Γυμνάσιο 10ο - ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ Β_ ΤΑΞΗ

427

ΦΥΛΛΑ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΤΑΞΗ Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

428

ΥΛΗ ΔΙΑΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 13 (3.1 –3.11) 5 6

Από το 5 ο και 6ο κεφάλαιο πρέπει να προσέξετε ιδιαίτερα τα παρακάτω: Τι ονομάζεται ευθύγραμμο τμήμα; Ονομάζεται ευθύγραμμο τμήμα το μέρος μιας ευθείας που περιέχεται ανάμεσα σε δύο ση-μεία της. Τι ονομάζεται ημιευθεία; Ονομάζεται ημιευθεία το σχήμα που προκύπτει αν προεκτείνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα απεριόριστα πρός το ένα άκρο του. Ποιες ονομάζονται αντικέιμενες ημιευθείες; Ονομάζονται αντικείμενες ημιευθείες οι δύο ημιευθείες στις οποίες χωρίζει ένα σημείο μιας ευθείας την ευθεία. Τι ονομάζεται απόσταση δύο σημείων; Ονομάζεται απόσταση δύο σημείων το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει τα σημεία αυτά. Τι ονομάζεται μέσο ευθυγράμμου τμήματος; Ονομάζεται μέσο ευθυγράμμου τμήματος το σημείο που χωρίζει το ευθύγραμμο τμήμα σε δύο ίσα τμήματα. Τι ονομάζεται διάμεσος ενός τριγώνου; Ονομάζεται διάμεσος ενός τριγώνου το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή του τρι-γώνου με το μέσο της απέναντι της πλευράς. Τι ονομάζεται απόσταση σημείου από ευθεία; Ονομάζεται απόσταση σημείου από ευθεία το μήκος του κάθετου ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει το σημείο με την ευθεία. Τι ονομάζεται ύψος ενός τριγώνου; Ονομάζεται ύψος ενός τριγώνου η απόσταση μιας κορυφής του από την απέναντι της πλευ-ρά. Τι ονομάζεται απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών; Ονομάζεται απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών το μήκος του κάθετου ευθυγράμμου τμή-ματος που ενώνει τις δύο παρράλληλες. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ; Ονομάζεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ το επίπεδο σχήμα που όλα τα σημεία του απέχουν το Ο απόσταση ίση με το ρ. Τι ονομάζεται I ) Χορδή II ) Διάμετρος III ) Τόξο ενός κύκλου; 1. Ονομάζεται Χορδή κύκλου το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του κύκλου. 2. Ονομάζεται Διάμετρος κύκλου κάθε χορδή του που περνά από το κέντρο του. 3. Ονομάζεται Τόξο κύκλου το μέρος του κύκλου που περιέχεται μεταξύ δύο σημείων του. Τι ονομάζεται κυκλικός δίσκος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ; Ονομάζεται κυκλικός δίσκος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ το μέρος του επιπέδου που περιέ-χεται μέσα σ’ έναν κύκλο με με κέντρο Ο και ακτίνα ρ μαζί με τον κύκλο αυτόν. Τι ονομάζεται μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος και ποιές είναι οι ιδιότητες της; Ονομάζεται μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος η ευθεία που είναι κάθετη σ’ αυτό και περνά από το μέσο του. Οι ιδιότητες της μεσοκαθέτου είναι: I. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του

ευθυγράμμου τμήματος. II. Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι σημείο της

μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος. Τι ονομάζεται γωνία; Ονομάζεται γωνία το μέρος του επιπέδου που περιέχεται ανάμεσα σε δύο ημιευθείες με κοι-νή αρχή μαζί με τις ημιευθείες αυτές. Ποια γωνία ονομάζεται I ) ορθή II ) οξεία III ) αμβλεία IV) ευθεία V) πλήρης ; I. Ονομάζεται ορθή γωνία η γωνία της οποίας οι πλευρές είναι κάθετες. II. Ονομάζεται οξεία γωνία η γωνία η οποία είναι μικρότερη από την Ορθή γωνία.

429

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Είναι: κ + λ = 180 ° (1) και μ + λ = 180 ° (2) Στις ισότητες (1) και (2) παρατηρούμε ότι τα δεύτερα μέλη είναι ίσα άρα και τα πρώτα θα είναι ίσα. Δηλαδή :

κ + λ = μ + λ (διαγραφή)

κ = μ δ

ε

κλ μ

ψ χ Α

Β Γ

μ ν

III. Ονομάζεται αμβλεία γωνία η γωνία η οποία είναι μεγαλύτερη από την Ορθή γωνία. IV. Ονομάζεται ευθεία γωνία η γωνία της οποίας οι πλευρές είναι αντικείμενες ημιευθείες. V. Ονομάζεται πλήρης γωνία η μη μηδενική γωνία της οποίας οι πλευρές συμπίπτουν. Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας; Ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και χωρίζει την γωνία αυτή σε δύο ίσα μέρη. Ποιο τρίγωνο ονομάζεται I ) σκαληνό II ) ισοσκελές III) ισόπλευρο ; I. Ονομάζεται σκαληνό το τρίγωνο που όλες οι πλευρές του είναι άνισες. II. Ονομάζεται ισοσκελές το τρίγωνο που οι δύο πλευρές του είναι ίσες. III. Ονομάζεται ισόπλευρο το τρίγωνο που όλες οι πλευρές του είναι ίσες. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται εφεξής; Ονομάζονται εφεξής δύο γωνίες που έχουν κοινή κορυφή, κοινή πλευρά και κανένα άλλο κοινό σημείο. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές ; Ονομάζονται παραπληρωματικές δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 180° Πότε δύο γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν ; Ονομάζονται κατακορυφήν δύο γωνίες που οι πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες. Να αποδείξετε ότι οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.

