Проблемы прочности', 2008, № 3 (для ...ipp.kiev.ua/jpp-full/2008/2008_3.pdf · PROBLEMS of STRENGTH International scientific & technical journal ... BORODACHEV

ÏÐÎÁËÅÌÛ

ÏÐÎ×ÍÎÑÒÈÌåæäóíàðîäíûé

íàó÷íî-òåõíè÷åñêèé æóðíàë

Îñíîâàí â èþëå 1969 ã.

¹ 3 (393) — 2008 ã.

Ó÷ðåäèòåëè: Íàöèîíàëüíàÿ àêàäåìèÿ íàóê ÓêðàèíûÈíñòèòóò ïðîáëåì ïðî÷íîñòè èì. Ã. Ñ. Ïèñàðåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû

(Ðåãèñòðàöèîííîå ñâèäåòåëüñòâî ñåðèÿ ÊÂ ¹ 129 îò 07. 10. 1993 ã.)

Èçäàòåëü: Èíñòèòóò ïðîáëåì ïðî÷íîñòè èì. Ã. Ñ. Ïèñàðåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû

Ðåäàêöèîííàÿ êîëëåãèÿ:

Â. Ò. Òðîùåíêî (ãëàâíûé ðåäàêòîð), Á. À. Ãðÿçíîâ, À. Ë. Êâèòêà, Á. È.

Êîâàëü÷óê, Ë. Â. Êðàâ÷óê, À. ß. Êðàñîâñêèé, Â. Â. Êðèâåíþê, À. À.

Ëåáåäåâ, Ï. Ï. Ëåïèõèí, Â. Â. Ìàòâååâ, Â. Ï. Íàóìåíêî, Ã. Â. Ñòåïàíîâ,

Â. À. Ñòðèæàëî (çàì. ãëàâíîãî ðåäàêòîðà), Â. Â. Õàð÷åíêî, Â. Ê. Õàð÷åíêî

(çàì. ãëàâíîãî ðåäàêòîðà), À. Ï. ßêîâëåâ

Ðåäàêöèîííûé ñîâåò:

Ñ. Âîäåíè÷àðîâ (Áîëãàðèÿ), À. Êàðïèíòåðè (Èòàëèÿ), Äæ. Ä. Ëàíäåñ

(ÑØÀ), Ý. Ìàõà (Ïîëüøà), Í. À. Ìàõóòîâ (Ðîññèÿ), Í. Ô. Ìîðîçîâ

(Ðîññèÿ), Þ. Ìóðàêàìè (ßïîíèÿ), Â. Íîâàöêèé (Ïîëüøà), Ã. Ïëþâèíàæ

(Ôðàíöèÿ), ß. Ïîêëóäà (×åõèÿ), Ð. Ñàíäåð (Èíäèÿ), Ñ. Ñåäìàê

(Ñåðáèÿ), Ë. Òîò (Âåíãðèÿ), Ä. Ôðàíñóà (Ôðàíöèÿ)

Ðåäàêöèÿ æóðíàëà «Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè»:

À. Î. Õîöÿíîâñêèé (îòâ. ñåêðåòàðü)

Â. Â. Íàóìåíêî (çàâ. ðåä.-èçä. îòäåëîì)

Ë. Á. Äåäóõ (âåä. ðåäàêòîð)

Í. Ì. Øèíêàðåíêî (êîððåêòîð)

Àäðåñ ðåäàêöèè: 01014, Êèåâ–14, óë. Òèìèðÿçåâñêàÿ, 2

Èíñòèòóò ïðîáëåì ïðî÷íîñòè èì. Ã. Ñ. Ïèñàðåíêî

Íàöèîíàëüíîé àêàäåìèè íàóê Óêðàèíû

Òåëåôîí: (044) 286 5657

Ôàêñ: (044) 286 1684

E-mail: <[email protected]>

Æóðíàë ïåðåâîäèòñÿ íà àíãëèéñêèé ÿçûê è èçäàåòñÿ ïîä íàçâàíèåì «Strength of Materials»ñ 1969 ã. èçäàòåëüñòâîì Plenum Publishing Corporation, ñ 2004 ã. Springer Science +Business Media, Inc.

© Èíñòèòóò ïðîáëåì ïðî÷íîñòè èì. Ã. Ñ. Ïèñàðåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû, 2008

PROBLEMS

of STRENGTHInternational

scientific & technical journal

founded in July 1969

No. 3 (393) — 2008

Founders: National Academy of Sciences of Ukraine

Pisarenko Institute of Problems of Strength, National Academy of Sciences

of Ukraine

Publisher: Pisarenko Institute of Problems of Strength, National Academy of Sciences

of Ukraine

Editorial board:

V. Ò. Òroshchenko (editor-in-chief), B. À. Gryaznov, V. Ê. Kharchenko (associate

editor), V. V. Kharchenko, B. I. Êîvàl’chuk, À. Ya. Krasovskii, L. V. Êràvchuk,

V. V. Êrivenyuk, À. L. Êvitka, À. À. Lebedev, P. P. Lepikhin, V. V. Ìàtvååv,

V. P. Nàumånkî, G. V. Ståpànîv, V. À. Strizhalo (associate editor), À. P. Yakovlev

Advisory board:

A. Carpinteri (Italy), D. Francois (France), J. D. Landes (USA), E. Macha

(Poland), N. À. Ìàkhutîv (Russia), N. F. Morozov (Russia), Y. Murakami

(Japan), W. Nowacki (Poland), G. Pluvinage (France), J. Pokluda (Czech

Republik), S. Sedmak (Serbia), R. Sunder (India), L. Toth (Hungary),

S. Vodenicharov (Bulgaria)

Editorial staff:

A. O. Khotsyanovskii, V. V. Naumenko,

L. B. Dedukh, N. M. Shinkarenko

Address: Pisarenko Institute of Problems of Strength

2, Timiryazevskaya str., Kiev, 01014, Ukraine

Telephone: (044) 286 5657

Fax: (044) 286 1684

E-mail: <[email protected]>

The Journal has been translated into English and published under the title Strength of

Materials since 1969 by Plenum Publishing Corporation, and since 2004 by Springer

Science + Business Media, Inc.

© Pisarenko Institute of Problems of Strength, National Academy of Sciences of Ukraine, 2008

Ñîäåðæàíèå

Íàó÷íî-òåõíè÷åñêèé ðàçäåë

ÌÀÒÂÅÅÂ Â. Â., ÁÎÂÑÓÍÎÂÑÊÈÉ Î. À. Ïðèáëèæåííîå àíàëèòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå

âèáðîäèàãíîñòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ óïðóãîãî òåëà ñ òðåùèíîé ïðè ñóáãàðìîíè÷åñêîì

ðåçîíàíñå. Ñîîáùåíèå 2. Ñèëüíûé ðåçîíàíñ ......................................................................... 5

ÌÀÍÅÂÈ× À. È., ÏÐÎÊÎÏÀËÎ Å. Ô. Óñòîé÷èâîñòü îðòîòðîïíûõ òîíêîñòåííûõ

öèëèíäðè÷åñêèõ îáîëî÷åê ïðè êðó÷åíèè. Ñîîáùåíèå 1. Òåîðèÿ ......................................... 17

ËÅÁÅÄÅÂ À. À., ØÂÅÖ Â. Ï. Îöåíêà ïîâðåæäåííîñòè êîíñòðóêöèîííûõ ñòàëåé ïî

ïàðàìåòðàì ðàññåÿíèÿ õàðàêòåðèñòèê òâåðäîñòè ìàòåðèàëîâ â íàãðóæåííîì è ðàçãðó-

æåííîì ñîñòîÿíèÿõ .................................................................................................................. 29

ÁÎÐÎÄÀ×ÅÂ Í. Ì., ÀÑÒÀÍÈÍ Â. Â. Ðåøåíèå ïðîñòðàíñòâåííîé çàäà÷è òåîðèè

óïðóãîñòè â ïåðåìåùåíèÿõ äëÿ èçîòðîïíîãî óïðóãîãî ñëîÿ ................................................ 38

ÑÒÅÏÀÍÎÂ Ã. Â., ÁÀÁÓÖÜÊÈÉ À. ²., ÌÀÌªªÂ ². À. Åêñïåðèìåíòàëüíà îö³íêà

âïëèâó ³ìïóëüñíîãî åëåêòðè÷íîãî ñòðóìó íà çàëèøêîâ³ íàïðóæåííÿ â ïîêðèòò³ Ti–

Al–Si–Ag .............................................................................................................................. 47

ÊÀÐÀ×ÓÍ Â. Â., ÊÀÞÊ ß. Ô., ÌÅËÜÍÈÊ Â. Í. Òðåõìåðíàÿ çàäà÷à äèíàìèêè ïîäâåñà

ïîïëàâêîâîãî ãèðîñêîïà ................................................................................................................ 53

ÈÃÍÀÒÎÂÈ× Ñ. Ð., ÇÀÊÈÅÂ È. Ì., ÁÎÐÈÑÎÂ Ä. È. Îöåíêà ñòðóêòóðíî-äåôîðìà-

öèîííîé íåîäíîðîäíîñòè òîíêîãî ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ ìàòåðèàëîâ ìåòîäîì öàðàïàíèÿ 70

ØÓËÜÃÈÍÎÂ Á. Ñ. Îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèè ïðè îïèñà-

íèè êðèâîé óñòàëîñòè ............................................................................................................... 82

ÂÎÐÎÁÜÅÂ Å. Â. Îñîáåííîñòè øåéêîîáðàçîâàíèÿ ïðè íèçêîòåìïåðàòóðíîé ïðåðû-

âèñòîé òåêó÷åñòè ìåòàëëîâ. Ñîîáùåíèå 1. Îñåñèììåòðè÷íàÿ äåôîðìàöèÿ ....................... 92

ÎÐÛÍßÊ È. Â., ÐÀÄ×ÅÍÊÎ Ñ. À. Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è Áðàçüå äëÿ òîíêî-

ñòåííûõ òðóá ñ íà÷àëüíûì íåñîâåðøåíñòâîì ôîðìû ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ïðè äåéñòâèè

äàâëåíèÿ .................................................................................................................................... 100

Ï²ÍßÊ ². Ñ. Åìï³ðè÷íèé ðîçðàõóíîê øâèäêîñò³ ðîñòó âòîìíî¿ ìàêðîòð³ùèíè â óìîâàõ

ïðóæíî-ïëàñòè÷íîãî ñòàíó ìàòåð³àëó ó ¿¿ â³ñòð³ çà øèðîêîãî ä³àïàçîíó ä³¿ ð³çíèõ

÷èííèê³â .................................................................................................................................... 124

ÊÐÀÑÍÞÊ Ï. Ï. Òåðìîóïðóãàÿ êîíòàêòíàÿ çàäà÷à äëÿ ñëîÿ, âçàèìîäåéñòâóþùåãî ñ

æåñòêèì îñíîâàíèåì ïðè íåñòàöèîíàðíîì ôðèêöèîííîì òåïëîâûäåëåíèè ....................... 132

Õðîíèêà

ËÈÏÎÄÀÅÂ Â. Í. Æóðíàëó “Àâòîìàòè÷åñêàÿ ñâàðêà” – 60 ................................................ 152

Óòâåðæäåí ê ïå÷àòè ó÷åíûì ñîâåòîì ÈÏÏ èì. Ã. Ñ. Ïèñàðåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû.

Íîìåð ïîäãîòîâëåí, íàáðàí è ñâåðñòàí â ðåäàêöèè ÈÏÏ ÍÀÍ Óêðàèíû.

Îòïå÷àòàí â òèïîãðàôèè Èçäàòåëüñêîãî äîìà “Àêàäåìïåðèîäèêà”,

óë. Òåðåùåíêîâñêàÿ 4, 01004, Êèåâ-4. Çàêàç ¹ 2098.

Ïîäï. ê ïå÷àòè è â ñâåò 22. 04. 2008. Òèðàæ 370 ýêç. Öåíà äîãîâîðíàÿ.

Contents

Scientific and Technical Section

MATVEEV V. V. and BOVSUNOVSKII O. A. Approximated Analytical Determination of

Vibrodiagnostic Parameters of a Cracked Elastic Body under Subharmonic Resonance

Conditions. Part 1. Strong Resonance ........................................................................................ 5

MANEVICH A. I. and PROKOPALO E. F. Stability of Orthotropic Thin-Walled Cylindrical

Shells in Rotation. Part 1. Theory ............................................................................................... 17

LEBEDEV A. A. and SHVETS V. P. Damage Evaluation of Structural Steels by Scatter

Parameters of Hardness Characteristics of Materials in Loaded and Unloaded Conditions ....... 29

BORODACHEV N. M. and ASTANIN V. V. Solution of the Elastic Theory Spatial Problem

in Displacements for an Isotropic Elastic Layer ......................................................................... 38

STEPANOV G. V., BABUTSKII A. I., and MAMEEV I. A. Experimental Evaluation of the

Electric Current Pulse Effect on Residual Stresses in Ti–Al–Si–Ag Coating ............................ 47

KARACHUN V. V., KAYUK Ya. F., and MEL’NIK V. N. Three-Dimensional Dynamical

Problem of Float Gyroscope Suspension .................................................................................... 53

IGNATOVICH S. R., ZAKIEV I. M., and BORISOV D. I. Estimation of Structural/

Deformation Heterogeneity of a Thin Surface Layer of Materials by the Scratching

Technique ................................................................................................................................... 70

SHUL’GINOV B. S. Determination of the Exponential Function Parameters for Fatigue

Curve Description ....................................................................................................................... 82

VOROB’EV E. V. Particular Features of Neck Formation in Low-Temperature Discontinuous

Yielding of Metals. Part 1. Axisymmetric Deformation ............................................................. 92

ORYNYAK I. V. and RADCHENKO S. A. Analytical Solution of the Brazier Problem for

Thin-Walled Pipes with an Initial Cross-Sectional Malconformation Subjected to Pressure

Load ............................................................................................................................................ 100

PINYAK I. S. Empirical Calculation of Fatigue Macrocrack Propagation Rate with Elastic-

Plastic Material Conditions in Its Tip for a Wide Range of Factors and the Material Local

Resistance ................................................................................................................................... 124

KRASNYUK P. P. Thermoelastic Contact Problem for a Layer Interacting with a Rigid

Foundation for a Case of Nonstationary Frictional Heat Generation ........................................ 132

News Items

LIPODAEV V. N. 60 Years to the Journal “Automatic Welding” ............................................. 152

ÍÀÓ×ÍÎ-ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ

ÐÀÇÄÅË

ÓÄÊ 534.08;620.175.5

Ïðèáëèæåííîå àíàëèòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âèáðîäèàãíîñòè÷åñêèõ

ïàðàìåòðîâ óïðóãîãî òåëà ñ òðåùèíîé ïðè ñóáãàðìîíè÷åñêîì

ðåçîíàíñå. Ñîîáùåíèå 2. Ñèëüíûé ðåçîíàíñ

Â. Â. Ìàòâååâ, Î. À. Áîâñóíîâñêèé

Èíñòèòóò ïðîáëåì ïðî÷íîñòè èì. Ã. Ñ. Ïèñàðåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, Óêðàèíà

Ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðåäñòàâëåííîãî â ñîîáùåíèè 1 ïîäõîäà ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèáëèæåííûé

ðàñ÷åò ïàðàìåòðîâ êîëåáàòåëüíîãî ïðîöåññà óïðóãîãî òåëà ñ çàêðûâàþùåéñÿ òðåùèíîé â

îáëàñòè ñèëüíîãî ñóáãàðìîíè÷åñêîãî ðåçîíàíñà ïîðÿäêà 1/2, êîãäà àìïëèòóäà íèçøåé ãàðìî-

íèêè ñïåêòðà ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé áîëüøå îñíîâíîé àìïëèòóäû âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé.

Êëþ÷åâûå ñëîâà: íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ, ñóáãàðìîíè÷åñêèé ðåçîíàíñ, âèáðî-

äèàãíîñòèêà óñòàëîñòíîãî ïîâðåæäåíèÿ.

Ââåäåíèå. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàíåå [1] ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà ðàññìàò-

ðèâàåòñÿ ïðèáëèæåííûé ðàñ÷åò ïàðàìåòðîâ êîëåáàòåëüíîãî ïðîöåññà óïðó-

ãîãî òåëà ñ çàêðûâàþùåéñÿ òðåùèíîé â îáëàñòè ñèëüíîãî ñóáãàðìîíè÷åñ-

êîãî ðåçîíàíñà ïîðÿäêà 1/2, êîãäà àìïëèòóäà âîçíèêàþùèõ ñâîáîäíûõ êîëå-

áàíèé áîëüøå àìïëèòóäû îñíîâíûõ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé.

Ìåòîäèêà ðàñ÷åòà. Ïðåíåáðåãàÿ, êàê è ðàíåå [1], íåêîòîðûì ðàçëè÷èåì

ìåæäó ôîðìàìè êîëåáàíèé óïðóãîãî òåëà ñ òðåùèíîé íà ïîëóöèêëàõ ðàçíîãî

çíàêà, âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ýêâèâàëåíòíîé îäíîìàññîâîé íåëèíåéíîé

ñèñòåìû îïèñûâàþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì

d u

dth

du

dtu u q t

2

22

02 1 0 5 1� � � � �� [ , ( )] sin .sign (1)

Çäåñü � – ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà ðàññìàòðèâàåìîé ôîðìû êîëåáàíèé íåïî-

âðåæäåííîãî òåëà; � – ïàðàìåòð, èíòåãðàëüíî õàðàêòåðèçóþùèé îòíîñè-

òåëüíîå èçìåíåíèå æåñòêîñòè òåëà ïðè íàëè÷èè îòêðûòîé òðåùèíû,

��K K

K

ò, K Kò � , (2)

ãäå K – æåñòêîñòü íåïîâðåæäåííîãî òåëà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ æåñòêîñòè òåëà

ñ çàêðûâàþùåéñÿ òðåùèíîé (â äàííîì ñëó÷àå ïðè u�0); K ò – æåñòêîñòü

òåëà ïðè îòêðûòîé òðåùèíå (u0).

Cîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà òåëà ñ çàêðûâàþùåéñÿ òðåùèíîé ïðèíèìàåòñÿ

ðàâíîé [2]

© Â. Â. ÌÀÒÂÅÅÂ, Î. À. ÁÎÂÑÓÍÎÂÑÊÈÉ, 2008

ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2008, ¹ 3 5

��

��0

2 1

1 1�

�

� �. (3)

Ïîëàãàÿ, ÷òî ïðè � �2 0 êðîìå îñíîâíîé ãàðìîíèêè âûíóæäåííûõ

êîëåáàíèé âîçíèêàþò êîëåáàíèÿ ñî ñïåêòðîì ãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþùèõ

ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé, îïðåäåëåííûì ðàíåå àñèìïòîòè÷åñêèì ìåòîäîì íåëè-

íåéíîé ìåõàíèêè [3], ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) â îáëàñòè ñóáãàðìîíè÷åñêîãî

ðåçîíàíñà îòûñêèâàåì â âèäå [1]

u t A At

A t A nn( ) sin sin( ) cos/ /� � ��

�

�

�� 0 1 2 1 2 1 12

��

�t

n2 1 2

2 4

��

�

�

��

�

� �, ,...

, (4)

ãäå

A A0 1 2��

� / ; An

An

n

� ��

�( )

( )./1

2

12

1

2 2 1 2

�

�(5)

Äëÿ íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ À1 2/ è �1 2/ ñ èñïîëüçîâàíè-

åì ðàíåå [1] îïèñàííîãî ïîäõîäà ïîäñòàâèì ðåøåíèå (4) â óðàâíåíèå (1),

ïîòðåáîâàâ åãî âûïîëíåíèÿ â ìîìåíòû âðåìåíè ti , êîãäà çíàê ïåðåìåùåíèÿ

u ti( ), îïðåäåëÿþùèé çíà÷åíèå óïðóãîé õàðàêòåðèñòèêè, èçâåñòåí. Äëÿ ðàñ-

ñìàòðèâàåìîãî ñèëüíîãî ñóáãàðìîíè÷åñêîãî ðåçîíàíñà (A A1 2 1/ ) â êà÷åñòâå

òàêèõ ìîìåíòîâ âðåìåíè ïðèìåì:

� � � � � � �

� � � �

� � � � � � �

��

t t

t

1 1 2 2 1 2

1 1

2 2 2 2 2

2 2 2

/ /

/

; ( );

( 2 2 1 24 2 2); ( )./� � � �� t(6)

Ýòèì ìîìåíòàì (6) íà ãàðìîíèêå ñ ïîëîâèííîé ÷àñòîòîé âûíóæäåííûõ

êîëåáàíèé ñîîòâåòñòâóþò ïîêàçàííûå íà ðèñ. 1 òî÷êè �1 , ��1 , �2 , ��2 . Çíà÷åíèå

óãëà � â (6) ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþ A A1 2 1/ sin � è ìîæåò âûáèðàòüñÿ â

èíòåðâàëå � � �0 2� � , ãäå �0 îòâå÷àåò óñëîâèþ A A1 2 1/ sin �� .


6 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2008, ¹ 3

Ðèñ. 1. Îñíîâíûå ãàðìîíèêè êîëåáàòåëüíîãî ïðîöåññà.

Êàê âèäíî, ñîãëàñíî ïðèíÿòîìó çàêîíó èçìåíåíèÿ æåñòêîñòè òî÷êè �1 è

��1 , äëÿ êîòîðûõ u0, îïðåäåëÿþò çíà÷åíèå ÷àñòîòû ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé

( ) ,1 2�� òî÷êè �2 è ��2 – �2 (ðèñ. 1).

Ïîäñòàâëÿÿ ðåøåíèå (4) äëÿ âûáðàííûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè (6) â óðàâ-

íåíèå (1), ïîëó÷àåì äâå ïàðû èñõîäíûõ óðàâíåíèé:

( ) ( ) sin

( )

,

1 11

4

1

0

2

2

� � � ��

�

�

��

�

��

�

��

��

��

� ��

� ��

��A

n 4

21

2 2

22

11

1

4,... ( )

( ) cos� �

��

�

�

�

��

�

��

�

�� !

n

n

nn

�

��

�

��

! � ��

�

�

��

�

�

�

�

��

��

�

��

h n

nn

n

n2

21

2 42 2

12

1cos ( )

( )sin

, ,...

��

"#�

$�!

! � ��

�

�

��

�

��

�

�� !

A1 2

2

1 2 2

/

( ) [sin cos cos��

�� % � �

�

��

sin ]

[cos cos sin sin ]

%

% %

��

�

�"#$

�

�!

2 2 22 1

hA�

q

A

0

2 1 2 1 2

0

2 2 2 2 1 1

11

�� (sin cos cos sin ); ( ), ( )/ /! � ��

� �4

12

2

21

2 42

�

��

�

�

�

�

�

��

�

��

�

��

��

��

�

�

�sin ( )(, ,...

n

n n ��

�

�

�

��

�

��

�

��

� ��

�

11

1

4

1

2

2

22

1

)cos

cos ( )

nn

hn

n

�

��

�

��

�

�

2 42 2 1 2

2

1

1

, ,...

/( )

sin��

�

�

��

�

�

��

"#�

$�!

! ��

�

�

��

�

�

n

nn A

�

��

�

��

�

��

��

�! �

�

2

2

2 2

2 2

[sin cos cos sin ]

[cos

� � � �

�

�

% %

h� � � �

��

cos sin sin ]

(sin cos cos/

% %� 2

2 2 2

1

0

2 1 2

"#$

�

�! !

A

qsin ), ( ), ( )/2 2 21 2� � ��

�

�

��

��

(7)

ãäå

%� � �� 2 1 2 1/ . (8)

Äëÿ óäîáñòâà àíàëèçà óðàâíåíèÿ (7) äîïîëíèòåëüíî ïðîíóìåðîâàíû â ñîîò-

âåòñòâèè ñ îáîçíà÷åíèåì òî÷åê íà ðèñ. 1. Ïðè ýòîì âåðõíèå çíàêè îòíîñÿòñÿ

ê óðàâíåíèÿì ( �1), ( �2 ), íèæíèå – ê óðàâíåíèÿì ( ��1 ), ( ��2 ).

Ïðèáëèæåííîå àíàëèòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âèáðîäèàãíîñòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ...


Äëÿ óñðåäíåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé óãëà � â èíòåðâàëå åãî

âîçìîæíîãî èçìåíåíèÿ �0 ... � 2 çàìåíèì èõ ñðåäíèìè çíà÷åíèÿìè:

(sin )cos

; (sin )cos

;

(cos

��

� ��

�

� �

�

ñð ñð��

��

�

2

22

1 2

2

0

0

0

0

)( sin )

; (cos )sin

.ñð ñð��

��

�

�

2 1

22

2 2

2

0

0

0

0

�

� ��

�

� �

(9)

Ó÷èòûâàÿ ìàëîñòü àìïëèòóä âûñøèõ ãàðìîíèê (n2) ñïåêòðà ñâîáîä-

íûõ êîëåáàíèé, â óðàâíåíèÿõ (7) áóäåì ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå òîëüêî

âòîðóþ ãàðìîíèêó, àìïëèòóäà êîòîðîé ðàâíà 2 9� �. Òîãäà, ðàññìàòðèâàÿ

àëãåáðàè÷åñêóþ ñóììó óðàâíåíèé [( ) ( )] [( ) ( )],� � �� 1 1 2 2 íàõîäèì îòíîñè-

òåëüíóþ àìïëèòóäó íèçøåé ãàðìîíèêè A A A1 2 1 2 1/ /� :

A1 20

2

0

2 2

2 21

2

/

( sin )sin

( ) cos

��

� ��

�

�

��

�

��

�

��

� � �

��

��

%

� � � ��

��

2

0 02 0 22222 2 2[ , ( sin )]

, (10)

a àëãåáðàè÷åñêóþ ñóììó óðàâíåíèé [( ) ( )] [( ) ( )]� � � � �� 1 2 1 2 –

Ah1 2

0

0 2

1 2

4 1/

( cos )cos

( sin )

.��

�

� � �

��

�

%(11)

Ïðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ (10) è (11), ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ îïðåäåëå-

íèÿ ðàçíîñòè ñäâèãà ôàç (8):

tg%��

� ��

�

��

� �&

1 2

4 1 2 2

0

0 0 2

cos

( sin )( sin )h

& � ��

�

�

��

�

��

�

�� 2 2

1

22 0 22222 2

2

0

2

0( ) cos [ , (��

��

�

��

��

�

"#�

$�sin )] .2 0� (12)

Äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ïðèâåäåííûõ âûðàæåíèé íåîáõîäèìî çíàòü âåëè÷è-

íó �0 , óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ sin /�0 1 1 2 A A .

Ðàññìîòðèì ïðåäâàðèòåëüíî ïðèâåäåííûå âûðàæåíèÿ ïðè �0 0� :

A1 2 22

2

2 21

21141741

/

sin

( ) ,

c�

� ��

�

�

��

�

��

�

��

'� �

��

��

�% os;

%��

�2

2

h(13)



tg%�

��

��

�

�

�

� ��

�

�

��

�

��

�

��2 2

1

21141741

4

22

2

( ) ,

.h

(14)

Çàäàâøèñü çíà÷åíèÿìè � è h � ( �� 2 (( – ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðå-

ìåíò ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé), äëÿ ñëó÷àÿ íàñòðîåííîãî ñóáðåçîíàíñà � �� 4 1 1 1� �( ) ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóë (13), (14) îïðåäåëÿåì çíà÷å-

íèÿ %� è À1 2/ . Çíàÿ ïðèáëèæåííóþ âåëè÷èíó À1 2/ , îïðåäåëÿåì çíà÷åíèå

�0 1 21�arcsin( )/A è çàòåì îïÿòü íàõîäèì %� ñ ïîìîùüþ (12) è À1 2/ – ïî

(10) èëè (11). Äëÿ äàëüíåéøåãî óòî÷íåíèÿ çíà÷åíèÿ À1 2/ íåîáõîäèìî âíîâü

îïðåäåëèòü �0 èç óñëîâèÿ, ÷òî sin �0 ðàâåí íàéäåííîé âåëè÷èíå À1 2/ , è ò.ä.

Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà. Ðàñ÷åòíûå çàâèñèìîñòè îòíîñèòåëüíîé àìïëèòó-

äû À1 2/ ( ),� ïîëó÷åííûå ïî ôîðìóëàì (13), (14) ïðè � ��2 0 äëÿ ðàçëè÷íûõ

çíà÷åíèé ëîãàðèôìè÷åñêîãî äåêðåìåíòà êîëåáàíèé (, ïðèâåäåíû íà ðèñ. 2,

íà ðèñ. 3 – çàâèñèìîñòè À1 2/ ( )( äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà �. Â

êà÷åñòâå ïðèìåðà íà ðèñ. 2 äëÿ çíà÷åíèé (�0 01, è 0,005 øòðèõïóíêòèð-

íûìè ëèíèÿìè ïîêàçàíû çàâèñèìîñòè À1 2/ ( ),� ïîëó÷åííûå ñ èñïîëüçîâàíè-

åì (10) è (11) ïðè îïðåäåëåíèè âåëè÷èí �0 èç óñëîâèÿ �0 1 21arcsin( )/A .

Êàê âèäíî, íà ïðàêòèêå äîïóñòèìî èñïîëüçîâàòü âûðàæåíèÿ (13), ÷òî çíà÷è-

òåëüíî óïðîùàåò ðàñ÷åòû.

Ïðè îòíîøåíèè � (�10 îòíîñèòåëüíàÿ àìïëèòóäà À1 2/ îêàçûâàåòñÿ

ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà çíà÷åíèþ � ïðè äàííîé âåëè÷èíå ( è îáðàòíî



Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü îòíîñèòåëüíîé àìïëèòóäû íèçøåé ãàðìîíèêè À1 2/ îò ïàðàìåòðà �,

ïîëó÷åííàÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóë (13), (14) – ñïëîøíûå è øòðèõîâûå ëèíèè è (10), (11),

(12) ïðè îïðåäåëåíèè çíà÷åíèÿ �0 èç óñëîâèÿ sin arcsin( )/�0 1 21 A – øòðèõïóíêòèðíûå

ëèíèè, ïðè ÷àñòîòå âîçáóæäåíèÿ � �� 2 0 äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ëîãàðèôìè÷åñêîãî äåêðå-

ìåíòà êîëåáàíèé.

ïðîïîðöèîíàëüíà ( ïðè äàííîì �. Ýòè îáëàñòè çíà÷åíèé À1 2/ ïîêàçàíû íà

ðèñ. 2 ñïëîøíûìè ëèíèÿìè.

Àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ñëó÷àÿ íàñòðîåí-

íîãî ðåçîíàíñà ïðè çíà÷åíèÿõ � (�10 çàâèñèìîñòè A f1 2/ ( , )� � ( óäîâëå-

òâîðèòåëüíî îïèñûâàþòñÿ, êàê è â ñëó÷àå ñëàáîãî ðåçîíàíñà, åäèíîé ôîðìó-

ëîé

A1 2 2/ ��

((15)

ïðè òîì æå çíà÷åíèè êîýôôèöèåíòà ïðîïîðöèîíàëüíîñòè.

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îòíîñèòåëüíîé àìïëèòóäû íèçøåé ãàðìîíèêè À1 2/

ïðè ñóáãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå ïðèìåíèòåëüíî ê êîíêðåòíîìó ýëåìåíòó

êîíñòðóêöèè íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ïàðàìåòð �, êîòîðûé çàâèñèò îò âèäà,

îòíîñèòåëüíûõ ðàçìåðîâ è ìåñòîðàñïîëîæåíèÿ òðåùèíû íîðìàëüíîãî îòðû-

âà, îòíîñèòåëüíûõ ðàçìåðîâ è ôîðì êîëåáàíèé êîíñòðóêòèâíîãî ýëåìåíòà.

Íàïðèìåð, äëÿ ñòåðæíåé ïðÿìîóãîëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñ îäíîé

êðàåâîé ïîïåðå÷íîé òðåùèíîé ïàðàìåòð � îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå [4]

��

��

�

D h l x H

D h l x Í

( , ) ( )

( , ) ( ).

ò

ò

1

11

Çäåñü

D h l xbh S P x

S P x dx

l( , )

( )

( )

;òò�

)2

21

2

22 2

0

� H F d1 12

0

( ) ( ) ,� � � ��

�)



Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü îòíîñèòåëüíîé àìïëèòóäû íèçøåé ãàðìîíèêè À1 2/ îò âåëè÷èíû ëîãà-

ðèôìè÷åñêîãî äåêðåìåíòà êîëåáàíèé (, ïîëó÷åííàÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóë (13), (14) äëÿ

ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà �.

ãäå P x( ) – îñåâîå óñèëèå ïðè ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèÿõ è èçãèáàþùèé ìî-

ìåíò ïðè èçãèáíûõ êîëåáàíèÿõ ñòåðæíÿ; S 1 – ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ

ïðè ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèÿõ è îñåâîé ìîìåíò èíåðöèè ïðè èçãèáíûõ êîëå-

áàíèÿõ; S 2 – ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ïðè ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèÿõ è

îñåâîé ìîìåíò ñîïðîòèâëåíèÿ ïðè èçãèáíûõ êîëåáàíèÿõ; b è h – øèðèíà è

âûñîòà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ; l – äëèíà ñòåðæíÿ; õ ò – êîîðäèíàòà

ñå÷åíèÿ ñ òðåùèíîé; � – îòíîñèòåëüíàÿ ãëóáèíà òðåùèíû; F1( )� – áåçðàç-

ìåðíàÿ ôóíêöèÿ îòíîñèòåëüíîé ãëóáèíû òðåùèíû, âõîäÿùàÿ â âûðàæåíèÿ

äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòà èíòåíñèâíîñòè íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé.

Ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðèâåäåííûõ â [5] äàííûõ î ôóíêöèè F1( )� ïðè

ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèÿõ ïîëó÷èì

H12 3 4 50 6272 0 17248 5 92134 10 70538 31 5( ) , , , , ,� � � � �� 6845 6� �

� � � �67 47602 139 12342 146 6824 92 355217 8 9 10, , , , ,� � � �

ïðè èçãèáíûõ –

H12 3 4 5 60 6295 1 0472 4 602 9 9752 20 2948( ) , , , , ,� � � � � ��

� � � �32 9933 47 0408 40 6933 19 67 8 9 10, , , , .� � � �

Çíà÷åíèå ôóíêöèè D h l x( , )ò çàâèñèò îò îòíîñèòåëüíîé âûñîòû ïîïå-

ðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ (h l), ìåñòîðàñïîëîæåíèÿ òðåùèíû (õ ò ), ôîðìû

êîëåáàíèé (i) ñòåðæíÿ, è, íàïðèìåð, äëÿ êîíñîëüíîãî ñòåðæíÿ ïðè ïðîäîëü-

íûõ êîëåáàíèÿõ îïðåäåëÿåòñÿ ïî âûðàæåíèþ

D h l xh

l

i

lx( , ) cos

( ),ò ò�

��

��4

2 1

2

2� �

ïðè èçãèáíûõ –

D h l xh

lS k x

S k l

T k lT k xi

i

ii( , ) ( )

( )

( )( ) ,ò ò ò� �

�

��

�

��24

2�

ãäå S kx( ), T kx( ) – ôóíêöèè Êðûëîâà,

S kxkx kx

( )( cos )

;��ch

2T kx

kx kx( )

( sin );�

�sh

2

k l1 1 875� , ; k l2 4 694� , ; k l3 7 855� , ;

äëÿ i3 èìååì

k li

li ��( )

.2 1

2



Ôóíêöèÿ D h l x( , )ò äëÿ èññëåäóåìîé ôîðìû êîëåáàíèé ñòåðæíÿ, äàí-

íûõ çíà÷åíèé h l è x ò – âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ, è õàðàêòåð çàâèñèìîñòè

îòíîñèòåëüíîé àìïëèòóäû À1 2/ îò îòíîñèòåëüíîé ãëóáèíû òðåùèíû áóäåò

îïðåäåëÿòüñÿ çàâèñèìîñòüþ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Í1( )� îò � è ìîæåò ñóùåñò-

âåííî îòëè÷àòüñÿ îò ëèíåéíîé.

Ñ èñïîëüçîâàíèåì âûðàæåíèé (10)–(12) èëè (13), (14) ìîãóò áûòü ïîëó-

÷åíû àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå è ôàçî÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè èññëåäóåìîé

ñèñòåìû â îáëàñòè ñóáãàðìîíè÷åñêîãî ðåçîíàíñà.

Â êà÷åñòâå ïðèìåðà íà ðèñ. 4 ïðèâåäåíû óêàçàííûå çàâèñèìîñòè äëÿ

��0 08, è (�0 02011, . Äëÿ ñðàâíåíèÿ òàì æå øòðèõïóíêòèðíîé ëèíèåé

ïîêàçàíà àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ çàâèñèìîñòü äëÿ îáëàñòè îñíîâíîãî

ðåçîíàíñà. Çàâèñèìîñòè ïðèâåäåíû â îòíîñèòåëüíûõ êîîðäèíàòàõ À �

� �À À1 2 1 2 02/ /( ) ( )� � � è � � �� 2 0 äëÿ ñóáãàðìîíè÷åñêîãî ðåçîíàíñà è

À À À� �( ) ( )� � �0 è � � �� 0 äëÿ îñíîâíîãî ðåçîíàíñà.

Îöåíêà äîñòîâåðíîñòè ìåòîäèêè. Äëÿ îöåíêè äîñòîâåðíîñòè ðåçóëü-

òàòîâ ðàñ÷åòà ïðîâîäèëîñü èõ ñðàâíåíèå ñ äàííûìè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ,

ïîëó÷åííîãî ìåòîäîì óñðåäíåíèÿ ïî óñêîðåíèþ [6, 7].

Íà ðèñ. 5 äëÿ ñëó÷àÿ íàñòðîåííîãî ñóáãàðìîíè÷åñêîãî ðåçîíàíñà ïðè

(�0 00503, ïðèâåäåíà ðàñ÷åòíàÿ çàâèñèìîñòü îòíîñèòåëüíîé àìïëèòóäû íèç-

øåé ãàðìîíèêè îò �, ïîëó÷åííàÿ ïî ôîðìóëå (13) è ïî äàííûì ÷èñëåííîãî

ðåøåíèÿ. Êàê âèäíî, äëÿ ��0 1, , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò îòíîøåíèþ � (�20,

íàáëþäàåòñÿ äîñòàòî÷íî óäîâëåòâîðèòåëüíîå èõ ñîîòâåòñòâèå. Ïðè ýòîì

ïîäòâåðæäàåòñÿ íàëè÷èå â îáëàñòè óêàçàííûõ çíà÷åíèé � ( ïðàêòè÷åñêè

ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè îòíîñèòåëüíîé àìïëèòóäû íèçøåé ãàðìîíèêè îò

ïàðàìåòðà � ñ íåñêîëüêî îòëè÷àþùèìñÿ îò ðàñ÷åòíîãî êîýôôèöèåíòîì

ïðîïîðöèîíàëüíîñòè.



Ðèñ. 4. Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è ôàçî÷àñòîòíàÿ (øðèõîâàÿ ëèíèÿ) çàâèñè-

ìîñòè â îáëàñòè ñóáãàðìîíè÷åñêîãî ðåçîíàíñà, îïðåäåëåííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóë (13),

(14), ïðè � � 0 08, è (� 0 02011, .

Îäíàêî ñ óâåëè÷åíèåì ïàðàìåòðà � ðàñõîæäåíèå ìåæäó ðåçóëüòàòàìè

àíàëèòè÷åñêîãî è ÷èñëåííîãî ðåøåíèé ñóùåñòâåííî âîçðàñòàåò. Ýòî ìîæíî,

ïî-âèäèìîìó, îáúÿñíèòü âîçìîæíûì èçìåíåíèåì îòíîñèòåëüíîé àìïëèòóäû

ãàðìîíèêè A t2 1 22 2cos ( )/� �� ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ �. Òàê, ïðèíèìàÿ

À2 0� , ÷òî îáóñëîâëèâàåò â ôîðìóëàõ (13), (14) çàìåíó êîýôôèöèåíòà

1,141471 ïðè �2 íà 1,0, ïîëó÷àåì çàâèñèìîñòü, ïîêàçàííóþ íà ðèñ. 5 êðèâîé

3. Âîçìîæíî òàêæå èçìåíåíèå çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé ñ óâåëè-

÷åíèåì ïàðàìåòðà �. Òàê, ïðèíèìàÿ âìåñòî À À0 1 2� / � � çíà÷åíèå À0 �� À1 2 2 2/ ( )� � � [1], ÷òî îïðåäåëÿåò çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà ïðè �2 ðàâ-

íûì 0 141471 2 2, ( ) ,� �� ïîëó÷àåì çàâèñèìîñòü À1 2/ ( )� – íà ðèñ. 5 êðèâàÿ 4.

Òàêîå îáúÿñíåíèå âïîëíå ëîãè÷íî, òàê êàê çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿ-

þùåé À0 è àìïëèòóäû À2 âòîðîé ãàðìîíèêè â ñïåêòðå ñâîáîäíûõ êîëå-

áàíèé ïîëó÷åíû [3] àñèìïòîòè÷åñêèì ìåòîäîì íåëèíåéíîé ìåõàíèêè, ïðåä-

ïîëàãàþùèì ìàëîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà �.

Äëÿ îöåíêè èçìåíåíèÿ õàðàêòåðà çàâèñèìîñòè îòíîñèòåëüíîé àìïëè-

òóäû À1 2/ ïðè ïåðåõîäå îò ïàðàìåòðà � ê îòíîñèòåëüíîé ãëóáèíå òðåùèíû

� íà ðèñ. 6 â êà÷åñòâå ïðèìåðà äëÿ ñëó÷àÿ (�0 00503, ïðèâåäåíû çàâè-

ñèìîñòè À1 2/ îò � è �. Èñõîäíóþ ðàñ÷åòíóþ êðèâóþ 1 îïðåäåëÿëè ïî

ôîðìóëå (13) ñ èñïîëüçîâàíèåì (14), êðèâóþ 2 – ïî äàííûì ÷èñëåííîãî

ðåøåíèÿ. Äëÿ êðèâûõ 3, 4 äàííûå î ñîîòíîøåíèè � è � âçÿòû äëÿ ñëó÷àÿ

ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèé ñòåðæíÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ,

h l�0 13333, è x lò �0 2, [8].

Àíàëèç äàííûõ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõ ëîãàðèô-

ìè÷åñêîãî äåêðåìåíòà êîëåáàíèé ( ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ îáëàñòè ñòàáèëüíûõ

çíà÷åíèé îòíîñèòåëüíîé àìïëèòóäû À1 2/ , áîëüøèõ åäèíèöû, òàêæå ïîä-



Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòü îòíîñèòåëüíîé àìïëèòóäû íèçøåé ãàðìîíèêè ïðè ñóáãàðìîíè÷åñêîì

ðåçîíàíñå îò ïàðàìåòðà � ïðè (� 0 00503, : 1 – ïî ôîðìóëå (13); 2 – ïî äàííûì ÷èñëåííîãî

ðåøåíèÿ; 3 – ïî ôîðìóëå (13) ïðè çíà÷åíèè êîýôôèöèåíòà ïðè �2 1� ; 4 – ïðè çíà÷åíèè

êîýôôèöèåíòà, ðàâíîì ( ) , .2 2 0 141471� ��

òâåðæäàþòñÿ ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåííîãî ïðèáëèæåííîãî ðàñ÷åòà ïðè îòíî-

øåíèè � (�20. Àìïëèòóäà À1 2/ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà çíà÷åíèþ � ïðè

äàííîé âåëè÷èíå ( è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà åé ïðè äàííîì çíà÷åíèè �.

Áîëåå òîãî, ÷èñëåííîå ðåøåíèå óäîâëåòâîðèòåëüíî îïèñûâàåòñÿ åäèíîé

çàâèñèìîñòüþ A K1 2/ � � ( ñ êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè K *1 34, ,

÷òî íà 14,7% ìåíüøå ðàñ÷åòíîãî.

Îïðåäåëåíèå àáñîëþòíûõ çíà÷åíèé àìïëèòóäû è ñäâèãà ôàç îòäåëü-

íûõ ãàðìîíèê. Êàê è ðàíåå [1, 2], ïîëàãàåì, ÷òî àìïëèòóäà îñíîâíîé

ãàðìîíèêè A t1 1sin( )� �� ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèþ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé

ëèíåéíîé ñèñòåìû ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé òåëà ñ çàêðûâàþùåéñÿ òðåùèíîé

(3):

A

q

i

0

02

0

2 22

0

1

11

4

�

��

�

�

��

�

��

�

��

�

�

�

��

� �

�

�

(

�

�

� �

��

2

, (16)

à ñäâèã ôàçû �1 îïðåäåëÿåòñÿ èç áàëàíñà ïîäâîäèìîé %Wq è ïîãëîùàåìîé

%Wh ýíåðãèé çà öèêë êîëåáàíèé ñ ïåðèîäîì 2 0� � .

Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àÿ ìîíîãàðìîíè÷åñêîãî âîçáóæäåíèÿ è âÿç-

êîãî òðåíèÿ èìååì

%W q A Aq � ��

�

�

��

�

��0 1 1 2 1 2 1

2

92sin cos ;/ / (17)



Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòü îòíîñèòåëüíîé àìïëèòóäû íèçøåé ãàðìîíèêè À1 2/ ïðè ñóáãàðìîíè-

÷åñêîì ðåçîíàíñå îò ïàðàìåòðà � (1, 2) è îòíîñèòåëüíîé ãëóáèíû òðåùèíû � (3, 4),

ïîëó÷åííàÿ ïóòåì ðàñ÷åòà (1, 3) è ïî äàííûì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ (2, 4).

%W h A Ah � ��

"#$

2 11

41 0 02 2

1 22

12� � �[ , ] ./ (18)

Â âûðàæåíèè (18) â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ ñëàáîãî ðåçîíàíñà, êîãäà

A A1 2 1/ ,� ó÷èòûâàåòñÿ òàêæå âòîðàÿ ãàðìîíèêà ñïåêòðà ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé

2 2 91 2 1 2� � � �A t/ /cos( ) ,� îáóñëîâëèâàÿ ïîÿâëåíèå ñëàãàåìîãî 0 02 2, � .

Èç óñëîâèÿ % %W Wq h� ïðè ó÷åòå (16) è (8), (14) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå

äëÿ îïðåäåëåíèÿ �1:

( , sin )sin , cos cos1 0 07074 0 070741 1� � �� % %

� ��

��

�

��2 1

1 0 02

4

21 22

1

0

hA A

q�

�( , ),

/

ãäå A q1 0 âû÷èñëÿåì èç ôîðìóëû (16). Çíàÿ %� è �1 ñîãëàñíî (8) îïðå-

äåëÿåì çíà÷åíèå � � �1 2 1 2/ ( ) .� �%

Â û â î ä û

1. Ðàññìîòðåí ïðèáëèæåííûé ìåòîä ðàñ÷åòà ïàðàìåòðîâ êîëåáàòåëüíîãî

ïðîöåññà óïðóãîãî òåëà ñ çàêðûâàþùåéñÿ òðåùèíîé, ìîäåëèðóåìîãî îäíî-

ìàññîâîé ñèñòåìîé ñ íåñèììåòðè÷íîé áèëèíåéíîé õàðàêòåðèñòèêîé âîññòà-

íàâëèâàþùåé ñèëû, â îáëàñòè ñèëüíîãî ñóáãàðìîíè÷åñêîãî ðåçîíàíñà ïî-

ðÿäêà 1/2.

2. Ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ â îáëàñòè

ñóáãàðìîíè÷åñêîãî ðåçîíàíñà îñíîâíîãî âèáðîäèàãíîñòè÷åñêîãî ïàðàìåòðà

íàëè÷èÿ òðåùèíû – îòíîñèòåëüíîé àìïëèòóäû íèçøåé ãàðìîíèêè À1 2/

ñïåêòðà êîëåáàíèé.

3. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà âèáðîäèàãíîñòè÷åñêîãî ïàðàìåòðà À1 2/ óäîâëå-

òâîðèòåëüíî ñîãëàñóþòñÿ ñ äàííûìè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ äëÿ çíà÷åíèé

� (�20.

4. Óñòàíîâëåíî, ÷òî äëÿ îòíîøåíèÿ � (�10 îòíîñèòåëüíàÿ àìïëèòóäà

íèçøåé ãàðìîíèêè À1 2/ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ïàðàìåòðó íåëèíåéíîñòè

êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû � è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ëîãàðèôìè÷åñêîìó

äåêðåìåíòó êîëåáàíèé ñèñòåìû (.

5. Ñ äîñòàòî÷íîé äëÿ ïðàêòèêè òî÷íîñòüþ çàâèñèìîñòü À1 2/ ( , )� ( óäî-

âëåòâîðèòåëüíî îïèñûâàåòñÿ åäèíîé ôîðìóëîé À1 2 2/ .��

(

Ð å ç þ ì å

²ç âèêîðèñòàííÿì çàïðîïîíîâàíîãî â ïîâ³äîìëåíí³ 1 ï³äõîäó ðîçãëÿäàºòüñÿ

íàáëèæåíèé ðîçðàõóíîê ïàðàìåòð³â êîëèâàëüíîãî ïðîöåñó ïðóæíîãî ò³ëà ç

òð³ùèíîþ, ùî çàêðèâàºòüñÿ, â îáëàñò³ ñèëüíîãî ñóáãàðìîí³÷íîãî ðåçîíàíñó

ïîðÿäêó 1/2, êîëè àìïë³òóäà íèæ÷î¿ ãàðìîí³êè ñïåêòðà â³ëüíèõ êîëèâàíü

á³ëüøà çà îñíîâíó àìïë³òóäó âèìóøåíèõ êîëèâàíü.



1. Ìàòâååâ Â. Â., Áîâñóíîâñêèé Î. À. Ïðèáëèæåííîå àíàëèòè÷åñêîå îïðå-

äåëåíèå âèáðîäèàãíîñòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ óïðóãîãî òåëà ñ òðåùèíîé

ïðè ñóáãàðìîíè÷åñêîì ðåçîíàíñå. Ñîîáù. 1. Ñëàáûé ðåçîíàíñ // Ïðîáë.

ïðî÷íîñòè. – 2008. – ¹ 2. – Ñ. 26 – 40.

2. Ìàòâååâ Â. Â. Ïðèáëèæåííîå àíàëèòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âèáðîäèà-

ãíîñòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ íåëèíåéíîñòè óïðóãèõ òåë, îáóñëîâëåííûõ

íàëè÷èåì çàêðûâàþùåéñÿ òðåùèíû. Ñîîáù. 1. Ñóùåñòâóþùèå è ïðåä-

ëàãàåìûå ìåòîäû ðåøåíèÿ // Òàì æå. – 2004. – ¹ 4. – Ñ. 5 – 20.

3. Ìàòâååâ Â. Â. Ê àíàëèçó ýôôåêòèâíîñòè ìåòîäà ñïåêòðàëüíîé âèáðî-

äèàãíîñòèêè óñòàëîñòíîãî ïîâðåæäåíèÿ ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèé.

Ñîîáù. 1. Ïðîäîëüíûå êîëåáàíèÿ, àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå // Òàì æå. –

1997. – ¹ 6. – Ñ. 5 – 20.

4. Ìàòâååâ Â. Â., Áîâñóíîâñêèé À. Ï. Ê àíàëèçó ýôôåêòèâíîñòè ìåòîäà

ñïåêòðàëüíîé âèáðîäèàãíîñòèêè óñòàëîñòíîãî ïîâðåæäåíèÿ ýëåìåíòîâ

êîíñòðóêöèé. Ñîîáù. 3. Àíàëèòè÷åñêîå è ÷èñëåííîå îïðåäåëåíèå ñîáñò-

âåííûõ ÷àñòîò ïðîäîëüíûõ è èçãèáíûõ êîëåáàíèé ñòåðæíåé ñ ïîïå-

ðå÷íûìè òðåùèíàìè // Òàì æå. – 1999. – ¹ 4. – Ñ. 19 – 31.

5. Ñïðàâî÷íèê ïî êîýôôèöèåíòàì èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèé: Â 2 ò. /

Ïåð. ñ àíãë. ïîä ðåä. Þ. Ìóðàêàìè. – Ì.: Ìèð, 1990. – 488 ñ.

6. Áîâñóíîâñêèé À. Ï., Ìàòâååâ Â. Â. Îñîáåííîñòè êîëåáàíèé óïðóãèõ òåë,

îáóñëîâëåííûå íàëè÷èåì ëîêàëüíûõ ïîâðåæäåíèé òèïà óñòàëîñòíûõ

òðåùèí // Íàäåæíîñòü è äîëãîâå÷íîñòü ìàøèí è ñîîðóæåíèé. – 2006. –

Âûï. 26. – Ñ. 26 – 30.

7. Áîâñóíîâñêèé À. Ï. Ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç íåëèíåéíûõ ðåçîíàíñîâ ìå-

õàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñ íåñèììåòðè÷íîé êóñî÷íî-ëèíåéíîé õàðàêòåðèñ-

òèêîé âîññòàíàâëèâàþùåé ñèëû // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2007. – ¹ 2. –

Ñ. 72 – 87.

8. Ìàòâååâ Â. Â., Áîâñóíîâñêèé À. Ï. Ê àíàëèçó ýôôåêòèâíîñòè ìåòîäà

ñïåêòðàëüíîé âèáðîäèàãíîñòèêè óñòàëîñòíîãî ïîâðåæäåíèÿ ýëåìåíòîâ

êîíñòðóêöèé. Ñîîáù. 4. Àíàëèç èñêàæåíèÿ ãàðìîíè÷íîñòè öèêëà êîëå-

áàíèé ñòåðæíåâûõ ýëåìåíòîâ ïðè íàëè÷èè çàêðûâàþùèõñÿ ïîïåðå÷íûõ

òðåùèí // Òàì æå. – 2000. – ¹ 1. – Ñ. 5 – 12.

Ïîñòóïèëà 24. 11. 2006



ÓÄÊ 539.3

Óñòîé÷èâîñòü îðòîòðîïíûõ òîíêîñòåííûõ öèëèíäðè÷åñêèõ

îáîëî÷åê ïðè êðó÷åíèè. Ñîîáùåíèå 1. Òåîðèÿ

À. È. Ìàíåâè÷, Å. Ô. Ïðîêîïàëî

Äíåïðîïåòðîâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò, Äíåïðîïåòðîâñê, Óêðàèíà

Ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó ïîëó÷åíî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è óñòîé-

÷èâîñòè îðòîòðîïíîé è êîíñòðóêòèâíî-îðòîòðîïíîé öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè ïðè êðó÷å-

íèè. Èçâåñòíîå êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðâîå ïðèáëèæåíèå äëÿ äàííîãî

ðåøåíèÿ. Âûïîëíåí äåòàëüíûé ÷èñëåííûé àíàëèç äëÿ èçîòðîïíûõ è îðòîòðîïíûõ îáîëî÷åê.

Ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ èçîòðîïíûõ îáîëî÷åê îòíîñèòåëüíî ìàëîé è ñðåäíåé äëèíû ïîãðåøíîñòü

êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ñîñòàâëÿåò 10...20%. Äëÿ îðòîòðîïíûõ îáîëî÷åê ïîãðåøíîñòü êëàñ-

ñè÷åñêîãî ðåøåíèÿ, êàê ïðàâèëî, áîëüøå, ÷åì äëÿ èçîòðîïíûõ, è ìîæåò ñîñòàâëÿòü 40%.

Êëþ÷åâûå ñëîâà: öèëèíäðè÷åñêàÿ îáîëî÷êà, îðòîòðîïíàÿ è èçîòðîïíàÿ îáî-

ëî÷êè, óñòîé÷èâîñòü, êðó÷åíèå.

Ââåäåíèå. Çàäà÷è óñòîé÷èâîñòè öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè ïðè êðó÷å-

íèè, îòíîñÿùèåñÿ ê ÷èñëó êëàññè÷åñêèõ çàäà÷ òåîðèè óñòîé÷èâîñòè îáîëî-

÷åê, ðàññìàòðèâàëèñü â ðàáîòàõ E. Schwerin, L. H. Donnell, X. M. Myøòàðè,

Â. Ì. Äàðåâñêîãî, Ï. Å. Òîâñòèêà è äð. Äîñòàòî÷íî ïîëíûé îáçîð èññëå-

äîâàíèé, ïîñâÿùåííûõ ýòîìó âîïðîñó, ïðåäñòàâëåí â ìîíîãðàôèÿõ, îáçîðàõ

è ñòàòüÿõ [1–8]. Ëèíåéíàÿ çàäà÷à óñòîé÷èâîñòè ðåøàëàñü ìåòîäîì Áóáíîâà–

Ãàëåðêèíà ñ èñïîëüçîâàíèåì òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ àïïðîêñèìàöèé ôîðìû

ïåðåìåùåíèé è ðàçëè÷íûõ óïðîùåíèé ïîëíûõ óðàâíåíèé, à òàêæå ìåòîäîì

àñèìïòîòè÷åñêîãî èíòåãðèðîâàíèÿ.

