离散问题建模方法及案例分析上海海事大学 丁颂康

skding@shmtu.edu.cn

一 . 离散数学的研究对象

离散数学是“研究离散变量相互关系和结构的数学理论的总称。包括集合论、数论、有限群论、组合数学、图论、数理逻辑、可行计算理论等。”

----- 《辞海》

变量的“离散性” — 某个集合、某种结构、某些对象、……等等

问题的“离散性” — 二分问题、七桥问题、八后问题、二十问问题……

方法的“离散性” — 方法上不存在统一的模式：常用的有整数规划、图论、数理逻辑等方法。更大量的则是所谓的启发式算法……

几个实例 1. 二分问题：将 n 个实数尽可能均匀地分成两部分。 设这 n 个实数为 ，用一组 0-1 变量 来

区分第 j 个实数分在哪部分 ：

两部分实数的和分别是 以及 问题的数学模型就是：

naaa ,, 21

),,2,1( nj jx

分在第二部分分在第一部分

j

jj a

ax

0

1

j

jjjj xaxa )1(min

j

jj xa j

jj xa )1(

2. 七桥问题 :

Euler

Cayley 关于烷烃类化合物同分异构体的计数 Kirchihoff 电网络的拓扑分析 图 G=(V,E) → 图论

nigsbergoK

3. 八后问题 将八个后放在国际象棋的棋盘上，使得它们可以

互相和平共处。 可能的放法总数： （不在同一格） （不在同一行） （不在同一列） （不在同一斜线上） ? 搜索： 广探 (breadth first search)

深探 (depth first search)

864

8

64

88 !8

4. 百步华容道棋和置换群的轨道

1310923.0216 ！

5 2 12 9

1 11 7 14

8 10 15 3

13 6 4

刘

备曹 操

孔

明

关 羽张

飞

卒 卒 赵

云卒 卒

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15

2 1 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15

关于算法复杂性 (complexity) 问题—算法—结果 An algorithm is considered “good” if the r

equired number of elementary computational steps is bounded by a polynomial in the size of the problem.

---- J.Edmonds & R.M.Karp (1960) P --- NP --- NP-C

二 . 离散问题建模方法

根据许多数学家的描述，离散问题通常以以下三种形式出现：

“ Does the arrangement exist? ”

“ How many arrangements are there? ”

“ What is a best arrangement? ” ---- E.L.Lawler （ 1976 ） 《 Combinatorial Optimization: Networks and Matroids 》

这就是存在性问题、计数问题和最优性问题。

1. 存在性问题案例

案例一 无线电信道的分配 (MCM2000-B) Radio Channel Assignment

一 . 问题的提出

二 . 分析和建模 ----- 至少需要 9 个频段 ---- 归结为填数游戏 ---- 填法的存在性

不邻不同， ss 24

案例二 实验数据分解 (CMCM1992-B)

一 . 问题的提出 组成蛋白质的若干种氨基酸可以形成不相同的组合。

要求将蛋白质的分子量 X 分解为几个氨基酸的已知分子量 之和。

如果已知： ； ；

分解结果如何？

),,2,1( niai

18n 1000X

.186,163,156,147,137,131,129,128

,115,114,113,103,101,99,97,87,71,57ia

二 . 分析与建模

问题归结为求不定方程（ Diophantus 方程） 的非负整数解。 ( 或者有时将是 0-1 解 )

最简单的不定方程： 这里 都是整数 存在整数解的充分必要条件是 其中 为最大公约数。

Xxai

ii

cbyax cba ,,

cba ),( ),( ba

案例三 董事会会议安排 (MCM1997-B) Mix Well For Fruitful Discussion

一 . 问题的提出 An Tostal 公司董事会由 29 名董事 ( 其中 9 名在职 ) 组

成。 公司要召开为期一天的董事会会议。 上午分 3 节 (sessions), 每节分成 6 组 (groups) 下午 4 节 , 每节分成 4 组。 为让董事们充分发表意见，应如何安排各节各组的 董事名单 ?

