Embed Size (px)
Citation preview
170
Κεφάλαιο 10 Συστήματα σε τρεις διαστάσεις
Περιεχόμενα Κεφαλαίου Τα θέματα που θα καλύψουμε στο κεφάλαιο αυτό είναι τα εξής (Ταμβάκης 2003 Τραχανάς 2005 Τραχανάς 2008 Binney amp Skinner 2013 Fitzpatrick 2010 Griffiths 2004 Gasiorowicz 2003 Peleg et al 2010)
1 Θα δούμε πρώτα ορισμένες βασικές γενικεύσεις σε σχέση με τα συστήματα σε μια διάσταση όσον αφορά στην Κυματοσυνάρτηση και στη Διατήρηση Πιθανότητας όπως αυτές γενικεύονται σε τρεις διαστάσεις
2 Μετά θα δούμε τη μορφή της Hamiltonian και τη χρονική εξέλιξη σε τρεις διαστάσεις
3 Τέλος θα μελετήσουμε ένα παράδειγμα συστήματος σε τρεις διαστάσεις ένα κουτί απείρου βάθους
10 Συστήματα σε 3 διαστάσεις
101 Διατήρηση Πιθανότητας Όπως έχουμε ήδη αναφέρει στην εξίσωση (91) η κανονικοποίηση κυματοσυνάρτησης ενός σωματίου σε μια διάσταση εκφράζεται ως
intminusinfin
infin|120595(119909 119905)|2119889119909 = 1 (101)
Η έκφραση αυτή γενικεύεται κατά προφανή τρόπο σε τρεις διαστάσεις ως
intminusinfin
infinintminusinfin
infinintminusinfin
infin|120595(119909 119910 119911 119905)|2119889119909119889119910119889119911 = 1 (102)
Επομένως η χωρική πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί το σωμάτιο σε στοιχειώδη όγκο dV=dx dy dz είναι
119875(119909 119910 119911 119905)119889119875 = |120595(119909 119910 119911 119905)|2119889119881 (103)
Το ρεύμα πιθανότητας ενός σωματίου σε μια διάσταση έχει ορισθεί από την (544)
119895 =1198942ℏ119898(120595
120597120595lowast
120597119909minus 120595lowast 120597120595
120597119909) (104)
και υπακούει την εξίσωση συνέχειας που προκύπτει από τη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger και από τη συζυγή της ως
120597|120595|2
120597119905+120597119895120597119909
= 0 (105)
Με ολοκλήρωση της (105) και θεωρώντας κανονικοποιήσιμη κυματοσυνάρτηση (μηδενισμός στο άπειρο) προκύπτει ότι
119889119889119905
intminusinfin
infin|120595(119909 119905)|2119889119909 = 0 (106)
Δηλαδή η χρονική εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης είναι τέτοια ώστε να διατηρεί την κανονικοποίησή της Ανίστοιχα σε τρεις διαστάσεις η εξίσωση συνέχειας (διατήρηση πιθανότητας) που προκύπτει από τη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger και από τη συζυγή της (με αφαίρεση κατά μέλη) γράφεται ως
171
120597|120595|2
120597119905+120597119895119909120597119909
+120597119895119910120597119910
+120597119895119911120597119911
= 0 (107)
όπου
119895119909 =1198942ℏ119898(120595
120597120595lowast
120597119909minus 120595lowast 120597120595
120597119909) (108)
και όμοια ορίζονται και οι άλλες συνιστώσες του ρεύματος πιθανότητας Με ολοκλήρωση της (107) σε δεδομένη περιοχή του χώρου προκύπτει η φυσική της σημασία που
συνίσταται στο συμπέρασμα ότι ο ρυθμός μεταβολής της πιθανότητας να βρεθεί το κβαντικό σωμάτιο σε δεδομένη περιοχή του χώρου ισούται με τη ροή πιθανότητας από το όριο της δεδομένης περιοχής Αν η περιοχή ολοκλήρωσης εκτείνεται στο άπειρο τότε το ρεύμα πιθανότητας μηδενίζεται στο όριο της περιοχής (λόγω κανονικοποιήσιμης κυματοσυνάρτησης) και επομένως από την (107) παίρνουμε τη διατήρηση της κανονικοποίησης σε τρεις διαστάσεις
119889119889119905
intminusinfin
infinintminusinfin
infinintminusinfin
infin|120595(119909 119910 119911 119905)|2119889119909119889119910119889119911 = 0 (109)
Άσκηση 1 Αποδείξτε τη σχέση (109) με ολοκλήρωση της (107) και χρήση του θεωρήματος Gauss
102 Σχέσεις μετάθεσης τελεστών ορμής και θέσης σωματίου Οι συνιστώσες του τελεστή της ορμής σε τρεις διαστάσεις παίρνουν τη μορφή
119901119909 equiv minus119894ℏ120597120597119909
119901119910 equiv minus119894ℏ120597120597119910
119901119911 equiv minus119894ℏ120597120597119911
(1010)
Επομένως οι σχέσεις μετάθεσης θέσεις και ορμής γράφονται ως
[119909119894 119909119895] = 0
[119901119894 119901119895] = 0
[119909119894 119901119895] = 119894ℏ120575119894119895
(1011)
Κατά συνέπεια ο μεταθέτης διαφορετικών συνιστωσών θέσης και ορμής είναι μηδέν και οι συνιστώσες αυτές μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα με ακρίβεια που δεν περιορίζεται από την αρχή της αβεβαιότητας (οι δείκτες ij εδώ αναφέρονται σε συντεταγμένες και όχι σε σωμάτια όπως στο προηγούμενο κεφάλαιο)
103 Χρονική Εξέλιξη σωματίου σε τρεις διαστάσεις Η χρονική εξέλιξη κβαντικού σωματίου σε τρεις διαστάσεις καθορίζεται όπως και σε μια διάσταση από τη Hamiltonian που έχει την μορφή
172
119867 =119901119909
2 + 1199011199102 + 119901119911
2
2119898+ 119881(119909 119910 119911 119905) (1012)
