第第 1414 章 曲线积分章 曲线积分

§1 §1 第一型曲线积分第一型曲线积分

§2 §2 第二型曲线积分第二型曲线积分

第二十章 曲线积分第二十章 曲线积分

§1 §1 第一型曲线积分第一型曲线积分

一、问题的提出一、问题的提出

实例 : 曲线形构件的质量

o x

y

A

B1nM

iM

1iM2M

1M

),( ii L

.sM 匀质之质量

分割 ,,,, 121 in sMMM

,),( iii s取 .),( iiii sM

求和 .),(1

n

iiii sM

取极限 .),(lim1

0

n

iiii sM

近似值

精确值

二、对弧长的曲线积分的概念

,),(

,),(

,

),(,.

,,,.

),(,

1

121

n

iiii

iii

iii

n

sf

sf

i

si

nLMMMLL

yxfxoyL

并作和

作乘积点个小段上任意取定的一

为第又个小段的长度为设第个小段分成把上的点用上有界在

函数面内一条光滑曲线弧为设

1. 定义

o x

y

A

B1nM

iM

1iM2M

1M

),( ii L

.),(lim),(

,),(,

),(,

,0

10

n

iiiiL

L

sfdsyxf

dsyxf

L

yxf

即记作线积分

第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在

时长度的最大值如果当各小弧段的

被积函数

积分弧段

积分和式

曲线形构件的质量 .),(L

dsyxM

2. 存在条件：

.),(

,),(

存在对弧长的曲线积分

上连续时在光滑曲线弧当

Ldsyxf

Lyxf

3. 推广

曲线积分为上对弧长的在空间曲线弧函数 ),,( zyxf

.),,(lim),,(1

0i

n

iiii sfdszyxf

注意：

)(,)(.1 21 LLLL 是分段光滑的或若

.),(),(),(2121

LLLL

dsyxfdsyxfdsyxf

.),(

),(.2

Ldsyxf

Lyxf

曲线积分记为

上对弧长的在闭曲线函数

4. 性质 .),(),()],(),([)1(

LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf

).(),(),()2( 为常数kdsyxfkdsyxkfLL

.),(),(),()3(21

LLL

dsyxfdsyxfdsyxf

).( 21 LLL

且在 L上 ( , ) ( , )f x y g x y ，

则 ( , )L

f x y ds ( , )L

g x y ds .

( , ) g( , )L L

f x y ds x y ds 与 都存在，(4)

L L( ) ( , ) .f x y ds f x y ds 且 ，

.

（ 5） ( , y) s ( , )

L Lf x d f x y ds 若 存在，则 也存在，

6 ( , y) sL

f x d ( )若 存在，L的弧长为s,

则存在常数c,使得

( , y) s=csL

f x d

三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算定理

且上有一阶连续导数在其中

参数方程为

的上有定义且连续在曲线弧设

, ],[ )( ),(

)( ),(

),(

,),(

tt

tty

tx

LLyxf

dtttttfdsyxfL

)()()]( ),([),( 22

)( 证略。

).(),(

:tytx

L这里， . t

. )()( 22 dtttds

曲线积分 定积分

(1) L ： y=y(x), a≤x≤b

假设 y(x)C1([a, b]). 有

xxyxyxfsyxfb

aLd)('1))(,(d),( 2

( a < b )

xxys d)('1d 2

计算：

(2) L ： x=x(y), c≤y≤d

假设 x(y)C1([c, d]). 有

yyxyyxfsyxfd

cLd)('1)),((d),( 2

( c < d )

yyxs d)('1d 2

例 1. 计算 .dsyL 其中 L 为 y2=2x 自点 (0, 0) 到点 (2,

2)的一段弧 .

xx

xsyL

d2

112d

2

0

解 1： 0≤x≤2,2 : xyL

xx

ys d

d

d1d

2

x

xd

2

11

y2=2x

0 2

2

y

x

xx d122

0 ＋ )155(3

1

(3) L ： x=(t), y=(t), ≤t≤

ttts d)(')('d 22

tttttfsyxfL

d)(')('))(),((d),( 22

( < )

注意 :

;.1 一定要小于上限定积分的下限

.,,),(.2 而是相互有关的不彼此独立中 yxyxf

.)(:)2( dycyxL

.)(1]),([),( 2 dyyyyfdsyxfd

cL )( dc

. .

),(: dyc

yyyx

L

. )(1 2 dyyds

特殊情形.)(:)1( bxaxyL

. ).(

,: bxa

xyxx

L

. )(1 2 dxxds

.)(1)](,[),( 2 dxxxxfdsyxfb

aL )( ba

).(),(

:tytx

L1. 曲线 . t

对弧长曲线积分的计算公式

dtttttfdsyxfL

)()()]( ),([),( 22

则

2. 曲线 .)(: bxaxyL

.)(1)](,[),( 2 dxxxxfdsyxfb

aL

.)(: dycyxL 3. 曲线

.)(1]),([),( 2 dyyyyfdsyxfd

cL

则

则

推广 : )().(),(),(: ttztytx

)(

)()()()](),(),([

),,(

222

dtttttttf

dszyxf

例 1. 计算 .dsyL 其中 L 为 y2=2x 自点 (0, 0) 到点 (2,

2)的一段弧 .

xx

xsyL

d2

112d

2

0

解 1： 0≤x≤2,2 : xyL

xx

ys d

d

d1d

2

x

xd

2

11

y2=2x

0 2

2

y

x

xx d122

0 ＋ )155(3

1

解 2： 0≤y≤2,2

:2y

xL

yyysyL

d1d 2

0

2

yy

xs d

d

d1d

2

yy d1 2

)155(3

1

0 2

2

y

x

2

2yx

例 2. 计算 L

syx d)(

L: 连接 O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2) 的闭折线 OABO.

解： L 分段光滑

BOABOAL

ds=dx

2

1d)0(d)(

1

0 xxsyx

OA

OA: y=0, 0≤x≤1

O

2

A

By

x1

1

0d5))22((d)( xxxsyx

AB

AB: y=22x, 0≤x≤1

xys d'1d 2 xd5

52

3

2

0dd)( yysyx

BO

BO: x=0, 0≤y≤2

ds=dy

=2

252

3

2

1d)( Lsyx

)535(2

1

O

2

A

By

x

1

例 3. 计算 L

syx d)( 22 其中 L: x2+y2=a2.

L: x=acos t, y=asin t, 0≤t≤2

L

syx d)( 22

ttatatata d)cos()sin()sincos( 22222

0

22

taa d2

0

2

32 a

(4) 空间 R3 中的曲线： x=(t), y=(t), z=(t),

≤t≤

szyxf d),,(

xy

z

O

tttttttf d)()()()](),(),([ 222

( < )

例 4. 计算 .d)( 23 szyx

其中：从点 A(3, 2, 1) 到点 O(0, 0, 0) 的直线段 .

解：直线段 AO 方程：123

zyx

化成参数方程： x=3t, y=2t, z=t, 0≤t≤1.

ttttszyx d123))2()3((d)( 22221

0

323

tt d14311

0

3 144

31

例 52

,

: , (0,0) (1,1) .

LI yds

L y x

求

其中 从 到 一段

解

dxxxI )(1 21

0

2

.10: 2 xxyL

dxxx 21

041

)155(12

1

例 6

)20(.

,sin,cos:,)( 222

的一段

其中求

kz

ayaxdszyxI

解

).43(3

2 22222 kaka

dkaa

kaa

222

222222

)cos()sin(

sincos

2

0I

2

0

22222 )( dkaka

例 7

.0

,

,

2222

2

zyx

azyx

dsxI

为圆周其中

求

解 由对称性 , 知 .222 dszdsydsx

dszyxI )(31 222故

dsa3

2

.3

2 3a ),2( 球面大圆周长 dsa

例 8 ).(,sin

,cos: , 象限第椭圆其中求

tby

taxLxydsI

L

解

dttbtatbta 2220

)cos()sin(sincos

dttbtattab 222220

cossincossin

)(sin sin)(2

220

2222 tdbtbaab

,cos)( tatx .sin)( tbty

x

y

o a

b,sin)( tat .cos)( tbt

.2

0 t

L xyds

.)(3

)( 22

bababaab

]sin)[( sin)()(2

222220

222222

btbadbtbaba

ab

2

0

23222222

sin)(32

)(2

btba

baab

dttbtatbta 2220

)cos()sin(sincos

dttbtattab 222220

cossincossin

)(sin sin)(2

220

2222 tdbtbaab

L xyds

例 9 其中计算 . )( L

dsyx

解 .0)( x

的直线；到点点 )0,2( )0,0( : )1( AoL

的直线；到点点 )3,2( )0,2( : )2( BAL Ax

y

o 2

3 B

(1) L ： .20 ,0)( xxy

L dsyx )( dxx 2

0201 )0(

dxx2

0 .2

.0)( x(2) L ： .30 ,2)( yyx

L dsyx )( dyy 3

0201 )2(

dyy 3

0 )2( .