Â ðàñ÷åòíîé ïðàêòèêå íàøëè ïðèìåíåíèå òå ðåøåíèÿ, êîòîðûå ïðèâîäÿò

ê äîñòàòî÷íî ïðîñòûì êîíå÷íûì ôîðìóëàì. Â ðàáîòå [1] ïðåäëîæåíû ðàñ÷åò-

íûå ôîðìóëû äëÿ øàðíèðíî îïåðòûõ è çàùåìëåííûõ îáîëî÷åê ìàëîé è

ñðåäíåé äëèíû. Ïðîñòîå ðåøåíèå äëÿ øàðíèðíî îïåðòûõ îáîëî÷åê ñðåäíåé

äëèíû ïîëó÷åíî Õ. Ì. Ìóøòàðè, Â. Ì. Äàðåâñêèì è äðóãèìè íà îñíîâå

àïïðîêñèìàöèè ïðîãèáà äâóìÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè âèäà

w C n nm m� � � ��[sin( ) sin( )],� � � � � �2 (1)

ãäå

��x

R; ��

y

R; �

�m

m R

L� ;

x , y – ïðîäîëüíàÿ è îêðóæíàÿ êîîðäèíàòû; R – ðàäèóñ îáîëî÷êè; n – ÷èñëî

îêðóæíûõ âîëí; m – ïàðàìåòð, îïðåäåëÿþùèé íàêëîí îáðàçóþùèõñÿ ïðè

âûïó÷èâàíèè âîëí ê îáðàçóþùåé. Ýòî ðåøåíèå ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé

îðòîòðîïíûõ è êîíñòðóêòèâíî-àíèçîòðîïíûõ îáîëî÷åê (G. Gerard, Â. Ì. Äà-

ðåâñêèé). Äëÿ îðòîòðîïíîé îáîëî÷êè êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå êàñàòåëüíîãî

íàïðÿæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå [5]

© À. È. ÌÀÍÅÂÈ×, Å. Ô. ÏÐÎÊÎÏÀËÎ, 2008


cr

x y

x y

E E h

R

R

L�

�

�

�

�

��

�

�

�

��0 74

1

3 8 5 8

5 8

5 4 1

,( )

/ /

/

/ /2

, (2)

ãäå h, L – òîëùèíà è äëèíà îáîëî÷êè; Åõ , Å ó – ìîäóëè óïðóãîñòè

ñîîòâåòñòâåííî â ïðîäîëüíîì è êîëüöåâîì íàïðàâëåíèè; õ , ó – êîýôôè-

öèåíòû Ïóàññîíà, Å Åõ ó ó õ � .

Äëÿ êîíñòðóêòèâíî-àíèçîòðîïíîé îáîëî÷êè èìååì [5]

N

h

E h

R

R12 113

225

12 213 1 8

2

5 4

0 741

1�

�

�

�

�

�

��,

[ ( ) ] / /� �

L

�

�

�

��

1 2/

, (3)

ãäå N12 – ñäâèãàþùåå óñèëèå â îáîëî÷êå; �11, �22 – ïàðàìåòðû, õàðàê-

òåðèçóþùèå ìåìáðàííóþ æåñòêîñòü Â11 â ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèè è

èçãèáíóþ æåñòêîñòü D22 â êîëüöåâîì.

Ðåøåíèÿ (2), (3) (äàëåå áóäåì íàçûâàòü èõ êëàññè÷åñêèìè) ïîëó÷åíû ñ

èñïîëüçîâàíèåì ðÿäà óïðîùåíèé, îñíîâàííûõ íà ìàëîñòè èçìåíÿåìîñòè

ïðîãèáà â ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèè ïî ñðàâíåíèþ ñ òàêîâîé â îêðóæíîì.

Òàêèå óïðîùåíèÿ ìîãóò ïðèâîäèòü ê çàìåòíîé ïîãðåøíîñòè äëÿ îòíîñè-

òåëüíî êîðîòêèõ îáîëî÷åê, îñîáåííî äëÿ îðòîòðîïíûõ è êîíñòðóêòèâíî-

àíèçîòðîïíûõ. Äëÿ êîíñòðóêòèâíî-àíèçîòðîïíûõ îáîëî÷åê èç (3) ïîëó÷èì,

÷òî íà èõ óñòîé÷èâîñòü âëèÿþò íå æåñòêîñòè Â22 , Â12 , D11, D33 , à Â11 è

D22 . Ýòîò âûâîä, êîíå÷íî, ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ïðèíÿòûõ óïðîùåíèé. Ïðåä-

ñòàâëÿåò èíòåðåñ óòî÷íåíèå ðåøåíèÿ, êîòîðîå ïîçâîëèëî áû áîëåå òî÷íî

ó÷èòûâàòü âëèÿíèå îòíîñèòåëüíîé äëèíû îáîëî÷êè è âñåõ ìåìáðàííûõ è

èçãèáíûõ æåñòêîñòåé. Â [7] âûïîëíåíî ÷èñëåííîå èññëåäîâàíèå è ïîëó÷åíû

íåêîòîðûå îöåíêè âëèÿíèÿ ýòèõ æåñòêîñòåé íà îñíîâå ðåøåíèÿ â ðÿäàõ â

çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà Áàòäîðôà.

Â äàííîé ðàáîòå ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó ïîëó÷åíî

àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è óñòîé÷èâîñòè îðòîòðîïíîé è êîíñòðóêòèâíî-

îðòîòðîïíîé öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè, óòî÷íÿþùåå ðåøåíèÿ (2), (3). Ïî

îòíîøåíèþ ê ýòîìó ðåøåíèþ êëàññè÷åñêèå ôîðìóëû ïðåäñòàâëÿþò ðåøåíèå

â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè. Äëÿ èçîòðîïíîé îáîëî÷êè âûïîëíåíî äåòàëüíîå

÷èñëåííîå èññëåäîâàíèå ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ. Ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ èçîòðîï-

íûõ îáîëî÷åê îòíîñèòåëüíî ìàëîé è ñðåäíåé äëèíû ïîãðåøíîñòü êëàññè-

÷åñêîãî ðåøåíèÿ ñîñòàâëÿåò 10...20% (â ñòîðîíó çàâûøåíèÿ êðèòè÷åñêîé

íàãðóçêè). Äëÿ îðòîòðîïíûõ îáîëî÷åê âûïîëíåí îáùèé ïàðàìåòðè÷åñêèé

àíàëèç. Ïîãðåøíîñòü êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ äëÿ òàêèõ îáîëî÷åê, êàê ïðàâè-

ëî, áîëüøå, ÷åì äëÿ èçîòðîïíûõ, è ìîæåò ñîñòàâëÿòü 40%.

1. Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ è ðåøåíèå äëÿ îðòîòðîïíîé îáîëî÷êè.

1.1. Èñõîäíûå óðàâíåíèÿ. Ïðè ðåøåíèè ëèíåéíîé çàäà÷è óñòîé÷èâîñòè

öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè (â îáùåì ñëó÷àå – êîíñòðóêòèâíî-îðòîòðîïíîé)

ïîä äåéñòâèåì ñäâèãàþùèõ óñèëèé N12 áóäåì èñõîäèòü èç äèôôåðåíöèàëü-

íîãî óðàâíåíèÿ óñòîé÷èâîñòè â âèäå [9] (óðàâíåíèÿ, ïðèâåäåííûå â [5],

ðàâíîñèëüíû [9], íî íåñêîëüêî îòëè÷àþòñÿ ïî ôîðìå):



� � � � � �� 24

14

12 34 22 0( ) ( ) ,,w N w wxy R (4)

ãäå �14 , � 2

4 , � 34 , �R – äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû,

� � � �14

1

4

4 3

4

2 2 2

4

42D

xD

x yD

y

�

�

�

� �

�

�;

� � ��

�

�

��

�

24 12

2

1 2

1

2

4

43

4

2 21

4

11 2 1B

B B B x B x y B

�

�

�

� �

�

�y 4

�

�

�

��;

� � � �34

1

4

4 3

4

2 2 2

4

4K

xK

x yK

y

�

�

�

� �

�

�; � �R xxR

w1

, .

(5)

Âûðàæåíèÿ äëÿ æåñòêîñòíûõ ïàðàìåòðîâ Di , Bi , K i â îáùåì ñëó÷àå

êîíñòðóêòèâíî-îðòîòðîïíîé îáîëî÷êè íåñèììåòðè÷íîãî ñòðîåíèÿ (ñ ýêñöåíò-

ðè÷íûìè ðåáðàìè) ïðèâåäåíû â [9]. Äëÿ îáîëî÷êè ñèììåòðè÷íîãî ñòðîåíèÿ

èìååì K i �0 (i�1 3, ... , ). Äëÿ îðòîòðîïíîé îáîëî÷êè çàïèøåì

DE hx

x y1

3

12 1�

�( );

D

E hy

x y2

3

12 1�

�( );

D

h EG

x y

x y3

3

12 12�

��

�

�

�

��

( );

BE hx

x y1 1�

� ; B

E hy

x y2 1�

� ; B

B B B

B B B B B3

1 2 33

1 2 122

12 33

2

2�

� �;

BE hx y

x y12 1�

�

; B Gh33 � ; 1 1

122

1 2

� � �B

B B x y .

(6)

Ôóíêöèþ ïðîãèáà w x y( , ) ïðèíèìàåì â âèäå (1), ïîëàãàÿ îáîëî÷êó

øàðíèðíî îïåðòîé. Ïîäñòàâëÿÿ ôóíêöèþ (1) â (4) è ïðèðàâíèâàÿ ìíîæèòåëè

ïðè îäèíàêîâûõ ñèíóñàõ ê íóëþ, ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ êðèòè÷åñêîãî

óñèëèÿ îðòîòðîïíîé îáîëî÷êè:

NnR

f nR

f nm

mm

m12 2 1

4 21 2

2

1

2

1� �

��

��

�

��

��

�

�( , )

( )

( , );

NnR

f nR

f nm

mm

m12

22 1 2

24 2

1 2

2 2

1

2

1� �

��

��

�

��

�

�( , )

( )

( , )��

�

��,

(7)

ãäå

f n D D n D nm m m1 14

32 2

242( , ) ;� � ��

f nB B

nB

nm m m22

4

3

2 2

1

41 2 1( , ) .� � ��

(8)

Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâûå ÷àñòè îáîèõ óðàâíåíèé (7), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå

äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà âîëí ïî êîëüöó n â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðîâ

Óñòîé÷èâîñòü îðòîòðîïíûõ òîíêîñòåííûõ öèëèíäðè÷åñêèõ îáîëî÷åê ...


îáîëî÷êè è ïàðàìåòðà m. ×òîáû âûäåëèòü ôóíêöèîíàëüíóþ ÷àñòü ýòîé

çàâèñèìîñòè è ïåðåéòè ê áåçðàçìåðíûì âåëè÷èíàì, ïåðâîå óðàâíåíèå (7) ñ

ó÷åòîì (6), (8) çàïèøåì â âèäå

N

E h mn

L

Rf n

m

f n

R

Lmm

12

1

210

4

20

41

2� �

�

�

�

��

�

��

��

�

�( , )

( , )

�

��, (9)

ãäå

�

2 2

1 1 221

��

D

B R( ); (10)

f nD

D

D

Dn nm m m1

0 1

2

4 3

2

2 2 42( , ) ;� � ��

f nB

B

B

Bn nm m m2

0 1

2

4 1

3

2 2 42( , ) ,� � ��

(11)

è ïðåäñòàâèì n 2 ñëåäóþùèì îáðàçîì:

nR

Ln2

02�

�

� (12)

(êàê âèäíî èç ïðèâåäåííîãî íèæå, n0 – ÷èñëî (â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè) ïðè

�m n�� , íå çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðîâ îáîëî÷êè).

Ïîäñòàâèì (12) â (11) è çàòåì â (9), â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì

N

E h mn

R

Lf m n

m

f m n

12

1

5 4

0

1 2

10

0

4

20

02

��

�

�

��

� �/ /~

( , ) ~( , )

�

��

�

��, (13)

ãäå

~( , ) ;f m n

D

D

R

Lm

D

D

R

Lm n n1

00

1

2

24 3

2

202

042

��

�

�

��

��

�� (14a)

~( , ) .f m n

B

B

R

Lm

B

B

R

Lm n n2

00

1

2

24 1

3

202

042

��

�

�

��

��

�� (14á)

Èç (7) ñëåäóåò, ÷òî, çàìåíèâ m â ïðàâîé ÷àñòè (13) m�2, åå âåëè÷èíà

íå èçìåíÿåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå n0 :

1 1

221

00

4

20

010

0mf m n

m

f m n mf m n

~( , ) ~

( , ) ( )

~( , )�

�

��

�

��

��

�

�

�

��

�

��

( )~

( , ).

m

f m n

2

2

4

20

0

(15)



Åñëè â óðàâíåíèè (15) ïðåíåáðå÷ü â ôóíêöèÿõ~

( , )f m n10

0 è~

( , )f m n20

0

(14) ïåðâûìè äâóìÿ ñëàãàåìûìè ïî ñðàâíåíèþ ñ n04 , ò.å. ïîëîæèòü

~( , )

~( , ) ,f m n f m n n1

00 2

00 0

4� � òî ïîëó÷èì ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ [2–5] è, â

÷àñòíîñòè, ôîðìóëó (2) (ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèÿ n0 ÷åðåç m â (13) è

ìèíèìèçàöèè ïî m). Òàêèì îáðàçîì, ýòè ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ îñíîâàíû

íà ìàëîñòè ïàðàìåòðà

��

��R

L(16)

ïî ñðàâíåíèþ ñ n02 (âåëè÷èíà � äëÿ èçîòðîïíîé îáîëî÷êè èìååò ïîðÿäîê

h R : �

��

1

12 1 24 ( )h R). Îòìåòèì, ÷òî ïàðàìåòð � ñâÿçàí ñ îáû÷íî

èñïîëüçóåìûì â òåîðèè îáîëî÷åê “ïàðàìåòðîì ïîäîáèÿ” � [3, 4] ïðîñòîé

çàâèñèìîñòüþ: � ��1 .

2. Àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü áîëåå òî÷íîå

ðåøåíèå, ðàçëîæèì n02 è óðàâíåíèå (13) â ðÿä ïî �, îñòàâèâ ëèøü ÷ëåíû

ïîðÿäêà �0 1( )� è �1 (÷ëåíû ïîðÿäêà �2 îòáðàñûâàþòñÿ, òàê êàê äëÿ èçîòðîï-

íîé îáîëî÷êè �2 èìååò ïîðÿäîê h R). Ïðåäñòàâèì n02 â âèäå (b ïîêà íå-

èçâåñòíûé êîýôôèöèåíò)

n n b02

02 1� � �~ ( ...)� (17)

è çàïèøåì ðàçëîæåíèÿ

~( , ) ... ~ ( )f m n n

D

Dm n n b

D

Dm

10

0 04 3

2

202

04 2

3

2

21

2

� � � � � �

�

� �

202

04

04 3

2

2021 2

2~ ( ) ... ~ ~ ~n b n bnD

Dm n� � � � �

�

�

�

�� ...;

~( , ) ... ~ ( )f m n n

B

Bm n n b

B

20

0 04 1

3

202

04 22

1

2

� � � � � �

�

� �

1

3

202

04

04 1

3

2021 2

2

Bm n b n bn

B

Bm n~ ( ) ... ~ ~ ~� � � � �

�

�

�

��

� � ��

�

�

��

�

�

...;

~( , ) ~ ~

1 11 2

2

20

0 04

1

3

2

02f m n n

bB

B

m

n�

�

��

�

��

�

� � ��

�

�

��

�

...

~ ~ ...

1

04

1

3

2

02

11 2

2

nb

B

B

m

n�

�

��

�

��

!

"""""""""

#

"""""""""

.

(18)

Çàìåíèâ m â (18) m�2, ïîëó÷èì àíàëîãè÷íûå âûðàæåíèÿ äëÿ~

( , )f m n10

02� è~

( , ).f m n20

02� Ïîäñòàâèì ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå (15)

è ïðèðàâíÿåì êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ � â îáåèõ ÷àñòÿõ



ïîñëåäíåãî. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ðåøåíèÿ â ïåðâîì è âòîðîì ïðèáëèæå-

íèÿõ.

2.1. Ðåøåíèå â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè (êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå). Êîýô-

ôèöèåíòû ïðè ÷ëåíàõ ïîðÿäêà �0 âõîäÿò â óðàâíåíèå

( ) ~~

~ ( )

~ ,m nm

nm n

m

n� �

�

�

�

��

��

��

�

��2

204

4

04 0

44

04

îòêóäà~ ( );n F m0

8 � F m m m m m( ) ( )( ).� � � �2 3 6 42(19)

Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå ~n0 â âûðàæåíèÿ (14), â êîòîðûõ â ýòîì

ïðèáëèæåíèè îñòàþòñÿ òîëüêî ïîñëåäíèå ñëàãàåìûå:

~( , )

~( , ) ( ).f m n f m n F m1

00 2

00� �

Òåïåðü ýòè âûðàæåíèÿ ïîäñòàâèì â ôîðìóëó äëÿ êðèòè÷åñêîãî êàñàòåëü-

íîãî óñèëèÿ (13):

N

E h

R

Lm

120

1

5 4 1 2

2�

�

�

�

�� / /

( ),$ (20)

ãäå

$( )( )

( )( )

.mm F m

F mm

F m� �

�

��

�

��

1

8

4

(21)

Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà m îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ ìèíèìóìà êðèòè÷åñêîé

íàãðóçêè, ò.å. ìèíèìóìà $( ).m Ìèíèìóì ëåãêî íàõîäèòñÿ ÷èñëåííî, îí äî-

ñòèãàåòñÿ ïðè m* ,�1 3768 è ðàâåí $( ) , .*m �3 9807 Èç (19) èìååì F m( )* ��83 4428, , îòêóäà ~ , ,n0 1 7384� à ôîðìóëà (20) ñâîäèòñÿ ê

N

E h

R

L

120

1

1 25 43 5278�

�

�

�

��, .

//� (22)

Äëÿ îðòîòðîïíîé îáîëî÷êè ïàðàìåòð � ðàâåí (èç (10) è (6))

�

��

1

12 1 1 2( ).

E

E

h

R

y

x

(23)

Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (23) â (22) ïîëó÷èì êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå (2).

2.2. Ðåøåíèå âî âòîðîì ïðèáëèæåíèè. Ïåðåõîäèì êî âòîðîìó ïðèáëè-

æåíèþ, êîòîðîå ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü b (17) è óòî÷íèòü n0 è êðèòè÷åñêîå

óñèëèå.

Ïðèðàâíèâàÿ â (15) ïîñëå ïîäñòàíîâêè â íåãî (18) êîýôôèöèåíòû ïðè

�1 , íàõîäèì



( ) ~ ~~ ~m bn

D

Dm n

m

nb

B

B

m

n� � � �

�

�

�

�2 2

22

204 3

2

202

4

04

1

3

2

02

��

�

��

�

��

� � � ��

��

m bnD

Dm n

m

nb

B

B

m2

22

22

2 204 3

2

202

4

04

1

3

2~ ( ) ~ ( )

~

( )

~n02

�

�

�

��

�

��

�

��

, (24)

îòêóäà ñ ó÷åòîì ïîëó÷åííîãî èç óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ðàâåíñòâà~ ( )n F m0

8 � (19) èìååì

bm m F m

F mD

DF m

B

B�

� ��

�

�

�

��

1

2 3 6 42 4

3

21

1

3( ) ( )( ) ( ) , (25)

ãäå

F m m m m m14 3 25 20 40 40 16( ) .� � � � �

Åñëè ïðè âû÷èñëåíèè b ïðèíÿòü m ðàâíûì çíà÷åíèþ, ïîëó÷åííîìó â

ïåðâîì ïðèáëèæåíèè (m�1 3768, ), òîãäà

bD

D

B

B� �0 7691 2 000766

3

2

1

3

, , .

Â ÷àñòíîñòè, äëÿ èçîòðîïíîé îáîëî÷êè (D D3 2 1� , B B1 3 1� ) èìååì

b��1 2316, . ×òîáû ïîëó÷èòü áîëåå òî÷íîå ðåøåíèå, ó÷èòûâàþùåå çàâè-

ñèìîñòü m îò �, íåîáõîäèìî âûðàæåíèå äëÿ b êàê ôóíêöèè îò m (25)

ïîäñòàâèòü â (17) (âìåñòå ñ ~ ( )n F m08� ), à çàòåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ

n02 – â (18) è (13). Òîãäà äëÿ êðèòè÷åñêîãî êàñàòåëüíîãî óñèëèÿ çàïèøåì

âûðàæåíèå âèäà (20):

N

E h

R

Lm

120

1

5 4 1 2

12�

�

�

�

��

�/ /

( , ),$ (26)

ãäå

$1 5 84 3

22

1

33

1( , )

( )( ) ( ) ( )

/m

mF mF m m

D

DF m

B

BF m� � � � �

�

��

�

��

!#

%&'

; (27)

F mm m

F mm m m2

2

1 43 22

7 21 20 6( )( )

( )( );

/�

�� (28)

F mm

F mm

m F m

F mm m m3

2

3 44 1 3 22

29 12 6( )

( )

( ) ( )

( )( )

/� �

��

�

��

�

��. (29)



Äëÿ êàæäîãî çàäàííîãî � çíà÷åíèå m îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ ìèíè-

ìóìà $1( , )m � ïî m. Ìèíèìèçàöèÿ âûïîëíÿåòñÿ ÷èñëåííî.

3. Àíàëèç óòî÷íåííîãî ðåøåíèÿ.

3.1. Èçoòðîïíàÿ îáîëî÷êà. Äëÿ èçîòðîïíîé îáîëî÷êè ïàðàìåòð m è

ôóíêöèÿ $1( , )m � çàâèñÿò òîëüêî îò �. Ðàñ÷åòû âûïîëíÿëè â ïàêåòå Maple â

äèàïàçîíå � (0; 0,2). Ïîëó÷åííûå ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû â

òàáëèöå, ãäå äàíû çíà÷åíèÿ m* äëÿ òî÷åê ìèíèìóìà è ñîîòâåòñòâóþùèå

çíà÷åíèÿ n0 , b è $1( , ).*m � Òàì æå ïðèâåäåíû îòíîøåíèÿ êðèòè÷åñêîé

íàãðóçêè N12 ê êëàññè÷åñêîìó çíà÷åíèþ N cl12 , îïðåäåëÿåìîìó ôîðìóëîé

(2), ò.å. ïîëó÷åííîìó â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè.

Çíà÷åíèÿ m* è n0 çàìåòíî óìåíüøàþòñÿ ñ ðîñòîì �; êîýôôèöèåíò

$1( , )*m � ïðè êðèòè÷åñêîé íàãðóçêå òàêæå èçìåíÿåòñÿ, íî çíà÷èòåëüíî

ìåíüøå, è â ðàññìîòðåííîì èíòåðâàëå � äëÿ èçîòðîïíîé îáîëî÷êè ñîñòàâ-

ëÿåò íå áîëåå 22%. Îòìåòèì, ÷òî êîýôôèöèåíò b òàêæå çàâèñèò îò �, íî

âåñüìà ñëàáî.

Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ (òàáëèöà) ìîæíî ñ äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòüþ àïïðîê-

ñèìèðîâàòü ëèíåéíûìè çàâèñèìîñòÿìè îò � (ïîëó÷åíû â ïàêåòå Maple

ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, ïîãðåøíîñòü ìåíåå 3%):

m* , , ;� �1 377 3 801� n0 1 738 2 763� �, , ;�

$1 3 981 4 328( , ) , , ;*m � �� ( �� 1 0 1 087, , .(30)

Òàêèì îáðàçîì, êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé äëÿ

èçîòðîïíîé îáîëî÷êè âî âòîðîì ïðèáëèæåíèè îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé (2) ñ

ïîïðàâî÷íûì ìíîæèòåëåì (, îïðåäåëÿåìûì (30). Ñ ó÷åòîì (16) èìååì

�cr

E h

R

R

L�

�

�

�

�

��

�

�

�

�� 0 74

11 0 1 087

2 5 8

5 4 1 2

,( )

, ,/

/ /R

L�

�

�

�

��. (31)



Çàâèñèìîñòü ïàðàìåòðîâ âîëíîîáðàçîâàíèÿ è áåçðàçìåðíîé êðèòè÷åñêîé íàãðóçêè

èçîòðîïíîé îáîëî÷êè îò ïàðàìåòðà � � �� ( )R L

� m* n0 b $1 ( , )*m � ( �N N cl12 12

0 1,377 1,738 �1,232 3,9810 1,0000

0,02 1,250 1,666 �1,237 3,9350 0,9779

0,04 1,145 1,602 �1,244 3,8640 0,9558

0,06 1,055 1,543 �1,254 3,8080 0,9337

0,08 0,975 1,488 �1,266 3,7300 0,9116

0,10 0,905 1,436 �1,279 3,6440 0,8895

0,15 0,738 1,304 �1,322 3,3955 0,8342

0,20 0,591 1,174 �1,380 3,1010 0,7790

Ïîäñòàâëÿÿ â (31) âûðàæåíèå äëÿ � (23), îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì

cr

E h

R

R

L�

�

�

�

�

��

�

�

�

�� 0 74

11 0

1 835

2 5 8

5 4 1 2

,( )

,,

(/

/ /

1 2 1 4

1 2

�

�

�

�

��

�

��

�

��

).

/

R

L

h

R(32)

Ïîñêîëüêó ïîïðàâî÷íûé êîýôôèöèåíò âñåãäà ìåíüøå åäèíèöû, óòî÷-

íåííîå çíà÷åíèå êðèòè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ íèæå êëàññè÷åñêîãî, ïîëó÷åííî-

ãî â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè. Ðàçëè÷èå ìåæäó ðåøåíèÿìè âîçðàñòàåò ñ óìåíü-

øåíèåì L R è èñ÷åçàåò ïðè L R)*. Óòî÷íåííàÿ çàâèñèìîñòü êðèòè÷åñ-

êîãî íàïðÿæåíèÿ cr îò ïàðàìåòðà L R íåñêîëüêî îòëè÷àåòñÿ îò ïîëó÷åí-

íîé ïî êëàññè÷åñêîìó ðåøåíèþ: ïàäåíèå cr ñ ðîñòîì L R îêàçûâàåòñÿ

áîëåå ìåäëåííûì.

Íà ðèñ. 1 ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü áåçðàçìåðíîãî êðèòè÷åñêîãî êàñà-

òåëüíîãî íàïðÿæåíèÿ cr

E+103 îò ïàðàìåòðà L R äëÿ èçîòðîïíîé îáîëî÷êè

ïðè R h�300, ïîñòðîåííàÿ ïî ôîðìóëå (32). Äëÿ ñðàâíåíèÿ òàì æå íàíå-

ñåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ïî êëàññè÷åñêîìó ðåøåíèþ (2) è ïî ôîðìóëå

Äîííåëà äëÿ øàðíèðíî îïåðòîé îáîëî÷êè [1, 4].

Äëÿ äîñòàòî÷íî êîðîòêèõ îáîëî÷åê óòî÷íåííîå ðåøåíèå çàìåòíî îòëè-

÷àåòñÿ îò êëàññè÷åñêîãî, â ÷àñòíîñòè, ïðè L R�2; 1 è 0,5 íà 5,5; 10,8 è

21,7% ñîîòâåòñòâåííî (äëÿ äàííîãî çíà÷åíèÿ R h). Î÷åâèäíî, ÷òî ïîãðåø-

íîñòüþ òàêîé âåëè÷èíû íåëüçÿ ïðåíåáðåãàòü â ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ.

Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Äîííåëà ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû, áëèçêèå ê êëàññè-

÷åñêîìó ðåøåíèþ, îäíàêî ñ ðîñòîì L R çíà÷åíèÿ cr óìåíüøàþòñÿ áîëåå

áûñòðî. Â äèàïàçîíå ìàëûõ äëèí L R ïîëó÷åííûå ïî ýòîé ôîðìóëå çíà÷å-



Ðèñ. 1. Çàâèñèìîñòü áåçðàçìåðíîãî êðèòè÷åñêîãî êàñàòåëüíîãî íàïðÿæåíèÿ îò îòíîñèòåëüíîé

äëèíû èçîòðîïíîé îáîëî÷êè ïðè R h� 300, ïîëó÷åííàÿ ïî ðàçëè÷íûì ðåøåíèÿì.

íèÿ cr áîëåå çàâûøåíû, ÷åì ïî êëàññè÷åñêîìó ðåøåíèþ; ïðè äîñòàòî÷íî

áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ L R êðèòè÷åñêèå íàïðÿæåíèÿ ïî Äîííåëó îêàçûâàþòñÿ

íåñêîëüêî íèæå, ÷åì â äàííîì ðåøåíèè.

3.2. Îðòîòðîïíàÿ îáîëî÷êà. Äëÿ îðòîòðîïíîé îáîëî÷êè ïðèíÿòî, ÷òî

çíà÷åíèå ìîäóëÿ ñäâèãà G (â ïîâåðõíîñòè îáîëî÷êè) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç

ìîäóëè óïðóãîñòè â ïðîäîëüíîì è ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè ôîðìóëîé

GE E

E E E E

x y

x y x y y x

��

. (33)

Òîãäà îòíîøåíèÿ æåñòêîñòåé, âõîäÿùèå â îñíîâíîå óðàâíåíèå âòîðîãî

ïðèáëèæåíèÿ (24), âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ,� E Ex y ñ ïîìîùüþ (6):

B

B

1

3

0 5 1� �, ( ),,D

D

x y

y x

3

2

2

1 1�

� �

� � �

,( ). (34)

Ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíû m* , n0 è $1( , )*m � ñòàíîâÿòñÿ ôóíêöèÿìè ,(äëÿ äàííîãî �). Ïðè ðàññìîòðåíèè âëèÿíèÿ îòíîøåíèÿ , íà ïîïðàâî÷íûé

êîýôôèöèåíò âòîðîãî ïðèáëèæåíèÿ (� N N cl12 12 íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü,

÷òî îòíîøåíèå ìîäóëåé âõîäèò òàêæå â âåëè÷èíó � (23), îò êîòîðîé çàâèñèò

ïàðàìåòð � (16). Îáîçíà÷àÿ ñîîòâåòñòâóþùèå âåëè÷èíû äëÿ îáîëî÷êè ñ

ðàâíûìè ìîäóëÿìè óïðóãîñòè â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ èíäåêñîì “0”

� 0

1

12 1�

�( );

x y

h

R� � �0 0� ( ) ,R L (35)

èìååì

��

,� 0

; ��

,� 0

4.

Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ � âìåñòå ñ (34) â ôîðìóëó (27) è ïîñëå

íåêîòîðûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì

$ $ $1 1 0 5 84

21 4

0

1( , ) ( , )

( ){ ( ) ( , )( )

//m m

mF mF m m m� � , , �� }, (36)

ãäå

$ 2 2

2

11

1

0 51

( , )

( ) ( )

( ) ,m F mx y

y x

,

, ,

,,�

� �

� � ��

�

�

�

��

�

�

��

�

�

��

F m3 ( ) ; (37)



ôóíêöèè F m2 ( ) è F m3 ( ) îïðåäåëåíû âûðàæåíèÿìè (28), (29); ôóíêöèÿ

$ 2 ( , )m , îáëàäàåò ñâîéñòâîì ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà ,�� E Ex y , îíà íå èçìåíÿåòñÿ ïðè çàìåíå , ,-1 , ò.å. E Ex y- , ïîñêîëüêó

îäíîâðåìåííî ïðîèñõîäèò çàìåíà õ ó- . Òîãäà èç (36) ñëåäóåò, ÷òî ðîëü

ñëàãàåìîãî, çàâèñÿùåãî îò �0 , ò.å. ïîïðàâêè âòîðîãî ïðèáëèæåíèÿ, âîçðàñ-

òàåò ïðè E Ex y .1.

Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü îòíîøåíèÿ êðèòè÷åñêîé íàãðóçêè

(âî âòîðîì ïðèáëèæåíèè) ê êëàññè÷åñêîìó çíà÷åíèþ (� N N cl12 12 , ò.å.

$ $1 1 0( , ) ( , ),* *m m� îò ïàðàìåòðà �0 äëÿ ðàçëè÷íûõ Å Åõ ó . Ïðè áîëüøèõ

çíà÷åíèÿõ Å Åõ ó (ïîðÿäêà 5–10) ïîïðàâêà âòîðîãî ïðèáëèæåíèÿ ìîæåò

äîñòèãàòü 30...40% è áîëåå, â òî âðåìÿ êàê â ñëó÷àå î÷åíü ìàëûõ Å Åõ ó îíà

òàêæå âîçðàñòàåò ïî ñðàâíåíèþ ñî ñëó÷àåì Å Åõ ó �1, íî âñå æå íàìíîãî

ìåíüøå, ÷åì äëÿ áîëüøèõ Å Åõ ó .

Â û â î ä û

1. Ïîëó÷åíî óòî÷íåííîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è óñòîé÷èâîñòè

èçîòðîïíîé, îðòîòðîïíîé è êîíñòðóêòèâíî-îðòîòðîïíîé öèëèíäðè÷åñêîé

îáîëî÷êè ïðè êðó÷åíèè (äëÿ øàðíèðíî îïåðòûõ êðàåâ), ó÷èòûâàþùåå îòáðà-

ñûâàåìûå â êëàññè÷åñêîì ðåøåíèè “ìàëûå” ñëàãàåìûå.

2. Â ñëó÷àå îáîëî÷åê ñðåäíåé è ìàëîé äëèíû ïîãðåøíîñòü êëàññè-

÷åñêîãî ðåøåíèÿ äëÿ èçîòðîïíûõ îáîëî÷åê ñîñòàâëÿåò ïîðÿäêà 10...20%,

äëÿ îðòîòðîïíûõ – äî 40% è áîëåå.

3. Ïîãðåøíîñòü êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì îòíî-

øåíèÿ ìîäóëåé óïðóãîñòè Å Åõ ó â ïðîäîëüíîì è êîëüöåâîì íàïðàâëåíèè.

Ð å ç þ ì å

Ìåòîäîì ðîçêëàäó çà ìàëèì ïàðàìåòðîì îòðèìàíî àíàë³òè÷íèé ðîçâ’ÿçîê

çàäà÷³ ñò³éêîñò³ îðòîòðîïíî¿ ³ êîíñòðóêòèâíî-îðòîòðîïíî¿ öèë³íäðè÷íî¿

îáîëîíêè ïðè êðóò³íí³. Â³äîìèé êëàñè÷íèé ðîçâ’ÿçîê º ïåðøèì íàáëèæåí-



Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü îòíîøåíèÿ êðèòè÷åñêîé íàãðóçêè (âî âòîðîì ïðèáëèæåíèè) ê êëàññè-

÷åñêîìó çíà÷åíèþ ( �N N cl12 12 îò ïàðàìåòðà �0 äëÿ ðàçëè÷íûõ Å Åõ ó .

íÿì äëÿ äàíîãî ðîçâ’ÿçêó. Âèêîíàíî äåòàëüíèé ÷èñëîâèé àíàë³ç äëÿ ³çîòðîï-

íèõ òà îðòîòðîïíèõ îáîëîíîê. Ïîêàçàíî, ùî äëÿ ³çîòðîïíèõ îáîëîíîê

â³äíîñíî ìàëî¿ òà ñåðåäíüî¿ äîâæèíè ïîõèáêà êëàñè÷íîãî ðîçâ’ÿçêó ñêëàäàº

10...20%. Äëÿ îðòîòðîïíèõ îáîëîíîê ïîõèáêà êëàñè÷íîãî ðîçâ’ÿçêó, ÿê

ïðàâèëî, á³ëüøà, àí³æ äëÿ ³çîòðîïíèõ, ³ ìîæå ñÿãàòè 40%.

1. Donnell L. Stability of Thin Walled Tubes under Torsion // NACA Report. –

1933. – No. 479.

2. Âîëüìèð À. Ñ. Óñòîé÷èâîñòü äåôîðìèðóåìûõ ñèñòåì. – Ì.: Ãîñ. èçä.-âî

ôèç.-ìàò. ëèò., 1967. – 984 ñ.

3. Ãðèãîëþê Ý. È., Êàáàíîâ Â. Â. Óñòîé÷èâîñòü êðóãîâûõ öèëèíäðè÷åñêèõ

îáîëî÷åê // Èòîãè íàóêè. Ñåðèÿ “Ìåõàíèêà”. – Ì.: ÂÈÍÈÒÈ, 1969. –

348 ñ.

4. Ãðèãîëþê Ý. È., Êàáàíîâ Â. Â. Óñòîé÷èâîñòü îáîëî÷åê. – Ì.: Íàóêà,

1978. – 360 ñ.

5. Êàáàíîâ Â. Â. Óñòîé÷èâîñòü íåîäíîðîäíûõ öèëèíäðè÷åñêèõ îáîëî÷åê.

– Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1982. – 256 ñ.

6. Fung Y. C. and Sechler E. E. Instability of thin elastic shells // Structural

Mechanics: Proc. 1st Symp. Naval Structural Mechanics (Stanford University,

1958). – New York: Pergamon Press, 1960. – P. 115 – 168.

7. Simitses G. J. Instability of orthotropic cylindrical shells under combined

torsion and hydrostatic pressure // AIAA J., 1967. – 5, No 8. – P. 1463 –

1469.

8. Òîâñòèê Ï. Å. Íåêîòîðûå çàäà÷è óñòîé÷èâîñòè öèëèíäðè÷åñêèõ è êîíè-

÷åñêèõ îáîëî÷åê // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. – 1983. – 47, âûï. 5.

– Ñ. 815 – 822.

9. Ìàíåâè÷ À. È. Óñòîé÷èâîñòü è îïòèìàëüíîå ïðîåêòèðîâàíèå ïîäêðåï-

ëåííûõ îáîëî÷åê. – Êèåâ; Äîíåöê: Âèùà øê., 1979. – 152 ñ.




ÓÄÊ 620.178.15/179.119

Îöåíêà ïîâðåæäåííîñòè êîíñòðóêöèîííûõ ñòàëåé ïî ïàðàìåòðàì

ðàññåÿíèÿ õàðàêòåðèñòèê òâåðäîñòè ìàòåðèàëîâ â íàãðóæåííîì è

ðàçãðóæåííîì ñîñòîÿíèÿõ

À. À. Ëåáåäåâ, Â. Ï. Øâåö


Îáñóæäàþòñÿ íîâûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå î òâåðäîñòè êîíñòðóêöèîííûõ ñòàëåé 25,

45 è 0Í9, ïîëó÷åííûå ïðè èññëåäîâàíèè ïëîñêèõ îáðàçöîâ, îäíîâðåìåííî ïîäâåðãíóòûõ

îäíîîñíîìó ðàñòÿæåíèþ, â òîì ÷èñëå ñ ïåðèîäè÷åñêîé ðàçãðóçêîé ïðè ðàçíûõ óðîâíÿõ

îñòàòî÷íîé äåôîðìàöèè. Ïî ðåçóëüòàòàì ìàññîâûõ (äî 30) èçìåðåíèé óñòàíîâëåíû ñðåäíèå

çíà÷åíèÿ õàðàêòåðèñòèêè òâåðäîñòè ìàòåðèàëîâ è ïàðàìåòðû èõ ðàññåÿíèÿ (ïî Ãóìáåëþ)

ïðè èñïûòàíèÿõ îáðàçöîâ â íàãðóæåííîì è ðàçãðóæåííîì ñîñòîÿíèÿõ. Îáîñíîâàíà ìåòî-

äèêà îïðåäåëåíèÿ ïîêàçàòåëåé ÷óâñòâèòåëüíîñòè èçìåðåííûõ çíà÷åíèé òâåðäîñòè ìàòå-

ðèàëîâ è ñòåïåíè èõ ðàññåÿíèÿ ê ðåæèìó íàãðóæåíèÿ, êîòîðûå ïîçâîëÿþò óòî÷íèòü

õàðàêòåðèñòèêè òâåðäîñòè ìàòåðèàëîâ, îïðåäåëÿåìûå íà ðàáîòàþùåì îáîðóäîâàíèè ïðè

åãî òåõíè÷åñêîé äèàãíîñòèêå.

Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîíñòðóêöèîííûå ñòàëè, ïëîñêèé îáðàçåö, òâåðäîñòü, ðàñ-

ñåÿíèå ñâîéñòâ, êîýôôèöèåíò ãîìîãåííîñòè, íàïðÿæåíèå, äåôîðìàöèÿ, ðàç-

ãðóçêà, ÷óâñòâèòåëüíîñòü ê íàïðÿæåííîñòè ìàòåðèàëà.

Ââåäåíèå. Ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà ëþáîãî ìàòåðèàëà (âåùåñòâà) çàâè-

ñÿò îò åãî ïðèðîäû è ñòðóêòóðíîãî ñîñòîÿíèÿ. Ïðàêòè÷åñêè âñå ñóùåñò-

âóþùèå ìåòîäû èõ îïðåäåëåíèÿ âêëþ÷àþò èñïûòàíèå îáðàçöà ìàòåðèàëà

ïðè çàðàíåå îãîâîðåííûõ òåìïåðàòóðíî-ñèëîâûõ âîçäåéñòâèÿõ.

Ê âàæíîé êîìïëåêñíîé õàðàêòåðèñòèêå ìàòåðèàëà îòíîñèòñÿ òâåðäîñòü,

äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîòîðîé ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ñðàâíèòåëüíî ïðîñòûå è

ëåãêî ðåàëèçóåìûå ìåòîäû èñïûòàíèé, â òîì ÷èñëå íà èçãîòîâëåíèå ñïåöè-

àëüíûõ îáðàçöîâ.

Êëàññè÷åñêèå ìåòîäû èñïûòàíèé íà òâåðäîñòü ñâîäÿòñÿ ê îïðåäåëåíèþ

ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëà âäàâëèâàíèþ èíäåíòîðà â âèäå ñôåðû, êîíó-

ñà èëè ïèðàìèäû. Î òâåðäîñòè ìàòåðèàëà ñóäÿò ïî ðàçìåðàì ïîëó÷åííîãî

îòïå÷àòêà èëè ïî ãëóáèíå ïîãðóæåíèÿ èíäåíòîðà [1, 2].

Òâåðäîñòü ìàòåðèàëà íå îòíîñèòñÿ ê ñòðîãî ôèçè÷åñêè îáîñíîâàííûì

ïàðàìåòðàì åãî ñâîéñòâ, òàêèì, êàê, íàïðèìåð, õàðàêòåðèñòèêè óïðóãîñòè.

Òåì íå ìåíåå â ëèòåðàòóðå îïóáëèêîâàíî ìíîãî ðåçóëüòàòîâ, ñâèäåòåëü-

ñòâóþùèõ î íàëè÷èè êîððåëÿöèé òâåðäîñòè ñ íåêîòîðûìè ìåõàíè÷åñêèìè

õàðàêòåðèñòèêàìè êîíñòðóêöèîííûõ ìàòåðèàëîâ [3, 4], ïîäòâåðæäåíà âîç-

ìîæíîñòü ïî ðåçóëüòàòàì èñïûòàíèé íà òâåðäîñòü ñòðîèòü äèàãðàììû äå-

ôîðìàöèé ïðè ðàñòÿæåíèè, óñòàíîâëåíà ñâÿçü ïàðàìåòðîâ ðàññåÿíèÿ õàðàê-

òåðèñòèê òâåðäîñòè ìåòàëëè÷åñêèõ ìàòåðèàëîâ ñ âÿçêîñòüþ ðàçðóøåíèÿ [5].

Íàáëþäàåìàÿ â îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ íåóñòîé÷èâîñòü ïðåäëîæåííûõ êîð-

ðåëÿöèé îáúÿñíÿåòñÿ, êàê ïðàâèëo, íåäîñòàòî÷íîé äîñòîâåðíîñòüþ îïðåäå-

ëÿåìûõ õàðàêòåðèñòèê òâåðäîñòè èç-çà îòñóòñòâèÿ ñòðîãîé ðåãëàìåíòàöèè

óñëîâèé ïðîâåäåíèÿ îïûòîâ, â òîì ÷èñëå ïî óðîâíþ ìåõàíè÷åñêîé íàïðÿ-

© À. À. ËÅÁÅÄÅÂ, Â. Ï. ØÂÅÖ, 2008


æåííîñòè èñïûòûâàåìîãî îáðàçöà. Ïîâûøåíèå äîñòîâåðíîñòè îöåíêè âëèÿ-

íèÿ èíòåíñèâíîñòè è âèäà íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ ìàòåðèàëà íà ðåãèñòðè-

ðóåìûå ïðè èçìåðåíèÿõ òâåðäîñòè ïîêàçàòåëè, à òàêæå ðàçðàáîòêà îáîñíî-

âàííûõ ðåêîìåíäàöèé ïî ìîíèòîðèíãó ýòîãî âëèÿíèÿ äëÿ îòäåëüíûõ êëàññîâ

ìàòåðèàëîâ ïðèîáðåëè îñîáóþ àêòóàëüíîñòü â ïîñëåäíåå âðåìÿ â ñâÿçè ñ

âîçðîñøèì îáúåìîì èçìåðåíèé òâåðäîñòè ìàòåðèàëà íà äåéñòâóþùåì îáîðó-

äîâàíèè, êîãäà ýêñïëóàòàöèîííûå íàïðÿæåíèÿ â íåì ìîãóò äîñòèãàòü áîëü-

øîé âåëè÷èíû.

Â ñóùåñòâóþùèõ íîðìàòèâíûõ äîêóìåíòàõ, ðåãëàìåíòèðóþùèõ ìåòîäû

îïðåäåëåíèÿ òâåðäîñòè, âîçìîæíîå âëèÿíèÿ ýòèõ ôàêòîðîâ íå îãîâîðåíî, ÷òî

â îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ ìîæåò áûòü ïðè÷èíîé ñíèæåíèÿ ïîëó÷åííîé èíôîðìà-

öèè î òåêóùèõ ñâîéñòâàõ ìàòåðèàëîâ. Íåîáõîäèìîñòü äàëüíåéøåãî ñîâåð-

øåíñòâîâàíèÿ ñòàíäàðòîâ íà ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ òâåðäîñòè è ïðîìûøëåí-

íûå òåõíîëîãèè, îñíîâàííûå íà èñïîëüçîâàíèè ýòîé âàæíîé õàðàêòåðèñ-

òèêè, ïîäòâåðæäåíà ðåçóëüòàòàìè íàñòîÿùåãî èññëåäîâàíèÿ.

Èññëåäóåìûå ìàòåðèàëû, îáðàçöû äëÿ èñïûòàíèé, îáðàáîòêà îïûò-

íûõ äàííûõ. Â ðàáîòå îáñóæäàþòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó-

÷åííûå ïðè èçó÷åíèè òâåðäîñòè êà÷åñòâåííûõ óãëåðîäèñòûõ ñòàëåé 25 è 45

(ÃÎÑÒ 1050-74), à òàêæå ñïåöèàëüíîé êîððîçèîííî-ñòîéêîé ñòàëè 0Í9 â

èñõîäíîì ñîñòîÿíèè (��0), ïðè ðàçëè÷íûõ äåôîðìàöèÿõ ïîä íàïðÿæåíèåì

ïðè ôèêñèðîâàííîé íàãðóçêå âäàâëèâàíèÿ è ïîñëå ðàçãðóçêè ñ îïðåäåëåíèåì

íåêîòîðîãî àíàëîãà “âîññòàíîâëåííîé” òâåðäîñòè.

Âûáîð â êà÷åñòâå îáúåêòà èññëåäîâàíèÿ óêàçàííûõ ñòàëåé îáúÿñíÿåòñÿ

òåì, ÷òî îíè îáëàäàþò áîëüøèíñòâîì õàðàêòåðíûõ äëÿ ñòàëåé ôèçèêî-ìåõà-

íè÷åñêèõ ñâîéñòâ â ðàçëè÷íûõ ñî÷åòàíèÿõ. Òàê, ïðè ïðàêòè÷åñêè îäèíà-

êîâîé ïëàñòè÷íîñòè (�max ... %�21 23 ) îíè ñóùåñòâåííî ðàçëè÷àþòñÿ ïî õà-

ðàêòåðèñòèêàì ïðî÷íîñòè. Ñòàëè 25 è 45, áóäó÷è êà÷åñòâåííî îäèíàêîâûìè

ïî ïðèðîäå, õèìñîñòàâó è ñòðóêòóðå, ñèëüíî îòëè÷àþòñÿ îò ñòàëè 0Í9 ýòèìè

ïîêàçàòåëÿìè, à ñòàëè 25 è 0Í9, îáëàäàÿ ïî÷òè îäèíàêîâûì (î÷åíü íèçêèì)

äåôîðìàöèîííûì óïðî÷íåíèåì, çíà÷èòåëüíî óñòóïàþò ïî ýòîìó ïîêàçàòåëþ

ñèëüíî óïðî÷íÿþùåéñÿ ñòàëè 45. Â èñõîäíîì ñîñòîÿíèè ñòàëè 25, 45 è 0Í9

èìåþò òâåðäîñòü HRB, ðàâíóþ ñîîòâåòñòâåííî 73,5; 87,4 è 108,6 ÌÏà.

Îïûòû ïðîâîäèëè íà ïëîñêèõ îáðàçöàõ òîëùèíîé 10 2� ì è øèðèíîé

5 10 2� � ì ïðè îäíîîñíîì ðàñòÿæåíèè â ðåæèìå ïîâòîðíî-ñòàòè÷åñêîãî íàãðó-

æåíèÿ ñ âûäåðæêîé ïîä íàãðóçêîé è â ðàçãðóæåííîì ñîñòîÿíèè (äî 1 ìèí),

äîñòàòî÷íîé äëÿ âûïîëíåíèÿ íåîáõîäèìîãî ÷èñëà èçìåðåíèé òâåðäîñòè

(øêàëà HRB) ïðèáîðîì “Computest” (Øâåéöàðèÿ).

Íà ðèñ. 1 ïðèâåäåíû äèàãðàììû äåôîðìàöèè ñòàëåé, íà êîòîðûõ öèôðà-

ìè ñî øòðèõàìè îòìå÷åíû îáëàñòè ðåàëèçàöèè óêàçàííûõ âûøå öèêëîâ

ïîëíîé ðàçãðóçêè è ïîñëåäóþùåãî íàãðóæåíèÿ îáðàçöà. Ïðè íàãðóæåíèÿõ,

ïðåäøåñòâóþùèõ î÷åðåäíîé ðàçãðóçêå, è â ðàçãðóæåííîì ñîñòîÿíèè âûïîë-

íåíî ïî 30 èçìåðåíèé òâåðäîñòè ìàòåðèàëà â ïðåäåëàõ äåôîðìàöèè, íå

âêëþ÷àþùåé ó÷àñòîê ðàçóïðî÷íåíèÿ.

Èñïîëüçîâàííàÿ ìåòîäèêà îáåñïå÷èâàëà ñòàáèëüíîñòü è íàäåæíîñòü

ïðîâîäèìûõ èçìåðåíèé, õîòÿ ðåæèì ðàçãðóçêè îäíîãî èç îáðàçöîâ ñòàëè 45

ïðè ��5% áûë íàðóøåí, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷åíû íå ñâîéñòâåííûå äëÿ

íåå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ðàññåÿíèÿ õàðàêòåðèñòèê òâåðäîñòè. Ïîýòîìó ðå-



çóëüòàòû èçìåðåíèé ýòîãî îáðàçöà, â òîì ÷èñëå ïðè ïîñëåäóþùèõ ðàçãðóçêàõ

(ïðè ��10 è 15%), â äàëüíåéøèõ îáñóæäåíèÿõ, åñòåñòâåííî, íå ôèãóðè-

ðóþò.

Â ñîîòâåòñòâèè ñ èñïîëüçîâàííûì ìåòîäîì îöåíêè ïîâðåæäåííîñòè

ìàòåðèàëà (ìåòîä LM-òâåðäîñòè [6]) â êà÷åñòâå òåêóùèõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ

äàííûõ ïðèíÿòû ïàðàìåòðû ðàññåÿíèÿ çíà÷åíèé òâåðäîñòè ïî 30 èçìåðå-

íèÿì, ÷òî ïîçâîëèëî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû m ãîìîãåííîñòè (ïî Âåé-

áóëëó), õàðàêòåðèçóþùèå ñòåïåíü ñòàáèëüíîñòè ïîëó÷åííûõ õàðàêòåðèñòèê

òâåðäîñòè ñòàëåé è èõ ñðåäíèå çíà÷åíèÿ â êàæäîì öèêëå äî è ïîñëå

ðàçãðóçêè. Êîýôôèöèåíòû m îïðåäåëÿëè ïî ôîðìóëå Ãóìáåëÿ [7, 8]

m dn

H Hn i

i

n

��

��

��

��

�

�0 43431

1

2

1

1 2

, (lg lg ) ,

/

(1)

ãäå dn – âåëè÷èíà, çàâèñÿùàÿ îò êîëè÷åñòâà n èçìåðåíèé ïðè n�30,

dn �11124, ; H i – çíà÷åíèå òâåðäîñòè (HRB) ïðè i-ì èçìåðåíèè; lg H –

ñðåäíåå çíà÷åíèå ëîãàðèôìà òâåðäîñòè ïî ðåçóëüòàòàì n èçìåðåíèé.

Îöåíêó ñòåïåíè ðàçáðîñà çíà÷åíèé òâåðäîñòè ìîæíî ïðîâîäèòü ïî

äðóãèì ñòàòèñòè÷åñêèì êðèòåðèÿì, íàïðèìåð ïî êîýôôèöèåíòó âàðèàöèè:

��

��

��

��

�1 1

11

1 2

H nH Hi

i

n

( ) ,

/

(2)

ãäå n è H i – òî æå, ÷òî è â ôîðìóëå (1); Í – ñðåäíåå çíà÷åíèå òâåðäîñòè ïî

ðåçóëüòàòàì n èçìåðåíèé.

Äëÿ êîëè÷åñòâåííîé îöåíêè âëèÿíèÿ ñòåïåíè íàïðÿæåííîñòè ìàòåðèàëà

îò âíåøíèõ âîçäåéñòâèé íà ðåãèñòðèðóåìûå ïîêàçàòåëè òâåðäîñòè ïðè äàí-

íîé íàðàáîòêå è ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ m, õàðàêòåðèçó-

þùèå èõ ðàññåÿíèå è, ñëåäîâàòåëüíî, èíòåíñèâíîñòü íàêîïëåííûõ â ìàòå-

ðèàëå ïîâðåæäåíèé, ïðåäëîæåíû ïàðàìåòðû:

Îöåíêà ïîâðåæäåííîñòè êîíñòðóêöèîííûõ ñòàëåé ...


Ðèñ. 1. Äèàãðàììû äåôîðìàöèè ñòàëåé 25 (À), 45 (Á) è 0Í9 (Â).

�H

H H

Í�

�p í

í

; �m

m m

m�

�p í

í

, (3)

ãäå Í ð , mp – ñðåäíÿÿ òâåðäîñòü è êîýôôèöèåíò ãîìîãåííîñòè, ò.å. ïàðàìåòð

åå ðàññåÿíèÿ íà èññëåäóåìîé ñòàäèè äåôîðìèðîâàíèÿ ïðè ðàçãðóæåííîì

îáðàçöå; H í , mí – òî æå äëÿ îáðàçöà ïîä íàãðóçêîé, ñîîòâåòñòâóþùåé òîé

æå ñòàäèè.

