Лекция 1

Механика на флуидите 1. Предмет на механиката на флуидите Механиката е част от физиката, която изучава простите механични форми на движение на телата и силовото взаимодействие в материални среди. Поради различното агрегатно състояние на веществата, механичното движение на телата се обуславя от различни закономерности, което е причина за разделяне на механиката на две основни направления: механика на твърдите тела и механика на непрекъснатите среди (течности, газове и твърди деформируеми среди). Течностите и газовете се обединяват под общото название флуиди и тяхното движение се изучава от механиката на флуидите. В този смисъл, механиката на флуидите се явява част от механиката на непрекъснатите среди. Тъй като механиката като физична дисциплина има три основни раздела: статика, кинематика и динамика, то и механиката на флуидите има тези три раздела, които имат исторически формирали се наименования: хидростатика, кинематика на флуидите и хидродинамика (газодинамика). Трябва да се отбележи, че съществуват множество въпроси и задачи, свързани с движението на флуиди, на които не може да се даде удовлетворителен отговор в настоящия момент. Същевременно съществуват множество случаи, в които може да се използва натрупан специфичен опит и теоретични и експериментални изследвания, за да се управлява по ефективен начин даден процес или да работи правилно дадена машина. В тези случаи много полезно се явява използването на механиката на непрекъснатите среди и по-конкретно механиката на флуидите. Механиката на флуидите изучава течностите и газовете и тяхното взаимодействие с твърдите тела. Основни методи за изследване на движението на флуидите са феноменологичните макроскопични модели, основани на общи многократно потвърдени от опита закономерности и хипотези. На основата на тези общи закономерности се изгражда математическата теория на механиката на флуидите, без да се разглежда микроскопичния строеж на веществата. Използват се трите основни закона на механиката: за съхранение на масата, количеството на движение и енергията. 2. Основни принципи и хипотези Строеж на телата и хипотеза за непрекъснатост а) Строеж на телата При изучаване на движенията на телата трябва да се отчитат реалните им свойства и вътрешен строеж. Както е известно, телата се състоят от атоми и молекули. Ядрата на атомите на веществата имат размери от порядъка на 10-13 см, а радиусът на молекулата на водорода например е около 1.36 10-8 см. Това показва, че радиусите на атомните ядра са много малки в сравнение с размера на молекулите. Но тъй като масата на веществата е съсредоточена в ядрата на атомите, то пространството, което заемат веществата е почти празно (масата е съсредоточена в много малки по размери обеми, които могат да се разглеждат като материални точки). От друга страна, броят на частиците във веществата е огромен. Така например, при обикновени условия (температура 0о С, атмосферно налягане) в един см3 въздух се съдържат N = 2.687 1019 молекули. Това поставя специални изисквания при формулиране на изходните принципи и хипотези за изучаване на физическите характеристики и явления при движение на телата. Физическите тела се представят в класическата статистическа механика във вид на система от голям брой частици, взаимодействащи помежду си и с граничещите с тях

тела. За такива тела се предполагат справедливи класическите закони на механиката за система от материални точки. Предполага се, че всяка частица от системата взаимодейства с външните граници само когато е в непосредствена близост до тях. Взаимодействието между две частици не допуска директен допир (удар) между тях, но позволява тяхното безкрайно отдалечаване една от друга. Силата на взаимодействие между частиците зависи от разстоянието между тях. В общия случай изменението на тази сила се представя във вида, както е показано на фиг.1.

d

Фиг. 1. Междумолекулни (кохезионни) сили

do

F

a

Означенията на фигурата имат следния смисъл: a – равновесно разстояние, за което силата F приема стойност 0. При d < a, F е сила на отблъскване, а при d > a - сила на привличане (F = 0 при d → ∞). При отдалечаване на частиците силата на привличане намалява много бързо и при разстояния d > 2do тя представлява едва 1% от максималната сила. Силата на привличане е съществена за изясняване на агрегатното състояние на веществата. Величината dа (с порядък около порядъка на величината a) се нарича диаметър на атома, макар и масата на атома да е съсредоточена в ядрото със значително по-малко размери. Следователно, моделът на атома представлява маса съсредоточена в точка, затворена в безинерционна еластична среда с почти сферична форма с диаметър dа, която понякога се нарича 'електронен облак'. С dо на фигурата е отбелязано състоянието при което се променя характерът на изменение на силите – силите на привличане престават да нарастват с намаляване на разстоянието и възникват сили на отблъскване, които се увеличават много бързо с намаляване на разстоянието. Представянето на система с голям брой взаимодействащи си частици във външно силово поле може да моделира движението на телата в различно агрегатно състояния. Моделът на твърдото тяло при сравнително ниски температури и нормални налягания се представя като система от плътно опаковани частици, извършващи малки колебания около равновесното състояние. Моделът на газ представлява система от отдалечени една от друга частици (d >> do), взаимодействащи помежду си само при сблъскване, т.е при приближаване на разстояния от порядъка на диаметъра на частиците – da.

Частиците на газообразните вещества извършват хаотични движения, определяни от случайните сблъсквания между тях. Амплитудата на тези движения се определя от кинетичната енергия на частиците. Тя от своя страна е мярка за вътрешната топлинна енергия на телата. При охлаждане на системата от частици се намалява кинетичната енергия на частиците и се забавя хаотичното им движение. Охлаждане и нагряване на частиците се извършва за сметка на външни въздействия (външно силово поле). При охлаждане на газова система вследствие намаляване на кинетичната енергия и забавените скорости на движение, при сблъскване на частици става възможно те да се задържат една до друга (в областта на разстояние около dо). Така системата от частици преминава от газообразно в течно състояние. При по-нататъшно охлаждане се преминава в по-плътно опаковане на частиците или в твърдо състояние.

Качественото описание на системата от частици трудно може да се допълни с количествени съотношения, използвайки методите на аналитичната механика на система от материални точки. Това е така, защото броят на частиците е огромен (около 1020 частици в 1 см3) и е невъзможно да се обработи система от математически уравнения за всички частици. Освен това, информацията за индивидуалните движения на отделните частици практически няма никаква стойност, тъй като от нея трудно може да се направи оценка за микроскопическите свойства и движение на системата. Ето защо тук се използват методите на статистическата механика, които позволяват въвеждането на характеристики за микроскопичното поведение на телата – плътност, скорост, вътрешно напрежение, енергия, температура, ентропия, количество на движение и други. В механиката на непрекъснатите среди тялото се представя във вид на някаква субстанция, наричана материален континуум (непрекъсната среда), който непрекъснато запълва обема на геометричното пространство, което заема средата. Безкрайно малък обем от тялото (в математически смисъл) съдържа голям брой частици от веществото и също може да се разглежда като непрекъсната среда. По тази причина феноменологически се въвеждат понятията плътност, преместване, скорост, вътрешна енергия, температура, ентропия, топлинен поток, като непрекъснати, диференцируеми функции на координатите и времето. Въвеждат се фундаменталните понятия вътрешни напрежения и деформации и се постулира връзка между тях и температурата, отразяваща в крайна сметка статистиката на движение и взаимодействие между атомите.

б) Хипотеза за непрекъснатост на флуидите. В основата на теоретичните предпоставки за изграждане на научната дисциплина механика на непрекъснатите среди е фундаменталното понятие ‘непрекъсната среда’ (континуум). Когато флуидната среда се разглежда в микроскопичен мащаб, обемите от флуидното пространство съдържат огромно количество частици (молекули, атоми), които са разпределени равномерно в тези обеми. Това е така дори за обеми с много малки размери (клонящи към нула в смисъла на математическите приближения, прилагани в диференциалното и интегрално смятане). Основание за това дава обстоятелството, че линейните размери при микроскопичното разглеждане на явленията и математическото им интерпретиране са винаги достатъчно големи в сравнение с междумолекулните разстояния и амплитудите на трептене при течностите и дължината на свободния пробег на молекулите при газовете. Така може да се направи предположението, че масата на флуида е разпределена непрекъснато в цялото пространство, заемано от флуида. Тази хипотеза се потвърждава от множеството експериментални и теоретични изследвания и наблюдения извършвани в продължение на столетия и за голяма част от практическите задачи е напълно приемлива. Микроскопичното поведение на различните вещества показва, че някои свойства и характеристики се различават много в зависимост от агрегатното състояние на веществата. Така например, някои свойства на течностите и газовете коренно се различават от свойствата на твърдите тела, което определя и различния подход при изучаване на поведението им при механични въздействия. По-важните от тези свойства са: - деформируемост (лесно подвижност) Това свойство се определя от физическата структура на веществата и силите на взаимодействие между частиците на веществата. Освен тези сили в телата действат сили, обусловени от топлинното движение (трептене) на частиците. Тези сили се стремят да преодолеят кохезионните сили и да откъснат (раздалечат) частиците една от друга.

При твърдите тела разстоянията между частиците са по-малки или около стойността dо. Това е устойчиво състояние, защото опитите да се увеличи разстоянието между частиците (от топлинното движение на частиците) води до увеличаване на силите на привличане. Преминаването от твърдо в течно състояние е свързано с преодоляване на бариерата на изменение на междумолекулните сили в областта на разстоянието dо. Междумолекулните сили съществено намаляват, но остават все още достатъчно големи, за да държат молекулите на определени места, които могат лесно да се променят под действието на външни сили (например теглото). Затова течностите се деформират лесно, но запазват обема си. Преминаването на течностите в газообразно състояние е свързано с почти пълното изчезване на действието на кохезионните сили между молекулите на веществото. Разстоянието dо е около (3-4).10-8 см, като за газовете то е d ~ 10 dо, а за течностите и твърдите тела – колебание около dо. Докато твърдото състояние на веществата може да се приеме като фаза, устойчива срещу промяна на формата, флуидите поради малките стойности на кохезионните сили не притежават устойчивост срещу промяната на формата. Тази обща характеристика на течностите и газовете да се деформират лесно определя едно от основните им свойства – лесноподвижност (деформируемост) или способност да текат (текучест). - Полепваемост по стените. Това свойство е резултат от адхезионните сили между молекулите на стените, ограждащи флуидното пространство и частиците на флуида. Поради тези сили, когато флуид се движи около твърда стена, слоят частици (молекули), които са непосредствено до стената, са неподвижни (имат скорост нула). Това свойство се нарича полепваемост и е присъщо на всички реални флуиди. 3. Плътност на флуидите Плътността е мярка за концентрацията (плътността) на вещество в обема, заемащ флуида. Дефинира се като отношение на масата на флуида към обема, който заема:

;U

mcp

където е Δm e масата, a ΔU - обемът на флуида. Когато плътността на флуида не е еднаква за целия обем се дефинира плътност на флуида в дадена точка от флуидното пространство. Тогава тя е функция на координатите на разглежданата точка: ρ = ρ(x,y,z). Плътността в този случай се дефинира като граница на средната плътност на обем обхващаш дадената точка, когато големината на обема клони към нула:

U

mzyx

U

0

lim),,(

Измерителна единица за плътност е [kg/m3]. В термодинамиката по-често се използва величина обратна на плътността:

1

v , която се нарича специфичен обем с измерителна единици [kg3/kg].

Съществува още една величина с подобна физическа същност като плътността, която е известна като относително тегло:

gU

F

,

където ΔF e теглото на флуида. Относителен обем – това е обемът заемащ единица маса от флуида

,m

Vv [m3/kg] (1.1)

където V е обемът на областта заета от флуидната система, m – масата на веществото съдържащо се нея.

Обратна на тази величина е плътността :

,V

m [kg/m3] (1.2)

Освен тези величини във физиката се използва и специфично тегло , което е мярка за теглото на единица обем от веществото:

V

G , [kgf/m3], където G е теглото в килограми сила [kgf] или в измерителната

единица за сила в системата СИ – [N]. Връзката между двете измерителни единици за сила е:

1 kgf = 9.81 N ; (1.3) За определяне на съдържанието на вещество в термодинамиката се използва още

една величина – количество вещество. Тя се явява мярка за количеството на структурните частици (молекули, атоми) вещество. Измерителна единица за тази величина е молекулната маса М, която има точно определена стойност за всяко вещество. 1 М (мол) е количество вещество което съдържа толкова структурни единици, колкото се съдържат в 0.012 kg въглерод (С). Казано по друг начин, 1 М е толкова грама от дадено вещество, колкото е броят на протоните и неутроните в една частица от веществото (атом или молекула). Така например, за кислорода О2, чиято молекула съдържа 32 частици в ядрата на двата атома от молекулата му 1 М (молекулната маса) е 32 грама. Количеството вещество се измерва с величината n, брой молове от даденото вещество:

n = m/M, [mol], (1.4) където m е масата, [kg] и М – молекулната маса за даденото вещество. Молярен обем vm е обемът на вещество с маса 1 М:

n

Vvm , [m3/mol]. (1.5)

4. Температура Температурата е термодинамична величина и в механиката на флуидите не е основна величина. Въпреки това тя играе важна роля за процесите на движение на флуидите, тъй като от нея зависят голяма част от характеристиките на флуидите. Температурата е физическа величина, явяваща се мярка за нагретостта на телата. Тя определя направлението на топлообмена между телата. Ако има две тела А и В, с температури ТА и ТВ и ТА > ТВ, то при допир между тях, тяло А ще отдава топлина, а тяло В ще получава топлина. Чрез този физически процес може да се извършва подреждане на телата по тяхната нагретост или температура. За измерване на температурата не може да се използва еталонна мярка, както е при много други физически величини. Поради това, измерването на температура става посредством други физически параметри, които са пропорционални на температурата. За целта се използва специално вещество или техническо устройство, което се нарича термометрично тяло. То трябва да отговаря на някои важни изисквания:

-физическото свойство, което се използва за измерване на температурата трябва да има регулярна зависимост от температурата. Най-добре е тази зависимост да е линейна.

- термометричното тяло трябва да поглъща малко количество топлина в процеса на измерване, за да не влияе на измерването. Ако се поглъща голямо количество топлина ще бъде променено температурното състояние на измервания обект и измерването няма да бъде точно.

Съществуват различни температурни скали. Съответствието между някои от най-често използваните температурни скали може да бъде изведено от схемата на фиг.1.2: Основни реперни термодинамични явления, определящи построяването на различните термодинамични скали са фазовите преходи при нормални условия на едно от най-разпространените вещества на земята – водата. За начално на голяма част от скалите се

приема температурата на превръщане на водата от твърдо в течно състояние.

Ето някои съотношения между температурните скали, които могат директно да се определят от схемата на фиг.1.2:

T = toC+273,15o

(преобразуване от скала на Целзий към скала на Келвин)

KFtT oo 37,2559

5 (преобразуване от скала на Фаренхайт към скала на Келвин)

CtFt oo 9

532 (преобразуване от скала на Целзий към скала на Фаренхайт)

Температурата за идеални газове може да се представи и посредством апарата на молекулно-кинетичната теория:

23

2 2wmкТ ,

където к е коефициент, а m и w са масата и скоростта на частиците на веществото (газа).

