทฤษฎบท 1.8

จงหาคาของ limx→5

3√3x2 − 4x+ 9

ตวอยาง 1.9

วธทำ

ตวอยางตอไปนเปนตวอยางทแสดงการหาลมตของฟงกชนรปแบบตางๆ

จงหาคาของ limx→−3

x2 − 14x− 51

x2 − 4x− 21

ตวอยาง 1.10

วธทำ

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 10

จงหาคาของ limx→2

(

4x2

x− 2− 8x

x− 2

)

ตวอยาง 1.11

วธทำ

จงหาคาของ limx→2−

|x− 2|x3 + x2 − 6x

ตวอยาง 1.12

วธทำ

จงหาคาของ limx→3

√x+ 1− 2

x3 − 27

ตวอยาง 1.13

วธทำ

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 11

จงหาคาของ limx→4

x2 − 4x√2x2 − 7x− 2

ตวอยาง 1.14

วธทำ

จงหาคาของ limx→2

x2/3 − 41/3

x− 2

ตวอยาง 1.15

วธทำ

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 12

จงหาคา limx→2

2− 3√x+ 6

x− 2

ตวอยาง 1.16

วธทำ

ลมตของฟงกชนทนยามเปนชวง

บางครงเราอาจพจารณาฟงกชนทมนพจนทแตกตางกนบนชวงทตางกน ซงฟงกชนในลกษณะนเรยกวา ฟงกชนทนยามเปนชวง การหาลมตของฟงกชนทนยามเปนชวงนน จะใชลมตสองดานในการหาลมตทจดแบงชวง หรอจดทมการเปลยนนพจน

กำหนดให

f(x) =

x2 − 2x− 3

|x− 3| ถา −2 ≤ x < 3

1− 5x√x+ 1

ถา x ≥ 3

จงหา limx→3

f(x)

ตวอยาง 1.17

วธทำ

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 13

1.3 ลมตทเกยวของกบอนนต

ลมตอนนต

ในกรณทหาคา limx→a−

f(x) หรอ limx→a+

f(x)บางครงเราอาจพบวาเมอ x มคาเขาใกล a คาของ

ฟงกชน f(x) เพมขนหรอลดลงโดยไมมขดจำกด ตวอยางเชน ถา

f(x) =1

x− 2

กราฟของ f คอกราฟของสมการ y =1

x− 2ดงรป

x

y

จากรปจะเหนไดวาlimx→2

1

x− 2หาคาไมได

และจากตารางแสดงคาของฟงกชน f(x) เมอ x มคาเขาใกล 2 โดยท x > 2

x 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 2.000001

f(x) 10 100 1, 000 10, 000 100, 000 1, 000, 000

จะไดวาเมอ x มคาเขาใกล 2 ทางขวา f(x) มคาเพมขนโดยไมมขดจำกด หรอกลาวไดวาเราสามารถทำให f(x) มคามากขนตามทตองการโดยการเลอกให x มคาเขาใกล 2 มากเพยงพอโดยท x > 2 และเขยนแทนดวย

limx→2+

1

x− 2= +∞

ในทำนองเดยวกนจะไดวา f(x) มคาลดลงโดยไมมขดจำกดเมอ x มคาเขาใกล 2 ทางซาย และเขยนแทนดวย

limx→2−

1

x− 2= −∞

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 14

กราฟตอไปนเปนตวอยางทแสดงใหเหนวาฟงกชน f(x) มคาเขาใกล +∞ หรอ −∞

x

y

a

limx→a−

f(x) = +∞

x

y

a

limx→a+

f(x) = +∞

x

y

a

limx→a−

f(x) = −∞

x

y

a

limx→a+

f(x) = −∞

นอกจากนเรายงพจารณาลมตสองดานดงรปตอไปน

x

y

a

limx→a

f(x) = +∞

x

y

a

limx→a

f(x) = −∞

จากกราฟขางตนเสนตรง x = a เรยกวา เสนกำกบแนวยน (vertical asymptote) สำหรบกราฟของ f

จงหาคาลมตตอไปน (ถาหาได)