Επομένως η χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger σε τρεις διαστάσεις έχει τη μορφή
119894ℏ120597120595120597119905
= minusℏ2
21198981205712120595 + 119881120595 (1013)
Όπου η Laplacian nabla2 ορίζεται σε καρτεσιανές συντεταγμένες ως
1205712 equiv1205972
1205971199092 +1205972
1205971199102 +1205972
1205971199112 (1014)
[έγινε χρήση των σχέσεων (1010)] Όπως προαναφέρθηκε η εξίσωση συνέχειας (107) αποδεικνύεται αν πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση Schrodinger (1013) επί τη συζυγή κυματοσυνάρτηση και κατόπιν αφαιρέσουμε κατά μέλη από την αντίστοιχη σχέση που προκύπτει με μιγαδική συζυγία της Οι ιδιοκαταστάσεις της Hamiltonian προκύπτουν για χρονοανεξάρτητα δυναμικά από τη σχέση ιδιοτιμών
120552120595 = 120550120595 (1015)
Από τις σχέσεις (1013) και (1015) προκύπτει η χρονική εξέλιξη των ιδιοκαταστάσεων της Hamiltonian ως
120595(119909 119910 119911 119905) = 120595(119909 119910 119911)119890minus119894119864119905ℏ (1016)
Άσκηση 2 Αποδείξτε τη σχέση (1016)
104 Σωμάτιο σε τρισδιάστατο κουτί απείρου βάθους Έστω τρισδιάστατο (3D) κυβικό κουτί με πλευρά (ακμή) a και δυναμικό απείρου βάθους Η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrodinger παίρνει τη μορφή
(1205972
1205971199092 +1205972
1205971199102 +1205972
1205971199112) 120595 = minus2119898ℏ2 119864120595 (1017)
Για την επίλυση της (1017) χρησιμοποιούμε τη μέθοδο χωριζομένων μεταβλητών (αφού δεν εμφανίζονται γινόμενα διαφορετικών συντεταγμένων στη Hamiltonian) και επομένως θεωρούμε τη δοκιμαστική λύση
120595(119909 119910 119911) = 119883(119909)119884(119910)119885(119911) (1018)
Σε αναλογία με το αντίστοιχο μονοδιάστατο πρόβλημα οι οριακές συνθήκες είναι της μορφής
119883(0) = 119883(120572) = 0 119884(0) = 120566(120572) = 0
120551(0) = 120551(120572) = 0 (1019)
Με αντικατάσταση της (1018) στην (1017) και διαίρεση με την κυματοσυνάρτηση ψ παίρνουμε
120568primeprime120568
+120566primeprime120566
+120551primeprime120551
= minus2119898ℏ2 119864 (1020)
173
Ακολουθούμε τη μέθοδο χωριζομένων μεταβλητών και παρατηρούμε ότι κάθε όρος στο αριστερό μέρος της (1020) εξαρτάται από διαφορετική ανεξάρτητη μεταβλητή και επομένως για να ισχύει η (1020) για κάθε τιμή των ανεξάρτητων μεταβλητών x y z θα πρέπει κάθε όρος να ισούται με μια σταθερά
120568primeprime120568
= minus1198961199092
119884primeprime119884= minus1198961199102
119885primeprime119885= minus1198961199112
(1021)
Επομένως ουσιαστικά το τρισδιάστατο πρόβλημα του απειρόβαθου δυναμικού ανάγεται σε τρία μονοδιάστατα προβλήματα Σε αναλογία με το μονοδιάστατο πρόβλημα οι οριακές συνθήκες ικανοποιούνται όταν οι σταθερές παίρνουν τις παρακάτω τιμές
119896119909 =119897119909120587120572
119896119910 =119897119910120587120572
119896119911 =119897119911120587120572
(1022)
όπου lx ly lz είναι ακέραιοι αριθμοί και η κυματοσυνάρτηση είναι γινόμενο μονοδιάστατων ημιτόνων στις μεταβλητές x y z
Άσκηση 3 Βρείτε τις μονοδιάστατες συναρτήσεις X Y Z που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες Οι ιδιοτιμές της ενέργειας προκύπτουν από την εξίσωση Schrodinger (1020) ως
119864 =11989721205872ℏ2
21198981205722 (1023)
όπου
1198972 = 1198971199092 + 1198971199102 + 1198971199112 (1024)
105 Σύνοψη Η εξίσωση του Schrodinger για ένα σωμάτιο σε τρεις διαστάσεις προκύπτει με αντικατάσταση της χωρικής δεύτερης παραγώγου ως προς x από τη Laplacian
Η διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους που προκύπτει μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του χωρισμού μεταβλητών όταν το δυναμικό έχει την κατάλληλη συμμετρία
174
Κριτήρια αξιολόγησης
(Λαγανάς 2005αΛαγανάς 2005βΤραχανάς 2005 Tamvakis 2005 Squires 1995Constantinescu amp Magyari 1971Peleg et al 2010)
Κριτήριο αξιολόγησης 1
Λύστε το πρόβλημα του τρισδιάστατου ισοτροπικού αρμονικού ταλαντωτή (βρείτε ιδιοκαταστάσεις και ιδιοτιμές)
Λύση Το δυναμικό είναι της μορφής
119881(119903) =1211989812059621199032 (1025)
Επομένως η Hamiltonian γράφεται ως
119867 =1199012
2119898+1198981205962
21199032 (1026)
Είναι φανερό ότι οι μεταβλητές χωρίζονται αφού
119867 = 119867119909 + 119867119910 + 119867119911 (1027)
όπου
119867119909 =1198751199092
2119898+1198981205962
21199092
119867119910 =1198751199102
2119898+1198981205962
21199102
119867119911 =1198751199112
2119898+1198981205962
21199112
(1028)
Με εφαρμογή της μεθόδου χωριζομένων μεταβλητών θεωρούμε τη δοκιμαστική λύση
120595(119909 119910 119911) = 1205951(119909)1205952(119910)1205953(119911) (1029)
και για την x μεταβλητή οδηγούμαστε στη συνήθη διαφορική εξίσωση
