ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Ульяновский государственный технический университет

Н. И. КУКАНОВ, А. Н. ЧЕРНЫЙ

РАСЧЕТ ФЕРМЫ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Методические указания

Ульяновск 2005

2

УДК 624.04.044 ББК 38.112 я73 К89

Рецензент доктор технических наук, профессор В. К. Манжосов Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета

Куканов, Н. И. К89 Расчет фермы методом конечных элементов : методические указания /

Н. И. Куканов, А. Н. Черный. – Ульяновск : УлГТУ, 2005. – 28 с. : ил.

Указания составлены в соответствии с учебными программами по дисциплине «Метод конечных элементов в строительных конструкциях» для направления «Строительство». В методическом указании рассматривается расчет плоской фермы методом конечных элементов. Приведены матричные зависимости метода, матрицы жесткости и ортогонального преобразования координат элемента, а также рассмот-рен пример расчета плоской фермы.

Методические указания предназначены для студентов при изучении раздела «Расчет статически-неопределимых ферм», выполнения расчетно-проектировочных заданий по данной теме, самостоятельной работе. Работа подготовлена на кафедре теоретической и прикладной механики.

УДК 624.04.044 ББК 38.112 я73

© Куканов Н. И., Черный А. Н., 2005 © Оформление. УлГТУ, 2005

3

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ........................................................................................... 4 1. Алгоритм расчета плоской фермы методом конечных элементов ......................................................................... 5

1.1. Образование дискретной расчетной схемы фермы ........................ 5 1.2. Вычисление матрицы жесткости элемента фермы в местной сис-

теме координат............................................................................ 6 1.3. Вычисление матрицы ортогонального преобразования координат

элементов .................................................................................... 8 1.4. Вычисление матриц жесткости элементов в общей системе

координат.................................................................................... 9 1.5. Формирование квазидиагональной матрицы жесткости

конструкции ................................................................................ 9 1.6. Формирование матрицы соответствий конструкции и матрицы

жесткости конструкции................................................................ 10 1.7. Формирование системы уравнений равновесия ............................. 11 1.8. Определение узловых перемещений и внутренних силовых

факторов ..................................................................................... 12 2. Пример расчета фермы..................................................................... 14 3. Требования по выполнению и оформлению расчетно-проектировочных работ .................................................... 22 Заключение....................................................................................... 23 Приложение ...................................................................................... 24 Библиографический список.............................................................. 28

4

Введение

Расчеты сложных конструкций с достаточной точностью могут быть вы-

полнены только с использованием высокопроизводительных численных мето-

дов расчета. Для оценки напряженно-деформированного состояния фермы наи-

более приемлемы численные методы расчета на основе дискретных расчетных

схем, в частности, метод конечных элементов. При этом применение метода

конечных элементов позволяет выполнять расчет как статически определимых,

так и статически неопределимых ферм на основе единой методики.

Наибольшее распространение получил метод конечных элементов в форме

метода перемещений, при котором матричные алгоритмы наиболее универ-

сальные.

5

1. Алгоритм расчета плоской фермы методом конечных элементов

1.1. Образование дискретной расчетной схемы фермы

В методе конечных элементов деформируемая система представляется со-

вокупностью подобластей – конечных элементов, положение которых опреде-

ляется конечным числом степеней свободы, называемых узловыми перемеще-

ниями.

Применительно к стержневой системе конечные элементы – это призмати-

ческие стержни, выделение которых из системы узловыми сечениями осущест-

вляется с соблюдением следующих правил:

а) узлы совпадают с сечениями, на которые действуют внешние сосредо-

точенные силы или моменты;

б) оси элементов – прямые линии;

в) оси координат элемента совпадают с главными осями инерции попереч-

ного сечения;

г) если на сечение в системе наложены связи, то этому сечению соответст-

вует узел;

д) стержни с начальной кривизной аппроксимируются системой призмати-

ческих элементов.

Расчетная схема фермы представляет систему, образованную осями стерж-

невых конечных элементов, проходящих через центры тяжести сечений и наде-

ленных геометрическими и физическими свойствами, присущими соответст-

вующим моделируемым участкам фермы. При этом за узлы сопряжения эле-

ментов принимаются узлы фермы.

