לוגיקה למדעי 1המחשב

תורת הקבוצות

חלק א'

קבוצות - דוגמאות

B = {4,6,8}

C}טכניון, אוניברסיטת חיפה} =

N = {0,1,2,…}

קבוצת המספרים הטבעיים האי שליליים.

איברים של קבוצות יכולים להיות גם קבוצות !

.B הם איברים של הקבוצה 4,6,8המספרים

8B, 6B, 4Bנסמן:

שייכות

.aAבאופן כללי נכתוב:

"a ל- שייך A -כדי לציין את העובדה ש "a הוא איבר בקבוצה

A.

(aA), או: aA נרשום: A אינו איבר של aאם

{4,6,8} = B 3לדוגמא:

קבוצות - סימונים

} x : P(x) פרדיקט (תכונה) כלשהו, אזי: {P(x)אם מסמן

, P(a) שייך לקבוצה זו אם ורק אם aקבוצה. איבר aכלומר

.P מקיים את התכונה

a {x : P(x)} P(a)

B = {x : x =4 x = 6 x = 8}

בקבוצה כל איבר מופיע פעם אחת בלבד.

}a,a,b,2,2,3,3,3} = {,a,b,b,2,2,2,3,3} = {a,b,2,3{

מספר האיברים השונים בקבוצה יכול להיות סופי או אינסופי,

.אינסופית או סופיתובהתאם הקבוצה נקראת

B = {4,6,8}.היא קבוצה סופית

N = {0,1,2,… }.היא קבוצה אינסופית

דוגמא

D = {a,{1,2},b,{5}}

D} 5: {שים לב

D 5: אך

}}5{,},2,1{,{ baD

D}5{

D5

הכלה היא קבוצה חלקית או תת-קבוצה שלAהגדרה: קבוצה

.B הוא איבר של A אם כל איבר של Bהקבוצה

A Bמסמנים:

}} 5 {{ D = {a,{1,2},b,{5}}אך }}5 {{ D

}1,2 { {1,2,3} N

}}1,2 {{ {{1,2},{2,3}}

}1,2 { {{1,2},{2,3}}

הכלה - תכונות

A Aתמיד מתקיים:

A C , אזי B C וגם A Bאם

x A x B x B x C

x A x C

קבוצות שוות

הגדרה: שתי קבוצות נקראות שוות אם הן מכילות

אותם

איברים

A = Bאם ורק אם A Bוגם B A

הכלה ממש

היא קבוצה חלקית ממש של Aהגדרה: הקבוצה Bהקבוצה

A B . מסמנים: .A B אך A B אם

}2} {2 { {1,2} {1,2,3}

הכלה - תכונות

.A Bאזי B ,A אם

.A C אזיB C ו- ,A Bאם

.A C אזיB C ו- ,A Bאם

הקבוצה הריקה

קבוצה הגדרה: הקבוצה שלא מכילה אף איבר נקראת ריקה

.ומסומנת

= { x : x x}

. A מתקיים Aעבור כל קבוצה

{}

קבוצת החזקה קבוצה. קבוצת כל הקבוצות החלקיות של Aהגדרה: תהי

A

:2A או P(A) וסימונה A נקראת קבוצת החזקה של

P(A) = { x : x A }

P() = {}

P({}) = {,{}}

P({1,2}) = {,{1},{2},{1,2}}

P({1,2,3}) = {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

עוצמה של קבוצה

את מספר האיברים של |A| קבוצה סופית. נסמן ע"י Aתהי A.

|| = 0

}| = |{1

}|1,2,…,n = |{n

|2A| = 2|Aטענה: .|

פעולות על קבוצות

חתוך היא הקבוצה B ו- Aהגדרה: החתוך של שתי קבוצות

המכילה

נסמן את כל האיברים השייכים לכל אחת משתי הקבוצות.קבוצה

.A B זו ע"י

A B = {x | xA xB}

חתוך - תכונות

מתקיים:

A B = B A

A = A A = A

)A B ( C = A (B C)

A B A B = A .

איחוד

היא הקבוצה B ו- Aהגדרה: איחוד של שתי קבוצות המכילה

נסמן את כל האיברים השייכים לאחת משתי הקבוצות.קבוצה

.A Bזו ע"י

A B = {x | xA xB}

איחוד - תכונות

מתקיים:

A B = B A

A = A

A A = A

)A B ( C = A (B C)

A B A B = B.

דוגמא

אם

A = {1,2,4,{1,2}}

ו-

B = {,2,{1,2}},

אזי

A B = {2,{1,2}}

ו-

A B = {,1,2,4,{1,2}}.