1198671199091205951(119909) = minusℏ2119898
12059721205951
1205971199092+1198981205962
211990921205951 (1030)
Όμοιες είναι οι εξισώσεις για τις μεταβλητές y z και αντιστοιχούν σε μονοδιάστατα προβλήματα αρμονικού ταλαντωτή στην y z μεταβλητή Η ολική ενέργεια του συστήματος είναι το άθροισμα των ενεργειών των μονοδιάστατων προβλημάτων για κάθε κβαντική κατάσταση που χαρακτηρίζεται από τρεις κβαντικούς αριθμούς nx ny nz
119864119899111989921198993 = 1198641198991 + 1198641205782 + 1198641198993 = (1198991 + 1198992 + 1198993 +32)ℏ120596 (1031)
175
Άσκηση 4 Αποδείξτε αναλυτικά τη σχέση (1031)
176
ΒιβλιογραφίαΑναφορές
Λαγανάς E (2005) Κβαντομηχανικη Ι Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Λαγανάς E (2005) Κβαντομηχανικη ΙΙ Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Ταμβάκης Κ (2003) Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική Αθήνα Leader Books
Τραχανάς Σ (2005) Προβλήματα Κβαντομηχανικής Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2008) Κβαντομηχανικη ΙI Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Binney J amp Skinner D (2013) The Physics of Quantum Mechanics Oxford Oxford University Press
Constantinescu F Magyari E (1971) Problems in Quantum Mechanics (Paperback) Oxford Pergamon Press
Fitzpatrick R (2010) Quantum Mechanics Ανακτήθηκε 30 Οκτωβρίου 2015 από httpfarsidephutexaseduteachingqmechqmechpdf
Gasiorowicz S (2003) Κβαντική Φυσική (3η αμερικάνικη έκδοση) Αθήνα Εκδόσεις Κλειδάριθμος
Griffiths D J (2004) Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition Upper Saddle River NJ Prentice Hall
Peleg Y Pnini R Zaarur E Hecht E (2010) Schaumrsquos Outline of Quantum Mechanics (Schaumrsquos Outlines) (2nd edition) McGraw-Hill
Squires GL (1995) Problems in Quantum Mechanics with solutions Cambridge Cambridge University Press
Tamvakis K (2005) Problems and Solutions in Quantum Mechanics New York Cambridge University Press
171
120597|120595|2
120597119905+120597119895119909120597119909
+120597119895119910120597119910
+120597119895119911120597119911
= 0 (107)
όπου
119895119909 =1198942ℏ119898(120595
120597120595lowast
120597119909minus 120595lowast 120597120595
120597119909) (108)
και όμοια ορίζονται και οι άλλες συνιστώσες του ρεύματος πιθανότητας Με ολοκλήρωση της (107) σε δεδομένη περιοχή του χώρου προκύπτει η φυσική της σημασία που
συνίσταται στο συμπέρασμα ότι ο ρυθμός μεταβολής της πιθανότητας να βρεθεί το κβαντικό σωμάτιο σε δεδομένη περιοχή του χώρου ισούται με τη ροή πιθανότητας από το όριο της δεδομένης περιοχής Αν η περιοχή ολοκλήρωσης εκτείνεται στο άπειρο τότε το ρεύμα πιθανότητας μηδενίζεται στο όριο της περιοχής (λόγω κανονικοποιήσιμης κυματοσυνάρτησης) και επομένως από την (107) παίρνουμε τη διατήρηση της κανονικοποίησης σε τρεις διαστάσεις
119889119889119905
intminusinfin
infinintminusinfin
infinintminusinfin
infin|120595(119909 119910 119911 119905)|2119889119909119889119910119889119911 = 0 (109)
Άσκηση 1 Αποδείξτε τη σχέση (109) με ολοκλήρωση της (107) και χρήση του θεωρήματος Gauss
102 Σχέσεις μετάθεσης τελεστών ορμής και θέσης σωματίου Οι συνιστώσες του τελεστή της ορμής σε τρεις διαστάσεις παίρνουν τη μορφή
119901119909 equiv minus119894ℏ120597120597119909
119901119910 equiv minus119894ℏ120597120597119910
119901119911 equiv minus119894ℏ120597120597119911
(1010)
Επομένως οι σχέσεις μετάθεσης θέσεις και ορμής γράφονται ως
[119909119894 119909119895] = 0
[119901119894 119901119895] = 0
[119909119894 119901119895] = 119894ℏ120575119894119895
(1011)
Κατά συνέπεια ο μεταθέτης διαφορετικών συνιστωσών θέσης και ορμής είναι μηδέν και οι συνιστώσες αυτές μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα με ακρίβεια που δεν περιορίζεται από την αρχή της αβεβαιότητας (οι δείκτες ij εδώ αναφέρονται σε συντεταγμένες και όχι σε σωμάτια όπως στο προηγούμενο κεφάλαιο)
103 Χρονική Εξέλιξη σωματίου σε τρεις διαστάσεις Η χρονική εξέλιξη κβαντικού σωματίου σε τρεις διαστάσεις καθορίζεται όπως και σε μια διάσταση από τη Hamiltonian που έχει την μορφή
172
119867 =119901119909
2 + 1199011199102 + 119901119911
2
2119898+ 119881(119909 119910 119911 119905) (1012)
Επομένως η χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger σε τρεις διαστάσεις έχει τη μορφή
119894ℏ120597120595120597119905
= minusℏ2
21198981205712120595 + 119881120595 (1013)
Όπου η Laplacian nabla2 ορίζεται σε καρτεσιανές συντεταγμένες ως
1205712 equiv1205972
1205971199092 +1205972
1205971199102 +1205972
1205971199112 (1014)
