第 13 章重积分

第第 1313 章重积分章重积分二重积分的概念二重积分的概念

直角坐标系下重积分的计算直角坐标系下重积分的计算

格林格林(Green)(Green)公式公式

重积分的变量变换重积分的变量变换

三重积分三重积分

重积分的应用重积分的应用

13.1 13.1 二重积分的概念二重积分的概念

第第 1313 章重积分章重积分

一平面图形的面积1. 内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念直线网T分割平面图形 P，T的网眼中小闭矩

形 i 的分类：

ⅰ（） i 含的全是 P的内点

ⅱ（） i 含的全是 P的外点（不含 P的点）

ⅲ（） i内含有 P的边界点

记 TsP 为T ⅰ的第类 i 的面积的和．

记 TSP 为T ⅰ的第和第三类 i 的面积的和．

记 PI = TsP

Tsup

，称为 P的内面积．

记 PI = TSP

Tinf

，称为 P的外面积．

定义 1 若平面图形 P

的内面积 PI 等于它的

外面积 PI ，则称 P为可求面积，并称其共同值

PI = PI = PI 为 P的面积（约当，黎曼测度）

0 (1)PPI I

定理 13. 1 平面有界图形 P 可求面积的

充要条件是：对任给的 0 ，总存在直线网T ，使得 TsTS PP （ 2 ）

证 [必要性]设平面有界图形 P的面积为 PI ．

由定义 1，有 PI = PI = PI ．对任给的，由

PI 及 PI 的定义知道，分别存在直线网 1T 与

2T ，使得

,21

PP ITs

22

PP ITS (3)

记T 为由 1T 与 2T 这两个直线网合并的直线网，可证得

TsTs PP 1 TSTS PP 2

于是由（ 3 ）可得 ,

2

PP ITs

2

PP ITS

从而得到对直线网T 有 TsTS PP

[充分性]对任给的 0 ，存在直线网T ，

使得（ 2 ）式成立．但

TSIITs PPPP

所以 TsTSII PPPP

由的任意性，因此 PI = PI ，因而平面图形 P可求面积. 推论平面有界图形 P 的面积为零的充要

条件是它的外面积 0PI ，即对任给的 0 ，存在直线网T ，使得，

TSP

或对任给的 0 ，平面图形 P能被有限个其面

积总和小于的小矩形所覆盖．

定理 13．3 若曲线 K为由定义在 ba, 上

的连续函数 xf 的图象，则曲线K的面积为零.

证由于 xf 在闭区间 ba, 上连续函数，

从而一致连续．因而对任给的 0 ，总存在

0 ，当把区间 ba, 分成 n个小区间 ii xx ,1 ni ,,1 并且满足

nixxx iii ,,1max 1 时，可使

在每个小区间 ii xx ,1 上的振幅都成立

abi

abi

现把曲线 K按自变量 nxxxx ,,, 10 分成n个小段，这时每一个小段都能被以 ix 为宽， i 为高的小矩形甩覆盖．由于这个小矩形面积的总和为

n

i

n

iiii x

abx

1 1

所以由定理 13．1的推论即得曲线 K的面积为零．

还可证明得到：

由参量方程 ttYtx , 所表示的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积为零．

柱体体积 = 底面积 ×高特点：平顶 .

柱体体积 = ？特点：曲顶 .

),( yxfz

D

１．曲顶柱体的体积

二二重积分的定义及其存在性

播放播放

求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．

解：对区域 D 进行网状分割（如图）

ni

nD

,,

)1

21 ，，个小区域：可分割成区域

曲顶柱体的体积一曲顶柱体其顶为曲面底面为平面区域 D, 求此曲顶柱体的体积。

),( yxfz

x

z

yo

D

),( yxfz

i

),( ii

.),(lim1

0ii

n

iifV

曲顶柱体的体积

3 ）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体积之和为

4 ）取极限：

n

iiiifV

10

,lim

2 ）近似：每个个小区域 i 内任取一点 ),,( ii 则每个小曲顶柱体的体积近似为：

iiii fV ).,(

n

iiii

n

ii fV

11

),(

其中的直径ini

1max

2 平面薄片的质量

2 ）取点

3 ）作和

4 ）取极限

iii ,

n

iiiirLimM

10

,

ni

nD

,,

)1

21 ，，个小区域：可分割成区域

设平面薄片占有 xoy 面上的区域为 D ，它在点（ x , y ) 处的密度为求：此薄片的质量

),( yxr

n

iiiir

1

, x

y

oi

),( ii

定义设 ),( yxf 是有界闭区域D上的有界函数，

将闭区域 D任意分成 n个小闭区域 1 ，

,2 ， n ，其中 i 表示第i个小闭区域，

也表示它的面积，在每个 i 上任取一点 ),( ii ，

作乘积 ),( iif i ， ),,2,1( ni ，

并作和 ii

n

iif

),(

1

，

3. 二重积分的概念

积分区

积分区

域域

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数

),( yxf 在闭区域 D 上的二重积分，记为

D

dyxf ),( ，

即 D

dyxf ),( ii

n

iif

),(lim

10.

积分积分和和

被积函

被积函

数数积分变

积分变

量量被积表达

被积表达

式式面积元

面积元

素素

注： 1 ）在二重积分定义中，对区域 D 的划分是任意的，故如果在直角坐标系中用平

边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域

jx

则 kji yx

故在直角坐标系中，

都是矩形闭区域。设矩形小闭区域 i的边长为 ,ky和

行于坐标轴的直线网来划分 D ，则除了包含，

0

x

y

D

jx

ik y

直角坐标系下面积元素 d 图示

D

dxdyyxf ),(

,dxdyd

D

dyxf ,

2 ）由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数 ),( yxf

在 D 上的二重积分 ,),(D

dyxfV

平面薄片的质量是面密度 ),( yx 在薄片所占闭区域 D 上的

二重积分： .),(D

dyxM

3 ）二重积分的几何意义：（ 1 ）如果

,0, yxf 则二重积分 D

dyxf , 解释为曲顶柱体的体积。

（ 2 ）如果

,0, yxf 则二重积分 D

dyxf , 解释为曲顶柱体体积的负值。

（ 3 ）如果 ,, 既有正又有负yxf 则二重积分 D

dyxf ,

解释为曲顶柱体体积的代数和。（其中 xoy 面上方柱体的体积取正， xoy 面下方柱体的体积取负）。

例：用定义计算二重积分 ]1,0;1,0[

2 ydx

解：用直线网 ),1( , , njin

jy

n

ix

分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为介点 .

n

i

n

jn

n

i

n

jn

D

jinnnn

j

n

i

1 1

25

1 1

21

lim11

lim

n

in

n

jn

nnnnn

nji

15

1

2

6

1

2

)1()12)(1(

6

11limlim

4. 可积条件 :

可积的必要条件： yxf , 在可求面积的区域D上有界.

上和与下和：函数 yxf , 在可求面积的区域D上有界

时，T是 D的一个分割，把 D分成 n个可求面积的小区域 n ,,1 令

yxfM

iyxi ,sup

,

yxfmiyx

i ,inf,

ni ,,1

yxf , 关于分割 T的上和与下和：

N

IiiMTS

N

IiimTs

定理 13．4 yxf , 在 D上可积的充要条件是：

TST 0lim

TsT 0lim

=

定理 13．5 yxf , 在 D上可积的充要条

件是：对于任给的正数，存在 D的某个分割

T ，使得 TsTS ．

定理 13 ． 6 有界闭区域 D 上的连续函数必可积．

定理 13. 7 设 yxf , 是定义在有界闭区域 D上的有界函数．若 yxf , 的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则 yxf , 在 D上可积. 证不失一般性，可设 yxf , 的不连续点全

部落在某一条光滑曲线 L上．记 L的长度为 l，

于是对任给的 >0，把 L等分成1

l

n段：

nLL ,,1 在每段 iL 上取—点 iP，使 iP与其一端点的弧长

为 n

l

2 ，以 iP为中心作边长为的正方形 i ，

则 iL i ，从而有 n

iiL

1

记

n

ii

1

，

则为一多边形．设的面积为W ，那么

l

llnW 222 11

现在把区域 D 分成两部分．第一部分

DD1 ．第二部分 121 DDD ．

由于 yxf , 在 2D 上连续，根据定理 21 6 与

定理 13 5，存在 2D 的分割 2T ，使得

22 TsTS

．

又记

yxfMyx

,sup,

yxfm

yx,inf

,

以T表示由 2T 与多边形的边界所组成的区域 D的分割，则有

WWmWMTsTSTsTS 22

ll 1其中是 yxf , 在 D上的振幅．由于 yxf , 在 D

上有界，故是有限值．于是由定理 13，5就

证明了 yxf , 在上可积 .

性质１当为常数时，k

.),(),( DD

dyxfkdyxkf

性质２ D

dyxgyxf )],(),([

.),(),( DD

dyxgdyxf

（二重积分与定积分有类似的性质）

三、二重积分的性质

性质３对区域具有可加性

.),(),(),(21

DDD

dyxfdyxfdyxf

性质４若为 D 的面积， .1 D D

dd

性质５若在 D 上 ),,(),( yxgyxf

.),(),( DD

dyxgdyxf

特殊地 .),(),( DD

dyxfdyxf

)( 21 DDD

则有

例 1 比较下列积分的大小：

1 ） D

dyx 2)( 与 D

dyx 3)(

其中 D: 2)1()2( 22 yx

0

y

x(3,0)(1,0)

(0,1)

1 yx

.

D

解：在区域 D 内，显然有,1 yx 故在 D 内

32 )()( yxyx

DD

dyxdyx 32 )()(

, 其中区域 D 为

顶点为 A(1 ， 0)B(1 ， 1) ， C(2 ， 0) 的三角形闭区域。

2 ） DD

dyxdyx 2)][ln( )ln( 与

解：BC 的方程 x+y=2

D 内 1y)ln(x0 ,21 yx

DD

dyxdyx 2)][ln()ln(所以

A(1,0) B(2,0)

B(1,1)

性质 6 （估值定理）设在 D 上 f(x,y) 的最大值为 M ，最

小值为 m ， A 为 D 的面积，即Mxfm )( 则 MAdyxfmA

D

),(

证明：因为 Mxfm )(

由性质 5

DDD

Mddyxfmd ),(

MAdyxfmAD

),(所以

例 2

20,10

,)1(

yxD

dyxID

是矩形闭区域：其中

解：

在 D 内的最大值为 4 ，最小值为 1

区域 D 的面积为 2

所以由性质 6得

812 D

dyx )(

( , ) 1f x y x y

性质 7( 中值定理 ) ),( yxf设函数

D 连续，为之面积 , 则在 D 上至少存在一 ),( 使得：

).,(, fdyxfD

证明：由性质 6 得，

D

Mdyxfm

),(1

点在闭区域

根据据闭区域上连续函数的介值定理，在 D 上至少存在一点 ),,(

D

dyxff

),(),( 1

使得

即 D

fdyxf ),(),(

例 3 不作计算，估计 deID

yx )( 22

的值，

其中D是椭圆闭区域： 12

2

2

2

by

ax

)0( ab .

在D上 2220 ayx ,

,12220 ayx eee

由性质 6知 ,222 )( a

D

yx ede

解

deD

yx )( 22

ab .2aeab

区域D的面积 ,ab

例 4 估计

D xyyx

dI

16222

的值，

其中 D： 20,10 yx .

区域面积 2 ,,16)(

1),(

2

yxyxf

在D上 ),( yxf 的最大值 )0(41

yxM

),( yxf 的最小值51

43

122

m )2,1( yx

故42

52

I .5.04.0 I

解

例 5 判断

1

22 )ln(yxr

dxdyyx 的符号.

当 1 yxr 时, ,1)(0 222 yxyx

故 0)ln( 22 yx ;

又当 1yx 时, ,0)ln( 22 yx

于是 0)ln(1

22 yxr

dxdyyx .

解

二重积分的定义

二重积分的性质

二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）

（和式的极限）

四、小结

思考题

将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处 .

