Физика. 11 класс. Базовый уровень. Проект. Спасский Станислав.

На главную

Физика. 11 класс. Базовый уровень. Проект. Спасский Ст. Вс.

Вступление.

Проект основан на следующих принципах:

1)Сейчас школьные учебники, как базового уровня, так и профильного, своим

уровнем и объемом (по 300-400 страниц на год) являются основной причиной того,

что большая часть класса «выпадает» из учебного процесса. Это ведет к нарушению

(перекосу) всего учебного процесса, начиная с вынужденных незаслуженных троек,

потери мотивации для учеников, положения учителя и далее по логической цепочке.

2) Наша школа является общеобразовательной. Из школы ученик должен быть

выпущен в жизнь, ознакомленный с неким списком (перечнем) вопросов по каждому

предмету. Другое дело, что для базового уровня все вопросы этого предмета следует

предельно упростить, дать кратко и сопроводить поясняющими рисунками. Объему

учебника на год следует быть порядка 100 страниц. Специалисты должны выработать

этот список, общий для обоих уровней.

3)Если весь класс проходит предмет по одному уровню, то используется учебник

этого уровня. Но, в принципе, можно вести обучение двумя уровнями одновременно

(т.н. «Двухуровневый подход»). Учитель проводит занятие почти целиком по базовому

уровню. Это не сложно, практически работа учителя здесь сводится к пояснению

рисунков и закреплению материала. А конец урока отводится профильному уровню,

акцентируются определенные моменты нового материала, дается задание учащимся

для самостоятельного углубления текущей темы и задачи для решения, собираются

тетради с домашними заданиями. Предполагается, что учащиеся профильного уровня

должны уметь в значительной степени работать самостоятельно.

4) Базовому уровню предполагаются минимальные задания на дом, скажем,

освежить и закрепить данную, в среднем одну, страницу новой темы.

5) При желании ученика сменить свой уровень на профильный, ему надо только

углубить свои знания по пройденным темам и списку, уже, в принципе, понятых

вопросов.

6) Оценки базового уровня начинаются с «4» и вниз.

По программе данный учебник ориентирован на учебник физики 11 Г.Я. Мякишева.

Оглавление.

Глава 1. Магнитное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Глава 2. Электромагнитная индукция . . . . . . . . . . . . . . 13

Глава 3. Колебания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Глава 4. Вынужденные колебания. Переменный ток. .29

….

Глава 9. Проблема относительности.

Специальная теория относительности . . . . . . .46

Темы «Магнитное поле» и «Электромагнитная индукция» .

Эти темы и проблемы были разрешены в период с 1800 по 1830 годы. Это

период войны 1812 года, освобождения Европы от Наполеона, восстания декабристов

в 1825 году.

Глава 1. Магнитное поле.

В 1800 году итальянец Алессандро Вольта изобрел

химический источник тока, то, что мы называем «батарейкой»

или «элементом».

Однажды Наполеон, увидев в библиотеке академии

лавровый венок с надписью «Великому Вольтеру», стер

последние буквы таким образом, что получилось: «Великому

Вольте».

В честь него единица напряжения называется «вольтом» (В).

Но только в 1820 году, через 20 лет, датский

физик Ханс Христиан Эрстед обнаружил, что ток,

текущий в проводнике заставляет двигаться стрелку

компаса и устанавливать ее определенным образом.

Стрелка устанавливалась совершенно

неожиданно, не вдоль по линии от проводника к

стрелке, а поперек. И поперек к направлению тока!

Вместо стрелки компаса для получения картины поля B можно

использовать железные опилки на картоне.

Закон Ампера — закон взаимодействия электрических токов.

В том же 1820 году французский физик

Андре Мари Ампер открыл

взаимодействие токов.

Однонаправленные токи притягиваются,

противонаправленные токи отталкиваются.

В честь Ампера названа единица

тока (ампер - «А»).

Формулировка закона. Для пары длинных

проводников с током сила F взаимодействия двух

метровых фрагментов, находящихся на расстоянии r

друг от друга пропорциональна силам обоих токов J1 и J2, и

обратно пропорциональна r.

Заметьте, что у токов знак взаимодействия

обратный тому, что у зарядов. Это объясняется слабым уменьшением взаимодействия

между зарядами двух проводников при движении этих зарядов. И это уменьшение

описывается дополнительным взаимодействием токов в проводниках другого знака.

Через 2 года Ампер в дополнение к закону взаимодействия токов пришел к

выводу и показал, что магнит (или намагниченная

«опилка») по всем проявлениям подобен катушке с

током.

Он понял, что в магните (или опилке) есть некие

внутренние токи. Но их общая картина «сводится» к

некому поверхностному току, текущему по поверхности

магнита (на рисунке показано на цилиндре). Этот

вопрос мы обсудим подробнее дальше.

Около проводника с током J магнитная стрелка

или опилка представлена на рисунке и в виде цилиндра,

и в виде квадратной петли с током. Рамка выстраивается по отношению к току J.

И выстраивается именно так, чтобы та часть рамки, где ток имеет то же

направление, что и ток J проводника, притягиваясь, стала как можно ближе к J. А

противоположный ток в противоположной части контура стал подальше от J. То есть,

получается, что расположение магнитной стрелки и опилок тоже определяется

законом взаимодействия токов Ампера.

В том же 1820 году англичанин Майкл Фарадей занялся

проблемами электромагнетизма. Гениальный физик - самоучка. В

конце жизни стал почетным членом научных сообществ, в том числе

иностранным почётным членом Петербургской академии наук

(1830). Он потратил несколько лет, но разобрался с явлениями

электромагнетизма.

В описании и объяснении явлений он выработал специальный

язык, использующий такие понятия как электрическое и магнитное

поле (E и B) в виде силовых линий, их изменение и их взаимосвязь.

В 1822 году в лабораторном дневнике Фарадея появилась

запись: «Превратить магнетизм в электричество». В честь Фарадея введена «единица

емкости» - «фарада, Ф».

Определимся с направлениями токов и магнитного поля B.

Еще Эрстед понял, что векторное поле B образует

концентрические круги вокруг проводника с током. Картину

можно увидеть либо с помощью стрелок компаса, либо

магнитных опилок, рассыпанных на картоне.

За направление поля B

выбрали то, которое принимает

магнитная стрелка с юга на север на

поверхности Земли. Южный конец

стрелки обозначен «S» («Зюйд»),

северный конец «N» («Норд»). Внутри

Земли поле противоположное.

Стоит запомнить определение.

«Правило буравчика»

В теме магнетизма есть сложность определения взаимных направлений токов,

магнитного поля и сил. Есть много всяких правил, типа

«правило левой руки», «правило правой руки», «правило

буравчика». Всё это сильно усложняют тему. Мы с вами

ограничимся одним «правилом буравчика«, этого вполне

достаточно. Хотя упомянем и остальные.

«Правило буравчика»: Если направить острие

буравчика по направлению тока J, то направление

вращения его ручки покажет направление поля B.

Важно. В статических картинах токи никогда не

бывают бесконечными, они всегда идут по замкнутым

линиям. Это отражено на левом рисунке пунктиром. Так вот.

Как можно «правилом буравчика» определить направление B, так же с его помощью,

направляя буравчик вдоль B можно определить направление предполагаемого тока J.

Проверьте по рисунку сами (справа и снизу на рисунке).

«Правило буравчика» связано с таким понятием в

математике как «векторное произведение». В нем результат

произведения двух векторов �⃗⃗� и �⃗⃗� тоже вектор. Записывается

�⃗⃗� =[�⃗⃗� × �⃗⃗� ]. Вектор �⃗⃗� направлен перпендикулярно обоим этим

векторам �⃗⃗� и �⃗⃗� . Если вектор �⃗⃗� направлен, скажем, вдоль оси x, а

направление вектора �⃗⃗� получается поворотом от оси x к оси y на

некоторый угол, то результирующий вектор �⃗⃗� =[�⃗⃗� × �⃗⃗� ] направлен

по оси z. То же направление дает «правило буравчика».

Вернемся к закону Ампера (взаимодействие токов).

Вспомним закон Кулона. Его можно представить:

1) в виде непосредственного взаимодействия двух зарядов q1

и q2: ;

2) а можно опосредовано, так что заряд q1 создает поле E:

, а на заряд q2 действует сила, создаваемая полем E

на заряд q2 : .

Вот, так же поступают и с взаимодействием токов:

1)можно взаимодействие двух токов фрагмента L описать

непосредственно (рис. a): , где ;

2)а можно представить, что бесконечный (длинный) проводник с

током J1 создает вокруг себя круговое поле B(r) (рис. b):

, а , т.е. поле B проводника с током J1

действует на элемент с током J2 длиной L (J2∙L).

Почему коэффициент в выражении B(r) усложнен «2π»,

рассмотрим дальше.

Мы по ситуации будем использовать оба подхода, через

взаимодействие токов и через действие поля B на ток.

Важно. Единицей измерения поля B является «Тл» («тесла») в честь

гениального физика 1-й половины 20-го века серба Николы Тесла. Всё, что у нас

работает на переменном токе – изначально изобретено им. Работал в США.

До введения системы СИ вместо нынешнего магнитного поля B было

несколько отличное от B поле H, и измерялось оно в «эрстедах».

Пример. Попробуем сосчитать поле B в разных точках от двух «длинных»

параллельных проводников с токами 1А слева и 3А справа (на расстоянии 0.1м). Найти

величину и направление B на расстоянии от левого провода 0.05м, и на расстоянии от

левого 0.5м.

Решение.

Крестиками обозначены 2 проводника, с токами

J1=1А и J2=3А, которые направленные от нас, о чем

говорят крестики. , где ; Сначала для простоты сосчитаем без

множителя 2*10^-7.

В точке C расстояния r от обоих токов 0.05м. Поле B от тока J1 по «правилу

буравчика» направлено вниз B1=1А/0.05м=20. От тока J2 поле B2 направлено вверх:

B2=3А/0.05м=60. Результирующее поле в т.C направлено вверх:

(60-20)*2*10^-7=8*10^-6 Тл.

В точке D расстояния r от токов 0.3м и 0.2м. Поле B и от тока J1, и от тока J2 по

«правилу буравчика» направлено вниз. B1=1А/0.3м=3.33. От тока J2 поле B2:

B2=3А/0.2м=15. Результирующее поле в т.C направлено вниз:

(3.33+15)* 2*10^-7=3.666*10^-6 Тл.

Как получается «поверхностный ток» на поверхности магнитов.

Мы, когда речь шла об Ампере, собирались

вернуться к вопросу о

поверхностном токе на магните,

наличие которого предположил

Ампер. Поскольку он увидел

полное сходство магнитных

свойств магнита и катушки с током.

И предположил, что выстраивание магнитных стрелок и опилок вокруг

проводника с током J определено взаимодействием тока J в проводнике и

поверхностных токов на магните.

Атомы, из которых состоит магнит, сами являются «магнитами», в них

магнитные свойства обеспечиваются орбитальным движением электронов.

Атомы внутри магнита сами по себе организуются в некоторые «объединения»,

называемые «доменами», в которых атомы выстраиваются параллельно (своими B).

Без внешнего магнитного поля у разных доменов поле B направлено в разные

стороны. А при «намагничивании» магнита поле B атомов разных доменов

выстраиваются в одном направлении. Как можно объяснить поверхностный ток?

На рисунке б) атомы под действием

внешнего поля B выстраиваются одинаково

(круговые микротоки). Это состояние

сохраняется, фиксируется.

На рисунке справа видно, что при одинаковом направлении круговых токов

смежные токи у двух соседних атомов направлены противоположно и «как бы»

«взаимоуничтожаются». И только «внешние» токи (без соседей) создают «картину».

Немного о магнитах.

Свойство магнитных камней притягиваться к железу было известно в древней

Греции.

Но использование магнитов в качестве компаса пришло в Европу из Китая в 13-

м веке. (Время гибели Киевской Руси, взятие Киева - 1240 г.)

Известные всем нам магниты – это магниты из ферромагнетиков, основным

элементом которых является железо или химически близкие с железом элементы.

Намагничивание. Помещенные в сильное магнитное поле заготовки

намагничиваются и после этого магнитные свойства у них сохраняются, они

становятся магнитами.

У магнитов, которые мы знаем, поле B вблизи порядка 0.01 Тл.

Сильно нагревать магниты не стоит, они полностью размагничиваются при т.н.

температуре Кюри. Для ферромагнетиков это где-то от 100°C до 1000°C. (Пьер Кюри –

французский физик рубежа 19-20 веков, исследовал радиоактивность.)

Сейчас научились делать магниты во много раз более сильные, чем из

ферромагнетиков.

Железные предметы намагничиваются прикасанием к магниту.

Зачем в формуле магнитного поля стоит «π». Интеграл по контуру.

Вот формула магнитного поля B вокруг «длинного» проводника с током J:

.

Зачем в системе СИ ученые ввели в знаменателе 2π? На круге радиуса r вокруг

тока J значение поля B во всех точках одинаковое по величине и направлено вдоль

линии окружности. Длина окружности L=2πr. Значит, B∙L=µ0∙J. Ну и что?

Оказывается такая сумма B∙dL (точнее, интеграл) и по

любому замкнутому пути зависит только от токов, которые он

«замыкает»:(B∙dL) =µ0∙J. Контур обозначен пунктиром. Вектор

dL- малый интервал пути по контуру, (B∙dL) – «скалярное

произведение», т.е. dL умножается только на продольную

составляющую вектора B (обозначено B’) вдоль пути. Это очень

важный закон электричества (в статическом случае).

Это такой же важный закон электричества в статике, как и тот закон, что общее

количество силовых линий электрического поля E из какого-то объема равно общему

заряду (сумма зарядов с учетом знака) в этом объеме.

Теперь вспомните, что интеграл по замкнутому пути, аналогичный (B∙dL) =µ0∙J,

но только для поля E вместо B, всегда в статике равен нулю: (E∙dL) =0. Почему? Потому

что поле E силовое. Интеграл (E∙dL) от точки a до точки b показывает, какую энергию

приобретает единичный заряд q, пройдя из точки a в точку b. Если пройдя по

замкнутому пути, вернувшись в исходную точку, интеграл (E∙dL) не равен нулю (в

статике), это значило бы существование вечного двигателя.

Для поля B замкнутый (B∙dL) может быть ненулевым, т.к. поле B не силовое, оно

может только поворачивать петлю с током (или стрелку), продольных сил на тело нет.

Такое поле как магнитное поле B называется «вихревым». Если линии

напряженности электрического поля E в «статике» должны начинаться и заканчиваться

на зарядах, или уходить в бесконечность, то линии B всегда замкнутые!

И просто запомнить, что имея проводник с током J, (B∙dL)=µ0∙J. Т.е. B= µ0∙J/2πr.

Взаимодействие магнитов, катушек с током, петель с током.

А теперь разберем взаимосвязь катушек, петель с током и магнитов.

Исходным магнитом для нас будет стрелка компаса. Помните, что у магнитной стрелки

направление «с юга на север» совпадает с направлением B внутри катушки с током и

внутри стрелки. Направление стрелки идет от «южного» конца стрелки (S-«Зюйд», юг) к

«северному» (N – «Норд», север).

Как уже говорилось, «правилом буравчика» можно пользоваться как для определения

направления поля B, так и для направления тока J, одинаково. Проверьте по рисункам,

что вы умеете пользоваться «правилом буравчика», что, глядя на магнит, сразу

понимаете, как течет «поверхностный ток» по нему. То же относительно катушки.

Удобно пользоваться правилом, что у магнитов разные полюса притягиваются,

а одинаковые отталкиваются. Но разберемся почему.

Вот пара катушек и пара магнитов установлена в линию

(«торец в торец») в одном направлении B. Обратите внимание, что в

ближайших витках в обеих катушках токи одинаковы в

направлениях. То есть, по закону Ампера они должны

притягиваться. То же относительно поверхностных токов у пары

магнитов.

А если развернуть одну катушку или один магнит, то

соседствующие токи в катушках и магнитах станут

противоположны. И будут по закону Ампера отталкиваться.

Когда две катушки или два магнита

находятся бок о бок, они стремятся

ориентироваться так, чтобы их «направления

Юг-Север», т.е. внутренние B были

противоположны.

Как это понять проще? Если

направления катушек выбрать одинаковыми

(на рисунке слева), то токи в смежных частях

противоположны, т.е. отталкиваются. Значит,

если одну катушку развернуть, т.е.

направления «Юг-Север» у них взять противоположными, то в этом случае их

ближайшие смежные токи J ориентированы одинаково, значит, будут притягиваются

друг к другу. Вот почему полюса разных магнитов «тянутся» к противоположным.

Но у магнитов и катушек есть вариант, когда их магнитные свойства

различаются. У катушек поле внутри катушки всегда противоположно

полю наружи. У магнитов с полой сердцевиной поле внутри направлено

так же, как и наружи! А поверхностные токи на наружной поверхности и

внутренней противоположны. Посмотрите внимательно!

Магнит во внешнем магнитном поле.

Посмотрите на левый рисунок. Представьте себе, что этот магнит – это стрелка

компаса. А внешнее поле B, обозначенное прямыми линиями с направлением,

представляет магнитное поле на поверхности Земли.

Почему «магнитная стрелка так

ориентируется в поле B? Ведь количество силовых

линий и внутри у магнита, и наружи одинаковое!

Внутри они направленны так же, как и внешнее

поле Земли, а снаружи – против внешнего поля B.

На правом рисунке мы применили

искусственный прием. Мы внешнее поле B

мысленно заменили кольцевым контуром с

током, охватывающим магнит. Этот кольцевой

ток по «правилу буравчика» создает внутри кольца поле, направленное, как и поле B. А

на самом магните мы обозначили черными стрелками «поверхностные токи» магнита.

Ясно, что именно при таком положении магнита его линии тока максимально

приближены к токам контура, совпадающим по направлению. Закон Ампера!

Движущийся заряд: q·v – это элемент тока,

элементарная составная часть от J·L.

Рассмотрим фрагмент провода с током, длиной L. В конкретный момент в нем

всего N зарядов (каждый, условно, с зарядом q+), которые двигаясь со скоростью v

вправо создают ток J. Ток J - это заряд Q, проходящий через поперечное сечение

провода S за 1 секунду. Через сечение S проходят все заряды, находящиеся на

расстоянии не далее v от сечения. За 1 секунду из всего количества N частиц через

сечение пройдет N∙(v/L). Значит, ток равен J=q·N∙(v/L).

Закон Ампера F=B(J·L). У нас J·L= q∙N∙(v/L)∙L=N·qv (т.к. L сокращается). Вывод: на

фрагмент проводника с током J·L в поле B действует сила F=B·N·qv на все N зарядов.

Получается, что на каждый движущийся заряд qv действует сила F=B·qv. Простое

соотношение для фрагмента тока: J·L=N·qv, т.е. qv – это элемент тока. Помните еще, что

знак направления силы на элемент тока qv меняется и со знаком v, и со знаком q!

Проводник с током и движущийся заряд в магнитном поле.

Мы уже пользовались приемом, заменяя для удобства поле B петлей

тока, или еще лучше катушкой с током. Внутри катушки поле B очень

«однородное» (равномерное и по плотности, и по направлению).

Справа показано как определить направление

силы F по направлениям J и B по «правилу левой

руки». Но вдруг Вы его забыли. Что делать? Смотрим

левый рисунок (L-длина проводника).

Можно, используя «правило буравчика»,

мысленно расположить кольцо с током (красный цвет) так, чтобы поле внутри него

совпадало с направлением B1 (перпендикулярной составляющей исходного B к току I).

А теперь смотрим, к какой стороне тока J притягивается исходный ток I? Сила F

направлена туда, где на круге находится ток с таким же направлением. Закон Ампера!

И сила на проводник равна F= B1JL (на заряд B1qv). Зависит от B1, от B2 не зависит.

Сила Лоренца (действующая на движущийся заряд).

Вот теперь рассмотрим полное выражение силы, действующей на

движущийся со скоростью v точечный заряд q в поле B.

Напомним, что сила, действующая на неподвижный заряд (сила

Кулона) определяется полем E. Как мы узнали, дополнительно к

вектору qE действует сила, обусловленная движением частицы, на ее компоненту qv.

Эта сила называется силой Лоренца (хотя, по сути, это сила Ампера). Заметьте, что в

данном выражении она дана через векторное произведение, т.е. она

перпендикулярна и к v, и к B. И это мы видим в предыдущем пункте, проверьте.

Хендрик Лоренц, голландский физик на рубеже 19-го и 20-го веков. Один из

«отцов» Теории Относительности. Автор «Преобразований Лоренца» в этой теории.

Разберем силу Лоренца (поля B на qv) как «векторное произведение q·(v x B). На

рисунке показано поле B, направленное на нас (красные точки),

q+, v и qv направлены влево. Поле B «заменим» круговым током J.

qv притягивается к J1, т.е. F направлена вверх. Отмечаем, что

сила Лоренца перпендикулярна и B, и скорости v заряда.

Проверьте, что то же направление получается, если

использовать «векторное произведение» (v x B), используя

«правило буравчика». В примере все вектора ортогональны. А

что, если вектор �⃗� не целиком лежит в плоскости рисунка? Т.е. у

вектора �⃗� есть еще составляющая v2 вдоль B. Но для этой

компоненты нет участка тока J, к которому бы qv2 притягивался.

Если вектора v и B не ортогональны, то в (v x B) участвует sinα, α –

угол между v и B. �⃗� ·sinα – это часть вектора �⃗� , ортогональная B.

Как увидим далее, заряд в поле B движется по спирали, т.е. вращаясь по кругу в

плоскости, перпендикулярной B, и двигаясь прямолинейно вдоль B.

Отметим здесь еще один очень важный момент, который нам пригодится

далее. Сила Лоренца, поскольку она перпендикулярна к вектору qv, будет

разворачивать движение заряда (q+) по часовой стрелке (здесь), т.е. по окружности.

Но! Это направление противоположно направлению кругового тока витка J,

порождающего поле B. И это очень важный результат. Он объяснит многое!

Двигатель Фарадея.

Двигатель, придуманный Фарадеем. Два цветных диска внизу, судя по «S», «N», -

магнит, с силовыми линиями B внутри кругов-магнитов направлены вертикально

вверх. Вращающийся проводящий диск сверху. К нему (к оси и к внешнему контуру)

подсоединен источник тока. ЭДС создает ток J от центра диска к другой точке контакта.

Сведем объяснение к взаимодействию токов. Поле B

магнита эквивалентно постоянному току, текущему по ободу

магнита (разные его части: (J1,2,3,4). Как будут взаимодействовать

J и токи магнита J1,2,3,4? Ток J не будет взаимодействовать с

током J2, к которому направлен перпендикулярно. А вот к току J1

он притягивается, от тока J3 (на рисунке невидим) отталкивается.

Значит, частицы J притягиваются в направлении к J1. И частицы

этого тока будут поворачивать диск по часовой стрелке.

Можно было объяснить и действием поля B на ток J, т.е. силой Лоренца на

заряды тока J. Получили бы всё то же.

Круговое движение заряда в магнитном поле.

