第 2 章轴向拉伸与压缩

本章主要研究：

拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算

§1 引言§2 轴力与轴力图§3 拉压杆的应力与圣维南原理§4 材料在拉伸与压缩时的力学性能§5 应力集中概念§6 许用应力与强度条件§7 胡克定律与拉压杆的变形§8 简单拉压静不定问题§9 连接部分的强度计算

§1 引 言

轴轴轴轴轴轴 轴轴轴轴轴轴轴轴

轴轴轴轴轴轴

火车车轮之间的连杆 火车车轮之间的连杆 火车车轮之间的连杆 火车车轮之间的连杆 火车车轮之间的连杆

火车车轮之间的连杆

轴轴轴轴轴轴轴轴

外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线轴向拉压 : 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式拉 压 杆 : 以轴向拉压为主要变形的杆件

§2 轴力与轴力图

轴轴 轴轴轴轴 轴轴轴 轴轴

轴轴

符号规定：拉力为正 ,压力为负

轴力定义：通过横截面形心并沿杆件轴线的内力

轴轴轴轴

试分析杆的轴力

F

FFF

12R

FF N1

段： AB

FF N20N2 FF

段： BC

要点：逐段分析轴力；设正法求轴力

（ F1=F， F2=2F）

轴力计算步骤 :

1. 由平衡方程计算约束反力 ;

2. 在需求轴力截面处 , 假想地将杆切开并取任一段为研究对象 ;

3. 对研究对象画受力图 , 包括外力及内力 , 并将内力朝正方向假设 ;

4. 由平衡方程求出未知轴力 .

外力分析

内力分析外力分析 内力分析

轴轴轴

轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴FN--x 图 轴 , 轴轴轴轴轴

以横坐标 x 表示横截面位置，以纵坐标 F

N 表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。

FF N1

FF N2

轴力轴力 ((图图 )) 的简便求法： 自左向右的简便求法： 自左向右 ::

轴力图的特点：突变值 = 集中载荷

遇到向左的 P， 轴力 FN 增量为正；

遇到向右的 P ， 轴力 FN 增量为负。

+

–3kN

5kN8kN

5kN8kN

3kN

轴力 = 截面一边所有外力的代数和外力指向截面为负，远离为正。

或

        

　

　

求图示阶梯轴各段内的轴力，并画轴力图。 求图示阶梯轴各段内的轴力，并画轴力图。

(1) 求约束反力

假设约束反力方向如图所示，由平衡方程

ΣX=0 ， -F-18+8+6= 0

例题例题例 题 例 题 11

拉伸与压缩拉伸与压缩

解：解：

F=-4 kN ( 与假设方向相反）

例题例题例 题 例 题 11

拉伸与压缩拉伸与压缩

（ 2 ）分段求内力

2-2 截面： ΣX=0 ， -F-18+N2= 0 ， N2=F+18=14 (kN)

1-1 截面： ΣX=0 ， -F+N1= 0， N1=F=-4(kN)

3-3 截面： ΣX=0 ， -N3+6= 0 ， N3=6 (kN)

例题例题例 题 例 题 11

拉伸与压缩拉伸与压缩

(3) 画轴力图

§轴力 N1 对应 AB 段

§轴力 N2 对应 BD 段

§轴力 N3 对应 DE 段

N1=-4(kN) N2=14 (kN)

N3=6 (kN)

轴力图从 0 开始，最后回到 0在轴力突变处有外力作用

轴轴

轴轴轴轴 BC , 横截面面积为 A , 材料密度为 ,画杆的轴力图，求最大轴力

轴轴 1. 轴力计算 gxAxF N

00N F

glAlF N

2. 轴力图与最大轴力

gxAxF N

轴轴轴轴轴轴

glAF maxN,

§3 拉压杆的应力与圣维南原理

拉压杆横截面上的应力 拉压杆斜截面上的应力 圣维南原理 例题

拉压杆横截面上的应力

横线仍为直线 仍垂直于杆轴 横线间距增大

1. 试验观察

A

FN

2. 假设变形后 , 横截面仍保持平面 , 仍与杆轴

垂直 , 仅沿杆轴相对平移–轴轴轴轴轴轴

3. 正应力公式横截面上各点处仅存在正应力，并沿横截面均匀分布

公式得到试验证实

　

　 已知已知 ACAC 段横截面面积 段横截面面积 AA11=7(cm=7(cm22))，， CECE 段横截面面积 段横截面面积

AA22=4(cm=4(cm22)) ，求图示阶梯轴各段内的应力。，求图示阶梯轴各段内的应力。

例题例题

例 题 例 题 33 拉伸与压缩拉伸与压缩

解：解：

)( 71.5)(1071.5

107

104

6

4

3

1

MPaPa

A

N ABAB

由轴力图可知轴上有四种不同的应力由轴力图可知轴上有四种不同的应力

)( 20107

10142

3

1

MPaA

NBCBC

)( 71.5107

1042

3

1

MPaA

N ABAB

或或

　

　

)( 15104

1062

3

2

MPaA

NDEDE

)( 35104

10142

3

2

MPaA

NCDCD

以上结果可知：以上结果可知： CDCD 段上的应力最段上的应力最大，破坏会出现在该段中。大，破坏会出现在该段中。

在应力计算时，力的单位用（在应力计算时，力的单位用（ NN ），），长度单位用（长度单位用（ mmmm ），则得到的应力单），则得到的应力单位为（位为（ MpaMpa ）。）。