(a) limx→4−

1

(x− 4)3(b) lim

x→4+

1

(x− 4)3(c) lim

x→4

1

(x− 4)3

ตวอยาง 1.18

วธทำ

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 15

ลมตทอนนต

ลำดบตอไปเราจะพจารณาฟงกชนทมคาเขาใกล L เมอ |x| มคามากๆ ตวอยางเชน

f(x) = 2 +1

x

กราฟของ f วาดไดดงรป

x

y

และคาบางคาของฟงกชน f(x) เมอ x มคามากๆสามารถแสดงใหเหนในตารางตอไปน

x 10 100 1, 000 10, 000 100, 000 1, 000, 000

f(x) 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 2.000001

จากตารางแสดงคาของฟงกชน เราไดวา f(x) มคาเขาใกล 2 มากๆตามทตองการโดยการเลอกให x มคามากเพยงพอ ซงเขยนแทนดวย

limx→+∞

(

2 +1

x

)

= 2

ถาหากเราให x มลดลงโดยไมมขดจำกด นนคอเราให x มคาเปนลบมากๆ แลวจากกราฟจะเหนไดวา 2 +

1

xมคาเขาใกล 2 และเขยนแทนดวย

limx→−∞

(

2 +1

x

)

= 2

ถา k > 0 เปนจำนวนตรรกยะและ c เปนจำนวนจรงใดๆ แลว

limx→+∞

c

xk= 0 และ lim

x→−∞

c

xk= 0

เมอ xk หาคาได

ทฤษฎบท 1.9

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 16

ทฤษฎบท 1.9 จดเปนเครองมอสำคญในการหาคาลมตของฟงกชนตรรกยะ กลาวคอการหาคาlim

x→+∞

f(x) หรอ limx→−∞

f(x) สำหรบฟงกชนตรรกยะ f สามารถหาไดโดยการหารตวเศษและ

ตวสวนของ f(x) ดวย xn เมอ n เปนเลขชกำลงของ x ทมากทสดของตวสวน จากนนใชทฤษฎบทของลมตในการหาคาลมต ดงตวอยางตอไปน

จงหาคา limx→+∞

x3 − x2 + 5x− 3

2x4 − 3x+ 5

ตวอยาง 1.19

วธทำ

จงหาคา limx→+∞

√x4 − 3x2 + 5

2x2 − x

ตวอยาง 1.20

วธทำ

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 17

จงหาคา limx→+∞

(√x2 + 3x− x

)

ตวอยาง 1.21

วธทำ

จงหาคา limx→−∞

x3 − 5√x6 − 1− 2x3

ตวอยาง 1.22

วธทำ

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 18

1.4 ลมตของฟงกชนตรโกณมต เอกซโพเนนเชยล และลอการทม

1.4.1 ลมตของฟงกชนตรโกณมต

ในหวขอน เราจะศกษาวธการหาคาลมตของฟงกชนทเกยวของกบฟงกชนตรโกณมต โดยเรมดวยการกลาวถงทฤษฎบทตอไปน ซงจะเปนประโยชนสำหรบการหาคาลมต

ถา a เปนจำนวนใดๆ ทอยในโดเมนของฟงกชนตรโกณมตทกำหนดให แลว

limx→a

sin x = sin a limx→a

cosx = cos a limx→a

tanx = tan a

limx→a

csc x = csc a limx→a

sec x = sec a limx→a

cotx = cot a

ทฤษฎบท 1.10

limθ→0

sin θ = 0

บทตง 1.1

limθ→0

cos θ = 1

บทตง 1.2

limθ→0

sin θ

θ= 1

ทฤษฎบท 1.11

สำหรบจำนวนจรง k 6= 0 ใดๆlimθ→0

sin kθ

θ= k

บทแทรก 1.1

จงหาคา limx→0

sin 3x− sin 5x

x

ตวอยาง 1.23

วธทำ

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 19

จงหาคา limx→0

3x2 tan2 x

4x sec x

ตวอยาง 1.24

วธทำ

จงหาคา limx→0

1− cosx

x2 cosx

ตวอยาง 1.25

วธทำ

จงหาคา limx→0

2x+ tan 2x

x2 + sin 3x

ตวอยาง 1.26

วธทำ

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 20

ลมตของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล (exponential function) คอ ฟงกชนทนยามโดยf(x) = ax เมอ a > 0