[έγινε χρήση των σχέσεων (1010)] Όπως προαναφέρθηκε η εξίσωση συνέχειας (107) αποδεικνύεται αν πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση Schrodinger (1013) επί τη συζυγή κυματοσυνάρτηση και κατόπιν αφαιρέσουμε κατά μέλη από την αντίστοιχη σχέση που προκύπτει με μιγαδική συζυγία της Οι ιδιοκαταστάσεις της Hamiltonian προκύπτουν για χρονοανεξάρτητα δυναμικά από τη σχέση ιδιοτιμών
120552120595 = 120550120595 (1015)
Από τις σχέσεις (1013) και (1015) προκύπτει η χρονική εξέλιξη των ιδιοκαταστάσεων της Hamiltonian ως
120595(119909 119910 119911 119905) = 120595(119909 119910 119911)119890minus119894119864119905ℏ (1016)
Άσκηση 2 Αποδείξτε τη σχέση (1016)
104 Σωμάτιο σε τρισδιάστατο κουτί απείρου βάθους Έστω τρισδιάστατο (3D) κυβικό κουτί με πλευρά (ακμή) a και δυναμικό απείρου βάθους Η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrodinger παίρνει τη μορφή
(1205972
1205971199092 +1205972
1205971199102 +1205972
1205971199112) 120595 = minus2119898ℏ2 119864120595 (1017)
Για την επίλυση της (1017) χρησιμοποιούμε τη μέθοδο χωριζομένων μεταβλητών (αφού δεν εμφανίζονται γινόμενα διαφορετικών συντεταγμένων στη Hamiltonian) και επομένως θεωρούμε τη δοκιμαστική λύση
120595(119909 119910 119911) = 119883(119909)119884(119910)119885(119911) (1018)
Σε αναλογία με το αντίστοιχο μονοδιάστατο πρόβλημα οι οριακές συνθήκες είναι της μορφής
119883(0) = 119883(120572) = 0 119884(0) = 120566(120572) = 0
120551(0) = 120551(120572) = 0 (1019)
Με αντικατάσταση της (1018) στην (1017) και διαίρεση με την κυματοσυνάρτηση ψ παίρνουμε
120568primeprime120568
+120566primeprime120566
+120551primeprime120551
= minus2119898ℏ2 119864 (1020)
173
Ακολουθούμε τη μέθοδο χωριζομένων μεταβλητών και παρατηρούμε ότι κάθε όρος στο αριστερό μέρος της (1020) εξαρτάται από διαφορετική ανεξάρτητη μεταβλητή και επομένως για να ισχύει η (1020) για κάθε τιμή των ανεξάρτητων μεταβλητών x y z θα πρέπει κάθε όρος να ισούται με μια σταθερά
120568primeprime120568
= minus1198961199092
119884primeprime119884= minus1198961199102
119885primeprime119885= minus1198961199112
(1021)
Επομένως ουσιαστικά το τρισδιάστατο πρόβλημα του απειρόβαθου δυναμικού ανάγεται σε τρία μονοδιάστατα προβλήματα Σε αναλογία με το μονοδιάστατο πρόβλημα οι οριακές συνθήκες ικανοποιούνται όταν οι σταθερές παίρνουν τις παρακάτω τιμές
119896119909 =119897119909120587120572
119896119910 =119897119910120587120572
119896119911 =119897119911120587120572
(1022)
όπου lx ly lz είναι ακέραιοι αριθμοί και η κυματοσυνάρτηση είναι γινόμενο μονοδιάστατων ημιτόνων στις μεταβλητές x y z
Άσκηση 3 Βρείτε τις μονοδιάστατες συναρτήσεις X Y Z που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες Οι ιδιοτιμές της ενέργειας προκύπτουν από την εξίσωση Schrodinger (1020) ως
119864 =11989721205872ℏ2
21198981205722 (1023)
όπου
1198972 = 1198971199092 + 1198971199102 + 1198971199112 (1024)
105 Σύνοψη Η εξίσωση του Schrodinger για ένα σωμάτιο σε τρεις διαστάσεις προκύπτει με αντικατάσταση της χωρικής δεύτερης παραγώγου ως προς x από τη Laplacian
Η διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους που προκύπτει μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του χωρισμού μεταβλητών όταν το δυναμικό έχει την κατάλληλη συμμετρία
174
Κριτήρια αξιολόγησης
(Λαγανάς 2005αΛαγανάς 2005βΤραχανάς 2005 Tamvakis 2005 Squires 1995Constantinescu amp Magyari 1971Peleg et al 2010)
Κριτήριο αξιολόγησης 1
Λύστε το πρόβλημα του τρισδιάστατου ισοτροπικού αρμονικού ταλαντωτή (βρείτε ιδιοκαταστάσεις και ιδιοτιμές)
Λύση Το δυναμικό είναι της μορφής
119881(119903) =1211989812059621199032 (1025)
Επομένως η Hamiltonian γράφεται ως
119867 =1199012
2119898+1198981205962
21199032 (1026)
Είναι φανερό ότι οι μεταβλητές χωρίζονται αφού
119867 = 119867119909 + 119867119910 + 119867119911 (1027)
όπου
119867119909 =1198751199092
2119898+1198981205962
21199092
119867119910 =1198751199102
2119898+1198981205962
21199102
119867119911 =1198751199112
2119898+1198981205962
21199112
(1028)
Με εφαρμογή της μεθόδου χωριζομένων μεταβλητών θεωρούμε τη δοκιμαστική λύση
120595(119909 119910 119911) = 1205951(119909)1205952(119910)1205953(119911) (1029)
και για την x μεταβλητή οδηγούμαστε στη συνήθη διαφορική εξίσωση
1198671199091205951(119909) = minusℏ2119898
12059721205951
1205971199092+1198981205962
211990921205951 (1030)
Όμοιες είναι οι εξισώσεις για τις μεταβλητές y z και αντιστοιχούν σε μονοδιάστατα προβλήματα αρμονικού ταλαντωτή στην y z μεταβλητή Η ολική ενέργεια του συστήματος είναι το άθροισμα των ενεργειών των μονοδιάστατων προβλημάτων για κάθε κβαντική κατάσταση που χαρακτηρίζεται από τρεις κβαντικούς αριθμούς nx ny nz
