בחינת מתכונת במתמטיקה

1025 ה"תשע קיץ מועד

804 סמל שאלון

עדו מרבך, ארז כהן ורן יחיאלי ידי על נכתב הפתרון

אנקורי החינוך רשת מורי מצוות

ת נ ו כ ת מ ן ח ב מ משך הבחינה: שלוש שעות וחצי.

מבנה השאלון ומפתח הערכה: בשאלון זה שלושה פרקים.

20 פרק א: אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות: 2 4 דותנקו 0

20 פרק ב: גיאומטריה וטריגונומטריה במישור: 1 2 נקודות 0

20 פרק ג: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: 2 4 נקודות 0

1 סה"כ 0 נקודות 0

אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות – פרק א'

.1-3ענה על שתיים מבין השאלות

2 כל שאלה בחלק זה נקודות. 0

סמ"ר. 80החתך הצירי של גליל ישר הוא מלבן ששטחו .1

2 -ידוע כי גובה הגליל גדול ב 5 מקוטר בסיס הגליל. %

מצא את רדיוס בסיס הגליל. א.

חשב את נפח הגליל. ב.

מצא את שטח הפנים של הגליל. ג.

הנקודות .2 A 5, -ו 8 C 1, 2 הן שני קדקודים של ריבועA B C D שצלעותיו מקבילות

לצירים.

נמצא ברביע השני. Bשל הריבוע, אם ידוע שהקדקוד D -ו Bמצא את הקדקודים א.

Aלכסון מצא את משוואת המעגל שהא ב. C .הוא קוטר בו

שמצאת בסעיף א' נמצאת על המעגל שמצאת בסעיף ב'? נמק. Bהאם הנקודה ג.

A B

C D

לדני יש בכיס ימין חמישה פיסטוקים ושלושה בוטנים ובכיס שמאל ארבעה פיסטוקים . 3

וארבעה בוטנים.

ומוציא ממנו בזה אחר זה שני פיצוחים.דני בוחר כיס באקראי,

מהי ההסתברות שדני יוציא שני בוטנים מכיס ימין? א.

מהי ההסתברות שדני יוציא שני בוטנים? ב.

ידוע שדני הוציא שני בוטנים. מהי ההסתברות שהם הוצאו מכיס ימין? ג.

גאומטריה וטריגונומטריה במישור –פרק ב'

.4-5אלות מבין הש שאלה אחתענה על

2כל שאלה בחלק זה נקודות. 0

Aמרובע . 4 B C D חסום במעגל שמרכזוO

A. נתון: Rורדיוסו B B C C D .

חותך Cהרדיוס ממרכז המעגל לנקודה

.Eבנקודה ADאת צלע

Aהוכח: א. D || B C.

Oהוכח: ב. C D ~ D C E .

Cהוכח: ג. D E D.

ABנתון: ד. k.

Cאת R-ו k הבע ע"י E.

Aנתון משושה משוכלל . 5 B C D E F

.aשאורך צלעו

Bאת שטח המשולש aהבע באמצעות א. D E.

את שטח המשושה. aהבע באמצעות ב.

Bנתון כי שטח משולש ג. D E הוא5 4

3

.

ואת שטח המשושה. aמצא את .1

המשושה.את שחוסםמצא את רדיוס המעגל .2

במשושה. שחסוםמצא את רדיוס במעגל .3

Bבמשולש שחסוםמצא את רדיוס המעגל .4 E D.

A

B C

D E

O

A

D

C

B

E

F

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות טריגונומטריות, של פולינומים, –פרק ג'

של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש

.6-8ענה על שתיים מבין השאלות

2כל שאלה בחלק זה נקודות. 0

נתונה הפונקציה: .6x

y

x 1

.

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. א.

מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. ב.

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. ג.

ה ואת תחומי הירידה של הפונקציה.רשום את תחומי העליי ד.

.y -לציר ה השל הפונקציה המקביל טהמצא אסימפטו ה.

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ו.

2בחצי מעגל שרדיוסו . 7 ס"מ חסום מלבן, כך שצלע 0

קדקודיםאחת של המלבן מונחת על קוטר המעגל ושני ה

האחרים מונחים על המעגל.

מצא את שטח המלבן ששטחו מקסימלי.

A O

C

B

D

2 0

נתונה הפונקציה: .8 2

2 aa 0 , f x

x a

xנתון ששיפוע הישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה בה א. a 1הוא .

.aמצא את הפרמטר

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. (1) ב.

