第一章 绪 论Chapter 1 Preface to Steel Structure

第九章 矩阵位移法Chapter 9 Matrix Displacement Method

结构力学 Structural Mechanics 第 1页

【例题 17 】用其它方法重做例题 16 ，忽略轴向变形。

1 2

4 5

3

0,0,0 0,0,0

1 1

0 02 3

4①

③②

x

y

例题 16 的编号及建立坐标

①

③②

y

x

0,1,2 0,1,3

0,1,4

本解的编号及建立坐标

0,0,00,0,0

解：（ 1 ）编号及建立坐标

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结构力学 Structural Mechanics 第 2页

①

③②

y

x

0,1,2 0,1,3

0,1,4

本解的编号及建立坐标

0,0,00,0,0

（ 2 ）写出各单元的刚度矩阵

单元①：由于忽略轴向变形，两端只有转角的影响，因此不存在坐标转换问题。

4 100 5010

50 100k

①

2 3

2

3

单元②、③：由于局部坐标与整体坐标一致，因此也不存在坐标转换问题。

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结构力学 Structural Mechanics 第 3页

（ 2 ）写出各单元的刚度矩阵

4

300 0 0 300 0 0

0 12 30 0 12 30

0 30 100 0 30 5010

300 0 0 300 0 0

0 12 30 0 12 30

0 30 50 0 30 100

k k

② ③

0 1 2 0 0 0

0

1

2

0

0

0

0 1 4 0 0 0

0

1

4

0

0

0

单元②、③：

与例题 5 中梁的单元刚度矩阵相同。

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结构力学 Structural Mechanics 第 4页

（ 4 ）拼装整体刚度矩阵

1 2 3 4

1

2

3

4

4

24 30 0 30

30 200 50 0=10

0 50 100 0

30 0 0 100

K

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【例题 18 】求图示桁架内力 (EA= 常数 )。解：（ 1 ）编号及坐标设置

（ 2 ）局部坐标下单元刚度矩阵 1 0 1 0

0 0 0 0[ ] [ ] =[ ] =[ ] =

1 0 1 0

0 0 0 0

EAk k k k

L

① ② ③ ④

1 0 1 0

0 0 0 0[ ] =[ ]

1 0 1 02

0 0 0 0

EAk k

L

⑤ ⑥

L

10kN10kN

L

1,2

3,4

0,0 0,0

⑤ ⑥① ③

②

④

x

y

9 、桁架结构的整体分析

1 2

1

EI,EA

1

EA

L 1

EA

L

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结构力学 Structural Mechanics 第 6页

{ } [0 0 0 0]T ④

{ } [1 2 0 0]T ①

{ } [1 2 3 4]T ②

k k k k ② ④ ② ④

{ } [3 4 0 0]T ③

（ 3 ）整体坐标下的单元刚度矩阵单元②、④ 00

单元①、③ 090

0 0 0 0

0 1 0 1

0 0 0 0

0 1 0 1

Tk T k T k

EA

L

①① ③

10kN10kN

L

L

⑤ ⑥1,2

3,4

0,0 0,0

x

y

① ③

②

④

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结构力学 Structural Mechanics 第 7页

单元⑤ { } [1 2 0 0]T ⑤045

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 12 2

1 1 1 1

T EAk T k T

L

⑤⑤

10kN10kN

⑤ ⑥1,2

3,4

0,0 0,0

x

y

① ③

②

④

其中第一列的物理意义： 1

1 1

2 2

2 2

2 22 2 2

2 2

X Y

X Y

EA EAF F

L LEA

F FL

⑤ ⑤

⑤ ⑤

1XF⑤

1YF⑤

2XF⑤

2YF⑤

⑤1

2

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结构力学 Structural Mechanics 第 8页

单元⑥ { } [3 4 0 0]T ⑥0135

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 12 2

1 1 1 1

T EAk T k T

L

⑥⑥

10kN10kN

⑤ ⑥1,2

3,4

0,0 0,0

x

y

① ③

②

④

（ 4 ）整体刚度矩阵1 2 3 4

1

2

3

4

1.35 0.35 1 0

0.35 1.35 0 0

1 0 1.35 0.35

0 0 0.35 1.35

EAK

L

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结构力学 Structural Mechanics 第 9页

（ 5 ）结点荷载列阵

T{ } [10 -10 0 0]jF 1 2 3 4

10kN10kN

⑤ ⑥1,2

3,4

0,0 0,0

x

y

① ③

②

④

1

2

3

3

1.35 0.35 1 0 10

0.35 1.35 0 0 10

1 0 1.35 0.35 0

0 0 0.35 1.35 0

vEA

L

v

（ 6 ）整体刚度方程

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结构力学 Structural Mechanics 第 10页

1

2

3

4

1.35 0.35 1 0 10

0.35 1.35 0 0 10

1 0 1.35 0.35 0

0 0 0.35 1.35 0

vEA

L

v

解方程：

1

2

3

4

26.94

14.42

21.36

5.58

v L

EA

v

求得：

9 、桁架结构的整体分析

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（ 7 ）杆端力计算

{ } [ ] [ ]{ }

1 0 1 0 0 1 0 0 26.94 14.42

0 0 0 0 1 0 0 0 14.42 0

1 0 1 0 0 0 0 1 0 14.42

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

F k T

① ① ①

10kN10kN

⑤ ⑥1,2

3,4

0,0 0,0

x

y

① ③

②

④

1

2

3

4

26.94

14.42

21.36

5.58

v L

EA

v

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结构力学 Structural Mechanics 第 12页

（ 7 ）杆端力计算

{ } [ ] [ ]{ }

1 0 1 0 1 0 0 0 26.94 5.58

0 0 0 0 0 1 0 0 14.42 0

1 0 1 0 0 0 1 0 21.36 5.58

0 0 0 0 0 0 0 1 5.58 0

F k T

② ② ②

10kN10kN

⑤ ⑥1,2

3,4

0,0 0,0

x

y

① ③

②

④

1

2

3

4

26.94

14.42

21.36

5.58

v L

EA

v