Лекция 13

РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ ДИСКРЕТНЫМ МЕТОДОМ

(продолжение)

4. Геометрическое уравнение

Внешняя нагрузка приводит к деформации элементов сооружения. Но при этом они не должны отрываться друг от друга. Это требование можно записать в виде уравнений совместности деформаций, отражающих геометрическую сторону задачи. Изучим это на примере предыдущей фермы (рис.а):

При перемещениях u1 и u2 узла A фермы (рис. б) ее элементы e1 и e2 получают следующие деформации (рис. в):

,1 1 2Δ u cosα u sinα 2 1 2Δ u cosα u sinα

(здесь, из-за сжатия e2 от перемещения u1 первое слагаемое взято со знаком «–»).

Перепишем эти уравнения в виде:

,1 2 1cosα u sinα u Δ 0 0Δusinαucosα 221

и представим в матричной форме

1 1

2 2

u Δcosα sinα 0

u Δcosα sinα 0

или как где 1 ,A u Δ = 0

u 1

2

u

u

Δ 1

2

− вектор перемещений,

− вектор деформаций,

1Acosα sinα

cosα sinα

− связующая матрица.

Из предыдущей лекции нам известна матрица

.Acosα cosα

sinα sinα

Видим, что , где символ t означает транспонирование. Поэтому вместо построения матрицы A1 можно воспользоваться матрицей At.

t1 AA

Тогда получим уравнениеtA u Δ 0

Возможность использования одной и той же матрицы A в двух уравнениях − уравнении статики и геометрическом уравнении носит название принципа двойственности.

− геометрическое уравнение

5. Физическое уравнение Изучим связь между деформациями и внутренними усилиями элементов расчетной модели стержневой системы. При выбранной расчетной модели (механические и геометрические характеристики отдельных элементов постоянны, внешняя нагрузка действует только в узлах) по отдельным конечным значениям усилий в элементе можно определять усилия во всех его точках элемента. Рассмотрим три типовых элемента.

В каждой его точке продольная сила N постоянна, а изгибающий момент M и поперечная сила Q зависят от

начального момента Mн и

конечного момента Mк :

1) элемент с двумя жесткими узлами

.к нM MQ

l

+

MнQ

N NQ

Mкer

N

M

+ Q

MкMн

2) элемент с шарнирным и жестким узлами

В нем продольная сила N постоянна, изгибающий момент M и поперечная сила Q зависят от конечного момента:

.кM

Ql

3) элемент с двумя шарнирными узлами

В нем имеется только постоянная продольная сила N.

Зависимость между внутренними усилиями и деформациями всех трех элементов может быть установлена через обобщенный закон Гука и записана в матричной форме:

r r r ,Δ B S

где Br – матрица податливости элемента с номером r, связывающая

вектор перемещений элемента Δr с вектором усилий Sr.

Например, в элементе 1-го типа связь между отдельными компонентами векторов перемещений и внутренних усилий выражается формулами:

r { }Δ l н к r { }S н кN M M

,llN

EF

,н кн

l lM M

3EI 6EI

.н кк

l lM M

6EI 3EI

Если эти уравнения записать в матричной форме, то матрица податливости элемента 1-го типа будет:

r

0 0

0 .3 6

06 3

B

l

EFl l

EI EIl l

EI EI

Для элемента 2-го типа:

r { },S кN M r { },Δ l к r0

.

03

B

l

EFl

EI

Для элемента 3-го типа:r ,S { }N r ,Δ { }l r .B

l

EF

Пусть дискретная модель состоит из m элементов e1, …, em. Для всех элементов запишем уравнения (1), связывающие вектора деформаций элементов Δ1, … , Δm с векторами усилий S1, … , Sm. Затем объединим эти уравнения в общую систему уравнений, а вектора деформаций и усилий элементов объединим в вектора

Полученную систему уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения

Δ = BS.

1 2 r m ,S S S S S 1 2 r m .Δ Δ Δ Δ Δ

Оно устанавливает связь между разными физическими величинами расчетной модели и называется физическим уравнением. Здесь матрица

1

21 2 m

m

.

B 0

BB B B B

0 B

называется матрицей податливости системы. Здесь знак означает диагональность этой матрицы.

6. Решение полной системы уравнений При расчете напряженно-деформированного состояния плоской стержневой системы дискретным методом участвуют четыре вектора: n21 PPP P – вектор нагрузки

n21 uuu u – вектор перемещений

m21 SSS S – вектор усилий

m21 Δ – вектор деформаций

Между этими векторами имеется три зависимости:

(1) (2) (3)

0PAS 0ΔuA t

BSΔ

– уравнение равновесия – геометрическое уравнение – физическое уравнение

Они вместе называются полной системой уравнений строительной механики. Решение этой системы уравнений дает полную картину напряженно-деформированного состояния всего сооружения.

Полную систему уравнений (1)-(3) с тремя неизвестными S, u, Δ можно решать тремя способами.

а) Решение в смешанной форме

Для этого правую часть уравнения (3) нужно подставить вместо в уравнение (2). Тогда останутся два уравнения: (4) (5)

Объединим их в одно матричное уравнение:

,AS Pt .A u BS 0

t.

A 0 S P

u 0B A

Из его решения одновременно определяются искомые внутренние усилия и деформации сооружения:

1

t.

A 0S P

u 0B A

Но из-за большой размерности обращаемой матрицы и ее несимметричности, расчет этим способом сложен для реализации.

б) Решение в перемещениях

Для этого из (5) найдем усилия:

(6)1 t t .S B A u KA u

Обратная к B матрица называется матрицей жесткости.

Теперь подставим (6) в (4) и получим:

1BK

t .AKA u P Отсюда определяется вектор перемещений:

t 1 .u (AKA ) PЕсли этот результат подставить в (6), то определяются и усилия.

в) Решение в усилиях

Из-за сложности решения его рассматривать не будем.

7. Алгоритм дискретного метода1. Ввести в расчетную схему узлы и выбрать расчетную модель.2. Составить вектор узловых перемещений u.3. Составить вектора неизвестных усилий S и деформаций Δ.4. Перенести внешнюю нагрузку в узлы.5. Вырезая узлы, записать уравнения равновесия.6. Собрать матрицу равновесия A и вектор нагрузки P.7. Составить матрицу податливости необъединенных элементов B.

8. Решить полную систему уравнений строительной механики. Решение в перемещениях ведется в следующем порядке:

а) б) в) г) д) е) ж)

9. По вектору усилий S построить эпюры M, Q, N . При необходимости, по векторам u и Δ можно построить общую

картину деформации сооружения.

1 ;K Bt ;C KA

t0 ;K AKA AC

10 0 ;B K

0 ;u B P;S Cu

.Δ BS