221

例 10

.)2,1()2,1(,4:

,

2 一段到从其中

求

xyL

ydsIL

解

dyy

y 22

2)

2(1

.0

xy 42

x

y

o 1

2

2

.22 ,4

)( :2

yy

yxL

.2

)(y

y

L ydsI

dyy

y4

12

2

2

例 11

解

直其中曲线计算 , . 222

22

ayxdseL

yx

形边界。在第一象限中所围的图线 ,0 xyx

dseL

yx

22

x

y

o

2 2 a

AB

.0 ,0 : ayxoA .0x

dseoA

yx 22

dyea y 01 20

0 22

dyea y0

.1 ae

dsedsedseoB

yxAB

yxoA

yx 222222

x

y

o

2 2 a

AB

.0 ,0 : ayxoA .0x

dseoA

yx 22

dyea y 01 20

0 22

dyea y0

.1 ae

dttatae tata )sin()cos( 222

4)sin()cos( 22

.24

,sin ,cos : ttaytaxAB

dseAB

yx 22

.cos ,sin taytax

dttatae tata )sin()cos( 222

4)sin()cos( 22

dtaea2

4

.

6aea

.24

,sin ,cos : ttaytaxAB

dseAB

yx 22

.cos ,sin taytax

.2

20 , : axxyoB .1y

dseoB

yx 22

dxea xx 11 222

0

22

x

y

o

2 2 a

AB

于是， dseL

yx

22

dsedsedseoB

yxAB

yxoA

yx 222222

)1(4

)1( aaa eeae

.2)4

2( aea

.1 ae

dxea x 2

22

0 2

.2

20 , : axxyoB .1y

dseoB

yx 22

dxea xx 11 222

0

22

四、几何与物理意义四、几何与物理意义,),()1( 的线密度时表示当 Lyx

;),(L

dsyxM

;,1),()2( L

dsLyxf 弧长时当

,),(

),()3(

处的高时柱面在点

上的表示立于当

yx

Lyxf

.),(L

dsyxfS柱面面积

s

L

),( yxfz

对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用

,)1( 曲线弧的转动惯量

., 22 LyLx dsyIdsxI

曲线弧的质心坐标)2(

.,

L

L

L

L

ds

dsyy

ds

dsxx

,)( 220

LdsyxI

例 9

).(,sin

,cos:

ttRy

tRxL

解 : 如图设置坐标系

dttRtRtR 2222 cos)sin(sin

.1(

2,

）设线密度为它的对称轴的转动惯量对于的圆弧中心角为计算半径为 LR

x

y

Lx dsyI 2

tdtR

23 sin ).cossin(3 R

1 、对弧长曲线积分的概念

2 、对弧长曲线积分的计算

3 、对弧长曲线积分的应用

五 小结与思考判断题五 小结与思考判断题

思考判断题

（ 1 ） 对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？

iS

（ 2 ） 对弧长的曲线积分是否与曲线方向有关？

思考题

对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？

iS

思考题解答

iS 的符号永远为正，它表示弧段的长度 .

§2§2 第二型曲线积分第二型曲线积分

o x

y

A

B

L

一、问题的提出一、问题的提出1nM

iM

1iM2M

1M

ixiy实例 : 变力沿曲线所作的功

,: BAL

jyxQiyxPyxF

),(),(),(

常力所作的功

分割 .),,(,),,(, 1111110 BMyxMyxMMA nnnn

.)()(1 jyixMM iiii

.ABFW

求和

.]),(),([1

n

iiiiiii yQxP

取极限 .]),(),([lim1

0

n

iiiiiii yQxPW

近似值

精确值

,),(),(),( jQiPF iiiiii

取

,),( 1 iiiii MMFW

.),(),( iiiiiii yQxPW 即

n

iiWW

1

o x

y

A

B

L

1nMiM

1iM2M

1M

),( iiF

ixiy

二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念

,0

.

),(,,

).,;,,2,1(

),(,

),,(),,(.

),(),,(,

1

11

01

111

222111

时长度的最大值如果当各小弧段上任意取定的点

为点设

个有向小弧段分成把

上的点用上有界在函数向光滑曲线弧的一条有到点面内从点为设

ii

iiiiiiii

nii

nnn

MM

yyyxxx

BMAMniMM

nLyxM

yxMyxML

LyxQyxP

BAxoyL

1. 定义

.),(lim),(

,(

),(

,),(

10

1

ii

n

iiL

n

iiii

xPdxyxP

xLyxP

xP

记作或称第二类曲线积分）积分的曲线上对坐标在有向曲线弧数

则称此极限为函的极限存在

类似地定义 .),(lim),(1

0ii

n

iiL

yQdyyxQ

,),(),,( 叫做被积函数其中 yxQyxP .叫积分弧段L

2. 存在条件：

.,

),(),,(

第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当 LyxQyxP

3. 组合形式

L

LL

dyyxQdxyxP

dyyxQdxyxP

),(),(

),(),(

., jdyidxdsjQiPF

其中

. L

dsF

4. 推广

空间有向曲线弧

.),,(lim),,(1

0iii

n

ii xPdxzyxP

. RdzQdyPdx

.),,(lim),,(1

0iii

n

ii yQdyzyxQ

.),,(lim),,(1

0iii

n

ii zRdzzyxR

5. 性质

.

,)1(

21

21

LLL

QdyPdxQdyPdxQdyPdx

LLL 则和分成如果把

则有向曲线弧方向相反的是与是有向曲线弧设

,

,)2( LLL

即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 .

LL

dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(),(),(

三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算

,),(),(

,0)()(,

)(),(

,),(,

),(

),(,

),(),,(

22

存在

则曲线积分且续导数

一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到

变单调地由当参数的参数方程为续

上有定义且连在曲线弧设

LdyyxQdxyxP

tt

tt

BLALyxM

tty

txL

LyxQyxP

定理

dttttQtttP

dyyxQdxyxPL

)}()](),([)()](),([{

),(),(

且

特殊情形.)(:)1( baxxyyL ，终点为起点为

.)}()](,[)](,[{ dxxyxyxQxyxPQdyPdxb

aL 则

.)(:)2( dcyyxxL ，终点为起点为

.]}),([)(]),([{ dyyyxQyxyyxPQdyPdxd

cL 则

.,,

)(

)(

)(

:)3(

终点起点推广 t

tz

ty

tx

dtttttR

ttttQ

ttttP

RdzQdyPdx

)}()](),(),([

)()](),(),([

)()](),(),([{

(4) 两类曲线积分之间的联系：

,)(

)(

ty

txL

：设有向平面曲线弧为

,,),( 为处的切线向量的方向角上点 yxL

LL

dsQPQdyPdx )coscos(则

其中 ,)()(

)(cos

22 tt

t

,)()(

)(cos

22 tt

t

（可以推广到空间曲线上 ）

,,,),,( 为处的切线向量的方向角上点 zyx

dsRQPRdzQdyPdx )coscoscos(则

dstA

rdA

, dsAt

可用向量表示

，其中 },,{ RQPA

},cos,cos,{cos t

},,{ dzdydxdstrd 有向曲线元；

.上的投影在向量为向量 tAAt

处的单位切向量上点 ),,( zyx

例 1

.)1,1()1,1(

, 2

的一段弧到

上从为抛物线其中计算

BA

xyLxydxL

解 的定积分，化为对x)1( .xy

OBAOL

xydxxydxxydx

1

0

0

1)( dxxxdxxx

1

0

2

3

2 dxx .54

xy 2

)1,1( A

)1,1(B

的定积分，化为对y)2(

,2yx

ABL

xydxxydx

1

1

22 )( dyyyy

.11到从 y

1

1

42 dyy .54

xy 2

)1,1( A

)1,1(B

.)0,()0,()2(

;

)1(

,2

的直线段轴到点沿从点的上半圆周

针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为

为其中计算

aBxaA

a

LdxyL

例 2

解 ,sin

cos:)1(

ay

axL

，变到从 0)0,(aA)0,( aB

0

原式 daa )sin(sin22

)0,(aA)0,( aB

.34 3a

,0:)2( yL

，变到从 aax

a

adx0原式 .0

问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同 .