119864119899111989921198993 = 1198641198991 + 1198641205782 + 1198641198993 = (1198991 + 1198992 + 1198993 +32)ℏ120596 (1031)
175
Άσκηση 4 Αποδείξτε αναλυτικά τη σχέση (1031)
176
ΒιβλιογραφίαΑναφορές
Λαγανάς E (2005) Κβαντομηχανικη Ι Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Λαγανάς E (2005) Κβαντομηχανικη ΙΙ Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Ταμβάκης Κ (2003) Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική Αθήνα Leader Books
Τραχανάς Σ (2005) Προβλήματα Κβαντομηχανικής Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2008) Κβαντομηχανικη ΙI Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Binney J amp Skinner D (2013) The Physics of Quantum Mechanics Oxford Oxford University Press
Constantinescu F Magyari E (1971) Problems in Quantum Mechanics (Paperback) Oxford Pergamon Press
Fitzpatrick R (2010) Quantum Mechanics Ανακτήθηκε 30 Οκτωβρίου 2015 από httpfarsidephutexaseduteachingqmechqmechpdf
Gasiorowicz S (2003) Κβαντική Φυσική (3η αμερικάνικη έκδοση) Αθήνα Εκδόσεις Κλειδάριθμος
Griffiths D J (2004) Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition Upper Saddle River NJ Prentice Hall
Peleg Y Pnini R Zaarur E Hecht E (2010) Schaumrsquos Outline of Quantum Mechanics (Schaumrsquos Outlines) (2nd edition) McGraw-Hill
Squires GL (1995) Problems in Quantum Mechanics with solutions Cambridge Cambridge University Press
Tamvakis K (2005) Problems and Solutions in Quantum Mechanics New York Cambridge University Press
172
119867 =119901119909
2 + 1199011199102 + 119901119911
2
2119898+ 119881(119909 119910 119911 119905) (1012)
Επομένως η χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger σε τρεις διαστάσεις έχει τη μορφή
119894ℏ120597120595120597119905
= minusℏ2
21198981205712120595 + 119881120595 (1013)
Όπου η Laplacian nabla2 ορίζεται σε καρτεσιανές συντεταγμένες ως
1205712 equiv1205972
1205971199092 +1205972
1205971199102 +1205972
1205971199112 (1014)
[έγινε χρήση των σχέσεων (1010)] Όπως προαναφέρθηκε η εξίσωση συνέχειας (107) αποδεικνύεται αν πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση Schrodinger (1013) επί τη συζυγή κυματοσυνάρτηση και κατόπιν αφαιρέσουμε κατά μέλη από την αντίστοιχη σχέση που προκύπτει με μιγαδική συζυγία της Οι ιδιοκαταστάσεις της Hamiltonian προκύπτουν για χρονοανεξάρτητα δυναμικά από τη σχέση ιδιοτιμών
120552120595 = 120550120595 (1015)
Από τις σχέσεις (1013) και (1015) προκύπτει η χρονική εξέλιξη των ιδιοκαταστάσεων της Hamiltonian ως
120595(119909 119910 119911 119905) = 120595(119909 119910 119911)119890minus119894119864119905ℏ (1016)
Άσκηση 2 Αποδείξτε τη σχέση (1016)
104 Σωμάτιο σε τρισδιάστατο κουτί απείρου βάθους Έστω τρισδιάστατο (3D) κυβικό κουτί με πλευρά (ακμή) a και δυναμικό απείρου βάθους Η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrodinger παίρνει τη μορφή
(1205972
1205971199092 +1205972
1205971199102 +1205972
1205971199112) 120595 = minus2119898ℏ2 119864120595 (1017)
Για την επίλυση της (1017) χρησιμοποιούμε τη μέθοδο χωριζομένων μεταβλητών (αφού δεν εμφανίζονται γινόμενα διαφορετικών συντεταγμένων στη Hamiltonian) και επομένως θεωρούμε τη δοκιμαστική λύση
120595(119909 119910 119911) = 119883(119909)119884(119910)119885(119911) (1018)
Σε αναλογία με το αντίστοιχο μονοδιάστατο πρόβλημα οι οριακές συνθήκες είναι της μορφής
119883(0) = 119883(120572) = 0 119884(0) = 120566(120572) = 0
120551(0) = 120551(120572) = 0 (1019)
Με αντικατάσταση της (1018) στην (1017) και διαίρεση με την κυματοσυνάρτηση ψ παίρνουμε
120568primeprime120568
+120566primeprime120566
+120551primeprime120551
= minus2119898ℏ2 119864 (1020)
173
Ακολουθούμε τη μέθοδο χωριζομένων μεταβλητών και παρατηρούμε ότι κάθε όρος στο αριστερό μέρος της (1020) εξαρτάται από διαφορετική ανεξάρτητη μεταβλητή και επομένως για να ισχύει η (1020) για κάθε τιμή των ανεξάρτητων μεταβλητών x y z θα πρέπει κάθε όρος να ισούται με μια σταθερά
120568primeprime120568
= minus1198961199092
119884primeprime119884= minus1198961199102
119885primeprime119885= minus1198961199112
(1021)
Επομένως ουσιαστικά το τρισδιάστατο πρόβλημα του απειρόβαθου δυναμικού ανάγεται σε τρία μονοδιάστατα προβλήματα Σε αναλογία με το μονοδιάστατο πρόβλημα οι οριακές συνθήκες ικανοποιούνται όταν οι σταθερές παίρνουν τις παρακάτω τιμές
119896119909 =119897119909120587120572
119896119910 =119897119910120587120572
119896119911 =119897119911120587120572
(1022)
όπου lx ly lz είναι ακέραιοι αριθμοί και η κυματοσυνάρτηση είναι γινόμενο μονοδιάστατων ημιτόνων στις μεταβλητές x y z