Нумерацию узлов расчетной схемы фермы рекомендуется выполнять с ле-

вого конца фермы снизу вверх. В этой же последовательности выполняется ну-

мерация узловых перемещений в выбранной общей системе координат 00YX и

элементов.

6

1.2. Вычисление матрицы жесткости элемента фермы в местной системе координат

Основным в методе конечных элементов является формирование матрицы

жесткости элемента, которая устанавливает связь между узловыми силами эле-

мента и перемещениями его узлов.

Стержни фермы согласно определению работают на растяжение или сжа-

тие. В связи с этим, в качестве конечного элемента для моделирования фермы

может быть использован стержень с одной степенью свободы в узле, направ-

ленной вдоль его оси.

Для получения матрицы жесткости конечного элемента необходимо за-

даться направлениями его возможных узловых перемещений. При этом пред-

полагается, чтобы выбранные направления возможных узловых перемещений в

начале и в конце стержня совпадали. Далее необходимо построить эпюры внут-

ренних силовых факторов от последовательных единичных перемещений узлов

по выбранным направлениям и определить реакции в узлах конечного элемен-

та. При этом реакция положительная, если она совпадает с выбранным (поло-

жительным) перемещением в узле. Определенные таким образом реакции в уз-

лах от единичных перемещений определяют матрицу жесткости элемента в ме-

стной системе координат XY . Порядок матрицы жесткости элемента равен

числу степеней свободы его узлов.

Абсолютная деформация стержня при растяжении-сжатии определяется

выражением EFNl

l =Δ , т. е. при 1=Δl имеем l

EFN = .

На рис. 1, а) приведен стержневой конечный элемент в местной системе

координат XY с принятыми положительными осевыми направлениями узловых

перемещений 1Z и 2Z , которые и определяют размерность матрицы жесткости

элемента, равную 22× .

Для определения матрицы жесткости rK , компоненты которой представ-

ляют собой реакции в узлах конечного элемента от единичных перемещений,

построены эпюры нормальных сил от последовательных осевых перемещений

7

узлов: 11 =Z и 12 =Z , приведенные на рис. 1, б), где E – модуль упругости 1-го

рода, F – площадь поперечного сечения стержня.

Рис. 1. Эпюра нормальных сил от принятых положительных

единичных перемещений узлов элемента

Эпюры нормальных сил позволяют определить реакции в узлах элемента,

направления которых также показаны на рис. 1, б). При этом реакция положи-

тельна в том случае, если ее направление совпадает с принятым положитель-

ным перемещением в узле. Определенные таким образом реакции определяют

матрицу жесткости элемента в местной системе координат:

1111

−−=

−

−=

lll

ll EFEFEF

EFEF

Kr . (1)

8

1.3. Вычисление матрицы ортогонального преобразования координат элементов

Для каждого элемента расчетной схемы определяется угол α между осью

X местной системы координат и осью 0X общей системы координат (рис. 2).

При этом местную систему координат XY необходимо помещать в узел эле-

мента с меньшим порядковым номером в расчетной схеме фермы.

Рис. 2. Ориентация осей общей и местной систем координат

Стержни фермы ориентированы произвольно на плоскости, т.е. направле-

ния узловых сил в местной системе координат не будут совпадать с направле-

нием осей общей системы координат, и поэтому в узле плоской фермы в общей

системе координат две степени свободы. В связи с этим размерность матрицы

жесткости элемента в общей системе координат 44× . Преобразование матрицы

жесткости элемента из местной системы координат в общую осуществляется с

помощью матрицы ортогонального преобразования координат rT .

Матрица ортогонального преобразования координат конечного элемента

стержневого типа в блочной форме имеет вид

λ

λ=

00

rT , (2)

где число матриц направляющих косинусов λ равно числу узлов конечного

элемента.

Матрица направляющих косинусов осей элемента λ в общем виде для вы-

бранной последовательности степеней свободы узла конечного элемента фермы

будет

9

00 XYXXλλ=λ , (3)

где 0XXλ – косинус угла между осями X и 0X и т.д.

Таким образом, число строк матрицы rT определяется количеством степе-

ней свободы элемента в местной системе координат, а число столбцов – коли-

чеством степеней свободы в общей системе координат, т.е. размерность матри-

цы ортогонального преобразования координат элемента фермы 42× .