定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．

思考题解答

13.2 13.2 直角坐标系下重积分的计算直角坐标系下重积分的计算


复习：曲顶柱体的体积

求以曲面

为顶，底面为矩形

的曲顶柱体的体积。

)0),((),,( yxfyxfz

],;,[ dcba

y

x

z

Oa

b

c d

),( yxfz

i

),( ii

iiii fV ),(y

x

z

Oa

b

c d

),( yxfz

取极限求和近似代替分割分割近似代替求和取极限

n

iiii

n

ii fVV

11

),(

n

iiii

dfV

10

),(lim

求曲顶柱体体积步骤如下：

⑴ 分割：将矩形任意分为 n 块可求面积的小块],;,[ dcba

n ,,, 21

其面积仍记为。相应地将曲顶柱体分割

成 n 个小曲顶柱体，分别记为n ,,, 21

nVVV ,,, 21

⑵ 近似代替：在每一小块上任意取一点则小曲

顶柱体的体积可用直柱体的体积近似代替，即

),( iiiM

iV

iiii fV ),(

由于此曲顶柱体的底面是一矩形，所以此曲顶柱体的体积还可以用另一种方法来计算。

先复习定积分应用中的一个结果：设空间立体位于平面

与平面之间，用与轴垂直的平面截立

体，截得截面的截面面积为，则此立体的体积为

ax bx x

)(xs

b

adxxsV )(

)(xs

a bx

y

x

z

Oa

b

c d

)(xS

作与轴垂直的平

面，设截得曲顶柱

体截面的面积为 )(xS

x

立体位于平面

与平面之间，

ax

bx

则曲顶柱体体积为

b

adxxsV )( x

而就是平面上，由曲线与直线

所围成的曲边梯形的面积，所以

)(xS xX ),( yxfz

0,, zdycy

d

cdyyxfxS ),()(

从而

d

c

b

a

b

a

d

c

b

adyyxfdxdxdyyxfdxxsV ),(),()(

因此 d

c

b

adcba

dyyxfdxdxdyyxf ),(),(],;,[

b

a

d

cdcba

dxyxfdydxdyyxf ),(),(],;,[

类似地，也可以用与轴垂直的平面来截曲顶柱体，同样可得

y

从上面的分析，可以得到下列结果：

b

a

d

c

d

c

b

adcba

dxyxfdydyyxfdxdxdyyxf ),(),(),(],;,[

d

c

b

adcba

dyyxfdxdxdyyxf ),(),(],;,[

定理 13.8 设在矩形上可积，

含参变量积分存在，则

],;,[ dcba),( yxf ],[ bax

d

cdyyxfxF ),()(

b

a

d

cdcba

dxyxfdydxdyyxf ),(),(],;,[

设在矩形上可积，

含参变量积分存在，则

],;,[ dcba),( yxf ],[ dcy

b

adxyxfyJ ),()(

类似地可以给出先对后对积分的结果：yx

设在矩形上连续，则

d

c

b

a

b

a

d

cdcba

dyyxfdxdxyxfdydxdyyxf ),(),(),(],;,[

],;,[ dcba),( yxf

我们经常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果：

定理 13.9

前面讨论了矩形区域上的二重积分的计算方法，下面考虑一般区域上二重积分的计算。

根据积分区域的特点，分三种情况讨论。

}),()(|),{( 21 bxaxyyxyyxD

y

x

)(2 xyy

)(1 xyy

a b

这种区域的特点是：与轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于 y 轴的直线段。

x

这时二重积分可化为先对后对的二次积分。y x

第一种情形：

积分区域 D 由两条曲线

及两条直线

围成，即

)(),( 21 xyyxyy

bxax ,

)(

)(

2

1

),(),(xy

xy

b

aD

dyyxfdxdxdyyxf

作包含此积分区域的矩形 ],;,[ dcba

令

Dyx

DyxyxfyxF

),(,0

),(),,(),(

于是

)(

)(

],;,[

2

1

),(),(

),(),(

xy

xy

b

a

d

c

b

a

dcbaD

dyyxfdxdyyxFdx

dxdyyxFdxdyyxf

y

x

)(2 xyy

)(1 xyy

a b

c

d

x

}),()(|),{( 21 dycyxxyxyxD

第二种情形：

积分区域 D 由曲线

及直线

围成，即

)(),( 21 yxxyxx

dycy ,

)(

)(

2

1

),(),(yx

yx

d

cD

dxyxfdydxdyyxf

这时二重积分可化为先对后对的二次积分。yx

)(1 yxx )(2 yxx

y

d

c

xo

这种区域的特点是：与轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于 x 轴的直线段。

y

第三种情形：一般情形，这时可用平行于轴与平行于轴的直线将积分区域分成上述两种情形求解。

yx

1D2D

3D4D

X 型区域的特点：穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .

Y 型区域的特点：穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .

若区域如图，3D

2D1D

在分割后的三个区域上分别使用积分公式

.321

DDDD

则必须分割 .

xy 1

例1 改变积分 x

dyyxfdx1

0

1

0),( 的次序.

原式

y

dxyxfdy1

0

1

0),( .

解积分区域如图

xy 2

22 xxy

例 2 改变积分

xxx

dyyxfdxdyyxfdx2

0

2

1

2

0

1

0),(),(

2

的次序 .

原式

1

0

2

11 2 ),(y

ydxyxfdy .

解积分区域如图

例 3 改变积分 )0(),(2

0

2

2 2 adyyxfdx

a ax

xax

的次序 .

axy 2解

= a yaa

ay

dxyxfdy0

2

22

2 ),(原式

a a

yaadxyxfdy

0

2

22 ),( .),(2 2

2

2 a

a

a

a

y dxyxfdy

22 xaxy 22 yaax a2a

a2

a

例4 求D

dxdyyx )(2 ，其中D是由抛物线

2xy和 2yx所围平面闭区域.

解两曲线的交点

),1,1(,)0,0(2

2

yx

xy

D

dxdyyx )( 2 1

0

22 )(x

xdyyxdx

dxxxxxx )](21

)([ 421

0

2 .14033

2xy

2yx

2xy

2yx

例5 求D

ydxdyex22 ，其中D是以 ),1,1(),0,0(

)1,0(为顶点的三角形.

dyey2 无法用初等函数表示解

积分时必须考虑次序

D

y dxdyex22

yy dxexdy

0

21

0

2

dyy

e y 1

0

3

3

2 21

0

2

6

2

dyy

e y ).2

1(61

e

例6 计算积分 y

x

y

dxedyI21

21

41

y

y

x

y

dxedy1

21

.

解 dxexy

不能用初等函数表示

先改变积分次序.

原式 x

x

x

y

dyedxI2

21

1

1

21

)( dxeex x .21

83

ee

2xy

xy

例7 求由下列曲面所围成的立体体积，yxz ，xyz， 1yx ，0x，0y .

解曲面围成的立体如图 . z

y

x

o

,10 yx ,xyyx

所求体积 D

dxyyxV )(

1

0

1

0)(

xdyxyyxdx

1

0

3 ])1(21

)1([ dxxxx .247

所围立体在xoy面上的投影是

例 8 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积 V.

解设这两个直交圆柱面的方程为：

222 ayx 222 azx 由图形的对称性

D

dxa 22

a xa

dyxadx0 0

22

22

a

dxxa0

22 3

3

16a

V =8

=8

=8 =

二重积分在直角坐标下的计算公式

（在积分中要正确选择积分次序）

二、小结

.),(),()(

)(

2

1 D

b

a

x

xdyyxfdxdyxf

.),(),()(

)(

2

1 D

d

c

y

ydxyxfdydyxf

［ Y －型］

［ X －型］

设 )(xf 在 ]1,0[ 上连续，并设 Adxxf 1

0)( ，

求 11

0)()(

xdyyfxfdx .

思考题

1

)(x

dyyf 不能直接积出,改变积分次序.

令 11

0)()(

xdyyfxfdxI ,

思考题解答

则原式 y

dxyfxfdy0

1

0)()( .

,)()(0

1

0 x

dyyfdxxf

故 11

0)()(2

xdyyfdxxfI

xdyyfdxxf

0

1

0)()(

])()[()(1

0

1

0dyyfdxxf

x

x

.)()( 21

0

1

0Adyyfdxxf

13.313.3 格林格林 (Green)(Green) 公式公式曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件


一、区域连通性的分类设 D 为平面区域 , 如果 D 内任一闭曲线所围成的部分都属于 D, 则称 D 为平面单连通区域 , 否则称为复连通区域 .

复连通区域单连通区域

DD

设空间区域 G, 如果 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 是空间二维单连通域 ; 如果 G 内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面 , 则称 G 为空间一维单连通区域 .

G

G

G

一维单连通

二维单连通一维单连通

二维不连通

一维不连通

二维单连通

设闭区域D由分段光滑的曲线L围

成,函数 ),(),( yxQyxP 及在D上具有一阶连

续偏导数, 则有

LD

QdyPdxdxdyyP

xQ

)( (1)

其中L是D的取正向的边界曲线,

公式(1)叫做格林公式.

二、格林公式定理 1

连成与由 21 LLL 组成与由 21 LLL

边界曲线 L 的正向 : 当观察者沿边界行走时 ,区域 D 总在他的左边 .

2L

D1L

2L

1L

D

}),()(),{( 21 bxaxyxyxD

证明 (1)

若区域D既是 X型又是Y型,即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点.

}),()(),{( 21 dycyxyyxD

y

xo a b

D

c

d

)(1 xy

)(2 xy

A

B

C

E

)(2 yx

)(1 yx

dxxQ

dydxdyxQ y

y

d

cD

)(

)(

2

1

d

c

d

cdyyyQdyyyQ )),(()),(( 12

CAECBE

dyyxQdyyxQ ),(),(

EACCBE

dyyxQdyyxQ ),(),(

LdyyxQ ),(

同理可证

L

D

dxyxPdxdyyP

),(

y

xo

d

)(2 yx

D

c C

E

)(1 yx

若区域D由按段光滑的闭曲线围成.如图,

证明 (2)

L1L

2L3L

D1D

2D3D

两式相加得

LD

QdyPdxdxdyyP

xQ

)(

将D分成三个既是X型又是Y型的区域1D,2D,3D.

321

)()(DDDD

dxdyyP

xQ

dxdyyP

xQ

321

)()()(DDD

dxdyyP

xQ

dxdyyP

xQ

dxdyyP

xQ

321 LLL

QdyPdxQdyPdxQdyPdx

L

QdyPdx

1D

2D3D

L1L

2L3L

),( 32,1 来说为正方向对DLLL

G

D

3L

2L

F

C

E

1LA

B

证明 (3)

若区域不止由一条闭曲线所围成.添加直线段AB,CE.则D的边界曲线由AB, 2L,BA,AFC,CE, 3L, EC及CGA构成.

由 (2) 知

D

dxdyyP

xQ

)(

CEAFCBALAB 2

{ CGAECL

QdyPdx )(}3

L

QdyPdx

2 3 1

))((L L L

QdyPdx

),( 32,1 来说为正方向对DLLL

便于记忆形式 :

LD

QdyPdxdxdyQP

yx .

格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与

二重积分之间的联系.

x

y

o L

例1 计算ABxdy,其中曲

线AB是半径为r的圆在第一象限部分.

解引入辅助曲线L,

1. 简化曲线积分三、简单应用

A

B

D

BOABOAL

应用格林公式, xQP ,0 有

L

D

xdydxdy

, BOABOA

xdyxdyxdy

,0,0 BOOAxdyxdy由于

.41 2rdxdyxdy

DAB

例 2 计算

D

y dxdye2

, 其中 D 是

以 )1,0(),1,1(),0,0( BAO 为顶点的三角形闭区域 .

解令2

,0 yxeQP ,

2. 简化二重积分

x

y

o

AB

1

1D

则 2ye

yP

xQ

,

应用格林公式,有

BOABOA

y

D

y dyxedxdye22

1

0

22

dxxedyxe x

OA

y

).1(21 1 e

例3 计算

L yxydxxdy22 ,其中L为一条无重点,

分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.

则当 022 yx 时, 有yP

yxxy

xQ

222

22

)(.

