© כל הזכויות בשפה העברית שמורות, 2008לחמן הכנה לבחינות בע"מ

אין לשכפל, להעתיק, לצלם, להקליט, לתרגם, לאחסן במאגר מידע, לשדר או לקלוט בכל דרך או בכל אמצעי אלקטרוני, אופטי או מכני או אחר, כל חלק שהוא מהחומר שבספר זה. שימוש מסחרי מכל סוג

בחומר הכלול בספר זה אסור בהחלט, אלא ברשות מפורשת בכתב מהמו"ל.

נדפס בישראל 2008

שאלון 005

מיקוד במתמטיקהמהדורת חורף תשס"ט 2009

shemesh43@walla.co.il - כתיבה: זיקרי אלברט, שמש שלמה

אלברט זיקרי ושלמה שמש, מהמורים הידועים והמובילים למתמטיקה בישראל, מנהלים את תחום המתמטיקה בחברת לחמן ומגישים אלפי תלמידים לבחינות מדי שנה, בהצלחה מרובה.

השניים בעלי תארי מהנדס B.S.C., כותבים מגוון ספרי לימוד ותרגול במתמטיקה ובראשם סדרת התרגול "אוסף תרגילים ממוינים ע"פ נושאים" הידועה והמבוקשת.

הניסיון הרב של השניים מוביל את קו האיכות של ספרי המיקוד של לחמן במתמטיקה, אשר ידועים בקרב מורים ותלמידים בישראל כספרים המנבאים ומכינים באופן מקסימלי את התלמידים לבחינות.

הוצאת לחמן מודה על רשות השימוש שניתנה לקטעים המופיעים בחוברת זו.הערה: נעשה מאמץ מיוחד לאתר את כל בעלי הזכויות, לפעמים ללא הצלחה.

אנו מתנצלים על השמטה או טעות. אם יובא הדבר לידיעתנו, נפעל לתקנו

צוות עריכה מקצועית: ריטרבנד אוהד, נאות רז, מן מנחם, דוד ניר, ארביב עמוס, שטולבך

אירית, שניידר איתן, כהן רוני, פלד אולגה, גולברג קארין, אברג'יל עמי, שמש דקל, סובקו

אורית, כהן גת, חדד רועי, כוכבי דניאל, מליאנקר נירית, נאור יוסי

צוות עריכה והפקה: זיקרי אלברט, ליסוגורסקי מיכאל, פרחיה יבגני, זיקרי עינב

עיצוב עטיפה: פירמה

,בדרום הספר ובתי לחמן תלמידי לכל גדולה באהבה מוקדש !בבחינות הקרובות להצליח על מנת הנדרש אתכם את הידע לחלוק שמחים

!בהצלחה

!להצלחה אותך מאמנים – לחמן

הפיקה חברת לחמן , במסגרת שיתוף פעולה עם הטלויזיה החינוכית הישראלית–שימו לב

.ל" יח3סדרת שיעורים מצולמים ללימוד איכותי ומהנה לבחינת מתמטיקה

היכנסו ללינק שיעור פרטי במתמטיקה במיוחד , "מורה פרטי"לצפיה חינם בסדרת תכניות

!תהנו. שבדף הבית באתר לחמן, לתושבי קו העימות

˙„ÂÚ˙ ‡ÈˆÂ‰Ï È„Î ÏΉ ‰˘ÂÚ ‰˙‡¯ÂÎÊ˙˘ ·Â˘Á Ï·‡ ¨ ÈÈÂˆÓ ˙¯‚·μ∞•Ì‰ ‰ËÈÒ¯·ÈÂ‡Ï ‰Ï·˜‰ ȇ˙˘‰ÈÁ·‰ ÔÂȈ μ∞•≠ ˙¯‚·‰ ˙„ÂÚ˙

Æ˙ȯËÓÂÎÈÒÙ‰ÍÏ ˙ÂÎÁÏ È¯ËÓÂÎÈÒÙÏ Ô˙È˙ χ

˙Â˙Ï„‰ ÏΠÔÂÎÈ˙· Â˙‡ Á˜ ¨‰ÈÙ·ÆÍÈÙÏ ˙ÂÁÂ˙Ù

ÍÏ˘ ‡È˘· ‰˙‡ º

‰·¯‰ ÍÓˆÚÏ ÍÒÂÁ ‰˙‡ ¨ ‡¯· È¯Ë ÌÈ„ÂÓÈω ¯ÓÂÁ

Ư¯Á˘‰ „Ú ‰ÎÁ˙ ̇ ÚȘ˘‰Ï ͯˈ˙˘ ÔÓÊ ÌȈӇÓ

°¯˙ÂÈ ÌÈÁÈÏˆÓ ÔÓÁÏ· ÔÂÎÈ˙ È„ÈÓÏ˙ º

¯˙ÂÈ ÌÈÁÈÏˆÓ ÔÓÁÏ· ÔÂÎÈ˙ È„ÈÓÏ˙ ÈÎ ÌÈÁÈÎÂÓ Ìȯ˜ÁÓ

ÆÌÈÁ·‰ ¯‡˘ ¯˘‡Ó

˙ÈÓ„˜‡ ‰„Â˙Ú º

ÆȯËÓÂÎÈÒÙ ÔÂȈ ÌÈ·ÈÈÁ ‰„Â˙ÚÏ Ì˘¯È‰Ï ÌÈÏ˜Â˘‰ ÌÈ„ÈÓÏ˙

ȯËÓÂÎÈÒÙÏ ‰Î‰‰ ү˜ ˙‡ ÍÏ ‰ÚÈˆÓ ÔÓÁÏ

ı¯‡· ¯˙ÂÈ· ÈÚˆ˜Ó‰Â ÛȘӉ

¯˙ÂÈ· ÌÈÒÂÓ‰ ÌÈÎȯ„Ó‰ º

¯˙ÂÈ· ÌÈ΄ÂÚÓ‰ „ÂÓÈω ȯÓÂÁ º

ÌÈËÒÈÂÎÈ˙Ï „ÁÂÈÓ· ̇˙ÂÓ º

www.lachman.co.il˯Ëȇ· Ï‚¯˙ ºÔÂÎÈ˙· Íψ‡ ÌÈȘ˙Ó º

‰Ó„‡ ˙˜ÏÁ ÂËÙß‚ ‡·ÒÓ ÂȘÂÈ٠ϷȘ ¨Â˙„ω ÌÂÈ Ï‚¯Ï

ËÈÏÁ‰ ÂȘÂÈÙ ÆÌȯËÓ μ‰·Á¯ ÌȯËÓ ±∞‰Î¯Â‡˘

‰Î¯Â‡Ï ˙¯· ¯ÙÁ ÔÎÏ ¨·‰Ê ˙ÂÚ·ËÓ ‰˜ÏÁ· ÏÂ˙˘Ï

È˘‰Ó „Á‡ ßÓ ∞Æμ ˜Á¯Ó· ¨‰˜ÏÁ‰ Ï˘ ‰·Á¯ÏÂ

øÂȘÂÈÙ ¯ÙÁ ˙¯· ‰ÓÎ Æ®·Á¯Ï ͯ‡ϩ

≤∂¥ Æ¥ ≤≥± Æ≥ ≤∞∞ Æ≤ ±∞∞ Ʊ

∫Ì˙¯˙Ù ˙ÂÈ˘ ∂∞

ү˜‰ ¨ÔÂÎÈ˙ „ÈÓÏ˙ίÙÒ‰ ˙È·· ÍÏ ÚˆÂÓ°„ÁÂÈÓ ¯ÈÁÓ·

�

שאלון 005

סוף מעשה במחשבה תחילהתכנון יעיל ואפקטיבי מביא תוצאות טובות.

התכוננות לבחינה מחייבת ארגון תכנית עבודה, בה יש לקחת בחשבון מספר גורמים:

נתונים אישיים: .1

בדקו עצמכם, האם אתם ״טיפוסי יום״ או טיפוסי לילה״ - מתי אתם יעילים יותר? האם בלילה עד מאוחר, או בשעות

הבוקר המוקדמות. בכל אופן, יש להקפיד על ארוחות מסודרות ולא לוותר על מינימום של שעות שינה.

לבד או עם חברים? .2

כי יותר? לבד, באופן עצמאי, כי עם חברים מפטפטים ומבזבזים זמן, או בקבוצת לימוד, כיצד אתם לומדים טוב

בקבוצה יש אפשרות לשאול אחד את השני ולהסביר אחד לשני, וכך להבין טוב יותר את החומר.

יתכן שילוב בין השניים:

לימוד עצמי ראשוני - להכרה ושינון החומר. #

לימוד בקבוצה - לחזרה אחרונה ולחיזוק נקודות חלשות. #

חלוקת הזמן ליחידות לימוד והפסקות: .3

בדקו מניסיונכם בעבר, כמה זמן אתם מסוגלים ללמוד ולהיות מרוכזים ללא הפסקה. למשל, 50 דקות לימוד ו־ 10־5

דקות הפסקה.

הפסקות ושיטות התרגעות: .4

יש תלמידים שפעילות גופנית במשך מספר דקות ממריצה להם את הדם ועושה אותם יותר עירניים. #

יש אחרים שאכילה, שתייה או תנומה קצרה מאפשרים להם לחזור ללימוד אפקטיבי. #

באופן כללי חשוב לזכור: הפסקות הן מרכיב חשוב מאוד בתהליך הלימוד. עם זאת, הפסקות ארוכות מדי מוציאות

מן הריכוז.

שיטות לימוד: .5

רצוי מאד ללמוד בשיטות מגוונות כדי לשמור על הערנות.

חשובות נקודות לכתוב כדאי מכן לאחר במרקר. חשובים קטעים ולסמן החומר את לקרוא יש הראשונה בפעם

והערות לוואי. בפעם השלישית כדאי לקרוא רק את הקטעים המסומנים או את הנקודות שכתבתם.

כדאי לציין פרקים ונושאים לא ברורים ולחזור אליהם בלימוד משותף עם חברים.

חומר הלימודים: .6

לקראת כל בחינה גדולה כדאי להגדיר לעצמכם פרקים ונושאים ״קלים״ ונושאים ״קשים״ ומסובכים יותר.

מחקרים הוכיחו שזוכרים יותר את מה שלומדים בתחילת הלימוד ובסופו, וזוכרים פחות את מה שבאמצע הלימוד.

על כן כדאי להתמקד באמצע תהליך הלימוד דווקא בפרקים הקלים לנו יותר, אלו שאנו שולטים בהם באופן יחסי.

בחומר הקשה כדאי להתמקד בתחילת הלימוד לקראת הבחינה ובסופו.

אילוצי זמן: .7

מאחר ואנו מוגבלים בזמן העומד לרשותנו ללימוד לקראת הבחינה, רצוי מאד שנתכנן מראש חלוקה יעילה ואפקטיבית של

הזמן כדי שנספיק לעבור על כל החומר. ניתן לעשות זאת באמצעות:

חלוקת החומר כולו לנושאי משנה. .1

קביעת סדר הלימוד מראש. .2

החלטה מראש כמה זמן יוקדש לכל פרק )ימים, שעות(. .3

תכנון מוקפד של סדר היום: ארוחות, שינה, שעות לימוד עצמי, שעות לימוד בקבוצה. .4

חשוב לזכור: יש להחליט החלטה עקרונית, מה עושים במקרה שלא מספיקים לסיים ללמוד פרק ביחידת הזמן שהקצבתם.

האם להמשיך וללמוד פרק זה על חשבון הזמן של הפרק הבא, או להיצמד לתוכנית ולהבטיח חזרה מסודרת ושיטתית על

כל הפרקים והחלקים של החומר.

קשיים ואילוצים אובייקטיביים־חיצוניים: .8

בנוסף לנתונים האישיים ולקשיים של חומר הלימודים, אנו נתקלים גם בקשיים חיצוניים, כמו עבודה, אחריות למשפחה

וכו׳. קשיים אלה עלולים להקשות ולהפריע בביצוע תכנית ההכנה למבחן המתוכננת מראש.

גם כשנוצר קושי חיצוני, אסור לבטל את התכנית כולה. יש לערוך התאמה מחדש לאור האילוצים החדשים ולקבוע מחדש

סדרי עדיפויות ותכנית פעולה מסודרת.

לחץ התרגשות והרפיה: .9

אחד החששות המלווים כל נבחן הוא הפחד שמא כל מה שלמד יישכח וייעלם מהזיכרון בזמן המבחן )״בלק אאוט״(.

כיצד אפשר להפחית את הסיכוי להגיע למצב של שכחה בזמן המבחן?

ללימוד מתוכנן, שיטתי ורגוע, כפי שהוצע בסעיפים הקודמים, יש השפעה על ההרגשה הטובה והבטוחה בבחינה. .1

רצוי לא ללמוד בערב האחרון לפני הבחינה כדי להגיע למבחן רגוע ושלו. .2

נעלם כש״הכל במבחן, היטב. מכירים אתם שאותם חשובים, משפטים או נוסחאות, מספר פתק על לרשום כדאי .3

מהזיכרון״, הזכירו לעצמכם משפטים אלה, וכך בדרך אסוציאטיבית החומר יחזור לזיכרונכם.

הערה לסיום:

חשוב מאד לזכור - המבחן שלקראתו אתם מתכוננים, הוא חשוב מאד. אבל תמיד יש ״אחרי המבחן״: חשבו על מה שתעשו

אחרי המבחן וקחו הכל בפרופורציה נכונה. זה לא ״סוף העולם״. זכרו שרבים עשו את המבחן לפניכם ונשארו בחיים.

ועכשיו, אחרי כל המלים הגדולות הגיע הזמן לפתוח את הספרים ואת המחברות ולהתחיל ללמוד.

ב ה צ ל ח ה ! ! !

�

שאלון 005

הוראות מיוחדות לנבחן

חומר עזר מותר בשימוש: .1

מחשבון לא גרפי. אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות. א.

שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לפסול את הבחינה.

דפי נוסחאות מצורפים. ב.

יש לרשום את הבחינה בעט בלבד. רישום הבחינה בעיפרון או שימוש בנוזל מחיק יגרום .2

לאי מתן ערעור לאחר הבחינה.

אל תעתיק את השאלה, סמן את מספרה בלבד. .3

התחל כל שאלה בעמוד חדש. רשום במחברת את שלבי הפתרון, גם כאשר החישובים מתבצעים .4

בעזרת מחשבון.

הסבר את כל פעולותיך, כולל חישובים, בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת. חוסר פירוט עלול .5

לגרום לפסילת הבחינה או לפגיעה בציון.

כטיוטה יש להשתמש רק במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים. שימוש בטיוטה .6

אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה.

: היכנסו לאתר של

www.lachman.co.il

# עדכונים חמים

# מבחני סימולציה מסכמים יעלו באתר 4 ימים לפני בחינת הבגרות!

תוכן עניינים

חקירת משוואות עם פרמטר............................................................................. עמוד 14

חקירה ריבועית..................................................................................................... עמוד 18

סדרה חשבונית..................................................................................................... עמוד 31

................................................................................................. עמוד 35 חפיפת משולשים

דימיון משולשים.................................................................................................... עמוד 55

..................................................................................... עמוד 66 הסתברות מותניית-בייס

הסתברות ברנולי.................................................................................................. עמוד 76

הסתברות בחיי היום יום...................................................................................... עמוד 86

מבחנים................................................................................................................... עמוד 98

נוסחאון

...................................................................................................... עמוד 25 נוסחאות וייטה

בייס משולב עם ברנולי....................................................................................... עמוד 82

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 11

005שאלון מספר

005 שאלון

.שעתיים :הבחינה משך

: הבחינה מבנה

וסדרות אלגברה :'א פרק

.שתיים מתוך אחת שאלה

).הסתברותית חשיבה או קלאסית הסתברות (והסתברות גיאומטריה: 'ב פרק

לע רק או קלאסית בהסתברות שאלות על רק לענות יכול תלמיד, לב שימו( שלוש מתוך שאלות שתי

).הנושאים משני שאלות על ולא, הסתברותית בחשיבה שאלות

:השאלוןהמבנה המשוער של

)6-7שאלות ( )5-3שאלות ( )1-2שאלות (

סדרה חשבונית –סדרות

וויטה + חקירה ריבועית, שוויונים אי

.חקירת משוואה ממעלה ראשונה

הסתברות קלאסית

חפיפת משולשים

דמיון משולשים

היום יוםהסתברות בחיי

:שלהלן בטבלה מפורטים והניקוד הזמן משך

ניקוד משוקלל ניקוד סמל זמן סיום משך זמן התחלה בחינה

100 35005 17:30 שעתיים 15:30 005 ח"י 5 33%

ח" י4 34%

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 12

רשימת הנושאים לשאלון 03005 שאלון 005

אלגברית טכניקה .1

ידי על אפשר (הטרינום פירוק. המקוצר הכפל נוסחאות פי על, משותף גורם הוצאת ידי על: לגורמים פירוק

, אלגבריים בשברים חשבון לפעולות לגורמים הפירוק שימושי). המתאימה הריבועית המשוואה פתרון

. שוויונים-ואי לפתרון משוואות

. פרמטרים עם ושנייה ראשונה ממעלה משוואות פתרון

מספר לבין הפרמטר ערכי בין הקשר ,שניים או אחד ופרמטר משתנים שני עם ליניאריות משוואות מערכת

. הפתרונות מספר של הגרפית המשמעות). פתרון אף, פתרונות אינסוף, יחיד פתרון (הפתרונות

ששתיהן משוואות מערכת חקירת תידרש לא. פרמטרים עם, היותר לכל, שנייה ממעלה משוואות מערכת

.)'וכד הפתרונות מספר (יהישנ ממעלה

.רציונליות-אי משוואות). ריבועית-דו משוואה כמו (הצבה ידי על הנפתרות משוואות

פתרון להידרש כולי לדוגמה. (פרמטר בלי או עם שנייה ממעלה שוויונים אי. ראשונה ממעלה שוויונים-אי

). מסוים לישר מתחת/מעל או, חיובית / שלילית הפונקציה עבורם הפרמטר ערכי מהם :לשאלה

). השורשים סימני של בהקשר רק (ויאטה נוסחאות

0 מהצורה שוויונים- לאי להגיע ניתן שמהם שוויונים אי – פרמטרים ללא רציונליים שוויונים-אי)x(g

)x(f≥

.היותר לכל, שנייה ממעלה פולינומים הם g(x)או/ו f(x) כאשר

גיאומטריה אוקלידית .2

וחוצה האמצעי האנך, מרובעים, משולשים של תכונות: והוכחות םמשפטי). משפטים 4 (משולשים תחפיפ

.פיתגורס משפט .המעגל תכונות, גיאומטריים כמקומות זווית

. קטעים בין פרופורציה: דמיון

)מלאה הוכחה ללא (פרופורציוניים קטעים יוצרים זווית החותכים מקבילים ישרים שלושה: המשפט

. חיצונית וחלוקה יתפנימ חלוקה, נתון ביחס קטע חלוקת

.)חיצונית וזווית פנימית זווית. (הזווית חוצה משפט

.)הגדרה (מצולעים דמיון

.)המשפטים הוכחות תידרשנה לא (משולשים של הדמיון משפטי שלושת

ומעגלים חוסמים מעגלים ורדיוסי גבהים, זווית חוצי, תיכונים, היקפים בין דומים במשולשים היחס

.דומים משולשים שטחי בין היחס. חסומים

)הוכחה תידרש לא (דומים במצולעים שטחים בין והיחס היקפים בין היחס

משולשים לשני המשולש את מחלק ליתר הגובה: משפטים. זווית ישר במשולש פרופורציוניים קטעים

ומטריגיא ממוצע הוא הניצב. היתר על הניצבים היטלי של גיאומטרי ממוצע הוא ליתר הגובה. לו הדומים

.היתר על הניצב והיטל היתר של

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 13

חותכים שני, חיצונית מנקודה ומשיק חותך. במעגל נחתכים מיתרים. במעגל פרופורציוניים קטעים

.למעגל חיצונית מנקודה היוצאים

.בלבד אוקלידית גיאומטריה של בשיטות להוכיח יש אוקלידית בגיאומטריה שאלות: הערה

סדרות .3

.נסיגה נוסחת ולפי מקום ילפ כלליות סדרות

.סכום, כללי איבר –) נסיגה נוסחת לפי הגדרה כולל (חשבונית סדרה

.סכום, כללי איבר –) נסיגה נוסחת לפי הגדרה כולל (ואינסופית סופית הנדסית סדרה

.מעורבות סדרות ,מחזוריים שברים

הסתברות .4

:קלאסית הסתברות . א

מאורעות, תלויים בלתי מאורעות, ההסתברות חוקי, סופי הסתברות מרחב, אקראיות

).ועצים טבלאות (שלבי ותלת שלבי-דו מרחב ,בייס נוסחת, מותנית הסתברות, תלויים

). ברנולי נוסחת (בינומית התפלגות

. הבינומית ההתפלגות לצורכי רק קומבינטוריקה ללמד יש: הערה

:יום היום בחיי הסתברותית חשיבה . ב

,בייס נוסחתו מותנית פרופורציה, הפרופורציות חוקי, ולוחות מיונים

.יציגות פי על שיפוט, סיבתי וקשר סטטיסטי קשר

9200 ט" תשסחורף הנושאים המודגשים ירדו במיקוד: הערה

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 14

:1שאלה מספר

.ות ממעלה שנייה פרמטר ופתרון מערכת משוואםפתרון משוואות ממעלה שנייה ע: צפויה להישאל בנושא

טיפ

ביטוי אשר מתפרק לנוסחאות הכפל המקוצר שורש -כלל נקבל בתוך ה-בדרך

aידי נוסחאות -על + b( a או 2( − b( )2.

:1דוגמא מספר

x2 :פתרו את המשוואה + x m − 5n( )− 4n m− n( ) = 2m2 + 3mn

:פתרון

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1,2

2 2 2 2

22 2

x x m 5n 4n m n 2m 3mn

x mx 5nx 4nm 4n 2m 3mn

x mx 5nx 4n 4nm 2m 3mn 0

x x m 5n 4n 2m 7mn 0

m 5n m 5n 4 1 4n 2m 7mnx

2

m 5n m 10mn 25n 16n 8m 28mn

2

m 5n 3m 3nm 5n 9m 18mn 9n

2 2

m

+ − − − = +

+ − − + = +

+ − + − − − =

+ − + − − =

− − ± − − ⋅ ⋅ − −=

− − ± − + − + +=

− + ± +− + ± + += =

−=

( ) ( ) 1

2

m 5n 3m 3n 2m 8nx m 4n5n 3m 3n 2 2

m 5n 3m 3n 4m 2n2x 2m n

2 2

− + + + += = = ++ ± +

⟨− + − − − +

= = = − +

2: תשובה 1x 2m n , x m 4n= − + = +.

נוסחאות וכללים

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 15

:2דוגמא מספר

:פתרו את מערכת המשוואות הבאה

y + 3mx = 4m2

y5x

= x + m

:פתרון

2

2

I y 3mx 4m

yII x m

5x

I y 4m 3mx

+ =

= +

= −

II -ב Iנציב

( )

( ) ( )

2

2

2 2

2 2

2 2 2 2

1,2

1

2

2 2 2 21

22

4m 3mxx m / 5x 0

5x

4m 3mx 5x x m

4m 3mx 5x 5mx

5x 8mx 4m 0

8m 8m 4 5 4m 8m 64m 80mx

2 5 108m 12m 2

x m8m 12m 10 5

8m 12m10x 2m

22 2

x m y 4m 3m m 4m 1.2m 2.8m5 5

x 2m y 4m 3m 2

−= + ⋅ ≠

− = +

− = +

+ − =

− ± − ⋅ ⋅ − − ± += =

⋅− +

= =− ±

= ⟨− −

= = −

= ⇒ = − ⋅ = − =

= − ⇒ = − −( ) 2m 10m=

): תשובה )2 22m,2.8m , 2m,10m

5 −

.

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 16

:3דוגמא מספר

:פתרו את מערכת המשוואות הבאה

x2 − y = −4 − 3m

5x − y + m2 = 0

:פתרון

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2 2

2 2

2 2

1,2

22

1

2

1

x y 4 3m

5x y m 0 / 1

x y 4 3m

5x y m 0

x 5x m 4 3m

x 5x m 3m 4 0

5 25 4 1 m 3m 4 5 25 4m 12m 16x

2 2

5 2m 35 4m 12m 9

2 25 2m 3 2m 2

x m 15 2m 3 2 25 2m 3 2m 82

x m 42 2

x m 1 y

− = − −

− + = ⋅ −

− = − −+

− + − =

− − = − −

− − + + =

± − ⋅ ⋅ − + + ± + − −= =

± −± − += =

+ − += = = +± −

= ⟨− + − +

= = = − +

= + ⇒ = ( )( )

2 2 2

2 2 22

5x m 5 m 1 m 5m 5 m

x m 4 y 5x m 5 m 4 m 5m 20 m

+ = ⋅ + + = + +

= − + ⇒ = + = − + + = − + +

): תשובה ) ( )2 2m 1,m 5m 5 , m 4,m 5m 20+ + + − + − +.

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 17

:שאלות נוספות

x2 :פתרו את המשוואה . 1 + x 2 − a( )+ a + 2b( )⋅ a − 2b( ) = x a+ 2( )

:פתרו את המשוואה . 2

2m − x + 8m + 2 =

8x

:פתרו את מערכת המשוואות הבאה . 3

m + 1y +

m − 1y − 2 = 2

y = x + 2

:תשובות

.1 x = a − 2b ,x = a + 2b

.2 x = 2m + 4 ,x = 4

.3 −1,1( m או ( −1,m+ 1( )

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 18

:1שאלה מספר .חקירה ריבועית: צפויה להישאל בנושא

ax2 + bx + c = 0

2

1,2

b b 4acx

2a

− ± −=

∆ = b2 − 4ac

a ⇔ שני שורשים ממשיים שונים ≠ 0, ∆ > 0

a ⇔ שני שורשים ממשיים מתלכדים ≠ 0, ∆ = 0

a ⇔ שני שורשים ממשיים ≠ 0, ∆ ≥ 0

a ⇔ אין שורשים ממשיים ≠ 0, ∆ < 0

ax2 + bx + c> x ⇔ a לכל 0 > ∆ וגם 0 < . ובדיקת המקרה של קו ישר0

ax2 + bx + c< x ⇔ a לכל 0 < ∆ וגם 0 < . ובדיקת המקרה של קו ישר0

טיפ

.ישר קו של המקרה את לבדוק יש, קבוע אינו x2 של המקדם כאשר

נוסחאות וכללים

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 19

:1דוגמא מספר

2y: נתונה הפונקציה (m 2)x 8x m 4= + + + −.

.x- נמצא כל גרף הפונקציה מעל ציר הmמצא עבור אילו ערכים של

:פתרון

פרבולה משוואת (ונקציה מינימום צריך להיות לפ, x-בכדי שגרף הפונקציה יהיה כולו מעל ציר ה

"). מחייכת"

. יהיה חיובי2xזה יקרה כאשר המקום של

(1) m 2 0 m 2+ > ⇒ > −

m)2:כמו כן דרוש שלמשוואה 2)x 8x m 4 0+ + + − . לא יהיה פתרון=

.x-הפרבולה אינה חותכת את ציר ה, כלומר

2 2

2 2

2

1,2

(2) 0

(2) b 4ac 0 8 4(m 2)(m 4) 0

64 4(m 2)(m 4) 0 ; 16 (m 2)(m 4) 0

16 m 4m 2m 8 0 ; m 2m 24 0

m 2m 24 0

62 4 4 ( 24) 2 10

m2 2

4

∆ <

− < → − + − <

− + − < − + − <

− + − + < − + + <

− − >

± − ⋅ − ±= =

−

ր

ց

m 4< m או − 6>

. נשתמש בגרףm>-4: אוm<6) 2( ותנאי m<- 2) 1(למציאת החיתוך של תנאי

a : של קו ישרמקרה 0 m 2 0 m 2= ⇒ + = = −

( ) 2y 2 2 x 8x 2 4= − + + + − −

y 8x 6= . לכן לא מתקייםx לא קו שמקביל לציר −

.m < 6 :תשובה

m

6 0 2- 4-

m

6 4- −

+ +

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 20

:2דוגמא מספר

2k(x: יש למשוואהkעבור אילו ערכים של 1) x k+ = ? שונים שני שורשים ממשיים−

:פתרון

2

2

2

2

2

k(x 1) x k

kx k x k

kx k x k 0

kx x 2k 0

a k , b 1 , c 2k

a 0 k 0

0 , b 4ac 0

+ = −

+ = −

+ − + =

− + =

= = − =

≠ ⇒ ≠

∆ > ⇒ − >

: נציב את הנתונים2

2

(-1) - 4k(2k) > 0

1 - 8k > 0

: נפתור את המשוואה

2

2

1 - 8k = 0

8k =1

1k

8= ±

k בצירוף "בוכה"נצייר את הפתרונות על פרבולה 0≠:

: נקבל1

k 08

− < או >1

0 k8

< <

: תשובה1

k 08

− < או >1

0 k8

< <

k

1

8

1

8−

+

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 21

:3דוגמא מספר

:נתונות שתי פונקציות

2

2

f (x) mx mx 1

g(x) 3x (m 4)x (3 2m)

= + −

= + − + −

fהפונקציה , mעבור אילו ערכים של (x) גדולה מהפונקציה ( )g x עבור כל ערך של x ?

:פתרון

( ) 2

2

f x mx mx 1

g(x) 3x (m 4)x (3 2m)

= + −

= + − + −

fהפונקציה (x) גדולה מהפונקציה g(x)כאשר מתקיים :

:לי הוא מהסוג הגרפי של האגף השמארכאשר התיאו, xאי השוויון מתקיים לכל

): נקבל) 1(מתוך תנאי )1 m 3>

):2(נפתח עתה את תנאי מספר 4 /:( )2 16 4(m 3)(2m 4) 0− − − <

24 2m 4m 6m 12 0− + + − <

)2- /:(22m 10m 8 0− + − <

. הסימןמשתנה, כשמחלקים אי שוויון במספר שלילי, כידוע2m 5m 4 0− + >

: הגרפי של האגף השמאלי של אי השוויון הוארהתיאו

:ידי פתרון המשוואה- עלB- וAנמצא את שיעורי הנקודות 2m 5m 4 0− + =

1

2

m 4

m 1

=

=

5 25 16m

2

± −=

2 2

2 2

2

f (x) g(x) 0

mx mx 1 3x (m 4)x (3 2m) 0

mx mx 1 3x mx 4x 3 2m 0

(m 3)x 4x 2m 4 0

− >

+ − − − − − − >

+ − − − + − + >

− + + − >

( )( )1 m 3 0

2 0

− >

∆ <

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 22

m: פתרון אי השוויון הוא m או <4 1<.

) .2(וזהו התחום שבו קיים תנאי מספר

mקיים כאשר ) 1(תנאי מספר 3>.

m: מכאן ששני התנאים גם יחד מתקיימים בתחום 4>.

m :מקרה של קו ישר 0=

( ) 2

m 3 0

m 3

y 3 3 x 4x 2 3 4

− =

=

= − + + ⋅ −

y 4x 2= .לא מתקיים המקרה של קו ישר. x קו ישר שלא מקביל לציר +

fונקציה הפ: תשובה (x) גדולה מהפונקציה g (x)בתחום :m 4>.

1 4

+ -

+

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 23

:4דוגמא מספר

:לפניך האי שוויון2

2

3x 12x 362

x mx 6

− −≤

+ − )mהוא פרמטר .(

xידוע כי האי שוויון אינו מוגדר עבור .א 2= −. .mמצא את

.ופתור את האי שוויון, שמצאת בסעיף אmהצב את .ב

:פתרון

.א

2x mx 6 0

4 2m 6 0

2 2m 0

2 2m

m 1

+ − =

− − =

− − =

− =

= −

.ב

( )

( )( )

2

2

2 2

2

222

2

2 2

3x 12x 362 0

x x 6

3x 12x 36 2x 2x 120 x 2 ; x 3

x x 6

x 10x 240 / x x 6

x x 6

x 10x 24 x x 6 0

x 12 ; x 2 ; x 3

− −− ≤

− −− − − + +

≤ ≠ − ≠− −

− −< − −

− −

− − − − ≤

= = − =

2

2

x 3 2 0 3 4 12 13

3 x 12x 10x 240

x x 6

− −

⇒ < ≤− −+ + − +

− −

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 24

:שאלות נוספות

y: נתונה משפחת פונקציות .1 = 9m− 5( )x2 + 2 + 2m( )x + 1) mפרמטר .(

? בשתי נקודות שונותx - חותך גרף הפונקציה את ציר הmעבור אילו ערכי .א

?x - נמצא גרף הפונקציה כולו מעל ציר הmעבור אילו ערכי .ב

2y: נתונה הפונקציה .2 x (m 5)x 3m 7= − + + +

:mמצאו עבור אילו ערכי

. בשתי נקודות שונותx - גרף הפונקציה חותך את ציר ה .א

yגרף הפונקציה נמצא כולו מעל הישר .ב x 3= − +

.'אי שבסעיף בוגם התנ' מתקיימים גם התנאי שבסעיף א .ג

: אין פתרון למשוואהmמצאו עבור אילו ערכי .א .3

( ) ( )2 2m 2 , 4 m x 4 2m x 5 0≠ ± − − + − =

:נתונה הפרבולה .ב ( ) ( )2 2m 2 , y 4 m x 4 2m x 5≠ ± = − − + −

?x -ה גרף הפרבולה נמצא כולו מתחת לציר: כלומר, x הפרבולה שלילית לכלm עבור אילו ערכי

:תשובות

m .א 1. או<65 5

m , m 19 9

< < <

1 .ב m 6< <

m .א 2. m או <3 1< −

0 .ב m 4< <

3 .ג m 4< <

m .א 3. > m או 3 < −2

m .ב > m או 3 < −2

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 25

:1שאלה מספר

.נוסחאות וייטה: צפויה להישאל בנושא

:נוסחאות וייטה

השורשים

תכונות שווי סימן שליליים חיוביים שוני סימן

תנאים

a ≠ 0 וגםca < 0

a ≠ 0 וגם

∆ > 0 וגם

−ba > 0

וגםca > 0

a ≠ 0 וגם

∆ > 0 וגם

−ba < 0

םוג

ca > 0

a ≠ 0 וגם

∆ > 0 וגםca > 0

:1דוגמא מספר

2: נתונה הפונקציה m 2 1y mx x

m 4 m

+= − +

−

?x - יש לפונקציה שתי נקודות חיתוך שונות עם ציר הmעבור אילו ערכים של .א

?מימין לראשית הצירים , x - יש לפונקציה שתי נקודות חיתוך שונות עם ציר הmר אילו ערכים של עבו .ב

:פתרון

. א

ה הבאה צריכים להיות אלמשוו, x -בכדי שלגרף הפונקציה הנתון יהיו שתי נקודות חיתוך עם ציר ה

2:שני פתרונות m 2 1mx x 0

m 4 m

+− + =

−

: פתרונות צריכים להתקיים שלשה תנאיםבכדי שלמשוואה יהיו שני

m: המשוואה היא ממעלה שנייה. 1 0≠

m: המכנה שונה מאפס. 2 4 0 m 4− ≠ → ≠

b 20: למשוואה שני פתרונות. 3 4ac 0∆ > → − >

נוסחאות וכללים

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 26

:שינפתור את התנאי השלי 20 b 4ac 0∆ > → − >

mנזכור כי (המכנה תמיד חיובי .לכן הביטוי גדול מאפס כאשר המונה גדול מאפס). 2' תנאי מס- ≠42

2

3m 36m 60 0 /:-3

m 12m 20 0

− + − >

− + <

, וי לאפסנשווה את הביט. הוא פרבולה בעלת מינימוםיוןוושההתיאור הגרפי של האגף השמאלי של אי

. B -ו Aלמציאת נקודות החיתוך 2

1 2

m 12m 20 0

m 10 , m 2

− + =

= =

2: הביטוי קטן מאפס בתחום m 10< m: אך נזכור כי, > : ואז התחום המבוקש הוא, ≠4

4 m 10 , 2 m 4< < < <

. ב

צריכים להתקיים כל התנאים של , בכדי ששתי נקודות החיתוך תהיינה מצד ימין של ראשית הצירים

: ובנוסף לכך', סעיף א

1 2

c(1) x x 0 0

a⋅ > → >

1 2

b(2) x x 0 0

a

−+ > → >

: 1לגבי תנאי מספר 2

c 1 10

a m m m= = >

⋅הביטוי ,

2

1

m שונה מאפסm גדול מאפס לגבי כל

: 2לגבי תנאי מספר b m 2

0a (m 4)m

− += >

−m(m: אי שוויון זה מתקיים כאשר, 4)(m 2) 0− + >

: התיאור הגרפי של האגף השמאלי נראה כך

2: אי השוויון מתקיים בתחומים m 0 , m 4− < < >.

ולכך ששני הפתרונות יהיו ) 'חושב בסעיף א(ום המשותף לכך שיהיו שני פתרונות נמצא עתה את התח

4: התחום המשותף): 'סעיף ב(חיוביים m 10< <

4 0 2-

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 27

:2דוגמא מספר

y: נתונה הפונקציה = (4m+ 2)x2 − 8mx + 20m+ 6.

:ונות בשתי נקודות שx - חותכת הפונקציה את ציר הmמצאו לאילו ערכי

.הנמצאות משני צידי הראשית .א

.הנמצאות מימין לראשית .ב

:פתרון

.א ( ) 2y 4m 2 x 8mx 20m 6= + − + +

היא ששורשי , בשתי נקודות שונות הנמצאות משני צידי הראשיתxהכוונה לחיתוך ציר

.המשוואה יהיו שוני סימן

( )

( )( )

2c 20m 60 0 / 4m 2

a 4m 220m 6 4m 2 0

0.5 m 0.3

+< ⇒ < ⋅ +

++ + <

− < < −

.ב

בשתי נקודות שונות הנמצאות מימין לראשית הצירים לכן שורשי xר הכוונה לחיתוך צי

.המשוואה יהיו חיוביים

I a 0≠

וגם

II ∆ > 0

וגם b

III 0a

−>

וגם c

IV 0a

>

I a 0 4m 2 0 m 0.5≠ ⇒ + ≠ ⇒ ≠ −

-0.5 -0.3

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 28

( ) ( ) ( )( )

( )

2

2

2 2

2 2

2

2

II

b 4ac 0

8m 4 4m 2 20m 6 0

64m 4 80m 24m 40m 12 0

64m 320m 96m 160m 48 0

256m 256m 48 0 / : 16

16m 16m 3 0

∆ > 0

− >

− − ⋅ + ⋅ + >

− + + + >

− − − − >

− − − > −

+ + <

2

1

1,2

2

16m 16m 3 0

24 3m

16 256 4 16 3 16 8 32 4m8 12 16 32

m32 4

3 1m

4 4

+ + =

− −= =

− ± − ⋅ ⋅ − ±= = ⟨

− −⋅= =

− < < −

( )

( )

2b 8mIII 0 0 / 4m 2

a 4m 28m 4m 2 0

−> ⇒ > ⋅ +

++ >

m 0.5< m או − 0>

( )

( )( )

2c 20m 6IV 0 0 / 4m 2

a 4m 220m 6 4m 2 0

+> ⇒ > ⋅ +

++ + >

m 0.5< m או − 0.3> −

נמצא את התחום המשותף

: תשובה 3 1

m4 2

− < < −

-0.75 -0.25

- 0 .5 0

-0.5 -0.3

-0.25 -0.3 -0.5 -0.75 0

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 29

:3דוגמא מספר

): נתונה המשוואה ) ( )2 24 x x x 3m 1 m 3 0+ + + + + = .