מצא את נקודת החיתוך של הגרף עם הצירים. (2)

מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. (3)

מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. (4)

gנתונה הפונקציה ג. ( x gהמקיימת ( ( x ) f ( x ) .

gמי מבין הגרפים הבאים מתאר את גרף הפונקציה ( x ) .

pנתונה הפונקציה ד. ( x המקיימת ( p '( x ) f x.

pנתון: ( x 1) c , p ( x 1) b .

וא בין גרף הפונקציה את השטח הכל c -ו bהבע בעזרת הפרמטרים f x ,

x, והישרים x-ציר ה 1 ו- x 1 .

x

y (1

)

x

y (2

)

x

y (3

)

' ס מ ת נ ו כ ת מ ן ח ב מ ן ו ר ת 1פ

1פתרון שאלה

Aהחתך הצירי הוא המלבן א. B C D.

Aהצלע B היא קוטר בבסיס, לכןAB 2r.

Bהצלע C .שווה לגובה הגליל

2 -נתון כי הגובה גדול ב 5 מהקוטר, לכן: %

B C 2 r 25% 2 r 2 r 0 .25 2 r 2 .5r

Aנתון כי שטח המלבן B C D סמ"ר. 80הוא

שטח מלבן הוא מכפלת צלעותיו,

80לכן: A B B C .

80 נציב את הידוע לנו ונקבל: 2 r 2 .5r

280 5r / : 5

2r 16 /

r 4

r :ס"מ 4הוא רדיוס ולכן חייב להיות חיובי, כלומר r .

2נפח גליל נתון ע"י הנוסחה: ב.V r h

Bבמקרה שלנו, הגובה הוא Cיף א':. נחשב אותו לפי תוצאת סע

1 Bס"מ 0 C 2.5 r 2 .5 4

2 סמ"ק 160נציב בנוסחה של הנפח, ונקבל: V 4 1 0 .

2שטח הפנים של גליל נתון ע"י הנוסחה: ג.P 2 r 2 r h .

2 סמ"ר 112ל: נציב את הגובה ואת הרדיוס. נקב P 2 4 2 4 1 0 .

A B

C D

2פתרון שאלה

Aהישר א. B מקביל לצירx ומכאן שלכל הנקודות עליו יש אותו שיעור ,y :לכן .By 8.

Cהישר D מקביל גם הוא לצירxומכאן ש ,- D Cy y 2 .

D. לכן: x, ומכאן שלכל הנקודות עליו יש אותו שיעור yמקביל לציר ADהישר x 5.

Bהישר C מקביל גם הוא לצירy ולכןB Cx x 1 .

לסיכום, הקדקודים הם: D 5, 2 , B 1, 8.

A - שלב א' ב. C עגל המבוקש, לכן אמצע הקטע הוא קוטר במA C הוא מרכז המעגל. נרצה

Aלמצוא את אמצע C.

נשתמש בנוסחת אמצע קטע:

A C

M

A C

M

x x 5 1x 2

2 2( 2 , 5 )

y y 8 2y 5

2 2

ומכאן שמשוואת המעגל הכללית תהיה: 2 2 2

( x 2 ) ( y 5) R .

A - שלב ב' C הוא קוטר במעגל המבוקש, לכן נקודות הקצה שלוA , C .נמצאות על המעגל

כלומר, אם נציב במשוואת המעגל את הנקודה A 5, . נקבל:y, נוכל למצוא את 8

2 2 2

5 2 8 5 R

2R 9 9 1 8

לכן, משוואת המעגל היא: 2 2

x 2 y 5 1 8 .

9היא בת Bוית ו: לפי הנתון, זדרך א' ג. 0 וית היקפית הנשענת על קוטר ו. ניזכר במשפט: "ז

9 -ל שווה 0 זווית ."B 9 -נשענת על הקוטר ושווה ל 0 ומכאן שהיא זווית היקפית ,

.המעגל על נמצאת

בלים פסוק אמת:במשוואת המעגל, ונבדוק האם אנו מק B: נציב את הנקודה דרך ב'

2 2

1 2 8 5 1 8

9 9 18

18 18

. המעגל על נמצאת Bקיבלנו פסוק אמת, לכן הנקודה

3פתרון שאלה

נראה את הנתונים בדיאגרמת עץ:

תברות שדני יוציא שני בוטנים מכיס ימין היא: ההס א.3

5 6

1 3 2P

2 8 7

ההסתברות שדני יוציא שני בוטנים היא: ב.9

5 6

1 3 2 1 4 3P

2 8 7 2 8 7

ההסתברות שהם הוצאו מכיס ימין: ג.

