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例題 11 ：計算 的一個近似值？. 例題 11 ：計算 的一個近似值？ 想想看？ 34.6 附近的什麼數，可以很容易 的被開根號出來， 36 應該是一個適當的數字。. 解：令 有 ，且 利用 即 的近似值為 5.8833 。. 例題 12 ：計算 的一個近似值？. 例題 12 ：計算 的一個近似值？ 想想看？ 29 附近的什麼數，可以很容易的 被開立方根出來， 27 應該是一個適當的數字。. - PowerPoint PPT Presentation
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例題例題 1111 ：計算 的一個近似值？：計算 的一個近似值？6.34
例題例題 1111 ：計算 的一個近似值？：計算 的一個近似值？
想想看？想想看？ 34.634.6 附近的什麼數，可以很容易附近的什麼數，可以很容易
的被開根號出來，的被開根號出來， 3636 應該是一個適當的數字。應該是一個適當的數字。
6.34
解：令解：令
有 ，且有 ，且
利用利用
即 的近似值為 即 的近似值為 5.88335.8833 。。
xxfy )( 2
1
2
1)('
xxf 636)36( f
8833.5
1167.06
)4.1(36
1
2
16
)4.1()36(')36()4.136(
fff
6.34
例題例題 1212 ：計算 的一個近似值？：計算 的一個近似值？3 29
例題例題 1212 ：計算 的一個近似值？：計算 的一個近似值？
想想看？想想看？ 2929 附近的什麼數，可以很容易的附近的什麼數，可以很容易的
被開立方根出來，被開立方根出來， 2727 應該是一個適當的數字。應該是一個適當的數字。
3 29
解：令解：令 有 ，且有 ，且 利用利用
即 的近似值為 即 的近似值為 3.0743.074 。。
3)( xxfy
3
2
3
1)('
xxf 327)27( 3 f
074.327
23
2273
13
2)27(')27()227(
3
2
fff
3 29
例題例題 1313 ：求 的一條直線近似？：求 的一條直線近似？3x
例題例題 1313 ：求 的一條直線近似？：求 的一條直線近似？
想想看？想想看？ 33 附近的什麼數，可以很容易的附近的什麼數，可以很容易的
被開根號出來，被開根號出來， 1+31+3 應該是一個適當的數字。應該是一個適當的數字。
3x
解：令解：令
，且，且
利用利用
即 ，適用範圍在即 ，適用範圍在 xx
=1=1 附近。附近。
3)( xxf
231)1( f 2
1
)3(2
1)('
xxf
4
7
4
4
12
)1()31(2
12
)1)(1(')1()11(
2
1
x
x
x
xffxf
4
7
43
xx
上述的近似在上述的近似在 x=1x=1 附近時所計算的誤差較附近時所計算的誤差較
小小
即即1.2
4
7
4
4.134.1
95.14
7
4
8.038.0
例題例題 1313 ：求 的一條直線近似？：求 的一條直線近似？
解：令解：令
，且，且
利用利用
即 ，適用範圍在即 ，適用範圍在 x=1x=1 附近。附近。
3x
3)( xxf
231)1( f 2
1
)3(2
1)('
xxf
4
7
4
4
12
)1()31(2
12
)1)(1(')1()11(
2
1
x
x
x
xffxf
4
7
43
xx
上述的近似在上述的近似在 x=1x=1 附近時所計算的誤差較附近時所計算的誤差較
小小
即即
1.24
7
4
4.134.1
95.14
7
4
8.038.0
例題例題 1313 ：求 的一條直線近似？：求 的一條直線近似？3x
例題例題 1313 ：求 的一條直線近似？：求 的一條直線近似？
另解：另解：
6+36+3 也是容易被開根號出來的數字。也是容易被開根號出來的數字。
13+313+3 也是容易被開根號出來的數字。也是容易被開根號出來的數字。
22+322+3 也是容易被開根號出來的數字。也是容易被開根號出來的數字。
我們就以我們就以 6+36+3 為例來求解。為例來求解。
3x
另解：另解：
令令
，且，且
利用利用
即 ，適用範圍在 即 ，適用範圍在 x= 6 x= 6 附近。附近。
3)( xxf
336)6( f 2
1
)3(2
1)('
xxf
26
)6()36(2
13
)6)(6(')6()66(
2
1
x
x
xffxf
26
3 x
x
例題例題 1414 ：求 的一條直線近似？：求 的一條直線近似？xe
例題例題 1414 ：求 的一條直線近似？：求 的一條直線近似？
想想看？什麼數的自然指數，可以很容易想想看？什麼數的自然指數，可以很容易
的被計算出來，的被計算出來， 00 應該是一個適當的數字，應該是一個適當的數字，
因為 。因為 。
xe
10 e
解：令解：令
，且，且
利用利用
即 ，適用範圍在即 ，適用範圍在
x=0x=0 附近。附近。
xexf )(
1)0( 0 ef xexf )('
x
xe
xffxf
1
1
)0(')0()0(0
