確率と統計- 確率２回目 -

平成 18 年 11 月 1 日

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今日の内容1. 確率の復習（再整理）2. 加法の定理3. 乗法の定理へのイントロ

確率と統計 2007 3

ある質問 イタリアのある貴族が Galileo(1564-

1642) にこう尋ねた。「３つのサイコロを投げるとき、その目の和が９になる場合と、１０になる場合の数は等しいと思っているので、そのどちらに賭けても同じであると気にしなかったが、実際には１０になる方が少し多く感じられるのはどうしたことか？」

Galileo に代りあなたは答えられますか？

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自由研究　 Galileo 問題 ３個のサイコロを投げるとき、その目の

和を T とする。このとき、 P(T=10) = P(T=9) ? P(T=10) < P(T=9) ? P(T=10) > P(T=9) ?

実際にサイコロを投げて調べてみよう。（理論値は次週説明します。）

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試行 標本点 標本空間 事象

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X + Y + Z = N

N=9,10

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X + Y + Z = 10 のとき(6, 3, 1) (4, 5, 1) (3, 6, 1) (2, 6, 2) (1, 6, 3) (6, 2, 2) (4, 4, 2) (3, 5, 2) (2, 5, 3) (1, 5, 4)(6, 1, 3) (4, 3, 3) (3, 4, 3) (2, 4, 4) (1, 4, 5)(5, 4, 1) (4, 2, 4) (3, 3, 4) (2, 3, 5) (1, 3, 6)(5, 3, 2) (4, 1, 5) (3, 2, 5) (2, 2, 6)(5, 2, 3) (3, 1, 6)(5, 1, 4) 27 通り

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X + Y + Z =9 のとき(6, 2, 1) (4, 4, 1) (3, 5, 1) (2, 6, 1) (1, 5, 3) (6, 1, 2) (4, 3, 2) (3, 4, 2) (2, 5, 2) (1, 4, 4)(5, 3, 1) (4, 2, 3) (3, 3, 3) (2, 4, 3) (1, 3, 5)(5, 2, 2) (4, 1, 4) (3, 2, 4) (2, 3, 4) (1, 2, 6)(5, 1, 3) (3, 1, 5) (2, 2, 5) (2, 1, 6)

24 通り

確率と統計 2007 9

27/216 = 0.125 24/216 = 0.111

約 1.4% の差！（人間はこれを知覚できるようだ）

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それでは今日の話

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確率の定義（再考） 試行 標本点 ω: a, b, c, …, z 標本空間 Ω={ a, b, c, …, z } 事象系 F: （事象の集合）

F={ φ, {a}, {b}, …, {a,b}, {a,c},…, Ω } 確率関数 P:

P: F x ∋ 　→　 P(x)

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加法の定理（ No.1)

例：１つのサイコロ• 試行：１つのサイコロを投げ、出る目を記録• 標本点 ω ： 1, 2, 3, 4, 5, 6• 標本空間 Ω= ｛ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ｝• 事象系

F={Φ,{1},{2},{3},{4},{5},{6},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},

　　 {2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6}}

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加法の定理（ No.2)

確率関数（確率の割り当て）： P(Φ)=0 P(Ω)=1 P({1})= P({2})= … =P({6})=1/6

それ以外のもの ( 事象 ) は？

定義

等確率の原理より（等確率の仮定より）

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加法の定理（ No.3)

P({1,2})=? P({1,2,3})=? P({1,2,3,4})=?

どうやって計算する？

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加法の定理（ No.4)

事象の意味の確認： 事象とは、…

• 標本空間の部分集合• 事象系の要素

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加法の定理（ No.5)

事 象 解釈（意味 ) 備 考{1} １の目が出る 単一事象

{1,2} １の目が出るか２の目が出る

複合事象

{1,2,3} １の目が出るか２の目が出るか３の目が出る

複合事象

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加法の定理（ No.6)事 象 確率 備 考

Φ P(Φ)=0 空事象

Ω (={1,2,…,6})

P(Ω)=1 全事象

{1}, {2}, {3},

{4}, {5}, {6}P({1})=1/6 etc. 単一事象

{1,2},{1,3},…, {2,3,4,5,6}

???

（ここが問題！）複合事象

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加法の定理（ No.7)

確率の計算とは、数学的には、測度（曲線の長さ、面積、体積）の計算と同等である。

（注）詳しくは、「ルベーグ (Lebesgue) 積分」

あるいは「測度論」に関する参考書を参照 のこと。

つまり、．．．

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加法の定理（ No.8)

各部分の図形の面積が P({k}) になっている。

{1}

{2}

{6}{3}

{4}

{5}

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加法の定理（ No.9)

したがって、 図形 {1,2} の面積は図形 {1} と図形 {2} の和

として求められる。つまり、 P({1,2}) = P( {1} {2} )∪

= P( {1} ) + P( {2} )

=1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 P({1,2,3}) = P( {1} {2} {3} )∪ ∪

= P( {1} ) + P( {2} ) + P( {3} )

= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2

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加法の定理（ No.10)一般に、

A= ｗ１∪ｗ 2∪ ｗ 3 …∪ ∪ ｗ n Ω⊂

かつｗ１∩ｗ 2 　 = Φ 　（互いに排反）

（２つの図形に重なり合う部分がない）のとき、P(A) = P( ｗ１∪ｗ 2∪ ｗ 3 …∪ ∪ ｗ n )

= P( ｗ１ ) + P( ｗ 2) + … + P( ｗ n)

これを加法の定理という。

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加法の定理（ No.11) 重なり合う部分があ

るときは？

全体の面積 = ２つの図形の面積　

－２つの図形の重なり部分の面積

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加法の定理（ No.12)