例 题 例 题 33 拉伸与压缩拉伸与压缩

例题例题

横截面上的正应力均匀分布

横截面间的纤维变形相同

斜截面间的纤维变形相同

斜截面上的应力均匀分布

拉压杆斜截面上的应力

1. 斜截面应力分布

0cos

,0 FA

pFx

2. 斜截面应力计算

cos

cos0

AF

p

2

0coscos p

2sin2

sin 0p

20

45max

2

0cos 2sin2

0

00max

3. 最大应力分析

4. 正负符号规定 轴以 x 轴为始边，逆时针转向者为正 轴轴轴轴轴轴轴 On 轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴 轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴

最大正应力发生在杆件横截面上，其值为 0

最大切应力发生在杆件 45° 斜截面上 , 其值为 0/2

圣维南原理

杆端应力分布

圣维南原理

轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴1~2 轴轴轴轴轴轴轴 杆端镶入底座，横

向变形受阻，应力非均匀分布

应力均布区应力非均布区

应力非均布区

例 题

例 2-4 已知： F = 50 kN ， A = 400 mm2

试求：斜截面 m-m 上的应力

解： 1. 轴轴轴轴轴轴轴轴

FF N

400

1050 3N

0

A

F

A

F MPa 5.12

2. 轴轴轴 m-m 轴轴轴轴

50

50coscos 20

2050

001 sin

22 sin

200

50

MPa 5.120

MPa 51.6 50

MPa 61.650

轴 2-5 轴轴轴轴 a 向上起吊直杆 , 分析杆的轴力，并求最大正应力。横截面面积为 A, 材料密度为轴轴轴 1. 轴轴轴轴

)(N agxAxqF

2. 轴轴轴轴轴轴轴

)( agAlF

q

重力＋ 惯性力 ( 达朗贝尔原理 )

)(maxN aglAF ，

)(max agl

aAlgAlF

§4材料在拉伸与压缩时的力学性能

拉伸试验与应力－应变图 低碳钢的拉伸力学性能 其它材料的拉伸力学性能 材料压缩时的力学性能 温度对力学性能的影响

轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴

拉伸标准试样

GB/T 228-2002 《金属材料室温拉伸试验方法》

dldl 5 10 或

AlAl 65.5 3.11 或

拉伸试验

试验装置

例—拉伸破坏试验

拉伸试验与应力－应变图

AFF /

lll /

轴轴轴轴轴轴

轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴

滑移线

加载过程与力学特性 低碳钢 Q235

滑移线 缩颈与断裂

b- 强度极限 E = tan- 轴轴轴轴

p- 比例极限s- 屈服极限

卸载与再加载规律

p －塑性应变

e －弹性极限 e －弹性应变冷作硬化：由于预加塑性变形 , 使 e 或 p 提高的现象

材料的塑性

000 100

l

l

伸长率

l －试验段原长（标距）l0 －试验段残余变形

塑性 材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力

001 100

AAA

断面收缩率

塑性材料： ≥轴轴轴轴轴轴轴轴轴脆性材料： < 轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴

A －试验段横截面原面积A1 －断口的横截面面积

塑性与脆性材料

其它材料的拉伸力学性能

M

Pa

30 铬锰硅钢

50 钢

硬铝

塑性金属材料拉伸

0.2 －名义屈服极限

铸铁拉伸时的力学性质

铸铁拉伸时的 -曲线是一段微弯曲线，没有明显的直线部分，在较小的拉应力下即被拉断，没有屈服和缩颈现象，延伸率 δ 仅为（ 0.4-0.5） % ，是典型的脆性材料。铸铁拉伸时只能测得断裂时的强度极限 b 。

灰口铸铁拉伸

断口与轴线垂直

纤维增强复合材料拉伸

各向异性 线弹性 脆性材料

碳纤维 / 环氧树脂基体

单辉祖 -材料力学教程 44

低碳钢压缩试验

材料压缩时的力学性能

低碳钢压缩

ct EE csts )()( 愈压愈扁

铸铁压缩时的力学性质

铸铁压缩时的 -曲线与拉伸时相似，同样不存在屈服现象，而破坏断口与轴线大致成 45o 倾角，表明其破坏与最大切应力有关。压缩时的强度极限是拉伸时的 4 ～ 5 倍，说明铸铁的抗压强度远高于抗拉强度，因此铸铁常用作受压构件的材料。

灰口铸铁压缩

b)c= 3 ~ 4 (b)t 断口与轴线约成 45o

轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴

材料强度、轴轴轴轴随温度变化的关系

中炭钢 硬铝

§5应力集中概念

轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴 轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴 轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴

轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴

由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中

应力集中

应力集中因数

n

max

K

max －最大局部应力n －名义应力

)(n db

F

轴轴轴

轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴

随时间循环或交替变化的应力交变或循环应力

连杆

N －应力循环数

M

Pa

b

s

疲劳破坏

在交变应力作用下，材料或构件产生可见裂纹或完全断裂的现象，称为 疲劳破坏

在循环应力作用下，虽然小于强度极限，但经历应力的多次循环后，构件将产生可见裂纹或完全断裂

钢拉伸疲劳断裂

轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴

应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件 （塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大