3

3 15 6P

9 9 3

5 6

2

1

2

1

8

4

8

4

8

3

8

5

7

3

7

3

7

3

7

4

7

4

7

4

7

5

7

2

כיס שמאל כיס ימין בחירת כיס:

בוטן פיסטוק בוטן פיסטוק פיצוח ראשון:

בוטן פיסטוק בוטן פיסטוק ןבוט פיסטוק בוטן פיסטוק פיצוח שני:

PP

P

שני בוטנים מכיס ימין

שני בוטנים

שני בוטנים מכיס ימין שני בוטנים

שני בוטנים

4פתרון שאלה

:נעביר בניית עזר

Aאלכסון C במרובעA B C D.

Aנסמן: C B .

נימוק טענה

A א. C B C A B C A D זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות

A D || B C

זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים

מ.ש.ל. א'

C ב. O D 2 C A D 2 מזווית היקפית 2זווית מרכזית גדולה פי

הנשענת על אותה הקשת

A O B B O C C O D 2 זוויות מרכזיות הנשענות על קשתות שוות

A O C 4 חיבור זוויות

A O CC D A 2

2

מזווית מרכזית 2זווית היקפית קטנה פי

הנשענת על אותה הקשת

E D C C D A זווית משותפת

E D C C O D 2

E C D O C D זווית משותפת

O C D ~ D C E

לפי זווית זווית

מ.ש.ל. ב'

A

B C

D E

O

נרשום את יחס הפרופורציה של הצלעות המתאימות: ג.

O C C D O D

D C C E D E

Oידוע כי: C O D R :ולכן , D C D E.מש"ל ,

ABנתון: ד. k.

Aונים ונזכיר כי נציב ביחס הפרופורציה את הנת B C D D E k :

2

R k kC E

k C E R

5פתרון שאלה

כדי לטפל במצולעים משוכללים מומלץ מאד לחסום אותם בתוך מעגל. זאת על סמך המשפט א.

Dבמעגל )למשל זווית מרכזיתהקובע , כי כל מצולע משוכלל ניתן לחסום במעגל. כל O E )

שווה: 3 6 0

6 06

.

לפי המשפט: זווית היקפית שווה

, למחצית מהזוית המרכזית הנשענת על אותה קשת

נקבל:

1 1

B D O E 6 0 3 0 D 9 02 2

Bנתבונן במשולש D E:

aD E D E

sin 3 0 B E 2 a1B E s in 3 0

2

2

B D E B D E

3a 2 a

D E B E s in 6 0 a 32S S

2 2 2

Aנחשב שטח של "פרוסה" אחת )למשל ב. FO 6 -בציור( ונכפול ב.

A FO 6הוא שווה צלעות )כי כל זוויותיו 0 :)2

A F O

a a s in 6 0 a 3S

2 4

A

D

C

B

E

F

O 30°

60°

:6 -נכפול ב2

A B C D E F

3a 3S

2

לפי סעיף א': .1 ג.

2

2a 3 5 4a 3 6 a 6

2 3

כעת, לפי סעיף ב': 2

A B C D E F

3 6 3S 5 4 3

2

Fנתבונן במשולש .2 O A.

A F a 6

E P P A 3

P A P A 3

s in 3 0 R 6R s in 3 0 0 .5

Fאפשר כמובן לקצר בעזרת העובדה שמשולש O A

.הוא מש"צ

Fנתבונן במשולש .3 O A.

P A P A 3

ta n 3 0 r 3 3r ta n 3 0 3

3

4. E D a 6

Bמשולש E D ,משולש ישר זווית

3 0 , 6 0 , 9 0 3. הניצב מול זווית 0 שווה

Eלמחצית מהיתר. ולכן B 12

בעזרת פיתגורס נקבל:

2 2 26 B D 12 B D 144 36 108 6 3 .

B נרכיב את השטח של משולש E D:

B E D M E B M E D M D BS S S S

B E D

r B E r B D r E D rS B E B D E D

2 2 2 2

B D E D r

B E B D E D2 2

F

A

O

R

R

r

P

3030

B

E 6 0

D

M

90

30

rr

r

B D E D 6 3 6

r 3 3 3 2 .1 9 6B E B D E D 1 2 6 3 6

6פתרון שאלה

נתונה הפונקציה: x

y

x 1

.

תחום ההגדרה: א.

0הגדרת השורש: x.

x הגדרת המכנה: 1 x 1 0

0לכן, תחום ההגדרה הוא: x 1

:xחיתוך עם ציר ב.

yנציב 0 :בפונקציהx

0 x 0

x 1

נקודת החיתוך היא 0 , .yוזו גם נקודת החיתוך עם ציר 0

ת קיצון:ונקוד ג.

