หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 ระบบจำนวนเต็ม

35

หนวยการเรียนรูที่ 2 ระบบจํานวนเตม็ระบบจํานวนเตม็

มาตรฐานการเรียนรู

มาตรฐาน ค 1.1 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 1.2 : ขอ 1, 3 และ 4 มาตรฐาน ค 1.4 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.1 : ขอ 1 และ ขอ 2 มาตรฐาน ค 6.2 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.3 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.4 : ขอ 1 และ ขอ 2 มาตรฐาน ค 6.5 : ขอ 1

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง

1. ระบุหรือยกตัวอยางจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนยได 2. เปรียบเทียบจํานวนเต็มได 3. บวก ลบ คูณ และหารจํานวนเต็มได 4. อธิบายผลที่เกิดขึ้นจากการบวก การลบ การคูณและการหารจํานวนเต็ม พรอม ท้ังบอกความสัมพันธของการ ดําเนินการได 5. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของ คําตอบท่ีได

สาระการเรียนรู

2.1 จํานวนเต็ม (2 ชั่วโมง) 2.2 การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม (2 ชั่วโมง)

2.3 สมบัติของจํานวนเต็ม (3 ชั่วโมง) 2.4 การบวก การลบ การคูณ และการหาร จํานวนเต็ม (10 ชั่วโมง)

พรอมหรอืยงั ? ถาพรอมแลว ก็เริม่เรยีนแลวนะครับ

36 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.1

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

22..11 จํานวนเต็มจํานวนเต็ม

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. ระบุหรือยกตัวอยางจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนยได 2. ระบุจํานวนตามเง่ือนไขท่ีกําหนดได ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การระบุหรือยกตัวอยาง และอธิบายลักษณะของจํานวนเต็มบวก

จํานวนเต็มลบ และศูนยได 2. การคิดคํานวณ 3. การแกปญหา 4. การใหเหตุผล 5. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ 6. การเช่ือมโยงกับศาสตรอ่ืน ๆ ได 7. ความคิดริเร่ิมสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อม่ันในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ

6. ตระหนกัในคุณคา และมีเจตคติท่ีดีตอวิชาคณิตศาสตร

MATH

Series

หนวยการเรียนรูท่ี 2 ระบบจํานวนเต็ม 37


จํานวนเต็ม (Integer)

หนวยการเรียนรูท่ีผานมา นักเรียนไดรูจักจํานวนนับแลว หรือเรียกจํานวนนับอีกอยางหนึ่งวาจํานวนเต็มบวก ซ่ึงไดแก 1, 2, 3, 4, 5, . . .

พิจารณาเสนจํานวนตอไปนี้

1-2 -1-4 -3 0 2 3 4

จะพบวาจํานวนท่ีอยูบนเสนจํานวนแบงออกเปน …… กลุม คือ …………………………… …………………………………………………………………………………………………………

แผนผังแสดงความสัมพันธของ จํานวนเต็ม ซ่ึงประกอบดวย จํานวนเต็มบวก ศูนย และจํานวนเต็มลบ

จากแผนภาพขางตน จะไดวา จํานวนเต็มประกอบดวย จํานวนเต็มบวก ไดแก 1, 2, 3, 4, 5, … ศูนย ไดแก 0 จํานวนเต็มลบ ไดแก -1, -2, -3, -4, -5, … ดังนั้นเม่ือกลาวถึง จํานวนเต็ม จะหมายถึง จํานวนเต็มบวก หรือศูนย หรือจํานวนเต็มลบ ซ่ึง

เขียนแสดงจํานวนเต็มท้ังหมดโดยใชเสนจํานวน (Number line) ดังนี้

2 3 4 5-5 1-2 -1-4 -3 0

จํานวนเต็ม

จํานวนเต็มลบ

(Negative integer) ศูนย

(Zero) จํานวนเต็มบวก

(Positive integer)

จํานวนเต็มท่ีนอยท่ีสุดท่ีสามารถเขียนไดโดยใชตัวเลขสองตัว (หามใชเลข 0 มากกวาหนึ่งตัว)

รูหรือไม



1. จงเติมเคร่ืองหมาย / ลงในชองวางตอไปนี้ใหถูกตอง พรองท้ังบอกชนิดของจํานวนเต็มดวย

จํานวนเต็ม จํานวน

เปน ไมเปน

ชนิดของจํานวนเต็ม (จํานวนเต็มบวก ศูนย และจํานวนเต็มลบ)

1) 0 2) 300 3) -56 4) -6.8

5) - 402

6) - 356

7) 1,00020

8) 13190

9) -201.0101...

10) - 10809

2. จงเลือกจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ จากจํานวนในแตละขอตอไปนี้

จํานวน จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ 1) -4, -3, 0, 0.5, 1, 5

2) 110 , -1, 1- 10 , 3, 3- 10 , 40

4

3) 2, -0.5, 3, 1- 3 , -4, 14

4) -3, -2, -1, 0, 1, 2

5) -27, -7, 13, 993 , 53

6) 68, 132- 11 , -0.104, 5005 , -101

7) 192, 30.5, 75- 3 , 10.4- 2 , 201

8) 104- 4 , 2,000100 , 709, -1,010, -2,001

9) -3, 7, 31, -1, 5, -2, 0

10) -6, 9, -10, 29, -17, 5- 9

กิจกรรมที่ 2.1 : ทักษะการใหเหตุผล สื่อความหมาย และการนําเสนอ



จํานวนเต็มลบ

จากการพยากรณอากาศแสดงอุณหภูมิของอากาศในประเทศยุโรปในเดือนมกราคมของป หนึ่งพบวา

อุณหภูมิของประเทศเดนมารก -25 ๐F อุณหภูมิของประเทศสวิตเซอรแลนด -20 ๐F อุณหภูมิของประเทศฝร่ังเศส -18 ๐F อุณหภูมิของประเทศอังกฤษ -15 ๐F

นักเรียนจะพบวา -25, -20, -18 และ -15 เปนจํานวนเต็มท่ีมีเคร่ืองมหายลบอยูขางหนา นักเรียนเขาใจความหมายของจํานวนเหลานี้หรือไม ? ………………………………………

จงพิจารณาเสนจํานวนตอไปนี้

2 3 4 5-5 1-2 -1-4 -3 0

จากเสนจํานวนจะเห็นผลตางของจํานวนสองจํานวน ดังนี้ 5 – 1 = 4 5 – 5 = 0 5 – 2 = 3 5 – 6 = -1 5 – 3 = 2 5 – 7 = -2 5 – 4 = 1 5 – 8 = -3 เรียกจํานวน -1, -2, -3 วา จํานวนเต็มลบ

-1 อานวา ลบหน่ึง -2 อานวา ลบสอง -3 อานวา ลบสาม

5 – 8 5 – 7

5 – 6 5 – 5

5 – 4 5 – 3

5 – 2 5 – 1



นักเรียนจะสังเกตเห็นวา

ตัวอยางท่ี 1 จงเขียนจํานวนส่ีจํานวน โดยกําหนดเง่ือนไขดังตอไปนี้ 1) ตอจาก -3 โดยเพิ่มทีละ 2 2) ตอจาก -7 โดยลดทีละ 3

วิธีทํา 1) พิจารณาเสนจํานวน

2 3 4 51-2 -1-3 0

จํานวนท่ีตองการคือ -1, 1, 3, 2

2) พิจารณาเสนจํานวน

-14-20 -18-22 -16 -12 -10 -8 -6

จํานวนท่ีตองการคือ -10, -13, -16, -19

ตัวอยางท่ี 2 จงบอกเง่ือนไขและเขียนจํานวนหาจํานวนตามเง่ือนไขของจํานวนท่ีกําหนดไวในแตละขอ 1) 5, 2, -1, . . . 2) -1, -3, -5, . . . 3) 0, -6, -12, . . . 4) -10, -6, -2, . . .

วิธีทํา 1) ลดทีละ 3 และจํานวนท่ีตองการคือ -4, -7, -10, -13, -16 2) ลดทีละ 2 และจํานวนท่ีตองการคือ -7, -9, -11, -13, -15 3) ลดทีละ 6 และจํานวนท่ีตองการคือ -18, -24, -30, -36, -42 4) เพิ่มทีละ 4 และจํานวนท่ีตองการคือ 2, 6, 10, 14, 18

เม่ือตัวตั้งนอยกวาตัวลบ ผลลัพธท่ีไดจะเปนจํานวนลบเสมอ และเม่ือตัวลบเพิ่มขึ้นคําตอบท่ีไดจะมีคาลดลงเร่ือย ๆ เรียกวา จํานวนลบ หรือจํานวนเต็มลบ



1. จงเติมจํานวนเต็มในรูปแบบเดียวกันสามจํานวนตามลําดับตอจากจํานวนทีกําหนดให

จํานวนเต็ม เพิ่มทีละ ลดทีละ คําตอบท่ีตองการ 1) -2, -4, -6, … - 2 2) -1, -3, -5, … - 2 3) -2, 0, 2, … 2 - 4) -3, -6, -9, … - 3 5) -4, -1, 2, … 3 - 6) -2, -7, -12, … - 5 7) -6, -5, -4, … 1 - 8) 5, 1, -3, … - 4 9) 6, 2, -2, … - 4 10) 1, -4, -9 - 5

2. จงตอบคําถามตอไปนี้ 1) จงเขียนจํานวนหาจํานวน ตอจาก 0 โดยลดทีละ 3 ………………………………………………………………………………………... 2) จงเขียนจํานวนหาจํานวน ตอจาก -1 โดยลดทีละ 2 ………………………………………………………………………………………... 3) จงเขียนจํานวนหาจํานวน ตอจาก -15 โดยเพิ่มทีละ 3 ………………………………………………………………………………………... 4) จงเขียนจํานวนหกจํานวน ตอจาก -6 โดยเพิ่มทีละ 4 ………………………………………………………………………………………...

3. จงเขียนจํานวนส่ีจํานวน ท่ีนับตอจากจํานวนท่ีกําหนดใหตอไปนี้ โดยพิจารณาตามเง่ือนไขท่ีกําหนด 1) 0, -3, -6 2) 5, 2, -1, -4 ………………………………………………………………………………………... 3) -10, -30, -50 4) 60, 20, -20, -60 ………………………………………………………………………………………... 5) 100, 50, 0, -50 6) 742, 640, 538, 436 ………………………………………………………………………………………...