5. Свиваемост на флуидите Свиваемостта е величина, която определя изменението на обема на флуида, когато върху него е приложено външно налягане. Дефинира се като отношение на изменението на плътността към изменение на налягането: Δρ / Δр. Физическата величина, която характеризира свиваемостта е коефициентът на свиваемост:

dp

dU

Udp

d 11

Често за характеризиране на свиваемостта се използва обратната величина:

а2 =

p , която дефинира скоростта на разпространение на звуковите вълни във

флуида (скорост на звука). От представения израз може да се направи заключението, че в среди, които се деформират лесно (голямо Δρ) скоростта на звука е ниска и обратно. Така например във въздуха звукът се разпространява със скорост 340 м/с (силно свиваем флуид), докато във водата тази скорост е над 1500 м/с (слабо свиваем флуид). Газовете и течностите се различават много по отношение на свиваемостта. Течностите при големи налягания се деформират (намаляват обема) много малко. При газовете неголеми налягания предизвикват големи свивания (намаляване на обема). Поради тази причина течностите в много случаи могат да се разглеждат като несвиваеми флуиди.

Фиг. 1.2 Температурни скали

T

Келвин

0 Со273.15 Ко

373.15 Ко

Целзий

-273.15 Ко

100 Со

Фаренхайт

-459.67оF

32оF

212оF

Реомюр

0оR

80оR

6. Вътрешно триене (вискозитет) Вискозитетът е свойство на флуидите да оказват съпротивление срещу деформацията. Той се проявява във вид на вътрешно триене при относителното преместване на съседните флуидни частици или слоеве. Следователно вискозитетът е характеристика, с която се описва степента на подвижност (деформируемост) на флуидите или свойството им да текат. Колкото по-голяма стойност има вискозитетът, толкова по-трудно се деформира флуидът и толкова по-трудно подвижен е той. При движение на флуидите около твърди повърхнини скоростта в слоя непосредствено контактуващ със стената е нула (u = 0) вследствие свойството полепваемост. С отдалечаване от повърхността скоростта нараства плавно до достигане на установената за флуидния поток скорост. На фиг. 2 е показан профилът на изменение на скоростта във височина над неподвижната повърхнина u = u(n). Тук n е нормалата към разглежданата повърхност.

Това разпределение на скоростта в напречно направление показва, че има приплъзване между отделните слоеве на течението, обусловено от вътрешното триене и е съпроводено с появата на сили, действащи в равнината на течението. Такива сили и съответните им напрежения (силите отнесени към единица площ) се наричат тангенциални сили (напрежения), тъй като действат в разглежданата равнина (в тангенциално направление).

Логично е да се предположи, че тези сили (напрежения) са пропорционални на изменението на скоростта във вертикално направление. Мярката за това изменение на скоростта е производната du/dn, известна във векторния анализ като градиент на скоростта. Връзката между тангенциалното напрежение и градиента на скоростта се задава със закона (хипотезата) на Нютон:

dn

du ,

където коефициентът на пропорционалност μ се разглежда като физическа константа и се нарича вискозитет. По-късно този закон е формулиран в кинетичната теория на газовете като закон за пренос на импулса на молекулите. От горния израз се вижда, че когато скоростта е нула (u = 0) или скоростта е постоянна (du/dn=0), то тангенциалното напрежение е нула τ = 0. Следователно, тангенциални напрежения се появяват само при движещи се флуиди с неравномерно разпределение на скоростта. Коефициентът μ се нарича динамичен коефициент на вискозитет. Той не зависи от налягането и характера на течението, а се определя само от физичните свойства на флуида. Измерителната единица за динамичен вискозитет е [N.s/m2] . Като мярка за вътрешното триене на флуидите се използва и отношението

, [m2/s]

което се нарича кинематичен вискозитет, тъй като има размерност, включваща само кинематични величини. Зависимостта на вискозитета от налягането е почти пренебрежима за течностите и за повечето от газовете. Вискозитетът обаче в голяма степен зависи от температурата – при газовете се увеличава, а при течностите намалява с увеличаване на температурата.

n

x

n

u

Фиг. 2. Обтичане на твърда повърхнина

Повечето от флуидите срещани в практиката се подчиняват на закона на Нютон. Срещат се и такива, които не се подчиняват на този закон, поради което те се наричат ненютонови флуиди (аномални течности). Такива са суспензиите от твърди частици, глинестите и бетонни разтвори, тежките фракции на нефта, колоидни разтвори и други. Един вече широко развит раздел на хидродинамиката, основно третиращ проблемите за изясняване на връзката между тангенциалните напрежения и скоростта на деформация на различните видове среди, напоследък се отделя в самостоятелна наука с название реология. Идеален флуид. Много често решаването на хидродинамични задачи с отчитане на вътрешното триене е съпътствано със значителни трудности. В редица други случаи вътрешното триене не играе съществена роля и може да се пренебрегне. Тези именно съображения са наложили въвеждане на понятието идеален флуид, за който се смята, че е лишен от вискозитет, топлопроводност и дифузия и има абсолютна подвижност. Разбира се, в понятието идеален флуид вискозитетът може да се пренебрегне като източник на съпротивление, но не и като фактор, който обуславя предаването на движението от слой на слой и формира по този начин скоростното поле на течението. Идеални флуиди в природата няма. Те представляват опростен модел на реално съществуващите флуиди. Приемането на флуида за идеален, респективно пренебрегването на съпротивлението от вътрешното триене при движението му, създава редица улеснения в аналитичното изследване на флуидните течения. 5. Структура на потока. Турболентност По начина на движение на флуидните частици в реален флуид потока бива ламинарен и турболентен. При ламинарно или слоесто течение внесени в потока оцветени частици остават през цялото време на движение отделени едни от други (не се извършва смесване на слоевете от потока). При турболентно течение частиците извършват произволни хаотични движения по бързо променящи се преплетени траектории. Това предизвиква образуването на локални завихряния на флуида наричани ‘турболенти’, откъдето идва и наименованието на този вид движение на флуида. От типа на течението зависят параметрите характеризиращи процесите на пренос на количество на движение, топлина и енергия във флуидния поток. Съществуването на два принципно различни режими на движение на флуидите е установено експериментално в края на 19 век при изследване на течението в тръби и канали. Турболентното движение на флуиди е съпроводено с интензивно смесване на частиците на флуида. Затова, в случаите, когато трябва да се извърши бързо изравняване на концентрация на разтвор или топлината и енергията да се предаде по-интензивно е необходимо потока да бъде турболентен. От многобройни експерименти е установено, че прехода от ламинарен към турболентен поток се извършва при определени условия, които се определят от безразмерна величина, наречена критерий на Рейнолдс:

Lu Re ,

където u е скоростта на потока, L - характерен размер (диаметър на канал, дължина на обтичана пластина) и ν – кинематичен вискозитет на флуида. Опитите са показали, че преминаването от ламинарен към турболентен режим се извършва при определена стойност на критерия на Рейнолдс, която се нарича критическа стойност на критерия на Рейнолдс. За гладка кръгла тръба критическата стойност на критерия на Рейнолдс е 2300. За други типове движение критическата стойност се определя по експериментален път. При стойности по-ниски от критическата стойност, потокът е ламинарен, а при по-високи стойности – турболентен.

Разбира се както при много други физически процеси преходът не е рязък, а има определен диапазон в който се трансформира течението. В някои случаи този диапазон е доста голям и в него структурата на потока е неустойчива ту е ламинарен ту преминава в турболентен режим. Този режим се нарича преходен.

Лекция 2 Хидростатично налягане ( неподвижни течности) Хидростатиката изучава законите за равновесие на флуидите и взаимодействието им с ограждащите ги стени или потопените в тях изцяло или частично твърди тела. Равновесието е механично състояние на относителен покой между отделните флуидни частици. То е възможно, когато разглеждан флуиден обем е неподвижен или се движи спрямо избрана координатна система по начин, при който отделните му съставни частици не изменят положението си една спрямо друга, т.е. когато целият обем се движи като твърдо тяло. При праволинейно движение това е възможно, ако всички флуидни частици се движат с еднаква скорост или ускорение, а при криволинейно движение – с еднаква ъглова скорост, респ. с нормално ускорение. Равновесието на флуидите се определя от силовото взаимодействие и съществува само когато векторната сума от всички външни сили и моменти или сумите от техните проекции по съответните координатни оси са равни на нула. Във флуидите не могат да действат съсредоточени сили вследствие на свойството им да текат. Възможно е само действието на сили, които са непрекъснато разпределени във флуидния обем или по повърхнината, наречени съответно масови и повърхностни сили. Масови сили. Приложени са върху всички частици на флуидния обем и са пропорционални на съответните им маси. Това са преди всичко теглото, инерционните сили на възможните преносни ускорителни движения на съда или системата, а също така и различните видове електромагнитни и други сили. Непрекъснатото разпределение на масовите сили във флуидния обем дава основание да се приеме съществуването на съответни силови полета, чийто интензитет се определя по израза

2,MF N mFm kg s

Δ= =

Δ,

където ΔFM е главният вектор на масовата сила, действаща на масата Δm . Всъщност интензитетът на силовото поле (специфична масова сила) може да се интерпретира физически като сила, действаща върху единица маса, разположена в полето, която по абсолютна стойност е равна на съответното ускорение. Както се вижда, измерителната единица за специфична масова сила е идентична с измерителната единица за ускорение. Ако масовата сила е теглото на флуида G, то специфичната масова сила (интензитет) е земното ускорение:

gm

mgmGF =

⋅==

Тъй като силата е векторна величина, то и специфичната масова сила е вектор и може да се представи чрез своите компоненти по отделните оси на координатната система:

kZjYiXFrrrr⋅+⋅+⋅= (1)

където X,Y и Z са компонентите на специфичната масова сила по осите x,y и z. Повърхностни сили. Повърхностните сили са приложени по повърхнината на разглеждания флуиден обем или отделни негови елементи. Те се обуславят от непосредственото въздействие на частиците на съседните флуидни обеми или на други тела (твърди или газове), които са в допир с разглеждания флуиден обем. В най-общия случай приложените върху произволен повърхнинен елемент повърхностни сили биват нормални и тангенциални. Тези сили, отнесени към единица площ, определят съответните напрежения: нормални (за опън или натиск) – с направление по нормалата към повърхнинния елемент, и тангенциални - когато лежат в неговата равнина.

Поради малките кохезионни сили, респ. свойството им да текат, флуидите не могат да понасят нормални напрежения на опън. В съответствие със закона на Нютон за триенето при флуидите в равновесие (неподвижни или движещи се без деформация) е невъзможно да съществуват тангенциални напрежения. Следователно вътрешното напрегнато състояние на флуидите в относителен покой се характеризира само с нормални напрежения на натиск и е значително по-просто от това на еластичните тела. Налягане. Нормалното напрежение на натиск при флуидите се нарича налягане и се бележи с р. Ако нормалната сила на натиск ΔР е равномерно разпределена по лицевия елемент Δf, налягането се определя с отношението

fPp

ΔΔ

= .

При неравномерно разпределение на силата на натиск от уравнението се определя средната стойност на налягането. В най-общия случай налягането в произволна точка е равно на границата на отношението

dfdP

fPp

f=

ΔΔ

=→Δ 0

lim ,

когато лицевият елемент Δf клони към нула така, че разглежданата точка да остава винаги в него. Измерителната единица за налягане е N/m2 = Pa. Тази единица за налягане се нарича Паскал и се бележи с Ра. Наред с нея се използват и следните производни единици: килопаскал (кРа = 103Ра) и мегапаскал (МРа = 106 Ра). Заедно с тази единица се използват и няколко други: Физическа атмосфера - 1 atm = 101325 Pa. Това е налягането, което упражнява въздушната обвивка на земята, измерено на морското равнище.

1 ata = 101325 Pa = 760 mm Hg . Техническа атмосфера - 1 atm = 98100 Pa. Това е стара измерителна единица и се равнява на налягане 1 [kgf/sm2]. 1 ata = 98100 Pa = 736 mm Hg = 10000 mm H2O. Бар (Bar) – 1 bar = 100000 Pa. Налягането се измерва и посредством височината на стълб течност. Използва се известната от хидростатика зависимост:

p = h g ρ (1.7) Проверката на измерителната единица показва, че тази величина е налягане: [m. m/s2. kg/m3] = [(kg.m)/s2. 1/m2] = [N/m2] Тъй като земното ускорение и плътността са постоянни величини, налягането е пропорционално на стълба течност:

h = p/ (g ρ) [m]. (1.8) Така височината може да се използва като мярка за налягането. Например 1 техническа атмосфера преобразувана във воден стълб има следната стойност:

1081,9.1000

98100==wath [m].

Начини на определяне на налягането. При определяне на налягането, важна роля играе атмосферното налягане (pо). На фиг.1.1 е показана схема за определяне на

различните компоненти на налягането: абсолютно (p), манометрично (pман) и вакуметрично налягане (pвак).

po

pвак

pман

Фиг. 1.1 Видове налягане

p

p

p

Абсолютното налягането може да се зададе и посредством молекулно-кинетичната теория:

232 2wnp μ

= , (1.9)

където n е концентрация на молекулите (частиците) – брой частици в единица обем, μ - маса на частиците, w - средна скорост на частиците:

nwww ....2

22

1 ++= .

Температура Температурата е термодинамична величина и в механиката на флуидите не е основна величина. Въпреки това тя играе важна роля за процесите на движение на флуидите, тъй като от нея зависят голяма част от характеристиките на флуидите. Температурата е физическа величина, явяваща се мярка за нагретостта на телата. Тя определя направлението на топлообмена между телата. Ако има две тела А и В, с температури ТА и ТВ и ТА > ТВ, то при допир между тях, тяло А ще отдава топлина, а тяло В ще получава топлина. Чрез този физически процес може да се извършва подреждане на телата по тяхната нагретост или температура. За измерване на температурата не може да се използва еталонна мярка, както е при много други физически величини. Поради това, измерването на температура става посредством други физически параметри, които са пропорционални на температурата. За целта се използва специално вещество или техническо устройство, което се нарича термометрично тяло. То трябва да отговаря на някои важни изисквания:

-физическото свойство, което се използва за измерване на температурата трябва да има регулярна зависимост от температурата. Най-добре е тази зависимост да е линейна.

- термометричното тяло трябва да поглъща малко количество топлина в процеса на измерване, за да не влияе на измерването. Ако се поглъща голямо количество топлина ще бъде променено температурното състояние на измервания обект и измерването няма да бъде точно. Съществуват различни температурни скали. Съответствието между някои от най-често използваните температурни скали може да бъде изведено от схемата на фиг.1.2: Основни реперни термодинамични явления, определящи построяването на различните термодинамични скали са фазовите преходи при нормални условия на едно от най-разпространените вещества на земята – водата. За начално на голяма част от скалите се

приема температурата на превръщане на водата от твърдо в течно състояние.