Вернемся к заряду q+, летящего со скоростью v поперек

поля B. Сила Лоренца F, действующая на заряд, поперечна

скорости v, притягивается вверх к условному току J1. Так как сила F

перпендикулярна v, то она не будет изменять величину v, а только

поворачивать ее. Получаем круговое движение с неким радиусом

R, определяемое формулой центростремительной силы F=mv²/R.

Сама сила F – это сила Лоренца F=B∙(qv). Получаем mv ²/R= B∙(qv).

Сокращаем v и переносим m: v/R=B∙q/m. v/R – это «угловая

скорость » в радиан/с (т.к. Δs/R – угол в радианах). 1 оборот – это

угол 2π. Поэтому /(2π ) – число оборотов в секунду (т.е. частота ). Период движения частицы T =1/= 2π/(V/R) =2π·m/(B∙q).

Запоминать формулу не обязательно. Важно помнить, что

угловая скорость (угол поворота) пропорциональна полю B и

заряду Q, и уменьшается c массой m, инерциальным свойством частицы: =B∙q/m.

Помните также, что частота =/(2π ), а период T =1/. Это важно понимать и помнить.

Современные ускорители заряженных частиц.

Для того, чтобы исследовать свойства элементарных

частиц, их надо разгонять до околосветовой скорости перед

ударом по другим частицам.

Для ускорения частиц используют электрическое поле

E вдоль траектории ускоряемых частиц.

Чтобы постепенно разгонять частицы, их траектории

делают по кругу. Для этого используют магнитное поле,

которое силой Лоренца разворачивает траектории частиц по

кругу. Но надо помнить, что при увеличении скорости частиц, чтобы радиус орбит

частиц не увеличивался, надо повышать силу поля B при разгоне «пучка частиц».

На снимке показан «большой андронный коллайдер» в Швейцарии.

.

Полярное сияние и магнитное поле Земли.

На фото показано «полярное

сияние». Это частицы (протоны, q+) от

«вспышки» на Солнце долетают до Земли за

2-3 суток и попадает в ее магнитное поле.

Частицы свободно движутся вдоль силовых линий, но их

поперечная скорость к линиям силой Лоренца «закручивает» их

вокруг линий, и принуждает двигаться по спиралям. Это показано

на рисунке.

На снимке видно, что сияние состоит из вертикальных полос. Это траектории

частиц, движущихся вдоль линий поля. При этом они ударяют по попавшим на пути

атомам газа атмосферы Земли, переводя их в «возбужденное состояние», после чего

атомы газа излучают кванты света. В верхних слоях газ атмосферы очень разрежен.

Атмосфера (и свечение) начинается с высоты 400 км над Землей. И на

некоторой высоте от соударений частицы теряют энергию, и свечение прекращается.

Проверьте себя, что сможете легко определить, как закручиваются частицы q+ ,

по часовой стрелке, или против? В северном полушарии линии поля направлены внутрь

Земли. Значит, порождающий B «круговой ток» по «закону буравчика» направлен по

часовой стрелке. Но! Частицы в поле закручиваются в противоположную сторону.

Протуберанцы на Солнце.

Солнце состоит из плазмы (заряженных частиц).

Внутренние движения плазмы (токи!) сопровождаются сильными

магнитными полями. Протуберанец – это и есть часть магнитного

поля. А вдоль его линий движутся по спиралям заряженные

частицы, делая линии поля «видимыми», если присмотреться.

Линии магнитного поля, вместе с частицами, которые они

«связали», представляют собой некоторые «единые объекты -

конструкции», которые движутся вместе, поле и частицы. Эти

линии магнитного поля называют «вмороженными линиями».

Аналогичная «объектность структуры» есть и у магнитного поля

Земли. «Структура» магнитного поля Земли искажается («сдувается»)

«солнечным ветром» в сторону от Солнца.

Токовые измерительные приборы.

Это и амперметры, и вольтметры. Проволочная прямоугольная

рамка-катушка (между полюсами магнита) начально установленная в

нейтральное положение. Но при прохождении через нее тока, в

зависимости от величины тока и его направления рамка (и стрелка)

поворачиваются больше или меньше в ту или другую сторону.

Ось рамки (и стрелки) при отсутствии тока удерживается в

«нейтральном положении» двумя пружинками. Через эти две пружины

подается и ток в рамку. На железный цилиндр внутри рамки не

обращайте внимания, его роль – улучшать форму магнитного поля

между полюсами магнита, «концентрировать» силовые линии в районе

рамки.

Сначала вопрос, какое направление поля магнита в районе

рамки? Не торопитесь отвечать: «от S к N». Да, «от S к N», но это, если идти по самому

магниту, изогнутому в нашем случае. А в самом промежутке «от N к S» , слева направо!

Предположим, подан ток в рамку, такой, что в правой части ток j течет от нас

(черная стрелка) , а в левой части рамки – к нам.

Каково действие сил на рамку? Поступим, как и раньше. Нарисуем

вспомогательный кольцевой ток J (красный), с его направлением по «правилу

буравчика», «буравчик» направлен по полю B от «N» к «S» в данном случае. Тогда правая

сторона рамки будет притягиваться вниз, к нижнему току J по закону Ампера. А

стрелка должна повернуться вправо, в зависимости от силы тока.

И еще важное замечание. В рамке много витков (n), Значит, на эту сторону

рамки магнит действует своим полем B не на JL, а на nJL, в n раз сильнее.

Информация о порядках значений магнитных полей (не для запоминания).

Для представления сравните с соответствующими мерами длины.

Аналог в метрах:

Сувенирный магнит на холодильнике - порядка 3·10--3 Тл 3 мм

Магнитное поле Земли - порядка 5·10 --5 Тл 0.05 мм (толщина волоса)

Магниты Большого адронного коллайдера - от 0,5 до 8 Тл 0.5 м – 8 м

Магнитное поле в солнечных пятнах - порядка 10 Тл 10 м

Магнитные поля внутри атомов - 103 — 104 Тл 1-10 км

Глава 2. Электромагнитная индукция.

Вспомните, в 1822 году в лабораторном дневнике Фарадея появилась

запись: «Превратить магнетизм в электричество». Он решил эту проблему.

Понятие магнитной индукция.

«Индукция» - «влияние», «вызывание чего-то», «воздействие на».

Электромагнитная индукция объясняет, как «сторонние» токи, или что то же самое, их

магнитные поля, вызывают токи в других проводниках.

Фарадей решил свою задачу. Он понял, что перемещение

магнита (или что то же, катушки с током) около другого проводника

вызывает ток в нем. Зависит от направления движения. Он также

понял, что сила индуцированного тока в контуре зависит именно от

изменения числа силовых линий через контур. На правом рисунке

видно, что при приближении к магниту через контур проходит больше

линий, т.е. увеличивается «поток» B (об этом далее).

И более того, ток индукции тем сильнее в контуре, чем быстрее

меняется магнитный поток, т.е. число силовых линий (правый рисунок).

Понятие «потока», важное для темы «индукция».

Речь пойдет о «полях», представляемых силовыми линиями,

которые либо замкнуты (магнитное поле B), либо начинаются и

заканчиваются на зарядах или в бесконечности (поле E). Эти линии

схожи с линиями «потоков жидкости». В местах, где силовые линии

уплотняются, скорость жидкости пропорционально увеличивается.

«Напряженность поля» в конкретном месте определяется как

«плотность» силовых линий, количество линий через единичную

площадку, поперечную линиям.

А «потоком» через любое сечение S (или через «контур» по краю S) называется

общее количество силовых линий, пересекающих сечение S (т.е. его контур).

Теперь конкретнее, о потоке магнитного поля B, обозначаемого Ф.

Познакомимся с потоком B через некоторую небольшую

поверхность S. Поток Ф вектора B определяется: Ф=B·S. Если точнее – это

скалярное произведение векторов B и S: (�⃗⃗⃗� ·�⃗⃗� )=|�⃗⃗⃗� |·|�⃗⃗� |·cosα. Cosα

учитывает случай, когда вектора �⃗⃗⃗� и �⃗⃗� не одинаково направлены.

А что это вообще за вектор �⃗⃗� ? Это вектор, перпендикулярный

площадке S, по модулю равный площади S.

Теперь внимание! Площадь S имеет 2 стороны. От которой из них

направлен вектор S? По «правилу буравчика»! Т.е. направление связано с

направлением обхода по контуру S, выбираемого нами в качестве положительного.

Как увидим далее, в контуре из проводника, если поток Ф через контур

изменяется, то в контуре появляется «Электродвижущая Сила» (ЭДС), действующая на

заряды в проводнике, мы ее объясним далее. ЭДС= - dФ/dt. То, что в формуле стоит «-»

поясним на примере: для простоты пусть �⃗⃗⃗� и �⃗⃗� направлены в одну сторону вверх, и B

увеличивается по величине. Значит, поток Ф увеличивается (т.е. dФ/dt>0). Тогда, в

соответствии с «-», ЭДС в контуре направлена против вращения «буравчика».

Менять поток B можно и не изменяя поля B, а через изменение сечения S

контура. Скажем, поворачивая плоскость контура, т.е. изменяя этим и площадь

сечения S поперечно B и его сторону. Т.е. изменяя cosα между векторами �⃗⃗⃗� и �⃗⃗� . При

этом изменяется и знак cosα, т.е. направление ЭДС и тока в контуре.

Теперь объясним ток индукции тремя способами.

Первый способ. Через магнитное поле. Вспомним уже упомянутую

формулу ЭДС= - dФ/dt. Вектора �⃗⃗⃗� и �⃗⃗� направлены вверх, «положительным» (по �⃗⃗� ) выбрано то направление в проводящем контуре-кольце, при котором

«буравчик» направлен вверх. При сближении кольца и магнита (всё равно кто из

них движется) магнитный поток B увеличивается (т.е. dФ/dt>0). Значит, ЭДС в

кольце направлена «против буравчика», как указано красной стрелкой у кольца.

Обратите особое внимание, что в этом случае «сближения» ток в кольце и

поверхностный ток в магните противоположны. Значит, магнит и кольцо

отталкиваются, препятствуя сближению.

Если магнит отходит, то все будет противоположно, B уменьшается (т.е. dФ/dt<0), ЭДС становится «положительным», т.е. «по буравчику», кольцо и магнит

притягиваются. И в этом случае препятствуя, но уже отходу.

Если поменять местами полюса магнита – результат будет тот же. Ток у

магнита противоположный. При сближении, поскольку B направлено вниз, dФ/dt<0. И ток в контуре тоже будет противоположен току предыдущего

рассмотрения. А результаты те же. Возникающий ток препятствует изменениям.

Второй способ. Через взаимодействие токов, зарядов, «по Фарадею».

Пусть внешнее кольцо с током J на рисунке - это в нашем «эксперименте»

поверхностный ток магнита. Зеленая точка – это положительный заряд

+q, движущийся в данный момент влево, приближаясь к току J. Согласно

Фарадею, сила F на него направлена вверх, к току J1 с тем же

направлением. Обратите внимание, в сторону, противоположную J4. Это

общий случай, с какой бы стороны заряд не приближался к току.

Красным отрезком обозначен проводник, приближающийся к

току. На каждый заряд в нем действует сила в том же направлении, что и

на рассмотренный выше заряд. Т.е. вверх. ЭДС в проводнике

направленна противоположно току J4, к которому проводник приближается. То есть при

рассмотренном сближении кольца (проводника) и магнита (его поверхностного тока) в

кольце возникает ток, противоположный току магнита. Легко понять, что при удалении

магнита ток в кольце будет совпадать с током магнита.

Третий способ. Через закон сохранения энергии. Когда мы сближаем магнит

и кольцо, и знаем, что при этом в кольце возникает ток, вопрос, какое он имеет

направление?

Откуда берется энергия для появления тока? От магнита взять ее нельзя. Значит,

от человека. Человек, сближающий магнит и кольцо, должен испытывать

сопротивление. Значит, в кольце должен возникнуть ток, противоположный току

магнита.

Если манит уже находится вблизи кольца какое-то время, то тока в кольце нет. И

при удалении магнита ток в кольце будет таким, чтобы по закону сохранению энергии

препятствовать удалению. Значит, ток в кольце направлен как ток магнита.

Правило Ленца.

Вскоре после открытого Фарадеем закона индукции, Эмилий

Христианович Ленц сформулировал достаточно простое правило для

определения направления индуцируемого тока в контуре («правило

Ленца», 1834 г).

Эмилий Христианович Ленц - русский физик, выходец из

прибалтийских немцев, является одним из основоположников

электротехники. Член Российской Академии с 1834 года, ректор С-Пб

университета.

Он также автор закона, определяющего тепловые действия

тока («закон Джоуля — Ленца», 1842 г.)

Рассмотрим важный эксперимент c с двумя кольцами.

Два кольца подвешены на «коромысле», которое

может свободно вращаться на оси. Кольца алюминиевые,

т.е. из немагнитного материала. Одно кольцо с прорезью, в

нем невозможен круговой ток.

Совет. Кольца сделайте легкими, коромысло тоже

полегче и покороче, чтоб меньше проявлялась инерция.

Результат опыта таков, что когда мы подносим

магнит к кольцу без прорези, то кольцо отодвигается, а

когда магнит удаляется, кольцо следует за ним. Всё это независимо от используемого

полюса магнита. Т.е. имеет место то, что мы уже обсудили в предыдущем пункте.

С другим кольцом (с прорезью) этого не происходит. Так как ток там

невозможен. Но на концах разреза скапливаются противоположные заряды.

Правило Ленца: возникающий в замкнутом контуре индукционный ток своим

магнитным полем противодействует изменению магнитного потока через контур.

Разберем это. Вот вы зафиксировали взаимное положение кольца и

магнита, тока в кольце нет, затух. Придвигаем магнит (по рисунку). Поток B,

направленный влево, возрастает. Значит, согласно закону Ленца, в кольце

должен возникнуть противоположный компенсирующий поток направо, т.е.

ток, противоположный току магнита. Получается «отталкивание».

При удалении магнита поток B от магнита уменьшается. Значит, ток

кольца должен создать поток B влево, чтобы компенсировать убывание потока. Он

направлен так же, как ток магнита. Токи притягиваются и мешают удалению магнита.

А вот дополнительная особенность! Почему был совет сделать кольца и

коромысло как можно легче? Поставьте магнит в положение как на рисунке,

зафиксировав взаимное положение и в кольце нет тока, затух. Двигайте магнит

медленно в одну сторону, в другую. Кольцо при этом двигается вместе с магнитом, как

«привязанное». Это интересный результат. Не любят системы из токов изменений!

В интернете можно увидеть много роликов, где магнит «подвешен» над

сверхпроводящим элементом. Сначала лаборант устанавливает магнит в

определенное положение относительно сверхпроводника, фиксируя их

взаимоположение. Потом убирает руку, а магнит остается висеть. Это явление

называется эффектом Мейснера. Оно основано на том, что внутри реального

сверхпроводника не может быть магнитного поля, все токи на его поверхности. Теория

не простая. Поле «выжимается» наружу, с магнитом. Вся картина токов «фиксируется».

Мы «качественно» разобрались с явлением индукции.

Теперь подробнее рассмотрим токи и напряжения при индукции.

Вот список этих вопросов, постарайтесь зафиксировать:

1)Какой ток J в «замкнутом» кольце вызывается внешним магнитным полем?

Там же познакомимся с новым понятием «индуктивность» L контура (не надо путать

с термином «индукция»).

2)Рассмотрим напряжение U, вызываемое на концах «разомкнутого» кольца

движением магнита. Разберем подробно понятие ЭДС.

3)Что происходит при подключении к концам разомкнутого кольца (любого

контура и катушки) напряжения U? Новое важное понятие «самоиндукция».

1)Итак, ток в замкнутом кольце.

Индуктивность.

«Индуктивность» - новое понятие. На самом деле - это простое и очень

конкретное понятие. Ясно, что чем больше ток J в контуре – тем больше магнитный

поток Ф (свой) через контур: т.е. Ф=L·J, где L некий коэффициент. Можно сказать, что

L – это Ф при J=1. Индуктивность (L) –очень важное понятие, измеряется в Гн(генри).

И еще: 1)Если взять контур в виде двойного витка, то понятно, что

увеличится вдвое поле B при том же токе J, а значит, и поток Ф. Т.е. L

пропорциональна числу витков контура (n).

2)А еще, если поместить внутрь контура ферромагнитный

сердечник, в котором домены, выстраиваясь, усиливают магнитное поле

в контуре в сотни, тысячи раз (), то во столько же увеличивается и индуктивность L.

Ток в замкнутом кольце.

Пусть через контур замкнутого кольца с индуктивностью L проходит и

изменяется внешний поток Ф на ΔФ. Направление тока J в кольце мы уже умеем

определять. По правилу Ленца «свой» поток Фк от J кольца, точнее, его изменение

должно компенсировать изменение «внешнего» Ф. Свой поток в кольце Фк=L·J, т.е

L·ΔJ= -ΔФ. Но у контура есть и свое сопротивление Rк, ведущее к быстрому

затуханию тока, порядка микросекунды. Ток возникает от движения и тут же «тает».

Рассмотрим ситуацию легкого кольца с малой инерцией. Начало: кольцо

покоится, магнит начинает придвигаться со скоростью Vм. В кольце возникает ток J. Он

быстро затухает. Но успевает придать некоторый импульс (и скорость) кольцу.

Поскольку кольцо легкое, то быстро достигает той же скорости, что у магнита Vм. И

равенство скоростей (как и расстояние между магнитом и кольцом) сохраняется.

Почему? При Vк< Vм магнит придвигается к кольцу, увеличивая поток B и этим

отталкивая его. Если Vк> Vм – расстояние увеличивается, кольцо притягивается.

Поэтому картина будет, как будто кольцо «привязано» к магниту.

2)Напряжение U на концах «разомкнутого» кольца, но сначала «ЭДС».

Электродвижущая сила (обозначается ЭДС или «(Ɛ»).

Сначала кратко. В рассеченном кольце тока индукции не возникает, понятно

почему. Но сама причина, т.е. сила, заставляющая течь ток в целом кольце, возникает

и в рассеченном кольце, действуя на заряды в том же направлении. Усвойте, что ЭДС –

это не сила в терминах физики! Сила меряется в ньютонах, а ЭДС – в вольтах.

В случае рассеченного кольца сила заставляет перемещаться

заряды, в данном конкретном случае против тока в магните. Но только до

тех пор, пока на концах не сосредоточится некоторая их предельная

концентрация. На рисунке скопления отмечены («+» и «-»). И вот разность

потенциалов U (в вольтах) на концах кольца и есть «мера» ЭДС. Но только по

величине! Понятия U и ЭДС не эквивалентны. ЭДС внутри проводника и

направлена от «-» к «+». Создает «потенциальную горку» некоторой «высоты» в

вольтах, и поднимает на нее заряды. А «снаружи» эти же заряды могут

спускаться с этой «горки» с «высотой» U, выполняя работу. Разница понятна?

Освежим картину физических понятий.

У нас накопилось много схожих терминов, которые надо знать точно: «сила»,

«сила тока», «электродвижущая сила», «напряженность», «напряжение»… Часто возникает

путаница. Надо освежить часть этих понятий.

Будем считать исходными понятиями понятия «силы» F и «работы этой силы» A.

Работа A=F·s, точнее, это скалярное произведение A= (�⃗⃗� · �⃗⃗� ). Многие другие наши

соотношения – это те же F и A=F·s, только, скажем, на единицу массы (m=1) или

единицу заряда (q=1). Это как цена на единицу товара. Проще рассматривать.

В поле тяжести на Земле счет на единицу m: аналог силы - это напряженность

поля g, (вместо mg), а аналог работы –это потенциал U=g·h (вместо mgh).

В электричестве на единицу q: вместо F=E·q имеем E –

напряженность электрического поля. Вместо работы A= (�⃗⃗� · �⃗⃗� )= (𝑞𝐸⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ · �⃗⃗� )

имеем «напряжение» U=(�⃗⃗� · �⃗⃗� ) – т.е. выполняемая работа, но на единицу

заряда.

Допустим, у нас есть элемент (батарейка) на 1.5 В. Когда по

«наружному» контуру из полюса «+» в полюс «-» перетечет заряд q, то

работу, совершенную батареей, легко сосчитать, зная q: A=Uq. Скорость, «мощность»

выполнения этой работы P=A/t=U·(q/t)=U·J. Вспомнили.

Пример ЭДС в гальваническом элементе (батарейке).

Сама «электродвижущая сила» (ЭДС) - может быть самой разной природы.

Например, ЭДС может быть химической природы (гальванические элементы,

аккумуляторы), фотоэлектрической природы (солнечные батареи) и другие.

На рисунке схематически представлен химический источник тока

(«батарейка»). В результате химической реакции у одного электрода

образуется избыток положительных зарядов, у другого - отрицательных

зарядов. Эти два скопления зарядов создают между полюсами элемента

напряжение U. ЭДС внутри создает U на полюсах. Если элемент без нагрузки

(разомкнут), то U=ЭДС (скажем, 1.5В). При подключении к полюсам нагрузки

(скажем, сопротивления R), напряжение U на клеммах несколько снижается,

поскольку химические реакции могут не успевать обеспечивать полюса

зарядами. Тогда принято считать, что ЭДС остается той же. А U<ЭДС.

Очень важное замечание. Сила и ее аналоги g, E – это вектора, имеющие

направление. Работа и ее аналоги, (потенциал, разность потенциалов) – это скалярные

величины (т.е. просто числа). Но можно «условно» применять термин «направление» и к

ним. «Направление» напряжения U можно условно считать от «+» к «-», в этом

направлении совершается положительная работа над +q. А ЭДС можно приписать

направление внутри «источника» от «-» к «+». В этом направлении ЭДС производит тоже

положительную работу над +q, поднимая его на «потенциальную горку».

Вернемся к ЭДС, создаваемой именно индукцией в проводниках.

Покажем, что и «через поток Ф», и «по Амперу» ЭДС выражается одинаково.

Вернемся к объяснению силы на одиночный заряд q+,

движущегося в поле B со скоростью v вправо (справа на рисунке).

Сила F=B·vq и направлена вниз. Это сила Лорена, объясняемая и

законом Ампера между зарядом и током J, который у нас является

эквивалентом поля B. Отметьте, что F противоположна J2.

Теперь обратимся к проводнику на той же картинке слева,

движущегося тоже вправо. На каждый его свободный заряд

действует та же сила F=B·vq. Внизу проводника накапливается некий

«+заряд», сверху образуется недостаток, « -заряд». Этим создается

некая разность потенциалов U между концами проводника. Это и

есть создание «горки» в вольтах, т.е. ЭДС, вариант ЭДС от магнитной

индукции. И направлена ЭДС внутри проводника от «-» к «+».

Как сосчитать ЭДС (или U)? U – это работа по переносу заряда вдоль

проводника A =F·L на единичный заряд. A=F·L= vBq·L, значит U= vB·L. И это есть

ЭДС (Ɛ) от магнитной индукции на концах проводника при его поперечном

движении.

