Распределенные системы

2

Устойчивость гомогенного(однородного по пространству)

стационарного (постоянного во времени)

состояния

2

2( ) .C Cf C Dt r

Устойчивость гомогенного стационарного состояния для одного уравнения в одномерном реакторе

(трубке длины l)

Краевые условия –непроницаемость границ

Гомогенное стационарное состояние:

( ,0) ( , ) 0.C Ct t lt r

0( ) 0f C

Устойчивость – зададим малые отклонения

Зададим системе некоторое возмущение (r), т.е.выберем в качестве начальной функции в этой задачефункцию, близкую к С0:

C(0,r) = C0 + (r); ( )r 1 Малое отклонение

Пусть C(t, r) – решение задачи с такой начальной функцией.

При малых (r) функция C(t,r) может быть представлена в виде:

C(t, r) ≈ C0(r) + (t, r).

Вблизи С0(r) нелинейную функциюf(С) можно приблизить линейнойфункцией, использовав первый членразложения по С в ряду Тейлора:

0 0 0( ) ( ) ( )cf C f C f C C C

С – С0 = (t,r)

2

2( ) .C Cf C Dt r

Уравнение для отклонения

( )r 1

2 20 0

0 0 2 2

( , ) ( , )( ) ( ) ( , )cC Ct r t rf C f C t r D Dt t r r

2

2( ) .C Cf C Dt r

C(t, r) ≈ C0 + (t, r).

2

02

( , ) ( , ) ( ) ( , )ct r t r f C t rt r

Учитывая, что С0 – гомогенное стационарное состояние, остается уравнение для отклонений

Здесь D=1

с начальным условием (0, r) = (r) и краевымиусловиями:

( , ) ( , )tr

t lr

00

.

Решение линеаризованной задачи

2

02

( , ) ( , ) ( ) ( , )ct r t r f C t rt r

0( )cf C A сonst

2

2

( , ) ( , ) ( , )t r t r A t rt r

Решение ищем в виде0

( , ) ( ) coskk

k rt r a tl

2 2

2

( ) cos ( )cos ( )coskk k

a t k r k k r k ra t Aa tt l l l l

Для каждого k получим уравнение:

Уравнение для отклонений во времени

a tt

kl

A a tkk

( )( )

2 2

2

a tk

lA tk ( ) exp

2 2

2

ak(0) = 1

Нарастают гармоники (моды) для которых k

lA f C

2 2

2 0

( )

kf C l

D* ( )

02

2

Решение неустойчиво, если

Система усиливает вклады низших гармоник (мод)

kf C l

D* ( )

02

2K=0

K=1

K=2

K=3

0( , ) ( ) cosk

k

k rt r a tl

Номер наивысшей незатухающей гармоники тем больше, чем длиннее реактор и тем меньше, чем выше значение коэффициента диффузии.

Незатухающие гармоники, развиваясь, могут приводить систему к установлению пространственно неоднородных диссипативных структур или автоволновых режимов.

Два уравнения реакция-диффузия

2

2

),,(rxDryxP

tx

x

2

2

),,(ryDryxQ

ty

y

Могут установиться структуры, когда одно вещество –близкодействующий активатор,а другое – дальнедействующий ингибитор. 1952

Алан Тьюринг 1912-1954

Создатель «машины Тьюринга» -абстрактное вычислительное устройство (1936)

Разгадал немецкий код Enigma

Член команды, создавшей первый электронный компьютер в Манчестере вскоре после 2-й мировой войны

Тест Тьюринга

Два уравнения реакция-диффузия

2

2( , ) xx xP x y Dt r

2

2( , ) yy yQ x y Dt r

Линеаризованные уравнения

2

2

rDba

t

2

2

rDdc

t

yyxPb

xyxPa

),(,),(

yyxPd

xyxQc

),(,),(

Решение линейной системы ищем в виде:

ikrpt

ikrpt

eBerteAert

),(,),(

k – волновое число, «частота» по пространству

lnkn

Уравнения для амплитуд

A(p - a + D k2) - bB = 0

cA - (p - d + D k2)B = 0

Дисперсионное уравнение

(p - a + k2Dξ)(p - d + k2Dη) - bc = 0

Отсюда ищем p- знак действительной части которого определяет устойчивость

ikrpt

ikrpt

eBerteAert

),(,),(

pa d D D k a d k D D bc

1 2

2 2 2 4

2,

( ) [ ( )]

xt

P x y r Dx

rx ( , , )2

2

yt

Q x y r Dy

ry ( , , )2

2

k1 – волновое число, при котором система становится устойчивой к данному виду возмущений; k2 – система теряет устойчивость к данному виду возмущений; k3 – переход из области колебательной неустойчивости в область устойчивых колебаний; k4 – переход колебательной системы в бесколебательную; k5 – переход из области неустойчивого узла в область седловой неустойчивости