.אה לפחות שורש ממשי אחד יש למשווmמצאו עבור אילו ערכים של .א

.הוכיחו שלא יכולים להיות למשוואה שורשים שוני סימן .ב

פתרון

.א

( ) ( )2 24 x x x 3m 1 m 3 0+ + + + + =

:תחילה נסדר את המשוואה

( )

2 2

2 2

4x 4x 3mx x m 3 0

4x x 3m 5 m 3 0

+ + + + + =

+ + + + =

aלפחות שורש ממשי אחד 0≠ ∆0 וגם ⇐ ≥ I a 0

4 0

≠

≠

mלכל

( ) ( )

( )

2

2 2

2 2

2

2

II 0

b 4ac 0

3m 5 4 4 m 3 0

9m 30m 25 16m 48 0

7m 30m 23 0 / : 1

7m 30m 23 0

∆ ≥

− ≥

+ − ⋅ ⋅ + ≥

+ + − − ≥

− + − ≥ −

− + ≤

: תשובה 2

1 m 37

≤ ≤.

.ב

שוני סימן c

0a

<

2

2

2

m 30 / 4

4m 3 0

m 3

+< ⋅

+ <

< −

2mלא יתכן 3< 2m כי − 0≥

.ל.ש.מ

1 23

7

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 30

:לות נוספותשא

4x2: נתונה המשוואה .1 + 3m+ 5( )x + m2 + 3 = 0.

. יש למשוואה לפחות שורש ממשי אחדmמצאו עבור אילו ערכים של .א

.הוכיחו שלא יכולים להיות למשוואה שורשים שוני סימן .ב

y: נתונה הפונקציה .2 = x2 + 1− m( )x + 4 − m( ).

? בשתי נקודות שונותx - גרף הפונקציה חותך את ציר הmאילו ערכי עבור .א

?x -נמצאות בחלק החיובי של ציר ה' שתי נקודות החיתוך שבסעיף אmעבור אילו ערכי .ב

y :נתונה הפונקציה .3 = (2m+ 1)x2 − (10m− 7)x + 2(2m− 1).

? נקודה משותפת אחת בלבדx - יש לגרף הפונקציה ולציר הmלאילו ערכי .א

. שמצאתם בסעיף אmמצאו את הנקודה המשותפת לכל הערכים של .ב

y: נתונה הפונקציה .4 = (15m− 4)x2 + 2(5m− 2)x + 5m− 2.

: נקודות שונות בשתיx - חותכת הפונקציה את ציר הmמצאו לאילו ערכי

.הנמצאות באותו צד של הראשית .א

.הנמצאות משמאל לראשית .ב

:תשובות

1 .א 1. ≤ m ≤ 32m .א 3. 7 = 1.5 , m=

1934 , m = −

12

,1) .ב .הוכחה .ב 0) , (−13, 0) , (

13, 0)

m .א 2. > m או 3 < >0.2 .א .4 5− m <4

15

3 .ב m 4< >0.2 .ב > m <4

15

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 31

:2שאלה מספר .סדרה חשבונית: צפויה להישאל בנושא

:1דוגמא מספר

. האברים הראשוניםn מסכום 4סכום כל איברי הסדרה גדול פי . אבריםn2בסדרה חשבונית יש

.מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת הפרש הסדרה. 87 הוא 15- האיבר ה

: פתרון

2n: נתון n 15s 4s ,a 87= =

1a: דרוש ,d.

n: נוסחת האיבר הכללי 1a a (n 1)d= + −

187 a 14d= +) 1(

]: נוסחת הסכום ]n 1

ns 2a (n 1)d

2= + −

2n: לפי הנתון ns 4s=) 2(

( ) ( )1 1

2n n2a 2n 1 d 4 2a n 1 d / : n

2 2+ − = + −

( ) ( )1 12a 2n 1 d 2 2a n 1 d+ − = + −

( )1 12a 2nd d 2 2a nd d+ − = + −

1 12a 2nd d 4a 2nd 2d+ − = + −

12a d 0− =) 2(

1d 2a=

187 a 14d= +) 1(

1 187 a 14 2a= + ⋅

1 187 a 28a= +

1 129a 87 a 3= → =

1d 2a 2 3 6= = ⋅ =

1d :תשובה 6,a 3= =

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 32

:2 מספר דוגמא

,68: ת עולהנתונה סדרה חשבוני 62,...,100− −

. הראה כי בסדרה אין איבר השוה לאפס) 1( .א

?מהו המקום של האיבר הראשון בסדרה הגדול מאפס) 2(

.מצא כמה אברים חיוביים יש בסדרה .ב

:פתרון

,68 )1( .א 62,...,100− −

2: הפרש הסדרה 1d a a 62 ( 68) 62 68 6= − = − − − = − + =

: כמו כן נתון

1a 68= −

.נמצא את מספרו הסידורי בסדרה. נניח שקיים איבר השווה לאפס

n 1a a (n 1)d

0 68 (n 1) 6

68 6n 6

6n 68 6 74

74 1n 12

6 3

= + −

= − + − ⋅

= −

= + =

= =

ל.ש.מ. ומכאן שלא קיים בסדרה איבר השווה לאפס, קיבלנו מספר סידורי לא שלם

מקומו הסידורי היה , אילו היה קיים איבר השווה לאפס )2( 1

123

, כיוון שהסדרה היא סידרה עולה.

.13: המקום של האיבר הראשון השונה מאפס הוא

n :תשובה 13=.

:נמצא את מקומו של האיבר האחרון בסדרה. ב

( )( )

n 1a a n 1 d

100 68 n 1 6

100 68 6n 6

6n 100 68 6 174

= + −

= − + − ⋅

+ = −

= + + =

n 29=

.13: מקומו הסידורי של האיבר החיובי הראשון בסדרה הוא

.12פוא דרה הוא אמספר האיברים השליליים בס

.29: מקומו הסידורי של האיבר החיובי האחרון

. איברים29 לבסדרה יש סך הכו, לכן

29: מספר האיברים החיוביים 12 17− =.

.רים חיוביים איב17 :תשובה

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 33

:שאלות נוספות

24x מהווה הסדרה xעבור אילו ערכים של .1 x+ , 22x x+ , 5x ? סדרה חשבונית+6

.מצאו את אברי הסדרה עבור כל אחד מהערכים האלה

:תשובה

x 1= -3, -1,1: הסדרהאברי. −

x 60, 48, 36: אברי הסדרה. =6

בסדרה זו איברים חיוביים . -6והפרש הסדרה הוא , 100האיבר הראשון בסדרה חשבונית הוא .2

.ושליליים

יש לחבר כדי שסכומם , החל בראשון, ל"איברים עוקבים של הסדרה הנ, לכל היותר, כמה . א

?ן חיובייהיה עדיי

?מה סכום כל האיברים האלה .ב

:תשובה 34 .א

34 .ב

וסכום 580סכום האיברים שבמקומות האי זוגיים הוא , בסדרה חשבונית שבה מספר זוגי של איברים .3

.6הפרש הסדרה הוא . 640האיברים שבמקומות הזוגיים הוא

.מצאו כמה איברים בסדרה .א

. הסדרהחשבו את האיבר הראשון של . ב

:תשובהn. א 20= 1a. ב 4=

התלמידים באחד התרגילים הסתדרו . במסיבת סיום הופיעה קבוצת תלמידים בתרגילי התעמלות .4

, שני תלמידים–בשורה שמאחוריו , כשבקודקודיו עומד תלמיד אחד, צלעות- תחילה במשולש שווה

ביחד עם . מכן הסתדרו תלמידים אלה בצורה שונה-לאחר. ' שלושה תלמידים וכו–אחריו בשורה של

זו , )בעלות אותו מספר תלמידים(עמדו בשורות שוות , שהצטרפו אליהם, תלמידים נוספים 46

מאשר לאורך צלע משולש שווה תלמידים פחות 4לאורך צלע הריבוע עמדו . ויצרו ריבוע, מאחורי זו

?ל"הצלעות הנ-מה היה מספר התלמידים שיצרו את המשולש שווה. ל"הנהצלעות

:תשובה210

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 34

4 האיברים הראשונים בסדרה קטן פי nסכום . 18-האיבר החמישי בסדרה חשבונית שווה ל .5

. האיברים הראשונים2nמסכום

.חשבו את האיבר הראשון של הסדרה ואת ההפרש שלה

:תשובה

1a 2, d 4= =

.4 וההפרש הוא −54בסדרה חשבונית האיבר הראשון הוא .6

.מצאו את סכום כל האיברים השליליים בסדרה .א

יש לחבר כדי לקבל סכום , החל בראשון, ל"איברים עוקבים בסדרה הנ, לכל הפחות, כמה .ב

?חיובי

:תשובה

−392 .א

29 .ב

.הראשונים האיברים n מסכום 3 האיברים האחרונים גדול פי nסכום . איברים2nבסדרה חשבונית .7

.1aבאמצעות האיבר הראשון של , d, בטאו את הפרש הסדרה .א

.י האיברים האמצעיים מסכום שנ2-נתון כי האיבר האחרון בסדרה קטן ב .ב

.dחשבו את

:תשובה

1d .א 2a=

d .ב 4=

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 35

:5-3שאלה מספר

.חפיפת משולשים: צפויה להישאל בנושא

: משפט חפיפה ראשון

, אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית הכלואה שביניהן

.המשולשים חופפיםאזי

AB :אם = DE

BC = EF

E∢B =∢

⇓

∆ABC ≅ ∆DEF

: שנימשפט חפיפה

.אזי המשולשים חופפים, אם בשני משולשים שוות בהתאמה צלע ושתי זוויות שלידה

BC :אם = EF

E∢B =∢

F∢C =∢

⇓

∆ABC ≅ ∆DEF

:משפט חפיפה שלישי

.אזי המשולשים חופפים, אם בשני משולשים שוות בהתאמה שלוש הצלעות

AB :אם = DE

BC = EF

AC = DF

⇓

∆ABC ≅ ∆DEF

נוסחאות וכללים

B

A

C E

D

F

B

A

C E

D

F

B

A

C E

D

F

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 36

:משפט חפיפה רביעי

,אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי הצלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מהשתיים

.אזי המשולשים חופפים

AC :אם = DE

BC = EF

AC > BC

DE > FE

F∢B =∢

⇓

∆ABC ≅ ∆DFE

.ולהיפך, מול הצלע הגדולה במשולש נמצאת הזווית הגדולה •

aאם < b < c אזי α < β < γ.

a : סכום כל שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית • + b > c.

α:180° -הפנימיות במשולש שווה לסכום הזוויות • + β + γ = 180°.

הזווית החיצונית במשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות •

δ: שאינן צמודות לה = β + γ.

נקודה זו מחלקת כל תיכון . נפגשים בנקודת אחתשלושת התיכונים במשולש •

2ביחס של ).הקטע הגדול קרוב לקודקוד (1:

BO אזי, מפגש התיכוניםOאם = 2OF

CO = 2OE

AO = 2OD

.שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת •

נוסחאות וכללים

F

D

E B

A

C

b a

c α

γ

δ β

O

C B

A

x 2 x

y

2 y z

2 z

F

D

E

C B

A

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 37

נקודה זו, שלושת האנכים האמצעיים לצלעות המשולש נפגשים בנקודה אחת •

.היא מרכז המעגל החוסם את המשולש

נקודה זו היא מרכז , ים בנקודה אחתהזוויות במשולש נפגש-שלושת חוצי •

.המעגל החסום במשולש

מקביל לצלע השלישית , קטע אמצעים במשולש מחבר אמצעי שתי צלעות •

.ושווה למחציתה

ת קטע במשולש היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע השלישית חוצה א •

.הצלע השנייה

AD :אם = BD

DE ||BC

⇓

AE = EC

שוקיים- משולש שווה

.שוקיים שוות-זוויות הבסיס במשולש שווה •

זווית - חוצה, שוקיים הגובה לבסיס-במשולש שווה •

.והתיכון לבסיס מתלכדים, הראש

שוקיים מרכז המעגל החוסם-במשולש שווה •

. ומרכז המעגל החסום נמצאים על הגובה לבסיס

נוסחאות וכללים

x

2 x

A

C B

D E

A

B C

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 38

זווית-משולש ישר

,30°זווית שאחת מזוויותיו היא בת -במשולש ישר •

.ולהיפך, שווה למחצית היתר30° - הניצב מול ה

זווית שווה -התיכון ליתר במשולש ישר •

.ולהיפך, למחצית היתר

:שפט פיתגורסמ •

במשולש ישר זווית סכום שטחי הריבועים הבנויים

.על הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר

c2 = a2 + b2

ישרים מקבילים 2 :זוויות מתחלפות שוות 4A B=∢ ∢ 3 1A B=∢ ∢

4 :זוויות מתאימות שוות 4A B=∢ ∢ 1 1A B=∢ ∢

: 180° -צדדיות שווה ל-סכום זוויות חד

2 1A B 180+ = °∢ ∢

.אזי הישרים מקבילים, אם שתי זוויות מתאימות שוות בין ישרים וחותך •

.אזי הישרים מקבילים, אם שתי זוויות מתחלפות שוות בין ישרים וחותך •

.אזי הישרים מקבילים, 180°צדדיות הוא -אם סכום זוויות חד •

נוסחאות וכללים

3 0 °

2 x x

a

b

c

1 A

B

2 3 4

1 2 3

4

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 39

מרובעים

מקבילית

.קבילותכל שתי צלעות נגדיות שוות ומ •

.האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה •

.מרובע שכל שתי זוויות נגדיות שלו שוות הוא מקבילית •

.מרובע שכל שתי צלעות נגדיות שלו שוות הוא מקבילית •

.ובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקביליתמר •

.מרובע ששתיים מצלעותיו הנגדיות שוות ומקבילות הוא מקבילית •

מלבן

.כל תכונות המקבילית מתקיימות במלבן •

.האלכסונים שווים זה לזה •

.90° - כל זווית שווה ל •

.מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן •

מעוין

.כל תכונות המקבילית מתקיימות במעוין •

.יו שוות זו לזוכל צלעות •

.אלכסוני המעוין חוצים את זוויות המעוין ומאונכים זה לזה •

.מקבילית שבה אלכסון אחד חוצה זווית אחת היא מעוין •

.מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין •

נוסחאות וכללים

x y

x y

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 40

ריבוע

.כל תכונות המעוין והמלבן מתקיימות בריבוע •

.מלבן בעל שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע •

.מעוין בעל זווית ישרה הוא ריבוע •

טרפז

.180° -כום הזוויות ליד כל שוק שווה לס •

)המחבר אמצעי שתי השוקיים(קטע אמצעים בטרפז •

.מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם

.שוקיים שווים זה לזה-אלכסוני טרפז שווה •

שוקיים-הזוויות בין האלכסונים לבסיסים בטרפז שווה •

.שוות זו לזו

מעגל

מתאימות זוויות) קשתות שוות(למיתרים שווים •

.ולהיפך, מרכזיות שוות

חוצה את, אנך ממרכז המעגל אל מיתר במעגל •

חוצה את הקשת המתאימה וחוצה את הזווית, המיתר

.ולהיפך, המרכזית המתאימה

הזווית המרכזית גדולה פי שניים מכל זווית היקפית •

.הנשענת על אותה קשת

נוסחאות וכללים

a

b

a + b 2

2 α α

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 41

כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת •

.וות זו לזוש

, 90° -זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל •

.ולהיפך

. זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים •

, ות על קשתות שוותזוויות היקפיות שוות נשענ •

.ולהיפך

.90° - הזווית בין משיק ורדיוס בנקודת ההשקה שווה ל •

היוצאים מאותה נקודה שמחוץ, שני משיקים למעגל •

.שווים זה לזה, למעגל

,שממנה יוצאים שני משיקים למעגל, קטע המחבר נקודה •

.חוצה את הזווית שבין המשיקים, עם מרכז המעגל

נוסחאות וכללים

α α

α

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 42

,הנפגשים בנקודת ההשקה, זווית בין משיק ומיתר •

.שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני

סכום זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל •

α 180° - שווה ל + β = 180°( ).

חסימה בר הוא 180° שסכומן נגדיות זוויות זוג בעל מרובע •

).ניתן לחסום אותו במעגל(

במרובע החוסם מעגל סכום זוג אחד של צלעות נגדיות •

xשווה לסכום הזוג השני + y = a + b( )

אם במרובע סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום •

.אזי אפשר לחסום מעגל במרובע זה, הזוג השני

נוסחאות וכללים

α

α

α

β

xa

y b

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 43

רשימת משפטים בגיאומטריה שניתן לצטט בבחינת הבגרות ללא הוכחה1

הערות:

יש לנמק כל שלב בפתרון על ידי כתיבת המשפט הגיאומטרי ) 005שאלון (בשאלות בגיאומטריה .1

. את כל יתר המשפטים יש לנסח במדויק. משפטים ידועים ניתנים לציטוט על ידי ציון שמם. המתאים

:תם ניתן לרשום על ידי ציון שמם הםהמשפטים שאו

חוצה משפט, משפט תאלס המורחב, המשפט ההפוך למשפט תאלס, משפט תאלס, משפט פיתגורס

ורק ( מול הצלע הגדולה זוויתצלע וה, צלע, .צ. צ. צ,.ז.צ.ז, .צ.ז.צ: ארבעה משפטי החפיפה, זוויתה

. בין משיק ומיתרזווית ,.צ. צ. צ, .ז.ז, .צ.ז.צ, משפטי הדמיון, )משפטים אלה

.סדר המשפטים המופיע ברשימה זו אינו לפי סדר הוכחתם .2

אלא אם יש בשאלה , אין צורך להוכיח את המשפטים ברשימה, במהלך פתרון שאלה בבחינת הבגרות .3

.דרישה מפורשת לכך

.ז.צ.אלא להראות שוויון הזווית השלישית ולהשתמש במשפט ז. ז.ז.אין לחפוף משולשים על ידי צ .4

: ניתן להשתמש בנוסחאות הבאות לחישוב שטחים .5

.שטח מקבילית שווה למכפלת צלע המקבילית בגובה לצלע זו .א

.שטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לצלע זו .ב

.שטח מעוין שווה למחצית מכפלת האלכסונים .ג

.שטח טרפז שווה למכפלת הגובה במחצית סכום הבסיסים .ד

.2rπ-וה ל שוrשטח עיגול שרדיוסו .ה

.אלא אם יש דרישה מפורשת לכך בשאלה, רך להוכיח את המשפטים בבחינה אין צו1

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 44

המשפטים

. 180°-זוויות צמודות משלימות זו את זו ל .1

.לזו זו שוות דקודיותוק ויותוז .2

.ויות שוות מונחות צלעות שוותומול ז, במשולש .3

.זוויות הבסיס שוות זו לזו, במשולש שווה שוקיים .4

.ל מהצלע השלישיתסכום כל שתי צלעות במשולש גדו .5

.התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים, חוצה זווית הראש, במשולש שווה שוקיים .6

.אז המשולש הוא שווה שוקיים, אם במשולש חוצה זווית הוא גובה .7

.אז המשולש הוא שווה שוקיים, אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון .8

.וקייםש שווה הוא המשולש אז , תיכון הוא גובה במשולש אם .9

.יותר גדולה זוית מונחת יותר הגדולה הצלע מול, )צלעות שווה שאינו (במשולש .10

. גדולה יותרצלע מונחת הגדולה יותר זוויתמול ה, )שאינו שווה זוויות (במשולש .11

.180° של משולש הוא זוויותסכום ה .12

.ות שאינן צמודות לה הפנימיזוויות חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזווית .13

.קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה .14

.חוצה את הצלע השלישית, ניהישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע ש .15

.מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים, קטע שקצותיו על שתי צלעות משולש .16

.צ.ז.משפט חפיפה צ .17

.ז.צ.משפט חפיפה ז .18

.צ.צ.משפט חפיפה צ .19

.משפט חפיפה שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מבין השתיים .20

.חוצה את האלכסון השני ומאונך לו, זוויות הראשהאלכסון הראשי בדלתון חוצה את .21

.אז שני הישרים מקבילים, מתאימות שוות זוויות זוג יש אם. שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי .22

. מתחלפות שוות אז שני הישרים מקביליםזוויותזוג יש אם . כים על ידי ישר שלישישני ישרים נחת .23

אז שני הישרים 180°צדדיות הוא - חדזוויותאם סכום זוג . שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי .24

.מקבילים

:אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז .25

. מתאימות שוות זו לזוזוויותכל שתי .א

. מתחלפות שוות זו לזוזוויותכל שתי .ב

.180°צדדיות הוא - חדזוויותסכום כל זוג .ג

. נגדיות שוות זו לזוזוויותבמקבילית כל שתי .26

.במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו .27

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 45

.במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה .28

. נגדיות שוות הוא מקביליתזוויותג מרובע שבו כל זו .29

.מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית .30

.מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית .31

.מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית .32

.זוויותבמעוין האלכסונים חוצים את ה .33

.ין היא מעוזוויתמקבילית שבה אלכסון הוא חוצה .34

. מאונכים זה לזהםבמעוין האלכסוני .35

.מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין .36

.אלכסוני המלבן שווים זה לזה .37

.מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן .38

.בסיס שוות זו לזוהזוויות שליד אותו בטרפז שווה שוקיים .39

. שווה שוקייםוא טרפזהבסיס שוות זו לזו הזוויות שליד אותו טרפז בו .40

.בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה .41

. שווה שוקייםהוא טרפזטרפז בו האלכסונים שווים זה לזה .42

.קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם .43

.החוצה את השוק השניי, ישר החוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים, בטרפז .44

.כים בנקודה אחתשלושת התיכונים במשולש נחת .45

.2:1נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס .46

.) מהחלק האחר2החלק הקרוב לקדקוד הוא פי (

.נמצאת במרחקים שווים משוקי זווית זו זוויתכל נקודה על חוצה .47

.אז היא נמצאת על חוצה הזווית, אם נקודה נמצאת במרחקים שווים משני שוקי זווית .48

.היא מרכז המעגל החסום במשולשש , של משולש נחתכים בנקודה אחתזוויותשלושת חוצי ה .49

.אפשר לחסום מעגלכל משולש ב .50

.נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע, כל נקודה הנמצאת על האנך האמצעי של קטע .51

.נמצאת על האנך האמצעי לקטע, כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע .52

.ניתן לחסום במעגלכל משולש .53

היא מרכז המעגל החוסם את ש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת , שולשבמ .54

.המשולש

.שלושת הגבהים במשולש נחתכים בנקודה אחת .55

.180° - נגדיות שווה לזוויותניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג .56

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 46

הנגדיותשתי הצלעות צלעות נגדיות שווה לסכום חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתיקמור מרובע .57

.האחרות

.כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל .58

.בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל .59

.דרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד .60

. לזו זושוותהמתאימות להן קשתות זו לזו אם ורק אם שתי ה מרכזיות שוות שתי זוויות, במעגל .61

.הים זה לזשווזו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן מרכזיות שוות שתי זוויות, במעגל .62

. זו לזושוותהמתאימות להם קשתות שתי ה מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם, במעגל .63

.מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל .64

.ם שווים ממרכזו שווים זה לזההנמצאים במרחקי במעגל אחדמיתרים .65

אז מיתר זה ארוך , אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר , במעגל .66

.יותר מהמיתר האחר

למיתר וחוצה מתאימה המרכזית הזוויתחוצה את ה, האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר .67

.את הקשת המתאימה למיתר

.את המיתר מאונך למיתרקטע ממרכז המעגל החוצה .68

. המרכזית הנשענת על אותה הקשתזווית היקפית שווה למחצית הזווית, במעגל .69

.לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים, במעגל .70

.לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות, במעגל .71

.ות זו לזושו מיתר מאותו צד של המיתרכל הזוויות ההיקפיות הנשענות על , במעגל .72

).90°( ישרה זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית .73

.נשענת על קוטר 90°בת היקפית זווית .74

. ובין המשכיהןזווית הכלואות בין שוקי ההקשתותסכום שתי מחצית פנימית שווה לזווית, במעגל .75

. ובין המשכיהןזווית הכלואות בין שוקי ההקשתות שתי מחצית הפרשה ל חיצונית שווזווית, במעגל .76

.מאונך לרדיוס בנקודת ההשקהלמעגל המשיק .77

. למעגלישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק .78

.זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני .79

.זה לזהנקודה שווים שני משיקים למעגל היוצאים מאותה .80

חוצה את הזווית שבין , קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל .81

.המשיקים

.חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו, מעגלים נחתכים של שני קטע המרכזים .82

. נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו,משיקים זה לזההשני מעגלים של נקודת ההשקה .83

.סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר , זוויתמשולש ישר ב: משפט פיתגורס .84

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 47

משולש בו סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית הוא ישר : משפט פיתגורס ההפוך .85

.זווית

. התיכון ליתר שווה למחצית היתרזוויתבמשולש ישר .86

.זוויתשר משולש בו התיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה הוא משולש י .87

.אז הניצב מול זוית זו שווה למחצית היתר, 30°זוית חדה של ,אם במשולש ישר זוית .88

.30°אז מול ניצב זה זוית שגודלה , אם במשולש ישר זוית ניצב שווה למחצית היתר .89

.מקצים עליהם קטעים פרופורציוניים , זוויתשני ישרים מקבילים החותכים שוקי : משפט תאלס .90

ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את : משפט תאלס המורחב .91

.המשכיהן בקטעים פרופורציוניים

שני ישרים המקצים על שוקי זווית ארבעה קטעים פרופורציוניים הם: משפט הפוך למשפט תאלס .92

.ישרים מקבילים

אשר היחס ביניהם שווה קטעים שני לזוויתבמשולש מחלק את הצלע שמול הנימית פ זוויתחוצה .93

.בהתאמה זוויתכולאות את הליחס הצלעות ה

ביחס של שתי ,ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה פנימית .94

.הוא חוצה את זווית המשולש שדרך קודקודה הוא עובר) בהתאמה(הצלעות האחרות

הזווית הצמודה מולמחלק את הצלע ש, שאינו מקביל לצלע המשולש, זווית חיצונית במשולשחוצה .95

.הצמודה לההפנימית זווית חלוקה חיצונית ביחס של שתי הצלעות הכולאות את הלה

ישר העובר דרך קדקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קדקוד זה חלוקה חיצונית כיחס הצלעות .96

.הוא חוצה את הזווית החיצונית שדרך קודקודה הוא עובר) בהתאמה(האחרות

.צ.ז.משפט דמיון צ .97

.ז.משפט דמיון ז .98

.צ.צ.משפט דמיון צ .99

:במשולשים דומים .100

.יחס גבהים מתאימים שווה ליחס הדמיון .א

.יחס חוצי זוויות מתאימות שווה ליחס הדמיון .ב

.יחס תיכונים מתאימים שווה ליחס הדמיון .ג

. הדמיוןיחס ההיקפים שווה ליחס .ד

. יחס הרדיוסים של המעגלים החוסמים שווה ליחס הדמיון .ה

. יחס הרדיוסים של המעגלים החסומים שווה ליחס הדמיון .ו

.יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון .ז

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 48

. מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני אז,שני מיתרים נחתכים אם במעגל .101

אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת , אים שני חותכיםמנקודה מחוץ למעגל יוצאם .102

.החותך השני בחלקו החיצוני

אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע , אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק .103

.המשיק

.הניצב הוא ממוצע הנדסי של היתר והיטל ניצב זה על היתר, זוויתבמשולש ישר .104

. הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתרזוויתתר במשולש ישר הגובה לי .105

180 ל מצולע קמור הואהפנימיות ש זוויותסכום ה .106 (n 2)° −.

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 49

:1דוגמא מספר

A ,B ,C ו- D בציור כמתואר, מעגל על נקודות הן.

E על נקודה היא AD ש כך- AE = DC.

.AB = BC: נתון

ABE∆: הוכח .א ≅ ∆CBD.

.M בנקודה המעגל את חותך BE הקטע המשך .ב

.AM = DC: הוכח

: פתרון

.DC = AE :נתון

BC = AB.

ABE .א : ל"צ CBD∆ ≅ ∆ .

.DC = AM .ב

.א

. נתוןDC = AE :צלע

. נתוןBC = AB :צלע

DAB : זווית C=∢ .שענות על אותה קשת שוות זוויות היקפיות שנ∢

⇓

ABE CBD∆ ≅ .ל.ש.מ .)צ.ז. צפיפהי משפט ח"עפ (∆

.ב

1 2B B=∢ . זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות∢

⇓

CD = AMמול זוויות היקפיות שוות מיתרים שווים .

.ל.ש.מ

E M

A

B

D

1

2 C

E M

A

B

D

1

2 C

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 50

:2דוגמא מספר

CE - וBD הגבהים ABCבמשולש

)ראה ציור (Fנפגשים בנקודה

.CE = BD: נתון

:הוכח

.שוקיים- הוא שווהABCמשולש .א

.FC = BF .ב

.AD = AE .ג

:נתונים

BD AC

CE AB

CE BD

⊥

⊥

=

.שוקיים- הוא שווה∆ABC .א :ל"צ

.FC = BF .ב

.AD = AE .ג

:פתרון

.א

BD AC⊥מנתון .

⇓

BDC 90= . זווית בין אנכים∢�

BA CE⊥מנתון .

⇓

BEC 90= . זווית בין אנכים∢�

BDC: זווית BEC=∢ . העברה∢

BC: צלע BC=צלע משותפת .

⇓

BEC CDB∆ ≅ . ז.צ. משפט חפיפה רביעי צי" עפ∆

.)צ.צ.י משפט חפיפה צ"י פיתגורס וע" עBE = DC -ניתן להראות ש: הערה ( ⇓

ACB ABC=∢ . זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות∢

ABC∆ל.ש.מ) זוויות שוותמשולש בעל זוג(שוקיים - הוא שווה.

A

B C

D E

F

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 51

.ב

ECB DBC=∢ . זוויות מתאימות במשולשים חופפים∢

⇓

BF FC=ל.ש.מ. מול זוויות שוות במשולש צלעות שוות.

.ג

AB = ACשוקיים- צלעות שוות במשולש שווה.

BE = DC צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות.

DC – AC = ADחיסור קטעים .

BE – AB = AEשווים מקטעים שווים חיסור קטעים .

⇓

AE = ADל.ש.מ . חיסור קטעים שווים.

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 52

:3דוגמא מספר

מעבירים שלושה גבהיםABCבמשולש

CF , BEו - AD . הגבהים נפגשים בנקודהQ.

: הוכח

ACF .א ABE=∢ ∢.

. הוא מרובע בר חסימהQDCEמרובע .ב

ADF .ג ADE=∢ ∢.

:פתרון

.א

AFC 90= CF לפי נתון∢� AB⊥.

AEB 90= BE לפי נתון∢� AC⊥.

A A=∢ . זווית משותפת∢

⇓

1C 180 AFC A= − −�∢ ∢ .�180 - שווה לAFC סכום זוויות במשולש ∢

1B 180 AEB A= − −�∢ ∢ .�180 - שווה לAEBוויות במשולש סכום ז∢

⇓

1 1C B=∢ .ל.ש.מ . העברה∢

.ב

ADC BEC 180+ = �∢ ∢

⇓

. הוא בר חסימה�180-סכום זוויות נגדיות שוות למרובע בעל . בר חסימהQDCE מרובע

.ג

BFC ADB 180+ = �∢ ∢

⇓

. הוא בר חסימה�180 -מרובע בעל סכום זוויות נגדיות שוות ל . בר חסימהBDQFמרובע

1C ADE=∢ .) בר חסימהQDCEמרובע (זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת שוות ∢

1B ADF=∢ .) בר חסימהBQDFמרובע (זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת שוות ∢

⇓

ADE ADF=∢ .ל.ש.מ .העברה ∢

E

F Q

D B C

1 1

A

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 53

:לות נוספותשא

.O חסום במעגל שמרכזו AEBמשולש .1

ABקוטר ,AB FK⊥.

: הוכח

BAE .א BDK=∢ ∢

.KDEAניתן לחסום במעגל את המרובע .ב

הוא מקבילית שדרך שלושת קודקודיהABCDהמרובע .2

.Eה בנקודACהעבירו מעגל שחותך את המשך הצלע

.שוקיים- הוא משולש שווה∆EBA: הוכח .א

DFE: נתון .ב 60= �∢.

. המקביליתתחשב את זוויו

הם משולשיםAEF-ו, BCE ,ABD: המשולשים .3

:הוכיחו כי). ראו ציור(צלעות -שווי

∆BAE∆≅DAF .א

DF=BC .ב

C

E A

D

F

B

A C E

D B

F

F

E D

B O K A

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 54

נסחו והוכיחו את המשפט על סכום שתי זוויות . א .4

.נגדיות במרובע החסום במעגל

.M חסום במעגל שמרכזו ABCDהמרובע . ב

. היא קוטר של מעגל זהABהצלע

E היא נקודת הפגישה של הישרים ADו -BC) ראו ציור.(

=AEBהוכיחו כי ) 1( MDC∢ ∢

, למעגלD משיק בנקודה MDהוכיחו כי הישר ) 2(

.DCEהחוסם את המשולש

:תשובות

הוכחה .א .1

הוכחה .ב

הוכחה .א .2

30 .ב , 150° °

הוכחה .א .3

הוכחה .ב

הוכחה .א .4

הוכחה .ב

E

D

B M A

C

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 55

:5-3שאלה מספר .דמיון משולשים: צפויה להישאל בנושא

: משפט תלס •

שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית

.מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים

DE :אם || BC

⇓

AD AE

DB EC=

: משפט תלס ההפוך •

. מקבילים זה לזה- שני ישרים המקצים על שוקי הזוויות קטעים פרופורציוניים

:אם AD AE

DB EC=

⇓

DE || BC

:הזווית- משפט חוצה •

לש מחלק את הצלע שמול הזוויתהזווית במשו-חוצה

לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין

.שתי הצלעות שכולאות את הזווית

1 :אם 2C C=∢ ∢

⇓

x a

y b=

:הזווית ההפוך- משפט חוצה •

ר קודקוד משולש עם הצלע שמולו ומחלק אותה לשני קטעים המתייחסיםקטע המחב

. חוצה את זווית המשולש-זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות האחרות

:אם x a

y b=

⇓

1 2C C=∢ ∢

נוסחאות וכללים

A

B

ED

C

a

b

y12

C

A

B

x

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 56

):צלע-זווית- צלע(משפט דמיון ראשון •

והזווית , אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות של צלעות מתאימות

.אזי המשולשים דומים, שביניהן שווה בהתאמה

B :אם E=∢ ∢

AB BC

DE EF=

⇓

ABC ~ DEF∆ ∆

):זווית-זווית(משפט דמיון שני •

.אזי המשולשים דומים, אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות

B :אם E=∢ ∢

C F=∢ ∢

⇓

ABC ~ DEF∆ ∆

):צלע-צלע- צלע(משפט דמיון שלישי •

, אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שלושה זוגות של צלעות מתאימות

.אזי המשולשים דומים

:אם AB BC AC

DE EF DF= =

⇓

ABC ~ DEF∆ ∆

רדיוסי מעגלים, חוצי זוויות מתאימות, תיכונים מתאימים, גבהים מתאימים •

מתייחסים זה לזה כמו , רדיוסי מעגלים חסומים והיקפי משולשים דומים, חוסמים

. במשולשים דומיםיחס הצלעות המתאימות

נוסחאות וכללים

A

CB E F

D

A

CB E F

D

A

CB E F

D

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 57

שולשים דומים מתייחסים זה לזה כריבוע היחס שבין הצלעותשטחים של מ •

.המתאימות

ABC :אם ~ DEF∆ ∆

⇓

2

DEF

ABC

S DE

S AB∆

∆

=

:זווית-פרופורציה במשולש ישר

.רי של היטלי הניצבים על היתרזווית הוא ממוצע גיאומט- הגובה ליתר במשולש ישר •

)זווית - ישר∆ABC :אם )A 90= °∢

AD BC⊥

⇓

2h xy=

.זווית הוא ממוצע גיאומטרי של היתר והיטל ניצב זה על היתר-ניצב במשולש ישר •

2AB BC BD= ⋅

:פרופורציה במעגל

מחלקים זה את זה, הנחתכים במעגל, שני מיתרים •

כך שמכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי

.המיתר השני

AE EB CE ED⋅ = ⋅

,אם למעגל יוצאים שני חותכים מאותה נקודה •

אזי מכפלת חותך בחלקו החיצוני שווה למכפלת

.החותך השני בחלקו החיצוני

AB AC AD AE⋅ = ⋅

אזי, אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק •

.המשיקמכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע

2AC AD AB⋅ =

נוסחאות וכללים

h

B C

A

Dx y

A C

B

E

D

B

DE

C

A

CB E F

D

A

C

D

A

B

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 58

:נהלי כתיבה בהוכחות בגיאומטריה אוקלידית

:המשפטים הידועים שניתנים לציטוט על ידי ציון שמם

משפט פיתגורס •

משפט תלס •

משפט תלס המורחב •

המשפט ההפוך למשפט תלס •

הזווית- משפט חוצה •

צלע צלע והזווית מול הצלע הגדולה מהשתיים, .צ.צ.צ, .ז.צ.ז, .צ.ז.צ: משפטי החפיפה •

.צ.צ.צ, .צ.ז.צ, .ז.ז: משפטי דמיון •

זווית בין משיק ומיתר •

:1דוגמא מספר

AB הוא קוטר במעגל שמרכזו M. CD משיק למעגל בנקודה Cל ומאונך -BE.