对于塑性材料构件，当 max达到 s 后再增加载荷， 分布趋于均匀化，不影响构件静强度

对于脆性材料构件，当 max＝ b 时，构件断裂

§6 许用应力与强度条件

轴轴轴轴轴轴轴 轴向拉压轴轴轴轴 轴轴

轴轴轴轴轴轴轴

断裂与屈服，相应极限应力

脆性材料塑性材料

-

-

b

su

构件工作应力的最大容许值

nu][ n ≥ 1 安全因数

脆性材料

塑性材料

-][

-][

b

b

s

s

n

n

静荷失效

许用应力

轴向拉压强度条件

保证拉压杆不致因强度不够而破坏的条件

][max

Nmax

AF ][

max

Nmax

AF

][maxN, A

F ][maxN, A

F

校核强度 已知杆外力、 A 与轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴截面设计 已知杆外力与轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴

][maxN,

F

A

][][ N AF 确定承载能力 已知杆 A 与轴轴轴轴轴轴轴轴 FN,max

常见强度问题类型

强度条件

轴轴轴轴轴轴轴轴轴

轴轴轴轴轴轴

（（ 11 ）根据具体的工程结构及受力情况，确定构件）根据具体的工程结构及受力情况，确定构件所承受的所有外载荷。如果结构的载荷正是需确定所承受的所有外载荷。如果结构的载荷正是需确定的许可载荷，可以假设为一变量的许可载荷，可以假设为一变量 ------------ 外力分析外力分析；；

（（ 22 ）由构件的外力进而确定杆件的所有内力。）由构件的外力进而确定杆件的所有内力。此步骤中内力将会由外力来表示此步骤中内力将会由外力来表示 ------------ 内力分析内力分析；；

强度计算基本步骤：强度计算基本步骤：

（（ 33 ）计算最大工作应力）计算最大工作应力 ------------ 应力分析应力分析 ;;

（（ 44 ）根据应力及截面情况，由）根据应力及截面情况，由强度条件强度条件计算某计算某一类强度问题。 一类强度问题。

外力分析外力分析内力分析内力分析应力分析应力分析强度条件强度条件

轴轴

例 2-6 图示吊环，最大吊重 F = 500 kN ，许用应力[] =

120 MPa ，夹角 = 20° 。试确定斜杆的直径 d。

解： 1. 问题分析轴力分析应力分析根据强度条件确定直径

2. 轴力分析

0cos2 ,0 FFFy

cos2NFF 得：

2N

π4

dF

3. 应力计算

cosπ][2Fd][

cosπ22

dF

mm13.5320cos120

1050020

3

mm13.53 d取

4. 确定直径 d

cosπ22dF

例 2-7 已知： A1=A2=100 mm2， [t ]=200 MPa ，

[c ]=150 MPa

试求：载荷 F 的许用值－许用载荷 [F]

解： 1. 问题分析轴力分析应力分析根据强度条件确定许用载荷

2. 轴力分析0 ,0 yx FF由

)( 2N1 拉伸FF

)( N2 压缩FF

][2t

1

AF

kN 14.142

][ t1 A

F kN 0.15][ c2 AF

][ c2

A

F

kN 14.14][ F故

3. 应力分析

4. 确定 [F]

)( 211

N11 拉应力

AF

AF )(

22

N22 压应力

AF

AF

讨论：若 已知： A1， A2， [1 ] ， [2 ] ，

求载荷 F 的许用值时是否可以按下式计算

l 许可载荷应满足静力平衡条件，而与各杆力学性能无关l 各杆一般不同时达到各自的强度极限（除非等强度杆）l 结构许可载荷的含义是结构所能承受的最大安全载荷，到此载荷，结构中至少有一根杆件到达它自身的允许载荷

cos][cos][ 2211 AAF

不对。

例 2-8 已知： l, h, F（ 0 < x < l） , AC 为刚性梁 ,

斜撑杆 BD 的许用应力为 试求：为使杆 BD 重量最轻 , 的最佳值

斜撑杆

解： 1. 问题分析

有关均与、最小，而应使最小，故欲使而

, ,

BDBDBDBD

BDBDBDBDBDBD

AlAl

WAlVVW

2. 斜撑杆受力分析

cos ,0 N h

FxFM A

cosmaxN, hFlF

3. 轴轴轴轴确定

45 opt结论：

1sin2 应使最小，欲使 BDV

BDBD lAV min 2sin][2Fl

sincos][h

hFl

cos][ hFl

][maxN,

min F

A

例 2-9 图示立柱，承受轴向载荷 F 。立柱的材料密度为轴轴轴轴轴轴轴为使各横截面的应力均等于[], 试确定横截面沿立柱轴线的变化规律 .

? )(

][ )(

xA

x

求即：为使

立柱

0d][)d]([ xgAAAA

解： 取微段分析其受力与平衡

xg

AA

d][

d

Cxg

A ][

ln 通解：

][ 0

F

Ax 时，边界条件：

][e][

gxF

A得：

各横截面具有同样强度的立柱－等强度柱

§7 胡克定律与拉压杆的变形

轴轴轴轴轴轴轴轴轴 轴轴轴轴轴轴轴轴 轴轴轴轴 轴轴

轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴

实验表明：当 p 时，

引入比例常数 E

E

胡克定律

在比例极限内，正应力与正应变成正比－胡克定律在比例极限内，正应力与正应变成正比－胡克定律

E －弹性模量，其量纲与应力相同，常用单位为 GPa

MPa 10Pa 10GPa 1 39

GPa 220~200 E钢与合金钢： GPa 72~70 E铝合金：

轴向变形基本公式

AFN

ll

EAlF

l NEA

lFl N

EA － 杆截面的 拉压刚度 l － 伸长为正，缩短为

负

E

在比例极限内，拉压杆的轴向变形 l ，与轴力 FN 及杆长 l 成正比，与乘积 EA 成反比

在比例极限内，拉压杆的轴向变形 l ，与轴力 FN 及杆长 l 成正比，与乘积 EA 成反比

－胡克定律

轴向变形一般公式

)(d)(

)d( N

xEAxxF

l lx

xEAxF

l d)()(N

n

i ii

ii

AElF

l1

N

n － 杆段总数FNi － 杆段 i 的轴力

变截面变轴力杆

阶梯形杆

轴轴轴轴轴轴轴轴

拉压杆的横向变形

bbb 1bb

'