Из рис. 2 следует αα=λ sincos , следовательно, матрица ортогонально-

го преобразования координат элемента (2) будет

αα

αα=

sincossincos

Tr 0000

. (4)

Преобразование к общей системе координат 00YX матриц жесткости эле-

ментов необходимо для формирования матрицы жесткости конструкции и для

последующего составления уравнений равновесия.

1.4. Вычисление матриц жесткости элементов в общей системе координат

Матрицы жесткости элементов в общей системе координат вычисляются

по формуле:

rrTr

0r TKTK = , (5)

где TrT – транспонированная матрица ортогонального преобразования коорди-

нат r -го элемента.

1.5. Формирование квазидиагональной матрицы жесткости кон-струкции

Квазидиагональная матрица жесткости конструкции 0K формируется из

матриц жесткости элементов в общей системе координат следующим образом:

10

0

02

01

00000000000000000000

n

0

K...

...K

K

K = , (6)

где n – количество элементов в расчетной схеме фермы.

Матрица 0K содержит жесткостные параметры конечных элементов рас-

четной схемы конструкции, физический смысл которых – реакции в узлах от

единичных перемещений.

1.6. Формирование матрицы соответствий конструкции и матрицы жесткости конструкции

Одной из важнейших задач при расчете конструкции методом конечных

элементов является автоматическое формирование матрицы жесткости конст-

рукции. Существуют различные алгоритмы формирования матрицы, каждый из

которых имеет свои достоинства и недостатки.

Рассмотрим способ формирования матрицы жесткости конструкции на ос-

нове так называемой матрицы соответствий A , с помощью которой можно за-

дать взаимную связь элементов конструкции. Матрица A имеет размеры

LM × , где M – количество перемещений для всех элементов конструкции, L –

количество неизвестных (число перемещений конструкции).

Матрица соответствий A содержит топологическую информацию, указы-

вающую адрес, по которому должны быть распределены компоненты матриц

жесткости отдельных элементов 0rK на поле матрицы жесткости конструкции

0K и просуммированы в соответствии с условиями совместности деформации

узлов расчетной схемы конструкции.

Матрица соответствий конструкции A формируется из матриц соответст-

вий элементов:

11

nA......AA

A2

1

= . (7)

Матрица соответствий элемента rA состоит из единиц, число которых рав-

но числу степеней свободы элемента в общей системе координат, и нулей. В

блочной форме матрица соответствий элемента имеет вид:

иконструкциузловномера

элементаузловномераr

ji

,ji

EE

A0

0=

(8)

где E – единичная матрица размерностью 22× . Положение матриц E на поле

матриц rA определяется элементами, расположенными на пересечении одно-

значных номеров узлов конструкции и номеров узлов элемента.

Формирование матрицы жесткости конструкции осуществляется следую-

щей процедурой

AKAK T0 0= , (9)

но с учетом того, что матрица A может достигать больших размеров; в ряде

случаев удобнее формировать матрицу жесткости конструкции в следующем

виде

∑=

=n

1rrr

Tr

0 AKAK 0 . (10)

1.7. Формирование системы уравнений равновесия

Общее количество уравнений, определяющих деформированное состояние

конструкции, равно числу узлов в расчетной схеме, умноженному на число сте-

пеней свободы узла.

Система уравнений равновесия имеет вид:

12

00 PZK0 = , (11)

где 0Z – вектор узловых перемещений конструкции в общей системе коорди-

нат.

Число элементов в векторе нагрузки 0P равно числу узловых перемеще-

ний в расчетной схеме фермы. При этом положительное направление сил в век-

торе нагрузки совпадает с выбранным положительным направлением переме-

щений и наоборот. Если в узле нет нагрузки, то элементы вектора с соответст-

вующими номерами узловых перемещений равны нулю.

Для возможности обращения матрицы жесткости конструкции 0K ее не-

обходимо модифицировать, т.е. ввести в систему уравнений (11) кинематиче-

ские закрепления задачи. При кинематическом закреплении соответствующим

элементам строк столбцов матрицы 0K присваиваются нулевые значения, а

элемент главной диагонали становится единичным. Очевидно, возможно и ис-

ключение этих уравнений, определяющих зависимость нагрузки от реакции

опор.