E נמצאת על המשך המיתר AC) ראה ציור.(

AC .א :הוכח BC AB CD⋅ = ⋅

AB .ב BE=

:פתרון

.א

AC: ל"צ BC AB CD⋅ = ⋅

:הוכחה

. דומיםCBD- וABCנוכיח כי המשולשים

oACB 90=∢

.o90 שווה ענת על קוטרזווית היקפית הנשי כ

oCDB :לפי הנתון 90=∢

ACB CDB=∢ ∢

A BCD=∢ ∢

.הנשענת על המיתר מצידו השני, שווה לזווית היקפית, זווית בין משיק לבין מיתר: לפי המשפט

B M

A

D

E

C

נוסחאות וכללים

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 59

ABC .ז. זמשפט דמיוןלפי ~ CBD△ △

יחס צלעות מתאימות במשולשים דומים

AB AC

BC CDAC BC AB CD

=

⋅ = ⋅

.ל.ש.מ

.ב

BE :ל"צ AB=

:הוכחה

.EBC- וABCי חפיפת המשולשים "זאת עפ, הוא שווה שוקייםABEנוכיח כי המשולש

oACB 90=∢

.כזווית היקפית הנשענת על קוטר

oECB :הכזווית צמוד 180 ACB= −∡ ∡

oECB 180 90 90

(1) ACB ECB

= − =

∴ =

∢

∢ ∡

(2) :צלע משותפת CB CB=

.ולפיכך כל זוויותיהם שוות, דומיםCBD- וABCכי המשולשים ' הוכחנו בסעיף א

(3) :לכן ABC CBD=∢ ∢

.כזוויות מתאימות במשולשים דומים

ABC :נובע) 3(-ו) 2(, )1(משוויונים EBC∴ ≅△ △

AB .ז.צ.זמשפט חפיפה לפי BE∴ =

.ל.ש.מ

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 60

:2דוגמא מספר

. חסום במעגלABCמשולש

.C משיק למעגל זה בנקודה DCישר

).ראה ציור (BC || DE: נתון

AED: הוכח .א ~ DEC△ △

.CE= מ " סAC ,9= מ " ס16 :אם נתון, DEחשב את .ב

:פתרון

.א

AED :ל"צ ~ DEC△ △

:הוכחה

E :ווית משותפתז E=∢ ∢

BCD A=∢ ∢

.זווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השניזווית בין משיק למיתר שווה ל: לפי המשפט

BCD CDE=∢ ∢

) שוותזוויות מתחלפות בין מקביליםי כ )DE || BC.

)העברה(

CDE A

AED ~ DEC

∴ =

∴

∢ ∢

△ △

.ל.ש.מ . ז.משפט דמיון זלפי

.ב

:'כפי שהוכחנו בסעיף א

במשולשים דומיםיחס צלעות מתאימות2

2

AED ~ DEC

AE DE

DE CE

(1) DE AE CE ; AE AC CE 16 9 25

(1) DE 25 9 225 ; DE 225 15

∴ =

∴ = ⋅ = + = + =

∴ = ⋅ = = =

△ △

.DE=מ " ס15: תשובה

A

B D

E

C

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 61

:3דוגמא מספר

) ABCDטרפז )AB DCחסום במעגל� .

,DC נמצאת על המשך הבסיס Eנקודה

. משיק למעגלBE-כך ש

ADC חוצה את הזווית DBהאלכסון

).ראה ציור(

ABDהוכיחו כי CBE≅△ △.

:פתרון

.נסמן את הנתונים על הציור ונביא את ההוכחה לאחר מכן

:נתונים

ABCDטרפז ,AB || CD.

.DC נמצאת על המשך הבסיס Eנקודה

BEמשיק למעגל .

CDB ADB=∢ ∢.

:'עבור ב

ABמ " ס10 =.

DCמ " ס15 =.

ונראה חפיפה ביניהם△ABD - ו△CBEנביט על משולשים

BEנתון משיק למעגל

EBC CDB= = α∢ ∢ לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר = זווית בין משיק למיתר

סימון+ מצדו השני

CDB ADB= = α∢ הצבה+ נתון ∢

EBC ADB= = α∢ העברה )ז (∢

AB CD� סימון

ABD CDB=∢ זווית מתחלפות שוות בין מקבילים ∢

קשתות שוות עלזוויות היקפיות שוות נשענות BC שווה לקשת ADקשת

AD BC=) על קשתות שוות נשענים מיתרים שווים )צ

ADC 2= α∢ סכום זוויות

A B

D C E

A B

D C E α

α

180 2− α10

1010

αα

α2α

15 10180 2− α

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 62

DAB 180 2= ° − α∢ 180°-זוויות חד צדדיות בין מקבלים משלימות ל

ABCDנתון טרפז

ABCDשוות זו לזו השוקיים טרפז שווה שוקיים

BCD ADC 2= = α∢ זווית בסיס שוות בטרפז שווה שוקיים ∢

נמצאת על המשך Eנקודה

.DC הבסיס נתון

BCE 180 2= ° − α∢) 180°-זוויות צמודות משלימות ל )ז

ABD CBE≅△ צלע זווית משפט חפיפה זווית △

.ל.ש.מ

:דרך נוספת

.ניתן להוכיח שהטרפז שחסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים ולקצר את ההוכחה

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 63

:4דוגמא מספר

מחלקים זה את זה לשני , הוכח כי שני מיתרים הנחתכים בתוך מעגל .א

.קטעי האחד שווה למכפלת קטעיו של השני כך שמכפלת , קטעים

D-כך ש, D נחתכים בנקודה AB- וFG מיתרים שניOבמעגל שמרכזו .ב

אותו וחותך , AO מאונך לרדיוס FGהמיתר . AB המיתר היא אמצע

). ראה ציור (Mבנקודה

.DM =מ " סAB 3.5 =מ"ס 24 :נתון

.FDחשב את

:פתרון

.א

לשני מחלקים זה את זה, שני מיתרים הנחתכים בתוך מעגל:משפט

.כך שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעי השני, יםקטע

.Eהנחתכים בנקודה , מיתרים במעגלCD- וAB :נתון

AE :ל"צ EB CE ED⋅ = ⋅

.BD- וAC נחבר מיתרים :הוכחה

1 2=∢ . כזוויות קודקודיות∢

3 4=∢ )ADקשת ( ות על אותה קשת נעכזוויות היקפיות הנש∢

DBE ∆∼ ACE∆ ∴לפי שתי זוויות . EB ED

CE AE∴ =

AE EB CE ED∴ ⋅ = ⋅

.ל.ש.מ

O

B

A

F G M D

C

D

A B E 2 1

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 64

. ב

:'לפי המשפט שהוכח בסעיף א

FD DG AD DB⋅ = ⋅ )1(

FD :סימון x=

היוצא ממרכז , אנך למיתר: לפי המשפט, OAידי הרדיוס - עלM נחצה בנקודה FGהמיתר

. את המיתרחוצה, המעגל

MG FM=

DM : לפי הנתון 3.5= MG FM FD DM X 3.5

DG DM MG 3.5 X 3.5 X 7

= = + = +

= + = + + = +

: לפי הנתון AB 24

AD DB 122 2

= = = =

)) : 1 (- ללנציב הכו )x x 7 12 12⋅ + = ⋅) 1( 2

2

x 7x 144

x 7x 144 0

7 49 4 144x 9

2

+ =

+ − =

− ± − ⋅= =

= FDמ "ס 9: תשובה

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 65

שאלות נוספות

1. ABCזווית - הוא משולש ישר( )C 90= °∢.

חותך את היתר ABהאנך האמצעי ליתר

ואת E בנקודה ACאת הניצב , Dבנקודה

).ראו ציור (K בנקודה BCהמשך הניצב

AED :הוכיחו .א ~ KBD∆ ∆.

DE :נתון .ב a= ,KE 3a=.

.AB את אורך מחצית היתר aבטאו באמצעות

AF כך שהקטע CD נקודה על ABCD ,Fבמלבן .2

).ראו ציור (BDמאונך לאלכסון

ADF :הוכיחו כי .א ~ DCB∆ ∆.

2AD :הוכיחו כי .ב DF DC= ⋅.

3. ABDזווית - משולש ישר( )ABD 90= °∢.

AD מעבירים מעגל החותך את היתר Bדרך הקודקוד

).ראו ציור( הוא קוטר המעגל BC -כך ש, E - וCבנקודות

BED: הוכיחו כי .א ~ ABD∆ ∆.

BDמ " ס15אם נתון כי .ב ABמ " ס20 - ו,= = ,

.EDחשבו את אורך הקטע

:תשובות

הוכחה .א .1

.ב AB

2a2

=

הוכחה–ב , א .2

הוכחה .א .3

EDמ " ס9 .ב =

D

C B

A

E

K

F DC

AB

C

B

D

A

E

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 66

:5-3שאלה מספר .בייס- יתהסתברות מותנ: צפויה להישאל בנושא

טבלת פרופורציות

A A

B P A∩ B( ) P A∩ B( ) P B( )

B P A∩ B( ) P A∩ B( )

P B( )

P A( ) P A( ) 1

P : מסומנתB - מותנית בAפרופורציה של A / B( )

P :ומוגדרת כך A / B( ) =P A∩ B( )

P B( )

:עבור פרופורציה מותנית נקבל

P A∩ B( ) = P B/ A( )⋅ P A( ) = P A /B( )⋅ P B( )

P : בייסנוסחת A / B( ) =P B/ A( ) ⋅ P A( )

P B( )

Pאו A / B( ) ⋅ P B( )= P B/ A( ) ⋅ P A( )

P :טיפ A∪ B( ) = 1− P A∩ B( )

( )P A

( )P A

( )P B/ A

( )P B/ A

( )P B/ A

( )P B/ A ( )P A B∩

( )P A B∩

( )P A B∩

( )P A B∩

( )P B

( )P B

נוסחאות וכללים

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 67

:1דוגמא מספר

.'ב ספר-ובית' א ספר-בית, ספר-בתי שני יש מסוימת בעיר

.'א ספר-בבית ג"תשס בשנת למדו בעיר ב"י בשכבת מהתלמידים 55%

.זו בשנה בגרות לתעודת זכאים היו בעיר ב"י בשכבת מהתלמידים 75%

.'א ספר-בבית למדו וגם זו בשנה בגרות לתעודת זכאים היו לא גם בעיר ב"י בשכבת מהתלמידים 12%

.'א ספר-בבית ב"י שכבת תלמידי מבין תלמיד באקראי בוחרים . א

?בגרות לתעודת זכאי שהוא ההסתברות מהי

.בגרות לתעודת זכאים שאינם בעיר ב"י שכבת תלמידי מבין תלמיד אקראיב בוחרים .ב

'?ב ספר-תביב לומד שהוא ההסתברות מהי

:פתרון

: עץתבאמצעות דיאגראמ: שיטה ראשונה

I )'ס א"לא זכאי מביה( 0.55(1 x) 0.12− =

II )ס" לבגרות משני בתיהזכאים( 0.55x 0.45y 0.75+ =

43I 0.55 0.55x 0.12 0.55x 0.43 x 0.782

5543 32

II 0.55x 0.45y 0.75 0.45y 0.75 0.55 y55 45

− = ⇒ = ⇒ = =

+ = ⇒ = − ⋅ ⇒ =

P .א x 0.782= =

.ב0.45(1 y) 13

P 0.520.45(1 y) 0.12 25

−= = =

− +

'ס א" ביה55%

'בס " ביה45%

זכאי

לא זכאי

y

y -1

לא זכאיx -1

x זכאי

12% 75%

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 68

:י טבלה דו מימדית" עהשיטה שניי

A A

75% 75% 33% 32% 55% 12% 43% B

25% 13% 12% B

1 45% 55%

− = − =

A -ס א"הלומדים בביה' תלמידי יב'.

B -הזכאים לבגרות' תלמידי יב.

A -ס ב"הלומדים בביה' תלמידי יב'.

B -שלא זכאים לבגרות' תלמידי יב.

.א

P(B A) 43

P(B / A) 0.782P(A) 55

∩= = =

.ב

P(A B) 13

P(A / B) 0.52P(B) 25

∩= = =

כ"סה

'ס ב"ביה 'ס א"ביה

זכאי לא זכאי

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 69

:2דוגמא מספר

.0.3 היא כחולות יושעינ ההסתברות, מסוימת מעיר תושב באקראי בוחרים אם

.0.6 היא שחור ששערו ההסתברות, עיר באותה הכחולות העיניים בעלי מבין תושב באקראי בוחרים אם

.אלה תכונות משתי אחת לפחות יש העיר מתושבי 0.65-ל כי ידוע

.מהעיר תושב באקראי בוחרים .א

?שחור שערו וגם כחולות שעיניו ההסתברות מהי) 1(

?שחור ששערו תההסתברו מהי) 2(

.בעיר השחור השער בעלי מבין תושב באקראי בוחרים .ב

?כחולות אינן שעיניו ההסתברות מהי

:פתרון

:י טבלה דו מימדית"שיטה ראשונה ע

A - בעלי עיניים כחולותתושביםקבוצת ה .

A - בעלי עיניים לא כחולותהתושבים קבוצת.

B - בעלי שיער שחורהתושבים קבוצת.

B - בעלי שיער לא שחורהתושבים קבוצת.

Aכחולות Aלא כחולות כ"סה

0.53 0.35 0.6 0.3 0.18⋅ Bשיער שחור =

0.47 1 0.65 0.35− = 0.3 0.18 0.12− Bשיער לא שחור −1 0.7 0.3

.א

P(A .1א B) 0.18∩ =

P(B) .2א P(A B) P(A B) 0.18 0.35 0.53= ∩ + ∩ = + =

.ב

P(A B) 0.35 35

P(A / B)P(B) 0.53 53

∩= = =

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 70

: עץתי דיאגראמ"שיטה שנייה ע

שחור הסיכוי שלתושב לא יהיו עיניים כחולות ולא שיער 1P) לפחות אחת מהתכונות = (0.65

11 = 0.35הוא P−

0.35) = P-1(⋅0.7

0.5=P-1

P 0.5=

.א

0.3 = 0.18. 1א P)עיניים כחולות וגם שיער שחור = (⋅0.6

0.3 =0.53. 2א 0.6 0.7 P 0.18 0.7 0.5 0.53⋅ + ⋅ = + ⋅ P)רשיער שחו = (=

.ב

0.7P 0.35 35

0.53 0.53 53= = P)עיניים לא כחולות בתנאי ששערו שחור (=

שיער שחור

שיער לא שחור

1-P

P

עיניים כחולות

עיניים לא כחולות

שיער שחור

שיער לא שחור0.4

0.6

0.3

0.7

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 71

:3דוגמא מספר

. מהתושבים יש מזגן70% -ביישוב מסוים ל

-ל5

8 - מבין המבוגרים יש מזגן ול

3

4 . מבין הצעירים יש מזגן

.בוחרים באקראי תושב

?מה ההסתברות שהתושב מבוגר .א

?מה ההסתברות שהוא צעיר. ידוע שלתושב שנבחר אין מזגן .ב

:פתרון

:י טבלה דו מימדית"שיטה ראשונה ע

A -קבוצת המבוגרים ביישוב .

A -קבוצת הצעירים ביישוב .

B -קבוצת האנשים עם מזגן .

B -קבוצת האנשים ללא מזגן .

5 3

x (1 x) 0.7 x 0.48 4

+ − = ⇒ =

.א

P(A) x 0.4= =

.ב

14

3 18 4

(1 x)P(A B)P(A / B) 0.5

P(B) x (1 x)

−∩= = =

+ −

צעיר מבוגר

יש מזגן

אין מזגן

A A

3 570% 0.7 (1 x) x B

4 81 3

0.3 (1 x) x B4 8

1 1 x x

= −

−

−

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 72

: עץתי דיאגראמ"שיטה שנייה ע

) צעיר עם מזגן+ מבוגר עם מזגן ( 1/ 2 /

8 /5 3x (1 x) 0.7 \ 8

8 4+ ⋅ − = ⋅

5x 6(1 x) 5.6

5x 6 6x 5.6

x 0.4

+ − =

+ − =

=

.א

.P = 0.4 = 40%ההסתברות שהתושב מבוגר היא

.ב

38

0.6 0.25 0.150.5

0.6 0.25 0.4 0.3

⋅= =

⋅ + ⋅ P) צעיר בתנאי שאין לו מזגן=(

יש מזגן

אין מזגן

יש מזגן

אין מזגן

1

4

3

8

3

4

צעיר

מבוגר

x

x -1

70%

5

8

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 73

:שאלות נוספות

.לבנים וחלקם אדומים חלקם. כדורים 8 ישנם בכד .1

.בחוץ אותו משאירים לבן הכדור אם. באקראי כדור מוציאים

.שני כדור באקראי מוציאים, מכן לאחר. לכד אותו מחזירים אדום הכדור אם

הכדורים ששני ההסתברות אם, בתחילה בקופסא היו לבנים וכמה אדומים כדורים כמה .א

היא לבנים שהוצאו 3

28?

?הוא גם אדום אשוןהר שהכדור ההסתברות מהי אדום הוא שהוצא השני שהכדור ידוע אם .ב

-ל. רכב יש מהדיירים %60-ל מסויים בבניין .24

7. רכב יש המבוגרים מבין %75- ול רכב יש הצעירים מבין

).צעיר או מבוגר (דייר באקראי בוחרים

?צעיר הוא שהדייר ההסתברות מה .א

?מבוגר שזהו ההסתברות מה. רכב לו שאין) מבוגר או צעיר (דייר שנבחר ידוע .ב

מייצר אחד מפעל. עץ מפעלי שני יש מסויימת בעיר .31

4 שאר את מייצר שני ומפעל שבעיר מהרהיטים

.הרהיטים 1

3 .ציבור למבני והשאר ליחידים למכירה הן מייצר ראשון שמפעל מהרהיטים

2

9 . הראשון המפעל י"ע יוצרו למכירה ליחידים שנועדו הרהיטים כל מבין

.בעיר רהיט באקראי בוחרים

.ליחידים נמכר שהרהיט ההסתברות את חשב .א

?ציבור למבנה שייך והוא השני המפעל י"ע ייוצר שהרהיט ההסתברות מהי .ב

.4 Aו - Bיסוי מקריתלויים בנ- הם שני מאורעות בלתי. P: נתון A ∪ B( ) = 0.88 ,P A( )= 0.6.

Pחשבו את .א B( ).

Pחשבו את .ב A ∩ B( ).

P: הראו שאכן מתקיים .ג A / B( ) = P A( ).

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 74

ילה על ידי תח: ם כל מועמד למשרת מהנדס מרואיין על ידי שלושה בעלי תפקידיםבמפעל מסוי .5

כל אחד מבעלי התפקידים . ל"י המנכ"ולבסוף ע, אחר כך על ידי מנהל כוח האדם, מהנדס הראשי ה

. שליליתאומגבש על המועמד חוות דעת חיובית

. עליו לקבל חוות דעת חיובית משלושת בעלי התפקידים, כדי שמועמד יתקבל למשרת מהנדס

-ס הראשי נותן חוות דעת חיובית ל ידוע כי המהנד 1

3מנהל כח האדם . מהנדסה מהמועמדים למשרת

- וב , קורא את חוות הדעת של המהנדס הראשי 2

3 מהמקרים נותן חוות דעת הפוכה מזו של המהנדס

- וב , האדםל קורא את חוות דעתו של מנהל כח"המנכ. הראשי 7

10 מהמקרים נותן חוות דעת זהה לזו

.של מנהל כח האדם

?מהי ההסתברות שמועמד למשרת מהנדס יקבל חוות דעת חיובית ממנהל כוח האדם ) 1( .א

מהי ההסתברות שהמהנדס הראשי נתן חוות. ידוע כי מנהל כח האדם נתן חוות דעת חיובית ) 2(

?דעת שלילית

?מהי ההסתברות שמועמד יתקבל למשרת מהנדס במפעל .ב

?ל "מהי ההסתברות שמועמד יקבל חוות דעת שלילית מהמנכ .ג

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 75

:תשובות

.אדומים 5, לבנים 3 .א . 1

. ב 35

59

P. א .2 0.84=

P .ב 0.1=

. א .33

8

. ב 11

24

0.7 .א .4 הוכחה .ג 0.42 .ב

)1( .א .55

9.

)2( 4

5.

.ב 7

90.

.ג 43

90.

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 76

:5-3 מספר שאלה . ברנולי–הסתברות : צפויה להישאל בנושא

P :הסתברות להצלחה בניסיון בודד =

n :מספר ניסיונות =

k :מספר הצלחות רצוי =

( ) ( )

( ) ( )

n kn kn k

n kk n

P (k) p 1 p

n!C

k! n k !

−= ⋅ −

= =−

טיפ

)min לא פחות =לפחות • )

)max לא יותר =לכל היותר • )

kבמקרים מסוימים לא לשכוח את המקרה של • = ).אפס הצלחות (0

5 ניסויים 5 מתוך אחד בניסוי הצלחה היותר לכל דוגמאל 5P (1) P (0)+ ⇐

• n

k

.ncrידי כפתור - ניתן לחשב במחשבון על-

נוסחאות וכללים

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 77

:1דוגמא מספר

ם יש רישיון נהיגה אז ההסתברות שלארבעת, אנשים במדינה מסוימת4ידוע שאם בוחרים באקראי

.0.4096היא

.חשב את אחוז האנשים במדינה שיש להם רישיון נהיגה .א

?מהי ההסתברות שלפחות לשניים מביניהם יש רישיון נהיגה. אנשים במדינה4בוחרים באקראי .ב

:פתרון

.א

.P: שנבחר באקראי יש רישיון נהיגה, ההסתברות שלאדם בודד

:הסתברות שלארבעה אנשים יש רישיון נהיגהה

4

14

2

P 0.4096

P 0.8

P 0.4096

P 0.8

=

= +

= =

= −

ր

ց

.80%: מכאן שאחוז האנשים בעלי רישיון נהיגה הוא

.80%: תשובה

.ב

.שלושה או ארבעה, לפחות שניים פירושו שניים

נתונה , pלחה בניסיון בודד היא כשההסתברות להצ, ניסיונותnמתוך , הצלחותk-ההסתברות ל

:בנוסחת ברנולי

k n k k n kk

n n!P P (1 P) P (1 P)

k k! (n k)!− −

= − = ⋅ ⋅ − ⋅ −

:ההסתברות שלשני אנשים יש רישיון נהיגה

2 4 2 2 22

4!P 0.8 (1 0.8) 6 0.8 0.2 0.1536

2!(4 2)!−= ⋅ − = ⋅ ⋅ =

−

:ההסתברות שלשלושה אנשים יש רישיון נהיגה

3 4 3 33

4!P 0.8 (1 0.8) 4 0.8 0.2 0.4096

3!(4 3)!−= ⋅ − = ⋅ ⋅ =

−

:ההסתברות שלארבעה אנשים יש רישיון

44P 0.8 0.4096= =

:ההסתברות שלפחות לשניים מביניהם יש רישיון נהיגה

2 3 4P P P P 0.1536 0.4096 0.4096 0.9728= + + = + + =

P: תשובה 0.9728=

0 P 1≤ ולכן הפתרון נפסל≥

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 78

:2דוגמא מספר

מההסתברות שהוא יחטיא בירייה 4ידוע שההסתברות שהצלף יפגע במטרה בירייה בודדת גדולה פי

.דתבוד

. יריות5הצלף יורה למטרה

?מהי ההסתברות שהצלף יפגע במטרה בדיוק בשתי יריות .א

?מהי ההסתברות שהצלף יחטיא את המטרה לפחות בשלוש יריות .ב

:פתרון

.א

.1P: ההסתברות שהצלף יפגע בירייה בודדת

.2P: ההסתברות שהצלף יחטיא בירייה בודדת

1: לפי הנתון 2P 4P=

.משלימה את ההסתברות שיפגע לאחד, ההסתברות שיחטיא

1 2

2 2 2 2 1 2

P P 1

14P P 1 ; 5P 1 ; P 0.2 ; P 4P 4 0.2 0.8

5

+ =

+ = = = = = = ⋅ =

1P: ההסתברות שהצלף יפגע בירייה בודדת היא אפוא 0.8=.

נתונה , Pההסתברות להצלחה בניסיון בודד היא כש, ניסיונותn הצלחות מתוך k-ההסתברות ל

k :בנוסחת ברנולי n k k n kk

n n!P P (1 P) P (1 P)

k k! (n k)!− −

= − = ⋅ ⋅ − ⋅ −

: ניסיונות5ההסתברות שהצלף יפגע בשתי יריות מתוך

2 5 2 2 32

5 5!P 0.8 (1 0.8) 0.8 0.2 0.0512

2 2! (5 2)!−

= − = ⋅ ⋅ = ⋅ −

P: תשובה 0.0512=

. ב

.או בחמש יריות, יריותאו בארבע, לפחות בשלוש יריות פירושו בשלוש יריות

2P: ההסתברות שיחטיא בירייה בודדת חושבה בסעיף הקודם 0.2=

:ההסתברות שיחטיא בדיוק בשלוש יריות

k n k 3 5 3 3 23

n 5 5!P p (1 P) 0.2 (1 0.2) 0.2 0.8 0.0512

k 3 3! (5 3)!− −

= − = ⋅ − = ⋅ ⋅ = ⋅ −

:ההסתברות שיחטיא בדיוק בארבע יריות

4 5 4 44

5 5!P 0.2 (1 0.2) 0.2 0.8 0.0064

4 4! 1!−

= − = ⋅ ⋅ = ⋅

5 :ש יריותההסתברות שיחטיא בחמ 5P 0.2 0.00032= =

3 :ההסתברות שיחטיא לפחות בשלוש יריות 4 5P P P P 0.0512 0.0064 0.00032 0.05792= + + = + + =

P: תשובה 0.05792=

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 79

:3דוגמא מספר

. מהאזרחים דוברים אנגלית40%במדינה מסוימת

. אזרחים ממדינה זו5בוחרים באופן אקראי

? דוברי אנגלית3רו בדיוק מהי ההסתברות שנבח .א

ולפחות אחד מהם אינו דובר , האזרחים שנבחרו הוא דובר אנגלית5-מהי ההסתברות שלפחות אחד מ .ב

?אנגלית

:פתרון

.א

k :נתונה בנוסחת ברנולי, ת ניסיונוn הצלחות מתוך k-ההסתברות ל n kk

nP P (1 P)

k−

= −

.Pכאשר ההצלחה בניסוי בודד היא

:קרה שלפנינובמ

3 5 3 3 23

5 5!P 0.4 (1 0.4) 0.4 0.6 10 0.064 0.36 0.2304

3 3!(5 3)!−

= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = −

P: תשובה 0.2304=

.ב

:קיימות שלוש אפשרויות

כולם דוברי אנגלית .1

.כולם אינם דוברי אנגלית .2

).קבוצה מעורבת(לפחות אחד דובר אנגלית ולפחות אחד אינו דובר אנגלית .3

1 :1סכום ההסתברות הוא כמובן 2 3P P P 1+ + =

3P . 3אנחנו מחפשים את 1 2P 1 P P= − −

5 :ההסתברות שכולם דוברי אנגלית 1P 0.4=

5 :ההסתברות שכולם אינם דוברי אנגלית 52P (1 0.4) 0.6= − =

5 53P 1 0.4 0.6 1 0.01024 0.07776 0.912= − − = − − =

P: תשובה 0.912=

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 80

:4דוגמא מספר

. בחינות כניסה6-ספר יוקרתי יש להיבחן ב-כדי להתקבל לבית

.מתקבל לבית הספר 6- בחינות מתוך ה5מועמד העובר בהצלחה לפחות

.0.7ההסתברות להצליח באחד ממבחני הכניסה היא

?רות שהוא לא יתקבל לבית הספרמהי ההסתב. ארז ניגש לבחינות הכניסה .א

?מהי ההסתברות שאברהם יתקבל לבית הספר ויעקב לא. אברהם ויעקב ניגשו לבחינות הכניסה .ב

:פתרון

.א

.1-משלימה את ההסתברות שהוא כן יתקבל ל, ההסתברות שארז לא יתקבל לבית הספר

.נחשב את ההסתברות של ארז להתקבל לבית הספר

6 : הבחינות6ח בכל ההסתברות שיצלי 6P 0.7 0.11765= =

. בחינות נחשב בעזרת נוסחת ברנולי5-את ההסתברות שיצליח בדיוק ב

כשההסתברות להצליח בניסיון , ניסיונותnמתוך , הצלחותk-נוסחת ברנולי מחשבת את ההסתברות ל

:Pבודד היא

k n k k n kk

5 6 5 55

n n!P P (1 P) P (1 P)

k k! (n k)!

6!P 0.7 (1 0.7) 6 0.7 0.3 0.30253

5!(6 5)!

− −

−

= − = ⋅ ⋅ − ⋅ −

= ⋅ − = ⋅ ⋅ =−

: בחינות או בחמש בחינות היא סכום ההסתברויות שחישבנו6-בההסתברות להצלחה

1 6 5P P P 0.11765 0.30253 0.42018 0.42= + = + = =

.0.42ההסתברות להתקבל לבית הספר היא אפוא

1P: ההסתברות לא להתקבל 1 P 1 0.42 0.58= − = − =

P: תשובה 0.58=

.ב

1P :'סעיף אכפי שחישבנו ב, ההסתברות שאברהם יתקבל 0.42=

2P :'כפי שחישבנו בסעיף א, ההסתברות שיעקב לא יתקבל 0.58=

:ל"ההסתברות שאברהם יתקבל ויעקב לא יתקבל היא מכפלת ההסתברויות הנ

1 2P P P 0.42 0.58 0.2436= ⋅ = ⋅ =

P: תשובה 0.2436=

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 81

: נוספותשאלות

P) P: ההסתברות להצלחה היא, בניסוי מסוים .1 1: וההסתברות לכישלון היא, )≠0 P− .שאם , ידוע

מה , 21גדולה פי , אזי ההסתברות להצליח בדיוק בשני ניסויים מבין השלושה, עורכים שלושה ניסויים

.שלושהההסתברות להצליח בכל ה

.Pחשב את .א

.חשב את ההסתברות להצליח לכל היותר בניסוי אחד מבין השלושה .ב

. מן ההסתברות ללדת בת 50%-גדולה ב, באזור מסוים ההסתברות ללדת בן .2

?)בלידה בודדת(מהי ההסתברות ללדת בן .א

ים הבאים יש הסתברות לאיזה הרכב מבין השני. בוחרים באופן אקראי משפחה עם שישה ילדים .ב

?גדולה יותר

. בנות3, בנים3: הרכב מאוזן .1

. בנים2- בנות ו4הרכב של .2

: בבחינת בגרות במתמטיקה היא, בבית ספר מסוים, ב"ההסתברות להצלחה של מסיימי כיתה י .3

(0 P 1) P< <.

2 אזי ההסתברות שבדיוק, ה זו באותו בית ספרמבין הניגשים לבחינ, תלמידים4אם בוחרים באקראי

. יכשלו4-מההסתברות שכל ה 96גדולה פי , מהם יצליחו

.Pחשב את .א

.יצליחו בבחינה, תלמידים שנבחרו באקראי4 מתוך 3שלפחות , חשב את ההסתברות .ב

:תשובות

.א .11

P8

=

P .ב 0.9570=

.א .23

5

בנות3, בנים3 .ב

P .א .3 0.8=

P .ב 0.8192=

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 82

:5-3שאלה מספר

בייס משולב עם ברנולי: צפויה להישאל בנושא

:1דוגמא מספר

בטעם 4- ו תות בטעם 6 יש מהן אחת וכל" לימותות "הנקראות סוכריות של יש שקיות יםממתק בחנות

.לימון

הסוכריות ארבע שכל ההסתברות מה. סוכריות 4 החזרה ללא ומוציא לימותות שקית קנה ראובן .א

?לימון בטעם תהינה

בטעם 4 יוציא שהוא ההסתברות האם. אחת סוכריה אחת מכל ומוציא תלימותו שקיות 4 קנה יוסי .ב

' ?א בסעיף שחישבת מההסתברות נמוכה או גבוהה, לימון

בטעם יותר יש שהוציא הסוכריות 4 שבין ידוע. אחת סוכריה שקנה שקית מכל באקראי הוציא יוסי .ג

?לימון בטעם הן שהוציא הסוכריות 4 שכל ההסתברות מהי. לימון

:פתרון

. א

:סתברות היאהה 4 3 2 1 1

P10 9 8 7 210

⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅

. ב

:ההסתברות היא 4

4 16P

10 625 = =

סוכריות בטעם לימון גבוהה יותר שכן 4הסיכוי של יוסי להוציא 16 1

256 210>.

. ג

: סוכריות היא4 לימון מתוך 3ההסתברות להוציא 3 14 4 6 96

P3 10 10 625

= ⋅ =

לימון כאשר ההסתברות לכך היא 4גם כולל .." יותר לימון"..האירוע 16

625.

: לימון היא4 לימון אז ההסתברות ל 3אם ידוע שלפחות 16625

16 96625 625

16 1P

16 96 7= = =

+ +

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 83

:2דוגמא מספר

.והיתר דוברי אמת, מכלל הנחקרים במשטרה משקרים40%ידוע כי

.0.9 אמת תקבע שהוא משקר היא ההסתברות שבדיקה במכונת, כאשר נחקר משקר

.0.85ההסתברות שהמכונה תקבע שהוא דובר אמת היא , כאשר נחקר דובר אמת

.נחקר נבדק במכונת אמת .א

?מהי ההסתברות שהמכונה תקבע שהוא משקר

.המכונה קבעה שהנחקר משקר .ב

?מהי ההסתברות שהוא אכן משקר

.אמתנבדקים במכונת ) שאין קשר ביניהם(ארבעה נחקרים .ג

? מהם משקרים3מהי ההסתברות שהמכונה תקבע שבדיוק

:פתרון

.א

P P+P=

0.6 0.15 0.4 0.9 0.45⋅ + ⋅ ==

P: תשובה 0.45=

.ב0.4 0.9

0.80.45

⋅ P)שקרן/המכונה קובעת שקרן (= ==

P: תשובה 0.8=

.ג

( ) ( ) ( )4 33 4 3 34 3

k 3

n 4

P 0.45

P P 1 P 4 0.45 0.55 0.2−

=

=

=

= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ =

דובר אמת 0.6

שקרן 0.4

המכונה קובעת שהוא שקרן

0.1

0.9

המכונה קובעת

שהוא לא שקרן

0.15

המכונה קובעת שהוא לא דובר

אמת

0.85

המכונה קובעת שהוא דובר אמת

P( ונה קובעת ששקרןשקרן והמכ )

P(המכונה קובעת ששקרן)

)'מתוך סעיף א(

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 84

:3 דוגמא מספר

: בבחינת בגרות במתמטיקה היא, בבית ספר מסוים, ב"ההסתברות להצלחה של מסיימי כיתה י

(0 P 1) P< <.

2 אזי ההסתברות שבדיוק, מבין הניגשים לבחינה זו באותו בית ספר, תלמידים4אם בוחרים באקראי

. יכשלו4-מההסתברות שכל ה 96גדולה פי , מהם יצליחו

.P חשב את .א

. 0.6שהצליח בבגרות במתמטיקה יתקבל לאוניברסיטה היא , ס"ב מביה"ההסתברות שתלמיד י .ב

אם ידוע שתלמיד . 0.3ההסתברות שתלמיד שלא הצליח בבגרות במתמטיקה יתקבל לאוניברסיטה היא

?מהי ההסתברות שהוא הצליח בבגרות במתמטיקה, התקבל לאוניברסיטה

: פתרון

.א( ) ( )2 04 4P 96 P= ⋅

( ) ( )4 2 2 4 0 4 02 0P (1 P) 96 P (1 P)−⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ −

2/ : 6(1 P)− 2 2 46p (1 P) 96 1 1 (1 P)⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ − 2 2P 16(1 P)= − 2 2P 16(1 2P P )= − + 2 2P 16 32P 16P= − +

215P 32P 16 0− + =

2P 0.8= , 1

4P

30לא בתחום = P 1< <

P: תשובה 0.8=

.ב

( ) ( )( )

PP

P=

0.8 0.6 0.48 0.48 8

0.8 0.6 0.2 0.3 0.48 0.6 0.54 9

⋅= = = =

⋅ + ⋅ +

הצליח בבגרות וגם התקבל

לאוניברסיטה

התקבל לאוניברסיטה

הצליח בבגרות/התקבל לאוניברסיטה

מתקבל

מתקבל

לא מתקבל

0.7

0.4

0.3 0.2

הצליח בבגרות במתמטיקה

0.8

לא הצליח בבגרות

במתמטיקה

0.6

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 85

:שאלות נוספות

. עובדים מהמפעל6בוחרים באקראי . מהעובדים שנבחרו הם דוברי אידיש60%במפעל מסוים .1

העובדים שנבחרו הוא דובר אידיש ולפחות אחד מהם אינו דובר 6-מה ההסתברות שלפחות אחד מ . א

?אידיש

. ולפחות אחד מהם אינו דובר אידיש העובדים שנבחרו הוא דובר אידיש6- ידוע שלפחות אחד מ . ב

. מהם הם דוברי אידיש3חשב את ההסתברות שבדיוק

למבחן אז םאם בוחרים באופן מקרי ארבעה נבחנים הניגשי . Pההסתברות להצליח במבחן נהיגה היא .2

.ההסתברות שבדיוק שניים מהם יצליחו במבחן שווה להסתברות שבדיוק שלושה מהם יצליחו במבחן

.Pחשב את .א

מה ההסתברות שכל הארבעה מהם . ארבעה אנשים נגשו למבחן וידוע שלפחות אחד מהם הצליח .ב

?יצליחו

. נשים2x- גברים וxבחדר נמצאים .3

).בלי החזרה(בוחרים באקראי שני אנשים מהחדר בזה אחר זה

האחר אישה היא ידוע שההסתברות לבחור שני אנשים שאחד מהם גבר ו 1

2.

.xחשב את .א

:ענה על הסעיפים הבאים', שחישבת בסעיף אx-עבור ה

.ידוע שהאדם השני שנבחר היה אישה .ב

?מהי ההסתברות שהאדם הראשון שנבחר היה אישה

).דר נשים בח2x- גברים וxבכל פעם יש בהתחלה (בוחרים שני אנשים חמש פעמים .ג

?מהי ההסתברות שבדיוק שלוש פעמים בוחרים שתי נשים

:תשובות

p. א .1 x .א .3 =0.949248 3=

. ב 30

p103

0.2462 .ג =

p. א .2 0.6=

p. ב 0.13=

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 86

:7-6שאלה מספר

.הסתברות בחיי יום יום: צפויה להישאל בנושא

טבלת פרופורציות

A A

B P A∩ B( ) P A∩ B( ) P B( )

B P A∩ B( ) P A∩ B( )

P B( )

P A( ) P A( ) 1

P : מסומנתB - מותנית בAפרופורציה של A / B( )

P :ומוגדרת כך A / B( ) =P A∩ B( )

P B( )

:ציה מותנית נקבלעבור פרופור

P A∩ B( ) = P B/ A( )⋅ P A( ) = P A /B( )⋅ P B( )

P :בייס נוסחת A / B( ) =P B/ A( ) ⋅ P A( )

P B( )

Pאו A / B( ) ⋅ P B( )= P B/ A( ) ⋅ P A( )

טיפ

.1 -סכום ארבע המשבצות הפנימיות בטבלה שווה ל

נוסחאות וכללים

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 87

:1דוגמא מספר

".האפס שעת "בעניין משאל נערך הספר-מבתי באחד

.תלמידים היו לשאלון העונים מכלל ומחצית, מורים היו לשאלון העונים מכלל חציתמ

,הספר-בבית" האפס שעת "בהנהגת תמכו לשאלון העונים מכלל 60%

".האפס שעת "בהנהגת תמכו לשאלון שענו מהתלמידים 20% - ו

.לשאלון שענו" האפס שעת"ב התומכים קבוצת - A :נסמן

B - לשאלון נושע התלמידים קבוצת.