E

泊松比

试验表明 ：在比例极限内，’ 轴轴轴轴

' 轴轴轴轴 ) 5.00 (

E'

轴轴轴轴

算例

1.分段解法12N1 FFF

2N2 FF

EAlF

EAlF

l 2N21N1)( 分段解法

EAlF

EAllF

l 11212 )()( 分段解法

试分析杆 AC 的轴向变形 l

EA

lF

EA

lFF 22112 )(

EA

llFlF

)( 2122

2. 分解载荷法

EA

lFlF

111

21)( FF lll 分解载荷

3. 比较

分解载荷分段解法 )()( ll

EA

lF

EA

llF 11212 )(

EAlF

EAllF

l 11212 )()( 分段解法

叠加原理

当杆件内力、应力及变形，与外力成正比关系时，通常即可应用叠加原理

原理

应用

N1F

例题 用叠加法分析内力

21 N1,N1, FF FF 1F 2F

轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴

轴轴

例 2-10 已知 l = 54 mm, di = 15.3 mm, E＝ 200 GPa,

0.3, 拧紧后 , AB 段的轴向变形为 l ＝ 0.04 mm 。试求螺栓横截面上的正应力 轴轴轴轴轴轴轴轴 d 解： 1. 螺栓横截面正应力

4-10.417 ll

MPa 2.148 E

E

2. 螺栓横向变形

'

mm 0034.0i 'dd

螺栓直径缩小 0.0034 mm

44 1022.21041.73.0 '

解： 1. 轴力与变形分析

)( 2N1 拉伸FF

)( N2 压缩FF

EAlF

AElF

l 2211

1N11

22

2N22 AE

lFl

例 2-12 图示桁架，杆 1 与 2 分别用钢与松木制成。 F

= 10 kN； E1 = 200 GPa, A1 = 100 mm2, l1 = 1 m； E2 = 10

GPa, A2 = 4000 mm2 。试求节点 A 的水平与铅垂位移

)( 0.707mm21 伸长

EAFll

)( 0.177mm 缩短EAFl

2. 作图法确定节点新位置

3. 节点位移计算

)( Δ 22 lAAΔAx

5AAΔAy

用切线或垂线代替圆弧作图

)( 45cos 21 l

l

4. 讨论－小变形概念 与结构原尺寸相比为很小的变形，称为小变形 在小变形条件下，通常即可： 按结构原有几何形状与尺寸，计算约束力与内力

采用切线代圆弧的方法确定节点位移

0.707mm1l

0.177mm2l mm 7072l

mm 10001l

例 2-13 F1 = F2 / 2 = F ，求截面 A 的位移 Ay

解： 1. 计算 FN

FFF

F 830sin

2 21N

030sin2 ,0 N21 lFlFlFM B

刚体EA

2. 计算 l

EAlF

l CDN

4. 位移计算 2CC'AA'ΔAy 60cos

2 l 3

64EAFl

3. 画变形图EAFl

361

刚体EA

FF 8N

EA

lF 60sin 8

§8 简单拉压静不定问题

轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴 轴轴轴轴轴轴轴 轴轴

轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴

静不定问题 仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题

静不定度 未知力数与有效平衡方程数之差

静定问题 仅由平衡方程即可确定全部未知力（约束反力与内力）的问题

一度静不定静定问题

轴轴轴轴轴轴轴

分析方法求解思路 建立平衡方程 建立补充方程

各杆的变形间满足一定关系

0),,( 321 lllf 0),,( N3N2N1 FFFF

)3,2,1( ~ N iFl ii 补充方程

变形协调方程

联立求解

利用变形协调方程与物理方程，建立补充方程利用变形协调方程与物理方程，建立补充方程

平衡方程0sinsin N1N2 FF

0coscos N3N2N1 FFFF 变形几何关系

cos31 ll 胡克定律

11

1N11 AE

lFl

33

1N33

cosAE

lFl

补充方程

N32

33

11N1 cos F

AEAE

F ＝

－变形协调方程

E1A1= E2A2

求解算例

联立求解平衡与补充方程

3

11

33

2

N2N1

cos2

cos

AEAEF

FF3

33

11N3

cos21AEAEF

F

综合考虑三方面 外力与 FNi 满足静力平衡方程 各 li 之间满足变形协调方程 li 与 FNi 间满足给定物理关系（例如轴轴轴轴）

（静力、几何与物理）（静力、几何与物理）

静不定问题求解与内力的特点

内力分配与杆件刚度有关 一般讲， EiAi ， FNi

内力特点：

轴轴

例 2-14 求两端固定杆的支反力

解： (a) 0 ,0 BxAxx FFFF

2. 几何方面 0 CBAC ll

4. 建立补充方程 (b) 021 lFlF BxAx

5. 支反力计算 联立求解平衡方程 (a) 与补充方程(b)

21

2

llFl

FAx

21

1

llFl

FBx

3. 物理方面EA

lFEA

lFl Ax

AC11N1

EAlF

EAlF

l BxCB

22N2 )(

一度静不定

1. 静力学方面

解： 1. 画变形与受力图

注意受力图与变形图协调： 伸长～拉力；缩短～压力

例 2-15 已知： F = 50 kN 轴 t = 160 MPa， c = 120

Mpa， A1= A2 。试问： A1=? A2=?