0

3a )(cos)cos1( 2 d

例 3

).1,1(),0,1(

)0,0(,,)3(

;)1,1()0,0()2(

;)1,1()0,0()1(

,2

2

2

2

依次是点，这里有向折线的一段弧到上从抛物线

的一段弧到上从抛物线

为其中计算

BAOOAB

BOyx

BOxy

LdyxxydxL

2xy

)0,1(A

)1,1(B解 .)1( 的积分化为对 x

,10,: 2 变到从xxyL

1

0

22 )22( dxxxxx原式

1

0

34 dxx .1

)0,1(A

)1,1(B

2yx .)2( 的积分化为对 y

,10,: 2 变到从yyxL

1

0

42 )22( dyyyyy原式

1

0

45 dxy .1

)0,1(A

)1,1(B

)3(

AB

OA

dyxxydx

dyxxydx

2

2

2

2原式

,上在 OA ,10,0 变到从xy

1

0

22 )002(2 dxxxdyxxydxOA

.0

,上在 AB ,10,1 变到从yx

1

0

2 )102(2 dyydyxxydxAB

.1

10 原式 .1

)0,1(A

)1,1(B

问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同 .

例 4 计算第二型曲线积分

L

dzxdyyxxydx 2

L是螺旋线： tax cos ， tay sin ， btz 从 0t 到 t 上的一段.

解 L

dzxdyyxxydx 2

0

2222223 coscossincossincos dttbattatatta=

ba 12

1 2=

例 5求力 F zyxxy ,, ⅰ作用下 ）质点由 A

沿螺旋线 1L 到 B所做的功，其中 1L ： tax cos ，

tay sin， btz ， 20 t ,

ⅱ ）质点由 A沿直线 2L 到 B所做的功

解ⅰ）

L

dzzyxxdyydxW =

2

0

22222 sincoscossin dttbtabtabtata=

2

0

22222 sincoscossin dttbtabtabtata=

222 ab =

ⅱ ）

L

dzzyxxdyydxW =

2

0

dtta

bab 2

=

=

注：这里不同路径积分值不同．

例 6 计算曲线积分

L

dzyxdyxzdxzyI )()()( 222222

（1） L 是球面三角形 1222 zyx ， 0x ，0y ， 0z 的边界线，从球的外侧看去， L的方

向为逆时针方向；

（ 2 ） L 是 球 面 2222 azyx 和 柱 面

)0(22 aaxyx 的交线位于Oxy平面上方的部分，

从 x轴上 ))(0,0,( abb 点看去， L 是顺时针方向

解 （1）显然， L具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将 L分为三段

1L： 122 yx ， 0z （ 0x ， 0y ）

2L ： 122 zy ， 0x （ 0y ， 0z ）

3L ： 2 2 1z x ， 0y （ 0x ， 0z ）

则 L

dzyxdyxzdxzyI )()()( 222222

1

)()()(3 222222

L

dzyxdyxzdxzy

1

)()()(3 222222

L

dzyxdyxzdxzy

1

223L

dyxdxy

4)1(3)1(31

0

20

1

2 dyydxx

或 L

dzyxdyxzdxzyI )()()( 222222

L

dxzy )(3 22 31 2

))((3 22

LL L

dxzy

1 3

22 33L L

dxzdxy 4)1(3)1(31

0

20

1

2 dxxdxx

注 1 这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的 3 倍 . 它们的区别在于

第一种方法：积分表达式不变，积分化为 1L 上的积分的 3倍.

第二种方法：积分曲线 L不变，积分化为表达式中第一项积分的 3倍. 问题 1 是否可化为既是 1L 上的积分的 3倍，又是表

达式中第一项积分的 3倍，即

L

dzyxdyxzdxzyI )()()( 222222

1

)(9 22

L

dxzy

（2）曲线关于Ozx平面对称，且方向相反

L

dxzy )( 22

0,

22 )(yL

dxzy

0,

22 0)(yL

dxzy

同理 L

dzyx )( 22

0,

22 )(yL

dzyx 0)(0,

22 yL

dzyx

故 L

dzyxdyxzdxzyI )()()( 222222

L

dyxz )( 22

下面求曲线 L的参数方程。

方法 1 利用球面的参数方程 sincosax sinsinay cosaz

代入柱面方程 axyx 22得 cossin ，

于是得 L的参数方程

2cosax cossinay |sin| az

从 2

到 2

L

dyxzI )( 22

2/

2/

22422 )sin(cos]cos[sin

daa

2/

2/

22422 )sin(cos]cos[sin

daa

0

2/

2423 )1cos2](coscos1[2

da

2/

0

6423 )cos2coscos31(2

da

33

2]

2246

352

224

3

4

3

2

1[2 aa

注 2 这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积分为 0. 值得注意的是第二型的曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的 .

例如第一项积分，曲线关于Ozx平面对称，且方向相反，而被积函数关于 y是偶函数（不是奇函数），则

L

dxzy )( 22

0,

22 )(yL

dxzy

0,

22 0)(yL

dxzy

上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产生的 .

方法 2 利用柱面的参数方程

cos22

aax sin

2

ay

代入球面方程 2222 azyx

于是得 L的参数方程

cos22

aax sin

2

ay |

2sin|

az

从 2 到0 .

取方法 2 中的参数方程进行计算略 .

四、小结四、小结

1 、对坐标曲线积分的概念

2 、对坐标曲线积分的计算

3 、两类曲线积分之间的联系

思考题

当曲线L的参数方程与参数的变化范围给定之后（例如L： taxcos， tay sin，

]2,0[t ，a是正常数），试问如何表示L的方向（如L表示为顺时针方向、逆时针方向）？

思考题解答

曲线方向由参数的变化方向而定 .

例如L： taxcos， tay sin， ]2,0[t 中

当t从0变到2时，L取逆时针方向;

反之当t从2变到0时，L取顺时针方向.

第第 1414 章 曲面积分章 曲面积分

§1 第一型曲面积分

§2 第二型曲面积分

§3 高斯(Gauss)公式

第第 1414 章 曲面积分章 曲面积分

§1 §1 第一型曲面积分第一型曲面积分

一、概念的引入

若曲面是光滑的, 它的面密度为连

续函数 ),,( zyx , 求它的质量.

实例

所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面 , 且当点在曲面上连续移动时 ,切平面也连续转动 .

一、概念的引入若曲面是光滑的, 它的面密度为连续函数

),,( zyx , 求它的质量.

实例

分割

取近似

求和 .),,(1

n

iiiii SM

取极限 .),,(lim10

n

iiiii SM

把分成n小块 iS （ iS 也

表示第i小块曲面的面积）.

),,( iii iS

iiiii SM ),,(

二、对面积的曲面积分的定义设曲面是光滑的, 函数 ),,( zyxf 在上有界.把

分成n小块 iS （ iS 同时也表示第i小块曲面的面

积）,设点 ),,( iii 为 iS 上任意取定的点,作乘积

),,( iiif iS , 并作和

n

iiiif

1

),,( iS ,

若当各小块曲面直径的最大值 0 时, 和式的极

限存在, 则称此极限为函数 ),,( zyxf 在曲面上对

面积的曲面积分或第一类曲面积分. 记为

1. 定义

dSzyxf ),,( .

即

dSzyxf ),,( iii

n

ii Sf

),,(lim

10

被积函数

积分曲面

2. 对面积的曲面积分的性质

则及可分为分片光滑的曲面若 , )3( 21

; ),,( ),,( )1(

dSzyxfkdSzyxkf

dSzyxgzyxf )],,(),,([ )2(

; ),,( ),,(

dSzyxgdSzyxf

. ),,( ),,( ),,(21

dSzyxgdSzyxfdSzyxf

特别， 的面积。

dS时，当 1),,( zyxf

三、计算法);,(:.1 yxzz 若曲面

,)( ),(),(1 22xyiiiyiixi zzS

xyi )( ),( ii

iS

x

y

z),( : yxzz

o

),,( iii

则

dSzyxf ),,( iii

n

ii Sf

),,(lim

10

n

ixyiiiyiixiiii zzzf

1

22

0)( ),(),(1)],(,,[lim

;1)],(,,[ 22 dxdyzzyxzyxfxyD

yx

));,(,,(

),,(),(:

yxzyxfzyxfyxzz

; ),(),(1 22 dxdyyxzyxzdS yx

. xyDxoy面投影，得向将曲面

;1)],(,,[ ),,( 22 dxdyzzyxzyxfdSzyxfxyD

yx

);,(:.1 yxzz 若曲面 则

三代：

二换：

一投：

;1]),,(,[ 22 dxdzyyzzxyxfxzD

zx

dSzyxf ),,(

);),,(,(

),,(),(:

zzxyxfzyxfzxyy

; ),(),(1 22 dxdzzxyzxydS zx

. xzDxoz面投影，得向将曲面

则

三代：

二换：

一投：

),(.2 zxyy ：若曲面

.1],),,([ 22 dydzxxzyzyxfyzD

zy

dSzyxf ),,(

),(.3 zyxx ：若曲面 则

三代： );,),,((

),,(),(:

zyzyxfzyxfzyxx

二换： ; ),(),(1 22 dydzzyxzyxdS zy

一投： . yzDyoz面投影，得向将曲面

;1)],(,,[ ),,( 22 dxdyzzyxzyxfdSzyxfxyD

yx

);,(:.1 yxzz 若曲面 则

;1]),,(,[ 22 dxdzyyzzxyxfxzD

zx

dSzyxf ),,(

则

.1],),,([ 22 dydzxxzyzyxfyzD

zy

dSzyxf ),,(

),(.3 zyxx ：若曲面 则

注意：这里曲面方程均是单值函数。

2. : ( , ),y y x z 若曲面

例 2

解

计算

zdS , 其中 是球面 2222 azyx

被平面 )0( ahhz 截出的顶部.