二 . 分析和建模 关于组合设计 1. Euler36军官问题和正交拉丁方 设 是一个 n元集合。 A 是一个 阶矩阵 , 它的元素为 S 中的元素。如果 S 中的每一个元素

都恰好在 A 的每一行中出现一次 , 同时在 A 的每一列中出

现一次 , 那么就称 A 为 S 上的一个 n阶拉丁方。 假设 A 和 B 都是 n阶拉丁方， 。如果 个有序对 各不相同。则称该两个拉丁方正交。

},,,{ 21 naaaS nn

)(),( ijij bBaA 2n),( ijij ba

正交拉丁方的存在性

1782年， Euler猜测，当 时， n阶正交拉丁方都不存在。 其中， 2阶的不存在性是显然的。 6阶的不存在性是Tarry 在 1900年证明的。也就是说， 36军官问题确实没有解。

直到 1960年， Euler 的猜想最终被推翻。 Shrikhande,

Bose, Parker证明了：除了 2 和 6 两种特殊情况， n阶正交拉丁方都存在。

)4(mod2n

2. Steiner 三元系

设 S 是一个 n元集合， B 是由 S 的一些三元子集组成的集合。如果 S 中的任意一对不同的元素，都恰好同时包含在 B 的唯一的一个三元子集中 , 则称 ( S, B ) 组成一个n 阶的 Steiner 三元系 , 记作 STS(n)。 例如： (1,2,3), (1,4,5), (1,6,7), (2,4,6), (2,5,7), (3,4,7), (3,5,6) 组成一个 7阶的 Steiner 三元系。 (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) ； (1,4,7), (2,5,8), (3,6,9) ； (1,5,9), (2,6,7), (3,4,8) ； (1,6,8), (2,4,9), (3,5,7) 。 组成一个 9阶的 Steiner 三元系。

Steiner 三元系的存在性： 容易见到：

1847年， Kirkman证明了： STS(n) 存在当且仅当 或者 。

Steiner 三元系的图形表示：

2

3.1n )1(2.2 n

16 kn 36 k

3. Steiner 三元系的推广—平衡不完全区组设计 Steiner 三元系还可以向两个方向推广： 1) 将“三元子集”推广到 k元子集； 2) 将“唯一的”推广到大家重复 λ次。 于是就有了平衡不完全区组设计的概念： 设 S 是一个 n元集合， B 是由 S 的一些 k元子集 ( 或称

k元组 ) 组成的集合。如果 S 中的任意一对不同的元素，都恰好同时包含在 B 的 λ 个 k 元子集中 ,则称 ( S, B ) 组成一个区组长度为 k, 相遇数为 λ 的平衡不完全区组设计。记作 B(k,λ; n)。

平衡不完全区组设计的存在性： 容易见到， B(k,λ; n)存在的必要条件是： 1) ； 2) 。 有人证明了，除了少数情况，以上条件也是充分的。

回到原问题：由于董事会人数的关系，任意两位董事分在同组

的次数不可能做到完全平衡。只能力求平衡。以九名在职董事为

例，可以安排如下：

)1()1( nnkk

)1()1( nk

组别 1 2 3 4 5 6

上午第一节 15 29 48 36 7 --

上午第二节 39 68 1 -- 24 57

上午第三节 4 -- 27 18 35 69

组别 1 2 3 4

下午第一节 123 49 58 67

下午第二节 19 456 37 28

下午第三节 25 34 789 16

下午第四节 26 38 59 147

2. 组合计数案例

案例四 .截断切割 (CMCM1997-B)

一 . 问题的提出 截断切割是指将物体沿某个切割平面切成两部分。

从一个长方体内加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体 ( 两个长方体对应的平面相互平行 ) ，通常要经过6次切割。