Фиг. 1.2 Температурни скали

T

Келвин

0 Со273.15 Ко

373.15 Ко

Целзий

-273.15 Ко

100 Со

Фаренхайт-459.67оF

32оF

212оF

Реомюр

0оR

80оR Ето някои съотношения между температурните скали, които могат директно да се определят от схемата на фиг.1.2:

T = toC+273,15o

(преобразуване от скала на Целзий към скала на Келвин)

KFtT oo 37,25595

+= (преобразуване от скала на Фаренхайт към скала на Келвин)

CtFt oo ⋅⋅+⋅=9532 (преобразуване от скала на Целзий към скала на Фаренхайт)

Температурата за идеални газове може да се представи и посредством апарата на молекулно-кинетичната теория:

232 2wmкТ ⋅= ,

където к е коефициент, а m и w са масата и скоростта на частиците на веществото (газа). Хидростатично налягане В дадена точка на флуидното пространство могат да се построят безброй равнини с различна ориентация. Във всяка от тези равнини действат повърхностни сили (налягания). Ако флуидът е в равновесие, тези налягания ще са само нормални. Съществен е въпросът как се променя налягането за различните повърхнини минаващи през дадена точка. За определяне на налягането в различните повърхнини (площадки) се разглежда безкрайно малък тетраедър със страни dx, dy, dz. Той има 4 страни: площадка перпендикулярна на ос x, която има площ dSx = dy.dz; площадка перпендикулярна на ос y, която има площ dSy=dx.dz; площадка перпендикулярна на ос z, която има площ

ра с нормала към повърхността n и площ dSdSz=dy.dx и площадка, затваряща тетраедъо

ата ва ла бе

де. м ве о към д кой

n. Повърхностните сили зависят от наляганетpx, py, pz и pn и площта ( dSx, dSy …..). Масовите сили се определят от специфичн масо си F и от о ма dV=dx . dy . dz. Когато безкрайно малките величини dx , dy, dz се оставят да клонят към нула (→ 0), то обемът V клони към нула (V→0), по-б рзо от S (защото се определя от произве нието на три безкрайно малки величини) От атематиката е из стн , че при преход нула на аден израз в то има безкрайно малки величини, променливите с по-голям порядък на безкрайно малки величини (по-висока

степен) могат да се пренебрегнат. Тъй като повърхностните сили се определят от безкрайно малки величини от втори порядък (dS

ъ

x, dSy ….), а масовите сили от величини от трети порядък те могат да се пренебрегнат. Условието за равновесие на силите действащи на флуида означава, че сумата от проекциите на всички сили върху отделните оси трябва да е нула:

y

z

x

dz

dx

dy

Py

Px

Pz

(dS )x

(dS )z

(dS )y

py

nPn

Фиг. 3 Хидростатично налягане

Условия за равновесие: ΣX = 0 → Px = Pn . cos (n.x) ΣY = 0 → Py = Pn . cos (n.y) (2) ΣZ = 0 → Pz = Pn . cos (n.z) Където Px, Py, Pz са силите действащи в площадки dSx, dSy …, а Pn – сила действаща в площадка dSn. Наляганията в различните площадки се определя от изразите:

x

n

x

xx S

xnPSP

p).cos(.

== n

nn S

Pp =

y

n

y

yy S

ynPSP

p).cos(.

==

z

n

z

zz S

znPSPp

).cos(.==

Площадките в координатните повърхнини dSx, dSy , dSz се явяват проекции на площадката dSn в съответните координатни равнини:

Sx = Sn . cos (x.n) ; Sy = ……; Sz = …… След заместване в уравненията за равновесие (2) се получава:

px = pn; py = pn; pz = pz. От тези равенства се получава окончателно: px = py = pz = pn (3) Това равенство може да се тълкува по следния начин: налягането във всички площадки минаващи през дадена точка от флуидното пространство на флуид, намиращ се в равновесие е еднакво. Това налягане се нарича хидростатично налягане. При флуидите в равновесие поради липсата на тангенциални напрежения в произволна точка на флуидния обем налягането по всички направления остава еднакво и не зависи от ориентирането на лицевия елемент в пространството, по който то действа в дадената точка. То се характеризира само с големината си, която в дадена точка на флуидния обем и във фиксиран момент от време има напълно определена стойност. Следователно налягането може да се разглежда като скаларна величина, която е функция само на координатите и времето, т.е. p = p(x, y, z, t). Разгледаното свойство на флуидите в равновесие се отнася и за движение на идеалните флуиди. При движението на реалните флуиди обаче се появяват тангенциални напрежения, в резултат на които налягането в произволна точка не е еднакво и зависи от направлението на лицевия елемент, върху който е приложено. Основно уравнение на хидростатиката Диференциалното уравнение на хидростатиката установява зависимостта на налягането в произволна точка във флуидното пространство от характера на действащите във флуида масови и повърхностни сили. За получаване на това уравнение се разглежда равновесието на елементарен флуиден обем с форма на паралелепипед (фиг.4) с дължина на ръбовете dx, dy, dz, Тъй като флуидът е в равновесие (неподвижен) силите действащи този елемент трябва да са в равновесие. Тогава елементът се намира в относителен покой (равновесие) спрямо околното флуидно пространство.

y

z

x

dz

dx

dy

(dS )x

(dS )z

(dS )y

p

Фиг.4 Уравнение на хидростатиката

p

d yypp

∂∂

+

dzzpp∂∂+

d xxpp

∂∂+

p

Нека върху единица маса от паралелепипеда да действа масовата сила F (1) с компоненти X, Y, Z. Ако по трите стени,пресичащи се в точка О, действа налягане р (хидростатично налягане), то по съответните противоположни стени на паралелепипеда налягането ще бъде

dydxdzdz

dppdzdxdy

dydp

pdzdydxdxdp

p .).....(.).....(.)( +++

Тези стойности са в сила, когато изменението на дадена величина е линейно. Тъй като се разглежда безкрайно малък елемент, изменението на физическите величини се приема за линейно в този много малък интервал (физическите параметри не могат да претърпят големи изменения за кратко време). Равновесието на елемента се записва като се положат нула сумите от компонентите на всички сили по съответните оси. Например за проекциите на силите по ос x може да се запише:

0....( =⋅+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +− dzdydxXdzdydx

dxdppp ρ или 0.... =⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ dzdydxXdzdydx

dxdp ρ

При по-нататъшното опростяване се получава:

Xdxdp

⋅= ρ или dxdpX

ρ1

=

Аналогично за проекциите по другите оси се получава:

dydpY

ρ1

= dzdpZ

ρ1

=

Тези уравнения могат да се запишат във вида:

01;01;01=====−

dzdpZ

dydpY

dxdpX

ρρρ (5)

Тъй като масовата сила се представя във векторен вид като: F = X.i + Y.j + Z.k където i, j, k са единичните вектори по осите x, y, z, а векторната функция grad (градиент) има вида:

pgpadkdzdpj

dydpi

dxdp

⋅=++rrr

,

то горните уравнения могат да се запишат във векторен вид: F = 1/ρ grad p. (6)

В това уравнение F е вектор на специфичната масова сила (1). Ако то се запише като уравнения на съответните компоненти на векторите ще се получат три отделни уравнения, които ще са точно уравнения (5).

Горното уравнение може да се запише в още една форма (посредством потенциала на масовите сили). За целта се извършват следните операции:

1. умножават се уравнения (1) съответно с dx, dy, dz 2. събират се левите и десните страни на получените равенства:

dzdzdpdy

dydpdx

dxdpdzzdyydxx ++=++ )...(ρ , (7)

От математиката е известно, че пълен диференциал на дадена функция се представя като:

dzdzdpdy

dydpdx

dxdpdp ++=

Следователно дясната част на (7) е пълен диференциал и лявата част също трябва да е пълен диференциал на някаква функция. Ако се означи тази функция като φ = φ(x,y,z) и функцията е такава, че: X = ∂ φ/∂ x ; Y = ∂ φ/∂yx ; Z = ∂ φ/∂ z ; То лявата част може да се запише като пълен диференциал: dφ = (X.dx + Y.dy + Z.dz) или уравнението приема вида: ρdφ = dp (8) Това е запис на уравнението на хидростатиката в диференциална форма.

Лекция 3 Примери за разпределение на хидростатично налягане 1. Равновесие на тежък несвиваем флуид (течности). Тежък несвиваем флуид означава, че основната масова сила, действаща върху флуидните частици е теглото, a свиваемостта на флуида може да бъде пренебрегната. За несвиваеми флуиди плътността е постоянна величина: ρ = const. Такива флуиди са течностите. Пример за равновесие на такъв флуид е съд с течност (фиг.5), в който се изследва изменение на налягането в различните точки от флуидното пространство. Избира се координатна система съгласно чертежа. В нея координатната равнина xOy е в хоризонталното сечение на повърхността, а оста z е ориентирана по височина в съда.

y

x

z

g

1 1

z1

po

Фиг.5 Равновесие на тежък несвиваем флуид Масовите сили, действащи на флуида са: X = 0; Y = 0 ; Z = g (специфичната масова сила - теглото е ориентирана по оста z ). От основното уравнение на хидростатиката за оста x се получава:

constpdx

dpX

dx

dp 0

1

Аналогично за оста y:

constpdy

dpY

dy

dp 0

1

Тези две равенства показват че в направленията на осите x и y налягането остава постоянно. Това означава, че в хоризонтална равнина (равнина xOy) налягането е постоянно. На фигурата схематично е обозначено сечение 1-1, което е хоризонтално сечение в съда и налягането в цялото сечение е постоянно. За оста z решението на уравнението на хидростатиката дава следните изрази:

gdz

dp и след преобразуване dzgdp

След еднократно интегриране на това диференциално уравнение се получава: Czgp (9) където С е интеграционна константа, която трябва да се определи от граничните условия. Граничното условие за определяне на константата С се задава от условията на повърхността на съда (z = 0). Когато съдът е отворен върху повърхността на течността действа атмосферното налягане po т.е: за z = 0 р = ро(барометрично налягане). Като се заместят тези стойности в уравнение (9) се получава: po = ρ g 0 + C и следователно C = po.

Тогава уравнението за разпределение на налягането по височина в съда се задава от израза:

p = po + ρgz (10) Ако се вземе пред вид, че специфичното тегло на веществата се задава чрез γ = gρ, то уравнение (10) може да се запише във вида: p = po + γz Приложение на хидростатиката. На основата на законите на хидростатиката са построени различни хидравлични уреди и машини, течностни манометри, хидравлични преси, хидравлични акумулатори, различни системи на хидро-пневмозадвижване и управление и др. В повечето случаи тези устройства представляват скачени съдове, в които се намира течност – вода, спирт, масло, живак и др. Скачени съдове. Скачени съдове са такива, между които налятата течност може да преминава свободно. Нека течността в двата скачени съда се намира в равновесие, като по свободната й повърхнина в двата съда действа атмосферното налягане (отворени повърхнини). Тогава двете повърхности се намират в едно и също хоризонтално сечение (сечение 1-1).

po

1 1

po

Фиг.6 Скачени съдове Когато в двата съда има различни течности (различна плътност) нивото на течността на свободната повърхнина е различно (фиг.7). Това се определя от различните масови сили на двата вида течност (плътността). Сечение 1-1 е хоризонтално и е в среда с еднакви параметри (еднаква плътност). За него налягането може да се представи с нивата в двата съда (израз 10): p1 = p0 + z1.ρ1.g = p0 + z2.ρ2.g От това равенство може да се определие съотношението на стълбовете течност от двата типа:

1

2

2

12211

z

zzz

p1

1 1

po

Фиг.7 Скачени съдове с различни течности

z1z2

r1

r2

Когато единият съд е затворен и в него действа налягане p1, а другия е отворен с налягане po (рo<р2) то нивата в двата съда е различно (фиг.8). Ако течността се намира в равновесие под действието само на силите на земното привличане, изобарните повърхнини са хоризонтални равнини. Тогава налягането, което действа например по хоризонталната равнина 1-1, може да се пресметне по уравнение (10) записано за отворения съд: p1 = p0 + ρhg

По този начин може да се измери налягането в затворения съд (по височината на стълба течност в съда със свободна повърхност.

p11 1

po

Фиг.8 Налягане в затворен съд

h

Течностни манометри. Очевидно е, че разликата във височините на свободните повърхнини на течностите в два скачени съда определя разликата между наляганията, които действат по повърхнините в двата съда. На този принцип се строят и използват тъй наречените течностни манометри. Най-простият течностен манометър се състои от вертикална U-образна прозрачна тръба, която е частично напълнена с течност – живак, вода, алкохол и др (фиг. 9). Ако върху свободната повърхнина в затворен съд действа налягане р1, то може да се измери с U-образен манометър, при което са възможни различни схеми на свързване. Приема се, че по свободната дясна страна на манометъра действа познато налягане р0, което в повечето случаи е атмосферното р0.

Фиг.9 Измерване на налягане с тръбаU

P1

h

1 1

Течностните манометри са известни още като диференциални манометри, защото измерват разлики в налягания, от които обаче лесно може да се определи абсолютната стойност на едното налягане, ако другото е познато. Разбира се, от значение е и плътността на течността в манометъра. При малки разлики в наляганията за получаване на подходящи височини h е необходимо да се използват течности с по-малка плътност (вода, спирт и др.), а при по-големи разлики в налягането течности с по-голяма плътност (живак). Налягането в сечение 1-1 се определя от познатия израз (10): p1= p0 + ρhg p1-p0 = ρgh = γh ; Това налягане е известно още като манометрично налягане: pм = p1 – p0 = γh 2. Равновесие на тежък свиваем флуид ( равновесие на газове ) Тежък свиваем флуид има когато основната масова сила е теглото на флуида и когато не може да се пренебрегне свиваемостта му. Такива флуиди са газовете. Типичен тежък свиваем флуид е въздуха. Въпросът, който трябва да се реши е разпределение на налягането в атмосферата на земята. Задачата се решава в координатна система показана на фиг.10.

x

y

z

g

Фиг.10 Налягане в атмосферата

11

p1

Масови сили за разглежданата задача са: X = 0; Y = 0; Z = -g Уравнение (5) за различните оси от координатната система приема вида:

gdz

dp

yconstpdy

dp

xconstpdx

dp

1

0

0

Решението за оси x и y се тълкува по аналогичен начин, както за равновесието на тежък несвиваем флуид. Налягането в хоризонтални сечения (xOy) е постоянна величина p = const. Третото уравнение (за ос z) е същото както при случая на тежък несвиваем флуид, но то не може да се реши по същия начин, защото плътността не е постоянна величина.

const и трябва да се зададе зависимостта на плътността от налягането : ρ=f(p). Тази зависимост не е предмет на механиката на флуидите. Тя се определя от термодинамичното състояние на атмосферата. Ако се разглежда изотермично състояние на атмосферата (постоянна температура) то зависимостта на плътността и налягането се дава с уравнението на изотермата:

00 p

p

(11)

където p и ρ са текущите стойности на налягането и плътността, а p0 и ρ0 – стойностите им за някакво известно състояние. От това уравнение се получава:

;0

0 pp

и за уравнението на хидростатиката се получава:

dzpp

gdp .0

0

След преобразуване се получава:

dzhp

dp

0

1 , където е положено:

00

0 1

hPg

Интегрирането се извършва в границите от z0 до z или от p0 до p:

z

z

P

P

dzhp

dp

00.

1

0

)(1

ln 000

zzhp

p

при z0 = 0 (на морското равнище) се получава:

)exp(.

)exp(ln

00

0000

h

zpp

h

z

p

p

h

z

p

p

Това е известната формула за определяне на атмосферното налягане при зададена надморска височина, ако се приеме, че е известно атмосферното налягане на морското равнище. Когато това уравнение се реши спрямо височината z може приблизително да се определя надморската височина при измерено налягане на атмосферата за определеното място.

Равновесие на флуиди при наличие на негравитационни сили (течности)

Освен теглото на флуида, като масова сила може да се разглежда и друг тип натоварване върху флуидните частици. Най-често като такива сили се разглеждат инерционните сили при движение на флуидите (в случаите, когато не се извършва деформация на флуида). Типичен пример за равновесие с наличие на негравитационни сили е ускорителното движение на флуид в затворен съд (цистерна) – фиг. 11.

x

z

g

a

Фиг.11 Равновесие при движение с ускорени

p0

v

x ,z0 0

a

Масовите сили действащи на флуида са: X= - a – инерционната сила, която е с обратен знак на движението; Y = 0; Z = g – земното ускорение (определя теглото).