加法の定理（一般形）P(A B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)∪

P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) ∪ ∪- P(A∩B) - P(B∩C) - P(C∩A)

+ P(A∩B∩C)

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加法の定理（ No.13)

事象 解釈（意味 ) 確率{1} １の目が出る 1/6

{1,2} １の目が出るか２の目が出る

2/6

{1,2,3} １の目が出るか２の目が出るか３の目が出る

3/6

したがって、

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練習問題箱の中に、赤球が２個、白球が 2 個、青球が 3 個入っている。（１）箱の中から無作為に球を１つ取り出すと

き、赤球が取り出される確率はいくらか？（２）箱の中から無作為に球を２つ同時に取り

出すとき、２個とも赤球となる確率はいくらか？

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考え方：• 試行• 標本点• 標本空間• 事象系• 確率の割り当て：

• 空事象・全事象の確率は定義より OK• 単一事象の生起確率を決める• 複合事象は計算で求める

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答え：標本空間を作り、単一事象の確率を求める。あとは単なる計算。（１）球は全部で 2+2+3=7 個

Ω={ 赤 1, 赤 2, 白 1, 白 2, 青 1, 青 2, 青 3}

P({ 赤 1}) = 1/7 　（等確率の原理より）P({ 赤 1, 白 2})=P({ 赤 1})+P({ 白 2})

=1/7 + 1/7 = 2/7

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赤か白が取り出される確率： 赤か白が取り出される事象：

• 赤が取り出される：• 赤１が取り出されるか、赤２が取り出される• { 赤 1, 赤 2}

• 白が取り出される：• 白 1 が取り出されるか、白 2 が取り出される• { 白 1, 白 2}

{ 赤 1, 赤 2, 白 1, 白 2} P({ 赤 1, 赤 2, 白 1, 白 2})=1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7

= 4/7

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（２） Ω={{ 赤 1, 赤 2},{ 赤 1, 白 1}, { 赤 1, 白 2}, { 赤 2, 白 1},{ 赤 2, 白 2},{ 赤 1, 青 1}, { 赤 1, 青 2}, { 赤 1, 青 3},{ 赤 2, 青 1}, { 赤 2, 青 2}, { 赤 2, 青 3},{ 白 1, 白 2}, { 白 1, 青 1}, { 白 1, 青 2}, { 白 2, 青 3},{ 白 2, 青 1}, { 白 2, 青 2}, { 白 2, 青 3},{ 青 1, 青 2}, { 青 1, 青 3}, { 青 2, 青 3}} 　　（２１個の事象）

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これらの事象が等確率で起きるなら、P( ２つとも赤 )=P({ 赤 1, 赤 2})=1/21

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乗法の定理（ No.1)

先ほどまでは、「ある出来事 A が起きるか、または、他の出来事 B が起きる確率」を考えた。

今度は、「ある出来事 A が起き、引き続き他の出来事B が起きる確率」を考えよう。　＝＞（乗法の定理をめざして）

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例：１個のコインを 1 回だけ投げる• 試行：コインを投げて出る面を記録• 標本点 ω ： H,T• 標本空間 Ω={H,T}• 事象系 F={Φ, {H}, {T}, Ω}• 確率： P(Φ)=0, P(Ω)=1,

P({H})=P({T})=1/2 （等確率の原理）

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例： 1 個のコインを２回投げる• 試行：コインを２回投げて、出る面を順に記録• 標本点 ω ： HH, HT, TH, TT• 標本空間 Ω={ HH, HT, TH, TT }• 事象系 F={Φ, {HH}, {HT}, {TH}, {TT},

{HH, HT}, {HH,TH}, {HH,TT}, …, Ω} (16 個 )• 確率： P(Φ)=0, P(Ω)=1,

P({HH})=P({HT})= P({TH})=P({TT})= 1/4

（等確率の原理）

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例： 1 個のコインを３回投げる• 試行：コインを投げ出る面を順次記録• 標本点 ω ： HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT• 標本空間

Ω={{HHH}, {HHT}, {HTH}, {HTT}, {THH}, {THT}, {TTH}, {TTT}}

• 事象系 F={Φ, {HHH}, {HHT}, {HTH}, {HTT},…, Ω}(256

個 )• 確率： P(Φ)=0, P(Ω)=1,

P({HHH})=P({HHT})= … =P({TTT})= 1/8 （等確率の原理）

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表が２回、裏が１回となる確率は：• 表裏の出方： HHT, HTH, THH の３つ• したがって、

P({HHT, HTH, THH })

= P({HHT})+P({HTH})+({THH})

（各事象 {HHT}{HTH}{THH} は同時には起き得ない、つまり、　

互いに排反）= 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8

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この考え方で、一応計算はできる。

でも、場合によってはもっと便利で発展性のある考え方がある。

それが乗法の定理である。

が、時間切れなので次回。

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これ以後の内容 加法定理から乗法定理へ 事後確率の話し（ベイズの定理） 独立性とは Ｎ個の確率変数の期待値と分散 確率論による統計学の基礎付け

（この辺からまた統計に戻ります。）

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付録 その他の確率の定義

（確率の定義にはいろいろなものがあります。どれが本当は正しいのでしょうか？　これは定義の問題です。）

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経験的確率 サイコロをずっと振り続けると、どの目

も同じ程度に現れる。 だから、

P( ) = P( ) = … = P( ) = 1/6① ② ⑥

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測度論的確率 確率空間 M =<Ω, F, P>

ただし、 Ω ：標本空間 F: σ- 加法族

2P F ∋ は無限回の集合演算に関して閉じている。

P: 確率関数（測度関数）P(Ω)=1

<注 >F は事象の集合（ Ω の集合族の部分集合）