Πότε δύο ευθείες του επιπέδου ονομάζονται παράλληλες; Ονομάζονται παράλληλες δύο ευθείες του επιπέδου που δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Ποιες είναι οι ιδιότητες δύο παραλλήλων ευθειών που τέμνονται από μια τρίτη ευθεία; Δύο παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια τρίτη ευθεία σχηματίζουν: Τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες Τις εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες . Τις εντός και επί τα αυτά γωνίες παραπληρωματικές. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι 180°.

Ποιο τρίγωνο ονομάζεται I ) οξυγώνιο II ) ορθογώνιο III) αμβλυγώνιο ; I) Ονομάζεται οξυγώνιο το τρίγωνο που όλες οι γωνίες του είναι οξείες. II) Ονομάζεται ορθογώνιο το τρίγωνο που μια γωνία του είναι ορθή. III) Oνομάζεται αμβλυγώνιο το τρίγωνο που μια γωνία του είναι αμβλεία.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ. Από το Α φέρνουμε ευ-θεία χψ // ΒΓ και έχουμε Α + μ + ν =180 ° ( 1 ) Οι γωνίες μ , Β και οι γωνίες ν , Γ είναι εντός ε-

ναλλάξ, οπότε έχουμε

μ = Β ( 2 ) και ν = Γ ( 3 )

Στην (1) αντικαταστούμε τις γωνίες μ, ν με τις ίσες

τους Β , Γ έχουμε

Α + Β+ Γ= 180°.

430

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΤΗ ΕΠΩΝΥΜΟ: ................................. ΟΝΟΜΑ:...................................... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ........................

ΒΑΘΜΟΣ:.............................

ΓΝΩΣΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΕΜΠΕΔΩΣΗ

1. Να συμπληρωθούν οι ισότητες

Ν = , , , , …

Άρτιοι = , , , , …

4α =

3,14 ⋅100 =

98⋅0,01 =

106 =

ω⋅ω⋅ω⋅ω⋅ω=

43 =

0,22 =

15 =

2. Να γίνουν οι πράξεις.

8⋅5 - 5⋅7 +6⋅3 =

52 – 32 =

3⋅(5+2) − 2(7-3) + 42 =

3. Να αντικατασταθούν τα κενά με κατάλληλα ψηφία.

α) … 3 5 … β) 3 … , 3 7 γ) … 7… …

+ 7 … 2 1 − … 2 , 9 … × 9

… 7 1 … 5 2 3 ,… 3 … 4 … 0 6

4. Να συμπληρωθούν τα κενά του κειμένου με αριθμούς που αντιστοιχούν στην κατάλ-

ληλη λέξη του πίνακα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΕΙΜΕΝΟ

1. πολλαπλάσιο

2. πρώτος

3. μονάδα

4. διαιρώ

5. σύνθετος

Οι αριθμοί που έχουν και άλλους διαιρέτες εκτός από τον εαυτό

τους και την μονάδα λέγονται …… αριθμοί ενώ αυτοί που έ-

χουν διαιρέτες μόνο τον εαυτό τους και την μονάδα λέγονται

…… αριθμοί. Δύο αριθμοί που έχουν Μέγιστο κοινό διαιρέτη

την …… λέγονται πρώτοι μεταξύ τους. Κάθε φυσικός αριθμός

…… τα πολλαπλάσια του και αντίστροφα κάθε φυσικός αριθ-

μός που διαιρείται από ένα άλλο είναι …… του.

ΔΙΑΓΝΩΣΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΤΑΞΗ Β – ΤΜΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ....... ΧΡΟΝΟΣ 10 min

431

5. Να συμπληρωθούν οι ισότητες. ΜΚΔ (9, 16) = ΕΚΠ ( 8, 12, 16) =

α

1 =

Aν (α ≠ 0) 0

α=

Αν η διαίρεση ενός φυσικού αριθμού Δ με το 2 δεν είναι τέλεια τότε υ = 6. Να συμπληρώσετε τα ψηφία στους παρακάτω αριθμούς ώστε να είναι συγχρόνως διαιρετοί με το : 2, 3, 4 , 5 και 9. α) 2---12 --- β) 56---6 --- 7. Να συμπληρωθούν οι ισότητες.

1. αν 5

2χ + = 1 τότε χ =

2. αν 5

2χ − = 0 τότε χ =

3. αν 3χ

5−

= 1 τότε χ =

4. αν 23⋅χ = 1 τότε χ =

5. αν 3χ = 18 τότε χ =

6. αν 5χ

5−

= 5 τότε χ =

7. αν 5χ

5−

= 1 τότε χ =

8. αν χ2

= 51

τότε χ =

9. αν 43

=4χ

τότε χ =

10. αν 71

=χ

13 τότε χ =

8. Να γίνουν οι πράξεις:

1

73

+ 14

=

52

− 25

=

35

10

:620

=

9. Να λυθούν οι εξισώσεις :

23⋅χ = 1 1

3

37:χ = 9

14

432

ψ χ

Α

Α Γ 66° α

β

γ

δ

ε

10. Να συμπληρωθούν τα κενά με αριθμούς που αντιστοιχούν στην κατάλληλη λέξη του

πίνακα.