กิจกรรมที่ 2.2 : ทักษะการใหเหตุผล สื่อความหมาย และการนําเสนอ



จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. เปรียบเทียบจํานวนเต็มไดถูกตอง ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การอธิบายเกี่ยวกับการเปรียบเทียบจํานวนเต็มได 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ 5. การเช่ือมโยงกับศาสตรอ่ืน ๆ ได 6. ความคิดริเร่ิมสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อม่ันในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ


22..22 การเปรียบเทยีบจํานวนการเปรียบเทยีบจํานวนเต็ม

MATH

Series



การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม

นักเรียนพิจารณาจํานวนบนเสนจํานวนและสังเกตจํานวนท่ีแตกตางกันบนเสนจํานวน

2 3 41-2 -1-4 -3 0 1) จํานวนท่ีอยูทางขวามือของศูนยแตกตางกับจํานวนท่ีอยูทางซายมืออยางไร

…………………………………………………………………………………………... 2) ถานําจํานวนบนเสนจํานวนมาเขียนเรียงลําดับจากซาย (-4) ไปขวา (4) จํานวนเพ่ิมข้ึน

หรือลดลงอยางไร …………………………………………………………………………………………...

สรุปลักษณะของจํานวนบนเสนจํานวน ดังนี้ ตัวอยางท่ี 1 จงเติมคําตอบลงในชองวางตอไปนี้ใหถูกตอง

1) 5 มากกวา 3 ใชสัญลักษณ ..........5.>.3............ 2) -6 นอยกวา -5 ใชสัญลักษณ ..........-6.<.-5.......... 3) -1 .............. 0 ใชสัญลักษณ ............................... 4) -80 .............. -40 ใชสัญลักษณ ............................... 5) -100 .............. -60 ใชสัญลักษณ ............................... 6) -1 .............. -7 ใชสัญลักษณ ............................... 7) 2 .............. -2 ใชสัญลักษณ ............................... 8) -3,000 .............. -280 ใชสัญลักษณ ............................... 9) -20 .............. -200 ใชสัญลักษณ ............................... 10) -150 .............. -160 ใชสัญลักษณ ...............................

จํานวนท่ีอยูทางขวามือจะมากกวาจํานวนเต็มท่ีอยูทางซายมือเสมอ ดังนั้น บนเสนจํานวน จํานวนเต็มลบท่ีอยูทางขวามือจะมากกวาจํานวนเต็มลบท่ีอยูทางซายมือ หรือจํานวนเต็มลบท่ีอยูทางซายมือบนเสนจํานวนจะนอยกวาจํานวนเต็มลบท่ีอยูทางขวามือบนเสนจํานวน



1. จงเรียงลําดับจํานวนตอไปนี้จากนอยไปหามาก 1) -15, -21, -18, 1, -13 …………………………………………………………. 2) 10, 2, -22, -98, -17 …………………………………………………………. 3) -100, -300, 230, -50, -20 …………………………………………………………. 4) -120, -320, -220, 110, -20 …………………………………………………………. 5) 1,000, -400, -29, 680, -373 ………………………………………………………….

2. จงเรียงลําดับจํานวนตอไปนี้จากมากไปหานอย 1) -7, 4, -13, 0, -36 …………………………………………………………. 2) -20, -270, -120, -240, -1 …………………………………………………………. 3) -11, 70, -18, -450, 50 …………………………………………………………. 4) -200, -250, 5, -150, 100 …………………………………………………………. 5) 90, -9, -2,460, 4321, -835 ………………………………………………………….

3. จงเติมเคร่ืองหมาย > และ < เพื่อทําใหประโยคตอไปนี้เปนจริง 1) 6 .............. -5 2) -42 .............. -35 3) -8 .............. 9 4) -87 .............. -97 5) -17 .............. 19 6) -45 .............. -54 7) 0 .............. -6 8) -301 .............. -103 9) -9 .............. -13 10) 100 .............. 101

4. สถานีโทรทัศนชอง 55 รายงานสภาพอากาศประจําวันของ 5 จังหวัดทางภาคเหนือโดยวัดอุณหภูมิท่ียอดเขาของจังหวัดตาง ๆ ไดดังนี้ จังหวัดลําพูน 5 องศาเซลเซียส จังหวัดเชียงใหม -3 องศาเซลเซียส จังหวัดแพร -1 องศาเซลเซียส จังหวัดเชียงราย -7 องศาเซลเซียส จังหวัดแมฮองสอน -5 องศาเซลเซียส 1) จังหวัดใดมีสภาพอากาศหนาวนอยท่ีสุด …………………………………… 2) จังหวัดใดมีสภาพอากาศหนาวมากท่ีสุด …………………………………… 3) จังหวัดใดมีสภาพอากาศอบอุนท่ีสุด …………………………………… 4) จงเรียงช่ือของจังหวัดตาง ๆ จากจังหวัดท่ีมีอากาศอบอุนไปยังจังหวัดท่ีมีอากาศอบอุน

นอยท่ีสุด …………………………………………………………………………

กิจกรรมที่ 2.3 : ทักษะการใหเหตุผลและการเชื่องโยง



จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. บอกสมบัติของจํานวนเต็มได 2. ใชสมบัติของจํานวนเต็มในการแกปญหาได ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การอธิบายเกี่ยวกับสมบัติของจํานวนเต็มได 2. การแสดงวิธีการใชสมบัติของจํานวนเต็มในการแกปญหาได 3. การแกปญหาและการใหเหตุผล 4. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ 5. การเช่ือมโยงกับศาสตรอ่ืน ๆ ได 6. ความคิดริเร่ิมสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อม่ันในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ


22..33 สมบัติของจํานวนเต็มสมบัติของจํานวนเต็ม

MATH

Series



สมบัติของจํานวนเต็ม

1. ประโยคทางคณิตศาสตร

ตัวอยางท่ี 1 จงพิจารณาประโยคตอไปนี้ a – 1 < 5

ในท่ีนี้ตัวแปรคือ a แทนคา a = 3 จะได 3 – 1 < 5 2 < 5 เปนจริง ดังนั้น a – 1 < 5 เปนจริง เม่ือ a = 3

แทนคา a = 9 จะได 9 – 1 < 5 8 < 5 เปนเท็จ ดังนั้น a – 1 < 5 เปนเท็จ เม่ือ a = 9 ตัวอยางท่ี 2 จงพิจารณาประโยคตอไปนี้

ประโยค ประโยค ตัวแปร คาของตัวแปร

จริง เท็จ 1. 28 – 3 = 25 - - / 2. 5 – a = 2 a 3 / 3. x – 7 = 8 10 4. c + 5 = 8 2 5. 20 – a = 15 5 6. n – 9 = 13 4 7. 2d + 6 = 9 1 8. 40 – 6 = 34 - 9. 3a + 2 = 8 1 10. 2y – 1 = 3 2

รูไว ใชวา ประโยคทางคณิตศาสตรสามารถเปนไดท้ังจริงและเท็จขึ้นอยูกับคาความจริงของประโยคนั้นหรือการกําหนดคาของตัวแปรท่ีแทนลงในประโยค ในบางประโยคจะมีคาบางคาท่ียังไมสามารถระบุได ทางคณิตศาสตรจะใหคาเหลานั้นแทนดวยตัวแปร นิยมใชภาอังกฤษ



2. สมบัติเกี่ยวกับการบวกและการคูณจํานวนเต็ม ใหนักเรียนชวยกันพิจารณา ดังนี้

ประโยคท่ี 1 20 + 60 = 80 ประโยคท่ี 2 60 + 20 = 80

1) ลักษณะของประโยคท้ังสองมีความแตกตางกันอยางไร …………………………………………………………………………………………...

2) คําตอบของประโยคท้ังสองเทากันหรือไม …………………………………………………………………………………………...

นักเรียนชวยกันสรุปสมบัติของการบวกขางตนวาเปน………………………………………

ใหนักเรียนชวยกันพิจารณา ดังนี้ ประโยคท่ี 1 (10 + 20) + 60 = 30 + 60 = 90 ประโยคท่ี 2 10 + (20 + 60) = 10 + 80 = 90


2) คําตอบของประโยคท้ังสองเทากันหรือไม …………………………………………………………………………………………...

นักเรียนชวยกันสรุปสมบัติของการบวกขางตนวาเปน……………………………………… ตัวอยางท่ี 3 จงหาจํานวนท่ีแทนตัวแปร แลวทําใหไดประโยคท่ีเปนจริง 1) 20 + a = 3 + 20 2) (15 + x) + 28 = y + (37 + 28) วิธีทํา 1) 20 + a = 3 + 20

ดังนั้น a = 3 2) (15 + x) + 28 = y + (37 + 28)

ดังนั้น x = 37 และ y = 15

เม่ือ a และ b แทนจํานวนเตม็ใด ๆ แลว a + b = b + a เรียกวา………………….…………………………

เม่ือ a และ b แทนจํานวนเตม็ใด ๆ แลว (a + b) + c = a + (b + c) เรียกวา………………….……………………………



จงเติมคําตอบลงในชองวางตอไปนี้ใหสมบูรณ

ประโยคท่ีเปนจริง จํานวนท่ีแทนตัวแปร สมบัติของจํานวนเต็ม 1. m + 6 = 6 + 8 สมบัติการสลับท่ีสําหรับการบวก

2. 11 + 25 = n + 11 3. 4 + (p + 27) = (q + 14) + r p = ……, q =……, r = …… 4. (a + 100) + 990 = 405 + (x + y) a = ……, x = ……, y = …… 5. (37 + 91) + 86 = c + (37 + d) c = ……, d = ……

ใหนักเรียนชวยกันพิจารณา ดังนี้ ประโยคท่ี 1 10 × 20 = 200 ประโยคท่ี 2 20 × 10 = 200


2) ผลคูณของประโยคท้ังสองเทากันหรือไม …………………………………………………………………………………………...

นักเรียนชวยกันสรุปสมบัติของการคูณขางตนวาเปน………………………………………

ใหนักเรียนชวยกันพิจารณา ดังนี้ ประโยคท่ี 1 (10 × 20) × 60 = 200 × 60 = 12,000 ประโยคท่ี 2 10 × (20 × 60) = 10 × 1,200 = 12,000


2) ผลคูณของประโยคท้ังสองเทากันหรือไม …………………………………………………………………………………………...

3) การนําวงเล็บมาแบงกลุมทําใหมีผลตอผลลัพธของการคูณหรือไม …………………………………………………………………………………………...