02)(2

,0 N2N1 lFFlFM B

2.建立平衡方程

3.建立补充方程CC'l 22 12 22 ll

1

N11

2EA

lFl

2

N22 EA

lFl

N1N2 4FF

5. 截面设计

N 1059.4128

284 4

N1N2 F

FF ＝＝

][ t

N11

FA

][ c

N22

FA

221 mm 383 AA结论：

4. 内力计算

N1N2

N2N1

4

02)(2

FF

lFFlF

联立求解平衡方程与补充方程

拉力 N1F

压力 N2F

2mm 7.71

2mm 383

例 2-16 试画图示静不定桁架的变形图与受力图，建立变形协调方程。

解： 1. 画变形图，建立变形协调方程 设节点 C 位移至 ，过 点向三杆作垂

线。C' C'

2. 根据变形图画受力图

45cos45cos 213 lll

Tll T

解：

EAlF

Tll lR

TEA

Fl R

T

例 2-17 图示两端固定杆，试分析当温度升高 T 时，横截面上的应力 T 。已知材料的线膨胀系数为 l。

TEAF l R

在静不定杆系结构中 , 各杆段或各杆的轴向变形必须服从变形协调条件 , 温度变化一般将引起应力 , 称为热应力

在静不定杆系结构中 , 各杆段或各杆的轴向变形必须服从变形协调条件 , 温度变化一般将引起应力 , 称为热应力

0R EA

lFTll

变形协调条件温度变形

例 2-18 图示桁架 ,结构左右对称 , 杆 3 的实际长度比设计长度 l稍短，误差为轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴杆 3 各截面的拉压刚度均为 EA 轴

解： 画变形图 画受力图 建立平衡与补充方程1. 建立平衡方程

(a) 0sinsin ,0 21 NNx FFF

(b) 0coscos ,0 213 NNNy FFFF

21 NN FF (c) 0cos2 13 NN FF

2. 建立补充方程

21 NN FF

由几何关系，得变形协调方程

cos1

3

ll )(

cos

1

cos11

N1

33

3 dAE

lF

AE

lFN

联立方程（ c ）和（ d ）得

3

33

11

211

N2N1

cos3

1

cos

AEAE

AE

lFF

3

33

11

311

N3

cos3

1

cos2

AEAE

AE

lF

3. 轴力计算

在静不定杆系结构中 , 各杆或各杆段的轴向变形必须服从变形协调条件 , 杆长制造误差一般将引起应力 , 称为初应力

在静不定杆系结构中 , 各杆或各杆段的轴向变形必须服从变形协调条件 , 杆长制造误差一般将引起应力 , 称为初应力

(c) 0cos2 13 NN FF

§9 连接部分的强度计算

连接实例 受力特点和变形分析 剪切与剪切强度条件 挤压与挤压强度条件 例题

连接实例

耳片

销钉螺栓

4 种常见联结件：螺栓、销钉、铆钉、键块

在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如：螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。

99

连接件特点

可传递一般 力，可拆卸。P

P

螺栓

PP

铆钉

可传递一般 力，不可拆卸。如桥梁桁架结点处于它连接。

无间隙

特点：传递扭矩。

受力特点和变形分析

简单典型 —— 1个螺栓、 2个被联接的构件

先研究螺栓的受力情况

螺栓受力特点

1、 横截面 mn, pq 上 有作用力 V ——

象剪刀一样，试图把螺栓从该截面处剪开 称 V 为剪力 ，引起切应力

2、杆段①、②、③ 受到被联接构件的挤压 引起挤压应力

基于螺栓的受力分析，容易预测出螺栓可能的失效形式 （ 1 ）在截面 mn, pq 处被剪断 （ 2 “ ”）受挤压部分的半圆被 挤扁 （近似半椭圆）

照片中的螺栓产生了塑性变形，验证了情况 (2)

还应当研究被联接构件有没有新的受力特点

被联接构件受力特点

1、 没有受剪力作用

2、同螺栓杆段①、②、③ 对应半圆孔受到螺栓挤压， 有可能导致变形过大而失效（变成近似椭圆孔）

3、螺栓挤压，有可能把被联接构件端部豁开 （一般将端部设计得充分长，抵御豁开力，因而对此 不计算）

n n

（合力）

（合力）P

P

综述连接处破坏三种形式： ①剪切破坏 沿铆钉的剪切面剪断，如 沿 n– n 面剪断 。 ②挤压破坏 铆钉与钢板在相互接触面 上因挤压而使溃压连接松动， 发生破坏。 ③拉伸破坏