תכונות

חוקי הדיסטריביוטיביות:

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

יחס ההכלה

A B AA A B

A B AB A B

A C, B C

A B C

C A, C B

C B C

הפרש

היא הקבוצהA ב- Bהגדרה: מהשלים היחסי (הפרש) של

.B ולא שייכים ל- Aהמכילה את כל האיברים ששיכים ל-

.A \ Bנסמן קבוצה זו ע"י

A \ B = { x : x A x B }

מתקיים

A \ B= A \ (A B)

הפרש סימטרי

ומוגדרA B מסומן ע"י B ו- A של ההפרש הסימטריהגדרה: ע"י

A B = (A \ B) (B \ A) = { x | xA xB }

.A = {1,2,4,{1,2}} B = {,2,{1,2}}נחזור לדוגמא הקודמת: ,

A \ B = {1,4}B \ A = {}

A B={,1,4}

תכונות של הפרש סימטרי

מתקיים

A B = B A

)A B ( C = A (B C)

A = A

A A = A (B C) = (A B) (A C)

A B (A B) = A B

משליםהסכם: נניח שכל הקבוצות הנידונות הן קבוצות חלקיות של

(קבוצה אוניברסלית).Eקבוצה

)E (ל-A של משלים נגדיר את הA (E )עבור הקבוצה

ע"יAהמסומן ב-

A = E \ A

מתקיים:

_

_

A A = A A = E

= EE =

A B = A BA B = A B_

_

_ _

_

_

_ ______ _____

יחסים (רלציות)

זוג (סדור) נקראת y ו- xסדרה של שתי קבוצות ומסומנת

).x,yע"י (הערה:

)x,y ( (y,x))x,y ( {x,y}

)x,x ( {x}

) כ-x,yניתן להגדיר את () x,y}} =(x},{x,y{{

מכפלה קרטזית

,B ו- A של שתי קבוצות המכפלה (הקרטזית)הגדרה:

) כך a,b היא קבוצה של כל הזוגות (A Bמסומנת ע"י ש-

a A וגם b B .

A B = { (a,b) : a A b B }

דוגמא

A =

A B B A

)A B ( C A (B C)

)A B ( C = (A C) (B C)

יחסים

הוא קבוצהB ו- A בין הקבוצות יחס (בינארי)הגדרה:

A Bחלקית של .

a,b ( R אם.(aRb נכתוב R A Bעבור יחס

דוגמא

) } = <i,j : (i< j { N N

)2,11 (< 11 > 2 או

.N >הוא יחס בינארי מעל

A הוא קבוצה חלקית של .Aיחס בינרי על קבוצה הגדרה: A

יחסים בקבוצות

R A A, כלומר A יחס על Rהגדרות: יהי

R אם עבור כל רפלקסיבי יקרא x A מתקיים xRx

R אם עבור כל סימטרי יקרא x,y A xRy גוררyRx

R אם עבור כל טרנזיטיבי יקרא x,y,z A xRy -ו xRz

xRzגוררים

יחס שקילות

הגדרה: יחס בינרי יקרא יחס שקילות אם הוא רפלסקיבי,

סימטרי וטרנזיטיבי.

.X איבר של x ויהי Xיהי ~ יחס שקילות מעל קבוצה

היא הקבוצה[x], מסומנת ע"י xשל מחלקת השקילות

[x } = ]y : y ~ x{

תכונות

x ]x[

[x ] X

X = ]x[xX

[.x[ = ]y אזי ]x ~ yטענה: אם

.]y[ z אזי ]z ]xהוכחה: מספיק להוכיח כי אם

z ~ x z ]x[ הגדרה

z ~ x x ~ y z ~ yטרנזיטיביות

z ]y[ z ~ yהגדרה

. ]y[ = [ x , אזי ]y ~ xטענה: אם

.]z ]x[ ]yהוכחה: נניח בשלילה כי קיים

.z ~ y וגם z ~ xאזי

x ~ z

, בסתירה עם ההנחה.x ~ yלכן, לפי טרנזיטיביות

/

סימטריות

דוגמא

מספר שלם.n 0יהי

מעל המספרים השלמים ע"יnנגדיר יחס

x n y n|(x – y)

או

) }x-y -מתחלק ב (n | (x,y){ n =

n .הוא יחס שקילות

סימון (תזכורת)

N = {0,1,…}

Z = {…,-2,-1,0,1,2,…}

דוגמא

באופן הבא: Z \ {0} (Z נגדיר יחס ~ מעל הקבוצה()a,b)~(c,d ( ad = bc

~ (Z (Z \ {0})) (Z (Z \ {0}))

טענה: ~ הוא יחס שקילות.