1.8. Определение узловых перемещений и внутренних силовых факторов

Решением системы уравнений равновесия определяется вектор узловых

перемещений конструкции 0Z :

010 PKZ 0 −= , (12)

который распределяется по элементам расчетной схемы следующим образом:

00 AZZ = , или поэлементно 0ZAZ r0r = . (13)

Вектор внутренних силовых факторов конструкции в общей системе коор-

динат определяется следующим произведением матриц [1]:

( ) 00T ZKZAKPAKKPAKAAKS 00010001000 ====−− , (14)

а по элементам расчетной схемы внутренние усилия в общей системе коорди-

нат распределятся

13

00rr

0r ZKS = . (15)

Узловые силы и перемещения преобразуются из общей в местную систему

координат с помощью матрицы ортогонального преобразования координат

элемента rT следующим образом:

0rrr STS = , 0

rrr ZTZ = . (16)

14

2. Пример расчета фермы

Требуется выполнить расчет фермы, приведенной на рис. 3, а) методом ко-

нечных элементов. Расчетная схема фермы с нумерацией элементов, узлов и

узловых перемещений в общей системе координат приведена на рис. 3, б). Мо-

дуль упругости первого рода принять равным 26102смкгсE ⋅= .

Рис. 3. Заданная и расчетная схемы фермы

15

Число узлов фермы равно шести, а количество конечных элементов 9n = .

Матрицы жесткости элементов в местной системе координат вычисляем по

общему виду (1):

144000144000144000144000

6 −−== KK1 ,

7497209245749720924574972092457497209245

98743 ,,,,KKKKKK2 −

−====== ,

285785714285785714285785714285785714,,,,K5 −

−= ,

где длины элементов см50061 == ll , см7005 =l , ===== 87432 lllll

см,см 11634107450350250 229 ≈=+== l .

Угол между осями X и 0X определяется для каждого элемента расчетной

схемы, помещая местную систему координат XY в узел с меньшим порядко-

вым номером. Затем по выражению (4) определяются матрицы ортогонального

преобразования координат элементов:

01000001

6 ==TT1 , 1=αcos , 0=αsin ,

813705812000008137058120

74 ,,,,TTT2 === ,

745cos =α ,

747sin =α ,

10000010=5T , 0=αcos , 1=αsin ,

813705812000008137058120

98 ,,,,TTT3 −

−=== ,

745cos =α ,

747sin −=α ,

Матрицы жесткости элементов в общей системе координат вычислим по

формуле (5):

000001440000144000000001440000144000

−

−

== 06

01 KK ,

16

6181138554584398967618113855458439896758439896713177069158439896713177069161811385545843989676181138554584398967584398967131770691584398967131770691

,,,,,,,,,,,,,,,,

KKK 07

04

02

−−−−

−−−−

=== ,

28578571402857857140

000028578571402857857140

0000

,,

,,K 05−= ,

6181138554584398967618113855458439896758439896713177069158439896713177069161811385545843989676181138554584398967584398967131770691584398967131770691

,,,,,,,,,,,,,,,,

KKK 09

08

03

−−−−−−

−−

=== .

Определим матрицы соответствий элементов конструкции:

000000100000000000010000000000000010000000000001

=1A ,

000000001000000000000100000000000010000000000001

=2A ,

000000100000000000010000000000001000000000000100

=3A ,

000010000000000001000000000000001000000000000100

=4A ,

000010000000000001000000000000100000000000010000

=5A ,

100000000000010000000000000000100000000000010000

=6A ,

17

001000000000000100000000000000100000000000010000

=7A ,

001000000000000100000000000010000000000001000000

=8A ,

100000000000010000000000001000000000000100000000

=9A .

Полученные матрицы жесткости элементов в общей системе координат 0rK совместно с матрицами соответствий элементов конструкции rA дает воз-

можность получить матрицу жесткости конструкции 0K по выражению (10).

Из удовлетворения граничным условиям 0=1Z , 0=2Z , 0=6Z и 0=12Z ,

соответствующим элементам матрицы жесткости конструкции 0K , располо-

женным на главной диагонали, присваиваются единицы, а строкам и столбцам

– нулевые значения. Модифицированная таким образом матрица жесткости

конструкции 0K используется в системе уравнений равновесия (11). Аналогич-

ного результата можно достигнуть, исключив соответствующие строки и

столбцы из системы уравнений равновесия.