假定切割费用与切割时扫过的面积成正比，则需要考虑的不同切割方案的总数是多少？

（其它要求和其它问题略）

二 . 分析和结果 首先考虑到一共需要切割 6次。按照排列，不同方

案应该有 种。 然而，因为如果两次相继的加工是切割一对相互

平行的平面，那么交换其顺序对整个切割费用将不产生任何影响。

这种相互平行的平面一共有 3对。其中的 1对在加工顺序中相邻的共 5! 种，有某 2 对相邻的共 4! 种， 3对都相邻的有 3! 种。

根据组合学中的容斥原理便可得到结果： ( 种 )

720!6

426!3!43!53!6

案例五 .锁具装箱 (CMCM1994-B)

一 . 问题的提出 一种弹子锁的钥匙有 5 个槽。 每个槽的高度可以用 1—6 中的某个数表示。 工艺及其它原因， 5 个槽的高度还有两个限制： 1 ）至少有 3 个不同的数； 2 ）相邻两槽的高度差不能为 5 。 满足以上条件的不同锁具称为一批。 问题：每一批锁共有多少把？ （其它问题从略）

二 . 分析与结果 首先，一个五位数，每个位置的数有 6 种可能。总

共有 即 7776 种可能。 其次，只出现一个数字的有 6 种。只出现两个数字

的有 即 450 种可能。 再次，相邻两位数字差 5的情况比较复杂。这里采用枚举的方法。可得

共 1470 种可能。 最后，运用容斥原理，得到一批锁具的总数为 (把 )

56

)22( 526 C

2]4)26()166[(62)166(62)16(62 22223

588030147045067776

3. 最优性问题案例

案例六 钻井的合理布局 (CMCM1999-B)

一 . 问题的提出 旧井坐标： ( 0.50, 2.00 ) ( 1.41, 3.50 ) ( 3.00, 1.50 ) ( 3.37, 3.51 ) ( 3.40, 5.50 ) ( 4.72, 2.00

)

( 4.72, 6.24 ) ( 5.43, 4.10 ) ( 7.57, 2.01 ) ( 8.38, 4.50 ) ( 8.98, 3.41 ) ( 9.50, 0.80 )

撒网式钻探：新井位于坐标格点。 如果预定井位与旧井距离小于给定的 ，则旧井的资料可以直接利用，不必再打新井。

考虑以下不同情况，坐标架的最佳位置： 1) 坐标架允许平移或旋转； 2) 直角距离和欧氏距离。

05.0

案例七 通讯网络的最小 Steiner树(MCM1991-B)

一 . 问题的提出 9 个通讯站位于以下坐标点处 :

要设计一个连接这 9 个通讯站的局部网络 , 使总费用最省 .

(假定连线费用与距离成正比 ).

)3,10()0,25()7,35()11,23(

)25,33()20,20()24,16()20,5()51,0(

ihgf

edcba

二 . 问题的分析和建模 最小连接问题 :

树—连通无圈图 .

树的性质 :

1.任意两点间存在唯一的路 ;

2.边数等于点数减 1;

3.任意去掉一条边 ,树就变得不连通 ;

4.任意去掉一个非悬挂点 ,树就变得不连通 ;

5.任意添加一条边 , 就可得到唯一的圈 .

注 :3,4 两条性质说明 , 就连通的意义而言 ,树具有极小性 .

子图—生成子图—生成树

最小生成树

最小生成树的 Kruskal 算法和管梅谷算法 —避圈和破圈

三角形中到三个顶点距离之和最小的点 — Steiner点 推广— Steiner树

直角距离

案例八 彩票中的数学 (CMCM-B)