记L所围成的闭区域为D,解

令 2222 ,yx

xQ

yxy

P

,

L

(1) 当 D)0,0( 时,

(2) 当 D)0,0( 时,

1D

r

l

x

y

o

LD

由格林公式知

L yxydxxdy

022

作位于D内圆周 222: ryxl ,

记1D由L和l所围成,

应用格林公式,得

y

xo

lL yxydxxdy

yxydxxdy

2222x

y

o r

1Dl

L02222

lL yxydxxdy

yxydxxdy

(其中l的方向取逆时针方向).2

( 注意格林公式的条件 )

d

r

rr2

2222 sincos

2

0

格林公式:

LD

QdyPdxdxdyyP

xQ

)(

取 ,, xQyP 得 L

D

ydxxdydxdy2

闭区域D的面积 L

ydxxdyA21

.

取 ,,0 xQP 得 LxdyA

取 ,0, QyP 得 LydxA

3. 计算平面面积

曲线 AMO 由函数],0[, axxaxy 表示 ,

例4 计算抛物线 )0()( 2 aaxyx 与x轴所围成的面积.

解 ONA为直线0y .

L

ydxxdyA21

AMOONA

ydxxdyydxxdy21

21

)0,(aAN

M

AMO

ydxxdy21

dxxaxdxax

ax

a)()1

2(

21 0

.61

42

0adxx

a a

)0,(aAN

M

其中 L 是曲线 |x|+|y|=1 围成的区域 D 的正向边界。

1

1

-1

-1

L

D

y

xO

格林公式的应用格林公式的应用

（格林公式）

从

证明了：

例 1 计算积分

L

xx yyxyy d)1cose(d)sine(

解

D

x ycose( yxyx dd)1cose

222 A

D

yxy

P

x

Qdd

L

yyxQxyxP d),(d),(

L

xx yyxyy d)1cose(d)sine( ①②

③ ④

例 2 求星形线 tytxL 33 sin,cos ：所界图形的面积。

解 D

yxA dd

L

yxd

2

π

0

64 d]cos[cos12 ttt

π2

0

24 dsincos3 t �tt

8

3

22

1

4

3

6

5

22

1

4

312

y

xO

D

L

1

1

-1

-1

重要意义： 1. 它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系

2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系

4.它的应用范围可以突破右手系的限制，使它的应用 3. 从它出发，可以导出数学物理中的许多重要公式

更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。

D

yxy

P

x

Qdd

1L

QdyPdx

则称曲线积分 L

QdyPdx

四、曲线积分与路径无关的定义

2L

QdyPdx

如果对于区域 G 内任意指定的两点 A 、 B 以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1 ， L2 有

否则与路径有关.

G

y

xo

B

A

1L

2L

在 G 内与路径无关,

1L

QdyPdx 2L

QdyPdx .0L QdyPdx

)( 21 LLL

定理 13.12 设开区域D是一个单连通闭区域, 函数 ),,( yxP ),( yxQ 在 D内具有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价：

( )

( , ) ( , ) 0L

i D L

P x y dx Q x y dy 沿内任一按段光滑封闭曲线，有

( )

( , ) ( , )

, ;L

ii D L

P x y dx Q x y dy

L

对内任一按段光滑曲线，曲线积分

与路线无关只与的起点及终点有关ⅲ（） QdyPdx 是D内某一函数u的全微分，即

du QdyPdx ； ⅳ（）在D内处处成立 x

Q

y

P

证 ⅰ（） ⅱ（）如图

ARB

QdyPdx ASB

QdyPdx

ARB

QdyPdx BSA

QdyPdx

ARBSA

QdyPdx

=

= =0

所以 ARB

QdyPdx = ASB

QdyPdx

ⅱ（） ⅲ（）

设 0 0,A x y 为D内一定点，

yxB , 为D内任意一点，

ⅱ由（）曲线积分 AB

QdyPdx

与路线的选择无关，

故当 yxB , 在D内变动时，其积分值是 yxB , 的函数，即有

,AB

u x y Pdx Qdy 取 x 充分小，使 Dyxx , ，由于积分与路线无关

故函数 yxu , 对于的偏增量

, ,AC AB

u x x y u x y Pdx Qdy Pdx Qdy

BCPdx Qdy

其中直线段 BC平行于 x轴由积分中值定理可得

, ,BC

u u x x y u x y Pdx Qdy

, ,x x

xPdx Qdy P x x y x

其中 10 ，由 yxP , 在D上的连续性

x

u

yxxP

x

uxx

,limlim00

yxP ,= =

, .u

Q x yy

同理可证因此

.du Pdx Qdy ⅲ（） ⅳ（）设存在 yxu , ，使得 QdyPdxdu

, , , , , .P x y u x y Q x y u x yx y

所以因此

2 2

, .P u Q u

y x y x y x

因 yxP , ， yxQ , 在区域D内有连续的偏导数，所以 2 2

.u u

x y y x

从而在D内每一点处有 .P Q

y x

ⅳ（） ⅰ（）

设 L为D内任一按段光滑封闭曲线，记 L 所

围的区域为．由于D为单连通区域，所以 .D 于是，在内 .

P Q

y x

应用格林公式，有

dyP

xQ

dyyxQdxyxPD

C

)(),(),( .0

即在区域为内曲线积分 L

dyyxQdxyxP ),(),(

与路径无关 .

, xQ

yP

若

),(

),(11

00

yxB

yxAQdyPdx

dyyxQdxyxPy

y

x

x),(),( 1

0

1

010

),( 01 yxC

),( 11 yxB

),( 00 yxA

dxyxPdyyxQx

x

y

y),(),( 1

0

1

010 或

x

y

o

L L

QdyPdx 则

CBAC

),( 10 yxD

AD DB

与路径无关

例 5 验证 L

yy dyyxedxxe )2()( .与路径无关，

并求之。其中 L为过三点 )0,0(o ， )1,0(A ， )2,1(B

的圆周，由 )0,0(o 到 )2,1(B 的曲线弧.

解

因此，积分与路径无关。

.2),( ,),( yxeyxQxeyxP yy 设

则 P ， Q 在全平面上有连续的一阶偏导数，且

,yeyP .ye

xQ

. xQ

yP

即

o x

y

1

1

2

全平面是单连通域。

o x

y

1

1

2

取一简单路径： L1 + L2.1L

2L

.10: ,0 :1 xyL .20: ,1 :2 yxL

L

yy dyyxedxxe )2()(

21

)2()()2()(L

yyL

yy dyyxedxxedyyxedxxe

2

0

1

00 )21()( dyyedxxe y

.272 e


,yeyP .ye

xQ

. xQ

yP

即全平面是单连通域。

例 6 计算 L

dyyxdxxyx )()2( 422 . 其中

L为由点 )0,0(o 到点 )1,1(B 的曲线弧2

sin xy .

解


. xQ

yP

即

o x

y

1

1

.),( ,2),( 422 yxyxQxyxyxP 设

则 P ， Q 在全平面上有连续的

一阶偏导数，且,2x

yP

.2xxQ


o x

y

1

1

1

0

1

0422 )1()02( dyydxxx .

1523


. xQ

yP

即

,2xyP

.2xxQ


取一简单路径： L1 + L2.

.10: ,0 :1 xyL .10: ,1 :2 yxL

1L

2L

L

dyyxdxxyx )()2( 422

21

)()2()()2( 422422LL

dyyxdxxyxdyyxdxxyx

x

y

o

) ,( yxB

),( 00 yxA

G

dyyxQdxyxPyxuy

y

x

x),(),(),(

000

dxyxPdyyxQyxux

x

y

y),(),(),(

000 或

CBAC

DBAD

设开区域G是一个单连通域, 函数 ),,( yxP ),( yxQ

在G内具有一阶连续偏导数, 则 QdyPdx 在G内为

某一函数 ),( yxu 的全微分的充要条件是等式

xQ

yP

在G内恒成立.

),( 0yxC

),( 0 yxD

解

,2)( 2 xyxyyy

P

.2)( 2 xyyxxx

Q

,),( 2xyyxP .),( 2 yxyxQ

例 7 验证：在 xoy 面内， ydyxdxxy 22 是某个函数

u (x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数。

这里且

在整个 xoy 面内恒成立。xQ

yP

即，

因此，在 xoy 面内， ydyxdxxy 22 是某个函数

u (x, y) 的全微分。

dyyxdxxyxuyx

0),(0

20

2

.0 ,0 00 yx取

.2

22 yx

例 8 设曲线积分 L

dyxydxxy )(2 与路径无

关, 其中具有连续的导数, 且 0)0( ,

计算 )1,1(

)0,0(

2 )( dyxydxxy .

积分与路径无关xQ

yP，

解

,2)( 2 xyxyyy

P

),()]([ xyxyxx

Q

,),( 2xyyxP ),(),( xyyxQ

由 0)0( ，知 0c 2)( xx .

故 )1,1(

)0,0(

2 )( dyxydxxy

由 xyxy 2)( cxx 2)(

1

0

1

00 ydydx .

21

1. 连通区域的概念 ;2. 二重积分与曲线积分的关系

3. 格林公式的应用 .

——格林公式 ;

LD

QdyPdxdxdyyP

xQ

)(

五、小结

与路径无关的四个等价命题

条件

在单连通开区域D上 ),(),,( yxQyxP 具有连

L

QdyPdxD 与路径无关内在)1(

C

DCQdyPdx 闭曲线 ,0)2(

QdyPdxduyxUD ),()3( 使内存在在

xQ

yPD

,)4( 内在

等

价

命

题

续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.

若区域如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中 L的方向。

LD

QdyPdxdxdyyP

xQ

o x

y

A B

CD

E F

G

思考题

思考题解答

o x

y

A B

CD

E F

G由两部分组成L

外边界：内边界：

BCDAB

EGFE

13.413.4 重积分的变量变换重积分的变量变换


一二重积分的变量变换公式引理设变换T： vuxx , ， vuyy , 将uv平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区

域，一对一地映成 xy平面上的闭区域D，函数 vuxx , ， vuyy , 在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式

0),(

),(

vu

yxJ ， vu, ，

则区域的面积 D =

dudvvuJ

,

证现给出 vuyy , 在内分别具有二阶连

续偏导数时的证明.

由于变换T是一对一的，且 vuJ , 0，因而T

把的内点变为D的内点，所以的按段

光滑边界曲线 L 变换到D时，其边界曲线 DL

也是按段光滑曲线，设曲线 L 的参数方程为

u = tu ，v = tv t 由于 L 按段光滑，所以 tu ， tv 在 , 上至多除去有限个第一类间断点外，在其他点

上都是连续的．因为 LTLD ，所以 DL 的参数方程为:

,, tvtuxtxx

,, tvtuyty t

若规定 t从变到时，对应于 DL 的正向，则根据格林公式，取 xyxQyxP ,,0, ，有

D = dttytxxdyDL

dttvv

ytu

u

ytvtux

,= （ 6 ）

另一方面，在uv平面上

L

dvv

ydu

u

yvux ,

dttv

v

ytu

u

ytvtux

,= （ 7 ）

其中正号及负号分别由 t从变到时，是对

应于 DL 的正向或是负方向所决定．由（6）及（7）得到

D

L

dvv

ydu

u

yvux ,=

=

L

dvv

yvuxdu

u

yvux ,,

令 u

yvuxvuP

,, v

yvuxvuQ

,,

在平面uv上对上式应用格林公式，得到

D =

dudvv

P

u

Q

由于函数 vuyy , 具有二阶连续偏听偏信导数，即有

uv

y

vu

y

22

因此 v

P

u

Q

= vuJ ,

于是 D

dudvvuJ ,=

又因为 D 总是非负的，而 vuJ , 在上不为零且连

续，故其函数值在上不变号，所以

D = dudvvuJ

,

定理 13．13 设 yxf , 在有界闭区域D上可积，

变换T ： vuxx , ， vuyy , 将uv平面上由按段

光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成 xy平

面上的闭区域D，函数 vuxx , ， vuyy , 在内

分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式

vuJ , vu

yx

,

,

= 0 ， vu,

则 D

dxdyyxf ,

dudvvuJvuyvuxf ,,,,=

例 1

解

所围成的闭区域．线

轴和直轴、由其中计算

2

,

yx

yxDdxdyeD

xy

xy

,, xyvxyu 令

.2

,2

uvy

uvx

则

,DD

D

x

y

o

2 yx

D

u

v

o

vuvu

2v

.22

;0

;0

vyx

vuy

vux即

),(),(

vuyx

J

,21

21

21

21

21

D

v

u

D

xy

xy

dudvedxdye21故

v

v

v

u

duedv2

021

2

0

1 )(21

vdvee .1 ee

例 2 求抛物线 mxy 2， nxy 2

和直线 xy ，xy 所围成区域D的面积 D 0,0 nm ．

解 D的面积 D D

dxdy=

作变换 v

uy

v

ux ,

2

vuJ , =4v

u

D D

dxdy

dudvv

u4

duv

udv

n

m4

33

332

6 mn

= =

=

=

例 3

解

所围成．及

由其中计算

00

,1.)cos(

yx

yxDdxdyyxyx

ID

,, yxvyxu 令

.2

,2

uvy

vux

则

,DD

D

x

y

o

1 yx

D

u

v

o

vuvu

1v

.11

;0

;0

vyx

vuy

vux即

),(),(

vuyx

J

,21

21

21

21

21

D

dudvJvu

I cos故

v

vdu

vu

dv cos21 1

0

.1sin21

1sin221 1

0 vdv

. drdrd

D

dxdyyxf ),(

二、利用极坐标系计算二重积分面积元素

. drdrdxdy 或

i

i

ii ii rrr

Ao

D

irr

.)sin,cos(D

rdrdrrf

. )sin ,cos()(

)(2

1

drrrrfd

D

rdrdrrf )sin ,cos(

二重积分化为二次积分的公式（１）

区域特征如图

,

).()( 21 r

A

D

o

)(2 r)(1 r

D

dxdyyxf ),(

D ：

区域特征如图

,

).()( 21 r

)(2 r)(1 r

Ao

DD

. )sin ,cos()(

)(2

1

drrrrfd

D

rdrdrrf )sin ,cos(

D

dxdyyxf ),(

D ：

. )sin ,cos()(

0

drrrrfd

二重积分化为二次积分的公式（２）

区域特征如图

,

).(0 r

)(r

Ao

D

D ：

D

dxdyyxf ),(

D

rdrdrrf )sin ,cos(

. )sin ,cos()(

0

2

0 drrrrfd

极坐标系下区域的面积 .D

rdrd

二重积分化为二次积分的公式（３）

区域特征如图

).(0 r,20 D

A

)(r

oD

dxdyyxf ),(

D

rdrdrrf )sin ,cos(

例 1 将D

),( dyxf 化为在极坐标系下的二次积分。

（ 1）

x

y

o 2

2 422 yx

x

y

o 4

xyx 422 （ 4）

D（ 2）

x

y

o 2

2

2

422 yx

D

x

y

o 2

2

2

2

422 yx（ 3） D D

（ 1 ）

x

y

o 2

2 422 yx解

D

在极坐标系中，闭区域D 可表示为

.20 r,2

0

Ao 2

2rD

),( dyxf

D

drdrrrf )sin ,cos(

. )sin ,cos(2

0

2

0 drrrrfd

（ 2 ）在极坐标系中，闭区域D 可表示为

.20 r,0 x

y

o 2

2

2

422 yx

D


.20 r,0

D

),( dyxf D

drdrrrf )sin ,cos(

. )sin ,cos(2

00 drrrrfd

Ao 2

2r


.20 r,20 x

y

o 2

2

2

2

422 yx

D

D

),( dyxf

. )sin ,cos(2

0

2

0 drrrrfd

Ao 2

2r（ 3）

在极坐标系中，闭区域D 可表示为

.20 r,20

D

D

drdrrrf )sin ,cos(

（ 4 ）在极坐标系中，闭区域

D 可表示为

.cos40 r,22

x

y

o 4

xyx 422

D

Ao 2

cos4r（ 4 ）在极坐标系中，闭区域

D 可表示为

.cos40 r,22

D

),( dyxf D

drdrrrf )sin ,cos(

. )sin ,cos(cos4

0

2

2

drrrrfd

2

2

例 2 写出积分 D

dxdyyxf ),( 的极坐标二次积分形式，

其中 ,11|),{( 2xyxyxD }10 x .

1 yx

122 yx解在极坐标系下

sin

cos

ry

rx

所以圆方程为 1r ,

直线方程为 cossin1

r ,

D

dxdyyxf ),(

.)sin,cos(2

0

1

cossin1

rdrrrfd

D

rdrdrrf )sin,cos(

例 2

解

所围成的闭区域．椭圆

为其中计算

1

,1

2

2

2

2

2

2

2

2

by

ax

Ddxdyby

ax

D

.20,0,0,0 rba其中

,sin

,cos

bry

arx作广义极坐标变换

},20,10),{( rrDD在这变换下

.),(),(

abrr

yxJ

故换元公式仍成立，处为零，内仅当在 0 rDJ

drdabrrdxdyby

ax

DD

22

2

2

2

11 .32

ab

.3例，求由曲面 02,0 22 yxxz

.成的立体体积

所围22 yxz

解：所求立体为曲顶柱体

02 22 yxx

曲顶方程为 22 yxz

的边界方程为底面所在区域D

曲顶柱体的体积

dyxVD 22

02 22 yxx

1)1( 22 yx

为圆心这是以 )0,1(

.1为半径的圆以

Z

X

Y

o21D

用极坐标求解

rdrdrrD 22 )sin()cos(

drdrD 2

2

2

cos20

3 ]3

1[

dr 2

2

3cos3

8

d

2

0

3cos3

16

d 13

2

3

16

9

32

02 22 yxx

0)sin(cos2)cos( 22 rrr

0cos22 rr

0)cos2( rr

或0r cos2r

dyxVD 22

X

Y

o 21drrd

cos2

0

22

2

r

.D这是区域的边界曲线的极坐标方程

例 4 、求球体 2222 4azyx 被圆柱面 )0(222 aaxyx所截得的（含在圆柱面内部的）立体的体积 .

解：由对称性

体积 dxdyyxaVD 22244

在极坐标系下

20,cos20: arD

rdrdraVD 2244

2

0

cos2

0

2244 rdrrad

a

故

2

0

333

32 )sin1(

da

)( 32

23

332 a

例 5计算 dxdyeD

yx 22

，其中 D 是由中心在原点，

半径为a的圆周所围成的闭区域.

解在极坐标系下

D： ar 0 ， 20 .

dxdyeD

yx 22

a r rdred0

2

0

2

).1(2ae

Ao a

ar

sin

cos

ry

rx

drdreD

r2

a r rded0

22

0)(

21 2

2

0

0

2

21 de

ar

例 6 求椭球体 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x的体积 .

解 V D

dxdyb

y

a

xc

2

2

2

2

1

应用广义极坐标变换

2

0

1

0

21

abrdrrcdV abc3

4

Rcba

3

3

4R

时得到球的体积当

=8

=8

=

例 7 计算 dxdyyxD

)( 22 。

其中 D为由圆 yyx 222 ， yyx 422 及直

线 03 yx ， 03 xy 所围的闭区域.

解

32

sin4 r

sin2 r

dxdyyxD

)( 22

yyx 422

yyx 222

03 xy

sincos

ryrx

rdrdrD

2

63

61 03 yx

sin4r

sin2 r

dxdyyxD

)( 22

3

6

sin4

sin22

rdrrd

).83

4(15

rdrdrD

2

3

6

sin4

sin2

4

4

dr

3

64 sin60

d

3

6

2

2

2cos1 15

d

63

sin4r

sin2 r

例 8 求广义积分

0

2

dxe x .

解 }|),{( 2221 RyxyxD

}2|),{( 2222 RyxyxD

}0,0{ yx

}0,0|),{( RyRxyxS

显然有 21 DSD

,022

yxe

1

22

D

yx dxdye S

yx dxdye22

.2

22

D

yx dxdye

1D 2DSS

1D

2D

R R2

又 S

yx dxdyeI22

R

yR

x dyedxe00

22

;)( 2

0

2

R

x dxe

1I1

22

D

yx dxdye

R r rdred

00

22 );1(4

2Re

同理2I 2

22

D

yx dxdye );1(4

22Re

当 R 时, ,41

I ,42

I

故当 R 时, ,4I 即2

0)(

2

dxex4,

所求广义积分

0

2

dxex2.

,21 III

);1(4

)()1(4

222 22

0

RR xR edxee

例 9 计算 dxdyyxD

)( 22 ，其 D为由圆

yyx 222 ， yyx 422 及直线 yx 3 0 ， 03 xy 所围成的平面闭区域.

解 32

61

sin4 r

sin2 r

dxdyyxD

)( 22

3

6

sin4

sin2

2 rdrrd ).32

(15

yyx 422

yyx 222

03 yx

03 xy

例 10 求曲线 )(2)( 222222 yxayx

和 222 ayx 所围成的图形的面积.

解根据对称性有 14DD

在极坐标系下

)(2)( 222222 yxayx ,2cos2 ar

,222 arayx

1D

例 11 计算二重积分

D

dxdyyx

yx22

22 )sin(,

其中积分区域为 }41|),{( 22 yxyxD .

解由对称性，可只考虑第一象限部分，

注意：被积函数也要有对称性.

D

dxdyyx

yx22

22 )sin( 4

1

22

22 )sin(

D

dxdyyx

yx

2

10

sin4 2 rdr

rr

d .4

14DD 1D

由

ar

ar 2cos2, 得交点 )

6,(aA ,

所求面积 D

dxdy 1

4D

dxdy

2cos2

0

64a

ardrd

).3

3(2 a

二重积分在极坐标下的计算公式

三、小结

DD

rdrdrrfdyxf )sin,cos(),(

.)sin,cos()(

)(2

1

rdrrrfd

.)sin,cos()(

0

rdrrrfd

.)sin,cos()(

0

2

0 rdrrrfd

（在积分中注意使用对称性）

交换积分次序 :

).0(),(cos

0

2

2

adrrfdI

a

思考题

,cos0

22:

arD

o x

y思考题解答

cosar D

a

ar

arccos

ar

arccos

.),(arccos

arccos0 a

r

a

r

adrfdrI

13.513.5 三重积分三重积分


设 ),,( zyxf 是空间有界闭区域上的有界函数，将闭

区域任意分成n个小闭区域 1v ， 2v , , nv ，其

中 iv 表示第i个小闭区域，也表示它的体积, 在每个

iv 上任取一点 ),,( iii 作乘积 iiii vf ),,( ，

),,2,1( ni ，并作和, 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 ),,( zyxf 在闭区域上的三重积分，记为

dvzyxf ),,( ,即

一、三重积分的定义

.),,(lim),,(10

i

n

iiii vfdvzyxf

.叫做体积元素其中dv

,来划分

用平行于坐标面的平面在直角坐标系中，如果

.lkji zyxv 则

三重积记为

dxdydzzyxf ),,( iii

n

ii vf

),,(lim

10

.

.积元素叫做直角坐标系中的体其中dxdydz

三重积分的性质与二重积分的类似。

特别地，被积函数 1),,( zyxf 时，

的体积

dv .