הוכחה: הרפלקסיביות והסמטריות של ~ נובעות מיידית מן

ההגדרה.

נוכיח את הטרנזיטיביות.

), וצריך להוכיח כי e,f) ~ (c,d) ו- a,b) ~ (c,d)נתון (

).a,b) ~ (e,f(

)c,d) ~ (e,f) (a,b) ~ (c,d(

cf = de ad = bc

:c 0 ו- c = 0נבדיל בין המקרים :c = 0 אזי a = e =0 =) 0ולכן (af = be.

:c 0 אזי adcf = bcde -משום ש .d 0 -ו c 0,.af = beמתקיים ) a,b) ~ (e,fכלומר, .(

התאמה חד-חד ערכית

אם התאמה חד-חד ערכית הוא R A Aהגדרה: יחס

לכל

a A קיים bB) -יחיד כך ש a,b ( R ולכל b Bקיים

a A) -יחיד כך ש a,b ( R.

דוגמא

2N = {0,2,4,…}נגדיר .

אזי היחס

)}i,2i : (I = 0,1 { …, N 2N

הוא התאמה חד-חד ערכית.

דוגמא נוספת

N' = {0,1,4,9,…}נגדיר .

אזי היחס

)}i, i2 : (I = 0,1 { …, N N'

הוא התאמה חד-חד ערכית.

דוגמא נוספת

היחס

)) }i,j ,(2i(2j+1) – 1 : (i,j = 0,1,2 { …, (N N) N

הוא התאמה חד-חד ערכית.

והתאמה B ו- Aטענה: אם יש התאמה חד-חד ערכית בין

, אזי יש התאמה חד-חד ערכית C ו- Bחד חד ערכית בין בין

A -ו C.

התאמותR2 B C ו- R1 A Bהוכחה: תהיינה

ע"יR3 A Cחד-חד ערכיות. נגדיר

.R3 = { (a,c) : b((a,b) R1 (b,c) R2 }

הגדרות

נגדיר את הקבוצות הבאות של מספרים ממשיים:

[a,b] } = x : a x b{

)a,b( } = x : a < x < b{

[a,b) = { x : a x < b }

)a,b[ = { x : a < x b }

a -ו b יכולים להיות '(' או ')' ואז הסוגר הוא) בהתאמה).

דוגמאות

-), = (R(קבוצת המספרים הממשיים)

[a,a} = ]a{

[2,1 = (

דוגמאות

) }x,2x : (x ]0,1[ { ]0,1[ ]0,2[

הוא התאמה חד-חד ערכית.

) }x,tg x : (x (-/2,/2) { (-/2,/2) R

הוא התאמה חד-חד ערכית.

דוגמא‘ ו- 0 את קבוצת כל הסדרות האינסופיותשל '}0,1{נסמן ע"י

'1.'

:2N לבין }0,1קיימת כהתאמה חד-חד ערכית בין {. = a1,a2,…}0,1, ותהי N…I = {i1,i2}תהי }

באופן הבא: f 2N }0,1נגדיר את ההתאמה {)I, ( fאם ורק אם מתקיים התנאי

i I ai = 1, i = 0,1…,

דוגמא

}0,1[ לבין {0,1נבנה התאמה חד-חד ערכית בין ]

ו-0.1 יש שתי הצגות: 0.1 למספר שים לב:

אינה מסתיימתα. אם הסדרה 0.0111111...

מתאים מספרαבסדרת אפסים או אחדות, אזי ל-

α.0 -1, ל 0 ול- 1 מתאים נשאר למצא0מתאים .

10*}0,1התאמה חד-חד ערכית בין הקבוצות {

שאיבריה מתאימים לאחת מן ההצגות של מספרים

שמסתיימים בסדרת האפסים ו-

}0,1{*10 {0,1}*01 .

}0,1*{10 {0,1}*01 {0,1}*10

}0,1*{1 {0,1}*0 {0,1}*1

נגדיר התאמות:

}0,1*{1 N ע"י a1a2an ai2i - 1

ו-

}0,1*{1 {0,1}*0ע"י

-1 (a1a2an (a1 - 1)(a2 - 1)(an

n

i = 1

}0,1*{10 {0,1}*01 {0,1}*10

N N N

N {1} N {0}

)n,1 ( 2n – 1 (n,0) 2n