Общото уравнение на хидростатиката записано в диференциален вид е:

dpdzdz

pdy

dy

pdx

dx

pdzZdyYdxX

)...( или:

ρ.(-a.dx + g.dz) = dp След интегрираме на това диференциално уравнение се получава:

p = ρ (-ax + gz) + C (12) Интеграционната константа С се определя от граничните условия. Те могат да се зададат за свободната повърхнина на течността в съда: за x = x0 и z = z0 налягането е p=p0 (атмосферното налягане). След заместване на тези стойности в общото решение (12) се получава:

p0 = ρ (-ax0 + gz) + C или C = p0 + gax0 – ρgz0 - на свободната повърхнина. Тогава решението се получава:

p = p0 – ga (x-x0) + ρg(z-z0) Уравнениеto на свободната повърхност се получава като в общото решение се

замени налягането с налягането на свободната повърхнина p0: p0 = p0 – ga (x-x0) + ρg (z-z0)

или -ρa (x-x0) + ρg (z-z0) Това е уравнение на равнина успоредна на оста y. Наклонът на повърхнината спрямо осите x и z се определя от израза:

tgg

a

xx

zz

0

0

Линията, която представя свободната повърхнина е перпендикулярна на равнодействащата на масовите сили.

Закон на Архимед. Плаване на телата Всяко тяло, потопено в течност (флуид), губи част от своето тегло. От съществено значение за положението на тялото, намиращо се във флуидно пространство е плътността на тялото и на флуида. На фиг. 12 е показано тяло с плътност ρt и обем V, намиращо се във флуид с плътност ρf. Теглото на тялото е:

G

z1

Фиг.12 Плаване на телата

rt

rf

V

Gt = ρt g V = γt . V, където γt е специфично тегло на тялото (γt = ρt . g).

Когато едно тяло е потопено във флуид (течност), флуидът действа върху тялото със сила противоположна на теглото. Големината на тази сила се определя от закона на Архимед, който гласи че флуидът действа върху тялото със сила равна на теглото на изместената от тялото течност (флуид). Тази сила намалява теглото на потопеното тяло. Ако силата с която течността действа на тялото е по-голяма от теглото му, то плава върху повърхността на флуида. Действителната стойност на теглото на тялото потопено в течността се определя от:

Gt = Vt g (ρt - ρf ) = Vt(γt – γf) От израза се вижда, че когато плътността на течността е по-голяма от плътността

на тялото теглото на тялото става отрицателно и тялото ще плува върху повърхността. Когато двете плътности са еднакви, тялото ще е в неопределено положение (тялото е в безтегловност във флуида).

Лекция 4 Кинематика на флуидите

Кинематиката е раздел от механиката на флуидите, в който се разглеждат общите закони на движение, без да се анализират причините, които го пораждат. Кинематиката на флуидите за разлика от твърдите тела не може да се отдели изцяло от динамиката им. Това се дължи на обстоятелството, че при движението на определен флуиден обем разпределението на масата в него с течение на времето се изменя, което от своя страна оказва влияние на разпределението на скоростта и ускорението на флуидните частици. Ето защо в кинематиката на флуидите се налага заедно с чисто кинематични характеристики на движението да се разглеждат и динамични понятия като маса и плътност. За разлика от теоретичната механика, в която се изучава движението на абсолютно твърди тела, в кинематиката на непрекъснатите среди се изучава движението на деформируеми тела, в процеса на който се изменят тяхната първоначална форма и разстоянието между частиците им. Особеност при флуидите е, че съставните им частици са лесноподвижни една спрямо друга и дори при наличие на постъпателно движение те могат да имат различни скорости и ускорения. Следователно полето на течението трябва да се описва от векторите на скоростта и ускорението на флуидните частици в различните точки на изследвания обем, респ. пространство. Това от своя страна показва, че една от основните задачи на кинематиката е определянето на големината и посоката на скоростта и ускорението във всяка точка и за всеки момент от време, а въз основа на тях разпределението на налягането и плътността. Очевидно е, че тези кинематични величини са функции на времето и координатите на пространството, и то непрекъснати и диференцируеми, което свойство е общо за флуидите и се отнася за всяка непрекъсната среда.

Математично описание на теченията Съществуват два метода за изучаване на движението на частиците на флуидните среди. Единият от тях, наречен метод на Лагранж, се състои в изследване на движението в пространството на отделните флуидни частици, т.е. изучава се пътят, изминат от частиците във функция на времето. Тъй като флуидните частици са безкрайно много, за фиксиране на индивидуалните им траектории в пространството е необходимо в някакъв начален момент t0 да се зададат координатите на всяка определена частица x0, y0, z0 и след това да се следи движениeто в пространството. Или казано по друг начин, от безкрайното множество траектории на дадената частица ще принадлежи тази, която минава през точката, определена с началните й координати. По този начин движението се задава от положението на частиците във функция на времето и техните начални координати. Както е известно, уравнението за движение на дадена частица представя математическото описание на траекторията на частицата. Чрез определяне на първата и втората производна на пътя по времето t се определят скоростта и ускорението на частиците. Методът на Лагранж, наречен още субстанциален (индивидуален), е обичаен за класическата механика. Спецификата на флуидите се задава чрез въвеждане на координатите r0, които индивидуализират отделните частици. Те се наричат Лагранжеви координати. Методът на Лагранж изучава движението на отделните частици по дължината на траекторията им: r = f(t). За фиксиране на траекторията на коя да е частица в някакъв начален момент t0 се задават координатите на частицата ),,( 000 zyxr

r и след това се

следи движението на частицата. Следователно, движението се задава с положението на частицата в началния момент:

),( 0 trfrrr

= Задачата на механиката на флуидите в този случай се свежда до определяне на траекторията на частицата и съответно скоростите и ускоренията й:

2

2

dt

rda

dt

rdV

=

=rr

Метод на Ойлер При този метод се разглежда не конкретна частица от флуида, а точки от флуидното пространство. Разглежда се например, с каква скорост различни флуидни частици в различни моменти от време преминават през дадена точка от флуидното пространство (течение). Всяка точка от това пространство се фиксира с координата (x, y, z). За всяка точка се задава скоростта V на частиците преминаващи през нея. В този случай задачата се свежда до определяне на вектора на скоростта на флуидните частици във функция на времето t и координатите x, y, z на точките на пространството. По този начин се задава скоростното поле в координатната система на флуидното течение. Параметрите x, y, z, t се наричат Ойлерови променливи. Следователно по метода на Ойлер, наречен още локален метод, движението на флуида се задава със скоростното поле. Тук трябва да се отбележи, че V не е скоростта на някоя набелязана флуидна частица, а скоростта, с която различните флуидни частици преминават през разглежданата точка от пространството в течение на времето:

),,,( tzyxfV =r

, което е скоростното поле на течението. За по-пълно описание на флуидното течение е необходимо да се познава и функцията на налягането, а при свиваемите флуиди и функцията на плътността. p = p(x, y, z, t) ρ = ρ(x, y, z, t) Докато по субстанциалния метод координатите на движещите се флуидни частици са функция на времето, по локалния метод скоростта на частиците в различните точки се определя като функция на времето. Следователно по метода на Лагранж координатите x, y, z са зависими променливи, а по метода на Ойлер те са независими променливи, в което се състои основната разлика на двата метода. За математичното описание на теченията по-нататък е използван само методът на Ойлер. Съгласно с метода на Ойлер движението на непрекъснатите среди се характеризира със скоростта на частиците им, която във всеки момент от време е определена по големина и направление. Следователно в изучаваното флуидна пространство във всеки момент и във всяка точка може да се построи векторът на скоростта. Съвкупността от тези вектори образува скоростното поле, което дава моментна картина на разпределението на скоростта. Различават се няколко вида течения. Ако скоростното поле остава постоянно (неизменно) с течение на времето, т.е. ако скоростите във всяка точка от флуидното пространство не зависят от времето, течението се нарича установено или стационарно. Тогава скоростната функция се опростява във вида V = V(x, y, x). В най-общия случай, когато скоростното поле се изменя с времето, течението се нарича неустановено или нестационарно и следователно V = V(x, y, z, t).

Един вид неустановено течение е т.нар. изоморфно или полуустановено, при което скоростите се менят с времето само по големина, но запазват направлението си. Такива могат да бъдат променливите по дебит течения в тръби и канали. Има и течения, при които скоростите в отделните точки се изменят с времето по големина и направление, но в сравнително по-големи интервали от време имат постоянни средни стойности. Това са т.нар. установени по средна стойност или квазистационарни течения, за които средната по време скорост в произволна точка на течението се определя по израза

Токови линии и картини По аналогия на силовите линии в силовите магнитни полета за онагледяване на скоростните полета се използват токови линии. Това са въображаеми линии, явяващи се геометрично място на точки в пространството, в които скоростните вектори в даден момент имат направление на съответните допирателни към линиите. За всяко скоростно поле може да се построи семейство от токови линии (ТЛ), които показват направлението на ФЧ. За математическото описание на токовите линии се използва колинеарността на векторите на скоростта kwjviuV

rrrr++= и нарастването на радиус-

вектора kdzjdyidxrdrrrr

++= Това математически означава, че векторното произведение на двата вектора е нула или има пропорционалност на компонентите на двата вектора:

w

dz

v

dy

u

dx

rdV

==

=× 0rr

(13)

По същество токовите линии се различават от траекториите на флуидните частици. При неустановените течения скоростта в отделните точки на флуидното пространство се мени с времето по големина и направление, откъдето следва, че токовите линии ще изменят формата си. В такива случаи може да се говори само за моментни токови линии, които не съвпадат с траекторията на флуидните частици. При установените течения във всяка точка от пространството скоростта е постоянна по големина и направление и токовите линии остават непроменени в течение на времето и следователно представляват и траектории на флуидните частици. Обикновено през всяка точка на флуидното течение може да се прекара само една токова линия. Изключение правят специални (особени) точки, в които се пресичат повече от една токови линии. Това от своя страна предполага движението на флуидните частици в особените точки да има едновременно различни направления, от което следва очевидно, че скоростта в тези точки може да бъде или нула, или безкрайност. На фиг. 13 е показано обтичане на твърдо тяло. Точката А, намираща се на нулевата токова линия по контура на обтичаното тяло е особена. В тази точка, наречена още

критична и и точка на заприщване, скоростта е равна на нула.

л

A

Фиг.13 Токови линии

Повърхнини, чиито образователни са токови линии, се наричат токови повърхнини. Тъй като в точките на токовите линии няма напречни компоненти (скоростта е насочена по посока на движението), то през токовите повърхнини не преминава флуид (няма напречна компонента на скоростта).

Повърхнина, образувана от токови линии, преминаващи през затворен контур, образува токова тръбичка, а флуидът, който тече в тези токови тръбички, се нарича токова нишка.

Токови картини

Съвкупността от голям брой токови линии се нарича токова картина. Освен по теоретичен път, токови картини могат да се получат и опитно, визуално. Видимостта се постига чрез прибавяне на малки, твърди оцветени частици, чрез друг флуид (оцветен) или чрез оцветяване на самия флуид. По този начин токовите картини могат да се наблюдават и да се фотографират за изследване на характера на движението.

Ускорение на ФЧ

Ускорението на флуидните частици се определя като частни производни на скоростта по отношение на времето (втора производна на пътя по времето):

dt

Vda

rr= .

Но от своя страна ),( trfVr

= или освен функция на времето скоростта е и функция на пространствените променливи – сложна функция. Тъй като , то за производната по времето се получава:

)(tfr =r

t

z

z

V

t

y

y

V

t

x

x

V

t

V

dt

Vda

t

r

r

V

t

V

dt

Vda

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

==

∂∂

∂∂

+∂∂

==

...

.rrrrr

r

rrrrr

От своя страна производните на компонентите на радиус вектора по времето са съответните компоненти на скоростта:

но wt

zv

x

yu

t

x=

∂∂

=∂∂

=∂∂ ;;

Тогава за ускорението се получава:

z

Vw

y

Vv

x

Vu

t

Va

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=rrrr

r (14)

Във векторна форма изразът за ускорението може да се запише с използване на познатия от векторното смятане оператор на Хамилтон (оператор ‘набла’):

kz

jy

ix

r

∂∂

+∂∂

+∂∂

=Δ , който има форма на вектор, но се използва само за

записване на специфични операции, тъй като компонентите му не са стойности, а операции за диференциране. С негова помощ ускорението може да се запише във вида:

VVt

V

dt

Vda

rrrrr

r ).( ∇+∂∂

== (15)

Аналогични записи могат да се направят и за другите параметри на флуидното течение – например за температурата на флуида:

TVt

T

dt

dT ).( ∇∂∂

=r

Първият член от записа в (14) изразява промяна на скоростта по времето в произволна точка от ФП (местното изменение) и се нарича локално ускорение. За установени течения то е 0.

Останалите членове на уравнението характеризират изменението на скоростта на ФЧ при преместването им в пространството и се наричат конвективно ускорение.

Проекции на ускорението по трите оси на координатната система:

dz

dww

dy

dwv

x

wu

dt

dwa

dz

dvw

dy

dvv

x

vu

dt

dva

dz

duw

dy

duv

x

uu

dt

dua

y

x

++∂∂

+=

++∂∂

+=

++∂∂

+=

(16)

Лекция 5 Някои операции от векторния анализ Ще бъдат приведени някои операции от векторния анализ, които се използват много често при описанието на флуидни течения.

1. Поток на вектора на скоростта Във векторния анализ поток на вектор (векторно поле) а = f (x,y,z) през повърхност (S) се дефинира посредством повърхностен (двоен) интеграл по зададената повърхнина:

( . ) ( )n x y z

S S S

a ds a n ds a dydz a dxdz a dxdy

където an е нормалната компонента на вектора в точката от разглежданата повърхнина Съгласно тази дефиниция потокът на вектора на скоростта има вида:

( . ) ( )n

S S S

Q V ds V n ds udydz vdxdz wdxdy

(17)

Ако се анализира размерността на тази величина ще се установи, че това е секундният обемен разход (дебит) на флуида през повърхността S

S

mSVQ

3

. .