直角坐标系中将三重积分化为三次积分．二、三重积分的计算

)(1 xyy )(2 xyy

如图，,D

xoy

面上的投影为闭区域

在闭区域

),,(:

),,(:

22

11

yxzzS

yxzzS

,),( 作直线过点 Dyx

穿出．穿入，从从 21 zzx

y

z

o

D),( yx

a

b

),(1 yxzz

),(2 yxzz

2S

1S1z

2z

的函数，则只看作看作定值，将先将 zzyxfyx ),,(,

),(

),(2

1),,(),(

yxz

yxzdzzyxfyxF

上的二重积分在闭区间计算 DyxF ),(

.),,(),(),(

),(2

1

D

yxz

yxzD

ddzzyxfdyxF

,),()(: 21 bxaxyyxyD 得

是 x 、 y 的函数。

dvzyxf ),,( .),,()(

)(

),(

),(2

1

2

1

b

a

xy

xy

yxz

yxzdzzyxfdydx

dvzyxf ),,( .),,()(

)(

),(

),(2

1

2

1

b

a

xy

xy

yxz

yxzdzzyxfdydx

注意

相交不多于两点情形．的边界曲面区域

内部的直线与闭轴且穿过闭区域平行于

S

z

)1(

．分若干个小区域来讨论

相交多于两点时，把的边界曲面闭区域

内部的直线与轴且穿过闭区域若平行于

)2(

S

z

三重积分化为三次积分的过程：

。面上投影，得到向 Dxoy )1(

x

y

z

o

D

)2( 轴投影，得到向 xD

a

b

).()(

, :

21 xyyxy

bxaD

,),( )3( 作直线过点 Dyx

得到 ).,(),( 21 yxzzyxz

1z

2z

),( yx

).,(),(

),()(

,

:

21

21

yxzzyxz

xyyxy

bxa事实上，

dvzyxf ),,( .),,()(

)(

),(

),(2

1

2

1

b

a

xy

xy

yxz

yxzdzzyxfdydx

。面上投影，得到向 Dxoy )1(

)2( 轴投影，得到向 yD

.

),()(: 11

dyc

yxxyxD

,),( )3( 作直线过点 Dyx

得到 ).,(),( 21 yxzzyxz

事实上，

).,(),(

,

),()(

:

21

11

yxzzyxz

dyc

yxxyx

x

y

z

o

D

c d

1z

2z

),( yx

dvzyxf ),,( .),,()(

)(

),(

),(2

1

2

1

d

c

yx

yx

yxz

yxzdzzyxfdxdy

。面上投影，得到向 yzDyoz )1(

)2( 轴投影，得到向 yDyz

.

),()(: 11

bya

yzzyzD

,),( )3( 作直线过点 yzDzy

得到 ).,(),( 21 zyxxzyx

事实上，

).()(

,

),,(),(

:

21

11

yzzyz

bya

zyxxzyx

D),( zy

a

b

x

y

zo

1x

2x

dvzyxf ),,( .),,()(

)(

),(

),(2

1

2

1

b

a

yz

yz

zyx

zyxdxzyxfdzdy

例 1 计算三重积分

xdxdydz，其中为三个坐标

面及平面 12 zyx 所围成的闭区域.

21

1

x

o

z

y

1

。面上投影，得到向 Dxoy

.2

10

,10 : xy

xD

,

),(

的直线轴作平行与过点 zDyx

得到.210 yxz

解

D

于是，

dxdydzx 1

0 0

21

02

1 x yxxdzdydx

1

0 021

0 2

1 xdyxzdx yx

1

0 022

1)2(

xdyxyxxdx

1

0 022 2

1

)( dxxyyxxx

1

032 )2(

41 dxxxx

1

0

432

41

32

241

xxx .

481

于是，

dxdydzx 1

0 0

21

02

1 x yxxdzdydx

,

),(

的直线轴作平行与过点 zDyx

得到.210 yxz

例 2 化三重积分

dxdydzzyxfI ),,( 为三次积分，

其中积分区域为由曲面 22 2 yxz 及 22 xz 所围成的闭区域.

解由

2

22

2

2

xz

yxz,

得交线投影区域 ,122 yx

故：

222

22

22

11

11

xzyx

xyx

x

,

.),,( 1

1

2

2

1

1

2

22

2

2

x

yx

x

xdzzyxfdydxI因此，

故：

222

22

22

11

11

xzyx

xyx

x

,

o

x

y

z

1

2

例 3 计算三重积分

dxdydzz 。

其中：平面 ,0 , ,2 ,1 zxyxx 及

yz 2 所围成的闭区域.


.0

,21:

xy

xD

, ),( 轴的直线作平行与过点 zDyx 得到

.2

0y

z

解

D

.20

0

,21

:

yz

xy

x

，即

于是，

dxdydzz 2

1 0

2

0

x yzdzdydx

o

x

y

z

1

2


.0

,21:

xy

xD

, ),( 轴的直线作平行与过点 zDyx 得到

.2

0y

z

解

D

.20

0

,21

:

yz

xy

x

，即

2

1 02

81 x

dyydx 2

13

241 dxx .

325

截面法的一般步骤：

(1) 把积分区域向某轴（例如z轴）投影，得投影

区间 ],[ 21cc ；

(2) 对 ],[ 21ccz 用过z轴且平行xoy平面的平面去截

，得截面zD;

(3) 计算二重积分zD

dxdyzyxf ),,(

其结果为z的函数 )(zF ；

(4) 最后计算单积分2

1)(

c

cdzzF 即得三重积分值.

z

zD

例 4 计算三重积分 dxdydzz

2 ，其中是由椭

球

面 12

2

2

2

2

2

cz

b

y

ax 所成的空间闭区域.

: ,|),,{( czczyx }12

2

2

2

2

2

cz

b

y

ax

原式 ,2 zD

c

cdxdydzz

解

x

y

z

o

zD

|),{( yxDz }12

2

2

2

2

2

cz

b

y

ax

)1()1(2

22

2

22

czb

czadxdy

zD

),1(2

2

czab

c

cdzz

czab 2

2

2)1( .

154 3abc

|),{( yxDz }12

2

2

2

2

2

cz

b

y

ax

原式

因此，

例 5 计算三重积分 dxdydzxy

21 ，其中由曲

面 221 zxy ， 122 zx ， 1y 所围成.

解如图 ,

x

y

zo

1

1

1

dzzxxdxx

x 21

221

1

1

12

2

2

2 2

2 2

1 1,

: 1 1 ,

1 1.

x

x z x

x y y

将投影到zox平面得

:xzD 122 zx ,

先对 y积分，再求 xzD 上二重积分,

2 2

12

11

xz

x zD

y x dxdz dy

原式

dxzzxxx

x

)3

(1 1

1

1

1

322

2

2

1

142 )21(

31 dxxx

.4528

dzzxxdxx

x 21

221

1

1

12

2

2

.11

,11

,11

:22

22

yyx

xzx

x2 2

12

11

xz

x zD

y x dxdz dy

原式

定理定理

设变换 T : x = x(u, v, w), y = y(u, v, w),

z = z(u, v, w) 将 uvw 空间中的有界闭区域 uvw 变成 xyz 空间中的有界闭

区域 xyz , 且满足

1) x=x(u, v, w), y= y(u, v, w), z=z(u, v, w)C1(uvw)

三三重积分换元法

2)

wz

vz

uz

wy

vy

uy

wx

vx

ux

wvuzyx

),,(),,(

0, (u, v, w)uvw

若 f (u, v, w)R(), 则有xyz

zyxzyxf ddd),,(

xyz

wvuwvu

zyxwvuzwvuywvuxf ddd

),,(

),,()),,(),,,(),,,((

例 5. 计算

,2dxdydzxI 其中是由曲面

xzxzbaybyzayz ,),0,0(, 22

)0(),0( hhz 所围成的区域 .

解 : 　作变换 ,,,:2

zwx

zv

y

zuT

},0,,|),,{( hwvbuawvu

：变成则 Ω

而

由公式 (5),

1

),,(

),,(

),,(

),,(

zyx

wvu

wvu

zyx

dxdydzxI 2

dwwdvvduuhb

a

0

2

742

3

2

1

.1111

27

2 2

9

33h

ba

2

32

2z

yx .

2

1 2

3

2

u

w

v

dudvdwu

w

vv

w 2

3

22

2

2

1

,0 r

,20

. z

1 、利用柱面坐标计算三重积分

的柱面坐标．就叫点

，则这样的三个数的极坐标为的投影

面上在为空间内一点，并设点设

M

zrrP

xoyMzyxM

, , ,

),,(

规定：

x

y

z

o

),,( zyxM

),( rP

r

简单地说，柱面坐标就是

xoy 面上的极坐标 + z 坐标

.

,sin

,cos

zz

ry

rx

柱面坐标与直角坐标的关系为

为常数r

为常数z

为常数

如图，三坐标面分别为

圆柱面；

半平面；

平面．r

x

y

z

o

z

),,( zyxM

),( rP

r

x

y

z

o

从而

zz

zy

zx

zyx

rz

ry

rx

zrzyx

),,(),,(

100

0cossin

0sincos

rr

cossin

sincos

rr = r

xyz

zyxzyxf ddd),,(

zr

zrrzrrf

ddd),sin,cos(

所以 ,

一般 , r z 表为 :

r1( ) r2( ),

z1(r, ) z2 (r , )).

,

dxdydzzyxf ),,(

.) ,sin ,cos(

dzddrrzrrf

如图，柱面坐标系中的体积元素为

, dzddrrdv

于是，

d

r

x

y

z

o

dzdrrd

再根据中 z ， r ，的关系，化为三次积分。

一般，先对 z 积分，再对 r ，最后对积分。

例 6 利用柱面坐标计算三重积分 ,

dxdydzz 其中

所围成的闭区域。与平面是由曲面 4 22 zyxz

解 (1) 画图(2) 确定 z ， r ，的上下限将向 xoy 面投影，

得 4 : 22 yxD

或 .20

,20 :

rD

过 (r, )∈D 做平行于 z 轴的直线，得

x

y

z

o

4

x

y

z

o

4

Ao 2

2r

),( r

x

y

z

o

4

),( r

42 zr

.,sin,cos

zzryrx

即


4

,20

,20

:2

zr

r

于是，

dxdydzz .

dzddrrz

42

0

2

0 2 r

dzzrdrd

Ao 2

2r

, dzddrrdv

dxdydzz

dzddrrz

42

0

2

0 2 r

dzzrdrd

2

0

422

022

drzrdr

2

052

0)(16

21 drrrd

2

0

2

0

62

618

21 drr

2

0

62

6182

21

rr .

364

例 6 求

zdxdydzI ，其中是球面 4222 zyx

与抛物面 zyx 322 所围的立体.

解

zyx

zyx

3

422

222求交线：

x y

z

o

将向 xoy 面投影，得

.3 : 22 yxD

.1

,322

zyx

o A

3r

或 .30,20

:

rD

dzdrdrzdxdydzzI

.4

13

x y

z

o

2

3

242

0

3

0

rr zdzrdrd

.43

22

rzr

即


.43

,30,20

:22

rzr

r

),( r

.,sin,cos

zzryrx

, dzddrrdv

或 .30,20

:

rD

例 7 计算三重积分 , )( 22

dvyx 其中是由曲

所围成。与平面面 )0( 22 HHzyxz

解将向 xoy 面投影，得 222 : HyxD

或 .0

,20 :

HrD

x

y

z

o

H

x

y

z

o

H

x

y

o H

H

H

H.Hzr


),( r

,0

,20

:

Hzr

Hr

即

或 .0

,20 :

HrD

.Hzr


x

y

o H

H

H

H

H

x

y

z

o

H

),( r

dvyx )( 22 . 2

dzddrrr

H

r

Hdzrdrd 3

0

2

0

.,sin,cos

zzryrx

, dzddrrdv

H H

r drzrd0

32

0

H

drrHr0

43 )(2

.10 5H

,0

,20

:

Hzr

Hr

即

dvyx )( 22 . 2

dzddrrr

H

r

Hdzrdrd 3

0

2

0

.,sin,cos

zzryrx

, dzddrrdv

2 、利用球面坐标计算三重积分

的球面坐标．就叫做点，，样的三个数面上的投影，这在为点的角，这里

向线段轴按逆时针方向转到有轴来看自为从正轴正向所夹的角，与为有向线段的距离，

间与点为原点来确定，其中，，序的数可用三个有次为空间内一点，则点设

Mr

xoyMPOP

xz

zOM

MOrr

MzyxM

),,(

,0 r

.20

,0

规定：

x

y

z

o

),,( zyxM

P

r

为常数r

为常数

为常数

如图，三坐标面分别为

圆锥面；

球面；

半平面．

.cos

,sinsin

,cossin

rz

ry

rx

球面坐标与直角坐标的关系为

Px

y

z

o

),,( zyxM

r

z

y

xA

x

y

z

o

r

zyx

zyx

rz

ry

rx

rzyx),,(),,(

由

0cossinsinsin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

rr

rrr

sincoscos

coscossin cossin

sinsincos

cossinsin sinsin

rrr

rrr

2222 cossinsinsin rr sin2r

所以 xyz

zyxzyxf ddd),,(

r

rrrrrf dddsin)cos,sinsin,cossin( 2

dxdydzzyxf ),,(

.sin)cos,sinsin,cossin( 2

dddrrrrrf

球面坐标系中的体积元素为

,sin 2 dddrrdv

如图，

d

r

x

y

z

o

dr

dsinr

rd

d

d

sinr

再根据再中 r ，，的关系，化为三次积分。

一般，先对 r 积分，再对，最后对积分。

例 8 用球面坐标计算

. 2

dvz 其中

.1 : 222 zyx

解画图。

确定 r ，，的上下限。

(1) 将向 xoy 面投影，得

. 20

(2) 任取一 ],2 ,0[ 过 z 轴作半平面，得.0

(3) 在半平面上，任取一 ], ,0[ 过原点作

射线，得 .10 r

x

y

z

o

x

y

z

o

(3) 在半平面上，任取一 ], ,0[ 过原点作

射线，得 .10 r

即

.10

,0

,20

:

r

dvz2

.cos,sinsin,cossin

rzryrx

dddrrr 2

22 sincos

1

024

0

2

0 sin cos drrdd

0

1

0

522

0 5sin cos drd ddrdrdv sin2

0

22

0 sin cos

51 dd

0

22

0)(cos cos

51 dd

2

0

0

3

3cos

51 d

2

0152 d

.154

dvz2

.cos,sinsin,cossin

rzryrx

dddrrr 2

22 sincos

1

024

0

2

0 sin cos drrdd

0

1

0

522

0 5sin cos drd ddrdrdv sin2

例 9 计算 . )( 222

dvzyx 其中由曲面

22 yxz 和 2222 Rzyx 围成。 )0( R

将向 xoy 面投影，得. 20

任取一 ],2 ,0[ 过 z

.4

0

在半平面上，任取一 ],4

,0[

过原点作射线，得 .0 Rr

解

轴作半平面，得

x

y

z

o

R

即

.0

,4

0

,20

:

Rr

dddrrr 2

2 sin

R

drrdd0

44

0

2

0 sin

x

y

z

o

R

dvzyx )( 222

.cos,sinsin,cossin

rzryrx

).22(51 5 R

在半平面上，任取一 ],4

,0[

过原点作射线，得 .0 Rr

ddrdrdv sin2

例 10 求曲面 2222 2azyx 与 22 yxz

所围成的立体体积.

解由锥面和球面围成，

x

y

z

o

R

dvV

由三重积分的性质，有

.20

,4

0

,20

:

ar

解由锥面和球面围成，

dvV

由三重积分的性质，有

.20

,4

0

,20

:

ar

x

y

z

o

R

a

drrdd2

02

0

2

0sin4

ddrdrdvV sin2

.)12(34 3a

.cos,sinsin,cossin

rzryrx

ddrdrdv sin2

例 11 计算积分 V

dxdydzzyxI )( 222

积分区域 V 为椭球体 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

解积分区域如图，

VVV

V

dxdydzzdxdydzydxdydzx

dxdydzzyxI

222

222 )(

1

22 2VV

dxdydzxdxdydzx

2

2

2

2

1b

y

a

xcz

2

2

2

2

1

0

22 b

y

a

xc

dzxdxdyxy

xy

dxdyb

y

a

xcx

2

2

2

22 12

1

0

222

01)cos(2 abrdrrarcd

1

0

232

0

23 1cos2 drrrdbca

1

0

2222

0

3 12

1)12(cos drrrdbca

bcabca 33

15

4

15

22

32

32

15

4

15

4

abcdxdydzz

cabdxdydzy

V

V

)(15

4 222 cbaabcI

类似地，有

所以

另解过点

),0,0( 0z 作垂直于轴的平面

z 0zz

与椭球截得的截面是

平面上的椭圆： 0z 0zz

1

11 2

202

2

2

202

2

c

zb

y

c

za

x

此椭圆的面积为：

2

201

c

zab

于是

z

dxdyzdzdxdydzzc

cV

22

32

222

15

41 abcdz

c

zabzdxdydzz

c

c

c

cz

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

例 12. 计算三重积分 V

I zdxdydz其中V 是椭球体 1

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x与 0z 所围区

域. 解作广义球坐标变换：T

：

T ： sin cos ,

sin sin ,

cos ,

x ar

y br

z cr

于是 ,,rJ = sin2abcr.

于是在上述广义球坐标变换之下， V 的原象为

20,2

0,10,, rrV

I =

=

V

zdxdydz

V

ddrdabcr cossin3

= 2

0

1

0

32

0

cossin

drrdd =2

4abc

三重积分的定义和计算

在直角坐标系下的体积元素

dxdydzdv

（计算时将三重积分化为三次积分）

三、小结

柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz

球面坐标的体积元素

ddrdrdxdydz sin2

柱面坐标

球面坐标

.cos,sinsin,cossin

rzryrx

.,sin,cos

zzryrx

13.613.6 重积分的应用重积分的应用


一、区域连通性的分类设 D 为平面区域 , 如果 D 内任一闭曲线所围成的部分都属于 D, 则称 D 为平面单连通区域 , 否则称为复连通区域 .

复连通区域单连通区域

DD

一、立体的体积二重积分的几何意义

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．

x

z

yo

D

),( yxfz

.),(D

dyxfV

例 1 计算由曲面

2241 yxz 及 xoy 面所围的立体体积。

x

y

z

o1

1

21x

y

z

o1

1

21

解设立体在第一卦限上的体积为 V1 。由立体的对称性，所求立体体积 V = 4V1 。 1

21 x

y

o

241 xy

D立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为 ,41 22 yxz

.410

,210:

2xy

xD

1

21 x

y

o

241 xy

D

立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为 ,41 22 yxz

它的底为

于是， dyxVD

)41( 221

dyyxdxx

241

02221

0 )41(

21

0

41

0

32

2

3)41( dx

yyx

x

21

0

41

0

32

2

3)41( dx

yyx

x

21

0232 )41(

32 dxx

tx sin21

令xt

0 21

0 2 2

04 cos

21

32

dtt

)22

143(

31

16

所求立体的体积

14VV .4

例 2 求两个圆柱面

222 Ryx 222 Rzx 及所围的立体在第一卦限部分的体积。

xy

z

oRR

R

xy

z

oRR

R

R x

y

o

22 xRy R

D

解所求立体可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为

,22 xRz

.0

,0:

22 xRy

RxD它的底为

R x

y

o

22 xRy R

D

,22 xRz

.0

,0:

22 xRy

RxD它的底为

它的曲顶为

于是，立体体积为

dxRVD 22 dyxRdx

xRR

22

022

0

R xR

dxyxR0 0

2222

R

dxxR0

22 )(

RxxR

0

32

3

.

32 3R

例 3 求球体 2222 4azyx 被圆柱面 axyx 222

)0( a所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。

解显然，所求立体应在第一、第四、第五、第八卦限。

而且，四个卦限部分的体积是对称相等的。

因此，若设第一卦限部分的体积为 V1 ，则所求立体的体积为

.4 1VV

x

y

z

oa2

a2

a2

V1 可以看成是一个曲顶柱体，

它的曲顶为

x

y

z

oa2

a2

a2

.4 222 yxaz

22 xaxy 它的底 D 由半圆周及 x 轴围成。

a2 x

y

o

cos2ar

D

用极坐标系表示

:D ,2

0

.cos20 ar

于是，

dyxaVD 4 222

1

drdrraD 4 22

a2 x

y

o

cos2ar

D

dyxaVD 4 222

1

drdrraD 4 22

drrrada

4cos2

0222

0

)4( 421 22cos2

0222

0radrad

a

2

033 )sin1(

38 da )

32

2(

38 3 a

所求立体体积

14VV )32

2(

332 3 a

二、曲面的面积１．设曲面的方程为： ),( yxfz

,Dxoy面上的投影区域为在

,Dd 设小区域

,),( dyx 点

.

)),(,,(

的切平面

上过为 yxfyxMS

.dsdAdAdss

zd

，则有为；截切平面为截曲面

轴的小柱面，于边界为准线，母线平行以

如图，

d),( yx

M dA

x

y

z

s

o

, 面上的投影在为因为 xoydAd

,cos dAd所以

,1

1cos22yx ff

dffdA yx221

,1 22 D

yx dffA

--- 曲面 S 的面积元素

曲面面积公式为： dxdyyz

xzA

xyD

22 )()(1

３．设曲面的方程为： ),( xzhy

曲面面积公式为： .122

dzdxxy

zy

AzxD

２．设曲面的方程为： ),( zygx

曲面面积公式为： ;122

dydzzx

yxA

yzD

同理可得

例 4 求球面 2222 azyx 含在圆柱体

axyx 22 内部的那部分面积.