ΑΣΚΗΣΗ

Αν στο σχήμα που δίδεται εχουμε ΧΨ // ΒΓ και ΑΒ =ΑΓ να υπολογίσετε τις

γωνίες α,β, γ, δ, ε και να αντιστοιχίσετετε κάθε φορά την αποδεικτική πρόταση

(θεώρημα, Πόρισμα) που σας βοήθησε στον υπολογισμό σας.

ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

1. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. (Θεώρημα)

2. Οι γωνίες της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. (Θεώρημα)

3. Δύο παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια τρίτη ευθεία σχηματίζουν τις εντός ε-

ναλλάξ γωνίες ίσες(Θεώρημα)

4. Δύο παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια τρίτη ευθεία σχηματίζουν τις εντός ε-

κτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες(Θεώρημα)

5. Δύο παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια τρίτη ευθεία σχηματίζουν τις εντός και

επί τα αυτά γωνίες παραπληρωματικές (Θεώρημα)

6. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°. (Θεώρημα)

7. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου ισούται με το άθροισμα των δύο εντός και απέναντι

γωνιών του τριγώνου (Πόρισμα).

8. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν άθροισμα 90° (Πόρισμα).

9. Κάθε γωνία ενός ισοπλεύρου τριγώνου ισούται με 60° (Πόρισμα).

ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΕΙΜΕΝΟ 1. χορδή

2. αντικείμενη

3. εφεξής

4. απόσταση

5. κορυφή

Σ’ ένα τρίγωνο το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια ----- με το

μέσο της απέναντι πλευράς ονομάζεται διάμεσος, ενώ η ----- της

κορυφής αυτής από την απέναντι πλευρά ύψος. Δύο γωνίες, με κοι-

νή πλευρά και τίποτα άλλο κοινό ονομάζονται -----, ενώ δύο γωνίες

με πλευρές ----- ημιευθείες ονομάζονται κατακορυφήν. Το ευθύ-

γραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του κύκλου ονομάζεται -----

του κύκλου αυτού.

Υπολογισμός Γωνιών

Αποδεικτικές προτάσεις

433


ΒΑΘΜΟΣ:.............................


1. Να χαρακτηρίσετε ως σωστό ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) τα επόμενα:

χ + 0 = χ Σ − Λ

− χ + 0 = χ Σ − Λ

χ − ψ − ( ψ − χ ) = 0 Σ − Λ

χ − ψ + ( ψ − χ ) = 0 Σ − Λ

(−3 ) − (−3 ) = − 6 Σ − Λ

(+3 ) − (−3 ) = 0 Σ − Λ

(−3 ) − ( −2 ) = −1 Σ − Λ

χ − χ = 0 Σ − Λ

χ + (−χ ) = 0 Σ − Λ

(−χ ) + χ = 0 Σ − Λ

2. Να βρείτε την τιμή της παράστασης

A = − ( )α + β + γ − ( )β γ− − [ ( )α β− − ( )β α− ], όταν α = −3, β = −2, γ = 5.

3. Αν ο α είναι θετικός αριθμός ( α > 0) να βάλετε το κατάλληλο σύμβολο ( < ή > ή = )

μεταξύ των παρακάτω αριθμών:

−α … α

− α … − α

−α … 0

− α … 0

α … −α

α … − ( − α)

α … − α

( − α) … 0

α … 0

− α … α

ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΑΞΗ Β – ΤΜΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ....... ΧΡΟΝΟΣ 30 min

434


ΒΑΘΜΟΣ:.............................



χ + 0 = χ

− χ + 0 = χ

χ − ψ − ( ψ − χ ) = 0

χ − ψ + ( ψ − χ )= 0

(− 3 ) − (− 3 ) = - 6

(+3 ) − ( − 3 ) = 0

( −3 ) − ( − 2 ) = - 1

χ − χ = 0

χ + ( − χ ) = 0

(− χ ) + χ = 0 2. Να βρείτε την τιμή της παράστασης

Α = − (α +β +γ ) − ( β − γ ) − [( α − β )+ ( γ − α ) ], όταν α = −3, β = −2, γ = 5.

3. Να λύσετε τις εξισώσεις

−9,4 + χ = −12, 7

−23

− χ = 14

ΑΠΑΝΤΗΣΗ .......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................


435


ΒΑΘΜΟΣ:.............................



χ ⋅ 0 = 0

−χ + 0 = χ

Οι αντίστροφοι είναι ομόσημοι

Ο αντίστροφος του −1 είναι ο 1

Ο αντίστροφος του 1 είναι ο −1

Το μηδέν δεν έχει αντίστροφο Ο αντίστροφος του 0 είναι το 0

(− 1)⋅(−2 )⋅(−3 ) = + 6

(−2 )⋅( −2)⋅( −2 )⋅( −1) = 8

α ⋅ (β ⋅ γ) = (α ⋅ β) ⋅ γ

2. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων :

A = − α (α + 2) (α 2)⋅ ⋅ − ⋅(α −1)⋅(α +1) όταν α = − 2,

Β = ( 2β −1)⋅( 1 −3β)⋅( 1 − β) όταν β = −1,

2Α − 3Β + 12

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................