เม่ือ a และ b แทนจํานวนเตม็ใด ๆ แลว a × b = b × a เรียกวา………………….…………………………



นักเรียนชวยกันสรุปสมบัติของการคูณขางตนวาเปน………………………………………

ตัวอยางท่ี 4 จงหาจํานวนท่ีแทนตัวแปร แลวทําใหไดประโยคท่ีเปนจริง 1) 25 × a = 30 × 25 2) (16 × b) × 22 = 22 × (16 × 20) วิธีทํา 1) 25 × a = 30 × 25

ดังนั้น a = 30 2) (16 × b) × 22 = 22 × (16 × 20)

ดังนั้น b = 20

จงเติมคําตอบลงในชองวางตอไปนี้ใหสมบูรณ

ประโยคท่ีเปนจริง จํานวนท่ีแทนตัวแปร สมบัติของจํานวนเต็ม 1. 112 × a = 53 × 112 สมบัติการสลับท่ีสําหรับการคูณ 2. (72 × b) × 81 = c × (72 × 63) b = ……, c = …… 3. (44 × 25) × 90 = m × (25 × n) m = ……, n = …… 4. (83 × y) × 69 = z × (57 × 69) y = ……, z = …… 5. 37 × (56 × p) = (q × 71) × 37 p = ……, q = ……

ใหนักเรียนชวยกันพิจารณา ดังนี้ ประโยคท่ี 1 10 × (20 + 60) = 10 × 80 = 800 ประโยคท่ี 2 (10 × 20) + (10 × 60) = 200 + 600 = 800


2) ผลลัพธของประโยคท้ังสองเทากันหรือไม …………………………………………………………………………………………...

นักเรียนชวยกันสรุปลักษณะความสัมพันธของจํานวนเต็มวาเปน…………………………… ………………………………………

เม่ือ a, b และ c แทนจํานวนเต็มใด ๆ แลว (a × b) × c = a × (b × c) เรียกวา………………….……………………………

เม่ือ a, b และ c แทนจํานวนเต็มใด ๆ แลว a × (b + c) = (a × b) + (a × c) และ (b + c ) × a = (b × a) + (c × a) เรียกวา………………….………………………



ตัวอยางท่ี 5 จงหาจํานวนท่ีแทนตัวแปร แลวทําใหไดประโยคท่ีเปนจริง 1) m × (50 + 39) = (11 × 50) + (11 × n) 2) x × (36 + 67) = (29 × y) + (z × 67) วิธีทํา 1) m × (50 + 39) = (11 × 50) + (11 × n)

ดังนั้น m = 11 และ n = 39 2) x × (36 + 67) = (29 × y) + (z × 67)

ดังนั้น x = 29, y= 36 และ z = 29 ตัวอยางท่ี 6 จงตรวจดูวา 8 × (10 – 3) = (8 × 10) – (8 × 3) เปนจริงหรือไม วิธีทํา 8 × (10 – 3) = 8 × 7 = 56

และ (8 × 10) – (8 × 3) = 80 – 47 = 56 ดังนั้น 8 × (10 – 3) = (8 × 10) – (8 × 3) เปนจริง

จงเติมคําตอบลงในชองวางตอไปนี้ใหสมบูรณ 1) 13 × (26 + 45) = (……… × 26) + (13 × ………) 2) (57 + 82) × 64 = (57 × ………) + (……… × 64) 3) 93 × 102 = ……… × (100 + ………) = (……… × ………) + (93 × ………) = ……… + ……… = ……… 4) 99 × 76 = (100 – ………) × 76 = (………× 76) – (………× 76) = ……… – ……… = ……… 5) 112 × 998 = 112 × (……… – ………) = (……… × ………) – (……… × ………)

= ……… – ……… = ………



สรุปสมบัติเกี่ยวกับการบวกและการคูณจํานวนเต็ม

1. จงหาจํานวนทีแ่ทนตัวแปร แลวทําใหประโยคเปนจริง 1) x + 10 = 10 + (-31) ; x = ……………………………… 2) y × 15 = 17 × 15 ; y = ……………………………… 3) (2 + 3) + 5 = z + (3 + 5) ; z = ……………………………… 4) (9 × 8) × 7 = 9 × (a × 7) ; a = ……………………………… 5) 12 × [(-2) + 7] = [a × (-2)] + [12 × b] ; a = …………… , b = ……………

2. จงเติมจํานวนหรือตัวแปรลงในชองวางโดยทําใหประโยคเปนจริงสําหรับทุกๆคาของตัวแปร 1) (-5) + (………+ 9) = [(-5) + 5] + 9 2) 9 × (8 × ………) = (………×………)× 5 3) a × (19 + 5) = (a ×………) + (a ×………) 4) 9 × (………+………+………) = 9 × 522 5) [5 + (-3) + 2] × ……… = (………×6) + [(-3) ×6] + (………× 6)

กิจกรรมที่ 2.4 : ทักษะการใหเหตุผลและการสื่อสารทางคณิตศาสตร

รูไว ใชวา

การบวก การคูณ

สมบัติการสลบัท่ี (Commutative property) เม่ือ a และ b แทนจํานวนเต็มใด ๆ แลว

a + b = b + a เม่ือ a และ b แทนจํานวนเต็มใด ๆ แลว

a × b = b × a สมบัติการเปล่ียนหมู (Associative property)

เม่ือ a, b และ c แทนจํานวนเต็มใด ๆ แลว (a + b) + c = a + (b + c)

เม่ือ a, b และ c แทนจํานวนเต็มใด ๆ แลว (a × b) × c = a × (b × c)

สมบัติการแจกแจง (Distributive property) เม่ือ a, b และ c แทนจํานวนเต็มใด ๆ แลว

a × (b + c) = (a × b) + (a × c) (b + c ) × a = (b × a) + (c × a)



3. จงตรวจดูวาประโยคตอไปนีข้อใดเปนจริง ( ) และประโยคในขอใดเปนเท็จ ( ) ………………1) (8 + 5) × 2 = (8 × 2) + (5 × 2) ………………2) (12 – 6) × 4 = (12 × 4) – (12 × 4) ………………3) 7 × (3 + 9) = (7 + 3) × (7 + 9) ………………4) 28 – (16 – 7) = (28 – 16) – 7 ………………5) 15 × (20 – 5) = (15 × 20) – (15 × 5) ………………6) (-4) × (13 + 7) = [(-4) × 13)] + [(-4) × 7) ………………7) [(-9) – 7] – 18 = (-9) – [7 – 18] ………………8) [45 ÷ 15] ÷ 3 = 45 ÷ (15 ÷ 3) ………………9) (21 ÷ 7) + (14 ÷ 7) = (21 + 14) ÷ 7 ………………10) (a × b) × c = (a × c) + (b × c)

สมบัติของศูนยและหนึ่ง 1. สมบัติของศูนย

พิจารณาประโยคตอไปนี้

(1) 3 + 0 = 3 (2) 8 – 0 = 8 (3) 5 × 0 = 0 (4) 0 ÷ 9 = 0

1. จํานวนนับบวกศูนยมีคาเปนอยางไร …………………………………………………………………………………………...

2. จํานวนนับลบศูนยมีคาเปนอยางไร …………………………………………………………………………………………...

3. จํานวนนับคูณศูนยมีคาเปนอยางไร …………………………………………………………………………………………...

4. ศูนยหารดวยจํานวนนับมีคาเปนอยางไร …………………………………………………………………………………………...

รูไว ใชวา ศูนย (0) ไมใชจํานวนนับ และ 0 เปนจํานวนคู ศูนยแทนความไมมี เชน ในกลองเปลาใบนี้ไมมีส่ิงของอะไรอยูเลย ศูนยแทนอุณหภูมิท่ีน้ํากลายเปนน้ําแข็ง ซ่ึงเรียกวา จุดเยือกแข็ง แตศูนยท่ีอยูในจํานวนตาง ๆ จะแสดงคาประจําหลัก เชน 20 202 2,000

4,050 ซ่ึงศูนยเหลานี้มีความหมาย



พิจารณาตัวอยางตอไปนี้ (1) 2 + 0 = 2 0 + 2 = 2 ดังนั้น 2 + 0 = 0 + 2 = 2

จะเห็นวา จํานวนใด ๆ บวกกับ 0 จะไดจํานวนนั้น จึงสรุปไดวา

(2) 9 × 0 = 0 0 × 9 = 0 ดังนั้น 9 × 0 = 0 × 9 = 0

จะเห็นวา จํานวนใด ๆ คูณกับ 0 จะได 0 จึงสรุปไดวา

(3) 0 ÷ 10 = 010 = 0

0 ÷ 255 = 0255 = 0

ดังนั้น 9 × 0 = 0 × 9 = 0 จะเห็นวา 0 หารดวยจํานวนใด ๆ ท่ีไมใช 0 จะได 0 จึงสรุปไดวา

(4) 1) 15 × 0 = 0 2) 0 × 8 = 0 3) 0 × 0 = 0 จะเห็นวา ถาผลคูณของจํานวนสองจํานวนใด ๆ เทากับ 0 จํานวนใดจํานวนหน่ึงอยางนอยหนึ่งจํานวนตองเปน 0

จึงสรุปไดวา

เม่ือ a แทนจํานวนใด ๆ แลว a + 0 = 0 + a = a เรียกวา 0 วา เอกลักษณการบวก

เม่ือ a แทนจํานวนใด ๆ แลว a × 0 = 0 × a = 0

เม่ือ a แทนจํานวนใด ๆ แลว 0 ÷ a = 0a = 0, a ≠ 0

เม่ือ a และ b แทนจํานวนใด ๆ ถา a × b = 0 แลว a = 0 หรือ b = 0



2. สมบัติของหนึ่ง

พิจารณาประโยคตอไปนี้ (1) 11 × 1 = 11 1 × 11 = 11 (2) 55 × 1 = 55 1 × 55 = 55

1) จํานวนใด ๆ คูณกับหนึ่งมีผลลัพธมีคาเปนอยางไร …………………………………………………………………………………………...

2) จํานวนใด ๆ เม่ือคูณกับหนึ่งแลวผลลัพธจะไดเทากับจํานวนนับนั้นเสมอหรือไม …………………………………………………………………………………………...