h

x

y

z

o

aa

a

面投影，得向将曲面 xoy

. : 222 yxaz

. : 2222 hayxDxy

,222 yxa

xzx

.222 yxa

yz y

dxdyyxzyxzdS yx ),(),(1 22

,222 yxa

xzx

.222 yxa

yz y

.222

dxdyyxa

a

zdS dxdy

yxa

a

yxaxyD222222

1

dxdyyxa

axyD

1222

h

x

y

z

o

aa

a

.0

,20:

22 harDxy

zdS

dxdyyxa

axyD

1222

h

x

y

z

o

aa

a

.0

,20:

22 harDxy

.sin

,cos

ry

rxdrr

rada

ha 1

22

0 22

2

0

.ln2haa

)( 1 )21( 22

0 22

2

0

22

radra

daha

2

0 0 22

22

)ln(2

draa ha

2

0ln2

2d

haa

计算

dSzyx )( 222 , 其中

(1) ： 2222 azyx 在第一卦限部分.

(2) ： 2222 azyx 在第一卦限和 第八卦限部分.

例 3

解

x

y

z

oa

a

a

面投影，得向将曲面 xoy

. : )1( 222 yxaz

.0 ,0 , : 222 yxayxDxy

,222 yxa

xzx

.222 yxa

yz y

dxdyyxzyxzdS yx ),(),(1 22

,222 yxa

xzx

.222 yxa

yz y

.222

dxdyyxa

a

dSzyx )( 222

dxdyyxa

ayxayxxyD

222222222 ))((

dxdyyxa

axyD

1222

3

dSzyx )( 222

.0

,2

0:

arDxy

dxdyyxa

axyD

1222

3

所以， dSzyx )( 222

drrra

daa

10 22

2

03

.2

4 a

.sin

,cos

ry

rx

x

y

z

oa

a

a

(2) ： 2222 azyx 在第一卦限和第八卦限部分.

面投影，得向将曲面 yoz

. : 222 zyax

.0 , : 222 yazyDyz

,222 zya

yx y

.222 zya

zxz

x

y

z

oa a

a

dydzyxxyxxdS zy ),(),(1 22 .222

dydzzya

a

dSzyx )( 222

dydzzya

azyzyayzD

222222222 ))((

dydzzya

ayzD

1222

3

dydzyxxyxxdS zy ),(),(1 22 .222

dydzzya

a

x

y

z

oa a

a

.0

,22:

arDyz

x

y

z

oa a

a

.0

,22:

arDyz

.sin

,cos

rz

ry

dSzyx )( 222

dydzzya

ayzD

1222

3

drrra

daa

1 0 22

2

23

.4 a

例 4

解

计算 dSxyz

, 其中 是由平面 ,0x ,0y

,0z 及 1 zyx 所围成的四面体的整个边

界曲面.

.4321

x

y

z

o

1

1

11

2

3 4

.0:1 x ,0),,( xyzzyxf

.0:2 y ,0),,( xyzzyxf

dSxyzdSxyz

dSxyzdSxyzdSxyz

43

21

.0:1 x

dSxyzdSxyz

dSxyzdSxyzdSxyz

43

21

,0),,( xyzzyxf

.0:2 y ,0),,( xyzzyxf

.0:3 z ,0),,( xyzzyxf

dSxyzdSxyzdSxyzdSxyzdSxyz 4321

dSxyz 4

3

1

2

x

y

z

o

1

1

1

4

.1:4 yxz

dSxyzdSxyzdSxyzdSxyzdSxyz 4321

dSxyz 4

面投影，得向将曲面 4 xoy

.10

,10 :

xy

xDxy

,1xz .1yz

dxdyyxzyxzdS yx ),(),(1 22 . 3 dxdy

3

1

2

x

y

z

o

1

1

1

4

dSxyzdSxyz 4

dxdyyxxyXYD

3)1(

dyyxxydxx

)1( 31

0

1

0

.120

3

,1xz .1yz

dxdyyxzyxzdS yx ),(),(1 22 . 3 dxdy

3

1

2

x

y

z

o

1

1

1

4

计算

dszyx )( , 其中为平面

5zy 被柱面 2522 yx 所截得的部分.

例 5

积分曲面： yz 5 ,

解

投 影 域 ：}25|),{( 22 yxyxD xy

dszyx )(故

xyD

dxdyyyx )5(2 xyD

dxdyx)5(2

rdrrd 5

0

2

0)cos5(2 .2125

dxdyzzdS yx221

dxdy2)1(01 ,2dxdy

例 6 计算 dSxyz

|| ,

其中 为抛物面 22 yxz （ 10 z ）.

解 依对称性知：

被积函数 ||xyz关于xoz、yoz 坐标面对称

轴对称，关于抛物面

z

yxz 22

有

1

4 成立，(1为第一卦限部分曲面)

xy

z

dxdyzzdS yx221

dxdyyx 22 )2()2(1

原式 dSxyz

|| dSxyz

1

4

dxdyyxyxxyxyD

2222 )2()2(1)(4

其中 1|),{( 22 yxyxDxy , }0,0 yx

利用极坐标 trxcos, trysin,

rdrrrttrdt 1

0

2222

041sincos4

drrrtdt 21

0

5

0412sin2 2

令 241 ru

duu

u 25

1)

41

(41

.420

15125

计算

xdS , 其中是圆柱面 122 yx ,

平面 2xz 及 0z 所围成的空间立体的表面.

例 7

解

321

其中1：0z , 2： 2xz ,

3： 122 yx . 投影域1D： 122 yx

显然 011

D

xdxdyxdS ,

,01112

D

dxdyxxdS

讨论3时, 将投影域选在xoz上.

（注意： 21 xy 分为左、右两片）

3

xdS

31

xdS

32

xdS

（左右两片投影相同）

xzD

zx dxdzyyx 2212 xoz

xzD

dxdzx

xx

2

2

112

1

1

2

0212

x

dzdxx

x

,

xdS 00 .

计算 dSzyx )( 222

, 其中 为内接于球面

2222 azyx 的八面体 azyx |||||| 表面 .

例 8

被积函数 ),,( zyxf 222 zyx ,解关于坐标面、原点均对称 ,

积分曲面也具有对称性 ,

故原积分

1

8 ,

(其中1表示第一卦限部分曲面)

1： azyx , 即 yxaz

dxdyzzdS yx

221 dxdy3

dSzyx )( 222

1

)(8 222 dSzyx

dxdyyxayxxyD 3])([8 222

.32 4a

四、小结

2 、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上

的二重积分计算 .

1 、对面积的曲面积分的概念 ;

dSzyxf ),,( iii

n

ii Sf

),,(lim

10

（按照曲面的不同情况分为三种）

思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中 , 有因子 , 试说明这个因子的几何意义 .

221 yx zz

思考题解答

是曲面元的面积 ,dS 221

1),cos(

yx zzzn

221 yx zz 故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数 .

z

§2§2 第二型曲面积分第二型曲面积分

一、基本概念

观察以下曲面的侧 ( 假设曲面是光滑的 )

曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧

n

曲面的分类 : 1. 双侧曲面 ; 2. 单侧曲面 .

典型双侧曲面

莫比乌斯带典型单侧曲面 :

播放播放

曲面法向量的指向决定曲面的侧 .

决定了侧的曲面称为有向曲面 .

曲面的投影问题 :面在xoyS,

Σ在有向曲面 上取一小块

.

0cos0

0cos)(

0cos)(

)(

时当

时当

时当

xy

xy

xyS

.)( 表示投影区域的面积其中 xy

为上的投影 xyS)(曲面 S

二、概念的引入

实例 : 流向曲面一侧的流量 .(1) 流速场为常向量 v

,有向平面区域A,求单位

时间流过A的流体的质量(假定密度为1).