436


ΒΑΘΜΟΣ:.............................

ΓΝΩΣΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΕΜΠΕΔΩΣΗ 1. Να χαρακτηρίσετε ως σωστό ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) τα επόμενα:

α ⋅ 0 = 0

−α ⋅ 0 = - α

Ο αντίστροφος του 0 είναι το 0

Ο αντίστροφος του −1 είναι ο −1

Ο αντίστροφος του 1 είναι ο −1

Το 1 δεν έχει αντίστροφο

Οι αντίστροφοι είναι ετερόσημοι

(−2)⋅(−3 )⋅(−1 ) = +6

(−1 )⋅( −2)⋅( + 2 )⋅( −2) = 8

α⋅(β + γ) = (β+ γ)⋅α

2. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων:

Α = − (χ +2)⋅( χ −1 )⋅( χ + 1 )⋅( χ − 2 ) όταν χ = −1,

Β = ( 2ψ −1)⋅( 1 −3ψ)⋅( 1 −ψ) όταν ψ = − 2,

2A − 5B − 16 .......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................


437ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΤΗ ΕΠΩΝΥΜΟ: ................................. ΟΝΟΜΑ:...................................... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ........................

ΒΑΘΜΟΣ:.............................

ΓΝΩΣΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΕΜΠΕΔΩΣΗ 1. Να απλοποιηθεί η παράσταση.

A = 2

3

5 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βα

:3

2

4

2

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− βα

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας:

ΠΙΝΑΚΑΣ

χ 2 −1 −2 − 13

13

−χ2

(−χ)2

χ −2

(−χ)−3

χ −1

Υπολογισμοί των δυνάμεων

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

…………………………………………………………………………………………………...


438


ΒΑΘΜΟΣ:.............................


1. A = 3

2

4

2

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− χψ

:2

3

5 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛χψ

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………


ΠΙΝΑΚΑΣ

χ 3 −3 −2 − 12

12

−χ2

(−χ)2

χ −2

(−χ)−3

χ −1

Υπολογισμοί δυνάμεων .......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

…………………………………………………………………………………………………...

.......................................................................................................................................................


439


ΒΑΘΜΟΣ:.............................


1. Να συμπληρωθούν τα κενά του κειμένου με αριθμούς που αντιστοιχούν στην κατάλ-

ληλη λέξη του πίνακα:

2. Να συμπληρωθούν οι ισότητες και τα κενά.

⎢−2 ⎜ =

⎜−α ⎜ = ⎜ ⎜

(α − β) + ( β − α) =

( −5 ) ⋅ ( … ) = 1

0⋅α =

( −17 ) + ( − 16) =

( +17 ) + ( − 16) =

( −16 ) − ( − 16) =

( −1)⋅( − 16) ⋅(+2) =

( −6 )⋅( + 6)⋅ ( +1) =


−α⋅(−1) = −α Σ − Λ

Οι αντίθετοι είναι ομόσημοι Σ − Λ

ΠΙΝΑΚΑΣ

1. θετικός

2. άρτιος

3. περιττός

4. αντίστροφος

5. μηδέν

6. όρος

7.απαλείφω

8. αντίθετος

9. ομόσημος

10. μεγαλύτερος

KEIMENO

Δύο αριθμοί λέγονται …… όταν έχουν την ίδια απόλυτη τιμή και διαφορετικό πρόσημο ενώ λέγονται …... όταν έχουν γινόμε-νο ίσο με την μονάδα. Από δύο αρνητικούς αριθμούς …… είναι αυτός που έχει τη μι-κρότερη απόλυτη τιμή ενώ από δύο …… μεγαλύτερος αυτός που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή . Κάθε αριθμός διάφορος του μηδενός έχει ένα μόνο αντίστροφο που είναι …..με αυτόν. Αν μια παρένθεση έχει μπροστά μείον, μπορούμε να την ….. μαζί με το μείον και να γράψουμε τους ..… που περιέχει με αλ-λαγμένο πρόσημο. Για να υπολογίσουμε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων διαφό-ρων του μηδενός, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές των παραγόντων και στο γινόμενο αυτό αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι ……βάζουμε το πρόσημο συν (+), ενώ αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι …… το πρόσημο πλην (−) . Αν έστω και ένας παράγοντας είναι …., τότε και το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν.


440

Το μηδέν δεν έχει αντίστροφο Σ − Λ

Ο αντίστροφος του −1 είναι ο −1 Σ − Λ

Ο αντίθετος του 1 είναι ο −1 Σ − Λ

Το 1 δεν έχει αντίστροφο Σ − Λ

Οι αντίστροφοι είναι ετερόσημοι Σ − Λ

(−2) ⋅ (−3 )⋅(−5 ) = −30 Σ − Λ

(−2 )⋅(−2)⋅( + 2 )⋅(−2) = 16 Σ − Λ

α ⋅(β + γ) = ( γ + β)⋅α Σ − Λ

4. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Α = ( )

33 1

12

11

2

− − −

− − −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

: ( ) ( )2

2 1 11 1

2 2− + − − + −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ .............................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................


x x −2 x3 4x

−2

8

14

Υπολογισμοί

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

441


ΒΑΘΜΟΣ:.............................