ใหนักเรียนพิจารณาประโยคทางคณิตศาสตรวาเปนประโยคเปนจริงหรือเปนเท็จ ดังนี้

1) 33 ÷ 1 = 33 หรือ 331 = 33

2) (-22) ÷ 1 = -22 หรือ -221 = -22

3) 9999 = 1

รูไว ใชวา ศูนยเปนตัวหารไมไดหรือไมใชศูนยเปนตัวหาร เนื่องจากผลหารนั้นหา

คาไมได เพราะการท่ีตัวหารเปนศูนยไดผลลัพธเปน 2 กรณี

1. ให 30 = 1 ดังนั้น 3 = 0 × 1 = 0 ซ่ึงเปนเท็จ

และ 30 = 3 ดังนั้น 3 = 0 × 3 = 0 ซ่ึงเปนเท็จ

2. ให 00 = 1 ดังนั้น 0 = 0 × 1 = 0 ซ่ึงเปนจริง

และ 00 = 3 ดังนั้น 0 = 0 × 3 = 0 ซ่ึงเปนจริง

จะเห็นไดวา เม่ือตัวหารเปนศูนยและตัวตั้งเปนจํานวนใด ๆ คําตอบท่ีไดเปนท้ังจริงและเท็จ จึงสรุปไดวา ผลหารน้ัน หาคาไมได

รูไว ใชวา

หนึ่ง (1) เปนจํานวนนับท่ีนอยท่ีสุด



ชวยคนหาคําตอบใหหนอยนะ

1) จํานวนใด ๆ เม่ือหารดวยหนึ่งผลลัพธทีไดมีคาเปนอยางไร …………………………………………………………………………………………...

2) จํานวนใด ๆ เม่ือหารดวยหนึ่งแลวผลลัพธจะไดเทากับจํานวนนั้นเสมอหรือไม …………………………………………………………………………………………...

3) จํานวนใด ๆ ท่ีเทากันสองจํานวนหารกัน ผลลัพธจะไดเทากับหนึ่งเสมอหรือไม …………………………………………………………………………………………...

1. จงหาผลลัพธ

1) 0 + (-5) = …………………… 2) 101 + 0 = …………………… 3) (-7) – 0 = …………………… 4) 1 × 0 = …………………… 5) 0 × (-1) = …………………… 6) 0 ÷ 1 = ……………………

2. จงหาคาของ a ท่ีทําใหประโยคตอไปนี้เปนจริง

1) (a + 2)(a + 3) = 0 ; a = …………………… 2) (a – 3)(a + 5) = 0 ; a = …………………… 3) (a + 1)(a – 1) = 0 ; a = ……………………

3. จงหาผลลัพธ

1) 1 × 15 = …………………… 2) 1 × (-1) = …………………… 3) (-11) × 1 = …………………… 4) 1 × a = …………………… 5) -a × 1 = …………………… 6) (-a) ÷ 1 = ……………………

7) -61 = …………………… 8) -4

-4 = ……………………

9) (a × b) ÷ 1 = …………………… 10) (-a) × b ÷ 1 = …………………

กิจกรรมที่ 2.5 : ทักษะการใหเหตุผล

สรุป 1) เม่ือ a แทนจํานวนใด ๆ แลว a × 1 = 1 × a = a เรียกวา 1 วา เอกลักษณการคูณ (Multiplicative identity)

2) เม่ือ a แทนจํานวนใด ๆ แลว a1 = a

3) เม่ือ a แทนจํานวนใด ๆ ท่ีไมใช 0 แลว a ÷ a = 1



จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. บอกความหมายและลักษณะของคาสัมบูรณและจํานวนตรงขามได 2. หาคาของคาสัมบูรณและจํานวนตรงขามได 3. บวก ลบ คูณ และหารจํานวนเต็มได ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. อธิบายผลท่ีเกิดข้ึนจากการบวก การลบ การคูณและการหาร

จํานวนเต็ม พรอมท้ังบอกความสัมพันธของการดําเนินการได 2. การคิดคํานวณ 3. การแกปญหา 4. การใหเหตุผล 5. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ 6. การเช่ือมโยงกับศาสตรอ่ืน ๆ ได 7. ความคิดริเร่ิมสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย

4. มีความเชื่อม่ันในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ


2.4 การบวก การลบ การคณู และการหารจํานวนเต็ม

MATH

Series



1. คาสัมบูรณและจํานวนตรงขาม

1.1 คาสัมบูรณ (Absolute value) พิจารณาเสนจํานวนตอไปนี้

-5 1-2 -1-4 -3 0 2 3 4 5

1) ระยะหางของจํานวนเต็มบนเสนจํานวนเทากันหรือไม ……………………… 2) -5 อยูหางจาก 0 อยูเทาใด ……………………… 3) 5 อยูหางจาก 0 อยูเทาใด ……………………… 4) ระยะหางของ -5 และ 5 อยูหางจาก 0 เทากันหรือไม ………………………

จากขางตนจะพบวา 5 อยูหางจาก 0 เปนระยะ 5 หนวย -5 อยูหางจาก 0 เปนระยะ 5 หนวย ระยะท่ีเทากันนี้ คือ คาสัมบูรณของ 5 และ -5 กลาวไดวา คาสัมบูรณของ 5 เทากับ 5 คาสัมบูรณของ -5 เทากับ 5

จะเห็นวา คาสัมบูรณของ 5 และ -5 เหมือนกัน จึงสรุปไดวา

1) จงบอกคาสัมบูรณจากเสนจํานวนตอไปนี้

-5 1-2 -1-4 -3 0 2 3 4 5

จากรูป คาสัมบูรณของ…………เทากับ………… คาสัมบูรณของ…………เทากับ…………

4 6 8 10-10 2-4 -2-8 -6 0

จากรูป คาสัมบูรณของ…………เทากับ………… คาสัมบูรณของ…………เทากับ…………

คาสัมบูรณของจํานวนใด ๆ เทากับระยะท่ีจํานวนนัน้อยูหางจาก 0 บนเสนจํานวน



2) จงแสดงคาสัมบูรณตอไปนี้บนเสนจํานวน คาสัมบูรณของ 1 และ -1 คาสัมบูรณของ -6 และ 6

1.2 สัญลักษณของคาสัมบูรณ

พิจารณาเสนจํานวนตอไปนี้

-5 1-2 -1-4 -3 0 2 3 4 5 5 อยูหางจาก 0 เปนระยะ 5 หนวย คาสัมบูรณของ 5 เทากับ 5 ใชสัญลักษณ 5 5 อานวา คาสัมบูรณของ 5 มีคาเทากับ 5 -5 อยูหางจาก 0 เปนระยะ 5 หนวย คาสัมบูรณของ -5 เทากับ 5 ใชสัญลักษณ -5 -5 อานวา คาสัมบูรณของ -5 มีคาเทากับ 5 ดังนั้น 5 = -5 = 5

ตัวอยางเชน ถา a = -3 จะไดวา a = -2 = -(-2) = 2

คาสัมบูรณของจํานวนใด ๆ เทากับระยะท่ีจํานวนนั้นอยูหางจาก 0 บนเสนจํานวน โดยมีสัญลักษณคือ

และเม่ือ a แทนจํานวนใด ๆ จะได

a = a, a > 0

0, a = 0

-a, a < 0

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

รูไว ใชวา เม่ือ a แทนจํานวนใด ๆ จะได

a =

a, a > 0

0, a = 0

-a, a < 0

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩



1.3 จํานวนตรงขาม (Inverse number)

นักเรียนรูหรือไมวา “จํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบบนเสนจํานวนท่ีมีคาสัมบูรณเทากันจะอยูคนละขางของศูนย (0) และอยูหางจาก 0 เปนระยะเทากัน” …………………

พิจารณาตัวอยางตอไปนี้

3 5 7 9-9 1-3 -1-7 -5 0

จากเสนจํานวนขางตน ทําใหทราบวา จํานวนเต็มบวก 9 และจํานวนเต็มลบ -9 จํานวนเต็มท้ังสองจํานวนมีคาสัมบูรณเทากัน ซ่ึง

อยูคนละขางของ 0 และอยูหางจาก 0 เปนระยะ 9 หนวยเทากัน ในกรณีเชนนี้ จะเรียก -9 เปนจํานวนตรงขามของ 9

จะเรียก 9 เปนจํานวนตรงขามของ 9 โดยท่ัวไป กลาวไดวา

ตัวอยางท่ี 1 จํานวนตรงขามของ 5 คือ -5 จํานวนตรงขามของ -5 คือ -(-5) แตเนื่องจาก จํานวนตรงขามของ -5 คือ 5 ดังนั้น

-(-5) = 5

ตัวอยางท่ี 2 จํานวนตรงขามของ -1 คือ -(-1) = 1 จํานวนตรงขามของ -2 คือ -(-2) = 2 จํานวนตรงขามของ -19 คือ …………………

จํานวนตรงขามของ 25 คือ ………………… จํานวนตรงขามของ 0 คือ -0 = …………………

ถา a เปนจํานวนเต็มใด ๆ จํานวนตรงขามของ a มีเพียงจํานวนเดยีว เขียนแทนดวย -a

รูไว ใชวา 1. จํานวนเต็มบวกทุกจํานวนมีจํานวนตรงขาม 2. จํานวนเต็มลบทุกจํานวนมีจํานวนตรงขาม 3. สําหรับ 0 จะมี 0 เปนจํานวนตรงขามของ 0



จากตัวอยางท่ี 1 และตัวอยางท่ี 2 ทําใหไดขอสรุปอีกอยาง ดังนี้

1. จงเติมคําตอบลงในชองวางในขอตอไปนี้ 1) คาสัมบูรณของ 0 เทากับ ……………… 2) คาสัมบูรณของ -7 เทากับ ………… 3) คาสัมบูรณของ 11 เทากับ ……………… 4) คาสัมบูรณของ -15 เทากับ ……… 5) 41 เทากับ ……………… 6) -28 เทากับ ……………

2. จงเติมคําตอบลงในชองวางในขอตอไปนี้ 1) คาสัมบูรณของ 19 และ -19 ตางเทากับ ……………… 2) คาสัมบูรณของ………………และ -40 ตางเทากับ 40 3) คาสัมบูรณของ………………และ………………ตางเทากับ 180 4) 135 เปนคาสัมบูรณของ……………… และ ……………… 5) ………………เปนคาสัมบูรณของ………………และ -397

3. จงเติมคําวา “มากกวา” “นอยกวา” หรือ “เทากับ” ลงในชองวางเพ่ือทําใหประโยคตอไปน้ีเปนจริง 1) คาสัมบูรณของ -50 ……………… คาสัมบูรณของ -102 2) คาสัมบูรณของ 134 ……………… คาสัมบูรณของ -134 3) คาสัมบูรณของ -110 ……………… คาสัมบูรณของ 90 4) -30 ……………… -35 5) -91 ……………… 19

4. จงเติมคําตอบลงในชองวางในขอตอไปนี้ 1) จํานวนตรงขามของ -11 คือ ……………… 2) จํานวนตรงขามของ 240 คือ ……………… 3) จํานวนตรงขามของ -370 คือ ……………… 4) จํานวนตรงขามของ 560 คือ ……………… 5) จํานวนตรงขามของ -2,810 คือ ………………