Άσκηση 3 Βρείτε τις μονοδιάστατες συναρτήσεις X Y Z που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες Οι ιδιοτιμές της ενέργειας προκύπτουν από την εξίσωση Schrodinger (1020) ως
119864 =11989721205872ℏ2
21198981205722 (1023)
όπου
1198972 = 1198971199092 + 1198971199102 + 1198971199112 (1024)
105 Σύνοψη Η εξίσωση του Schrodinger για ένα σωμάτιο σε τρεις διαστάσεις προκύπτει με αντικατάσταση της χωρικής δεύτερης παραγώγου ως προς x από τη Laplacian
Η διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους που προκύπτει μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του χωρισμού μεταβλητών όταν το δυναμικό έχει την κατάλληλη συμμετρία
174
Κριτήρια αξιολόγησης
(Λαγανάς 2005αΛαγανάς 2005βΤραχανάς 2005 Tamvakis 2005 Squires 1995Constantinescu amp Magyari 1971Peleg et al 2010)
Κριτήριο αξιολόγησης 1
Λύστε το πρόβλημα του τρισδιάστατου ισοτροπικού αρμονικού ταλαντωτή (βρείτε ιδιοκαταστάσεις και ιδιοτιμές)
Λύση Το δυναμικό είναι της μορφής
119881(119903) =1211989812059621199032 (1025)
Επομένως η Hamiltonian γράφεται ως
119867 =1199012
2119898+1198981205962
21199032 (1026)
Είναι φανερό ότι οι μεταβλητές χωρίζονται αφού
119867 = 119867119909 + 119867119910 + 119867119911 (1027)
όπου
119867119909 =1198751199092
2119898+1198981205962
21199092
119867119910 =1198751199102
2119898+1198981205962
21199102
119867119911 =1198751199112
2119898+1198981205962
21199112
(1028)
Με εφαρμογή της μεθόδου χωριζομένων μεταβλητών θεωρούμε τη δοκιμαστική λύση
120595(119909 119910 119911) = 1205951(119909)1205952(119910)1205953(119911) (1029)
και για την x μεταβλητή οδηγούμαστε στη συνήθη διαφορική εξίσωση
1198671199091205951(119909) = minusℏ2119898
12059721205951
1205971199092+1198981205962
211990921205951 (1030)
Όμοιες είναι οι εξισώσεις για τις μεταβλητές y z και αντιστοιχούν σε μονοδιάστατα προβλήματα αρμονικού ταλαντωτή στην y z μεταβλητή Η ολική ενέργεια του συστήματος είναι το άθροισμα των ενεργειών των μονοδιάστατων προβλημάτων για κάθε κβαντική κατάσταση που χαρακτηρίζεται από τρεις κβαντικούς αριθμούς nx ny nz
119864119899111989921198993 = 1198641198991 + 1198641205782 + 1198641198993 = (1198991 + 1198992 + 1198993 +32)ℏ120596 (1031)
175
Άσκηση 4 Αποδείξτε αναλυτικά τη σχέση (1031)
176
ΒιβλιογραφίαΑναφορές
Λαγανάς E (2005) Κβαντομηχανικη Ι Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Λαγανάς E (2005) Κβαντομηχανικη ΙΙ Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Ταμβάκης Κ (2003) Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική Αθήνα Leader Books
Τραχανάς Σ (2005) Προβλήματα Κβαντομηχανικής Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2008) Κβαντομηχανικη ΙI Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Binney J amp Skinner D (2013) The Physics of Quantum Mechanics Oxford Oxford University Press
Constantinescu F Magyari E (1971) Problems in Quantum Mechanics (Paperback) Oxford Pergamon Press
Fitzpatrick R (2010) Quantum Mechanics Ανακτήθηκε 30 Οκτωβρίου 2015 από httpfarsidephutexaseduteachingqmechqmechpdf
Gasiorowicz S (2003) Κβαντική Φυσική (3η αμερικάνικη έκδοση) Αθήνα Εκδόσεις Κλειδάριθμος
Griffiths D J (2004) Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition Upper Saddle River NJ Prentice Hall
Peleg Y Pnini R Zaarur E Hecht E (2010) Schaumrsquos Outline of Quantum Mechanics (Schaumrsquos Outlines) (2nd edition) McGraw-Hill
Squires GL (1995) Problems in Quantum Mechanics with solutions Cambridge Cambridge University Press
Tamvakis K (2005) Problems and Solutions in Quantum Mechanics New York Cambridge University Press
173
Ακολουθούμε τη μέθοδο χωριζομένων μεταβλητών και παρατηρούμε ότι κάθε όρος στο αριστερό μέρος της (1020) εξαρτάται από διαφορετική ανεξάρτητη μεταβλητή και επομένως για να ισχύει η (1020) για κάθε τιμή των ανεξάρτητων μεταβλητών x y z θα πρέπει κάθε όρος να ισούται με μια σταθερά
120568primeprime120568
= minus1198961199092
119884primeprime119884= minus1198961199102
119885primeprime119885= minus1198961199112
(1021)
Επομένως ουσιαστικά το τρισδιάστατο πρόβλημα του απειρόβαθου δυναμικού ανάγεται σε τρία μονοδιάστατα προβλήματα Σε αναλογία με το μονοδιάστατο πρόβλημα οι οριακές συνθήκες ικανοποιούνται όταν οι σταθερές παίρνουν τις παρακάτω τιμές
119896119909 =119897119909120587120572
119896119910 =119897119910120587120572
119896119911 =119897119911120587120572
(1022)
όπου lx ly lz είναι ακέραιοι αριθμοί και η κυματοσυνάρτηση είναι γινόμενο μονοδιάστατων ημιτόνων στις μεταβλητές x y z