Ïàðàìåòðû (3) èìåþò ÷åòêèé ôèçè÷åñêèé ñìûñë, à èìåííî: �H – õàðàê-

òåðèçóåò ñïîñîáíîñòü èñïûòóåìîãî îáúåêòà (îáðàçöà ìàòåðèàëà) ê ïåðå-

ðàñïðåäåëåíèþ íàïðÿæåíèé â çîíå âíåäðåíèÿ èíäåíòîðà, åãî âåëè÷èíà çàâè-

ñèò îò ãåîìåòðèè îáúåêòà, õàðàêòåðèñòèê óïðóãîñòè è ïëàñòè÷íîñòè ìàòå-

ðèàëà, íàëè÷èÿ ãðàäèåíòà íàïðÿæåíèé è äðóãèõ ôàêòîðîâ; �m – õàðàê-

òåðèçóåò èçìåíåíèå ñòåïåíè ðàññåÿíèÿ õàðàêòåðèñòèê òâåðäîñòè ìàòåðèàëà

è, êàê ñëåäñòâèå, åãî íåîäíîðîäíîñòè çà ñ÷åò óïðóãîãî îáðàòèìîãî ðàñêðû-

òèÿ èìåþùèõñÿ äåôåêòîâ ïîä äåéñòâèåì íàïðÿæåíèé îò âíåøíèõ âîçäåéñò-

âèé. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïàðàìåòð �m ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâèòåëüíîé õàðàê-

òåðèñòèêîé ñêëîííîñòè ìàòåðèàëà ê íàêîïëåíèþ ïîâðåæäåíèé, èíòåãðàëüíî

îòðàæàþùåé òåìï ýòîãî ïðîöåññà íà ðàçíûõ ñòàäèÿõ ðàçâèòèÿ äåôîðìàöèé.

Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ �Í è �m èçìåíÿþòñÿ â øèðîêèõ ïðåäåëàõ â çàâè-

ñèìîñòè îò õàðàêòåðèñòèê äåéñòâóþùåãî ïîëÿ íàïðÿæåíèé. Òàê, ïðè ðàñòÿ-

ãèâàþùèõ íàïðÿæåíèÿõ �Í è �m ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ îò íóëÿ ïðè

îòñóòñòâèè âëèÿíèÿ ýòîãî ïîëÿ íà òâåðäîñòü äî áåñêîíå÷íîñòè, êîãäà òâåð-

äîñòü êàê ñâîéñòâî íàïðÿæåííîãî ìàòåðèàëà òåðÿåò ñìûñë (îíà ðàâíà íóëþ).

Îáñóæäåíèå ðåçóëüòàòîâ. Íà ðèñ. 2–4 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû èçìe-

ðåíèé òâåðäîñòè ñòàëåé, ïîëó÷åííûå íà îáðàçöàõ, íàõîäÿùèõñÿ ïîä ñîîò-

âåòñòâóþùèì íàïðÿæåíèåì è ïîñëå ðàçãðóçêè. Ïðèâåäåííûå äàííûå è ðå-

çóëüòàòû àíàëîãè÷íûõ èñïûòàíèé ïðè ìàëîì ÷èñëå öèêëîâ íàãðóæåíèÿ

ïîêàçàëè, ÷òî îãðàíè÷åííîå ÷èñëî ïðåäøåñòâóþùèõ ïåðèîäè÷åñêèõ ðàçãðó-

çîê îáðàçöîâ ïðàêòè÷åñêè íå âëèÿåò íà õàðàêòåðèñòèêè òâåðäîñòè ñòàëåé

(ðèñ. 2,à–4,à), ïîêàçàòåëè m èõ ðàññåÿíèÿ (ðèñ. 2,á–4,á) è çíà÷åíèÿ êîýôôè-

öèåíòîâ �Í è �m (ðèñ. 2,â–4,â), îòðàæàþùèõ ñòåïåíü ÷óâñòâèòåëüíîñòè

õàðàêòåðèñòèê òâåðäîñòè (àáñîëþòíûõ çíà÷åíèé è èõ ðàññåÿíèÿ) ìàòåðèàëîâ

ê óðîâíþ ìåõàíè÷åñêèõ íàãðóçîê, âîñïðèíèìàåìûõ ìàòåðèàëîì âî âðåìÿ

èçìåðåíèÿ òâåðäîñòè. Óñòàíîâëåííàÿ èíâàðèàíòíîñòü õàðàêòåðèñòèê òâåð-

äîñòè èññëåäîâàííûõ ñòàëåé è åå ïðîèçâîäíûõ (m, �) ïîäòâåðæäàåòñÿ íå-

áîëüøèì ðàçáðîñîì ýêñïåðèìåíòàëüíûõ òî÷åê, ïîëó÷åííûõ ïðè èñïûòàíèÿõ

ìàòåðèàëà, ïðåäâàðèòåëüíî ïîäâåðãíóòîãî ðàçíîìó êîëè÷åñòâó ðàçãðóçîê.

Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ðåçóëüòàòû èñïûòàíèé êàæäîé ñòàëè ðàññìàòðèâà-

þòñÿ, íå ñâÿçûâàÿ èõ ñ ÷èñëîì öèêëîâ, êîòîðîå ïðåòåðïåë ìàòåðèàë.

Çàìåòèì, ÷òî îòñóòñòâèå âëèÿíèÿ öèêëîâ ðàçãðóçêè è ïîñëåäóþùåãî

íàãðóæåíèÿ íà òâåðäîñòü è ðàññåÿíèå åå çíà÷åíèé ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî

ñòðóêòóðíûå òðàíñôîðìàöèè, ïðîèñõîäÿùèå ïðè ðåàëèçàöèè öèêëà, ÿâëÿ-

þòñÿ îáðàòèìûìè. Îíè ñâÿçàíû ñ óïðóãèìè äåôîðìàöèÿìè ñòðóêòóðíûõ

ôðàãìåíòîâ ðàçëè÷íîãî óðîâíÿ è èõ îáðàòèìûìè ïåðåìåùåíèÿìè, íå îêàçû-

âàþùèìè âëèÿíèÿ íà îáùóþ îñòàòî÷íóþ ìàêðîäåôîðìàöèþ ìåòàëëà, âîçíè-

êàþùóþ â ðåçóëüòàòå åãî òå÷åíèÿ è ðàçðóøåíèÿ.



Íåèçáåæíî ïîÿâëÿþùàÿñÿ ïðè îäíîîñíîì ðàñòÿæåíèè êðèñòàëëè÷åñêèõ

ìàòåðèàëîâ, ê êîòîðûì îòíîñÿòñÿ èññëåäóåìûå ñòàëè, íàïðàâëåííàÿ ñòðóê-

òóðà òàêæå íå ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ òâåðäîñòè ñòàëè, ÷òî ïîäòâåðæäàåò

âûñêàçûâàåìîå â ëèòåðàòóðå ìíåíèå î òîì, ÷òî òâåðäîñòü, êàê è óïðóãîñòü,

ÿâëÿåòñÿ ñòðóêòóðíî-íåçàâèñèìûì ñâîéñòâîì ìàòåðèàëà.

Îáñóæäàåìûå ðåçóëüòàòû ïîëó÷åíû ïóòåì âíåäðåíèÿ èíäåíòîðà â ìàòå-

ðèàë ïëîñêîãî îáðàçöà, ïîäâåðãíóòîãî îäíîîñíîìó ðàñòÿæåíèþ. Íàëè÷èå

ðàñòÿãèâàþùèõ íàïðÿæåíèé, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ïðèâîäèò ê ñíèæå-

íèþ ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëà âíåäðåíèþ èíäåíòîðà, óìåíüøåíèþ ðåãèñò-

ðèðóåìûõ çíà÷åíèé òâåðäîñòè è óâåëè÷åíèþ èõ ðàññåÿíèÿ (ñíèæåíèþ êîýô-

ôèöèåíòà m). Ïðè ýòîì çàêîíîìåðíîñòè èçìåíåíèÿ ñ ðîñòîì äåôîðìàöèè

ìàòåðèàëà åãî òâåðäîñòè (HRB) è ãîìîãåííîñòè (êîýôôèöèåíòà m) îñòàþòñÿ

êà÷åñòâåííî îäèíàêîâûìè.

Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî ñòåïåíü ÷óâñòâèòåëüíîñòè èññëåäóåìûõ ñòà-

ëåé ê óðîâíþ ðàñòÿãèâàþùèõ íàïðÿæåíèé ïðè èçìåðåíèÿõ òâåðäîñòè â

îöåíêå ïîêàçàòåëåì �Í ïðàêòè÷åñêè íå èçìåíÿåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì äåôîð-

ìàöèè, îñòàâàÿñü áëèçêîé ê �Í �0 1, ïðè âñåõ èññëåäîâàííûõ óðîâíÿõ

äåôîðìàöèé â èíòåðâàëå ��2 4... %. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî áîêîâîå äàâëåíèå

íà âíåäðåííûé èíäåíòîð ñî ñòîðîíû íàãðóæåííîãî ìàòåðèàëà ðàñïðåäåëåíî

ïî ïåðèìåòðó íåðàâíîìåðíî. Îíî çíà÷èòåëüíî ìåíüøå â íàïðàâëåíèè ðàñòÿ-

æåíèÿ è îñòàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè òàêèì æå, ÷òî è â íåíàãðóæåííîì ìàòåðèàëå,

â ïåðïåíäèêóëÿðíîì íàïðàâëåíèè. Ýòî ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ îáùåãî

ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëà è, êàê ñëåäñòâèå, ê ñíèæåíèþ ðåãèñòðèðóåìûõ

ïîêàçàòåëåé òâåðäîñòè. Íåáîëüøîå ðàçëè÷èå â çíà÷åíèÿõ ïîêàçàòåëÿ �Í ó

âñåõ ñòàëåé ìîæíî îáúÿñíèòü èäåíòè÷íîñòüþ èñïîëüçîâàííûõ èíäåíòîðîâ,



Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòè òâåðäîñòè (à), êîýôôèöèåíòà ãîìîãåííîñòè (á) è ïîêàçàòåëåé �Í (1),

�m (2) ÷óâñòâèòåëüíîñòè ñòàëè ê íàïðÿæåííîñòè ìàòåðèàëà (â) îò ñòåïåíè äåôîðìàöèè

îáðàçöà ñòàëè 25. (Òåìíûå òî÷êè – ïîä íàïðÿæåíèåì; ñâåòëûå – ïîñëå ðàçãðóçêè.)

a

á

â

îáðàçöîâ ìàòåðèàëà è ðåæèìîâ èñïûòàíèé, à òàêæå íåçíà÷èòåëüíûì îòëè-

÷èåì ñòàëåé ïî õàðàêòåðèñòèêàì óïðóãîñòè è ïëàñòè÷íîñòè, ò.å. ïî îñíîâ-

íûì ñâîéñòâàì, êîíòðîëèðóþùèì âçàèìîäåéñòâèå è êèíåòèêó ïåðåðàñïðå-

äåëåíèÿ ïîëåé êîíòàêòíûõ è íàëîæåííûõ ðàñòÿãèâàþùèõ íàïðÿæåíèé â

çîíå âíåäðåíèÿ èíäåíòîðà.

Îòìå÷åííûå îñîáåííîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèé â çîíå êîíòàêòà

ïðè èñïûòàíèÿõ íàïðÿæåííîãî ìàòåðèàëà çàìåòíî âëèÿþò íà âåëè÷èíó

ðàññåÿíèÿ õàðàêòåðèñòèêè òâåðäîñòè. Ñòåïåíü ýòîãî âëèÿíèÿ â îöåíêå ïîêà-

çàòåëåì ÷óâñòâèòåëüíîñòè �m ó ñòàëåé ðàçíàÿ è èìååò êà÷åñòâåííóþ êîððå-

ëÿöèþ ñ èõ ïðî÷íîñòüþ. Ó ìàëîóãëåðîäèñòîé ïëàñòè÷íîé ñòàëè 25 (ðèñ. 2)

ïðè äåôîðìàöèè 4% ïîêàçàòåëü �m äîñòèãàåò 0,35, ñíèæàÿñü ïî ìåðå ðîñòà

äåôîðìàöèè ïî÷òè äî 0,2 ïðè ��20%. Àíàëîãè÷íàÿ òåíäåíöèÿ, íî â ìåíü-

øåé ìåðå ïðîÿâëÿåòñÿ ó ñðåäíåóãëåðîäèñòîé ñòàëè 45 ñðåäíåé ïðî÷íîñòè

(ðèñ. 3): ïîêàçàòåëü �m ñíèæàåòñÿ îò 0,23 ïðè ��2% äî 0,13 ïðè ��15%.

Ñàìóþ íèçêóþ ÷óâñòâèòåëüíîñòü, õàðàêòåðèçóåìóþ ïîêàçàòåëåì �m , ê íà-

ïðÿæåííîñòè èìååò âûñîêîóïðóãàÿ ñòàëü 0Í9 (ðèñ. 4): îò 0,1 ïðè ��2% ñ

íåçíà÷èòåëüíûì óâåëè÷åíèåì äî 0,13 c ðîñòîì äåôîðìàöèè ïðè ��8%.

Òàêîå ïîâåäåíèå ñòàëåé ìîæíî îáúÿñíèòü îñîáåííîñòÿìè èõ ïðèðîäû è

ñòðóêòóðíîãî ñîñòîÿíèÿ, ïðèâîäÿùèìè ê ðàçíîé ðåàêöèè ìàòåðèàëîâ íà

èçìåíåíèÿ óñëîâèé âçàèìîäåéñòâèÿ ìàòåðèàëà ñ âíåäðÿåìûì èíäåíòîðîì.

Åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ñîïðîòèâëåíèå ñòàëè âíåäðåíèþ èíäåí-

òîðà, ò.å. åãî ðåãèñòðèðóåìàÿ ïðè èñïûòàíèÿõ òâåðäîñòü, çàâèñèò íå òîëüêî

îò ñòåïåíè íàïðÿæåííîñòè ìàòåðèàëà, íî è îò âèäà íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ.

Òàê, ïðè îäíîîñíîì ñæàòèè òâåðäîñòü äîëæíà áûòü âûøå, ÷åì ïðè òåõ æå





îáðàçöà ñòàëè 45. (Îáîçíà÷åíèÿ òå æå, ÷òî è íà ðèñ. 2.)

a

á

â

íàïðÿæåíèÿõ â óñëîâèÿõ îäíîîñíîãî ðàñòÿæåíèÿ. Ðàçëè÷èå â ðåçóëüòàòàõ

èçìåðåíèé òâåðäîñòè ìîæåò îêàçàòüñÿ åùå áîëåå çàìåòíûì ïðè ñîïîñòàâ-

ëåíèè òâåðäîñòè ìàòåðèàëà, ïîäâåðæåííîãî òðåõîñíîìó ðàñòÿæåíèþ è òðåõ-

îñíîìó ñæàòèþ.

Ïîñòàíîâêà òàêèõ ýêñïåðèìåíòîâ ïðåäñòàâëÿåò áîëüøèå òðóäíîñòè.

Îäíàêî èìåþùèåñÿ îïûòíûå äàííûå, ïîëó÷åííûå ïðè èñïûòàíèÿõ êîíñò-

ðóêöèîííûõ ìàòåðèàëîâ ïðè ñëîæíîì íàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè, äàþò îñíî-

âàíèå ïîëàãàòü, ÷òî ê èíâàðèàíòàì íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ, â ïåðâóþ

î÷åðåäü âëèÿþùèõ íà ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé òâåðäîñòè, ñëåäóåò îòíåñòè

ïåðâûé èíâàðèàíò òåíçîðà è âòîðîé èíâàðèàíò äåâèàòîðà íàïðÿæåíèé. Íå

èñêëþ÷åíî òàêæå âëèÿíèå òðåòüåãî èíâàðèàíòà òåíçîðà, ðîëü êîòîðîãî ïðè

îïèñàíèè ïðîöåññîâ äåôîðìèðîâàíèÿ è ïðî÷íîñòè êîíñòðóêöèîííûõ ìàòå-

ðèàëîâ äîêàçàíà [8] è ïîäòâåðæäåíà ýêñïåðèìåíòàëüíî [9].

Ñîçäàíèå ôèçè÷åñêè äîñòîâåðíûõ ìîäåëåé, ïîçâîëÿþùèõ ïðîâîäèòü

êà÷åñòâåííûå è êîëè÷åñòâåííûå îöåíêè âëèÿíèÿ óðîâíÿ è âèäà íàïðÿæåí-

íîãî ñîñòîÿíèÿ ìàòåðèàëà íà åãî ñîïðîòèâëåíèå âíåäðåíèþ áîëåå òâåðäîãî

èíäåíòîðà, ò.å. íà ðåãèñòðèðóåìûå çíà÷åíèÿ õàðàêòåðèñòèê òâåðäîñòè, îòíî-

ñèòñÿ ê êàòåãîðèè ñëîæíûõ, íî î÷åíü âàæíûõ çàäà÷ ôèçèêè è ìåõàíèêè

ìàòåðèàëîâ, èìåþùèõ áîëüøîå ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå.

Çàêëþ÷åíèå. Íà õàðàêòåðèñòèêè òâåðäîñòè èññëåäîâàííûõ ñòàëåé, îïðå-

äåëÿåìûå ìåòîäàìè âäàâëèâàíèÿ â èñïûòóåìîå òåëî êîíè÷åñêîãî èíäåíòîðà,

îêàçûâàþò âëèÿíèå ñòåïåíü ìåõàíè÷åñêîé íàïðÿæåííîñòè ìàòåðèàëà, êîòî-

ðàÿ ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ ðåãèñòðèðóåìûõ çíà÷åíèé òâåðäîñòè è ñòåïåíè

èõ ðàññåÿíèÿ. Ïîñëå ñíÿòèÿ íàãðóçêè òâåðäîñòü ñòàëåé âîññòàíàâëèâàåòñÿ,

÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò îá îáðàòèìîñòè ïðîöåññîâ, êîíòðîëèðóþùèõ èçìåíå-

íèÿ òâåðäîñòè è ðàññåÿíèå åå çíà÷åíèé, ðåãèñòðèðóåìûõ ïðè ìàññîâûõ

èçìåðåíèÿõ.





îáðàçöà ñòàëè 0Í9. (Îáîçíà÷åíèÿ òå æå, ÷òî è íà ðèñ. 2.)

a

á

â

Ïðåäâàðèòåëüíûå ðàçãðóçêè íà ðàçíûõ ñòàäèÿõ äåôîðìèðîâàíèÿ ïðàê-

òè÷åñêè íå âëèÿþò íà òâåðäîñòü ñòàëåé è ðàññåÿíèå åå çíà÷åíèé, îïðåäå-

ëÿåìûõ ïðè èñïûòàíèÿõ ìàòåðèàëà êàê â íàãðóæåííîì, òàê è â ðàçãðó-

æåííîì ñîñòîÿíèÿõ, èëè ïðè äðóãèõ ôèêñèðîâàííûõ âî âðåìÿ èçìåðåíèÿ

òâåðäîñòè íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííûõ ñîñòîÿíèÿõ ìàòåðèàëà.

Äëÿ îöåíêè âëèÿíèÿ íàïðÿæåííîñòè ìàòåðèàëà íà ðåãèñòðèðóåìûå çíà-

÷åíèÿ òâåðäîñòè è èõ ðàññåÿíèå, ñâÿçàííîå ñ îñîáåííîñòÿìè íàïðÿæåííîãî

ñîñòîÿíèÿ è ïðîöåññà äåôîðìèðîâàíèÿ ôðàãìåíòîâ ñòðóêòóðû â çîíå âíåä-

ðåíèÿ èíäåíòîðà â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ êîíòàêòíûõ íàïðÿæåíèé è

ïîëåé íàïðÿæåíèé îò âíåøíèõ âîçäåéñòâèé, ïðåäëîæåíû ïðîñòûå, íî ôèçè-

÷åñêè äîñòîâåðíûå ïîêàçàòåëè ÷óâñòâèòåëüíîñòè ìàòåðèàëà ê íàïðÿæåííî-

äåôîðìèðîâàííîìó ñîñòîÿíèþ èñïûòûâàåìîãî îáðàçöà íà âñåõ ñòàäèÿõ äå-

ôîðìèðîâàíèÿ. Ýòè ïîêàçàòåëè èìåþò øèðîêèé äèàïàçîí èçìåíåíèÿ. Òàê,

åñëè ïðè îäíîîñíîì ðàñòÿæåíèè ìàòåðèàë íå÷óâñòâèòåëåí ê íàïðÿæåíèÿì,

òî � �Í m� �0, åñëè íàïðÿæåííîñòü ìàòåðèàëà ïðèâîäèò ê ñíèæåíèþ òâåð-

äîñòè äî íóëÿ, òî � �Í m� ��.

Ðàññìîòðåííûå ðåçóëüòàòû è èõ àíàëèç ñâèäåòåëüñòâóþò î íàëè÷èè

áîëüøèõ ðåçåðâîâ ïî äàëüíåéøåìó ñîâåðøåíñòâîâàíèþ ìåòîäîâ è ñðåäñòâ

èñïûòàíèÿ ìàòåðèàëîâ íà òâåðäîñòü, à òàêæå ïî ðàçðàáîòêå ýôôåêòèâíûõ

òåõíîëîãèé, îñíîâàííûõ íà åå èñïîëüçîâàíèè. Ê îäíîìó èç ïóòåé ðàñøè-

ðåíèÿ îáëàñòè ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà òâåðäîñòè îòíîñèòñÿ ïîâûøåíèå åãî

òî÷íîñòè, â òîì ÷èñëå çà ñ÷åò ïîëíîãî èñêëþ÷åíèÿ (èëè ðàçëè÷íûõ ôîðì

ó÷åòà ïðè îáðàáîòêå ðåçóëüòàòîâ èñïûòàíèé) âëèÿíèÿ íà ðåãèñòðèðóåìûå

ïàðàìåòðû íàïðÿæåííîñòè èññëåäóåìîãî ìàòåðèàëà.

Ð å ç þ ì å

Îáãîâîðþþòüñÿ íîâ³ åêñïåðèìåíòàëüí³ äàí³ ïðî òâåðä³ñòü êîíñòðóêö³éíèõ

ñòàëåé 25, 45 òà 0Í9, ùî îòðèìàíî íà çðàçêàõ, ÿê³ îäíà÷àñíî ï³ääàâàëè

îäíîâ³ñíîìó ðîçòÿãó, ó òîìó ÷èñë³ ç ïåð³îäè÷íèì ðîçâàíòàæåííÿì çà ð³çíèõ

ð³âí³â çàëèøêîâî¿ äåôîðìàö³¿. Çà ðåçóëüòàòàìè ïðèáëèçíî 30 âèì³ðþâàíü

óñòàíîâëåíî ñåðåäí³ çíà÷åííÿ õàðàêòåðèñòèê òâåðäîñò³ ìàòåð³àë³â ³ ïàðà-

ìåòðè ¿õ ðîçñ³ÿííÿ (çà Ãóìáåëåì) ïðè âèïðîáóâàííÿõ çðàçê³â ó íàâàíòà-

æåíîìó òà ðîçâàíòàæåíîìó ñòàíàõ. Îáãðóíòîâàíî ìåòîäèêó âèçíà÷åííÿ

ïîêàçíèê³â ÷óòëèâîñò³ âèì³ðÿíèõ çíà÷åíü òâåðäîñò³ ñòàëåé òà ñòóïåíÿ ¿õ

ðîçñ³ÿííÿ â çàëåæíîñò³ â³ä íàïðóæåíîñò³ ìàòåð³àëó, ùî äîçâîëÿº óòî÷íèòè

õàðàêòåðèñòèêè òâåðäîñò³ ìàòåð³àë³â, ÿê³ âèçíà÷àþòüñÿ íà îáëàäíàíí³, ùî

ïðàöþº, ïðè éîãî òåõí³÷í³é ä³àãíîñòèö³.

1. Î’Håéëü. Òâåðäîñòü ìåòàëîâ è åå èçìåðåíèå. – Ì.; Ë.: Ìåòàëëóðãèÿ,

1940. – 376 ñ.

2. Êîëìàêîâ À. Ã., Òåðåíòüåâ Â. Ô., Áàêèðîâ Ì. Á. Ìåòîäû èçìåðåíèÿ

òâåðäîñòè: Ñïðàâî÷íîå èçäàíèå. – Ì.: Èíòåðìåò èíæèíèðèíã, 2000. –

126 ñ.

3. Ìàðêîâåö Ì. Ï. Îïðåäåëåíèå ìåõàíè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëîâ ïî

òâåðäîñòè. – Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1979. – 192 ñ.



4. Ìàòþíèí Â. Ì. Ìåòîäû è ñðåäñòâà áåçîáðàçöîâîé ýêñïðåññ-îöåíêè

ìåõàíè÷åñêèõ ñâîéñòâ êîíñòðóêöèîííûõ ìàòåðèàëîâ. – Ì.: Èçä. ÌÝÈ,

2001. – 94 ñ.

5. Ïàòåíò ¹ 13952, ÌÊI7 G01 N3/00, G01 N3/40. Óêðà¿íà. Âèçíà÷åííÿ

â’ÿçêîñò³ ðóéíóâàííÿ ìàòåð³àë³â / À. Î. Ëåáåäºâ, Ì. Ð. Ìóçèêà, Â. Ï.

Øâåöü. – Îïóáë. 17.04.2006. Áþë. ¹ 4.

6. Ïàòåíò ¹ 52107À, MKI7G01N3/100, G013/40. Óêðà¿íà. Ñïîñ³á îö³íêè

äåãðàäàö³¿ ìàòåð³àëó âíàñë³äîê íàêîïè÷åííÿ ïîøêîäæåíü â ïðîöåñ³

íàïðàöþâàííÿ, “LM-ìåòîä òâåðäîñò³” / À. Î. Ëåáåäºâ, Ì. Ð. Ìóçèêà,

Í. Ë. Âîë÷åê. – Îïóáë. 15.01.2003. Áþë. ¹ 1.

7. Ëåáåäåâ À. À., Ìóçûêà Í. Ð., Âîë÷åê Í. Ë. Ìåòîä äèàãíîñòèêè ñîñòîÿíèÿ

ìàòåðèàëà ïî ïàðàìåòðàì ðàññåÿíèÿ õàðàêòåðèñòèê òâåðäîñòè // Çàâîä.

ëàá. – 2003. – ¹ 12. – Ñ. 49 – 51.

8. Ïèñàðåíêî Ã. Ñ., Ëåáåäåâ À. À. Äåôîðìèðîâàíèå è ïðî÷íîñòü ìàòå-

ðèàëîâ ïðè ñëîæíîì íàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè. – Êèåâ: Íàóê. äóìêà,

1976. – 416 ñ.

9. Lebedev A. A., Koval’chuk B. I., Giginyak F. F., and Lamashevsky V. P.

Handbook of Mechanical Properties of Structural Materials at a Complex

Stress State / Ed. by Prof. A. A. Lebedev. – New York: Begell House, 2002.

– 550 p.




ÓÄÊ 539.3

Ðåøåíèå ïðîñòðàíñòâåííîé çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè â

ïåðåìåùåíèÿõ äëÿ èçîòðîïíîãî óïðóãîãî ñëîÿ

Í. Ì. Áîðîäà÷åâ, Â. Â. Àñòàíèí

Íàöèîíàëüíûé àâèàöèîííûé óíèâåðñèòåò, Êèåâ, Óêðàèíà

Ïðåäëàãàåòñÿ íîâûé ìåòîä ðåøåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîé çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ ñëîÿ â

ïåðåìåùåíèÿõ. Â ðàìêàõ äàííîãî ïîäõîäà óäîâëåòâîðÿòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ïîâåðõíîñòÿõ

ñëîÿ ãîðàçäî ïðîùå, ÷åì ïðè èñïîëüçîâàíèè èçâåñòíûõ ñïîñîáîâ. Ðàññìîòðåí ïðèìåð, êîòî-

ðûé äîâåäåí äî ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ.

Êëþ÷åâûå ñëîâà: òåîðèÿ óïðóãîñòè â ïåðåìåùåíèÿõ, óïðóãèé ñëîé, âåêòîð

ïåðåìåùåíèé, ãàðìîíè÷åñêèé âåêòîð, ãàðìîíè÷åñêèé ñêàëÿð, ïðåîáðàçîâà-

íèå Ôóðüå.

Ââåäåíèå. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ äëÿ ðåøåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ çàäà÷

òåîðèè óïðóãîñòè â ïåðåìåùåíèÿõ øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå Ïàï-

êîâè÷à–Íåéáåðà. Îäíàêî ïðè ýòîì âîçíèêàþò ñåðüåçíûå òðóäíîñòè â ñëó÷àå

óäîâëåòâîðåíèÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, åñëè îíè ÿâëÿþòñÿ ñëîæíûìè. Íà ýòî

îáñòîÿòåëüñòâî óêàçûâàë Ïàïêîâè÷ â ðàáîòå [1].

Ïðåäëàãàåìîå ðåøåíèå ïîçâîëÿåò ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî óäîâëåòâîðÿòü

ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ óïðóãîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà è óïðóãîãî ñëîÿ êîíå÷-

íîé òîëùèíû. Îáçîð ðàáîò, ïîñâÿùåííûõ èññëåäîâàíèþ óïðóãîãî ñëîÿ,

ñîäåðæèòñÿ â [2–6].

Ðàññìàòðèâàåòñÿ èçîòðîïíûé óïðóãèé ñëîé [ ].0 3� �x h Âîñïîëüçóåìñÿ

ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò õ1, õ 2 , õ 3 , îñü õ 3 êîòîðîé ïåðïåíäè-

êóëÿðíà ê ãðàíè÷íûì ïîâåðõíîñòÿì òåëà. Äëÿ çàäà÷è â ïåðåìåùåíèÿõ èìååì

òàêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ:

ïðè

ïðè

x f x x j

x hf x x

j j

j jh

3 30

1 2

3

3 1 2

0 1 2 3� � �

��

�

�

( , ), , , ;

( , ),

( , ),, ,

u g x xj

h3 3 1 2

1 2�

��

��

(1)

ãäå � ij – êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé; u3 – ïðîåêöèÿ âåêòîðà ïåðå-

ìåùåíèé íà îñü x 3 . Ïîëàãàåì, ôóíêöèè f j0 è f j

h òàêîâûìè, ÷òî óäîâëå-

òâîðÿþòñÿ âñå øåñòü óðàâíåíèé ñòàòèêè.

Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ çàòóõàíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðà ïåðåìåùåíèé è òåíçîðà

íàïðÿæåíèé íà áåñêîíå÷íîñòè íåîáõîäèìî, ÷òîáû ôóíêöèè f j0 èìåëè íå-

íóëåâîå çíà÷åíèå â êîíå÷íûõ îáëàñòÿõ j0 ïëîñêîñòè x 3 0� , à ôóíêöèè f j

h

è g h3 – â êîíå÷íûõ îáëàñòÿõ j

h ïëîñêîñòè x h3 � .

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïðîñòðàíñòâåííîé çàäà÷è òåîðèè óïðó-

ãîñòè â ïåðåìåùåíèÿõ ïðè îòñóòñòâèè îáúåìíûõ ñèë èìååò âèä [7]

© Í. Ì. ÁÎÐÎÄÀ×ÅÂ, Â. Â. ÀÑÒÀÍÈÍ, 2008


u u��

� �1

1 20

�( ) , (2)

ãäå u – âåêòîð ïåðåìåùåíèé; � – êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà; – îïåðàòîð

Ëàïëàñà â R 3 ; – íàáëà-îïåðàòîð â R 3 .

Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2), óäîâëåòâîðÿþùåå ãðàíè÷-

íûì óñëîâèÿì (1).

Ðåøåíèå äëÿ óïðóãîãî ñëîÿ. Â [8] ïîêàçàíî, ÷òî óðàâíåíèå (2) áóäåò

óäîâëåòâîðåíî, åñëè äëÿ âåêòîðà ïåðåìåùåíèé u ïðèíÿòü ñëåäóþùåå ïðåä-

ñòàâëåíèå:

u B� ��

1

2 1 2 3( ),

��x (3)

ãäå

B�0; ��0;��

�

�

�x 3

2 1 2

3 4�

�

� �

( ).B (4)

Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà (3) îïðåäåëÿåò âåêòîð ïåðåìåùåíèé u ÷åðåç

ãàðìîíè÷åñêèé âåêòîð Â è ãàðìîíè÷åñêèé ñêàëÿð �, ñâÿçàííûå ìåæäó

ñîáîé òðåòüèì ñîîòíîøåíèåì (4).

Â êîìïîíåíòàõ äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò âûðàæåíèå (3) èìååò âèä

u B xx

u B xx

u B xx

1 1 31

2 2 32

3 3 33

1

2

� �

� �

� � �

��

�

��

�

��

��

;

;

,(1 2� � )

.

(5)

Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (5) è èçâåñòíûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó êîìïîíåí-

òàìè òåíçîðà íàïðÿæåíèé è âåêòîðà ïåðåìåùåíèé íàõîäèì

� ��

�

��

�

�

��

� �

�

� ��

��

113

1

13

2

12

21 2

2

��

� ��

��

�

��

�

x

B

xx

x;

1 2

21

2

3

2

23

2

22

3

��

�

��

�

��

� �

�

��

�

�

��

� �

�

� ��

��

x

B

xx

x

x

;

� ��

��

�

��

� � �

�

��

� �

�

� ��

�

�

��

B

xx

x

B

x

B

xx

3

33

2

32

121

2

2

132

;

� �

� �

2

1 2x x

�

��

�

��

�

�

��

�

��

;

(6a)

Ðåøåíèå ïðîñòðàíñòâåííîé çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè ...


� ��

�

�

��

��

� �

� �

�

232

3

3

2 23

2

2 3

3

2� � � ��

��

�

��

B

x

B

x xx

x x;

13

1

1

3 13

2

1 3

2� � � ��

��

�

��

�

�

��

��

�

�

��

��

� �

� �

B

x

B

x xx

x x,

�

��

(6á)

ãäå � ij – êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé; � – ìîäóëü ñäâèãà.

Íèæå áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ äâóõìåðíîå èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå

Ôóðüå. Äâóõìåðíàÿ òðàíñôîðìàíòà Ôóðüå íåêîòîðîé ôóíêöèè f x x x( , , )1 2 3

èìååò âèä [9]

f x f x x x e dx dxi x x

( , , ) ( , , ) .( )� �

��

1 2 3 1 2 3 1 2

1

21 1 2 2� �

��

�

��

�

�

Ïðèìåíèì ê âûðàæåíèÿì (5) è (6) äâóõìåðíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå è

ñ ó÷åòîì çàòóõàíèÿ ïåðåìåùåíèé è íàïðÿæåíèé íà áåñêîíå÷íîñòè ïîëó÷èì

u B i x

u B i x

u B xx

1 1 1 3

2 2 2 3

3 3 33

� �

� �

� �

� � �

� � �

��

�

;

;

;

(7)

� ��

�

��

��

� ��

��

113

1 1 12

321 2

21 2

��

� ��

��

�

��

��

xi B x ;

��

��

� ��

�

�

�

xi B x

x

B

x

32 2 2

23

333

3

3

21

2

� ��

��

�

��

� � � �

;

��

�

� � � � � � � �

�

xx

i B i B x

3

2

32

12 2 1 1 2 1 2 32

�

��

�

��

� � � �

;

( );

232

32 3 2 2 3

3

31

2� � � ��

��

�

��

� �

��

��

��

�

� �

B

xi B i i x

x;

i BB

xi i x

x�

�

��

��

�1 31

31 1 3

3

2� � ��

��

�

��

�

�

��

.�

��

(8)

Êàæäàÿ êîìïîíåíòà B j ãàðìîíè÷åñêîãî âåêòîðà Â óäîâëåòâîðÿåò óðàâ-

íåíèþ Ëàïëàñà

B j �0, j�1, 2, 3. (9)

Ãàðìîíè÷åñêèé ñêàëÿð � òàêæå óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà

��0. (10)



Ïðèìåíÿÿ ê óðàâíåíèÿì (9) è (10) äâóõìåðíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå è

ðåøàÿ ïîëó÷åííûå îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, íàõîäèì

B x A kx C kxj j j( , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( );� � � � � �1 2 3 1 2 3 1 2 3� �sh ch (11)

� � � � � � �( , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ),1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3x A kx C kx� �sh ch (12)

ãäå k 212

22� �� , j�1, 2, 3.

Óäîâëåòâîðåíèå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì. Ïðåîáðàçîâàííûå ïî Ôóðüå

ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (1) ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä:

ïðè

ïðè

x f j

x hf

j j

j jh

3 30

1 2

3

3 1 2

0 1 2 3� � �

��

� � �

� � �

( , ), , , ;

( , ),

( , ),, .

u gj

h3 3 1 2

1 2�

��

��

� �

(13)

Ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (7), (8), (11), (12) ïðè óäîâëåòâîðåíèè óñëîâèÿì

(13) ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé:

kA i C i Cf

kA i C i Cf

kA k

1 1 3 1 010

2 2 3 2 020

32

� � �

� � �

�

� � ��

� � ��

;

;

Af

k A kh C kh i A kh C kh

030

1 1 1 3 3

�

� � �

�

�

;

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )ch sh sh ch ]

{ [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]}

�

� � � �i A kh kh kh C kh kh kh� �1 0 02 2sh ch ch sh �

� � �

f

k A kh C kh i A kh C kh

h1

2 2 2 3 3

�

�

;

( ) ( ))] [ ( ) ( )[( ch sh sh ch ]

{ [ ( ) ( ) [ ( ) ( )]}

�

� � �i A kh kh kh C kh kh kh� �2 0 02 2sh ch ] + ch sh �

� � � �

f

A kh C kh kh A kh C kh g

h

h

2

3 3 0 0 3

�

�

;

( ) ( ) [ ( ) ( )]sh ch ch sh ;

;

,

i A i A kCkC

i C i C kAkA

� �

� �

1 1 2 2 30

1 1 2 2 30

0

0

� � � �

� � � �

�

�

��

�

��

(14)

ãäå

��

��

1

2 1 2( );

�

��

�

�

2 1 2

3 4

( );

âåëè÷èíû f 10 , f 2

0 , f 30 , f h

1 , f h2 , g h

3 ïîëàãàåì èçâåñòíûìè.



Ïðè ïîëó÷åíèè äâóõ ïîñëåäíèõ óðàâíåíèé (14) èñïîëüçîâàëè òðåòüå

ñîîòíîøåíèå èç (4), ïðåîáðàçîâàííîå ïî Ôóðüå. Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé

(14), íàõîäèì âåëè÷èíû À0 , Ñ 0 , À1, Ñ1, À2 , Ñ 2 , À3 , Ñ 3 . (Âûðàæåíèÿ äëÿ

ýòèõ âåëè÷èí â îáùåì âèäå íå ïðèâåäåíû èç-çà ãðîìîçäêîñòè. Áîëåå äå-

òàëüíî èõ îïðåäåëåíèå áåäåò ðàññìîòðåíî íà ïðèìåðå.) Çàòåì ïî ôîðìóëàì

(11), (12) âîññòàíàâëèâàåì òðàíñôîðìàíòû Ôóðüå ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé

B xj ( , , ),� �1 2 3 j�1, 2, 3 è � � �( , , ).1 2 3õ È, íàêîíåö, ïî ôîðìóëàì (7), (8)

îïðåäåëÿåì òðàíñôîðìàíòû Ôóðüå êîìïîíåíò âåêòîðà ïåðåìåùåíèé è òåí-

çîðà íàïðÿæåíèé. ×òîáû ïîëó÷èòü îêîí÷àòåëüíûå ôîðìóëû äëÿ ïåðåìåùå-

íèé è íàïðÿæåíèé, ñëåäóåò ïðèìåíèòü òåîðåìó îáðàùåíèÿ äëÿ äâóõìåðíîãî

ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíîé òàêæå

òåîðåìà î ñâåðòêàõ äëÿ ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.

Ñèñòåìó óðàâíåíèé (14) ìîæíî ðåøèòü â ñèìâîëüíîì âèäå íà ÝÂÌ ñ

èñïîëüçîâàíèåì ïðàâèëà Êðàìåðà.

Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì óïðóãèé èçîòðîïíûé ñëîé òîëùèíîé h (0 3� �x h),

ðàñïîëîæåííûé íà æåñòêîì íåäåôîðìèðóåìîì îñíîâàíèè. Ïîëàãàåì, ÷òî

ñèëû òðåíèÿ ìåæäó ñëîåì è îñíîâàíèåì îòñóòñòâóþò. Óïðóãèé ñëîé ñæè-

ìàåòñÿ íîðìàëüíûìè óñèëèÿìè, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûìè ïî êâàäðàòó,

ðàñïîëîæåííîìó â ïëîñêîñòè õ 3 0� (ðèñ. 1). Êàæäàÿ ñòîðîíà êâàäðàòà

ðàâíà 2à.

Â äàííîì ñëó÷àå â ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ (1) ïðèíèìàåì

f f f f g

f x x px a x

h h h10

20

1 2 3

30

1 21 2

0

1

� � � � �

��!

;

( , )| | , | |ïðè !

" "

��

a

x a x a

;

| | , | | .0 1 2ïðè

(15)



Ðèñ. 1. Ñõåìà íàãðóæåíèÿ óïðóãîãî ñëîÿ: à – ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå; á – â ïëàíå.

a

á

Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (15) ïîëó÷èì

f f f f gh h h10

20

1 2 3 0� � � � � ;

f f x x e dx dxi x x

30

1 2 30

1 2 1

1

21 1 2 2( , ) ( , )

( )� ��

� ��

��

�

��

�

�� 2 �

��

��p

e dx dxi x x

a

a

a

a

21 1 2 2

1 2�� ( )

.

(16)

Â ðåçóëüòàòå âû÷èñëåíèÿ ýòîãî èíòåãðàëà íàõîäèì

fp a a

30

1 21 2

1 2

2( , )

sin sin.� �

�

� �

� �� (17)

Ïðè ðåøåíèè ñèñòåìû óðàâíåíèé (14) ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (16), (17)

èìååì

A i k kh

C i k kh

12

15 3

1 15

8 1 3 2

8

��

� � �

�

�

( ) ( );sh

sh( )[ (1

�

) ( ) ( ) ( )];

( )

kh kh kh

A i k

� � �

��

1 3 2

8 1 3 2

2

22

25

sh ch

sh

sh sh

3

2 25 28 1 1 3 2

( );

( )[ ( ) ( ) ( )

kh

C i k kh kh kh� � � � � � � ch

sh sh ch

( )];

( ) ( )[ ( ) ( ) ( )];

kh

A k kh kh kh kh368 1 2 1� � � �

C k kh

A k kh

32 6 3

06 2

16 1

16 1 1 2

��

� � �

( ) ( );

( )( ) ( )

sh

sh ch

sh sh ch

( );

( ) ( )[ ( ) ( )],

kh

C k kh kh kh kh0716 1��

�

�

�

(18)

ãäå

�

� �

� ��

2 1 2

1 2

p

D

a asin sin; (19)

D k kh kh kh kh� � �16 1 7( ) ( )[ ( ) ( )]. sh sh ch (20)

Ïîäñòàâèì ñîîòíîøåíèÿ (18) â âûðàæåíèÿ (11) è (12). Â ðåçóëüòàòå

ïîëó÷èì ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ òðàíñôîðìàíò Ôóðüå ãàðìîíè÷åñêèõ

ôóíêöèé B j è �. Çàòåì ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (7) è (8) íàõîäèì

òðàíñôîðìàíòû Ôóðüå êîìïîíåíò âåêòîðà ïåðåìåùåíèé è òåíçîðà íàïðÿ-

æåíèé. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îêîí÷àòåëüíûõ ôîðìóë äëÿ ïåðåìåùåíèé è íàïðÿ-

æåíèé íåîáõîäèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé îáðàùåíèé äëÿ äâóõìåðíîãî

ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.

×òîáû ïîêàçàòü áîëåå äåòàëüíî õîä äàëüíåéøèõ âû÷èñëåíèé, ðàññìîò-

ðèì îïðåäåëåíèå íîðìàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ � 3 1 2 3( , , ).õ õ õ



Ïîäñòàâèì â òðåòüþ ôîðìóëó (8) âûðàæåíèÿ äëÿ Â3 è � èç (11), (12):

� � �33 3 0 3 3 021

2� � � �

�

��

�

��

$

%&k kx A A kx Cch( )

� � � ��

��

�

��'

()sh( ) ( ) .kx C C kx A3 0 3 3 0

1

2� (21)

Ñ ó÷åòîì â (21) ñîîòíîøåíèé äëÿ À0 , Ñ 0 , À3 , Ñ 3 (18) íàõîäèì

� � �33 1 2 330

( , , )( ) ( )

xf

kh kh kh�

�*

sh ch

* � � � �{ ( ) ( )[ ( ) ( )]},kh kx kh k h x kx k h xch sh ch sh3 3 3 3 (22)

ãäå âåëè÷èíà f 30 îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (17).

Â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ ê (22) òåîðåìû îáðàùåíèÿ äëÿ äâóõìåðíîãî

ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïîëó÷èì

� 3 1 2 3( , , )x x x �

��

��

�

�22 1 3

1 2

1

1 1 2 2p

e F k xa ai x x

�

� �

�� ( )

( , )sin( )sin( )

��

21 22 2[ ( )]

,kh kh

d d�

��

�

�sh

(23)

ãäå

F k x kh kx kh kh kx kx kh1 3 3 3 3( , ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) (� � � � �ch sh ch sh kx 3 )].

Ïðîâåäåì çàìåíó ïåðåìåííûõ è ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:

yx

aj

j� , j�1, 2, 3; ��! !�y y1 2, ; 0 3� �y +;

+�h

a; , �1 1� a ; , �2 2� a ; , , ,� �( ) ./

12

22 1 2

Òîãäà ôîðìóëà (23) ïðåîáðàçóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

� 33 1 2 3( , , )y y y �

��

8

2 22

1 2 1 1 2 2

1 2

p y y

�

, , , ,

, , +, +,

sin sin cos( )cos( )

[ ( )sh ]( , ) ,

00

3 1 2

��

�� F y d d, , , (24)

ãäå

F y y y y( , ) ( ) ) ( )[ ( ) ( ) (, +, , +, +, , , +, ,3 3 3 3� � � � �ch( sh ch sh y 3 )].



Äâîéíîé èíòåãðàë, âõîäÿùèé â (24), ïî-âèäèìîìó, â îáùåì ñëó÷àå

íåëüçÿ âû÷èñëèòü â êîíå÷íîì âèäå. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ïðèìåíÿòü ÷èñ-

ëåííûå ìåòîäû. Ìîæíî ïîêàçàòü [10], ÷òî ôîðìóëà (24) òî÷íî óäîâëåòâîðÿåò

øåñòîìó ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (15) íà âñåé ïëîñêîñòè ó 3 0� .

Â ÷àñòíîì ñëó÷àå ïðè ó ó ó1 2 3 0� � � èìååì

F( , ) [ ( )],, +, +,01

22 2� � sh

è èç ôîðìóëû (24) ñëåäóåò

��

, ,

, ,, ,33 2

1 2

1 200

1 20 0 04

( , , )sin sin

.��

��pd d p

Âû÷èñëèì íàïðÿæåíèå � 33 â ðÿäå òî÷åê, ðàñïîëîæåííûõ íà îñè Îó 3 .

Â ýòîì ñëó÷àå ó ó1 2 0� � , è ôîðìóëà (24) ïðèíèìàåò âèä

��

, , ,

, , +, +,33 3 2

1 2 3

1 2

0 08

2 2( , , )

sin sin ( , )

[ ( )y

p F y��

� sh ].

00

1 2

��

�� d d, , (25)

Äâîéíîé èíòåãðàë, âõîäÿùèé â (25), âû÷èñëÿëè ÷èñëåííî íà ÝÂÌ ñ

ïîìîùüþ êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë. Âåðõíèå ïðåäåëû âìåñòî � ïðèíèìàëè

ðàâíûìè 50, ïðè ýòîì òî÷íûìè îêàçàëèñü ïåðâûå ïÿòü çíà÷àùèõ öèôð.

Âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäèëè ïðè +�2 è 3. Òîãäà

� -33 3 30 0( , , ) ( ).y p y��

Ãðàôèêè ôóíêöèè -( )ó 3 ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2.



Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü ôóíêöèè - îò ó3: 1 – h a� 2; 2 – h a� 3.

Çàêëþ÷åíèå. Ïðåäëîæåí íîâûé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è î ðàâíîâåñèè

óïðóãîãî ñëîÿ, êîòîðûé ïîçâîëÿåò áîëåå ïðîñòî óäîâëåòâîðÿòü ãðàíè÷íûì

óñëîâèÿì. Ðàññìîòðåí ïðèìåð, äîâåäåííûé äî ÷èñëîâûõ ðåçóëüòàòîâ.

Ð å ç þ ì å

Çàïðîïîíîâàíî íîâèé ìåòîä ðîçâ’ÿçêó ïðîñòîðîâî¿ çàäà÷³ òåîð³¿ ïðóæíîñò³

äëÿ øàðó â ïåðåì³ùåííÿõ. Ó ðàìêàõ äàíîãî ï³äõîäó çàäîâîëüíèòè ãðàíè÷í³

óìîâè íà ïîâåðõíÿõ øàðó íàáàãàòî ïðîñò³øå, í³æ ïðè âèêîðèñòàíí³ â³äîìèõ

ñïîñîá³â. Ðîçãëÿíóòî äîâåäåíèé äî ÷èñëîâèõ ðåçóëüòàò³â ïðèêëàä.

1. Ïàïêîâè÷ Ï. Ô. Òåîðèÿ óïðóãîñòè. – Ë.; Ì.: Îáîðîíãèç, 1939. – 640 ñ.

2. Âîðîâè÷ È. È., Àëåêñàíäðîâ Â. Ì., Áàáåøêî Â. À. Íåêëàññè÷åñêèå

ñìåøàííûå çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè. – Ì.: Íàóêà, 1974. – 455 ñ.

3. Ãðèí÷åíêî Â. Ò., Óëèòêî À. Ô. Ðàâíîâåñèå óïðóãèõ òåë êàíîíè÷åñêîé

ôîðìû. – Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1985. – 280 ñ.

4. Ëóðüå À. È. Ïðîñòðàíñòâåííûå çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè. – Ì.: Ãîñ.

èçä-âî òåõí.-òåîðåò. ëèò., 1955. – 491 ñ.

5. Óôëÿíä ß. Ñ. Èíòåãðàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ â çàäà÷àõ òåîðèè óïðó-

ãîñòè. – Ë.: Íàóêà, 1967. – 402 ñ.

6. Øàïèðî Ã. Ñ. Î ðàñïðåäåëåíèè íàïðÿæåíèé â íåîãðàíè÷åííîì ñëîå //

Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. – 1944. – 8, âûï. 2. – Ñ. 167 – 168.

7. Ëóðüå À. È. Òåîðèÿ óïðóãîñòè. – Ì.: Íàóêà, 1970. – 939 ñ.

8. Áîðîäà÷åâ Í. Ì., Àñòàíèí Â. Â. Îá îäíîì ìåòîäå ðåøåíèÿ ïðîñòðàíñò-

âåííîé çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè â ïåðåìåùåíèÿõ // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. –

2003. – ¹ 3. – Ñ. 62 – 69.

9. Davies B. Integral Transforms and Their Applications. – Berlin: Springer-

Verlag, 1978. – 411 p.

10. Ãðàäøòåéí È. Ñ., Ðûæèê È. Ì. Òàáëèöû èíòåãðàëîâ, ñóìì, ðÿäîâ è

ïðîèçâåäåíèé. – Ì.: Íàóêà, 1971. – 1108 ñ.




ÓÄÊ 539.3;537.39

Åêñïåðèìåíòàëüíà îö³íêà âïëèâó ³ìïóëüñíîãî åëåêòðè÷íîãî

ñòðóìó íà çàëèøêîâ³ íàïðóæåííÿ â ïîêðèòò³ Ti–Al–Si–Ag

Ã. Â. Ñòåïàíîâ, À. ². Áàáóöüêèé, ². À. Ìàìººâ

²íñòèòóò ïðîáëåì ì³öíîñò³ ³ì. Ã. Ñ. Ïèñàðåíêà ÍÀÍ Óêðà¿íè, Êè¿â, Óêðà¿íà

Ðåçóëüòàòè åêñïåðèìåíò³â òà ìîäåëþâàííÿ ìåòîäîì ñê³í÷åííèõ åëåìåíò³â ó ïðóæí³é

ïîñòàíîâö³ ñâ³ä÷àòü, ùî â ñò³éêîìó äî îêèñëåííÿ òîíêîìó ïîêðèòò³, íàíåñåíîìó íà îñíîâó ç

òèòàíîâîãî ñïëàâó, âèíèêàþòü çàëèøêîâ³ íàïðóæåííÿ âèñîêîãî ð³âíÿ. Ïðîïóñêàííÿ ³ìïóëüñ-

íîãî åëåêòðè÷íîãî ñòðóìó ÷åðåç çðàçîê ³ç ïîêðèòòÿì ñóòòºâî çíèæóº ñåðåäí³é ð³âåíü

çàëèøêîâèõ íàïðóæåíü ó ïîêðèòò³.

Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ìàãíåòðîííå íàïèëåííÿ, ñò³éêå äî îêèñëåííÿ ïîêðèòòÿ,

ñïëàâ Timetal 834, çàëèøêîâ³ íàïðóæåííÿ, ³ìïóëüñíèé åëåêòðè÷íèé ñòðóì.

Âñòóï. Âïëèâ çàëèøêîâèõ íàïðóæåíü (ÇÍ) ðîçòÿãó íà ì³öí³ñòü äåòàëåé ç

ïîêðèòòÿì äîáðå â³äîìèé. Çà ³ñíóþ÷èìè ìåòîäàìè ð³âåíü ÇÍ ó ñèñòåì³

ïîêðèòòÿ–îñíîâà çìåíøóþòü øëÿõîì âèêîðèñòàííÿ ïðîì³æíèõ øàð³â ³ç ïî-

ãîäæåíèìè âëàñòèâîñòÿìè, ïîçèòèâíèé åôåêò äàº òàêîæ íàíåñåííÿ äèñêðåò-

íèõ ïîêðèòü [1]. Ðàçîì ³ç òèì ðîçðîáêà íîâèõ ìåòîä³â º àêòóàëüíîþ.

Çã³äíî ç ÷èñëåííèìè åêñïåðèìåíòàëüíèìè äàíèìè ³ìïóëüñíèé åëåêò-

ðè÷íèé ñòðóì (²ÅÑ) ñóòòºâî âïëèâàº íà ðåëàêñàö³þ íàïðóæåíü ó ìåòàëàõ ïðè

¿õ àêòèâíîìó íàâàíòàæåíí³ ðîçòÿãîì [2–4], ó òîé ÷àñ ÿê ³íôîðìàö³ÿ ïðî

ðåëàêñàö³þ ÇÍ ïðàêòè÷íî â³äñóòíÿ. Â³äîìî, ùî îáðîáêà ²ÅÑ çìåíøóº ÇÍ

ïåðøîãî òà äðóãîãî ðîäó, ùî ôîðìóþòüñÿ ï³ñëÿ òåõíîëîã³÷íèõ îïåðàö³é,

ïîâ’ÿçàíèõ ³ç ïëàñòè÷íèì äåôîðìóâàííÿì [5]. ª òàêîæ äàí³ ùîäî âèêîðèñ-

òàííÿ îáðîáêè ²ÅÑ äëÿ çíèæåííÿ ð³âíÿ ÇÍ ï³ñëÿ çâàðþâàííÿ [6]. Äàí³ ïðî

âïëèâ îáðîáêè ²ÅÑ íà ÇÍ â ïîêðèòòÿõ â³äñóòí³. Íèæ÷å íàâåäåíî ðåçóëüòàòè

åêñïåðèìåíòàëüíîãî âèçíà÷åííÿ ÇÍ ó òîíêîìó ïîêðèòò³, ùî íàíåñåíå íà

îñíîâó ç òèòàíîâîãî ñïëàâó, äî òà ï³ñëÿ îáðîáêè ²ÅÑ.

Ìàòåð³àë äëÿ äîñë³äæåíü. Ïðè ïðîâåäåíí³ äîñë³äæåíü çà ìàòåð³àë

îñíîâè áðàëè ñïëàâ Timetal 834 (Ti–5,8Al–4Sn–3,5Zr–0,7Nb–0,5Mo–0,35Si–

0,06C–0,09O, âàã.%), ùî º ìàéæå �-òèòàíîâèì ñïëàâîì. Öåé ñïëàâ øèðîêî

âèêîðèñòîâóºòüñÿ ïðè âèðîáíèöòâ³ äåòàëåé êîìïðåñîð³â ñó÷àñíèõ ãàçîòóð-

á³ííèõ äâèãóí³â [7]. ×åðåç äîñèòü íèçüêèé îï³ð îêèñëåííþ éîãî çàñòîñó-

âàííÿ îáìåæåíî òåìïåðàòóðàìè ïðèáëèçíî 600�Ñ. Äëÿ ïîêðàùàííÿ ö³º¿

õàðàêòåðèñòèêè íà îñíîâó ç³ ñïëàâó Timetal 834 ìàãíåòðîííèì íàïèëåííÿì

íàíîñÿòü ïîêðèòòÿ Ti–Al–Si–Ag.