Сила на единичный заряд vB·L похожа по действию на электрическую

напряженность E, но это не E, это «сторонняя» сила, возникающая от индукции.

Итак, формула ЭДС, наводимого в проводнике по величине Ɛ= vB·L.

Та же формула индукции в проводнике, но через магнитный поток Ф.

Получим ту же формулу ЭДС=vBL, но через скорость изменения

магнитного потока Ф: ЭДС= - dФ/dt .

На рисунке отмечена площадь S шириной L, вычерчиваемая

движущимся проводником. За единицу времени S изменяется на ΔS=Lv.

Магнитный поток через S за секунду меняется на ΔS·B=vL·B. Но это по

величине. А по направлению и знаку? У нас поток Ф увеличивается по

направлению к нам. А F (и ЭДС) по контуру направлена против «буравчика»,

если его острие направлена к нам. Поэтому в формуле ЭДС= - dФ/dt стоит «-».

Запомните этот вариант выражения ЭДС через Ф: ЭДС= - dФ/dt . Оно имеет общий

характер, независимый ни от формы контура, ни только от скорости увеличения его

площади. Формула работает как от изменения площади контура, так и от изменения B.

Из-за общего характера часто удобно пользоваться именно этой формулой.

Как подходить к разным задачам? Задачи с конкретным поперечным

движением проводника в магнитном поле, как правило, нужно решать 1-м способом. А

задачи, скажем, вращения рамки в магнитном поле обычно через магнитный поток.

Интересный момент.

Возьмем катушку, в которой магнитное поле практически однородно. И

рассмотрим то же поперечное движение проводника. Мы его рассматривали в

системе, связанной с магнитным полем, катушкой, а проводник двигался. Дальше сила

Лоренца.

А вот если всё это рассмотреть в системе, связанной с проводником?

Проводник покоится, а катушка перемещается, т.е. магнитное поле перемещается

вместе с катушкой. Силы-то Лоренца на покоящиеся заряды проводника нет! Хотя мы

уверены, что и в этом случае должна возникнуть поперечная сила F на заряды. Для

того, чтобы решить эту задачу в данной системе координат, нужно использовать

Теорию Относительности. В ней при движении источника магнитного поля появляется

поперечное электрическое поле E. То есть, противоречия тут нет.

Покажем определенное преимущество варианта ЭДС= - dФ/dt. На

рисунке изображен П-образный проводник с горизонтальными «полозьями».

По ним движется проводник b со скоростью V. При этом меняется площадь

контура, и в магнитном поле изменяется поток Ф, в контуре возникает ЭДС.

При переходе рассмотрения в систему проводника b проводник b

неподвижен. Но площадь контура изменяется так же, как и в системе поля B. Просто в

новой системе сторона a движется влево. Площадь контура, как и поток Ф изменяется.

3)Теперь 3-й пункт, подключение напряжения к контуру и самоиндукция.

Вот теперь сосредоточьтесь. Пункт важный. Что произойдет, если подключить

напряжение U к контуру? По шагам:

1.Подключаем напряжение к точкам разрыва контура Uисх .

2.Возникает ток J через контур от «+» к «-», увеличивающийся от 0 с

какой-то скоростью dJ/dt.

3.Напомним, что индуктивность L показывает поток Ф от собственного

тока J: Ф=L·J. Увеличение тока dJ/dt в этом контуре ведет к изменению потока dФ/dt= L· dI/dt через контур. А значит, в контуре на заряды начинает действовать сила,

направленного внутри контура от «-» к полюсу «+».

4.Это ведет к ЭДС внутри проводника, «направленной» внутри проводника от «-» к

«+», и к созданию напряжения Uкон между концами, равное (по величине) ЭДС.

Мы прошли по замкнутому циклу от Uисх к Uкон с одинаковым положением у них

«+» и «-». Но между двумя полюсами контура не может быть два разных напряжения.

Просто здесь имеет место «самосогласованное» решение, в котором Uисх и Uкон равны и

совпадают. В этом случае dJ/dt должно быть таким, чтобы L· dJ/dt было равно Uисх .

ЭДС в данном случае называют «ЭДС самоиндукции», потому что и J, создающий

B, и ЭДС имеют место в одном контуре одновременно. Вывод: при приложении к

контуру напряжения U, в контуре начинается процесс L· dI/dt =U. Формула важная.

Это соотношение (U=L· dJ/dt) очень важно для описания процессов (напряжений

и токов) в электрических цепях. Для сопротивления R имеется описание U=R·I, а для

индуктивности (контура, катушки) U=L· dJ/dt. Использование увидим в примерах ниже.

Переходные процессы в электрических цепях. Магнитная энергия.

Процессы в цепи при включении напряжения.

Рассмотрим самую простую электрическую цепь – подключение напряжения к

лампочке накаливания, которую приближенно можно считать сопротивлением R. Мы

привычно считаем, что сразу после включения по цепи пойдет ток J=U/R. Переходной

процесс не рассматривается.

Но мы уже знаем, что в цепи, даже если нет катушек, есть

провода (образующие контур), создающие магнитное поле, с некой

индуктивностью L. Этот элемент цепи (мы будем изображать его

катушкой) не позволяет току моментально достичь предельного

значения, т.к. при этом напряжение на L должно быть: L· dI/dt =.

На рисунке наша цепь состоит из последовательного

соединения индуктивности L, сопротивления R и источника

напряжения U с включателем. Показан график изменения

(нарастания) тока J. Он начинается с 0, нарастает сначала с определенной скоростью,

затем асимптотически приближается к ожидаемому значению Jкон=U/R. Как это

происходит?

Подключенное напряжение U делится между двумя элементами,

индуктивностью и сопротивлением, т.е. делится на UL и UR: R= UL+UR.

1)Пока ток J растет от 0, но достаточно мал, такой что напряжение UR=RJ мало

по сравнению с U, почти всё U приходится на L: ULU. Значит, UL=L· dJ/dt U. И значит, в

этот период кривая имеет наклон dJ/dt U/L, отмеченный на графике.

2)При дальнейшем возрастании тока J UR=JR увеличивается, а значит, UL

уменьшается. Значит, уменьшается и наклон кривой UL/L.

3)Ток J возрастает настолько, что UR приближается к U, а UL всё более и более

приближается к 0. И наклон кривой dJ/dt ->0, а кривая асимптотически стремится к U.

Только для сведения, запоминать не надо. Наше уравнение L· dJ/dt+RJ=U =Const

имеет решение u(t)=U(1-e-(R/L)t). Это убывающая экспонента, перевернутая, она

стремится не к 0, а к U. Чем больше R/L, тем быстрее стремится UR к U. При

значительной индуктивности L ее влияние на процесс надо учитывать.

Интересно, как быстро затухает ток в нашем опыте с целым кольцом. У кольца L

порядка 10-7 Гн (генри), R порядка 3·10-3 Ом. R/L 3·104, а tвозрост.1/(3·104) сек.

В реальном процессе включения любой сети надо учитывать и наличие емкости

C в цепи. (Дальше это будет рассматриваться.)

Магнитная энергия.

Было замечено, что когда отключаются системы, содержащие большие

индуктивности, то токи в цепях еще какое-то время продолжаются. Оказалось, что

катушки индуктивности при токе в них обладают некой магнитной энергией. Давайте

выведем формулу энергии катушки с током: магнитная энергия EL = L· J²/2 .

Включение постоянного напряжении U к L, вызывает

постоянное изменение тока j от 0 до J за время T. Имеем: j’=J/T,

U= L·j’= L· (J/T). Совершаемая работа: A=U·Q=(L· (J/T)) · (JсрT).

Jср=J/2. A=(L· (J/T)) · (J/2T). T сокращается. Получаем EL = L· J²/2.

Итак: энергия катушки (контура) с током L·( J²/2) .

Формула важная.

Обратите внимание на схожесть формул L·( J²/2) и m·( v²/2). Это не просто так!

Электрические генераторы и двигатели.

Генератор переменного тока.

Генерация ЭДС (и U) производится за счет энергии

механического вращая рамки-контура в магнитном поле B. Концы

рамки выведены на два кольца, с которых посредством скользящих (и

проводящих) «щеток» снимается напряжение U (без нагрузки равное

ЭДС индукции).

Пусть площадь рамки равна S, магнитное поле B, частота

вращения , т.е. угловая скорость =2π·. Значит, магнитный поток

равен Ф=B·S·sin(t), т.к. вектор �⃗⃗� делает полные обороты, и знак

потока Ф меняется. ЭДС= - dФ/dt . Скорость изменения потока

(производная) dФ/dt= B·S·cos(t) · . Обратите внимание на понятную зависимость от

частоты вращения (появляется множитель ). Продемонстрируем изменение Ф на

графике.

На графике показаны функции sin и cos. У синусоиды отмечены

красным 2 места с максимальной скоростью изменения sin,

возрастанием ее и убыванием. Это совпадает с максимумами («+» и «-«

) у косинусоиды. Мы продемонстрировали предыдущий вывод.

Двигатель постоянного тока.

Надеюсь, понятно, почему и как постоянное магнитное поле B действует

на рамку (обмотку) с током. Проверьте полученные знания. На что новое надо

обратить внимание? «Коллектор» - это кольцо, посредством которого к рамке

подводится напряжение (ток), имеет два разреза. Это для того, чтобы при

вертикальном положении рамки изменить направление тока в ней. Сама эта

точка проходится рамкой по инерции. А дальше, из-за переключения

направления тока в рамке, сила продолжит вращение рамки в прежнем

направлении.

Двигатель переменного тока «синхронного типа».

Этот тип двигателя очень распространен в быту: пылесос,

стиральная машина, там где нужно менять скорость вращения.

Два магнита («полюса») – это катушки с сердечниками.

«Якорь» (ротор) содержит много контуров, типа как и в двигателе

постоянного тока. И принципы их работы подобны. Но каждый

из контуров включается (и только он один), когда он расположен

поперек линиям B магнитов-полюсов. «Коллектор» содержит

много разрезов, чтобы подключать только один из контуров.

Направление переменного тока изменяет свое

направление, но одновременно и в полюсах, и в подключенном

текущем контуре. Поэтому сила сохраняет при этом свое направление. То есть здесь

поле ротора и поле статора синхроннонизированы.

А вот в ассинхронном типе двигателя переменного тока ротор отстает по

скорости (и должен!) от сделаного вращающимся магнитного поля статора.

В синхронном типе двигателя можно напряжением регулировать скорость

вращения. КПД порядка 80%, что вдвое выше, чем у двигателей внутреннего сгорания.

Колебания и волны.

Колебания – это основополагающий процесс нашего мира. Начиная от

микромира (сплошные варианты колебаний) до вращения планет по круговым

орбитам. Любые волны на поверхности воды или звук – это колебания. Волны – это

передача колебательных процессов соседним элементам.

Глава 3. Колебания.

Колебания – это периодическое движение элементов или систем, которые

происходят относительно некоторого положения равновесия (0-положения).

Рассмотрим в качестве примера маятник.

Толкнем маятник (выведем его из положения равновесия). При отклонении от

положения равновесия (0-положения) возникает сила, противодействующая

отклонению. Постепенно она вызывают остановку маятника, а далее возвратное

движение. Но из-за свойства инерции маятник не может остановиться в 0-

положении, движение продолжается, всё повторяется, но уже в другую сторону. И т.д.

Колебания называются свободными, если нет внешней постоянной

периодической силы на маятник, иначе колебания являются вынужденными. Если Вы

раскачиваете регулярными действиями качель - это вынужденные колебания. Если

раскачали, но затем перестали раскачивать – далее будут свободные колебания.

При наличии потерь, скажем, от сил трения, свободные колебания становятся

затухающими. Если потерь энергии нет (условно), то колебания незатухающие.

Мы рассмотрим 3 примера свободных незатухающих колебаний, уравнения

движения которых имеют один общий и простейший вид: x”(t)= - ω2·x(t). А сами

колебания являются синусоидальными («гармоническими»), типа x(t)= A·cos(ωt). Это:

1)масса на пружине, 2)«математический» маятник и 3)электрические колебания в LC-

контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора.

Масса на пружине.

Это пружина на горизонтали, с закрепленным одним

концом и с некоторой массой m на другом конце. Пружина

невесома (условно), с «жесткостью» k. Т.е. «обратная»,

возвращающая сила F на массу m зависит от удаления x от

точки равновесия: F= -k·x . Трение (условно) отсутствует, как и

потери в самой пружине от деформаций.

Эта масса ведет себя как маятник. Выведенная из

равновесия, она движется, останавливается и движется

обратно. Но в точке равновесия из-за инерции продолжает движение в другую сторону.

Вспоминаем 2-й закон Ньютона: F=m·a, где «a» - это ускорение. В нашей записи

F=m·x”(t), т.к. «a» - 2-я производная от x(t). Т.о. мы получаем уравнение m·x”(t)= -k·x(t).

«-» перед k·x означает, что сила и ускорение имеют направление, противоположное x.

Переписываем уравнение m·x”(t)= -k·x(t) как x”(t)= - (k/m)·x(t). Получили

стандартное дифференциальное уравнение x”(t)= - ω2·x(t), где в данном случае ω2= k/m

(или ω=√ k/m ). Это уравнение гармонического колебания «без потерь». Его

решение имеет вид x(t)=A·cos(ωt), где A – амплитуда (предельный отклонение в

каждую сторону), а ω - это т.н. «угловая частота». Хотя термин «угловая скорость»

грамотнее, чем принятый термин. Чтобы лучше понять значение ω, вспомним,

что cosφ – это проекция на ось x точки с углом φ на единичной окружности. В

записи x= cos(ω·t) – это проекция на ось x точки, которая движется по единичной

окружности с угловой скоростью ω, φ=ω·t.

Каждый оборот по окружности – это одно колебание по оси x и угол 2π по

окружности. Значит, при частоте 𝛎 колебаний в секунду имеем угловую скорость

ω=2π·𝛎. Т.о. всегда 𝛎= ω/2π. Значит, при нашей ω=√ k/m частота равна 𝛎=1/2π ·√ k/m. Смысл k/m под корнем можно понять из исходного уравнения m·x”(t)= -k·x(t). При

любом x коэффициент k определяет силу F=-kx и значит, ускорение x”. Чем больше k,

тем больше ускорение в точке x, и значит, быстрее колебания.

Теперь об m в k/m. При данной силе F в точке x из F=m·x”(t) видим, что чем

больше m, тем меньше ускорение (и медленнее колебания). m стоит в знаменателе.

Период колебаний T=1/𝛎 -доля от 1 сек на одно колебание. У нас T=1/𝛎=2π ·√ m/k.

Энергетические соотношения. Какова потенциальная

энергия Uпот в точке x? Для определенности берем x справа

от 0-положения, хотя функция Uпот(x) симметрична. Uпот(x)

равна работе от 0 до x. Uпот(x)=Fсредн·x. Но |F| меняется от 0

до kx. Значит, Fсредн =kx/2. А значит, Uпот(x) = kx/2 ·x = kx²/2.

Кинетическая энергия Eкин=mv²/2.

Максимум потенциальной энергия будет в двух крайних точках maxEпот= kA/2·A =

kA2/2 (A-амплитуда). В любой момент сумма энергий Eкин +Eпот одинакова и равна

kA2/2. В крайних точках Eкин =0. В точке x=0 Eпот =0, а Eкин = kA2/2.

Вертикальные колебания пружины с массой.

Что произойдет, если рассмотренную массу с пружиной подвесить

вертикально? Ее новое положение равновесия (0-положение) будет теперь

соотвествовать некоторому растяжению пружины x, которое компенсирует вес массы:

kx=mg. Но в смысле колебательного процесса всё останется как и в горизонтальном

положении. Только относительно смещенного 0-положения x.

Почему? Если удлинить пружину на Δx от смещенного 0-положения, то

возвратная сила будет –kΔx. Т.е. мы имеем то же прежнее выражение для силы F= -

k·Δx, и то же прежнее уравнение m·Δx”=-k·Δx. только в терминах Δx.

Задача1: Когда массу на пружине подвесили вертикально, пружина растянулась

на 3 см до нового положения равновесия. Найти частоту колебаний массы на пружине.

Подсказка: вес массы пружины компенсируется ее растяжением на x: mg=kx; зная x,

найдите отношение k/m.

Математический маятник, уравнение.

«Математическим» этот маятник называется из-за предельного упрощения этой

модели маятника. А именно, что (условно) вся масса m у него сосредоточена в одной

нижней точке нити длиной l и нерастяжимой. И что маятник находится в поле тяжести

(условно, однородном) на поверхности Земли с напряженностью поля g. И еще важное

условие – колебания «малые» (это позволяет использовать соотношение sinα≈α).

Сам процесс колебания маятника мы уже рассмотрели. Масса

маятника может двигаться по дуге радиуса l. Расстояние по дуге от 0-

положения (вертикального положения нити) обозначено s, справа s>0.

Угол α (в радианах): α= s/l. Т.е. α и s жестко связаны через l: поэтому

можно использовать s’(t)= l·α’(t), s”(t)= l·α”(t).

Сила �⃗⃗� натяжения нити компенсирует часть силы веса mg,

которая направлена вдоль нити. Остается только часть от силы mg,

касательная к дуге («тангенцантеальная составляющая», �⃗⃗� =-mg·sinα).

Вдоль дуги s допустимо использовать 2-й закон Ньютона: m·s”=F= - mg·sinα, или

m·lα”(t)= -mg·sinα.

m сокращается lα”(t)= -g·sinα. Значит, от величины m процесс не зависит!

Вот теперь включается требование «малости» угла α (когда sinα≈α). Скажем, при

угле 1/5 рад, т.е. s/l=0.2 (≈11.5°) sin(0.2) ≈0.1986. При 30° (0.523рад) sin(0.523)=0.5.

При замене sinα на α имеем l·α”(t)= -g·α -> α”(t)= -(g/l)·α. Или s”= -(g/l)·s (s=lα).

Мы привели уравнение к стандартному виду: α”(t)= -(g/l)·α, или s”(t)= -(g/l)·s.

ω=√g/l . Интуитивно ясно, что длина маятника l замедляет процесс, g убыстряет.

Почему m не вошло в уравнение? Потому что m входит и в силу тяжести, и в

инерциальное свойство F=am.

Электрические колебания. LC – контур. Уравнение.

На рисунке изображен «LC-контур» - параллельное соединение

индуктивности L и конденсатора c емкостью C. В момент времени,

отраженный на рисунке, видно, что в этот момент на правой пластине

конденсатора есть избыточный заряд +Q (относительно среднего

состояния, отмеченного горизонтальной линией), а на левой стороне –

недостаток Q, т.е. –Q.

Принимаем направления. За положительное направление тока J

выбираем направление слева направо. Этот ток (его накопление) создает

заряд +Q на правой обкладке конденсатора, А напряжение U имеет

направление от +Q к –Q, значит, справа налево и равно по величине:

U=Q/C (помним, что емкость C – это заряд, поднимающий U на 1В).

Теперь сам процесс по рисунку. Видим на правой обкладке +Q.

Предположим, что в данный момент ток J направлен вправо, и

уменьшается, поскольку U направлено справа налево. (Помним, что на L

напряжение U вызывает изменение J: U=L·J'). Наконец, ток J уменьшается до 0 (+Q

достигает максимума) и J, измнив знак начинает расти, но уже справа налево. Заряд

+Q уменьшается, достигает 0 (ток влево J в этот момент достигаем максимума). Но ток

на индуктивности не может прекратиться сразу, тем более, что в этот момент U=0. Этот

ток начинает копить Q слева, создавая и увеличивая +Q и потенциал слева.

Напряжение U становится отрицательным. Весь процесс повторяется в левую сторону.

Связь тока J и U на индуктивности выражается так: L·J’(t)= U(t), (это когда на L

направления U и J принимаются одинаковыми). Но у нас направления U и J на L

определены противоположно. Поэтому надо писать так: L·J’(t)= -U(t)= - Q(t)/C.

Теперь нам надо перейти в нашем уравнении от J к Q. У нас изменение Q(t) (т.е.

ΔQ) вызывается накоплением тока: ΔQ=J(t)·Δt. Т.е. J(t)=Q’(t), и значит, J’(t)=Q”(t).

Приводим уравнение к переменной Q(t): L·J’(t)= - Q(t)/C -> L·Q”(t)= - Q(t)/C.

Делим на L, приводя к стандартном виду: Q”(t)= - 1/LC ·Q(t), ω2= 1/ LC , т.е. ω=√ 1/LC .

Надо понять «1/LC» в выражении «ω=… ». L «мешает» изменению тока, т.е.

замедляет колебания. Большее C тоже замедляет их, т.к. уменьшает рост U от заряда.

Общие закономерности трех моделей.

Итак, мы познакомились с тремя моделями колебаний, которые все сводятся к

простому дифференциальному уравнению гармонического колебания, «свободного»,

«без потерь»: x”(t)= - ω2·x(t), с решением типа A·cos(ωt) (или A·sin(ωt)), их комбинаций.

За параметром ω в физике закрепился термин «угловая частота». Наверное

потому, что ω жестко связана с частотой колебаний 𝛎 (ω=2π·𝛎). Термин «угловая

скорость» тоже допустим и грамотнее. Так как функция типа cos(φ) -это проекция точки

единичной окружности на ось x, где φ – угол на окружности. A·cos(ωt) – проекция на

ось x точки окружности радиуса A с углом φ=ω·t, и термин «угловая скорость» ω

показывает скорость изменения аргумента φ. Частота 𝛎 показывает число оборотов в

секунду (колебаний в секунду). Значит, за секунду проходится угол 𝛎·2π (каждый оборот

– это угол 2π ). Помните, что в нашей электросети 𝛎=50 герц. Это ω=2π·50=314 рад/с.

В группе понятиий «угловая скорость» ω, «частота» 𝛎, и «период колебаний» T

основным, исходным выберите «угловую скорость» ω. Она имеет самый простой вид

выражения в разобранных вариантах колебаний. Именно: ω=√ k/m в пружине с

массой, ω=√g/l в математическом маятнике и ω=√1/LC в LC-контуре. Нужно только

вспомнить два определяющих ее понятия (k,m, g,l

или L,C) в конкретном явлении, и сообразить как

их расположить в числителе или знаменателе.

Итак, ω - самый просто запоминаемый

параметр. В выражении частоты 𝛎 добавляется

множитель 1/2π, понятно почему. А в выражении

T=1/𝛎 всё переворачивается. Имеет смысл

помнить эту логику, не сами соотношения.

И интересный факт, что частота колебаний не зависит от амплитуды колебаний!

Задача1: Вам понадобилось сделать секундомер, используя нитку и линейку.

Какой длины надо взять нитку?

Задача2: В Исаакиевском соборе для демонстрации вращения Земли (опыт

Фуко) сделали маятник (математический) с длиной нити 93м. Найти период колебаний.

Задача3: Есть конденсатор емкостью 10 мкФ. Катушку с какой индуктивностью

надо взять, чтобы сделать LC-контур с частотой 50 гц?

Энергетика колебаний трех моделей.