18

1000000000000131721469158439896713177069100000001440000000058439896785424156635843989676181138554584398967058439896700000131770691584398967395212073584398967131770691013177069100000061811385545843989675219362823000618113855458439896700005843989671317706910263314138200584398967131770691000000001000000000014400058439896713177069100026334293825843989671317706910000006181138554584398967058439896785424156635843989670000005843989671317706910131770691584398967395021207300000000000010000000000001

0

,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,

K

−−−−−

−−−−−−−

−−−

−−−−−−−−−

= ,

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

ZZZZZZZZZZZZ

Z = ,

000

0036000

006000000000

0

,

,P

−

−= .

19

Решая систему уравнений равновесия (11), получим вектор перемещений в

общей системе координат

( )см

,,,,,

,,,

Z 0

00701931002219460097881900211060013270420

0041346500036541004646220

00

−

−

−

−−−

= .

Распределение перемещений в общей системе координат по элементам оп-

ределим по выражению (13):

0

0413465000

,Z 01 −= , 0036541004646220

00

,,Z 02

−−= ,

0041346500036541004646220

,,,

Z 03 −−−

= ,

02110600132704200036541004646220

,,,,

Z 04 −−−

= , 0211060013270420

004134650

,,

,Z 05 −

−= ,

007019310

004134650

,

,Z 06 −

−= ,

0221946009788190

004134650

,,

,Z 07 −

−= ,

02219460097881900211060013270420

,,,,

Z 08 −

−

= ,

0070193100221946009788190

,,,

Z 09 −

−

= .

Векторы внутренних силовых факторов элементов конструкции в общей

системе координат определяются по формуле (15), а в местной системе коорди-

нат по формуле (16) (единица измерения – кгс):

08965953

08965953

,

,S 01 −= ,

5445104103364654451041033646

,,,,

S 02−−

= ,

0040003000400030

,,,,

S 03 −−= ,

20

5365104097364653651040973646

,,,,

S 04−−

= , 0861809

00861809

0

,

,S 05−= ,

09104153

09104153

,

,S 06 −= ,

0082520005180000825200051800

,,,,

S 07−−

= ,

4483295892235344832958922353

,,,,

S 08−

−

= ,

4585815899415345858158994153

,,,,

S 09−

−

= ;

89659538965953,,S1 −= , 9936272

9936272,,S2 −= , 0050

0050,,S3 −= ,

98362729836272,,S4 −= , 0861809

0861809,,S5

−= , 91041539104153,,S6 −= ,

84730968473096,,S7 −= , 7884049

7884049,,S8

−= , 63871466387146,,S9

−= .

Очевидно, что на результаты вычислений оказывают влияние ошибки ок-

ругления, поэтому компоненты векторов 03S и 3S можно принимать равными

нулю.

По значениям векторов rS построена эпюра нормальных сил (рис. 4).

Рис. 4. Эпюра нормальных сил

21

Методом вырезания узлов определим реакции опор (рис. 5). Значения ко-

синуса и синуса угла наклона α равны: 58120,745cos ==α ,

81370,747sin ==α .

Рис. 5. Определение реакций методом вырезания узлов

В заключение расчета фермы сделаем статическую проверку (рис. 6).

Рис. 6. Статическая проверка фермы

∑ ≈−=−=−−= 0001096009999599360060009999599 ,,,X .

∑ ≈=−=−+= 000704595815466581545958159227105445104 ,,,,,,Y .

22

3. Требования по выполнению и оформлению расчетно-проектировочных работ

1. Студент выполняет необходимое количество заданий в соответствии с

учебным планом. Номера схем и исходных данных задаются преподавателем

каждому студенту индивидуально.

2. Работы выполняются на стандартных листах писчей бумаги (формат А4)

на одной стороне листа или в тетради; на обложке должны быть четко написа-

ны: фамилия, имя и отчество студента (полностью), название факультета, шифр

группы (для студентов БФО – учебный шифр и почтовый адрес).

3. Задание следует выполнять чернилами, четким почерком. Рисунки вы-

полняются карандашом или чернилами.

4. Перед выполнением каждого задания необходимо написать его тему, ус-

ловие (техническое задание) с числовыми данными, составить расчетную схему

в масштабе и указать на ней в числах все величины, необходимые для расчета.