Äîñë³äæóâàëè çðàçêè, ÿê³ âèãîòîâëÿëè ç³ ñïëàâó Timetal 834 ó ôîðì³

ñòðèæíÿ ç ïîïåðå÷íèì ïåðåð³çîì 3 10� ìì òà äîâæèíîþ 70 ìì. Ïîêðèòòÿ

íàíîñèëè ìàãíåòðîííèì íàïèëåííÿì: çðàçêè ï³äâ³øóâàëè íà òîíêèõ (ä³à-

ìåòð 0,5 ìì) ñòàëåâèõ íèòêàõ ï³ä ãîðèçîíòàëüíèì ñòîëîì, ùî îáåðòàâñÿ ç

÷àñòîòîþ 0,2 Ãö íàâêîëî âåðòèêàëüíî¿ îñ³ ñèìåòð³¿ öèë³íäðè÷íî¿ âàêóóìíî¿

êàìåðè. ×îòèðè ìàãíåòðîíí³ ãàðìàòè ç ì³øåíÿìè ç Ti, Al, Ag òà Si ðîçì³-

ùóâàëè ñèìåòðè÷íî ïî îêðóæíîñò³ êàìåðè (îäíà â³ä îäíî¿ ç êóòîì 90�) íà

â³äñòàí³ 200 ìì â³ä îñ³ êàìåðè. Ï³ä ÷àñ íàíåñåííÿ ïîêðèòòÿ êàìåðó çàïîâíþ-

© Ã. Â. ÑÒÅÏÀÍÎÂ, À. ². ÁÀÁÓÖÜÊÈÉ, ². À. ÌÀÌªªÂ, 2008


âàëè àðãîíîì ï³ä òèñêîì 0,2 Ïà ïðè éîãî áåçïåðåðâíîìó ïîòîö³ 0,2 ñì 3/õâ.

Á³ëüø äåòàëüíî ïðîöåñ íàíåñåííÿ ïîêðèòòÿ îïèñàíî â ðîáîò³ [8].

Ì³êðîñòðóêòóðíèé àíàë³ç çðàçê³â ïðîâîäèëè ç âèêîðèñòàííÿì îïòè÷íî¿

ì³êðîñêîï³¿, ñêàíóþ÷î¿ òà àíàë³òè÷íî¿ òðàíñì³ñ³éíî¿ åëåêòðîííî¿ ì³êðîñêîï³¿

(ÑÅÌ òà ÒÅÌ â³äïîâ³äíî). ÒÅÌ-äîñë³äæåííÿ ïðîâîäèëè íà ì³êðîñêîï³ JEOL

JEM-2010 ARP ç âèêîðèñòàííÿì òîíêèõ ôîëüã, ÿê³ âèãîòîâëÿëè ñôîêóñî-

âàíèì ïðîìåíåì ³oí³â.

Ì³êðîñòðóêòóðà ñïëàâó â ñòàí³ ïîñòàâêè ñêëàäàºòüñÿ ç �-ôàçè (ãåêñà-

ãîíàëüíà ù³ëüíî óïàêîâàíà) òà íåâåëèêî¿ ê³ëüêîñò³ �-ôàçè (êóá³÷íà îá’ºìíî

öåíòðîâàíà). Äîäàòêîâî â çåðíàõ òà íà ¿õ ãðàíèöÿõ áóëî âèÿâëåíî âèñîêî-

äèñïåðñí³ âèä³ëåííÿ Zr5Si4 (ãåêñàãîíàëüí³ ïðèì³òèâè). Äåòàëüíèé îïèñ ì³êðî-

ñòðóêòóðè ñïëàâó â ñòàí³ ïîñòàâêè íàâåäåíî â ðîáîò³ [9]. Ì³êðîñòðóêòóðà

îñíîâè íå çì³íþºòüñÿ ï³ñëÿ íàíåñåííÿ ïîêðèòòÿ.

Òèïîâèé âèãëÿä ÑÅÌ-ì³êðîñòðóêòóðè ïîêðèòòÿ Ti–Al–Si–Ag íà îñíîâ³ ç

Timetal 834 ïîêàçàíî íà ðèñ. 1. ÒÅÌ-äîñë³äæåííÿ ñâ³ä÷àòü, ùî ïîêðèòòÿ

ôîðìóºòüñÿ ó âèãëÿä³ äâîõ ñóáøàð³â ³ç â³äì³ííîþ ìiêðîñòðóêòóðîþ: çîâí³ø-

í³é ñòîâï÷àñòèé �-TiAl ñóáøàð òà àìîðôíèé âíóòð³øí³é. Äåòàëüí³ ÒÅÌ-

äîñë³äæåííÿ ïðîäîâæóþòüñÿ. Ñë³ä çàóâàæèòè, ùî òîâùèíà ïîêðèòòÿ íà äî-

ñë³äæóâàíèõ çðàçêàõ ñÿãàëà áëèçüêî 10 ìêì.

Îö³íêà çàëèøêîâèõ íàïðóæåíü ó ïîêðèòò³. Çàëèøêîâ³ íàïðóæåííÿ

îö³íþâàëè ðóéí³âíèì ìåòîäîì. Éîãî ñóòü ïîëÿãàº â òîìó, ùî ³ç çðàçêà

âèð³çàºòüñÿ ïåâíèé îá’ºì íàâàíòàæåíîãî ìàòåð³àëó ³ âèì³ðþºòüñÿ ðåçóëü-

òóþ÷à äåôîðìàö³ÿ â ñóì³æíèõ îáëàñòÿõ. ²ñíóþ÷³ çàëèøêîâ³ íàïðóæåííÿ ó

âèäàëåíîìó ìàòåð³àë³ ìîæíà ðîçðàõóâàòè çà âèì³ðÿíèìè äåôîðìàö³ÿìè,

îñê³ëüêè â äàí³é òî÷ö³ ìàòåð³àëó âîíè çàëåæàòü â³ä óñ³õ íàïðóæåíü, ùî

³ñíóâàëè ó òàêîìó ìàòåð³àë³. Íà ö³é îñíîâ³ áàçóþòüñÿ ðóéí³âí³ ìåòîäè

âèì³ðþâàííÿ ÇÍ [10]. ßê ïðàâèëî, íàäàë³ ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ äåôîðìàö³ÿìè

òà íàïðóæåííÿìè âèçíà÷àþòüñÿ ìåòîäîì ñê³í÷åííèõ åëåìåíò³â (ÌÑÅ).

Ùîá âèçíà÷èòè ðîçïîä³ë ÇÍ ó ò³ë³ çà äîïîìîãîþ ö³º¿ ìåòîäèêè, çàçâè÷àé

íà ïåâí³é ä³ëÿíö³ ïîñòóïîâî ï³ä êîíòðîëåì âèäàëÿþòü ìàòåð³àë ç îäíîãî

áîêó çðàçêà ³ ðåºñòðóþòü ïðóæí³ äåôîðìàö³¿ íà ïðîòèëåæí³é éîãî ñòîðîí³.

Ïðè âèêîíàíí³ äàíèõ äîñë³äæåíü ïðîâåñòè êîíòðîëüîâàíå ïîåòàïíå âèäà-

ëåííÿ (çìåíøåííÿ òîâùèíè) ïîêðèòòÿ òîâùèíîþ 10 ìêì ³ç îäíî÷àñíîþ

ðåºñòðàö³ºþ äåôîðìàö³é äîñèòü ñêëàäíî. Ó çâ’ÿçêó ç öèì áóëî ðîçðîáëåíî



Ðèñ. 1. ÑÅÌ-ì³êðîñòðóêòóðà ïîêðèòòÿ Ti–Al–Si–Ag íà îñíîâ³ ç Timetal 834 (ïîïåðå÷íèé

ïåðåð³ç, çîáðàæåííÿ ó âòîðèííèõ åëåêòðîíàõ).

ìåòîäèêó îö³íêè â øàð³ ïîêðèòòÿ îñåðåäíåíèõ íàïðóæåíü. Çà äîïîìîãîþ

öüîãî ìåòîäó íå ìîæíà âèçíà÷èòè ðîçïîä³ë íàïðóæåíü ó òîíêîìó ïîêðèòò³ òà

ïîáëèçó ìåæ³ ïîä³ëó îñíîâè ³ ïîêðèòòÿ, àëå ìîæíà îö³íèòè âïëèâ îáðîáêè

²ÅÑ íà îñåðåäíåí³ íàïðóæåííÿ â ïîêðèòò³. Íàÿâí³ñòü ÇÍ íàïðóæåíü � ñ ó

ïîêðèòò³ ïðèçâîäèòü äî ïåâíîãî ðîçïîä³ëó íàïðóæåíü â îñíîâ³ (ðèñ. 2,à).

Ïðè öüîìó ïîòð³áíî âðàõîâóâàòè, ùî íàïðóæåííÿ â îñíîâ³ äóæå ìàë³ ³ º

ñóìîþ ïîçäîâæí³õ êîìïîíåíò òà êîìïîíåíò â³ä çãèíó. ×åðåç âèäàëåííÿ øàðó

ïîêðèòòÿ (ðèñ. 2,á) çí³ìàþòüñÿ ïîçäîâæí³ íàïðóæåííÿ â îñíîâ³ ³ çì³íþºòüñÿ

ïîçäîâæíÿ äåôîðìàö³ÿ, ùî ðåºñòðóºòüñÿ, íà âåëè÷èíó �R . Ïîð³âíÿííÿ

çàðåºñòðîâàíèõ çì³í ó ïîêàçàííÿõ äàò÷èêà äåôîðìàö³¿ äî, ï³ñëÿ îáðîáêè ²ÅÑ

òà ïðè ïîäàëüøîìó âèäàëåíí³ ïîêðèòòÿ ìîæå âèêîðèñòîâóâàòèñÿ äëÿ îö³íêè

âåëè÷èíè îñåðåäíåíèõ íàïðóæåíü ó öüîìó ïîêðèòò³.

Ïðè ïðîâåäåíí³ åêñïåðèìåíò³â íà êîæíèé çðàçîê ïðèêëåþâàëè ïî äâà

òåíçîäàò÷èêè ç áàçîþ 5 ìì (íà ñòîðîí³, ùî ïðîòèëåæíà äî ïîêðèòòÿ Ti–Al–

Si–Ag, ðèñ. 3). Äàí³ ùîäî äåôîðìàö³¿ äàò÷èê³â îòðèìóâàëè ç âèêîðèñòàííÿì

äâîêàíàëüíî¿ âèì³ðþâàëüíî¿ ñèñòåìè, ùî âêëþ÷àëà äâà êîìåðö³éí³ ìîäóë³

ICP CON I-7016P. Çà äîïîìîãîþ ìîäóëÿ ICP CON I-7520 (RS 232) îòðèìàí³

äàí³ ïåðåäàâàëèñÿ äî ïåðñîíàëüíîãî êîìï’þòåðà äëÿ ïîäàëüøî¿ îáðîáêè.

Íà îäíîìó ³ç çðàçê³â äåôîðìàö³¿ âèì³ðþâàëè äî, ï³ñëÿ îáðîáêè ²ÅÑ òà

ïðè âèäàëåíí³ ïîêðèòòÿ. Íà ³íøîìó çðàçêó äåôîðìàö³¿ âèì³ðþâàëè äî ³ ï³ñëÿ

âèäàëåííÿ ïîêðèòòÿ (îáðîáêó ²ÅÑ íå âèêîðèñòîâóâàëè). Ó âñ³õ âèïàäêàõ

ïîêðèòòÿ íàâïðîòè òåíçîäàò÷èêà âèäàëÿëè òîíêèì øë³ôóâàííÿì íà øèðèíó

Â á³ëüøå í³æ 10 ìì (ïîâíîòó âèäàëåííÿ ïîêðèòòÿ âèçíà÷àëè çà ïîÿâîþ

õàðàêòåðíîãî êîëüîðó îñíîâè).

Åêñïåðèìåíòàëüíà îö³íêà âïëèâó ³ìïóëüñíîãî åëåêòðè÷íîãî ñòðóìó ...


Ðèñ. 2. Ñõåìàòè÷íèé ðîçïîä³ë íàïðóæåíü ó çðàçêó ç îäíîñòîðîíí³ì ïîêðèòòÿì äî (à) òà

ï³ñëÿ (á) âèäàëåííÿ ÷àñòèíè ïîêðèòòÿ.

a

á

Îáðîáêó ²ÅÑ ïðîâîäèëè çà äîïîìîãîþ ãåíåðàòîðà ³ìïóëüñíîãî ñòðóìó

[11]. ×åðåç çðàçîê ïðîïóñêàëè äâà ³ìïóëüñè ñòðóìó ç ìàêñèìàëüíîþ àìïë³-

òóäîþ 40 êÀ.

Ðåçóëüòàòè âèì³ðþâàííÿ äåôîðìàö³¿, îñåðåäíåí³ çà äàíèìè äâîõ äàò÷è-

ê³â, íàâåäåíî íà ðèñ. 4. Îáðoáêà ²ÅÑ ïðèçâîäèòü äî çì³íè äåôîðìàö³¿ íà

� IEC 0 00716, %, â òîé ÷àñ ÿê âèäàëåííÿ ïîêðèòòÿ – íà �R* , %0 01432 .

Âèäàëåííÿ ïîêðèòòÿ íà íåîáðîáëåíîìó çðàçêó ïðèçâîäèòü äî çì³íè äåôîð-

ìàö³¿ íà �R 0 01395, %. Âñ³ çì³íè äåôîðìàö³¿ ìàþòü â³ä’ºìíèé çíàê (äå-

ôîðìàö³¿ ñòèñêó). Â³ä’ºìíà âåëè÷èíà çàðåºñòðîâàíèõ çì³í äåôîðìàö³¿ â³ä-

ïîâ³äàº íàïðóæåííÿì ðîçòÿãó â ïîêðèòò³. Ðåçóëüòàòè åêñïåðèìåíò³â ïîêàçà-

ëè, ùî îáðîáêà ²ÅÑ ñóòòºâî (ïðàêòè÷íî â äâà ðàçè) çì³íþº íàïðóæåíî-

äåôîðìîâàíèé ñòàí ñèñòåìè ïîêðèòòÿ–îñíîâà.

Çà óìîâè ïðóæíî¿ ïîâåä³íêè îñíîâè íåâ³äîìå îñåðåäíåíå íàïðóæåííÿ

� ñ (ðèñ. 2) ïðîïîðö³éíå âèì³ðÿí³é äåôîðìàö³¿ �R . Íàïðóæåííÿ â îñíîâ³

çá³ëüøóþòüñÿ ë³í³éíî ç ðîñòîì îñåðåäíåíèõ íàïðóæåíü � ñ ó øàð³ ïîêðèòòÿ

òà òîâùèíè îñòàííüîãî �ñ . Âèäàëåííÿ ïîêðèòòÿ ïðèçâîäèòü äî çì³íè ïîçäîâæ-

íüî¿ äåôîðìàö³¿ íà íèæí³é ñòîðîí³ îñíîâè íà âåëè÷èíó �R . Âèõîäÿ÷è ³ç

çàãàëüíèõ ì³ðêóâàíü äëÿ òîíêîãî ïîêðèòòÿ (� �c s�� ) òà ïðóæíî¿ ïîâåä³íêè

îñíîâè, äåôîðìàö³ÿ �R ïðîïîðö³éíà � ñ , �ñ , ìîäóëþ Þíãà îñíîâè Es òà

îáåðíåíî ïðîïîðö³éíà òîâùèí³ îñíîâè �s. Òàêèì ÷èíîì, ñï³ââ³äíîøåííÿ

ì³æ ïîçäîâæí³ì íàïðóæåííÿì � ñ ó ïîêðèòò³ òà çàðåºñòðîâàíîþ äåôîðìà-

ö³ºþ �R íà ïðîòèëåæí³é ñòîðîí³ îñíîâè ìîæíà çàïèñàòè â ôîðì³



Ðèñ. 3. Çðàçîê ñïëàâó Timetal 834 ç³ ñò³éêèì äî îêèñëåííÿ ïîêðèòòÿì (à) òà éîãî çâîðîòí³é

âèãëÿä ³ç âñòàíîâëåíèìè òåíçîäàò÷èêàìè (á).

a á

Ðèñ. 4. Çì³íè äåôîðìàö³¿ äàò÷èê³â, çàðåºñòðîâàí³ â åêñïåðèìåíòàõ: à – ï³ñëÿ îáðîáêè ²ÅÑ

( );�IEC á – ï³ñëÿ îáðîáêè ²ÅÑ òà âèäàëåííÿ ïîêðèòòÿ (� � IEC R *); â – ï³ñëÿ âèäàëåííÿ

ïîêðèòòÿ áåç îáðîáêè ²ÅÑ (�R ).

à á â

��

�c

s

cs Rk E � ,

äå êîåô³ö³ºíò k çàëåæèòü â³ä ðîçì³ð³â çðàçêà ç âèð³çîì íà ì³ñö³ âèäàëåíîãî

ïîêðèòòÿ, íàïðóæåíîãî ñòàíó â çðàçêó ³ íå çàëåæèòü â³ä ïðèðîäè íàïðóæåíü

� ñ . Íàïðóæåííÿ â îñíîâ³ çà âåëè÷èíîþ ìàë³, ¿õ çíàêè â ïîêðèòò³ òà íà

íèæí³é ïîâåðõí³ îñíîâè çá³ãàþòüñÿ.

Äëÿ âèçíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíòà k çà äîìîìîãîþ ÌÑÅ áóëî âèêîíàíî ìîäå-

ëþâàííÿ ïîâåä³íêè çðàçêà ç ïîêðèòòÿì â óìîâàõ ïëîñêî¿ äåôîðìàö³¿. Ïðè

öüîìó íàïðóæåííÿ ðîçòÿãó � ñ øòó÷íî íàâîäèëè øëÿõîì çíèæåííÿ òåìïåðà-

òóðè â ïîêðèòò³ áåç ï³äâîäó òåïëà ç îñíîâè. Âèäàëåííÿ ïîêðèòòÿ íà øèðèíó

10 ìì ìîäåëþâàëè øëÿõîì âèäàëåííÿ åëåìåíò³â, ùî íàëåæàòü ïîêðèòòþ. Çà

ðåçóëüòàòàìè ÷èñëîâîãî ìîäåëþâàííÿ âåëè÷èíà êîåô³ö³ºíòà k äëÿ çðàçêà ç

ïîêðèòòÿì âèùåâêàçàíî¿ ãåîìåòð³¿ ñêëàäàº ïðèáëèçíî 0,54.

Ç óðàõóâàííÿì íàâåäåíîãî âèùå âèðàçó, çíà÷åííÿ Es 120 ÃÏà òà âåëè-

÷èíè çì³íè äåôîðìàö³¿ �R 0 01395, % ìîæíà îá÷èñëèòè îñåðåäíåí³ íàïðó-

æåííÿ ó ïîêðèòò³. Ðîçðàõîâàíà âåëè÷èíà íàïðóæåíü ðîçòÿãó � ñ �2 7, ÃÏà º

äîñèòü âèñîêîþ. Âîíà ìîæå áóòè çàâèùåíîþ âíàñë³äîê âèêîðèñòàííÿ ïðóæ-

íî¿ ìîäåë³ ïîâåä³íêè îñíîâè íà ãðàíèö³ ç ïîêðèòòÿì. Ìîæëèâà íåïðóæíà

ïîâåä³íêà ìàòåð³àëó îñíîâè á³ëÿ ïîâåðõí³ ïîä³ëó ïîêðèòòÿ ³ îñíîâè ìîãëà

áóòè ðåçóëüòàòîì ëîêàëüíîãî ï³äâèùåííÿ òåìïåðàòóðè ï³ä ÷àñ íàíåñåííÿ

ïîêðèòòÿ.

Îáðîáêà ²ÅÑ çðàçêà ç ïîêðèòòÿì ïðèçâîäèòü äî çì³íè ðîçïîä³ëó çàëèø-

êîâèõ íàïðóæåíü, ùî ðåºñòðóþòüñÿ â³äïîâ³äíîþ çì³íîþ äåôîðìàö³¿ � IEC .

Ñë³ä çàçíà÷èòè, ùî ñóìà � IEC ³ �R* (îñòàííÿ º äîäàòêîâîþ çì³íîþ

äåôîðìàö³¿ ÷åðåç íàñòóïíå âèäàëåííÿ ïîêðèòòÿ) ïðèáëèçíî ð³âíà âåëè÷èí³

çì³íè äåôîðìàö³¿ �R , ÿêà ðåºñòðóâàëàñÿ ï³ä ÷àñ âèäàëåííÿ ïîêðèòòÿ â

çðàçêó áåç îáðîáêè ²ÅÑ (ðèñ. 4), ùî, âëàñíå, ³ î÷³êóâàëîñÿ.

Â è ñ í î â ê è

1. Ðîçðàõóíêè, ùî áàçóþòüñÿ íà ïðóæí³é ïîâåä³íö³ ìàòåð³àëó îñíîâè,

âêàçóþòü íà âèñîêèé ð³âåíü çàëèøêîâèõ íàïðóæåíü ðîçòÿãó â òîíêîìó ïî-

êðèòò³ Ti–Al–Si–Ag, íàíåñåíîìó íà ñïëàâ Timetal 834.

2. Îáðîáêà ²ÅÑ â çíà÷í³é ì³ð³ çìåíøóº âåëè÷èíó îñåðåäíåíèõ çàëèø-

êîâèõ íàïðóæåíü ó òîíêîìó ïîêðèòò³ Ti–Al–Si–Ag, íàíåñåíîìó íà ñïëàâ

Timetal 834.

Âïëèâ íåë³í³éíî¿ ïîâåä³íêè ìàòåð³àëó îñíîâè ïðè íàíåñåíí³ ïîêðèòòÿ

òà ïàðàìåòð³â îáðîáêè ²ÅÑ íà ïåðåðîçïîä³ë çàëèøêîâèõ íàïðóæåíü º ìåòîþ

íàñòóïíèõ äîñë³äæåíü.

Ðàáîòà âèêîíàíà çà ÷àñòêîâî¿ ï³äòðèìêè EU Network of Excellence

ïðîåêò Knowledge-based Multicomponent Materials for Durable and Safe

Performance (KMM-NoE) çà êîíòðàêòîì No. NMP3-CT-2004-502243. Àâòîðè

ùèðo äÿêóþòü çà äîïîìîãó â ïðîâåäåíí³ ÒÅÌ-äîñë³äæåíü Ä. Åâåð, ä-ðó

Õ. Ïåíêàëëà (Research Centre Julich, Germany) òà çà íàäàí³ çðàçêè ä-ðó Ò.

Ìîñêàëåâè÷ó (AGH University of Science and Technology, Krakow, Poland),

ä-ðó Á. Âåíäëåðó (Lodz University of Technology, Lodz, Poland).


Åêñïåðèìåíòàëüíà îö³íêà âïëèâó ³ìïóëüñíîãî åëåêòðè÷íîãî ñòðóìó ...

Ð å ç þ ì å

Ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòîâ è ìîäåëèðîâàíèÿ ìåòîäîì êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ â

óïðóãîé ïîñòàíîâêå ñâèäåòåëüñòâóþò, ÷òî â ñòîéêîì ê îêèñëåíèþ òîíêîì

ïîêðûòèè, êîòîðîå íàíåñåíî íà îñíîâó ñ òèòàíîâîãî ñïëàâà, âîçíèêàþò

îñòàòî÷íûå íàïðÿæåíèÿ âûñîêîãî óðîâíÿ. Ïðîïóñêàíèå èìïóëüñíîãî ýëåêò-

ðè÷åñêîãî òîêà ÷åðåç îáðàçåö ñ ïîêðûòèåì ñóùåñòâåííî ñíèæàåò ñðåäíèé

óðîâåíü îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé â ïîêðûòèè.

1. Ëÿøåíêî Á. À., Ðóòêîâñêèé À. Â., Ñîðîêà Å. Á., Ëèïèíñêàÿ Í. Â. Î

ñíèæåíèè îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé â âàêóóì-ïëàçìåííîì ïîêðûòèè //

Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2001. – ¹ 4. – Ñ. 62 – 68.

2. Áàðàíîâ Þ. Â., Òðîèöêèé Î. À., Àâðààìîâ Þ. Ñ., Øëÿïèí À. Ä. Ôèçè-

÷åñêèå îñíîâû ýëåêòðîèìïóëüñíîé è ýëåêòðîïëàñòè÷åñêîé îáðàáîòîê è

íîâûå ìàòåðèàëû. – Ì.: ÌÃÈÓ, 2001. – 844 ñ.

3. Sprecher A. F., Mannan S. L., and Conrad H. On the mechanisms of the

electroplastic effects in metals // Acta Met. – 1986. – 34, No. 7. – P. 1145 –

1162.

4. Stepanov G. V., Babutskii A. I., Mameev I. A., and Olisov A. N. Pulse current

effect on stress levels in a metal strip in tension // Strength Mater. – 2005. –

37, No. 6. – P. 593 – 597.

5. Áîãóñëàåâ Â. À., Äîëìàòîâ À. È., Æåìàíþê Ï. Ä. è äð. Ïîâûøåíèå

ðåñóðñà äåòàëåé ÃÒÄ èç òèòàíîâûõ ñïëàâîâ. – Çàïîðîæüå, 2000. – 108 ñ.

6. Ãëèíáåðã À. Ä., Êàðàíäàøåâ Í. À., Êðóòèí À. Ô., Ñèäîðåíêîâ Å. Í.

Ïðàêòèêà è ïåðñïåêòèâû ïðèìåíåíèÿ ìàãíèòíî-èìïóëüñíîé îáðàáîòêè

ìàòåðèàëîâ: Òåç. äîêë. ìåæäóíàð. êîíô. “Äåéñòâèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ

ïîëåé è òîêà íà ìàòåðèàëû”. – Ì., 2003. – Ñ. 55 – 57.

7. Kaysser W. Surface modifications in aerospace applications // Surface Eng. –

2001. – 17. – P. 305 – 312.

8. Wendler B. G. and Kaczmarek L. Oxidation resistance of nanocrystalline

microalloyed �-TiAl coatings under isothermal conditions and thermal fatigue

// J. Mater. Proc. Tech. – 2005. – 164-165. – P. 947 – 953.

9. Moskalewicz T., Grogger W., and Czyrska-Filemonowicz A. Microstructural

characterisation of nitrided Timetal 834 // J. Microscopy. – 2006. – 223. –

P. 195 – 199.

10. Schajer G. S. and Prime M. B. Use of inverse solutions for residual stress

measurement // J. Eng. Mater. Techn. – 2006. – 128, No. 3. – P. 375 – 382.

11. Stepanov G. V., Babutskii A. I., and Mameev I. A. High-density pulse

current-induced unsteady stress-strain state in a long rod // Strength Mater. –

2004. – 36, No. 4. – P. 377 – 381.




ÓÄÊ 629.7.054

Òðåõìåðíàÿ çàäà÷à äèíàìèêè ïîäâåñà ïîïëàâêîâîãî ãèðîñêîïà

Â. Â. Êàðà÷óíà, ß. Ô. Êàþê

á, Â. Í. Ìåëüíèê

à

à Íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Óêðàèíû “Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé

èíñòèòóò”, Êèåâ, Óêðàèíà

á Èíñòèòóò ìåõàíèêè èì. Ñ. Ï. Òèìîøåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, Óêðàèíà

Àíàëèçèðóåòñÿ äèíàìèêà ïîäâåñà ïîïëàâêîâîãî ãèðîñêîïà. Ñòðîèòñÿ ðàñ÷åòíàÿ ìîäåëü è

àíàëèòè÷åñêè îïèñûâàåòñÿ íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå ïîâåðõíîñòè ïîïëàâêà.

Ðàññìàòðèâàåòñÿ â îáùåì ñëó÷àå ïðîèçâîëüíî î÷åð÷åííàÿ ëèíèÿ ìåðèäèàíà, ÷òî ïîçâîëÿåò

êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé îïèñûâàòü äèíàìèêó âûïóêëîé, âîãíóòîé è öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõ-

íîñòåé ïîïëàâêà. Îáúÿñíåíà ïðèðîäà âîçíèêíîâåíèÿ äîïîëíèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ãèðîñêîïà

ïîä äåéñòâèåì ïðîíèêàþùåãî àêóñòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ.

Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïîïëàâêîâûé ãèðîñêîï, êîîðäèíàòíûå ôóíêöèè, ëèíèÿ

ìåðèäèàíà, ïàðöèàëüíûå ÷àñòîòû, îáîëî÷êà, èíåðöèàëüíûå íàâèãàöèîííûå

ñèñòåìû, ãèðîñòàáèëèçèðîâàííàÿ ïëàòôîðìà.

Ââåäåíèå. Ïîïëàâêîâûå ãèðîñêîïû øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ â ñèñòåìàõ

èíåðöèàëüíîé íàâèãàöèè áëàãîäàðÿ ìíîãîôàçíîìó ïîäâåñó, ÷òî ïîçâîëÿåò

ïðàêòè÷åñêè óñòðàíèòü ñóõîå òðåíèå íà âûõîäíîé îñè, óëó÷øèòü äåìï-

ôèðóþùèå ñâîéñòâà è ïîâûñèòü âèáðîóñòîé÷èâîñòü ïðèáîðîâ. Òåõíè÷åñêàÿ

ðåàëèçàöèÿ äâóõñòåïåííîãî ïîïëàâêîâîãî äèôôåðåíöèðóþùåãî (èëè èíòå-

ãðèðóþùåãî) ãèðîñêîïà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãåðìåòè÷íî çàêëþ÷åííûé â ïî-

ïëàâîê ãèðîàãðåãàò, ïîãðóæåííûé â òÿæåëóþ ôòîð- èëè õëîðîðãàíè÷åñêóþ

æèäêîñòü. Ïîïëàâîê ìîæåò èìåòü ïîëîæèòåëüíóþ, îòðèöàòåëüíóþ ëèáî

íóëåâóþ ïëàâó÷åñòü [1]. Ýòè ïðèáîðû èñïîëüçóþòñÿ íå òîëüêî â ñèñòåìàõ

èíåðöèàëüíîé íàâèãàöèè, íî è â êà÷åñòâå ïèëîòàæíîãî îáîðóäîâàíèÿ, íà-

ïðèìåð, â áëîêå äåìïôèðóþùèõ ãèðîñêîïîâ.

Ïðîâåäåííûå â ïîñëåäíåå âðåìÿ èññëåäîâàíèÿ ïîäòâåðäèëè ôàêò âîçìó-

ùàþùåãî âîçäåéñòâèÿ ïðîíèêàþùåãî àêóñòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ íà êîìàíäíî-

èçìåðèòåëüíûå êîìïëåêñû ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòîâ, â ÷àñòíîñòè, ñâîäÿ ê

íóëþ äîñòîèíñòâà èäåè âçâåøèâàíèÿ ãèðîóçëà. Ïðè÷èíîé ýòîãî ÿâëÿåòñÿ

âîçíèêíîâåíèå àêóñòè÷åñêîé âèáðàöèè ïîäâåñà ïîä äåéñòâèåì çâóêîâûõ

âîëí, ÷òî ïðèâîäèò ê óõóäøåíèþ ïàñïîðòíûõ õàðàêòåðèñòèê èçäåëèÿ [2, 3].

Îñîáåííî íåæåëàòåëüíî ýòî âëèÿíèå â ñëîæíûõ ñèñòåìàõ, íàïðèìåð â òðåõ-

îñíûõ ãèðîñòàáèëèçèðîâàííûõ ïëàòôîðìàõ, ãäå ïîïëàâêîâûé ãèðîñêîï âû-

ñòóïàåò â ðîëè ÷óâñòâèòåëüíîãî ýëåìåíòà ñèñòåìû êîððåêöèè [4].

Òàêèì îáðàçîì, èíæåêòèðóåìàÿ â îêðóæàþùóþ ñðåäó ýíåðãèÿ äâèãà-

òåëüíûõ óñòàíîâîê òîé ñâîåé ÷àñòüþ, êîòîðàÿ ðåàëèçóåòñÿ â âèäå ïðîíè-

êàþùåãî àêóñòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ, áóäåò îêàçûâàòü íåæåëàòåëüíîå âëèÿíèå

íà íàâèãàöèîííîå îáîðóäîâàíèå è ïðèáîðû óïðàâëåíèÿ, âïëîòü äî âîçíèê-

íîâåíèÿ îñîáåííîñòåé ðåçîíàíñíîãî òèïà – âîëíîâîå ñîâïàäåíèå, ïðîñòðàí-

ñòâåííî-÷àñòîòíûé ðåçîíàíñ [5]. Â ïåðâîì ñëó÷àå ýòî ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ

äîïîëíèòåëüíûõ ïîãðåøíîñòåé íàâèãàöèîííîãî îáîðóäîâàíèÿ, âî âòîðîì – ê

ñèñòåìàòè÷åñêîìó äðåéôó ãëàâíîé îñè ñ ïîñëåäóþùåé ïîòåðåé îäíîé ñòå-

ïåíè ñâîáîäû (ãèðîñêîï íàïðàâëåíèÿ).

© Â. Â. ÊÀÐÀ×ÓÍ, ß. Ô. ÊÀÞÊ, Â. Í. ÌÅËÜÍÈÊ, 2008


Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. ×òîáû äåòàëüíî ïðîàíàëèçèðîâàòü ïðèðîäó óïðó-

ãîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïîäâåñà ãèðîñêîïà (ïîïëàâêà) ñ àêóñòè÷åñêèì âîçäåéñò-

âèåì, íåîáõîäèìî ñîñòàâèòü åãî äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è èçó÷èòü â

îáùåì ñëó÷àå òðåõìåðíóþ çàäà÷ó. Â êà÷åñòâå èñõîäíîãî ïðèìåì ïðåäïî-

ëîæåíèå îá îäíîðîäíîñòè è èçîòðîïíîñòè ìàòåðèàëà ïîïëàâêà, ñîîòâåòñò-

âóþùåå çàêîíó Ãóêà. Ïåðåìåùåíèÿ òî÷åê áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ïîïëàâêà

ïîëàãàåì ñóùåñòâåííî ìåíüøèìè åãî òîëùèíû, ÷òî ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü

íàèáîëåå ïðîñòîé âàðèàíò ëèíåéíîé òåîðèè.

Øèðîêîå èñïîëüçîâàíèå ïðè òåõíè÷åñêîé ðåàëèçàöèè ìíîãèõ ýëåìåíòîâ

áîðòîâîé àïïàðàòóðû ðàçëè÷íûõ òèïîâ îáîëî÷åê ñïîñîáñòâîâàëî ðàçâèòèþ

äîñòàòî÷íî ïðîñòûõ, íî ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ èõ ðàñ÷åòà [6–8].

Ïðèáëèæåííûé ïîäõîä ñîñòîèò â òîì, ÷òî òðåõìåðíàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê

áîëåå ïðîñòîé – çàäà÷å î ðàâíîâåñèè è äåôîðìàöèè ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè

îáîëî÷êè. Óïðîùåíèå ðåàëèçóåòñÿ ïóòåì ïðèíÿòèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòà-

òèêî-ãåîìåòðè÷åñêèõ ãèïîòåç. Ýòîò ïðîñòåéøèé âàðèàíò òåîðèè îñíîâàí íà

èñïîëüçîâàíèè ãèïîòåç Êèðõãîôôà–Ëÿâà, êîòîðûå ïîäðàçóìåâàþò:

ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü è ïðÿìîóãîëüíîñòü âîëîêîí îáîëî÷êè ê ñðåäèííîé

ïîâåðõíîñòè ïîñëå äåôîðìàöèè ïðè íåèçìåííîé èõ äëèíå;

ïðåíåáðåæèìî ìàëûå çíà÷åíèÿ íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé íà ïëîùàäêàõ,

ïàðàëëåëüíûõ ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè, ïî ñðàâíåíèþ ñ íàïðÿæåíèÿìè íà

ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ê íåé ïëîùàäêàõ.

Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ îáîëî÷êè. Âíåøíèå âîçìó-

ùåíèÿ îáùåãî âèäà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáîëî÷êà îòíîñèòñÿ ê êðèâîëèíåé-

íûì îðòîãîíàëüíûì êîîðäèíàòàì �1 è �2 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç À1 è À2

ïàðàìåòðû Ëàìå ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè îáîëî÷êè. Òîãäà, äîáàâèâ ñèëû

èíåðöèè, ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèÿìè ðàâíîâåñèÿ îáîëî÷êè, êîòî-

ðûå â ðàçâåðíóòîì âèäå çàïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì [9]:

�

��

�

��

�

��

�

��

�A T

A

A S A T

R

A M

A

A H2 1

1 1

12

2

2 2

1 1

2 1

1 1

12

1 1 1� � � �

��

�

��

��

��

�

��

2

2 2

1

1

1 2

1

2

1

��

�

��

�

�

��

A M

A H

R R

A H � �

� �

A A q A A hU

t

A T

A

A S A T

1 2 1 1 2

21

2

1 2

1 2

22

1

1 11

��

�

�

��

�

��

�

�

;

�

�

��

�

��

�

��

�

��

2 2

1 2

2 2

22

1

1 1

2

1

1 1� � �

�

�

��

�

R

A M

A

A H A M

A2

2 1

2

11 2 2 1 2

22

2

1

1

1H

R R

A HA A q A A h

U

t

T

R

�

�

��

�

��

�

�;

� � � ��

�T

R A A A

A M

A

A H A M2

2 1 2 1 1

2 1

1 1

12

2

2 2

1

1 1 1�

��

�

��

�

��

�

��

��

��

��

� � ��

�

�

��

�

��

�

��

�

��2 2

1 2

2 2

22

1

1 1

2

1 1

A

A M

A

A H A M

��

��

��

�

�

��

�

�� q h

W

tn �

�

�

2

2,

(1)

Â. Â. Êàðà÷óí, ß. Ô. Êàþê, Â. Í. Ìåëüíèê


ãäå

q pm

Rp1 1

1

11 � � ; q p

m

Rp2 2

2

22 � � ;

q pA A

A m A mpn n n � �

�

�

��

1

1 2

2 1

1

1 2

2

�

��

�

��,

èáî â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ âåëè÷èíû mi èìåþò ïîðÿäîê hp, òàê ÷òî,

îòîæäåñòâëÿÿ qi è pi , òåì ñàìûì îòáðàñûâàþòñÿ ñëàãàåìûå ïîðÿäêà h R

ïî ñðàâíåíèþ ñ åäèíèöåé; T1, T2 – íîðìàëüíûå óñèëèÿ; S – êàñàòåëüíîå

óñèëèå; Ì 1, Ì 2 – èçãèáàþùèå ìîìåíòû; Í – êðóòÿùèé ìîìåíò; � –

ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà îáîëî÷êè; h – òîëùèíà îáîëî÷êè; ui – óïðóãèå ïåðå-

ìåùåíèÿ òî÷åê ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè â íàïðàâëåíèè êîîðäèíàòû � i .

Â ïðåäñòàâëåííîì âèäå óðàâíåíèÿ (1) èñïîëüçîâàòü íåóäîáíî. Ïîýòîìó

öåëåñîîáðàçíî ïðîâåñòè ðÿä ïðåîáðàçîâàíèé, ïîñëå êîòîðûõ çàïèñàòü èõ â

ôîðìå, ïðèåìëåìîé äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ.

Îáîëî÷êà ïðîèçâîëüíîãî î÷åðòàíèÿ. Îáîëî÷êà âðàùåíèÿ ïðîèçâîëü-

íîãî î÷åðòàíèÿ îáðàçóåòñÿ ïðè âðàùåíèè ëþáîé êðèâîé âîêðóã âûáðàííîé

îñè ñèììåòðèè. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ýòà êðèâàÿ íå ïåðåñåêàåò îñü âðàùåíèÿ

(ðèñ. 1). Îïîðíàÿ (èíåðöèàëüíàÿ) è ñâÿçàííàÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò èçîáðà-

æåíû íà ðèñ. 1, ãäå ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: r f z ( ) – êðèâàÿ

âðàùåíèÿ; r – ðàññòîÿíèå îò îñè âðàùåíèÿ äî ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè Ì .

Äëèíó îáîëî÷êè ïðèìåì ðàâíîé l. Òîãäà z l� [ , ].0 Ïóñòü � – êîîðäè-

íàòà, îïðåäåëÿþùàÿ ïîëîæåíèå òî÷êè Ì íà ïàðàëëåëè. Òîãäà äëÿ áåñêî-

íå÷íî ìàëîãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè ïî ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè

îáîëî÷êè ìîæíî çàïèñàòü ñîîòíîøåíèå

dS dS dS212

22 � ,

ãäå dS 1, dS 2 – äèôôåðåíöèàëû äóãè ïî ìåðèäèàíó è âäîëü ïàðàëëåëè

ñîîòâåòñòâåííî.



Ðèñ. 1. Ïîïëàâîê â âèäå îáîëî÷êè âðàùåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî î÷åðòàíèÿ.

Ïîñêîëüêó

dS f z dz12 2 21 � �[ ( )] ;

dS r d f z d22 2 2 2 2 � �[ ( )] ,

ïîëó÷èì

dS f z dz f z d2 2 2 2 21 � � �[ ( )] [ ( )] ,� (2)

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî â êà÷åñòâå êîîðäèíàò �1 è �2 öåëåñîîáðàçíî âûáðàòü

�1 z; � �2 .

Òîãäà

A f z121 � � ( ); A f z2 ( ). (3)

Â êà÷åñòâå êîîðäèíàò � i ìîæíî âûáðàòü òàêæå äðóãèå êðèâîëèíåéíûå

êîîðäèíàòû.

Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îáîëî÷êè â êîîðäèíàòàõ �1 z, � �2 ,

îñóùåñòâèâ ïðè ýòîì â óðàâíåíèÿõ (1) ñîîòâåòñòâóþùèå çàìåíû â îáîçíà-

÷åíèÿõ:

U U z1 � ; U U2 � � ; W W� ; �1 � z; � �2 � ;�

� ��

�

�R S( ).

1�

Ñ ó÷åòîì èçëîæåííîãî óðàâíåíèÿ (1) ïðèìóò èíîé âèä, åñëè äëÿ êîí-

êðåòíîñòè îáîëî÷êó ïîëàãàòü âîãíóòîé èëè âûïóêëîé [10]:

�

��

�

��

2

221 2 1

U

zz

U

zz z U

z zz� � � � � � � �� ( ) ( ) [( ) ( ) ( )]

��

��

� !

"#$ �

��

�

1

1

1

21

1

11

2

Rz

U

z

R

( )( ) ( )

( )[(

�

��

�

� ��

�

�

� � � � ��

��

�

� �

� � � � � ��

�

��

) ] ( ) ( )

[ ( )]

3

11 2

2

2

z WW

z

Ehz q h

U

t

U

sz

z1

2

2

2

2

1

21 1 1

��

�

��

� � � �

��

�

�

��

��

;

( )[ ( ) ( )]

2

2

2

1

21 1 2 1

1

21 1

U

z s

zU

z

z

� �

� � ��

�

� �

�

�

� � � � �

� � �

( )[ ( ) ( )]

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

� �

� � � � � ��

�

�

�

��

�

� ��

��

�

�

zU

z

zU

sz U

z1

23

1

21

��

�

��

(4a)



��

� � � � ��

� � �

1

11 1 3

1 315

2

2

2 3

Rz

( )[( ) ] ( )

( )

��

� � �� !

"#$

��

� � ��

�

�

��

��

�

� ��

�

�

2

22

2

21

( )

[ ( )]

zW

s

z q hU

t

1

1 2 1 2 1

2

3

2

2

�

� � � � � � �

�

�

��

�

� ��

�

Eh

zz

W

z sz

;

( )[ ( )] [ ( ) ( )]W

s

zW

z Rz

U

�

��

�

�

��

�

��

2

2

2

21

11 2

��

� � ��

�� ( )

( )[ ( ) ( )]

z s

W

s

W

z sz

W

z

�

�

��

�

� ��

�

��

��

��

� � � � � � �4

4

4

2 2

3

31 1( ) [ ( )] ( )

( ) ( ) ( ) ( ) (

� �

� � � � � � ��

��

� �

� � � ��

��

zW

z s

zW

zz

3

2

22

2z

W

z

Rz

U

s R

U z

)

( )[ ( ) ( )]

( )

�

�

��

�

�

��

�

�

�

�

�

��

� � ��

1

11 2

1

2

3

3

3

z s

z

R

U

z Rz

U

z

z

�

� �

�

�

�

� �

��

�

��

2

2 2

2

2

1

1

1

�

��

��

��

( )

( )

( )

( )( )

�

� �

�

�

�

��

�

�

�

��

��

s

h R

U

z R

U

s R

z

�

��

��

�

��

�

��

12

1

1

1

1

12 ( ) ( ) ( )�

� � ��

�

( )

[ ( ) ( )] ,

z U

Dz q h

W

t

z

�

!

"

#$

� � � ��

�

��

11 1 3

2

2

�

�

��

�

��

(4á)

ãäå �%

%( ) ;z

R

z

l

��

�

�

��2

1

2

� &'(� &)* 8 2 ; 2 1�++ ; * R

l; &

% +

R1; � –

êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà; Å – ìîäóëü Þíãà; % – âåëè÷èíà ïîäúåìà ëèíèè

ìåðèäèàíà îáîëî÷êè.

Åñëè ïðèíÿòü À1 1 , À R2 const, % 0, òî ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ öè-

ëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè.

Ïðèáëèæåííûé ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ. Ìåòîä èçëîæèì â îáùåì

âèäå, ÷òî ïîçâîëèò ïîëó÷èòü ÷àñòíûå ñëó÷àè.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîâåðõíîñòü ïîïëàâêà íàãðóæåíà ïðîèçâîëüíûì

âíåøíèì äèíàìè÷åñêèì âîçäåéñòâèåì (ðàñïðåäåëåííûì èëè ñîñðåäîòî÷åí-

íûì: â òî÷êå, ïî ëèíèè, ïî ïëîùàäè è ò.ï.) è íà åãî êðàÿõ (z 0, z 1)

çàäàíû íåêîòîðûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ: êèíåìàòè÷åñêèå, ãåîìåòðè÷åñêèå èëè

ñèëîâûå.



Ñóòü ïðåäëàãàåìîãî ìåòîäà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì:

ïðîâîäèòñÿ ïðîöåäóðà ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ

ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Ôóðüå;

çàòåì èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä Áóáíîâà–Ãàëåðêèíà.

Ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàþòñÿ çàìêíóòûå îáîëî÷êè âðàùåíèÿ, â îêðóæ-

íîì íàïðàâëåíèè (âäîëü ïàðàëëåëè) ñëåäóåò îæèäàòü ïåðèîäè÷íîñòè ñèëî-

âûõ, êèíåìàòè÷åñêèõ ïîëåé, ò.å. îíè äîëæíû îïðåäåëåííûì îáðàçîì çàâè-

ñåòü îò ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé òèïà cos k�, sin k� (k 0, 1, ...). Ïîýòîìó

íàãðóçêè

q q t zi i* * ( , , ), � i 1 3,

ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäîâ Ôóðüå ïî êîîðäèíàòå �:

q q t z q t z k q t z ki i i k i k* *

,( )

,( )

( , , ) [ ( , )cos ( , )sin �� 1 2 �],

k

,

-0

i 1 3, . (5)

Â ñîîòâåòñòâèè ñ (5) êîîðäèíàòíûå ôóíêöèè çàïèøåì òàê:

U U t z

U U t z

W W t z

z z

( , , );

( , , );

( , , ).

�

�

��

Âíà÷àëå ïðåäñòàâèì èõ â âèäå

U U t z k U t z kz z k

k

z k �

,

-[ ( , )cos ( , )sin ];,( )

,( )1

0

2� � (6)

U U t z k U t z kk k

k

� � ��

,

-[ ( , )sin ( , )cos ];,( )

,( )1 2

0

(7)

W W t z k W t z kk k

k

�

,

-[ ( , )cos ( , )sin ].( ) ( )1 2

0

� � (8)

Ïîäñòàâèì ñîîòíîøåíèÿ (5)–(8) â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (4), ñãðóïïèðóåì

ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå îäèíàêîâûå ãàðìîíèêè cos k�, sin k�, è ïðèðàâíÿåì

èõ ê íóëþ. Ïðè ýòîì ñëåäóåò îòäåëüíî çàïèñàòü ðàâåíñòâà äëÿ k 0, k 1 è

k.2. Åñëè k 0, èìååò ìåñòî îñåñèììåòðè÷íîå äåôîðìèðîâàíèå, k 1

ñîîòâåòñòâóåò àíòèñèììåòðè÷íîé äèíàìè÷åñêîé äåôîðìàöèè, k.2 – öèêëè-

÷åñêè äåôîðìèðóåìîìó ñëó÷àþ.

Ñõåìó ðåàëèçàöèè ìåòîäà ïðîèëëþñòðèðóåì íà óðàâíåíèÿõ (4). Îòûñ-

êèâàåìûå ôóíêöèè àïïðîêñèìèðóåì â îáùåì âèäå



U A t U z

U B

z ks

z jsk

z jsk

j

ks

js

,( )

,( )

,( )

,( )

,(

( ) ( );

,

-0

� �k

j

jsk

ks

jsk

j

jsk

t U z

W C t W z

),

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( );

( ) (

,

,

-

-

0

0

�

),

(9)

ãäå èñïîëüçîâàíû òàêèå çíà÷åíèÿ:

s 1 2, ; k 0 1 2, , , ...; { ( )},,( )

U zz jsk

{ ( )},,( )

U zjsk� { ( )}

( )W zj

sk(10)

– ìíîæåñòâà êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé â íàïðàâëåíèè êîîðäèíàòû z, ïîëíûå

è íåçàâèñèìûå â èíòåðâàëå (0, 1).

Â ñëó÷àå ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà Áóáíîâà–Ãàëåðêèíà ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî

àïïðîêñèìàöèè âèäà (9) óäîâëåòâîðÿþò âñåì (êèíåìàòè÷åñêèì è ñèëîâûì)

ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì ïðè z 0, z 1. (Êàêîé êîíêðåòíûé âèä äîëæíû èìåòü

ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ôóíêöèé U z ks,

( ), U k

s�,( )

è Wks( )

íà êðàÿõ îáîëî÷êè, ò.å.

ïðè z 0 è z 1, ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé.) Âìåñòå ñ

òåì ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî êîíöû îáîëî÷êè (z 0, z 1) ñâîáîäíû îò çàêðåï-

ëåíèé è ýòî óñëîæíÿåò ïðîáëåìó âûáîðà ôóíêöèé (10).

Èçíà÷àëüíî â ñîîòíîøåíèÿ (9) ââåäåì ôóíêöèè /( )z Êðàâ÷óêà, ñ ïîìî-

ùüþ êîòîðûõ ìîæíî óäîâëåòâîðèòü ëþáûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì.

Ïðèìåíèòåëüíî ê íàøåé çàäà÷å – ýòî ôóíêöèè òèïà

z zm n( ) ,1� (11)

ãäå m, n – öåëûå (íåîòðèöàòåëüíûå) ÷èñëà.

Òàêèì îáðàçîì,

U z z z U z

U z z

z jsk m n

z jsk

jsk m

,*( )

,( )

,*( )

( ) ( ) ( );

( )

�

1 11

�2 2

3 3

1

1

( ) ( );

( ) ( ) ( )

,( )

*( ) ( )

�

�

z U z

W z z z W z

nk

sk

jsk m n

jsk

�

.

�

�

��

�

��

(12)

Ïðîèíòåãðèðóåì äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (4), ïîäñòàâèâ â íèõ

àïïðîêñèìàöèè âèäà

U A t U zz k z j z j

j

,( )

,( )

*

,

( )

( ) ( );1 10

10

0

,

- U B t U zk j

j

j� � �,( )

,( )

*

,

( )

( ) ( );1 10

0

10

,

- (13)



W C t W zk j

j

j( ) ( )

* ( )

( ) ( ).1 10

0

10

,

- (14)

Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì

A tU z

zA tz j

z j

z j

j

,( )

*

,

( )

,( )

( )( )

( )10

210

2

10

0

�

��

�

!!!

,

-�

�

U

ta z

z j

*

,

( )

( )

10

1 2 1� �

� �

"

#

A t a U z a c tW

zz j z jj

,( )

*

,

( )( )

* ( )

( ) ( ) ( )10

2

10

4 110

10

�

�

$$$

� � � � � �[ ( ) ] ( , ) [ ( ) ] ��,

( )*

,1 2 1 1 2 112

1 01

2

12� � �z q t z z Az j

( ),

( )( ) ( ).

10

0

10

j

z jt U z

,

- (15)

Óìíîæèâ (15) íà ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ U zz p,( ) ( )10 è ïðîèíòåãðèðîâàâ

îò 0 äî 1, ïîëó÷èì ñèñòåìó îáû÷íûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ

îïðåäåëåíèÿ àìïëèòóäíûõ êîýôôèöèåíòîâ:

[ �� ( ) ( ),( )

,( )

,( )

,( )

a A t b A tz jp

j

z j z jp z j10

0

10 10 10

,

- � � c C t Q tjp p( ) ( ) ( )( )] ( ),10

110 10 p 0 1 2, , , ... . (16)

Çäåñü

a U z U dzz jp z j z p,( )

* *

,

( ) *

,

( )

( ) ;10

2 10 10

0

1

0�

bU z

zU z a

Uz jp

z jz p

z j

,( )

*

,

( )

*

,

( )*

,

(

( )102

10

2

10

1

1

� ��

��

�0

10

0

1

0

1

2 1

)

*

,

( )

( )�

�z

z U zz p� �00

� 0a U U zz j z p2

10 10

0

1 *

,

( ) *

,

( )

;�

c aW

zU zjp

iz p

( )

* ( )

*

,

( )

;10

4

1010

0

1

0 ��

�

Q t z q t z U dzp z p( )

*

,

( )

( ) [ ( ) ] ( , ) ;101

210

10

0

1

1 2 1 � �0 �



[ �� ( ),( )

,( )

,( )

,( )

,(

a A t b A bz jp z j z jp z j jp11 11 11 11 11� � �

),

( ) ( ) ( ) ( )] ( ),B c C Q tj jp j p

j

�11 11 11 11

0

�

,

-

p 1 2, , ... ,

(17)

ãäå

a z U U dzz jp z j z p,( )

* *

,

( ) *

,

( )

[ ( ) ] ;11

2

12

11 11

0

1

1 2 1 � �0� �

b a zU

za Uz jp

z jz j,

( )

*

,

( )

*

,

( )

( )11

1

11

2

11

2 1 � �

�

!!!

"

#

$�

� $$

0 U dzz p

*

,

( )

;

11

0

1

b aU

zU dzjp

jz p�

��

�,( )

*

,

( )

*

,

( )

;11

3

1111

0

1

0 c aW

zU dzjp

jz p

( )

* ( )

*

,

( )

;11

4

1111

0

1

0�

�

[ �� ( ) ( ),( )

,( )

,( )

,( )

,a A t b A t bz jp z j z jp z jp j21 21 21 21� � � p j jp j p

j

B t c C t Q t( )

,( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )] ( ),

21 21 21 21 21

0

� �

,

-

p 1 2, , ...;

(18)

a z U U dzz jp z j z p,( )

* *

,

( ) *

,

( )

[ ( ) ] ;21

12

0

1 21 212

1 2 1 � �0� �

b a zU

za Uz jp

z jz j,

( )

*

,

( )

*

,

( )

( )11

1

21

2

21

2 1 � �

�

!!!

"

#

$�

� $$

00

1 21

U dzz p

*

,

( )

;

b aU

zU dzjp

jz p�

��

�,( )

*

,

( )

*

,

( )

;21

3

2121

0

1

0 c aW

zU dzjp

jz p

( )

* ( )

*

,

( )

.21

4

2121

0

1

0�

�

Óðàâíåíèÿ (16)–(18) çàïèñàíû â âèäå, ïîçâîëÿþùåì ïî ïåðâûì äâóì

ñëàãàåìûì îïðåäåëèòü ïàðöèàëüíûå ÷àñòîòû, ïîëàãàÿ, íàïðèìåð, A t11( )

( )

a i t11

11( ) ( )

exp ;/ A t a i t12

12

12( ) ( ) ( )

( ) exp / è ò.ä.

Ìåõàíèçì ïîÿâëåíèÿ “ëîæíîé” óãëîâîé ñêîðîñòè, êîòîðóþ ãèðîñêîï

âîñïðèíèìàåò êàê âõîäíóþ âåëè÷èíó, ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 2. Íàëè÷èå óïðó-

ãèõ ïåðåìåùåíèé V t( ), U t�( ) è W t( ) ïîâåðõíîñòè ïîïëàâêà íà êà÷àþùåìñÿ

îñíîâàíèè ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ñèë èíåðöèè Êîðèîëèñà ñ ðåçóëüòèðó-

þùèì ìîìåíòîì



M Vl V t

R

ñ nè ( )

�( )sin ,�

4 3��

ñîñòàâëÿþùèå êîòîðîãî ðàâíû M 1 è M 2 . Ïåðâàÿ ïðèâîäèò ê äåâèàöèè îñè,

âòîðàÿ – êîìïåíñèðóåòñÿ âðàùàþùèì ìîìåíòîì.