Ако повърхността е затворена и няма вътрешни източници или изтичания, то:

0n

S

V ds 0n

S

V ds при наличие на източници

0n

S

V ds при изтичане

2. Градиент на скаларна функция Голяма част от операциите във векторния анализ се записват удобно посредством

оператора на Намилтон kz

jy

ix

. Такива са операциите ‘градиент’,

‘дивергенция’, ‘ротация’ и други. Градиент на скаларна функция се записва като обикновено умножение на вектор (оператора на Хамилтон) със скалар:

gradkz

jy

ix

(18)

От израза се вижда, че градиентът на скаларна функция е вектор. Компонентите на този вектор са производните на скаларната функция по съответните оси на координатната система. Физическото тълкуване на градиент на скаларна функция е, че това е вектор, насочен в направление на най-бързото изменение на функцията в пространството, а големината му дава скоростта на изменения на функцията в това направление. Компонентите на вектора ‘градиент’ определят изменението на функцията по отделните оси на координатната система, поради което се записват с производните на функцията по тези оси. 3. Дивергенция на вектор Дивергенция на вектор се дефинира като скаларно произведение на оператора и вектора a

. ( )( ) yx zx y z

aa aa i j k a i a j a k diva

x y z x y z

Записана за скоростното поле операцията дивергенция има вида:

dz

dw

dy

dv

dx

dudivV (19)

4. Формула на Остроградски – Гаус (за вектора на скоростта) Ако S е затворена повърхнина в пространство с дефинирано векторно поле (например полето на скоростите на флуида) формулата на Остроградски – Гаус се записва във вида:

S S U

n dUVdivdsVdsnV

).( , (20)

където U е обемът затворен от повърхнината S. Чрез тази формула повърхностен интеграл във векторно пространство се преобразува в обемен интервал от дивергенция по векторната величина. Записана във вид чрез проекции на векторното поле формулата на Остроградски – Гаус изглежда по следния начин:

dxdydzz

w

y

v

x

duwdxdyvdxdzudydz

S U

)()(

5. Циркулация на скоростта Ако АВ е отрязък от крива линия във векторно пространство, то циркулация на вектора по този отрязък се задава с израза:

( ) .cos ( )B B B B

AB

A A A A

Vdr V ds V ds udx vdy wdz

. Това е циркулация на

скоростта по контура АВ За затворена крива циркулацията се задава със затворения интеграл:

S

wdzvdyudx )( (21)

6. Ротация (вихър) на вектор Циркулацията на вектор се задава като векторно произведение на оператора на Хамилтон и дадения вектор: Δ х а. Векторно произведение на два вектора има вида:

( ) ( ) ( ) ( )y z z y z x x z x y x ya b a b a b i a b a b j a b b a k

Векторното произведение на с вектора а

тогава е:

( ) ( ) ( ) ( )y yx xz za aa aa a

a i j k rotay z z x x y

. Това е векторна

величина, която се нарича вихър (ротор) на вектора. Когато векторното поле е полето на скоростите във флуидното пространство се получава вихър на скоростта

ky

u

x

vj

x

w

z

ui

z

v

y

wVrot

)()()(

(22)

Физическият смисъл на вихъра на вектора на скоростта може да се изясни с помощта на фигура 14. Разглежда се въртене на твърдо тяло по оста z с ъглова скорост ωz. Произволна точка от тялото M при въртенето се движи с периферна скорост V. Тази скорост се

y

x

M

rwz

Vv

u

xM

yM

Фиг.14 Ротация на скоростта

определя от механиката: V = ωz.r , с компоненти: u = ωz y ; v = ωz x w = 0

От тези изрази може да се определят производните: x

v

y

u

; : zz x

v

y

u

;

тогава Vroty

u

x

vVrot zzzz

2

12

по аналогичен начин: VrotVrot yyxx

2

1;

2

1

Следователно вихърът на вектора на скоростта на флуидните частици може да се

определи чрез ъгловата скорост Vrot

2

1

Понякога вихровото движение се свързва с турболентното течение. Това не е точно. И ламинарните, и турболентните течения могат да бъдат вихрови или безвихрови. Особено значение в механиката на флуидите имат безвихровите течения, за които ротацията на скоростта е нула:

0;0

y

u

x

v

x

w

z

u

z

v

y

wVrot

Това е възможно когато съществува функция φ(x,y,z), за която:

wz

vy

ux

;; , тогава например: 022

zxzxx

w

z

u и

горният израз за ротацията на скоростта действително се превръща в нула. Такова течение се нарича потенциално.

Тогава: gradk

zj

yi

xkwjviuV

Функцията φ се нарича потенциал на вектора на скоростта

Ако векторът на скоростта има потенциал, то 0. gradrotVrot

За потенциални течения циркулацията на скоростта по крива между т.А и т.В е:

B

A

B

A

B

A

ABddzz

dyy

dxx

wdzvdyudx )()( , т.е. циркулацията

е разлика в потенциалите. 7. Оператор на Лаплас Операторът на Лаплас се дефинира като скаларно произведение на оператора на Хамилтон:

22

22

2

2

2.

zyx (23)

Приложен към скаларна функция операторът на Лаплас има вида:

2

2

2

2

2

22..

zyxgraddiv

В сила са следните правила:

. 0

. ( ) 0

rot grad

div rota a

Основна теорема на кинематиката (Първа теорема на Хелмхолц) В механиката на твърдото тяло съществува основна, съгласно която скоростта на произволна точка М се получава като геометричната сума от скоростта на постъпателното движение на тялото (заедно с началната точка О) и скоростта на въртене около тази точка:

( )M O OV V r

където

е ъглова скорост, Or

- радиус вектор на точка М.

В хидродинамиката има аналогична теорема: ДVVV

1 , където 1V

- скорост на

флуидните частици, разглеждани като точки от квазитвърдо тяло и ДV

- скорост на

деформация на квазитвърдото тяло. Доказателството на тази теорема се извежда с помощта на разложение на скоростта на частиците в ред на Тейлор. За дадена точка от пространството МО (фиг.15) с координати x0, y0, z0 в началния момент и компоненти на скоростта u0, v0, w0 в следващ момент флуидната частица се премества в положение M(x, y, z). В сила са равенствата: x1= x – x0; y1 = y – y0; z1 = z – z0, които са компоненти на радиус-вектора на преместване

kzjyixr

111 За скоростите u, v, w може да се използва

разложение в ред на Тейлър (записват се членовете само с първи порядък на производните):

......)()()(

......)()()(

......)()()(

0101010

0101010

0101010

z

wz

y

wy

x

wxww

z

vz

y

vy

x

vxvv

z

uz

y

uy

x

uxuu

(24)

По нататък се разглежда само първото уравнение, а получените изрази по аналогия се записват за останалите компоненти на скоростта. Към първото уравнение се прибавя и изважда израза:

)(2

111 x

wz

x

vy

, с което уравнението не се променя.

тогава: )()()(2

1)(

2

1)( 11110

1100 z

uz

y

uyz

x

w

z

uy

x

v

y

ux

x

uuu

+.................

Този израз може да се запише във вида:

......)(2

1)(

2

1)(

2

1)(

2

1)( 1111010

zx

w

z

uy

x

v

y

uz

x

w

z

uy

x

v

y

u

x

uxuu

В механиката на флуидите се използват следните означения за част от използваните в

горния израз математически изрази: 330220110 )(;)(;)( Sz

Sy

vS

x

u

.)(2

1..)(

2

1;)(

2

1322331132112 SS

yz

vSS

xz

uSS

x

v

y

u

(25)

y

x

MV

r

Фиг.15 Теорема на Хелмхолц

MoVo

Тези величини определят деформацията на флуида във флуидното пространство и се наричат относителни деформации на флуида. Това са девет компоненти и образуват тензор (матрица) на деформациите. Като се вземат пред вид и изразите за компонентите на вектора ротация на скоростта:

)(2

1

x

w

z

uy

и )(2

1

y

u

x

vz

компонентите на скоростта (24) се

записват във вида: u = u0 + (ωyz1 – ωzy1) + (S11x1 + S21y1 + S31z1) v = v0 + (ωzx1 – ωxz1) + (S12x1 + S22y1 + S13z1) (26) w = w0 + (ωxy1 – ωyx1) + (S13x1 + S23y1 + S33z1) От своя страна вторите слагаеми в дясната част на тези равенства представляват компонентите на векторно произведение:

1 1

1 1

1 1

( )

( )

( )

y z x

z x y

x y z

z y r

x z r

y x r

Първите две слагаеми в дясната част определят скоростта на флуидните частици движещи се като кваэитвърдо тяло. За характеризиране на деформациите във флуида се въвежда следната функция:

11231113111212

3312

2212

11 )(2

1zySzxSyxSzSySxSF

Производните на функцията имат вида:

.1331321311

1231221211

1131121111

zSySxSz

F

zSySxSy

F

zSySxSx

F

Както се вижда, тези производни представляват последните слагаеми в израза за скоростта (26). Но също така производните на една скаларна функция по осите на координатната система могат да се разглеждат като компоненти на вектора ‘градиент’. Затове изразите (26) могат да се запишат във векторен вид по следния начин: 0 ( )V V w r gradF

F се нарича функция на деформацията, а gradF е скорост на деформацията Най-общо скоростта на деформацията се задава с тензора S

333231

232221

131211

SSS

SSS

SSS

S където )(2

1

i

j

j

iij x

v

x

vS

(27)

Физически смисъл на компонентите на тензора на деформациите. Кубическо разширение Разглежда се сферичен участък от флуида с обем U и радиус R в момент t. В следващ много близък момент сферата се деформира и в общия случай се преобразува в елипсоид с оси a, b и c. Големината на полуосите на елипсоида се определя от различната скорост с която се движат частиците в различните области в сферичния обем:

dtx

uRRa

; dt

y

vRRb

; dt

z

wRRc

или )1();1();1( dtz

wRcdt

y

vRbdt

x

uRa

Относителното изменение на радиуса по различните оси (за единица време):

332211 .;

.;

.S

dtR

RcS

dtR

RbS

x

du

dtR

Ra

Ако частицата остава сферична:

dtR

RRSSS

.1

332211

Тогава за обема:

Vdivz

w

y

v

x

u

dtR

Rabc

dtU

UU

3

3

1

3

43

4

3

4

.

Както се вижда, относителното изменение на радиуса на сферичен обем от флуида се изразява с диагоналните елементи на тензора на деформациите. Тези компоненти определят така нареченото обемно разширение на флуида. Скорост на тангенциални (ъглови) деформации За физическо обяснение на S12, S13, S23 се разглежда деформацията на равнинен правоъгълник в някоя от координационните равнини – например x0y (S12) – фиг. 16.

x

y

u

v

dyyu

u

dxxv

v

Фиг.16 Ъглови деформации

g1

g2

O A

C

Ъгловата деформация се обуславя от ъгъла γ с който се изменя правия ъгъл на първоначалната фигура (правоъгълник). Тъй като се разглеждат много малки изменения то ъгълът може да се представи чрез:

dy

dutg 11

x

vtg

22

Общата ъглова деформация се определя от деформацията на ъгъла COA за единица

време. Средният ъгъл на деформация е 2

21

или:

12)(2

1S

x

v

y

u

Лекция 6 Динамика на флуидите Общи уравнения за движение на непрекъснати среди (флуиди) За механиката на флуидите важат общите закони на механиката. Особено значение за теоретическите анализи имат законите за съхранение (запазване). Законите за съхранение (запазване) важат за почти всички явление във физиката (на микромира и макромира, квантовата механика, теорията на относителността). Това са универсални закони и се отнасят за съхранение на: енергията, количеството на движение (импулса), момента на количеството на движение. В класическата физика (за скорости v << с) важи и законът за съхранение на масата. Прилагането на законите за съхранение (ЗС) към движещи се флуиди дава система уравнения за движение на флуидите. Записани за обеми с крайни размери законите за съхранение дават общи интегрални уравнения за движение. Записани за безкрайно малки обеми те задават системи диференциални уравнения за движение на флуиди Закон за съхранение на масата. Уравнение на непрекъснатостта За изолирани системи в които не се обменя маса с околната среда масата m остава постоянна (маса не се губи и не се създава). Това се записва като производната на

масата по времето се нулира: 0=dt

dm

За неизолирана система с постоянен обем U, през повърхността на която се влива и изтича флуид (фиг.17) могат да се запишат уравнения, които се основават на закона за запазване на масата. Най-напред, изменението на масата в обема се обуславя от промяната на плътността на флуида в дадената област:

∫ ∂∂

=ΔU

dUt

mρ , където dU е

безкрайно малък обемен елемент, а t∂

∂ρ е изменение на плътността във времето.

Горният израз дава изменението на масата за единица време.

Фиг.17. Закон за запазване на масата

U

От друга страна, може да се разгледа потокът на вектора Vr

ρ през неподвижната повърхнина, затваряща обема U (на фигурата). Ако количеството вливащ се флуид не е равно на изтичащото, масата на флуида в обема се променя. Потокът на флуида може да се определи по познатия израз за поток на вектор (17): - поток на вектора на скоростта. ∫=Δ

S

ndsVm ρ

Тъй като изменението на масата в обема U се обуславя от изменение на плътността (няма загуба и раждане на маса), това изменение е възможно само за сметка на изтичане или втичане (поток на флуида през ограждащата повърхнина):

∫ ∫ ∂∂

−==ΔS U

n dUt

dsVmρρ . (28)

Знака ‘-‘ се определя от математическото значение на векторната операция ‘поток на вектор’. За положителна стойност на потока се приема случая, когато скоростта има посока съвпадаща с посоката на външната нормала към повърхността. Това означава, че положителната стойност на потока отговаря на изтичане от обема. В същото време,

изтичане от обема означава намаляване на плътността вътре в областта (отрицателна стойност на производната на плътността по времето). За да се съчетаят знаците на величините в двете страни на равенството е необходим знак ‘-‘ пред един от двата интеграла. Към израза (28) може да се приложи формулата на Остроградски-Гаус:

0)((

)(

)()()(

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+

∂∂

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

∂∂

+∂∂

==

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

dUt

Vdiv

dUt

dUVdiv

dUz

w

y

v

x

udsVdivdsV

U

V U

S U

n

ρρ

ρρ

ρρρρρ

r

r

Тъй като обемът е произволен и обемният интеграл е 0 то подинтегралната величина трябва да е 0 навсякъде по обема:

0)( =∂∂

+t

Vdivρρ

r (29)

Това е уравнението за запазване на масата записано в общ вид. То е известно още и като уравнение на непрекъснатостта. За различните типове движение уравнението на непрекъснатостта може да се представи в зависимост от особеностите и характеристиките му:

- за стационарно движение производната на плътността по времето е нула: ;0=∂∂

t

ρ

тогава: 0=Vdivr

ρ- за несвиваеми флуиди (и стационарни условия) е в сила: ρ = const и тогава уравнението на непрекъснатостта има вида: 0=Vdiv

r. Подробния запис има вида:

0=++=dz

dw

dy

dv

dx

dudivV

Общото уравнение на непрекъснатостта може да се напише и във вида: 0=+ ρρ gradVVdiv

rr

Сили, действащи в движещи се флуиди Силите действащи върху движещи се флуиди се различават от тези действащи в неподвижен флуид поради наличието на деформация и вътрешното хидравлично съпротивление. Това обуславя наличието на тенгенциални компоненти на повърхностните сили. Силите, които действат в движещ се флуид могат да се дефинират на основата на закона за съхранение на импулса (от механиката):

dK dm V dVm

dt dt dt

⋅= = =

r rrR , където K = m.V е механичен импулс (количество на

движението), R - равнодействаща на приложените сили; За неизолирана система (върху която действат външни сили) законът за съхранение на импулса има вид:

0=−=− Rdt

VdmR

dt

Kd rr

rr

- запис във вида на Даламбер

Този закон може да се приложи към елементарен тетраедър в произволно ориентирана координатна система (фиг.18)

За този елемент може да се запише:

cdVdKm

dt dt=

rr

където Vc е вектор на скоростта на центъра на инерция на тетраедъра, dm – маса на тетраедъра. Главният вектор на външните сили (второто слагаемо в израза за съхранение на импулса) е сума на масовите и повърхностни сили: pm RRR

rrr+=

Векторът на масовите сили има вида: dmFRm ⋅=

rr, където е векторът на

специфичната масова сила (силата за единица маса) и

Fr

.mR F dUρ= ⋅r r

.

y

z

x

dz

dxdy

Py

Px

Pz

(dS )x

(dS )z

(dS )y

py

nPn

Фиг. 18 Сили в движещ се флуид

Pxy

Pxz Pxx

Главният вектор на повърхностните сили (равнодействащата на повърхностните сили) е: zzyyxxnnp spdspdspdspR

rrrrr−−−= , където pi е вектор на напреженията,

приложен към елементарната площадка Si . Тогава законът за съхранение на импулса се записва като:

0=+++−− zzyyxxnn dspdspdspdspdmFdmdt

Vd rrrrrr

В това равенство в първите два члена има величини с по-висок порядък на безкрайно малки величини (dm ~ dx.dy.dz). При преход към нула на безкрайно малките величини

, тези слагаеми се пренебрегнат тъй като намаляват с по-голяма скорост от другите слагаеми. Тогава:

0,, →dzdydx

zzyyxxnn dpdspdspdsprrrr

++= (30) Косинус-директорите на нормалата към затварящата повърхнина n имат вида:

)cos(

)cos(

)cos(

znn

ynn

xnn

z

y

x

∧

∧

∧

=

=

=

Тогава елементарните повърхнини от тетраедъра в съответните координатни равнини могат да се изразят по следния начин (те са проекции на площадката dSn):

и

nznz

nyny

nxnx

dsnzndsds

dsnyndsds

dsnxndsds

==

==

==

∧

∧

∧

)cos(.