5. จงเติมคําตอบลงในชองวางในขอตอไปนี้ 1) -(-15) = ……………… 2) -(-37) = ……………… 3) -(-43) = ……………… 4) -(-59) = ………………

กิจกรรมที่ 2.6 : ทักษะการส่ือสาร การนําเสนอและการเชื่อมโยง

ถา a เปนจํานวนเต็มใด ๆ จํานวนตรงขามของ -a คือ a ซ่ึงเขียนแทนดวย -(-a) = a



2. การบวกจํานวนเต็ม

2.1 การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก พิจารณาการบวกตอไปนี้

3 + 4 =

-1 52 30 1 4 6 7 8 9 การบวกขางตนเปนการหาผลบวกโดยใชเสนจํานวน โดยเร่ิมตนท่ี 0 นับไปทางขวาถึง 3

เม่ือบวกดวย 4 ใหนับเพ่ิมไปทางขวา 4 หนวย ซ่ึงจะไปสิ้นสุดท่ี 7 จะได 7 เปนผลบวกของ 3 กับ 4

ดังนั้น 3 + 4 = 7

พิจารณาการบวกจํานวนเต็มโดยใชคาสัมบูรณ ดังน้ี ตัวอยางท่ี 3 10 + 12 = วิธีทํา คาสัมบูรณของ 10 หรือ 10 = 10

คาสัมบูรณของ 12 หรือ 12 = 12 เพราะฉะนั้น 10 + 12 = 10 + 12 = 22 ดังนั้น 10 + 12 = 22

ตัวอยางท่ี 4 17 + 33 = วิธีทํา คาสัมบูรณของ 17 = ………………

คาสัมบูรณของ 33 = ……………… เพราะฉะนั้น 17 + 33 = ……………… ดังนั้น ………………………………

สรุปไวใช หลักการใชเสนจํานวน ถาเปนการบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก

7. เร่ิมตนท่ี 0 8. เคล่ือนไปทางขวาเปนระยะท่ีเทากับจํานวนแรก 9. ณ ตําแหนงในขอ 2. ใหเคล่ือนไปทางขวาอีกคร้ังเปนระยะท่ีเทากับอีก

จํานวนหนึ่ง ถึงจุดท่ีแทนจํานวนใด จํานวนน้ันเปนคําตอบ



2.2 การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ พิจารณาการบวกตอไปนี้

(-3) + (-4) =

-2 -1 0 1-1 -3-6 -5-8 -7 -4 การบวกขางตนเปนการหาผลบวกโดยใชเสนจํานวน โดยเร่ิมตนท่ี 0 นับไปทางซายถึง -3

เม่ือบวกดวย -4 ใหนับลดไปทางซาย 4 หนวย ซ่ึงจะไปส้ินสุดท่ี -7 จะได -7 เปนผลบวกของ -3 กับ -4

ดังนั้น (-3) + (-4) = -7

ตัวอยางท่ี 5 (-2) + (-5) =

-9 -3-6 -5-8 -7 -4 -2 -1 0 1 วิธีการ 1. เร่ิมตนท่ี 0 2. เคล่ือนไปทางซายเปนระยะท่ีเทากับคาสัมบูรณของ -2

3. จาก -2 นับลดไปทางซายมือเทากับคาสัมบูรณของ -5 (5 หนวย) คือตําแหนง -7 ดังนั้น (-2) + (-5) = -7

สรุปไวใช การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก ใหนําคาสัมบูรณ

ของจํานวนเต็มบวกทั้งสองมาบวกกัน ผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มบวก

สรุปไวใช หลักการใชเสนจํานวน ถาเปนการบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ

4. เร่ิมตนท่ี 0 5. เคล่ือนไปทางซายเปนระยะท่ีเทากับคาสัมบูรณของจํานวนแรก 6. ณ ตําแหนงในขอ 2. ใหเคล่ือนไปทางซายอีกคร้ังเปนระยะท่ีเทากับ

คาสัมบูรณอีกจํานวนหนึ่ง ถึงจุดท่ีแทนจํานวนใด จํานวนนั้นเปนคําตอบ



พิจารณาการบวกจํานวนเต็มโดยใชคาสัมบูรณ ดังน้ี ตัวอยางท่ี 6 (-15) + (-20) = วิธีทํา คาสัมบูรณของ -15 หรือ -15 = 15

คาสัมบูรณของ -20 หรือ -20 = 20 เพราะฉะนั้น -15 + -20 = 15 + 20 = 35 แตผลลัพธท่ีไดตองเปนจํานวนลบ ดังนั้น (-15) + (-20) = -35

ตัวอยางท่ี 7 (-19) + (-21) = วิธีทํา คาสัมบูรณของ ……………… = ………………

คาสัมบูรณของ ……………… = ……………… เพราะฉะนั้น ……………… = ……………… แตผลลัพธท่ีไดตองเปนจํานวนลบ ดังนั้น ………………………………………………

1. จงหาผลบวกตอไปนี้ 1) (-6) + (-3) =

-2 -1 0 1-9 -3-6 -5-8 -7 -4 ดังนั้น (-6) + (-3) = ……………

2) 2 + 6 =

6 7 8 9-1 52 30 1 4 ดังนั้น 2 + 6 = ……………

กิจกรรมที่ 2.7 : ทักษะการใหเหตุผลและการสื่อสาร

สรุปไวใช การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ ใหนําคาสัมบูรณของ

จํานวนเต็มบวกทั้งสองมาบวกกัน ผลลัพธที่ไดเปนจํานวนเต็มลบ



3) (-4) + (-4) =

-2 -1 0 1-9 -3-6 -5-8 -7 -4 ดังนั้น (-4) + (-4) = ……………

2. จงหาผลบวกตอไปนี้ 1) 17 + 23 = …………… 2) 23 + 17 = …………… 3) (-4) + (-6) = …………… 4) (-6) + (-4) = …………… 5) (-8) + (-9) = …………… 6) (-9) + (-8) = …………… 7) (-20) + (-10) = …………… 8) (-10) + (-20) = …………… 9) (-54) + (-46) = …………… 10) (-46) + (-54) = …………… จากผลลัพธท่ีไดในขอ 3) ถึงขอ 10) การบวกจํานวนเต็มลบนาจะมีสมบัติ………………...

……………………………………… 3. จงหาผลลัพธโดยบวกสองจํานวนท่ีอยูในวงเล็บใหญกอน

1) 5 + [2 + 8] =…………………… 2) [5 + 2] + 8 =……………. =…………………… =…………….

3) (-4) + [(-6) + (-3)] =…………………… 4) [(-4) + (-6)] + (-3) =……………. =…………………… =…………….

5) (-3) + [(-7) + (-9)] =…………………… 6) [(-3) + (-7)] + (-9) =……………. =…………………… =…………….

7) [(-2) + (-10)] + (-5) =…………………… 8) (-2) + [(-10) + (-5)] =……………. =…………………… =…………….

9) [(-7) + (-12)] + (-8) =…………………… 10) (-7) + [(-12) + (-8)] =……………. =…………………… =…………….

4. จงหาจํานวนเต็มท่ีแทน x แลวทําใหไดประโยคที่เปนจริง 1) x + (-4) = -8 ; x = …………………… 2) x + (-7) = -15 ; x = …………………… 3) x + (-11) = -23 ; x = …………………… 4) x + (-16) = -38 ; x = …………………… 5) x + (-29) = -59 ; x = ……………………



2. การบวกจํานวนเต็ม (ตอ) 2.3 การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบและการบวกจํานวนเต็มลบดวย

จํานวนเต็มบวก

การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ ในกรณีท่ีจํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวาพิจารณาการบวกตอไปนี้

6 + (-4) =

-1 52 30 1 4 6 7 8 9 การบวกขางตนเปนการหาผลบวกโดยใชเสนจํานวน โดยเร่ิมตนท่ี 0 นับไปทางขวาถึง 6

เม่ือบวกดวย -4 ใหนับลดไปทางซาย 4 หนวย ซ่ึงจะไปส้ินสุดท่ี 2 จะได 2 เปนผลบวกของ 6 กับ -4

ดังนั้น 6 + (-4) = 2

ตัวอยางท่ี 8 9 + (-8) =

-1 52 30 1 4 6 7 8 9 วิธีการ 1. เร่ิมตนท่ี ………… 2. เคล่ือนไปทางขวาเปนระยะท่ีเทากับคาสัมบูรณของ…………

3. จาก……นับลดไปทางซายมือเทากับคาสัมบูรณของ……ซ่ึงจะไปส้ินสุดท่ี……... ดังนั้น 9 + (-8) = …………….

สรุปไวใช หลักการใชเสนจํานวน ถาเปนการบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ

1. เร่ิมตนท่ี 0 2. เคล่ือนไปทางขวาเปนระยะท่ีเทากับคาสัมบูรณของจํานวนแรก 3. ณ ตําแหนงในขอ 2. ใหเคล่ือนไปทางซายเปนระยะท่ีเทากับคา

สัมบูรณอีกจํานวนหนึ่ง ถึงจุดท่ีแทนจํานวนใด จํานวนน้ันเปนคําตอบ



พิจารณาการบวกจํานวนเต็มโดยใชคาสัมบูรณ ดังน้ี ตัวอยางท่ี 9 13 + (-9) = วิธีทํา คาสัมบูรณของ 13 หรือ 13 = 13

คาสัมบูรณของ -9 หรือ -9 = 9 นําคาสัมบูรณท่ีมากกวาเปนตัวต้ังแลวลบดวยคาสัมบูรณท่ีนอยกวา ได 13 – -9 = 13 – 9 = 4 แตผลลัพธท่ีไดเปนจํานวนเต็มบวก ตามจาํนวนท่ีมีคาสัมบูรณมากกวา ดังนั้น 13 + (-9) = 4

ตัวอยางท่ี 10 39 + (-12) = วิธีทํา คาสัมบูรณของ …………………… = ……………………

คาสัมบูรณของ …………………… = …………………… นําคาสัมบูรณท่ีมากกวาเปนตัวต้ังแลวลบดวยคาสัมบูรณท่ีนอยกวา ได ……………………………………………………………… แตผลลัพธท่ีไดเปนจํานวนเต็มบวก ตามจาํนวนท่ีมีคาสัมบูรณมากกวา ดังนั้น ………………………………………………………………

การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก ในกรณีท่ีจํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวาพิจารณาการบวกตอไปนี้ ตัวอยางท่ี 11 (-4) + 7 =