Àíàëîãè÷íî äëÿ ðàäèàëüíûõ óïðóãèõ ïåðåìåùåíèé W t( ) çàïèøåì

M Wl W t W t

R

ñ nè ( )

� ( )sin( , � ( )).

^

�4 3 3� �

��

Ñîñòàâëÿþùàÿ Ì è ýòîãî ìîìåíòà êîìïåíñèðóåòñÿ âðàùàþùèì ìîìåí-

òîì, Ì 2 – ïðèâîäèò ê ïðåöåññèè ãëàâíîé îñè.

Óãëîâàÿ ñêîðîñòü îñíîâàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ñõåìå, ïîêàçàííîé íà

ðèñ. 3:

� � � � � �

� � � � � �

� �

x

y

z

1

1

1

� �

�

�

� sin sin � cos ;

� sin cos � sin ;

� cos � ,� � �� 0

ãäå �0 – èçìåðÿåìàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü.

Äëÿ èëëþñòðàöèè âûøåèçëîæåííîãî ðàññìîòðèì ÷èñëîâîé ïðèìåð. Ñ

öåëüþ óïðîùåíèÿ ïîëàãàåì áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïîïëàâêà öèëèíäðè÷åñ-

êîé.

Óïðóãèå ïåðåìåùåíèÿ ïîâåðõíîñòè ïîäâåñà ãèðîñêîïà ïîä äåéñòâèåì

ïëîñêîé âîëíû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå



Ðèñ. 2 Ðèñ. 3

Ðèñ. 2. Âëèÿíèå ïåðåìåùåíèé ýëåìåíòîâ áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ïîïëàâêà íà äåâèàöèþ äàò÷è-

êà óãëîâîé ñêîðîñòè.

Ðèñ. 3. Âûáîð ñèñòåì êîîðäèíàò: O1�� – îïîðíàÿ; O x y z1 1 1 1 – æåñòêî ñâÿçàííàÿ ñ êîðïóñîì

ðàêåòîíîñèòåëÿ; O xyz1 – æåñòêî ñâÿçàííàÿ ñ ïîïëàâêîì.

V z t imF

imn z

L

mn

mnn

( , , ) exp( )sin ;4 45

��

�

��

�

!

"

#$

,

61

-- �,

,

� ��

�

��

�

!

"

#$7

��

��

m

n

W z t mn

L( , , )4 / �

� 52 22

1

2

,

�,

,

--

7�

�

��

�

!

"

#$��

1m

mn

mn

Fim

n z

L6exp( )sin ,4

5

(19)

ãäå

6mn m mn

Lc

m

R � � �

� �

�

��

�

!

"

#$ � �

�

�

2 2 2

22 21

21/ �

� 5/ �( )

��

�

�

��

�

!

"

#$

��

��

��

��

2 2 2n

L

5; (20)

F t P i tn

n k L ii

mn

n

( ) exp( )[ ( ) ]

( ) ( )

;exp (

� �

��

0 20

2

2 1 11

/5

52 1

2

0 1

0 1

5 4

5 4

k R

k R m

)

( )

;�

�

��

��

��

��(21)

m 8 80 1 2, , , ...; n 0 1 2, , , ...; / – ÷àñòîòà ïàäàþùåé âîëíû; 0+ +z L –

ïðîäîëüíàÿ êîîðäèíàòà; L – äëèíà ïîïëàâêà; 0 29 94 5 – öåíòðàëüíûé óãîë

(ðèñ. 4).

Èíòåðåñíîå ÿâëåíèå íàáëþäàåòñÿ ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ

/ �� 52 2

21

20� �

� �

�

�� m

n

L. (22)

Ïðè ýòîì îòñóòñòâóþò ñîñòàâëÿþùèå ïåðåìåùåíèÿ ïîâåðõíîñòè W t( ) â

ðàäèàëüíîì íàïðàâëåíèè, â òî âðåìÿ êàê V t( ) â òàíãåíöèàëüíîì íàïðàâëå-

íèè ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû.



Ðèñ. 4. Äèôðàêöèÿ çâóêà íà óïðóãîé îáîëî÷êå ïîïëàâêà.

Ñîîòíîøåíèå (22) ïîêàçûâàåò âîçìîæíîñòü âçàèìíîãî âëèÿíèÿ êîëåáà-

íèé â ïðîäîëüíîì (n-ôîðì) è ïîïåðå÷íîì (m-ôîðì) íàïðàâëåíèè, ÷òî ïðèâî-

äèò ê èõ ïîäàâëåíèþ. Ïðåîáðàçîâàâ ýòî ñîîòíîøåíèå ê âèäó

( )( ) ,/ � / �� 5

� � � �

�

��m m

n

L

1

2

2

(23)

ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî â äàííîì ýôôåêòå íå ïðèíèìàþò ó÷àñòèÿ êîëåáàíèÿ â

ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè ñ íîìåðàìè ôîðì

m / �. (24)

Ïðîàíàëèçèðóåì óñëîâèÿ âîçíèêíîâåíèÿ îñîáåííîñòåé ðåçîíàíñíîãî

òèïà, êîãäà âåëè÷èíû ïåðåìåùåíèé ìîãóò íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàòü. Î÷å-

âèäíî, ÷òî òàêèå âîçìîæíîñòè îáîëî÷êîé ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû ïðè

óñëîâèè

/ �� 5

/ �52 2

22 2

21

21� �

� �

�

��

�

!

"

#$ � �

�

�

�� m

n

Lc

m

R

n

L( )

�

�

��

�

!

"

#$

��

��

��

��

2 2

2m , (25)

êîãäà èìåþò ìåñòî ðåçîíàíñíûå ÷àñòîòû:

/ �5 �p h

R

m

R

n

L �

�

�

��

�

�

��

�

!

"

#$ �

��( ) /212

1

2

1 22

2

2 2 2��

��

��

��

�

�

�� 8

n

Lm

5 22 1

8�

�

��

�

�

��

�

!

"

#$ �

� �

�

��

�h

R

m

R

n

L

n

L

2

2

2 2 2 2

12

1

2

5 � 5��

��

��

��

�

�

��

�

�

��

�

!

"

#$ �

��

��

22

2

2 2 2

12

h

R

m

R

n

L

5

��

�

��

��

��

��

��

��

��

1

23

24

1 21 2

� 5n

Lm

//

. (26)

Ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî íèçøèå ôîðìû

êîëåáàíèé â ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèè ïðàêòè÷åñêè íå âëèÿþò íà çíà÷åíèÿ

ðåçîíàíñíûõ ÷àñòîò / p , â òî âðåìÿ êàê âëèÿíèå ïîïåðå÷íûõ, íà÷èíàÿ ñ

÷åòâåðòîé ôîðìû, ïðîÿâëÿåòñÿ â áîëüøåé ñòåïåíè. Èñêëþ÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ

ñëó÷àé m 0, êîòîðûé, ïî ñóòè, òðèâèàëüíûé.

Î÷åâèäíî, ÷òî òàíãåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïåðåìåùåíèé ïîâåðõ-

íîñòè ïîïëàâêà íå áóäåò ñîäåðæàòü ôîðìû, ãäå m 0. Äðóãèìè ñëîâàìè,

áóäóò îòñóòñòâîâàòü ïåðåìåùåíèÿ V01 , V03 , V05 , V07 , ... .



Ïðîâåäåì ÷èñëåííûé àíàëèç ñ öåëüþ óñòàíîâëåíèÿ ñòåïåíè âëèÿíèÿ

àêóñòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ, íàïðèìåð, ïðè óðîâíå äàâëåíèÿ Ð0 , ðàâíîì 140

äÁ, íà ñîñòîÿíèå ïîâåðõíîñòè ïîïëàâêà. Ïóñòü � �0 32, ; L�0 06, ì; ��

� � � �� 2 7 10 2, ;Í ñ ì2 4 h� � �1 10 3 ì; ch

R

22

24

122 10� � � � ; x 0 0� ; k

c00

��

;

c0 330� ì/c.

Ðàññìîòðèì íèçøèå ôîðìû êîëåáàíèé, à çàòåì îöåíèì ïîëíûå ïåðå-

ìåùåíèÿ Wmn

nm �

�

��

�

1

è Vmn

nm �

�

��

�

1

ýëåìåíòîâ ïîâåðõíîñòè.

Â ñðåäíåì øïàíãîóòå ( ),z L� 2 ò.å. â ñå÷åíèè, ãäå êðåïèòñÿ ãèðîìîòîð,

ðàäèàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ Wmn äîñòèãàþò íàèáîëüøèõ çíà÷åíèé è ñîñòàâ-

ëÿþò îêîëî 4,471 ìêì ïðè ÷àñòîòå ïàäàþùåé âîëíû �� 1 103 1ñ è 4,590

ìêì ïðè �� 3 103 1ñ (m�0, n�1). Ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ïðîãèáîâ äëÿ

îñòàëüíûõ ôîðì êîëåáàíèé ñóùåñòâåííî ìåíüøå:

Wmax ,�0 426 ïðè m n� �1 1, ; Wmax ,�0 063 ïðè m n� �6 1, ;




Wmax ,�0 076 ïðè m n� �5 1, ; Wmax ,�0 036 ïðè m n� �10 1, .

Äëÿ áîëåå âûñîêèõ íîìåðîâ ôîðì êîëåáàíèé n çíà÷åíèÿ Wmax åùå ìåíüøå.

Çàôèêñèðóåì çíà÷åíèå ïàðàìåòðà n (íàïðèìåð, n�1). Òîãäà ìîæíî

îïðåäåëèòü m-ôîðìû ðàäèàëüíûõ êîëåáàíèé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè

ïîïëàâêà (ðèñ. 5,â–í) äëÿ çíà÷åíèé m, èçìåíÿþùèõñÿ îò äåâÿòè äî íóëÿ. Ïðè

ýòîì ñ óâåëè÷åíèåì íîìåðà n óìåíüøàåòñÿ âåëè÷èíà ðàäèàëüíûõ ïåðå-

ìåùåíèé Wmn . Â ýòèõ æå ïðåäåëàõ ìîæíî îïðåäåëèòü ðåçóëüòèðóþùèå

ïîïåðå÷íûå ôîðìû äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé ÷àñòîòû � àêóñòè÷åñêîãî âîçäåéñò-

âèÿ: Wmax � 3,717; 3,879; 4,118; 4,372; 4,692; 4,976 ìêì ïðè �� 1 103;

2 103� ; 3 103� ; 4 103� ; 5 103� ; 6 103 1� �c ñîîòâåòñòâåííî.

Âíåøíèé âèä îáðàçóþùèõñÿ â ñðåäíåì ñå÷åíèè ôîðì êîëåáàíèé â

ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 6.

Âëèÿíèå êîëè÷åñòâà ñóììèðóþùèõñÿ ôîðì

n

n

m m

m

��

1

1

1

2

ïî ïàðàìåòðàì

m1 , m2 è n1 íà âåëè÷èíó ìàêñèìàëüíîãî ðàäèàëüíîãî ïðîãèáà, íàïðèìåð,

ïðè ÷àñòîòå �� 1 103 1ñ ïàäàþùåé çâóêîâîé âîëíû íåçíà÷èòåëüíî (òàáë. 1).

Ãåîìåòðèÿ ôîðì ïðè ýòîì ïðàêòè÷åñêè íå èçìåíÿåòñÿ.

Î÷åâèäíî, ÷òî âëèÿíèå ïàðàìåòðà n ïðè èçìåíåíèè çíà÷åíèé â äâîéíîé

ñóììå, íà÷èíàÿ ñ 20, âåñüìà íåñóùåñòâåííî è, ïî ñóòè, íå âíîñèò îïðåäå-

ëÿþùèõ èçìåíåíèé â ìàêñèìàëüíûå ïðîãèáû. Âêëàä ïàðàìåòðà m åùå

ìåíüøå. ×èñëåííûé àíàëèç ïåðåìåùåíèé Vmn â òàíãåíöèàëüíîì íàïðàâëå-

íèè äëÿ ýòèõ æå óñëîâèé ïîêàçûâàåò, ÷òî îíè íà 7-8 ïîðÿäêîâ ìåíüøå





Ðèñ. 5. Èçãèáíûå êîëåáàíèÿ ïîïëàâêà â ñðåäíåì øïàíãîóòå ïðè / : �1 103 1ñ : à – m 10,

n 1; á – m �10, n 1; â – m 9, n 1; ã – m 8, n 1; ä – m 7, n 1; e – m 6, n 1; æ –

m 5, n 1; ç – m 4, n 1; è – m 3, n 1; ê – m 2, n 1; ë – m 1, n 1; ì – m 0, n 1, 3;

í – m 0, n 5, 7, 9.

Ò à á ë è ö à 1

Âëèÿíèå íîìåðà ôîðìû êîëåáàíèé íà âåëè÷èíó ïåðåìåùåíèé

â ðàäèàëüíîì íàïðàâëåíèè

¹ ôîðìû êîëåáàíèé W max,

ìêìm1 m2 n1

�10 10 �9 3,7

�3 3 9 3,6

�5 5 9 3,7

�15 15 9 3,7

�20 20 9 3,7

�10 10 5 3,0

�10 10 25 3,5

�10 10 49 3,5

�10 10 99 3,5

�20 20 9 3,5

à á â ã

ä å æ ç

è ê ë ì

í

àáñîëþòíûõ âåëè÷èí ïðîãèáîâ Wmn â ðàäèàëüíîì íàïðàâëåíèè è ñîñòàâëÿ-

þò 1 9 10 8, � � ìêì, íàïðèìåð, ïðè �� 1 103 1ñ .

Âíåøíèé âèä V -ôîðìû ñîñòàâëÿþùåé ïåðåìåùåíèÿ ïîâåðõíîñòè â

òàíãåíöèàëüíîì íàïðàâëåíèè ïîä äåéñòâèåì çâóêîâîãî èçëó÷åíèÿ ïðåäñòàâ-

ëåí íà ðèñ. 7. Òàêàÿ ôîðìà ñîãëàñóåòñÿ ñ ïðèíÿòîé ñõåìîé ïàäåíèÿ âîëíû

(ðèñ. 8). Îáëàäàÿ çíà÷èòåëüíîé æåñòêîñòüþ â ïëîñêîñòè øïàíãîóòà, ò.å. â

îêðóæíîì íàïðàâëåíèè, êîíñòðóêöèÿ áóäåò ðåàãèðîâàòü íà âîçìóùåíèå ïðàê-

òè÷åñêè òîëüêî âåðõíåé ÷àñòüþ ñå÷åíèÿ. È åñëè â ýòîì ñëó÷àå âåëè÷èíà V -

ôîðìû íà 7-8 ïîðÿäêîâ ìåíüøå ðàäèàëüíûõ ïåðåìåùåíèé W (òî÷íåå íà

îáðàçîâàííîé ïåòëå), òî â äðóãèõ òî÷êàõ ñå÷åíèÿ îíà åùå ìåíüøå (òàáë. 2).



Ðèñ. 6. Ôîðìû W Wmn

nm

��

��1

9

10

10

: a – � � � �1 103 1c ; á – � � � �2 103 1c ; â – � � � �3 103 1c ; ã –

� � � �4 103 1c ; ä – � � � �5 103 1c ; å – � � � �6 103 1c .

à á â

ã ä å


Ïåðåìåùåíèå ïîâåðõíîñòè ïîäâåñà ïîä äåéñòâèåì àêóñòè÷åñêîé âîëíû

â òàíãåíöèàëüíîì íàïðàâëåíèè

mV � �10 16, ì, ïðè �

�i i�

2

80(i � 0 79, )

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 6573,9 2825,2 �47,8 435,6 245,6 144,4 130,9 133,0 130,1 123,6

10 115,9 107,6 98,6 89,1 79,1 68,5 57,6 46,3 34,8 23,0

20 11,0 �1,0 �13,0 �24,9 �36,7 �48,2 �59,5 �70,4 �80,8 �90,8

30 �100,1 �108,9 �117,0 �124,4 �131,0 �136,8 �141,8 �145,9 �149,0 �151,2

40 �152,6 �153,0 �152,5 �151,0 �148,6 �145,3 �141,0 �135,9 �129,9 �123,2

50 �115,7 �107,5 �98,6 �89,2 �79,1 �68,6 �57,6 �46,3 �34,7 �23,0

60 �11,0 1,0 13,0 24,9 36,7 48,2 59,4 70,3 80,8 90,8

70 100,3 109,2 117,1 121,7 121,6 136,0 234,6 421,2 46,0 2794,1

Ïðèìå÷àíèå. V -ôîðìû ïåðåìåùåíèé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðè÷åñêîé ÷àñòè ïîïëàâêà ïîä

äåéñòâèåì çâóêîâîãî èçëó÷åíèÿ; � � �1000 1c .

Ïðè îïðåäåëåíèè ðåçóëüòèðóþùèõ ôîðì êîëåáàíèé äîñòàòî÷íî îãðàíè-

÷èòüñÿ çíà÷åíèÿìè m �150 150... , n 1 9... (òàáë. 3).

Äàííûå ïðèâîäÿòñÿ äëÿ ñå÷åíèÿ z 0 01, ì.

Çàêëþ÷åíèå. Ñ ïîìîùüþ ïðèâåäåííûõ ðåçóëüòàòîâ ìîæíî îáúÿñíèòü

ïðèðîäó óïðóãîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîíèêàþùåãî àêóñòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ ñ

ïîäâåñîì ïîïëàâêîâîãî ãèðîñêîïà è ìåõàíèçì ïîÿâëåíèÿ äåâèàöèè îñè

ôèãóðû â óñëîâèÿõ êà÷àþùåãîñÿ îñíîâàíèÿ. Àíàëèòè÷åñêîå îïèñàíèå äè-

ôðàêöèè çâóêîâûõ âîëí íà ïîäâåñå ãèðîñêîïà ïîçâîëÿåò îöåíèòü ñòåïåíü

âëèÿíèÿ îñåñèììåòðè÷íîãî, àíòèñèììåòðè÷íîãî è öèêëè÷åñêîãî íàãðóæåíèÿ

íà ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèé.

Ð å ç þ ì å

Àíàë³çóºòüñÿ äèíàì³êà ï³äâ³ñó ïîïëàâêîâîãî ã³ðîñêîïà. Ïîáóäîâàíî ðîçðà-

õóíêîâó ìîäåëü òà àíàë³òè÷íî îïèñóºòüñÿ íàïðóæåíî-äåôîðìîâàíèé ñòàí

ïîâåðõí³ ïîïëàâêà. Ðîçãëÿäàºòüñÿ ó çàãàëüíîìó âèïàäêó äîâ³ëüíî îêðåñëåíà




Âëèÿíèå íîìåðà ôîðìû êîëåáàíèé íà ïåðåìåùåíèÿ â òàíãåíöèàëüíîì íàïðàâëåíèè

Ôîðìà êîëåáàíèé Vmax ,: �10 7

ìêìm1 m2 n1

�10 10 9 3,000

�15 15 9 4,260

�20 20 9 5,180

�50 50 9 6,450

�100 100 9 6,567

�150 150 9 6,570

Ðèñ. 7. Ïåðåìåùåíèÿ ïîâåðõíîñòè ïîïëàâêà â òàíãåíöèàëüíîì íàïðàâëåíèè: V Vmn --� 1

10

150

150

;

z 0 01, ì; / : �1 103 1ñ .

Ðèñ. 8 (ñïðàâà). Ñõåìà äåéñòâèÿ çâóêîâîé âîëíû íà öèëèíäðè÷åñêóþ ÷àñòü ïîïëàâêà.

ë³í³ÿ ìåðèä³àíà, ùî äîçâîëÿº, ÿê îêðåìèé âèïàäîê, îïèñàòè äèíàì³êó îïóê-

ëî¿, âãíóòî¿ òà öèë³íäðè÷íî¿ ïîâåðõîíü ïîïëàâêà. Ïîÿñíþºòüñÿ ïðèðîäà

âèíèêíåííÿ äîäàòêîâî¿ ïîõèáêè ã³ðîñêîïà ï³ä ä³ºþ ïðîíèêàþ÷îãî àêóñòè÷-

íîãî âèïðîì³íþâàííÿ.

1. Èøëèíñêèé À. Þ. Îðèåíòàöèÿ, ãèðîñêîïû è èíåðöèàëüíàÿ íàâèãàöèÿ. –

Ì.: Íàóêà, 1976. – 671 ñ.

2. Êàðà÷óí Â. Â. Ïðîõîæäåíèå âîëíû èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ ÷åðåç ìíîãî-

ôàçíóþ ìåõàíè÷åñêóþ ñòðóêòóðó // Êîñì³÷íà íàóêà ³ òåõíîëîã³ÿ. – 1996.

– 2, ¹ 3-4. – Ñ. 58 – 61.

3. Karachun V. V. About the influence of acoustic influences to the equipment

of space apparatus complex: Proc. of Fourth Ukraine-Russia-Chine Symp. on

Space Science and Technology. – Ukraine, 1996. – P. 720.

4. Koshljakov V. N., Karachun V. V., Mel’nick V. N., et al. The some aspects of

flaigt safety in conditions penetrate acoustic radiation // The Word Congr.

“Aviation in the XXI-st Century”. – Kiev (Ukraine), 2003. – P. 2.37 – 2.40.

5. Mel’nick V. N. and Karachun V. V. Some aspects of the gyroscopic

stabilszation in aconstic fields // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, No. 1. –

P. 74 – 80.

6. Âëàñîâ Â. Ç. Êîíòàêòíûå çàäà÷è ïî òåîðèè îáîëî÷åê è òåíêîñòåííûõ

ñòåðæíåé // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Îòä-íèå òåõí. íàóê. – 1949. – ¹ 6. – Ñ. 41 –

45.

7. Ãàëåðêèí Á. Ã. Ê òåîðèè óïðóãîé öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè // Äîêë. ÀÍ

ÑÑÑÐ. – 1934. – 4, ¹ 5-6. – Ñ. 73 – 81.

8. Ãóçü À. Í., Êóáåíêî Â. Ä. Ìåòîäû ðàñ÷åòà îáîëî÷åê. Ò. 5. Òåîðèÿ

íåñòàöèîíàðíîé àýðîãèäðîóïðóãîñòè îáîëî÷åê. – Êèåâ: Íàóê. äóìêà,

1982. – 400 ñ.

9. ×åðíûõ Ê. Ô. Ëèíåéíàÿ òåîðèÿ îáîëî÷åê. Â 2 ÷. ×. 1: Îáùàÿ òåîðèÿ. –

Ë.: Èçä-âî Ëåíèíãð. óí-òà, 1962. – 274 ñ.

10. Êàðà÷óí Â. Â., Êàþê ß. Ô., Ìåëüíèê Â. Í. Âîëíîâûå çàäà÷è ïîïëàâ-

êîâîãî ãèðîñêîïà. – Êèåâ: ÂÈÏÎË, 2007. – 228 ñ.




ÓÄÊ 620.178.14:191.4(045)

Îöåíêà ñòðóêòóðíî-äåôîðìàöèîííîé íåîäíîðîäíîñòè òîíêîãî

ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ ìàòåðèàëîâ ìåòîäîì öàðàïàíèÿ

Ñ. Ð. Èãíàòîâè÷, È. Ì. Çàêèåâ, Ä. È. Áîðèñîâ

Íàöèîíàëüíûé àâèàöèîííûé óíèâåðñèòåò, Êèåâ, Óêðàèíà

Ñòðóêòóðíî-äåôîðìàöèîííàÿ íåîäíîðîäíîñòü ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ îöåíèâàåòñÿ ìåòîäîì

öàðàïàíèÿ ñ ðåãèñòðàöèåé èçìåíåíèÿ òàíãåíöèàëüíîé ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ äâèæåíèþ èíäåí-

òîðà. Ïðè ãëóáèíàõ âíåäðåíèÿ èíäåíòîðà Âèêêåðñà, ñîèçìåðèìûõ ñ ïîêàçàòåëÿìè øåðîõî-

âàòîñòè ïîâåðõíîñòè, îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ íåîäíîðîäíîñòü ñòðóêòóðíî-

äåôîðìàöèîííûõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà âäîëü òðàññû ñêàíèðîâàíèÿ áåç âëèÿíèÿ ðåëüåôà ïî-

âåðõíîñòè.

Êëþ÷åâûå ñëîâà: òåñòèðîâàíèå öàðàïàíèåì, ïîâåðõíîñòü, øåðîõîâàòîñòü,

íåîäíîðîäíîñòü ñòðóêòóðíî-äåôîðìàöèîííûõ ñâîéñòâ, èíäåíòîð Âèêêåðñà.

Ââåäåíèå. Çàäà÷è äèàãíîñòèêè è êîíòðîëÿ íåñóùåé ñïîñîáíîñòè êîíñò-

ðóêöèé, îöåíêè èõ îñòàòî÷íîãî ðåñóðñà íå ìîãóò èìåòü àäåêâàòíûõ ðåøåíèé

áåç ó÷åòà ÿâëåíèé äåñòðóêöèè ìàòåðèàëîâ (ñòðóêòóðíîé ïîâðåæäàåìîñòè),

ïðîòåêàþùèõ íà ìèêðîñòðóêòóðíîì ðàçìåðíîì óðîâíå. Ïîñêîëüêó ñîâðå-

ìåííûå êîíñòðóêöèîííûå ìàòåðèàëû îáúåêòèâíî ñòðóêòóðíî íåîäíîðîäíû

(êðèñòàëëè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ìåòàëëîâ, ïîëèôàçíîñòü êîìïîçèòîâ, íàëè÷èå

ïðèìåñåé è äîáàâîê â ñïëàâàõ, òåõíîëîãè÷åñêèå ôàêòîðû ëèòüÿ è îáðà-

áîòêè), íåîáõîäèìî îïðåäåëèòüñÿ, íàñêîëüêî ôèçè÷åñêè ëîêàëüíû ñòðóêòóð-

íûå ïîâðåæäåíèÿ è â êàêèõ ìàñøòàáàõ îíè ëîêàëèçóþòñÿ.

Â ïðîöåññå ýêñïëóàòàöèè ñòðóêòóðíàÿ íåîäíîðîäíîñòü ýâîëþöèîíèðóåò

â ðåçóëüòàòå âðåìåííûõ ïðîöåññîâ ñòàðåíèÿ (äèôôóçèÿ ëåãèðóþùèõ ýëåìåí-

òîâ è ðåêðèñòàëëèçàöèÿ ïðè ïîâûøåííûõ òåìïåðàòóðàõ, îêèñëèòåëüíûå ïðî-

öåññû è ò.ï.), ÷òî ïðèâîäèò ê ôîðìèðîâàíèþ “ñëàáûõ çâåíüåâ” ñòðóêòóðû –

ëîêàëüíûõ îáúåìîâ ñî çíà÷èòåëüíî çàíèæåííûìè ïîêàçàòåëÿìè ïðî÷íîñòè.

Ñóùåñòâåííûé ôàêòîð ýêñïëóàòàöèîííîé ïîâðåæäåííîñòè ìíîãèõ êîí-

ñòðóêöèîííûõ ìàòåðèàëîâ, îñîáåííî ïðè âîçäåéñòâèè öèêëè÷åñêèõ íàãðó-

çîê – äåôîðìàöèîííàÿ íåîäíîðîäíîñòü, îáóñëîâëåííàÿ íåðàâíîìåðíûì ïî

îáúåìó ôîðìèðîâàíèåì ëîêàëüíûõ äèñëîêàöèîííûõ ãðóïï (àíñàìáëåé), â

êîòîðûõ êîíöåíòðèðóåòñÿ çíà÷èòåëüíàÿ óïðóãàÿ ýíåðãèÿ è êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ

ìîùíûì èñòî÷íèêîì âíóòðåííèõ íàïðÿæåíèé [1]. Íåîäíîðîäíîñòü ìèêðî-

ïëàñòè÷åñêîé äåôîðìàöèè ñàìûì íåïîñðåäñòâåííûì îáðàçîì ñâÿçàíà ñ íå-

îäíîðîäíîñòüþ ñòðóêòóðû êîíñòðóêöèîííûõ ìàòåðèàëîâ [2]. Ãðàíèöû çåðåí,

âêëþ÷åíèÿ âòîðè÷íîé ôàçû è äð., áóäó÷è ýôôåêòèâíûìè ïðåïÿòñòâèÿìè

äâèæåíèþ äèñëîêàöèé, ñïîñîáñòâóþò ôîðìèðîâàíèþ î÷àãîâ íåçàâåðøåííî-

ãî ñäâèãà è ñîçäàíèþ ëîêàëüíûõ êîíöåíòðàòîðîâ âíóòðåííèõ íàïðÿæåíèé –

ýíåðãåòè÷åñêèõ áàðüåðîâ äëÿ ïîäâèæíûõ äèñëîêàöèé (ýôôåêò óïðî÷íåíèÿ).

Ñ ó÷åòîì ðàäèóñà äåéñòâèÿ âíóòðåííèõ íàïðÿæåíèé r ýíåðãåòè÷åñêèå

áàðüåðû äåëÿòñÿ íà êðóïíî- (r1 1� ìêì), ñðåäíå- ( ),

r D20 5� �� è ìåëêî-

ìàñøòàáíûå (r a3 1 5� ( ... ) ), ãäå �D – ïëîòíîñòü äèñëîêàöèé; à – ïîñòîÿííàÿ

êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè (ðèñ. 1) [3].

© Ñ. Ð. ÈÃÍÀÒÎÂÈ×, È. Ì. ÇÀÊÈÅÂ, Ä. È. ÁÎÐÈÑÎÂ, 2008


Èçâåñòíî, ÷òî ëîêàëüíûå ïðîöåññû ïîâðåæäåííîñòè ìàòåðèàëîâ, ñâÿ-

çàííûå ñ ôîðìèðîâàíèåì è ýâîëþöèåé äèñëîêàöèîííîé ñòðóêòóðû, ðàçðûõ-

ëåíèåì è ðàçðóøåíèåì, èíòåíñèôèöèðóþòñÿ â ïîâåðõíîñòíîì ñëîå [4, 5].

Ýòî èíòåãðàëüíî ïðîÿâëÿåòñÿ â èçìåíåíèè ñî âðåìåíåì óñðåäíåííûõ ïî

îáúåìó çíà÷åíèé ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ìàòåðèàëîâ, êîòîðûå

ðåãèñòðèðóþòñÿ ðàçëè÷íûìè ôèçè÷åñêèìè ìåòîäàìè [6]: ýêçîýëåêòðîííîé

ýìèññèè; ïîçèòðîííîé àííèãèëÿöèè; èçìåðåíèåì âíóòðåííåãî òðåíèÿ è

óäåëüíîãî îñòàòî÷íîãî ñîïðîòèâëåíèÿ è ò.ï. Êîëè÷åñòâåííàÿ îöåíêà ñòðóê-

òóðíî-äåôîðìàöèîííîé íåîäíîðîäíîñòè ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ ìîæåò ïðî-

âîäèòüñÿ ìåòîäîì èçìåðåíèÿ ìèêðîïëàñòè÷åñêèõ äåôîðìàöèé ñ íàíåñåíèåì

íà ïîâåðõíîñòè ðåïåðíûõ ðÿäîâ [2]. Äàííûé ìåòîä ýôôåêòèâåí ïðè ëàáî-

ðàòîðíûõ èññëåäîâàíèÿõ, îäíàêî åãî ïðàêòè÷åñêîå èñïîëüçîâàíèå ïðîáëå-

ìàòè÷íî.

Äëÿ ïðîâåäåíèÿ êîíòðîëÿ ñîñòîÿíèÿ ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ êîíñòðóê-

öèîííûõ ìàòåðèàëîâ ïî êðèòåðèÿì ñòðóêòóðíî-äåôîðìàöèîííîé íåîäíîðîä-

íîñòè âåñüìà èíôîðìàòèâíûì ÿâëÿåòñÿ äåôîðìàöèîííî-ñïåêòðàëüíûé ìåòîä

(ÄÑÌ) [7]. Ìåòîä ïîëó÷èë ðàçâèòèå ïðè òðèáîëîãè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè –

ñêàíèðîâàíèè ïîâåðõíîñòè âíåäðåííûì èíäåíòîðîì è îïðåäåëåíèè ïî èçìå-

íåíèþ ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ öàðàïàíèþ ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâÿçåé ìåæäó ñòðóê-

òóðîé ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ, ïðîöåññàìè êîíòàêòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ è õà-

ðàêòåðèñòèêàìè òðåíèÿ [8]. Èñïîëüçîâàíèå ÄÑÌ äëÿ äèàãíîñòèðîâàíèÿ ïî-

âåðõíîñòíîãî ñëîÿ äåòàëåé ïðè êîíòàêòíûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ è âëèÿíèè

äðóãèõ ïîâðåæäàþùèõ ôàêòîðàõ ïðåäîïðåäåëÿåò íàëè÷èå ñïåöèàëüíûõ àïïà-

ðàòóðíûõ ñðåäñòâ.

Ñîâðåìåííûé ýòàï ðàçâèòèÿ ìåòîäîâ ëîêàëüíîãî è ñêàíèðóþùåãî èíäåí-

òèðîâàíèÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ ðàçðàáîòêîé è èñïîëüçîâàíèåì íîâîãî ïîêîëåíèÿ

ïðèáîðîâ – íàíîèíäåíòîìåðîâ (íàíîòåñòåðû), îáëàäàþùèõ âûñîêîé ðàçðåøà-

þùåé ñïîñîáíîñòüþ ðåãèñòðàöèè ãëóáèíû âíåäðåíèÿ èíäåíòîðà (0,1...1 íì)

ïðè ñâåðõìàëûõ íàãðóçêàõ [9]. Íàíîòåñòåðû âåäóùèõ â ìèðå ïðîèçâîäèòå-

ëåé (Micro Photonics, Hysitron, Micro Materials, CSM Instruments è äð.) ïðè

èñïûòàíèÿõ ìàòåðèàëîâ öàðàïàíèåì (scratch testing) ñïîñîáíû ñ âûñîêîé

÷óâñòâèòåëüíîñòüþ ðåãèñòðèðîâàòü èçìåíåíèå íîðìàëüíîé è òàíãåíöèàëü-

Îöåíêà ñòðóêòóðíî-äåôîðìàöèîííîé íåîäíîðîäíîñòè ...


Ðèñ. 1. Ñõåìà ìàñøòàáíîñòè äåéñòâèÿ âíóòðåííèõ íàïðÿæåíèé îò äèñëîêàöèîííûõ àíñàì-

áëåé: r1, r2, r3 – ñîîòâåòñòâåííî êðóïíî-, ñðåäíå- è ìåëêîìàñøòàáíûå.

íîé ïî îòíîøåíèþ ê ïîâåðõíîñòè ñèë ñîïðîòèâëåíèÿ äâèæåíèþ èíäåíòîðà,

èçìåíåíèå ãëóáèíû åãî âíåäðåíèÿ ïî òðàññå ñêàíèðîâàíèÿ. Ïðè öàðàïàíèè

èçìåðÿþòñÿ ïàðàìåòðû ñîïðîòèâëåíèÿ òðåíèþ è èçíîñó ìàòåðèàëîâ, õàðàê-

òåðèñòèêè òâåðäîñòè, àíèçîòðîïèÿ, à òàêæå àäãåçèÿ ñâåðõòîíêèõ ïëåíîê è

ïîêðûòèé [10, 11].

Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè íàíîèíäåíòèðîâàíèè íà ïîëó÷àåìûå ðåçóëüòàòû

ñóùåñòâåííî âëèÿåò øåðîõîâàòîñòü ïîâåðõíîñòè, ãåîìåòðè÷åñêèå ïàðàìåò-

ðû êîòîðîé ñîèçìåðèìû ñ ãëóáèíîé âíåäðåíèÿ èíäåíòîðà. Òàê, ðåëüåô

ïîâåðõíîñòè ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ôàêòîðîâ, îáóñëîâëèâàþùèõ ìàñøòàáíûé

ýôôåêò ìèêðîòâåðäîñòè (indentation size effect) ïðè ëîêàëüíîì èíäåíòèðî-

âàíèè [12]. Âëèÿíèå øåðîõîâàòîñòè ïîâåðõíîñòè íà ðåçóëüòàòû ñêàíèðî-

âàíèÿ âíåäðåííîãî íà íàíîìåòðîâóþ ãëóáèíó èíäåíòîðà íå èññëåäîâàëîñü.

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñîïðîòèâëåíèå öàðàïàíèþ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ íå òîëüêî

ñòðóêòóðíî-äåôîðìàöèîííîé íåîäíîðîäíîñòüþ, íî è ðåëüåôîì ïîâåðõíîñòè,

öåëü íàñòîÿùåé ðàáîòû ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè ìîäåëè ñèëîâîãî âîçäåé-

ñòâèÿ íà èíäåíòîð ïðè öàðàïàíèè è â ïîëó÷åíèè íà åå îñíîâå ôóíêöèè

èçìåíåíèÿ ìèêðîïðî÷íîñòíûõ ñâîéñòâ ïî òðàññå ñêàíèðîâàíèÿ øåðîõîâàòîé

ïîâåðõíîñòè.

Èñõîäíûå ïðåäïîñûëêè. Ïðîöåññ öàðàïàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ áîëüøèì

÷èñëîì ôàêòîðîâ, à ñîïðîâîæäàþùåå åãî íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå – äîâîëüíî

ñëîæíîå è òðóäíî ïîääàþùååñÿ àíàëèçó [13]. Ïîýòîìó ïðè ðàññìîòðåíèè

ñèëîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó öàðàïàþùèì èíäåíòîðîì è ìàòåðèàëîì

ïðèíèìàåì ñëåäóþùèå äîïóùåíèÿ.

1. Èíäåíòîðîì ÿâëÿåòñÿ ÷åòûðåõãðàííàÿ àëìàçíàÿ ïèðàìèäà Âèêêåðñà ñ

óãëîì ìåæäó ãðàíÿìè 136�.Èñïîëüçîâàíèå ïðè ñêëåðîìåòðè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ â êà÷åñòâå èíäåí-

òîðîâ ïèðàìèä Âèêêåðñà èëè Áåðêîâè÷à èìååò áîëüøèå ïðåèìóùåñòâà ïî

ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè òèïàìè èíäåíòîðîâ [14].

2. Öàðàïàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ðåáðîì ïèðàìèäû ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñ-

òüþ ïåðåìåùåíèÿ èíäåíòîðà.

Öàðàïàíèå ðåáðîì ïèðàìèäû âïåðåä îáåñïå÷èâàåò âûòåñíåíèå ìàòå-

ðèàëà èç-ïîä èíäåíòîðà ïî ìåõàíèçìó ïëàñòè÷åñêîãî âûäàâëèâàíèÿ, àíàëî-

ãè÷íîãî âûäàâëèâàíèþ îòïå÷àòêà ïðè èñïûòàíèÿõ íà ìèêðîòâåðäîñòü ïî

Âèêêåðñó [14]. Ïðè ñêàíèðîâàíèè èíäåíòîðà ãðàíüþ âïåðåä öàðàïàíèå ïðè-

îáðåòàåò õàðàêòåð ðåçàíèÿ, ïðè êîòîðîì äèñïåðãèðîâàíèå ìàòåðèàëà ïðå-

îáëàäàåò íàä ïëàñòè÷åñêèì âûòåñíåíèåì [14, 15].

3. Ïîñêîëüêó îñíîâíàÿ ðàáîòà ïðè öàðàïàíèè ðàñõîäóåòñÿ íà ïåðå-

ìåùåíèå ìàòåðèàëà âäîëü ãðàíåé ïèðàìèäû, ïîëàãàåì, ÷òî ñèëû, îòâåò-

ñòâåííûå çà ïëàñòè÷åñêîå äåôîðìèðîâàíèå ìàòåðèàëà â ïðîöåññå ôîðìè-

ðîâàíèÿ öàðàïèíû, ðàñïîëàãàþòñÿ â ïëîñêîñòè ãðàíåé èíäåíòîðà.

4. Â ïðîöåññå öàðàïàíèÿ íåïðåðûâíî ðåãèñòðèðóþòñÿ: ëåæàùàÿ â ïëîñ-

êîñòè ïîâåðõíîñòè ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ïåðåìåùåíèþ èíäåíòîðà âäîëü òðàñ-

ñû ñêàíèðîâàíèÿ – òàíãåíöèàëüíàÿ ñèëà Ðõ è íîðìàëüíîå ê ïîâåðõíîñòè

ïåðåìåùåíèå èíäåíòîðà.

Àïïàðàòóðíàÿ ðåãèñòðàöèÿ òàêèõ ïàðàìåòðîâ îáåñïå÷èâàåòñÿ ïðàêòè-

÷åñêè íà âñåõ íàíîòåñòåðàõ – ñêëåðîìåòðàõ çàðóáåæíîãî ïðîèçâîäñòâà, à

òàêæå íà àíàëîãè÷íûõ îòå÷åñòâåííûõ ïðèáîðàõ [16].



5. Ñèëà òðåíèÿ ìåæäó ãðàíÿìè ïèðàìèäû è ìàòåðèàëîì íå ó÷èòûâàåòñÿ.

Ýòà ïðåäïîñûëêà áàçèðóåòñÿ íà òîì, ÷òî ïðè îáû÷íî èñïîëüçóåìûõ

ìàëûõ ñêîðîñòÿõ ñêàíèðîâàíèÿ ðàáîòà ïëàñòè÷åñêîãî âûòåñíåíèÿ ìàòåðèàëà

ñóùåñòâåííî âûøå ðàáîòû, ðàññåèâàåìîé íà òðåíèå. Êðîìå òîãî, ïðè îöåíêå

âëèÿíèÿ ðåëüåôà ïîâåðõíîñòè íà ñòðóêòóðíî-äåôîðìàöèîííóþ íåîäíîðîä-

íîñòü ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû òðåíèÿ âûòåñíÿåìîãî ìàòåðèàëà î

ãðàíè èíäåíòîðà íå ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùåé.

6. Çàäàåòñÿ âåðòèêàëüíàÿ ñèëà Ð, ñ êîòîðîé èíäåíòîð âíåäðÿåòñÿ â

ìàòåðèàë è êîòîðàÿ â ïðîöåññå öàðàïàíèÿ íå èçìåíÿåòñÿ.

Ðåøåíèå çàäà÷è. Íà êàæäóþ èç äâóõ ïåðåäíèõ ãðàíåé ïèðàìèäû â

ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé ïîâåðõíîñòè, äåéñòâóþò ñîñòàâëÿþùèå ñèëû ðåàê-

öèè ìàòåðèàëà íà ïåðåìåùåíèå Ðõ: íîðìàëüíàÿ N x è ïàðàëëåëüíàÿ Ò õ

ãðàíè (ðèñ. 2,à). Âïîëíå î÷åâèäíî, ÷òî

N TP

x xx� �

2 2. (1)

Â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ïîâåðõíîñòè è ðàñïîëîæåííîé ïîä

óãëîì 45� ê íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ èíäåíòîðà, íà ãðàíü äåéñòâóþò ñèëà N x

è Ð 2 – âåðòèêàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû, ïðèæèìàþùåé èíäåíòîð ê ïî-

âåðõíîñòè (ïðè âíåäðåíèè èíäåíòîðà áåç öàðàïàíèÿ ýòà ñèëà ðàñïðåäåëÿåòñÿ

ïî ÷åòûðåì ãðàíÿì è ðàâíà Ð 4). Ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà ïðè ýòîì áóäåò

ñîñòàâëÿòü (ðèñ. 2,á)

P N Pf x� �2 2 4. (2)

Ñèëà Pf íàïðàâëåíà ïîä óãëîì ê N x è ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà íà

ñîñòàâëÿþùèå: ïåðïåíäèêóëÿðíóþ N f è ïàðàëëåëüíóþ T f ïëîñêîñòè ãðà-

íè. Ýòè ñîñòàâëÿþùèå îïðåäåëÿþòñÿ èç î÷åâèäíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîòíî-

øåíèé:

N Pf f� �cos( ); (3)

T Pf f� �sin( ), (4)

ãäå – ïîëîâèíà óãëà ìåæäó ãðàíÿìè ïèðàìèäû Âèêêåðñà ( � �68 ).

Ïðîåêöèÿ ñèëû N f íà âåðòèêàëüíóþ îñü îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì

(ðèñ. 2,á)

P Py f� �cos( )sin . (5)

Ïîäñòàâëÿÿ â (5) ñîîòíîøåíèÿ (1), (2) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî tg � 2 P Px ,

ïîëó÷àåì

PP P

Py

x� ��

�

�

��

42

2sin . tg (6)

Âûðàæåíèå (6) îïðåäåëÿåò çàâèñèìîñòü ìåæäó òàíãåíöèàëüíîé Ðõ è

íîðìàëüíîé Ð ó ê ïîâåðõíîñòè ðåàêöèÿìè ìàòåðèàëà ïðè ñêàíèðîâàíèè

èíäåíòîðîì, ïðèæàòîì ñèëîé Ð.



Äëÿ � �N Px 2tg ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà �Pf ñòàíîâèòñÿ ïåðïåíäèêó-

ëÿðíîé ê ãðàíè èíäåíòîðà, à åå ïðîåêöèÿ íà îñü ó áóäåò ðàâíà ïðèæè-

ìàþùåé ñèëå: Ð Ðó � 2 (ðèñ. 2,á). Èç ôîðìóëû (6) ñëåäóåò

P

P

x � ��

�

�

��2

2

20 5714

sin, .

tg (7)

Ïðè P Px �0 5714, âåðòèêàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ðåàêöèè ìàòåðèàëà íà

ãðàíü Py áóäåò áîëüøå âåëè÷èíû ïðèæèìàþùåé ñèëû Ð, è èíäåíòîð ïðè

öàðàïàíèè áóäåò âûòàëêèâàòüñÿ èç ìàòåðèàëà. Ïðè ìàëîì ñîïðîòèâëåíèè

ñêàíèðîâàíèþ (P Px �0 5714, ) Py ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå ñèëû ïðèæàòèÿ èíäåí-

òîðà. Â ýòîì ñëó÷àå èíäåíòîð ïðè öàðàïàíèè áóäåò âíåäðÿòüñÿ â ãëóáü

ìàòåðèàëà. Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü öàðàïàíèå ïðè P Px �0 5714, , òåì

áîëåå ÷òî ñèëà òðåíèÿ, êîòîðàÿ íå ó÷èòûâàåòñÿ â ìîäåëè, óâåëè÷èâàåò

ñîïðîòèâëåíèå äâèæåíèþ âíåäðåííîãî èíäåíòîðà.



Ðèñ. 2. Ñõåìà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà èíäåíòîð ïðè öàðàïàíèè â ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé

ïîâåðõíîñòè (à), è íà åãî ïåðåäíþþ ãðàíü â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ïîâåðõíîñòè (á).

a

á

Âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå ñîñòàâëÿþùèå Ò õ è Ò f îïðåäåëÿþò ðå-

çóëüòèðóþùóþ ñèëó Ò, äåéñòâóþùóþ â ïëîñêîñòè ãðàíè èíäåíòîðà è îòâåò-

ñòâåííóþ çà ïëàñòè÷åñêîå äåôîðìèðîâàíèå ìàòåðèàëà ïðè åãî âûòåñíåíèè â

ïðîöåññå öàðàïàíèÿ. Äëÿ ýòîé ñèëû èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå

T T Tx f� �2 2 . (8)

Ñèëà Ò õ çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì (1). Ñîñòàâëÿþùóþ T f îïðåäåëèì èç

ñîîòíîøåíèÿ (4), ïîäñòàâèâ â íåãî (1) è (2), à òàêæå ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî

tg � 2 P Px :

TP P

P

P

P

P

Pfx

x x��

�

�

��

�

�

��

�

2

2

21

1

2cos sin

arctg

tg

�

�

��

2

1. (9)

Ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà Ò, ðàññ÷èòàííàÿ ïî ôîðìóëå (8) ñ ó÷åòîì ñîîòíî-

øåíèé (1) è (9), ïðè Ð Ðõ �0 5714, ìîæåò áûòü àïïðîêñèìèðîâàíà ëèíåéíîé

ôóíêöèåé (ðèñ. 3):

T P Px� �0 41245 0 055464, , . (10)

Â ÷àñòíîì ñëó÷àå ïðè âíåäðåíèè èíäåíòîðà ñèëîé Ð áåç ïîñëåäóþùåãî

åãî ñêàíèðîâàíèÿ (Ðõ �0, �� 2) èç (8), (1) è (9) ñëåäóåò T Ph � cos , 4 ãäå

Th – ñèëà, äåéñòâóþùàÿ â ïëîñêîñòè ãðàíè èíäåíòîðà.

Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, ïðîöåññ öàðàïàíèÿ ñîñòîèò â ïðåîäîëåíèè èíäåí-

òîðîì ñîïðîòèâëåíèÿ ïëàñòè÷åñêîìó äåôîðìèðîâàíèþ ìàòåðèàëà ïðè åãî

âûòåñíåíèè. Ïîñêîëüêó ïëàñòè÷åñêîå âûòåñíåíèå ìàòåðèàëà êîíòðîëèðóåòñÿ

ñèëîé Ò, äëÿ òåêóùåé êîîðäèíàòû õ èíäåíòîðà íà òðàññå ñêàíèðîâàíèÿ

ìîæíî çàïèñàòü

T x H x S x( ) ( ) ( ),� (11)



Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü ñèëû Ò (1) è åå ëèíåéíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ (2) îò ñîîòíîøåíèÿ òàíãåí-

öèàëüíîé è âåðòèêàëüíîé ñèë, äåéñòâóþùèõ íà èíäåíòîð.

T P

P Px

ãäå H x( ) – òâåðäîñòü ìàòåðèàëà ïðè öàðàïàíèè; S x( ) – ïëîùàäü êîíòàêòà

ïîâåðõíîñòè ãðàíåé âíåäðåííåãî èíäåíòîðà ñ ìàòåðèàëîì.

Ïðè öàðàïàíèè êîíòàêò èíäåíòîðà ñ ìàòåðèàëîì îñóùåñòâëÿåòñÿ äâóìÿ

ïåðåäíèìè ãðàíÿìè (ðèñ. 2,à). Ïîýòîìó ïðè âíåäðåíèè ïèðàìèäû Âèêêåðñà

íà ãëóáèíó h x( ) èìååì

S x h x( )sin

cos( ).�

22

2

(12)

Ïîäñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèå (12) â (11) è ó÷èòûâàÿ âûðàæåíèå (10), ïîëó-

÷àåì

P x P H x h xx( ) ,, sin

cos( ) ( ).� �0 1345

4 85

22

(13)

Îïèøåì èçìåíåíèå êîíòàêòíîé ãëóáèíû âíåäðåíèÿ èíäåíòîðà âäîëü

òðàññû öàðàïàíèÿ â âèäå

h x h f x( ) [ ( )],� �0 1 (14)

ãäå h0 – ñðåäíåå çíà÷åíèå ãëóáèíû âíåäðåíèÿ èíäåíòîðà ñèëîé Ð ïðè

ëîêàëüíîì èíäåíòèðîâàíèè ïåðåä ñêàíèðîâàíèåì; f x( ) – áåçðàçìåðíàÿ ñëó-

÷àéíàÿ ôóíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ îòêëîíåíèå ïðîôèëÿ ïîâåðõíîñòè îò åãî

ñðåäíåé ëèíèè âäîëü òðàññû ñêàíèðîâàíèÿ (ðèñ. 4).

Äàííàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðîôèëîãðàììå ïîâåðõíîñòè âäîëü

òðàññû öàðàïàíèÿ è íîðìèðóåòñÿ èñõîäÿ èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé: f ( )0 0� ;

f R hmax max ;� 0 f R hmin min�� 0 , ãäå Rmax è Rmin – ñîîòâåòñòâåííî ìàêñè-

ìàëüíàÿ âûñîòà âûñòóïà è ìèíèìàëüíàÿ ãëóáèíà âïàäèíû ïî îòíîøåíèþ ê

ñðåäíåé ëèíèè ïðîôèëÿ ïî òðàññå ñêàíèðîâàíèÿ (ðèñ. 4). Äëÿ öàðàïàíèÿ

íåîáõîäèìî, ÷òîáû f x( ) .��1



Ðèñ. 4. Ñõåìà îïèñàíèÿ êîíòàêòíîé ãëóáèíû âíåäðåíèÿ èíäåíòîðà ïðè èçìåíåíèè ðåëüåôà

ïîâåðõíîñòè.

Ïðèíèìàåì, ÷òî ìèêðîòâåðäîñòü âäîëü òðàññû öàðàïàíèÿ îïèñûâàåòñÿ

ôóíêöèåé

H x H g x( ) [ ( )],� �0 1 (15)

ãäå g x( ) – áåçðàçìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ, ïðè÷åì g( ) ;0 0� H 0 – ñðåäíåå

çíà÷åíèå òâåðäîñòè ìàòåðèàëà, ðàâíîå îòíîøåíèþ âäàâëèâàþùåé ñèëû Ð ê

ïëîùàäè ïðîåêöèè êîíòàêòíîé ïîâåðõíîñòè èíäåíòîðà ïðè öàðàïàíèè [14],

HP

d

P

h0 2

02 2

4

2� �

tg ; (16)

d – øèðèíà öàðàïèíû (ðèñ. 2,à).

Ôîðìóëà (13) ñ ó÷åòîì âûðàæåíèé (14)–(16) äëÿ � �68 ïðèìåò âèä

P x

Pg x f x

x( ), , [ ( )][ ( )] .� � � �0 1345 2 615 1 1 2

(17)

Èç (17) îïðåäåëÿåì ôóíêöèþ, îïèñûâàþùóþ èçìåíåíèå òâåðäîñòè ìà-

òåðèàëà â ïðîöåññå öàðàïàíèÿ:

g xf x

P x

P

x( )

,

[ ( )]

( ), .�

��

��

��

0 382

10 1345 1

2 (18)

Ñîãëàñíî ôîðìóëå (18), ðåãèñòðèðóåìàÿ ïðè öàðàïàíèè òàíãåíöèàëüíàÿ

ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ äâèæåíèþ èíäåíòîðà P xx( ) ñ ó÷åòîì èçìåíåíèÿ ðåëü-

åôà ïîâåðõíîñòè òðàíñôîðìèðóåòñÿ â ôóíêöèþ g x( ), õàðàêòåðèçóþùóþ

ñòðóêòóðíî-äåôîðìàöèîííóþ íåîäíîðîäíîñòü ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ.

Âëèÿíèå øåðîõîâàòîñòè ïîâåðõíîñòè íà èçìåíåíèå òàíãåíöèàëüíîé

ñèëû P xx( ) ïðîèëëþñòðèðóåì ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåé ðàñ÷åòíîé ìîäåëè.

Ïóñòü

f xh

hk

x

L

a( ) sin ,�

�

�

�

��

012� (19)

ãäå ha – àìïëèòóäíîå îòêëîíåíèå âûñîòû ðåëüåôà îò ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ,

ðàâíîãî ãëóáèíå âíåäðåíèÿ h0 ; L – äëèíà òðàññû ñêàíèðîâàíèÿ; k1 –

ïàðàìåòð ïåðèîäè÷íîñòè èçìåíåíèÿ ðåëüåôà.

Çàäàåì èçìåíåíèå òâåðäîñòè ïî òðàññå ñêàíèðîâàíèÿ ïåðèîäè÷íîé ôóíê-

öèåé âèäà

g xH

Hk

x

L

a( ) sin ,�

�

�

�

��

02 2� (20)

ãäå Í à – àìïëèòóäíîå îòêëîíåíèå òâåðäîñòè ìàòåðèàëà îò ñðåäíåãî çíà÷å-

íèÿ Í 0 ; k2 – ïàðàìåòð ïåðèîäè÷íîñòè èçìåíåíèÿ òâåðäîñòè.

Ðàñ÷åòû, ïðîâåäåííûå ïî ôîðìóëå (17) ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (19) è

(20) äëÿ h h H Ha a0 0 0 3� � , , ïîêàçûâàþò, ÷òî òàíãåíöèàëüíàÿ ñèëà Ðõ



ïðè ñêàíèðîâàíèè âíåäðåííîãî èíäåíòîðà ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ðåëüåôà

ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ (íà ðèñ. 5 êðèâûå 1 è 2). Äëÿ èäåàëüíî ãëàäêîé

ïîâåðõíîñòè (h �1) ïåðèîäè÷íîñòü ôóíêöèè Ðõ ñîîòâåòñòâóåò ïåðèîäè÷-

íîñòè ìèêðîòâåðäîñòè (íà ðèñ. 5 êðèâàÿ 2). Ðåëüåô ïîâåðõíîñòè âëèÿåò íà

ðàçìàõ è óðîâåíü ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ äâèæåíèþ èíäåí-

òîðà (íà ðèñ. 5 êðèâàÿ 1).