В наших незатухающих колебаниях работает закон сохранения энергии. В

крайних положениях потенциальная энергия (или ее аналог, напряжение U на L или C)

достигает максимума. Кинетическая энергия (или ее аналог, энергия тока в катушке,)

в этот момент равна нулю. В центральним положении потенциальная энергия

достигает минимума, нуля относительно «уровня 0-положения», а кинетическая энергия

здесь достигает максимума, который равен максимуму потенциальной маятника в

крайнем положении.

Энергетика пружины с массой.

Энергетику «пружины» мы уже обсуждали. Fсредн =kx/2. Т.е.

Uпот(x) = kx/2 ·x=kx²/2. Ее максимум в крайних точках maxEпот= kA/2·A

= kA2/2 (A-амплитуда). Кинетическая энергия Eкин=mv²/2 имеет тот же

максимум (сохранение энергии), но в 0-положении.

Максимум потенциальной энергия будет в двух крайних точках maxEпот= kA/2·A =

kA2/2 (A-амплитуда). В любой момент сумма энергий Eкин +Eпот одинакова и равна

kA2/2. В точке x=A и x=-A Eкин =0. В точке x=0 Eпот =0, а Eкин = kA2/2.

Энергетика математического маятника. Расчет Eпот(s) точно такой же, как и в предыдущем случае, считаем

работу, совершаемаю вдоль дуги s от 0-значения до значения s. Сила F

вдоль дуги в точке s равна по модулю mg·sinα≈ mg·α. Учитывая это, имеем

F≈ - mg·(s/l) . Среднее значение |F| на интервале [0,s] Fср=mg·(s/ l)/2 ,

Eпот= mg·((s/l)/2)·s = mg(s²/l)/2 . maxEпот = mg(A²/l)/2 . В момент, когда маятник

проходит 0-положение, его maxEкин= m· v²/2 = maxEпот = mg(A²/l)/2 .

Можно, при желании, помнить, что явление «маятника» совпадает с колебанием

пружины, если положить вместо k «пружины» mg/l (Сила веса/длину маятника). Если придется решать задачу, помните, что величина m не имеет значения.

Энергетика LC-контура.

Энергию катушки EL с индуктивностью L и током J мы

уже выводили: EL=L·J2/2. Кратко повторим вывод.

Схема: Постоянное напряжении U, вызывает

постоянное изменение тока j от 0 до J за время T.

EL=U·Q, . U=L· j’, j’=J/T -> U=L· (J/T).

Q=Jср·T, Jср=J/2 -> Q=T·J/2. EL=U·Q=(L· (J/T) ) ·( T·J/2),

T сокращается. Получаем EL=L· J²/2.

Энергия EC конденсатора с емкостью C.

Схема: энергию EC сосчитаем в процессе, когда

конденсатор заряжается постоянным током J. При этом

напряжение на нем меняется, возрастая от 0 до U,

благодаря накоплению на его обкладках заряда от 0 до Q:

EC = Uср·Q. Uср= U/2, U=Q/C ->

EC = (Q/C)/2) ·Q =(Q2/C)/2). EC=(1/C)· Q²/2 . Можно выразить через U (Q=C·U): EC= C·U²/2 .

Задача1. Массе на пружине в 0-положении придали скорость 1 м/с, после чего

она отошла от 0-центра на 0.5 м. Найти период колебаний.

Подсказка: Можно ли из maxEпот = maxEкин найти (k/m)?

Задача2. Емкость конденсатора C0, Максимальное напряжение в контуре U0.

Найти максимальное значение энергии на индуктивности. Подсказка: Вспомните, что

maxEL = maxEC .

Другой способ найти решение уравнения x”(t) = - ω2·x(t).

Решение дифференциального уравнения x”(t)= - ω2·x(t) было дано готовым в

виде Acos(ω·t), Asin(ω·t) и любой их комбинаций. Эти решения не сложно проверить.

Например, проверим решение x(t)= Acos(ω·t). x’(t)= - Asin(ω·t))·ω, x”(t)= - Acos(ω·t))·ω2.

Видим, что (Acos(ω·t))”= - Acos(ω·t))·ω2, т.е. решение Acos(ω·t) удовлетворяет уравнению.

Можно ли найти решение, не используя «дифференциирований»?

Можно. Вы знаете, что любой физический процесс, его силы, скорости можно

рассматривать как целиком, так и только по одной оси, скажем, по оси x, независимо.

Например, можно взять явление движения по кругу с постоянной

скоростью под действием центростремительной силы: �⃗⃗� ц= - m·v²/R . Затем

рассмотреть его и целиком, и только по оси x. И заметить, что проекция

силы �⃗⃗� ц на ось x соответствует виду силы, как и в уравнении колебания,

скажем, колебания пружины с массой: Fx= -k·x. Но тогда можно взять в

качестве решения для Fx= -k·x проекцию на ось x от движения по кругу с

постоянной скоростью: x(t)= Rcos(ω·t). Далее увидим как найти ω.

Теперь подробнее. Приравниваем два явления: движение по кругу с

постоянной v �⃗⃗� ц= - m·v²/R , и движения массы m на пружине жесткости k и

амплитудой колебания R вдоль оси x. Максимум проекции силы �⃗⃗� ц на

ось x достигается, когда пересекается ось x в точках x=+-R. В эти моменты m·v²/R =k·R.

Из рисунка видно, что при других x величина проекции силы �⃗⃗� ц уменьшается в

пропорции к уменьшению величины x. Т.е. проекция �⃗⃗� ц𝐱 =-kx вместо -k·R в x=R. Т.о. мы

пришли к выражению силы �⃗⃗� ц𝐱 как и у массы на пружине. Пишем уравнение для оси x

m·a=-k·x. А его решением берем проекцию от движения по окружности x(t)= Rcos(ω·t).

Далее считаем. В точке x=R |F|=k·R= m·v²/R , откуда k/m= v²/R² или v/R=√ k/m . Внимание!

Что такое v/R ? Это угловая скорость ω, т.к. v – это длина дуги s в секунду, а s/R- это угол

в радианах. А далее, как можно получить из ω частоту 𝛎 и период T мы уже знаем.

Музыка. (Только для информации.)

Поговорим о музыке. Любое произведение состоит из последовательности

звуков и их совместного звучания (аккорд, «согласие»).

На рисунке представлен фрагмент клавиатуры пианино,

немного более одной октававы ( от ноты «до» до «до»).

Всего клавиатура пианино содержит 7 октав.

Вообще «октава» - это интервал от одной ноты до

ближайшей ноты с тем же названием (например, от «ре»

до «ре»), через 7 ступеней на 8-ю. Октава соответствует

отношению частот двух звуков ровно в 2 раза. Поэтому

совместное звучание их благозвучно. Т.к. за один цикл

нижней ноты повторяется ровно 2 цикла верхней ноты.

Сейчас конкретно мы остановимся на

тональности «до-мажор», от «до» до «до», только по белым

клавишам: «до», »ре», »ми», »фа», »соль», »ля», »си», »до». Это

ноты самой простой тональности. Мелодия, исполняемая в тональности «до можор»

может практически полностью обойтись без использования 5 черных клавиш. Главной

нотой («тоникой») в этой тональности является нота «до», она как бы всё время

подспудно «звучит», являясь некой базой, платформой для построения всей мелодии.

Интервалы «тон» и «полутон». Между большинсвом белых клавиш располагаются

черные, указывая, что между этими двумя нотами интервал вдвое шире. Общая

картина промежутков между главными ступенями тональности «до-ре-ми-фа-соль-ля-си-

до» такова: «тон-тон-полутон-тон-тон-тон-полутон». Итак, «октава» - это отношение по

частоте точно в 2 раза, а по сумме интервалов это 6 тонов или 12 полутонов.

Музыканты со временем приняли искусственный, т.н. «темперированный», т.е.

«равномерный» строй, в которой все полутона имеют одинаковый коэффициент

повышения частоты: в √212

раза, т.е. в 1.05946… раза. Этот строй удобен в своей

однородности, можно на инструменте исполнять произведение в любой тональности,

не перестраивая инструмент, просто определив основные ноты новой тональности.

Используя число 1.05946 на полутон, частотные коэффициенты нот в до-мажоре:

До тон ре тон ми полутон фа тон соль тон ля тон си полутон до.

1.0, 1.1225, 1.2599, 1.3348, 1.4983, 1.6818, 1.8878, 2.0.

Обратите внимание на то, что если немного округлить эти числа, то они будут

соответствовать отношению малых целых чисел, это хорошо заметно:

1.0, 1.125, 1.25, 1.333, 1.5, 1.666, 1.9, 2.0. Это отношения:

1.0 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 19/10 2/1

Т.е. музыканты не случайно выбрали эти ступени в качестве основных нот в

тональности. Две ноты октавы дают отношение частот 2, и поэтому совместно

благозвучны. Так и ступени, соответствующие отношению малых целых чисел

созвучны с тоникой («до» в до-мажоре), в нашем случае это ноты ми, фа, соль, ля. По

отношению к «до» они благозвучны, «консонансны». Совместная картина колебаний

«до» и одной из этих нот повторяется через малое число периодов ноты «до». А вот ноты

ре и си уже относительно «диссонансны» по отношению к «до». Например, для ноты «ре»

нужно 8 периодов ноты «до», чтоб совместная картина двух гармоник начала

повторяться. И человеческое «ухо» это чувствует!

Этат строй, построеный на отношении целых чисел

называется «натуральным строем», он является очень древним,

использовался на арфах, флейтах. Великий Пифагор 500 лет до

н.э. строил свою философию гармонии всего мира на

соотношении целых чисел. Это касалось всего, и музыки, и

архитектуры, «музыки в камне».

Разложение в ряд фурье (для информации).

Мы познакомились с гармоническими

(синусоидальными) колебаниями. А если периодическое

колебание имеет другую, не синусоидальную форму?

Оказывается, любой периодический сигнал с

интервалом T можно разложить в ряд (в общем случае

бесконечный) на синусоиды и косинусоиды, период которых

укладывается на периоде T целое число раз. Это записывается

так: f(x)=a0+a1cos((2π/T)·1x)+b1sin((2π/T)·1x)+

+a2cos((2π/T)2·x)+b2sin((2π/T)·2x)+a3cos((2π/T)3·x)+b3sin((2π/T)·3x)+…. На рисунке показаны

только 1-я, 2-я и 3-я гармоники и только синусоиды (косинусоиды не показаны).

Из-за того, что все используемые функции кратны на периоде T, они являются

периодическими и для периода T.

Коэффициенты ak, bk находятся простым интегрированием произведений пар

функций, f(x) и каждой из гармоник cos((2π/T)k·x), sin((2π/T)k·x) на интервале [0,T].

Понятие «спектр». Человеческое ухо (поверхность «улитки» в ухе) воспринимает

только частоты гармоник и иx силу (амплитуды). В ряде Фурье каждая частота

представлена суммой: ak·cos((2π/T)·kx)+bk·sin((2π/T)·kx). Вместе - это синусоида той же

частоты, но с амплитудой Ak=√(ak2+bk

2) и со сдвигом в фазе φk : Ak·sin((2π/T)·kx +φk).

Глафик, где показаны только амплитуды Ak в зависимости от частоты

называется спектром.

Вот 2 примера спектров периодических колебаний,

именно гласных звуков «а» и «и», показанные на рисунке.

Видно, что у обоих звуков есть 2 гармоники с большими

амплитудапи. И, в принципе, нажимая только 2 клавиши на

пианино (по частотам графика - это«соль» и «ре» следующей

октавы, отношение частот 3/2), можно услышать что-то

похожее на «а». (Можно использовать и ноты «до» , «соль» с тем

же отношением). Не все гласные являются периодическими

колебаниями, скажем, звук «я» состоит из «й» и «а». Некоторые

согласные, типа «н» тоже являются периодическими.

Человеческое ухо слышит частоты от 20 гц до 20 кгц.

Отношение этих пределов 1000 , т.е. ≈210, это10 октав.

(У пианино 7 октав). Частота ниже 20гц – это инфразвук, неслышимый, но

неприятный для человека. Выше 20 кгц – ультразвук, тоже неслышимый для человека.

Глава 4. Вынужденные колебания. Переменный ток.

Гармонические функции cos(ω·t ), sin(ω·t) являются проекциями на оси x или y

равномерного движения по единичной окружности. Но бывает и наоборот, удобнее

при рассматрении гармонических функций cos(ω·t ), sin(ω·t) вернуться к движению по

окужности.

Дальше мы будем рассматривать вынужленные колебания в разных электрических

системах, где вынуждающая сила – это гармоническая функция. Оказывается, что все

токи и напряженая на разных элементах этой системы будут тоже гармоническими

функциями, той же этой частоты, но со своими амплитудами и фазами. Рассматривать

на круге все это гораздо удобнее. Поэтому кратко освежим знание комплексных чисел.

Повторим кратко тему «Комплексные числа».

В комплексных числах ось x - это ось действительных чисел (Re – от real,

реальный, действительный). Она дополнена до плоскости введением оси

«мнимых чисел» по оси y (Im – от imaginary, мнимый). Комплексное число

выражается в виде z=a+ib, где i –«мнимая единица» по оси y со свойством i2= -1.

Это в принципе не может выполняться для действительных чисел.

Комплексные числа появились, когда математикам понадобилось «как-то»

отражать решения квадратного уравнения и с детерминантом <0. Но далее

комплексные числа оказались очень удобными и для работы с колебаниями.

Комплексному числу z=x+iy на плоскости соответствует радиус-вектор (x,y).

В определенной мере к комплексным числам применима терминология

векторов (например, «вектор направления»), но надо помнить о свойстве i2= -1.

Комплексное число кроме «алгебраической» формы записи

в виде z=x+iy, имеет и тригонометрическую («полярную») форму записи:

z=R(cosφ+isinφ), где R=√(x2+y2) – модуль числа z (|z|), а (cosφ+isinφ) –

это – «вектор направления» единичной длины, с углом направления φ.

Сложение и вычитание комплексных чисел производится как у

векторов, например: z1=3-5i, z2=-8+3i. z1+z2=(3-8)+(-5+3)i= -5-2i.

Умножение.

Можно умножать алгебраически, но помня, что i2= -1. Например:

z1=3-5i, z2=-8+3i. z1·z2=3·(-8)+(-5i)·(-8)+3·3i+(-5i)·3i=

= -24+40i+9i+15=-9+49i.

Можно умножать, используя тригонометрическую форму: амплитуды

перемножаются, а оба угла складываются, например:

z1=3(cosπ/4 +isin π/4), z2 =5(cosπ/2 +isin π/2), z1· z2 = 15·(cos3π/4 +isin 3π/4) .

Покажем кратко, почему при умножении в тригонометрической форме

амплитуды перемножаются, а углы складываются. Покажем это за 3 шага.

1)Сначала покажем, что числа, находящиеся на осях x и y, типа +1,+i, -1 -i

при умножении на i поворачивается на 90° (π/2) в положительном направлении

(против часовой стрелки). Умножаем на i: +1·i=i , +i·i = -1, -1·i = -i , -i·i =1.

2)Покажем, что любое комплексное число при умножении на i тоже

поворачивается но + π/2 . Любое комплексное число z=(a+bi) представимо в

виде суммы векторов по осям x и y: a и ib. Каждое из них при умножении на

i поворачивается на + π/2 . a -> ia’, ib -> b’ (синие вектора переходят в красные). А

значит, и всё число z=(a+bi) поворачивается на + π/2 , z ->z’.

3)Умножим z1= A(cosφ1+isinφ1) на z2= B(cosφ2+isinφ2). Амплитуды A и B – это

перемножаем отдельно и A·B - это, как увидим, амплитуда (модуль) произведения z1·z2.

А произведение векторов направлений z1 и z2: v1=(cosφ1+isinφ1) и v2=(cosφ2+isinφ2) –

это тоже вектор направления (с модулем =1) и не влияет на амплитуду (модуль) ответа.

Рассмотрим результат умножения векторов направления v1 и

v2. Вектор v1 умножим поочередно на части v2: cosφ2 и i·sinφ2

(помня, что |v1|=1). Произведение v1· cosφ2. – это вектор вдоль v1

длиной cosφ2. Произведение v1 на i·sinφ2 - это вектор, повернутый

на + π/2 относительно v1 (из-за i) длиной sinφ2 .(Обе компоненты

отмечены на рисунке). Складваем полученные 2 вектора – части

v1·v2. Видим по рисунку, что v1·v2 – это вектор, отмеченный синим, и

что это вектор направления, повернутый на угол φ2 относительно v1.

Значит, результат v1· v2 – это вектор направления с углом φ= φ1 + φ2 .

(Традиционно это свойство доказывается, используя формулы

cos(φ1+φ2) и sin(φ1+φ2).)

Покажем теперь простой смысл важной формулы Эйлера, eiφ = cosφ+isinφ.

Напомним, что именно для числа «e» (2.73…) для малых

чисел Δs есть приближение eΔs ≈1+Δs. Тогда e i·Δs ≈1+i·Δs. Это по

сути дела (видно на рисунке) вектор направления с малым углом

Δs в радианах, поскольку на единичной окружности длина дуги Δs

соответствует углу в радианах (полный угол - 2π).

Возьмем некоторое s= n·Δs. Возведем e i·Δs в степень n.

(e i·Δs )n = ei·nΔs = ei·s. Теперь сделаем то же по-другому. Возведем наш

вектор направления 1+i·Δs в степень n. По только что доказанному

свойству, о том, что углы складываются, получаем угол n·Δs=s, т.е.

(1+i·Δs)n ≈ cos(s)+isin(s).

То, что получили, – приближение. Но уменьшая Δs и увеличивая n (но так, чтобы

n·Δs=s), в пределе получаем точное соотношение eiφ = cosφ+isinφ, формулу Эйлера.

Вспомним на примере понятие т.н. сопряженных комплексных чисел.

«Сопряженными» называются два комплексных числа,

отличающихся только знаком мнимых частей. На рисунке изображена

пара таких чисел z1=x+iy и z2=x-iy. Покажем, что их произведение равно r2.

Перемножим сначала алгебраически. (x+iy)·(x-iy) = x2- (iy)2= x2+y2=r2.

Перемножим теперь эти 2 числа в тригонометрической форме:

Перемножаем амплитуды: r·r=r2. А суммарный угол =0. Ответ тот же r2.

Свойство перемножения сопряженных чисел используется для

алгебраического деления комплексных чисел. Например, делим 1+2i/3-5i .

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное с 3-5i число. Видим: (1+2i)(3+5i)/(3-5i)(3+5i) . В числителе получаем:

(1+2i)(3+5i)=(1·3 -2·5)+i(1·5+2·3)=-9+11i. А в знаменателе:

32+52=34. Ответ: -9/34+11/34 ·i.

Нам часто понадобится использовать 1/i = - i , т.к. i·(-i)=1. Помните это свойство.

Теперь мы перейдем к изучению «вынужденных колебаний». Если

точнее, «установившихся вынужденных колебаний». Т.е. «не переходной

процесс», а процесс, уже достигший «стационарности» и периодичности.

Лучше всего для ознакомления с подобными процессами рассмотреть

электрические цепи с источником переменного напряжения, типа U(t) =

U0·cos(ω·t) , где U0 – амплитуда. Как уже отмечалось, в этом случае

напряжение на всех элементах будет типа Uk(t)= Uk·cos(ω·t+φk), где Uk –

амплитуда напряжения на конкретном k-элементе, а φk – сдвиг по фазе

(опережение или запаздывание). Как увидем, плоскость комплексных

чисел очень удобна для рассмотрения этой темы.

Освежим наши знания по электрическим цепям и их элементам.

Напряжения и токи на элементах в цепи постоянного тока.

Напряжение на сопротивлении («резисторе») R всегда: U=R·J.

Последовательное соединение резисторов.

Ток J одинаков во всех резисторах. Значит:

Uобщ= U1+ U2+U3= R1·J+R2·J+R3·J=(R1+R2+R3) ·J = Rобщ·J.

Откуда следует Rобщ= R1+R2+R3 .

Ток в последовательной цепи считается так:

J= Uобщ/Rобщ = Uобщ/(R1+R2+R3).

Напряжение на отдельном резисторе (скажем, на R2):

U2 = R2 J = R2·Uобщ/(R1+R2+R3) = Uобщ · R2/(R1+R2+R3) .

Т.е. на каждое Rk приходится часть напряжения, пропорциональная величине

этого сопротивления. Такое свойство данной схемы часто определяют как «делитель

напряжения».

Задача. Uобщ=10 В. R1=2 Ом, R2=3 Ом, R3=5 Ом. Определить Rобщ , ток J, U3.

Параллельное соединение резисторов (постоянный ток).

На обоих резисторах одинаковое напряжение U. Токи J1 и J2

отпределяются: J1=U/R1, J2=U/R2.

Общий ток Jобщ= J1+J2=U/R1+U/R2= U(1/R1+1/R2).

Или: Jобщ = U/Rобщ. Сравнивая выражения 1/Rобщ=1/R1+1/R2.

Эта формула справедлива для любого количества параллельных

сопротивлений.

Но конкретно для двух резисторов 1/Rобщ=1/R1+1/R2 удобно

пользоваться такой формулой: Rобщ=R1· R2/(R1+R2).

Ток при параллельном соединении R делится по ветвям пропорционаотно

величинам 1/R1, 1/R2, т.е. «обратно пропорционально сопротивлениям».

Задача. Jобщ = 2 А, R1=6 Ом, R2=3 Ом. Определить Rобщ, J1, J2, U.

Вопрос интерпритации понятия «сопротивления» резистора.

Можно представлять сопротивление резистора R как усилие (U), которое вам

надо прилагать, чтобы продувать единицу потока воздуха (J=1) через трубку

определенной длины и сечения.

Если удлинить трубку вдвое, ваше усилие (а значит и

сопротивление) увеличится вдвое. R+R=2R.

Если вместо одной трубки взять параллельно две, или одну, но

двойного сечения, то ваше услилие для продува той же единицы

потока уменьшится вдвое. Т.е. параллельное соединение двух

одинаковых резисторов уменьшает вдвое их общее сопротивление. R·R/(R+R)=R/2.

Определяющим в паре параллельных R является меньшее из сопротивлений. Если R2 в

разы превышает R1, то Rобщ будет немногим меньше R1. Например, для 1 Ом и 10 Ом: R1·R2/(R1+R2)=1·10/(1+10)=10/11≈0.9, т.е. на 1/10 часть меньше, чем R1=1 Ом.

Если, скажем, радиолюбителю надо немного увеличить сопротивление в схеме,

скажем, изменить 100 Ом на 101 Ом, он припаивает последовательно к 100 Ом 1 Ом.

А что делать, если надо заменить 100 Ом на 99 Ом? Можно воспользоваться

параллельным присоединением к 100 Ом резистора 10 000 Ом. Считаем:

100·10 000/(100+10 000) =100· (10 000/10 100) = 100· (100/101) ≈ 99.

Теперь обобщим. Напомним известное приближение для |x|<<1: 1/1+x≈1-x.

Соединим параллельно 2 резистора r и R (r<<R).