)cos(.

)cos(.

zzyyxxn pnpnpnprrrr

++=

След заместване в горния израз и съкращаване на уравнение (30) може да се запише във вид на компоненти по координатните оси:

nds

zzzyzyxzxnz

zyzyyyxyxny

zxzyxyxxxnx

pnpnpnp

pnpnpnp

pnpnpnp

++=

++=

++=

(31)

където nx, ny, nz са косинус-директори, pxx, pyy, pzz – нормални напрежения; pxy, pxz, pyx – тангенциални напрежения; Тангенциалните напрежения се индексират по площадката в която действат и оста върху която се проектират. Например pxy е тангенциално напрежение с проекция по оста у, действащо в площадка перпендикулярна на оста х. Пълното напрежение в произволна площадка може да се представи линейно чрез проекциите на напреженията в три взаимноперпендикулярни площадки. Или:

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ppp

ppp

ppp

p = (32)

Това е тензорна величина и се нарича тензор на напреженията (наляганията) В механиката на флуидите се доказва че: zyyzzxxzyxxy pppppp === ;; Уравнения за движение на флуиди Уравненията за движение на флуиди се получават на основата на закона за съхранение на импулса и закона за съхранение на момента на импулса. В общ вид законът за съхранение на импулса има вида:

0=− Rdt

Kdr

За да се получат диференциалните уравнения за движение на флуиди законът за съхранение на импулса трябва да се запише за безкрайно малък обем движещ се флуид. Тъй като dm = ρ.dU и dK = dm. V = ρ.dU.V, за съхранение на импулса за краен обем от флуида U може да се запише:

0n

U U S

dV dU F dU p ds

dtρ ρ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − =∫ ∫ ∫

r r r ,

където действащите във флуида сили са 0n

U S

R F dU p dsρ= ⋅ ⋅ − =∫ ∫r r r (сума от масовите и

повърхностни сили) Първото слагаемо може да се преобразува по следния начин ако се приеме, че масата не се изменя във времето:

U U U

dK d dVV dU dU W dU

dt dt dtρ ρ ρ= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

r rr r

, (33)

където Wr

e ускорението на флуидните частици. За последното слагаемо може да се приложи формулата на Гаус-Остроградски:

∫ ∫ ∫ ∂∂

+∂

∂+

∂∂

=+=S S U

zyxzzyyxxn dU

z

p

y

p

x

ppnpnpndsP )()(

rrrrrr

Тогава уравнение (33) може да се запише във вида:

( )yx z

U

pp pW F dU

x y zρ ρ

∂⎡ ⎤∂ ∂⋅ − ⋅ − + + =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

∫rr

0rr r

Тъй като U е произволен обем, за да е горният интеграл нула трябва подинтегралната функция да е нула навсякъде в областта:

( yx zpp p

W Fx y z

ρ ρ∂∂ ∂

⋅ − ⋅ − + + =∂ ∂ ∂

rr) 0

rr r (34)

Във векторна форма това уравнение може да се запише по следния начин:

( )dVF grad P

dtρ ρ= ⋅ +

rr r

(35)

Във форма на проекции по координатните оси уравнението има вида:

( )

(

( )

yx

)

xx z

yx yy zy

yzzx zz

pxp pdu

Xdt x y z

p p pdvY

dt x y z

pp pdwZ

dt x y z

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

∂∂ ∂= ⋅ + + +

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= ⋅ + + +∂ ∂ ∂

∂∂ ∂= ⋅ + + +

∂ ∂ ∂

(36)

Това е система уравнения за движение на флуидите. Закон за съхранение на момента на импулса Законът за съхранение на момента на импулса се формулира по следния начин: сумата от векторната производна на момента на импулса и момента на външните сили по време на движението на флуида остава равна на нула:

0=− Mdt

Ld rr

, където L е момент на импулса за даден обем, M – момент на

външните сили спрямо произволна точка. Ако с r

r се означи радиус – вектора на елементарните обеми dU и площадки ds, то горното равенство се записва като: ∫ ∫ =⋅×⋅−−

U S

n dsprdUFWxr 0)()( rrrrrρ

∫ ⎪⎩⎪⎨⎧

=⎭⎬⎫

×+×+×+∂∂

+∂

∂+

∂∂

+−×U

zxyxxxzyx dUpkpjpi

z

p

y

p

x

pWFr 0)()( rrrrrrrrr ρ

Съгласно уравнение (34) първата част на горния израз е нула и може да се запише: 0=×+×+× zxyxxx pkpjpi

rrrrrr

Записвайки този израз с компоненти на векторното произведение се получава: 0)()()( =−+−+− yxxyzxxzzyyz ppkppjppi

rrr

За да е равен на нула този вектор е необходимо: pxy = pyx ; pxz = pyx ; pzy = pyz По този начин, законът за съхранение на момента на импулса изисква равенство на компонентите на напрежението с разменени индекси. Това означава, че вместо 9, независимите компоненти в тензора на напрежението са 6.

Лекция 7 Обобщен закон на Нютон Системата уравнения (36) се основава на закона за съхранение на импулса и съгласно принципите на механиката описва движението на телата. В случая на движение на флуидите тази система съдържа три уравнения, а неизвестните са дванадесет – три компоненти на скоростта и девет компоненти на напреженията (тензора (32)). Когато флуида е свиваем към неизвестните трябва да се отнесе и плътността на флуида. За да може да се решава тази система уравнения трябва или да се добавят допълнителни уравнения или да се редуцира броя на неизвестните. Най-напред към системата (33) се добавя уравнението на непрекъснатостта (29). Освен това, уравнения (37) дават допълнителни съотношения, с което броят на неизвестните се намалява от 12 на 9. Необходими са допълнителни свързващи уравнения за допълване на системата уравнения за движение на флуидите. Свързващите уравнения се извеждат от механическите свойства на флуидите. Механическите свойства на непрекъснатите среди се задават като връзка между компонентите на тензора на напреженията и кинематичните характеристики, определящи тензора на деформациите. Връзка между тензора на напреженията на скоростта и деформация Ако се означи с Π тензора на напреженията, а с S – тензора на деформациите, за да се получи затворена система уравнения за движение на флуиди (уравнения на хидродинамиката) е необходимо да се зададе връзка между тези тензори. Тази връзка се определя за всяка конкретна среда на основата на параметри и характеристики, които задават модела на дадения тип флуиди. Тук се разглежда модел на вискозен флуид, за които напреженията са линейно зависими от деформациите. Модел на вискозните флуиди За този модел се приемат следните предпоставки: 1. Ако флуидът е в покой или се движи като твърдо тяло (не се деформира) в него съществуват само нормални напрежения. 2. Флуидът е изотропен – свойствата му са еднакви във всички направления. 3. Компонентите на тензора на напреженията са линейна функция на тензора на скоростта на деформация. При тези предположения връзката между двата тензора би изглеждала по следния начин: )0.(..........2 εμ ⋅+⋅=Π bS , (38)

където μ и b са числови константи, а ε е единичен тензор: ε =100010001

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

. Това е линейна

зависимост, в която коефициентът пред тензора S е записан 2.μ за удобство при по нататъшните разглеждания, b. ε е свободния член в линейната зависимост между тензори (уравнението на права линия е подобно y = k.x + b). Тази зависимост е обобщение на закона на Нютон за едномерното течение на флуиди (1). Ако флуида е неподвижен тензора на деформациите се нулира: . Тогава горното уравнение приема вида: П = b. ε. Това означава, че действат само нормални напрежения, които са еднакви поради условието за изотропност. Тъй като свойството вискозност се проявява само при движение, естествено е да считаме, че напрегнатото състояние в неподвижен вискозен флуид е подобно, както при неподвижен идеален флуид, т.е. на всяка площадка ще действа нормално хидростатично налягане. Освен това, за определяне на неизвестните величини μ и b, може да се използва условието (подобно на граничните условия при диференциалните уравнения), уравнението (38) да

;0=S

е в сила и за линейните инварианти на тензорите. От тензорния анализ е известно, че линейните инварианти на тензорите се задават като сума на диагоналните им елементи: JП = p11 + p22 = p33 – за тензора на напреженията, и

JS = S11 + S22 + S33 = zw

yv

xu

∂∂

+∂∂

+∂∂ = div V

J ε = 3 В граничния случай, записано за първите инварианти уравнение (38) ще има вида: 11 22 33 2 3p p p divVμ+ + = ⋅ +

rb (39)

Напрегнатото състояние в подвижен флуид е полезно да може да се представя със скаларна величина, която е аналогична на статичното налягане, като мярка за интензивността на свиване на течността (флуида). В механиката на флуидите се дефинира величина p, като налягане действащо в дадена точка на движещ се флуид посредством първата инварианта на тензора Π:

)(31

332211 pppp ++−= (40)

Тя е инварианта по отношение на координационната система и затова може да изпълни ролята на статично налягане. Тя е и средна стойност на налягането в три взаимноперпендикулярни площадки. Така може да се дефинира и налягането в движеща се среда – като средното нормално напрежение в три взаимноперпендикулярни площадки, взето със знак (-). Ако се замести този израз в (39) ще се получи израз за неизвестната величина b:

11 22 331 2( ) ;3 3

P

b p p p divVμ

−

= + + − ⋅r

144424443 или Vdivpb

rμ

32

−−=

След заместване на този израз в (38) последователно се получава:

22 (3

S p divV )μ μ εΠ = ⋅ + − − ⋅r

VdivSpP

VdivSp

ijji

r

r

⋅+⋅+−=

⋅−⋅+−=Π

μμ

εμμε

322

322

Течностите и газовете се отличават от другите деформируеми среди по това, че в равновесно състояние тангенционалните напрежения в дадена площадка са 0. При движение на течности и газове – тангенционалните напрежения са зависими от деформациите. За нормалните компоненти се използва обобщеният закон на Нютон (линейна зависимост):

Vdivzwpp

Vdivyvpp

Vdivxupp

zz

yy

xx

r

r

r

⋅−∂∂

+−=

⋅−∂∂

+−=

⋅−∂∂

+−=

μμ

μμ

μμ

322

322

322

(41)

За тангенциални напрежения: )(i

j

j

iij x

VxV

p∂

∂+

∂∂

= μ

Записано в координатен вид:

)(xv

yupp yxxy ∂

∂+

∂∂

== μ ;

)(xw

zupp zxxz ∂

∂+

∂∂

== μ ; (42)

)(zv

ywpp zyyz ∂

∂+

∂∂

== μ

Течности и газове, които имат механически свойства, описващи се със горните зависимости между напреженията и деформациите се наричат нютонови флуиди. Течности, за които 0; ====== xyxzxyzzyyxx ppppppp , се наричат течности на Паскал. Към тях се отнасят идеалните течности и вискозните течности в покой. Флуиди за които не са в сила горните зависимости се наричат ненютонови или реологически. Те се изучават от отделна наука, която се нарича реология. Уравнение на движението на свиваеми вискозни флуиди Като се заместят компонентите на тензора на напреженията (41) и (42) в уравненията за движение на флуидите (36) се получава:

]

]

]

22 ( )3

22 ( )3

22 ( )3

du u v u u wX p divVdt x x y x y z z x

dv v v u v wY p divVdt y y y x y z z y

dw w w u v wZ p divVdt z z y x z z z y

ρ ρ μ μ μ μ

ρ ρ μ μ μ μ

ρ ρ μ μ μ μ

⎡( )

( )

(

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + − + − ⋅ + + + +⎢

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣⎡∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ⋅ + − + − ⋅ + + + +⎢∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣⎡

∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + − + − ⋅ + + + +⎢

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣

r

r

r)

∂

След малки преобразувания се получава: 22 ( ) ( ) ( ) (3

22 ( ) ( ) ( ) ( )3

2 ( ) (

du p u u v u w )X divVdt x x x y y x z z x x

dv p u u v u wY ddt y y y x y x z z x y

dw p uZdt z z z x

ρ ρ μ μ μ μ

ρ ρ μ μ μ μ

ρ ρ μ μ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤= ⋅ − + + + + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤= ⋅ − + + + + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎣ ⎦

∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ − + +

∂ ∂ ∂ ∂

r

rivV

2) ( ) (3

u w v w divVz x y z y z

μ μ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤+ + + −⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

r)

; (43)

Към тези три уравнения се добавя уравнението на непрекъснатостта:

0)( =+∂∂ Vdiv

t

rρρ (44)

Системата уравнения (43), (44) е известна като система уравнения на Навие-Стокс. Тя описва движението на вискозни течности и газове. Когато вискозитета се смята за променлива величина, трябва да се зададе зависимостта за изменението (обикновено, като функция на налягането и температурата) За свиваемите флуиди неизвестни са не само скоростите и наляганията, но и плътността и вискозитета. За пълното описание на движението в този случай трябва да се добавят зависимости между налягането и плътността. За газовете се използва уравнението за състояние на флуида, което е термодинамично

уравнение: RTpилиRTpv ==ρ

;

Уравнение за движение на вискозна несвиваема течностГорните уравнения са записани в най-общ вид. Те са доста сложни и рядко се използват за анализ на реални флуидни течения. Най-често се правят подходящи опростяващи предположения за опростяване на системата уравнения. По този начин се получават модели на различни течения. В случая се разглежда изотермично движение (T = const) на вискозна несвиваема течност. Тогава μ = const; ρ = const. Уравнението на непрекъснатостта за несвиваеми флуиди има вида:

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

=zw

yv

xuVdiv

r

Като се използва този израз в основните уравнения за движение на флуиди (43) се получава известно опростяване на системата (запис за първото от уравнения (43)):

2

2

2 2 22

2 2 2

0

2 ( ) ( )

( ) ( )

du p u u v u w pX xdt x x y y x z z x x

u u u u v w px ux y z x x y z x

ρ ρ μ μ μ ρ

μ μ ρ μ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ − + + + + + = − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + = − + ∇

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂1442443

След аналогични преобразования и в другите уравнения на системата за движение на вискозни несвиваеми флуиди се получава:

или:

2

2

2

1

1

1

du pX udt xdv pYdt ydw p

v

Z wdt z

νρ

νρ

νρ

∂= − + ∇

∂∂

= − + ∇∂∂

= − + ∇∂

(45)

2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ - оператор на Лаплас

Заедно с уравнението 0=∂∂

+∂∂

+∂∂

=zw

yv

xuVdiv

r, се получава затворена система от 4

уравнения за 4 неизвестни: u, v, w, p.