A

v

0n

A AvnvA

vA

0

cos流量

(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)

的速度场由

kzyxRjzyxQizyxPzyxv

),,(),,(),,(),,(

给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP

Σ都在 上连续, 求在单位

Σ时间内流向 指定侧的流

体的质量.

x

y

z

o

x

y

z

o

iS ),,( iii iv

in

Σ把曲面 分成n小块 is ( is 同时也代表第i小块曲面的面积),在 is 上任取一点

),,( iii ,

1. 分割

则该点流速为 .iv

法向量为 .in

Σ该 点 处 曲 面 的 单 位 法 向 量kjin iiii

coscoscos0 ,

通过is流向指定侧的流量的近似值为).,,2,1( niSnv iii

,),,(),,(),,(

),,(

kRjQiP

vv

iiiiiiiii

iiii

2. 求和 Σ通过 流向指定侧的流量

n

iiii Snv

1

iiiii

iiii

n

iiiii

SR

QP

]cos),,(

cos),,(cos),,([1

xyiiii

xziiiiyz

n

iiiii

SR

SQSP

))(,,(

))(,,())(,,([1

3. 取极限 0 .的精确值取极限得到流量

定义 Σ设 为光滑的有向曲面, Σ函数在 上有界, Σ把 分成n块小曲面 iS ( iS 同时又表示第i块小曲面的面积), iS 在xoy面上的投影为

xyiS )( , ),,( iii 是 iS 上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时,

n

ixyiiii SR

10

))(,,(lim

存在,

则称此极限为函数 ),,( zyxR Σ在有向曲面 上对

坐标 yx, 的曲面积分(也称第二类曲面积分)

三、概念及性质

记作

dxdyzyxR ),,( ,即

n

ixyiiii SRdxdyzyxR

10

))(,,(lim),,(

被积函数积分曲面

类似可定义

n

iyziiii SPdydzzyxP

10

))(,,(lim),,(

n

izxiiii SQdzdxzyxQ

10

))(,,(lim),,(

存在条件 :

当 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在 有 向 光 滑 曲Σ面 上 连 续 时 , 对 坐 标 的 曲 面 积 分 存 在 .

组合形式 :

dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP ),,(),,(),,(

物理意义 :

dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP ),,(),,(),,(

性质 :

21

21

.1

RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz

RdxdyQdzdxPdydz

dxdyzyxRdxdyzyxR

dzdxzyxQdzdxzyxQ

dydzzyxPdydzzyxP

),,(),,(

),,(),,(

),,(),,(.2

四、计算法

Σ设 积 分 曲 面 是 由方 程 ),( yxzz 所 给出 的 曲 面 上 侧 , Σ 在

xoy 面 上 的 投 影 区 域为 xyD , 函 数

),( yxzz 在 xyD 上 具有 一 阶 连 续 偏 导 数 ,被 积 函 数 ),,( zyxR 在Σ 上 连 续 .

),( yxfz

xyD

x

y

z

o

xys)(

n

ixyiiii SRdxdyzyxR

10

))(,,(lim),,(

),(

,)()(,0cos,

iii

xyxyi

z

S

又

取上侧

n

ixyiiiii

n

ixyiiii

zR

SR

10

10

)))(,(,,(lim

))(,,(lim

xyD

dxdyyxzyxRdxdyzyxR )],(,,[),,(即

,)()(,0cos, xyxyiS 取下侧若

xyD

dxdyyxzyxRdxdyzyxR )],(,,[),,(

则有给出由如果 ,),( zyxx

yzD

dydzzyzyxPdydzzyxP ],),,([),,(

则有给出由如果 ,),( xzyy

zxD

dzdxzxzyxQdzdxzyxQ ]),,(,[),,(

注意 : 对坐标的曲面积分 , 必须注意曲面所取的侧 .

例 1 计 算

xyzdxdy

Σ其 中 是 球 面

1222 zyx 外 侧

在 0,0 yx 的 部 分 .

解 两部分和分成把 21

;1: 22

11 yxz

,1: 22

22 yxz

x

y

z

2

1

12

xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy

xyxy DD

dxdyyxxydxdyyxxy )1(1 2222

xyD

dxdyyxxy 2212

.152

1cossin2 22 xyD

rdrdrr

例 2 计算积分

dxdyxzdzdxzydydzyx )3()()(

为球面 2222 Rzyx 取外侧.

解 对积分 dydzyx )( , 分别用 前 和

后 记前半球面和后半球面的外侧, 则有

前 : ,222 zyRx

222 : RzyDyz

后 : ,222 zyRx 222 : RzyDyz .

因此 , dydzyx )( =前 + 后 =

dydzyx )( =前 + 后 =

yzD

dydzyzyR 222 yzD

dydzyzyR 222

222

2

0 0

22sin ,cos

222 82Rzy

Rrzry

rdrrRddydzzyR

30

2

322

3

4

3

2

2

14 RrR Rr

r

对积分 dxdzzy )( , 分别用 右 和 左 记右半

球面和左半球面的外侧, 则有

右 : ,222 xzRy 222 : RzxDzx ;

左 : ,222 xzRy 222 : RzxDzx

因此 , dydzzy )( 右 +左 =

zx zxD D

dzdxzxzRdzdxzxzR 222222

222

3222

3

42

Rzx

RdzdxxzR

对积分 dxdyxz )3( , 分别用 上 和 下 记上

半球面和下半球面的外侧, 则有

上: ,222 yxRz

222 : RyxDxy ;

下:

,222 yxRx

222 : RyxDxy

因此 , dxdyxz )3( =上 + 下 =

xy xyD D

dxdyxyxRdxdyxyxR 33 222222

222

3222

3

42

Ryx

RdxdyyxR

综上 , dxdyxzdzdxzydydzyx )3()()(

3 343 4

3R R

五、两类曲面积分之间的联系

Σ设有向曲面 是由方程 ),( yxzz 给出,Σ在xoy面上的投影区域为 xyD , 函数 ),( yxzz 在 xyD

上具有一阶连续偏导数, ),,( zyxR Σ在 上连续.

对坐标的曲面积分为

xyD

dxdyyxzyxR

dxdyzyxR

)],(,,[

),,(

xyD

),( yxfz

x

y

z

o

ds

n

Σ曲面的法向量的方向余弦为

.

1

1cos

,1

cos

,1

cos

22

22

22

yx

yx

y

yx

x

zz

zz

z

zz

z

对 面 积 的 曲 面 积 分 为

xyD

dxdyyxzyxRdSzyxR )],(,,[cos),,(

所 以 dSzyxRdxdyzyxR cos),,(),,(

( 注 意 取 曲 面 的 两 侧 均 成 立 )

dSRQP

dxdyRQdzdxPdydz

)coscoscos(

两类曲面积分之间的联系

向量形式

dSAsdAdSnASdA n

或

其中 }cos,cos,{cos},,,{ nRQPA

为

Σ有向曲面上点 ),,( zyx处的单位法向量,

},,{ dxdydzdxdydzdSnSd

称为有向曲面

元,nA为向量A在n上的投影.

例 3 计算 zdxdydydzxz

)( 2 , Σ其中 是

旋转抛物面 )(21 22 yxz 介于平面 0z 及

2z 之间的部分的下侧.

解

dydzxz )( 2

有上在曲面 ,

dsxz cos)( 2

dxdyxz

coscos

)( 2

dxdyzxxz

zdxdydydzxz

]))([(

)(

2

2

xyD

dxdyyxxxyx )}(21

)(])(41

{[ 2222

xyD

dxdyyxx )](21

[ 222

2

0

2222

0)

21

cos( rdrrrd

.1

1cos,

1cos

2222 yxyx

x

.8

六、小结

1 、物理意义

2 、计算时应注意以下两点

曲面的侧

“ 一投 , 二代 , 三定号”

思考题

设 为 球 面 1222 zyx ， 若 以 其

球 面 的 外 侧 为 正 侧 ， 试 问 221 zxy 之 左 侧 （ 即 oy 轴 与 其 法 线 成 钝 角 的 一 侧 ）

是 正 侧 吗 ？ 那 么 221 zxy 的 左 侧

是 正 侧 吗 ？

思考题解答

此时 的左侧为负侧，221 zxy

而 的左侧为正侧 .221 zxy

§3 §3 高斯高斯 (Gauss)(Gauss) 公式与 公式与 斯托克斯 (stokes) 公式

设空间闭区域 Σ由分片光滑的闭曲面围成,函数),,(zyxP、),,(zyxQ、),,(zyxR在上具有一阶连续偏导数, 则有公式

RdxdyQdzdxPdydzdvzR

yQ

xP

)(

一、高 斯 公 式

dSRQP

dvzR

yQ

xP

)coscoscos(

)(

或

1. 定理 22.3

这里是的整个边界曲面的外侧， cos,cos,cos 是上点 ),,( zyx 处的法向

量的方向余弦.

