درس کنترل ديجيتال

1391مهر

بسم ا... الرحمن الرحيم

دکتر حسين بلندي/ دکتر سید مجید اسماعیل زاده / دکتر بهمن قربانی واقعی

Conventionalدر فص)ل ه)اي س)وم و چه)ارم تمرك)ز ب)ر روي قي)د ب)راي تحلي)ل و ط)راحي سيس)تم ه)اي كن)ترل ب)ود. اينگون)ه روش ه))اي كن))ترلي از قبي))ل مك))ان هندس))ي ريش))ه ه))ا و پاس))خ

ك)ارآيي دارن)د. اگرچ)ه SISOفركانس)ي فق)ط ب)راي سيس)تم ه)اي و داراي محاس))بات ان))دكي مي س))اده اينگون))ه مت))دها بس))يار

مس)تقل از زم)ان باش))ند ام)ا كارآئيش)ان ب)راي سيس)تم ه)ايSISO مي باش)د. در اينگون)ه سيس)تم ه)ا تمرك)ز ب)ر روي ارتب)اط

ت)ابع تب)ديل ي)ا ت)ابع تب)ديل بين خ)روجي و ورودي سيس)تم يع)نيسيس)تم مي باش)د. اينگون)ه روش ه)ا ب)راي سيس)تم ه)اي پالس)ي

ه)اي غ)يرخطي مگ)ر بس)يار س)اده و همچ)نين ب)راي سيس)تمOptimal ك))ه در بس))ياري مواق))ع وابس))ته ب))ه يئو سيس))تم ه))ا

يا غيرخطي هستند كارآيي نداشتند.Time-Varyingزمان يعني

فصل پنجم

مقدمه

حالت“فضاي”تحليل

در واق))ع فض))اي ح))الت ب))ه ط))راح اين فرص))ت را مي ده))د ك))هم)ورد ط)راحي ش)اخص ه)اي كيفيت عملك)ردسيس)تم را ب)ا توج)ه ب)ه

ق))رار ده))د. همچ))نين در اين مت))دها ط))راحي ب))راي ي))ك كالس از ورودي ها بجاي يك ورودي خاص انجام مي پذيرد.

در سيس))تم ه))اي كن))ترل م))درن، سيس))تم ه))ا داراي تع))داديورودي و خ)روجي هس)تند ك)ه گ)اهي بص)ورت پيچي)ده بهم مرب)وط مي باش)ند. ل)ذا ب)راي تحلي)ل و ط)راحي اينگون)ه سيس)تم ه)ا باي)د

ح�الت از رواب))ط خس))ته كنن))ده رياض))ي ع))دول نم))وده و ي))كرا اثبات نمود. سيستماتيك

بيش)تر سيس)تم ه)اي كن)ترل م)درن ب)ه سيس)تم ه)اي كن)ترل مت�دهاي فض�اي ح�الت، ديجيت)ال تب)ديل مي ش)وند. در نتيج)ه

به))ترين روش ه))ا ب))راي بررس))ي، تحلي))ل و ط))راحي اينگون))ه سيستم هاست.

State : الت�ح)الت ي)ك سيس)تم دينامي)ك عب)ارت اس)ت از حكوچك)ترين مجموع)ه از متغيره)ا )متغيره)اي ح)الت( ك)ه داش)تن

، ب)ا هم و داش)تن ورودي ب)راي اين متغيره)ا در ، مش)خص و مي توانن)د رفت)ار سيس)تم را ب)راي ه)ر زم)ان

معين نماين)د. باي)د توج)ه داش)ت ك)ه مفه)وم ح)الت فق)ط ب)راي سيس)تم ه)اي ف)يزيكي بك)ار گرفت)ه نمي ش))ود بلك)ه ب)راي ه)ر

، و Biological، Economicalسيس))))تم مانن))))د سيس))))تم ه))))اي اجتماعي نيز بكار گرفته مي شود.

عبارتن)د از كوچك)ترين :State Variablesمتغيره�اي ح�الت = ي)ك سيس)تم دينامي)ك را Stateمجموع)ه اي از متغيره)ا ك)ه ح)الت=

متغ)ير را م)ورد ني)از داريم ت)ا nتش)كيل مي دهن)د. اگ)ر ح)داقل متغ)ير را متغيره)اي ح)الت nرفت)ار سيس)تم را تعري)ف ك)نيم اين

مي ناميم.