บทนยาม 1.1

กราฟของฟงกชน f(x) = ax เปนดงน

x

y

b(0, 1)

y = ax, a > 1

x

y

b1

y = ax, a = 1

x

y

b(0, 1)

y = ax, 0 < a < 1

จากกราฟของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล จะไดวา

limx→r

ax = ar

สมบตของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

ถา a, b > 0 และ x, y เปนจำนวนจรงใดๆ แลว

1. a0 = 1

2. ax+y = axay

3. a−x =1

ax

4. ax−y =ax

ay

5. (ax)y = axy

6. (ab)x = axbx

กราฟตอไปนเปนกราฟของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล f(x) = ax สำหรบบางคาของ a

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 21

x

y

y = ax

a = 1

a = 2

a = 4

a = 10

x

y

y = ax

a = 1

a = 1

2

a = 1

4

a = 1

10

จากกราฟ จะไดวา

ถา a > 1 แลว limx→−∞

ax = 0 และ limx→+∞

ax = +∞

ถา 0 < a < 1 แลว limx→−∞

ax = +∞ และ limx→+∞

ax = 0

ฟงกชนเลขชกำลงทนยมใชมากทสดคอ ฟงกชนเลขชกำลงทมฐานคอ จำนวนอตรรกยะ e จากคาลมตทกลาวไปขางตนจะไดวา

limx→r

ex = er, limx→−∞

ex = 0 และ limx→+∞

ex = +∞

จงหาคาลมตตอไปน

(a) limx→−∞

2ex + 1

ex + 2(b) lim

x→+∞

2ex + 1

ex + 2

ตวอยาง 1.27

วธทำ

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 22

จงหาคา limx→+∞

3 + 2x

6x + 10x

ตวอยาง 1.28

วธทำ

ลมตของฟงกชนลอการทม

ถา a > 0 และ a 6= 1 แลว ฟงกชนลอการทมฐาน a หรอเรยกอกอยางหนงวาฟงกชนลอการทมสามญ (common logarithm function) คอ ฟงกชนทนยามโดย f(x) = loga x

บทนยาม 1.2

กราฟของฟงกชน f(x) = loga x เปนดงน

x

y

b

(1, 0)

y = loga x, a > 1

x

y

b

(1, 0)

y = loga x, 0 < a < 1

จากกราฟของฟงกชนลอการทมฐาน a จะไดวา

ถา a > 1 แลว limx→0+

loga x = −∞ และ limx→+∞

loga x = +∞

ถา 0 < a < 1 แลว limx→0+

loga x = +∞ และ limx→+∞

loga x = −∞

ฟงกชนลอการทมฐาน a ทนยมใชมากทสดคอ ฟงกชนลอการทมท a = e ซงเรยกวา ฟงกชนลอการทมฐานธรรมชาต (natural logarithm function) และเขยนแทนดวย f(x) = ln x

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 23

สมบตของฟงกชนลอการทมฐานธรรมชาต

ถา a, b > 0 และ x, y เปนจำนวนจรงใดๆ แลว

1. ln 1 = 0

2. ln(xy) = ln x+ ln y

3. ln

(

1

x

)

= − ln x

4. ln

(

x

y

)

= ln x− ln y

5. ln(x)r = r ln x

กราฟของฟงกชน f(x) = ln x เปนดงน

x

y

b

(1, 0)

y = ln x

และจากกราฟของ f(x) = ln x จะไดวา

limx→0+

ln x = −∞ และ limx→+∞

ln x = +∞

จงหาคาลมตตอไปน

(a) limx→+∞

ln(7x3 − x2 + 1) (b) limx→−∞

ln

(

1

x2 − 5x

)

(c) limx→1+

ln

(

1

x− 1

)

ตวอยาง 1.29

วธทำ

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 24

1.5 ความตอเนอง

สงหนงทจะชวยใหเราเขาใจความหมายทแทจรงของความตอเนองของฟงกชนคอ การพจารณากราฟของฟงกชนท ไมตอเนอง (discontinuous) ทจด x = a ตอไปน

x

y

y = f(x)

a

(a)

x

y

y = f(x)b

a

(b)

x

y

y = f(x)

a

(c)

จากกราฟเราสามารถสรปแตละกราฟไดดงน

(a) ลมตของ f(x) หาคาไมไดเมอ x เขาใกล a

(b) คาของฟงกชนและคาลมตท a มคาไมเทากน

(c) ฟงกชน f ไมนยามท a

กราฟของฟงกชนทงสามลกษณะขางตน นำไปสบทนยามของความตอเนองทจดใดๆของฟงกชน ดงน

ฟงกชน f จะมความ ตอเนอง (continuous) ทจด x = a ถา

1. f(a) หาคาได

2. limx→a

f(x) หาคาได และ

3. limx→a

f(x) = f(a)

บทนยาม 1.3

จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนตอเนองทจด x = 2 หรอไม?