证明设闭区域在面xoy上的投影区域为xyD.

x

y

z

o

由1,2和3三部分组成,),(1:1 yxzz ),(2:2 yxzz

3

1

2

3

xyD

根据三重积分的计算法

dxdydzzR

dvzR

xyD

yxz

yxz

}{),(

),(

2

1

.)]},(,,[)],(,,[{ 12 xyD

dxdyyxzyxRyxzyxR

根据曲面积分的计算法

,)],(,,[),,( 1

1

xyD

dxdyyxzyxRdxdyzyxR

(1取下侧, 2取上侧, 3取外侧)

,)],(,,[),,( 2

2

xyD

dxdyyxzyxRdxdyzyxR

,)]},(,,[)],(,,[{ 12 xyD

dxdyyxzyxRyxzyxR

dxdyzyxR ),,(于是

.0),,(3

dxdyzyxR

.),,(

dxdyzyxRdvzR

,),,(

dydzzyxPdvxP

同理

,),,(

dzdxzyxQdvyQ

RdxdyQdzdxPdydzdvzR

yQ

xP

)(

------------------ 高斯公式

和并以上三式得：

Gauss 公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系 .

.)coscoscos(

)(

dSRQP

dvzR

yQ

xP

由两类曲面积分之间的关系知

例1 计算曲面积分xdydzzydxdyyx )()(

Σ其中为柱面 122 yx 及平面 3,0 zz 所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.

x

o

z

y1

1

3

解,

,0,)(

yxR

QxzyP

2. 简单应用 :

,0,0,

zR

yQ

zyxP

dxdydzzy )(原式

dzrdrdzr )sin(

.2

9

(利用柱面坐标得 )

x

o

z

y1

1

3

3

0

1

0

2

0)(sin rdzzrdrd

使用 Guass 公式时应注意 :

1. RQP,, 是对什么变量求偏导数;

2.是否满足高斯公式的条件;

3.Σ 是取闭曲面的外侧.

x

y

z

o

例 2 计 算 曲 面 积 分

dszyx )coscoscos( 222

, Σ其 中 为

锥 面 222 zyx 介 于 平 面

0z 及 )0( hhz

之 间 的 部 分 的 下 侧 ,

cos,cos,cos

Σ是 在 ),,( zyx 处

的 法 向 量 的 方 向 余 弦 .

h

xyD

x

y

z

o

h1

解 空间曲面在 面上的投影域为xoy xyD

)(: 2221 hyxhz 补充

曲面不是封闭曲面 , 为利用高斯公式

取上侧，1

构成封闭曲面，1

.1 围成空间区域

,上使用高斯公式在

dvzyx

dSzyx

)(2

)coscoscos(1

222

xyD

h

yxdzzyxdxdy

22,)(2

}.|),{( 222 hyxyxDxy 其中

xyD

h

yxdzyxdxdy

22,0)(

xyD

dxdyyxh

dSzyx

)(

)coscoscos(

222

222

1

.21 4h

11

2222 )coscoscos( dSzdSzyx

xyD

dxdyh2 .4h

故所求积分为

dSzyx )coscoscos( 222

4

21

h 4h .21 4h

设 有 向 量 场kzyxRjzyxQizyxPzyxA

),,(),,(),,(),,(

Σ沿场中某一有向曲面 的第二类曲面积分为

(1). 通量的定义 :

RdxdyQdzdxPdydz

dSnASdA 0

称为向量场 ),,( zyxA

Σ向正侧穿过曲面的通量.

3. 物理意义 :

设有向量场 ),,( zyxA

,在场内作包围点M的闭曲面,包围的区域为V,记体积为V.若当V收缩成点M时,

极限V

SdA

MV

lim 存在,

则称此极限值为A在点M处的散度, 记为Adiv

.

(2). 散度的定义 :

散度在直角坐标系下的形式

dSvdvzR

yQ

xP

n)(

dSvV

dvzR

yQ

xP

V n

1)(

1

dSvVz

RyQ

xP

n

1)( ),,(

dSvVz

RyQ

xP

nM

1lim

积分中值定理 ,

两边取极限 ,

zR

yQ

xP

Adiv

高斯公式可写成

dSAdvAdiv n

)coscoscos( 0 RQPnAAn

的边界曲面，是空间闭区域其中

.的外侧法向量上的投影在曲面是向量 AAn

定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以

为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符

合右手规则, 函数 ),,( zyxP , ),,( zyxQ , ),,( zyxR 在

包含曲面 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导

数, 则有公式

二、斯托克斯 (stokes)公式

dxdyyP

xQ

dzdxxR

zPdydz

zQ

yR )()()(

RdzQdyPdx ---- 斯托克斯公式

1. 定理 22.4

(2)

证明思路曲面积分 二重积分 曲线积分

RdzQdyPdx

RQPzyx

dxdydzdxdydz

便于记忆形式

RdzQdyPdxds

RQPzyx

coscoscos

或

}.cos,cos,{cos n其中

Stokes 公式的实质 :

表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上

的曲线积分之间的关系 .

斯托克斯公式 格林公式特殊情形

( Σ当 是xoy面的平面闭区域时)

}.1 ,0 ,0{}cos,cos,{cos n此时，

证 先证 dxdy

y

Pdzdx

z

P

S

= L

Pdx （ 3 ）

其中曲面 S由方程 yxzz , 确定，它的正侧法线方向数为 1,, yx zz ，方向余弦为 cos,cos,cos ，所以

cos

cos

x

z

cos

cos

y

z

若 S在平面上投影区域为 xyD ， L在平面上的投影曲线为．现由第二型曲线积分的定义及格林公式有

L

dxzyxP ,, =

dxyxzyxP ,,,

xyD

dxdyyxzyxPy

,,,=

因为 yxzyxPy

,,,

=y

z

z

P

y

P

所以

xyD

dxdyyxzyxPy

,,,

dxdyy

z

z

P

y

P

S

=

由于

cos

cos

y

z，从而

dxdyy

z

z

P

y

P

S

= dxdyz

P

y

P

S

cos

cos

coscoscos

dxdy

z

P

y

P

S

=

dSz

P

y

P

S

coscos dxdyy

Pdzdx

z

P

S

= =

综合上述结果，便得所要证明的（ 3 ）式．同样对于曲面 S表示为 zyxx , 和 xzyy ,

时，可证得

dydzz

Qdxdy

x

Q

S

L

Qdy （ 4 ） =

dzdxx

Rdydz

y

R

S

L

Rdz= （ 5 ）

将（ 3 ），（ 4 ），（ 5 ）三式相加即得（ 2 ）式．

例 1 计算曲线积分 ydzxdyzdx ,

其中是平面 1 zyx 被三坐标面所截成的

三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧

的法向量之间符合右手规则.

解 按斯托克斯公式 , 有

dzyxdyzdx

dxdydzdxdydz

弦都为正，的法向量的三个方向余由于

o

x

y

z

n

1

1

1

1. 简单应用 :

o

x

y

z

n

1

1

1解 按斯托克斯公式 , 有

dzyxdyzdx

dxdydzdxdydz

弦都为正，的法向量的三个方向余由于

再由对称性知：

xyD

d3x

y

o 1

xyD

1dzyxdyzdx

dxdydzdxdydz

.23

例 2 计算曲线积分

dzyxdyxzdxzy )()()( 222222

其中 是平面 23 zyx 截立方体:

10 x , 10 y , 10 z 的表面所得的截

痕,若从 ox轴的正向看去,取逆时针方向.

解 Σ取 为平面23 zyx

的上侧被 所围成的部分.

则单位法向量

}.1 ,1 ,1{3

1 no

x

y

z

11

1

解 Σ取 为平面23 zyx

的上侧被 所围成的部分.