Rобщ= r· R/(R+r)= r· (1/(1+r/R)) [используем приближение] ≈ r··(1- r/R)= r- r2/R). Т.е. r

уменьшается на r(r/R) или на долю r/R . Проверьте эту простую формулу на

предшествующих примерах.

Малое r подкючаемое к большому R практически «замыкает» R, делая Rобщ≈r.

Задача. Каким можно уменьшить сопротивление 100 Ом до 98 Ом?

Картина на резисторах от источника переменного тока.

Подключим переменное напряжение типа

U(t)=U0·cos(ω·t) к структуре из резисторов. В каждый момент

времени ток Jk и напряжение Uk на резисторах Rk от источника

U(t) зависит только от значения U(t) в данный конкретный

момент. Все те же формулы. На каждом k-элементе

напряжение Uk(t)=Uk·cos(ω·t), где Uk – это амплитуды на

сопротивлениях Rk , а сдвигов по фазе нет, на всех Rk колебания синфазны. А можно

сосчитать всё для апмлитуды напряжения U0 источника, как от источнка постоянного

напряжения U0, а потом пересчитать по пропорции к текущему значению U(t).

Задача. Амплитуда переменного источника напряжения, соответствующая

рисунку 30 В. R1=2 Ом, R2=3 Ом, R3=5 Ом. Определить ток J, U3 в момент, когда

напряжение на источнике было -15 В.

Подсказка. Можете сначала найти все значения для U=30 В.

Эффективное значение U и J.

Есть одна особенность переменного тока на сопротивлениях.

Рассмотрим U(t) и J(t) для R за один период T. Они меняются как sin(t)

(синфазно). А мощность P за период на R-элементе ( P(t)=U(t)·J(t) )

меняется как sin2(t). Посмотрите на график sin2(t), он весь находится в

положительной области, меняется от 0 до 1, причем, симметричен

относительно линии y=0.5. То есть, среднее за период значение мощности

на элементе Pср=U·J/2, где U и J – это амплитуды напряжения и тока.

Практики, которых больше всего интересует мощность Pср, часто испозуют для

переменного тока не «амплитудные значения» U и J, а т.н. «эффективные значения»

напряжения и тока: Uэфф=U/√2 и Jэфф= J/√2 . В этом случае, если взять P=Uэфф·Jэфф= U/√2·J/√2

=U·J/2 , то получаем реальное среднее мощности Pср за период.

В наших сетях обычно 220 В. Спросите у окружающих, что такое 220 В,

амплитудное или эффективное значение U? Немногие правильно ответят, что 220 В –

это эффективное значение, а амплитуда в √2 раз больше, примерно 310 В. Помните,

что все тесторы в режиме измерения переменного тока («~») показывают

эффективные значения напряжения и тока!

Сети переменного тока с «резисторами», «ёмкостями», «индуктивностями».

Все перечисленные элементы можно назвать «линейными элементами». А

вообще, есть и «нелинейные», всевозможные «диоды», «транзисторы» и прочие.

Освежим основные определения по ёмкостям и индуктивностям.

Конденсаторы («накопители»). Это элементы, у которых на

противопололожных обкладках посредством накопления (интегрирования) тока J

формируются заряды противоположных знаков. Эти заряды +Q и - Q создают

разность потенциалов U между обкладкаами. Определяющей характеристикой

конденсатора является «емкость» («C»). Русский термин «емкость» не совсем

удачный, вызывает у учащихся путаницу. Точнее был бы термин «ёмкостность».

Термин «ёмкость» в русском языке обозначает «объем», а не способность

«копить» заряд. По определению термин «ёмкость» (C) в физике обозначает заряд,

увеличивающий напряжение между обкладками на 1 В. Это, если образно, не «объем»,

а «площадь дна». Чем больше «дно», тем больше требуется жидкости (заряда), чтобы

поднять уровень (напряжение) на единицу. Еденица измерения C - «фарада» («Ф»), но в

жизни используется мкФ и ниже.

Итак, U на конденсаторе: U=Q/C, Q – заряд или интеграл тока J по времени ∫J·dt.

Поскольку ток в сети переменного тока периодически меняет направление, то и заряд

Q меняет знак, как и напряжение U. Итак, на конденсаторе U= Q/C, или U=1/C ·∫J·dt.

«Индуктивность» (или «катушка индуктивности»).

Катушка индуктивности на схемах обозначается спиралью. Основной

характеристикой является «индуктивность L», единица измерения «Генри»

(Гн). Напряжение на катушке (условно) зависит только от скорости изменения тока в

цепи катушки (т.е. J’): U=L·J’ или в альтернативной записи U=L·dJ/dt .

Понятие фазы в переменных сигналах.

Рассмотрим функцию f=cosφ.

Максимум у нее в точке φ=0. Мы знаем, что

f’=(cosφ)’= -sinφ. По рисунку видно, что

максимум f’ находится раньше по фазе на π/2 .

Т.е. -sinφ можно записать как cos(φ+π/2). Вот

«+π/2» в последнем выражении и есть «сдвиг в

фазе» по отношении к некой другой функции.

Отметим: у гармоник производная функция f’ опережает на π/2 по φ саму

функцию f. Можно понимать так: f накапливает изменения, поэтому f отстает от f’.

Теперь рассмотрим функцию, обратную взятию производной, т.е. интеграл от

f=cosφ: ∫cosφ·dφ (скажем, от φ=0). Сначала (от φ=0) cosφ>0, поэтому ∫возрастает,

накапливается. ∫cosφ·dφ = sinφ, можете проверить правильность интеграла, найдя

производную от sinφ. Сам sinφ можно записать как cos(φ -π/2). Можете проверить,

проделав выкладки, потренироваться.

Отметим: интеграл, как накопление, обязательно отстает по фазе от самой

функции. У гармоник всегда на π/2.

Понятие «фазового сдвига, смещения» понятнее на круге.

Продолжаем рассмотрение функции f=cosφ. Но рассмотрим ее

теперь в формате единичного круга комплексной плоскости z=eiφ=

cosφ+isinφ. Функция cosφ - это проекция точки единичного круга на ось

x, т.е. действительная составляющая комплексного числа (в конкретном

случае единичного «вектора направления» eiφ).

Рассмотрим и производную f, но как ei·φ: (ei·φ)’=( ei·φ)·( i·φ)’= i·ei·φ.

Множитель i поворачивает вектор ei·φ на π/2 в положительную сторону φ.

Интеграл от ei·φ - это действие, обратное дифференциированию:

∫ei· φ ·dφ=(1/i) ei· φ = - i·ei·φ, т.к. 1/i= -i . Это тот же вектор ei·φ, но повернутый

на π/2 в сторону «-« (по часовой стрелке).

3 предыдущих графика показывали cosφ и 2 другие сразу для всех φ, а

последняя схема только для конкретного φ, но как увидим, она более информативна.

Общий вариант. Рассматрим некую сеть с разными

«линейными элементами» (т.е. с пропорциональными

зависимостями) с источником переменного напряжения

A0eiωt. Мы уже знаем, что напряжения и токи всех элементов Jk

и Uk полностью отражаются на комплексной плоскости

амплитудой (длиной вектора) и углом (фазой) его положения φk

.

В принципе, важно лишь взаимное угловое положение

векторов. Вся обсуждаемая картина целиком вращается с

угловой скоростью ω в положительном направлении (против

часовой стрелки). Об этом вращении мы помним, но самого

его не рассматриваем. Смотрим картину какого-то момента. Как правило, некий

важный из векторов условно располагают по оси x (с φ=0). Тогда углы φk всех векторов

становятся сдвигом по фазе относительно этого выбранного вектора. Вот это и есть

картина фазово-амплитудных взамоотношений. А вообще каждый вектор

записывается в виде Ak·ei·(ω·t+φk) , где Ak – амплитуда, ω-угловая скорость (или угловая

частота), φk –сдвиг по фазе этого вектора.

Когда совокупность вектроров крутится со скоростью ω, каждый из них каждый

момент имеет определенную проекцию на действительную ось x Ak·cos·(ω·t+φk). В

момент, когда k-й вектор сопадает с осью x ( и по направлению) его проекция на x

проходит через свой максимум.

Как считать напряжения и токи в сети переменного тока.

Чтобы в цепях переменного тока с источником типа U·cos(ω·t)

найти ток и напряжение на L, C, R-элеметнах, нужно решить непростые

дифференциальные уравнения, где напряжение на элементах R, L, C

будут: UR= R·JR, UL= L· d/dt JL , UC=1/C ·∫JC·dt. Искать решения в виде

функций sin и cos не просто, т.к. при деффиринциировании и

интегрировании sin переходит в cos, а cos в sin.

А вот в комплексной области можно с элементами L и C работать

точно так же, как мы работали с резисторами R, по тем же формулам

последовательного и параллельного соединений Rk. Можно приписать элементам Lk и

Ck некие «сопротивления», только в виде комплексного числа, обозначаемого Z, т.н.

«импеданс», от англ. «препятствие»: для индкутивности - Z=iωLk, , Z=-i/(ωCk) для

емкости, Z=R для резистора. Для последовательного соединения R, L, C: Z=R+iωL–

i/(ωC)=R+i(ωL-1/(ωC).

Посмотрим как и почему это получается.

Для резистора R имеем UR(t)=R·J(t). Найдем аналоничные соотношения для U

через J в элементах L, C.

Пусть, ток через L,C-элементы будет типа J(t)= Aei(ω·t+φk) , где A-амплитуда, ω-

угловая скорость, φk- некоторый фазовый сдвиг.

Для L: UL(t)= L·dJ(t)/dt = L·( Aei(ω·t+φk)) ’= iωL·( Aei(ω·t+φk)) , т.к. (i(ω·t+φk)) ’=iω .

Т.е. UL(t)= iωL·J(t). Всё как в UR=R·J, только вместо R стоит iωL .

Для UC : аналогичные действия. UC(t)= Q(t)/C=1/C·∫J·dt.

Получаем UC(t)=1/(iωC)·J= - i/(ωC) ·J(t). Можете проверить, взяв производную от 1/(iωC) ·( Aei(ω·t+φk)).

Т.о. UC= -i/(ωC) ·J. Как и UR=R·J, только вместо R стоит 1/ iωC (или - i/ ωC ) .

Хотя ток и напряжение меняет направление при переменном источнике тока,

важно всегда определиться с «условными» направлениями напряжения относительно

токов. Как указано на рисунке. Эта определенность важна при составлении уравнений.

Важно знать, что средняя мощность на L и C по периоду равна 0.

Вспомним «эффективные» значения J, U и мощности P на R-элементах. На

резисторе R напряжение U и ток J совпадают по фазе, а P(t)=U2/R =U²/R·sin2(ωt) со

средним значением ½ от sin2(ωt) по периоду. Т.е. Pэфф=Uэфф ·Jэфф=Uамп ·Jамп/2.

А вот на элементах C, L энергии не теряется (в среднем, на периоде).

Покажем это.

В элементах L и C ток и напряжение разнесены на π/2, как sin и cos.

Рассмотрим ∫cosx·sinx·dx. Вспрмним, что 2sinxcosx=sin2x с периодом T=π. Значит, на

любом интервале T=π есть точки с противоположными значениями через π/2, и

∫1/2·sin2x·dx на любом интервале π равен 0. Запомните, в C, L- элементах на

переменном токе энергия не теряется (накапливается и отдается на одном периоде).

Совокупность R-элементов в системе называются «активной составляющей», на

них расходуется энергия. А на совокупности L, C - элементов энергия не теряется.

Начнем с простых схем: элемент R, L, C прямо подключен к источнику U.

Фактически, мы уже это обсуждали.

Элемент R: U(t)= J(t) ·R. J и U совпадают по фазе.

Элемент L: U(t)= J(t) ·iωL . U опережает J на π/2 из-за i.

Элемент C: U(t)= J(t) ·(-i/ωC) . U отстает от J на π/2.

Легко запомнить, что у C-элементов всё

«наоборот» по сравнению с L-элементами,

Немного более сложный случай пары элементов, R-C и R-L.

Пара R-C. Последовательное соединение. Поступаем как с парой

последовательных резисторов. Общее сопротивление Z=R+(--i·1/ωC).

Поскольку соединение R и C последовательное, через них идет общий

ток. Поэтому именно вектор тока J удобно расположить по оси x (φ

=0). Как начальный вариант рассмотрим значение частоты, при

котором R и 1/ωC близки (ω≈1/RC). Тогда и напряжения на R и C по

величине будут одинаковы, только UR будет ориентирован по оси x

как и ток, а UC будет отставать: - π/2 из-за (-i).

Понятно, что в данном случае вектор U отстает от вектора J на π/4 (45°) с амплитудой |U|=UR·√2.

При увеличении ω 1/ωC ->0, оба сопротивления вместе

начинают вести себя просто как сопротивление R. Емкость

практически имеет нулевое сопротивление.

При уменьшении ω 1/ωC ->∞, оба сопротивления вместе

начинают вести себя просто как емкость C.

Параллельное соединении R и C: при малых ω модуль

сопротивления C 1/ωC ->∞, общее сопротивление начинает вести

себя просто как R. При больших ω модуль сопротивление C 1/ωC ->0,

оно «закорачивает» сопротивление R, делает общее сопротивление

как сопротивление емкости C: --i·1/ωC .

Рассмотрим случай, когда по величине сопротивления

резистора R и сопротивление емкости C равны (R ≈1/ωC). При

параллельном включении R и C на каждом из них одно напряжение U.

Поэтому по оси x удобнее всего направить U. Общий ток J равен

сумме токов JR и JC (J= JR + JC). JR = U/R, ориентирован вдоль x, как и

U. JC=U/(--i·1/ωC)=U·(iωC) и ориентирован по оси y. Поскольку мы

рассматириваем для удобства случай R ≈1/ωC , то вектор J опережает

вектор U на π/4 с амплитудой |J|=JR·√2.

Уже обсуждался вопрос о том, что есть стационарные процессы, разбираемые

нами, и есть переходные процессы. Вспомните, как раскачивается небольшими

гармоническими усилиями качель. Сначала идет переходной процесс от начала

колебаний к стационарному режиму колебаний с установившимися амплитулами и

фазами. По прекращению силового раскачивания начинается переходной процесс

«затуханющих колебаний», «свободных», со своей частотой.

Рассмотрим вопрос, когда в последовательном соединении R-C

источник напряжения отключается, а оставшийсяя в этот момент заряд

на C разряжается через резистор R. Сначала рассмотрим

«качественно». Допустим, что в момент отключения источника на левой

обкладке C был заряд +Q0. Ток разряда через R пойдет справа налево,

через «точку замыкания». Чем меньше становится заряд Q на C, тем

меньше становится UC(t)=Q(t)/C, оно же и на R. Поэтому уменьшается и

ток разряда J(t)=UC(t)/R=Q(t)/(RC). А значит, заряд на C уменьшается бесконечно долго

по экспоненте Qe-k·t. Вопрос, как найти k.

По направлению J на рисунке видно, J вызывает уменьшение Q+.

Т.е. через производную: J=-Q’. Или J(t)= -Q’(t)=Q(t)/(RC). Q’(t)=- Q(t)(1/RC).

Это простое уравнение с решением Q0e-k·t , где k=-1/RC . Проверьте.

Важное выражение RC имеет размерность «секунды». За время

RC напряжение на конденсаторе C уменьшается в «e» раз.

Только для ознакомления. Покажем еще один формальный метод

нахождения k для решения Q0e-k·t. Сначал вопрос, что будет с ожидаемом решением

Q0 ei ωt , если ω у нас получится мнимым, скажем, ω=i·a? Q(t)=Q0 ei ωt= Q0 ei· iat= Q0 e - at,

т.е. получаем убывающее по экспоненте решение.

Напряжение при полном обходе замкнутого контура =0: UR+UC=JR+J(-i/ωC)=0. J

выновим J(R- i/ωC)=0 -> R- i/ωC=0 -> ω=i/RC. Получаем k=1/RC , Q(t)= Q0 e – t/RC.

Задача1. Конденсатор емкостью 10 мкФ с неким зарядом. Какое

сопротивление должен иметь резистор R, чтобы заряд уменьшился на порядок (в 10

раз, можете взять ≈e2 раз) за секунду ?

Задача1. На последовательную цепочку R=1000 Ом и C=1 мкФ (ω=1000/сек)

подано U~ амплитудой 12 В. Найти сопротивление Z и амплитуду тока J в цепи.

Подсказка: найти модуль Z (|Z|) по теореме Пифагора. Ампдитуду U разделите на |Z|.

Пара R-L, последовательное и параллельное соединение.

Поступаем так же, как с парой R-C. Общее «комплексное» сопротивление

(«импеданс») в последовательном соединении Z=R+iωL. Постарайтесь самостоятельно

разобраться в ситуации, используя 2 рисунками и для параллельного соединения.

Думаю, 2 рисунка понятны. 3-й рисунок относится к процессу, когда

параллельное соединение R-L отключается от источника напряжения. Для этого

анализа мы развернули R-L соединение в последовательную цепочку (как показывает

пунктирная стрелка). Но приравняли U нулю, поскольку на концах разрыва одинаковый

потенциал. Т.о. получаем дифференциальное уравнение R·J+L·J’=0.

Или J’= -(R/L)·J. Решение J=J0·e -- (R/L)t. Можете проверить.

Колебательный контур R-C-L, последовательное соединение.

Те варианты схем, что мы уже прошли – только подготовка

для рассмотрения колебательного контура.

Смотрим схему. Напряжения UC и UL противоположны и

компенсируются (частично или полностью). На конкретном

рисунке компенсируются частично. Как они суммируются -

показано параллельным переносом вектора UC вверх. Компонента

по iy равна i(ωL-1/ωC).

При значительном увеличении ω, когда UL=iωL значительно

превышает UC= - i/ωC (по модулю) и R, вся схема ведет себя как

индукттвность L. При значительном уменьшении ω вся схема

вндет себя как емкость C.

В зоне значений ω, когда ωL=1/ωC, UC и UL полностью

компенсируются. Помните, мы уже получали ω2=1/LC , когда изучали колебания. В этой

зоне ω сопротивление всей схемы Z определяется резистором R. Величина R должна

быть незначительной, чтобы не было больших потерь, и чтобы схема была

колебательным контуром. При резонансной ω каждое из UL=iωL и UC= - i/ωC велики (по

модулю), но обшее напряжение U невелико (UL и UC противоположны и компенсируют

друг друга).

Если на схему подавать напряжение U одной

амплитуды, а изменять только «угловую частототу» ω,

то получаем график, называемый «резонансной

кривой». Это график модуля J. Z=R+i(ωL-1/ωC).

Поскольку нас интересует только модуль тока |J|

(фаза нас не интересует), то |J|=|U|/|Z|. |U| не

меняется, а |Z| считаем, используя теорему

Пифагора: |Z|=√((ωL-1/ωC)2+R2). Понятно, что

максимум имеет место при ω, когда (ωL-1/ωC)=0, и

максимум равен |U|/R.

Показаны 2 кривые, для R=0.1 Ом и 0.05 Ом.

Колебательный контур R-C-L, параллельное соединение.

Часто в электрических схемах встречаются колебательный контур не в виде

последовательноой цепочки R-C-L, а в виде параллельного соединения C-L, где

резистор r с небольшим сопротивлением включен в «плечо» L (это резисторное

сопротивление витков катушки L). Мы с такой схемой встретимся, когда будем

обсуждать тему «Генераторы».

В принципе, эта схема ведет себя подобно предыдущей (резонансно). Нам

надо только научиться находить значение резонансного тока. Здесь оно не будет

|J|=|U|/|r|. Для того, чтобы его найти мы перейдем к примерно эквивалентной

схеме, где малый резистор r будет заменен на параллельный большой резистор R.

Мы уже делали подобное, когда надо было уменьшить сопротивление

подключением параллельного R. Тогда r уменьшалось подключением большого

параллельного R на долю r/R. Т.е. r уменьшается на величину r(r/R).

(Не для запоминания). Итак Z1=iωL+r в зоне резонанса должно стать почти

равным параллельному соединению iωL и R, т.е. Z2=(R· iωL)/(R+iωL) =(iωL)/(1+iωL/R).

Поскольку |ωL/R| мало по отношению к 1, то работает приближение 1/(1+x)≈1-x.

Получаем: (iωL)/(1+iωL/R) )≈ (iωL)(1- iωL/R)= iωL- iωL· iωL/R= iωL+ωL·( ωL/R).

Т.е. r можно заменить параллельным ωL·( ωL/R). Т.е. R≈(ωL)2/r.

Важно: Пара параллельно соединенных L и C на резонансной частоте имеет

Z=(iωL)(-i/ωC)/(iωL-i/ωC)=∞, т.к. знаменатель =0. Поэтому они вдвоем не влияют на R.

Вывод: Контур с параллельным соединением C–(L+r) имеет на резонансе ток

|J|=|U|/((ωL)2/r), как на сопротивлении (ωL)2/r. Вы можете встретить другой вид этой

фориулы, помня, что ωрез=√1/LC , ωL=1/ωC =√(L/C) R=(ωL)2/r=(√(L/C))2/r = (L/C)/r .

Различие последовательного и параллельного колебательного контура.

У последовательного контура на резонансе небольшое сопротивление r, внутри

на C и L напряжения большие. Но на концах контура напряжение U невелико.

У параллельного контура на резонансе сопротивление большое ((ωL)2/r). Внутри

контура токи на C и L большие, но это токи между C и L (внутри контура). А «внешний»

ток небольшой.

Отключение колебательного контура от источника.

(затухающие колебания).

При отключении контура от источника, независимо от того, какова была частота

источника, начинаются затухающие колебания, и происходят они на «своей»

резонансной частоте (если R невелико).

Это понятно, если представить, что R предельно мало. Тогда мы получаем

колебательный L-C контур с резонансной ω=√ 1/LC . Увеличение R в контуре уменьшает

частоту свободных колебаний при затухании, и при некотором значении R кривая

затухающих колебаний превращается в экспотенциальное убывание до нуля.

Только для ознакомления. При желании вы можете увидеть это, составив

уравнение для ω, как мы делали это на C-R цепочке. Когда напряжение отключается, то

контур «закорачивается» и общее U равно 0 : J·R+J·(i·ωL)J·(--i·1/ωC)=0, J(R+i·ωL - i·1/ωC)=0

-> R+i·ωL- i/ωC=0. Здесь для ω будет квадратное уравнение. И еще там будет видно, что

R немого изменяет ω0. R не должно превышать некоторого критического значения,

иначе колебаний при затухании не будет, слишком велики «потери».

О «потерях». В затующих колебаниях есть важное понялие «добротность». Когда

колебания затухают, то за каждый период колебаний теряется определенная доля

энергии на «активном» сопротивлении (т.е. на R, т.к. на L и C энергия не теряется).

Допустим, за период теряется 1/10, т.е. 10% энергии. Так вот, обратная величина доли

потерь 1/1/10 = 10 называется «добротностью» и обозначается Q. Чем больше Q, тем

дольше идет «затухание». Но надо понимать, что если U уменьшается, скажем, на 10%

за период, то P=U2/R (и энергия за период) уменьшается на 20% (0.92≈0.8).