(a) f(x) =x2 − 4

x− 2(b) g(x) =

x2 − 4

x− 2, x 6= 2

1 , x = 2

(c) h(x) =

x2 − 4

x− 2, x 6= 2

3 , x = 2

ตวอยาง 1.30

วธทำ

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 25

ถาฟงกชน f และ g ตอเนองท x = a แลว

(a) f + g ตอเนองท x = a

(b) f − g ตอเนองท x = a

(c) f · g ตอเนองท x = a

(d)f

gตอเนองท x = a ถา g(a) 6= 0 และไมตอเนองท x = a ถา g(a) = 0

ทฤษฎบท 1.12

(i) ฟงกชนพหนามเปนฟงกชนตอเนองททกจดบนเซตของจำนวนจรง

(ii) ฟงกชนตรรกยะเปนฟงกชนตอเนองททกจด ยกเวนจดททำใหตวสวนเปนศนย

ทฤษฎบท 1.13

จงพจารณาวาฟงกชน f(x) =x5 − 3x2 + 5

x2 − 3x+ 2ตอเนองทใดบาง?

ตวอยาง 1.31

วธทำ

ถา g เปนฟงกชนตอเนองท a และ f เปนฟงกชนตอเนองท g(a) แลว

(i) limx→a

f (g(x)) = f(

limx→a

g(x))

= f (g(a))

(ii) ฟงกชนประกอบ f ◦ g เปนฟงกชนตอเนองท a

ทฤษฎบท 1.14

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 26

จากทกลาวมาขางตน เราไดวาฟงกชน f ไมตอเนองท x = a อาจมสาเหตมาจาก f(a) หาคาไมได หรอ lim

x→af(x) หาคาไมได หรอ f(a) 6= lim

x→af(x) ภาวะไมตอเนองของฟงกชน f น

สามารถแบงออกเปน 2 ชนดคอ

1. ภาวะไมตอเนองทขจดได (removable discontinuity) เปนภาวะไมตอเนองทเกดขนเมอ f(a) 6= lim

x→af(x) หรอ f(a) หาคาไมได ซงสามารถขจดภาวะไมตอเนองได โดยการ

กำหนดคา f(a) ใหมใหมคาเทากบ limx→a

f(x) และผลลพธทไดคอ f ตอเนองท x = a

2. ภาวะไมตอเนองทขจดไมได (non-removable discontinuity) เปนภาวะไมตอเนองทเกดขนเมอ lim

x→af(x) หาคาไมได ภาวะไมตอเนองนไมสามารถขจดได นนคอ f เปน

ฟงกชนไมตอเนองท x = a

จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนตอเนองทจดทกำหนดใหหรอไม? ถาไมตอเนอง แลวภาวะไมตอเนองนสามารถขจดไดหรอไม? ถาได จะขจดอยางไร?

(a) f(x) =x2 − 2x− 8

x+ 2, x = −2

(b) f(x) =x3 + 64

x+ 4, x = −4

ตวอยาง 1.32

วธทำ

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 27

กำหนดให

f(x) =

x2 − 4x

|x| cosx ถา −1 ≤ x < 0

4x2

tan2 xถา x ≥ 0

จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองทจด x = 0 หรอไม? ถา f ไมตอเนอง แลวภาวะไมตอเนองนสามารถขจดไดหรอไม? ถาได จะขจดอยางไร?

ตวอยาง 1.33

วธทำ

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 28

กำหนดให

f(x) =

ex − 2 cosx ถา x < 0

x− sin 3x

x cos 2xถา x ≥ 0

จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองทจด x = 0 หรอไม? ถา f ไมตอเนอง แลวภาวะไมตอเนองนสามารถขจดไดหรอไม? ถาได จะขจดอยางไร?

ตวอยาง 1.34

วธทำ