14AA ,

曲面方程 222 yxaz ,

221

yz

xz

解

x

y

z

o a

a

a

设第一卦限部分的面积为 A1 ，

则由对称性，所求的面积为

,222 yxa

a

xyD

dxdyyxa

a222

cos

0 22

2

01a

rdrra

da .42 22 aa

dxdyyz

xzA

xyD

122

1

xyD ： axyx 22 )0,( yx

a x

y

o

cosar

D

极坐标系下表示：

,2

0 .cos0 ar

D

drdrra

a 22

例 5 求两个圆柱面

222 Ryx 222 Rzx 及所围的立体的表面在第一卦限部分的面积 A 。

解所求表面分成 Ⅰ和Ⅱ，如图。

xy

z

oRR

R

Ⅰ

Ⅱ

第一块（ Ⅰ ）在圆柱面

上， 222 Rzx

第一块（ Ⅱ ）在圆柱面

. 222 上Ryx

由对称性，这两块曲面的面积相等，即 AⅠ=AⅡ 。

因此， A = 2 AⅠ 。,22 xRz 在 AⅠ 上，曲面方程为

221

yz

xz

,22 xR

R

xyD ： 222 Ryx )0,0( yx

xyD

dxdyxR

R22

dxdyyz

xz

xyD

122

AⅠ

,22

xR

RRx 时，当

R x

y

o

22 xRy R

xyD

,22 xRz 在 AⅠ 上，曲面方程为因此， A = 2 AⅠ 。

R x

y

o

22 xRy R

xyD

xyD

dxdyxR

R22

dxdyyz

xz

xyD

122

AⅠ

,22

xR

RRx 时，当

取 1D ： 222 Ryx ),0,0( yx

1Rx 围成。 0 ,0 ),0( 1 xyRR

R x

y

o

22 xRy R

1D

1R

AⅠ

11

22lim

DRRdxdy

xR

R

221

10 220

limxRR

RRdy

xR

Rdx

AⅠ

11

22lim

DRRdxdy

xR

R

221

10 220

limxRR

RRdy

xR

Rdx

1

10

limR

RRRdx

.2R

于是所求面积， A = 2 AⅠ

.2 2R

设在空间中有 n 个质量分别是

的质点组，它们的坐标分别为

nmmm ,,, 21

),,(,),,,(),,,( 222111 nnn zyxzyxzyx

由静力学的知识可知，这个质点组的质心坐标

有如下的计算公式： ),,( zyx

,,,

1

1

1

1

1

1

n

ii

n

iii

n

ii

n

iii

n

ii

n

iii

m

mzz

m

myy

m

mxx

三、物体的重心

设为一块可以度量的几何体，它的密度函数为 )(M

设在上连续，要求的质心坐标。)(M

我们打算用质点组的质心坐标的公式来计算，但质点组是

离散分布的，而是质量连续分布的几何体。因此，首

先把分划成若干可度量的小块：

n ,,, 21

为了简化符号，也用

表示小块的度量。n ,,, 21

若这些小块分得充分小，每一个小块可近似地看作一个点，于是可近似地看作一个质点组，从而可用质点组的质心坐标公式来近似计算的质心坐标。

为此先计算每一个小块的质量，由于密度函数

不是常数，即的密度分布不是均匀的，因此不能简单地用密度均匀分布的物体的质量的计算公式：密度 × 度量，来计算。

)(M

由于假设连续，因此当比较小时，

在上变化不大，于是可近似地看成不变，从而的度量可近似计算为

i)(M

i )(M

i

iiM

iiM )(

这里是中的任意一点，设其在三维空间中的坐标为，于是几何体的质心坐标可近似表示为

iM

),,( iii zyx

),,( GGG zyx

i

,)(

)(

,)(

)(,

)(

)(

1

1

1

1

1

1

n

iii

n

iiii

G

n

iii

n

iiii

Gn

iii

n

iiii

G

M

Mzz

M

Myy

M

Mxx

当然这个质心坐标只能是近似的，如果分得小一些

近似程度就要好些，因此在上式中让每一个的直径

趋于零取极限，把极限值定义为的质心坐标。于是令

i

i

}{max1

的直径ini

d

让，取极限得0d

,)(

)(lim

,)(

)(lim

,)(

)(lim

1

1

0

1

1

0

1

1

0

n

iii

n

iiii

dG

n

iii

n

iiii

dG

n

iii

n

iiii

dG

M

Mzz

M

Myy

M

Mxx

上述和式的极限，正是我们在第九章第一节定义的黎曼积分，因此，得到

,)(

)(

,)(

)(,

)(

)(

dm

zdm

dM

dMzz

dm

ydm

dM

dMyy

dm

xdm

dM

dMxx

G

GG

这里 dMdm )(

如果几何体是三维空间中的一块立体，则上述积分

就是三重积分，从而质心坐标可表示为

V

,),,(

),,(

,),,(

),,(

,),,(

),,(

V

VG

V

VG

V

VG

dxdydzzyx

dxdydzzyxz

z

dxdydzzyx

dxdydzzyxy

ydxdydzzyx

dxdydzzyxx

x

如果几何体是一块平面区域，则上述积分就是二重积分；如果几何体是一块空间曲面，上述积分就成为第一型曲面积分；如果几何体是一条曲线，上述积分就成为第一型曲线积分。

解

由于立体关于轴对V

称，并且立体是均匀的，即

密度函数为常数，所以有

0 GG yx

z

y

x

例 6 设由上半球面

和锥面（以轴为轴，半顶角为）围

成的均匀立体，求的质心。

V222 yxaz

)2

0(

V

z

V

V

V

VG

dxdydz

dxdydzz

dxdydz

dxdydzz

z

2

0 0 0

2 sincosa

V

drrrdddxdydzz

而

0 0

3sincos2a

drrd

2442

sin4

1

42

sin2 a

a

2

0 0 0

2 sina

V

drrdddxdydz

0 0

2sin2a

drrd

)cos1(3

2

3)cos1(2 3

3

aa

于是

)cos1(8

3

)cos1(32

sin41

3

24

a

a

azG

),( yx

设xoy平面上有n个质点，它们分别位于 ),( 11 yx ，

),( 22 yx ， , ),( nn yx 处，质量分别为 nmmm ,,, 21 ．

则该质点系的重心的坐标为

n

ii

n

iii

y

m

xm

M

Mx

1

1 ，

n

ii

n

iii

x

m

ym

MM

y

1

1 ．

平面薄片的重心

当薄片是均匀的，重心称为形心 .

,1 D

xdA

x .1 D

ydA

y D

dA 其中

,),(

),(

D

D

dyx

dyxx

x

.

),(

),(

D

D

dyx

dyxy

y

由元素法

设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点

),( yx 处的面密度为 ),( yx ，假定 ),( yx 在D上连

续，平面薄片的重心

闭区域 D 的面积

例 7 设平面薄板由

)cos1(

)sin(

tay

ttax， )20( t 与 x

轴围成，它的面密度 1 ，求重心坐标．

解先求区域 D的面积 A，

20 t ， ax 20

a

dxxyA2

0)(

2

0)]sin([)cos1( ttadta

2

022 )cos1( dtta .3 2a

Da2a

)(xy

所以重心在 ax 上，即 ax ,

D

ydxdyA

y 1

)(

0

2

01 xya

ydydxA

a

dxxya

2

02

2)]([

61

2

03]cos1[

6dtta

.6

5

所求重心坐标为 )65 ,( a .

由于区域关于直线 ax 对称，

薄片对 z z 轴上单位质点的引力

设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点

),( yx 处的面密度为 ),( yx ，假定 ),( yx 在D上连

续，计算该平面薄片对位于z轴上的点 ),0,0(0 aM

处的单位质点的引力． )0( a

},,,{ zyx FFFF

,)(

),(

23

222

dayx

xyxGF

Dx

,

)(

),(

23

222

dayx

yyxGF

Dy

.)(

),(

23

222

dayx

yxaGF

Dz

G 为引力常数

四、平面薄片对质点的引力

例 8 求面密度为常量、半径为R的均匀圆形薄片： 222 Ryx ， 0z 对位于 z轴上的点 ),0,0(0 aM

处的单位质点的引力． )0( a

解由积分区域的对称性知 ,0 yx FF

d

ayx

yxaGF

Dz

23

)(

),(222

dayx

aGD

23

)(

1222 o y

z

x

F

drrar

daGR

0 22

2

023

)(

1

.11222

aaRGa

所求引力为

.112,0,022

aaRGa

dayx

aGD

23

)(

1222

drrar

daGR

0 22

2

023

)(

1

五、矩

设为一块可以度量的空间立体，它的密度函数

在上连续，分别称

V )(M

V

V

k

V

k

V

k

dxdydzzyxz

dxdydzzyxydxdydzzyxx

),,(

,),,(,),,(

为物体关于坐标平面，坐标平面，坐标平面

的阶矩。

V YZ ZX

XY k )0( k

其中当的情形更为重要。2,1,0k

当时称为零阶矩，表示物体的质量。0k

当时称为静矩，静矩与物体质量之比为该物体的质心的坐标。

1k

当时称为转动惯量。2k

又分别称

V

Oy

V

Ox

V

Oz

dxdydzzyxxzI

dxdydzzyxzyI

dxdydzzyxyxI

),,()(

,),,()(

,),,()(

22

22

22

为物体关于轴，轴，轴的转动惯量。V x yz

显然有

zxyz

VV

V

OZ

II

dxdydzzyxydxdydzzyxx

dxdydzzyxyxI

),,(),,(

),,()(

22

22

xyzx

VV

V

Ox

II

dxdydzzyxzdxdydzzyxy

dxdydzzyxzyI

),,(),,(

),,()(

22

22

yzxy

VV

V

Oy

II

dxdydzzyxxdxdydzzyxz

dxdydzzyxxzI

),,(),,(

),,()(

22

22

其中分别表示物体关于坐标平面，

坐标平面，坐标平面的转动惯量。

V

YZ ZX

XYzxyzxy III ,,

例 9 计算由平面

所围成的均匀物体（设）对于坐标平面的转动惯量

,0,0,0,1 zyxc

z

b

y

a

x

1

z

x

y

解

V

xy dxdydzzI 2

z

是一个直角三角形，两直角边的长度分别为

z

c

zcb

c

zca )()( 和

z

dxdyzdzc

2

0

所以

zz

dxdydzzdxdyzdzIcc

xy

0

22

0

60)(

2

3

0

222

abcdzzcz

c

ab c

同样可得

60,

60

33 cabI

bcaI zxyz

c

dzc

zcb

c

zcaz

0

2 )()(

2

1

例 10 已知均匀矩形板（面密度为常数）的长和宽分别为b和h，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.

解先求形心 ,1D

xdxdyA

x .1D

ydxdyA

y

建立坐标系如图o

y

x

,hbA 区域面积

因为矩形板均匀,

由对称性知形心坐标2b

x ，2h

y.

h

b

将坐标系平移如图

o

y

x

h

b

u

v

o

对u轴的转动惯量

D

u dudvvI 2

2

2

2

2

2h

h

b

bdudvv .

12

3bh

对v轴的转动惯量

D

v dudvuI 2 .12

3 hb

几何应用：立体的体积、曲面的面积

物理应用：重心、对质点的引力、转动惯量

（注意审题，熟悉相关物理知识）

五、小结

重积分习题课

定义定义

几何意义几何意义

性质性质

计算法计算法

应用应用

二重积分

二重积分

定义定义

几何意义几何意义

性质性质

计算法计算法

应用应用

三重积分

三重积分

一、主要内容

定义设 ),( yxf 是有界闭区域 D 上的有界函数，将

闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域 1 ， ,2 ，

n ，其中 i 表示第 i个小闭区域，也表示它的面积，

在每个 i 上任取一点 ),( ii ，

作乘积 ),( iif i ， ),,2,1( ni ，

并作和 ii

n

iif

),(

1

，

1 、二重积分的定义

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数

),( yxf 在闭区域 D 上的二重积分，记为

D

dyxf ),( ，

即 D

dyxf ),( ii

n

iif

),(lim

10

２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．

性质１当为常数时，k

.),(),( DD

dyxfkdyxkf

性质２ D

dyxgyxf )],(),([

.),(),( DD

dyxgdyxf

３、二重积分的性质

性质３对区域具有可加性

.),(),(),(21

DDD

dyxfdyxfdyxf

)( 21 DDD

性质４若为 D 的面积 .1 D D

dd

性质５若在 D 上， ),(),( yxgyxf

.),(),( DD

dyxgdyxf

特殊地 .),(),( DD

dyxfdyxf

设 M 、 m 分别是 ),( yxf 在闭区域 D 上的最大值和最小值，为 D 的面积，则

D

Mdyxfm ),(

（二重积分估值不等式）

性质６

设函数 ),( yxf 在闭区域 D 上连续，为 D的面积，则在 D 上至少存在一点 ),( 使得 ),(),( fdyxf

D

.

性质７

（二重积分中值定理）

４、二重积分的计算

,: bxaD ).()( 21 xyx ［ X －型］

.),(),()(

)(

2

1 D

b

a

x

xdyyxfdxdyxf

X- 型区域的特点：穿过区域且平行于 y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .

（１）直角坐标系下　

Y 型区域的特点：穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .

.),(),()(

)(

2

1 D

d

c

y

ydxyxfdydyxf

,: dycD ).()( 21 yxy ［ Y －型］

.)sin,cos()(

)(

2

1

rdrrrfd

1

)sin,cos(D

rdrdrrf

,:1 D ).()( 21 r

（２）极坐标系下　

.)sin,cos()(

0

rdrrrfd

,:2 D ).(0 r

2

)sin,cos(D

rdrdrrf

3

)sin,cos(D

rdrdrrf

.)sin,cos()(

0

2

0

rdrrrfd

,20:3 D ).(0 r

5、二重积分的应用

(1) 体积

的体积为之间直柱体与区域在曲面 Dyxfz ),(

D

dxdyyxfV .),(

设 S 曲面的方程为： ).,( yxfz

曲面 S 的面积为 ;1 22 dxdyAxyD

yz

xz

(2) 曲面积

当薄片是均匀的，重心称为形心 .

,1D

xdA

x .1D

ydA

y D

dA 其中

,),(

),(

D

D

dyx

dyxx

x

.

),(

),(

D

D

dyx

dyxy

y

设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片的重心为

(3) 重心

薄片对于 x 轴的转动惯量

薄片对于 y 轴的转动惯量

,),(2D

x dyxyI

.),(2D

y dyxxI

设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片对于x轴和y轴的转动惯量为

(4) 转动惯量

薄片对轴上单位质点的引力z

设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx ，假定 ),( yx 在D上连续，计算该平面薄片对位于z 轴上的点

),0,0(0 aM 处的单位质点的引力． )0( a

},,,{ zyx FFFF

,)(

),(23

222

dayx

xyxfF

D

x ,

)(

),(23

222

dayx

yyxfF

D

y

.)(

),(23

222

dayx

yxafF

D

z 为引力常数f

(5) 引力

6、三重积分的定义

设 ),,( zyxf 是空间有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成n个小闭区域 1v， 2v ,

, nv，其中 nv表示第i个小闭区域，也表示它的体积, 在每个 iv上任取一点 ),,( iii 作乘积

iiii vf ),,( ， ),,2,1( ni ，并作和, 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 ),,( zyxf 在闭区域上的三重积分，记为

dvzyxf ),,( iii

n

ii vf

),,(lim1

0

.