Вредные резонансы. Многие резонансы вредны в технике и с ними

приходится бороться. Например, когда включается двигатель, его скорость вращения

повышается, как и частота, в соответствии с числом оборотов в секунду. При

этом проходятся частоты, которые могут быть резонансными для всей массы

двигателя как «массы на пружине». На этих частотах двигатель может сорваться.

Некоторые люди, обладающие сильным голосом, могут разрушить

стакан, выбрав «собственную» частоту стакана, как резонансного контура.

В истории были случаи, когда большое подразделение солдат, маршируя

«в ногу», и попав в «собственную частоту» моста, разрушали его. Поэтому теперь

перед входом подразделения на мост следует команда «сбить ногу».

Трансформаторы.

Трансформаторы («преобразователи»). Это еще один «линейный» элемент

переменного тока кроме R, C, L. На трех рисунках показаны трансформаторы разных

видов, с которыми вы так или иначе сталкивались в жизни:

1)в бытовых приборах, скажем, в блоке питания ПК;

2)«понижающий» трансформатор на дачных участках, преобразующие высокое

напряжение в 220 В;

3)в электронных схемах, они состоят из обмоток на ферритовом стержне или кольце.

Трансформаторов много видов.

На рисунке показана принципиальная схема «самого типичного»

трансформатора. Вы видите первичную обмотку (1) с числом витков n1. Она

намотана на сердечник (2), концентрирующего магнитный поток Ф. На

первичную обмотку подается «входное напряжение» U1. А со 2-й обмотки (2) с

числом витков n2 берется «выходное напряжение» U2, которое обычно

подключено к нагрузке (Rн). Можно считать (приближенно), что U2 /U1 ≈ n2/n1 .

Трансформатор позволяет:

1)повышать и понижать переменное напряжение соотношением n2 к n1;

2)«развязывать» 2 электрические цепи (лишать цепи прямого контакта);

3)»согласовывать» входное и выходное сопротивления устройств, что часто важно.

На схемах трансформатор изображается двумя связанными обмотками

(смотри слева).

Почему-то «коэффициент трансформации» k определен как k=n1/n2 , а не

n2/n1 ! Т.е. в «повышающем» трансформаторе, где Uвых/Uвх >1, k<1. Будьте

внимательны.

Теперь о сердечниках, зачем они? Важно, чтоб поток Ф, проходящий внутри

витков одной обмотки проходил и внутри другой обмотки. В принципе, сердечника

может и не быть, он повышает связь обмоток, концентрируя в себе поток Ф.

В «привычных» нам трансформаторах (в бытовых приборах) сердечник

складывается из пластин специальной трансформаторной стали. Такая структура

препятствует возникновению больших «паразитных» вихревых токов в сердечниках,

вызываемых магнитными полями от токов в обмотках. Иначе эти токи вызывают

нагревание сердечника и ведут к потерям в трансформаторе. Пластины плотно

сжимают, иначе они вибрируют от взаимодействия токов в них и обмотках и «гудят».

Обмоток может быть больше двух, если в устройстве требуется несколько

разных напряжений для разных целей.

В больших мощных трансформаторах (на фото выше) весь объем

трансформатора заполняется маслом, которое выполняет 2 роли: 1)масло является

более хорошим изолятором (лучше, чем воздух) между витками обмоток, это важно,

если иметь дело с высокими напряжениями; 2)так решается проблема охлажения,

внутри создается принудительное движение масла, вы можете видеть бак над

трансформатором для охлаждения масла.

Упрощенная схема расчета в трансформаторе.

Не будет большой ошибки, если вы будете считать, что стандартно в рабочем

режиме отношение напряжений с двух сторон (Uвых/Uвх) пропорционально n2/n1:

Uвых=Uвх( n2/n1). У трансформаторов хорошее КПД (95-98%), поэтому можно считать, что

Pвх=Pвых, т.е. Uвх·Jвх = Uвых·Jвых, а значит, во сколько раз увеличивается U, во столько же

раз уменьшается J, и наоборот.

Теперь кратко о режимах работы трансформатора.

Есть 3 режима работы трансформатора: 1)«холостой ход», когда концы

вторичной обмотки разомкнуты; 2) «нагруженный режим», когда выход

подключен к активной нагрузке R; 3) «короткозамкнутый» режим, когда

концы вторичной обмотки замкнуты.

1)Холостой ход. (Самый простой для рассмотрения.)

Концы вторичной обмотки («выход») разомкнуты. В сердечнике общий для обеих

обмоток магнитный поток Ф. В каждом витке обеих обмоток изменение Ф (Ф’) наводит

ЭДС e0. Значит, в обмотке с n витками наводится ЭДС n·e0.

На обмотке n1 имеем напряжение U1 и равное, но противоположное ЭДС

самоиндукции e1=n1·e0 (мы это проходили). Во вторичной разомкнутой обмотке

наводится ЭДС индукции e2=n2·e0. Поскольку тока во вторичной обмотке нет, то

наличие этой обмотки никак не сказывается на всём процессе. В данном случае

очень понятно соотношение U2/U1= n2/n1 . В этом режиме трансформатор ведет

себя просто как индуктивность L с соотношением напряжения и тока Uисх= i·ωL·J .

2)«рабочий режим», с активной нагрузкой Rн на выходе.

Здесь анализировать процессы сложнее, поскольку возбуждаемый во 2-й

обмотке с Rн текущий ток вызывает обратный процесс, ЭДС самоиндукции во

2-й обмотке и ЭДС индукции в 1-й обмотке. Когда мы знакомились с ЭДС

самоиндукции, то говорили, что напряжение может несколько отличаться от U.

Но можно считать приближенно, что U2/U1≈ n2·e0/n1·e0 = n2/n1 . У трансформаторов хорошее КПД (95-98%), поэтому допустимо считать,

что Pвх=Pвых, т.е. U1·J2 = U2·J2, поэтому, что n2/n1≈ U2/U1≈ J1/J2 .

На выходе у нас нагрузка Rн. Значит, U2/J2 = Rн. А каким будет восприниматься

сопротивление на входе, Rвх= U1/J1? Rн/Rвх= (U2/J2 )/( U1/J1 )=(U2/U1)( J1/J2)=(n2/n1)2.

Выше упоминалось использование трансформатора для согласования сопротивлений.

3)«короткозамкнутый» режим, концы вторичной обмотки замыкаются.

Понятно, что незапланированное закорочение 2-й обмотки нежелательно. Летят

искры, идет дым, раскаляется и даже плавится провод 2-й обмотки.

Но этот режим часто используется для определения КПД трансформатора. На

вход подают малое напряжение, такое, чтобы во 2-й обмотке был номинальный (по

работе ток). По полученному входному напряжению и определяют КПД.

При резке металла используется режим, близкий к «короткозамкнутому»,

создающий дугу при замыкании электродов. Для создания дуги важно 2 параметра,

напряжение более 10 В и мощность. «Дуга» - это зона устойчивой плазмы (4-е

состояние вещества из заряженных частиц) и очень высокая температура порядка

10000°C (как на поверхности Солнца). 2-ю обмотку (в ней мало виков) делают из

толстого провода, чтоб уменьшить ее нагрев. Т.е. Василий Петров (смотри далее) мог

получить дугу не доводя U батареи до 1500 В, а повысив мощность источника.

Победа переменного тока (только для сведения).

Давайте на историческом примере рассмотрим процесс развития науки и

внедрения ее достижений (в аспектах нашей темы).

Василий Вл. Петров Павел Н. Яблочков Александр Н. Лодыгин Никола Тесла Томас Эдисон

В 1800 году великий Вольта изобрел гальванический элемент и батарею из них

(«вольтов столб»). Элемент - это пара дисков, медного и цинкового, с

прокладкой, пропитанной кислотой. Это то же, что и 2 стержня, медный и

цинковый, опущенные в кислоту. Они дают ЭДС порядка 1 В. Составленные

в столбик, 10-20 таких элементов дают напряжение порядка 10-20 В.

«Вольтова дуга» Василия Петрова.

А в 1802 году русский физик-экспериментатор, электрик, изобретатель,

впоследствии академик Петербургской академии наук Василий Петров открыл

«вольтову дугу».

Что он сделал? Он решил исследовать высокое напряжение. Сделал

батарею из 4200 тонких медных и цинковых дисков, каждую пару толщиной 2.5

мм, диаметром 3 см. Между дисками пары помещалась салфетка, пропитанная

нашатырным спиртом. Батарея давала напряжение порядка 1700В.

Поднеся близко друг к другу электроды, он получил «электрическую дугу» с очень

высокой температурой порядка 10 000°C. Это дало возможность Петрову с помощью

дуги резать и сваривать металл. Написал об этом книгу в 1803 году. Но она прошла не

очень замеченной в мире. Даже в России во второй половине века о Петрове забыли.

Только в 1886 году информация попалась на глаза одному студенту. Официально в то

время приоритет «дуги» приписывался англичанину Г. Деви. Приоритет был возвращен

Петрову. Сам Деви в 1810 году и не заявлял о своем авторстве, когда он докладывал

Королевскому обществу об этом явлении. Просто, услышав об экспериметнах Петрова,

Деви повторил их.

Развитие электрического освещения.

До середины 19-го столетия (и позже) для освещения пользовались свечами

(самыми разными), керосиновыми лампами, светильным газом (из жира китов и

дельфинов), которым освещали и улицы в городах Европы и Америки.

Сначала прогресс в использовании электричества шел по пути постоянного тока.

Почему? Косность мысли. Электрический ток слишком букально уподобляли потоку

воды в реке, и трудно было представить возможность использования тока, который всё

время меняет направление. Поэтому делались двигатели и генераторы постоянного

тока. Чтобы получать на выходе рамки, вращающейся в магнитном поле, ток одного

направления, для переключения направления тока использовался коллектор со

щетками. Щетки быстро изнашивались, генераторы были ненадежны.

Прогресс электрического освещения (важное звено в использовании

электричества) пошёл двумя направлениями. Важно понимать, что в нем участвовало

очень много изобретателей всего мира. Но первыми из них были Павел Яблочков

(использование дуги) и Александр Лодыгин (лампы накаливания), примерно в одно

время. Легко запоминаемая дата – 1876 год.

Начнем с Яблочкова, его освещения «дугой», т.н. «свечой Яблочкова».

Стремление с детства к изобретательству привело молодого Яблочкова в

Петербург. Увидев там лампу накаливания Лодыгина, получившего на нее патент в

1874 году, загорелся сам идеей электрического освещения. Но выбрал другое

направление – «электрическую дугу», она светила ярче. Ее уже пытались

использовать, но была одна трудность: надо было часто сближать концы угольных

стержней всё время обгоравших. Для этого даже придумали сложное устройство. И

вот Яблочков бился над упрощением всего этого устройства.

Убегая от долгов в Америку, он из-за недостатка средств добрался только до

Парижа. Здесь талантливого изобретателя приютил в своей фирме известный

часовщик Брегет. И вот во Франции Яблочков решил проблему, обратив внимание, как

официант кладет вилку и нож. Угольные стержни он расположил параллельно, разделив

их тонким слоем изолятора (каолина - сорта глины). Каолин испарялся от высокой

температуры по мере сгорание концов угольных стержней.

Но при использовании постоянного тока один стержень сгорал вдвое быстрее.

Яблочков решил и эту проблему, подавая на «свечу» переменное напряжение. Такая

простая свеча горела достаточно долго, полтора часа. Помещенная в матовую колбу,

она производила неотразимое впечатление. В Париже ее начали использовать в

уличных фонарях, на стадионах. Стотреть на чудо собирались толпы парижан.

Называлось это «русским светом».

Яблочков в Париже в 1876 году получил 2 патента, один на «свечу», второй на

устройство, которое мы сейчас называем «трансформатором». В нем использовался

стержневой сердечник. На первичную обмотку подавалось питание от генератора

переменного тока, а вторичных обмоток было несколько. Разное число витков в

разных вторичных обмотках позволяло питать сразу несколько свечей, причем разным

напряжением по необходимости.

«Свеча Яблочкова» шла с триумфом по миру три года (дошла и до России), пока

в 1879 году американец Эдисон не начал массовое производство ламп накаливания, с

конструкцией, «позаимствованной» у Лодыгина. Об этом дальше. За свечой Яблочкова

осталась сфера, где требовались мощные излучатели, например, в прожекторах.

Обратите внимание, началось использование переменного тока.

Теперь о другом направлении - лампе накаливания Лодыгина.

В детстве юный Александр Лодыгин мечтал делать летательные аппараты. Но

планы остались планами из-за отсутствия финансов. Он сосредоточился на проблеме

фонарей для этих аппаратов.

Начал с простой, уже известной схемы. Угольный 2-миллиметровый стержень

(«волосок»), установленный на двух медных стержнях, при подаче напряжения

раскалялся и светил. Сначала угольный волосок сгорал уже через полчаса. Друг и

сотрудник Лодыгина Василий Дидрихсон предложил выкачать из колбы воздух (с

окисляющим кислородом в нем). И лампа начала работать месяц (700 -1000

часов). В 1874 году Лодыгин получил патент на угольную лампу накаливания в

Австрии, Англии, Франции и других странах.

Для популяризации лампы Лодыгин в Петербурге освещал улицу, большой

известный магазин. Имел большой успех, даже организовал акционерное

общество, но на массовое производство не хватало финансирования.

В 1884 году Лодыгину, имеющему связи с революционерами

(народниками), пришлось срочно уехать во Францию. А на выставке в Париже в 1888

лампы Ладыгина были признаны лучшими.

Вскоре в 1888 году он перебирается в Америку и устроивается на ламповый

завод Вестингауза (конкурента Эдисона). И в 1889 году он создал большие проблемы

Эдисону, запатентовав в лампах накаливания использование нити из тугоплавких

металлов, вольфрама, молибдена. Нужные материалы он искал более 10 лет. В 1890 и

в США законодательно подтвердили авторство Лодыгина. Вольфрам и молибден

используются и ныне в лампах накаливания.

За время жизни в Париже и Америке Лодыгин создал много: электромобили,

электропечи. В 1906 Лодыгин устал от заграницы. Вынуждено продал патент на лампы

с вольфрамовой нитью фирме «Дженерал Электрик» (Эдисону) и вернулся в Россию.

Работал по своим направлениям и мечтал заняться аппаратами вертикального взлета,

намного опередив идеей Сикорского. В 1914 началась мировая война, потом

революция в 1917-м. Не сработавшись с новой властью, он эмигрировал в США.

Вернемся к 1879 году, когда к прогрессу электрического освещения

подключился «король изобретателей» Эдисон.

Эдисон и Тесла.

К 1876 году молодой Эдисон (он, Яблочков, Лодыгин - ровесники) утвердился

как изобреталель-предприниматель. До этого зарабатывал на жизнь мелким

усовершенствованием устройств. Существенное его дело - это значительное

увеличение скорости телеграфной связи и расширение ее применения. И когда за

аппарат срочной телеграфной передачи информации по биржевым сделкам он

получил большой гонорар, то создал фирму. Патентовал всё, что только мог, используя

любые методы. Часто к чужому изобретению добавлял небольшое улучшение и

патентовал всё устройство полностью как свое. За жизнь оформил более 1000

патентов (только в Америке). За ним утвердился титул «короля изобретателей».

Вот что пишет о встрече с ним русский художник Василий Верещагин:

«Фонограф занимал за время нашего посещения почетное место, и Эдисон уверял,

что, исправивши в нем кое-что, он пустит его в продажу: за 150 долларов можно

будет иметь самый аппарат, и за 25 центов каждый отдельный валик с речью

государственного человека или короля,…»

Чуть дальше: «Там есть ужасное обыкновение определять цену человека

величиной его капитала – про незнакомого опрашивают: «Что он стоит?» – отвечают,

например: «500 000 долларов, но два года тому назад он стоил миллион». Такой прием

определения значения людей нам, европейцам, малосимпатичен.»

В лампе накаливания, в чьё производство Эдисон включился в 1879 году и

которую сейчас в мире именуют лампой Эдисона, собственно его только патрон,

винтовой цоколь, розетка и вилка (и технология массового производства).

Как всё это происходило?

В 1877 году русский морской офицер Хортинский был по службе в Америке. Он

посетил Эдисона и, желая удивить его, передал ему лампу накаливания Лодыгина и

«свечу Яблочкова». Эдисон внес некоторые небольшие изменения (типа обугленного

бамбука для волоска лампы) и в ноябре 1879 года запатентовал оба устройства как

свои изобретения. Яблочков выступил в печати против американца, заявив, что

Эдисон украл у русских их изобретения.

Но! Эдисон, сугубо как предприниматель, довел лампу до широкого массового

потребления. В том числе меркетинговыми ходами. Например, сначала его лампа

обходилась ему в изготовлении по 1 доллару. Но он несколько лет продавал ее в

убыток за 40 центов. Постепенно довел затраты на производство до 20 центов. И за

счет очень широких продаж, используя мощную рекламу, он за год оправдал все

прошлые убытки.

Уже в 1882 году фирма Эдисона запустила первые электростанции

постоянного тока в Лондоне и на Манхэттене (Нью-Йорк). А к 1887 году в

Соединенных Штатах уже работало более сотни электростанций постоянного тока

Эдисона. Что это были за станции? Каждая могла обеспечивать светом объекты,

удаленные не далее 1.5 км, иначе очень сильно увеличивались потери в проводах.

Первым большие проблемы Эдисону создал Никола Тесла (немного младше его

по возрасту), который устроился к Эдисону в 1884 году и которого Эдисон обманул

через год. Он пообещал сербу-изобретателю 50 000 долларов, если тому удастся

улучшить его, Эдисона, двигатель постоянного тока. Гениальный Тесла вскоре

предложил кучу улучшений! Но когда Тесла напомнил об обещанном вознаграждении,

Эдисон просто отказался платить, заявив, что эмигрант, видимо, плохо понимает

английский язык и американский юмор.

Тесла сразу ушел от Эдисона и начал сотрудничать с его конкурентом

Вестингаузом, который, как и сам Тесла, ориентировался на использование

переменного тока. Он сделал большой вклад в переход использования электричества (и

освещения) на переменный ток. (У Эдисона все системы были ориентированы на

использование постоянного тока.)

Потом Эдисону создал проблему Лодыгин, когда в 1889 году (через 10 лет с

начала лампового бизнеса Эдисона) запантентовал в Америке использование в

лампах нити из вольфрама, работавшей намного дольше, чем с угольной нитью.

Когда у Вестингауза с Теслой наметился успех, опасный для бизнеса Эдисона,

случилось так, что в 1890 году некий преступник был казнен переменным током на

«электрическом стуле». Эдисон организовал компанию против переменного тока,

купленные журналисты начали обливать Вестингауза грязью, хотя он не имел никакого

отношения к «электрическому стулу». Они дали «стулу» прозвище «аппарат Вестингауза».

Фирма Вестингауза была на грани краха. Но вот в 1893 году Николе Тесле и его

инвестору Вестингаузу удалось получить заказ на освещение ярмарки в Чикаго двумя

сотнями тысяч электрических лампочек. Это была победа. А три года спустя, была

построена первая гидроэлектростанция переменного тока на Ниагарском водопаде с

передачей электрической энергии в город Буффало, удаленного на 30 км. Но точка в

споре постоянного и переменного тока была поставлена лишь в конце 2007 году, с

окончательным завершением перехода Нью-Йорка на сети переменного тока.

А великий Никола Тесла еще многое сделал для освоения электричества.

Впрочем, использование постоянного тока на транспорте продолжается и до сих пор.

По историческому фрагменту можно судить какими путями шел и идет прогресс.

Разберем преимущества переменного тока. Вспомните, у Эдисона на каждый

район города требовался свой генератор (электростанция), с удалением не больше 1.5

км, иначе шли большие потери в проводах. Как решалась эта проблема?

Смотрим на рисунок. R - это эквивалент общей нагрузки (все потребители). А r –

общее сопротивление проводов. Точнее, это суммарное сопротивление двух проводов.

(Схему можно представить как последовательное соединение генератора, одного

провода, нагрузки R и второго провода.)

Пусть передаваемая от генератора мощность равна Pген. Помним, P=U·J=R·J2.

Скажем, допустимы потери в проводах Pпров=0.1· Pген. И помним, что Pпров=r·J2.

Только как упрощенный пример. Допустим, что при Uген=220 В предельное

расстояние 1 км. А если (скажем, с помощью трансформатора при переменном токе)

перед передачей в провода повысить напряжение U до 22 000 В (в 100 раз)? Ток

понизится в 100 раз (т.к. передаваемая мощность сохраняется). Мощность, теряемая

в проводах Pпров=r·J2, понизится в 10000 раз. Поэтому потери Pпров останутся в

допустимых рамках , если r увеличить (удлинить провода) в 10000 раз, т.е. до 10000км.

Это сильное упрощение. При использовании переменного тока имеют место

«паразитные» емкости (межу проводами) и индуктивности самих проводов. Реально

при очень дальных передачах напряжение перед передачей поднимают до 500 кВ.

На постоянном токе потери при повышенном напряжении много меньше. Но на

переменном токе очень удобно использование трансформаторов во всех сферах, КПД

которых порядка 0.98.

Глава 9. Проблема относительности.

Специальная теория относительности.

Традиционно в учебниках эта глава называется только как «Специальная теория

относительности» (далее СТО). Это название было дано конкретно подходу Эйнштейна

ко всей Проблеме относительности, подходу, который он сформулировал в своей статье

1905 года. Поэтому название темы «СТО» ограничивает изложение материала в

учебнике, ориентирует на односторонний и трудно излагаемый подход.

Нужно знать, что уже за 10 лет до выхода статьи Эйнштейна «К электродинамике

движущихся тел» в самой Проблеме относительности работала плеяда физиков. И

главные из них Хендрик Лоренц и Анри Пуанкаре являются звездами не меньшей

величины, чем Эйнштейн. К сожалению, информация об их вкладе в проблему, их

подходах остается в тени. (Есть информация в интернете).

Подход Лоренца был основан на

концепции «мирового эфира» и строился, так

сказать, «снизу вверх», подводил «снизу» к

понятию новой версии принципа

относительности с включением в него

«инварианта скорости света» (далее

«инварианта c») как одного из законов физики.

Подход молодого Эйнштейна строился

«сверху вниз», т.е. основывался на

постулировании нового варианта принципа относительности с включением в него

инварианта c. Подход на основе постулатов - это сугубо формальный подход. Эйнштейн

в те годы принципиально исключал само понятие «эфира» из употребления и

рассмотрения. «Зачем это понятие вообще, если его невозможно выявить?» На

просьбу объяснения СТО и инварианта c «в рамках здравого смысла» Эйнштейн

отвечал: «Здравый смысл - это сумма предубеждений, приобретенных до

восемнадцатилетнего возраста». Хотя есть и другой его афоризм: «Если вы не можете

объяснить что-то просто – значит, вы сами не понимаете это до конца».

Пуанкаре считался «математиком номер 1». Он еще в 1900 году исправил

преобразования, найденные Лоренцем, и дал им название «преобразований

Лоренца». И он задолго до Эйнштейна (с 1898 года) писал о возможности новой

трактовки принципа относительности с включением в него инварианта c, т.е.