则单位法向量

}.1 ,1 ,1{3

1 n

o

x

y

z

11

1

即 ,3

1coscoscos

dS

yxxzzy

zyxI

222222

31

31

31

由斯托克斯公式

dSzyx )(3

4

xyD

dxdy323

34

.29

即 ,3

1coscoscos

dS

yxxzzy

zyxI

222222

31

31

31

由斯托克斯公式

o x

y

21

21

23 yx

21 yx

; 3 dxdydS

;, xyD得投影

三代：

二换：一投：

.23 zyx

8121

xyDS .43

定理 22．5 设 3R 为空间单连通区域．若函数在上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：

ⅰ（ ）对于内任一按段光滑的封闭曲线 L，有

L

RdzQdyPdx=0；

ⅱ（ ）对于内任一按段光滑的曲线 L，曲线

积分 L

RdzQdyPdx与路线无关．只与 L的起点

及终点有关； （ⅲ ） RdzQdyPdx 是内某一函数u的全微分，

即 du RdzQdyPdx ；

空间曲线积分与路线的无关性

ⅳ（ ） x

Q

y

P

， y

R

z

Q

， z

P

x

R

在内处处成立．

例 3 验证曲线积分 L

dzyxdyxzdxzy

与路线无关 , 并求被求表达式的原函数 zyxu ,,．

解 由于 zyP ， xzQ ，yxR

1P Q Q R R P

y x z y x z

所以曲线积分与路线无关．现求

zyxu ,, =

MM

dzyxdyxzdxzy0

x

x

dszy0

00

y

y

dtxz0

0

z

z

dryx0

= + +

= 000000 zzyxyyxzxxzy

000000 zyzxyxyzzxxy =

取 0000 zyx ，

即取 0M 为原点，则

zyxu ,, = yzzxxy ．

三、小结

dSAdvAdiv n

3 、应用的条件

4 、物理意义

2 、高斯公式的实质

1 、高斯公式

RdxdyQdzdxPdydzdvzR

yQ

xP

)(

6, 斯托克斯公式成立的条件

5, 斯托克斯公式

RdzQdyPdx

RQPzyx

dxdydzdxdydz

ds

RQPzyx

coscoscos

思考题解答

曲面应是分片光滑的闭曲面 .

思考题

曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？

曲线积分与曲面积分习题课

（一）曲线积分与曲面积分

（二）各种积分之间的联系

（三）场论初步

一、主要内容

曲线积分

曲线积分

曲面积分

曲面积分

对面积的曲面积分对面积的曲面积分

对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分

对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分

对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分

定义定义

计算计算

定义定义

计算计算

联系联系

联系联系

（一）曲线积分与曲面积分

曲 线 积 分对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分

定义

n

iiiiL

sfdsyxf1

0),(lim),(

L

dyyxQdxyxP ),(),(

]),(),([lim1

0iii

n

iiii yQxP

联系 dsQPQdyPdx

LL)coscos(

计

算

dtf

dsyxfL

22],[

),(

三代一定 )(

dtQP

QdyPdxL

]),(),([

二代一定 ( 与方向有关 )

与路径无关的四个等价命题

条件

在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有

连续的一阶偏导数 ,则以下四个命题成立 .

L

QdyPdxD 与路径无关内在)1(

C

DCQdyPdx 闭曲线,0)2(

QdyPdxduyxUD 使内存在在 ),()3(

xQ

yP

D

,)4( 内在

等

价

命

题

曲 面 积 分对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分

定义

n

iiiii sfdszyxf

10

),,(lim),,(

xyi

n

iiii SRdxdyzyxR )(),,(lim),,(

10

联系

RdxdyQdzdxPdydz

计

算 一代 , 二换 , 三投 ( 与侧无关 )

一代 , 二投 , 三定向 ( 与侧有关 )

dSRQP )coscoscos(

dszyxf ),,(

xyD

yx dxdyzzyxzyxf 221)],(,,[

dxdyzyxR ),,(

xyD

dxdyyxzyxR )],(,,[

定积分曲线积分

重积分曲面积分

计算

计算计算

Green 公式Stokes 公式

Guass 公式

（二）各种积分之间的联系

点函数)(,)(lim)(1

0MfMfdMf

n

ii

.)()(

,],[1

b

adxxfdMf

baR

时上区间当

.),()(

,2

D

dyxfdMf

DR

时上区域当

积分概念的联系

定积分

二重积分

dVzyxfdMf

R

),,()(

,3

时上区域当

.),,()(

,3

dszyxfdMf

R

时上空间曲线当

.),,()(

,3

S

dSzyxfdMf

SR

时上曲面当曲面积分

曲线积分

三重积分

.),()(

,2

LdsyxfdMf

LR

时上平面曲线当曲线积分

计算上的联系

)(,]),([),()(

)(

2

1

面元素 ddxdyyxfdyxfb

a

xy

xyD

)(,),,(),,()(

)(

),(

),(

2

1

2

1

体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfb

a

xy

xy

yxz

yxz

b

aLdsdxyxyxfdsyxf ))((,1)](,[),( 2 曲线元素

b

aLdxdxxyxfdxyxf ))((,)](,[),( 投影线元素

xyD

yx dxdyzzyxzyxfdszyxf 221)],(,,[),,(

xyD

dxdyyxzyxfdxdyzyxR )],(,,[),,(

其中

dsRQP

dxdyRQdzdxPdydz

)coscoscos(

dsQPQdyPdxL

)coscos(

))(( 曲面元素ds

))(( 投影面元素dxdy

理论上的联系1. 定积分与不定积分的联系

))()(()()()( xfxFaFbFdxxfb

a

牛顿 --莱布尼茨公式

2. 二重积分与曲线积分的联系

)()( 的正向沿LQdyPdxdxdyyP

xQ

LD

格林公式

3. 三重积分与曲面积分的联系

RdxdyQdzdxPdydzdvzR

yQ

xP

)(

高斯公式4. 曲面积分与曲线积分的联系

dxdyy

P

x

Qdzdx

x

R

z

Pdydz

z

Q

y

R)()()(

RdzQdyPdx 斯托克斯公式

D

LdxdykArotsdA )(

D

LdxdyAdivdsnA

)(

Green公式 ,Guass 公式 ,Stokes公式之间的关系

dSnArotdSA )(

RQPzyx

dxdydzdxdydz

RdzQdyPdx

dvAdivdsnA

)(

dvzR

yQ

xP

RdxdyQdzdxPdydz

)(

D

Ldxdy

yP

xQ

QdyPdx )(

D

Ldxdy

yQ

xP

PdyQdx )(或

推广 推广

为平面向量场)(MA

为空间向量场)(MA

梯度 kzu

jyu

ixu

gradu

通量

旋度

环流量zR

yQ

xP

Adiv

RdxdyQdzdxPdydz

kyP

xQ

jxR

zP

izQ

yR

Arot

)()()(

RdzQdyPdx

散度

（三）场论初步

例1 计算 L

dyyxdxxyxI )()2( 422 ,

其中L为由点 )0,0(O 到点 )1,1(A 的曲线 xy2

sin

.

思路 : L

QdyPdxI

xQ

yP

xQ

yP

0 L

QdyPdxI

),(

),( 00

yx

yxQdyPdxI

闭合

非闭 闭合

D

dxdyyP

xQ

I )(

非闭 补充曲线或用公式

二、典型例题

解

xxyxyy

P2)2( 2

知

xyxxx

Q2)( 42

,xQ

yP

即

1

0

41

0

2 )1( dyydxx故原式 .1523

x

y

o 1

1 A

dyyxdxxyxI )()2( 422由

例 2 计 算

L

xx dymyedxmyyeI )cos()sin( ,

其 中 L 为 由 点 )0,( a 到 点 )0,0( 的 上 半 圆 周

0,22 yaxyx .

解 myemyyeyy

P xx

cos)sin(

yemyexx

Q xx cos)cos(

xQ

yP

即 (如下图 )

x

y

o )0,(aA

M

dxdyyP

xQ

DAMOA

)(

D

dxdym ,8

2am

0)(00

medx xa

AO,0

08

2 am

.8

2am

AMOA AOAOAOL

I

AMOA AO

I

曲面面积的计算法

S

Dxy

),( yxfz

x

yo

z

dSS

xyD

yx dxdyzz 221

dsyxfSBAL

),(),(

dxyyxfb

a 21),(

z

x

oy

),( yxfz

s

LA

Ba

b

曲顶柱体的表面积

L

D

yx

dsyxf

dffS

),(

)11( 22

x

z

yo

),( yxfz

L

D

如图曲顶柱体，

例 3 求柱面 132

32

yx 在球面 1222 zyx 内

的侧面积.

解 由对称性

L

L

dsyx

zdsS

221

8

,1: 3

2

3

2

yxL )2

0(,sin

,cos3

3

t

ty

tx参数方程为

,cossin3)()( 22 tdttdtyxds tt

tdttttS cossin3sincos18 2

0

66

tdtttt cossincossin324 2

0

22

2

0

22 cossin324 tdtt .2

33

．在第一卦限部分的上侧为平面为连续函数其中

计算

1

,),,(,]),,([

]),,(2[]),,([

zyx

zyxfdxdyzzyxf

dzdxyzyxfdydzxzyxfI

例４

x

yo

z1

11

解 利用两类曲面积分之间的关系

},1,1,1{ n

的法向量为

.3

1cos,

3

1cos,

3

1cos

dszzyxfyzyxf

xzyxfI

]}),,([3

1]),,(2[

3

1

]),,([3

1{

dszyx )(3

1

xyD

dxdy313

1.