?התלמידים פרופורציית מהי, "האפס שעת"ב התומכים מבין .א

בהנהגת תומכים לשאלון שענו המורים כל כי נמצא במשאל: הכותרת הופיעה הספר- בית בעיתון .ב

.הספר-בבית" האפס שעת"

.נכונה שהכותרת חישובים בעזרת הראה

:פתרון

A A

1 10.5 0.1 0.4 0.2 0.1 B

2 21

0 0.6 0.1 0.5 B2

1 0.4 60%

− = ⋅ =

− =

.אP(A B) 0.1 1

P(B/ A)P(A) 0.6 6

∩= = =

P(A .ב B) P(A) P(A B) 0.6 0.1 0.5∩ = − ∩ = − =

P(B) :ידוע 0.5=

⇓

P(A B) P(B)∩ =

.כלומר כל המורים תמכו בשעות אפס

: בעץ כך מתחיליםםלכל המעונייני

תלמידים

מורים

ומכיםלא ת תומכים

כ"סה

תומך

לא תומך

מורים

תלמידים

תומך

לא תומך

80%

1

2

1

2

60%

20%

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 88

:2ר דוגמא מספ

:המשאל תוצאות לפניך. הספר בבית אחידה תלבושת בעניין משאל נערך הספר מבתי באחד

1

2 .אחידה בתלבושת תומכים) בנות + בנים (מהתלמידים

1

4 .אחידה לתלבושת מתנגדים מהבנים

1

5 .בנים מהתלמידים

.הבנים קבוצת – A :נגדיר

B – אחידה בתלבושת התומכים) בנות + בנים (התלמידים קבוצת.

?אחידה לתלבושת המתנגדים) בנות + בנים (התלמידים מבין הבנים פרופורצית מהי .א

?הספר בבית הבנות מבין, אחידה בתלבושת התומכות פרופורצית מהי .ב

:מימדית- בעזרת טבלה דופתרון

A A

30.5 0.5 0.15 0.35 0.2 0.15 B

4

0.5 0.8 0.35 0.45 0.2 0.15 0.05 B

11 0.8 0.2

5

− = ⋅ =

− = − =

=

.אP(A B) 0.05

P(A / B) 0.1P(B) 0.5

∩= = =

.בP(A B) 0.35 7

P(B / A)P(B) 0.8 16

∩= = =

: מתחילים כךפתרון בעזרת דאגרמת עץל3

4

בנים

בנות תומך

לא תומך

לא תומך

תומך

1

4

4

5

1

5

כ"סה בנות בנים

תומך

מתנגד

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 89

:3דוגמא מספר

אנשים 1200בסקר שבדק את יעילות הכדורים להרזיה שמייצרות שתי חברות נבחנה השפעת הכדורים על

עורכי . ('ומחצית מהאנשים נטלו כדורים של חברה ב' נטלו כדורים של חברה אמחצית מהאנשים . 50בגיל

כעבור חצי שנה התפרסמו תוצאות ). ג לפחות בחצי שנה" ק10הסקר קבעו כי הרזיה פרושה ירידה של

:הסקר המסוכמות בטבלה שלפניך

'נוטלי הכדורים של חברה ב 'נוטלי הכדורים של חברה א

שיםנ גברים נשים גברים

360 20 150 170 רזו

180 40 50 230 לא רזו

.כל אחת מהחברות טענה כי לפי תוצאות הסקר הכדורים שלה יעילים יותר

טענה כי מבין הנשים הנוטלות את הכדורים שלה אחוז המרזות גבוה יותר מאשר מבין הנשים 'חברה א

ת הכדורים שלה אחוז המרזים גבוה יותר וגם מבין הגברים הנוטלים א' הנוטלות את הכדורים של חברה ב

.'מאשר מבין הגברים הנוטלים את הכדורים של חברה ב

טענה כי מבין כלל נוטלי הכדורים שלה אחוז סך כל המרזים גבוה יותר מאשר מבין כלל נוטלי 'חברה ב

.'הכדורים של חברה א

. טענתה מהחברות אתכל אחתעל סמך מה קבעה , הסבר בעזרת חישובים מתאימים .א

נשים או גברים יש נטיה גבוהה יותר לרזות , למי מבין שתי האוכלוסיות, קבע על פי נתוני הסקר ) 1( .ב

.נמק. באמצעות כדורים

אפשר היה לחשוב כי מבין כלל נוטלי הכדורים שלה אחוז סך כל המרזים ' על פי הטענה של חברה א) 2(

כיצד אפשר להסביר שההפך הוא . 'ים של חברה ביהיה גבוה יותר מאשר מבין כלל נוטלי הכדור

?הנכון

:פתרון

. א

.B- ואת קבוצת המרזים בA-נסמן את קבוצת הנשים ב' בחברה א

.D- ואת קבוצת המרזים בC-ב נסמן את קבוצת הנשים ב'בחברה

.ו מימדיות נפרדות דנתרגם את נתוני שתי החברות לשברים עשרוניים ונכנס אותם בשתי טבלאות

כ"הס Aגברים Aנשים תיאור

B 0.284 0.250 0.534רזו

B 0.383 0.083 0.466לא רזו

1.00 0.333 0.667 סהכ

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 90

: שיעור הנשים המרזות מבין הנשים

( ) ( )( )

P A B 0.284P B/ A 0.426

P B 0.667

∩= = =

:המרזים מבין הגברים שיעור הגברים

( ) ( )( )

P B A 0.250P B/ A 0.750

0.330P A

∩= = =

ה"סכ Cגברים Cנשים תיאור

D 0.033 0.600 0.633רזו

D 0.067 0.300 0.367לא רזו

1.00 0.900 0.100 סהכ

:שיעור הנשים המרזות מבין הנשים

( ) ( )( )

P D C 0.033P D / C 0.33

P C 0.100

∩= = =

:שיעור הגברים המרזים מבין הגברים

( ) ( )( )

P D C 0.600P D / C 0.667

0.900P C

∩= = =

0.426ואכן 0.750 - ו <0.33 .נכונה' כלומר טענת חברה א<0.667)' האחוז הכולל של המרזים בחברה ב, מאידך )P D ' א גדול מהאחוז הכולל של המרזים בחברה =0.633

( )P B 0.534=.

.א השתיים בטענתןוצודקות איפ

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 91

.ב

. גברים740- נשים ו460בסקר השתתפו ) 1(

ונכנס את התוצאות היחסיות בטבלה דו F- ואת קבוצת המרזים בE-נסמן את קבוצת הנשים ב

:מימדית

Eגברים Eנשים

Fרזו 170 20

0.1581200

+= 150 360

0.4251200

+= 0.583

Fלא רזו 230 40

0.2251200

+= 50 180

0.1921200

+= 0.417

0.383 0.617 1.00

:שיעור הנשים שרזו מבין הנשים הוא

( ) ( )( )

P F E 0.158P F/ E 0.413

P E 0.383

∩= = =

:שיעור הגברים שרזו מקרב הגברים

( ) ( )( )

P F E 0.425P F/ E 0.689

0.617P E

∩= = =

0.689 .לגברים נטיה גבוהה יותר לרזות באמצעות הכדורים, על פי הסקר, ולכן<0.413

.ממנה ניתן ללמוד שההפך הוא הנכון' ראה ניתוח טענת חברה ב ) 2(

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 92

:4דוגמא מספר

,מדגם מסוים ומשנת ייצור מסוימת, אופנוע משומש" מדידה"ירון לקח לבדיקה במכון

.שאותו הוא רוצה לקנות

מאבחן נכון" מדידה"וידוע כי מכון הבדיקה , מהאופנועים אלה אכן תקינים40%ידוע כי רק

ומבין האופנועים , כתקינים85%כלומר מבין האופנועים התקינים הוא מאבחן ( מהאופנועים 85%נכון

). כלא תקינים85%הלא תקינים הוא מאבחן

.אובחן כתקין האופנוע שירון רוצה לקנות" מדידה "בבדיקה במכון .א

?מהי ההסתברות שהאופנוע אכן תקין

,נשאלו מהי ההסתברות שהאופנוע אכן תקין , "חשיבה הסתברותית"אנשים שלא למדו .ב

.הוא אובחן כתקין" מדידה"אם בבדיקה במכון

?מה נוטים לענות על שאלה זו אנשים כאלה, "חשיבה הסתברותית"למדת בעל פי מה ש

?מאיזה נתון הם מתעלמים בתשובתם

כדי שההסתברות שהאופנוע אכן תקין תהיה , מה צריך להיות אחוז האופנועים התקינים .ג

. נמק? "מדידה "במכון בבדיקה כתקין אובחן הוא אם, 85%

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 93

:פתרון

האופנוע תקין- A: נסמן

B -המכון קובע שהאופנוע תקין

:הנתונים הםP(A) 0.4

P(B / A) P(B / A) 0.85

=

= =

:נבנה דיאגרמת עץ

.א P(A B) 0.34 0.34

P(A / B) 0.79P(B) 0.34 0.09 0.43

∩= = = =

+

.0.85אנשים אלה יטענו שההסתברות היא .ב

.'כשל השיעור הבסיסי': התופעה מכונה. של האופנועים התקיניםהם מתעלמים מהשיעור הבסיסי

.ג ( )

0.85x0.85

0.85x 0.15 1 x=

+ −P(A) במקרה זה נקבל 0.5=

:דרך נוספת

P(A)במקרה זה נדרוש 0.5 50%= :1כדי שהשיעור הבסיסי יהיה , =P(A) 0.5

10.5P(A)

= =.

תקין0.85

x תקין0.4

1-x

לא תקין0.6

לא תקין0.15

תקין0.15

לא תקין0.85

0.34

0.06

0.09

0.51

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 94

:שאלות נוספות

והם נוספות שעות נשארים מהגברים 40%. נשים והשאר, גברים הם מהעובדים 50% מסוים במפעל .15

6

. נוספות שעות שנשארים העובדים מכלל

.הגברים העובדים קבוצת – A :נגדיר

B – נוספות שעות שנשארים העובדים קבוצת.

.ממדית דו טבלה בנה .א

?נוספות שעות נשארים ולא נשים שהנם העובדים פרופורצית מהי .ב

גברים שלא נשארים שעות נוספות שהנם העובדים פרופורצית מהי .ג

?נוספות שעות נשארים שלא העובדים מבין

.שנתי טיול נגד או בעד התלמידים בין משאל נערך מסוים ס"בביה .2

3

5. שנתי טיול בעד הצביעו התלמידים מכלל

4

7 המתנגדים מבין 25%. שנתי טיול בעד הצביעו מהבנים

.בנות הן שנתי לטיול

?בנים הם המצביעים מבין אחוז איזה .א

?הבנים מהווים שנתי טיול בעד המצביעים מבין חלק איזה .ב

?השנתי הטיול בעד הצביעו תלמידים כמה. תלמידים 1200 יש ס"ביהב .ג

, ממצאי הבדיקה. מכשיר חדש לגילוי מתכות' המאתר'הנהלת שדה התעופה שוקלת לרכוש מחברת .3

:רשומים לפניך, שנעשתה להערכת ביצועי המכשיר

ן אלה שהמכשיר קבע כי מבי. אכן נשאי מתכות95%, י המכשיר כנושאי מתכות"מבין האנשים שזוהו ע

מכלל הנבדקים הם נושאי 10%המכשיר קבע כי . בכל זאת נשאו מתכות1%, אינם נושאים מתכות

.מתכות

.קבע אם היא נכונה או אינה נכונה, שלפניך' ג', ב', ענות אט מהכל אחתעבור

. כל קביעה בעזרת חישובים מתאימיםנמק

.לה שאכן נושאים מתכות מבין א95%ר מזהה נכון מעל יהמכש .א

. שהמכשיר מזהה אותם כנושאי מתכות1%-מבין האנשים שאינם נושאים מתכות יש פחות מ .ב

. שהמכשיר אינו מזהה אותם כנושאי מתכות10%-מבין האנשים שנושאים מתכות יש פחות מ .ג

005שאלון

ות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכוי/צילום ו 95

בלימודים ה במחקר שנערך בקרב סטודנטים בחוג למתמטיקה ניסו לבדוק את הקשר בין הצלח .4

. בחוג ובין עיסוק בספורט

אחוז הסטודנטים , תוצאות המחקר הראו כי מבין הסטודנטים של החוג העוסקים בספורט

.המצליחים בלימודים גבוה יותר מאשר מבין אלה שאינם עוסקים בספורט

במחקר נמצא גם כי היחס בין מספר בסטודנטים העוסקים בספורט למספר הסטודנטים

ליחים בלימודים הוא המצ 5

6וכן נמצא כי ,

1

3 מבין הסטודנטים המצליחים בלימודים

.אינם עסוקים בספורט

. את פרופורציית הסטודנטים בחוג למתמטיקה המצליחים בלימודיםm- נסמן ב

ם בלימודים וגם עוסקים את פרופורציית הסטודנטים המצליחיmבטא באמצעות

.בספורט

במחקר שנערך בקרב תיכוניסטים ניסו לבדוק את הקשר בין עבודה במקביל ללימודים לבין הצלחה או .5

. מבין התיכוניסטים המצליחים בלימודים אינם עובדים40%-במחקר נמצא ש. כשלון בלימודים

את פרופורציית kבטאו באמצעות . ים בלימודים את פרופורציית התיכוניסטים המצליחk-נסמן ב .א

.התיכוניסטים המצליחים בלימודים וגם עובדים

נתן גם שהיחס בין מספר התיכוניסטים העובדים לבין מספר התיכוניסטים המצליחים בלימודים .ב

מה הסיכוי ששונטל מצליחה . שונטל היא תיכוניסטית העובדת במקביל ללימודים. 0.8הוא

?בלימודים

אחוז התיכוניסטים המצליחים בלימודים , תוצאות המחקר הראו כי מבין התיכוניסטים העובדים .ג

. גבוה יותר מבין אלה שאינם עובדים

?kבין אילו ערכים נמצא ערכו של

2009 ט" תשסחורףמיקוד

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו 96

:ותתשוב

. א .1

A A

0.24 0.04 0.2 B

0.76 0.46 0.3 B

1 0.5 0.5

0.46 .ב

. ג 30

76

70% .א .2

.ב 2

3

720 .ג

לא נכון .א .3

נכון .ב

נכון .ג

4. 2

m3

0.6k .א .5

0.75 .ב

. ג 3

0 k4

≤ <

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

97

יסודיים-בגרות לבתי ספר על :סוג הבחינה

2009, ט"תשס חורף :מועד הבחינה

035005 :מספר השאלון

יחידות לימוד4-5 -דפי נוסחאות ל:נספח

מתמטיקה

'השאלון

הוראות לנבחן

.שעתיים: משך הבחינה .א

.בשאלון זה שש שאלות :מבנה השאלון ומפתח ההערכה .ב

.הסתברות, הנדסת המישור,אלגברה

עליך לענות על שלוש שאלות 1

100 33 33

= . נקודות⋅

:חומר עזר מותר בשימוש .ג

.אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות. מחשבון לא גרפי .1

.שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות עלול לגרום לפסילת הבחינה

).מצורפים(דפי נוסחאות .2

:הוראות מיוחדות .ד

.סמן את מספרה בלבד, ל תעתיק את השאלהא .1

גם כאשר החישובים, רשום במחברת את שלבי הפתרון. התחל כל שאלה בעמוד חדש .2

.מתבצעים בעזרת מחשבון

.בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת, כולל חישובים, הסבר את כל פעולותיך

.ירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינהחוסר פ

.לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים .3

.טה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינהשימוש בטיו

.ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד

!בהצלחה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

98

:1ר מספ דוגמא פתורמבחן

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

24mx: נתונה המשוואה .1 4x m 2− = +.

?שונים יש למשוואה שני פתרונות ממשייםmעבור אילו ערכי .א

1 .ב 2x , xשל משוואהשונים הם פתרונות ממשיים .

1 מתקיים mעבור אילו ערכי 2

1x x

4+ <?

עבר I רוכב .B והגיעו ליישוב Aיצאו מיישוב , II ורוכב Iרוכב , שני רוכבי אופניים .א .2

. משעבר בשעה הקודמתיותרמ "ק 0.2ובכל שעה נוספת עבר , מ" ק3בשעה הראשונה

משעבר פחותמ " ק0.3מ ובכל שעה נוספת עבר "ק 5.75 עבר בשעה הראשונה IIרוכב

מצאו את המרחק . II רכב שעה אחת יותר מהזמן שרכב רוכב Iרוכב . בשעה הקודמת

.אם ידוע כי כל רוכב רכב מספר שלם של שעות, B ליישוב Aבין יישוב

הוא בשעה הראשונה. Cמ מיישוב " ק72הנמצא במרחק , D ליישוב C רכב מיישוב IIIרוכב .ב

. מהמרחק שעבר בשעה הקודמת 4.8 -בובכל שעה נוספת עבר מרחק הגדול , .מ"ק 4.8רכב

?D ליישוב IIIכעבור כמה שעות הגיע רוכב ). הוא רכב מספר שלם של שעות(

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

99

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

).קודות נ

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

:נתונים .3

ABCDהוא ריבוע .

BE FC=.

: ל"צ AEB (1) .א BFC∆ ≅ ∆.

. בר חסימהAHFDהמרובע (2)

מצא את היחס .ב DG

CFכי כאשר נתון

CF 1

FD 2=

B

H

C

F

A D

E

G

, הוכח כי שני מיתרים הנחתכים בתוך מעגל .א .4

כך שמכפלת , ים זה את זה לשני קטעיםמחלק

.קטעי האחד שווה למכפלת קטעיו של השני

נחתכים AB- וFG שני מיתרים Oבמעגל שמרכזו .ב

. AB המיתר היא אמצע D-כך ש, Dבנקודה

אותו וחותך , AO מאונך לרדיוס FGהמיתר

). ראה ציור (Mבנקודה

.DM =מ " סAB 3.5 =מ"ס 24 :נתון

.FDחשב את

O

B

A

F GMD

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

100

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב

הסתברות

.מוציאים באקראי מהכד כדור אחד. כדורים שחורים4- כדורים אדומים ו3בכד יש .5

.משאירים אותו בחוץ, אם הכדור שהוצא הוא אדום

. כדורים שחוריםxד ומוסיפים לכד עוד מחזירים אותו לכ, אם הכדור שהוצא הוא שחור

.לאחר מכן מוציאים באקראי מהכד כדור נוסף

ידוע שההסתברות ששני הכדורים שהוצאו הם בצבעים שונים היא .א3

7 .xחשב את .

מהי ההסתברות, אם ידוע שלפחות אחד מהכדורים שהוצא הוא שחור .ב

?א אדוםשהכדור הראשון שהוצא הו

:בסקר שנערך בקרב גברים ונשים נמצא .6

. מהגברים שהשתתפו בסקר עוסקים בתחביב הדורש מאמץ גופני60%

. מבין העוסקים בתחביב הדורש מאמץ גופני הם נשים25%

. מהמשתתפים בסקר הם גברים50%

?ש מאמץ גופנימהי פרופורציה של העוסקות בתחביב הדור, הנשים שהשתתפו בסקרמבין .א

דני טען כי על סמך ממצאי הסקר אפשר לשער כי יותר גברים מנשים עוסקים בתחביב .ב

.הדורש מאמץ גופני

.נמק? על אילו ממצאים הסתמך דני

ואילו מרבית הגברים , דנה מצאה כי מרבית הנשים שהשתתפו בסקר היו מבוגרות .ג

.שהשתתפו בסקר היו צעירים

.וענת כי ממצא זה מעמיד בספק את טענתו של דנידנה ט

.הסבר כיצד יכול הממצא של דנה להעמיד בספק את טענתו של דני

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

101

:1פתרון שאלה מספר .א

2

2

4mx 4x m 2

4mx 4x m 2 0

a 4m b 4 c m 2

− = +

− − − =

= = − = − −

כדי שיהיו שתי נקודות חיתוך המשוואה חייבת להיות . התקבלה משוואה המייצגת ישר או פרבולה

∆0 :ולכן, פרבולה x( ,a-שתי נקודות חיתוך עם ציר ה (< ).גרף של פרבולה (≠0

( ) ( )

( )( )

2

2

2

2

2

0

b 4ac 0

4 4 4m m 2 0

16 16m 32m 0

16 m 2m 1 0

16 m 1 0

∆ >

∆ = − >

− − ⋅ ⋅ − − >

+ + >

+ + >

+ >

mביטוי זה חיובי לכל 1≠ − .a mכלומר , ≠0 0≠.

m :תשובה 1,0≠ −.

1: נשתמש בנוסחת וייטה .ב 2

bx x

a+ = −.

1: בהתאם 2

4 1x x

4m m

−+ = − =.

( )

2

1 1

m 41 1

0m 44 m

0 / m4m

m 4 m0

2

<

− <

−< ⋅

−<

:נצייר את הפרבולה המתאימה

40

+

-m

mים עבור שוויון זה מתקי-אי m או <4 . של סעיף שני>0m, יש שני פתרונות שונים 1≠ mוגם , − m: ולכן התשובה, ≠0 m או <4 1 , m 0≠ − <.

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

102

:2מספר פתרון שאלה

.א

.סדרה חשבונית, כל אחת, מהוותII- וIתנועתם של הרוכבים 1: וידוע כיna -נסמן הראשונה ב aa 3 , d 0.2= =.

1 : וידוע כיnb -נסמן השנייה ב bb 5.75 , d 0.3= = −

ולכן נסמן את מספר איברי .." II רכב שעה אחת יותר מהזמן שרכב רוכב Iרוכב "..נתון

n - ואת מספר איברי הסדרה הראשונה ב n -הסדרה השנייה ב מדובר על אותה הדרך ולכן . +1

:נוכל להשוות בין הסכומים של שתי הסדרות

( ) ( )a bn 1 nS S

n 1

2

+=

+2 3 0.2 n 1× + + 1−( ) n

2 = ( )

( )( ) ( )2 2 2

1,2

2 5.75 0.3 n 1

6 0.2n n 1 n 11.5 0.3n 0.3

0.2n 6.2n 6 11.8n 0.3n 0.5n 5.6n 6 0 n 10 , 1.2

× − −

+ + = − + ⇒

+ + = − ⇒ − + = ⇒ =

nכדי לחשב את המרחק בין היישובים נציב את . שעות10זמן הנסיעה של השני היה 10= :nbבנוסחת חישוב הסכום של הסדרה

( ) ( )b 10

10S 2 5.75 0.3 9 44km

2= × − × =

.מ" ק44המרחק בין היישובים הוא

.ב1a: מתארת סדרה הנדסית ובהIIIתנועתו של רוכב 4.8= ,d nS - ו =4.8 כדי לחשב את . =72

:נעזר בנוסחת הסכום של סדרה הנדסיתמשך השהייה בדרך

1n

2

2

1 2

n(2a (n 1)d n(2 9 (n 1)4.8S 72

2 2144 9.6n 4.8n 4.8n

4.8n 4.8n 144 0

n 5 , n 6

+ − ⋅ + −= ⇒ =

= + −

+ − =

= = −

שעות 5 – עבר את המרחק ב IIIרוכב

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

103

:3פתרון שאלה מספר

נימוק טענה

ABCDנתון הוא ריבוע

AB BC=) וע שוות זו לזוצלעות הריב )צ

ABC BFC 90= = �∢ זוויות הריבוע שוות )ז (∢

BE FC=) נתון )צ

AEB BFC∆ ≅ .)צ.ז.צ(משפט חפיפה ראשון ∆

'א. ל.ש.מ

BAE CBF= = α∢ זוויות מתאימות במושלשים חופפים שוות )ז (∢

BCF BAD 90= = �∢ זוויות הריבוע ישרות ∢

DFH 90= + α�)זווית חיצונית ∢ )BCF∆ שווה לסכום שתי

.הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה

HAD 90= − α� חישוב ∢

HAD DFH 180+ = �∢ חישוב ∢

�180סכום זוויות נגדיות בר חסימהAHFDמרובע

'א. ל.ש.מ

BC || AD צלעות נגדיות מקבילות בריבוע BC || DG מקבילים –המשכים של ישרים מקבילים

זה לזהDG FD

BC CF משפט תאלס המורחב =

DG FD

DC CF הצבה =

CF 1

FD 2 נתון =

12

DG 12

DC= חישוב =

DC 3FC= חישוב

DG 2DC 2 3CF

CF CF

⋅= =

CF חישוב =6

'ב. ל.ש.מ

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

104

:4פתרון שאלה מספר

.א

זהמחלקים זה את , שני מיתרים הנחתכים בתוך מעגל:משפט

כך שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעי , לשני קטעים

.השני

.Eהנחתכים בנקודה , מיתרים במעגלCD- וAB :נתון

AE :ל"צ EB CE ED⋅ = ⋅

.BD- וAC נחבר מיתרים :הוכחה

1 2=∢ . כזוויות קודקודיות∢

3 4=∢ )ADקשת ( ות על אותה קשת נת היקפיות הנשעכזוויו∢

DBE ∆∼ ACE∆ ∴לפי שתי זוויות .

EB ED

CE AE∴ =

AE EB CE ED∴ ⋅ = ⋅

.ל.ש.מ

C

D

A BE2 1

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

105

. ב

:'לפי המשפט שהוכח בסעיף א

FD DG AD DB⋅ = ⋅ )1(

FD :סימון x=

היוצא ממרכז , אנך למיתר: לפי המשפט, OAידי הרדיוס - עלM נחצה בנקודה FGהמיתר

. את המיתרחוצה, המעגל

MG FM=

DM : וןלפי הנת 3.5= MG FM FD DM X 3.5

DG DM MG 3.5 X 3.5 X 7

= = + = +

= + = + + = +

: לפי הנתון AB 24

AD DB 122 2

= = = =

) : 1 (- ללנציב הכו ( )x x 7 12 12⋅ + = ⋅) 1(

2

2

x 7x 144

x 7x 144 0

7 49 4 144x 9

2

+ =

+ − =

− ± − ⋅= =

= FDמ "ס 9: תשובה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

106

:5פתרון שאלה מספר

. א

: עץתנשתמש בדיאגרמ

: נתון כי הסתברות להוצאת כדורים שוני צבע היא 3

7 : ולכן

2 4 3

7 7 x 7 + ⋅ +

P)שחור וגם אדום+(P)אדום וגם שחור (=

2 4 3 3

7 7 x 7 7

12 1/ 7

7 (x 7) 7

121

(x 7)

12 x 7

x 5

+ ⋅ = +

= ⋅⋅ +

=+

= +

=

אדום

שחור

שחור

שחור

אדום

אדום

4 4 x

7 x 7

+ ⋅ +

4 3

7 x 7 ⋅ +

2

7

1

7

2

6

4

5

3

x 7+

4 x

x 7

+

+

3

7

4

7

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

107

. ב

:ההסתברות להוציא לפחות כדור אחד שחור היא

P)שחור וגם אדום+(P)אדום וגם שחור(+ P)שחור וגם שחור (=

2 4 3 4 3

7 7 x 7 7 x 7

2 4 3 4 4 5

7 7 5 7 7 5 7

2 4 3 4 9 6

7 7 12 7 12 7

= + ⋅ + ⋅ = + +

+ = + ⋅ + ⋅ = + +

= + ⋅ + ⋅ =

: ההיא לפי הדיאגרמ) והשני שחור(ההסתברות שהכדור הראשון אדום 2

7ן אם ידוע שהוצא ולכ

:לפחות כדור אחד שחור ההסתברות שהכדור הראשון הוא אדום היא

2

7=

6

7

2 1

6 3= =

x=5נציב :

P)שחור וגם אדום+(P)אדום וגם שחור(+ P)שחור וגם שחור(

P)אדום וגם שחור(

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

108

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

109

:6פתרון שאלה מספר

. קבוצת גברים שנסקרו– A :נסמן

B –קבוצת הנסקרים שעוסקים בתחביב הדורש מאמץ גופני .

) :נתון ) ( ) ( )P A 0.5 , P B/ A 0.6 , P A / B 0.25= = =

( ) ( )( )

( ) ( )P B A P B A

P B/ A 0.6 P B A 0.3P A 0.5

∩ ∩= = = ⇒ ∩ =

): נסמן )P B x=

( ) ( )( )

( ) ( )P A B P A B

P A / B 0.25 P A B 0.25xP B x

∩ ∩= = = ⇒ ∩ =

∑ A A

x 0.25x 0.3 B

1 x− 0.5 0.25x− 0.5 0.3 0.2− = B

1 1 0.5 0.5− = 0.5 ∑

( )0.2 0.5 0.25x 1 x 0.7 0.25x 1 x

0.75x 0.3 x 0.4

⇒ + − = − ⇒ − = −

⇒ = ⇒ = ⇒

) .א ) ( )( ) ( )

P B A 0.1P B/ A P B / A 0.2

0.5P A

∩= = ⇒ =

): טענתו של דני היא .ב ) ( )P B/ A P B/ A>.

מבין הגברים גבוה משיעור העוסקים בתחביב ' שיעור העוסקים בתחביב וכו: במילים

.מסוג זה מבין הנשים

:י חישוב"נבדוק ע

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

P B AP B A 0.3 0.1P B/ A 0.6 , P B/ A 0.2 P B / A P B/ A

P A 0.5 0.5P A

∩∩= = = = = = ⇒ >

.קשר סיבתי אך לא הוכיח קשר סטטיסטידני מצא . דנה צודקת .ג .לגיל הנסקרל קשור "יתכן שבעיסוק בתחביב הנ

והממצאים נבעו מגיל הנסקר , וטים יותר לעסוק בפעילות גופנית מאשר מבוגריםנצעירים

:באופן הבא, )אישה/גבר(ולא ממין הנסקר ) מבוגר/צעיר(

.גיל↔ תחביב,גיל↔ )נ/ז(מין ⇒) נ/ז(מין ↔תחביב

) נ/ז( בין מין :הצמדת גורמים שבגינו קיבלנו הגורם המתווךהוא ) הסיבהשיכול להיות (הגיל

.הנסקר לבין התחביב

∑ A A

0.4 0.1 0.3 B

0.6 0.4 0.2 B

1 0.5 0.5 ∑

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

110

:מתחילים כך, לפתרון בעזרת דיאגרמת עץ

:נבנה את המשוואה 0.25x 0.3 x

0.75x 0.3

0.3x

0.75x 0.4

+ =

=

=

=

עוסקים בספורט

A A

B B

0.50.5

1 – x x

נשיםגברים

0.60.4

0.5⋅⋅⋅⋅ 0.6 = 0.3

לא עוסקים בספורט

לא עוסקים בספורטעוסקים בספורט

לא עוסקים בספורט עוסקים בספורט

0.25⋅⋅⋅⋅ x 0.5 – 0.3 = 0.2

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

111

:2 מספר דוגמא פתורמבחן

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

: נתונות שתי הפונקציות .1

2

2 1f (x)

x 1 x 1

5g(x)

x 1

x 1

= −− +

=−

≠ ±

f הגרף של הפונקציה xלאילו ערכי .א (x)ף של הפונקציה נמצא מעל הגרg(x)?

?x- נמצא מעל ציר הg(x) הגרף של הפונקציה xלאילו ערכי )1( .ב

הגרף של xמצא לאילו ערכי , x-כאשר שני הגרפים נמצאים מעל ציר ה )2( fהפונקציה (x)ונקציה נמצא מעל הגרף של הפg(x).

… ,114 ,117 ,120: נתונה סדרה חשבונית .2

. האיברים הראשונים בסדרה קטן מאפסnסכום , nמצא עבור אילו ערכים של .א

−357האיבר האחרון בסדרה הוא .ב

?כמה איברים שליליים יש בסדרה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

112

לכל שאלה(: הסתברות, ישורהנדסת המ: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

3. ED הוא קטע אמצעים במשולש ABC.

O הוא מרכז המעגל החוסם את משולש AED.

Mסם את המשולש הוא מרכז המעגל החו ABC.

.) מונחות על ישר אחדA , O , Mהנקודות (

).ראה ציור(

AOEהוכח כי .א AMB△ ∼△.

מצא את היחס .ב AO

AM.

4. KBו, הוא מיתר במעגל- KA בנקודה משיק למעגל K

ABK -כך ש 120= °∢.

.C חותך את המעגל בנקודה ABמשך הקטע ה

E בנקודה BC חותך את המיתר KDמיתר 1

).ראה ציור (BK=BE -כך ש

KECהוכח כי .א BED≅△ △.

2KEהוכח כי .ב AB EC= ⋅.

A

EO

D

B C

.

.M

A EB

K

D

C

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

113

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב הסתברות

:המשחק שלהלן המשחקים את , נשים2x - גברים וxצאים בחדר נמ .5

).בלי החזרה(בוחרים באקראי שני אנשים מהחדר בזה אחר זה

היא , ידוע שההסתברות לבחור במשחק זה שני אנשים שאחד מהם גבר והאחר אישה 1

2.

.xחשב את .א

.ג-הסעיפים בענה על ' שחישבת בסעיף א x-עבור ה

.ידוע שהאדם השני שנבחר היה אישה .ב

?מהי ההסתברות שהאדם הראשון שנבחר היה אישה

). נשים בחדר 2x - גברים וxבכל פעם יש בהתחלה (משחקים את המשחק חמש פעמים .ג

? ההסתברות שבדיוק שלוש פעמים בוחרים שתי נשיםמהי

חקלאי טוען שהוא יכול לנבא כל זרע האם . רעי החמניות נובטים לפרח מניב גרעינים מז40% .6

.יניב גרעינים או לא

. מהזרעים שלא נובטים85% מהזרעים שנובטים ולגבי 90%ידוע שהחקלאי צודק בניבוי לגבי

. קבוצת הזרעים שינבטו- A :נסמן

B -קבוצת הזרעים שהחקלאי מנבא שינבטו .

מה ההסתברות שהזרע . החוקר קובע שזרע מסויים ינבוט לפרח מניב גרעינים

?אכן ינבוט

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

114

:1פתרון שאלה מספר

: נתונות שתי הפונקציות2

5 2 1g(x) f (x)

x 1 x 1x 1= = −

− +−x כאשר 1≠ ±.

f מתקיים xיש למצוא לאילו ערכי .א (x) g(x)>.

2

2

2

2

2 22

2

2 1 5

x 1 x 1 x 12 1 5

0x 1 x 1 x 12(x 1) 1(x 1) 5

0x 1

2x 2 x 1 50

x 1x 2

0 / (x 1) 0x 1

(x 2)(x 1) 0

− >− + −

− − >− + −

+ − − −>

−+ − + −

>−

−> ⋅ − >

−

− − >

x: תשובה 1 או <2 x 1− < <

חיובייםg(x)יש לבדוק מתי ערכי )1( .ב

2 22

2

50 / (x 1)

x 1

5(x 1) 0

> ⋅ −−

− >

x: תשובה x או <1 1< −

fיש למצוא מתי הגרף של )2( .ב (x) מעל הגרף של g(x)כאשר שניהם מעל ציר ה -x.

xמצאנו כי עבור ) 1(-בסעיף ב x או <1 1< −g(x)חיובית ,

xמצאנו כי עבור ' בסעיף א 1 או <2 x 1− < < f (x) מעל g(x)

,)x-מעל ציר ה(ה התחום שבו שתיהן חיוביות התחום המשותף יהי: לכן

fוגם (x) מעל g(x) ) .f (x) מעל g(x) ולכן כאשר g(x) חיובית גם f (x)חיובית .(

x :תשובה 2>

x-2 -1 1 2 3

- -++

x-2 -1 1 2

++

-

x-2 -1 1 2 3

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

115

:2פתרון שאלה מספר

117 והפרש הסדרה הוא 120מהנתון ידוע לנו כי האיבר הראשון הוא .א 120 3− = סכום נוסחת −

:הסדרה

[ ]

[ ]

( )

1n

n 2a (n 1) dS

2n 2 120 (n 1) ( 3)

2n 243 3n

2

+ − ⋅= =

⋅ + − ⋅ −= =

−=

nSצריך למצוא מתי : ולכן>0

( )n 243 3n0 / 2

2n(243 3n) 0

3n(81 n) 0

−< ⋅

− <

− <

:י נחש"נבדוק ע

n81: מספר טבעי ולכן n<

: נבדוק כמה איברים ישנם בסדרה357-נתון כי האיבר האחרון הוא .ב

n 1a a (n 1)d

357 120 (n 1) ( 3)

477 3n 3

480 3n

n 160

= + −

− = + − ⋅ −

− = − +

− = −

=

naנבדוק מהו האיבר השלילי הראשון משמע מתי 0<:

n 1

n

a a (n 1)d

a 120 (n 1) ( 3) 123 3n

123 3n 0

123 3n

41 n

= + −

= + − ⋅ − = −

− <

<

<

42aמשמע 41-061=911: ולכן מספר האיברים השליליים הוא >0

0 81

- - +

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

116

:3פתרון שאלה מספר

.ABC קטע אמצעים במשולש ED :נתון

O מרכז מעגל חוסם במשולש AED.

M מרכז מעגל חוסם במשולש ABC.

AOE .א :ל"צ AMB△ ∼△

יחס .ב AO

AM

נימוק טענה

1. O מרכז מעגל חוסם AED

נתון .1

2. OE=OA 2. רדיוסים במעגל שווים.

3. OAE OEA= = α∢ .במשולש זוויות שוותמול צלעות שוות 3 ∢

4. M מרכז מעגל חוסם ABC

נתון 4

5. BM=AM 5. רדיוסים במעגל שווים.

6. MBA MAB= = α∢ ∢

.מול צלעות שוות זוויות שוות .6

7. AEO ABM=∢ .העברה .7 ∢

8. BAM BAM=∢ ∢

.זווית משותפת .8

9. AOE AMB△ )'ל א.ש.מ. (ז.על פי משפט דמיון ז .9 △∽

10. ED קטע אמצעים במשולש ABC 10.נתון .

11. ED 1

BC 2=

קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע.11

.השלישית ושווה למחציתה

12 . AED ABC△ ∼△

קטע המקביל לאחת הצלעות במשולש מקצה .12

. עליו משולש הדומה למקורי

13. AE ED 1

AB BC 2= .יחס צלעות מתאימות במשולשים דומים .13 =

14. AE AO

AB AM=

יחס צלעות מתאימות במשולשים דומים .14

) AOE AMB△ ∼△(

15. AO 1

AM 2 . העברה.15 =

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

117

:4פתרון שאלה מספר

.K משיק למעגל בנקודה AK :נתון

ABK 120

BK BE

= °

=

∢

KEC. א :ל"צ BED≅△ △

2KE. ב AB EC= ⋅

נימוק טענה

1 .1K = α∢ 1 .נתון.

2 .1C K= = α∢ .זווית בין משיק למיתר. 2 ∢

3 .ABK 120= .נתון. 3 ∢°

4 .1B 60= 1 (180°סכום זוויות צמודות . 4 ∢° 2B , B∢ ∢.(

5 .BK=BE 5 .נתון.

6 .2 1K E=∢ ∢

.ש שוות"זוויות הבסיס במש. 6

7 .2 1K E 60= = °∢ .BKE180° סכום זוויות במשולש . 7 ∢

8 .2E 120= 1 (180°סכום זוויות צמודות . 8 ∢° 2E , E∢ ∢.(

9 .2 3E E 120= = °∢ .זוויות קודקודיות שוות זו לזו. 9 .ז∢

10 .3 2K B=∢ .מול קשתות שוות זוויות היקפיות שוות. 10 . ז∢

11 .KE=BEבמשולש שווה צלעות כל הצלעות שוות. 11 . צ.