-5 1-2 -1-4 -3 0 2 3 4 5 วิธีการ 1. เร่ิมตนท่ี 0 2. เคล่ือนไปทางซายเปนระยะท่ีเทากับคาสัมบูรณของ -4

3. จาก -4 นับเพ่ิมไปทางขวามือเทากับคาสัมบูรณของ 7 ซ่ึงจะไปส้ินสุดท่ี 3 ดังนั้น (-4) + 7 = 3

ตัวอยางท่ี 12 (-4) + 7 = วิธีทํา คาสัมบูรณของ -4 = 4

คาสัมบูรณของ 7 = 7 นําคาสัมบูรณท่ีมากกวาเปนตัวต้ังแลวลบดวยคาสัมบูรณท่ีนอยกวา



ได 7 – -4 = 7 – 4 = 3 แตผลลัพธท่ีไดเปนจํานวนเต็มบวก ตามจาํนวนท่ีมีคาสัมบูรณมากกวา เชนเดยีวกับการหาผลบวกโดยใชเสนจํานวน ดังนั้น (-4) + 7 = 3

ตัวอยางท่ี 13 (-12) + 16 = วิธีทํา คาสัมบูรณของ …………………… = ……………………

คาสัมบูรณของ …………………… = …………………… นําคาสัมบูรณท่ีมากกวาเปนตัวต้ังแลวลบดวยคาสัมบูรณท่ีนอยกวา ได ……………………………………………………………… แตผลลัพธท่ีไดเปนจํานวนเต็มบวก ตามจาํนวนท่ีมีคาสัมบูรณมากกวา ดังนั้น ………………………………………………………………

การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ ในกรณีท่ีจํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา

พิจารณาการบวกตอไปนี้ ตัวอยางท่ี 14 4 + (-8) =

-5 1-2 -1-4 -3 0 2 3 4 5 วิธีการ 1. เร่ิมตนท่ี 0 2. เคล่ือนไปทางขวาเปนระยะท่ีเทากับคาสัมบูรณของ -4

3. จาก 4 นับลดไปทางซายมือเทากับคาสัมบูรณของ -8 ซ่ึงจะไปส้ินสุดท่ี -4 ดังนั้น 4 + (-8) = -4

สรุปไวใช การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบหรือการบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก ในกรณีท่ีจํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนท่ีมากกวาเปนตัวต้ัง แลวลบดวยคาสัมบูรณของจํานวนท่ีนอยกวา ผลลัพธท่ีไดเปนจํานวนเต็มบวก



ตัวอยางท่ี 15 4 + (-8) = วิธีทํา คาสัมบูรณของ 4 หรือ 4 = 4

คาสัมบูรณของ -8 หรือ -8 = 8 นําคาสัมบูรณท่ีมากกวาเปนตัวต้ังแลวลบดวยคาสัมบูรณท่ีนอยกวา ได -8 – 4 = 8 – 4 = 4 แตผลลัพธท่ีไดเปนจํานวนเต็มลบ ตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณมากกวา เชนเดียวกับการหาผลบวกโดยใชเสนจํานวน ดังนั้น 4 + (-8) = -4

ตัวอยางท่ี 16 9 + (-12) = วิธีทํา คาสัมบูรณของ …………………… = ……………………

คาสัมบูรณของ …………………… = …………………… นําคาสัมบูรณท่ีมากกวาเปนตัวต้ังแลวลบดวยคาสัมบูรณท่ีนอยกวา ได ……………………………………………………………… แตผลลัพธท่ีไดเปนจํานวนเต็มลบ ตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณมากกวา ดังนั้น ………………………………………………………………

การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก ในกรณีท่ีจํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวาพิจารณาการบวกตอไปนี้ ตัวอยางท่ี 17 (-5) + 4 =

-5 1-2 -1-4 -3 0 2 3 4 5 วิธีการ 1. เร่ิมตนท่ี 0 2. เคล่ือนไปทางซายเปนระยะท่ีเทากับคาสัมบูรณของ -5

3. จาก -5 นับเพ่ิมไปทางขวามือเทากับคาสัมบูรณของ 4 ซ่ึงจะไปส้ินสุดท่ี -1 ดังนั้น (-5) + 4 = -1



ตัวอยางท่ี 18 (-5) + 4 = วิธีทํา คาสัมบูรณของ -5 = 4

คาสัมบูรณของ 4 = 8 นําคาสัมบูรณท่ีมากกวาเปนตัวต้ังแลวลบดวยคาสัมบูรณท่ีนอยกวา ได -5 – 4 = 5 – 4 = 1 แตผลลัพธท่ีไดเปนจํานวนเต็มลบ ตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณมากกวา เชนเดียวกับการหาผลบวกโดยใชเสนจํานวน ดังนั้น (-5) + 4 = -1

ตัวอยางท่ี 19 (-12) + 9 = วิธีทํา คาสัมบูรณของ …………………… = ……………………

คาสัมบูรณของ …………………… = …………………… นําคาสัมบูรณท่ีมากกวาเปนตัวต้ังแลวลบดวยคาสัมบูรณท่ีนอยกวา ได ……………………………………………………………… แตผลลัพธท่ีไดเปนจํานวนเต็มลบ ตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณมากกวา ดังนั้น ………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

สรุปไวใช การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบหรือการบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก ในกรณีท่ีจํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนท่ีมากกวาเปนตัวต้ัง แลวลบดวยคาสัมบูรณของจํานวนท่ีนอยกวา ผลลัพธท่ีไดเปนจํานวนเต็มลบ

สงสัยไหมครับ ? ถาเปนการบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ในกรณีท่ี

จํานวนเต็มท้ังสองมีคาสัมบูรณเทากัน จะเกิดอะไรข้ึน ชวยตอบหนอยนะครับ



1. จงหาผลบวก

1) 35 + (-18) = …………………………………………………….. 2) (-18) + 35 = …………………………………………………….. 3) (-36) + 34 = …………………………………………………….. 4) 34 + (-36) = …………………………………………………….. 5) (-39) + 16 = …………………………………………………….. 6) 16 + (-39) = …………………………………………………….. 7) (-57) + 74 = …………………………………………………….. 8) 74 + (-57) = …………………………………………………….. 9) (-100) + 16 = ……………………………………………………..

10) (-16) + (-100) = …………………………………………………….. 2. จงหาผลบวก

1) [(-15) + 7] + (-3) = …………………………………………………….. 2) (-15) + [7 + (-3)] = …………………………………………………….. 3) [12 + (-12)] + (-8) = …………………………………………………….. 4) 12 + [(-12) + (-8)] = …………………………………………………….. 5) [100 + (-64)] + (-36) = …………………………………………………….. 6) 100 + [(-64) + (-36)] = ……………………………………………………..

3. จงหาจํานวนเต็มสามจํานวนท่ีบวกกันแลวมีคําตอบเปนจํานวนตอไปนี้ 1) 6 ตอบ ……………………………………………………………… 2) -9 ตอบ ………………………………………………………………

การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบหรือการบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก

ในกรณีท่ีจํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนท่ีมากกวาเปนตัวต้ัง แลวลบดวยคาสัมบูรณของจํานวนท่ีนอยกวา ผลลัพธท่ีไดเปนจํานวนเต็มบวก

ในกรณีท่ีจํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนท่ีมากกวาเปนตัวต้ัง แลวลบดวยคาสัมบูรณของจํานวนท่ีนอยกวา ผลลัพธท่ีไดเปนจํานวนเต็มลบ

สรุปอีกครั้ง




3. การลบจํานวนเต็ม

3.1 การลบจํานวนเต็มโดยใชเสนจํานวน

ใหนักเรียนพิจารณาการลบจํานวนเต็มตอไปนี้ 1) การลบจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก

9 – 4 = 5

6 7 8 9-1 52 30 1 4

2) การลบจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ 9 – (-4) = 13

0 63 41 2 5 7 8 9 10 11 12 13

3) การลบจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก (-9) – 4 = -13

-2 -1 0-6 -5 -4 -3-13 -7-10 -9-12 -11 -8

4) การลบจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ (-9) – (-4) = -5

-13 -7-10 -9-12 -11 -8 -2 -1 0-6 -5 -4 -3



3.2 การลบจํานวนเต็มโดยใชจํานวนตรงขาม

พิจารณาการลบจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ สัมพันธกับการบวกจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มบวก ตอไปนี้

5 – (-3)

0 63 41 2 5 7 8 9 10

5 + 3

0 63 41 2 5 7 8 9 10

7 – (-4)

117 8 9 100 63 41 2 5

7 + 4

117 8 9 100 63 41 2 5 พิจารณาความสัมพันธของการลบจํานวนเต็มและการบวกจํานวนเต็มดังแสดงไวขางตน จะ

เห็นวา การลบจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก

5 – (-3) = 8 5 + 3 = 8 จะได 5 – (-3) = 5 + 3 7 – (-4) = 11 7 + 4 = 11 จะได 7 – (-4) = 7 + 4

a – (-b) = a + b หรือ a – b = a + (-b)



นั่นก็คือ การลบของจํานวนสองจํานวนสองจํานวนใดๆ จะเทากับจํานวนท่ีเปนตัวต้ังบวกกับจํานวนตรงขามท่ีเปนตัวลบ ตัวอยางท่ี 20 1) 4 – 2 = 4 + จํานวนตรงขามของ 2 = 4 + (-2)

2) 2 – 4 = 2 + จํานวนตรงขามของ 4 = 2 + (-4)

3) (-4) – 2 = (-4) + จํานวนตรงขามของ………… = ……………………

4) (-4) – (-2) = (-4) + จํานวนตรงขามของ………… = ……………………

5) 4 – (-2) = ………………………………………… = …………………… ตัวอยางท่ี 21 จงหาผลลบ 5 – 12 วิธีทํา 5 – 12 = 5 + (-12) = -7

ตอบ -7 ตัวอยางท่ี 22 จงหาผลลบ (-5) – 12 วิธีทํา (-5) – 12 = (-5) + (-12) = ……………

ตอบ …………… ตัวอยางท่ี 23 จงหาผลลบ 5 – (-12) วิธีทํา 5 – (-12) = 5 + …………… = ……………

ตอบ ……………

ถา a และ b เปนจํานวนใด ๆ a – b = a + (-b)