построении физики на постулатах. Но и Лоренц, и Пуанкаре до конца жизни утверждали

реальность эфира. Относясь с уважением к Эйнштейну, они в то же

время считали, что оба подхода к Проблеме относительности

правомерны.

В современных работах по СТО часто пишут, что пожилые

Лоренц и Пуанкаре просто не были в состоянии постичь

принципиальную новизну подхода Эйнштейна. Это не соответствует

действительности. Лоренц, «физик номер 1» в то время, был до

конца дней полностью «в теме», и даже, когда позже Эйнштейн

создавал Общую теорию относительности (теорию гравитации), он

давал ему свои замечания и Эйнштейн принимал их.

Лоренц полностью усвоил формализм СТО и излагал его в

своих лекциях, однако до конца жизни (1928 год) у него не было

намерения отказываться от представлений об эфире («лишней

сущности», согласно Эйнштейну) и от «истинного» (абсолютного)

времени, определяемому в системе покоящегося эфира (пусть и не обнаруживаемого

экспериментально).

По словам физика Джозефа Лармора, «он (Лоренц) был идеальным

руководителем любого международного конгресса, ибо был самым знающим и

наиболее быстро схватывающим суть дела из всех современных физиков».

А Пуанкаре, кроме того, что писал задолго до Эйнштейна о возможности

«постулатного подхода», предложил также рассматривать проблему в 4-х мерном

пространстве («пространстве-времени»). После 1907 года этот подход был развит

Германом Минковским, а само это 4-мерное пространство получило название

«пространства Минковского». Пуанкаре ушел из жизни в 1912 году, преждевременно.

Эйнштейн в своей работе 1905 года не дал ссылок на работы Пуанкаре и

Лоренца и потом утверждал, что не видел их работ. И только в пожилом возрасте

признал, что смотрел эти работы, но по молодости пренебрег упоминанием. Об этом

сообщил недавно ушедший из жизни российский академик, математик Владимир

Арнольд.

С 1907 года СТО Эйнштейна получила известность. Публичные лекции, ажиотаж

в прессе. Общественность очень хотела, чтобы за СТО и «формулу века» E=mc2

Эйнштейн получил Нобелевскую премию. Но это было невозможно, пока жив был

Лоренц, знающий реальное положение дел, не было конкретно за что. Эйнштейну

присудили Нобелевскую премию только в 1922 году, и совсем по другой теме –

объяснение явления фотоэффекта.

Мы рассмотрим оба подхода, формальный, основанный на постулатах, и

подход, основанный на концепции единого эфира.

История вопроса.

Сам Принцип относительности был сформулирован еще Галилеем. Он означает,

что все инерциальные системы неразличимы в смысле законов физики. ("В закрытом,

звукоизолированном вагоне никак нельзя определить, стоит он или движется

равномерно"). Напомним, что инерциальная система - это система, движущаяся

равномерно, прямолинейно, без поворотов.

Уравнения Максвелла. (С чего всё началось.)

Вы видите на рисунке систему уравнений Максвелла (ориентировочно 1865

года), в которой он в математической форме сумел описать всю совокупность законов

электричества.

Трактовки уравнений этой системы в

несколько ином виде известны школьникам как

законы электричества. Скажем, 1-е уравнение

можно трактовать так, что «количество силовых

линий E из единичного объема прямо связано с

зарядом внутри этого единичного объема.

То же можно сказать и об остальных

уравнениях.

Если рассмотреть уравнения Максвелла в

пустом пространстве (вакууме), т.е. при отсутствии зарядов и токов (ρ=0, J=0), то

оказывается, что вся совокупность уравнений сводится к

одному очень известному уравнению, т.н. классическому

волновому уравнению.

Оно означает, что электрическое поле E распространяется в виде волн в пустом

пространстве. Оно описывает любую волновую картинку во времени для т.н.

классической волновой среды с волновой скоростью «c», стоящей в последнем члене.

Но надо подчеркнуть особо, что волновое уравнение имеет такой вид только в

системе, связанной с самой волновой средой. И вот на этой почве и возникла

в физике Проблема относительности. Разберем противоречие.

Разберем противоречие.

Сама система электрических уравнений Максвелла должна быть (по идее)

справедливой для любой инерциальной системы, поскольку законы электричества

должны быть справедливы в любой инерциальной системе (принцип относительности).

Но тогда это значит, что в любой инерциальной системе электромагнитные волны

должны распространяться одинаково, и одинаково во всех направлениях. В данном

случае скорость «c» получалась равной 300 000 км/сек, т.е. точно такой же, как и

измеренная ранее скорость световых волн. И в каждой инерциальной системе эти

волны должны вести себя точно так же, как в системе, связанной с волновой средой.

Получалось парадоксальное явление инварианта скорости электромагнитных волн (и

света) для всех инерциальных систем.

Это противоречит нашему здравому смыслу: скорость

волн должна зависеть от нашего движения относительно

предполагаемой волновой среды - эфира.

Что это? Неточность самих уравнений? Или какой-то

новый принцип? Так возникла Проблема относительности,

которой физика "плотно" занялась с 1881 года, с опыта

Майкельсона.

Опыты по обнаружению движения относительно эфира.

Интерферометр Майкельсона.

В 1881 году Майкельсон решил найти экспериментально, как мы

движемся относительно предполагаемой волновой среды– эфира. (Раз есть

волны, значит, должна быть и волновая среда). Он считал, что, сравнивая

скорость световых волн в разных направлениях, можно найти направление и

скорость нашего движения относительно эфира. Им был изобретен тонкий

прибор интерферометр.

В этом приборе входящий монохромный , т.е. строго одной частоты, луч

раздваивается на полупрозрачном зеркале на «продольный» и

«поперечный». Оба луча после отражения от зеркала на своем пути, снова

соединяются, интерферируя (т.е. складываясь), и создают «картину» на

экране. Длины обоих путей делаются одинаковыми. И если интерферометр

покоится относительно эфира, то в приборе оба луча должны иметь

одинаковые пути и, значит, интерферируя, должны создавать некую

картину в центре экрана.

При продольном движении этого прибора относительно

предполагаемой среды условия распространения двух лучей изменяются и

должна появиться и проявиться разница в длинах их путей. Разница длин

путей всего лишь в малую долю от одной длины волны (это невероятно

мало) должна изменять картинку на экране. Майкельсон предполагал

найти выделенное направление нашего движения в эфире, поворачивая прибор.

Выделенных направлений эксперимент не выявил.

Чтобы быть точным. В этом первом интерферометре Майкельсона Лоренц

выявил ошибку в расчетах, несоответствие заявленной точности. Повторный

эксперимент был проведен Майкельсоном совместно с Морли в 1887 году.

Эксперимент позволял в пределах своей точности делать утверждение об инварианте c.

Для сведения. Аналогичные эксперименты повторялись и повторяются сейчас с

увеличением точности, в разных условиях (на разной высоте). Есть «вопросы», но они

не позволяют отвергнуть инвариант c. И надо понимать еще одну важную вещь. Когда

вы «снизу - вверх» приходите к «инварианту», то какое-то его нарушение не опровергает

подход, а только говорит о некотором ограничении подхода. А вот для подхода «сверху

вниз» (т.е. постулирования) всякий отрицательный результат очень чувствителен.

Лоренц.

Лоренц занимался многими направлениями физики. Тогда это

было возможно. Но основное его направление – это «электронная

теория». Это сейчас нам кажется естественным, что атом состоит из

тяжелого положительно заряженного ядра и легких электронов с таким

же суммарным зарядом, но отрицательным. Тогда ничего этого известно

не было. Это была гипотеза Лоренца, которой он объяснял многие

странные оптические явления, как и проводимость. По его гипотезе

внешние электромагнитные волны заставляли колебаться электроны,

которые этими своими колебаниями изменяли первичные падающие волны. Также

вспомните «силу Лоренца» на заряд, движущийся в магнитном поле.

Проведя анализ опытов Майкельсона-Морли, Лоренц указал, что если допустить,

что все частицы нашего вещества при общем движении в эфире искажаются

(сокращаются) в направлении движения, то эксперименты типа Майкельсона-Морли

не должны выявить какой-то результат в интерферометре. Сам прибор, искажаясь,

компенсирует этим разницу длин лучей, которую предполагали выявить.

Также Лоренц, много занимаясь оптикой в движущихся средах, понял, как в

движущейся системе должны искажаться (модифицироваться) продольная к движению

координата (x’) и время (t’), а также поля E и B, чтобы и в этой системе выполнялись

уравнения Максвелла (а значит и инвариант c). Т.е. он нашел, как должны

«соотноситься» перечисленные понятия в обеих системах.

Преобразования Лоренца.

Вы можете заметить, что по сравнению с привычными для нас

преобразованиями Галилея в продольной к движению оси x x’=x-vt

появляется дополнительные искажения. Появляются и особенно

неожиданные для нас искажения времени t. Что вы должны усвоить здесь и

сейчас? Важно запомнить, что есть 3 искажения с точки зрения внешнего,

«покоящегося» наблюдателя (далее Пок.Сис.) в движущейся системе (далее

Дв.Сис.). Важно усвоить перечень этих искажений.

1)t’ воспринимается наблюдателем замедленным;

2)наблюдатель одновременно для себя видит разное t’ в разных точках в

Дв.Сис, т.е. t’ зависит от положения на оси x (можно сказать, от значения x’);

3)движущееся тело (вся Дв.Сис.) для наблюдателя продольно сокращается.

Как это и почему, мы будем разбирать еще 2 раза позже (не сложно). А сейчас

посмотрим, как всё это видно в преобразованиях Лоренца, можете не запоминать. И

еще надо усвоить сейчас, что такое множитель , называемый «фактором Лоренца».

=1/(1-v²/c²). Отметьте, что (1- v²/c²) всегда<1, а >1. t’ замедляется как раз на фактор

Лоренца, а продольный размер x’ сокращается на фактор Лоренца.

Начнем с самого простого здесь, с пояснения 3) – «продольного

сокращения». Смотрим x’=… По сравнению с галилеевым

преобразованием x’=(x-vt), лоренцево умножается еще на фактор

Лоренца >1. Т.е. Δx’ реально больше, чем воспринимаемо по метрике наблюдателя:

Δ(x-vt). Т.е. имеет место сокращение длины Δx’ в восприятии наблюдателя.

Что касается 2), «зависимости t’ от x». Из формулы t’=… видно, что t’

зависит от координаты x ( а значит и x’ тела). Разные точки движущегося

тела наблюдатель видит в разные моменты «его» (тела) ремени t’.

Установка каждого момента t’ бежит в сторону движения Дв.Сис в

наблюдаемой Дв.Сис. Смотрим, скажем, скорость «установки» момента t’=0.

Из t’=t- v/ c² ·x= 0 следует Vt’=x/t=c ·c/v . Это «невероятная» скорость. На этой

скорости идет для наблюдателя установка каждого момента в Дв.Сис. И с

этой скоростью c ·c/v мы еще встретимся неоднократно.

Что касается 1), «замедления времени t’ в движущемся теле». Дальше это

свойство будет объяснено очень просто. Получить его из преобразований

Лоренца немного сложней. Надо написать уравнение для t’ в приращениях (Δ). И

учесть, что сама точка, где считается Δt’ перемещается вместе с системой: (Δx/Δt=v).

После сокращения получается Δt’= Δt·(1-v²/c²). Это и есть замедление для наблюдателя.

Пару слов о том, что из преобразований Лоренца уже следует, что в любой

системе скорость световой волны не превышает c (инвариант c). Если, скажем, Дв.Сис.

движется вправо со скоростью c, а в ней световая волна тоже движется вправо со

скоростью c, то и в Пок.Сис. скорость волны будет c, а не 2c. Показать это не сложно.

Учтите, что рассмотренные только что нами «странные» свойства пространства-

времени, которые обычно приписывают СТО, уже следуют из преобразований

Лоренца.

Пуанкаре.

Пуанкаре - математик «номер 1» того времени. Объем его

творчества огромен, как и сфера его интересов. Космические проблемы,

принципиальные вопросы физики, математики. Оставил большой

перечень математических проблем. Недавно российский математик

Григорий Перельман решил одну из них.

До 1905 года он уже 10 лет занимался проблемой относительности.

Всё, о чем писал молодой Эйнштейн, Пуанкаре писал ранее, но обсуждал

конкретные аспекты. Он не мог написать «цельный» труд по этой

проблеме, как это сделал Эйнштейн. Этически это бы означало, что он всю проблему

«подминал под себя». Его скромность отмечали все. Он раздавал свои идеи,

совершенно не беспокоясь о проблеме авторства.

Но он безальтернативно держался идеи эфира, хотя сам давно писал о

возможности альтернативного, «постулатого», сугубо математического подхода.

Эйнштейн.

В 1905 году молодой никому не известный служащий патентного

бюро публикует 3 работы по проблемам физики, две из которых известные

физики обсуждали до него уже 10 лет. Пишет, не ссылаясь ни на чьи работы.

1-я статья по проблеме относительности («К электродинамике

движущихся тел»).

2-я статья с выводом «формулы века» E=mc2: «Об одной эвристической точке

зрения, касающейся и превращения света».

3-я статья «О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом

молекулярно-кинетической теорией теплоты» была посвящена броуновскому

движению частиц (от случайных их соударений с находящимися рядом атомами).

Нас сейчас интересуют две первые статьи.

Статья «К электродинамике движущихся тел».

Начитается с отрицания использования понятия «светоносного эфира» и

«абсолютно покоящегося пространства». И формулируется новый принцип

относительности, как для законов механики и законов электричества, так и с

включением сюда же одинаковость скорости света во всех направлениях. (инвариант c у

нас). В отличие от Пуанкаре, который в отношении «постулатного подхода» использует

термин «возможен», Эйнштейн пишет как о единственно правильном.

Далее обсуждается проблема невозможности построения общего времени для

всего пространства, но в движущихся относительно друг друга системах. Об этом

Пуанкаре уже писал.

Далее, исследуя движение света по определенным схемам, используя

постулированный инвариант c, он выводит искажения, соответствующие

преобразованиям Лоренца, а также изменение частоты, напряженность полей E и B.

Но во 2-й половине статьи, там, где показывается преобразование E-, B-

компонент, есть очень интересный момент, демонстрирующий новый, формальный,

но эффективный метод преобразования разных физических понятий.

Заключается он в следующем. Скажем, берется одно дифференциальное

уравнение из системы уравнений Максвелла. Получив перед этим дифференциальные

соотношения между Δx, Δt, Δx’, Δt’, взятое уравнение переписывается уже в x’ и t’, т.е. в

координатах и времени Дв.Сис. Потом полученное выражение «собирается» так, чтобы

повторить структуру исходного уравнения. И подвыражение, полученное, скажем, на

месте E в исходном уравнении должно соответствовать E в Дв.Сис.

Это общий метод, просто позволяющий находить преобразование любого

понятия при переходе из системы в систему. Думаю, именно подобные методы очень

понравился тогда многим физикам-практикам. Формально, но достаточно просто.

Статья «Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и

превращения света». (Вывод E=mc2).

Эта формула в разных вариантах опубликовывалась до Эйнштейна другими

физиками. Но не в таком конкретном виде. Здесь, в статье, предложена интересная

схема с «изюминкой». Мы ее обсудим и воспользуемся самой этой схемой.

Но, есть одно «но». Везде по теме «относительности» говорится, что Эйнштейн

создал СТО, и с ее помощью вывел «формулу века». Это заблуждение. Вывод этой

формулы не требует СТО. Да, Эйнштейн использовал СТО, но скорее всего, он хотел

продемонстрировать СТО в действии.

Формула выводится по этой же схеме совсем просто, и в рамках классической

физики, поскольку в получении энергии покоя частицы E0 речь идет о малых скоростях

v (это скорость 2-й, Дв.Сис. наблюдения явления).

В чем «изюминка» схемы?

Тело с массой m излучает в противоположные стороны 2 одинаковые

электромагнитные волны. Это явление рассматривается в двух системах, в

системе, связанной с телом (Пок.Сис.), и в другой (Дв.Сис.), в которой тело

движется. «Изюминкой» является то, что в Пок.Сис. из-за противоположности

волн тело после излучения остается на месте. А это значит, что в движущейся

системе после излучения тело продолжает двигаться с прежней скоростью v,

не изменяя своей скорости. Как увидим, это очень удобная схема.

Простой вывод формулы E=mc² по схеме Эйнштейна.

Итак, частица с массой m излучает 2 одинаковые электромагнитные волны (без

«массы покоя»), каждая с определенной энергией (скажем, E) в противоположные

стороны. Эйнштейн рассматривает суммарную энергию двух волн в двух системах и

для получения их энергии в Дв.Сис. он использует СТО.

Но мы, в отличии от Эйнштейна, будем рассматривать не энергию волн, а их

импульсы. А для бегущих электромагнитных волн, их фрагментов, связь E= p·c была

найдена теоретически еще Максвеллом, и опытно подтверждена Лебедевым в 1899 г.

И очень давно было известно, что направление световых волн зависит от движения

«наблюдателя».

Т.е. уже в классической физике известны объекты с массой покоя, у которых

Eкин=m·v²/2 и p=m·v . И известны объекты (электромагнитные волны, их фрагменты)

без массы покоя, движущиеся всегда со скоростью света c , и соотношением между

энергией и импульсом E= p·c .

Теперь пару слов, как всё получается.

На рисунке упомянутое явление показано в двух системах.

1-я система связана с частицей (Пок.Сис., слева), в ней частица

покоится, излучая 2 противоположные волны (не имеющих

массы покоя). 2-я система движется относительно частицы со

скоростью v вправо (Дв.Сис.), перпендикулярно оси излученния

волн. В этой системе частица движется влево со скоростью v. (На

рисунке показаны 3 последовательные момента времени этого

явления: «до», в момент излучения, и «после»).

Ясно, что в Пок.Сис. частица после излучения остается на

том же месте, поскольку векторная сумма импульсов противоположных волн равна

нулю. А это значит, что в Дв.Сис. после излучения частица должна будет продолжать

двигаться с прежней скоростью v влево.

Но в Дв.Сис. из-за ее движения вправо, очевидно, что направления движения

указанных волн уже не противоположны, их траектории имеют уклон влево. по

соотношению v и c. Импульсы волн всегда направлены по направлению их движения.

Поэтому у каждой волны появляется составляющая их импульса p влево по

соотношению dp/p=v/c. Значит, в Дв.Сис. общий импульс обеих волн, как векторная

сумма, будет 2dp. А, значит, при излучении они забирают часть от импульса частицы,

который в классической физике равен: pмассы =m·v. Но скорость частицы v (как

отмечалось) не изменяется. Значит, при излучении должна уменьшиться масса

частицы на некоторое значение Δm.

Запишем в Дв.Сис. закон сохранения импульса, запишем в модулях, т.е. без

лишних "минусов" в выражениях. Помним, что v<<c. Обе волны забирают импульс 2dp

влево. dp каждой волны равны dp=p·v/c. А импульс p каждой волны выражается через

ее энергию p=E/c. Получаем dm·v=2·dp=2(E/c)(v/c) . v уходит из выражения, она есть в

обеих частях. Получаем, что Δm (так называемый дефект массы) выражается через

теряемую при излучении общую энергию волн Δm=(2E)/c². Свойства и величина Δm

не могут зависеть от направления движения 2-й системы по отношению к

направлению волн.

Очень просто получили известную формулу. Остальное не сложнее.

Теперь мы рассмотрим и «постулатный», и «эфирный» подходы.

Постулатный подход.

Итак, постулируется Принцип относительности с включением в него и

инварианта c. И смотрим, что из этого следует на основе логических выводов.

Замедление времени в Дв.Сис. для наблюдателя из Пок.Сис.

Видим на рисунке 2 одинаковых объекта, один

в покое (Пок.Сис.), другой в движении со скоростью v

вправо (Дв.Сис.). В каждом установлено 2 зеркала по

бокам. Луч света отражается в них циклический.

Скажем, каждый цикл – это «тик» часов на объекте.

С точки зрения покоящегося наблюдателя путь

луча на движущемся объекте удлиняется. Поскольку в самой Дв.Сис. скорость света и

время «тика» такое же как в Пок.Сис., то время на движущемся объекте для внешнего

наблюдателя должно идти замедленно. Во сколько раз?

Поперечный размер объекта считается неизменным. Смотрим удлинение пути

по треугольнику с соотношения сторон c и v. Поперечный катет треугольника (c2-v2).

Удлинение пути луча (и замедление времени) c/(c2

-v2

) =1/(1-v2

/c2

) = - фактор Лоренца.

Неодновременность времени в наблюдаемом объекте.

В той же предыдущей схеме с часами, рассмотрим

движение фронта световой волны. Смотрим, как фронт

волны пересекает любую продольную линию на их пути.

В Пок.Сис. фронт по всей длине одновременно

пересекает линию. Соответствующий фронт, но в Дв.Сис.

наблюдатель из Пок.Сис. видит наклонным, поскольку луч в

«часах» должен компенсировать смещение объекта вправо

со скоростью v.

Но в самой Дв.Сис. фронт этой волны должен восприниматься одновременно

пересекающим линию. Это может быть объяснено только тем, что в Дв.Сис. время

организовано по-иному, чем в Пок.Сис. Можно считать, что каждому фронту данной

волны соответствует разный момент t’, что и «видит» наблюдатель из Пок.Сис.

С какой скоростью бежит по оси x установка каждого момента времени t’?

Проанализируем. Возьмем какую-то точку пересечения продольной линии каким-

нибудь фронтом (точка A). Этот фронт движется со скоростью c и точка A перейдет в

точку A’. Но точка пересечения фронтом линии сместится в точку A”. По соотношению

сторон треугольника видно, что скорость смещения A по оси x идет в (c/v) раз больше

скорости c. То есть скорость установки каждого момента t’ по оси x идет со скоростью

c(c/v). То есть это то, что мы видели, исследуя преобразования Лоренца.

Продольное сокращение.

Чтобы разобраться с продольным сокращением объекта при

движении, рассмотрим объект, в котором двое «часов», по оси

y, и по оси x. Примем, что в Пок.Сис. длины путей одинаковы

(L), и время циклов одинаковы – 2L/c.

Теперь ту же картину наблюдаем в Дв.Сис из Пок.Сис.

Временно не учитываем продольного сокращения по оси x Дв.Сис.

Цикл по оси y замедлится в раз из-за необходимого наклона при движении

объекта. Ty=2L· 1/√(1- v²/c²) .

По оси x немного сложнее. Двигаясь вправо волна догоняет противоположную

стенку. Время прохода волны вправо L/(c-v), а время прохода влево L/(c+v). Время

цикла Tx = L/(c-v)+L/(c+v) = L(1/(c-v)+ 1/(c-v)) = L· 2c/(1- v²/c²)=2L·1/(1- v²/c²) . Но оба цикла должны быть одинаковы, они связаны между собой. И

единственный способом сделать циклы 2L· 1/√(1- v²/c²) и 2L·1/(1- v²/c²) одинаковыми – это

принять, что продольный размер объекта при движении для наблюдателя должен

сократиться в =1/√(1- v²/c²) раз. По сути, мы разобрали работу интерферометра.