נגזור את הפונקציה בעזרת כלל המנה: 2

u u ' .v v ' u'

v v

u אצלינו: x u ' 1

1

v x 1 v '

2 x

והנגזרת:

2

11 x 1 x

2 xy '

x 1

נצמצם ונקבל:

2

xx 1

2y '

x 1

2 2

x xx 1 1

2 2y '

x 1 x 1

נשווה את המונה לאפס ונפתור: x

1 02

x

1 0 x 2 x 42

נציב בפונקציה המקורית: 4 4

y 4 42 1x 1

כעת נציב את הערכים בטבלה:

9 4 2 1 0 .5 x

0 y '

. y

דת מינימום., ולכן זו נקו4 -וחיובית בתחום שגדול מ 4 -ל 0הנגזרת שלילית בתחום שבין

נוסיף את נקודת קצה התחום 0, מקסימום. 0

לסיכום: 4, מינימום, 4 0, .מקסימום 0

לפי הטבלה בסעיף ג': ד.

0 עבור יורדת הפונקציה x 1 1 או x 4

4 עבור עולה הפונקציה x

xלפי סעיף א', לפונקציה אסימפטוטה אנכית עבור: ה. 1

ו.

4

41

x

y

7פתרון שאלה

2נתון: Rס"מ 0 C O .

yהמלבן: פונקציית המטרה היא השטח של A B B C

Oנסמן את B ב- x.

Oממשפט פיתגורס במשולש B C :נקבל

2 2 2

O C O B B C

22 2

2 0 x B C

2B C 4 0 0 x

A -לב ש כעת, נשים D O B C O מכאן .A O B O :ולכן ,A B 2 B O 2 x

2מכאן שפונקציית המטרה היא: y 2 x 4 0 0 x

כעת נגזור ונמצא את השטח המקסימלי:

2

2

2 xy ' 2 4 0 0 x 2 x

2 4 0 0 x

נצמצם:

2

2

2

2 xy ' 2 4 0 0 x

4 0 0 x

2 22

2 2

2 4 0 0 x 2 x8 0 0 4 x

y '

4 0 0 x 4 0 0 x

נשווה לאפס ונפתור:

2

2

8 0 0 4 x0

4 0 0 x

28 0 0 4 x 0

24 x 800 : 4

2x 200

x 2 0 0

x כן:חייב להיות חיובי ול x 2 0 0

נראה שאכן קיבלנו מקסימום:

y " 8 x מן סי

מקסימום y " 2 0 0 8 2 0 0 0 מן סי

כעת נחשב את השטח המקסימלי:

y 2 0 0 2 2 0 0 4 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 4 0 0

4השטח המקסימלי הוא: 0 .סמ"ר 0

8פתרון שאלה

2

2 af ( x ) (a 0 )

x a

א.

2

2

2 2

2

f '( x a ) 1

2 af '( x ) 2 x

x a

4 a a1 ( 1)

( a a )

4 a1

2

a2

2

( a 0 )

( a 1)

( a 1) 4

a 1 2

a 1 2

a 3

תחום הגדרה: (1) ב.

2x 3 0

x 3

x (y = 0:)חיתוך עם ציר (2)2

60

x 3

x. 0אין נקודות חיתוך עם ציר 6

( a > 0)מתבטל שכן

a 1 2

a 1

או

y (x = 0:)חיתוך עם ציר 6

f (0 ) 20 3

(0 , 2 )

(3) 2 2

1 2 xf '( x )

( x 3)

1 2 x 0

x 0

m ax (0 , 2 )

yאסימפטוטה אופקית: (4) 0 .)החזקה הגבוהה ביותר במכנה גבוהה מזו שבמונה(

2 אסימפטוטה אנכית:x 3 0

x 3

g נתון: ג. ( x ) f ( x ) .

fנסרטט את גרף הפונקציה ( x ):

)-ב f(x) בפונקציה yמכיוון שכפלנו כל 1) כדי לקבל את(g(x) הרי ,)

, xיהיה מתחת לציר , כעתxמעל ציר f(x)שהתחום שבו הגרף של

303

x

y

, כעת יהיה מעליו:xמתחת לציר f(x)והתחום שבו הגרף של

ע"פ סעיף ג', הגרף המתאר נכונה את הפונקציה

g(x) (2) גרף הוא.

נתון: ד.

1 1

1

1

1 1

P '( x ) f ( x )

P ( x 1) b

P ( x 1) c

S 0 f ( x ) d x ( P '( x )d x P ( x )

P (1) P ( 1) P (1) P ( 1) c b

x

y