xex 1
總複習總複習
我們可將 dy/dx 視為 dy 除以 d
x ，如此不僅可利用 dy 來求某些近似值的問題，往後在求某些微分與積分的問題時會更方便。
微分定義設函數 y = f(x) 在 x 處可微分，則定義
dy = f’(x)dx ………………(1)
稱為 y 的微分，其中 dx = Δx 為任意實數。
上述 dy 為兩變數 x 與 dx 之函數，例如 :
(1)d(x2 + 1) = 2xdx
(2)d(2x3 + 2x + 5) = (6x2 + 2)dx
若 dx ≠ 0 ，以 dx 除 (1) 式，得
)2........().........(xfdx
dy
(1) 式表示 y = f(x) 之微分，而 (2) 式表示 y
=
f(x) 的導函數，微分與導函數雖然不同，但在 dx ≠ 0 之條件下，由 (1) 式可得 (2)
式，由 (2) 式亦可得 (1) 式，我們稱求導函數
的方法為微分法，不過在那裏的”微分”，是當作動詞用，而此處的微分則是名詞。
複習複習 1. 1. 設 設 yy = (x = (x22 + 1) + 1)1010 ，，求求 dy dy
複習 1. 設 y = (x2 + 1)10 ，求 dy
解 :102 )1( xdy
1)1(10 292 xdxdy
xdxxdy 2)1(10 92
dxxxdy 92 )1(20
複習 2. 設 ，求 dy
13 xy
解 : 2
1
13)13( xdxddy
dxxdy 3)13(2
1 2
1
dxx
dy132
3
複習 2. 設 ，求 dy
13 xy
複習複習 3. 3. 設 設
，，求求 dy, dy, 又當又當
x = , dx = x = , dx = 時 時 dy dy 之值為何之值為何 ??
2
122 )1( xxy
2
1
5
3
複習 3. 設
，求 dy, 又當
x = , dx = 時 dy 之值為何 ?
2
122 )1( xxy
2
1
5
3
解 :
2
122 1)( xxxfy
2
1232
12 )1(12)(
xxxxxf
複習 3. 設
，求 dy, 又當
x = , dx = 時 dy 之值為何 ?
2
122 )1( xxy
2
1
5
3
解 :
222
12 121)( xxxxxf
22
12 321)( xxxxf
複習 3. 設
，求 dy, 又當
x = , dx = 時 dy 之值為何 ?
2
122 )1( xxy
2
1
5
3
解 : dxxxxdy )32(1 22
12
25.04
1
5
3
34
5dy
設設 y = y = ff(x) (x) 為可微分函數，令為可微分函數，令 dx = dx =
ΔΔx ≠ 0x ≠ 0 ，且當，且當 x x 增至增至 x + x + ΔΔx x 時時，， y y 增增
為 為 y + y + ΔΔyy 。因。因 y + y + ΔΔy =y = f f (x + (x + ΔΔx)x) ，故，故
ΔΔy = y = ff(x + (x + ΔΔx) – x) – ff(x) =(x) = f f(x + (x + ΔΔx) – x) – ff(x)(x)
複習 4. 設 ，求當 x = 3,
Δx = 0.1 時之 y 的增量 Δy 。
2)( xxfy
解 : )(xfxxfy 因
22 xxx
22 xxx
可得代入將 ,1.0,3 xx
61.01.01.0*3*2 2 y
以下討論 Δy 與 dy 的關係
因因
x
y
x
xfxxfxf
xx
00lim
)(lim)(
故故0)(lim
0
xf
x
yx
即即
0)(
lim0
x
xxfyx
如令 Δx =dx ( 甚小時 ) ，則得
因此，當 |Δx| 很小時， Δy
( 符號 為近似 )
xxf )(
ΔΔy dyy dy
dy 為 Δy 的最佳近似值。
複習 5. 試用微分法，求 之近似值
3 124
例 5. 試用微分法，求 之近似值
3 124
解 :我們要作開立方的運算，故可設
3)( xxfy
dxxdy 3
2
3
1
則取 ,1,125 xdxx
0133.075
11125
3
13
2
dy
例 5. 試用微分法，求 之近似值
3 124
解 :
dyyxfxxf )()(由
0133.0125124 33 知
9867.41243 故
練習題練習題
練習 1. 求下列各題已知函數之微分 dy:
751 24 xxy
2
2 12
xxy
133 xy
14 2 xxy
練習 2. 已知 x 及 Δx 之值，試求 Δy 及 dy: 01.0,1,5325 2 dxxxxxy
1.0,2,26 3 dxxxxxy
0001.0,1,7 2 dxxxxxy
練習 3. 試用微分法求下列各題的近似值 :
2 638
3 9999
4 8210
練習 4. 一正方盒之邊長為 12 吋，其可能誤 差為 0.1 吋，則此盒子之體積的可能 誤差為多少 ?
練習 5. 一個球的半徑為 3 吋，其可能誤 差為 0.03 吋，則此球的表面積之可 能誤差為多少 ?
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