Във векторна форма тази система уравнения се записва като: VgradpFdtVd rr

21∇+−= ν

ρ

и е известна като уравнения на Стокс. За решаване на задачата за движение на несвиваеми вискозни флуиди е необходимо да бъдат зададени гранични и начални условия. Начални условия: t = 0 u = f(x, y, z) v = f(x, y, z) w = f(x, y, z)

Лекция 8 Уравнения за движение на идеални течности 1. Напрежения в идеалните течности Идеална течност е течност, за която вътрешното триене и топлопроводността могат да бъдат пренебрегнати. Това значи, че липсват тангенциални напрежения и взаимодействието между отделните обеми флуид се осъществява само чрез нормални сили и напрежения. pxy = pyx = 0; pxz = pzx = 0; pyz = pzy =0 или pxy = pyx = pxz =pzx = pyz = pzy = 0 Тогава уравненията за компонентите на напреженията (31) се записват по следния начин: pnx = pn.nx; pny = pn.ny; pnz = pn.nz Ако се продължи опростяването на изразите може да се запише: pnx = pn.nx = pxx.nxАналогично за другите две компоненти: pn = pxx; pn = pyy ; pn = pzz Следователно, трите компоненти са равни помежду си и може да се въведе общо означение на налягането: pxx = pyy = pzz = pn = -p Поставя се знак “-“, защото с това означение се представя налягането с което флуида действа върху разглеждания обем (налягането, което уравновесява действащите в различно ориентираните площадки налягания). Горните равенства показват, че при движение на идеална течност нормалното напрежение (налягането) в дадена точка не зависи от направлението от площадката. То е насочено в обратна посока на външната нормала на площадката (затова има знак ‘-‘). Това е хидродинамично налягане и е скаларна величина. 2. Уравнение на Ойлер за движение на идеална течност Записано за оста х, основното уравнение (36) за движени има вида:

xyxx xp

zp pduX

dt x y zρ ρ

∂∂ ∂= ⋅ + + +

∂ ∂ ∂.

За идеални течности е в сила pxy = pxz = pyz = 0 и pxx = pyy = pzz = -p. Тогава горното уравнение приема вида:

;du pX

dt xρ ρ ∂

+ ⋅ −∂

и аналогично за уравненията по другите оси:

;dv pY

dt yρ ρ ∂

= ⋅ −∂

(46)

dw PZ

dt zρ ρ ∂

= ⋅ −∂

Във векторна форма тези уравнения се записват като:

pgradFdt

Vd⋅−=

ρ1r

r

и са известни като уравнения на Ойлер за движение

на идеални течности. При преход към хидростатиката (неподвижен флуид) скоростите на движение се нулират и се получава:

; ;P PX Y Z

P

x y zρ ρ ρ∂ ∂⋅ = ⋅ = ⋅ =

∂ ∂L K

∂∂

.

Това са уравненията на хидростатиката (5). В общия случай скоростта V

r зависи и от времето, и от пространствените координати:

VVt

V

dt

Vd rrrr

)( Δ+∂∂

=

В координатен вид с подробен запис на скоростта уравненията на Ойлер имат вида:

y

pZ

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

y

pY

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

x

pX

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ

ρ

ρ

1

1

1

(47)

За интегрирането на тези уравнения трябва да се добавят начални и гранични условия. 3. Уравненията на Ойлер във формата на Громек Разглежда се лявата част на уравненията на Ойлер (47) – преобразованията се правят само за първото от уравненията, но по аналогия се пренасят и за другите уравнения от

системата: z

uw

y

uv

x

uu

t

u

dt

du

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Към дясната част се прибавят и изваждат изразите: ;vv w

w

x x

∂ ∂∂ ∂

K , с което не се променя

стойността на общия израз;

)()(x

w

z

uw

x

vv

y

uv

x

ww

x

vv

x

uu

t

u

dt

du

∂∂

−∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= .

Като се вземе пред вид, че: 2 21 1; ;

2 2u u v v w

u v w21

2w

x x x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂K K

x

и Vrotx

w

z

uVrot

y

u

x

vyz

rr=

∂∂

−∂∂

=∂∂

−∂∂ ; ,

се получава:

2 2 22 2 2

2

1 1( ) ( . . ) (2 2

1( ) ( )2

y z

x x

u u v w urot V w rot V v u v w

t x x x t x

u VrotV V rotV V

t x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + − = + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

+ × = + + ×

)+

∂ ∂

r r

r r r r

Общо за уравнението на Ойлер се получава:

21 1( )

2 x

u VrotV V X

t x ρ∂ ∂ ∂

+ + × = −∂ ∂

r r p

x∂

Ако масовите сили X, Y, Z имат потенциал Ф, то:

; ;X Y Z d Xdx Ydy Zdzx y z

∂Φ ∂Φ ∂Φ= − = − = − ⇒ − Φ = + +

∂ ∂ ∂K K .

Масовите сили са пример за потенциални сили. Ако течността е несвиваема, то: const=ρ и за горното уравнение се получава:

2

( ) ( )2

u V ProtV V x

t x ρ∂ ∂

+ +Φ + + ×∂ ∂

r r0= (48)

или във векторен вид: 2

( ) (2

V V Pgrad rotV V

t ρ∂

+ +Φ + + ×∂

rr r

) 0=

Това е уравнението на Ойлер във форма на Громек

4. Интеграл на Коши-Лагранж и Бернули за потенциално движение Ако в цялата област на течението 0=Vrot

r, то съществува потенциал на скоростта φ:

; ;u v wx y z

ϕ ϕ ϕ∂ ∂= = =∂ ∂

K K∂∂

и )(txxtt

u

∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂ ϕϕ

Тогава уравнението на Ойлер (във формата на Громек) приема вида:

0)2

(2

=+Φ++∂∂

ρϕ PV

tgrad .

Това означава, че производната по пространствената координата на израза в скобата е нула. Следователно този израз зависи само от времето и не зависи от координатите. Тогава решението на интегралът би следвало да изглежда по следния начин:

)(2

2

tfPV

t=+Φ++

∂∂

ρϕ , където се определя от граничните условия. Този интеграл

се нарича интеграл на Коши-Лагранж.

)(tf

Когато като масова сила действа само теглото, то

, защото gz=Φ gz=

∂Φ∂ и за интеграла на Коши-Лагранж се получава:

)(2

2

tfP

gzV

t=+++

∂∂

ρϕ (49)

В това уравнение има две неизвестни φ и p. За да се получи затворена система се

добавя уравнението на непрекъснатостта 0=∂∂

+∂∂

+∂∂

z

w

y

v

x

u , което във форма,

записана с φ има вида:

02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zyx

ϕϕϕ - уравнение на Лаплас.

От това уравнение може да се определи φ и скоростта V2.

2222 )()()(zyx

V∂∂

+∂∂

+∂∂

=ϕϕϕ

Тази стойност се замества в (49) и може да се определи p.

Ако движението е стационарно производната по времето в (49) е нула: 0=∂∂

t

ϕ .

Тогава:

1

2

2C

Pgz

V=++

ρ (50)

Този интеграл се нарича интеграл на Бернули, за потенциално стационарно течение на идеална течност. При умножаване на (50) с ρ се получава уравнението на Бернули, в което отделните слагаеми са с размерност налягане:

0

2

2PCpgz

V==++ ρρ , (51)

където р0 е пълно налягане p - пиезометрично налягане (статично налягане);

2

2Vρ - скоростен или динамичен напор (динамично налягане);

ρgz- гравитационен напор (гравитационно налягане).

Ако се раздели уравнението на Бернули (49) на g се получава уравнение, в което размерността на отделните членове е дължина (напорна височина) – съответно пиезометрична, динамична и гравитационна височина (напор):

0

2

2z

g

Pz

g

V=++

ρ

При отсъствие на масови сили интегралът на Бернули приема вида:

;2

2

CpV=+

ρ

Ако в интеграла на Бернули се положи V = 0, се получава уравнението на хидростатиката constgzp =+ ρ .

Лекция 9 Едномерно движение на несвиваема течност1. Основни понятия и уравнения. Елементи на хидравликата Едномерно течение на флуиди се нарича течение, при което скоростта, налягането, плътността, температурата и други параметри зависят само от една пространствена координата. В действителност такова движение на флуидите не съществува. Но в случаите на движение на течности и газове по тръбопроводи и канали с голяма скорост, максималната скорост е близка до средната в дадено сечение и може да се работи със средна едномерна стойност на скоростта. Тогава теоретическите анализи могат да се правят на основата на едномерно течение на флуида. Основните уравнения за едномерно движение на несвиваеми течности са уравнението за съхранение на масата, уравнението за съхранение на импулса, момента на импулса и уравнението за съхранение на енергията или уравнение на Бернули.

За извеждане на основните зависимости при едномерно движение се разглежда течението на течност (несвиваем флуид) в тръба – фиг.19. Предполага се, че стените на тръбопровода са непропускаеми и през страничните стени на тръбата не протича флуид. В зададено сечение (например сечения 1-1, 2-2) параметрите на потока са еднакви, и те се променят само при преминаване от едно сечение към друго. Масата флуид, протичаща през

сечение S за единица време (масовия дебит) е: ρ.V.S, където ρ е плътността, а V – скорост на флуида в даденото сечение.Този израз представлява интеграла на потока на вектора на скоростта по сечението S, когато скоростта е постоянна в цялото сечение. Тъй като маса не се губи и не се създава, при стационарни течения трябва във всеки момент дебитът през различните сечения да е еднакъв. Тогава законът за съхранение на масата може да се запише като равенство на дебитите в две или повече сечения от канала:

Фиг.19 Едномерно движение на флуид

1

1

2

V , p ,S ,1 1 1 1r

V , p ,S ,2 2 2 2r1’

1’

2

2’

2’

;2211 SVSV ρρ = или ρ.V.S = const (52) Когато плътността е постоянна величина ρ=const (несвиваеми флуиди) законът за съхранение на масата се записва във вида:

V1.S1 = V2.S2 или V.S = const (53)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

smSVQ

3

.Измерителните единици за обемен и масов дебити са: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

skgSVm .ρ и

Ако се диференцира израза (53) ще се получи уравнението за съхранение на масата (уравнение на непрекъснатостта) в диференциален вид:

0110. =+⇒=+⇒=dxdS

SdxdV

VdxdSV

dxdVSconstSV (54)

;0=dxdS

Ако каналът има постоянна площ на напречното сечение, то: и за уравнението

на непрекъснатостта се получава:

constVdxdV

=⇒= ;0 (55)

Скоростта в канали с постоянно сечение при стационарни течения на несвиваеми флуиди е постоянна.

Ако скоростта зависи не само от х, но и от времето (нестационарно движение), уравнението за съхранение на масата има вда:

0111=+

∂∂

+∂∂

dxdS

SxV

VtV

V

Уравнение за съхранение на количеството на движение Законът за съхранение на количеството на движение се записва в общ вид като:

RdtKd rr

= (56)

където K е количество на движението, а R – сумарната сила действаща на флуида. При случай на едномерно течение се разглеждат 2 сечения ‘1-1’ и ‘2-2’ с площи S1 и S2. Средните скорости в тези сечения са V и V1 2. Изменението на количеството на движение за време dt се определя от това че обемът между сечения 1-1 и 2-2 се е преместил и заема обема 1`-1’ и 2`-2’ (фиг.19). Изменението на количеството на движение се определя от увеличаване на импулса между сечения 1-1 и 1`-1’ и загубата на импулс между сечения 2-2 и 2`-2’ (в обема между сечения 1-1 и 1`-1’ има втичне на флуид, а между 2-2 и 2`-2’ има изтичане на флуид). Тогава изменението на количеството на движение е:

43421

rr

43421

rrr

`22

222

`11

111

−⋅⋅−⋅⋅

−=

сечениевизменение

сечениевизменение

dtVVSdtVVSKd ρρ

За уравнение (56) се получава:

RVmVmVVmdtKd rrrrrr

=−⇒−= 2121 );(

Уравнение за запазване на енергията (уравнение на Бернули) Използвайки уравнението за съхранение на енергията се извежда уравнението на Бернули за едномерно течение в тръби и канали. Приемайки, че скоростта на флуида в сечението е еднаква, може да се определи преместването на флуида за време dt. За този интервал от време течността от сечение 1-1 се премества в съседно безкрайно близко сечение 1`-1’ на разстояние dtV1

rdtV2

r. За сечение 2-2 преместването е: .

Масата на течността, която се влива и тази която се излива от обема между сечения 1-1 и 2-2 е еднаква : mdtdtSVdtSV == 222111 ρρ . В този израз с m е означен масовия дебит на течността (масата преминаваща през сечението за единица време) Пълната енергия на флуидния поток има следните компоненти:

- кинетичната енергия: от израза за кинетична енергия в механиката за маса

m.dt се получава: dtmV

2

21

- работа на вътрешното налягане: налягането действащо в дадено сечение упражнява усилие, което предизвиква преместване на течността. В механиката такова действие е свързано с извършване на механична работа: (произведение на силата по преместването)

{ { mdtpdtVSpdtVSpепремествансила

ρρ

ρ1

111

111 ==

- потенциална енергия от теглото: теглото на флуида формира потенциална енергия, която се определя от височината на флуида спрямо някаква начална височина. В зависимост от избора на координатна система трябва се задава координата z на центъра на тежестта на сеченията. Потенциалната енергия за сечение

1-1 има вида: . Пълната енергия в сечение 1-1 е сума от горните компоненти:

1.zgmdt

dtgmzmdtpdtmV1

1

12

1

2++

ρ.

dtgmzmdtpdtmV2

2

22

2

2++

ρ. За сечение 2-2 пълната енергия е:

Ако течността е идеална и няма загуби на енергия в канала и към околната среда енергията в двете сечения трябва да е еднаква:

22

22

11

21

22z

pg

Vz

pg

V++=++

γγ

Ако течността не е идеална, то ще се реализира някаква загуба на енергия:

zzp

gV

zp

gV

Δ+++=++ 22

221

21

21

2 γγ

където - загуба на енергия, отнесена към 1 маса. zΔЗаписано за произволно сечение горното уравнение има вида:

1

2

2CpgzV

=++ρ

(57)

То се нарича уравнение на Бернули за едномерно движение на несвиваеми флуиди. Тук то е записано във форма на специфична енергия. Както и за идеални течности то може да се запише за компонентите на налягането и компонентите на напора.

Установено изтичане на несвиваем флуид Задачата е да се определи скоростта на изтичане и дебитът през малък отвор в

отворен съд с течност (фиг.20). При изтичане на течност през отвора обикновено свободното ниво се понижава и течението е неустановено. За да бъде течението установено, необходимо е височината z0 да остава постоянна. Това може да се постигне като се долива течност с дебит равен на дебита на изтичане. Течението може да се смята за установено и когато сечението на отвора през който изтича флуида е много по-малко от сечението на съда 1-1. Тогава намаляването на височината z0 е много бавно и за голям период от време височината може да се смята за постоянна z0=const.