- 1 - 2

- 1- 2

- 2 1- 2


1. Να γράψετε στους κύκλους τους αριθμούς που αντιστοιχούν στις λύσεις των ανισοτή-

των που παριστάνονται γραφικά από τα διαγράμματα .

Λύσεις Ανισοτήτων

1. Οι ανισότητες δεν συναληθεύουν

2. −2 < x ≤−1

3. x >−2

4. x >1

5. x ≤ −2

6. − 2 < x < 1

7. x ≥ 1

8. x < −2

9. x ≥ −1

10. −2 ≤ x < −1


- 1- 2- 1 1

- 1- 2

- 1 - 2

- 2 1

442

2. Να λυθεί η εξίσωση : χ +1 2χ2 5

− = χ − 4

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

3. Να βρεθεί ο αριθμός που πρέπει να προσθέσουμε στους αριθμητές των κλασμάτων

23

, 37

ώστε να γίνουν ίσα.

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

4. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:

i) χ3

+ 6 + χ2

≥ χ6

+2

ii) − 5χ + 4 > − 11 .......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

443


ΒΑΘΜΟΣ:.............................

A B

Γ

α β

γ



Aν α , β θετικοί αριθμοί τότε:

βα

βα= Σ − Λ

βααβ = Σ − Λ

βαβα +=+ Σ − Λ

α)α( =− 2 Σ − Λ

α)α( −=− 2 Σ − Λ

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( A = 90°)

γ2 + β2 = α2 Σ − Λ

β2 = α2 − γ2 Σ − Λ

α2− κ2 = γ2 Σ − Λ

α = γ + β Σ − Λ

α2+ γ2= β2 Σ − Λ

2. Να εξετάσετε αν είναι ορθογώνιο (και αν ναι σε ποια γωνία) το κάθε ένα από τα επό-

μενα τρίγωνα;

ι) Τρίγωνο ΑΒΓ με α = 2 , β = 2 , γ 8=

ii) Τρίγωνο ΔΕΖ με ΔΕ = 2, ΕΖ = 5 , ΖΔ = 3

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................


444

Α Β Γ

Δ

Ε

4

3

χ

ψ

ω

3. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας αν γνωρίζετε ότι αναφέρετε σ’ ένα ορθογώνιο

τρίγωνο με υποτείνουσα α και κάθετες πλευρές β, γ.

ΧΩΡΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) όταν οι γωνίες Α και Δ

είναι ορθές και οι πλευρές ΑΒ = 18, ΒΓ = 13 και ΓΔ = 6

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γωνίες

Α = 90°, Γ = 90°, ΑΒΕ = 60° ΔΒΓ = 60°

και τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ = 4cm ΔΓ = 3 cm.

1. Να βρεθούν τα ευθύγραμμα τμήματα χ, ψ, ω

2. Τα εμβαδά των τριγώνων ΑΒΕ, ΕΒΔ, ΒΓΔ.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ .......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

ΠΙΝΑΚΑΣ α 10 4

β 5 8

γ 12 2 2

A B

ΓΔ

18

6

13

445


ΒΑΘΜΟΣ:.............................

χ 30° 45° 60° ημχ συνχ

A B

Γ

60°4



ημΓ = αγ

Σ − Λ

συνΒ = γα

Σ − Λ

ημΒ = βα

Σ − Λ

ημ Β = συνΓ Σ − Λ

συν Β = ημΓ Σ − Λ

β = γεφΓ

Σ − Λ

εφΒ⋅εφΓ =1 Σ − Λ

ημ2Β + συν2Β = 1 Σ − Λ

α2 + γ2 = β2 Σ − Λ

εφΒ = βγ

Σ − Λ

2. Να αποδειχθεί ότι : ημ2Β + ημ2Γ = 1 Απόδειξη

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3. Να συμπληρωθεί πίνακας:

4. Να βρεθεί το εμβαδόν του ορθογωνίου

τριγώνου ΑΒΓ(Α = 90º) : (δίνεται ότι 12 =3,4)

Απάντηση .......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................


A B

Γ

α β

γ

446


ΒΑΘΜΟΣ:.............................

χ 30° 45° 60° ημχ εφχ



ημΒ = αβ

Σ − Λ

συνΓ = βα

Σ − Λ

ημΓ = γα

Σ − Λ

ημΓ = συνΒ Σ − Λ

συνΓ = ημΒ Σ − Λ

γ = βεφΒ

Σ − Λ

εφΓ⋅εφΒ =1 Σ − Λ

ημ2Γ + συν2Γ = 1 Σ − Λ

α2 + β2 = γ2 Σ − Λ

εφΓ = γβ

Σ − Λ

2. Να δειχθεί ότι : συν2Β + συν2Γ = 1 Απόδειξη

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3. Να συμπληρωθεί πίνακας:

4. Να βρεθεί το εμβαδόν του ορθογωνίου

τριγώνου ΑΒΓ(Α = 90º) : (δίνεται ότι 12 =3,4)

Απάντηση .......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................


A B

Γ

α β

γ

A B

Γ

30°

6

447

O

A

B

Γ Δ

Σ 85°

38°


ΒΑΘΜΟΣ:.............................

ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ Να βρεθεί το ΑΒ

ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. 2. Οι γωνίες της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. 3. Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι 180°. 4. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου ισούται με το άθροισμα των δύο

εντός και απέναντι γωνιών του τριγώνου. 5. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν άθροισμα 90°. 6. Η εγγεγραμμένη γωνία σε μοίρες είναι ίση με το μισό

του αντίστοιχου τόξου τη 7. Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα

είναι ίσες. 8. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της αντίστοιχης

επίκεντρης. 9. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι 90°. 10. Η γωνία (οξεία ή αμβλεία) που σχηματίζεται από χορδή και εφα-

πτομένη στο άκρο της ισούται αντίστοιχα με την εγγεγραμμένη (οξεία ή αμβλεία) που βαίνει στη χορδή


Να υπολογίσετε το τόξο ΑΒ υποστηρίζοντας τους συλλογισμούς σας με την τον αριθμό

που αντιστοιχεί στην κατάλληλη αποδεικτική πρόταση:

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

ΔΕΔΟΜΕΝΑ

ΔΣΑ = 85°

ΔΓ = 38°


448


ΒΑΘΜΟΣ:.............................

ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ Να βρεθεί το ΑΒ

B

O

Σ

Γ

Δ

Α

80°

138°

ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. 2. Οι γωνίες της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. 3. Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι 180°. 4. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου ισούται με το άθροισμα των δύο

εντός και απέναντι γωνιών του τριγώνου. 5. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν άθροισμα 90°. 6. Η εγγεγραμμένη γωνία σε μοίρες είναι ίση με το μισό του

αντίστοιχου τόξου τη 7. Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα

είναι ίσες. 8. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της αντίστοιχης

επίκεντρης. 9. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι 90°. 10. Η γωνία (οξεία ή αμβλεία) που σχηματίζεται από χορδή και εφα-

πτομένη στο άκρο της ισούται αντίστοιχα με την εγγεγραμμένη (οξεία ή αμβλεία) που βαίνει στη χορδή


Να υπολογίσετε το τόξο ΑΒ υποστηρίζοντας τους συλλογισμούς σας με την τον αριθμό

που αντιστοιχεί στην κατάλληλη αποδεικτική πρόταση:

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

ΔΕΔΟΜΕΝΑ

ΔΣΑ = 80°

ΔΓ = 138°


449


ΒΑΘΜΟΣ:.............................

ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. 2. Οι γωνίες της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. 3. Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι 180°. 4. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου ισούται με το άθροισμα των δύο εντός και απέ-

ναντι γωνιών του τριγώνου. 5. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν άθροισμα 90°. 6. Η εγγεγραμμένη γωνία σε μοίρες είναι ίση με το μισό του αντίστοιχου τόξου τη 7. Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα είναι ίσες. 8. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης. 9. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι 90°. 10. Η γωνία (οξεία ή αμβλεία) που σχηματίζεται από χορδή και εφαπτομένη στο ά-

κρο της ισούται αντίστοιχα με την εγγεγραμμένη (οξεία ή αμβλεία) που βαίνει στη χορδή


Να κάνετε υπολογισμούς στις επόμενες ασκήσεις υποστηρίζοντας τους συλλογισμούς

σας με την τον αριθμό που αντιστοιχεί στην κατάλληλη αποδεικτική πρόταση:

ΑΣΚΗΣΗ 1η : Στο διπλανό σχήμα δίνεται κύκλος (Ο ρ), η ΑΣΒ = 88° και το ΓΔ = 56° 1. Να υπολογιστεί η Γ . 2. Να υπολογιστεί η γωνία ΟΑΒ . 3. Aν η ΑΟΒ είναι κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου να

βρεθεί το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου αυτού. 4. Αν το εμβαδόν του κυκλικού τομέα της γωνίας ΑΟΒ είναι

9,42 m2 να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου. ΑΠΑΝΤΗΣΗ

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………..…….

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................


A

Γ

Β

Ο

Δ Σ

88°

56°

450

ΑΣΚΗΣΗ 2η :

Με την βοήθεια του διπλανού σχήματος να υπολο-

γίσετε τις γωνίες :

Α1, Α2, Β1, Β2, Γ1, Γ2, Δ1, Δ2,

ΑΠΑΝΤΗΣΗ …………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………..…….

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................... ΑΣΚΗΣΗ 3η: Στο διπλανό σχήμα δίνεται κύκλος (Ο ρ), η γωνία

ΑΒΔ = 35° και ΑΔ = ΔΕ = ΕΓ

1. Να υπολογιστεί η γωνία ΑΔΒ.

2. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του κυκλικού τομέα της

γωνίας ΑΟΒ.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ …………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………..…….

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

y x

A

B

Γ

Δ

30° 40°

12

1 2

1 2

1 2

A

Β

Δ

Ο

Ε Γ 35°

451


ΒΑΘΜΟΣ:.............................


1. Αν είναι 1 < χ < 2 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Α = | χ | − | χ − 1| − | χ −2| + | χ −3|

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

2. Να λυθεί η εξίσωση: |3χ + 8 | = | 2χ − 8 |

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

2. Να λυθεί η εξίσωση: 2χ − 1= 9

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

3. Να λυθεί η εξίσωση : χ + 1

2 = χ −

2χ + 34

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................