Άσκηση 3 Βρείτε τις μονοδιάστατες συναρτήσεις X Y Z που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες Οι ιδιοτιμές της ενέργειας προκύπτουν από την εξίσωση Schrodinger (1020) ως
119864 =11989721205872ℏ2
21198981205722 (1023)
όπου
1198972 = 1198971199092 + 1198971199102 + 1198971199112 (1024)
105 Σύνοψη Η εξίσωση του Schrodinger για ένα σωμάτιο σε τρεις διαστάσεις προκύπτει με αντικατάσταση της χωρικής δεύτερης παραγώγου ως προς x από τη Laplacian
Η διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους που προκύπτει μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του χωρισμού μεταβλητών όταν το δυναμικό έχει την κατάλληλη συμμετρία
174
Κριτήρια αξιολόγησης
(Λαγανάς 2005αΛαγανάς 2005βΤραχανάς 2005 Tamvakis 2005 Squires 1995Constantinescu amp Magyari 1971Peleg et al 2010)
Κριτήριο αξιολόγησης 1
Λύστε το πρόβλημα του τρισδιάστατου ισοτροπικού αρμονικού ταλαντωτή (βρείτε ιδιοκαταστάσεις και ιδιοτιμές)
Λύση Το δυναμικό είναι της μορφής
119881(119903) =1211989812059621199032 (1025)
Επομένως η Hamiltonian γράφεται ως
119867 =1199012
2119898+1198981205962
21199032 (1026)
Είναι φανερό ότι οι μεταβλητές χωρίζονται αφού
119867 = 119867119909 + 119867119910 + 119867119911 (1027)
όπου
119867119909 =1198751199092
2119898+1198981205962
21199092
119867119910 =1198751199102
2119898+1198981205962
21199102
119867119911 =1198751199112
2119898+1198981205962
21199112
(1028)
Με εφαρμογή της μεθόδου χωριζομένων μεταβλητών θεωρούμε τη δοκιμαστική λύση
120595(119909 119910 119911) = 1205951(119909)1205952(119910)1205953(119911) (1029)
και για την x μεταβλητή οδηγούμαστε στη συνήθη διαφορική εξίσωση
1198671199091205951(119909) = minusℏ2119898
12059721205951
1205971199092+1198981205962
211990921205951 (1030)
Όμοιες είναι οι εξισώσεις για τις μεταβλητές y z και αντιστοιχούν σε μονοδιάστατα προβλήματα αρμονικού ταλαντωτή στην y z μεταβλητή Η ολική ενέργεια του συστήματος είναι το άθροισμα των ενεργειών των μονοδιάστατων προβλημάτων για κάθε κβαντική κατάσταση που χαρακτηρίζεται από τρεις κβαντικούς αριθμούς nx ny nz
119864119899111989921198993 = 1198641198991 + 1198641205782 + 1198641198993 = (1198991 + 1198992 + 1198993 +32)ℏ120596 (1031)
175
Άσκηση 4 Αποδείξτε αναλυτικά τη σχέση (1031)
176
ΒιβλιογραφίαΑναφορές
Λαγανάς E (2005) Κβαντομηχανικη Ι Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Λαγανάς E (2005) Κβαντομηχανικη ΙΙ Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Ταμβάκης Κ (2003) Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική Αθήνα Leader Books
Τραχανάς Σ (2005) Προβλήματα Κβαντομηχανικής Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2008) Κβαντομηχανικη ΙI Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Binney J amp Skinner D (2013) The Physics of Quantum Mechanics Oxford Oxford University Press
Constantinescu F Magyari E (1971) Problems in Quantum Mechanics (Paperback) Oxford Pergamon Press
Fitzpatrick R (2010) Quantum Mechanics Ανακτήθηκε 30 Οκτωβρίου 2015 από httpfarsidephutexaseduteachingqmechqmechpdf
Gasiorowicz S (2003) Κβαντική Φυσική (3η αμερικάνικη έκδοση) Αθήνα Εκδόσεις Κλειδάριθμος
Griffiths D J (2004) Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition Upper Saddle River NJ Prentice Hall
Peleg Y Pnini R Zaarur E Hecht E (2010) Schaumrsquos Outline of Quantum Mechanics (Schaumrsquos Outlines) (2nd edition) McGraw-Hill
Squires GL (1995) Problems in Quantum Mechanics with solutions Cambridge Cambridge University Press
Tamvakis K (2005) Problems and Solutions in Quantum Mechanics New York Cambridge University Press
174
Κριτήρια αξιολόγησης
(Λαγανάς 2005αΛαγανάς 2005βΤραχανάς 2005 Tamvakis 2005 Squires 1995Constantinescu amp Magyari 1971Peleg et al 2010)
Κριτήριο αξιολόγησης 1
Λύστε το πρόβλημα του τρισδιάστατου ισοτροπικού αρμονικού ταλαντωτή (βρείτε ιδιοκαταστάσεις και ιδιοτιμές)
Λύση Το δυναμικό είναι της μορφής
119881(119903) =1211989812059621199032 (1025)
Επομένως η Hamiltonian γράφεται ως
119867 =1199012
2119898+1198981205962
21199032 (1026)
Είναι φανερό ότι οι μεταβλητές χωρίζονται αφού
119867 = 119867119909 + 119867119910 + 119867119911 (1027)
όπου
119867119909 =1198751199092
2119898+1198981205962
21199092
119867119910 =1198751199102
2119898+1198981205962
21199102
119867119911 =1198751199112
2119898+1198981205962
21199112
(1028)
Με εφαρμογή της μεθόδου χωριζομένων μεταβλητών θεωρούμε τη δοκιμαστική λύση
120595(119909 119910 119911) = 1205951(119909)1205952(119910)1205953(119911) (1029)
και για την x μεταβλητή οδηγούμαστε στη συνήθη διαφορική εξίσωση
1198671199091205951(119909) = minusℏ2119898
12059721205951
1205971199092+1198981205962