12 .KEC BED≅△ ).'א. ל.ש.מ. (ז.צ.על פי משפט חפיפה ז. 12 △

13 .2E ABK=∢ .העברה. 13 . ז∢

14 .AKנתון. 14 משיק למעגל.

15 .1KCE K=∢ .זווית בין משיק למיתר. 15 . ז∢

16 .KEC ABK△ .ז.ט דמיון זמשפ. 16 △∽

17 .EK=BK 17 .במשולש שווה צלעות כל הצלעות שוות.

18 .KE EC

AB BK .יחסי צלעות מתאימות במשולשים דומים. 18 =

19 .KE BK AB EC⋅ = .חישוב. 19 ⋅

20 .2KE AB EC= ).'ב. ל.ש.מ. (הצבה. 20 ⋅

A EB

K

D

C1 2

3

2

1

3

2

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

118

:5מספר פתרון שאלה

.נציב את הנתונים על עץ האפשרויות

.א1 x 2x 2x x

/ 6(3x 1)2 3x 3x 1 3x 3x 13(3x 1) 4x 4x

9x 3 8x

x 3

= ⋅ + ⋅ ⋅ −− −

− = +

− =

=

x: תשובה 3=

x

3x

2x

3x

x 1

3x 1

−

−

2x

3x 1−

x

3x 1−

2x 1

3x 1

−

−

גבר

גבר

אישה גבר

אישה

אישה

הוצאה

ראשונה הוצאה

שנייה

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

119

.נעדכן את הנתונים בעץ האפשרויות .ב

6 59 8 0.625

6 5 3 69 8 9 8

⇓

⋅=

⋅ + ⋅

,ך חמישה משחקיםמתו, יש למצוא מה ההסתברות שבדיוק שלוש פעמים .ג

.תיבחרנה שתי נשים בדיוק

.'יש כאן התפלגות בינומית על פי סעיף ב

- ההסתברות להוצאת שתי נשים במשחק אחד 5

12.

k: נחשב באמצעות נוסחת ברנולי n knP(k) (p) (1 p)

k−

= ⋅ −

כאשר 5

P12

= k 3= n ,לכן, =5

3 5 35

3 25

3 25

5

5 5 5P (3) ( ) (1 )

3 12 12

5! 5 7P (3) ( ) ( )

5!(5 3)! 12 12

5 7P (3) 10 ( ) ( )

12 12P (3) 0.2462

− = ⋅ −

= ⋅ ⋅−

= ⋅ ⋅

=

0.2462 :תשובה

3

9

6

9

2

8

6

8

3

8

5

8

גבר

גבר

אישה גבר

אישה

אישה

הוצאה ראשונה

הוצאה שנייה

2אישה( P)1אישה P)1אישה/2אישה(

∩=

P)2אישה(

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

120

:6פתרון שאלה מספר

( ) R 4 4P A / B

1 R 1 4 5= = =

+ +

( )P A ): לכן, =0.4 ) ( )P A P1 A 0.6= − =( )( )

P A 0.4 2

0.6 3P A= = ⇐.

) : נתון )P B/ A 0.9=

) :וכמו כן נתון )P B/ A 0.85=

) :לכן ) ( )p B/ A 1 P B/ A 0.15= − =

: A עבור Bהדיאגנוסטיקה של ( )( )

P B/ A 0.96

0.15P B/ A= =

:היחס המעודכן

( )( )

( )( )

P B/ A P A 0.9 0.4 2R 6 4

0.15 0.6 3P B/ A P A= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

121

:3מא פתור מספר מבחן דוג

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

)נתונה הפונקציה .1 ) ( ) ( )2 2f x m m 6 x 2m 4 x 2= − − + + +

) גרף הפונקציה mיש למצוא עבור אילו ערכי .א )f xאינו חותך את ציר ה -x.

) גרף הפונקציה mמצא עבור אילו ערכי )1( .ב )f xחותך את ציר ה -x

xבנקודה שבה 1=.

מצא כמה נקודות חיתוך יש לגרף , )1( שמצאת בתת סעיף ב mעבור ערכי )2( )הפונקציה )f xעם ציר ה -x.

ל מפעמיים סכום כ18-סכום כל איברי הסדרה קטן ב. איברים2n יש חשבוניתבסדרה .2

מצא את מספר . 3אם ידוע שהפרש הסדרה הוא . האיברים העומדים במקומות הזוגיים

.האיברים בסדרה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

122

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

.שיבה הסתברותית לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בח:שים לב

3. ABCDאלכסוני המרובע נחתכים בנקודה . הוא מרובע החסום במעגלF.

).ראה ציור (BAD חוצה את הזווית ACהאלכסון

. הוא שווה שוקייםBCDהוכח כי המשולש .א

ADמ " ס6 :נתון .ב =

DFמ " ס3 =

FCמ " ס2 =

.DCחשב את האורך של

ABC) Cזווית במשולש ישר .4 90= °∡(

.Oחסום חצי מעגל שמרכזו

.BC- וACהמעגל משיק לצלעות

. הוא ריבועCDOEהוכח כי המרובע .א

.BD= מ " ס6.4, מ" ס4.8רדיוס חצי המעגל הוא : נתון .ב

ABחשב את אורך הצלע

D E

A O B

C

A

BC

DF

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

123

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב הסתברות

. בסוף השנה ייבחנו תלמידי בית ספר בשני מבחני מתכונות שייערכו בזה אחר זה .5

מהתלמידים 70%-ו, מהתלמידים מצליחים במבחן הראשון60%-מנסיון העבר ידוע ש

.מצליחים במבחן השני

.מצליחים במבחן הראשון, מבין התלמידים שמצליחים במבחן השני80%

.בוחרים באקראי תלמיד אחד) 1( .א

? מהי ההסתברות שהתלמיד שנבחר יצליח לפחות באחד משני המבחנים

. תלמידים3 בוחרים באקראי )2(

? מהם יצליחו לפחות באחד משני המבחנים2 מהי ההסתברות שבדיוק

. תלמידים2בוחרים באקראי .ב

?מהי ההסתברות ששניהם ייכשלו במבחן הראשון ויצליחו במבחן השני

.בתי ספר יסודיים נערך משאל סודי על עמדתם לגבי יום לימודים ארוךבקרב מנהלים של .6

התברר כי 3

4 . מהתומכים ביום לימודים ארוך הם נשים

. מהמתנגדים ליום לימודים ארוך הם גברים25%

. ממספר המתנגדים לו1.5מספר התומכים ביום לימודים ארוך גדול פי

.חשב מהי פרופורציית הגברים מבין התומכים ביום לימודים ארוך .א

.חשב מהי פרופורציית התומכים ביום לימודים ארוך מבין הגברים .ב

את עמדתם , על סמך סדרת שאלות לא ישירות, אחד מהכתבים לענייני חינוך מזהה נכון .ג

מבין 60%ומזהה נכון את עמדתם של , מבין התומכים ביום לימודים ארוך80%של

.המתנגדים

.הכתב מפנה את סדרת השאלות לאחד המנהלים שנבחר באקראי

.חשב מהו הסיכוי שהכתב יזהה נכון את העמדה של מנהל זה לגבי יום לימודים ארוך

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

124

:1פתרון שאלה מספר

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

2

f x m m 6 x 2m 4 x 2

f x m 3 m 2 x 2 m 2 x 2

a m 3 m 2 , b 2 m 2 , c 2

= − − + + +

= − + + + +

= − + = + =

.התקבלה פונקציה שהגרף שלה הוא ישר או פרבולה

בעלת מינימום או , ובהתאם אפשרי גרף פונקציהx-יש לבדוק אפשרות שהגרף אינו חותך את ציר ה

.מקסימום

)גרף של פונקציה ריבועית(מקרה הפרבולה

∆0: התנאים הנדרשים הם .א )x- אין חיתוך עם ציר ה (>

a )גרף של פרבולה (≠0

0∆ <

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( )

2

2

b 4ac 0

2 m 2 4 m 3 m 2 2 0

4 m 2 m 2 2 m 3 0

4 m 2 m 2 2m 6 0

4 m 2 m 8 0

∆ = − <

+ − ⋅ − + ⋅ <

+ + − − <

+ + − + <

+ − + <

2− 8

∆

m

m: אוהפתרון לאי השוויון הו m או <8 2< −.

a mכלומר , ≠0 2≠ mאו , − m: לכן התשובה משותפת לשני התנאים≠3 m או <8 2< −.

)גרף של פונקציה ממעלה ראשונה(הישר מקרה

a mכלומר , =0 2= mאו , − 3=. mנציב 2= ): ונקבל− ) ( ) ( ) ( )2f x 2 3 2 2 x 2 2 2 x 2= − − − + + − + yכלומר , + אינו חותך את , =2

.x-ציר הmנציב ): ונקבל=3 ) ( )( ) ( )2f x 3 3 3 2 x 2 3 2 x 2= − + + + yכלומר , + 10x 2= חותך את ציר , +

m, לכן. x- ה 2= . עונה לתנאי השאלה−

m :תשובה מאוחדת m או <8 2≤ −.

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

125

) גרף הפונקציה mיש למצוא עבור אילו ערכי .ב )f xחותך את ציר ה -x בנקודה שבהx 1=.

y( ראשונה אם זה המקרה של הפונקציה ממעלה 10x 2= - בx-הוא חותך את ציר ה, +2

,010

−

xנציב :0- בפונקציה הריבועית ונשווה ל=1

( ) ( )

( )

2 2

2

0 m m 6 1 2m 4 1 2

0 m m

0 m m 1

= − − + + +

= +

= +

m :תשובה m או =0 1= ∆0מכיוון שערכים אלו נמצאים בתחום שבו . − aוגם , < הרי שיש ≠0

.שתי נקודות חיתוך

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

126

:2פתרון שאלה מספר

( )( )1 2

2n 1 1

2a 2n 1 d 2ns 2a 2n 1 3 n 2a n 6n 3n

2

+ − ⋅ = = + − ⋅ = + −

:האיברים במקומות הזוגיים

2 1 1a a d a 3= = + = איבר ראשון+

n=מספר האיברים

2d 6= הפרש=

( ) ( ) ( ) 2

1 1 1n 1

2 a 3 n 1 6 n 2a 6 6n 6 n 2a n 6ns a n 3n

2 2 2

+ + − + + − + = = = = )מקומות זוגיים( +

2 2

1 1

2 21 1

2a n 6n 3n 2(a n 3n ) 18

2a n 6n 3n 2a n 6n 18

3n 18

n 6

+ − = + −

+ − = + −

− = −

=

.12כלומר , n2 מספר איברי הסדרה הוא :תשובה

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

127

:3פתרון שאלה מספר

.א

נימוק הטענ

1. ABCD□נתון חסום במעגל.

2. AC חוצה זווית BAD נתון.

3. DAC CAB=∢ .חוצה זווית מחלק את הזווית לשני חלקים שווים ∢

4. DC CB= במעגל מול זוויות שוות מיתרים שווים.

.ב

נימוק טענה

ADמ " ס6 .5 .נתון =

DFמ " ס3 .6 .נתון =

.נתון =FCמ " ס2 .7

8. CAB CDB=∢ . זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות ∢

9. CDB DAC=∢ .8 בטענה 3הצבה של טענה ∢

10. DFC ADC≈△ ).ACD וזווית משותפת 9טענה (ז .על פי משפט ז △

11. DC AD

FC DF .במשולשים דומים יחס צלעות מתאימות שווה =

12. DC 6

2 3 .11- ב7-ו, 6, 5הצבה של טענה =

DCמ " ס4 .13 .חישוב =

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

128

:4פתרון שאלה מספר

.א

:נתונים

1. C 90= °∢

2. Oמרכז חצי מעגל .

3. AC משיק למעגל O

4. BC משיק למעגל O.

. ריבועCDOE: ל"צ

5. Oנתון : מרכז המעגל.

6. AC נתון :משיק למעגל.

7. BCנתון : משיק למעגל.

8. CEO CDO 90= = °∢ .משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה :∢

9. C 90= .נתון :∢°

. זוויות ישרות הוא מלבן3מרובע עם :CODEמלבן .10

11. OE=OD=R: רדיוסים.

12. CDEOת סמוכות שוות הוא ריבועמלבן עם שתי צלעו : ריבוע.

'ל א.ש.מ

.ב

:נתונים

13. R 4.8= 14. DB 6.4= AB: ל"צ ?=

15. BD = 6.4 נתון.

16. OD R 4.8= .נתון =

17. ( )24OB (6.4) 4.8 8= + .משפט פיתגורס במשולש ישר זווית :=

OD || AC 180°- משלימות לזוויות חד צדדיות.

18. 4.8 AO

AO 66.4 8

= ⇒ .משפט תלס =

19. AB 6 8 14= + .סכום קטעים =

'ל ב.ש.מ

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

129

:5פתרון שאלה מספר

החלצה

ולשכן

ולשכן

החלצה

כלש

ןו

0.3

0.7

0.8

0.2Iהחלצה

I

I

I

II

II0.6

=P

+ P

+ P

= 0.6 0.7 0.2 0.74+ ⋅ =

:תשובה

0.74ד שנבחר יצליח לפחות באחד משני המבחנים היא ההסתברות שהתלמי) 1(

. שנבחרו יצליחו לפחות באחד משני המבחנים3 מתוך 2יש לחשב מהי ההסתברות שלפחות ) 2(

) נחשב באמצעות נוסחת ברנולי ) ( )( ) ( )k n knP k p 1 pk

−= −

n: כאשר 3 , k 2 , p 0.74= = =

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )

2 3 2

3

23

3

3P 2 0.74 1 0.742

3!P 2 0.74 0.26

2! 3 2 !

P 2 0.427128

P 0.4

−= −

= ⋅−

=

=

:תשובה

0.4271 שנבחרו יצליחו לפחות באחד משני המבחנים היא 3 מתוך 2ההסתברות שלפחות

: לכן

=P

0.7 0.2 0.14⋅ =

)ההסתברות ששני התלמידים ) 2

2P 2 P=יצליחו במבחן הראשון וייכשלו במבחן השני היא :

( )20.14 0.0196=

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

130

:6פתרון שאלה מספר

:מימדית-י טבלה דו"פתרון השאלה ע

A -ת תומכות ביום לימודים ארוך/ המנהל.

A -ת מתנגד ליום לימודים ארוך/ המנהל.

B -ת היא אישה/ המנהל.

B -ת הוא גבר/ המנהל.

) :כמו כן נסמן )P A x=

) :נתון ) ( )P A 1.5P A 1.5x= =

) :נציב בנוסחא ) ( )P A P A 1= =

x :ונקבל 1.5x 1+ =

x 0.4=

( )P A 0.4=

( )P A 0.6=

) :נתון )P B/ A 0.75=

) :נוסחת ההסתברות המותנית ) ( )( )

P A BP B/ A 0.75

P A

∩= =

:נציב( )P A B

0.750.6

∩=

( )P A B 0.45∩ =

) :נתון )P B/ A 0.25=

) :נוסחת ההסתברות המותנית ) ( )( )

P A / BP B/ A

P A=

( )

( )

P A B0.25

0.4

P A B 0.1

∩=

∩ =

:נמלא את הנתונים בטבלה

Aתומכים Aמתנגדים

B0.75 0.3 0.45 אישה

B0.25 0.1 0.15 גבר

0.6 0.4

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

131

:נוסחת ההסתברות המותנית .א

( ) ( )( )

P A B 0.15P B/ A 0.25

P A 0.6

∩= = =

:נוסחת ההסתברות המותנית .ב

( ) ( )( )

P A B 0.15P A / B 0.6

0.25P B

∩= = =

:נסמן את המאורעות .ג

C -ת/ת תומך/ הכתב קובע שהמנהל

C -ת/ת מתנגד/ הכתב קובע שהמנהל

) :נתון )P C / A 0.8=

:נשתמש בנוסחת ההסתברות המותנית

( ) ( )( )

( )

( )

P A CP C / A

P A

P A C0.8

0.6P A C 0.48

∩=

∩=

∩ =

) :כמו כן נתון )P C A 0.6∩ =

) :נשתמש בנוסחת ההסתברות המותנית ) ( )( )

P A CP C / A

P A

∩=

( )

( )

P A C0.6

0.4

P A C 0.24

∩=

∩ =

:ההסתברות המבוקשת היא

( ) ( )P A C P A C 0.48 0.24 0.72= ∩ + ∩ = + P)מזהה נכון(=

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

132

:י דיאגרמת עץ"פתרון ע

:נסמן

A -ת ביום לימודים ארוך/ת תומך/ המנהל.

A -ת ליום לימודים ארוך/ המנהל מתנגד.

B -ת היא אישה/ המנהל.

B -ת הוא גבר/ המנהל.

) :כמו כן נסמן )P A x=

) :נתון ) ( )P A 1.5P A 1.5x= =

) :נציב בנוסחא ) ( )P A P A 1+ =

x :ונקבל 1.5x 1+ =

( )( )

2.5x 1

x 0.4

P A 0.4

P A 0.6

=

=

=

=

) :נתון ) 3P B/ A 0.75

4= =

) :ולכן ) ( )P B/ A 1 P B/ A 0.25= − =

) :כמו כן נתון )P B/ A 0.25=

:נציב בעץ

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

133

()

PA

0.6=

( )P

A0.4

=(

)P

B/ A

0.25

=

()

P B/ A0.75

=גנתמ

תוד

תוכמות

()

PB

/ A

0.75

=

()

PB

/ A

0.25

=

השיא

רבג

השיא

רבג

( )P A B 0.45∩ =

)השיא ,תכמות(

( )P A B 0.15∩ =

)רבג ,ךמות(

)השיא ,תדגנתמ(

)רבג ,דגנתמ(

( )P A B 0.3∩ =

( )P A B 0.1∩ =

( )P B

0.25=

רבג

השיא( )

P B0.75

=

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

134

: בעץ מימין לשמאלהכפלה: ידי החישובים הבאים-מילאנו את יתר הנתונים בעץ על

( ) ( ) ( )P A B P A P B/ A 0.6 0.75 0.45∩ = ⋅ = ⋅ =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

P A B P A P B/ A 0.6 0.25 0.15

P A B P A P B/ A 0.4 0.75 0.3

P A B P A P B/ A 0.4 0.25 0.1

∩ = ⋅ = ⋅ =

∩ = ⋅ = ⋅ =

∩ = ⋅ = ⋅ =

:חיבור בעץ מלמעלה למטה

( ) ( ) ( )( ) ( )

P B P A B P A B 0.45 0.3 0.75

P B 1 P B 0.25

= ∩ + ∩ = + =

= − =

) -מצאנו כבר ש: 'תשובה לסעיף א )P B/ A 0.25=

) :נשתמש בנוסחת ההסתברות המותנית: 'תשובה לסעיף ב ) ( )( )

P A B 0.15P A / B 0.6

0.25P B

∩= = =

)-מצאנו כבר ש: 'תשובה לסעיף ג ) ( )P B/ A P B/ A 0.75= =

.אחוז הנשים, כלומר אין קשר סטטיסטי בין המין לעמדה) זהה –מבין התומכים ומבין המתנגדים : 'תשובה לסעיף ד )75%.

:נסמן

C -ת/ת תומך/ הכתב קובע שהמנהל.

C -ת/ת מתנגד/ הכתב קובע שהמנהל.

0.6

0.4

0.8

0.6

) : נתון ) ( )P C / A 0.6 , P C / A 0.8= =

) :לכן ) ( ) ( )P A C P C / A P A 0.48∩ = ⋅ =

( ) ( ) ( )P A C P C / A P A 0.24∩ = ⋅ =

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

135

) :ההסתברות המבוקשת היא ) ( )P A C P A C 0.48 0.24 0.72= ∩ + ∩ = + P)יזהה נכון(=

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

136

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

137

:4מבחן מספר

לכל שאלה ( אלגברה וסדרות :'פרק א1

333

).נקודות

.1 – 2שאלות ה מאחתפתור

3m)2נתונה המשוואה .1 2)x 3(m 1)x 3(m 2) 0− − + + + =

ים שונים כך שסכומם גדול שורשי המשוואה הנתונה הם ממשי, mמצא לאילו ערכי

.ממכפלתם

:ידוע כי. איברים20בסדרה חשבונית .2

1 3 5

2 4 6

a a a ... 580

a a a ... 640

+ + + =

+ + + =

.מצא את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה .א

. האיברים האחרונים בסדרה5מצא את סכום .ב

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

138

שאלהלכל (: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

. חסום במעגלABCDמלבן 3.

AB נמצאת על הקשת Kהנקודה

DK-כך ש DC=) ראה ציור.(

AD .א :הוכח BK=.

DB .ב CK⊥.

.4 ABCDהוא מלבן שאלכסוניו נחתכים .Mבנקודה

Eהיא נקודה מחוץ למלבן .

).ראה ציור( הוא מקבילית EMCDהמרובע

. הוא מעויןAMDEהוכח כי המרובע .א

.ר" סמ32 הוא ABCDנתון כי שטח המלבן .ב

.נמק את חישוביך. AMDEח המעוין חשב את שט

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב

הסתברות

. מהסטודנטים לומדים כימיה40%במכללה מסוימת 5.4

7 מהסטודנטים שלומדים כימיה

יה אבל לא לומדים ביולוגים מהווים הסטודנטים שלומדים כימ. לומדים גם ביולוגיה 1

3

.מהסטודנטים שלא לומדים ביולוגיה

?מהי ההסתברות שסטודנט לא לומד ביולוגיה .א

?מה ההסתברות שהוא לומד כימיה. אם ידוע שהסטודנט שנבחר לומד ביולוגיה .ב

לומדים ביולוגיה מה ההסתברות בוחרים באקראי שלושה סטודנטים וידוע שהם . ג

?ששלושתם לומדים כימיה

מה ההסתברות . מתוכם לומדים כימיה5 סטודנטים וידוע שלפחות 6בוחרים באקראי .ד

? לומדים כימיה5שבדיוק

A B

D C

ME O

D

A B

C

K

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

139

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

.ילה או טובה למאכלהוא מכשיר המזהה האם פטריית יער היא רע' פטריומטר'ה .6

. מהפטריות80%מאבחן נכון ' פטריומטר'ה

. מהפטריות רעילות60%' יער הירוק'ב

מה ההסתברות שהיא אכן . קבע שהיא רעילה' פטריומטר'בוחרים באקראי פטרייה שה .א

?רעילה

מאיזה נתון הוא יתעלם ? נשאל נאיבי שלא למד חשיבה הסתברותית' מה יענה על סעיף א .ב

?יצד נקראת תופעה זאתכ? בתשובתו

כדי שההסתברות שפטרייה אכן רעילה תהיה , מה צריך להיות אחוז הפטריות הרעילות ביער .ג

?קבע שהיא רעילה' פטריומטר' אם ה0.8

קטנה יותר , תהיה כעת זהה' האם התשובה לסעיף א. מהפטריות רעילות70%' יער השחור'ב .ד

!וייקתענו מבלי לחשב את ההסתברות המד? או גדולה יותר

קבע שהיא ' פטריומטר'בוחרים באקראי פטרייה שה. מהפטריות רעילות55%' יער החום'ב .ה

?בין אילו שני ערכים תהיה ההסתברות שהיא אכן רעילה. רעילה

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B / A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

140

4מבחן מספר תשובות

.1 1 2

2 m9 3

− < <

1a .א 2. 4 , d 6= =

530 .ב

הוכחה .3

הוכחה .א 4.

S = ר"סמ 16 .ג

.א 5.18

P35

=

.ב 8

P17

=

0.1042 . ג

P .ד 0.9=

0.857 .א 6.

התופעה נקראת . 1 ולא 1.5הוא מתעלם מהשיעור הבסיסי של הפטריות הרעילות שהוא . 0.8 .ב

. 'כשל השיעור הבסיסי'

). 1שיעור בסיסי (0.5 .ג

.0.857- ל0.8בין . ה. 0.857-ולכן ההסתברות תהיה גדולה יותר מ, ור הבסיסי גדלהשיע .ד

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

141

:5מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

4m)2נתונה המשוואה .1 2)x 8mx 20m 6 0+ − + + =

מתקיים m לאילו ערכי 1 2

1 12

x x+ > 1 2x , x )שורשי המשוואה(

ממלאים את שתי המעגלים . צלעות חסום אותו מספר מעגלים שווים- בריבוע ובמשולש שווה 2.

- מספר המעגלים הנוגעים בצלע המשולש גדול ב. 2- ו1הצורות ומסודרים כפי שמראים הציורים

. ממספר המעגלים הנוגעים בצלעי הריבוע14

?ל"כמה מעגלים חסומים בכל אחת מהצורות הנ

1ציור 2ציור

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

142

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

ABD: המשולשים 3. ,BCEו -AEFהם

).ראה ציור(צלעות -משולשים שווי

:הוכח כי

DAF .א BAE∆ ≅ ∆.

DF .ב BC=

הוא מקביליתFCBDהמרובע . ג

) ABCDטרפז .4 )AB || DC חוסם מעגל שמרכזו O.

).ראו ציור (F משיקה למעגל בנקודה ADהצלע

2OF :הוכיחו כי AF FD= ⋅.

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : בשים ל הסתברות

ההסתברות שמחשב זה מאובטח על ידי סיסמה היא . למחשב מסויים ישנה סיסמת הפעלה 5.1

4 .

. ב סיסמאות למחשב כאשר מתוכם רק סיסמה אחת נכונה שמפעילה את המחשxאדם קיבל

נסה בעזרת שתי סיסמאות לכל היותר יהוא במידה והמחשב מאובטח , הגיע למחשבזהאדם

.להפעיל את המחשב

ההסתברות שאדם זה יפעיל את המחשב היא 5

6.

?כמה סיסמאות קיבל אדם זה .א

. וידוע שרובם מאובטחים על ידי סיסמא, מחשבים5בוחרים באקראי .ב

?מה ההסתברות שכולם מאובטחים על ידי סיסמא

D

F

C

E

B

A

O F

A B

C D

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

143

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

מנוהגים במהירות שמעל 90%מכשיר הלייזר המשטרתי למדידת מהירות מופרזת מזהה נכון 6.

.המותר

בוחרים באקראי . אף נהג אינו נוהג מעל המהירות המותרת', זהירים-כפר'בכביש ליד הישוב .א

מה ההסתברות שהוא אכן עבר . ג שמכשיר הלייזר קבע שהוא עבר את המהירות המותרתנה

?את המהירות המותרת

בוחרים . כל הנהגים נוהגים מעל המהירות המותרת', טייסים-נווה'בכביש ליד הישוב .ב

מה ההסתברות שהוא . באקראי נהג שמכשיר הלייזר קבע שהוא עבר את המהירות המותרת

?רות המותרתאכן עבר את המהי

מאיזה נתון הוא ? נשאל נאיבי שלא למד חשיבה הסתברותית' ב-ו' מה יענה על סעיפים א .ג

?כיצד נקראת תופעה זאת? יתעלם בתשובתו

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:שר סטטיסטיק( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

144

5 מבחן מספר תשובות

.1 3 3

m8 10

− < < −

.2 1225

הוכחה. א .3

הוכחה. ב

הוכחה. ג

הוכחה 4.

סיסמאות6 .א .5

P .ב 0.0094=

.0 .א 6.

1 .ב

שבשני , הוא מתעלם מהשיעור הבסיסי של הנהגים העוברים את המהירות המותרת. 0.9 .ג

.'כשל השיעור הבסיסי'התופעה נקראת . 1המקרים איננו

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

145

:6מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2ות מהשאלאחתפתור

)נתונה פרבולה 1. )2y x k 1 x k 4= − + + +.

. את שיעורי קודקוד הפרבולהkהבע באמצעות .א

. נמצא קודקוד הפרבולה ברביע השניkמצא לאילו ערכים של .ב

קודקוד הפרבולה יהיה בתוך מלבן שצלעותיו חסומות בקודקודים kלאילו ערכי .ג ( ) ( ) ( ) ( )15,0 , 15,0 , 15,3.75 , 15,3.75− −?

. איברים61נתונה סדרה חשבונית שבה 2.

.סכום כל איברי הסדרה הוא אפס

na שעבורו nמצא את .א 0=.

nנתון ', שמצאת בסעיף אnעבור .ב 1a 20− = .d ואת 1aחשב את . −

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

146

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 7 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

.E בנקודה ℓ משיק לישר Oמעגל 3.

CDבנקודה . הוא קוטר במעגלC מעבירים משיק

Dבנקודה . B בנקודה ℓלמעגל החותך את הישר

).ראו ציור (A בנקודה ℓמעבירים משיק החותך את הישר

AOB :הוכיחו כי .א 90= °∢.

AOE :הוכיחו כי .ב ~ OBE∆ ∆.

ABמ " ס13, מ" ס6רדיוס המעגל הוא :נתון .ג = ,EB AE<.

.AE - וEBחשבו את אורכי הקטעים

הסתברות

4-5 מהשאלות שתיים או על אחתאם בחרת לענות על : שים לב

.6-7 מהשאלות אף אחתלא תוכל לענות על

2nבכובע 4. 1 פתקים הממוספרים בסדר עולה +1 , 2 , 3 , ... , 2n 1+

. מוציאים פתק מהכובע

לאחר מכן מוציאים . מחזירים אותו לכובע ואם הוא אי זוגי משאירים אותו בחוץ, אם הוא זוגי

). בכל מקרה(פתק נוסף

הוא זוגי ואחד הפתקים הוא אי זוגי שווה ידוע שההסתברות שאחד הפתקים שהוצא 26

49.

.מצא את מספר הפתקים בכובע

O D

C E B A ℓ

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

147

.חלקם לבנים והשאר שחורים, כדורים10בכד יש 5.

.מספר הכדורים השחורים גדול ממספר הכדורים הלבנים

ההסתברות שאחד , לכדוישאירו אותם מחוץ , בזה אחר זה כדורים2אם יוציאו מהכד באקראי

מהכדורים יהיה לבן והאחר יהיה שחור היא 8

15.

.מצא כמה כדורים מכל צבע יש בכד .א

יהיה בכד , )וישאירו אותם בחוץ( כדורים 2מהי ההסתברות שלאחר שיוציאו מהכד .ב

?מספר שווה של כדורים מכל צבע

יום-ברותית בחיי היוםחשיבה הסת

6-7 מהשאלות שתיים או על אחתאם בחרת לענות על : שים לב

.4-5 מהשאלות אף אחתלא תוכל לענות על

צ אושרי משחק כדורגל במגרש השכונתי עם "אחה' מדי יום ו. 17בן , אושרי הוא תושב ירושלים 6.

על קיר חדרו . על כל ערוצי הספורטוהוא מנוי , בחדרו של אושרי מכשיר טלוויזיה. חבריו לתיכון

. של אושרי תלויות תמונות של שחקני כדורגל

:לאיזה מבין ההיגדים הבאים סיכוי גבוה יותר .א

I. ס הוא ביולוגיה"המקצוע האהוב על אושרי בבי.

II. ואושרי גם אוהד את קבוצת הכדורגל , ס הוא ביולוגיה"המקצוע האהוב על אושרי בבי

.'ם- ר י"בית'

.קביעתכםנמקו את

.כיצד נקראת תופעה זאת? נשאל נאיבי שלא למד חשיבה הסתברותית' כיצד יענה על סעיף א .ב

ביום מסויים ביצע שודד . בעיר מסויימת לחלק מהאנשים עיניים חומות ולשאר עיניים כחולות 7.

בעדותה מסרה הכספרית שנשדדה כי השודד היה בעל . שוד בבנק המרכזי בעיר, שלבש מסכה

במבחנים שעשתה המשטרה לכספרית בזיהוי צבע עיניים תחת מסכה ובתנאי . ניים חומותעי

. מהמקרים75%- נמצא שהכספרית מזהה נכון את צבע העיניים ב, לחץ

מה יענה נשאל נאיבי אם ישאל מה ההסתברות ', חשיבה הסתברותית'י מה שלמדת ב"עפ .א

.תכיצד נקראת תופעה זא? שלשודד הבנק יש עיניים חומות

כדי שההסתברות שהשודד , מעל איזה ערך צריך להיות אחוז בעלי העיניים החומות בעיר .ב

?הוא בעל עיניים חומות תהיה גדולה יותר מההסתברות שהשודד הוא בעל עיניים כחולות

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

148

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

149

6 מבחן מספר תשובות

.א 1.2k 1 k 2k 15

,2 4

+ − + +

.

3 .ב k 1− < < −.

3 .ג k 0− < 2 או > k 5< <

n .א 2. 31=

1a .ב 600 , d 20= − =

הוכחה-ב , א .3

EBמ"ס 4 .ג AEמ " ס9, = =

.4 7

. לבנים4, שחורים6 .א 5.

.ב 1

3

. P(AnB)<P(A)י כלל הצירוף "שכן עפ, ה יותרסיכוי גבו. Iלהיגד .א 6.

.'כשל הצירוף'תופעה זאת נקראת . נשאל נאיבי יענה שלהיגד ןן סיכוי גבוהה יותר .ב

". כשל השיעור הבסיסי"התופעה נקראת . 0.75 .א 7.

.25%מעל . ב

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

150

:7מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

:נתונה משפחה של פונקציות 1.( )4x mx 1 m 2

y4

− − +=.

.המשותפת לגרפים של כל הפונקציות במשפחה x-הוכח כי קיימת נקודה על ציר ה .א

בשתי נקודות שונות ושתיהן נמצאות בקטעx- הגרפים חותכים את ציר הmעבור אילו ערכי . ב

0 x 1≤ ≤?

האיברים האחרונים nסכום . d והפרש הסדרה 1a איברים איברה הראשון 2nבסדרה חשבונית 2.

האיברים n מסכום 5בסדרה גדול פי

.הראשונים שבה

12d: הוכח כי .א 4an

d

−=

מסכום שני 10-האיבר האחרון בסדרה גדול ב. איברים10רה החשבונית יש נתון כי בסד .ב

.חשב את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה, האיברים האמצעיים

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

151

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 7 מהשאלות שתייםפתור

. השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית לא תוכל לענות גם על:שים לב

: הוכיחו את המשפט .א .3

.180°סכום הזוויות הנגדיות במרובע החסום במעגל הוא

CF בו ABCDנתון ריבוע .ב = DE.

. אפשר לחסום במעגלABFKהוכיחו כי את המרובע

CB, AB- וDC הם האמצעים של הצלעות F - וE .ג 2 5=.

.ABFKמצאו את רדיוס המעגל החוסם את המרובע

הסתברות קלאסית

4-5 מהשאלות שתיים או על אחתאם בחרת לענות על : שים לב .6-7 מהשאלות אף אחתלא תוכל לענות על

בוגרים שקיבלו את התרופה הואהממספר . מהמקרים60%-תרופה מסוימת מצליחה ב 4.

. ממספר הצעירים שקיבלו את התרופה3פי 3

5 . מהמבוגרים שקיבלו את התרופה הבריאו

.ת התרופהבוחרים באקראי אדם שקיבל א

?מה ההסתברות שהוא צעיר שהבריא .א

?מה ההסתברות שהוא לא הבריא. ידוע שאדם שנבחר הוא צעיר .ב

מה ההסתברות ששניים מתוכם צעירים . שקיבלו תרופה מכלל האוכלוסייהחולים 5בוחרים .ג

?שהבריאו

. צעירים שקיבלו את התרופה5בוחרים באקראי .ד

? מתוכם הבריאו2ק הסתברות שבדיו מה

. כדורים שחורים וכדור אחד לבןxישנם ' כד בב. כדורים לבנים וכדור אחד שחורxישנם ' בכד א 5.

אז מוציאים באופן אקראי שני כדורים מכד , 2 או 1אם התקבל המספר , מטילים קוביה מאוזנת

בזה ' דורים מכד ב מוציאים שני כ2-אם תוצאת הקוביה מראה מספר גדול מ. בזה אחר זה' א

.אחר זה

ההסתברות שיצאו שני כדורים באותו צבע היא 2

3.

.מצא כמה כדורים היו בתחילה בכל כד .א

'?תברות שהוא מכד אסמה הה. ידוע שהכדור השני שהוצא היה שחור .ב

A B

C

F K

ED

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

152

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

6-7 מהשאלות שתיים או על תאחאם בחרת לענות על : שים לב .4-5 מהשאלות אף אחתלא תוכל לענות על

. במדינה מסויימת נערך סקר למציאת קשר מקום הולדת מועמד לבין קבלתו לאוניברסיטה 6.

:להלן התוצאות שהתקבלו בסקר

התקבלו לאוניברסיטה לא התקבלו לאוניברסיטה

300 200 מקומיים

250 200 מהגרים

.מך הנתונים טוענים עורכי הסקר כי מהגרים מתקבלים פחות לאוניברסיטהעל ס . א

.הסבירו בעזרת חישוב מתאים על אילו נתונים הסתמכו עורכי הסקר

והוא מציע לבדוק גורם , משרד ההגירה טוען כי למקום הלידה אין קשר לקבלה ללימודים . ב

.אחר שהיה עשוי להשפיע על קבלתם

:הגירה בדק את הקשר בין מקום הלידה לקבלה ללימודים בשתי קבוצותלפיכך משרד ה

.מועמדים שהוריהם מימנו להם שיעורים פרטיים

.מועמדים שהוריהם לא מימנו להם שיעורים פרטיים

:להלן התוצאות שהתקבלו בבדיקה

מועמדים שהוריהם מימנו להם שיעורים פרטיים

לאוניברסיטההתקבלו לא התקבלו לאוניברסיטה

200 100 מקומיים

100 50 מהגרים

מועמדים שהוריהם לא מימנו להם שיעורים פרטיים

התקבלו לאוניברסיטה לא התקבלו לאוניברסיטה

100 100 מקומיים

150 150 מהגרים

, י חישוב מתאים"נמקו ע? האם תוצאות הבדיקה מצדיקות את הטענה של משרד ההגירה

.והסבירו

י ההורים עשוי להיות "י תוצאות הבדיקה אפשר לשער כי מימון שיעורים פרטיים ע"האם עפ . ג

.והסבירו, י חישוב מתאים"נמקו ע? גורם שמשפיע על קבלה ללימודים

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

153

. נבדקים בדקו את הטענה האם יש קשר סטטיסטי בין שתיית קפה לעישון2000בסקר שכלל 7.

:תוצאות הסקר מובאות בטבלה הבאה

מעשנים לא מעשנים

1000 600 400 שותים קפה

1000 200 800 לא שותים קפה

1200 800 2000

.ל נכונה"שהטענה הנ, ידי חשוב פרופורציות-על, פי הטבלה- הראה על .א

.הועלתה טענה שהסיבה להתקפי לב היא שתיית קפה בנוסף לעישון .ב

:פי הטבלאות הבאות-על, עשנים לא מ1200- מעשנים ו800בדקו טענה זו בקרב

: מעשנים800בקרב

: לא מעשנים1200בקרב

?האם קיים קשר סיבתי בין שתיית קפה לבין התקפי לב

הנח כי מלבד שתיית קפה ועישון אין גורמים אחרים היכולים לגרום להתקף לב

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

לקו בהתקף לב לא לקו בהתקף לב

600 300 300 שותים קפה

200 100 100 לא שותים קפה

400 400 800

לקו בהתקף לב לא לקו בהתקף לב

400 100 300 שותים קפה

800 200 600 לא שותים קפה

900 300 1200

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

154

7 מבחן מספר תשובות

ראשונה שפתרונה ממעלה מתקבלת משוואה m=0עבור : רמז. (הוכחה .א 1.1

x2

mעבור , = 0≠

ד שלה הוא שפתרון אח, מתקבלת משוואה ממעלה שניה 2 m

x2m

− והשני =

1x

2=(

1 .ב m 2< או ≥2

m 13

≤ <.