Ìåòîäèêà èäåíòèôèêàöèè ñèãíàëà, îïèñûâàþùåãî ñòðóêòóðíî-äåôîð-

ìàöèîííóþ íåîäíîðîäíîñòü ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ, îïðîáîâàíà ïðè öàðàïà-

íèè ìåòàëëè÷åñêèõ îáðàçöîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì óíèâåðñàëüíîãî íàíîòåñ-

òåðà “Ìèêðîí-ãàììà” [16]. Ïðè ñêàíèðîâàíèè èíòåíòîðîì ïîâåðõíîñòè ðå-

ãèñòðèðóþòñÿ åãî âåðòèêàëüíîå ïåðåìåùåíèå â øèðîêîì äèàïàçîíå (10 íì ...

... 200 ìêì) è òàíãåíöèàëüíàÿ ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ öàðàïàíèþ.

Ïåðåä öàðàïàíèåì èíäåíòîð (ïèðàìèäà Âèêêåðñà) îïóñêàåòñÿ íà ïîâåðõ-

íîñòü îáðàçöà è áåç ïðèëîæåíèÿ âåðòèêàëüíîé ñèëû (Ð �0) îñóùåñòâëÿåòñÿ

åãî ñêàíèðîâàíèå ïî çàäàííîé òðàññå. Ðåãèñòðèðóåìîå ïðè ýòîì âåðòèêàëü-



Ðèñ. 5. Èçìåíåíèå ïî òðàññå ñêàíèðîâàíèÿ îòíîñèòåëüíûõ çíà÷åíèé òàíãåíöèàëüíîé ñèëû

ñîïðîòèâëåíèÿ äâèæåíèþ èíäåíòîðà (Ð Ð Ðx õ� ) äëÿ øåðîõîâàòîé (êðèâàÿ 1) è èäåàëüíî

ãëàäêîé (êðèâàÿ 2) ïîâåðõíîñòåé, ãëóáèíû âíåäðåíèÿ èíäåíòîðà (h h h� 0, êðèâàÿ 3) è

òâåðäîñòè (Í Í Í� 0, êðèâàÿ 4) ïðè ðàçëè÷íîé ïåðèîäè÷íîñòè èçìåíåíèÿ ôóíêöèé f x( ) è

g x( ): a – k1 1� ; k2 3� ; á – k1 3� ; k2 1� .

a

á

íîå ïåðåìåùåíèå ñîîòâåòñòâóåò ïðîôèëîãðàììå ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 6,à). Ïî

ïîëó÷åííîé ïðîôèëîãðàììå îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèÿ f x( ). Çàòåì èç íà÷àëü-

íîé òî÷êè òðàññû ïðîèçâîäèòñÿ öàðàïàíèå èíäåíòîðîì ñ çàäàííîé âåðòè-

êàëüíîé ñèëîé Ð. Â ïðîöåññå öàðàïàíèÿ ðåãèñòðèðóåòñÿ òàíãåíöèàëüíàÿ

ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ äâèæåíèþ èíäåíòîðà Ð õõ( ) (ðèñ. 6,á). Ñ ïîìîùüþ

ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ ïðèáîðà íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííîé èíôîðìàöèè

è â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (18) ðàññ÷èòûâàåòñÿ ôóíêöèÿ g x( ), îïèñûâà-

þùàÿ ñòðóêòóðíî-äåôîðìàöèîííóþ íåîäíîðîäíîñòü ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ

ìàòåðèàëà íà ãëóáèíå âíåäðåíèÿ èíäåíòîðà. Äàëåå ïîëó÷åííàÿ èíôîðìàöèÿ

ìîæåò îáðàáàòûâàòüñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ìåòîäàìè äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòà-

òèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ñòðóêòóðíî-äåôîðìàöèîííîé íåîäíîðîäíîñòè è

äëÿ âåðèôèêàöèè äèàãíîñòè÷åñêèõ ïðèçíàêîâ ñîñòîÿíèÿ ïîâåðõíîñòíîãî

ñëîÿ.

Çàêëþ÷åíèå. Ïðè òåñòèðîâàíèè ìàòåðèàëîâ öàðàïàíèåì ñ ðåãèñòðàöèåé

òàíãåíöèàëüíîé ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ, äåéñòâóþùåé íà èíäåíòîð, ñóùåñò-

âåííîå âëèÿíèå íà ïîëó÷àåìûå ðåçóëüòàòû îêàçûâàåò ðåëüåô ïîâåðõíîñòè.

Äëÿ èñêëþ÷åíèÿ ýòîãî âëèÿíèÿ íà îñíîâàíèè àíàëèçà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà

èíäåíòîð ïðè öàðàïàíèè, ïîëó÷åíî âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè, îïèñûâàþùåé

èçìåíåíèå ìèêðîòâåðäîñòè, õàðàêòåðèçóþùåé íåîäíîðîäíûå ñòðóêòóðíî-

äåôîðìàöèîííûå ñâîéñòâà ìàòåðèàëà ïî òðàññå ñêàíèðîâàíèÿ. Àïïàðàòóðíàÿ

ðåàëèçàöèÿ ïðåäëàãàåìîãî ìåòîäà âîçìîæíà íà áàçå óíèâåðñàëüíîãî íàíî-

òåñòåðà “Ìèêðîí-ãàììà”, ÷òî îòêðûâàåò øèðîêèå âîçìîæíîñòè äèàãíîñòè-

ðîâàíèÿ òîíêèõ ïîâåðõíîñòíûõ ñëîåâ êîíñòðóêöèîííûõ ìàòåðèàëîâ ìåòî-

äîì öàðàïàíèÿ.



Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòè ïðîôèëÿ ïîâåðõíîñòè ñïëàâà Ä16ÀÒ (à), òàíãåíöèàëüíîé ñèëû (á) è

ôóíêöèè g x( ) (â) âäîëü òðàññû ñêàíèðîâàíèÿ èíäåíòîðà. (Ñèëà âíåäðåíèÿ èíäåíòîðà

Ð � 0 2, Í.)

a

á

â

Ð å ç þ ì å

Ñòðóêòóðíî-äåôîðìàö³éíà íåîäíîð³äí³ñòü ïîâåðõíåâîãî øàðó îö³íþºòüñÿ

ìåòîäîì ïîäðÿïèíè ç ðåºñòðàö³ºþ â ïðîöåñ³ ñêàíóâàííÿ òàíãåíö³àëüíî¿ ñèëè

îïîðó ðóõó iíäåíòîðà. Ïðè ãëèáèí³ ïðîíèêàííÿ ³íäåíòîðà Â³êêåðñà íà

âåëè÷èíó, ùî ñóì³ðíà ç ïîêàçíèêàìè øîðñòêîñò³ ïîâåðõí³, âèçíà÷àºòüñÿ

ôóíêö³ÿ, ÿêà îïèñóº íåîäíîð³äí³ñòü ñòðóêòóðíî-äåôîðìàö³éíèõ âëàñòèâîñ-

òåé ìàòåð³àëó ïî òðàñ³ ñêàíóâàííÿ áåç âïëèâó ðåëüºôó ïîâåðõí³.

1. Âëàäèìèðîâ Â. È. Êîëëåêòèâíûå ýôôåêòû â àíñàìáëÿõ äåôåêòîâ //

Âîïðîñû òåîðèè äåôåêòîâ â êðèñòàëëàõ. – Ë.: Íàóêà, 1987. – Ñ. 43 – 57.

2. Ãóðüåâ À. Â., Ìèòèí Â. ß. Îñîáåííîñòè ðàçâèòèÿ ëîêàëüíûõ ìèêðî-

íåîäíîðîäíûõ äåôîðìàöèé è íàêîïëåíèÿ óñòàëîñòíûõ ïîâðåæäåíèé â

óãëåðîäèñòûõ ñòàëÿõ // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 1978. – ¹ 11. – Ñ. 19 – 23.

3. Âëàäèìèðîâ Â. È. Ôèçè÷åñêàÿ ïðèðîäà ðàçðóøåíèÿ ìåòàëëîâ. – Ì.:

Ìåòàëëóðãèÿ, 1984. – 280 ñ.

4. Ãîðèöêèé Â. Ì., Òåðåíòüåâ Â. Ô. Ñòðóêòóðà è óñòàëîñòíîå ðàçðóøåíèå

ìåòàëëîâ. – Ì.: Ìåòàëëóðãèÿ, 1980. – 208 ñ.

5. Ïðîêîïåíêî À. Â., Ìàêîâåöêàÿ È. À., Øòóêàòóðîâà À. Ñ. Ïîâåðõíîñò-

íûå ñâîéñòâà è ïðåäåë âûíîñëèâîñòè ìåòàëëà. Ñîîáù. 2. Íåðàâíî-

ìåðíîñòü ñâîéñòâ íà ïîâåðõíîñòè // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 1986. – ¹ 6. –

Ñ. 41 – 44.

6. ßêîâëåâà Ò. Þ. Ëîêàëüíàÿ ïëàñòè÷åñêàÿ äåôîðìàöèÿ è óñòàëîñòü ìåòàë-

ëîâ. – Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2003. – 238 ñ.

7. Çàïîðîæåö Â. Â., Êîðäîíñêèé Õ. Á., Îðå Î. Â. Äåôîðìàöèîííî-ñïåêò-

ðàëüíûé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ îäíîðîäíîñòè ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ ìå-

òàëëîâ // Íàäåæíîñòü è äîëãîâå÷íîñòü ìàøèí è ñîîðóæåíèé. – 1990. –

¹ 17. – Ñ. 57 – 65.

8. Áåðäèíñêèõ Â. À., Çàïîðîæåö Â. Â. Ñòîõàñòè÷åñêîå ðåøåíèå îáðàòíîé

çàäà÷è òðèáîìåòðèè // Òðåíèå è èçíîñ. – 1980. – 1, ¹ 6. – Ñ. 976 – 986.

9. Ãîëîâèí Þ. È., Èâîëãèí Â. È., Êîðåíêîâ Â. Â., Ðÿáêî Ð. È. Îïðåäåëåíèå

êîìïëåêñà ìåõàíè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëîâ â íàíîîáúåìàõ ìåòîäàìè

íàíîèíäåíòèðîâàíèÿ // Êîíäåíñèðîâàííûå ñðåäû è ìåæôàçíûå ãðàíè-

öû. – 2001. – 3, ¹ 2. – Ñ. 122 – 135.

10. Miyoshi K. Surface characterization techniques: an overview // NASA /

TM–2002-211497, Glenn Research Center of NASA. – 2002, July. – 45 p.

11. Sundararajan S. and Bhushan B. Development of a continuous microscratch

technique in an atomic force microscope and its application to study scratch

resistance of ultrathin hard amorphous carbon coatinds // J. Mat. Res. –

2001. – 16, No. 2. – P. 437 – 445.

12. Zhang T. Y., Xu W. H., and Zhao M. H. The role of plastic deformation of

rough surfaces in the sizedependent hardness // Acta Mater. – 2004. – 52. –

P. 57 – 68.



13. Ìàñëîâ Å. Í. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ïðîöåññà öàðàïàíèÿ ìåòàëëîâ //

Ñêëåðîìåòðèÿ / Ïîä ðåä. Ì. Ì. Õðóùîâà. – Ì.: Íàóêà, 1968. – Ñ. 24 –

44.

14. Ãðèãîðîâè÷ Â. Ê. Òâåðäîñòü è ìèêðîòâåðäîñòü ìåòàëëîâ. – Ì.: Íàóêà,

1976. – 230 ñ.

15. Áåðêîâè÷ Å. Ñ. Íîâûé ïðèáîð ÈÌÀØ äëÿ ñêëåðîìåòðè÷åñêèõ èññëå-

äîâàíèé ìàòåðèàëîâ // Ñêëåðîìåòðèÿ / Ïîä ðåä. Ì. Ì. Õðóùîâà. – Ì.:

Íàóêà, 1968. – Ñ. 88 – 100.

16. Èãíàòîâè÷ Ñ. Ð., Çàêèåâ È. Ì., Áîðèñîâ Ä. È., Çàêèåâ Â. È. Ìåòîäèêà

èññëåäîâàíèÿ ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïîâåðõíîñòíûõ ñëîåâ ìàòå-

ðèàëîâ ïðè óñòàëîñòè ñ èñïîëüçîâàíèåì ìíîãîôóíêöèîíàëüíîãî ïðè-

áîðà “Ìèêðîí-ãàììà” // Àâèàö.-êîñì. òåõíèêà è òåõíîëîãèÿ. – 2004. –

Âûï. 8 (16). – Ñ. 163 – 166.




ÓÄÊ 629.4;629.4.018

Îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèè ïðè

îïèñàíèè êðèâîé óñòàëîñòè

Á. Ñ. Øóëüãèíîâ


Ïðåäëîæåíû ïðîñòûå ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèè, èñïîëü-

çóåìîé äëÿ îïèñàíèÿ êðèâîé óñòàëîñòè. Ïîêàçàíî, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ îáåñïå÷èâàåò áîëåå

òåñíóþ ñâÿçü êðèâîé óñòàëîñòè ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè òî÷êàìè, ïîëó÷åííûìè ïðè èñïû-

òàíèÿõ îáðàçöîâ íà óñòàëîñòü, ÷åì ñòåïåííàÿ è ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ôóíêöèè, êîòîðûå èñïîëü-

çóþòñÿ â íîðìàòèâíûõ äîêóìåíòàõ.

Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñîïðîòèâëåíèå óñòàëîñòè, êðèâàÿ óñòàëîñòè, ïðåäåë âûíîñ-

ëèâîñòè, ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ.

Â ðàáîòàõ [1, 2] êðèâûå óñòàëîñòè ñâàðíûõ ñîåäèíåíèé ïðåäëîæåíî

îïèñûâàòü ýêñïîíåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì

� ��

�

��

�

R AN B

exp ,1

(1)

ãäå � – ìàêñèìàëüíîå íàïðÿæåíèå öèêëà; N – ÷èñëî öèêëîâ äî ðàçðóøåíèÿ

ïðè íàïðÿæåíèè �; � R – ïðåäåë âûíîñëèâîñòè; À è Â – ïàðàìåòðû. Â

ìåòîäè÷åñêèõ óêàçàíèÿõ [2] äëÿ óïðîùåíèÿ èñïîëüçóåìûõ äàëåå çàâèñè-

ìîñòåé áûëà ââåäåíà íîâàÿ ïåðåìåííàÿ âåëè÷èíà ó, õàðàêòåðèçóþùàÿ äîëãî-

âå÷íîñòü ðàññìàòðèâàåìûõ îáúåêòîâ è ðàâíàÿ

yN B

��

1. (2)

Ïàðàìåòðû Â, À è � R óðàâíåíèÿ (1) îïðåäåëÿþòñÿ ìåòîäîì ìàêñè-

ìóìà ïðàâäîïîäîáèÿ [2, 3] ïî ðåçóëüòàòàì èñïûòàíèé îáðàçöîâ â îáëàñòè

îãðàíè÷åííûõ äîëãîâå÷íîñòåé ïðè íå ìåíåå ÷åì ÷åòûðåõ óðîâíÿõ íàïðÿ-

æåíèé [2]. Ïàðàìåòð Â íàõîäèòñÿ ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé

êàê êîðåíü ñïåöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, ëåâàÿ ÷àñòü êîòîðîãî ðàâíà y i

i

n

�

�1

, ãäå n –

÷èñëî îáðàçöîâ, èñïûòàííûõ ïðè âñåõ óðîâíÿõ íàïðÿæåíèé. Äëÿ êàæäîãî

çàäàííîãî çíà÷åíèÿ Â âû÷èñëÿþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ïàðàìåòð À è äèñïåð-

ñèÿ S y2 ïåðåìåííîé âåëè÷èíû ó ïî ïðèâåäåííûì â [2] çàâèñèìîñòÿì.

Ñîãëàñíî [2] ïàðàìåòðû ýêñïîíåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (2) âû÷èñëÿëè

ïî ðåçóëüòàòàì èñïûòàíèé íà óñòàëîñòü 16 ñâàðíûõ îáðàçöîâ ñ ïåðåñåêà-

þùèìèñÿ øâàìè. Îáðàçöû øèðèíîé 80 ìì è äëèíîé 450 ìì èçãîòîâëÿëè èç

ëèñòîâîé ìàëîóãëåðîäèñòîé ñòàëè òîëùèíîé 12 ìì. Èñïûòàíèÿ îáðàçöîâ

ïðîâîäèëè â Èíñòèòóòå ýëåêòðîñâàðêè èì. Å. Î. Ïàòîíà ÍÀÍ Óêðàèíû â

óñëîâèÿõ ñèììåòðè÷íîãî ÷èñòîãî èçãèáà äî îáðàçîâàíèÿ òðåùèíû ãëóáèíîé

© Á. Ñ. ØÓËÜÃÈÍÎÂ, 2008


2-3 ìì ïðè ÷åòûðåõ óðîâíÿõ íàïðÿæåíèé. Ðåçóëüòàòû èñïûòàíèé íà óñòà-

ëîñòü ïðèâåäåíû â òàáë. 1, ãäå � i – àìïëèòóäà íàïðÿæåíèé íà i-ì óðîâíå;

N i – ñðåäíåå ÷èñëî öèêëîâ äî ðàçðóøåíèÿ îáðàçöîâ íà i-ì óðîâíå íàïðÿ-

æåíèé; mi – êîëè÷åñòâî îáðàçöîâ, èñïûòàííûõ íà i-ì óðîâíå íàïðÿæåíèé.

Èñïîëüçîâàíèå çàâèñèìîñòè (1) äëÿ äðóãèõ îáúåêòîâ ïðîâåðÿëè ñ ïî-

ìîùüþ ðåçóëüòàòîâ èñïûòàíèé íà óñòàëîñòü 84 ñòàíäàðòíûõ ãëàäêèõ öè-

ëèíäðè÷åñêèõ îáðàçöîâ èç ñòàëè 30ÕÃÑÀ, ïîëó÷åííûõ ïðè èçãèáå ñ âðàùå-

íèåì íà ÷åòûðåõ óðîâíÿõ íàïðÿæåíèé â Èíñòèòóòå ìåõàíèêè èì. Ñ. Ï. Òè-

ìîøåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû Ì. Ý. Ãàðôîì è Î. Þ. Êðàìàðåíêî. Ðåçóëüòàòû

èñïûòàíèé ñòàëè 30ÕÃÑÀ ïðèâåäåíû òàêæå â òàáë. 1. Ñðåäíåå çíà÷åíèå

äîëãîâå÷íîñòè N i ïðè i-ì óðîâíå íàïðÿæåíèé îïðåäåëÿëè ïî çàâèñèìîñòè

N NN

mi i

ij

i

� ��

anti antilg

lg , (3)

ãäå N ij – ôàêòè÷åñêîå ÷èñëî öèêëîâ äî ðàçðóøåíèÿ j-ãî îáðàçöà ïðè

àìïëèòóäå íàïðÿæåíèÿ � i ; mi – êîëè÷åñòâî îáðàçöîâ ïðè i-ì óðîâíå íàïðÿ-

æåíèé.

Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ýêñïîíåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1) äëÿ ñâàðíûõ

îáðàçöîâ è îáðàçöîâ ñòàëè 30ÕÃÑÀ, âû÷èñëåííûå ïî ìåòîäèêå [2], ïðèâå-

äåíû â òàáë. 2, ãäå ��1 è ��1ð – ôèçè÷åñêèé è ðàñ÷åòíûé ïðåäåëû

âûíîñëèâîñòè ñîîòâåòñòâåííî. Îòìåòèì, ÷òî ïàðàìåòðû Â è À ðåêîìåí-

äóåòñÿ îïðåäåëÿòü ñ òî÷íîñòüþ äî 103 [2]. Îäíàêî, êàê ïîêàçûâàåò ïðîâåäåí-

íûé àíàëèç, ñ òàêîé òî÷íîñòüþ ìîæíî ïîäáèðàòü ïàðàìåòð Â, à ïàðàìåòð À,

âû÷èñëÿåìûé ïî ôîðìóëå, â êîòîðîé çàäàí âûáðàííûé ïàðàìåòð Â, ëó÷øå

îïðåäåëÿòü ñ òî÷íîñòüþ äî åäèíèöû, ÷òî è áûëî ñäåëàíî ïðè ðàñ÷åòå

ïàðàìåòðîâ ýêñïîíåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1). Ñðåäíèå êâàäðàòè÷åñêèå îòêëî-

íåíèÿ ëîãàðèôìà äîëãîâå÷íîñòè S Nlg ýêñïåðèìåíòàëüíûõ òî÷åê ñîîòâåòñò-

âóþùèõ âûáîðîê îò òåîðåòè÷åñêèõ êðèâûõ óñòàëîñòè, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ

ïðèâåäåíû òàêæå â òàáë. 2, îïðåäåëÿëè â ñîîòâåòñòâèè ñ [4]. Ïî äàííûì

Îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèè ...



Ðåçóëüòàòû èñïûòàíèé íà óñòàëîñòü ñâàðíûõ îáðàçöîâ

ñ ïåðåñåêàþùèìèñÿ øâàìè (íàä ÷åðòîé) è îáðàçöîâ ñòàëè 30ÕÃÑÀ (ïîä ÷åðòîé)

¹ óðîâíÿ

íàïðÿæåíèé i

mi �i,

ÌÏà

N i,

öèêë

1 4

17

160

590

67393

71147

2 4

21

140

540

147570

159637

3 4

25

120

500

289109

296308

4 4

21

100

480

1014613

547222

òàáë. 2 ïîñòðîåíû êðèâûå óñòàëîñòè ñâàðíûõ îáðàçöîâ è îáðàçöîâ ñòàëè

30ÕÃÑÀ (ðèñóíîê). Íà ðèñóíêå ñâåòëûìè òî÷êàìè îáîçíà÷åíû äîëãîâå÷-

íîñòè êàæäîãî îáðàçöà, êðåñòèêàìè – ñðåäíèå çíà÷åíèÿ äîëãîâå÷íîñòåé

(òàáë. 1).

Îäíàêî èç-çà íåêîòîðîé ñëîæíîñòè ðàñ÷åòà çàòðóäíÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå

ìåòîäèêè [2] íà ïðàêòèêå. Ïîýòîìó â íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ

íåñêîëüêî óïðîùåííûõ ìåòîäîâ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ýêñïîíåíöèàëü-

íîãî óðàâíåíèÿ (1) íà ïðèìåðå ðåçóëüòàòîâ èñïûòàíèé íà óñòàëîñòü êàê

ñâàðíûõ îáðàçöîâ ñ ïåðåñåêàþùèìèñÿ øâàìè [2], òàê è îáðàçöîâ ñòàëè

30ÕÃÑÀ. Ýêñïîíåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (1) óäîáíåå àíàëèçèðîâàòü, åñëè

çàïèñàòü åãî îòíîñèòåëüíî ÷èñëà öèêëîâ:

NA

Bii R

��

�ln ln

.� � (4)

Ðàññìîòðèì ñ èñïîëüçîâàíèåì âûøåïðèâåäåííûõ ïðèìåðîâ (òàáë. 1)

óïðîùåííûå ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ óðàâíåíèÿ (3) ïðè ñëåäóþùèõ

èñõîäíûõ óñëîâèÿõ.

Ìåòîä 1: èç íåñêîëüêèõ óðîâíåé íàïðÿæåíèé âûáðàíû òðè óðîâíÿ

íàïðÿæåíèé �1, � 2 , � 3 è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñðåäíèå çíà÷åíèÿ äîëãî-

âå÷íîñòåé N1, N 2 è N 3 , ïðè êîòîðûõ S Nlg ìèíèìàëüíî ïðè íåèçâåñòíîì

ïðåäåëå âûíîñëèâîñòè.

Ìåòîä 2: âûáðàíû äâà óðîâíÿ íàïðÿæåíèé �1, � 2 (ìàêñèìàëüíûé è

ìèíèìàëüíûé) è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñðåäíèå çíà÷åíèÿ äîëãîâå÷íîñòåé N1

è N 2 , ïàðàìåòð Â îïðåäåëÿåòñÿ ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé

ïî êðèòåðèþ ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ S Nlg ïðè íåèçâåñòíîì ïðåäåëå âûíîñ-

ëèâîñòè.

Ìåòîä 3: âûáðàíû äâà óðîâíÿ íàïðÿæåíèé �1 è � 2 è ñîîòâåòñòâó-

þùèå èì ñðåäíèå äîëãîâå÷íîñòè N1 è N 2 , ïðè êîòîðûõ S Nlg ìèíèìàëüíî

ïðè èçâåñòíîì ïðåäåëå âûíîñëèâîñòè.




Ïàðàìåòðû ýêñïîíåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1) êðèâûõ óñòàëîñòè

ñâàðíûõ îáðàçöîâ è îáðàçöîâ ñòàëè 30ÕÃÑÀ

Ìàðêà ñòàëè

è òèï îáðàçöîâ

Â À ��1 ð,

ÌÏà

��1,

ÌÏà

,

ÌÏà

S Nlg

Ìàëîóãëåðîäèñòàÿ,

ñâàðíûå îáðàçöû

ñ ïåðåñåêàþùèìèñÿ

øâàìè

171000 143000 88,5 88,5 0 0,081715371

30ÕÃÑÀ,

ñòàíäàðòíûå

öèëèíäðè÷åñêèå

îáðàçöû

57800 37115 447 455 �8 0,251943609

Ïðèìå÷àíèå: � �� 1 1ð .

Ìåòîä 1. Ïóñòü èçâåñòíû òðè óðîâíÿ íàïðÿæåíèé �1, � 2 , � 3 è

ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñðåäíèå äîëãîâå÷íîñòè N1, N 2 , N 3 . Ïðè óðîâíÿõ

íàïðÿæåíèé áîëüøå òðåõ ìîæåò áûòü íåñêîëüêî ñî÷åòàíèé òðåõ íàïðÿæåíèé.

Íàïðèìåð, ïðè ÷åòûðåõ óðîâíÿõ íàïðÿæåíèé ìîæåò áûòü ÷åòûðå ñî÷åòàíèÿ

íàïðÿæåíèé, íî äëÿ êàæäîãî äîëæíî ñîáëþäàòüñÿ óñëîâèå � � �1 2 3� � .

Åñëè äëÿ êàæäîãî íàïðÿæåíèÿ óðàâíåíèå (4) çàïèñàòü îòíîñèòåëüíî ln � R , òî

ïàðàìåòð Â â óðàâíåíèè êðèâîé óñòàëîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàäàííûå òðè

òî÷êè, ìîæíî îïðåäåëèòü ïî çàâèñèìîñòè

BN N N N N N

��

�3 1 3 2 1 2 1 2 3 1

1

(ln ln )( ) (ln ln )( )

(ln l

� � � �

� n )( ) (ln ln )( ).

� � �2 3 1 1 3 2 1N N N N� � � �(5)



Êðèâûå óñòàëîñòè ñâàðíûõ îáðàçöîâ ñ ïåðåñåêàþùèìèñÿ øâàìè (à) è îáðàçöîâ ñòàëè

30ÕÃÑÀ (á), îïèñûâàåìûå ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèåé (4), ïàðàìåòðû êîòîðîé îïðåäåëåíû

ïî ìåòîäó ìàêñèìóìà ïðàâäîïîäîáèÿ (êðèâûå 1), ïî òðåì óðîâíÿì íàïðÿæåíèé �1, �3, �4

(êðèâûå 2), ïî äâóì óðîâíÿì íàïðÿæåíèé �1, �4 è ïàðàìåòðó Â (êðèâûå 3), à òàêæå ïî äâóì

óðîâíÿì íàïðÿæåíèé �1, �4 è ôèçè÷åñêîìó ïðåäåëó âûíîñëèâîñòè (êðèâûå 4).

a

á

Åñëè æå äëÿ êàæäîãî íàïðÿæåíèÿ óðàâíåíèå (3) çàïèñàòü îòíîñèòåëüíî

ïàðàìåòðà À, òî ïàðàìåòð Â ìîæíî íàéòè ïî çàâèñèìîñòè

BN N N N N N N N

N�

� � � � �( )( ln ln ) ( )( ln ln )

(

3 1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1

3

� � � �

� � � � �N N N1 1 2 2 1 1 3)(ln ln ) ( )(ln ln ).

� � � �(6)

Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïî çàâèñèìîñòÿì (5) è (6), îäèíàêîâûå.

Ïðè âû÷èñëåííîì çíà÷åíèè Â ïàðàìåòð À ìîæíî îïðåäåëèòü ïî

çàâèñèìîñòè

AN B N B

N N�

� � �

�

( )( )(ln ln ),

1 2 1 2

2 1

� �(7)

íàòóðàëüíûé ëîãàðèôì ðàñ÷åòíîãî ïðåäåëà âûíîñëèâîñòè � Rp –

ln ln ln ,� � �R

A

N B

A

N Bp � ��

� ��1

12

2(8)

ðàñ÷åòíûé ïðåäåë âûíîñëèâîñòè � Rp –

� �R Rp panti� ln . (9)

Â òàáë. 3 äëÿ ñâàðíûõ îáðàçöîâ ñ ïåðåñåêàþùèìèñÿ øâàìè è îáðàçöîâ

ñòàëè 30ÕÃÑÀ ïðèâåäåíû ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå âû÷èñëåíèé ïðè ÷åòûðåõ

ñî÷åòàíèÿõ òðåõ óðîâíåé íàïðÿæåíèé ïàðàìåòðû óðàâíåíèÿ (4), îòêëîíåíèÿ

ðàñ÷åòíîãî ïðåäåëà âûíîñëèâîñòè îò ôèçè÷åñêîãî ( )� Rp è âûáîðî÷íûå

ñðåäíèå êâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ ëîãàðèôìà äîëãîâå÷íîñòè îáðàçöîâ

S Nlg [3]. Ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà Â âû÷èñëÿåòñÿ

ïî ôîðìóëå (5) èëè (6), òî îêðóãëÿòü åãî äî 103 íåò ñìûñëà. Íàèìåíüøåå

çíà÷åíèå S Nlg äëÿ ñâàðíûõ îáðàçöîâ ïîëó÷åíî ïðè ñî÷åòàíèè íàïðÿæåíèé

j �3, äëÿ îáðàçöîâ ñòàëè 30ÕÃÑÀ – ïðè j �2. Íàèìåíüøåå îòêëîíåíèå

ðàñ÷åòíîãî ïðåäåëà âûíîñëèâîñòè îò ôèçè÷åñêîãî ( )� Rp èìååò ìåñòî äëÿ

ñâàðíûõ îáðàçöîâ è îáðàçöîâ ñòàëè 30ÕÃÑÀ ïðè j �3. Â ïåðâîì ïðèáëè-

æåíèè ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå S Nlg è íàèìåíüøåå

îòêëîíåíèå ðàñ÷åòíîãî ïðåäåëà âûíîñëèâîñòè îò ôèçè÷åñêîãî íå îáÿçàòåëü-

íî äîëæíû íàáëþäàòüñÿ ïðè îäèíàêîâîì ñî÷åòàíèè óðîâíåé íàïðÿæåíèé.

Êðèâàÿ óñòàëîñòè ñâàðíûõ îáðàçöîâ, îïèñûâàåìàÿ ýêñïîíåíöèàëüíîé

ôóíêöèåé (4), ïàðàìåòðû êîòîðîé îïðåäåëåíû ïðè j �3, ñîîòâåòñòâóåò êðè-

âîé 2 (ðèñóíîê,à), êðèâàÿ óñòàëîñòè îáðàçöîâ ñòàëè 30ÃÑÀ, ïàðàìåòðû

êîòîðîé îïðåäåëåíû ïðè j �2, – êðèâîé 2 (ðèñóíîê,á).

Ìåòîä 2. Ïóñòü èçâåñòíû äâà óðîâíÿ íàïðÿæåíèé �1, � 2 è ñîîòâåò-

ñòâóþùèå èì ñðåäíèå çíà÷åíèÿ äîëãîâå÷íîñòåé N1 è N 2 , à êîýôôèöèåíò Â

îïðåäåëÿåòñÿ ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ïî êðèòåðèþ ìèíè-

ìàëüíîãî ñðåäíåãî êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ äîëãîâå÷íîñòåé S Nlg . Ïðè

êàæäîì çàäàííîì çíà÷åíèè Â êîýôôèöèåíò À îïðåäåëÿåòñÿ ïî çàâèñèìîñòè

(7), íàòóðàëüíûé ëîãàðèôì ðàñ÷åòíîãî ïðåäåëà âûíîñëèâîñòè – ïî (8).



Âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî íàèáîëåå öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ñî÷å-

òàíèå íàïðÿæåíèé, ïðè êîòîðîì �1 – ìàêñèìàëüíîå, � 2 – ìèíèìàëüíîå äëÿ

ðàññìàòðèâàåìîé âûáîðêè. Äëÿ ñâàðíîãî ñîåäèíåíèÿ ìàëîóãëåðîäèñòîé ñòàëè

(òàáë. 1) òàêèìè íàïðÿæåíèÿìè áóäóò: �1 160� ÌÏà, � 2 100� ÌÏà, äëÿ

ñòàëè 30ÕÃÑÀ: �1 590� ÌÏà, � 2 480� ÌÏà. Äëÿ çàäàííîé ïàðû íàïðÿ-

æåíèé êîýôôèöèåíò Â ìîæíî çàäàâàòü ñ òî÷íîñòüþ äî 103, êàê ýòî ðåêî-

ìåíäîâàíî â ðàáîòå [2], è èçìåíÿòü åãî, ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèáëèæàÿñü ê

òàêîìó îïòèìàëüíîìó çíà÷åíèþ, ïðè êîòîðîì S Nlg áóäåò ìèíèìàëüíûì.

Êîýôôèöèåíò À ëó÷øå îïðåäåëÿòü ñ òî÷íîñòüþ äî åäèíèöû, òàê êàê â ýòîì

ñëó÷àå íå íàðóøàåòñÿ ìîíîòîííîå èçìåíåíèå S Nlg ïðè èçìåíåíèè êîýô-

ôèöèåíòà Â, ÷òî âàæíî äëÿ ïîèñêà ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ S Nlg .

Äëÿ ïðîâåðêè ýôôåêòèâíîñòè äàííîãî ìåòîäà èñïîëüçîâàëè òå æå ðåçóëü-

òàòû èñïûòàíèé íà óñòàëîñòü îáðàçöîâ, ÷òî è äëÿ ïðîâåðêè ìåòîäà 1. Â òàáë. 4

ïðèâåäåíû ïàðàìåòðû Â äëÿ ñâàðíûõ ñîåäèíåíèé è äëÿ ñòàëè 30ÕÃÑÀ.

Êðèâûå óñòàëîñòè, îïèñûâàåìûå ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèåé (4), ïàðàìåòðû

êîòîðûõ îïðåäåëåíû ïî äâóì óðîâíÿì íàïðÿæåíèé �1, � 4 è ïàðàìåòðó Â,

ïðè êîòîðîì S Nlg ìèíèìàëüíî, äëÿ ñâàðíûõ îáðàçöîâ è äëÿ ñòàëè 30ÕÃÑÀ

ïðåäñòàâëåíû íà ðèñóíêå.

Ñîãëàñíî ðàññìîòðåííûì ìåòîäàì îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíûõ ïàðàìåò-

ðîâ ýêñïîíåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (4) îòêëîíåíèå ðàñ÷åòíûõ ïðåäåëîâ âû-

íîñëèâîñòè îò ôàêòè÷åñêîãî ñîñòàâëÿåò íå áîëåå 1%, ÷òî âïîëíå äîïóñòèìî

[4].

Òàêèì îáðàçîì, ìèíèìàëüíîå ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå S Nlg ,

îïðåäåëåííîå ïî ìåòîäó 2, íåñêîëüêî ìåíüøå, ÷åì ïî ìåòîäó 1, â òî âðåìÿ

êàê çíà÷åíèå ðàñ÷åòíîãî ïðåäåëà âûíîñëèâîñòè áëèçêî ê ôàêòè÷åñêîìó.

Ìåòîä 3. Ïóñòü èçâåñòíû äâà óðîâíÿ íàïðÿæåíèé �1, � 2 è ñîîòâåòñò-

âóþùèå èì ñðåäíèå çíà÷åíèÿ äîëãîâå÷íîñòåé N1 è N 2 .





ñâàðíûõ îáðàçöîâ (íàä ÷åðòîé) è îáðàçöîâ ñòàëè 30ÕÃÑÀ (ïîä ÷åðòîé),

îïðåäåëåííûå ïî òðåì óðîâíÿì íàïðÿæåíèé

¹

ñî÷åòàíèÿ

íàïðÿæåíèé

j

¹

óðîâíÿ


i

B A �Rp,

ÌÏà

( )�Rp ,

ÌÏà

S Nlg

1 1, 2, 3 351572

218591

348285

109666

69 68

404 08

,

,

18 82

50 92

,

,�

0 135779

0 253174

,

,

2 1, 2, 4 220371

136472

176339

61522

86 69

438 69

,

,

�

�

1 81

16 31

,

,

0 083465

0 247989

,

( , )

3 1, 3, 4 160130

64168

132623

35856

89 32

452 66

,

,

( , )

( , )

0 82

2 34�

( , )

,

0 082424

0 248188

4 2, 3, 4 112507

2158�

113758

26085

90 40

457 57

,

,

1 90

2 57

,

,

0 095322

0 257719

,

,

Ïðèìå÷àíèå. Â ñêîáêàõ ïðèâåäåíû íàèìåíüøèå çíà÷åíèÿ S Nlg è ( ).�Rp

Åñëè çàâèñèìîñòü (4) çàïèñàòü îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà À, òî ïàðàìåòð

Â îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

BN NR R�

� � �

�2 2 1 1

1 2

(ln ln ) (ln ln )

ln ln,

� � � �

� �(10)

ïàðàìåòð À ïðè ïîëó÷åííîì çíà÷åíèè Â –

A N Bi i R� � �( )(ln ln ).� � (11)

Íîìåðà óðîâíåé íàïðÿæåíèé è èõ ñî÷åòàíèé ïðèâåäåíû â òàáë. 5. Äëÿ

êàæäîãî ñî÷åòàíèÿ äâóõ íàïðÿæåíèé îïðåäåëÿëè ïàðàìåòðû Â, À è ñðåäíåå

êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå äîëãîâå÷íîñòè S Nlg . Èç äàííûõ òàáë. 5 âèäíî,

÷òî íàèìåíüøèå çíà÷åíèÿ S Nlg ïîëó÷åíû äëÿ ñâàðíûõ îáðàçöîâ ïðè j �3,

äëÿ îáðàçöîâ ñòàëè 30ÕÃÑÀ – ïðè j �2. Íà îñíîâàíèè ýòîãî ìîæíî çàêëþ-

÷èòü, ÷òî êàê ïî ìåòîäó 2, òàê è ïî ìåòîäó 3 íàèìåíüøåå S Nlg îòìå÷àåòñÿ

ïðè ìàêñèìàëüíîì (�1) è ìèíèìàëüíîì (� 4) íàïðÿæåíèÿõ â âûáîðêå.

Íåáîëüøîå îòêëîíåíèå íàáëþäàåòñÿ äëÿ ñòàëè 30ÕÃÑÀ, ãäå ìèíèìàëü-

íîå çíà÷åíèå S Nlg èìååò ìåñòî ïðè ñî÷åòàíèè íàïðÿæåíèé j �2. Êðèâûå

óñòàëîñòè, îïèñûâàåìûå ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèåé (4), ïàðàìåòðû êîòî-

ðûõ îïðåäåëåíû ïî äâóì óðîâíÿì íàïðÿæåíèé �1, � 4 è ôèçè÷åñêîìó

ïðåäåëó âûíîñëèâîñòè � R , ïðè êîòîðîì S Nlg ìèíèìàëüíî, äëÿ ñâàðíûõ

îáðàçöîâ è îáðàçöîâ ñòàëè 30ÕÃÑÀ ïðèâåäåíû íà ðèñóíêå.

Äëÿ ñðàâíåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè îïèñàíèÿ ðåçóëüòàòîâ óñòàëîñòíûõ èñïû-

òàíèé ñâàðíûõ îáðàçöîâ è îáðàçöîâ ñòàëè 30ÕÃÑÀ ðàçíûìè ôóíêöèÿìè

(ýêñïîíåíöèàëüíàÿ, ãèïåðáîëè÷åñêàÿ è ñòåïåííàÿ) â òàáë. 6 ïðåäñòàâëåíû




Äèíàìèêà èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ ýêñïîíåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1)

êðèâûõ óñòàëîñòè (1) äëÿ ñâàðíûõ îáðàçöîâ ñ ïåðåñåêàþùèìèñÿ øâàìè (íàä ÷åðòîé)

è îáðàçöîâ ñòàëè 30ÕÃÑÀ (ïîä ÷åðòîé), à òàêæå èõ ñðåäíåãî êâàäðàòè÷åñêîãî

îòêëîíåíèÿ ëîãàðèôìà äîëãîâå÷íîñòè S Nlg ïðè çàäàííûõ èçìåíåíèÿõ ïàðàìåòðà Â

Â À �Rp, ÌÏà S Nlg

180000

96000

146644

44505

88 448

447 62

,

,

0 081526025

0 247310721

,

,

181000

97000( )

147360

46949

88 404

446 26

,

,

0 081519411

0 247273794

,

( , )

182000

98000

148077

47301

88 360

446 49

,

,

0 081516105

0 247273814

,

,

( )183000

100000

148795

48009

88 316

445 68

,

,

( , )

,

0 081516064

0 247277526

184000

120000

149514

55276

88 273

441 84

,

,

0 081519242

0 247541357

,

,

Ïðèìå÷àíèå. Â ñêîáêàõ ïðèâåäåíû íàèìåíüøèå çíà÷åíèÿ S Nlg è ñîîòâåòñòâóþùèå èì

îïòèìàëüíûå ïàðàìåòðû Â.

ìèíèìàëüíûå ñðåäíèå êâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ äîëãîâå÷íîñòåé S Nlg ,

ôèçè÷åñêèå � R è ðàñ÷åòíûå � Rp ïðåäåëû âûíîñëèâîñòè.

Çäåñü ïîä ãèïåðáîëè÷åñêîé ôóíêöèåé [5, 6] íåîáõîäèìî ïîíèìàòü ôóíê-

öèîíàëüíóþ ñâÿçü ìåæäó íàïðÿæåíèåì � i è äîëãîâå÷íîñòüþ N i :

N ii

i R

��

��

� � �ï

, (12)

à ïîä ñòåïåííîé ôóíêöèåé [7, 8]:

N ai im� �� , (13)

ãäå �, � ï , � R , a è m – êîíñòàíòû.

Èç äàííûõ òàáë. 6 âèäíî, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ýêñïîíåíöèàëüíîé

ôóíêöèè (4) (ìåòîä 2) ïðè îáðàáîòêå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ èñïû-

òàíèé íà óñòàëîñòü íàáëþäàåòñÿ íàèáîëåå òåñíàÿ ñâÿçü êðèâîé óñòàëîñòè ñ

ýêñïåðèìåíòàëüíûìè òî÷êàìè ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè ôóíêöèÿìè. Òàêæå

îòìåòèì, ÷òî ìåòîä îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèè ïî

äâóì êðàéíèì óðîâíÿì íàïðÿæåíèé öèêëà ñ ïîäáîðîì ïàðàìåòðà Â îáåñïå-

÷èâàåò áîëåå òåñíóþ ñâÿçü êðèâîé óñòàëîñòè ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè òî÷-

êàìè, ÷åì ìåòîä ìàêñèìóìà ïðàâäîïîäîáèÿ [2]. Îäíàêî ñîãëàñíî ïîñëåäíåìó





è âûáîðî÷íûå ñðåäíèå êâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ ëîãàðèôìà äîëãîâå÷íîñòè

ñâàðíûõ îáðàçöîâ ïðè � R � 88 5, ÌÏà (íàä ÷åðòîé) è îáðàçöîâ ñòàëè 30ÕÃÑÀ

ïðè � R � 455 ÌÏà (ïîä ÷åðòîé) ïðè ðàçíûõ ñî÷åòàíèÿõ äâóõ íàïðÿæåíèé

¹ ñî÷åòàíèÿ


j

¹ óðîâíÿ


i

B A S Nlg

1 1, 2 207991

100002

163074

44469

0 087595128

0 25988260

,

,

2 1, 3 167276

57150

138964

33335

0 082723861

0 248609562

,

( , )

3 1, 4 178817

52266

145798

32066

( , )

,

0 081538329

0 249155573

4 2, 3 132008

7844

128225

20524

0 096508506

0 282797857

,

,

5 2, 4 167239

16377

144384

22741

0 085775943

0 271487383

,

,

6 3, 4 197028

32462

148023

26920

0 101870771

0 256987213

,

,

Ïðèìå÷àíèå. Çäåñü è â òàáë. 6 â ñêîáêàõ ïðèâåäåíû íàèìåíüøèå çíà÷åíèÿ S Nlg .

ðàñ÷åòíîå çíà÷åíèå ïðåäåëà âûíîñëèâîñòè íàèáîëåå áëèçêî ê ôèçè÷åñêîìó

ïðåäåëó âûíîñëèâîñòè, õîòÿ è íå íàìíîãî îòëè÷àåòñÿ îò ðàñ÷åòíîãî ïðåäåëà

âûíîñëèâîñòè, îïðåäåëåííîãî ïî ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèè (4) (òàáë. 6).

Çàìåòèì, ÷òî è â ðàáîòå [9] äëÿ äðóãîé ôóíêöèè êðèâîé óñòàëîñòè áûëà




Ýôôåêòèâíîñòü îïèñàíèÿ êðèâûõ óñòàëîñòè ñâàðíûõ îáðàçöîâ

ñ ïåðåñåêàþùèìèñÿ øâàìè è îáðàçöîâ ñòàëè 30ÕÃÑÀ ðàçíûìè ôóíêöèÿìè

Îáúåêò

èñïûòàíèé

íà óñòàëîñòü

Ôóíêöèÿ

êðèâîé

óñòàëîñòè

�R ,

ÌÏà

Çàäàâàåìûå

âåëè÷èíû,

âõîäÿùèå

â óðàâíåíèå

êðèâîé

óñòàëîñòè

�Rp,

ÌÏà

S Nlg

Ñòûêîâîå

ñâàðíîå

ñîåäèíåíèå

Ýêñïîíåí-

öèàëüíàÿ

– Ìåòîä

ìàêñèìóìà

ïðàâäîïîäîáèÿ

88,50 0,081715

– �1, �2, �3 89,32 0,082424

– �1, �4 è Â

ìåòîäîì

ïîäáîðà

88,32 (0,081516)

88,5 �1, �4 è �R – 0,081538

Ãèïåðáî-

ëè÷åñêàÿ

– �1, �4 è � ï

ìåòîäîì

ïîäáîðà

88,05 0,081611

88,5 �4 è � ï

ìåòîäîì

ïîäáîðà

– 0,081562

Ñòåïåííàÿ 88,5 Ìåòîä

íàèìåíüøèõ

êâàäðàòîâ

– 0,088736

Ñòàëü

30ÕÃÑÀ

Ýêñïîíåí-

öèàëüíàÿ

– Ìåòîä

ìàêñèìóìà

ïðàâäîïîäîáèÿ

447,00 0,251941

– �1, �2, �4 438,69 0,247989

– �1, �4 è Â

ìåòîäîì

ïîäáîðà

446,26 (0,247274)

455 �1, �3 è �R – 0,248610

Ãèïåðáî-

ëè÷åñêàÿ

– �1, �4 è � ï

ìåòîäîì

ïîäáîðà

446,03 0,247281

455 �1, �3 è �R – 0,248637

Ñòåïåííàÿ 455 Ìåòîä

íàèìåíüøèõ

êâàäðàòîâ

– 0,249109

óñòàíîâëåíà ñóùåñòâåííàÿ çàâèñèìîñòü îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ðàñ÷åò-

íîãî ïðåäåëà âûíîñëèâîñòè îò áëèçîñòè îäíîé èç äâóõ âûáèðàåìûõ òî÷åê ê

ôèçè÷åñêîìó ïðåäåëó âûíîñëèâîñòè.

Ïðåäëîæåííûå ìåòîäèêè îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ýêñïîíåíöèàëüíîãî

óðàâíåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè îáðàáîòêå ðåçóëüòàòîâ óñòàëîñòíûõ èñïû-

òàíèé ñâàðíûõ ñîåäèíåíèé, ìàòåðèàëîâ è êîíñòðóêöèé.

Ð å ç þ ì å

Çàïðîïîíîâàíî ïðîñò³ ìåòîäè âèçíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â åêñïîíåíö³àëüíî¿

ôóíêö³¿, çà äîïîìîãîþ ÿêî¿ îïèñóºòüñÿ êðèâà âòîìè. Ïîêàçàíî, ùî öÿ ôóíê-

ö³ÿ çàáåçïå÷óº á³ëüø ò³ñíèé çâ’ÿçîê êðèâî¿ âòîìè ç ðåçóëüòàòàìè âèïðî-

áóâàííÿ çðàçê³â íà âòîìó ïîð³âíÿíî ç³ ñòåïåíåâîþ òà ã³ïåðáîë³÷íîþ ôóíê-

ö³ÿìè, ùî âèêîðèñòîâóþòüñÿ â íîðìàòèâíèõ äîêóìåíòàõ.

1. Òðóôÿêîâ Â. È. Óñòàëîñòü ñâàðíûõ ñîåäèíåíèé. – Êèåâ: Íàóê. äóìêà,

1973. – 216 ñ.

2. ÐÄ 50-551-85. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ. Ðàñ÷åòû è èñïûòàíèÿ íà ïðî÷-

íîñòü. Ðàñ÷åòíî-ýêñïåðèìåíòàëüíûå ìåòîäû îöåíêè ñîïðîòèâëåíèÿ óñòà-

ëîñòè ñâàðíûõ ñîåäèíåíèé. – Ââåä. 01.01.86.

3. Õàëüä À. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà ñ òåõíè÷åñêèìè ïðèëîæåíèÿìè. –

Ì.: Èçä-âî èíîñòð. ëèò., 1956. – 664 ñ.

4. ÃÎÑÒ 25.502-93. Ðàñ÷åòû è èñïûòàíèÿ íà ïðî÷íîñòü â ìàøèíîñòðîåíèè.

Ìåòîäû ìåõàíè÷åñêèõ èñïûòàíèé ìàòåðèàëîâ. Ìåòîäû èñïûòàíèé íà

óñòàëîñòü. – Ââåä. 01.01.81.

5. Íîðìû äëÿ ðàñ÷åòà è îöåíêè ïðî÷íîñòè íåñóùèõ ýëåìåíòîâ, äèíàìè-

÷åñêèõ êà÷åñòâ è âîçäåéñòâèÿ íà ïóòü ýêèïàæíîé ÷àñòè ëîêîìîòèâîâ

æåëåçíûõ äîðîã ÌÏÑ ÐÔ êîëåè 1520 ìì. – Ì.: ÂÍÈÈÆÒ, 1998. – 145 ñ.

6. Øóëüãèíîâ Á. Ñ., Ìàòâååâ Â. Â., Êîëîìèåö À. Ï. Ê âîïðîñó îá èñïîëü-

çîâàíèè ãèïåðáîëè÷åñêîé ôóíêöèè äëÿ îïèñàíèÿ êðèâîé óñòàëîñòè //

Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2007. – ¹ 4. – Ñ. 77 – 89.

7. Òðîùåíêî Â. Ò., Ñîñíîâñêèé Ë. À. Ñîïðîòèâëåíèå óñòàëîñòè ìåòàëëîâ è

ñïëàâîâ. Ñïðàâî÷íèê. ×. 1. – Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1987. – 505 ñ.

8. Øóëüãèíîâ Á. Ñ., Êîëîìèåö À. Ï. Ê âîïðîñó îá èñïîëüçîâàíèè ñòå-

ïåííîé ôóíêöèè äëÿ îïèñàíèÿ ðåçóëüòàòîâ óñòàëîñòíûõ èñïûòàíèé //

Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2007. – ¹ 3. – Ñ. 147 – 155.

9. Ìàòâååâ Â. Â. Ê îáîñíîâàíèþ èñïîëüçîâàíèÿ äåôîðìàöèîííûõ êðèòå-

ðèåâ ìíîãîöèêëîâîãî óñòàëîñòíîãî ðàçðóøåíèÿ ìåòàëëîâ. Ñîîáù. 1.

Àíàëèç èçâåñòíûõ ïîäõîäîâ // Òàì æå. – 1994. – ¹ 5. – Ñ. 11 – 21.




ÓÄÊ 539.43

Îñîáåííîñòè øåéêîîáðàçîâàíèÿ ïðè íèçêîòåìïåðàòóðíîé ïðåðû-

âèñòîé òåêó÷åñòè ìåòàëëîâ. Ñîîáùåíèå 1. Îñåñèììåòðè÷íàÿ

äåôîðìàöèÿ

Å. Â. Âîðîáüåâ


Â ñâÿçè ñ çàäà÷åé îïðåäåëåíèÿ äîñòîâåðíûõ çíà÷åíèé ìåõàíè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ìåòàë-

ëè÷åñêèõ ìàòåðèàëîâ ïðè òåìïåðàòóðàõ íèæå 30 Ê èññëåäîâàíû îñîáåííîñòè ìíîãîêðàòíîãî

øåéêîîáðàçîâàíèÿ íà öèëèíäðè÷åñêèõ îáðàçöàõ êîíñòðóêöèîííûõ ñïëàâîâ êðèîãåííîé òåõ-

íèêè ïðè ïðîÿâëåíèè ýôôåêòà íèçêîòåìïåðàòóðíîé ïðåðûâèñòîé òåêó÷åñòè. Âûïîëíåííàÿ

îöåíêà æåñòêîñòè è íåîäíîðîäíîñòè îáúåìíîãî íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ òèïè÷íûõ øååê

ïîêàçàëà, ÷òî îíî íåçíà÷èòåëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ëèíåéíîãî, è èñïîëüçîâàíèå òàêèõ îáðàçöîâ

äëÿ ñòàíäàðòíûõ ìåõàíè÷åñêèõ èñïûòàíèé â óñëîâèÿõ ãëóáîêîãî îõëàæäåíèÿ ïðàâîìåðíî.

Êëþ÷åâûå ñëîâà: íèçêîòåìïåðàòóðíàÿ ïðåðûâèñòàÿ òåêó÷åñòü, îáðàçåö, øåé-

êà, ñèñòåìà íàïðÿæåíèé, æåñòêîñòü íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ, ìåõàíè÷åñêèå

õàðàêòåðèñòèêè, ñòàíäàðòíûé ìåòîä èñïûòàíèé ìåòàëëîâ íà ðàñòÿæåíèå.