Pn n

Fs

剪切面

钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。

一、 剪切的概念一、 剪切的概念• 受力特点：大小相同，方向相反，作用线很近的

一对力作用在杆件的两侧。• 变形特点：上下两部分沿这一对力之间的横截面

发生相对错动，该截面称为“剪切面”。• 破坏特点：构件沿剪切面被剪断。

剪切与剪切强度条件

n n

（合力）

（合力）P

P

剪切面：构件将发生相互的错动面，如 n– n 。

剪切面上的内力：

内力 — 剪力 Fs ，其作用线

与剪切面平行。P

n nFs

剪切面

单剪：具有一个剪切面的剪切变形。

双剪：具有二个剪切面的剪切变形。

1 、剪切内力：剪力 Fs

• 剪力的计算，可以剪力的计算，可以由截面法求得由截面法求得

s

s

A

Fτ

二、剪切的实用计算二、剪切的实用计算

AAss 剪切面面积剪切面面积

(( 确定剪切面是计算确定剪切面是计算 ττ 的关的关键键 ))

2、剪切面上的应力：切应力 s

假设：剪切面上的切应力均匀分布

s

s

A

F

一般取一般取 [[]=(0.6-0.8)[σ]]=(0.6-0.8)[σ]

由抗剪强度条件也有三种强度计算问题：由抗剪强度条件也有三种强度计算问题：

• 强度校核强度校核

• 截面设计截面设计

• 确定许可载荷确定许可载荷

三、剪切强度条件三、剪切强度条件

轴轴轴轴轴

挤压与挤压强度条件

挤压破坏－在接触区的局部范围内，产生显著塑性变形

挤压应力－挤压面上的应力

耳片 销钉挤压面－连接件与被联接之间的接触面

轴轴轴轴

][ bsbs 挤压强度条件

最大挤压应力

Abs ： 挤压面面积bs

bbs A

F

一般取 [bs] =(1.7-2.0)[σ]

[bs] - 许用挤压应力三种强度计算三种强度计算 ::

• 强度校核强度校核• 截面设计截面设计• 确定许可载荷确定许可载荷

当 Abs 为柱面时，以直径面计算

当 Abs 为平面时，以平面面积计算

轴轴

例 2-19 已知 = 2 mm, b =15 mm , d =4 mm, [=100 MPa, [bs ]=300 MPa， []=160 MPa 。试求许用载荷 [F]

解： 1. 破坏形式分析

2. 确定许用载荷 [F]

][π

42

d

F

kN 257.14

][π 2

dF

][ bsbs

d

F

kN 40.2][ bs dF

][)(max

db

FkN 52.3][)( dbF

kN 257.1][ F结论：

例 2-20 F = 80 kN, = 10 mm, b = 80 mm, d = 16 mm,

[] = 100 MPa, [bs ] = 300 MPa, [] = 160 Mpa, 校核接头的强度

解： 1. 接头受力分析

当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影，通过铆钉群剪切面形心时，通常即认为各铆钉剪切面上的剪力相等

4S

FF

][MPa 5.99ππ

422

S d

F

d

F

][MPa 125 bsSb

bs

d

F

d

F

][MPa 125)(1

N11

db

F

A

F

][MPa 125)2(4

3

2

N22

db

F

A

F

2. 强度校核

剪切强度：

挤压强度：

拉伸强度：

接头的强度足够

例 2-21 已知： FN，轴 b 轴 h1 轴 l

试求：剪切与挤压应力

为简化计算，设挤压面为光滑接触，同时，保险螺栓的受力也忽略不计

解： 1. 受力分析

0

//

b

Nb

'F

FF

故因

故二者必共线二力平衡与

Nb FF

Nb FF

cos1

bbh

A

2. 挤压与切应力分析

1

N

b

bbs

cosbh

FAF

面挤压面－bc

cosNS FFF

blA S

bl

F

A

F cosN

S

S

面剪切面－ab

例 题 例 题 2222

例题例题剪 切剪 切

冲床的最大冲力冲床的最大冲力 PP为为400400（（ kNkN ），冲头材料的许），冲头材料的许用压应力用压应力 [[σσ]=440]=440（（ MPaMPa ），），钢板的抗剪强度极限钢板的抗剪强度极限 ττbb = 360 = 360

（（ MPaMPa ）。试确定：（）。试确定：（ 11 ））该冲床能冲剪的最小孔径；该冲床能冲剪的最小孔径；（（ 22 ）该冲床能冲剪的钢板最）该冲床能冲剪的钢板最大厚度大厚度 δδ 。 。