∆m=1 0עבור : שימו לב נקודות חיתוך שונות2 ואין =

.הוכחה .א 2.

1 .ב

40a 10 , d

3= − =

הוכחה-ב , א 3.

R .ג = 2.5

P .א 4. 0.15=

P .ב 0.4=

P .ג 0.1381=

P .ד 0.2304=

כדורים לבנים ואחד שחור5: כד א .א .5

כדורים שחורים ואחד לבן5: כד ב

.ב 1

11

התקבלו 55.56%מבין המהגרים רק . התקבלו לאוניברסיטה60%מבין המקומיים . א 6.

.יש קשר סטטיסטי בין מקום הלידה לקבלה ללימודים. לאוניברסיטה

אלה שהוריהם מימנו להם שיעורים פרטיים ואלה שהוריהם לא , בכל אחת מהקבוצות . ב

מימון . אין קשר סטטיסטי בין מקום הלידה לקבלה ללימודים, ימנו להם שיעורים פרטייםמ

תוצאות אלה מצדיקות את . השיעורים הפרטיים הוא גורם מתווך שגרם להצמדת גורמים

.טענת משרד ההגירה

מבין. התקבלו ללימודים66.67%מבין המועמדים שהוריהם מימנו להם שיעורים פרטיים . ג לפיכך . התקבלו ללימודים50%המועמדים שהוריהם לא מימנו להם שיעורים פרטיים רק י ההורים עשוי להיות גורם המשפיע על קבלה "ניתן לשער שמימון שיעורים פרטיים ע .ללימודים

0.6למשל כי .א 7. 0.2≠

.יסטיכי בין המקרים אין קשר סטט, אין קשר סיבתי .ב

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

155

:8מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

: נתונות הפונקציות 1.

: יש לשתי הפונקציותmמצא עבור אילו ערכי

.נקודה משותפת אחת .א

.שתי נקודות משותפות . ב

.אף נקודה משותפת . גf קודקוד הפרבולה mלאלו ערכי .ד (x) הפרבולה לקודקוד ימצא מימין g(x).

האיברים הראשונים 20 האיברים הראשונים בסדרה חשבונית שווה לסכום 30נתון כי סכום 2.

.שלה

.ווה לאפס האיברים הראשונים בסדרה הנתונה ש50הראה כי סכום

מצא באיזה מקום בסדרה נמצא האיבר . הסדרה החשבונית הנתונה היא סדרה חשבונית עולה

.החיובי הראשון

( )( )

2 2

2

f (x) m 1 x mx

g(x) m 1 x 2x 1

= − +

= + + +

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

156

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. על השאלה בחשיבה הסתברותית לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם:שים לב

.3 CG, BF, AE הם תיכונים במשולש ABC

.O-הנפגשים ב

BG :נתון GO=.

AB .א :הוכח OC=.

. מאונכים זה לזהBF - וAEהתיכונים .ב

OEמ" ס3 :נתון .ג BCמ"ס 10, = . AGחשב את . =

חסום במעגל ABCDטרפז .4

.O ומרכזו Rשרדיוסו

הבסיס הגדול של הטרפז מונח על קוטר

.המעגל

. היא אמצע הבסיס הקטן של הטרפזEהנקודה

היא נקודת חיתוךFהנקודה

).יורראה צ (OE והקטע BDשל האלכסון

ADB: הוכח .א FOB△ ∼△.

AOנתון גם כי .ב AD=.

.FB את Rהבע באמצעות

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב הסתברות

x- בנים וxישנם ' בכיתה א 5. xישנם ' בכיתה ב. בנות+1 בוחרים בכיתה . בנותx- בנים ו+1

ההסתברות שנבחרו שני תלמידים באותו מין . באקראי ומוציאים שני תלמידים בזה אחר זה

היא 4

9 .

.מצא כמות התלמידים בכל כיתה .א

הסתברות שמספר מהי ה, שני תלמידים שנבחרו באקראי והוצאו מהכיתה הם בני אותו מין .ב

?הבנים שנותרו בכיתה יהיה גדול ממספר הבנות שנותרו לאחר יציאת התלמידים שנבחרו

A

G

CEB

FO

A B

CD

EF

O

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

157

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

:להלן התוצאות שהתקבלו בסקר. נערך סקר למציאת קשר בין עישון סיגריות לנדודי שינה 6.

סובלים מנדודי שינה לא סובלים מנדודי שינה

250 350 יםמעשנ

200 400 לא מעשנים

.על סמך הנתונים טוענים עורכי הסקר כי עישון גורם לנדודי שינה . א

.הסבירו בעזרת חישוב מתאים על אילו נתונים הסתמכו עורכי הסקר

והוא מציע לבדוק גורם אחר שהיה , איגוד הרופאים טוען כי לעישון אין קשר לנדודי שינה . ב

.ע על קבלתםעשוי להשפי

:לפיכך איגוד הרופאים בדק את הקשר בין עישון לנדודי שינה בשתי קבוצות

.נבדקים השותים אלכוהול ונבדקים שאינם שותים אלכוהול

:להלן התוצאות שהתקבלו בבדיקה

נבדקים השותים אלכוהול

סובלים מנדודי שינה לא סובלים מנדודי שינה

200 200 מעשנים

100 100 םלא מעשני

נבדקים שאינם שותים אלכוהול

סובלים מנדודי שינה לא סובלים מנדודי שינה

50 150 מעשנים

100 300 לא מעשנים

, י חישוב מתאים"נמקו ע? האם תוצאות הבדיקה מצדיקות את הטענה של איגוד הרופאים

.והסבירו

עשוי להיות גורם שמשפיע על הולאלכוי תוצאות הבדיקה אפשר לשער כי שתיית "האם עפ . ג

.והסבירו, י חישוב מתאים"נמקו ע? נדודי שינה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

158

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

159

8 מבחן מספר תשובות

.א1. 2

m5

= m או − 1= −.

m. ב או <22

m5

< m - ו− 1≠ −.

. ג2

m 25

− < ≤ .

m > 2או m < 1 > 1- .ד

הוכחה .א 2.

n . ב 26=

הוכחה .א 3.

הוכחה. ב

AG . ג 13 3.606= =

הוכחה .א 4.

. ב2

R3

תלמידים9: כיתה א .א 5.

ם תלמידי9: כיתה ב

.ב 1

2

סובלים 33.33%מעשנים רק -מבין הלא. סובלים מנדודי שינה41.67%מבין המעשנים . א 6.

.יש קשר סטטיסטי בין עישון לנדודי שינה. מנדודי שינה

אין קשר , אלה ששותים אלכוהול ואלה שאינם שותים אלכוהול, בכל אחת מהקבוצות . ב

. שתיית אלכוהול הוא גורם מתווך שגרם להצמדת גורמים. בין עישון לנדודי שינהסטטיסטי

.תוצאות אלה מצדיקות את טענת איגוד הרופאים

מבין הנבדקים שאינם שותים . סובלים מנדודי שינה50%מבין הנבדקים ששותים אלכוהול . ג

תיית אלכוהול היא גורם לפיכך ניתן לשער שש. סובלים מנדודי שינה25%אלכוהול רק

.המשפיע על נדודי שינה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

160

:9מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

2yנתונה הפרבולה 1. x 2kx 2k 3= − + +.

. את שיעורי קודקוד הפרבולהkהבע באמצעות .א

. נמצא קודקוד הפרבולה ברביע הראשוןkמצא לאילו ערכי .ב

?x- קודקוד הפרבולה מונח על הכוון החיובי של ציר הkלאילו ערכי .ג

. מקומות ישיבה יותר מאשר בשורה הקודמת לה2ורה בכל ש. שורות42באמפיתאטרון גדול 2.

השורות 18- השורות הראשונות שווה למספר המקומות ב24-מספר מקומות הישיבה ב

.האחרונות

? השורות שבאמפיתאטרון42כמה מקומות ישיבה יש בכל

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

161

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'בפרק 1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

. הוא משולש חסום במעגלADEמשולש 3.

. מעבירים משיק מעגלAדרך נקודה

מעבירים מקביל למשיק) ADעל נקודה (Bדרך

.C בנקודה AEהחותך את הצלע

. הוא בר חסימהBCEDהוכח כי המרובע .א

ABC :נתון .ב 30= .∢AEDחשב את . ∢°

DBמ"ס 7 :נתון . ג ABמ"ס 2 ,= = ,AC CE= חשב את AE .

.ABCDנתון מלבן 4.

.DC היא אמצע הצלע Oהנקודה

EFמקביל ל -DC וחותך את BD ואת BO בנקודות Gו -H) ראה ציור.(

GH: הוכח .א HF=.

EG: נתון גם .ב GH=.

צא את היחס מ BF

BC.

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב הסתברות

אם . רושמים את התוצאה, 6 או 5אם הקוביה מראה . זורקים פעם אחת קובייה מאוזנת 5.

.זורקים אותה פעם שנייה, 5-הקובייה מראה מספר קטן מ

זורקים את , אם לא. רושמים את התוצאה, 6 או 5נייה היא אם התוצאה המתקבלת בזריקה הש

.הקובייה פעם שלישית ורושמים את התוצאה המתקבלת

. בכל מקרה נרשמת רק תוצאת הזריקה האחרונה:הערה

?6מהי ההסתברות שהתוצאה שתירשם תיהיה .א

?5-מהי ההסתברות שהתוצאה שתרשם תיהיה קטנה מ .ב

? התקבל בזריקה שלישית5מה ההסתברות שהמספר , 5שם היה ידוע כי המספר שנר .ג

E

D

B

C

A

A B

CD O

E G H F

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

162

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

באחד הלילות הייתה מעורבת מונית . מהמוניות הן לבנות והשאר כתומות 20% בעיר מסוימת 6.

בבדיקות שנערכו . העיד במשטרה שהמונית לבנה, עד ראייה יחיד לתאונה. בתאונת פגע וברח

. מהמקרים75%-נמצא שהוא מזהה נכון את צבע המונית ב, בתנאי לילהלעד

?שהמונית הפוגעת הייתה לבנה או כתומה: לאיזה מבין הבאים סיכוי גבוה יותר .א

כיצד נקראת תופעה ? שופט בית משפט שלא למד חשיבה הסתברותית' מה יענה על סעיף א .ב

?זאת

שהסיכוי שהמונית הפוגעת תהיה לבנה כדי , מה צריך להיות אחוז המוניות הלבנות בעיר .ג

?75%יהיה

בין אילו שני ערכים יהיה הסיכוי שהמונית הפוגעת היא . מוניות לבנות40%נניח שבעיר היו .ד

!ענה מבלי לחשב את ההסתברות המדויקת? לבנה

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :ת בייסנוסח ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

163

9תשובות מבחן מספר

) .א 1. )2k, k 2k 3− + +

0 .ב k 3< <

k .ג 3=

. מקומות6048 2.

.הוכחה .א 3.

AED .ב 30= °∢

AEמ"ס 6 . ג =

.הוכחה .א 4.

.ב FC 2

BC 3=

P = 0.3519 .א 5.

P .ב 0.2963=

.ג 4

p 0.2119

= =

).43%רק (מאשר לבנה ) 57%(סיכוי גבוה יותר שהמונית כתומה .א 6.

השיעור הבסיסי של המוניות הלבנות הוא . תופעה זאת נקראת כשל השיעור הבסיסי. 75% .ב

.1-קטן בהרבה מ, 0.25רק

.כלומר שחצי מהמוניות תהיינה לבנות, 1במקרה זה נדרוש שהשיעור הבסיסי יהיה .ג

.0.75-ל0.43 בין .ד

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

164

:10מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

): נתונה משפחת פונקציות 1. ) ( )2y 9m 5 x 2 2m x 1= − + + + ) mפרמטר .(

? בשתי נקודות שונותx- חותך גרף הפונקציה את ציר הmעבור אילו ערכי .א

?x- ציר ה נמצא גרף הפונקציה כולו מעלmעבור אילו ערכי .ב

xבנקודה שבה x - גרף הפונקציה חותך את ציר ה mעבור איזה ערך של . ג 0.5=?

מצא מהי נקודת החיתוך השניה של גרף הפונקציה ' , שמצאת בסעיף ג mעבור הערך של . ד

.x-עם ציר ה

האיברים n מסכום 3 האיברים האחרונים גדול פי n סכום . איברים2nבסדרה חשבונית 2.

.הראשונים

.a1באמצעות האיבר הראשון שלה , d, בטאו את הפרש הסדרה .א

. מסכום שני האיברים האמצעיים2 -נתון כי האיבר האחרון בסדרה קטן ב .ב

.dחשבו את

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

165

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור:'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

זווית-נתונים שני משולשים ישרי 3.)שוקיים -שווי )AB AC ABC=

) - ו )AM AN AMN=) ראה ציור.(

BMA: כי, הוכח .א CNA=∢ ∢.

CN חותך את הצלע BMהמשך הצלע .ב

.Pבנקודה

. אפשר לחסום במעגלAMPNכי את המרובע , הוכח

NC :הוכח .ג MP BP+ =

. הוא ריבועABCDמרובע .4

.ש של אלכסוני הריבוע היא נקודת המפגOהנקודה

Eוהנקודה , AB נמצאת על הצלע Fהנקודה

).ראה ציור (ADנמצאת על הצלע

FO: נתון EO⊥.

AOEהוכח .א BOF≅△ △.

,ר" סמ81 הוא ABCDשטח הריבוע :נתון .ב

FBמ " ס1.5 =.

.AOB לשטח המשולש BOFהיחס בין שטח המשולש מצא את )1(

.BOFחשב את שטח המשולש )2(

P

B C

M

NA

A B

CD

E

F

O

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

166

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב הסתברות

.זורקים מטבע שעל צד אחד יש תמונה ועל צדו האחר יש מספר 5.

- ב מספר קטנהידוע שההסתברות לקבל 1

33 %3

.תמונהסתברות לקבל מהה

.מצא מהי ההסתברות לקבל תמונה . א

.שני אנשים זורקים כל אחד את המטבע .ב

. פעמים15והשני זורק , פעמים 5הראשון זורק

.נמק? מהזריקות שלו60% -למי מהאנשים יש הסתברות גדולה יותר לקבל תמונה בדיוק ב

יום-ת בחיי היוםחשיבה הסתברותי

בסקר שערכה החברה נמצא כי . בטיסות של חברת תעופה מסוימת נהוג לחלק ירחונים לעיון 6.

מאנשי העסקים 5%ורק , מהפרופסורים הטסים במטוסי החברה בוחרים בירחון מדעי50%

.הטסים במטוסים שלה בוחרים בירחון כזה

.ברה קבוצת אנשי העסקים הטסים במטוסי הח– A :נסמן

B –קבוצת הפרופסורים הטסים במטוסי החברה .

M –קבוצת הבוחרים בירחון מדעי .

.אדם הנמצא בטיסה מסוימת של החברה קורא בירחון מדעי

אחד הנוסעים בטיסה זו טען כי הסיכוי שאדם זה הוא פרופסור גדול מהסיכוי שהוא .א

.נמק? האם טענתו נכונה. איש עסקים

ממספר הפרופסורים 12ספר אנשי העסקים הטסים במטוסי החברה גדול פי מ )1( .ב

חשב את היחס בין הסיכוי שאדם זה הקורא בירחון מדעי . הטסים במטוסים שלה

.הוא פרופסור ובין הסיכוי שהוא איש עסקים

מה צריך להיות היחס בין מספר הפרופסורים הטסים במטוסי החברה למספר אנשי )2(

כדי שהסיכוי שאדם זה הוא פרופסור יהיה שווה , העסקים הטסים במטוסים שלה

.פרט את חישוביך? לסיכוי שהוא איש עסקים

לאיזה משני ההיגדים הבאים יש , לגבי אותו אדם היושב בטיסה והקורא בירחון מדעי .ג

:הסתברות גבוהה יותר I. האדם אוהב לצפות במשחקי כדורגל.

II. ל לפגישה חשובה"וטס לחו, האדם אוהב לצפות במשחקי כדורגל.

.נמקו את תשובתכם

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

167

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

168

10תשובות מבחן מספר

m .א 1. או <65

m 19

< או >5

m9

<

1 .ב m 6< <

.ג 3

m13

= −

.ד 13

( , 0)46

−

d .א 2. = 2a1

d .ב = 4

.הוכחה 3.

.הוכחה .א 4.

)1( .ב 1

6

ר" סמ3.375 )2(

0.6 .א 5.

0.3456-מכיוון ש, לראשון .ב 0.2066>

' הפרופסורים למס' מכיוון שהוא אינו יודע מה היחס בין מס,טענתו לא בהכרח נכונה .א 6.

.אנשי העסקים

)1( .ב 5

6

)2( 1

10

סיכוי גבוה יותרIלהיגד , י כלל הצירוף"עפ .ג

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

169

:11מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

2y: נתונה משפחת הפונקציות 1. mx (2m 1)x (m 2)= − + + +

שקודקודה ברביע הרביעי, גרף הפונקציה הוא פרבולה mעבור אילו ערכים של .א

(y 0 , x 0)< >?

xולה נמצא משמאל לישר הוכח כי קודקוד הפרב .ב . שליליm לכל =1

האיברים 2n מסכום 3 איברים האחרונים גדול פי 2nסכום . איברים4nבסדרה חשבונית 2.

.הראשונים

1dהוכח כי .א 2a=.

.120סכום שני האיברים האמצעיים הוא . איברים40בסדרה .ב

. את הפרש הסדרהמצא

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

170

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 7 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

ABשוקיים -במשולש שווה 3. = AC( ) ABC

L - וK באופן שהקודקודים KLMNבן חסמו מל

N - וMוהקודקודים , נמצאים על בסיס המשולש

).ראו ציור (AB - וACבהתאמה על הצלעות

,ABCאלכסוני המלבן מקבילים לשוקי המשולש

KMכלומר ||ABו - LN ||AC.

BK: הוכיחו כי .א = KL = LC.

) נקודת הפגישה של אלכסוני המלבן- AO )Oהמשך הישר .ב

. D בנקודה BCחותך את הבסיס

.AD⊥BC: הוכיחו

הסתברות קלאסית

4-5 מהשאלות שתיים או על אחתאם בחרת לענות על : שים לב .6-7 מהשאלות אף אחתלא תוכל לענות על

נשים , גברים: התחלקו הצופים במשחק כדלקמן' לקבוצה ב' במשחק כדורגל בין קבוצה א 4.

מהנשים שצפו 40%, מהגברים שצפו במשחק70%היו ' שהאוהדים של קבוצה אידוע. וילדים

ההסתברות שאדם . מכלל הצופים הינן נשים10%. מהילדים שצפו במשחק80%-במשחק ו

. הוא אוהד ללא תלות בקבוצה אותה Pיפצח גרעינים היא ) אישה או ילד, גבר(מסוים

' ההסתברות שילד אוהד קבוצה א. 0.084יפצח גרעינים היא ' ההסתברות שגבר אוהד קבוצה א

.0.048יפצח גרעינים היא

?מהו אחוז הגברים שצפו במשחק .א

?וא ילד שהההסתברותמה . 'ידוע שנבחר צופה והוא מפצח גרעינים מקבוצה א .ב

. צופים שלכל היותר אחד מהם הוא גבר4בוחרים באקראי .ג

? איננו גברםמה ההסתברות שאף אחד מה

M N

O

C L D K B

A

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

171

.0.45ההסתברות שלתינוק במדינה מסוימת תהיינה עיניים שחורות היא 5.

.0.2ההסתברות ששער התינוק יהיה שחור היא

.או שער שחור/ידוע כי למחצית מהתינוקות יש עיניים שחורות ו

.בוחרים באקראי תינוק מבין התינוקות בעלי שער שחור .א

?מה ההסתברות שלתינוק יש עיניים שחורות

. תינוקות בעלי עיניים שחורות3בוחרים באקראי .ב

? מה ההסתברות שלפחות לאחד מהם שער שחור

. תינוקות בעלי עיניים שחורות6 בוחרים באקראי .ג

? מה ההסתברות שלפחות לחמישה מהם שער שחור

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

6-7 מהשאלות שתיים או על אחתאם בחרת לענות על : שים לב .4-5 מהשאלות אף אחתלא תוכל לענות על

ץ לבדיקת תנאי הקירור של פקחי משרד הבריאות מבקרים בחודשי הקיץ במסעדות ברחבי האר 6.

.המזהה אם המזון שנבדק הוא מקולקל או טרי, לפקחים מכשיר מיוחד. מוצרי המזון

. ממוצרי המזון הנבדקים96%המכשיר מזהה נכון

. מקולקלים- מכלל מוצרי המזון הנמכרים במסעדות בקיץ 2%-ידוע ש

?ות שהוא אכן מקולקלמה ההסתבר. המכשיר קבע שמוצר מזון כלשהו הוא מקולקל .א

מאיזה נתון הוא '? חשיבה הסתברותית'נשאל נאיבי שלא למד ' מה היה עונה על סעיף א .ב

? כיצד נקראת תופעה זאת? מתעלם בתשובתו

?0.96תהיה ' כדי שהתשובה לסעיף א, מה צריך להיות אחוז המזונות המקולקלים .ג

האם התשובה כעת לסעיף . מקולקלים-מכרים מהמזונות הנ20%, באזור התחנה המרכזית .ד

!ענו מבלי לחשב את ההסתברות המדויקת? תהיה גבוהה יותר או נמוכה יותר' א

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

172

.צהוב ולבן, בשדה מסוים צומחים פרחים בצבעים אדום .7

:ידוע כי

i. 60%מהפרחים נותנים צוף .

ii. 3

5 . מבין הפרחים הלבנים נותנים צוף

iii. מחצית מהפרחים שיש להם צוף הם אדומים.

iv. אחוז הפרחים הצהובים נותני הצוף שווה לאחוז הפרחים הלבנים שאינם נותנים צוף.

v. מספר הפרחים הצהובים שווה למספר הפרחים הלבנים.

?מה ההסתברות שצבעו צהוב, אם ידוע שלפרח יש צוף .א

:נתונים שני ההיגדים הבאים, לגבי אותו שדה פרחים .ב I. דונם5-גודל השדה הוא כ .

II. חוף השרון'והשדה הוא חלק משמורת הטבע , דונם5-גודל השדה הוא כ'

סיכוי גבוה IIן שלהיגד טוע, שלא למד חשיבה הסתברותית, חברך . אשר סמוכה לים

?כיצד נקראת תופעה זאת? ממה הוא מתעלם בתשובתו. יותר

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

173

11 מבחן מספר תשובות

. א 1.1

0 m4

< <

.הוכחה .ב

.הוכחה .א 2.

d .ב 3=

הוכחה .א 3.

)במעויין האלכסונים מאונכים: רמז(הוכחה .ב

60% .א 4.

.ב 12

35

.ג 1

P7

=

0.75. א 5.

. ב 19

27

0.01783 .ג

0.329. א 6.

הוא מתעלם מהשיעור הבסיסי של המזונות . 0.96נשאל נאיבי היה עונה שההסתברות היא .ב

שהוא , המקולקלים 1

49 . תופעה זאת נקראת כשל השיעור הבסיסי. 1- בהרבה מקטן,

. מזונות מקולקלים50%כלומר שיהיו , 1במקרה זה נדרוש שהשיעור הבסיסי יהיה .ג

הוא' השיעור הבסיסי בסעיף א .ד 1

49 בתחנה המרכזית השיעור הבסיסי עולה ל.

1

4 ולכן גם ,

.ההסתברות המבוקשת תהיה גבוהה יותר

0.2 .א 7.

'כשל הצירוף'תופעה זאת נקראת . 'כלל הצירוף'הוא מתעלם מ .ב

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

174

:12מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

2: נתונה המשוואה 1. m 22mx 2x 0

2

−− − =

. יש למשוואה הנתונה פתרון או פתרונות ממשייםmהראה כי עבור כל ערך של .א

.m- הראה כי אחד משורשי המשוואה הוא מספר קבוע שאינו תלוי ב .ב

? לא קטן מהשורש הקבוע m- השורש התלוי בmעבור אילו ערכי .ג

מטר פחות 40בכל דקה הוא נוסע , במרחק מסויים מהתחנה הבאהאוטובוס האט את מהירותו 2.

, מטר1800עבר האוטובוס , אטהמאז שהחל ל, הדקות הראשונותn-ב. מאשר בדקה הקודמת לה

. מרגע שהחל להאט דקות11הוא נעצר לאחר

?אטהאיזה מרחק עבר האוטובוס בדקה הראשונה מאז שהחל ל .א

?nמהו .ב

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

175

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'בפרק 1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

ADC :בציור נתון 3. PCB=∢ ∢.

PC :הוכח .א || AB.

. קוטרBD :נתון .ב

CPA :הוכח 90= �∢

ADמ"ס 12 :נתון .ג ABמ"ס145 ,= BCמ"ס 8 ,= =

. BDCחשב את שטח המשולש

) ABCDטרפז 4. )AB || DC חוסם מעגל שמרכזו O ורדיוסו R.

).ראו ציור (F משיקה למעגל בנקודה BCהצלע

.G משיקה למעגל בנקודה DCהצלע

2BF: הוכח GC R⋅ =

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב הסתברות

ההסתברות לגשם במקום מסויים היא 5.1

a 1+, בערב חנוכה

1

a- בערב פורים ו

1

15 . בערב פסח

ההסתברות שירד גשם בשני חגים בדיוק היא 5

126.

?יםמה ההסתברות שירד גשם בערב פור .א

?מהי ההסתברות שכל החגים גשומים. ידוע שבכל החגים היה אותו מזג אויר .ב

? מתוך חמש שניםבפוריםבמקום זה שלכל היותר יהיו שנתיים גשומות מהי ההסתברות .ג

O F

A B

C D G

A

P

D

B

C

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

176

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

י הקירור של פקחי משרד הבריאות מבקרים בחודשי הקיץ במסעדות ברחבי הארץ לבדיקת תנא 6.

.מוצרי המזון

. הם אכן מקולקלים- מהמזונות שמזוהים כמקולקלים 96%-מתברר ש

.הם דווקא מקולקלים, מהמזונות שמזוהים כטריים2%

. מכלל המזונות מזוהים כמקולקלים5%

?מה ההסתברות שהוא יזוהה כמקולקל. נבדק מזון מקולקל .א

כיצד נקראת תופעה '? חשיבה הסתברותית'איבי שלא למד נשאל נ' מה היה עונה על סעיף א . ב

?זאת

. מהמזונות זוהו כמקולקלים20%- ו, ביום מסוים נערכה בדיקה באזור התחנה המרכזית .ג

ענה מבלי לחשב את ? תהיה גבוהה יותר או נמוכה יותר' האם התשובה לסעיף א

!ההסתברות

:נוסחאות בהסתברות

) :מותנית והסתברות מותניתפרופורצייה ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

177

12מבחן מספר תשובות

.הוכחה .א 1.

אחד הפתרונות הוא .ב 1

2

0 .ג m 1< ≤

.מטר 400 .א 2.

n .ב 6=

.הוכחה .א 3.

.הוכחה .ב

ר" סמ60 .ג

הוכחה 4.

.א .51

6

.ב 1

421

P .ג 0.9645=

71.6% .א 6.

. תופעה זאת נקראת כשל השיעור הבסיסי. 96%שההסתברות היא נשאל נאיבי היה עונה .ב

הוא ' השיעור הבסיסי בסעיף א . ג 1

19בתחנה המרכזית השיעור הבסיסי עולה ל.

1

4 ולכן גם ,

.ההסתברות תהיה גבוהה יותר

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

178

:13מבחן מספר

לכל שאלה (רות אלגברה וסד: 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

y: נתונה הפונקציה 1. = (15m− 4)x2 + 2(5m− 2)x + 5m− 2.

: בשתי נקודות שונותx - חותכת הפונקציה את ציר הmמצאו לאילו ערכי

.הנמצאות באותו צד של הראשית .א

.ראשיתהנמצאות משמאל ל .ב

מספר הכסאות . מספר הכסאות בכל שורה מהווה סידרה חשבונית. שורות30באולם קולנוע יש 2.

.535הכסאות בעשרת השורות האמצעיות הוא מספר ו835בעשרת השורות האחרונות הוא

?כמה כסאות ישנם בשורה הראשונה

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

179

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא ממוצע גיאומטרי של היטלי : הוכח את המשפט .א 3.

.הניצבים על היתר

.מ" ס3מ והיטלו על היתר שווה " ס5נתון שניצב במשולש ישר זווית שווה .ב

.מצא את אורך היתר

. חסום במעגלABCמשולש .4

.C משיק למעגל זה בנקודה DCישר

DE: נתון || BC) ראו ציור.(

AED: הוכיחו .א ~ DEC∆ ∆.

:אם נתון, DEחשבו את .ב

ACמ " ס16 CEמ " ס9, = =.

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב הסתברות

אם הוא . מוציאים באקראי כדור מהכד. בכד ישנם פי שניים כדורים כחולים מאשר אדומים 5.

אם הכדור השני שהוצא הוא . א אדום מחזירים אותו לכדאם הו. כחול משאירים אותו בחוץ

אז ההסתברות שהכדור הראשון שהוצא הוא אדום היא , כחול 11

32.

?כמה כדורים אדומים וכמה כדורים כחולים ישנם בכד

B D

E C

A

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

180

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

מבין 55% - ו, העתידים להצליח בלימודים האקדמאיים מבין 55%ציוני הבגרות מאבחנים נכון 6.

מבין 70%המבחן הפסיכומטרי מאבחן נכון . אלה שלא מצליחים בלימודים האקדמאיים

. מבין אלה העתידים לא להצליח 30% אך רק ,העתידים להצליח בלימודיהם

הבגרות , חןבאיזה מב. מהמועמדים מסיימים בהצלחה את לימודיהם60%במדינה מסוימת . א

?תעדיפו להשתמש על מנת לחזות בהצלחה את סיכוי הצלחתו של מועמד, או הפסיכומטרי

כדי , מה צריך להיות השיעור הבסיסי של המועמדים המסיימים בהצלחה את לימודיהם . ב

?שלבגרות ולפסיכומטרי יהיו אותם אחוזי הצלחה בניבוי

:נוסחאות בהסתברות

) :ותנית והסתברות מותניתפרופורצייה מ ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

181

13תשובות מבחן מספר

>0.2 .א 1. m <4

15

>0.2. ב m <4

15

.2 10

הוכחה .א 3.

.ב 1

83

הוכחה .א 4.

DEמ " ס15 . ב =

. כחולים8 - אדומים ו4 5.

. בפסיכומטרי54%לעומת רק , מהמקרים55% - הבגרות מזהה נכון ב .א 6.

: השיעור הבסיסי .ב P(A) 0.625 2

1P(A) 0.375 3

= = .

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

182

:14מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

y: נתונה הפונקציה 1. = (4m+ 2)x2 − 8mx + 20m+ 6.

y הישר חותכת הפונקציה את mמצאו לאילו ערכי 8mx 6= :נקודות שונותבשתי −

.הנמצאות משני צידי הראשית .א

.הנמצאות מימין לראשית .ב

.1d והפרשה הוא 30סכום שלושה איברים ראשונים בסדרה חשבונית הוא 2.

ואת האיבר השלישי נשאיר ללא מהאיבר השני18 ונחסיר 2-אם נחלק את האיבר הראשון ב

.2dבל סידרה חשבונית חדשה שהפרשה הוא שינוי נק

.2d- ו1dמצא את הסכום של

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

183

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

.כל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית לא תו:שים לב

הנדסת המישור

.ABCD נתון ריבוע .3

.BEFG בנו ריבוע נוסף BCעל הצלע

.M בנקודה EF חותך את הצלע CGהקטע

.H בנקודה CG חותך את הקטע AEהמשך הקטע

HAB: הוכח כי .א BCG=∢ ∢.

CHE: הוכח כי )1( .ב CBG△ ∼△

BGמ " ס7.5: נתון )2( ABמ " ס10, = =.

.HEחשב את אורך הצלע

.A חוצה את זווית ACהאלכסון . חסום במעגלABCDמרובע .4

. מעבירים משיק למעגלCבנקודה

חותכים את המשיק AD- וABהמשכי הצלעות

. בהתאמהF- וEבנקודות

EBC: הוכיחו כי .א ADC=∢ ∢

EBC: הוכיחו כי . ב CDA∆ ∆∼

. BCחשבו את אורך הקטע . BE=2 ,AD=8 : נתון . ג

B

EC

D

F

A

A

BC

D

E

F G

H M

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

184

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב

הסתברות

מהארגזים מכילים 40%, מהארגזים מכילים תפוזים30%, בבית האירזה של פרדס מסוים 5.

.ושאר הארגזים מכילים מנדרינות, אשכוליות

.ומודבק עליהם פתק ליצוא, חלק מהארגזים מיועד ליצוא

מבין הארגזים 50%על , מבין הארגזים המכילים תפוזים20%פתק ליצוא מודבק על

. מבין הארגזים המכילים מנדרינות60%ועל , המכילים אשכוליות

.בוחרים באקראי ארגז אחד מבין הארגזים בבית האריזה .א

.אמהי ההסתברות שעל ארגז זה מודבק פתק ליצו

.על ארגז שנבחר באקראי מודבק פתק יצוא .ב

?מה ההסתברות שארגז אינו מכיל תפוזים

. מארגזים בבית האריזה יש פירות פגומים1%-ידוע כי ב .ג

. ארגזים4בוחרים באקראי

על כל מהי ההסתברות שבכל ארבעת הארגזים לא יהיו פירות פגומים וגם יהיה מודבק

?אחד מה פתק ליצוא

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

.בבית ספר מסוים נערך מבחן במתמטיקה' בשכבה של כיתות ט 6.

. תלמידים100ומהם הצליחו במבחן , תלמידים120בשכבה יש

1

12 .לא הצליחו במבחן, מבין התלמידים שמכינים שיעורי בית

1

10 . מהתלמידים גם לא הצליחו במבחן וגם אינם מכינים שיעורי בית

?מהי פרופורציית התלמידים שמכינים שיעורי בית, מבין התלמידים שלא הצליחו במבחן .א

?מהי פרופורציית התלמידים שהצליחו במבחן, מבין התלמידים שאינם מכינים שיעורי בית .ב

מך הנתונים אפשר לקבוע כי יש קשר סטטיסטי בין הכנת שיעורי בית לבין האם על ס .ג

.נמקו? הצלחה במבחן

.מנתונים נוספים התברר שהכנת שיעורי בית אינה הסיבה להצלחה במבחן .ד

.הציעו סיבה אפשרית אחרת להצלחה במבחן

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

185

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

186

14מבחן מספר תשובות

−m < 0.5 > 0.6.א .1 −

−m < 0.6 > 5.2122. ב −

.2 106−

הוכחה .א .3

הוכחה )1( .ב

HEמ " ס1.5 )2( =

. הוכחה–ב , א 4.

מ"ס 4 .ג

P .א 5. 0.44=

.ב 19

P 0.8622

= =

0.036 .ג

.א 6.2

5

.ב 1

2

P)הצלחה/אי הכנת שיעורי בית (≠ P)הצלחה/הכנת שיעורי בית(. כן .ג

.העתקה במבחן או חיבה מיוחדת למקצוע למשל .ד

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

187

:15מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2אלות מהשאחתפתור

:פתרו את מערכת המשוואות הבאה .א .1

2y − x + 2y + 1

=1− y2 − x

y = 2m− x − 1

.'ללא קשר לסעיף א .ב

) הפונקציה xעבור אילו ערכי )2

2

x 2f x 1

x 2x 1

+= −

− +) לא מעל ) 2

4xg x

2x x 3=

+ −.

...,24,22,20: נתונה סדרה חשבונית 2.

. מסכום כל האיברים שלפניו4מצא איבר בסדרה שריבועו קטן פי

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

188

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

. חסום במעגלABCGמרובע .3

E נקודה על הצלע CG ,ו- Fנקודה

.AGעל הצלע

CFו - AE נפגשים בנקודה D.

).ראה ציור( הוא מקבילית ABCDהמרובע

ADFהוכח כי .א ~ AGE△ △.

.CD=DF נתון .ב

GE=3AB

חשב את היחס AD

AG.

4. ABC זווית - משולש ישר( )C 90= �∢.

חותך את היתרABהאנך האמצעי ליתר

E בנקודה ACאת הניצב , Dבנקודה

).ראה ציור (K בנקודה BCואת הניצב

AED :הוכח .א ~ KBD∆ ∆.

KE :נתון .ב 3b , DE b= =.

.BK את אורך bבטא באמצעות

A

D

BCK

E

DA

B C

E

F

G

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

189

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : ים לבש

הסתברות

:המשחקים את המשחק שלהלן, חתולים2a - כלבים וaבחדר נמצאים 5.

).בלי החזרה(בוחרים באקראי שתי חיות מהחדר בזה אחר זה

היא , שאחת מהן כלב והאחרת חתולידוע שההסתברות לבחור במשחק זה שתי חיות 1

2.

.aחשב את .א

. ג-ענה על הסעיפים ב' שחישבת בסעיף א a-עבור ה

.ידוע שהחיה השניה שנבחרה הוא חתול .ב

?מהי ההסתברות שהחיה הראשונה שנבחרה היתה חתול

). חתולים בחדר 2a - כלבים וaבכל פעם יש בהתחלה (משחקים את המשחק חמש פעמים .ג

? שבדיוק שלוש פעמים בוחרים שני חתוליםמהי ההסתברות

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

190

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

ב"הנהלת בית ספר תיכון אזורי צריכה לבחור משתתפים לטקס הסיום של בוגרי שכבה י .6

. בוגרי השכבה שביקשו להיבחר400מבין

. לומדים במגמות אחרות200 - מהמבקשים לומדים במגמת פיזיקה ו200

. מהמבקשים הם בנים הלומדים במגמת פיזיקה160

. מהמבקשים הם בנים הלומדים במגמות אחרות80

ופרסמה את תוצאות הבחירה , הנהלת בית הספר בחרה בתלמידים שישתתפו בטקס הסיום

.שלהן

80% -קה ו מהמבקשים הלומדים במגמת פיזי75% נבחרו להשתתף בטקס הסיום :אצל הבנים

. מהמבקשים הלומדים במגמות אחרות

35% - מהמבקשות הלומדות במגמת פיזיקה ו25% נבחרו להשתתף בטקס הסיום :אצל הבנות

.מהמבקשות הלומדות במגמות אחרות

.ומלא את המשבצות הריקות בטבלה, העתק למחברתך את הטבלה שלפניך .א

כל המגמות מגמות אחרות מגמת פיזיקה

מספר

המבקשים

מספר

הנבחרים

אחוז הנבחרים

מבין המבקשים

מספר

המבקשים

מספר

הנבחרים

אחוז הנבחרים

מבין המבקשים

מספר

המבקשים

מספר

הנבחרים

אחוז הנבחרים

מבין המבקשים

בנים

בנות

סך

הכולל

על סמך התוצאות הסיקו התלמידים כי היה אפליה בבחירת המשתתפים .ב

ואילו ההנהלה טענה כי הייתה אפליה , בטקס הסיום לטובת הלומדים במגמות פיזיקה

.לטובת הלומדים במגמות אחרות

.הנהלה ועל אילו תוצאות הסתמכה ה, הסבר על אילו תוצאות הסתמכו התלמידים

.הסבר מה גרם לסתירה בין טענת התלמידים לטענת ההנהלה .ג

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

191

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

192

15תשובות מבחן מספר

,m .א 1. m− 1( m או ( +1,m− 2( )

.ב 3 1

x2 4

− < ≤ −

.2 10a 6=

הוכחה .א 3.