Ïîëàãàþò, ÷òî îáðàçîâàíèå øåéêè ïðè ðàñòÿæåíèè îáðàçöà ïðîèñõîäèò

â ðåçóëüòàòå òîëüêî ìåõàíè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè ïðîöåññà, à íå ôèçè÷åñ-

êèõ èçìåíåíèé â ïðèðîäå äåôîðìàöèè, êîòîðûå ìîãóò òîëüêî çàðîæäàòüñÿ è

ÿâëÿòüñÿ íå ïðè÷èíîé, à ñëåäñòâèåì [1], ïðè÷åì ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè ïëàñ-

òè÷åñêîé äåôîðìàöèè íàñòóïàåò ïðè ïðåâûøåíèè èíòåíñèâíîñòüþ ãåîìåò-

ðè÷åñêîãî ðàçóïðî÷íåíèÿ îáðàçöà èíòåíñèâíîñòè äåôîðìàöèîííîãî óïðî÷-

íåíèÿ ìàòåðèàëà. Ñîîòâåòñòâåííî ïåðåðàñïðåäåëÿåòñÿ âêëàä ðàâíîìåðíîé è

ëîêàëüíîé äåôîðìàöèè â îáùåå ôîðìîèçìåíåíèå îáðàçöà. Îäíàêî â óñëî-

âèÿõ îõëàæäåíèÿ äî òåìïåðàòóð íèæå 30 Ê ïðè÷èíîé øåéêîîáðàçîâàíèÿ

ÿâëÿåòñÿ êà÷åñòâåííîå èçìåíåíèå õàðàêòåðà äåôîðìèðîâàíèÿ ìåòàëëîâ –

ïåðåõîä îò íåïðåðûâíîé îäíîðîäíîé äåôîðìàöèè ê àäèàáàòè÷åñêîé ñêà÷êî-

îáðàçíîé è ëîêàëèçîâàííîé â ñâÿçè ñ ïðîÿâëåíèåì ýôôåêòà íèçêîòåìïåðàòóð-

íîé ïðåðûâèñòîé òåêó÷åñòè (ÏÒ). Â ýòèõ óñëîâèÿõ îáðàçîâàíèå øååê, êîòîðûå

áóäåì íàçûâàòü àäèàáàòè÷åñêèìè, – ñëåäñòâèå èìåííî ôèçè÷åñêèõ èçìåíåíèé

â ïðèðîäå ïëàñòè÷åñêîé äåôîðìàöèè, ñâÿçàííûõ ñ ïåðåõîäîì îò åå îáû÷íûõ

ìåõàíèçìîâ (ñêîëüæåíèå) ê ìåõàíèçìàì, ðåàëèçàöèÿ êîòîðûõ îáóñëîâëåíà

äèñêðåòíûìè ïðîáîÿìè áàðüåðîâ ìîùíûìè äèñëîêàöèîííûìè ñêîïëåíèÿìè,

äîïîëíÿþùèìèñÿ òåðìîàêòèâèðîâàííûì äâèæåíèåì äèñëîêàöèé ñ ëîêàëè-

çàöèåé òåïëîâîé ýíåðãèè è äåôîðìàöèè â õîäå êàòàñòðîôè÷åñêîãî òå÷åíèÿ

[2, 3]. Â äàííîì ñëó÷àå òàêæå ìîæíî ãîâîðèòü î ïîòåðå óñòîé÷èâîñòè

ïðîöåññà ïëàñòè÷åñêîãî äåôîðìèðîâàíèÿ, íî èíîãî ðîäà, ó÷èòûâàÿ ðåàëèçà-

öèþ ýôôåêòà ÏÒ è, â ÷àñòíîñòè, çàâåðøåíèå ñòàäèè îäíîðîäíîé äåôîðìà-

öèè è ïîÿâëåíèå ïåðâûõ ñêà÷êîâ [4].

Èçìåíåíèå ìåõàíèçìà äåôîðìèðîâàíèÿ îáóñëîâëèâàåò ðÿä ñóùåñòâåí-

íûõ îñîáåííîñòåé øåéêîîáðàçîâàíèÿ ïðè íèçêîòåìïåðàòóðíîé ÏÒ, îñíîâ-

íûå èç êîòîðûõ ñëåäóþùèå:

© Å. Â. ÂÎÐÎÁÜÅÂ, 2008


îáðàçóåòñÿ íå îäíà, à ìíîæåñòâî øååê, ÷èñëî êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò

÷èñëó ñêà÷êîâ äåôîðìàöèè;

øåéêîîáðàçîâàíèå íà÷èíàåòñÿ íå â âåðõíåé òî÷êå äèàãðàììû ðàñòÿæå-

íèÿ, à íà áîëåå ðàííèõ ñòàäèÿõ, â òîì ÷èñëå íåïîñðåäñòâåííî çà ïðåäåëîì

òåêó÷åñòè;

ïðîöåññ ëîêàëèçàöèè äåôîðìàöèè ïðîèñõîäèò ñêà÷êîîáðàçíî, åãî äëè-

òåëüíîñòü èìååò ïîðÿäîê 10 104 2� �... ñ, à íå 1...10 ñ;

øåéêîîáðàçîâàíèå ïðîèñõîäèò íå â èçîòåðìè÷åñêèõ èëè áëèçêèõ ê íèì

óñëîâèÿõ, à â àäèàáàòè÷åñêèõ è ñîïðîâîæäàåòñÿ ñêà÷êîì òåìïåðàòóðû, äîñòè-

ãàþùèì 200 Ê;

ïðîöåññ ëîêàëèçàöèè äåôîðìàöèè íå óñèëèâàåòñÿ, ñìåùàÿñü ê íàèìåíü-

øåìó ñå÷åíèþ, à ïðåêðàùàåòñÿ ñ çàâåðøåíèåì ñêà÷êà, è íàïðÿæåííî-äåôîð-

ìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå äàííîé øåéêè “çàìîðàæèâàåòñÿ”;

ìàòåðèàë â øåéêå íå ïîëó÷àåò çíà÷èòåëüíîé ïîâðåæäåííîñòè è àíèçî-

òðîïèè, à âïëîòü äî ðàçðóøåíèÿ îñòàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ìàëîïîâðåæäåííûì,

çà èñêëþ÷åíèåì ïîñëåäíåé øåéêè.

Øåéêà ÿâëÿåòñÿ î÷åâèäíûì ïðèçíàêîì íåîäíîðîäíîñòè (ëîêàëèçàöèè)

äåôîðìàöèè. Ïðè ýòîì, íåçàâèñèìî îò ìåõàíèçìà åå îáðàçîâàíèÿ, ðåàëèçó-

åòñÿ îáúåìíîå íåîäíîðîäíîå íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå, ïðè÷åì ðàäèàëüíûå

ðàñòÿãèâàþùèå íàïðÿæåíèÿ ìîãóò äîñòèãàòü çíà÷èòåëüíûõ âåëè÷èí. Â òî æå

âðåìÿ ñîõðàíåíèå îäíîðîäíîñòè äåôîðìàöèè è íàïðÿæåíèÿ – îäíî èç âàæ-

íûõ óñëîâèé ïîëó÷åíèÿ íàäåæíûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ. Ïîýòîìó

ïðè èñïûòàíèè ìàòåðèàëîâ âîçíèêàåò âîïðîñ î äîñòîâåðíîñòè íåêîòîðûõ

ìåõàíè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê (ïðåäåë ïðî÷íîñòè, îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå

è îòíîñèòåëüíîå ñóæåíèå îáðàçöà ïîñëå ðàçðûâà), ïîëó÷àåìûõ â óñëîâèÿõ

ðåàëèçàöèè ýôôåêòà ÏÒ. Öåëü äàííîé ðàáîòû çàêëþ÷àåòñÿ â îöåíêå ñòåïåíè

æåñòêîñòè è íåîäíîðîäíîñòè íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ ñòàíäàðòíûõ îáðàç-

öîâ, åãî îòëè÷èÿ îò ëèíåéíîãî è âûðàáîòêå ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåêîìåíäàöèé

ïî óñîâåðøåíñòâîâàíèþ è èñïîëüçîâàíèþ ìåòîäà èñïûòàíèé ìåòàëëîâ íà

ðàñòÿæåíèå [5].

Íàïðÿæåíèÿ ðàññ÷èòûâàåì ïî ìåòîäó Áðèäæìåíà [6], ñîãëàñíî êîòîðîìó

îñåâûå íàïðÿæåíèÿ â íàèìåíüøåì ñå÷åíèè øåéêè ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè ïàðà-

ìåòðàìè r0 , r1, r2 (ðèñóíîê) ïðåäñòàâëåíû â âèäå ñóììû äâóõ ñèñòåì –

ïîñòîÿííîé êîìïîíåíòû îñåâîãî íàïðÿæåíèÿ:

� �c c tk� (1)

(� t – èñòèííîå íàïðÿæåíèå, � �t P r� 12 ; k r r r rc � � �1 1 2 1 22 1 1 2[( ) ln( )]) è

ïåðåìåííîé – ãèäðîñòàòè÷åñêîãî ðàñòÿãèâàþùåãî íàïðÿæåíèÿ:

� �h cr r r r r r r( ) ln[( ) ( )],� � �12

1 22

1 22 2 (2)

äîñòèãàþùåãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ � h0íà îñè îáðàçöà (r�0). Âòîðàÿ

ñèñòåìà îïðåäåëÿåò òàêæå âåëè÷èíû ðàäèàëüíûõ � r è òàíãåíöèàëüíûõ � �íàïðÿæåíèé. Ñõåìà ðàñïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèé â íàèìåíüøåì ñå÷åíèè øåé-

êè ïîêàçàíà íà ðèñóíêå.

Îñîáåííîñòè øåéêîîáðàçîâàíèÿ ïðè íèçêîòåìïåðàòóðíîé ...


Â öåíòðàëüíîé òî÷êå øåéêè äåéñòâóþò ñëåäóþùèå ãëàâíûå íàïðÿæåíèÿ:

� � �1 0� �c h , � � �2 3 0

� � h èëè â ñîîòâåòñòâèè ñ (2):

� �1 1 21 1 2� � �c r r[ ln( ]; (3)

� � �2 3 1 21 2� � �c r rln( ). (4)

Ïðèíèìàÿ â êà÷åñòâå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ñîîòíîøåíèå Ìèçåñà

� � � � � � �e � � � � � �1

2 1 22

2 32

3 12[( ) ( ) ( ) ], (5)

ïîëó÷àåì � �e c� .

Èç (1) ñëåäóåò, ÷òî � �e t� , ò.å. øåéêà êàê ñâîåîáðàçíûé êîíöåíòðàòîð

íàïðÿæåíèé îêàçûâàåò óïðî÷íÿþùåå âîçäåéñòâèå. “Óïðî÷íåíèå ôîðìû” â

îòíîñèòåëüíîì âûðàæåíèè ñîñòàâëÿåò

� � �s t e t ck� � � �( ) .1 (6)

Æåñòêîñòü íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ ïàðàìåòðîì kr �� m i , ãäå � � � �m � � �( )1 2 3 3 – ñðåäíåå íàïðÿæåíèå; � i – èíòåíñèâ-

íîñòü íàïðÿæåíèé, � � �i e c� � . Äëÿ öåíòðàëüíîé òî÷êè, ãäå íàïðÿæåííîå

ñîñòîÿíèå íàèáîëåå æåñòêîå, ñ èñïîëüçîâàíèåì (1), (3), (4) èìååì

k r rr � � �1

31 21 2ln( ), (7)

ãäå âòîðîå ñëàãàåìîå ïîêàçûâàåò âåëè÷èíó îòêëîíåíèÿ íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿ-

íèÿ â ýòîé òî÷êå îò ëèíåéíîãî (�1 0 ; � �2 3 0� � ), äëÿ êîòîðîãî kr �1

3.



Ãåîìåòðè÷åñêèå ïàðàìåòðû øåéêè öèëèíäðè÷åñêîãî îáðàçöà è ñõåìà ðàñïðåäåëåíèÿ íàïðÿ-

æåíèé â åå íàèìåíüøåì ñå÷åíèè.

Îòìåòèì, ÷òî ñ ïîìîùüþ òàêîé õàðàêòåðèñòèêè, êàê ïàðàìåòð Ëîäå–

Íàäàè � � � � � �� ( ) ( ),2 2 1 3 1 3 â äàííîì ñëó÷àå íåëüçÿ îïðåäåëèòü,

êàê íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå îòëè÷àåòñÿ îò îäíîîñíîãî ðàñòÿæåíèÿ, � � ��1,

ïîñêîëüêó îíà õàðàêòåðèçóåò òîëüêî âèä äåâèàòîðà íàïðÿæåíèé è íå ó÷èòû-

âàåò âëèÿíèå êîìïîíåíòîâ íàïðÿæåíèé, ñâÿçàííûõ ñ èçìåíåíèåì îáúåìà.

Ðåøåíèå Áðèäæìåíà [6] äëÿ øåéêè õîðîøî îïèñûâàåò íàïðÿæåííîå

ñîñòîÿíèå è öèëèíäðè÷åñêèõ îáðàçöîâ ñ “ìÿãêèìè” íàäðåçàìè [7]. Ðàññìàò-

ðèâàÿ øåéêó êàê êîíöåíòðàòîð íàïðÿæåíèé, ðàñïðåäåëåíèå îñåâûõ íàïðÿæå-

íèé � z âäîëü îñè r (ðèñóíîê) ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü ãðàäèåíòîì íàïðÿ-

æåíèé è êîýôôèöèåíòîì êîíöåíòðàöèè. Ïîñëåäíèé îïðåäåëÿåòñÿ êàê K t �� 1 t èëè ñ ó÷åòîì (3) – K k r rt c� � �[ ln( )].1 1 21 2 Ïîñêîëüêó � z r( )�� c h r( ), ãðàäèåíò íàïðÿæåíèé âûðàæàåòñÿ â âèäå

d

dr

r

r r r r

z c� ��

� �

2

212

1 22

.

Âåëè÷èíîé, õàðàêòåðèçóþùåé ñòåïåíü íåîäíîðîäíîñòè íàïðÿæåííîãî

ñîñòîÿíèÿ, ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíûé ãðàäèåíò íàïðÿæåíèé �

��

1 d

dr, êîòî-

ðûé äëÿ îñåâûõ íàïðÿæåíèé ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

� ��

��

�

��

�2 2 1

2

212

1 22 1

21 2

2

1 2

r r r r rr r r r

r r( ) ln��

�

��

�1

.

Îí èçìåíÿåòñÿ îò íóëÿ íà ïðîäîëüíîé îñè îáðàçöà äî âåëè÷èíû, ðàâíîé

êðèâèçíå îáðàçóþùåé øåéêè íà åãî ïîâåðõíîñòè, � ��1 2r . Ñîîòâåòñò-

âåííî d drz� èçìåíÿåòñÿ îò 0 äî �� c r2 .

Äëÿ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî èññëåäîâàíèÿ øåéêîîáðàçîâàíèÿ ïðè íèçêî-

òåìïåðàòóðíîé ÏÒ èñïîëüçîâàëè ñòàíäàðòíûå ïÿòèêðàòíûå öèëèíäðè÷åñêèå

(äèàìåòð 3 ìì) îáðàçöû àóñòåíèòíûõ ñòàëåé 03Õ20Í16ÀÃ6, 12Õ18Í10Ò è

òèòàíîâûõ ñïëàâîâ 3Ì è ÂÒ5-1. Óêàçàííûå ìàòåðèàëû èñïîëüçóþòñÿ â

êðèîãåííîé òåõíèêå, ýêñïëóàòèðóåìîé ïðè òåìïåðàòóðàõ, áëèçêèõ ê àáñî-

ëþòíîìó íóëþ. Îáðàçöû èñïûòûâàëè íà ñòàòè÷åñêîå ðàñòÿæåíèå ñîãëàñíî

òðåáîâàíèÿì [5] íà óñòàíîâêå ÓÌÍ-10 [8] â ñðåäå æèäêîãî ãåëèÿ ïðè

òåìïåðàòóðå 4,2 Ê. Æåñòêîñòü ñèñòåìû íàãðóæåíèÿ, íå ðåãëàìåíòèðóåìàÿ

ñòàíäàðòîì [5], ñîñòàâëÿëà 14,5 ÌÍ/ì.

Êàê ïîêàçûâàþò èçìåðåíèÿ, íàèáîëåå âûðàæåííûå øåéêè ñ íàèìåíüøåé

ïëîùàäüþ ñå÷åíèÿ íàáëþäàþòñÿ ó îáðàçöîâ ñòàëè 03Õ20Í16ÀÃ6, à ñàìàÿ

ðåëüåôíàÿ øåéêà, â êîòîðîé ïðîèñõîäèò ðàçðóøåíèå, ñîîòâåòñòâóåò ïîñëåä-

íåìó ñêà÷êó, ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè [9]. Èíòåíñèôèêàöèè ëîêàëè-

çàöèè äåôîðìàöèè íà ïîñëåäíåì ñêà÷êå ñïîñîáñòâóåò íàêîïèâøååñÿ èìåííî

â ýòîé øåéêå äåôîðìàöèîííîå ïîâðåæäåíèå ìàòåðèàëà, òàê êàê åãî âëèÿíèå

êà÷åñòâåííî àíàëîãè÷íî òåìïåðàòóðíîìó ðàçóïðî÷íåíèþ [10].

Ãåîìåòðè÷åñêèå ïàðàìåòðû r0 è r1 îïðåäåëÿëè ïóòåì íåïîñðåäñòâåí-

íîãî èçìåðåíèÿ, r2 – ïî çàâèñèìîñòè r r f1 2 � ( )� [6], ãäå � – îñåâàÿ

ëîãàðèôìè÷åñêàÿ äåôîðìàöèÿ,



�� ln( ).r r02

12

(8)

Ïðè ��1 ñîîòíîøåíèå ðàäèóñîâ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå r r1 2 ��0 75, .� Ïàðàìåòðû íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ ðàññ÷èòûâàëè äëÿ òðåõ òèïîâ

øååê îáðàçöîâ ñòàëè 03Õ20Í16ÀÃ6:

1) îáû÷íàÿ øåéêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñòàäèè ðàçâèòîé ÏÒ;

2) øåéêà, â êîòîðîé ïðîèçîøëî êâàçèõðóïêîå ðàçðóøåíèå;

3) øåéêà, â êîòîðîé ïðîèçîøëî ðàçðóøåíèå ïî ìåõàíèçìó àäèàáàòè÷åñ-

êîãî ñäâèãà, ò.å. â ïðîöåññå ñêà÷êà [11].

Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöå.

Ïðè ðàñ÷åòàõ ñ èñïîëüçîâàíèåì êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ [12] äëÿ äàííûõ

ñîîòíîøåíèé r r1 2 0 38� , ïîëó÷åíû ïðàêòè÷åñêè òå æå ðåçóëüòàòû ñ ïðå-

íåáðåæèìî ìàëûìè îòêëîíåíèÿìè ïàðàìåòðîâ íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ îò

ïðèâåäåííûõ â òàáëèöå.

Îòìåòèì, ÷òî â öåëîì ìåòîäû [6, 12] äàþò äîñòàòî÷íî òî÷íóþ îöåíêó

ðàñïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèé ïðè r r1 2 0 77� , è òîëüêè ïðè r r1 2 1� ïîëó÷à-

þòñÿ ñóùåñòâåííî çàíèæåííûå çíà÷åíèÿ [13].

Ñ èñïîëüçîâàíèåì óðàâíåíèÿ (8) äëÿ øåéêè òèïà 1 ïîëó÷èì ��0 204, ,

÷òî áëèçêî ê ïîëíîé ëîãàðèôìè÷åñêîé äåôîðìàöèè � �a � �ln( ),1 ãäå � –

îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå îáðàçöà ïîñëå ðàçðûâà. Äëÿ öèëèíäðè÷åñêîãî

îáðàçöà ñòàëè 03Õ20Í16ÀÃ6, èñïûòàííîãî íà ðàñòÿæåíèå â óêàçàííûõ âûøå

óñëîâèÿõ, èìååì ��0 350, , �à �0 300, . Òàêèì îáðàçîì, � �a , ÷òî íåâîç-

ìîæíî â ñëó÷àå ïîëíîé ëîêàëèçàöèè äåôîðìàöèè ïðè åå ñêà÷êîîáðàçíîì

ðàçâèòèè, ò.å. äàííîå íåðàâåíñòâî ñâèäåòåëüñòâóåò î íàëè÷èè íåêîòîðîãî

âêëàäà ðàâíîìåðíîé äåôîðìàöèè. Îöåíêà ýòîãî âêëàäà ïóòåì ó÷åòà äåôîð-

ìàöèîííîãî óïðî÷íåíèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ñòàëè 03Õ20Í16ÀÃ6 îí äîñòè-

ãàåò 30% îáùåãî óäëèíåíèÿ îáðàçöà ïðè ñêà÷êå [2]. Òàêàÿ âåëè÷èíà ñîîòâåò-

ñòâóåò è îöåíêå äåôîðìàöèîííûì ìåòîäîì: ïîëàãàÿ, ÷òî âêëàä ðàâíîìåðíîé

äåôîðìàöèè ñîñòàâëÿåò � � �h a� �1 , ïîëó÷àåì �h �0 320, .

Â îáùåì ñëó÷àå äëÿ àíàëèòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ïðîôèëÿ øåéêè èñïîëü-

çóþò ãèïåðáîëè÷åñêèå, ïàðàáîëè÷åñêèå, ýêñïîíåíöèàëüíûå è äðóãèå çàâèñè-

ìîñòè. Äëÿ îáû÷íîé øåéêè õàðàêòåðíî èíòåíñèâíîå ðàçâèòèå äåôîðìàöèè â

öåíòðàëüíîé îáëàñòè – êîíòóð øåéêè ñîïðÿãàåòñÿ ñ ëèíèÿìè, êàñàòåëüíûìè

ê îáðàçóþùåé â òî÷êàõ ïåðåãèáà (ðèñóíîê). Â òî æå âðåìÿ, êàê îòìå÷àëîñü



Ãåîìåòðè÷åñêèå ïàðàìåòðû è õàðàêòåðèñòèêè íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ

â øåéêå öèëèíäðè÷åñêèõ îáðàçöîâ ñòàëè 03Õ20Í16ÀÃ6

Òèï øåéêè r0, ìì r1, ìì kr Kt s � , ìì�1

1 1,34 1,21 1

30 062� ,

1,032 0,033 0,116

2 1,29 1,10 1

30 113� ,

1,047 0,057 0,217

3 1,23 0,95 1

30 177� ,

1,08 0,082 0,406

âûøå, ïðè ÏÒ äëÿ øååê òèïà 1 òàêîå óñèëåíèå ëîêàëèçàöèè íåïðèñóùå.

Òî÷êè ïåðåãèáà îáðàçóþùåé òàêîé øåéêè èìåþò êîîðäèíàòû l L1

1

4� è

l L2

3

4� (ðèñóíîê), ïîýòîìó åå ïðîôèëü ìîæåò áûòü îïèñàí ôóíêöèåé âèäà

y lr r r r l

L( ) cos ,�

��

�0 1 0 1

2 2

2�(9)

îòâå÷àþùåé äàííîìó óñëîâèþ.

Êðèâèçíà îáðàçóþùåé îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

1

1 2 3 2��

��

� �

y

y[ ( ) ],

ñîãëàñíî êîòîðîé äëÿ ôóíêöèè (9) ïðè l L� 2 ïîëó÷èì

12

2

2 0 1

2r

r r

L�

�� .

Äëÿ øåéêè òèïà 1 ðàñ÷åòíîå çíà÷åíèå êðèâèçíû ñîñòàâëÿåò 1 2r ð ��0 13, ìì�1 , ÷òî áëèçêî ê çíà÷åíèþ, ïîëó÷åííîìó èç ïðèâåäåííîé ýìïèðè-

÷åñêîé çàâèñèìîñòè r r f1 2 � ( )� [6].

Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî øåéêîîáðàçîâàíèå ïî òèïó 1, ñîïðî-

âîæäàþùåå âåñü ïðîöåññ íèçêîòåìïåðàòóðíîé ÏÒ, çà èñêëþ÷åíèåì ïîñëåä-

íåãî ñêà÷êà, íå ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåííîìó îòêëîíåíèþ íàïðÿæåííîãî

ñîñòîÿíèÿ îáðàçöà îò ëèíåéíîãî. È òîëüêî íà çàêëþ÷èòåëüíîì ýòàïå äåôîð-

ìèðîâàíèÿ, êîòîðûé ïðåäøåñòâóåò èëè ñîïóòñòâóåò ðàçðóøåíèþ, ïîÿâëÿåòñÿ

øåéêà, îñîáåííî òèïà 3, â êîòîðîé äåéñòâóþò çíà÷èòåëüíûå ðàñòÿãèâàþùèå

ðàäèàëüíûå íàïðÿæåíèÿ. Ïðè ýòîì ðåàëèçóåòñÿ îáúåìíîå íàïðÿæåííîå

ñîñòîÿíèå ñ êîýôôèöèåíòîì æåñòêîñòè äî kr �0 5, (òàáëèöà).

Îäíàêî ïîÿâëåíèå è ðàçâèòèå àäèàáàòè÷åñêîé øåéêè òèïà 3, êàê è

“îáû÷íîé”, ïðè áîëåå âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ óæå íå îêàçûâàåò çíà÷èòåëü-

íîãî âëèÿíèÿ íà ìåõàíè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ìàòåðèàëà. Òàê, íà ïîñëåäíåì

ñêà÷êå (â ñëó÷àå êâàçèõðóïêîãî ðàçðóøåíèÿ ïðè ïîñëåäóþùåì óïðóãîì

íàãðóæåíèè [11]), ò.å. â ïðîöåññå îáðàçîâàíèÿ øåéêè òèïà 2, óäëèíåíèå

îáðàçöà �l ñîñòàâëÿåò 0,42 ìì, è âåëè÷èíû � è �à áåç ó÷åòà ýòîãî

ïðèðîñòà ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû 0,325 è 0,281. Íàãðóçêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ

íà÷àëó ïîñëåäíåãî ñêà÷êà, êàê ïðàâèëî, ïðàêòè÷åñêè íå ïðåâûøàåò èëè

ìåíüøå òàêîâîé äëÿ ïðåäïîñëåäíåãî ñêà÷êà, ïîýòîìó ïðåäåë ïðî÷íîñòè íå

èçìåíÿåòñÿ. È ëèøü âåëè÷èíà îòíîñèòåëüíîãî ñóæåíèÿ îáðàçöà ïîñëå ðàç-

ðûâà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïîñëåäíåé øåéêå. Îäíàêî ýòà õàðàêòå-

ðèñòèêà íå ÿâëÿåòñÿ â äàííîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî èíôîðìàòèâíîé, ïîñêîëüêó

ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò õàðàêòåðà ðàçðóøåíèÿ îáðàçöà: êâàçèõðóïêîãî èëè

ïóòåì àäèàáàòè÷åñêîãî ñäâèãà. Òàê, äëÿ øååê òèïà 2 è 3 âåëè÷èíà ñîîòâåòñòâåííî ñîñòàâëÿåò 0,257 è 0,329. Âåðîÿòíîñòü ðàçðóøåíèÿ ïî



ìåõàíèçìó àäèàáàòè÷åñêîãî ñäâèãà óâåëè÷èâàåòñÿ ñ óìåíüøåíèåì æåñòêîñòè

ñèñòåìû íàãðóæåíèÿ [11].

Ïîýòîìó èñïîëüçîâàíèå öèëèíäðè÷åñêèõ îáðàçöîâ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìå-

õàíè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ïðè ñòàíäàðòíûõ ìåõàíè÷åñêèõ èñïûòàíèÿõ, íå-

ñìîòðÿ íà ïîÿâëåíèå ìíîãî÷èñëåííûõ øååê, ñëåäóåò ïðèçíàòü ïðàâîìåðíûì

è â óñëîâèÿõ ãëóáîêîãî îõëàæäåíèÿ.

Ð å ç þ ì å

Ó çâ’ÿçêó ³ç çàäà÷åþ âèçíà÷åííÿ äîñòîâ³ðíèõ âåëè÷èí ìåõàí³÷íèõ õàðàêòå-

ðèñòèê ìåòàëåâèõ ìàòåð³àë³â çà òåìïåðàòóð íèæ÷å 30 Ê äîñë³äæåíî îñîáëè-

âîñò³ áàãàòîðàçîâîãî øèéêîóòâîðåííÿ íà öèë³íäðè÷íèõ çðàçêàõ êîíñòðóê-

ö³éíèõ ñïëàâ³â êð³îãåííî¿ òåõí³êè ïðè ðåàë³çàö³¿ åôåêòó íèçüêîòåìïåðàòóð-

íî¿ ïåðåðèâ÷àñòî¿ òåêó÷îñò³. Âèêîíàíà îö³íêà æîðñòêîñò³ òà íåîäíîð³äíîñò³

îá’ºìíîãî íàïðóæåíîãî ñòàíó òèïîâèõ øèéîê ïîêàçàëà, ùî â³í íåñóòòºâî

â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä ë³í³éíîãî, ³ âèêîðèñòàííÿ òàêèõ çðàçê³â äëÿ ñòàíäàðòíèõ

ìåõàí³÷íèõ âèïðîáóâàíü â óìîâàõ ãëèáîêîãî îõîëîäæåííÿ º ïðàâîì³ðíèì.

1. Äàâèäåíêîâ Í. Í. Î ïðèðîäå øåéêè ïðè ðàñòÿæåíèè îáðàçöîâ // Æóðí.

òåõí. ôèçèêè. – 1955. – 25, ¹ 5. – Ñ. 125 – 128.

2. Äèäåíêî Ä. À. Î ìåõàíèçìå íèçêîòåìïåðàòóðíîé ñêà÷êîîáðàçíîé äåôîð-

ìàöèè àëþìèíèÿ // Ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû ïëàñòè÷åñêîé äåôîðìàöèè

ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ. – Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1974. – Ñ. 129 –138.

3. Âîðîáüåâ Å. Â., Àíïèëîãîâà Ò. Â. Îñîáåííîñòè ïðîÿâëåíèÿ ýôôåêòà

íèçêîòåìïåðàòóðíîé ñêà÷êîîáðàçíîé äåôîðìàöèè ìåòàëëîâ // Íàä³éí³ñòü

³ äîâãîâ³÷í³ñòü ìàøèí ³ ñïîðóä. – 2006. – 26. – Ñ. 166 – 172.

4. Vorob’ev Ye. New types of limit states of structural alloys related to the

realization of the low-temperature discontinuous yielding effect // Mechanika.

– 2006. – No. 1 (57). – P. 17 – 21.

5. ÃÎÑÒ 22706-77. Ìåòàëëû. Ìåòîä èñïûòàíèÿ íà ðàñòÿæåíèå ïðè òåìïå-

ðàòóðàõ îò ìèíóñ 100 äî ìèíóñ 269!Ñ. – Ââåä. 01.09.88.

6. Bridgman P. W. Studies in Large Plastic Flow and Fracture. – New York;

Toronto; London: McGraw-Hill, 1952. – 424 p.

7. Ïîëóõèí Ï. È., Ãóí Ã. ß., Ãàëêèí À. Ì. Ñîïðîòèâëåíèå ïëàñòè÷åñêîé

äåôîðìàöèè ìåòàëëîâ è ñïëàâîâ. Ñïðàâî÷íèê. – Ì.: Ìåòàëëóðãèÿ, 1983.

– 351 ñ.

8. Ñòðèæàëî Â. À., Íîâîãðóäñêèé Ë. Ñ., Âîðîáüåâ Å. Â. Ïðî÷íîñòü ñïëàâîâ

êðèîãåííîé òåõíèêè ïðè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîçäåéñòâèÿõ. – Êèåâ: Íàóê.

äóìêà, 1990. – 180 ñ.

9. Ãîðîäûñêèé Í. È., Íîâèêîâ Í. Â., Ñòàñþê Ñ. Ç. Íåêîòîðûå çàêîíî-

ìåðíîñòè ïðåðûâèñòîãî òå÷åíèÿ ìåòàëëà ïðè ðàñòÿæåíèè îáðàçöîâ èç

êîíñòðóêöèîííûõ ìàòåðèàëîâ â æèäêîì ãåëèè // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. –

1976. – ¹ 6. – Ñ. 69 – 71.

10. Ñòåïàíîâ Ã. Â. Ëîêàëèçàöèÿ äåôîðìàöèè ñäâèãà â ìåòàëëå ïðè äèíàìè-

÷åñêîì íàãðóæåíèè // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 1995. – ¹ 8. – Ñ. 52 – 59.



11. Âîðîáüåâ Å. Â. Î âëèÿíèè æåñòêîñòè ñèñòåìû íàãðóæåíèÿ íà ñîïðîòèâ-

ëåíèå äåôîðìèðîâàíèþ è ðàçðóøåíèå îáðàçöîâ ñïëàâîâ ïðè ãëóáîêîì

îõëàæäåíèè // Òàì æå. – 2001. – ¹ 1. – Ñ. 98 – 104.

12. Äàâèäåíêîâ Í. Í., Ñïèðèäîíîâà Í. È. Àíàëèç íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ â

øåéêå ðàñòÿíóòîãî îáðàçöà // Çàâîä. ëàá. – 1945. – 11, ¹ 6. – Ñ. 583 –

593.

13. Ðåçíèêîâ Â. È., Ñåãàë Â. Ì. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå èññëåäîâàíèå íàïðÿ-

æåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ â øåéêå öèëèíäðè÷åñêîãî îáðàçöà

ïðè ðàñòÿæåíèè // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 1980. – ¹ 1. – Ñ. 78 – 81.




ÓÄÊ 539.4

Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è Áðàçüå äëÿ òîíêîñòåííûõ òðóá ñ

íà÷àëüíûì íåñîâåðøåíñòâîì ôîðìû ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ïðè

äåéñòâèè äàâëåíèÿ

È. Â. Îðûíÿê, Ñ. À. Ðàä÷åíêî


Ïðåäëîæåí àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä ðåøåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíîé çàäà÷è Áðàçüå äëÿ

òîíêîñòåííûõ òðóá ñ íà÷àëüíûì íåñîâåðøåíñòâîì ôîðìû ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ïðè äåéñò-

âèè äàâëåíèÿ. Ïîëó÷åíû ãåîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå êîìïîíåíòû ïåðåìåùåíèé

ñ äåôîðìàöèÿìè, è óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ó÷èòûâàþùèå èçìåíåíèå êðèâèçíû ñå÷åíèÿ òðóáû

è åå îñè. Ïðèâåäåíî ðåøåíèå â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïî áåçðàçìåðíîìó ïàðàìåòðó ãèáêîñòè,

òî÷íîñòü êîòîðîãî ïðîèëëþñòðèðîâàíà íà ìíîãî÷èñëåííûõ ïðèìåðàõ. Äëÿ ñëó÷àÿ ñîâìåñò-

íîãî äåéñòâèÿ âíåøíåãî èçãèáàþùåãî ìîìåíòà è äàâëåíèÿ ïîëó÷åíà ïðåäåëüíàÿ êðèâàÿ

êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ ìîìåíòà â çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû äàâëåíèÿ.

Êëþ÷åâûå ñëîâà: òîíêîñòåííàÿ òðóáà, ýôôåêò Áðàçüå, íà÷àëüíîå íåñîâåð-øåíñòâî ñå÷åíèÿ, äàâëåíèå, êðèâèçíà, àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå.

Ââåäåíèå. Ìàãèñòðàëüíûå òðóáîïðîâîäû è òðóáîïðîâîäû ïðåäïðèÿòèéýíåðãåòè÷åñêîé, íåôòåõèìè÷åñêîé è äðóãèõ îòðàñëåé ïðîìûøëåííîñòèñîñòàâëÿþò äîñòàòî÷íî áîëüøóþ ÷àñòü èõ ìàòåðèàëüíûõ àêòèâîâ. Êàê ïðà-âèëî, òðóáîïðîâîäû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé î÷åíü âûñîêîíàãðóæåííûå êîíñò-ðóêöèè, ïîñêîëüêó åùå ïðè èõ ïðîåêòèðîâàíèè ñ öåëüþ ýêîíîìèè ìåòàëëàçàêëàäûâàþòñÿ ôàêòè÷åñêè ñàìûå íèçêèå êîýôôèöèåíòû çàïàñà ïðî÷íîñòè.Ýòî òðåáóåò î÷åíü òî÷íîãî îáîñíîâàíèÿ ïðî÷íîñòè è ðåñóðñà ïðè âñåõâîçìîæíûõ âèäàõ íàãðóæåíèÿ. Ïðîâåäåíèå òàêîãî àíàëèçà íåâîçìîæíî áåçïðèìåíåíèÿ ñîâðåìåííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ êîìïëåêñîâ.

Âìåñòå ñ òåì ðàñ÷åò÷èêó íåîáõîäèìî çàðàíåå ïîíèìàòü õàðàêòåð ðåøå-íèÿ, à ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû äîëæíû ëèøü óòî÷íÿòü íåêîòîðûå êîýôôè-öèåíòû. Âàæíî çíàòü îñîáåííîñòè äåôîðìèðîâàíèÿ êîíñòðóêöèè ïðè ååãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíîì ïîâåäåíèè, ó÷èòûâàÿ, ÷òî äàæå äëÿ èäåàëüíîóïðóãîãî ìàòåðèàëà íåçíà÷èòåëüíîå óâåëè÷åíèå íàãðóçêè ìîæåò ïðèâîäèòü êíåêîíòðîëèðóåìîìó ðîñòó äåôîðìàöèé è íàïðÿæåíèé. Êðîìå òîãî, ñîâðå-ìåííûå íîðìû ïðîåêòèðîâàíèÿ îáîðóäîâàíèÿ àòîìíûõ ñòàíöèé [1, 2] èíîðìû îöåíêè ýêñïëóàòèðóåìûõ êîíñòðóêöèé ñ îáíàðóæåííûìè íåñîâåð-øåíñòâàìè [3] ïðåäóñìàòðèâàþò ðàçäåëåíèå ðàñ÷åòíûõ íàïðÿæåíèé íà ðàç-íûå êàòåãîðèè, ê êîòîðûì ïðèìåíÿþòñÿ ðàçëè÷íûå êîýôôèöèåíòû çàïàñàïðî÷íîñòè [4]. Áåç ïîíèìàíèÿ îñîáåííîñòåé äåôîðìèðîâàíèÿ ðàçëè÷íûõýëåìåíòîâ, äîñòèãàåìîãî ïóòåì àíàëèòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, èñïîëüçî-âàòü ïîëîæåíèÿ óêàçàííûõ ñòàíäàðòîâ íåâîçìîæíî.

Òðóäíîñòè ðàñ÷åòà íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ òðóáîïðîâîäíûõ ñèñòåì âîìíîãîì çàâèñÿò îò ìîäåëèðîâàíèÿ äåôîðìèðîâàíèÿ ãèáà òðóáû. Ðàñ÷åòíûìýêâèâàëåíòîì ãèáà òðóáû ñëóæèò òîðîèäàëüíàÿ îáîëî÷êà, ïðè èññëåäîâàíèèêîòîðîé îáíàðóæèâàþòñÿ âàæíûå ýôôåêòû äåôîðìèðîâàíèÿ. Èõ ïîíèìàíèåÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì êîððåêòíîãî ðàñ÷åòà òðóáîïðîâîäîâ âîîáùå.

© È. Â. ÎÐÛÍßÊ, Ñ. À. ÐÀÄ×ÅÍÊÎ, 2008100 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2008, ¹ 3

Ê ñîæàëåíèþ, â ó÷åáíèêàõ ïî ñîïðîòèâëåíèþ ìàòåðèàëîâ è â îáùåäîñòóï-íûõ êóðñàõ òåîðèè îáîëî÷åê èñïîëüçîâàíèþ òîðîèäàëüíûõ îáîëî÷åê óäåëÿ-åòñÿ íåäîñòàòî÷íî âíèìàíèÿ. Â ãèáàõ òðóá ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðÿìîé òðóáîéïðè ïðèëîæåíèè âíåøíèõ èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ íàáëþäàåòñÿ ýôôåêò îâà-ëèçàöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, ÷òî ïðèâîäèò êàê ê óâåëè÷åííîé ïîäàòëè-âîñòè, òàê è èíòåíñèôèêàöèè íàïðÿæåíèé (ïîÿâëåíèþ ëîêàëüíûõ èçãèáà-þùèõ ìîìåíòîâ). Ðàçëè÷èå â õàðàêòåðå äåôîðìèðîâàíèÿ ïðÿìîé òðóáû èãèáà îïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ äâóõ áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ: êðèâèçíû�� R B è ãèáêîñòè �� R Bh2 , ãäå R – ñðåäíèé ðàäèóñ ñå÷åíèÿ òðóáû; Â –

ðàäèóñ îñè ãèáà; h – òîëùèíà ñòåíêè òðóáû. ×åì áîëüøå ýòè ïàðàìåòðû, òåìçíà÷èòåëüíåå ïðîÿâëÿþòñÿ ðàçëè÷èÿ â ïîäàòëèâîñòÿõ è ðàñïðåäåëåíèè íà-ïðÿæåíèé â ïðÿìîé òðóáå è ãèáå.

Âïåðâûå àíàëèòè÷åñêîå îáúÿñíåíèå ýôôåêòà îâàëèçàöèè ïîïåðå÷íîãîñå÷åíèÿ ãèáà òðóáû â ñëó÷àå èçãèáà â ïëîñêîñòè ïðè ìàëûõ � áûëî ïðåä-ëîæåíî Êàðìàíîì, êîòîðûé ðàññìàòðèâàë çàäà÷ó íàãðóæåíèÿ ãèáà ïîñòîÿí-íûì âäîëü îñè èçãèáàþùèì ìîìåíòîì ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè ïî Ñåí-Âåíàíó [5]. Ïðè ýòîì ðàñïðåäåëåíèå óñèëèé íà êðàÿõ ãèáà ñîâïàäàåò ññîîòâåòñòâóþùèì ðàñïðåäåëåíèåì íàïðÿæåíèé â êàæäîì ñå÷åíèè ãèáà. Âðåàëüíîì ñëó÷àå ñîïðÿæåíèÿ ãèáà ñ äðóãèìè êîíñòðóêòèâíûìè ýëåìåíòàìèýòî äîñòèãàåòñÿ òîëüêî äëÿ äîñòàòî÷íî äëèííûõ ãèáîâ, â ñðåäíåé ÷àñòèêîòîðûõ ìîæíî íå ó÷èòûâàòü âëèÿíèå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé.

Ïîçæå ïîÿâèëèñü ðàáîòû, îáîáùàþùèå ðåçóëüòàòû Êàðìàíà äëÿ ó÷åòàáîëüøèõ çíà÷åíèé � [6, 7] è � [8]. Çàäà÷à Êàðìàíà èçó÷àëàñü òàêæå äëÿòðóá íåêðóãîâîãî ñå÷åíèÿ. Òàêàÿ ðàáîòà áûëà ïðîâåäåíà Òèìîøåíêî â 1923 ã.,ãäå îí ðàññìàòðèâàë ñå÷åíèå ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû [9]. Áûëè òàêæå ïîëó-÷åíû ðåøåíèÿ äëÿ ãèáà òðóáû ñ ýëëèïòè÷åñêîé ôîðìîé ñå÷åíèÿ [10, 11].Ìåòîäû àíàëèçà òðóá ñ èñõîäíîé íåïðàâèëüíîñòüþ ôîðìû ñå÷åíèÿ è ðàçíî-òîëùèííîñòüþ ðàçðàáîòàíû â [12–15].

Áîëåå ñëîæíûì ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûé ñëó÷àé çàäà÷è Êàðìàíà – òàê íàçû-âàåìûé ýôôåêò Áðàçüå, ñâÿçàíííûé ñ ïîòåðåé óñòîé÷èâîñòè ïðÿìîé òðóáûèëè ãèáà ïðè óïðóãîì èçãèáå [16]. Îí çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåìâíåøíåãî èçãèáàþùåãî ìîìåíòà K z ðàñòåò êðèâèçíà èñõîäíîé òðóáû(óìåíüøàåòñÿ ðàäèóñ ãèáà Â), ÷òî ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ åå ãèáêîñòè � âïðîöåññå äåôîðìèðîâàíèÿ è, êàê ñëåäñòâèå, ê âñå áîëåå íåëèíåéíî óâåëè-÷èâàþùåéñÿ îâàëèçàöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî çíà÷å-íèÿ èçãèáàþùåãî ìîìåíòà, îâàëèçàöèÿ íàðàñòàåò êàòàñòðîôè÷åñêè äàæå ïðèïîñòåïåííî óìåíüøàþùåéñÿ íàãðóçêå.

Öåëüþ ðåøåíèÿ çàäà÷è Áðàçüå ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå çàâèñèìîñòè K z ( )�è âåëè÷èíû �max , ïðè êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ ýêñòðåìàëüíîå çíà÷åíèå ýòîãîìîìåíòà K z ,max max( ).� Êëàññè÷åñêàÿ çàäà÷à Áðàçüå è â íàñòîÿùåå âðåìÿâûçûâàåò áîëüøîé èíòåðåñ; îáçîðû ðåøåíèé ïðèâåäåíû â ðàáîòàõ [17, 18].Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â òåîðåòè÷åñêîì ïîäõîäå Áðàçüå [16] èìåþòñÿñóùåñòâåííûå íåäîñòàòêè, íî òåì íå ìåíåå ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé íà åãîîñíîâå, äîñòàòî÷íî òî÷íî ñîâïàäàåò ñ áîëåå ñòðîãèìè ñîâðåìåííûìè ïîäõî-äàìè [19]. Ïàðàäîêñàëüíî, íî ïåðâîíà÷àëüíîå óòî÷íåíèå ðåçóëüòàòîâ Áðàçüåïðèâîäèëî ê óõóäøåíèþ îöåíîê K z ,max è �max [20, 21]. Òàêèì îáðàçîì,ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî âîïðîñ î ìèíèìàëüíî íåîáõîäèìîì óðîâíå ñëîæ-

Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è Áðàçüå ...


íîñòè, ïîçâîëÿþùåì ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íî òî÷íîå ðåøåíèå, ïî-ïðåæíåìóîñòàåòñÿ àêòóàëüíûì.

Äðóãîé ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíûé ýôôåêò ñâÿçàí ñ äåéñòâèåì âíóòðåí-íåãî è âíåøíåãî äàâëåíèÿ íà òîíêîñòåííóþ îáîëî÷êó (êîëüöî). Èçâåñòíî,÷òî âíóòðåííåå äàâëåíèå îêàçûâàåò ïîäêðåïëÿþùåå äåéñòâèå ïðè íåîñå-ñèììåòðè÷íîì äåôîðìèðîâàíèè êîëüöà, â òîì ÷èñëå ïðè îòêëîíåíèè èñõîä-íîé ôîðìû ñå÷åíèÿ îò èäåàëüíî êðóãîâîé [22]. Íåêîððåêòíîñòü ïðèìåíåíèÿïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè (ñóììèðîâàíèå óïðóãèõ íàïðÿæåíèé) ïðè íàãðóæå-íèè âíåøíèì èçãèáàþùèì ìîìåíòîì, ïðèâîäÿùèì ê îâàëèçàöèè, è âíóò-ðåííèì äàâëåíèåì äëÿ ãèáîâ òðóá áûëà ïðèçíàíà åùå â 50-õ ãîäàõ ïðîøëîãîñòîëåòèÿ [23, 24]. Òåì íå ìåíåå íåëèíåéíûé õàðàêòåð äåôîðìèðîâàíèÿ ãèáîâòðóá â òàêèõ çàäà÷àõ ïî-ïðåæíåìó âûçûâàåò èíòåðåñ èññëåäîâàòåëåé. È êàêîòìå÷àëîñü â [25], “ýôôåêò ïîäêðåïëÿþùåãî äåéñòâèÿ âíóòðåííåãî äàâëåíèÿÿâëÿåòñÿ õîðîøî èçâåñòíûì, íî ñëàáî ïîíèìàåìûì”.

Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîñòàâëåíà áîëåå ñëîæíàÿ çàäà÷à: àíàëèòè÷åñêîåîïèñàíèå ýôôåêòà Áðàçüå ñ ó÷åòîì âíóòðåííåãî äàâëåíèÿ è èñõîäíîãî íå-ñîâåðøåíñòâà ôîðìû ñå÷åíèÿ äëÿ óïðóãîé òðóáû. Ïðè ýòîì èñïîëüçóþòñÿðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è Ñåí-Âåíàíà äëÿ ãèáîâ òðóá [26–28], è ðàçðàáî-òàííûé àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä ðåøåíèÿ ÿâëÿåòñÿ àëüòåðíàòèâîé îðèãèíàëü-íîé ÷èñëåííîé ïðîöåäóðå, îñíîâàííîé íà èòåðàöèîííîì èñïîëüçîâàíèèìåòîäà íà÷àëüíûõ ïàðàìåòðîâ [29]. Â ïðîöåññå ðåøåíèÿ îïðåäåëèì ìèíè-ìàëüíî íåîáõîäèìûé óðîâåíü ñëîæíîñòè, ñîõðàíÿþùèé åãî òî÷íîñòü.

Çàìåòèì, ÷òî èñïîëüçîâàíèå äëÿ ýòèõ öåëåé êîììåð÷åñêèõ âû÷èñëè-òåëüíûõ ïðîãðàìì ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî íåýôôåêòèâíûì. Ãåîìåòðè÷åñêàÿíåëèíåéíîñòü è ôîðìóëèðîâêà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïî Ñåí-Âåíàíó âñå åùåïðåäñòàâëÿþò äëÿ íèõ çíà÷èòåëüíûå ñëîæíîñòè. Òàê, ïðè ðàññìîòðåíèè çà-äà÷è Ñåí-Âåíàíà âûáèðàþòñÿ ãèáû êîíå÷íîé äëèíû. Åñëè ãèá íåäîñòàòî÷íîäëèííûé, òî äàæå â åãî ñðåäíåé ÷àñòè ïðîÿâëÿåòñÿ âëèÿíèå êðàåâûõ ýôôåê-òîâ [30]. Åñëè ãèá î÷åíü äëèííûé, òî óâåëè÷èâàåòñÿ íå òîëüêî âðåìÿ âû÷èñ-ëåíèé, íî è îøèáêè, êîòîðûå ýêñïîíåíöèàëüíî çàâèñÿò îò äëèíû ãèáà [31].

1. Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ. Ãèá òðóáû, ãåîìåòðè÷åñêèå ðàçìåðû è îáîçíà-÷åíèÿ êîòîðîãî ïðèâåäåíû íà ðèñ. 1, ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê òîíêîñòåííàÿîáîëî÷êà. Çäåñü r, � – ëîêàëüíàÿ ñèñòåìà ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò, ñâÿçàííàÿ ñêàæäûì ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì; õ, ó, z – ëîêàëüíàÿ ñèñòåìà äåêàðòîâûõêîîðäèíàò, ïðè÷åì ó – êîîðäèíàòà èññëåäóåìîé òî÷êè, íàïðàâëåííàÿ ïîëó÷ó, ñîåäèíÿþùåìó öåíòð ãèáà (òî÷êà Î) ñ öåíòðîì ðàññìàòðèâàåìîãîñå÷åíèÿ (òî÷êà Î1), îòñ÷èòûâàåìàÿ îò òî÷êè Î1; z – êîîðäèíàòà, ñâÿçàííàÿ ñíàïðàâëåíèåì ��0; R – ñðåäíèé ðàäèóñ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ; h – òîëùèíàñòåíêè òðóáû; Â – ðàäèóñ êðèâèçíû; �� õ Â – óãëîâàÿ êîîðäèíàòà ïîïåðå÷-íîãî ñå÷åíèÿ ãèáà. Ñ êîîðäèíàòàìè ó è z ñâÿçàíû ñîîòâåòñòâóþùèå îðòû(åäèíè÷íûå âåêòîðû)

�j è

�

k. Íàïðàâëåíèÿ ëîêàëüíûõ ïåðåìåùåíèé òî÷åê

ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè ãèáà òðóáû w, v, u ñîâïàäàþò ñ íàïðàâëåíèÿìèêîîðäèíàò r, �, x ñîîòâåòñòâåííî; íàïðàâëåíèå óãëà � óêàçàíî íà ðèñ. 1.

1.1. Ãåîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ â ïëîñêîñòè ãèáà. Ðàññìîòðèì ñå÷å-íèå òðóáû (ðèñ. 2). Îòìåòèì äâà ìîìåíòà, êàñàþùèåñÿ êðèâèçíû êîëüöà:êîëüöî èçíà÷àëüíî êðèâîå (íà ðèñ. 2 òîíêàÿ ñïëîøíàÿ ëèíèÿ); êîëüöîäîïîëíèòåëüíî èñêðèâëÿåòñÿ â ïðîöåññå äåôîðìèðîâàíèÿ (ïóíêòèðíàÿ ëè-



íèÿ). Äëÿ óïðîùåíèÿ ïîñòàíîâêè è ðåøåíèÿ çàäà÷è ââåäåì ïîíÿòèå èäåàëü-íîãî êîëüöà (íà ðèñ. 2 æèðíàÿ ñïëîøíàÿ ëèíèÿ), íåçíà÷èòåëüíîå èñêðèâ-ëåíèå êîòîðîãî è ïðèâåëî ê ðàññìàòðèâàåìîìó íà÷àëüíî èñêðèâëåííîìóêîëüöó. Âñþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà óñòàíàâëèâàåì îòíîñèòåëüíîèäåàëüíîãî êîëüöà ñ íà÷àëüíûì ðàäèóñîì R0 . Ê íåé ïðåæäå âñåãî îòíîñèòñÿêîîðäèíàòà êàæäîé òî÷êè, õàðàêòåðèçóåìàÿ óãëîì �. Òîãäà ýëåìåíòàðíàÿäëèíà êàæäîãî ìàëîãî ó÷àñòêà êîëüöà ðàâíà

ds R d� 0 �. (1)



Ðèñ. 1. Îáùèé âèä ãèáà òðóáû.

Ðèñ. 2. Ñå÷åíèå òðóáû.

Êàæäûé ýëåìåíòàðíûé ó÷àñòîê èäåàëüíîãî êîëüöà äîïîëíèòåëüíî õàðàê-òåðèçóåòñÿ íàïðàâëåíèåì êàñàòåëüíîé

�t0 è íîðìàëè

�n0 , êîòîðûå âûðàæà-

þòñÿ ÷åðåç îðòû�j è

�

k â âèäå

� � �

� � �n k j

t j k

0

0

��

��

�

cos sin ;

cos sin .

� �

� �(2)

Êðîìå òîãî, îíè ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñëåäóþùèìè äèôôåðåíöèàëüíûìèçàâèñèìîñòÿìè:

dn

dt

��00�

� ;dt

dn

�

�00�

�� . (3)

Ðàññìîòðèì ðåàëüíóþ ôîðìó êîëüöà. Äëÿ êàæäîé òî÷êè èäåàëüíîãîêîëüöà, õàðàêòåðèçóåìîé êîîðäèíàòîé � (íà ðèñ. 2 òî÷êà 1), ñòàâèì âñîîòâåòñòâèå òî÷êó �1 íà÷àëüíî èñêðèâëåííîãî êîëüöà, à çàòåì è òî÷êó ��1 , âêîòîðóþ ïåðåìåñòèòñÿ òî÷êà �1 ïîñëå äåôîðìèðîâàíèÿ íåêîòîðîé ñèñòåìîéíàãðóçîê. Äëÿ îïèñàíèÿ íà÷àëüíîé íåïðàâèëüíîñòè ôîðìû ââåäåì ïîíÿòèåíà÷àëüíûõ ðàäèàëüíûõ wí è òàíãåíöèàëüíûõ v í ïåðåìåùåíèé, íàïðàâëå-íèå êîòîðûõ ñîâïàäàåò ñ îðòàìè

�n0 è

�t0 ñîîòâåòñòâåííî. Äåôîðìèðîâàí-

íîå ñîñòîÿíèå îò âíåøíèõ íàãðóçîê äîïîëíèòåëüíî îïèñûâàåòñÿ ïåðåìåùå-íèÿìè wä è v ä . Òàêèì îáðàçîì, ïîëíûé ðàäèóñ-âåêòîð ñðåäèííîé ïîâåðõ-íîñòè òðóáû ïîñëå äåôîðìèðîâàíèÿ îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì:

� � � � � �R R n w n v t w n v t1 0 0 0 0 0 0( ) .� � � � � �í í ä ä (4)

Â ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíîé ïîñòàíîâêå íåîáõîäèìî çàïèñûâàòü óðàâ-íåíèÿ â ïðîåêöèÿõ íà íîðìàëü è êàñàòåëüíóþ ê ðåàëüíîé (äåôîðìèðîâàí-íîé) ãåîìåòðèè. Îïðåäåëèì âûðàæåíèÿ äëÿ òåêóùèõ íîðìàëè

�n( )� è êàñà-

òåëüíîé�t ( )� ê êîíòóðó â äåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè (ðèñ. 2). Ïî îïðå-

äåëåíèþ âûðàæåíèå äëÿ�t ìîæåò áûòü çàïèñàíî êàê îòíîøåíèå ïðîèçâîä-

íîé òåêóùåãî ðàäèóñà-âåêòîðà�

R1( )� ê åå ìîäóëþ:

�

�

�tR

R�

�

�1

1

( )

| ( )|.