一 . 问题的提出 赛题列出了 29 种彩票的得奖方案和奖金数额 ( 或比

例 ) 这里举出其中的两种：

要求根据方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。

序号 奖项方案 一等奖

比 例二等奖

比 例三等奖

比 例四等奖

金 额五等奖

金 额六等奖

金 额七等奖

金 额

9 7/30 75% 10% 15% 200 30 10 5

10 7/31 60% 15% 25% 500 50 20 10

二 . 分析与建模 ⅰ.假定和假设 1．彩民购买彩票的事件及所选的号码都是随机的； 2．彩票的开奖是公平公正的，得奖号码的出现是等

可能的； 3．彩票销售量是足够的，销售总额的 50%足以支付各级奖金。

ⅱ.获奖概率的计算 (略 ) ⅱ. 通常把一、二、三等奖称为高项奖。又依据返奖率 50% 的规定，单注彩票获奖额的数学期望

7

1

1j

jj pxEX 元

有 j =1, 2, 3 ( 其中 为第 j 等高项奖的分配比例 ) 。 于是单注彩票第 j 等高项奖奖金的期望值 j =1, 2, 3 iv. 吸引力的度量方法 :

衡量彩票设奖方案的好坏，可以用函数

作为评价设奖方案的合理性的指标。其中 为奖金额 对彩民的吸引力函数。它通常与平均收入、消费水平 以及彩民的心理素养等总多因素有关。命题老师则是采

用平均吸引力的概念定义的心理曲线的方法。

j

jjjjj rpxpx )1(

7

4

jr

jjj

jjj prpxx /)1(7

4

7

1

)(j

jj pxF

)( jx

jx

jx

另一种可供参考的方法是将高项奖奖金额的大小作为一个目标，而将中奖面的大小也就是总的获奖率作为一个目标，用多目标规划处理。即考虑两个目标：

这两个目标又是相互矛盾的。通常可以用对两个目标加权的方法，或者将一个目标改为约束而转化为单目标问题。 注：多目标优化也是一种常见的问题。

332211 pxpxpxMax

7

1jjpMax

案例九 图书馆购书策略 一 . 问题的提出 某学校图书馆准备添置一些新书。为了满足

广大学生的需求， 图书馆对具有代表性的 300位同学中进行了调查。要求被调查的学生在科技图书、中国小说、外国文学、教辅读物等十大类书籍中选出自己的最喜欢的三种并排出顺序。（调查结果略）

假定这十种图书每册的平均价格为（元 /册）图书种类 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10平均价格 22 20 24 18 18 16 20 12 15 14

请你帮图书馆出个主意，应该按照怎样的比例添置新书。这里，既要考虑经费、图书馆藏书量等因素，又要尽最大可能满足学生希望。 (2005-B DVD租赁 )

二 . 分析与建模 经费问题：通常图书馆购置新书的经费是有

限的，所以希望越小越好。 藏书量问题：藏书量通常是考量图书馆规模

等级的重要指标。因此，总希望尽可能大。 尽最大可能满足学生希望： 这是一种所谓消费者的偏好问题，经济学中采用效用函数的方法处理。 --- 就是定义一个递增（有时也可能是递减）的函数来表示消费者对不同商品的喜好程度，来度量原来不能度量的东西，把偏序改为全序。　

设：第 j 类图书的平均单价为 ，进货量为 ，

则进货总量和经费总量分别为：

于是对于藏书量和经费的目标可分别表示为：

jc jx

j

jj xcj

jx

)10,2,1( j

j

jxmax j

jj xcmin

关于效用函数： 首先根据学生的喜好程度的排序，定义一个权值：这里可以将学生偏爱的三类以及其它类的图书分别赋值 7, 5, 3, 1 ，记第 j 类图书的权为 ；

构造出购书方案总的效用函数：

“ 尽最大可能满足学生希望”的目标就是：

jw

j

jj xw

j

jj xwmax

j

jxmax

j

jj xcmin

j

jj xwmax

j

jj xwmax

cxcj

jj

j

j Xx

tosubject

综合起来，便得到原问题的数学模型：

这是一个多目标最优化问题。 根据本问题的特点，可以采用将次要目标改成约束的方法，即将它改为：

谢 谢2012.7.2.