Различные типы зависимости

действительной части корней дисперсионного уравнения от волнового

числа k

Зависимость реальной части собственных чисел от волнового числа для системы двух уравнений с

диффузией. Неустойчивость Тьюринга

Пространственно-временные режимы

2

2

),,(rxDryxP

tx

x

2

2

),,(ryDryxQ

ty

y

2

22 )1(

rXDXBYXA

tx

x

Алан Тьюринг 1912-1954

Turing A.M. The chemical basis of morphogenesis. Phil.Trans.R.Soc. London B, 1952

Илья Пригожин1917-2003 2

22

rYDYXBX

tY

y

Prigogine I, Lefever R. Simmetry breaking instabilities in dissipative systems,J.Chem. Phys. 48, 1665-1700, 1968

Химические реакции – базовые модели процессов в активных

средах• Брюсселятор• AX 2X+Y3X

• B+XY+C XR

Г.Николис, И.Пригожин. Самоорганизация в неравновесных системах. М., Мир 1979G.Nicolis, I.PrigogineSelf-Organization in non-equilibrium systems. From dissipative structures to Order through fluctuations. 1977

Система уравнений «брюсселятор

Если конечные продукты С и R удаляются из реакционного пространства, а субстрат Aнаходится в избытке, k1 =k3 = k4 = 0. Пусть также k2 = 0. Значения остальных констант положим равными единице.

XBYXAdtdx )1(2

.2YXBXdtdy

.,ABYAX

Классические модели. Брюсселятор.

Фазовый портрет системы брюсселятор при B>1+A (а) и B<1+A2 (б).

Диссипативные структуры в «распределенном брюсселяторе»

2

22 )1(

rXDXBYXA

tx

x

2

22

rYDYXBX

tY

y

X – активатор,

Y - ингибитор

B DD B

Axy

1

1 2

2,( )

Условие возникновения структур:

Пригожин, Лефевр, 1971

Вещество B равномерно распределено по объему, а концентрация вещества A

поддерживается постоянной на

границе,2

22

22

2

2

2

( 1) ,

,

, (0 )

x

y

A

X XA X Y B X Dt rY YBX X Y Dt rA AA D r lt r

A A l A( ) ( )0

Параметры системы: DА = 0.026, Dx = 1.052·10–3, Dy = 5.26·10–3, l = 1, (а) – B = 7; (б) – B = 12; (в) – B = 25

Пространственно-распределенный брюсселятор с заряженными компонентами.

А.И.Лобанов, Т.Ю.Плюснина, Т.К.Старожилова, Г.Ю.Ризниченко, А.Б.Рубин. Влияние электрического поля на пространственно-временные структуры в

системе «Реакция-диффузия». Биофизика 2000

2

1 1 11 1 1 1 1 2 1 22 ,с c cD B B c c z c f c c

r r r

2

2 2 22 2 2 2 1 2 1 22 ,с c cD B B c c z c g c c

r r r

2

1 22 c z cr

Схема синтеза двух ферментовЖакоба и Моно. Генетический триггер

.

,

2212

22

1121

11

PqPB

Adt

dP

PqPB

AdtdP

m

m

Фазовый портрет триггерной системы Жакоба и Моно

L1=L2=3; m=2

dxdt

Lx

x

dxdt

Lx

x

m

m

1 1

21

2 2

12

1

1

,

Структуры в распределенном триггере Жакоба и Моно Модель Д.С.Чернавского и др.

2

2

21

22

2

2

12

11

1

,1

ryDx

xL

tx

rxDx

xL

tx

ym

xm

x1, x2 x1, x2

Колебания в гликолизе

Активация

[Гл] Ф6Ф ФДФ (x) (y)

dxdt

kx

K xy

K ydydt

xK x

yK y

qy

K y

mx my

mx my my

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Фазовые портреты и кинетика

Модель гликолиза (8.10). Кинетика изменений концентраций фруктозо-6-фосфата (х) и фруктозодифосфата (у) (справа) и фазовый портрет системы (слева) при разных значениях параметров системы, а - бесколебательный процесс (узел на фазовой плоскости), α = 0.25; r = 1. б г – колебания с постоянной амплитудой и фазой (предельный цикл на фазовой плоскости), α = 8; r = 0.5.