Изменения механики в СТО.

В СТО обновляются категории энергии и импульса. Что мы имеем в

классической физике? Для объектов с массой импульс равен p=m·v, и кинетическая

энергия равна Eкин=m·v²/2.

В СТО и в механике возникает лоренц-фактор =1/(1- v²/c²) . У

объектов с массой появляется понятие энергии покоя E0=mc2. А

что же с Eкин=m·v²/2? При движении объекта просто происходит

увеличении энергии объекта за счет лоренц-фактора . И Eкин - это избыток, дополнение

к E0 при малых скоростях v за счет . Т.е. E приближенно при движении с v<<c:

E=m·c²/√(1- v²/c²) ≈ m·c² +m·v²/2.

Как получается приближение? Используем 2 простых приближения для малых a:

√(1+a) ≈1+a/2 и 1/(1+a) ≈1-a. Можете проверить. Получается 1/√(1- a) ≈ 1+a/2.

Постоянная часть энергии E0=mc2 никак себя не проявляет, пока речь не

заходит о ядерных реакциях. Поэтому классическая физика обходилась без этой части.

Теперь, что касается нового вида импульса p=mv/(1- v²/c²). При увеличении v и

приближении v к c импульс возрастает неограниченно. Поэтому разогнать тело до

скорости c невозможно. Формулы для E и p в СТО выводятся, но достаточно «хитро».

Вопрос о превышении скорости выше c в любой системе в «постулатном»

подходе не стоит, он следует из самого постулата инварианта c.

Надо отметить, что, несмотря на формализм подхода СТО, его затруднительного

объяснения, его отрицания «здравого смысла», у него много сторонников. Мало того,

сама трудность понимания СТО создает ей ореол «гениальности». И еще факт. Именно с

СТО вся современная физика стала приобретать всё более формальный характер.

«Эфирный подход» в проблеме относительности.

В подходе предполагается существование «единого эфира» - волновой среды.

Давайте на предельно простом примере посмотрим, как может возникать

принцип относительности с инвариантом c.

Пусть в нашем выдуманном мире объектами являются «волновые картинки» от

неких вибраторов. Т.е. разбегающиеся от вибраторов «картинки» - сферические волны.

1)Вот как выглядят (см. ниже, верхняя половина рисунка) расходящиеся волны

от точечного источника (слева), реально покоящегося относительно волновой среды

(эфира), и от трех источников (справа), движущихся с одинаковой скоростью v вправо.

Здесь у нас движущиеся источники сопровождаются связанной с ними обычной

системой координат (галилеевой, не лоренцевой).

Видно, что волны от движущихся источников, как для внешнего наблюдателя,

так и в их Дв.Сис., разрежены сзади и уплотнены спереди из-за перемещения самих

источников вправо относительно среды. Т.е. в этой Дв.Сис. скорость волн зависит от

направления (это степень удаленности волны от источника в разных направлениях).

2) А можно ли сделать так, чтобы образцы в самой Дв.Сис.

стали выглядеть симметричными? Можно. Например, для этого

можно переорганизовать категорию времени в Дв.Сис. (t на t').

Как это сделать, чтобы в любой один момент t’ в Дв.Сис.

картины движущихся объектов стали выглядеть симметричными?

Картины движущихся объектов в «реальном» времени t имеют

сзади движущегося объекта «избыток», спереди – «недостаток».

Надо представить дело так, что сзади объекта фаза t’ больше, чем

в центре объекта, и «как бы» поэтому волна успела отойти дальше

от центра. А в передней части представить, что фаза t’ меньше,

чем в центре. Тогда, если рассмотреть всю картинку в один

момент t’, картинка будет выглядеть симметричной. Мы ввели

зависимость t’ от положения относительно центра (или от

положения на оси x).

При такой организации t’, с его фазой, зависимой от значения x, с опережением

для наблюдателя фазы t’ сзади и отставанием спереди все 3 движущиеся совместно с

одной скоростью v объекта станут симметричными. Все три.

3) Но тогда из Дв.Сис. с такой организацией t’, из-за свойства уплотнять картину

волн слева и разрежать справа, левая картинка реально покоящегося относительно

эфира объекта в этом времени t', кроме понятного движения влево, станет выглядеть

искаженной, уплотненной слева и разреженной справа. Т.е. так, как у объекта,

движущегося влево относительно среды. Таким образом, обе системы становятся

равноценными в том смысле, что в каждой из них волны распространяются как в

системе, связанной со средой, т.е. независимой от направления. А искажения других

систем при наблюдении из этих Дв.Сис. будут зависеть только от скорости этих других

систем относительно системы наблюдателя.

Выявить для рассматриваемых объектов из их систем, какие из систем реально

покоятся относительно эфира невозможно.

4) Вот, упрощенно, в чем суть систем Лоренца с их преобразованиями. Почему

из возможных вариантов организации своего пространства-времени, их объекты

«выбирают» те, в которых «их» мир выглядит симметричным? Как возможные в

принципе и как самые простые.

В отношении рассмотренного введения в преобразование времени

зависимости от продольной координаты в СТО обычно рассказывают, что в СТО время

преобразуется в пространство и наоборот. Представляете, что происходит с мозгами

слушающих людей в этот момент?

Итак, возможная модель-интерпретация.

О роли моделей в физике.

Модели очень полезны. Позволяют подключить, кроме логики, к пониманию

определенных аспектов физики дополнительно наши ощущения, чувства, ассоциации.

Но надо понимать и ограниченный характер любой модели. Любой!

И еще. Разными моделями можно получить одинаковые выводы и результаты.

Например, модель атома Бора, в которой электроны в атоме представлены волнами,

движущимися по круговым траекториям. Модель разрешает те орбиты, на которых

укладывается точно целое число волн. Модель дала набор возможных энергетических

уровней электронов. И точно тот же набор уровней дала впоследствии квантовая

механика, где электроны описывались некими 3-мерными волновыми уравнениями.

Предлагаемая модель частиц.

Итак, надо построить модель, позволяющую «в рамках здравого смысла», на

идее «единого эфира» понять и объяснить инвариант c, смысл преобразований

Лоренца, формулы E=m·c²/√(1- v²/c²) , P=m·v/√(1- v²/c²) для частиц с массой и еще другие вещи.

В 1904 году Планк открыл закон, подтвержденный потом в опытах: свет – это

объекты явно электромагнитной волновой природы типа «бегущей волны», но в то же

время и своеобразные частицы (фотоны) сохраняющие E= ν·h. Т.е. энергия и частота в

этих волновых объектах жестко связаны. А в 1923 году де Бройль предложил

использовать закон Планка и для частиц с массой, выразив их энергию через массу

(E= m·с²). Он получил некую частоту ν= E/h, и эта частота реально была выявлена у

частиц с массой в экспериментах. Имеется общность природы обоих типов объектов!

Попробуем логически построить самую простую модель для понимания

Проблемы относительности.

1) Вернемся к предложенному Эйнштейном «мысленному эксперименту» -

излучению частицей двух одинаковых, но противоположных электромагнитных

бегущих волн, не имеющих массы, но уменьшающих массу частицы при излучении.

Задумайтесь. Теряемый элемент массы частицы обязан быть эквивалентен паре

противоположных волн и по энергии, и по импульсу, причем во всех системах

наблюдения. Т.е. именно свойства пары противоположных волн распространяются по

всем своим свойствам на элемент массы, а значит и на всю частицу с массой.

2) Зададимся вопросом: а до излучения,

чем была представлена эта теряемая масса,

чтобы и до излучения быть эквивалентной во всех

отношениях паре волн. Внутри частицы эта пара

может быть только парой противоположных волн-гармоник, зацикленных друг на друга.

То есть быть элементом "стоячей волны". А вся масса должна быть набором

подобных пар. Может быть, другой частоты, скорее всего частоты, полученной де

Бройлем. Возможно, других направлений, поскольку свойства массы не могут

зависеть от направления излучения. Получаем важный аргумент в пользу того, что

частица с массой может быть представлена волновым объектом типа стоячая волна.

По крайней мере, масса именно так обязана проявлять себя "наружу" в соответствии с

«мысленным экспериментом» Эйнштейна: набором пар волн (или просто набором

волн).

3) Модель предполагает, что на реальной волновой среде (эфире) наш

материальный мир представлен волновыми объектами двух типов. Именно: частицы

без массы представлены волновыми объектами типа "бегущая волна", а частицы с

массой представлены волновыми объектами типа "стоячая волна", которые могут

перемещаться, т.е. двигаться. "Стоячая волна"- это колебания на одном месте. Стоячая

волна представляется сложением совокупности противоположных гармоник - бегущих

волн. Вспомним колебания на струне с закрепленными концами, или "пляску" волн в

стакане с чаем. Дотроньтесь до поверхности чая в стакане. Побежит волна, которая

отразится от стенок. Если правильно подобрать частоту в центре поверхности, то

возникнет стоячая волна.

4) Заметим, что локализованная бегущая волна (фотон), в общем, не вызывает

неприятия нашим здравым смыслом, хотя, с точки зрения физики, здесь есть вопросы.

Возможно, свойство локализации связано с тем, что наш "эфир" (как волновая среда)

несколько отличается от классической волновой среды (не будем излишне

фантазировать и усложнять нашу модель).

Для объяснения механизма возвратной волны в стоячей волне можно

предположить, что единственное возможное направление движения энергии в фотоне

при высокой концентрации энергии тоже закрывается. Расположенные в сферической

стоячей волне вокруг «центра» сферические зоны сильных колебаний («пучностей»)

могут формировать периодические зоны неоднородностей на самой волновой

среде. Они идут через каждые полволны от центра. А это лучшие положения для

формирования отраженной волны, поскольку в этом случае все отраженные

волны складываются «в фазе».

5)Дополнительный довод. Совпадение числа типов частиц («без массы покоя» и

«с массой покоя») и числа типов волновых форм («бегущая волна» и «стоячая волна»).

Мысль Эйнштейна о том, что микрообъекты с массой нашего мира - это

энергия, можно конкретизировать для этой простой модели: это волновая энергия.

Простой вывод формул E=m·c²/√(1- v²/c²) и p=m·v/√(1- v²/c²) для частиц с массой.

Итак, предполагается, что частица

с массой в покое - это совокупность

бегущих волн одной частоты,

направленных во все стороны,

синфазных в некой точке – «центре

частицы». При движении объекта

волновая картина несколько

изменяется. При движении частицы с

какой-то скоростью v перемешается центр частицы. Все гармоники при этом

несколько меняют свои направления и частоты, так, чтобы остаться синфазными в

этом перемещающемся центре.

При этом увеличивается общая суммарная энергия гармоник E и появляется

общий, суммарный по всем гармоникам импульс p, который был равен нулю при

покое частицы.

Для анализа удобно представлять частицу как совокупность пар

противоположных гармоник - бегущих волн.

Проще всего эти изменения в гармониках, их парах, при

движении объекта проявляются на конкретной паре гармоник, именно,

паре гармоник, поперечных в покое к последующему движению с v.

Как мы уже разбирали, для внешнего наблюдателя из Пок.Сис.

направление этих гармоник должны быть наклонены с соотношением v и c, чтобы

компенсировать движение объекта со скоростью v и восприниматься в Дв.Сис.

поперечными. А в остальных парах изменения E и p при движении точно такие же.

Будьте внимательны. Обозначения E, p, dp будут использоваться и для одного

вектора, и для пары, и для всей совокупности гармоник, т.е. всего объекта.

И помним: для бегущей волны E=p·c.

Для одного вектора-гармоники:

1)Импульс p гармоники всегда должен быть направлен по

направлению гармоники, в данном случае по соотношению v и c.

2) Вектор dp ( добавка к вектору p0) должен по направлению

совпадать с направлением движения частицы v.

Значит, p (его модуль) гармоники по сравнению с p0

увеличится на множитель c/√( c²-v²) = 1/√(1- v²/c²) (лоренц-фактор). А

значит, в той же пропорции увеличивается и E0: E=E0/√(1- v²/c²) ,

Для совокупностей гармоник.

Последнее выражение для E справедливо и данной пары гармоник.

А так как волновые картинки всех пар в каждой точке связаны (по фазам и

амплитудам), то это соотношение должно быть справедливо и по каждой паре, и по

всему объекту целом: E= mc²/√(1- v²/c²) ,

Теперь об импульсе p по нашей паре. pпары – это 2·dp=2·|p0|· v/√(c²- v²) =

= E0/c · v/√(c²- v²) = E0/ √(1- v²/c²) c² · v= Eпары· · v /c²

Это справедливо по каждой паре и для всей частицы: p= E · v /c² = m·v/√(1- v²/c²) .

Мы еще вернемся к вопросу энергии и импульса частиц, но на другом

принципе, на изменении энергии гармоник из-за изменения их частот. В том числе

обсудим эти же отношения для продольных к движению гармоник, выведя изменения

их частот: в √((c+v)/(c-v)) раз для «догоняющей» гармоники и в √((c-v)/(c+v)) - для «встречной»

гармоники. Но для этого там нам потребуется обсудить смысл закона Планка E= ν·h.

А сейчас обсудим, откуда берутся искажения преобразований Лоренца.

1-й вид искажений. Замедление времени. Если

рассмотреть упомянутую поперечную пару в покое и

движении, то видно, что из-за наклона гармоник в движении и

при сохранении поперечного размера объекта суммарная

длина циклической траектории увеличивается в β раз. А

поскольку все гармоники в движущемся объекте связаны, то все колебания в каждой

точке должны замедлиться, т.е. замедляется время в движущемся объекте.

2-й вид искажений. Нарушение синхронности.

Мы уже делали это, смотрели пересечение наклонной

гармоники, соответствующей в Дв.Сис. поперечной к продольной

линии. Для того, чтобы в один момент t’ пересечение происходило

«одновременно» в Дв.Сис. нужно, чтобы t’ зависело от x.

Скорость установки каждого момента t’ (фазы времени) для наблюдателя из

Пок.Сис. бежит вперед со скоростью Vф , которая больше c в c/v раз (Vф=c·c/v), то есть

значительно быстрее скорости света c. Но это не «реальная» скорость, а «кажущаяся».

По рисунку видно, что длина этой волны Λ по сравнению с длиной волны гармоники λ

увеличивается в c/v раз (Λ= λ·c/v).

Поскольку во всех парах, как в покое, так и в движении фазовые сооьношения

сохраняются, то рассмотренная картина имеет место и остальных парах, и по всей

структуре частицы. В покое колебания по всей волновой структуре синхронны. А при

движении частицы по всей ее волновой структуре «бежит» некая «волна фазы

колебаний» вдоль оси x. Получается "как бы" бегущая вперед по объекту некая волна

со скоростью Vф и длиной волны Λ. Это т.н. «волна де Бройля», ответственная за

квантовые явления.

Уже речь шла о наличии некой внутренней частоты в частице с массой согласно

закону Планка ν= E/h, если в качестве энергии частицы взять E= m·с². Длина этой

вполне реальной волны λ=c/ν .

3-й вид искажений.

Мы должны показать в этом пункте продольное сокращение

размеров частицы. Проанализируем это по волновой картине от двух

встречных продольных волн, точнее по укорочению длины волны в волновой

структуре у этой пары.

В состоянии покоя обе встречные продольные гармоники одинаковы по частоте

(ν0) и длине волны (λ0=c/ν0). Они вместе дают традиционную картину «стоячей волны»,

т.е. «пляску волн» на одном месте, с синхронными колебаниями по всей картине,

поскольку из-за одинаковых длин волн встреча максимумов происходит одновременно

по всей оси x и на одних и тех же местах оси, с периодичностью длины волны λ0=c/ν0.

Когда частица движется, то у двух ее продольных гармоник длины волн и

частоты должны стать различными, поскольку гармоники должны быть синфазными

теперь в перемещающемся со скоростью v (вправо) центре частицы. «Догоняющая»

центр гармоника (бегущая вправо) должна стать короче, чем «встречная» гармоника,

иначе она «не успеет» на «очередную встречу» в движущемся центре.

Вспоминаем формулу сложения двух гармоник, у нас близких по

частоте некого момента:cosk1x+cosk2x=2·cos((k1+k2)x/2) · cos((k1 - k2)x/2) и

смотрим на рисунок слева. Это картина какого-то одного момента t. А

как это идет происходит во времени? Пусть ν1 – частота догоняющей

гармоники (вправо), ν2 – частота «встречной». Они близки к ν0, но ν1>ν2 ,

поскольку λ1 < λ2. Частота (ν1+ν2)/2 называется «несущей», по величине и

по поведению она близка к ν0 в «стоячей» волне, но картина

максимумов колебаний («пучностей») смещается с каждым колебанием

вправо со скоростью v из-за λ1 < λ2. Это скорость продвижения всей структуры.

А то, что соответствует 2-му множителю формулы с частотой (ν1-ν2)/2 называется

«огибающей» волной. Это не реальная волна. На рисунке указана точка A, где в данный

момент встретились максимумы гармоник. Видно, что при небольшом продвижении

обеих гармоник место максимума смещается намного вправо (точка B). С огромной

скоростью (Vф=c·c/v), и «длиной этой волны» (Λ= λ·c/v). Это уже упомянутая волна де

Бройля. Она «бежит» при движении частицы по волновой структуре и, несмотря на

свою «нереальность», определяют многие свойства объектов (квантовая механика).

Вернемся к несущей частоте (ν1+ν2)/2. Дальше покажем, что ν1= ν0·(c+v/c-v),

ν2=ν0·(c -v/c+v). Можете проверить, что искомая частота (ν1+ν2)/2= ν0/√(1- v²/c²) .

Т.е. несущая частота увеличится, а длина волны ее структуры (по формуле λ=c/ν )

уменьшится. И вся структура объекта продольно должна сократиться в раз.

Только для ознакомления.

Теперь о том, почему ν1= ν0·(c+x/c-v) и ν2= ν0·(c-x/c+v). Ищем ν1 догоняющей

гармоники. Пусть ν1= ν0·k с искомым k. Из-за того, что гармоника ν1= ν0·k «догоняет»

центр со скоростью c-v, ее частота в «центре» частицы уменьшается на множитель c-v/c.

И помним, что частота в движущемся «центре» из-за замедления времени ν0·(1-v²/c²).

ν1 · c-v/c= ν0·k· c-v/c= ν0·(1-v²/c²). Откуда k=(1-v²/c²)· c /c-v=(1-v²/c²)· 1/(1- v/c) =(c+v/c - v).

Аналогично для «встречной» гармоники с ν2= ν0·k. Из-за «встречной скорости

движения к центру» v+c ее частота в «центре» увеличивается в c+v/c =1+v/c. Т.е.

ν2 · c+v/c= ν0·k· c+v/c= ν0·(1-v²/c²). Откуда k=(1-v²/c²)· c /c+v=(1-v²/c²)· 1/(1-+v/c) = ( c - v/c+v).

Вспомним и рассмотрим закон Планка для фотонов (частиц-волн) E= ν·h.

Разберем смысл этого важного выражения. Дело в том, что, как

правило, энергия колебаний пропорциональна V·(A·)2, где V-объем, A-

амплитуда колебаний, -частота колебаний. Т.е. E ~ 2. Но в формуле Планка E

~ 1. При рассмотрении из разных систем амплитуда A не меняется. Но объем

объекта сокращается пропорционально .

Почему? Поперечные размеры фрагмента не меняются. Сказать, как

меняется длина фрагмента типа «бегущей волны», используя Теорию – трудно.

Но можно это сокращение определить через изменение частоты во фрагменте. Число

максимумов и минимумов n (в волновой картинке) во фрагменте сохраняется при

наблюдении из любой системы. Длина фрагмента λ·n= (c/)·n, то есть обратно

пропорциональна , как и объем фрагмента. Поэтому в формуле Планка E ~ 1.

Это справедливо и для любой гармоники волнового объекта с массой!

Другой способ вычисления энергии импульса гармоник в частице. Только для ознакомления.

Можно показать, что частота нашей «наклонной» гармоники

увеличивается (λ уменьшится) по сравнению с ее аналогом в покое в раз,

как мы и получили раньше.

Интересен случай двух продольных гармоник при изменении их частот в

движении: ν1= ν0·(c+v/c - v) и ν2= ν0·(c- v/c+v). При движении суммарная энергия

гармоник 2E0 увеличится:

E0·(c+v/c - v) + E0·(c-v/c+v) = E0((c+v/c - v) +(c-v/c+v)) =2E0/√(1- v²/c²) .

Теперь об импульсе двух этих противоположных гармоник. В покое E0/c - E0/c=0.

В движении E1/c- E2/c = E0/c·((c+v/c - v) -(c -v/c+v)) = E0/c· 2v/c/√(1- v²/c²) =2E0/ c²· v/√(1- v²/c²) .

«Парадокс близнецов».

Очень часто при изложении СТО обсуждается «парадокс

близнецов». 1-й близнец остается на Земле, 2-й улетает далеко в

Космос и возвращается молодым. «Как бы» обе системы могут

рассматриваться симметрично. Но. Система, связанная с ракетой не

является инерциальной, так как меняет направление.

Свяжем их сигналами. Пусть 2-й принимает световые тики от 1-го и сравнивает

их по частоте со своими. Его часы делают N тиков «туда» и N «обратно». Отношение

частот тиков принимаемых к своим «туда» с учетом их «догонки» и замедления времени

во 2-м: (0· c-v/c)/ (0·√(1- v²/c²)) =(c-v/c+v). «Обратно» (c+v/c-v). Всего принятых тиков 2-м :

N((c-v/c+v)+ N(c+v/c-v))=2N/√(1- v²/c²) . Смысл ответа понятен!

Выводы. Смысл понятия относительности в «эфирном» подходе.

Представим, что есть первичная волновая среда «эфир», на котором существуют

2 типа частиц. Мы исходили из того, что c везде одинакова. Мы уже разобрали, что

группа волновых объектов, перемещаясь совместно, может локально формировать

свое пространство и время так, чтобы воспринимать себя и окружающий мир

симметричным по направлениям (как в системе, связанной со средой, инвариант c).

Но это только часть Вопроса относительности. Другой аспект состоит в том, что

реально волновая скорость c может быть разной в разных местах Вселенной,

допустим, из-за явлений гравитации. Так вот и в этом случае группа волновых объектов

в своей системе, локально будет воспринимать значение c везде одинаковым.

Почему? При перемещении из области с одним значением c в область с

другим значением будут изменяться и размеры волновых объектов, и частоты

колебаний в них. Но. Допустим, «объекты у себя» выбирают в качестве единицы

длины размер какого-либо атома (1ат.), и, скажем, это размер вибратора,

(волнового объекта) длиной в одну полуволну. А за единицу времени выбирают время

одного цикла (1тик), т.е. пробег волны туда и обратно. Волновая скорость в этих

единицах всегда будет иметь значение c=2ат./1тик = 2ат./тик и всегда и везде будет

одинакова, независимо от реального изменения c, размеров объектов и частот в них.

Вот в чем реальный смысл относительности и инварианта c!