452

4. Να λύσετε τον τύπο V = V0 − αt ως προς t.

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

5. Να βρεθούν τα α, β για να είναι η εξίσωση αόριστη.

χ⋅(α − 1) − 2β + 1 = β + 7

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

6. Να βρεθεί ο ακέραιος αριθμός χ για τον οποίο ισχύουν.

−5 < 7 −4χ < 3

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

7. Να βρεθεί ο αριθμός που πρέπει να αφαιρέσουμε από τους αριθμητές

των κλασμάτων 132

και 173

ώστε να γίνουν ίσα.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ.

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

453


ΒΑΘΜΟΣ:.............................


1. Να συμπληρωθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των 30°, 45°, 60°

2. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων:

Α = 2 o 2 o

2 o

συν 45 ημ 45εφ 45

−

Β = 2ημ30°συν30° − ημ60°

Γ = o o

o

2συν60 εφ60ημ30

⋅ − o

2εφ30

3. Να συμπληρωθεί ο πίνακας με τη βοήθεια του σχήματος

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

χ 30° 45° 60°

ημχ

συν

εφχ

1. 2. 3. ΑΒ 5

ΑΓ 13

ΒΓ 10

ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΑΞΗ Β – ΤΜΗΜΑ:.... ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑ ....... ΧΡΟΝΟΣ 45 min

A B

Γ

45°

454


.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................


.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

6. Να βρεθεί το εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

ΑΒΓ( A = 90°), αν είναι:

ΔΒ = 2, BAΔ = 30° και ΑΔ ⊥ ΒΓ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

1. 2. 3. ΑΒ 3

ΑΓ 8 3

ΒΓ 10

ΓΔ ΔΒ ΓΒ ΑΓ ΑΒ ΑΔ 1. 5

2. 10

3. 8 3

4. 4

A B

Γ

60°

A

B Γ 60°

Δ30°

A

B ? Δ

30°

2

455

ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Β ΤΑΞΗΣ

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Κεφάλαιο 1 σελίδα 17-55

Παράγραφοι: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.10.

Κεφάλαιο 2 σελίδα 69 – 91

Παράγραφοι:2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5.

Κεφάλαιο3 σελίδα 97 – 110 και 117 –122

Παράγραφοι: 3.1, 3.2, 3.3, 3.5.

Κεφάλαιο 4 σελίδα 125 –146

Παράγραφοι: 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, ( Χωρίς τον υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθ-

μών των 30° 45° 60° )

Κεφάλαιο 8 σελίδα 257–267 και 270 – 288.

Παράγραφοι: 8.1, 8.2 (Χωρίς την απόδειξη της πρότασης – Η εγγεγραμμένη γωνία

σε μοίρες είναι ίση με το μισό του αντίστοιχου τόξου της )

8.3, 8.5 ( Χωρίς τον υπολογισμό του π ) 8.6, 8.7, 8.8.

456

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ Β΄

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ .

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1Ο

Τι ονομάζεται επίκεντρη γωνία και τι αντίστοιχο τόξο της;

Τι ονομάζεται κυκλικός τομέας ;

Να υπολογιστεί το εμβαδόν κυκλικού τομέα επίκεντρης γωνίας (μ°)

ΘΕΜΑ 2Ο

α) Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου.

β) Αν οι γωνίες ω και φ είναι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου με ω<φ να συγκρίνετε

τους αριθμούς, ημφ και ημω, συνφ και συνω, εφφ και εφω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η

Στο σχήμα που δίδεται γνωρίζουμε ότι:

ημω = 35

ΑΔ = 12cm και ΑΔ = 3cm

Να υπολογίσετε :

α) τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ, ΓΒ

β) το ημφ και το συνφ

ΑΣΚΗΣΗ 2η

Να λύσετε την εξίσωση ( ) χχχ 26

1254

213

−=−

−−

και κατόπιν να υπολογίσετε την

αριθμητική τιμή της παράστασης Α = ( ) 21

2311

31 +−

−−

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

χχχχ

χχχχ

θέτωντας στην θέση του χ την ρίζα της εξίσωσης.

ΑΣΚΗΣΗ 3η

Στο διπλανό σχήμα δίνεται ότι ΑΓ = 8cm και εφω = 43

Να βρεθούν :

α) οι ΑΒ και ΒΓ

β) Το μήκος του κύκλου και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου.

γ) Το εμβαδόν ε = ε1 + ε2

B Γ

Α

Ο

ω

8cm ε2 ε1

A

B Γ

Δ

3cm ω

φ

12cm

457




ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο

α, Να διατυπώσετε το θεώρημα του Πυθαγόρα και

το πόρισμα που προκύπτει από το θεώρημα αυτό.

β. Αν είναι γνωστό ότι η γωνία Β του τριγώνου ΑΒΓ είναι

90° να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε στην κόλα

σας τις ισότητες: α2 = ……, β2 = ……., γ2 = …….

γ. Να διατυπώσετε το αντίστροφο θεώρημα του

θεωρήματος του Πυθαγόρα.

ΘΕΜΑ 2ο

α. Τι ονομάζεται εγγεγραμμένη γωνία;

β. Να διατυπώσετε τις προτάσεις που ισχύουν για τις εγγεγραμμένες γωνίες.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η

Αν η ρίζα της εξίσωσης: ( )3 χ + 1 2χ 1χ =

4 3⋅ −

− είναι και ρίζα της εξίσωσης

β + 2χ 3β χ= 1

2 3−

− − να βρεθεί η τιμή του β.