สมบัติของการลบจํานวนเต็ม



ตัวอยางท่ี 24 จงหาผลลบ (-5) – (-12) วิธีทํา (-5) – (-12) = …………… = ……………

ตอบ …………… 1. จงเขียนการลบตอไปนี้ในรูปการบวกของจํานวนตรงขาม

1) (-3) – 5 = ………………… 2) 4 – (-16) = ………………… 3) (-13) – (-7) = ………………… 4) (-63) – (-28) = ………………… 5) 10 – 13 = ………………… 6) 1 – 18 = ………………… 7) 0 – 23 = ………………… 8) 0 – (-18) = ………………… 9) (-19) – (-19) = ………………… 10) (-40) – 6 = …………………

2. จงหาผลลบ 1) (-3) – 5 = ………………… 2) 4 – (-16) = ………………… 3) (-13) – (-7) = ………………… 4) (-63) – (-28) = ………………… 5) 10 – 13 = ………………… 6) 1 – 18 = ………………… 7) 0 – 23 = ………………… 8) 0 – (-18) = ………………… 9) (-19) – (-19) = ………………… 10) (-40) – 6 = …………………

3. จงหาจํานวนเต็มท่ีแทน x แลวทําใหประโยคเปนจริง 1) (-4) – x = -10 ; x = ………… 2) x – 12 = 10 ; x = ………… 3) (-5) – x = -20 ; x = ………… 4) (-46) – (-35) = x ; x = ……… 5) 80 – x = 40 ; x = ………… 6) (-17) – x = 30 ; x = ………… 7) -(-26) – x = 50 ; x = ………… 8) x – (-8) = 26 ; x = ………… 9) 50 – (-50) = x ; x = ………… 10) (-50) – (-50) = x ; x = …………

4. จงหาผลลบ 1) (-10) + {(-13) – (-9)} = …………………………………………………….. 2) {(-4) – (-8)} + (-11) = …………………………………………………….. 3) 19 – (-25) + (-7) = …………………………………………………….. 4) (-12) – (-6) – 18 = …………………………………………………….. 5) {15 + (-11) – (-6)} + (-25) = ………………………………………………




5. จงหาคาของ

1) (a + b) – c เม่ือ a = -5, b = -21, c = -18 (a + b) – c = ……………………………………………………..

= …………………………………………………….. = ……………………………………………………..

2) a + (b – c) เม่ือ a = 14, b = -32, c = -50 a + (b – c) = ……………………………………………………..

= …………………………………………………….. = ……………………………………………………..

3) a – (b – c) เม่ือ a = -100, b = 54, c = -45 a – (b – c) = ……………………………………………………..

= …………………………………………………….. = ……………………………………………………..

4. การคูณจํานวนเต็ม

4.1 การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก คือการคูณจํานวนนับดวยจํานวนนับ ดังตัวอยาง 1) 3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12

3 × 4 = 4 × 3 มีสมบัติการสลับท่ีการคูณ ดังนั้น 3 × 4 = 4 × 3 = 12 2) 4 × 7 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28

4 × 7 = 7 × 4 มีสมบัติการสลับท่ีการคูณ ดังนั้น 4 × 7 = 7 × 4 = 28 จะเห็นวา

ตัวอยางท่ี 25 1) 6 × 9 = 54

2) 7 × 8 = ……………… 3) 8 × 9 = ……………… 4) 9 × 8 = ………………

การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก จะไดผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก



4.2 การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบหรือการคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก

การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ สามารถหาผลคูณโดยใชความหมายของการคูณและการบวกจํานวนเต็มลบ ดังตัวอยาง

5 × (-3) = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -15

หรือ 5 × (-3) = (-3) × 5 (สมบัติการสลับท่ีการคูณ) = (-5) + (-5) + (-5) = -(5 + 5 + 5) = -(5 × 3) = -15 ดังนั้น 5 × (-3) = (-3) × 5 = -(5 × 3) = -15 จะพบวา 5 × (-3) = -( 5 × -3 )

= -(5 × 3) = -15

และ (-5) × 3 = -( -5 × 3 ) = -(5 × 3) = -15

จากขอสรูปขางตน อาจกลาวอีกอยางไดวา การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ หรือการคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก จะไดผลลัพธเปนจํานวนเต็มลบ

การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ หรือ การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก มีหลักการดังนี้

1. ใหหาคาสัมบูรณของจํานวนเต็มท้ังสอง 2. ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนเต็มท้ังสองมาคูณกัน 3. ผลลัพธท่ีไดในขอ 2 ใหตอบเปนจํานวนเต็มลบ

สรุปไวใช



ตัวอยางท่ี 26 1) (-6) × 9 = -( -6 × 9 ) = -(6 × 9) = -54

2) 7 × (-8) = ……………… = ……………… = ………………

3) (-15) × 3 = -(15 × 3) = -45

4) 19 × (-2) = ……………… = ………………

5) (-12) × 9 = ……………… = ………………

4.3 การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ

พิจารณาตัวอยางตอไปนี้ (-3) × (-4) =

เนื่องจาก (-4) + 4 = 0 (จํานวนตรงขามบวกกันเทากับศูนย)

นํา (-3) คูณท้ังสองขาง จะได (-3) × [(-4) + 4] = (-3) × 0 [(-3) × (-4)] + [(-3) × 4] = 0 (สมบัติการแจกแจง) [(-3) × (-4)] + (-12) = 0

นํา 12 มาบวกท้ังสองขาง จะได [(-3) × (-4)] + (-12) + 12 = 0 + 12

[(-3) × (-4)] + 0 = 0 + 12 (จํานวนตรงขามบวกกันเทากับศูนย) (-3) × (-4) = 12

ดั้งนั้น (-3) × (-4) = 12 หรือ (-3) × (-4) = -3 × -4 = 3 × 4 = 12



จากขอสรูปขางตน อาจกลาวอีกอยางไดวา การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ จะไดผลลัพธเปนจํานวนเต็มลบ

ตัวอยางท่ี 27 1) (-6) × (-9) = -6 × -9 = 6 × 9 = 54

2) (-7) × (-8) = ……………… = ……………… = ………………

3) (-15) × (-3) = 15 × 3 = 45

4) (-19) × (-2) = ……………… = ………………

5) (-12) × (-9) = ……………… = ………………

การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ มีหลักการดังนี้

1. ใหหาคาสัมบูรณของจํานวนเต็มท้ังสอง 2. ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนเต็มท้ังสองมาคูณกัน 3. ผลลัพธท่ีไดในขอ 2 ใหตอบเปนจํานวนเต็มบวก

สรุปไวใช

การคูณจํานวนเต็มสองจํานวนใด ๆ

1. จํานวนท่ีมีเคร่ืองหมาย เหมือนกัน คูณกัน ไดผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก ตัวอยาง 2 × 5 = 10

(-2) × (-5) = 10 2. จํานวนท่ีมีเคร่ืองหมาย ตางกัน คูณกัน ไดผลลัพธเปนจํานวนเต็มลบ

ตัวอยาง 2 × (-5) = -10 (-2) × 5 = -10

ขอสังเกตท่ีไมควรมองขาม



1. จงหาคูณ 1) 9 × 12 = ………………… 2) (-11) × 7 = ………………… 3) 13 × (-8) = ………………… 4) (-20) × (-12) = ………………… 5) (-25) × 25 = ………………… 6) (-400) × 10 = ………………… 7) 0 × 1250 = ………………… 8) (-214) × 0 = ………………… 9) (-1) × (-1) = ………………… 10) (-2) × 1 = …………………

11) 9 × 12 = ………………… 12) 12 × 9 = ………………… 13) 7 × (-11) = ………………… 14) (-11) × 7 = ………………… 15) (-20) × 3 = ………………… 16) 3 × (-20) = ………………… 17) (-13) × (-12) = ………………… 18) (-12) × (-13) = ………………… 19) (-14) × 14 = ………………… 20) 14 × (-14) = …………………

2. จงหาผลลัพธ 1) 2 × (3 + 7) 2) (2 × 3) + (2 × 7)

= ……………………………… = ……………………………… = ……………………………… = ………………………………

3) (-4) × (5 + 6) 4) {(-4) × 5} + {(-4) × 6} = ……………………………… = ……………………………… = ……………………………… = ………………………………

5) 3 × {(-2) + 7} 6) {3 × (-2)} + (3 × 7) = ……………………………… = ……………………………… = ……………………………… = ………………………………

7) (-2) × {4 + (-9)} 8) {(-2) × 7) + {(-2) × (-9)} = ……………………………… = ……………………………… = ……………………………… = ………………………………

9) (-3) × {(-1) + (-11)} 10) {(-3) × (-1)} + {(-3) × (-11)} = ……………………………… = ……………………………… = ……………………………… = ………………………………

กิจกรรมที่ 2.10 : ทักษะการใหเหตุผล การส่ือสารและการเชื่อมโยง



3. จงหาจํานวนเต็มท่ีแทน y แลวทําใหไดประโยคท่ีเปนจริง 1) y × 6 = -12 ; y = ………… 2) 5 × y = -5 ; y = …………… 3) (-2) × y = 6 ; y = ………… 4) (-1) × y = 1 ; y = …………….

5) y × 1 = -1 ; y = ………… 6) 100 × y = -200 ; y = ………… 7) 7 × (-10) × y = -70 ; y = ………… 8) (-1) × y = 2 ; y = …………. 9) (-1) × y × (-1) = y ; y = ………… 10) (-5) × y × (-5) = -125 ; y = ……….