,11

,1

ryrxy

dtdy

xydtdx

Структуры в гомогенате дрожжей

Распределенная система гликолиз.

A-F -последовательные моменты времени

,11

,1

2

2

2

2

ryD

ryrxy

ty

rxDxy

tx

y

x

Модель распространения волны Петровского-Колмогорова- Пискунова

)(2

2

CfrCD

tc

Функции правой части

Модель распространениядоминирующего вида

Андрей Николаевич Колмогоров

Андрей Николаевич Колмогоров занимает уникальное место в современной математике, и в мировой науке в целом. По широте и разнообразию своих научных занятий он напоминает классиков естествознания прошлых веков

Человечество всегда мне представлялось в виде множества блуждающих в тумане огоньков, которые лишь смутно чувствуют сияние, рассеиваемое всеми другими, но связаны сетью ясных огненных нитей, каждый в одном, двух, трех... направлениях. И возникновение таких прорывов через туман к другому огоньку вполне разумно называть "ЧУДОМ"

выдающийся советский математик и деятель отечественного образования. С 1951 по 1973 гг. — ректор Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

Ива́н Гео́ргиевич Петро́вский

1901-1973

Профиль распространяющейся волны в разные моменты времени в уравнении Петровского-

Колмогорова-Пискунова

Предельная скорость распространения фронта волны

)0(20 fD

2

2 ( )c CD f Ct r

Автоволновое решение

• Предельная форма кривой плотности дается решением уравнения:

• обращающимся в нуль при Z = + и в единицу при Z = – . • Такое решение V (Z) всегда существует и единственно, с

точностью до преобразования (А – произвольная постоянная), не меняющего форму кривой.

• Уравнение может быть получено, если искать решение уравнения распространения волны в форме:

• C(t,r) V (r – t)

,0)(02

2

VfdzdV

dzVdD

2

2 ( )c CD f Ct r

Амброзия - амброзиевый листоед

• Амброзия полынолистная (Ambrosia artemisiifolia) была завезена в Россию в сороковые годы 20 века во время Великой Отечественной Войны вместе с американскими продовольственными поставками зерна. «Чужой» для России вид быстро распространился по огромным территориям Европейской части СССР, в Закавказье, Казахстане, Приморском крае. Амброзия заглушает посевы культурных растений, не имеет в Европе и Азии естественных вредителей, не поедается большинством теплокровных животных, пыльца амброзии вызывает массовую аллергию у людей в летнее время.

Растение до 180-200 см в длинуРаспространяется только семенами(даже восковой спелости)

Распространение амброзиевого листоеда

• Полосатый жук – амброзиевый листоед (Zygogramma suturalis), является естественным вредителем амброзии в Америке.

Первый выпуск в 1978 г. в Ставропольском крае.

В 1983 г. – до 5 тыс. особей на 1 кв.м

Популяционная волна

Начиная с седьмого поколения была зарегистрирована уединенная популяционная волна, движущаяся с постоянной скоростью без изменения формы. В узкой полосе регистрировалась чрезвычайно высокая плотность насекомых – до 5 тыс. на 1 кв. м. В тылу волны амброзия оказывается полностью уничтоженной, движение напоминало распространение степного пожара. Скорость движения волны составляла 3 м/сут. Формирование волны происходило на всей территории ареала вредителя по мере достижения критической численности в местах колонизации.

Начиная с третьего поколения жука границы разрастающейся популяции можно было определить по зонам высокой плотности листоеда. Эти зоны представляли собой неправильной формы круги, причем положение зон высокой плотности в течение сезона оставалось фиксированным и изменялось лишь в следующем сезоне

Модель распространения амброзиевого листоеда

( ) ( )

,

n D n B p f ntp Ant

Ковалев О.В. и Вечерин В.В. Описание нового волнового процесса в популяциях на примере интродукции и расселения амброзиевого листоеда Zygogramma suturalis F. (Coleoptera, Chrysomelidae). Энтомол. обозрение 65(1): 21-38, 1986

n - численность жуковf(n) – изменение численности жуков за счет рождения и смертности.

B – коэффициент эффективности поиска пищи, p(r, t) – плотность амброзии.

A – количество корма, поедаемое одной особью в сутки

2

2

2

2

yx

x y

Направленное движение

Отличие от химических систем

Популяционная волна амброзиевого листоеда

Волна амброзиевого листоеда, кривая I, и волна пораженности амброзии (%), кривая II. 1 – расчет по модели, 2,3 –данные экспериментальных наблюдений

Алексеев В.В., Крышев И.И., Сазыкина Т.Г. Физическое и математическое моделирование экосистем, 1992