Фиг.20. Изтичане на флуид от съд

0 0

1 1

p0V0

V1

z0

Характерна особеност за течението са криволинейните токови линии в мястото на отвора и свиването им до известно разстояние след напускането на съда. Най-малкото сечения на струята е в сечение 1-1 (на разстояние дъното на съда). Това се дължи на инерцията при движение на частиците, когато преминават през отвора. След това струята се разширява вследствие на размесването на флуидните частици в свободното пространство. Стеснението на струята при изтичане се задава с коефициент на свиване (напречна контракция): ε = S’/S <1, където S е сечението на отвора, а – S’ най-малкото сечение на струята. Този коефициент се определя опитно и зависи от формата и

местоположението на отвора и от критерия на Рейнолдс: ν

dV .Re = . Тук е V e скоростта

на изтичане, d - диаметър на отвора и ν – кинематичен вискозитет на течността.

При изтичането всички токови линии започват от откритата свободна повърхност (сечение 1-1) за която z0=const, налягане p = p0 (атмосферно налягане) и скорост (ако се приеме, че течението е установено) V0 = 0. Непосредствено след отвора налягането по напречното сечение е постоянно и равно на действащото по повърхността на струята външно налягане, в случая равно на атмосферното налягане. Тогава уравнението на Бернули за сечния 0-0 и 1-1 може да се запише във вида:

00

20

11

21

22z

gp

gV

zgp

gV

++=++ρρ

= 0 и ако се положи h=zКато се вземе пред вид, че V0 0-z1 скоростта на изтичане се получава:

ghpp

VV 2)(2 10

1 +−

==ρ

(58)

При отчитане на факта, че налягането на изтичане е равно на атмосферното p1 = p0 горният израз се опростява значително:

ghV 2= (59) Тази зависимост е известна в хидродинамиката като уравнение на Торичели. Вследствие на хидравличното съпротивление при изтичане на флуида, скоростта на изтичане на реални флуиди е по-малка от тази изчислена с израза (59). В този случай за действителната скорост на изтичане се държи сметка чрез тъй наречения скоростен коефициент φ < 1:

ghpp

V 2)(2 10 +

−=

ρϕ

Този коефициент зависи от формата и големината на отвора, а също така и от критерия на Рейнолдс за струята на изтичане. Това особено важи за изтичания за които Re < 105. Този коефициент се определя опитно, като числените му стойности са в границите φ=0.84÷0.99. Дебитът на изтичащия флуид с отчитане на хидравличното съпротивление и стеснение на струята се определя от израза:

ghghSVQ 22' μϕε ==⋅= където μ = φε се нарича коефициент на дебита.

Лекция 10 Кавитация

При движение на течности в тръби и канали с променливо сечение скоростта и налягането се променят. В сеченията с най-малка площ се получава най-висока скорост и най-ниско налягане. Това се обуславя от уравнението на Бернули. Нека разгледаме две сечения 1-1 и 2-2 в един канал (фиг.1). Уравнението на Бернули може се запише във

вида: 2

22

11

21 2

22z

g

p

g

Vz

g

p

g

V++=++

ρρ

Ако приемем, че каналът е хоризонтален, то z1=z2 и горното уравнение се записва като:

ρρ2

22

221

21 pVpV

+=+ . От това равенство може да се определи налягането в сечението

2-2:

( 21

2212 2

VVpp −−= )ρ. Налягането p2 е по-ниско от налягането p1 и тази разлика расте

с увеличаване на разликата в скоростите V1 и V2. От уравнението на непрекъснатостта е известно, че скоростта нараства с намаляване на сечението на канала и обратно. Следователно, при намаляване на сечението, налягането p2 намалява. То обаче не може да достигне много ниски стойности, защото течностите изменят плътността си малко и прекомерното спадане на налягането довежда до нарушаване на вътрешно молекулните връзки. Предел на намаляване на налягането в канала е стойността, при която започва парообразуване (кипене) в течността.

Стойността на налягането на кипене зависи от типа на течността и температурата на флуида. За водата например, налагането на кипене е 1 атмосфера при температура 100оС. При понижаване на налягането водата кипи при по ниски температури. При налягане например от 0.00146 атмосфери водата кипи при стайна температура 20оС.

Ако налягането на течността в най-тясното сечение достигне налягането на кипене, започва изпарение на течността и в областта около това сечение се образуват обеми запълнени с пари (наричат се каверни). Явлението, при което се получава кипене на течностите при понижено налягане, вследствие ускорението на потока и образуването на обеми с пари на течността се нарича кавитация.

Кавитация може да възникне при движение на всяка течност, включително и при движение на течни метали. Това се случва понякога в атомите реактори, които използват течни метали като топлоносител.

Когатио след най-тясното сечение следва разширение (фиг.1), основната маса течност се движи в разширяващия се канал като свободна струя, обкръжена от пенообразна смес от пара и течност. По течението паровата зона се притиска към стената и постепенно изчезва.

К

Кавитация възниква не само при движение на течности в канали, но и при външно обтичане на тела. Такива примери има при лопатките на гребни винтове на плавателни съдове, работни колела на водни турбини и помпи и други. При обтичане

на телата се получава ускоряване на потока поради стесняване на сечението през което преминава течността. Това ускоряване на потока води до намаляване на налягането и до възможност за възникване на кавитация.

Появата на кавитация винаги предизвиква увеличаване на хидравличното съпротивление и следователно изразходване на допълнителна енергия. Освен това, при продължително действие на кавитацията се стига до разрушаване на материала на лопатките и поява на така наречените кавитационни шумове. Последствията от кавитацията са толкова съществени, че при проектиране на лопатки за витла и турбини винаги се правят проверки за избягване на кавитацията.

Кавитационната коризия на материала обикновено се появява в местата където кавитационната каверна се затваря (точка К на фигурата). Природата на разрушаване на материала все още не е изучена достатъчно, но в основата стоят мощните механически удари на капки течност и пари удрящи се в повърхността на тялото, химическо въздействие на богатата на кислород течност и електрически полета възникващи в паровата каверна.

Хидравличен удар Когато при движение на течност в канал или тръбопровод се измени рязко скоростта на потока (затвори се или рязко се намали сечението, включи се помпа и други) в тръбопровода възниква хидравличен удар. Той е свързан с рязко нарастване на налягането в областта на затваряне, което в някои случаи може да доведе до разрушаване на съоръженията.

Най-пълни изследвания на хидравличния удар е правил руският учен Жуковски, използвайки московската водопроводна мрежа (1899 година). По това време хидравличният удар е нанасял сериозни поражения на хидравличните съоръжения. Сега съществуват много методи и средства за предотвъртяване на вредните

последици от това явления. В някои случаи хидравличният удар се

използва и като полезно явление. На основата на хидравличен удар е създадена специална помпа, която се нарича хидравличен таран.

Физическата картина на явлението може да се обясни на основата на представената на фиг.3 постановка. Разглежда се съд с флуид (течност) и изтичане от съда по тръбопровод със

скорост Vo. В определено сечение на тръбопровода се намира затварящ механизъм, чрез който се затваря тръбопровода (намалява се рязко сечението му). В момента на затваряне на тръбопровода течността, намираща се непосредствено до затварящия механизъм, прекратява своето движение. Започва уплътняване на масата на течността в това сечение, което води до намаляване на скоростта и прекратяване на движението на съседните слоеве течност. В резултат на това се повишава налягането на течността, което предизвиква разширение на тръбопровода (в зависимост от здравината на стените на тръбопровода). Вследствие на това, в тази област на тръбопровода постъпва допълнителна течност.

Границата на повишено налягане започва да се премества към съда с течност, защото течението от съда по тръбопровода продължава. След известно време, областта с повишено налягане достига до началното сечение на тръбопровода т.е до съда. Ако резервоарът е с голям обем, нивото на течността не се изменя много и може да се смята, че налягането в съда остава постоянно (po = const).

При достигане на вълната на повишено налягане до съда ще започне изтичане на течност от тръбопровода в съда, тъй като в тръбопровода има по-високо налягане отколкото в съда. Тогава започва втора фаза на процеса. Започва понижаване на налягането в тръбопровода, вследствие на изтичане на течност от тръбопровода към съда. Тази вълна на понижено налягане се придвижва от началото на тръбопровода

към задвижващия механизъм. При достигане на вълната на разреждане края на тръбопровода, изтичането на течност към съда продължава под действие на инерцията на флуидните частици. Това води до понижаване на налягането под налягането в съда ( p < po ). Понижаването на налягането се придвижва от края на тръбопровода към съда (трета фаза на процеса).

Третата фаза завършва, когато пониженото налягане достигне до началото на тръбопровода. Тогава се създават условия за изтичане от съда към тръбопровода. Започва течение на течността при условия подобни на условията в началото на процеса (първата фаза). Така се получава един колебателен процес, който постепенно затихва поради хидравличното съпротивление на течността.

При експлоатацията на тръбопроводи от съществено значение е определянето на максималното налягане при хидравличен удар. Анализът на процесите протичащи в тръбопровода при хидравличен удар показва, че скоростта на разпространение на

вълните на уплътняване и разреждане се пренасят със скорост a, където ρΔ

Δ=

pa 2 е

скоростта на звука за съответната среда (течност). За водата при стайна температура скоростта на звука е 1435 м/с.

Налягането в тръбопровода след затваряне на затварящия механизъм е: p1 = p + ∇p = p + aρ∇V = p + aρ(Vo-V). където p е налягането в тръбопровода преди хидравличен удар; Vo – скоростта

преди хидравличния удар; V – скоростта след затваряне на затварящия механизъм (ако сечението не е изцяло закрито; а – скорост на звука; ρ - плътност на течността.

При пълно затваряне на сечението повишаването на налягането е: ∇p = p1- p = aρVo. Този израз е известен като формула на Жуковски за хидравличния удар. Направеният анализ показва, че по дължината на тръбопровода от мястото на

затваряне към съда се разпространява вълна на високо налягане със скорост а. Тази

вълна достига съда за време a

lt = , където l е дължината на тръбопровода. Вълната

на разреждане се пренася от съда към края на тръбопровода със същата скорост, а след това се реализира изтичане от съда и процесът се повтаря.

Ако течността се разглежда като идеална и тръбопровода е недеформируем, то колебателният процес ще бъде безкраен. В действителност поради вискозността на флуидите и деформируемостта на тръбопроводите процесите при хидравличен удар винаги са затихващи.

Лекция 11 Измерване на налягане и скорост в поток Уравнението на Бернули се използва за определяне на налягането и скоростта

при движение на флуиди. Нека разгледаме течение на флуид в тръба (фиг. 4). Ако в пространството на флуидното течение има тяло, което се обтича от флуида, токовите линии се деформират, като някои от тях завършват с така наречената точка на заприщване (точка В на фигурата). В тази точка скоростта на флуида е нула.

Разглеждат се две сечения 1-1 и 2-2. Първото сечение е в област на несмутеното течение, а второто сечение преминава през точката на заприщване. Може да се запише уравнението на Бернули за токовата линия минаваща през

точката на заприщване. То има вида:

V

ρρ2

22

221

21 pVpV

+=+ , /1/

където скоростите V1 и V2 са съответно скорост на несмутения поток и скорост в точката на заприщване. Скоростта в точката на заприщване е нулева V2=0. Тогава се

получава: pV

pp =+=2

21

12 ρ , където p е пълното налягане на флуидния поток.

Следователно, в точката на заприщване динамичната компонента на налягането се е трансформирала в статично налягане (V2=0) и там може да се измери пълното налягане в флуидния поток. Това може да стане, ако в обтичаното тяло се направи отвор и чрез тръбичка се измери статичен стълб течност (фиг. 5). Височината на този стълб h e мярка за статичното налягане в точка В:

hgpp oB ρ+= , /2/ където po е атмосферното

налягане , g – земното ускорение. В действителност, за измерване

на налягането не е необходимо обтичано тяло. Достатъчно е да се постави тръбичка, чиято работна част е съосна с направление на движение на флуида (фиг.6 и 7).

Динамичното налягане в открит поток (река, поток, открит канал) се измерва с помощта на тръбичка както е показано на фиг. 6. Върху откритата повърхност действа атмосферното налягане po, а височината h измерва

динамичната съставка на налягането в потока. На фиг. 7 е дадена установка за измерване на статичното и пълно налягане на флуид при течение в затворен канал или тръбопровод.

hh1

VB

Измерване на скорост на флуида. Представените постановки за измерване на налягане могат да се използват за

изчисляване на скоростта на движение на флуида. За целта се използва уравнението на Бррнули. Ако запишем уравнението на Бернули за дете сечения от фиг. 6 се

получава: ρρ2

22

221

21 pVpV

+=+ , където

скоростта V2 е нула тъй като сечение 2-2 минава през точката на заприщване (началото на измерителната тръбичка). Тогава уравнението има вида:

hpo

Vρρ

ρρhgpppV +

==+ 0202

2. След

елементарно преобразуване се получава израз за скоростта на потока

ghV 2= . Следователно, ако се измери височината на стълба течност h, може лесно да се определи скоростта в открития поток.

В затворен флуиден поток скоростта може да се определи чрез измерване на статичното и динамично налягане (фиг. 7). Уравнението на Бернули за двете сечения 1-1 и 2-2 беше записано по-горе /1/ и като се приеме, че скоростта V2 е нула се получава израза:

pV

pp =+=2

2

12 ρ , /3/

където p е пълното налягане, което се измерва посредством стълба течност h в измервателната тръбичка : hgpp o ρ+= . Статичното налягане p1 се измерва със стълба течност h1 в другата измервателна тръбичка: 11 hgpp o ρ+= . След заместване на тези изрази в уравнение /3/, за скоростта V се получава:

)(2 1hhgV −= . Тази формула показва, че скоростта на

потока се определя от разликата във височината на стълба течност в двете

измервателни тръбички. Най-често двете тръбички се монтират в един общ корпус и цялото измервателно устройство се нарича тръба на Пито.

hh1

V

Друг начин за измерване на скоростта на флуидни потоци в тръби е използването на така наречената тръба на Вентури. Опростена схема на такъв уред е показана на фиг. 8. По дължината на тръбопровода се монтира специален участък с две различни по големина калибрирани сечения. В тези две сечения се измерва статичното налягане посредством измервателни тръбички - h и h1 са стълбовете

течност определящи статичните налягания. Уравнението на Бернули за тези сечения има вида /1/. Ако сечение 1-1 е равно на сечението на тръбопровода, то скоростта V1 ще е равна на скоростта в тръбопровода V. От уравнението на непрекъснатостта V1S1 = V2S2 може да се

определи скоростта V2:

V

h1

h

2

11 S

SV2V = . След

заместване на този израз в уравнението на

Бернули може да се определи скоростта V1=V: ))(1(

)(22

2

1

12

Spp

V−

= , където разликата в

наляганията pS

−ρ

оростта в тръбопровода се пределя от израза:

2-p1 се определя от разликата във височината на стълба течност в двете измервателни тръбички: p2-p1= gρ(h-h1). Тогава ско

))(1(

)(22

2S1

1

Shhg

V−

−= . Скоростта се определя от конструктивните параметри на тръбата на

ентури (отношението на двете сечения и измерената разлика в стълбовете течност. В