5. Решение должно сопровождаться краткими, без сокращения слов, объ-

яснениями и чертежами, на которых все входящие в расчет величины должны

быть показаны в числах.

6. При вычислениях в формулы подставляются значения входящих в них

параметров, а затем приводятся окончательные результаты с указанием единиц

измерений найденных величин.

7. Рассчитываемый параметр не следует вычислять с большим количест-

вом значащих чисел после запятой, вычисления должны соответствовать необ-

ходимой точности.

8. После проверки преподавателем расчетного задания студент должен ис-

править в нем все отмеченные ошибки и выполнить все сделанные ему указа-

ния.

23

Заключение

В настоящее время метод конечных элементов (МКЭ) является самым по-

пулярным методом решения практических задач механики деформируемого

твердого тела. С его помощью проводят расчеты по определению напряженно-

деформированного состояния и несущей способности реальных конструкций

самых различных отраслей техники и строительства. МКЭ предоставляет воз-

можность моделировать такие сложные процессы как разрушение, удар, поте-

рю устойчивости, штамповка, вытяжка и т.д.

Причина популярности МКЭ кроется в его алгоритмичности и хорошей

совместимости с системами автоматического проектирования (САПР) и их

твердотельным моделированием. В результате получается средство для осуще-

ствления полного цикла проектирования – производство в электронной форме.

В настоящих методических указаниях рассмотрен вопрос построения ко-

нечно-элементных моделей стержневых ферменных систем, что является, по

сути, классическим методом перемещений строительной механики. Овладев

методом расчета ферменных конструкций с помощью конечных элементов,

студент без излишних затруднений сможет перейти к вопросу расчета других

стержневых конструкций, таких как балки, арки, плоские и пространственные

рамы.

24

Приложение

Задание к расчетно-проектировочной работе «Расчет фермы методом конечных элементов»

Техническое задание

Плоская ферма, состоящая из стальных стержней (модуль упругости

26102смкгсE ⋅= ), нагружена сосредоточенными силами. Плоскости нагружения

совпадают с главными плоскостями стержней фермы. Схемы нагружения ферм

представлены на рис. П.1–П.3, значения исходных параметров приведены в

таблице П.1. Площади поперечных сечений горизонтальных и наклонных

стержней зависят от площадей поперечных сечений вертикальных стержней:

вг kFF = , вн cFF = .

Таблица П.1 Номер строки d , м β вF , 2см k c P , т α

1 4 3/4 30 0,8 1,0 4 2,0 2 3 4/3 20 1,5 2,0 6 0,5 3 4 1 20 1,0 2,0 6 0,8 4 3 1 30 1,0 1,5 8 0,6

Требуется:

1) для заданной фермы выбрать расчетную схему, пронумеровав элементы,

узлы и узловые перемещения;

2) для каждого элемента определить матрицу жесткости в местной системе

координат (МСК), матрицу ортогонального преобразования и матрицу жестко-

сти элемента в общей системе координат (ОСК), а также матрицу соответствий;

3) определить матрицу жесткости конструкции в ОСК;

4) определив узловые перемещения из решения уравнений равновесия с

учетом граничных условий, определить вектора внутренних усилий для каждо-

го элемента в ОСК и МСК;

5) построить эпюру нормальных сил;

6) определив значения реакций опор методом вырезания узлов, выполнить

проверку статического равновесия фермы.

25

Рис. П.1

26

Рис. П.2

27

Рис. П.3

28

Библиографический список

1. Аргирос, Д. Современные методы расчета сложных статически неопреде-

лимых систем / Д. Аргирос. – Л.: Судпромгиз, 1961. – 873 с.

2. Дарков, А. В. Строительная механика: учебник / А. В. Дарков, Н. Н. Ша-

пошников. – 9-е изд., испр. – СПб.: Изд-во «Лань», 2004. – 656 с.

3. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. – М. :

Изд-во «Мир», 1975. – 541 с.

Учебное издание

КУКАНОВ Николай Иванович ЧЕРНЫЙ Анатолий Николаевич

РАСЧЕТ ФЕРМЫ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Методические указания

Редактор О. А. Фирсова

Подписано в печать 16.12.2005. Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 0,90. Тираж 150 экз. Заказ . Ульяновский государственный технический университет

432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32. Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.