例 题 例 题 2222

例题例题剪 切剪 切

解：解：（（ 11 ）确定最小孔径 ）确定最小孔径 为了冲头正常工作，必须满为了冲头正常工作，必须满足冲头的压缩强度条件，即 足冲头的压缩强度条件，即

4

2d

P

mmP

d 34440

104004

][

4 3

故该冲床能冲剪的最小孔径为故该冲床能冲剪的最小孔径为 3434（（ mmmm ）。）。

例 题 例 题 2222

例题例题剪 切剪 切

（（ 22 ）确定冲头能冲剪的钢板最大厚度）确定冲头能冲剪的钢板最大厚度 δδ

bj

j A

Q

bbj dAQ

PQ

故该冲床能冲剪的钢板最大厚度为故该冲床能冲剪的钢板最大厚度为10.4mm10.4mm 。。

mmd

P

b

4.1036034

10400

3

例 题 例 题 44

例题例题剪 切剪 切

安安

全全

销销

确定安全销的剪切面和挤压面 确定安全销的剪切面和挤压面

确定确定 QQ 的大小 的大小

例 题 例 题 55

例题例题剪 切剪 切

轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴轴

∑∑MMoo=0=0 Md

P 2 d

MP

2 键键

确定键的剪切面和挤压面 确定键的剪切面和挤压面

例 题 例 题 66

例题例题剪 切剪 切

夹板铆钉联接，如何确定剪切面数？夹板铆钉联接，如何确定剪切面数？

题 图示螺钉受拉力 P 作用，已知材料的剪切许用应力 [] 与拉伸许用应力 [] 的关系为 []=0.6[] ，试求螺钉直径 d 与钉头高度 h 的合理比值。

题 一螺栓将拉杆与厚为 8 mm 的两块盖板相联接，如图所示，各零件材料相同，许用应力均为 []=80 MPa， []=60 MPa，

[bs]=160 MPa 。若拉杆的厚度 t=15 mm ，拉力 P=120 kN ，试

确定螺栓直径 d 及拉杆宽度 b 。

PP/2

P/2t

d

PP b

算 例

例 题

外载集度 p=2MPa, 角钢厚 t=12mm, 长 L=150mm, 宽 b=60mm ，螺栓直径 d=15mm. 求螺栓名义切应力 和螺栓与角钢间的名义挤压应力（忽略角钢与工字 钢之间的摩擦力） 解：（ 1 ）角钢承受的总载荷

pbLF

22

pbLFFs

（ 2 ）每个螺栓的剪力

（ 3 ）螺栓所受的名义切应力

)(96.50

015.014.3

15.006.00.222

4/

2/222

MPa

d

pbL

d

pbL

A

F

s

s

22

pbLFFb

4 ）单个螺栓与角钢 间的挤压力

（ 5 ）螺栓与角钢间的名义挤压应力

)(50

015.0012.02

15.006.00.2

2

2/

MPa

td

pbL

td

pbL

A

F

bs

bbs

本章习题2-1(b)(c),4,7 + 补充题2-13,14,15,16

2-20,22,23,24

2-28(a),29,30,31(a)

2-35,36,38,39

2-17,18,25(b)

求图示各杆指定截面的轴力，并作轴力图。

FR

40kN 50kN 25kN20kN1

12

2

3

3

4

4

（a）

44FR FN4 40kN 3FR FN3

25kN 20kN

2

2FN2 20kN1

1FN1

解：

FR=5kN

FN4=FR=5 kNFN3=FR+40=45 kN

FN2=-25+20=-5 kN FN1=20kN

45kN

5kN20kN

5kN

图示一阶梯形截面杆，其弹性模量E=200GPa，截面面积AI=300mm2， AII=250mm2,AIII=200mm2。试求每段杆的内力、应力、应变、伸长及全杆的总伸长并画轴力图。

图示一阶梯形截面杆，其弹性模量E=200GPa，截面面积AI=300mm2， AII=250mm2,AIII=200mm2。试求每段杆的内力、应力、应变、伸长及全杆的总伸长并画轴力图。

15kN

1m 2m

10kN 25kN 30kN

1.5mⅢⅠ Ⅱ

15kN

1m 2m

10kN 25kN 30kN

1.5mⅢⅠ Ⅱ

解：

1 30kN ,N

31

1 61

30 10100MPa

300 10

N

A

631

1 9

100 100.5 10 0.05%

200 10E

3

1 1 1 0.5 10 1 0.05mml l

FN1

FN1

补充习题1 、求图示各杆指定截面的

轴力，并作轴力图。

FR

40kN 50kN 25kN20kN1

12

2

3

3

4

4

（a）

44FR FN4 40kN 3FR FN3

25kN 20kN

2

2FN2 20kN1

1FN1

解：

FR=5kN

FN4=FR=5 kNFN3=FR+40=45 kN

FN2=-25+20=-5 kN FN1=20kN

45kN

5kN20kN

5kN

2、图示一阶梯形截面杆，其弹性模量E=200GPa，截面面积AI=300mm2， AII=250mm2,AIII=200mm2。试求每段杆的内力、应力、应变、伸长及全杆的总伸长并画轴力图。

2、图示一阶梯形截面杆，其弹性模量E=200GPa，截面面积AI=300mm2， AII=250mm2,AIII=200mm2。试求每段杆的内力、应力、应变、伸长及全杆的总伸长并画轴力图。

15kN

1m 2m

10kN 25kN 30kN

1.5mⅢⅠ Ⅱ

15kN

1m 2m

10kN 25kN 30kN

1.5mⅢⅠ Ⅱ

解：

1 30kN ,N

31

1 61

30 10100MPa

300 10

N

A

631

1 9

100 100.5 10 0.05%

200 10E

3

1 1 1 0.5 10 1 0.05mml l

FN1

FN1

3 ．如图所示，构件中 D＝ 2d＝ 32mm ， h＝ 12mm ；拉杆材料的许用拉应力〔 σ 〕＝ 120MPa；〔 τ 〕＝ 70MPa；〔 σbs 〕＝170MPa 。试计算拉杆的许可载荷F 。

3 ．如图所示，构件中 D＝ 2d＝ 32mm ， h＝ 12mm ；拉杆材料的许用拉应力〔 σ 〕＝ 120MPa；〔 τ 〕＝ 70MPa；〔 σbs 〕＝170MPa 。试计算拉杆的许可载荷F 。