211990921205951 (1030)
Όμοιες είναι οι εξισώσεις για τις μεταβλητές y z και αντιστοιχούν σε μονοδιάστατα προβλήματα αρμονικού ταλαντωτή στην y z μεταβλητή Η ολική ενέργεια του συστήματος είναι το άθροισμα των ενεργειών των μονοδιάστατων προβλημάτων για κάθε κβαντική κατάσταση που χαρακτηρίζεται από τρεις κβαντικούς αριθμούς nx ny nz
119864119899111989921198993 = 1198641198991 + 1198641205782 + 1198641198993 = (1198991 + 1198992 + 1198993 +32)ℏ120596 (1031)
175
Άσκηση 4 Αποδείξτε αναλυτικά τη σχέση (1031)
176
ΒιβλιογραφίαΑναφορές
Λαγανάς E (2005) Κβαντομηχανικη Ι Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Λαγανάς E (2005) Κβαντομηχανικη ΙΙ Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Ταμβάκης Κ (2003) Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική Αθήνα Leader Books
Τραχανάς Σ (2005) Προβλήματα Κβαντομηχανικής Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2008) Κβαντομηχανικη ΙI Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Binney J amp Skinner D (2013) The Physics of Quantum Mechanics Oxford Oxford University Press
Constantinescu F Magyari E (1971) Problems in Quantum Mechanics (Paperback) Oxford Pergamon Press
Fitzpatrick R (2010) Quantum Mechanics Ανακτήθηκε 30 Οκτωβρίου 2015 από httpfarsidephutexaseduteachingqmechqmechpdf
Gasiorowicz S (2003) Κβαντική Φυσική (3η αμερικάνικη έκδοση) Αθήνα Εκδόσεις Κλειδάριθμος
Griffiths D J (2004) Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition Upper Saddle River NJ Prentice Hall
Peleg Y Pnini R Zaarur E Hecht E (2010) Schaumrsquos Outline of Quantum Mechanics (Schaumrsquos Outlines) (2nd edition) McGraw-Hill
Squires GL (1995) Problems in Quantum Mechanics with solutions Cambridge Cambridge University Press
Tamvakis K (2005) Problems and Solutions in Quantum Mechanics New York Cambridge University Press
175
Άσκηση 4 Αποδείξτε αναλυτικά τη σχέση (1031)
176
ΒιβλιογραφίαΑναφορές
Λαγανάς E (2005) Κβαντομηχανικη Ι Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Λαγανάς E (2005) Κβαντομηχανικη ΙΙ Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Ταμβάκης Κ (2003) Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική Αθήνα Leader Books
Τραχανάς Σ (2005) Προβλήματα Κβαντομηχανικής Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2008) Κβαντομηχανικη ΙI Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Binney J amp Skinner D (2013) The Physics of Quantum Mechanics Oxford Oxford University Press
Constantinescu F Magyari E (1971) Problems in Quantum Mechanics (Paperback) Oxford Pergamon Press
Fitzpatrick R (2010) Quantum Mechanics Ανακτήθηκε 30 Οκτωβρίου 2015 από httpfarsidephutexaseduteachingqmechqmechpdf
Gasiorowicz S (2003) Κβαντική Φυσική (3η αμερικάνικη έκδοση) Αθήνα Εκδόσεις Κλειδάριθμος
Griffiths D J (2004) Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition Upper Saddle River NJ Prentice Hall
Peleg Y Pnini R Zaarur E Hecht E (2010) Schaumrsquos Outline of Quantum Mechanics (Schaumrsquos Outlines) (2nd edition) McGraw-Hill
Squires GL (1995) Problems in Quantum Mechanics with solutions Cambridge Cambridge University Press
Tamvakis K (2005) Problems and Solutions in Quantum Mechanics New York Cambridge University Press
176
ΒιβλιογραφίαΑναφορές
Λαγανάς E (2005) Κβαντομηχανικη Ι Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Λαγανάς E (2005) Κβαντομηχανικη ΙΙ Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Ταμβάκης Κ (2003) Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική Αθήνα Leader Books
Τραχανάς Σ (2005) Προβλήματα Κβαντομηχανικής Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2008) Κβαντομηχανικη ΙI Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Binney J amp Skinner D (2013) The Physics of Quantum Mechanics Oxford Oxford University Press
Constantinescu F Magyari E (1971) Problems in Quantum Mechanics (Paperback) Oxford Pergamon Press
Fitzpatrick R (2010) Quantum Mechanics Ανακτήθηκε 30 Οκτωβρίου 2015 από httpfarsidephutexaseduteachingqmechqmechpdf
Gasiorowicz S (2003) Κβαντική Φυσική (3η αμερικάνικη έκδοση) Αθήνα Εκδόσεις Κλειδάριθμος
Griffiths D J (2004) Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition Upper Saddle River NJ Prentice Hall
Peleg Y Pnini R Zaarur E Hecht E (2010) Schaumrsquos Outline of Quantum Mechanics (Schaumrsquos Outlines) (2nd edition) McGraw-Hill
Squires GL (1995) Problems in Quantum Mechanics with solutions Cambridge Cambridge University Press
Tamvakis K (2005) Problems and Solutions in Quantum Mechanics New York Cambridge University Press