.ב AD 1

=AG 3

הוכחה. א 4.

BK. ב 20 b= ⋅

x .א 5. 3=

0.625 .ב

0.2462 .ג

.א .6 כל המגמות מגמות אחרות מגמת פיזיקה

מספר המבקשים

מספר הנבחרים

אחוז הנבחרים מבין המבקשים

מספר המבקשים

מספר הנבחרים

אחוז הנבחרים מבין המבקשים

מספר המבקשים

מספר הנבחרים

אחוז הנבחרים מבין המבקשים

76.67% 184 240 80% 64 80 75% 120 160 בנים 32.50% 42 160 35% 42 120 25% 10 40 בנות

59% 236 400 53% 106 200 65% 130 200 סך הכולל

שיעור הנבחרים מבין המבקשים , ידי מגמת פיזיקההתלמידים הסתמכו על כך שבקרב תלמ . ב

.53% ובקרב תלמידי שאר המגמות שיעור הנבחרים הוא 65%הוא

שיעור הנבחרים מבין , ההנהלה הסתמכה על כך שהן בקרב הבנים והן בקרב הבנות

.המבקשים היה גדול יותר בקרב הלומדים במגמות אחרות

גדול יותר מאחוז המתקבלים בקרב הבנות הן מבין אחוז המתקבלים בקרב הבנים .ג

ומכוון ,התלמידים הלומדים במגמת פיזיקה והן בתלמידים הלומדים במגמות אחרות

שפופורציית הבנים הלומדים במגמת פיזיקה 160

200

גבוהה יותר מפרופורציית הבנים

הלומדים במגמות אחרות 80

200

.)הפרדוקס של סימפסון( נוצר היפוך קשר

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

193

:16מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

): נתונה המשוואה 1. ) 2m 1 m 1 x mx m 1 0≠ − − + − =.

. משיים למשוואה יש פתרונות מmקבע עבור אילו ערכי . א

שעבורם mקבע את ערכי . פתרונות המשוואה2x- ו1xיהיו . ב1 2

1 11

x x+ <.

בשניה הראשונה הוא עובר חמישה מטרים ובכל שניה לאחר מכן עשרה . כדור נזרק לעבר מטרה 2.

n-ב. שניות לאחר זריקתוnהכדור הגיע למטרה . יותר מאשר בשניה שלפניהמטרים השניות −4

n- מטר יותר מאשר ב100האחרונות לזריקתו עבר הכדור . השניות הראשונות לזריקתו−2

nמצא את .א

?מאיזה מרחק נזרק הכדור .ב

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

194

לכל שאלה(: הסתברות, המישורהנדסת : 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

3. ABCD טרפז ( )AB CD , AB || CD>

∢CDA- ו∢BCDנתון כי חוצי הזוויות

.AB שהיא אמצע הבסיס Mנחתכים בנקודה

.הוכח כי הטרפז הוא שווה שוקיים .א

BCנתון גם כי .ב CD=.

. הוא מעויןDCBMהוכח כי .1

. הוא קוטר המעגל החוסם את הטרפזABהוכח כי .2

) ABCמשולש שווה שוקיים .4 )AB BC=חסום במעגל .

עובר ישרAדרך קודקוד . עובר משיק למעגלCדרך קודקוד

).ראו ציור (Dוחותך את המשיק בנקודה , BC-המקביל ל

ABC :הוכיחו .א ~ DCA△ △.

ABמ" ס18 :נתון גם .ב ADמ" ס8, = =.

.ACחשבו את האורך של

D C

BA M

B

A C

D

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

195

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב הסתברות

והשאר , תומכים בבניית גורדי שחקים, צעירים ומבוגרים, בעיר מסוימת חלק מהתושבים 5.

.מתנגדים לבנייתם

.0.6ההסתברות שהוא מתנגד לבנייה היא , אם בוחרים באקראי תושב מהעיר

.בין התומכים בבנייה הם צעירים מ20%

מההסתברות לבחור 4ההסתברות לבחור באקראי תומך בנייה שהוא גם מבוגר גדולה פי

.באקראי מתנגד לבנייה שהוא גם צעיר

?מהי ההסתברות לבחור באקראי תושב צעיר מבין תושבי העיר .א

.בוחרים באקראי תושב מבין הצעירים בעיר .ב

?הוא תומך בבנייהמהי ההסתברות ש

.בוחרים באקראי תושב מהעיר .ג

?מהי ההסתברות שהוא תושב מבוגר או תושב המתנגד לבנייה

. מתושבי העיר ומתברר שכולם תומכים בבנייה6בוחרים באקראי .ד

?מה ההסתברות שרובם צעירים

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

196

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

.ורי התמותה בקרב חילונים וחרדיםמשרד הבריאות בדק את ההבדל בשיע 6.

.במשך שנה, חילונים800מתוכם , איש1000נבדקו

. מהנבדקים מקרב החרדים נפטרו במהלך הסקר12-נמצא ש

. מכלל הנבדקים924כ נשארו בחיים בתום הסקר "סה

.מימדית המתארת את תוצאות הסקר-בנו טבלה דו .א

נסחו , אם כן ואם לא? הדתית לבין שיעורי התמותההאם קיים קשר סטטיסטי בין האמונה .ב

.במילים את משמעות התוצאה שקיבלתם

בהמשך נבדק גם הקשר בין גיל הנבדקים לשיעורי התמותה בכל מגזר והתקבלו התוצאות

:הבאות

:50 נבדקים מתחת גיל 700מבין :50 נבדקים מעל גיל 300מבין

דיםחר חילונים חרדים חילונים

33 9 24 נפטרו 43 3 40 נפטרו

נשארו

בחיים

נשארו 257 17 240

בחיים

496 171 667

280 20 300 520 180 700

? האם בכל קבוצת גיל בנפרד קיים קשר סטטיסטי בין האמונה הדתית לבין שיעורי התמותה .ג

.נסחו במילים את משמעות התוצאה שקיבלתם, אם כן ואם לא

כיצד נקראת תופעה . 'לעומת תשובתכם לסעיף ג' התבוננו שוב בתשובתכם לסעיף ב .ד

.הסבירו בפירוט? זאת

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

197

16תשובות מבחן מספר

. א 1.2

m 1, m 23

≠ ≤ ≤.

. ב2

m 13

≤ <.

n .א 2. 10=

. מטר500 .ב

.הוכחה .א 3.

.הוכחה )1( .ב

.הוכחה )2(

ACמ" ס12 4. =

P .א 5. 0.16=

P .ב 0.5=

P .ג 0.92=

P .ד 0.01696=

נפטר– B, חילוני– A: נסמן .ב 6.

( ) ( )P B | A 0.08 , P B | A 0.06= =

).6% לעומת רק 8%(בקרב החילונים אחוז הנפטרים גבוה יותר מבקרב החרדים

):בקרב המבוגרים .ג ) ( )P B | A 0.14 , P B | A 0.15= =

) :בקרב הצעירים ) ( )P B | A 0.046 , P B | A 0.05= =

.גם בקרב המבוגרים וגם בקרב הצעירים שיעורי התמותה בקרב החרדים גבוהים יותר

). היפוך הקשר(' הפרדוקס של סימפסון'תופעה זאת נקראת .ד

צעיר- C: נסמן

:במגזר החרדי שיעורי ילודה גבוהים ולכן האוכלוסיה צעירה יותר

( ) ( )P C | A 0.65 , P C | A 0.9= =

:שיעורי התמותה נמוכים יותר, באופן טבעי, בקרב הצעירים

( ) ( )P B | C 0.047 , P B | C 0.143=

ין הגיל הוא הגורם המתווך שגרם להצמדת גורמים ולהיפוך הקשר בין האמונה הדתית לב

.שיעורי התמותה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

198

:17מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

) :נתונות שתי פונקציות 1. ) ( ) 2f x m 2 x 2mx 2m 3= − + + +.

( ) ( )2 2g x 25 m x 1= − +.

) הפונקציה אין לגרףmעבור אילו ערכי .א )f xנקודות משותפות עם ציר ה -x?

) אין לגרף הפונקציה mעבור אילו ערכי .ב )g xנקודות משותפות עם ציר ה -x?

)הפונקציה .ג ) ( )f x g x⋅היא מכפלת הפונקציות הנתונות .

אין לגרף הפונקציה mמצא עבור אילו ערכי ', ב- א ועזרת התוצאות של סעיפיםב ( ) ( )f x g x⋅נקודות משותפות עם ציר ה -x .

מפעמיים סכום 60סכום כל איברי הסדרה גדול ב . איברים2nבסדרה חשבונית יש 2.

.6הפרש הסדרה הוא . האי זוגייםכל האיברים העומדים במקומות

.מצא את מספר האיברים בסדרה

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

199

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

ABקיים שו-במשולש שווה 3. = AC( ) ABC

'CCהורידו את הגבהים ,BB' ,AA') ראו ציור.(

'Aהוכיחו כי המשולש .א B' C'שוקיים- הוא שווה.

'Cהוכיחו כי .ב B' ||BC.

הןF- וE הנקודות ABCDבטרפז .4

, בהתאמהDC- וABאמצעי הבסיסים

,G נחתכים בנקודה CE- וBFטעים הק

H נחתכים בנקודה DE- וAFוהקטעים

).ראה ציור(

ABמ " ס8 :נתון =

DCמ " ס24 =

חשב את היחס .א EG

GC.

. מקביל לבסיסי הטרפזHGהוכח כי הקטע .ב

.HGע חשב את אורך הקט .ג

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב הסתברות

. תלמידים10ובכל אחת מהן , כיתות3ספר למוסיקה יש -בבית 5.

. בנים4 - בנות ו6 - בכיתה הראשונה

. בנים5 - בנות ו5 -בכיתה השנייה

. בנים8 - בנות ו2 - בכיתה השלישית

. תלמידים זה אחר זה2מוציאים באקראי , ובכיתה שנבחרה, תותבוחרים באקראי באחת הכי

? אם ידוע כי נבחרו שני תלמידים מאותו מיןבנות 2מהי ההסתברות שייבחרו

C B

C ' B'

A'

A

BEA

H G

F CD

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

200

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

95%ערכה לבדיקת המצאות ממריצים אסורים בדמם של ספורטאים מאבחנת נכון 6.

אכן 95% -בין אלה הנוטלים ממריצים אסורים היא קובעת שכלומר מ(מהספורטאים

). אינם נוטלים 95%-ומבין אלה שאינם נוטלים ממריצים היא קובעת ש, נוטלים ממריצים

ידוע כי מספר הספורטאים הנוטלים ממריצים אסורים הוא 1

9 ממספר הספורטאים

.שאינם נוטלים ממריצים

שמבין הספורטאים שהערכה קובעת , יגוד הספורטאים טוען כנגד ערכת הבדיקה א .א

- רק מעט יותר מ, שנוטלים ממריצים 2

3 האם טענת איגוד . אכן נוטלים ממריצים

.י חישוב מתאים"נמקו ע? הספורטאים נכונה

ו מה ההסתברות שספורטאי אכן נוטלנשאל, "חשיבה הסתברותית"אנשים שלא למדו .ב

.אם הערכה קבעה שהוא נוטל ממריצים, ממריצים

מה נוטים לענות על שאלה כזאת אנשים , "חשיבה הסתברותית"על פי מה שלמדתם ב

? שכאלה

כדי שמבין הספורטאים שהערכה קובעת, מה צריך להיות אחוז האבחון הנכון של הערכה .ג

?85%-אחוז אלה שאכן נוטלים ממריצים יעלה ל, נוטלים ממריציםש

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

201

17שובות מבחן מספר ת

m. א 1. m: או, <3 2< −.

5. ב m 5− ≤ ≤.

3. ג m 5< 5: או, ≥ m 2− ≤ < − .

2. 20

הוכחה .א 3.

הוכחה . ב

.א .4EG 1

GC 3=

.הוכחה .ב

HG .ג 6=

.5 13

35

.א 6.P(A B) 0.095

P(A / B) 0.6786P(B) 0.14

∩= = =

-וערך זה גדול אך במעט מ 2

3 ( )0.667.

תברות שהספורטאי נוטל מממריצים אנשים שלא למדו חשיבה הסתברותית יענו שההס .ב

. 95%אם הערכה קובעת שהוא נוטל

הם מתעלמים מהשיעור הבסיסי של נוטלי הממריצים שהוא רק ( )

P(A) 1

9P A התשובה . =

P(A)כאשר (1 רק אם השיעור הבסיסי הוא 95%לשאלה זאת תהיה P(A) 0.5= =.(

) .ג ) 51P B/ A 98.08%

52= =

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

202

:18מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

): נתונה משפחת הפונקציות 1. ) ( )2 2y m 4 x m 2 x 3= − + − +

: עבור משפחת הפונקציות הנתונה . א

. ממשיx חיוביים לכל y ערכי הפונקציה mשל מצא עבור אילו ערכים

חותך את כל הפרבולות שבמשפחת , ושייך למשפחת הפונקציותx-המקביל לציר ה, ישר .ב

).m- אינה תלויה ב(שאחת מהן קבועה , הפונקציות בשתי נקודות

. מצא את שיעורי הנקודה הקבועה

x במרחקים שווים מהישר x- גרף הפונקצייה יחתוך את ציר הmערכי לאילו . ג 1=.

.4 והפרש הסדרה הוא 50-בסדרה חשבונית האיבר הראשון הוא 2.

.מצא את סכום כל האיברים השליליים בסדרה .א

יש לחבר כדי לקבל סכום , החל בראשון, ל"איברים עוקבים בסדרה הנ, הפחותלכל, כמה .ב

?חיובי

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

203

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

זווית היקפית במעגל שווה למחצית הזווית : הוכיחו .א 3.

.המרכזית באותו מעגל הנשענת על אותה הקשת

ABC : נתון .ב ACB=∢ ∢

BAD EAF=∢ ∢

ABD∆ )1( :הוכיחו ≅ ∆ACF

)2( FE = CF

) ABCDבטרפז שווה שוקיים .4 )AD BC=

מחבר את אמצעי הבסיסיםEFהקטע

ABו -DC) ראה ציור.(

AFהוכח כי )1( .א FB=.

. מאונך לבסיס הטרפזEFהוכח כי )2(

נפגשיםBC- וADהמשכי השוקיים .ב

).ראה ציור (Gבנקודה

. הוא קו ישרGEFהוכח כי

GEFהוכח כי , כלומר( 180= °∢.(

מהו היחס , DG היא אמצע הצלע Aאם הנקודה .ג AE

DC .נמק?

F B D E

C

A

G

AE

B

CFD

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

204

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב

הסתברות

. 0.5רות שיקלע במטרה בירייה הראשונה היא ההסתב. קלע יורה למטרה שלוש פעמים 5.

אם קלע במטרה : הסתברות הקליעה תלויה בהצלחת הירייה הקודמת, הבאיםתבניסיונו

אם לא קלע במטרה בירייה . 0.6שיקלע בירייה הנוכחית היא ההסתברות, קודמתבירייה ה

.0.4הנוכחית היא ההסתברות שיקלע בירייה, ודמתקה

?מהי ההסתברות שהקלע יפגע במטרה בדיוק פעמיים מבין שלושת הניסיונות שלו .א

.אם ידוע כי הקלע לא פגע בירייה השלישית .ב

?מה ההסתברות שהוא פגע בקליעה השנייה

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

ובו שאלות , המבחן כולל גם נספח. מדינות50במבחן בינלאומי במתמטיקה השתתפו 6.

.כלליות לתלמיד על הרגליו הלימודיים

. מדינות התלמידים גם הצליחו במבחן וגם טענו שהם מאושרים בבית הספר3-ב

. מדינות התלמידים גם לא הצליחו במבחן וגם טענו שהם אינם מאושרים בבית הספר2-ב

. מדינות התלמידים הגדירו את עצמם כמאושרים בבית הספר30-ב

. מדינות התלמידים הגדירו את עצמם כלא מאושרים בבית הספר20-ב

אסנת ניתחה את ממצאי המבחן וטוענת שמצאה קשר סטטיסטי בין אושר בבית הספר .א

בית שתלמידים שאינם מאושרים ב, משמעות הקשר לטענתה הוא. להצלחה במבחן

?על אילו נתונים מסתמכת אסנת. הספר מצליחים יותר במבחן

.עופר טוען שאין קשר סיבתי בין היעדר אושר בבית הספר להצלחה במבחן .ב

התלמידים פחות מאושרים , במדינות שבהן רמת הלימוד במתמטיקה גבוהה, לטענתו

ם מצליחים יותר אבל בסופו של דבר ה, כי חומר הלימוד קשה להם. בבית הספר

הסבירו מה הגורם המתווך ובין אלו שני גורמים .נתחו את דבריו של עופר . במבחן

.הייתה הצמדת גורמים

,שרוב המדינות שתלמידיהן הצליחו במבחן היו ממזרח אסיה, לינוי בדקה ומצאה .ג

יו מאגן ואילו רוב המדינות שתלמידיהן לא הצליחו במבחן ה, שם האנשים מאופקים

, טוענת לינוי, ממצאים אלה. שם האנשים נוטים להחצין את רגשותיהם, הים התיכון

מעמידים בספק גם את הנחתו של עופר שרמת הלימוד גבוהה משפיעה על רמת האושר

.נתחו את טענתה של לינוי. של תלמידים

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

205

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

206

18 מבחן מספר תשובות

m. א 1. או ≤24

m 211

< −

0). ב , 3)

אין פתרון. ג

338- .א 2.

n .ב 27=

הוכחה.א 3.

הוכחה. ב

הוכחה )1( .א .4

הוכחה )2(

הוכחה .ב

.ג AE 1

DC 4=

P .א 5. = 0.32

.ב 2

P5

=

. תלמידי המדינה טענו שהם מאושרים בבית הספר- A: נסמן .א 6.

B-תלמידי המדינה הצליחו במבחן .

) -אסנת מצאה ש )P B/ A ) ולעומת זאת =0.1 )P B/ A 0.9=.

.רמת הלימוד במתמטיקה בבית הספר: הגורם המתווך .ב

.ה בין אושר בבית הספר להצלחה במבחןהצמדת גורמים היית

.אופי התושבים במדינה: הגורם המתווך .ג

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

207

:19 מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

): נתונה המשוואה 1. )2x m 3 x 8m 4 0− − − − =) mהוא פרמטר (.

? יש למשוואה שני שורשים ממשיים שוניםmעבור אילו ערכים של .א )גרף הפונקציה , mעבור אילו ערכי .ב )2y x m 3 x 8m 4= − − − ?x- חותך את ציר האינו −

בנקודה אחת בלבד ומצא מהיx- גרף הפונקציה חותך את ציר ה mמצא עבור אלו ערכי . ג

.נקודת החיתוך

2yגרף הפונקציה . ד x (m 3)x 8m 4= − − − ) בנקודה x- חותך את ציר ה− m,0 ).

.x-מהן נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה

סכום שלושת . 150הוא , −3בעלת הפרש , ם הראשונים בסדרה חשבונית איבריהסכום כל 2.

. מסכום שלושת האיברים האחרונים בסידרה63-הראשונים גדול ב האיברים

.מצא את הסכום הזה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

208

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםתור פ

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

. הוא קוטר המעגלT ,AB בנקודה M משיק למעגל ℓהישר : בציור 3.

.ℓ - מאונכים לBD - וACהקטעים

MC :הוכיחו כי .א = MD) נמקו כל צעד בהוכחה.(

AB :הוכיחו .ב AC BD= +.

:נתון .4

AD DB 6= = AE 4=

DE 5=

EC 14= . בר חסימהDECBהוכיחו שהמרובע .א .הוכיחו שניתן לחסום מעגל במרובע זה .בGCE: הוכיחו .ג GDB∆ ∆∼

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב

הסתברות

אם , מוציאים באקראי כובע אחד. כובעים שחורים והשאר לבניםx, בקופסה עשרה כובעים 5.

מחזירים , אם הוא שחור. כובעים לבניםxומוסיפים , מחזירים אותו לקופסה, הכובע לבן

.לאחר מכן מוציאים באקראי כובע שני. כובעים שחוריםxאותו לקופסה ומוסיפים

אם ההסתברות ששני , עים שחורים וכמה כובעים לבנים היו בקופסה בתחילהכמה כוב .א

הכובעים שמוציאים הם בעלי אותו צבע היא 7

10 ?

מהי ההסתברות שצבעו של הכובע הראשון , ידוע שצבעו של הכובע השני שהוצא היה שחור .ב

?שהוצא היה שחור

B

T D

A M

C

ℓ

A

B

D

C

E

G

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

209

יום-בחיי היוםחשיבה הסתברותית

במחקר שנערך בקרב סטודנטים בחוג למתמטיקה ניסו לבדוק את הקשר בין הצלחה .6

. בחוג ובין עיסוק בספורט בלימודים

אחוז הסטודנטים , תוצאות המחקר הראו כי מבין הסטודנטים של החוג העוסקים בספורט

.ספורטהמצליחים בלימודים גבוה יותר מאשר מבין אלה שאינם עוסקים ב

במחקר נמצא גם כי היחס בין מספר בסטודנטים העוסקים בספורט למספר הסטודנטים

המצליחים בלימודים הוא 5

6וכן נמצא כי ,

1

3 מבין הסטודנטים המצליחים בלימודים

.אינם עסוקים בספורט

. את פרופורציית הסטודנטים בחוג למתמטיקה המצליחים בלימודיםm- נסמן ב )1(

את פרופורציית הסטודנטים המצליחים בלימודים וגם עוסקים mצעות בטא באמ

.בספורט

.דני הוא סטודנט בחוג למתמטיקה העוסק בספורט )2(

.נמק בעזרת חישוב מתאים? מהו הסיכוי שדני מצליח בלימודיו

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

210

19מבחן מספר : תשובות

m .א 1. 25< m או − 1> −

25 .ב m 1− < < −

mעבור . ג 1= ) נקודת החיתוך − 2,0)−

mעבור 25= ) נקודת החיתוך − 14,0)−

) .ד 3 , 0) , ( 0.8, 0)− −

.2 76.5

.הוכחה 3.

הוכחה .א 4.

הוכחה .ב

הוכחה .ג

. כובעים לבנים4- כובעים שחורים ו6 . א .5

. ב3

4

6 . )1( 2

m3

)2( 0.8

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

211

:20מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

).ת נקודו

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

: נתונה המשוואה 1.a x+ 1( )

b +b x − 1( )

a = 2x.

: ישb - וaמצאו לאילו ערכי .א

.פתרון יחיד (1)

.אינסוף פתרונות (2)

.אין פתרון (3)

. בהנחה שיש פתרון יחידxמצאו את .ב

ידוע כי היחס .ג b

a . מצא את הפתרון היחיד של המשוואה2 שווה

2 מהווה הסדרה xעבור אילו ערכים של .א 2. 25x 6,2x x ,4x x+ + ? סדרה חשבונית+

חשב את היחס בין , איברים20בסדרה בה יש , שיוצר סדרה עולה' שמצאת בסעיף אxעבור .ב

.ום האיברים במקומות האי זוגייםסכום האיברים במקומות הזוגיים לסכ

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

212

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

ABC )ו ציוררא (ABCבמשולש 3. 15= °∢,

ACB 30= ADוכן , ∢° ⊥ABו - BE = ED.

שוקיים - הוא שווהAECהוכיחו כי המשולש .א

).נמקו כל צעד(

BD .ב = a , בטאו את שטח המשולשAED בעזרת a.

.R ורדיוסו Oנתון מעגל שמרכזו .4

PA הוא משיק למעגל בנקודה A.

AB הוא מיתר במעגל .

.AB היא אמצע המיתר Cהנקודה

PB AB⊥) ראו ציור.(

:הוכיחו

(AC)22 .א OC BP= ⋅.

) .ב )2 22 OC OC BP 2R+ ⋅ =.

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב הסתברות

. עובדים מהמפעל6בוחרים באקראי . מהעובדים שנבחרו הם דוברי אידיש 60%במפעל מסוים 5.

חד אינו העובדים שנבחרו הוא דובר אידיש ולפחות א6 -מהי ההסתברות שלפחות אחד מ .א

?דובר אידיש

העובדים שנבחרו הוא דובר אידיש ולפחות אחד מהם אינו דובר 6 -ידוע שלפחות אחד מ .ב

. מהם דוברי אידיש3חשבו את ההסתברות שבדיוק .אידיש

E B

A

C D 3 0 ° 1 5 °

O P B

A

C

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

213

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

יסו לבדוק את הקשר בין עבודה במקביל ללימודים לבין במחקר שנערך בקרב תיכוניסטים נ .6

מבין התיכוניסטים המצליחים בלימודים 40%-במחקר נמצא ש. כשלון בלימודים הצלחה או

.אינם עובדים

את kבטאו באמצעות . את פרופורציית התיכוניסטים המצליחים בלימודיםk-נסמן ב .א

.לימודים וגם עובדיםפרופורציית התיכוניסטים המצליחים ב

נתן גם שהיחס בין מספר התיכוניסטים העובדים לבין מספר התיכוניסטים המצליחים .ב

מה הסיכוי ששונטל . שונטל היא תיכוניסטית העובדת במקביל ללימודים. 0.8בלימודים הוא

?מצליחה בלימודים

התיכוניסטים המצליחים אחוז , תוצאות המחקר הראו כי מבין התיכוניסטים העובדים .ג

. בלימודים גבוה יותר מבין אלה שאינם עובדים

?kבין אילו ערכים נמצא ערכו של

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

214

20תשובות מבחן מספר

a (1) .א 1. ≠ 0 ,b ≠ 0 ,a ≠ b

(2) a = b ≠ 0

(3) a = 0 ,b = 0

x .ב =a+ bb − a

x .ג 3=

x .א 2. x או =6 1= −

.ב 13

12

.הוכחה. א 3.

.ב 2a

16

הוכחה .א 4.

הוכחה. ב

P . א 5. = 0.949248

P. ב 0.29=

0.6k .א 6.

0.75 .ב

0 . ג k 0.75< <

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

215

:21מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

): נתונה משפחת הפונקציות 1. ) ( )2 2y m 5m x m 5 x 1= − − − − .

: עבור משפחת הפונקציות הנתונה מצא

. x- הוא קו ישר המקביל לציר הפונקציהגרף ה שעבורו mערך של .א

. x- הוא פרבולה המשיקה לציר הפונקציה שעבורו גרף הmערך של .ב

שאחת משתי נקודות החיתוך שלה עם ציר , הוא פרבולהפונקציה שעבורו גרף הmערך של .ג

- היא בx-ה 1

x2

=.

n האיברים האחרונים בסדרה זו גדול פי שלושה מסכום nסכום . איברים2nרה חשבונית בסד 2.

.45 -ל שווה ל"האיבר השמיני בסדרה הנ. האיברים הראשונים בסדרה

.3הוכח כי היחס בין האיבר השמיני לאיבר השלישי הוא

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

216

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

.צלעות- הם שוויCDE - ו ABCהמשולשים 3.

ACE∆ :הוכיחו כי .א ≅ ∆BCD

.H בנקודה BD חותך את הקטע AEהישר .ב

AHB: הוכיחו כי = 60°∢.

. אפשר לחסום במעגלEHDCהוכיחו כי את המרובע .ג

) הוא ישר זווית ABCמשולש .4 )B 90= נמצאת Dקודה ונ, AC היא אמצע הצלע Mנקודה . ∢°

. הוא בר חסימהBCMDמרובע . ABעל הצלע

: הוכיחו

.BCDM שווה לקוטר המעגל החוסם את המרובע ADאורך הקטע .א

BFהוכח . F בנקודה BC ומרכז המעגל חותך את הצלע Mקטע העובר דרך נקודה .ב FC=.

.5-6אלות מהשאחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב

הסתברות

: היא, בבחינת בגרות במתמטיקה, ספר מסוים-ב בבית"ההסתברות להצלחה של מסיימי כיתה י 5.

0 < p < 1( ) p.

אזי ההסתברות , ספר-מבין הניגשים לבחינה זו באותו בית, תלמידים4אם בוחרים באקראי

. ייכשלו4 -כל ה מההסתברות ש96 מהם יצליחו גדולה פי 2שבדיוק

.pחשבו את .א

. יצליחו בבחינה, תלמידים שנבחרו באקראי4 מתוך 3שלפחות , חשבו את ההסתברות .ב

מתוכם הצליחו 2ידוע שלפחות . ס שניגשו לבחינה" תלמידים מביה9בוחרים באקראי .ג

. מתוכם נכשלו בבחינה2בבחינה ולפחות

?מה ההסתברות שרובם הצליחו

H

E

A

C B

D

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

217

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

- מהתושבים אוכלים עגבניות לפחות פעם בשבוע ו30%-בסקר שנערך ביישוב מסויים נמצא ש 6.

. אוכלים מלפפונים לפחות פעם בשבוע40%

?בין אילו שני ערכים נמצא אחוז אוכלי שני הירקות .א

?ני סוגי הירקותבין אילו שני ערכים נמצא אחוז האוכלים לפחות אחד מש .ב

. אוכלים מלפפון וגם עגבנייה15% -ידוע ש .ג

.מצאו את פרופורציית אוכלי המלפפון מבין אוכלי העגבנייה

.מצאו את פרופורציית אוכלי המלפפון מבין אלה שלא אוכלים עגבנייה .ד

:נוסחאות בהסתברות

) :ת מותניתפרופורצייה מותנית והסתברו ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

218

21תשובות מבחן מספר

m .א 1. 5=

m . ב 1=

m .ג 6=

.הוכחה 2.

.הוכחה. א 3.

הוכחה .ב

הוכחה .ג

.הוכחה .א 4.

.הוכחה .ב

P .א 5. = 0.8

P .ב = 0.8192

P .ג 0.9654=

30% - ל0%בין . א 6.

70% - ל40%בין . ב

1 .ג 2

5. ד14

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

219

:22מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

) :נתונה הפונקציה 1. )2y ax 2 a 1 x 3a 1= − − + −.

?x-נמצא גרף הפונקציה כולו מתחת לציר ה aעבור אילו ערכים של . א

y וגם חותך את הקו x- נמצא הגרף כולו מתחת לציר הaעבור אילו ערכים של . ב 5= −.

).עגל לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית(? בשתי נקודות שונות

. ללא קשר לסעיפים קודמים .ג ) יחס הפונקציות xכי עבור אילו ער ) 2f x x x 2= − )- ו− ) 2g x x 7x 12= − יהיה קטן או שווה +

?1-ל

האיברים n מסכום 4סכום כל איברי הסדרה גדול פי . איברים2nבסדרה חשבונית יש 2.

.87 הוא 15 -האיבר ה. שוניםהרא

.nמצא את . 432 איברים ראשונים הוא 4nאם סכום

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

220

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

.3 AC משיק למעגל בנקודה A .Bהיא נקודה על

E חותך את המעגל בנקודה BC -כך ש, המעגל

ACB -ו = 30°∢ABC ).ראו ציור (∢=

. עובר דרך מרכז המעגלBCהוכיחו שהקטע .א

. שווה לרדיוס המעגלCEהוכיחו שהקטע .ב

EABחשבו את היחס שבין שטח המשולש .ג

.EACלבין שטח המשולש

B דרך נקודה . חסום במעגלABCמשולש .4

C- וAמהנקודות . מעבירים משיק למעגל

החותכים אותו בנקודה , מורידים אנכים למשיק

N ,M . מהנקודהB מורידים אנך לצלע AC החותך

. Dאותה בנקודה

2BD: הוכח כי AM CN= ⋅.

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב

הסתברות

3למפלגת נרקיס הצביעו . נרקיס ורקפת-רות למועצת תלמידים היו שתי מפלגות לבחי 5.

4

1מהמצביעים ולמפלגת רקפת 4

. מהמצביעים

יותר מצביעים3 מבין הבנים היו פי. יותר בנים מבנות1.5מבין המצביעים למפלגת רקפת היו פי

. מצביעים400בהצבעה השתתפו . למפלגת נרקיס מאשר למפלגת רקפת

?כמה בנים השתתפו בהצבעה .א

?מהי ההסתברות שהיא הצביעה למפלגת נרקיס. בוחרים באקראי מצביע וידוע שהוא בת .ב

).בנות( מצביעות 2בוחרים באקראי .ג

? למפלגת נרקיס מה ההסתברות שלכל היותר אחת מהן הצביעה

C

30°E

A

B

A

B

C D

M N

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

221

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

.רצו לבדוק האם קיים קשר בין אכילת שוקולד ובין השמנה 6.

: אנשים ומיינו את התוצאות בטבלה הבאה200בדקו

רזים שמנים

100 40 60 לא אוכלים שוקולד

100 30 70 אוכלים שוקולד

130 70 200

נסחו במילים את , אם כן? ם קשר סטטיסטי בין אכילת שוקולד להשמנההאם קיי .א

.שמעות הקשרמ

ובין , בבדיקות נוספות נמצא קשר סטטיסטי בין יניקת חלב אם בילדות לאכילת שוקולד .ב

פי יניקת חלב אם בילדות לעומת -ולכן נעשה ניתוח המשקל על. יניקת חלב אם להשמנה

.תחליפי חלבצריכת

:התקבלו התוצאות הבאות

: ששתו תחליפי חלב120מבין : שינקו חלב אם80מבין

רזים שמנים רזים שמנים

40 10 30 לא אוכלים שוקולד 60 30 30 לא אוכלים שוקולד

80 20 60 אוכלים שוקולד 20 10 10 אוכלים שוקולד

40 40 80 90 30 120

? האם על סמך הנתונים הנוספים אפשר לקבוע כי אכילת שוקולד היא הסיבה להשמנה

.נמקו

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

222

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

223

22 מבחן מספר תשובות

a .א 1. 1< −.

3.16 .ב a 1− < < −.

3 .ג x 4< או >7

x3

≤

.2 3.

.הוכחה. א 3.

.הוכחה. ב

2:1 .ג

הוכחה. א 4.

240 .א 5.

=0.75 .ב 34

.ג 7

0.437516

=

60, כן .א 6.70 <

70100

יש יותר שמנים,

בקרב אוכלי השוקולד

.להשמנהשוקולד ולכן אין קשר סיבתי בין אכילת ,בשתי הטבלאות אין קשר סטטיסטי .ב

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

224

:23מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

)נתונה הפונקציה 1. )2y mx 2m 1 x m 2= − + + +.

:x- הפונקציה חותכת את ציר הmעבור אילו ערכי .א

?ותבשתי נקודות שונ )1(

?בנקודה אחת )2(

y הפונקציה נמצאת כולה לא מתחת לישר mעבור אילו ערכי .ב mx 1.5= − +?

.A בנקודה x-הפונקציה משיקה לציר ה .ג

.−12m הוא Aהראה כי שיעורה הראשון של

האיברים n מסכום 3 האיברים האחרונים גדול פי nסכום . איברים2n בסדרה חשבונית 2.

.הראשונים

1aהראה כי .א 1

d 2=.

. מסכום שני האיברים האמצעיים2 -נתון כי האיבר האחרון בסדרה קטן ב .ב

.dחשבו את

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

225

ל שאלהלכ(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

נסחו והוכיחו את המשפט על סכום שתי זוויות .א 3.

.נגדיות במרובע החסום במעגל

.M חסום במעגל שמרכזו ABCDהמרובע .ב

. היא קוטר של מעגל זהABהצלע

E היא נקודת הפגישה של הישרים ADו - BC) ראו ציור.(

MDCהוכיחו כי )1( AEB=∢ ∢

D משיק בנקודה MDהוכיחו כי הישר )2(

.DCEלמעגל החוסם את המשולש

הוכיחו כי משיקים היוצאים מנקודה אחת לאותו .א .4

.מעגל שווים זה לזה

שווה הסכום , החוסם מעגל, הוכיחו כי במרובע .ב

של שתיים מצלעותיו הנגדיות לסכומן של

).ראו ציור(שתי הצלעות האחרות

).AB + DC = AD + BC: צריך להוכיח(

E

C

BM

D

A

D

A

C

B

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

226

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב הסתברות

מבין . מבוגרים30% -מכלל האנשים שהתארחו במלונות ובאכסניות באילת היו צעירים ו 70% 5.

3מבין המתארחים באכסניות היו פי . יותר צעירים ממבוגרים2המתארחים במלונות היו פי

.צעירים ממבוגריםיותר

?היו במלונותאיזה אחוז מהמתארחים .א

?כמה צעירים התארחו באכסניות. אורחים360ידוע שבמלונות ובאכסניות התארחו .ב

. מהמתארחים הצעירים8בוחרים באקראי .ג

?מה ההסתברות שלכל היותר אחד מהם התארח במלון

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

להצלחה בבחינות, בזרם הדתי או החילונימשרד החינוך החליט לבדוק את הקשר בין לימוד 6.

52% -נמצא ש. מהזרם הדתי125מתוכם , תלמידים500נבדקו . מדעים בחטיבות הביניים

משני ( תלמידים נכשלו במבחן 233כ "סה, כמו כן. מהלומדים בזרם החילוני הצליחו במבחן

).הזרמים יחד

.ממדית המתארת את תוצאות הסקר-בנו טבלה דו .א

נסחו במילים , אם כן? האם קיים קשר סטטיסטי בין הזרם שבו לומדים להצלחה במבחן .ב

.את משמעות הקשר

בבדיקה נוספת התברר שישנו קשר סטטיסטי בין היותו של התלמיד עולה חדש לבין זרם .ג

לכן נבדק הקשר בין זרם . והיותו של התלמיד עולה חדש ובין הצלחה במבחן, הלימוד

. הנבדקים500 הוותיקים שמבין 400 - העולים ו100לבין הצלחה במבחן בקרב הלימוד

:התקבלו התוצאות הבאות

: הוותיקים400מבין : העולים החדשים100מבין

זרם

דתי

זרם

וניחיל

זרם

דתי

זרם

חילוני

193 191 2 הצליחו במבחן 74 4 70 הצליחו במבחן

207 179 28 לא הצליחו במבחן 26 1 25 לא הצליחו במבחן

95 5 100 30 370 400

קיים קשר סטטיסטי בין זרם הלימוד , הראו שבכל אחת מהטבלאות לעיל בנפרד .ד

. 'התבוננו שוב בתשובתכם לסעיף ב. ונסחו במילים את משמעות הקשר, להצלחה במבחן

?נקראת תופעה זאתכיצד

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

227

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

228

23 מבחן מספר תשובות

)1( . א 1.1

m ,m 04

< ≠

)2( 1

m 0,m4

= =

.ב 1

m3

≤

הוכחה .ג

.הוכחה .א 2.

d .ב 4=

הוכחה. א 3.