7 、三重积分的几何意义

表示空间区域的体积．

时当

Vdv

zyxf ,1),,(

8、三重积分的性质

类似于二重积分的性质．

9、三重积分的计算

.);()();,(),(: 2121 bxaxyyxyyxzzyxz

.),,(),,()(

)(

),(

),(

2

1

2

1

b

a

xy

xy

yxz

yxzdzzyxfdydxdvzyxf

}.,),(),,{( 21 czcDyxzyx z

.),,(),,(2

1

zD

c

cdxdyzyxfdzdvzyxf

( １ ) 直角坐标

.

,sin

,cos

zz

ry

rx

( ２ ) 柱面坐标

.),sin,cos(

),,(

dzrdrdzrrf

dvzyxf

,dzrdrddv

.cos

,sinsin

,cossin

rz

ry

rx

,sin2 ddrdrdv

dxdydzzyxf ),,(

.sin)cos,sinsin,cossin( 2 ddrdrrrrf

( ３ ) 球面坐标

10、三重积分的应用

.

dvM 其中

,1

dvxM

x

设物体占有空间闭区域，在点),,( zyx处的密度为),,( zyx，假定),,( zyx在上连续，则该物体的重心为

( １ ) 重心

,1

dvyM

y .1

dvzM

z

,2

dvzI xy

( ２ ) 转动惯量

设物体占有空间闭区域，在点),,( zyx处的密度为),,( zyx，假定),,( zyx在上连续，则该物体对坐标面,坐标轴及原点的转动惯量为

,2

dvxI yz ,2

dvyI zx

,)( 22

dvzyI x ,)( 22

dvxzI y

,)( 22

dvyxI z .)( 222

dvzyxIo

D

二、典型例题

例 1

解围成．

由其中计算 2,1

,.2

2

xx

yxyDdyx

D

X- 型

x

xD

dyyx

dxdyx

1 2

22

12

2

2

1 1

2

)( dxyx x

x

2

1

3 )( dxxx .49

.21,1

: xxyx

D

例 2

解

.10,11:.2 yxDdxyD

其中计算

1D2D

3D

先去掉绝对值符号，如图

dxydyx

dxy

DDD

D

321

)()( 22

2

12

1

10

21

1 2

2

)()(x

x

dyxydxdyyxdx .1511

)0(.),(2

2

2

0 2

adyyxfdxIax

xax

a

更换积分次序例 3

解

,22

,20:

2 axyxax

axD

,

,

3

21

三部分及分成将积分区域

D

DDD

2D

1D3D

;0

,2

: 222

1

ay

yaaxa

yD

;2,22

:2

2 ayaaxa

yD

;0

,2: 22

3

ay

axyaaD

.),(),(

),(

2

0

2

2

2

0

20

222

22

2

a

yaa

aa

ay

a

yaa

ay

a

dxyxfdydxyxfdy

dxyxfdyI故

例 4

解

）．所围的面积（取圆外部和圆

是由心脏线其中计算

arar

DdyxD

)cos1(

.22

)cos1(2

2

22

a

a

D

rdrrd

dyx

2

2

33 ]1)cos1[(31

da

).29

22(3 a

例 5

解

所围成．及

由其中计算

00

,1.)cos(

yx

yxDdxdyyxyx

ID

,, yxvyxu 令

.2

,2

uvy

vux

则

,DD

D

x

y

o

1 yx

D

u

v

o

vuvu

1v

.11

;0

;0

vyx

vuy

vux即

),(),(

vuyx

J

,21

21

21

21

21

D

dudvJvu

I cos故

v

vdu

vu

dv cos21 1

0

.1sin21

1sin221 1

0 vdv

例 6

.)()(1

1)()( 12

b

a

nx

a

nb

adyyfyb

ndyyfyxdx

证明

证

b

y

nb

a

x

a

nb

a

dxyfyxdy

dyyfyxdx

)()(

)()(

2

2

b

a

b

y

nyxn

dyyf ])(1

1[)( 1

.)()(1

1 1

b

a

n dyyfybn

D

xy

b

b

a

a

例 7

组成的三棱锥台．

是由六个顶点，其中计算

)4,2,2(

),0,2,2(),0,0,2(),2,1,1(),0,1,1(),0,0,1(

:1

22

F

EDCBA

dvyx

解 ,ABEDxoy面上的投影为梯形在

为顶的柱体．以梯形为底，是以梯形

ACFD

ABED

,轴所在平面过梯形 xACFD

,0 zy 设其方程为 x

y

z

C

A

F

E

D

B

O

.02,)2,1,1( yzC 得其方程为点又因过

.21;0;20: xxyyz

yx

dzdyyx

dxdvyx

2

00 22

2

122

11

x

dyyx

ydx

0 22

2

1

2

2

1

22 ]ln)2[ln( dxxx .2ln

例 8

所围成的．

与由其中，计算

22

22

1

)(

yxz

yxzdvzx

解

利用球面坐标

奇函数，的为面为对称，关于 xxzyxfyoz ),,(

.0

xdv有

zdvdvzx )(

1

0

24

0

2

0sincos drrrdd .

8

例９ .1: 222

zyxdve z ，计算

解法．，故采用＂先二后一＂为圆域的函数，截面被积函数仅为

222 1

)(

zyx

zDz

上

dvedve zz 2

1

0)(

][2 dzedxdy z

zD

1

0

2 )1(2 dzez z .2

例 10

.)()(21

]))(([0

2

0 0 0 xx v u

dttftxdvdudttf

证明

证思路：从改变积分次序入手．

v v

t

v u

dutfdtdttfdu00 0

)()( v

dttftv0

,)()(

x vx v u

dttftvdvdvdudttf0 00 0 0

)()(]))(([

x x

tdvtftvdt

0)()( .)()(

21

0

2 x

dttftx

例 11

.222

dxxgdxxfdxxgxf

baxgxfb

a

b

a

b

a ：证明

上连续，在，

证

byabxaD

dxdyygxgyfxf

dyygyfdxxgxf

dxxgxfdxxgxf

dxxgxf

D

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

，:

2

dxdyxgyfdxdyygxf

dyygdxxf

dxxgdxxf

DD

b

a

b

a

b

a

b

a

2222

22

22

dxdyygxgyfxf

dxdyxgyfygxf

dxdyxgyfdxdyygxf

dxxgdxxf

D

D

DD

b

a

b

a

2

2

2222

2222

22

.2

b

a dxxgxf

2

1 1 1

2 2 2

a a a a a

o o o o o

dy f x f y dx f x f y dy f u du

x

y

a

o

y x

a

2

1

2

a x a

o o o

dx f x f y dy f u du

证明：等式

,a a a ax y

o y o x

dy f x f y dx dx f y f x dy 互换

而

a x a a

o o o y

dx f x f y dy dy f x f y dx 交换积分次序

证：

1

2

a x a x a a

o o o o o x

dx f x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy

例 12

例 13. 计算三重积分 V

I zdxdydz其中V 是椭球体 1

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x与 0z 所围区

域. 解作广义球坐标变换：T

：

T ： sin cos ,

sin sin ,

cos ,

x ar

y br

z cr

于是 ,,rJ = sin2abcr.

于是在上述广义球坐标变换之下， V 的原象为

20,2

0,10,, rrV

I =

=

V

zdxdydz

V

ddrdabcr cossin3

= 2

0

1

0

32

0

cossin

drrdd =2

4abc

一、选择题:

1、x

dyyxfdx1

0

1

0),( =( )

(A) 1

0

1

0),( dxyxfdy

x

； (B) x

dxyxfdy1

0

1

0),( ；

(C) 1

0

1

0),( dxyxfdy ； (D)

ydxyxfdy

1

0

1

0),( .

2、设D为 222 ayx ,当a( )时,

D

dxdyyxa 222.

(A) 1 ； (B) 32

3 ；

(C) 34

3； (D) 3

2

1 .

测验题

3、当D是( )围成的区域时,二重积分D

dxdy=1.

(A)x轴,y轴及 022 yx ；(B)31

,21yx ；

(C)x轴,y轴及 3,4yx ；(D) .1,1 yxyx

4、D

xydxdyxe 的值为( ).其中区域为D

01,10 yx .

(A) e

1 ； (B) e ；

(C) e

1 ； (D) 1 .

5、设 D

dxdyyxI )( 22 ,其中D由 222 ayx 所

围成,则I=( ).

(A)4

0

22

0ardrad

a

;(B)

4

0

22

0 21

ardrrda

;

(C)3

0

22

0 32

adrrda

;(D)4

0

22

02 aadrad

a

.

6、设是由三个坐标面与平面 zyx 2 =1所围成的空间区域,则

xdxdydz=( ).

(A) 48

1 ； (B)

48

1 ；

(C) 24

1 ； (D)

24

1 .

7 、设是锥面 ,0(2

2

2

2

2

2

ab

y

a

x

c

z)0,0 cb 与平面

czyx ,0,0 所围成的空间区域在第一卦限的

部分 , 则

dxdydzz

xy= ( ) .

( A ) cba 22

361

； ( B ) bba 22

361

；

( C ) acb 22

361

； ( D ) abc36

1.

8 、计算

zdvI , 其 1,222 zyxz为中围成的

立体 , 则正确的解法为 ( ) 和 ( ) .

9、曲面 22 yxz 包含在圆柱 xyx 222 内部的那部分面积s ( ).

(A) 3； (B) 2；(C) 5； (D) 22 .

10、由直线 2,2,2 yxyx 所围成的质量分布均匀 (设面密度为)的平面薄板,关于x轴的转动惯量 xI =( ). (A) 3； (B) 5； (C) 4； (D) 6 .

(A)

1

0

1

0

2

0zdzrdrdI ；(B)

11

0

2

0 rzdzrdrdI ；

(C)

11

0

2

0 rrdrdzdI ； (D)

zzrdrddzI

0

2

0

1

0.

二、计算下列二重积分 : 1 、

D

dyx )( 22 , 其中 D 是闭区域 :

.0,sin0 xxy

2 、 D

dx

yarctan , 其中 D 是由直线 0y 及圆周

1,4 2222 yxyx , xy 所围成的在第一象限内的闭区域 .

3 、 D

dyxy )963( 2 , 其中 D 是闭区

域 : 222 Ryx 4 、

D

dyx 222 , 其中 D : 322 yx .

三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序 :

1 、

yy

dxyxfdydxyxfdy3

0

3

1

2

0

1

0),(),( ；

2 、 2111

0),(

x

xdyyxfdx ；

3 、

00

)sin,cos( rdrrrfda

.

四、将三次积分 y

xxdzzyxfdydx ),,(

11

0改换积分次序为

zyx .五、计算下列三重积分 :

1 、

,)cos( dxdydzzxy : 抛物柱面 xy

2

,,

zxozoy及平面所围成的区域 .

2 、 ,)( 22

dvzy 其中是由 xoy 平面上曲线

xy 22 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 5x 所围成的闭区域 .

3 、 ,1

)1ln(222

222

dv

zyx

zyxz其中是由球面

1222 zyx 所围成的闭区域 .

六、求平面 1c

z

b

y

a

x被三坐标面所割出的有限部分

的面积 .七、设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续 , 试证 :

31

0

1

0

1])([

6

1)()()( dxxfdxdydzzfyfxf

x

y

x .

一、 1、D； 2、C； 3、A； 4、A； 5、B；6、A； 7、A； 8、B,D； 9、B； 10、C.

二、1、9

402 ；2、 2

643；3、 24 9

4RR ；4、 .

25

三、1、 x

x dyyxfdx3

2

2

0),( ；

2、

22 2

0

2

10

1

0),(),(

yyydxyxfdydxyxfdy ；

3、 a

r

adrrfrdr )sin,cos(

0.

四、 z

zdxzyxfdydz

0

11

0),,( .

五、1、21

16

2

； 2、 3

250； 3、0.

测验题答案

六、 222222

2

1accbba .

七、提示：

0)0(,)()(

)()(,)()(

1

0

0

FdxxftF

xfxFdttfxFx

且

则

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第 13 章 重积分

第 13 章重积分