ΑΣΚΗΣΗ 2η

Στο διπλανό σχήμα οι γωνίες ΑΒΔ και ΒΔΓ

είναι ορθές και οι γωνίες ω και φ ίσες.

α ) Να βρείτε τα ημω, συνω, εφω.

β ) Να υπολογίσετε τις πλευρές ΔΓ και ΒΓ.

ΑΣΚΗΣΗ 3η

Στο διπλανό σχήμα η γωνία ΒΟΔ που σχηματίζουν οι

διάμετροι ΑΒ και ΓΔ του κύκλου (Ο, ρ) είναι 40°.

α) Να βρεθούν οι γωνίες ΟAΓ = χ, ΟΔΒ = ψ και ΟΓΒ = ω.

β) Αν το εμβαδόν του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην

γωνία ΒΟΔ είναι 3,14cm2 να βρείτε την ακτίνα ρ του κύκλου.

40° x

ψ

ω Ο

Α Β

Γ

Δ

3

6

Α Β

ΓΔ

ωφ

Γ

Β

Α

458




ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1Ο

I. Tι ονομάζουμε ανίσωση και τι λύση της ανίσωσης;

II. Ποιες είναι οι ιδιότητες των ανισοτήτων; ΘΕΜΑ 2Ο

I. Τι ονομάζουμε ακτίνιο (rad)

II. Ποια σχέση συνδέει το μέτρο ενός τόξου σε μοίρες (μ°) και το μέτρο του ίδιου

τόξου σε ακτίνια (αr );

III. Να υπολογιστεί το μήκος S ενός τόξου μετρημένο α) σε μοίρες β) σε ακτίνια

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η

Να βρεθεί ο αριθμός του οποίου το διπλάσιο όταν αυξηθεί κατά 5 γίνεται ίσο με το 13

του αριθμού που επαληθεύει την εξίσωση:χ 12 5χ 6 χ 4

24 12 8+ − −

− =

ΑΣΚΗΣΗ 2η

Δίδεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με

A = Δ = 90°, ΑΒ = 2cm, AΔ = 2 3 , Γ= 30°.

Φέρουμε το ύψος ΒΗ. Να υπολογίσετε τα μήκη ΑΗ, ΓΗ, ΒΓ και τη γωνία ΑΗΔ

ΑΣΚΗΣΗ 3η

Να προσδιορίσετε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο Κ(μ, ν) και

είναι παράλληλη προς την ευθεία με εξίσωση ψ = −3χ + 2

459

30°

2cm Δ

B A

Γ

Ε




ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1Ο Τι ονομάζεται επίκεντρη γωνία και τι αντίστοιχο τόξο της;

Τι ονομάζεται κυκλικός τομέας ;

Να υπολογιστεί το εμβαδόν κυκλικού τομέα επίκεντρης γωνίας (μ°)

Να υπολογιστεί το εμβαδόν κυκλικού τομέα επίκεντρης γωνίας(αr )

ΘΕΜΑ 2Ο

Τι ονομάζεται ημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου

τριγώνου και πως μεταβάλλεται αυτό;

( Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας )

Τι ονομάζεται συνημίτονο οξείας γωνίας

ορθογωνίου τριγώνου και πως μεταβάλλεται αυτό;

( Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας )

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η

Να βρεθούν οι κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων :

χ + 4 χ 4 3χ 12

3 5 15− −

− − ≥ και ( ) ( ) ( )10 χ+2 4 2χ+3 5 χ+4⋅ − ⋅ < ⋅

ΑΣΚΗΣΗ 2η

Αν ( ) ( )1

20051 4χ = 1 : 3

9 3

−

⋅ − + −⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

και ( )2 0

12 3 4ψ = 1 :

3 2 5

−−+ − − + −

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

να αποδείξετε ότι οι αριθμοί χ και ψ είναι αντίστροφοι.

ΑΣΚΗΣΗ 3η

Στο σχήμα που δίδεται γνωρίζουμε ότι :

∠ ΒΑΓ = 90 °, ∠ΑΒΓ = 30 ° και ΓΑ = 2cm

Να υπολογίσετε :

α) Τα ευθύγραμμα τμήματα ΓΒ, ΔΒ, ΑΒ

β) Τα εμβαδά των κυκλικών τομέων Γ.ΑΔ και Β.ΔΕ

γ) Το εμβαδόν του ΑΔΕ

O A

B Γ

Δ

R

H Z E

RR R

Κ

460

« Τα θεμέλια των μαθηματικών και ένα μεγάλο μέρος του περιεχομένου τους είναι ελληνικά. Οι Έλληνες έθεσαν τις πρώτες επιστημονικές βάσεις, επινόησαν τις μεθόδους ab inito και καθόρισαν την ορολογία. Με λίγα λόγια τα Μαθηματικά είναι μια ελληνική επιστήμη, οποιαδήποτε και αν είναι ή ανάπτυξη που

επέφερε ή θα επιφέρει ή σύγχρονη έρευνα » Τ. L. Heath

Documents

Γυμνάσιο 10ο - ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ Β_ ΤΑΞΗ