21

向量点积法 ,1,,),,(: yx ffyxfz 法向量为设

RdxdyQdzdxPdydzI

dxdyffRQP yx }1,,{},,{

dsnA 0},,{},,{

dxdydzdxdydzRQP

.}1,,{},,{ dxdyffRQPxoy yx

面投影在将

所截部分的外侧．被平面锥面

为其中计算

2,1

,

22

2

zzyxz

dxdyzxdzdxydydzI例５

解

,

,

22

22

yx

yf

yx

xf

y

x

D

利用向量点积法

2

1

22

0rdrrd .

215

dxdyz2

xyD

dxdyyx )( 22

dxdyyx

y

yx

xzxyI

1,,,,2222

2

]41:[ 22 yxDxy

例6 计算曲面积分yzdxdydzdxyxdydzyI 4)1(2)18(

2

,

其中是由曲线 )31(0

1

yx

yz 绕y轴旋转一周

所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角恒大于2.

解

221

0

1

xzy

yx

yz

轴旋转面方程为绕

(如下图 )

x

y

z

o 1 3

2

*

* *

I且有

dxdydzzR

yQ

xP

)(*

dxdydzyyy )4418(

yzdxdydzdxyxdydzyI 4)1(2)18(2

欲求

dv

xzDxz

dydxdz3

1 22

3

1

2

0

2

0 2dydd

2

0

3 )2(2 d ,2

* *

2 )31(2 dzdx ,32

)32(2 I故 .34

.2,1

, .7 22

22

外侧所围成立体整个表面的和

为锥面其中计算

zz

yxzdxdyyx

e z

解 ,,0,022 yx

eRQP

z

由高斯公式得到

dxdyyx

e z

22

dvyx

e z

)00(22

rdrr

dzedz

z

0

2

1

2

0

1 .2 2e

zD

z

dxdyyx

edz

22

2

1

):( 222 zyxDz

O

2

x

z

y3

2

1 ( cos cos cos ) ,

3

cos ,cos ,cos

.

V x y z ds

证明封闭曲面 所包围的体积为

其中 是曲面 的外法向量的方向余弦

证明 ,,, zRyQxP

dszyx )coscoscos(

dvzR

yQ

xP

)(

dv3

.)coscoscos(31

dszyxV 所以

.3V

由高斯公式，得到

例 8

.

, .9

222 的上侧

是上半球面其中计算

yxRz

xzdydz

解 . 222

1 的下侧平面上的圆域是设 RyxxOy

, 0,0, RQxzP

1

xzdydz

dvxz

x)]([

zdxdydz

drrddR

sincos 2

0

2

0

2

0 .4

4R

xzdydz 所以 1

xzdydz

1

xzdydz

04

4 R

）（ 01

xzdydz.4

4R

由高斯公式，得到

.

)0(

)()()( .10

22

外侧空间区域的整个边界的

所围成的及平面为曲面其中

计算

hhzyxz

dxdyyxdzdxxzdydzzy

解1 上的部分上侧为在记 hz

上：在 22 yxz

.)(0

)(0

)(0

)(0

5

4

3

2

为左侧的部分，为右侧的部分，为后侧的部分，为前侧的部分

y

y

x

x

4

y

1

5

2

x

z

O

3

dydzzy )( dydzzy

1 2 3

)(

;0)()(0 yzyz DD

dydzzydydzzy

同理可得 ;0)(

dzdxxz

而 ydxdyx

)(

321

)()( dxdyyxdxdyyx

.0)()( xyxy DD

dxdyyxdxdyyx

.0)()()( dxdyyxdzdxxzdydzzy所以

（或由高斯公式得到所求积分值为 0 ）

4

y

1

5

2

x

z

O

3

一 、 选 择 题 :

1、 设 L 为2

30,0 yxx , 则 L

ds4 的 值 为 ( ) .

( A) 04 x ， ( B) ,6 ( C) 06 x .2、 设 L 为 直 线 0yy 上 从 点 ),0( 0yA 到 点 ),3( 0yB 的

有 向 直 线 段 , 则 Ldy2 =( ) .

( A) 6; ( B) 06 y ; ( C) 0.

3、 若 L 是 上 半 椭 圆

,sin

,cos

tby

tax取 顺 时 针 方 向 , 则

L

xdyydx 的 值 为 ( ) .

( A) 0; ( B) ab2

; ( C) ab .

测　验　题

4 、 设 ),(,),( yxQyxP 在 单 连 通 区 域 D 内 有 一 阶 连 续 偏 导 数 , 则 在 D 内 与

LQdyPdx 路 径 无 关 的 条 件

Dyxy

P

x

Q

),(, 是 ( ) .

( A ) 充 分 条 件 ; ( B ) 必 要 条 件 ; ( C ) 充 要 条 件 .5 、 设 为 球 面 1222 zyx , 1 为 其 上 半 球 面 , 则 ( ) 式 正 确 .

( A )

1

2 zdszds ;

( B )

1

2 zdxdyzdxdy ;

( C )

1

22 2 dxdyzdxdyz .

6 、 若 为 )(2 22 yxz 在 xoy 面 上 方 部 分 的 曲 面 ,

则

ds 等 于 ( ) .

( A ) r

rdrrd0

22

041

; ( B )

2

0

22

041 rdrrd

;

( C ) 2

0

22

041 rdrrd

.

7 、 若 为 球 面 2222 Rzyx 的 外 侧 , 则

zdxdyyx 22 等 于 ( ) .

( A ) xyD

dxdyyxRyx 22222 ;

( B ) 2 xyD

dxdyyxRyx 22222 ; ( C ) 0 .

8、曲面积分

dxdyz2 在数值上等于( ).

(A) 向量iz2穿过曲面的流量；(B) 面密度为2z的曲面的质量；(C) 向量kz2穿过曲面的流量 .9 、 设 是 球 面 2222 Rzyx 的 外 侧 , xyD 是 xoy 面 上 的 圆 域 222 Ryx , 下 述 等 式 正 确 的 是 ( ) .

( A ) xyD

dxdyyxRyxzdsyx 2222222 ；

( B ) xyD

dxdyyxdxdyyx )()( 2222 ；

( C ) xyD

dxdyyxRzdxdy 2222 .

1 0 、 若 是 空 间 区 域 的 外 表 面 , 下 述 计 算 中 运 用 奥 - 高 公 式 正 确 的 是 ( ) . ( A )

外侧

dxdyyzdydzx )2(2

=

dxdydzx )22( ；

( B )

外侧

zdxdyydzdxxdydzyzx 23 2)(

= dxdydzxx )123( 22 ；

( C )

内侧

dxdyyzdydzx )2(2

=

dxdydzx )12( .

二 、 计 算 下 列 各 题 :

1 、 求 zds , 其 中 为 曲 线

,

,sin

,cos

tz

tty

ttx

)0( 0tt ；

2 、 求 L

xx dyyedxyye )2cos()2sin( , 其 中 L 为 上

半 圆 周 222)( ayax , 0y , 沿 逆 时 针 方 向 .

三 、 计 算 下 列 各 题 :

1 、 求 222 zyx

ds其 中 是 界 于 平 面 Hzz 及0

之 间 的 圆 柱 面 222 Ryx ；

2 、 求

dxdyyxdzdxxzdydzzy )()()( 222 ，

其 中 为 锥 面 )0(22 hzyxz 的 外 侧 ；

3 、

3222 )( zyx

zdxdyydzdxxdydz其 中 为 曲 面

9)1(

16)2(

51

22

yxz)0( z 的 上 侧 .

四 、 证 明 : 22 yx

ydyxdx

在 整 个 xoy 平 面 除 去 y 的 负 半 轴 及

原 点 的 开 区 域 G 内 是 某 个 二 元 函 数 的 全 微 分 , 并求 出 一 个 这 样 的 二 元 函 数 .

五 、 求 均 匀 曲 面 222 yxaz 的 重 心 的 坐 标 .

六、求向量 kzjyixA 通过区域: ,10 x10,10 zy 的边界曲面流向外侧的通量 .

七、流体在空间流动,流体的密度处处相同( 1 ), 已知流速函数 kzyjyxixzV 222 ,求流体在单位时间内流过曲面 zzyx 2: 222 的流量(流向外侧)和沿曲线:L zzyx 2222 , 1z 的环流量(从z轴正向看去逆时针方向) .

测验题答案

一、1、B； 2、C； 3、C； 4、C； 5、B； 6、C； 7、B； 8、C； 9、C； 10、B.

二、1、3

22)2( 2

320 t

； 2、 2a .

三、1、RH

arctan2 ； 2、 4

4h

； 3、0.

四、 )ln(21

),( 22 yxyxu .

五、 )2

,0,0(a

. 六、3.

七、 0,1532 .