0tt

0tt 0tt

تعاريف

متغ)ير ح)الت ب)راي تعري)ف nاگ)ر : State Vectorبردار ح�الت متغ)ير ح)الت nكام)ل رفت)ار ي)ك سيس)تم م)ورد ني)از اس)ت، آنگ)اه

دانس)ت. اين ب)ردار را ب)ردار ج)زء ب)ردار nرا مي ت)وان، حالت مي ناميم.

بع)دي ك)ه محوره)اي nفض)اي : (State Spaceفض�اي ح�الت )را فض)اي ح)الت مي مختص)ات آن عبارتن)د از:

ن)اميم. ه)ر ح)الت را مي ت)وان توس)ط ي)ك نقط)ه در فض)اي ح)الت نمايش داد.

در مع)ادالت فض)اي ح)الت ب)ا س)ه : مع�ادالت فض�اي ح�التمتغيره)اي متغ)ير ب)راي م)دل ك)ردن ي)ك سيس)تم روب)رو هس)تيم:

ورودي، متغيرهاي خروجي و متغيرهاي حالت.

12 ,,, xxxn

X

معادالت فضاي حالت ، گسس))ته Time-Varyingبراي ي))ك سيس))تم وابس))ته ب))ه زم))ان،

)خطي يا غيرخطي( معادالت فضاي حالت عبارتند از:

kkukxfkx ,,1

:و معادله خروجي عبارت است از

kkukxgky ,,

�ه ��ته ب��ان خطي وابس��ته زم��اي گسس��تم ه�براي سيس زم�ان، مع�ادالت ح�الت و معادل�ه خ�روجي عب�ارت اس�ت از:

kukDkxkCky

kukHkxkGkx

1

بردار ح)الت

Vectornkx

بردار خ�روجي

Vectormky

بردار ورودي

Vectorrku

ماتريس ح�الت

nnkG

ماتريس ورودي

rnkH

ماتريس خ�روجي

nmkC

�ال ��ماتريس انتق مستقيم

rmkD

در k حضور kGkHkC و ,, kDسيستم

است.

بودن Time-Varyingنمايانگر

kukDkxkCky

kukHkxkGkx

1

يا ثابت باشد:Time-Invariant اگر سيستم

kDukCxky

kHukGxkx

1

State Space Representation of Discrete-Time Systems

زير را در نظر بگيريد. Discreteسيستم كنترل

nkyakyakyaky n 21 21

تابع تبديل پالسي )*( عبارت است از:

n

n

nn

zazaza

zbzbzbb

zu

zyzG

22

11

22

110

1

)(110 nkubkubkub n

n

nnnn

nnn

azazaz

bzbzbzbzG

22

11

22

110 يا

چن�دين روش ب�راي بدس�ت آوردن مع�ادالت فض�اي تابع تبديل پالسي اينحالت

وجود دارند: برنامه سازي مستقيم (1

Controllable Canonical 1- Direct Programming Method

برنامه سازي تو در تو (2 Observable Canonical 2- Nested Programming Method

گسترش كسرهاي جزئي (3 Jordan Canonical 3- Partial Fraction Expansion Method

Direct Programming Method Or Controllable Canonical Form

n

n

nn

zazaza

zbzbzbb

zU

zYzG

22

11

22

110

1

z

nn

nnn

zazaza

zbabzbabzbabb

2

21

1

02

0221

0110 1

zYzUbzYzUzzUbzYZY

~0

~0

از اين معادله مي توان دو معادله زير را بدست آورد:

)(22

11 zUzzazzazzaz n

n

)(~

01

011 zzbabzzbabzY nnn

zUzazaza

zbabzbabzbabzY

nn

nnn

22

11

02

0221

011

1~

zzazaza

zU

zbabzbabzbab

zYn

nn

nn

2

21

102

0221

011 1

~

zzazaza

zU

zbabzbabzbab

zYn

nn

nn

2

21

102

0221

011 1

~

Let’s define state variables as:

)(

1

21

23

12

1

zzzX

zzzX

zzzX

zzzX

zzzX

n

n

n

n

n

kxkx

kxkx

kxkx

kxkx

zXzzX

zXzzX

zXzzX

zXzzX

nnnn 1

1

1

1

1

43

32

21

1

43

32

21

kukxakxakxakx

zUzXazXazXazzX

nnnn

nnnn

1211

1121

1)(

را مي توان اينگونه نوشت:)(معادله

zXbabzXbabzXbabzY nnnn 101022011

~

kUbkxbabkxbabkxbabky nnnn 0011102210

بنابراين:

kub

kx

kx

babbabbabky

n

nnnn 0

1

0110110

مدل فضای حالت

( )( )

( )

( )( )

( )

( )ku

kx

kx

kx

aaaakx

kx

kx

n

nnn

núúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

+

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

úúúúúúú

û

ù

êêêêêêê

ë

é

----

=

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

+

+

+

--

1

0

0

1000

0100

0010

1

1

1

2

1

121

2

1

MM

L

L

MMMMM

L

L

M

Controllable Canonical Form

:مي توان متغيرهاي حالت را بشرح زير تعريف نمود

zzzX

zzzX

zzzX

zzzX

nn

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

33

22

11

kukx

aaa

kx

n

0

0

1

ˆ

000

010

001

1ˆ

21

kubkxbabbabbabky nn 00022011 ˆ

Controllable Canonical Form

متغيرها بصورت زير بهم مرتبط مي شوند:اين

kxkx

kxkx

kxkx

n

n

n

1

12

1

ˆ

ˆ

ˆ

kXkX

T

ˆ

000001

001000

010000

100000

Nested Programming Method Or Observable Canonical Form

در اين متد هم نيازي به فاكتور كردن مخرج تابع تبديل پالس نيست.

n

n

nn

zaza

zbzbb

zU

zYzGGiven

11

110

1:

0110

11 zUzbzUzbzUbzYzazYzazY n

nn

n

0222

111

0 zUbzYazzUbzYazzUbzYazzUbzY nnn

zYazUbzzYazUbzzzYazUbz

zYazUbzzUbzY

nnnn1

1111

221

111

0

Now let’s define state variables:

zYazUbzzX

zXzYazUbzzX

zXzYazUbzzX

zXzYazUbzzX

nn

nn

nn

nn

11

1111

2

2221

1

1111

بر اين اساس معادله :را مي توان اينگونه نوشت

zXzUbzY n0

با قرار دادن معادله در و ضرب طرفين در z:خواهيم داشت

zUbabzXazzX

zUbabzXazXzzX

zUbabzXazXzzX

zUbabzXazXzzX

nnnn

nnnn

nnn

nnn

01

011112

022221

01111

z با عكس تبديل از معادالت فوق در جهت معكوس خواهيم داشت:

kubkxky

kubabkxakxkxkubabkxakxkx

kubabkxakxkx

kubabkxakx

n

nnn

nnn

nnnn

nnnn

0

01111

022221

011112

01

11

1

1

ku

bab

bab

bab

bab

kx

kx

kx

kx

a

a

a

a

kx

nn

nn

n

n

n

n

011

022

011

0

1

2

1

1

2

1

100

000

001

000

1

kubkxky 0100

بنابراين در فرم ماتريسي داريم:

kubkxkubkxky

kubabkxakxkxkxkx

kubabkxkxakxkxkxkx

kubabkxkxakxkxkxkx

n

nnnnn

nn

nn

010

0111

0223121212

01121111

ˆ

ˆ11ˆˆ

ˆˆ11ˆˆ

ˆˆ11ˆˆ

:مي توان متغيرهاي حالت را بشرح زير تعريف نمود

بنابراين در فرم ماتريسي داريم:

ku

bab

bab

bab

bab

kx

a

a

a

a

kx

nn

nn

n

n

0

011

022

011

1

2

1

ˆ

000

100

000

001

1ˆ

Partial-Fraction-Expansion

در اين روش مخرج تابع تبديل پالسي را. بصورت فاكتوري در مي آوريم

n

nnn

nn

azaz

bzbzb

zU

zYzG

11

110

n

nnnn

pzpzpz

babzbabzbabb

21

02

0221

0110

حالت اول- تمام قطبها متمايز هستند: n

n

pz

C

pz

C

pz

Cb

zU

zY

2

2

1

10

ipz

i pzzU

zYC

i

lim

zUpz

CzU

pz

CzU

pz

CzUbzY

n

n2

2

1

10

Let’s define:

zUpz

zX

zUpz

zX

zUpz

zX

nn

1

1

1

22

11

Can be written as:

zUzXpzzX

zUzXpzzX

zUzXpzzX

nnn

222

111

zXCzXCzXCzUbzY nn 22110

From 1z

kxCkxCkxCky

kukxpkx

kukxpkx

kukxpkx

nn

nnn

2211

222

111

1

1

1

kxCkxCkxCky

kukx

p

p

p

kx

nn

n

2211

2

1

1

1

1

00

00

00

1

:تکراري ي قطبهاوجود- دومحالت

1pzفرض كنيد كه قطب • ،mمرتبه تكرار شده و بقيه قطب ها همگي متمايز باشند:

nmm

mn

nn

pzpzpzpz

bzbzb

zU

zYzG

211

110

nm

mnn

nn

pzpzpz

babzbabzbabb

11

02

0221

0110

n

n

m

m

m

mmmm pz

C

pz

C

pz

C

pz

C

pz

C

pz

CbzG

2

2

1

1

11

1

2

1

10

بنابراين:

zUpz

CzU

pz

C

zUpz

CzU

pz

CzU

pz

CzUbzY

n

n

m

m

mmm

1

1

11

1

2

1

10

Let’s define:

zUpz

zX

zUpz

zX

zUpz

zX

m

m

m

1

11

2

1

1

1

1

1

zUpz

zX

zUpz

zX

zUpz

zX

nn

mm

mm

1

1

1

22

11

و

معادله حالت اول با حالت بعدي خود داراي ارتباط زير هستند: zXzXpzzX

pzzX

zX2111

12

1 1

zXzXpzzXpzzX

zX3212

13

2 1

zXzXpzzX

pzzX

zXmmm

m

m

1111

1 1

zUzXpzzXzUpz

zX mmm

11

1

لذا اگر از معادله عكس تبديل z:بگيريم آنگاه

kukxpkx

kukxpkx

kukxpkx

kxkxpkx

kxkxpkx

kxkxpkx

nnn

mmm

mm

mmm

111

1

111

3212

2111

1

1

1

From

kubkxCkxCkxCkxCzy nnmm 02211

ku

kx

kx

kx

kx

kx

p

p

p

p

p

p

kx

kx

kx

kx

kx

n

m

m

n

m

mmn

mnm

n

m

m

1

1

1

0

0

00

00

00

0

0

0000

1000

000

010

001

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

2

1

kub

kx

kx

CCCky n 0

2

1

21

Non-Uniqueness of State-Space Representation

همانگون)ه ك)ه مالحظ)ه ش)د، مي ت)وان ب)ا توج)ه ب)ه ي)ك ت)ابع تب)ديل پالس)ي، ف)رم ه)اي مختلفي از مع)ادالت ح)الت را تعري)ف نم)ود. ب)ه ه)ر ح)ال كلي)ه ف)رم ه)اي ارائ)ه ش)ده ب)ا

به هم مربوطند: Similarity Transformationتوجه به

Consider:

2

11

kDukCxky

kHukGxkx

Let’s define:

3ˆ kxPkx

Where P is a non-singular matrix 1 P Exists

13

kHuPkxGPPkx

kHukxGPkxPP

11

1

ˆ1ˆ

ˆ1ˆ

kDukxCPky ˆ

:defineweif

kuDkxCky

kuHkxGkx

DD

CPC

HPH

GPPG

ˆˆˆ

ˆˆˆ1ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1

1

و با هم Similar هستند.

دو ماتريس مشابه يكديگرند اگر :

S بنحوي وجود داشته باشد كه: BASS 11 )A و B داراي يك مرتبه

باشند. داراي دترمينان مساوي (1خواص: ( ماتريس 2

هستند. داراي معادله مشخصه (2

برابر هستند. داراي مقادير ويژه (3

مساوي مي باشند.بايد توجه داشت كه:

diagonalGPP متمايز باشند:G( اگر قطب هاي 1 1

formJordanGPP تكراري باشند:G( اگر قطب هاي 2 1