הוכחה) 1. (ב

הוכחה ) 2 (

. הוכחה–ב , א 4.

60% .א 5.

צעירים108 .ב

P .ג 0.01328=

.א . 6

ם החילוני בזרהדתי גבוה יותר משיעור ההצלחה שיעור ההצלחה במבחן בזרם, כן .ב

בניגוד, ההצלחה בזרם הדתי מההצלחה בזרם החילוני גבוהה ,בכל אחת משתי טבלאות אלו .ג

.'לתוצאות מהטבלה בסעיף א

).פרדוקס סימפסון( "היפוך הקשר"תופעה זאת נקראת

זרם חילוני זרם דתי

הצליחו במבחן72500

195500

267500

הצליחו במבחןלא 53500

180500

233500

125500

375500

1

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

229

:24מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

נתונה הפונקציה 1.2

x 1f (x)

2x x 1

+=

+ +.

. הפונקציה שליליתxמצא עבור אילו ערכים של . א

mנתון הישר . ב 1 , y m 1≠ = −.

הנתונה הפונקציה גרף את חותך הישר mמצא עבור אילו ערכים של )1(

.שונות נקודות בשתי

. הישר אינו חותך את גרף הפונקציה הנתונהmו ערכים של מצא עבור איל )2(

, מטר50בדקה הראשונה הוא עובר מרחק של . הולך רגל יוצא מנקודה מסוימת והולך בקו ישר 2.

מטרים פחות מאשר בדקה שקדמה 2 - בכל דקה הוא עובר ב- מטר וכן הלאה 48בדקה השנייה

בקו ישר , יוצא הולך רגל שני מאותה נקודה, הראשון דקות לאחר יציאת הולך הרגל 5. לה

. מטר לדקה35במהירות קבועה של , ובאותו כיוון

לפני ( מטר 14יהיה המרחק בין שני הולכי הרגל , כמה דקות לאחר שיצא הולך הרגל הראשון

?)שייפגשו

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

230

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

ABCD) ABבטרפז 3. || CD(

E ,F ,Mו -Nנקודות על צלעות הטרפז .

BM חותך את EF בנקודה P) ראה ציור.(

BP :נתון EF⊥

BF FC MF

ANE FEN

= =

=∢ ∢

:הוכח

BMC .א 90= °∢.

NA .ב ND=.

אם .ג 1

BAN ANM2

=∢ אז ∢1

ED DN2

=.

נתונים שני קטרים R ורדיוסו mבמעגל שמרכזו .4

ABו - CD ,שכך - � � � �AC BC BD AD= = =.

2 ביחס CM מחלקת את Eהנקודה : 3)CE 2

ME 3=(.

.F חותך את המעגל בנקודה AEהישר

: הוכח AF 10

R 34=

A B

CD

E FP

N M

A B

D

C

M

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

231

.5-6 מהשאלות אחת על היותרלכל מותר לענות : שים לב הסתברות

.כדורים שחורים 3-כדורים לבנים ו 9 יש Aבכד 5.

.כדורים שחורים 8-כדורים לבנים ו 12 יש Bבכד

:מבצעים את הניסוי שלפניך

,Aבוחרים בכד , 6או 1פרות אם מתקבלות על הקובייה הס. זורקים קוביית משחק הוגנת

מהכד שנבחר מוציאים שני כדורים בזה אחר . Bבוחרים בכד , ואם מתקבלות ספרות אחרות

.זה

מהי ההסתברות שהכד שנבחר הוא , אם ידוע כי הוצא הכדור השני שהוצא הינו בצבע לבן .א

? Aכד

מספר הכדורים , מהי ההסתברות שלאחר שתי הוצאות בהן שני הכדורים היו באותו צבע .ב

. ממספר הכדורים השחורים לאחר שתי ההוצאות4 - גדול בB או Aהלבנים בכד

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

בסקר שערכה הרשת נמצא כי . 'קיאטומ'בתפריט של רשת בתי קפה מסוימת מציעים קפה מסוג 6.

מעקרות הבית 10%ורק ', מקיאטו'מנשות העסקים הפוקדות את הרשת מזמינות 30%

. הפוקדות את הרשת בוחרות בקפה כזה

. קבוצת נשות העסקים הפוקדות את רשת בתי הקפה- A :נסמן

B -קבוצת עקרות הבית הפוקדות את רשת בתי הקפה .

M -מקיאטו'צת המזמינות קבו'.

ובשולחן לידכם יושבת אישה , ל"אתה וחברך יושבים באחד מסניפי רשת בית הקפה הנ .א

חברך טוען שהסיכוי שאישה זאת היא אשת עסקים גדול . 'מקיאטו'המזמינה מהמלצר

.נמק? האם טענתו נכונה. מהסיכוי שהיא עקרת בית

ממספר עקרות הבית הפוקדות 4סניפי הרשת קטן פי מספר נשות העסקים הפוקדות את .ב

לבין , היא אשת עסקים' מקיאטו'חשבו את היחס בין הסיכוי שאישה זאת שהזמינה . אותם

.הסיכוי שהיא עקרת בית

מה צריך להיות היחס בין מספר נשות העסקים הפוקדות את סניפי הרשת לבין מספר .ג

י שהסיכוי שאישה זאת היא אשת עסקים יהיה שווה כד, עקרות הבית הפוקדות אותם

.פרט את חישוביך? לסיכוי שאישה זאת היא עקרת בית

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

232

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

233

24 מבחן מספר תשובות

x .א 1. 1< −

.ב 6

m 2 , m 17

< < ≠

m .ג או <26

m7

<

. דקות23 2.

.הוכחה .ג, ב, א 3.

הוכחה 4.

.א 5.5

13

0.181 .ב

ניתן לקבוע למה סיכוי גבוה יותרלא .א . 6

0.75 .ב

.ג 1

3

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

234

:25מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

:ותות הפונקצינתונ 1.2

2x mxf (x)

m 2m 5m 6= +

−− +g(x) ו 7=

?נה נקודת חיתוך אחת בין הפונקציות ישmלאילו ערכים של .א

?Y-נקודת החיתוך תהיה מימין לציר ה mלאילו ערכים של .ב

. איברים3nנתונה סדרה חשבונית שיש בה 2.

. האיברים הראשונים שבהn מסכום 5 פי האיברים האחרונים בסדרה גדולnסכום

.6הפרש הסדרה הוא

. בסדרה זוהעשיריחשבו את האיבר

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

235

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

.סתברותית לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה ה:שים לב

. נמצאים על מעגלABC של המשולש B- וAהקודקודים .3 ).ראה ציור (E- וDהמעגל חותך את צלעות המשולש בנקודות

,180° היא בת �ABהקשת : נתון

DE EB=.

.וה שוקיים הוא משולש שוDCEהוכח שהמשולש .א

, הוא משולש שווה צלעותDCEמשולש : נתון .ב

ADמ " ס5 =.

.מצא את רדיוס המעגל

ABCDבציור שלפניך מתואר מרובע .4

,Oשאלכסוניו נפגשים בנקודה

.AODומעגל החוסם את המשולש

AB :נתון BC=,

ABעגל משיק למ.

AO :הוכיחו CO DO BO⋅ = ⋅.

A B

C D

O

C

D E

BA

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

236

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב

הסתברות

.כדורים אדומים 5 - כדורים כחולים ו2, כדורים לבנים3בכד יש 5.

, ואם הכדור אינו לבן, מהכדלא מוציאים יותר כדורים , אם הוא לבן. מוציאים באקראי כדור

.משאירים אותו בחוץ ומוציאים עוד כדור אחד

?מהי ההסתברות שאחד הכדורים שמוציאים באופן זה יהיה לבן .א

?מהי ההסתברות שהכדור השני שמוציאים באופן זה יהיה אדום .ב

.ידוע שהכדור השני שהוציאו באופן זה היה אדום .ג

?אשון היה כחולמהי ההסתברות שהכדור הר

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

".טק-ענן"וחברת " נשיאים ורוח"חברת : חברות לחיזוי מזג אוויר2בישראל 6.

מחרת יהיה גשום או ה אחוזי הצלחה בניבוי בימי החורף אם יום 90%" נשיאים ורוח"לחברת

מהימים 95%- ו, ימי החורף אחוז מהימים הגשומים ב70%מנבאת נכון " טק- ענן"חברת .לא

.הנאים

-בשירותי החיזוי של איזו חברה כדאי לתושבי באר. מימי החורף גשומים10%שבע -בבאר .א

?שבע להיעזר

? החברות יהיה זהה2כדי שאחוז הדיוק של , מה צריך להיות אחוז הימים הגשומים בחורף .ב

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

237

25 מבחן מספר תשובות

≠m 1,2,3 .א 1.

m < 1 או m > 3 .ב

.2 57

.הוכחה .א .3r .ב 5=

הוכחה 4.

8 .א 5.15

1 .ב 3

1 .ג 3

). 90% לעומת 92.5%(אחוזי זיהוי גבוהים יותר " טק-ענן"בבאר שבע לחברת .א . 6

20% .ב

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

238

:26מבחן מספר

לכל שאלה (לגברה וסדרות א: 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

)נתונה הפונקציה .1 ) ( )2 2y m 1 x 2 m 1 x 2= − + − +) mפרמטר .(

?x - גרף הפונקציה נמצא כולו מעל ציר הmעבור אילו ערכי .א

, הפונקציה הנתונהי"המיוצגת ע, של קודקוד פרבולהx - נתון כי שיעור ה .ב

.x = 1הוא

. של קודקוד הפרבולהy- מצא את שיעור ה

באחד התרגילים הסתדרו . במסיבת סיום הופיעה קבוצת תלמידים בתרגילי התעמלות 2.

-בשורה שמאחוריו , כשבקודקודו עומד תלמיד אחד, צלעות-התלמידים תחילה במשולש שווה

מכן הסתדרו תלמידים אלה -לאחר. ' שלושה תלמידים וכו-ו בשורה שלאחרי, שני תלמידים

בעלות אותו (עמדו בשורות שוות , שהצטרפו אליהם, תלמידים נוספים46ביחד עם . בצורה שונה

תלמידים פחות מאשר 4לאורך צלע הריבוע עמדו . ויצרו ריבוע, זו מאחורי זו, )מספר תלמידים

.ל"הצלעות הנ-לאורך צלע משולש שווה

?ל"הצלעות הנ-מה היה מספר התלמידים שיצרו את המשולש שווה

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

239

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

.3 BEגל שמרכזו הוא קוטר מעO.

CAו -CB הם שני משיקים למעגל

).ראה ציור(המאונכים זה לזה

:הוכח

. הוא ריבועACBOהמרובע .א

AEC .ב OCE=∢ ∢.

.ר" סמ32 הוא ACEנתון כי שטח המשולש .ג

.חשב את רדיוס המעגל

. חסום במעגלABCDמלבן .4

ABת נמצאת על הקשKהנקודה

DK -כך ש DC= ) ראה ציור.(

:הוכח

AD .א BK= .

DB .ב CK⊥ .

כך ש F נפגשים בנקודה CK- וBDהקטעים .ג DF

2FB

= .

לשטחABCDמצא את היחס בין שטח המלבן

KFBהמשולש

A

C

B

D

K

F

A

B

C

EO

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

240

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב

הסתברות

.נרקיס, רקפת, יסמין: סוגי פרחים3בשמורה יש 5.

3 -המחלה פגעה ב. מחלה פגעה במחצית מהפרחים 4

1 - ב, מפרחי יסמין2

מפרחי הרקפת

1 - וב 4

. מפרחי הנרקיס

. מהפרחים הפגועים הם פרחי יסמין60% -ידוע ש

?מהו אחוז פרחי היסמין בשמורה .א

?מהו אחוז פרחי הרקפת בשמורה .ב

?וא יסמיןמה ההסתברות שלפחות אחד מהם ה. פרחים פגועים7בוחרים באקראי .ג

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

אם נכתבו בידי אדם , מכתבי היד המובאים בפניה80%תוכנת מחשב מצליחה לזהות נכון לגבי 6.

.הכותב ביד ימין או בידי אדם הכותב ביד שמאל

.90%שיעור הכותבים ביד ימין באוכלוסיה הוא

מה ההסתברות שהוא . אדם הכותב ביד ימיןנבחר כתב יד שהתוכנה קבעה שהוא נכתב בידי .א

?אכן נכתב ביד ימין

מאיזה נתון הוא מתעלם ? נשאל נאיבי שלא למד חשיבה הסתברותית' מה יענה על סעיף א .ב

?בתשובתו

?0.8תהיה ' מה צריך להיות השיעור הבסיסי של הכותבים ביד ימין כדי שהתשובה לסעיף א .ג

' האם התשובה לסעיף א. 80%ר הכותבים ביד ימין הוא רק נניח שבמדינה מסוימת שיעו .ד

!ענו מבלי לחשב את ההסתברות המדויקת? תגדל או תישאר זהה, תקטן

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

241

26 מבחן מספר תשובות

m .א 1. m או ≤1 < -3

y: הפרבולה שווה של קודקודy- שיעור ה .ב -1 =

.2 210

.הוכחה .א 3.

.הוכחה .ב

R .ג 8=

הוכחה .א 4.BCמ " ס6 .ב =

6 .ג

40% .א 5. 20% .ב

P .ג 0.9984=

.א . 636

37

. הכותבים בימיןהוא מתעלם מהשיעור הבסיסי של. 80% .ב

1 .ג

.ולכן גם ההסתברות תקטן, השיעור הבסיסי קטן . ד

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

242

:27מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

) :נתונות הפונקציות 1. ) ( )2f x 3x 3m 2 x m= − − +.

( )g x 1=.

)-הראה כי ל .א )f xול -( )g xיש נקודה משותפת שאינה תלויה ב -m.

)- יש לmמצא עבור אילו ערכים של .ב )f xול -( )g xשתי נקודות משותפות .

. איברים3nנתונה סדרה חשבונית שיש בה 2.

.10- מהאיבר הנמצא במקום ה66- גדול ב21-האיבר הנמצא במקום ה

. האיברים הראשונים שבהn מסכום 5 האיברים האחרונים בסדרה גדול פי nסכום

.חשב את האיבר הראשון בסדרה זו

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

243

לכל שאלה(: הסתברות, דסת המישורהנ: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

. M האלכסונים נפגשים בנקודה ABCDבמקבילית 3.

, M בנקודה BDהמאונך לאלכסון , הישר

, F בנקודה - DCאת , E בנקודה ABחותך את

:הוכיחו). ראו ציור (Gודה בנקBCואת המשך הצלע

BG .א = DG.

MF .ב = ME.

. הוא מעויןEBFDהמרובע .ג

. חסום במעגלABCDטרפז .4

E נפגש בנקודה Cהמשיק למעגל בנקודה

.DBעם המשך האלכסון

).ראו ציור(וא קוטר המעגל הCDנתון כי

DAC :הוכיחו .א ~ ECD∆ ∆.

ACמ " ס25 :נתון .ב DEמ " ס36 ,= =.

.חשבו את רדיוס המעגל

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב

הסתברות

מקבל כל אחד , וכאשר תוצאת המשחק היא תיקו, נקודה אחתבמשחק שחמט מקבל המנצח 5.

אלוף . לסיום דו קרב על אליפות העולם בשחמט נותרו שלושה משחקים. מהשחקנים חצי נקודה

ההסתברות . נקודות2.5העולם ישמור על תוארו אם יצבור בשלושה משחקים אלה לפחות

.0.025שהאלוף ישמור על תוארו היא

ההתסברות שמשחק בודד יסתיים בנצחון האלוף היא : ידוע 1

10.

.Pההסתברות שמשחק בודד יסתיים בתיקו היא

.Pמצא את ערכו של .א

מהי ההסתברות שהאלוף הפסיד את . זהההידוע שבשלושת המשחקים התוצאה היית .ב

?תוארו

M

F D

BE

C

A

G

B E

C D

A

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

244

יום-ת בחיי היוםחשיבה הסתברותי

. זיהוי נכון95%למכונת אמת 6.

נבחר באקראי תושב שהמכונה קבעה . טהורים התושבים אף פעם לא משקרים-בישוב נאות .א

?מה ההסתברות שהוא משקר. שהוא דובר שקר

נבחר באקראי תושב שהמכונה . כזבים התושבים אף פעם אינם דוברים אמת-בישוב רמת .ב

?הסתברות שהוא משקרמה ה. קבעה שהוא דובר שקר

מאיזה נתון הוא ? נשאל נאיבי שלא למד חשיבה הסתברותית' ב-ו' מה יענה על סעיפים א .ג

?מתעלם בתשובתו

נבחר באקראי נחקר שהמכונה . מהנחקרים במכונת אמת משקרים30%ידוע שבאופן כללי .ד

?מה ההסתברות שהוא משקר. קבעה שהוא משקר

:נוסחאות בהסתברות

) :יה מותנית והסתברות מותניתפרופורצי ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

245

27 מבחן מספר תשובות

.הוכחה .א 1.

.ב 1

m 13

≠.

.2 a1 = 3

הוכחה- , ג, ב, א 3.

הוכחה .א 4.Rמ " ס15 .ב =

P .א 5. 0.8=

.ב 513

p514

=

. 0 .א . 6

1 . ב

. הוא מתעלם מהשיעור הבסיסי של דוברי השקר. 0.95 .ג

0.891 .ד

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

246

:28מבחן מספר

לכל שאלה (גברה וסדרות אל: 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

)המשוואה שורשי kעבור אילו ערכי 1. ) ( )2k 3 x k 6 x 8 3k 0+ − − + − , הם בעלי סימנים שונים=

.והשורש בעל הערך המוחלט הגדול יותר הוא שלילי

פרש בין כמות המים הזורמת למיכל מדי שעה ובין כמות הה. שעות20-מיכל מים מתמלא ב 2.

במשך חמש השעות הראשונות זרמו . d-המים שזרמה אליו בשעה הקודמת הוא קבוע ונסמנו ב

ק " מ209-ובמשך שלוש השעות הראשונות זרמו למיכל כמות מים הקטנה ב, ק מים" מ70למיכל

.תמים מכמות המים שזרמה למיכל בארבע השעות האחרונו

.מצא את כמות המים שהוזרמה למיכל בשעה הראשונה .א

.מצא את נפח המיכל .ב

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

247

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

. לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית:שים לב

זווית היקפית במעגל שווה למחצית הזווית : הוכיחו .א 3.

.המרכזית הנשענת על אותה קשת

ABשוקיים -משולש שווה .ב = AC( ) ABC

.Mחסום במעגל שמרכזו

.AB -חגו מעגל שרדיוסו שווה ל, כמרכזAמקודקוד

,T בנקודה M חותך את המעגל Bישר העובר דרך

).ראו ציור (K בנקודה - Aואת המעגל

BKC∢BTC (1): הוכיחו כי = 2∢

(2) TC = TK

.ABCנתון משולש שווה צלעות .4 E היא נקודה על הצלע BC.

.ECD בנו משולש שווה צלעות ECעל הקטע

).ראה ציור (Hנקודה בBD חותך את AEהמשך

:הוכח

AEC .א BDC≅△ △

EAC .ב HED=∢ ∢

HEאם .ג HD= אז AE BC⊥

A K

C B

M

T

A

B C

D

E

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

248

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב

הסתברות

≠P להצלחה היא ההסתברות, בניסוי מסוים 5. 0( ) P , 1וההסתברות לכישלון היא − P . ידוע

אזי ההסתברות להצליח בדיוק בשני ניסויים מבין השלושה גדולה , שאם עורכים שלושה ניסויים

. מההסתברות להצליח בכל השלושה21 פי

. Pחשבו את .א

. בניסוי אחד מבין השלושהלכל היותרלהצליח חשבו את ההסתברות .ב

. מהם הצליחו2 ניסויים כאלה וידוע שלכל היותר 5מבצעים .ג

?מה ההסתברות שבדיוק ניסוי אחד הצליח

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

ות נהג לעשן מדי יום כחפיסת סיגרי, כמו כן. יששכר הוא אדם שסבל רוב ימיו מעודף משקל 6.

החל להפחית ממשקלו ולהפחית אט אט את , בעצת רופאיו, במהלך החודשים האחרונים. אחת

. כמות הסיגריות שהינו מעשן בכל יום

:ההיגדים הבאים סיכוי גבוה יותר 2לאיזה מבין .א

I. יששכר אוהב בשעות הפנאי לשחק משחקי קלפים.

II. וכמו כן עבר לאחרונה התקף לב, םיששכר אוהב בשעות הפנאי לשחק משחקי קלפי.

.הסבירו את תשובתכם

ממה נשאל כזה מתעלם ? נשאל נאיבי של למד חשיבה הסתברותית' כיצד יענה על סעיף א .ב

?בתשובתו

גדולה יותר , חולים ימות-ההסתברות שחולה המאושפז בבית: "בחנו את הטענה הבאה .ג

שחולה , מאשר ההסתברות, 60-שר הוא מבוגר מכאשר היה לחולה התקף לב בעבר וכא

.הסבירו? האם טענה זאת סותרת את כלל הצירוף". ימות 60המבוגר מגיל

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

249

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :נוסחת בייס ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

250

28 מבחן מספר תשובות

.1 2

2 k 63

< <

.ק מים" מ8 .א 2.

.ק מים" מ730 .ב

הוכחה- ב , א 3.

הוכחה .א .4 הוכחה .ב

הוכחה .ג

P .א 5. =18

P .ב = 0.9570

P .ג 0.3733=

. י כלל הצירוף"עפ, סיכוי גבוה יותרIלהיגד .א . 6

."הוא מתעלם מכלל הצירוף. סיכוי גבוה יותרII שלהיגד יענהנשאל נאיבי .ב

.לא .ג

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

251

:29מבחן מספר

לכל שאלה (אלגברה וסדרות : 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות תאחפתור

)נתונות הפונקציות 1. ) 2f x x= )- ו− ) ( ) 2p x m 1 x m= − +.

)נגדיר פונקציה ) ( ) ( )g x p x f x= −.

) גרף הפונקציה mערכי אילו ל .א )g xישיק לציר ה -x.

) גרף הפונקציה mלאילו ערכי .ב )g xחותך את ציר ה -x בשתי נקודות שונות הנמצאות

.y- מצידו הימני של ציר ה

1: נתונה סדרה חשבונית 2. 2 n 2na ,a ,...a ,...a.

.dהפרש הסדרה הוא

. זוגיים בסדרה זו הוא אפס-סכום האיברים הנמצאים במקומות האי naהוכח כי .א 0=.

. את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרהd - וnהבע באמצעות .ב

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

252

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

.סתברותית לא תוכל לענות גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה ה:שים לב

, )ראו ציור (60° - שבו הזווית החדה שווה ל, ABCDבמעוין 3.

שני קטעים BC - וAB מצלעות המעוין MNחותך הישר

BMו - BNם שווה לצלע המעוין באופן שסכומ.

).BDחברו : רמז. (שוקיים- הוא שווהDMNהוכיחו כי המשולש .א

.DM = DN = MN הוכיחו כי .ב

) הוא ישר זווית ABCמשולש .4 )B 90= נמצאת Dונקודה , AC היא אמצע הצלע Mנקודה . ∢°

. הוא בר חסימהBCMDמרובע . ABעל הצלע

: הוכיחו

.BCDM שווה לקוטר המעגל החוסם את המרובע ADאורך הקטע .א

BFהוכח . F בנקודה BC ומרכז המעגל חותך את הצלע Mקטע העובר דרך נקודה .ב FC=.

D C

B A M

N 60°

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

253

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב

הסתברות

שוקולד יחידות 6בכל אחת מהן יש " מרחלב"בחנות ממתקים יש שקיות של שוקולד הנקראות 5.

. יחידות שוקולד חלב4-מריר ו

יחידות שוקולד בזה 4ראובן קנה שקית אחת מרחלב ומוציא ממנה באקראי ללא החזרה .א

? ארבעת היחידות שוקולד יהיו חלבייםמה ההסתברות שכל . אחר זה

. שקיות מרחלב ומוציא מכל אחת מהשקיות שוקולד אחד4יוסי קנה .ב

גבוהה או נמוכה מההסתברות , יחידות שוקולד חלב4האם ההסתברות שהוא יוציא

נמק' ?שחישבת בסעיף א

יחידות שוקולד 4ין ידוע שב. יוסי הוציא באקראי מכל שקית שקנה יחידת שוקולד אחת .ג

יחידות שוקולד שהוציא 4מהי ההסתברות שכל . שהוציא יוסי יש יותר יותר שוקולד חלב

?יוסי הם שוקולד חלב

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

. מהאוכלוסייה חולה במחלה 1%. מהמקרים92%- ערכה לגילוי צהבת נותנת תשובה נכונה ב 6.

מה יחשוב נבדק . שהוא חולה במחלה, שלא למד חשיבה הסתברותית, נאמר לנבדק כלשהו .א

?כיצד נקראת תופעה זאת? זה לגבי אחוז הסיכוי שהוא אכן חולה במחלה

?מה אחוז הסיכוי שהנבדק אכן חולה במחלה . ב

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :בייסנוסחת ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

254

29 מבחן מספר תשובות

m .א 1. 1= או −1

m3

=

.ב 1

1 m3

− < < ,m 0≠

וכחהה .א 2. nd .ב

הוכחה- ב , א 3.

הוכחה .א 4.

הוכחה .ב

.א 5.1

210

.ב 16 1

625 210>

.ג 1

7

. זהו כשל השיעור הבסיסי. 92%-הוא יחשוב שהוא חולה ב .א . 6

.10.4% .ב

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

255

:30מבחן מספר

לכל שאלה (ברה וסדרות אלג: 'פרק א1

333

). נקודות

.1 – 2 מהשאלות אחתפתור

: נמצאת נקודת החיתוך של שני הישריםmעבור אילו ערכים של הפרמטר 1.

( )

x y 5

2 m x y 4

+ =

− = −

): בתוך הריבוע שקדקודיו הם )3, 3− − ,( )3, 3− ,( )3,3− ,( )3,3

)!ולא על אחת מצלעותיו(

בכל דקה . הפועל עבר מרחק זה באופניים. מ מביתו" ק3מקום עבודתו של פועל נמצא במרחק 2.

.' מ1,350ובחמש הדקות הראשונות עבר , ה מטרים פחות מאשר בדקה שקדמה ל15 - עבר ב

?בכמה דקות הגיע הפועל מביתו למקום עבודתו .א

?כמה מטרים עבר הפועל בדקה האחרונה לנסיעתו .ב

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

256

לכל שאלה(: הסתברות, הנדסת המישור: 'פרק ב1

333

). נקודות

.3 – 6 מהשאלות שתייםפתור

.ת גם על השאלה בהסתברות וגם על השאלה בחשיבה הסתברותית לא תוכל לענו:שים לב

, AB היא אמצע הצלע G הנקודה ABCבמשולש 3.

. AC היא אמצע הצלע Fוהנקודה

).ראו ציור (O בנקודה FG חותך את AH הגובה

.ABH הוא קטע אמצעים במשולש GOהוכיחו כי .א

.שוקיים- הוא שווהAGHהוכיחו כי המשולש .ב

: נתון .ג OF

3OG

=.

.AGO משטח המשולשABCמצא פי כמה גדול שטח המשולש

. נמצאים על מעגלABCD של ריבוע D - וAהקודקודים .4

.E משיקה למעגל בנקודה BCהצלע

).ראו ציור (F חותכת את המעגל בנקודה ABהצלע

DEF :הוכיחו .א 90= °∢.

DEF :הוכיחו .ב ~ EBF∆ ∆.

BFמ " ס3 :נתון .ג DFמ " ס12, = =.

.EFמצאו את

O F G

A

H C B

A

C D

B

E

F

005 שאלון

או העתקה מספר זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פלילית/צילום ו

257

.5-6 מהשאלות אחת על לכל היותרמותר לענות : שים לב

הסתברות

הסיכוי . אדם שישה מפתחות שרק אחד מהם פותח את המנעול של תיבת המטמוןלרשותו של 5.

שהמנעול נעול היא 3

5 .

ל היותר בשני כמה ההסתברות שאדם יפתח את תיבת המטמון אם הוא רשאי להישתמש ל .א

? מפתחות

ות שהצליח לפתוח אותה בעזרת מהי ההסתבר. ידוע שאדם הצליח לפתוח את תיבת המטמון .ב

?שתמש לכל היותר בשני מפתחותבהנחה שהוא רשאי לההראשון המפתח

יום-חשיבה הסתברותית בחיי היום

: הקורסים 2חייבים ללמוד לפחות אחד מבין ' במכללה מסוימת למשפטים תלמידי שנה א 6.

בוחרים ללמוד בדיוק אחד מהתלמידים60%-ידוע ש". משפט למתחילים"-ו" מבוא למשפט"

-קטן ב" משפט למתחילים"מספר התלמידים שבחרו ללמוד את הקורס . מבין שני הקורסים

".מבוא למשפט" ממספר התלמידים שבחרו ללמוד את הקורס 25%

".משפט למתחילים"מבין לומדי " מבוא למשפט"חשבו את פרופורציית לומדי .א

".מבוא למשפט"מבין לומדי " שפט למתחיליםמ"חשבו את פרופורציית לומדי .ב

לבין מספר " מבוא למשפט"חשבו את היחס בין מספר התלמידים הלומדים רק את הקורס .ג

".משפט למתחילים"התלמידים הלומדים רק את הקורס

:נוסחאות בהסתברות

) :פרופורצייה מותנית והסתברות מותנית ) ( )( )

P A Bp A / B

P B

∩=

) :יסנוסחת בי ) ( ) ( )( )

P B/ A P AP A / B

P B

⋅=

:קשר סטטיסטי( ) ( )( ) ( )

P A / B P A / B

P A / B P A

≠

≠

!בהצלחה

2009 ט" תשסקיץמיקוד

זה מהווים הפרה של זכויות יוצרים והינם עבירה פליליתאו העתקה מספר/צילום ו

258

30מבחן מספר : תשובות

.1 1.5 m 2< <

16 .א 2.

75 .ב

הוכחה-ב , א 3.

16 .ג

וכחה ה-ב , א 4. =EFמ " ס6 .ג

.א 5.3

5

.ב 1

6

.א . 62

3

0.5. ב

2 .ג

דפי נוסחאות אלגברה

a :פירוק לגורמים n − bn = a − b( ) an−1 + an −2b + ... + an− 3b2 + ... + bn−1( )

a :בינום ניוטון + b( )n = a n +n1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ a n−1 ⋅ b + ... +

nk

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ a n− k ⋅ bk + ... + bn

nk

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

n!k! n − k( )!

x1 :נוסחאות וייטה ⋅ x2 = ca x1 + x2 = − b

a

)x1, x2 -ריבועית שורשי משוואה x1, 2 = −b ± b2 − 4ac2a

(

:סדרות

סדרה הנדסית סדרה חשבונית

a :י-n -האיבר ה n = a1 + n − 1( )d a n = a1qn−1

Sn :הסכום = n

2 2a1 + n − 1( )d[ ] Sn =a1 qn −1( )

q −1

z :מספרים מרוכבים = a + bi = r cosθ + i sin θ( )

z1z2 :מכפלה בהצגה קוטבית = r1r2 cos θ1 + θ2( )+ i sin θ1 + θ2( )[ ]

cosθ :מואבר-משפט דה + i sin θ( )n = cosnθ + i sin nθ

znשורשי המשוואה = r cos α + i sin α( zk : הם( = rn cos αn + 2πk

n⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ + i sin αn + 2πk

n⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

k = 0,1, ...,n −1

:קומבינטוריקה

pn ):בלי חזרות( עצמים n מספר התמורות של = n!

,n1 עצמים כשמתוכם יש n מספר התמורות של n2 ,...,nkעצמים שווים ביניהם : pn = n!n1!⋅n2!⋅...⋅ nk!

):בלי חזרות( עצמים n מתוך k מספר החליפות של

Ank = n!

n − k( )!

):בלי חזרות( עצמים n מתוך k מספר הצירופים שלnk

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = Cn

k = n!k! n − k( )!

דפי נוסחאות–נספח

:וקטורים

cמישור דרך קצוות הווקטורים = OC→

, b = OB→

, a = OA→

: x = a + t b − a( )+ s c − a( )

)x,y :מכפלה סקלרית )= x ⋅ y = x1y1 + x2y2 + x3y3 = x ⋅ y ⋅ cosα

x :ניצבות ⋅ y = 0

x :אורך של וקטור = x ⋅ x = x12 + x2

2 + x32

zמרחק בין = z1, z2, z3( a למישור ( ⋅ x + c = 0: a ⋅ z + c

a

tזווית בין הישר b + d למישור a ⋅ x + c = 0:

sin β =a ⋅ ba ⋅ b

bזווית בין המישורים ⋅ x + d = 0 , a ⋅ x + c = 0: cos α =a ⋅ ba ⋅ b

:חזקות ולוגריתמים

ogax =ogbxogba

a og a x = oga a x( )= x

טריגונומטריה

:זהויות

cos α ± β( ) = cos α cosβ ∓ sin α sin β sin α ± β( )= sin α cos β ± cosα sin β

tg α

2 = sin α1 + cos α

tg α ± β( ) =tgα ± tgβ

1 ∓ tgα ⋅ tgβ

cos α

2 = ± 1 + cos α2

sin α2 = ± 1− cosα

2

cos α + cosβ = 2 cos

α + β2 cos

α − β2

sinα + sin β = 2sinα + β

2 cosα − β

2

cos α − cosβ = −2sin

α + β2 sin

α − β2

sin α − sin β = 2sinα − β

2 cosα + β

2

a :משפט הסינוסsin α = 2R משפט הקוסינוס: c2 = a 2 + b2 − 2ab cos γ

1 :שטח גזרה rα : רדיאניםα אורך קשת של2 r2α

הנדסת המרחב

V ): שטח הבסיס- B(נפח חרוט ופירמידה = B ⋅ hV :נפח כדור 3 = 4

3 πR3

M :שטח מעטפת חרוט = πR שטח פנים של כדור: P = 4πR2

)שבון דיפרנציאלי ואינטגרליח(אנליזה

:נגזרות

arc sin' x = 1

1− x2 sin' x = cosx xn( )' = nxn−1

uv( )' = u' v + uv'

arc cos' x = −1

1− x2 cos' x = − sin x

a x( )' = a x na

uv

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ' = vu' −v' uv2

arc tg' x = 1

1+ x2

tg' x = 1cos2 x

oga' x = 1x na

'f :כלל השרשרת x( )= v' u( ) ⋅ u' x( )

∫ :אינטגרלים f ax + b( )dx = 1a F ax + b( )+ C

f :כלל הטרפז x( )dx = h2 f a( )+ 2f x1( )+ ... + 2f xn−1( )+ f b( )[ ]

a

b∫

:פונקציות

f :פונקציה זוגית x( ) = f −x( f :זוגית-פונקציה אי ( −x( ) = −f x( )

∪ :פונקציה קעורה כלפי מעלה נקודת מעבר בין קמירות לקעירות :נקודת פיתול

סטטיסטיקה והסתברות

סטיית תקן

S =

x1 − x( )2 f1 + x2 − x( )2 f2 + ... + xn − x( )2fn

N

fn........., f2 , f1 השכיחויות של xn ............ ,x2 , x1

x ממוצע הנתונים ; f1 + f2 + ... + fn = N

הסתברות

:p ניסיונות בהתפלגות בינומית עם הסתברות n - הצלחות בk - ההסתברות ל- נוסחת ברנולי

pn k( ) =nk

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ pk 1− p( )n− k

,

,

,

דפי נוסחאות–נספח

מצטברת(0,1)לית לוח של התפלגות נורמ

u 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

0.500 0.540 0.579 0.618 0.655 0.692 0.726 0.758 0.788 0.816 0.841 0.864 0.885 0.903 0.919 0.933 0.945 0.9554 0.9641 0.9713 0.9773 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9954 0.9965 0.9974 0.9981 0.9987

504 544 583 622 659 695 729 761 791 819 844 866 887 905 921 935 946 9564 9650 9719 9778 9826 9865 9896 9920 9940 9955 9966 9975 9982 9987

508 548 587 625 663 699 732 764 794 821 846 869 889 907 922 936 947 9573 9656 9726 9783 9830 9868 9898 9922 9941 9956 9967 9976 9983 9987

512 552 591 629 666 702 736 767 797 824 848 871 891 908 924 937 948 9582 9664 9732 9788 9834 9871 9901 9925 9943 9957 9968 9977 9983 9988

516 556 595 633 670 705 739 770 800 826 851 873 893 910 925 938 9495 9591 9671 9738 9793 9838 9875 9904 9927 9945 9959 9969 9977 9984 9988

520 560 599 637 674 709 742 773 802 829 853 875 894 911 926 939 9505 9599 9678 9744 9798 9842 9878 9906 9929 9946 9960 9970 9978 9984 9989

524 564 603 641 677 712 745 776 805 832 855 877 896 913 928 941 9515 9608 9686 9750 9803 9846 9881 9909 9931 9948 9961 9971 9979 9985 9989

528 568 606 644 681 716 749 779 809 834 858 879 898 915 929 942 9525 9616 9693 9756 9808 9850 9884 9911 9932 9949 9962 9972 9979 9985 9989

532 571 610 648 684 719 752 782 811 837 860 881 900 916 931 943 9535 9625 9699 9762 9812 9854 9887 9913 9934 9951 9963 9973 9980 9986 9990

536 575 614 652 688 722 755 787 813 839 862 883 902 918 932 944

9545 9633 9706 9767 9817 9857 9890 9916 9936 9952 9964 9974 9981 9886 9990

:קו ישר

)x1,y1משוואת ישר דרך m: y ששיפועו( − y1 = m x − x1( )

y שבין הישרים α נוסחה לזווית = m 2x + n2 , y = m1x + n1: tgα =m1 − m 2

1 + m1m2

yניצבות הישרים = m 2x + n2 , y = m1x + n1: m1 ⋅ m2 = −1

x0מרחק הנקודה ;y0( Ax מהישר ( + By + C = 0:

d = ±Ax0 + By 0 + C

A2 + B2

ביחס ABנקודה המחלקת את הקטע A x1,y1( ); B x2 ,y2( )( ) k ::

x1 + kx2k + ,

y1 + ky2k +

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

:מעגל

xמשוואת המשיק למעגל − a( )2 + y − b( )2 = R2 בנקודה x0 , y0( ):

x0 − a( ) x − a( )+ y0 − b( ) y − b( ) = R2

היפרבולה x2

a2 − y2

b2 = 1:

y :האסימפטוטות = ± ba x

c :מרחק המוקד מהראשית = a2 + b2

x0משיק להיפרבולה בנקודה ; y0( ): xx0a 2 −

yy0b2 = 1

n2 : ישיק להיפרבולהy = mx + nהתנאי שהישר = m2a2 − b2

y2פרבולה = 2px:

x0משיק לפרבולה בנקודה ; y0( ): yy0 = p x + x0( )

: ישיק לפרבולהy = mx + nהתנאי שהישר

n = p2m