1. 求图示各杆指定截面的轴力，并作轴力图。

FR

40kN 50kN 25kN20kN1

12

2

3

3

4

4

（a）

44FR FN4 40kN 3FR FN3

25kN 20kN

2

2FN2 20kN1

1FN1

解：

FR=5kN

FN4=FR=5 kNFN3=FR+40=45 kN

FN2=-25+20=-5 kN FN1=20kN

45kN

5kN20kN

5kN

单辉祖 -材料力学教程

15kN

1m 2m

10kN 25kN 30kN

1.5mⅢⅠ Ⅱ

15kN

1m 2m

10kN 25kN 30kN

1.5mⅢⅠ Ⅱ

解：

1 30kN ,N

31

1 61

30 10100MPa

300 10

N

A

631

1 9

100 100.5 10 0.05%

200 10E

3

1 1 1 0.5 10 1 0.05mml l

FN1

FN1

2 15kN ,N 3

22 6

2

15 1060MPa

250 10

N

A

6

322 9

60 100.3 10 0.03%

200 10E

3

2 2 2 0.3 10 1.5 0.45mml l

3 25kN ,N 3

33 6

3

25 10125MPa

200 10

N

A

633

3 9

125 100.625 10 0.0625%

200 10E

33 3 3 0.625 10 2 1.25mml l

3 1 2 3 0.5 0.45 1.25 2.2mml l l l

FN2

FN2

FN3

FN3

2. 图示一阶梯形截面杆，其弹性模量 E=200GPa，截面面积AI=300mm2， AII=250mm2,AIII=200mm2。试求每段杆的内力、应力、应变、伸长及全杆的总伸长。

2. 图示一阶梯形截面杆，其弹性模量 E=200GPa，截面面积AI=300mm2， AII=250mm2,AIII=200mm2。试求每段杆的内力、应力、应变、伸长及全杆的总伸长。

单辉祖 -材料力学教程

NF

A

2d

A

FQ

jy

jy

jy

F

A

4

)22 d－D（4

)1632 22－（

3 ．如图 2-2-10 所示，构件中 D＝ 2d＝ 32mm ， h＝12mm ；拉杆材料的许用拉应力〔 σ 〕＝ 120MPa；〔 τ 〕＝70MPa；〔 σbs 〕＝ 170MPa 。试计算拉杆的许可载荷 F 。

3 ．如图 2-2-10 所示，构件中 D＝ 2d＝ 32mm ， h＝12mm ；拉杆材料的许用拉应力〔 σ 〕＝ 120MPa；〔 τ 〕＝70MPa；〔 σbs 〕＝ 170MPa 。试计算拉杆的许可载荷 F 。

图 2-2-10参考答案：解：由拉强度条

件 σ=

图 2-2-10参考答案：解：由拉强度条

件 σ= ≤[σ] ，得 FN≤[σ]A

代入已知得 F≤[σ]A＝ [σ]

≤[σ] ，得 FN≤[σ]A

代入已知得 F≤[σ]A＝ [σ]

/4＝ 120×3.14×162/4＝ 24115（ N ）由截面法可：拉杆的许可载荷 F＝ FN≤24115

N 。由剪切强度条件 τ ＝

/4＝ 120×3.14×162/4＝ 24115（ N ）由截面法可：拉杆的许可载荷 F＝ FN≤24115

N 。由剪切强度条件 τ ＝

＝＝

≤〔 σjy 〕，得 Fjy≤〔 σjy〕 Ajy

代入已知得 Fjy≤〔 σjy〕 Aj＝〔 σjy〕

≤〔 σjy 〕，得 Fjy≤〔 σjy〕 Ajy

代入已知得 Fjy≤〔 σjy〕 Aj＝〔 σjy〕

＝ 102489.6（ N ）拉杆的许可载荷 F＝ Fjy≤102489.6N 。为保证拉杆安全使用，应同时满足拉伸强度条件、剪切强度条件和挤压强度条件，所以取拉杆的许可载荷 F＝ FN≤24115 N。

＝ 102489.6（ N ）拉杆的许可载荷 F＝ Fjy≤102489.6N 。为保证拉杆安全使用，应同时满足拉伸强度条件、剪切强度条件和挤压强度条件，所以取拉杆的许可载荷 F＝ FN≤24115 N。

本章结束 ！

谢 谢 ！

上海第二工业大学机电工程学院 黄慧春

例 题 例 题 55

轴轴 例题例题剪 切剪 切

1.1. 计算键的受力计算键的受力

∑∑MMoo=0=0 Md

P 2 d

MP

2 键键

2.2.确定键的剪切面和挤压面确定键的剪切面和挤压面

例 2-18 图示桁架 ,结构左右对称 , 杆 3 比设计尺寸短轴轴轴轴轴轴轴轴轴试建立应力分析的平衡与补充方程。

解： 画变形图

cos1

3

ll

cos

1

cos11

N1

33

3

AE

lF

AE

lFN0cos2 N1N3 FF

画受力图 建立平衡与补充方程

在静不定杆系结构中 , 各杆或各杆段的轴向变形必须服从变形协调条件 , 杆长制造误差一般将引起应力 , 称为初应力

在静不定杆系结构中 , 各杆或各杆段的轴向变形必须服从变形协调条件 , 杆长制造误差一般将引起应力 , 称为初应力

轴轴轴轴轴轴轴轴轴

以耳片销钉连接为例介绍分析方法

][S A

F

剪切强度条件：

轴轴轴轴轴

假设：剪切面上的切应力均匀分布

剪切面

A

FS

切应力公式：

d

F

b

bs

][ bsbs

挤压强度条件

bs 轴轴轴轴轴轴

最大挤压应力

d： 数值上等于受压圆柱面在相应径向平面上的投影面积