5. การหารจํานวนเต็ม

การหารจํานวนเต็มดวยจํานวนเต็มอาจเปนการหารลงตัวหรือเปนการหารไมลงตัวกไ็ด แตในหัวขอนี้จะกลาวถึงเฉพาะการหารจํานวนเต็มดวยจํานวนเต็มท่ีเปนการหารลงตัว ซ่ึงมีผลหารเปนจํานวนเต็มและเศษเปน 0

การหารจํานวนเต็มดวยจํานวนเต็มท่ีเปนการหารลงตัว อาศัยการคูณตามขอตกลงดังนี้

= ผลหาร

จะไดวา ตัวหาร × ผลหาร = ตัวต้ัง

พิจารณา 9612 = 8

จะไดวา 12 × 8 = 96

ในทางคณิตศาสตร อาจเขียน a ÷ b ดวย ab

ตัวอยางท่ี 28 จงหาผลหาร -164

วิธีทํา ให -164 = a

จะได 4 × a = -16 เนื่องจาก 4 × (-4) = -16 ดังนั้น a = -4

นั่นคือ -164 = -4

ตัวต้ัง ตัวหาร

อีกวิธีท่ีนาสน -16 = 4 × (-4)

-164 = 4 × (-4)

4

= -4



ตัวอยางท่ี 29 จงหาผลหาร 16-4

วิธีทํา ให 16-4 = ………

จะได (-4) × ……… = 16 เนื่องจาก (-4) × (-4) = 16 ดังนั้น ……… = ………

นั่นคือ 16-4 = ………

ตัวอยางท่ี 30 จงหาผลหาร -16-4

วิธีทํา ให -16-4 = ………

จะได (-4) × ……… = -16 เนื่องจาก …………… = 16 ดังนั้น ……… = ………

นั่นคือ -16-4 = ………

ตัวอยางท่ี 31 จงหาผลหารของ 50-5

วิธีทํา เนื่องจาก 50 = (-5) × (-10) 50-5 = (-5) × (-10)

-5

= -10

ดังนั้น 50-5 = -10

หลักในการหารจํานวนเต็ม มีดังน้ี 1) การหารจํานวนเต็ม เม่ือตัวต้ังและตัวหารเปนจํานวนเต็มบวกท้ังคู ผลลัพธท่ี

ไดเปนจํานวนเต็มบวก เชน 10812 = 9

2) การหารจํานวนเต็ม เม่ือตัวต้ังหรือตัวหารตัวใดตัวหนึ่งเปนจํานวนเต็มลบ โดยท่ีจํานวนอีกจํานวนหน่ึงเปนจํานวนเต็มบวก ผลลัพธท่ีไดเปนจาํนวนเต็ม

ลบ เชน -14412 = -12 และ 12

-12 = -1

3) การหารจํานวนเต็ม เม่ือตัวต้ังและตัวหารเปนจํานวนเต็มลบท้ังคู ผลลัพธท่ี

ไดเปนจํานวนเต็มบวก เชน -49-7 = 7

อีกวิธีท่ีนาสน 16 = (-4) × (-4)

16-4 = (-4) × (-4)

-4

= -4

อีกวิธีท่ีนาสน -16 = 4 × (-4)

-16-4 = 4 × (-4)

-4

= 4



ตัวอยางท่ี 32 จงหาผลหารของ -505

วิธีทํา เนื่องจาก -50 = 5 × ……… -505 = 5× ............

5

= ………………

ดังนั้น 50-5 = ………………

ตัวอยางท่ี 33 จงหาผลหารของ -50-5

วิธีทํา เนื่องจาก -50 = ……………… -50-5 = ………………

= ………………

ดังนั้น 50-5 =………………

1. จงหาผลหาร โดยแสดงวิธีทํา

1) 48 ÷ (-4) 2) (-96) ÷ 3 …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… ……………………………………

3) 108 ÷ 9 4) 0 ÷ (-2) …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… ……………………………………

5) (-1) ÷ (-1) 6) (-132) ÷ (-11) …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… ……………………………………

กิจกรรมที่ 2.11 : ทักษะการใหเหตุผล การส่ือสารและการเชื่อมโยง



2. จงหาผลหาร 1) 12 ÷ (-2) = …………………… 2) 48 ÷ (-4) = …………………… 3) 36 ÷ (-6) = …………………… 4) 64 ÷ (-8) = …………………… 5) 110 ÷ (-10) = …………………… 6) (-72) ÷ 8 = …………………… 7) (-56) ÷ 7 = …………………… 8) (-54) ÷ 6 = …………………… 9) (-75) ÷ 5 = …………………… 10) (-124) ÷ 4 = …………………… 11) (-12) ÷ (-2) = …………………… 12) (-10) ÷ (-5) = …………………… 13) (-16) ÷ (-4) = …………………… 14) (-48) ÷ (-6) = …………………… 15) {48 ÷ (-6)} ÷ (-2) = ………………… 16) 48 ÷ {(-6) ÷ (-2) = ………………… 17) {45 ÷ (-3)} ÷ (-3) = ………………… 18) (-45) ÷ {3 ÷ (-3)} = ………………… 19) {(-64) ÷ 8} ÷ {(-8) ÷ (-4)} = ……………………

3. จงหาจํานวนเต็มท่ีแทน z แลวทําใหไดประโยคท่ีเปนจริง 1) z ÷ (-3) = 4 ; z = ……………. 2) 15 ÷ z = -5 ; z = ……………. 3) (-16) ÷ z = -4 ; z = ……………. 4) z ÷ 1 = 12 ; z = ……………. 5) (-32) ÷ z = 1 ; z = ……………. 6) [(-64) ÷ 8] ÷ z = 2 ; z = ……………. 7) [45 ÷ (-3)] ÷ (-5) = z ; z = ……………. 8) [(-72) ÷ (-9)] ÷ 2 = z ; z = ……………. 9) z ÷ [(-7) ÷ 7] = -5 ; z = ……………. 10) 20 ÷ [8 ÷ (-z)] = -5 ; z = …………….

4. นุชไปตลาดกับแมและแมตองการซ้ือขาวสาร 12 ถุง ราคาถุงละ 55 บาท แมถามนุชวาแมตองจายเงินกี่บาท ถานุชตองคิดคําตอบในใจ นุชจะมีวิธีคิดอยางรวดเร็วไดอยางไร จงอธิบาย …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………



1. กําหนดให 0

0 = a ถาเขียนประโยคน้ีใหอยูในรูปการคูณ จะเขียนไดอยางไร

………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….

2. จงหาคา a ท่ีทําให 0 × a = 0 เปนจริง ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….

3. คา a ท่ีหาไดในขอ 2 มีมากกวาหนึ่งคาหรือไม ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….

4. ถาให a เปนคําตอบของ 00 จะหาคา a ท่ีแนนอนไดหรือไม เพราะเหตุใด

………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….

5. จงหาคําตอบของ 50 โดยใชวิธีการหาคา y ท่ี 0 × y = 5

………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….

6. มีคําตอบของ 50 หรือไม เพราะเหตุใด

………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….

7. การหารจํานวนใด ๆ ดวย 0 เกิดปญหาอยางไรบาง ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….

ชวนคิดคณิตศาสตรชวนคิดคณิตศาสตร

ทําไมไมใช 0 เปนตัวหาร

ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู



6. บทสรุปสงทาย

1. การบวกจํานวนเต็ม

1.1 การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนเต็มบวก ท้ังสองมาบวกกัน ผลลัพธท่ีไดเปนจํานวนเต็มบวก

1.2 การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนเต็มบวก ท้ังสองมาบวกกัน ผลลัพธท่ีไดเปนจํานวนเต็มบวก

1.3 การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ หรือ การบวกจํานวนเต็มลบดวย จํานวนเต็มบวก

1) ในกรณีท่ีจํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนท่ีมากกวาเปนตัวต้ัง แลวลบดวยคาสัมบูรณของจํานวนท่ีนอยกวา ผลลัพธท่ีไดเปนจํานวนเต็มบวก

2) ในกรณีท่ีจํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนท่ีมากกวาเปนตัวต้ัง แลวลบดวยคาสัมบูรณของจํานวนท่ีนอยกวา ผลลัพธท่ีไดเปนจํานวนเต็มลบ

2. การลบจํานวนเต็ม ใหใชสมบัติท่ีวา ถา a และ b เปนจํานวนใด ๆ แลว

a – b = a + (-b)



1. สามเหล่ียมกล

1. จงเติม -7, -5, -3, -1, 1 และ 3 ลงในชองส่ีเหล่ียมโดยไมซํ้ากันเพ่ือทําใหผลบวกของจํานวนเต็มสามจํานวนท่ีอยูในแนวเสนตรงเดียวกัน มีผลบวกเทากันท้ังสามแนว 2. ตรวจสอบกับเพ่ือน ๆ วาไดคําตอบเหมือนกันหรือไม

2. วงลอกล

จงเติม -6, -3, 0, 3, 6, 9 และ 12 ลงใน โดยไมซํ้ากัน เพ่ือทําใหผลบวกของจํานวนเต็มสามจํานวนท่ีอยูในแนวเสนตรงเดียวกัน มีผลบวกเทากันท้ังสามแนว


สามเหลี่ยมกลปะทะวงลอกล




ขอตกลง ใหนักเรียนเติมจํานวนเต็มใน ใหถูกตอง เม่ือกําหนดใหจํานวนท่ีอยูในสดมภท่ีหนึ่งเปนตัวต้ัง และจํานวนท่ีอยูในแถวท่ีหนึ่งเปนตัวบวก หรือตัวลบ

+ 0 -3 4

5 5 2 9

-1

-1 -4 3

-3 -2

- 5

-1 1

-6 -4

-1

-1 -5

ชวนชวนคิดคณิตศาสตรคิดคณิตศาสตร

ปริศนาจํานวนเต็ม ภาค 1




6. บทสรุปสงทาย (ตอ)

3. การคูณจํานวนเต็ม 3.1 การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก จะไดผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก 3.2 การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ หรือ การคูณจํานวนเต็มลบดวย

จํานวนเต็มบวก จะไดผลลัพธเปนจํานวนเต็มลบ 3.3 การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ จะไดผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก

4. การหารจํานวนเต็ม มีหลักการดังน้ี 4.1 การหารจํานวนเต็ม เม่ือตัวต้ังและตัวหารเปนจํานวนเต็มบวกท้ังคู ผลลัพธท่ีไดเปน

จํานวนเต็มบวก 4.2 การหารจํานวนเต็ม เม่ือตัวต้ังหรือตัวหารตัวใดตัวหนึ่งเปนจํานวนเต็มลบ โดยท่ี

จํานวนอีกจํานวนหน่ึงเปนจํานวนเต็มบวก ผลลัพธท่ีไดเปนจํานวนเต็มลบ 4.3 การหารจํานวนเต็ม เม่ือตัวต้ังและตัวหารเปนจํานวนเต็มลบท้ังคู ผลลัพธท่ีไดเปน

จํานวนเต็มบวก

**รูแลวหรือยัง?** เม่ือโจทยมีวงเล็บตองทําตามลําดับความสําคัญดังนี้ คือ วงเล็บเล็ก วงเล็บปกกา และวงเล็บใหญ



ขอตกลง ใหนักเรียนเติมจํานวนเต็มใน ใหถูกตอง เม่ือกําหนดใหจํานวนท่ีอยูในสดมภท่ีหนึ่งเปนตัวต้ัง และจํานวนท่ีอยูในแถวท่ีหนึ่งเปนตัวคูณ หรือตัวหาร

× 4 -9 2

8 -8

-3 -12

35 -14

6 12

÷ 2 -2 -4

1

8

-2

2


ปริศนาจํานวนเต็ม ภาค 2 ตอนจบ


Documents

หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 ระบบจำนวนเต็ม