�

�(5)

Â ñîîòâåòñòâèè ñ (4) ïðîèçâîäíàÿ îò ðàäèóñà-âåêòîðà èìååò âèä

� � �� R R m t m n1 0 1 0 2 0( ) ( ) ,� (6)

ãäåm w w v v1� � � � � �í ä í ä ; m w w v v2� � � � � �í ä í ä . (7)

Çäåñü óìåñòíî äàòü áîëåå ÷åòêîå îïðåäåëåíèå òåðìèíàì “ñëåãêà èñêðèâëåí-íûé” è “ñëåãêà äåôîðìèðîâàííûé” êîíòóð â ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíîéïîñòàíîâêå. Ïîëàãàåì



( ) ; ( ) ( ) .m m R12

22

02 (8)

Ýòî óñëîâèå ìàëîñòè ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì â íàñòîÿùåì àíàëèçå. Ïîýòîìóâûðàæåíèå | ( )|

�

�R1 � ïðèáëèæåííî îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

| ( )| ( ) ( ) .�

� � � � � �R R m m R m1 0 12

22

0 1� (9)

Ñëåäîâàòåëüíî, äëèíà ýëåìåíòà äåôîðìèðîâàííîãî êîëüöà ds1 ðàâíà

ds R d R m d1 1 0 1� � � �| ( )| ( ) .�

� � � (10)

Ñäåëàåì åùå îäíî âàæíîå äîïóùåíèå, êàñàþùååñÿ õàðàêòåðà äåôîð-ìèðîâàíèÿ êîëüöà: òîíêîñòåííîå êîëüöî ïðåòåðïåâàåò â îñíîâíîì èçãèáíûåäåôîðìàöèè, è óäëèíåíèåì–ñæàòèåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîäëèíà ýëåìåíòà íå èçìåíèëàñü, ò.å. ds ds1� . Èç ñðàâíåíèÿ óðàâíåíèé (1) è(10) ñëåäóåò, ÷òî m1 0� . Ñ ó÷åòîì ýòîãî èç (7) ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìîåóñëîâèå Êàðìàíà î íåðàñòÿæèìîñòè ñðåäíåé ïîâåðõíîñòè:

w ví í� � �0; w vä ä� � �0. (11)

Íà îñíîâàíèè âûøåèçëîæåííîãî âûðàæåíèå äëÿ êàñàòåëüíîãî âåêòîðà�t

ìîæåò áûòü ïðèáëèæåííî çàïèñàíî òàê:

� � � � �t t n t n� � � � �( ) .0 0

20 01� � � (12)

Çäåñü � 2 – ìàëàÿ âåëè÷èíà ïî ñðàâíåíèþ ñ åäèíèöåé (� 2 0 1� ( )), ïðåäñòàâ-

ëÿþùàÿ ñîáîé óãîë ïîâîðîòà òåêóùåé ñèñòåìû êîîðäèíàò îòíîñèòåëüíîíà÷àëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò (ðèñ. 2) è îïðåäåëÿåìàÿ êàê ñóììà äâóõóãëîâ, îáðàçîâàííûõ íà÷àëüíûì íåñîâåðøåíñòâîì � í è äåôîðìèðîâàíèåì� ä êîíòóðà ñå÷åíèÿ:

� � �� í ä , (13a)

ãäå

� í í íR w v0� � � ; � ä ä äR w v0� � � . (13á)

Ñ ó÷åòîì (11) âûðàæåíèÿ (13á) ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå óäîáíîì âèäå:

� í í íR v v0�� ; � ä ä äR v v0�� . (13â)

Èç óñëîâèÿ ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè îðòîâ� �t n� �0 íåñëîæíî ïîëó÷èòü

� � �n n t� �0 0� . (14)



Âàæíîé ãåîìåòðè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêîé ñå÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ åå êðèâèçíà.Ïî îïðåäåëåíèþ èç âûðàæåíèÿ (12) ìîæíî â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè íàéòèòåêóùóþ êðèâèçíó êîíòóðà ñå÷åíèÿ ��1 1R :

� ��

�

��

�

��

�

��

� �dt

ds

t

R

n

R

d

d R

� � �

0

0

0

0 01

1. (15a)

Ïîñëå äåôîðìèðîâàíèÿ ñå÷åíèÿ åãî äëèíà íå èçìåíÿåòñÿ, ïîýòîìó

ds R d R dd

� � �0 1 11� ��

�. (15á)

Çäåñü ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ: d�1, R1 – òåêóùèå çíà÷åíèÿ ïðèðîñòà óãëà èðàäèóñà êðèâèçíû ñîîòâåòñòâåííî.

1.2. Ãåîìåòðèÿ ãèáà è äåôîðìàöèè â îñåâîì íàïðàâëåíèè. Âûäåëèìýëåìåíò íåäåôîðìèðîâàííîãî ãèáà â îñåâîì íàïðàâëåíèè äâóìÿ áëèçêèìèñå÷åíèÿìè � 01�const è � 02�const. Òîãäà â çàâèñèìîñòè îò óãëà � ïåðâî-íà÷àëüíàÿ øèðèíà (ïî êîîðäèíàòå �) êàæäîãî îòðåçêà ðàâíà

S B Y dí í( ) ( ( )) ,� � �� 0 0 (16a)

ãäå Â0 è d� � �0 02 01� � – ïåðâîíà÷àëüíûå ðàäèóñ êðèâèçíû è ýëåìåí-òàðíûé óãîë ãèáà; Â0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êîé Î

(öåíòð ãèáà) è óñëîâíîé òî÷êîé öåíòðà ñå÷åíèÿ ãèáà Î1 (ðèñ. 1); Yí ( )� –ðàññòîÿíèå ïî îñè ó ìåæäó ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êîé ñå÷åíèÿ ãèáà è òî÷êîéÎ1. Äëÿ óäîáñòâà ââåäåì ïîíÿòèå øèðèíû ýëåìåíòà S í

0 , ñîåäèíÿþùåãî

óñëîâíûå öåíòðû ñå÷åíèÿ ãèáà. Âåëè÷èíà S í0 íàõîäèòñÿ èç (16à) ïðè Y �0:

S B dí0

0 0� � . (16á)

Âåëè÷èíà Yí ( )� âû÷èñëÿåòñÿ òàêèì îáðàçîì:

Y R w n j v t j R w ví í í í í� � � � � � � �0 0 0 0sin sin sin cos .� � � ��

(17)

Äëÿ çàäà÷è Ñåí-Âåíàíà ìîæíî ïðèìåíèòü ãèïîòåçó ïëîñêèõ ñå÷åíèé.Ïðè íàãðóæåíèè ãèáà â åãî ïëîñêîñòè íàïðàâëåíèå ëîêàëüíîé îñè ó íåèçìåíÿåòñÿ. Òîãäà øèðèíà êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî îòðåçêà â äåôîðìèðîâàí-íîì ñîñòîÿíèè S ê ( )� ðàâíà

S B Y dê ê( ) ( ( )) .� � �� 1 1 (18)

Çäåñü ââåäåíû äâå èñêîìûå íåèçâåñòíûå, õàðàêòåðèçóþùèå øèðèíó ýëåìåí-òîâ ãèáà ïîñëå äåôîðìàöèè, à èìåííî: Â1 è d�1 – ðàäèóñ êðèâèçíû èýëåìåíòàðíûé óãîë ãèáà. Âåëè÷èíà ðàññòîÿíèÿ ïî îñè ó â äåôîðìèðîâàí-íîì ñîñòîÿíèè Yê îïðåäåëÿåòñÿ òàê:



Y Y Yê í� �� , (19a)

ãäå�Y w v� �ä äsin cos .� � (19á)

Ââåäåì ïîíÿòèå ïðèðîñòà óãëà �, êîòîðîå õàðàêòåðèçóåò èçìåíåíèåóãëà �, ò.å. óãëîâàÿ êîîðäèíàòà öåíòðîâ ñå÷åíèé â ïðîöåññå äåôîðìèðîâàíèÿ�1 ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå � � �1� � . Òîãäà äëÿ ïðèðîñòà óãëà d�1 ìîæíîçàïèñàòü ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:

d dd

dxB d d

d

dxB� �

��

�1 0 0 0 0 01� � � �

�

��

�

��. (20)

Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïðåäñòàâèòü âûðàæåíèå äëÿ èçìåíèâøåéñÿ äëèíû îñå-âîé ëèíèè S ê

0 :

S B d S Sê í0

1 10 1� � � �� ( ), (21)

ãäå ��S du dx – äåôîðìàöèÿ îñåâîé ëèíèè ãèáà; du – ïðèðîñò äëèíûîñåâîé ëèíèè ãèáà.

Èç (21) ñ ó÷åòîì (18) è (20) íåñëîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ èçìå-íèâøåãîñÿ ðàäèóñà êðèâèçíû ãèáà:

1 1

1

1

1 0B S B

d

dx��

��

��

�

��

. (22)

Èç óðàâíåíèé (20) è (22) íåèçâåñòíûå Â1 è d�1 âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ëèíåé-íóþ �S è óãëîâóþ d dx� äåôîðìàöèè ëèíèè öåíòðîâ ãèáà.

Ïåðåéäåì ê íàõîæäåíèþ îñåâîé äåôîðìàöèè � �� ( ) êàæäîé òî÷êèñå÷åíèÿ ãèáà. Ïî îïðåäåëåíèþ îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èçìåíåíèå øèðèíû âîñåâîì íàïðàâëåíèè:

� �� ( ) .��S S

S

ê í

í(23)

Ïîäñòàâëÿÿ (16)–(22) â (23), oêîí÷àòåëüíî çàïèñûâàåì

� � ��

�

�

��

�

�

��

1

1 0 0 0 0Y BS

Y

R

Y

B

Y

Rí

í � �. (24)

Çäåñü äëÿ óäîáñòâà ââåäåì îáîçíà÷åíèå äëÿ ïðèðîñòà óãëà ��

�d

dxR0 ; ïîä-

÷åðêíóòûé îäèí ðàç ÷ëåí ïðåäîïðåäåëÿåò îòëè÷èå ãèáà îò ïðÿìîé òðóáû (âïðÿìîé òðóáå îí ðàâåí íóëþ), ïîä÷åðêíóòûé äâà ðàçà ÷ëåí – ãåîìåòðè-÷åñêè ëèíåéíóþ ïîñòàíîâêó îò íåëèíåéíîé.



Çàìåòèì, ÷òî ïðè àíàëèçå äåôîðìàöèè â îñåâîì íàïðàâëåíèè ôàêòè-÷åñêè ââåäåíû äâå äîïîëíèòåëüíûå íåèçâåñòíûå: �S è �. Ïðèðîñò ïåðå-

ìåùåíèé �Y óñëîâíî íàõîäèòñÿ èç ðàññìîòðåíèÿ çàäà÷è äåôîðìèðîâàíèÿ âïëîñêîñòè ñå÷åíèÿ. Äëÿ ýòèõ äâóõ íåèçâåñòíûõ çàïèñûâàþòñÿ äâà óðàâíåíèÿðàâíîâåñèÿ ñèë è ìîìåíòîâ â îñåâîì íàïðàâëåíèè.

1.3. Óñëîâèÿ íàãðóæåíèÿ, óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è ôèçè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.Ïîëàãàåì, ÷òî îáîëî÷êà íàãðóæåíà âíóòðåííèì äàâëåíèåì Ð è ãëîáàëüíûìèçãèáàþùèì ìîìåíòîì, äåéñòâóþùèì â ïëîñêîñòè êðèâèçíû K z . Ïåðïåí-äèêóëÿðíî êàæäîìó ñå÷åíèþ ��const äåéñòâóåò âíóòðåííåå ðàñïðåäåëåí-íîå óñèëèå N x( )� – ðèñ. 3, êîòîðîå óðàâíîâåøèâàåò ãëîáàëüíóþ îñåâóþñèëó Fz , âûçâàííóþ äàâëåíèåì è èçãèáàþùèì ìîìåíòîì. Òàêèì îáðàçîì,èìååì äâà óêàçàííûõ â ï. 1.2 óðàâíåíèÿ:

óðàâíåíèå ðàâåíñòâà îñåâûõ ñèë:

PF F N R dz x1 00

2

� �� ( ) ,� ��

(25)

ãäå F1 – ïëîùàäü “â ñâåòó” äåôîðìèðîâàííîãî ñå÷åíèÿ;óðàâíåíèå ðàâåíñòâà ìîìåíòîâ:

K k R h N R Y dz z x� ��

02

00

2

ê . (26)

Çäåñü äëÿ óäîáñòâà ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: � – åäèíè÷íîå íàïðÿæåíèå; k z –áåçðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò, õàðàêòåðèçóþùèé âåëè÷èíó âíåøíåãî íàãðó-æåíèÿ.

Ýëåìåíò îáîëî÷êè ñ âîçíèêàþùèìè âíóòðåííèìè ñèëàìè è ìîìåíòàìèäëÿ äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ ïðèâåäåí íà ðèñ. 3,à, ãäå N � è Q� –âíóòðåííèå ïðîäîëüíàÿ è ïîïåðå÷íàÿ ñèëû â ñîîòâåòñòâóþùåì íàïðàâëå-íèè; M � – ëîêàëüíûé èçãèáàþùèé ìîìåíò.

Ïðåæäå ÷åì ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ïëîñêîñòè ñå÷åíèÿ, óêà-æåì, ÷òî âåêòîð ïðîäîëüíîé ñèëû N x èìååò íåíóëåâóþ ïðîåêöèþ â ïëîñ-êîñòè ñå÷åíèÿ ïî îñè ó, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà ïî íàïðàâëåíèÿì

�t

è�n. Ïîñêîëüêó ðåçóëüòèðóþùèé âåêòîð îò ïðîäîëüíîé ñèëû N x äëÿ ýëå-

ìåíòà äëèíû ds è øèðèíû S ê ( )� (ðèñ. 3,â) â íàïðàâëåíèè îñè ó çàïèñû-âàåòñÿ êàê N dsd jx �1

�, òî åãî ïðîåêöèÿ â íàïðàâëåíèè

�n ñ ó÷åòîì (14) è (2)

ðàâíàN dsd j n N dsdx x� � � � �1 1

� �� (sin cos ), (27à)

â íàïðàâëåíèè�t ñ ó÷åòîì (12) è (2) –

N dsd j t N dsdx x� � � � �1 1

� �� (cos sin ). (27á)

Áëàãîäàðÿ êîìïîíåíòàì ñ ìíîæèòåëåì � ðàçëè÷àþòñÿ ïîñòàíîâêè çàäà÷Áðàçüå è Ñåí-Âåíàíà.



Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà (ðèñ. 3) ñó÷åòîì (15á) è (27) èìåþò âèä

�

��

� �( )(sin cos ) ;

Q B

R

N B

RN Px

1

0

1

1� � � � (28à)

Q B

R

N B

RN x

� ��

��

1

1

1

00� � � �

( )(cos sin ) ; (28á)

Q BM B

R��

��11

0�

( ). (28â)

Çäåñü ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèâåäåíû óðàâíåíèÿ: ñóììû ïðîåêöèé ñèë íà òåêó-ùèå íîðìàëè

�n, t è ñóììà ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî îñè õ, ãäå B1( )� �

� �B Y1 1( )� – ðàäèóñ êðèâèçíû êàæäîé òî÷êè ïîâåðõíîñòè â äåôîðìèðî-âàííîì ñîñòîÿíèè.

Âíóòðåííèå ñèëû è ìîìåíòû ñâÿçàíû ñ äåôîðìàöèÿìè ñ ïîìîùüþôèçè÷åñêèõ óðàâíåíèé:

N H� � �� ( ); (29à)

N Hx� �( );� �� (29á)



Ðèñ. 3. Ýëåìåíò òîðîèäàëüíîé îáîëî÷êè: à – ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ïàðàìåòðîâ; á –ïðîåêöèè ñèë è ìîìåíòîâ íà ïëîñêîñòü

� �t n ; â – íàïðàâëåíèå ñèëû N x .

a

á

â

MH

R

d

d�! �

��

0

ä, (29â)

ãäå �� – äåôîðìàöèÿ ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè â îêðóæíîì íàïðàâëåíèè;

HEh

��1 2�

; !�h 2

12; E – ìîäóëü Þíãà; � – êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà.

Èç ïåðâûõ äâóõ óðàâíåíèé (29) óäîáíî ïðåäñòàâèòü N x â âèäå

N Eh Nx� �� . (29ã)

2. Èäåÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è. Èçëîæèì íåêîòîðûå óïðîùåíèÿ, ïîçâîëÿ-þùèå ïîëó÷èòü çàìêíóòûå àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ, ñîõðàíÿþùèå âñå îñî-áåííîñòè ïîâåäåíèÿ óïðóãîãî ãèáà òðóáû ïðè íàãðóæåíèè áîëüøèì èçãè-áàþùèì ìîìåíòîì.

1. Óñëîâèå ìàëîñòè íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî �, ò.å. ïðåäïîëàãàåì, ÷òîR B0 0" . Â ÷àñòíîñòè, ýòî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü óïðîùåííóþ çàïèñüóðàâíåíèÿ (24):

� � �� SY

R

Y

B

Y

R

í

0 0 0

� �. (30)

2. Îïûò ðåøåíèÿ çàäà÷è Êàðìàíà ïîêàçûâàåò, ÷òî ñâÿçàííûå ñ îâàëè-çàöèåé (íàãðóæåíèå èçãèáàþùèì ìîìåíòîì) çíà÷åíèÿ N � èìåþò ïîðÿäîê� �k hz 2 [26, 27]. Ïîýòîìó îíè íàìíîãî ìåíüøå, ÷åì óñèëèÿ N x , êîòîðûåñîãëàñíî (26) ñîïîñòàâèìû ñ âåëè÷èíîé k hz� . Â ñëó÷àå äåéñòâèÿ âíóò-ðåííåãî äàâëåíèÿ Ð çíà÷åíèÿ N PR� � 0 . Ïîýòîìó ôèçè÷åñêîå óðàâíåíèåâçàèìîñâÿçè ìåæäó îñåâûìè óñèëèÿìè è äåôîðìàöèÿìè (29ã) áóäåò èìåòüâèä

N Eh PRx� �� 0 . (31)

3. Ïîñêîëüêó ïåðåìåùåíèå ãèáà êàê áàëêè íå ðàññìàòðèâàåòñÿ, áåçïîòåðè îáùíîñòè ïîëàãàåì, ÷òî ïåðåìåùåíèå òî÷êè Î1 ðàâíî íóëþ. Ñó÷åòîì ñèììåòðèè íàãðóæåíèÿ è äåôîðìèðîâàíèÿ îáîëî÷êè, ãèïîòåçû îìàëîñòè � è óñëîâèÿ Êàðìàíà (11) çàïèøåì îáùåå âûðàæåíèå äëÿ èñõîäíûõè èñêîìûõ êàñàòåëüíûõ è ðàäèàëüíûõ ïåðåìåùåíèé òî÷åê ñå÷åíèÿ îáîëî÷-êè:

v R C nn

n

ää�

�

#02 4 6

sin ;, , ,...

� w R nC nn

n

ää��

�

#02 4 6, , ,...

cos ;�(32à)

v R C nn

n

íí�

�

#02 4 6, , ,...

sin ;� w R nC nn

n

íí��

�

#02 4 6

cos ., , ,...

�(32á)

Îñíîâíàÿ èäåÿ ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è, êàê è çàäà÷è Êàðìàíà, çàêëþ÷à-åòñÿ â ñîñòàâëåíèè è ñîâìåñòíîì ðåøåíèè äâóõ óðàâíåíèé. Ïåðâîå óðàâíå-íèå óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü îñåâîé ñèëû N x ñ íà÷àëüíûìè è äåôîðìàöèîííû-



ìè ïåðåìåùåíèÿìè (32) ïðè íàãðóæåíèè èçãèáàþùèì ìîìåíòîì, âòîðîå –ñîñòàâëÿåòñÿ íà îñíîâå àíàëèçà óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ â ïëîñêîñòè ñå÷åíèÿãèáà.

Ðàññìîòðèì ïåðâîå óðàâíåíèå. Âûðàæåíèÿ (17) è (19) äëÿ Yê è �Y ñó÷åòîì ðàçëîæåíèé (32) ïîäñòàâëÿþòñÿ â (30), à çàòåì â (31):

N EhS PR Ehx� �� 0 sin

� � � � � � ��

EhC R

Bn n n n

n

n

ä0

02 4 62

1 1 1 1{( )sin( ) ( )sin( ) }, ,

� �,...

#�

�

��

��

� � � � ��

� � �C C

n n n nn n

n

í ä

21 1 1 1

2 4 6

{( )sin( ) ( )sin( ) }, , ,...

.#�

�

�� (33à)

Âûðàæåíèå äëÿ N x ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå ïðîñòîì âèäå, êîòîðûéñëåäóåò èç (33à):

N Eh n n n nx ( ) sin sin sin ... ,� � � � �0 1 3 53 5� � � (33á)

ãäå êîýôôèöèåíòû ni ÿâëÿþòñÿ áåçðàçìåðíûìè; ñâîáîäíûé ÷ëåí ëåãêîîïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ ðàâåíñòâà îñåâûõ ñèë (25).

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïëîùàäü ñå÷åíèÿ F1, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ êàê èíòå-ãðàë îò 0 5 1 0, R R d�, â ðåçóëüòàòå äåôîðìèðîâàíèÿ èçìåíÿåòñÿ íåçíà÷èòåëü-íî. Ýòî ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü �S , êîòîðîå õàðàêòåðèçóåò óäëèíåíèå ãèáà êàêñòåðæíÿ:

�� $ �SPR

Ehn

PR

hE

00

0

21 2

2( ) .� (34)

Îòíîøåíèå PR h0 îïðåäåëÿåò óðîâåíü íîìèíàëüíûõ îêðóæíûõ íàïðÿ-æåíèé îò âíóòðåííåãî äàâëåíèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòè íàïðÿæåíèÿ äëÿ ñòàëåéíàìíîãî ìåíüøå ìîäóëÿ Þíãà Å. Ïîýòîìó, ïîëàãàÿ â óðàâíåíèè (22) �%S 0è óìíîæàÿ åãî íà R h0

2 , ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ òåêóùåãî çíà÷åíèÿ ïàðà-

ìåòðà ãèáêîñòè �1:� � �1 0� �� , (35à)

ãäå

�1 02

1� R B h; �� R h0 . (35á)

Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà � îïðåäåëÿåò ïðèðîñò ïàðàìåòðà ãèáêîñòè ��.

Îñòàëüíûì êîýôôèöèåíòàì ni ïóòåì ñîïîñòàâëåíèÿ âûðàæåíèé (33à) è(33á) ñòàâÿòñÿ â ñîîòâåòñòâèå èñêîìûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿïåðåìåùåíèé C i2

ä , ãäå i – öåëîå ÷èñëî. Â ÷àñòíîñòè, çàïèøåì ïåðâûå äâà

âûðàæåíèÿ, êîòîðûå äëÿ óäîáñòâà óìíîæèì íà R h0 :



nR

h

C C Ñ1

0 2 0 2 23

2

3 3

2� � � ��

��

ä í ä

2; (36à)

nR

h

C C C Ñ3

0 2 0 4 0 2 4

2

5

2

5��

�

��

�

�

��

��

�

�

ä ä í í

2 2

� ��

��

�

��

�

�

��

Ñ Ñ2 4

2

5

2

ä ä

. (36á)

Çäåñü è íèæå ïîä÷åðêíóòûå ÷ëåíû ñîîòâåòñòâóþò ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåé-íîé ïîñòàíîâêå.

Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ äëÿ N x (33á) è ïåðåìåùåíèé (32) ñ ó÷åòîì (19) âóñëîâèå ãëîáàëüíîãî ðàâíîâåñèÿ (26), ïîëó÷èì âàæíîå äëÿ äàëüíåéøåãîàíàëèçà óðàâíåíèå ñâÿçè óãëîâîé äåôîðìàöèè � ñ èçãèáàþùèì ìîìåíòîì

K z . Óäåðæèâàÿ ÷ëåíû äî âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, èìååì

Mk R

Eh

R

hn

Cn

Cn

Cn

Cz� � ��

��

�

��

� 0 01

23

21

23

213

2 2

3

2

í í ä ä

2

�

�

��

�

�

��, (37)

ãäå äëÿ óäîáñòâà ââåäåíî ïîíÿòèå áåçðàçìåðíîãî ìîìåíòà MK R

EI

R

h

z

z

� 0 0 ;

I R hz �� 03 – ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ òîíêîñòåííîé òðóáû.

Èç (37) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ãåîìåòðè÷åñêè ëèíåéíîé ïîñòàíîâêå äëÿ èçíà-÷àëüíî êðóãëîãî ñå÷åíèÿ èìååì M n R h� 1 0 . Î÷åâèäíî, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêàÿíåëèíåéíîñòü íà÷èíàåò ïðîÿâëÿòüñÿ, êîãäà Ñ 2

ä ñîïîñòàâèìî ïî âåëè÷èíå ñ

åäèíèöåé.Âòîðûì óðàâíåíèåì, êîòîðîå ñâÿçûâàåò äâå îñíîâíûå ôóíêöèè v è

N x , ò.å. áåçðàçìåðíûå êîýôôèöèåíòû Ñ i2ä è ni , ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå ðàâíî-

âåñèÿ (28á), â êîòîðîì âûðàæåíèå äëÿ N � óæå îïðåäåëåíî èç (28à). Ïî-ñêîëüêó â äàííîì àíàëèçå ïðèíÿòî, ÷òî �"0, òî âòîðîå óðàâíåíèå èìååò âèä

�

��

�

��

�

��

��

R

R

Q R

RQ N

R

Bx1

0

0

1

1

1

�

��

�

��

&(sin cos )

'(

)

*+�

� � �NR

BP

Rx

0

1

1(cos sin ) ,� � ��

�� (38)

ãäå Q� îïðåäåëÿåòñÿ èç âûðàæåíèÿ (28â).Ñ ó÷åòîì (15) äëÿ R1 óðàâíåíèå (38) çàïèñûâàåòñÿ òàê:

� � � � ��

�� ä

IVä� ��

�

�3 12 1 22

102p

R

Eh

NN

xx( ) sin cos��

�

��

� �G n Ci i( , , ) ,�1 2 0 (39à)

ãäå G – êîìïîíåíòà, îòâå÷àþùàÿ ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíîé ïîñòàíîâêå,



G n Ci i( , , ) [ ( ) ( )� � � � � � � � �1 22 33 3� �� ä ä

IVä ]�

� � ��

�12 1 21

02( ) (sin cos ) [ cos� � � � � �

�

��

R

EhN

Nx

x

� � � � � � � � � �,-.

� � � � � � � � � �(sin cos )] ( )[ ( )sin cos ] ,N x 2 1 2 (39á)

p – áåçðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò äàâëåíèÿ,

pPR

Eh�

�4 1 203

3

( ).

�(40)

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî íåëèíåéíàÿ êîìïîíåíòà G ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðÿäîìïî ÷åòíûì ãàðìîíèêàì ñèíóñà:

G n C g ii i i

i

( , , ) sin ., ,

� �1 2 21 2 3

2��

# (41)

Ïðè äàëüíåéøåì àíàëèçå â (39) ïîäñòàâëÿåì âûðàæåíèÿ äëÿ � (13) èN x (33á). Ïóòåì ñîïîñòàâëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäèíàêîâûõ ôóíêöèÿõsin2i� ïîëó÷àåì äîïîëíèòåëüíî ê (36) åùå îäíó ñèñòåìó óðàâíåíèé, ñâÿçû-âàþùóþ ni ñ êîýôôèöèåíòàìè Ñ i2

ä . Â ÷àñòíîñòè, îãðàíè÷èâàÿñü çíà÷å-

íèÿìè i�1 2, , ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå äâà óðàâíåíèÿ:

6 6 31

602 2

1

01 3 2C pC

A R

hn n g

ä� � � � ��

( ) ; (42à)

600 120 51

604 4

1

03 4C pC

A R

hn g

ä� � � ��

, (42á)

ãäå êîýôôèöèåíòû C C Ñi i i2 2 2� �ä í ; âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ g 2 è

g 4 äî òðåòüåãî ïîðÿäêà ìàëîñòè èìåþò âèä

g C C C C C C C2 2 4 22

4 2 2 42324 10 2160 7 30� � � � �ä ä ä( ) ( )

� � � � �A R

hn C n C n C n C

�1

01 2 3 2 1 4 3 454 117 1485 585( ); (43à)

g C C C C C4 2 2 4 22

42108 12960 5� � � �ä ä( )

� � � �A R

hn C n C n C

�1

01 2 3 2 1 481 63 1350( ); (43á)



À – áåçðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò,

A� �� 12 21( ). (44)

Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî âàðèàíòîâ ðåøåíèÿ äàííûõ çàäà÷ â çàâèñèìîñòè

îò ïàðàìåòðîâ íàãðóæåíèÿ è ãåîìåòðèè. Çàìåòèì, ÷òî ïîðÿäîê ïðèáëèæåíèÿ

è åãî òî÷íîñòü â îñíîâíîì îïðåäåëÿþòñÿ óïðîùåíèÿìè, ïðèíèìàåìûìè ïðè

ðåøåíèè óðàâíåíèÿ (39).

3. Ðåøåíèå.

3.1. Çàäà÷à Áðàçüå. Ñóòü êëàññè÷åñêîé çàäà÷è Áðàçüå ñîñòîèò â óñòà-

íîâëåíèè ñâÿçè ìåæäó � �( )� è èçãèáàþùèì ìîìåíòîì K kz z( ).� Îñíîâ-

íûå ðàçðåøàþùèå óðàâíåíèÿ (36) è (42) ñ ó÷åòîì (43) îáðàçóþò íåëèíåéíóþ

ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòîâ Ñ i2ä

. Ñòðóêòóðà ýòèõ óðàâ-

íåíèé òàêîâà, ÷òî ðåøåíèå ìîæåò áûòü ëåãêî ïîëó÷åíî èòåðàöèîííûì ïóòåì

äëÿ ëþáîãî ïðèáëèæåíèÿ. Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìåðå ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ,

êîãäà íåèçâåñòíûìè ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû n1, n3 è Ñ 2ä. Îïûò ðåøåíèÿ

ñòàòè÷åñêîé çàäà÷è Ñåí-Âåíàíà [26] ïîêàçàë, ÷òî ïåðâîå ïðèáëèæåíèå åñòü

äîñòàòî÷íûì ïðè çíà÷åíèÿõ �2.

Ïðåíåáðåãàÿ â (36) è (42) êîýôôèöèåíòîì Ñ 4ä, ïîñëå ïîäñòàíîâêè (45) â

(42à) íåòðóäíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòà Ñ 2ä:

C

A C pCg

p A21

2 22

3 5 66

6 1 5

ä

í í

��

��

�( )

( ).

(45)

Ýòî âûðàæåíèå íå ÿâëÿåòñÿ îêîí÷àòåëüíûì, ïîñêîëüêó â íåãî âõîäèò

íåëèíåéíûé êîýôôèöèåíò g 2 (43à), êîòîðûé íå îïðåäåëåí. Êîíå÷íîå çíà÷å-

íèå êîýôôèöèåíòà Ñ 2ä

ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ñ ïîìîùüþ èòåðàöèîííîé

ïðîöåäóðû, êîãäà íà ïåðâîì øàãå ïðèíèìàåòñÿ g 2 0� , à êîýôôèöèåíòû Ñ 2ä

îïðåäåëÿþòñÿ ïî (45), n1 è n3 – ïî (36). Äàëåå ðàññ÷èòûâàåòñÿ çíà÷åíèå

êîýôôèöèåíòà g 2 ïî (43à) è óòî÷íÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû Ñ 2ä

, n1, n3 .

Îòìåòèì, ÷òî åñëè ïðåíåáðå÷ü êîýôôèöèåíòîì g 2 â (45), òî äëÿ

èçíà÷àëüíî ïðÿìîé òðóáû ñ èäåàëüíî êðóãëûì ñå÷åíèåì (B0 0 0�� ,

� �1 � � è C i2 0í , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî Ñ Ci i2 2� ä) ïîëó÷èì î÷åíü ïðîñòûå

âûðàæåíèÿ äëÿ òðåõ íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ – Ñ 2ä, n1, n3 :

CA

A2

6

12 10

ä ��

; nR

h

A

A1

0 112

12 10�

( );

�n

R

h

A

A3

0 13

12 10�

�, (46)

ãäå A – áåçðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò,

AA

p�

1. (47)



Âûðàæåíèå äëÿ áåçðàçìåðíîãî èçãèáàþùåãî ìîìåíòà ïîëó÷àåì èç (37) ââèäå

MÀ

A

A

A� �

��

�

&

'((

)

*++

�1

2

219

6 5

45

2 6 5( ). (48)

Âûðàæåíèå (48) ñîâïàäàåò ñ òàê íàçûâàåìûì ìîäèôèöèðîâàííûì ðåøå-íèåì Áðàçüå, ïîëó÷åííûì äëÿ èçíà÷àëüíî ïðÿìîé òðóáû (òàêîå ðåøåíèåïðèâåäåíî, íàïðèìåð, â [18]), çà èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî â (48) â êîýôôèöèåíòÀ âõîäèò ìíîæèòåëü 1 2� � .

Áîëåå òî÷íîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ñ äîñòà-òî÷íîé èíæåíåðíîé òî÷íîñòüþ, åñëè óïðîñòèòü âûðàæåíèå g 2 (43a). Åãîàíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî íàèáîëüøåå âëèÿíèå íà ðåøåíèå îêàçûâàåò ñëàãà-åìîå n C1 2 , êîòîðîå èìååò íàèìåíüøèé ïîðÿäîê ìàëîñòè. Ó÷èòûâàÿ â n1(36a) òîëüêî ìàêñèìàëüíûé ÷ëåí, ïîëó÷àåì

gA

C21

254��

�� . (49)

Òîãäà âûðàæåíèå äëÿ Ñ 2ä (45) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

C

A C pC

p A A2

12 2

1

3 4 6

6 1 5 9

ä

í í

��

� �

� � �

�

�

�

��

�

( )

( ). (50)

Âûðàæåíèå äëÿ èçãèáàþùåãî ìîìåíòà îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (37), èïðè �0 0� , C 2 0í � ïîëó÷èì

MA

A

A

A� �

��

�

&

'((

)

*++

�1

2

219

6 4

45

2 6 4( ). (51)

Ñîïîñòàâèì ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïî âûðàæåíèÿì (48) è (51), ñ ïðè-âåäåííûìè â ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêàõ. Â ïðåäñòàâëåííûõ íèæå ïðèìåðàõïîëîæèì, ÷òî äàâëåíèå p�0.

Íà ðèñ. 4 ïîêàçàíî èçìåíåíèå çíà÷åíèé áåçðàçìåðíîãî èçãèáàþùåãî ìî-ìåíòà â çàâèñèìîñòè îò ïðèðîñòà ïàðàìåòðà ãèáêîñòè �� 1 0 äëÿèäåàëüíî êðóãëîé ïðÿìîé òðóáû, ò.å. ïðè �0 0� . Âèäíî, ÷òî ðåçóëüòàòû, ïî-ëó÷åííûå íà îñíîâå óòî÷íåííîãî ðåøåíèÿ (51) â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè, õîðî-øî ñîãëàñóþòñÿ ñ èçâåñòíûìè äàííûìè [17]. Ìîäèôèöèðîâàííîå ðåøåíèåÁðàçüå (48) äàåò çàâûøåííîå çíà÷åíèå êðèòè÷åñêîãî èçãèáàþùåãî ìîìåíòà.

Â òàáë. 1 ïðåäñòàâëåíû çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêîãî èçãèáàþùåãî ìîìåíòàÌ êð äëÿ òðóá ñ íà÷àëüíîé êðèâèçíîé îñè. Ìåæäó äàííûìè, ïðèâåäåííûìè



â [17, 32] è ïîëó÷åííûìè ñ ïîìîùüþ óòî÷íåííîãî ðåøåíèÿ äëÿ Ñ 2ä (50),

íàáëþäàåòñÿ õîðîøåå ñîîòâåòñòâèå. Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ñ óâåëè÷å-íèåì ãèáêîñòè çíà÷åíèÿ Ì êð óìåíüøàþòñÿ.

Oöåíèì âëèÿíèå êîýôôèöèåíòà Ñ 2í íà êðèòè÷åñêèé èçãèáàþùèé ìî-

ìåíò. Ðèñ. 5 èëëþñòðèðóåò çàâèñèìîñòü íîðìèðîâàííîãî êðèòè÷åñêîãî èçãè-áàþùåãî ìîìåíòà m M M� êð êð îò Ñ 2

í ïðè �0 0� , ãäå M êð – çíà÷åíèå

êðèòè÷åñêîãî áåçðàçìåðíîãî èçãèáàþùåãî ìîìåíòà ïðè Ñ 2 0í � è p�0.

Ãðàôèê ïîëó÷åí íà îñíîâå óòî÷íåííîãî ðåøåíèÿ äëÿ Ñ 2ä (50), äëÿ êîòîðîãî

M êð�0 322, . Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ Ñ 2í ïîòåðÿ óñòîé-

÷èâîñòè ïðîèñõîäèò ïðè áîëüøèõ âåëè÷èíàõ êðèòè÷åñêîãî ìîìåíòà. Ýòî



Ò à á ë è ö à 1Çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêîãî èçãèáàþùåãî ìîìåíòà Ì êð äëÿ òðóáû

ñ íà÷àëüíîé êðèâèçíîé îñè

�0 Ì êð

Ïîëó÷åííûåðåçóëüòàòû

Ëèòåðàòóðíûé èñòî÷íèê

[32] [17]

0 0,322 – 0,321

0,1 0,282 0,281 0,285

0,2 0,247 0,254 0,254

0,5 0,167 0,191 0,190

Ðèñ. 4. Èçìåíåíèå áåçðàçìåðíîãî èçãèáàþùåãî ìîìåíòà â çàâèñèìîñòè îò êðèâèçíû òðóáûïðè �0 0� : 1 – óòî÷íåííîå ðåøåíèå (51); 2 – äàííûå [17]; 3 – ìîäèôèöèðîâàííîå ðåøåíèåÁðàçüå (48).

ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì Ñ 2í ðàñòåò ìîìåíò èíåðöèè â íàïðàâëåíèè

äåéñòâèÿ èçãèáàþùåãî ìîìåíòà, ÷òî ïîâûøàåò æåñòêîñòü ñå÷åíèÿ.Â òàáë. 2 ïðåäñòàâëåíû ðàññ÷èòàííûå íà îñíîâå óòî÷íåííîãî ðåøåíèÿ

çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêîãî èçãèáàþùåãî ìîìåíòà Ì êð äëÿ òðóá ñ íà÷àëüíîéêðèâèçíîé îñè �0 ïðè ðàçíûõ Ñ 2

í . Êàê ñëåäîâàëî îæèäàòü, ñ óâåëè÷åíèåì

íà÷àëüíîé êðèâèçíû çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêîãî ìîìåíòà óìåíüøàþòñÿ.

3.2. Àíàëèç ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè òðóáû ïðè âíåøíåì äàâëåíèè. Âîïðî-ñó çàêðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ òðóáû ïîñâÿùåíî íåäîñòàòî÷íî èññëåäîâàíèé.Â îñíîâíîì ðàññìàòðèâàþòñÿ ëèíåàðèçèðîâàííûå óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíîâíåøíåãî äàâëåíèÿ è îïðåäåëÿåòñÿ îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ (òàêíàçûâàåìûé áèôóðêàöèîííûé ïîäõîä). Ïîëó÷åííûå âûøå ðåøåíèÿ (ñì. íàïð.,óðàâíåíèÿ (46)–(48)) òàêæå èìåþò áèôóðêàöèîííûé õàðàêòåð. Èç íèõ ñëå-äóåò èçâåñòíîå ðåøåíèå Áåðòõîôà–Ãðàññà [33] î âíåøíåì äàâëåíèè, ïðè



Ò à á ë è ö à 2Çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêîãî èçãèáàþùåãî ìîìåíòà Ì êð äëÿ òðóáû

ñ íà÷àëüíîé êðèâèçíîé îñè ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ Ñ2í

�0 Ì êð ïðè Ñ2í , ðàâíîì

�0,2 �0,1 0 0,1 0,2

0 0,129 0,209 0,322 0,478 0,688

0,1 0,108 0,179 0,282 0,427 0,625

0,2 0,090 0,153 0,247 0,382 0,569

0,5 0,049 0,093 0,167 0,279 0,445

Ðèñ. 5. Ïðèâåäåííûé ìîìåíò m â çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíîé êðèâèçíû Ñ2í ïðè �0 0� .

êîòîðîì ïðîèñõîäèò ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè òðóáû, ò.å. ïðè p��1. Íåäîñòàò-êè áèôóðêàöèîííûõ ðåøåíèé èçâåñòíû: îíè äàþò íåêîòîðóþ óñëîâíóþòî÷êó, íî íå îïèñûâàþò, ÷òî â íåé ïðîèñõîäèò. Çàäà÷à Áðàçüå ïðåäóñìàòðè-âàåò îïèñàíèå ðåøåíèÿ äëÿ çàêðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ òðóáû, â òî âðåìÿ êàêáèôóðêàöèîííîå ðåøåíèå – äîêðèòè÷åñêîãî åå ïîâåäåíèÿ. Îáúåäèíåíèåòàêèõ äâóõ ïîäõîäîâ â îäíîì ðåøåíèè, êàê ýòî îáû÷íî äåëàåòñÿ [13, 34],ïî-âèäèìîìó, íåïðàâîìåðíî.

Ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ (42) ïîçâîëÿþò ïðîàíàëèçèðîâàòü çàêðèòè÷åñ-êîå ïîâåäåíèå îáîëî÷êè ïðè ïîòåðå óñòîé÷èâîñòè îò äåéñòâèÿ âíåøíåãîäàâëåíèÿ. Ïðè ýòîì ñëåäóåò ïðèíÿòü, ÷òî êîýôôèöèåíòû n1, n3 , îòâå÷à-þùèå çà óðàâíîâåøèâàíèå âíåøíåãî èçãèáàþùåãî ìîìåíòà, ðàâíû íóëþ.Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è íåäîñòàòî÷íî ïðîàíàëèçèðîâàòü

îäíî óðàâíåíèå (42à). Íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü òàêæå êîýôôèöèåíò Ñ 4ä . Äëÿ

èçíà÷àëüíî ïðÿìîé òðóáû ñ èäåàëüíî êðóãëûì ñå÷åíèåì èç (42) è (43)ïîëó÷èì

C p C C C2 2 4 231 330 9 0ä ä ä ä( ) ( ) ;� � � � (52à)

CC

p42

23

20 5ä

ä

��

( )

( ). (52á)

Òîãäà çàïèøåì

Cp p

p2

2 1 5

9 1 2ä� �

� �

�

( )( )

( ); C

p

p4

1

30 1 2ä�

�

�( ). (53)

Ñîïîñòàâèì ïîëó÷åííîå ðåøåíèå ñ ïðèâåäåííûìè â [29, 35]. Íà ðèñ. 6

ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü ðàäèàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ wä îò âíåøíåãî áåçðàç-

ìåðíîãî äàâëåíèÿ q â çîíå p/�1. Ãðàôèê ïîñòðîåí â íîðìèðîâàííûõ

êîîðäèíàòàõ w Rä0 è q p p� êð , ãäå pêð��1. Âèäíî, ÷òî ïðåäëîæåííîå

àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå óæå â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ëó÷øå ñîãëàñóåòñÿ ñ÷èñëåííûìè ðåçóëüòàòàìè [29], ÷åì ðåøåíèå [35].

3.3. Ñîâìåñòíîå íàãðóæåíèå âíåøíèì èçãèáàþùèì ìîìåíòîì è äàâëå-

íèåì. Îáúåäèíèì ïîäõîäû, îïèñàííûå â ïï. 3.1 è 3.2, äëÿ àíàëèçà çàäà÷èÁðàçüå ñ ó÷åòîì âíåøíåãî äàâëåíèÿ.

Ïîëíàÿ ïðîöåäóðà ðåøåíèÿ ïîäîáíà îïèñàííîé â ï.3.1, çà èñêëþ÷åíèåì

äîïîëíèòåëüíîãî ó÷åòà êîýôôèöèåíòà Ñ 4ä (52á), íåîáõîäèìîãî äëÿ îïèñà-

íèÿ çàêðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ïðè âíåøíåì äàâëåíèè. Ñ ó÷åòîì êîýôôè-

öèåíòà Ñ 4ä âûðàæåíèå äëÿ íåëèíåéíîãî ÷ëåíà g 2 (43à), âõîäÿùåãî â (42à),

çàïèøåì â âèäå

g C C C C CA

C2 2 4 22

4 21

2324 10 15120 54� � � �ä ä( ) .�

�� (54)



Òîãäà èç (42à) äëÿ Ñ 2ä ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:

C

A C Ñ p

p A A g2

12 2

12

3 4 6

6 1 5 9

ä

í í

��

� �

� � � �

�

�

�

��

�

( )

( ), (55à)

ãäå

gC C Ñ p C Ñ

p22 2 2 2 2

281 54 5 378

5��

� � � � �

�

ä í ä í ä( ) [ ( ) ]( ). (55á)

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèÿ Ñ 2ä (55à) ìîæíî èñïîëüçîâàòü èòåðàöèîííóþ

ïðîöåäóðó, êàê è äëÿ ðåøåíèÿ âûðàæåíèÿ (45).Îäíàêî ïðåæäå, ÷åì ïåðåéòè ê ðåøåíèþ óðàâíåíèé (55), ðàññìîòðèì,

íàñêîëüêî èçìåíèòñÿ ðåøåíèå çàäà÷è Áðàçüå ïðè îòñóòñòâèè âíóòðåííåãîäàâëåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì óòî÷íåííîãî çíà÷åíèÿ g 2 ïî óðàâíåíèþ (55).

Àíàëèç óðàâíåíèÿ (37) ñ ó÷åòîì (55) ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ èäåàëüíî êðóãëîéïðÿìîé òðóáû ïðè ðàñ÷åòå ïî (45) è (55à) çíà÷åíèÿ Ñ 2 0 322ä� , è 0,324

ñîîòâåòñòâåííî. Ðàçíèöà ìåæäó ïîëó÷åííûìè çíà÷åíèÿìè íåñóùåñòâåííà, èòà ÷àñòü âûðàæåíèÿ (55á), êîòîðàÿ îòâåòñòâåííà çà ó÷åò âíåøíåãî äàâëåíèÿ,ñëàáî âëèÿåò íà êðèòè÷åñêèé ìîìåíò â çàäà÷å Áðàçüå.

Ïîñòðîèì çàâèñèìîñòü êðèòè÷åñêîãî èçãèáàþùåãî ìîìåíòà îò äàâëåíèÿâ íîðìèðîâàííûõ êîîðäèíàòàõ m è q (ðèñ. 7). Ãðàôèê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéïðåäåëüíóþ êðèâóþ 1, õàðàêòåðèçóþùóþ êîìáèíàöèþ íàãðóæåíèÿ, ïðè-âîäÿùåãî ê ïîòåðå óñòîé÷èâîñòè. Äëÿ òî÷åê, êîòîðûå ëåæàò â ïëîñêîñòè,îãðàíè÷åííîé ýòîé êðèâîé, óðîâåíü íàãðóæåíèÿ ïî ìîìåíòó è äàâëåíèþ íå



Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòü ïåðåìåùåíèÿ òî÷åê ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ îò âíåøíåãî áåçðàçìåðíîãîäàâëåíèÿ: 1 – íàøè ðåçóëüòàòû; 2 – äàííûå [29]; 3 – äàííûå [35].

ñîîòâåòñòâóåò ïîòåðå óñòîé÷èâîñòè. Òî÷êàì íàä êðèâîé ñîîòâåòñòâóåò òàêàÿêîìáèíàöèÿ íàãðóçîê, ïðè êîòîðûõ ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè òðóáû íåèçáåæíà.

Íà ðèñ. 7 ïîêàçàíû òàêæå çàâèñèìîñòè, ïîëó÷åííûå ÷èñëåííûì ðåøå-íèåì [29] è ïî äàííûì, êîòîðûå âïåðâûå ïðèâåäåíû â [34], à çàòåì â [13],îïèñûâàåìûì òàêîé çàâèñèìîñòüþ:

m q2 1� � . (56)



Ðèñ. 7. Ïðåäåëüíûå êðèâûå ïðè ñîâìåñòíîì äåéñòâèè èçãèáàþùåãî ìîìåíòà è äàâëåíèÿ äëÿïðÿìîé òðóáû: 1 – íàøè ðåçóëüòàòû; 2 – äàííûå [29]; 3 – äàííûå [34].

Ðèñ. 8. Ïðåäåëüíûå êðèâûå ïðè ñîâìåñòíîì äåéñòâèè èçãèáàþùåãî ìîìåíòà è äàâëåíèÿ äëÿïðÿìîé òðóáû ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ Ñ2

í: 1 – Ñ2 0í � ; 2 – Ñ2 0 05í � , ; 3 – Ñ2 0 1í � , ; 4 –

Ñ2 0 05í �� , ; 5 – Ñ2 0 1í �� , .

Â îáëàñòè q/0 (âíóòðåííåå äàâëåíèå) âñå ãðàôèêè ïðàêòè÷åñêè ñîâïà-äàþò, ïîýòîìó íà ðèñ. 7 îíè ïðèâåäåíû äëÿ îáëàñòè q10. Îòìåòèì, ÷òîçàâèñèìîñòü, òîæäåñòâåííàÿ (56), ïîëó÷åíà èç ðåøåíèé, ïðåäñòàâëåííûõ âï. 3.1. Èç ðèñ. 7 âèäíî, ÷òî õàðàêòåð àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ïðèáëèæàåòñÿê ÷èñëåííîìó [29]. Îäíàêî ïðè p/�1 òî÷íîñòü ðåøåíèÿ óõóäøàåòñÿ, õîòÿ âñàìîé òî÷êå p��1 íàáëþäàåòñÿ õîðîøåå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó òî÷íûì÷èñëåííûì è íàñòîÿùèì ïðèáëèæåííûì àíàëèòè÷åñêèì ðåøåíèÿìè.

Íà ðèñ. 8 ïðèâåäåíû ãðàôèêè, ïîëó÷åííûå äëÿ ðàçíûõ çíà÷åíèé Ñ 2í .

Ïðè Ñ 2 0í 2 , íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ âíåøíåãî äàâëåíèÿ, íàáëþäà-

åòñÿ ïîäêðåïëÿþùèé ýôôåêò. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî âíåøíåå äàâëåíèå ïðèîòñóòñòâèè èçãèáàþùåãî ìîìåíòà óâåëè÷èâàåò ñóììàðíîå çíà÷åíèå Ñ 2�� Ñ Ñ2 2

í ä .

Çàêëþ÷åíèå. Ïîëó÷èë ðàçâèòèå ïðåäëîæåííûé ðàíåå àâòîðàìè àíàëè-òè÷åñêèé ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷è Ñåí-Âåíàíà äëÿ êðèâîé òðóáû è àíàëè-çèðóþòñÿ ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíûå ýôôåêòû, ñâÿçàííûå ñ ó÷åòîì óâåëè-÷åíèÿ îâàëèçàöèè ñå÷åíèÿ òðóáû ïðè äåôîðìèðîâàíèè. Âïåðâûå â àíàëèòè-÷åñêîé ïîñòàíîâêå ó÷èòûâàþòñÿ âñå âîçìîæíûå ãåîìåòðè÷åñêèå (íà÷àëüíàÿêðèâèçíà îñè è ôîðìû ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ) è ñèëîâûå (âíåøíèé èçãèáà-þùèé ìîìåíò, âíóòðåííåå è âíåøíåå äàâëåíèå) ôàêòîðû. Êðîìå òîãî, âíåø-íåå äàâëåíèå ó÷èòûâàåòñÿ ïðè îïèñàíèè çàêðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ, ÷òîïîçâîëèëî óâåëè÷èòü îáëàñòü äîêðèòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ òðóáû.

Â ðàìêàõ ïîñëåäîâàòåëüíîãî óñëîæíåíèÿ çàäà÷è óäàëîñü îïðåäåëèòüìèíèìàëüíî íåîáõîäèìûé óðîâåíü ñëîæíîñòè, ïîçâîëÿþùèé àäåêâàòíî îïè-ñàòü âñå èçâåñòíûå ÿâëåíèÿ è ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ çàäà÷åéÁðàçüå. Ýôôåêòèâíîñòü ìåòîäà ïðîèëëþñòðèðîâàíà íà ïðèìåðàõ. Ïîëó÷åíîóäîâëåòâîðèòåëüíîå ñîãëàñîâàíèå íàñòîÿùèõ äàííûõ ñ ïðèâåäåííûìè âëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêàõ.

Ð å ç þ ì å

Çàïðîïîíîâàíî àíàë³òè÷íèé ìåòîä ðîçâ’ÿçêó ãåîìåòðè÷íî íåë³í³éíî¿ çàäà÷³Áðàçüº äëÿ òîíêîñò³ííèõ òðóá ³ç ïî÷àòêîâîþ íåäîñêîíàë³ñòþ ôîðìè ïîïåðå÷-íîãî ïåðåð³çó çà ä³¿ òèñêó. Îòðèìàíî ãåîìåòðè÷í³ ð³âíÿííÿ, ùî çâ’ÿçóþòüêîìïîíåíòè ïåðåì³ùåíü ³ç äåôîðìàö³ÿìè, òà ð³âíÿííÿ ð³âíîâàãè, ÿê³ âðàõîâó-þòü çì³íó êðèâèçíè ïåðåð³çó òðóáè é ¿¿ îñ³. Íàâåäåíî ðîçâ’ÿçîê ó ïåðøîìóíàáëèæåíí³ çà áåçðîçì³ðíèì ïàðàìåòðîì ãíó÷êîñò³, òî÷í³ñòü ÿêîãî ïðî³ëþñò-ðîâàíî íà âåëèê³é ê³ëüêîñò³ ïðèêëàä³â. Äëÿ âèïàäêó ñï³ëüíî¿ ä³¿ çîâí³øíüîãîçãèíàëüíîãî ìîìåíòó é òèñêó îòðèìàíî ãðàíè÷íó êðèâó êðèòè÷íîãî çíà÷åí-íÿ ìîìåíòó â çàëåæíîñò³ â³ä âåëè÷èíè òèñêó.

1. ÏÍÀÝ Ã-7-002-86. Íîðìû ðàñ÷åòà íà ïðî÷íîñòü îáîðóäîâàíèÿ è òðóáî-ïðîâîäîâ àòîìíûõ ýíåðãåòè÷åñêèõ óñòàíîâîê. – Ì.: Ýíåðãîàòîìèçäàò,1989. – 525 ñ.

2. ASME Boiler and Pressure Vessel Code. – New York, 2004.

3. API 579. Recommended Practice Fitness-for-Service, First Edition. –American Petroleum Institute, January 2000.



4. Îðûíÿê È. Â., Áîãäàí À. Â., Áîðîäèé Ì. Â. è äð. Èñïîëüçîâàíèå

êàòåãîðèçàöèè íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèîííûõ êðèòåðèåâ ïðè îöåíêå

ïðî÷íîñòè ìàãèñòðàëüíûõ òðóáîïðîâîäîâ // Ýêîòåõíîëîãèè è ðåñóðñî-

ñáåðåæåíèå. – 2007. – ¹ 4. – Ñ. 12 – 23.

5. Karman Th. Über die Formanderung dünnwandiger Röhre, insbesondere

federnder Ausgleichröhre // Z. Ver. Ing. – 1911. – 55. – P. 1889 – 1895.

6. Beskin L. Bending of curved thin tubes // J. Appl. Mech. – 1945. – 12, No. 1.

– P. 1 – 7.

7. Clark R. A. and Reissner E. Bending of curved tubes // Adv. Appl. Mech. –

1951. – 2. – P. 93 – 122.

8. Cross N. Experiments on short-radius pipe-bends: Proc. Inst. Mech. Eng. –

1952-1953. – 1B, No. 10. – P. 465 – 479.

9. Timoshenko S. P. Bending stresses in curved tubes of rectangular cross-

section // Trans. ASME. – 1923. – 45. – P. 135 – 140.

10. Ôåîäîñüåâ Â. È. Óïðóãèå ýëåìåíòû òî÷íîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ. – Ì.:

Îáîðîíãèç, 1949. – 341 ñ.

11. Clark R., Gilroy T., and Reissner E. Stresses and deformations of toroidal

shells of elliptical cross sections // J. Appl. Mech. – 1952. – 19. – P. 37 – 48.

12. Êîñòîâåöêèé Ä. Ë. Ïðî÷íîñòü òðóáîïðîâîäíûõ ñèñòåì ýíåðãåòè÷åñêèõ

óñòàíîâîê. – Ë.: Ýíåðãèÿ, 1973. – 264 ñ.

13. Àêñåëüðàä Ý. Ë. Ãèáêèå îáîëî÷êè. – Ì.: Íàóêà, 1976. – 376 ñ.

14. Àêñåëüðàä Ý. Ë., Èëüèí Â. Ï. Ðàñ÷åò òðóáîïðîâîäîâ. – Ë.: Ìàøèíî-

ñòðîåíèå, 1972. – 240 ñ.

15. Whatham J. F. Analysis of pipe bends with symmetrical noncircular cross

sections // J. Appl. Mech. – 1987. – 54. – P. 604 – 610.

16. Brazier L. G. On the flexure of thin cylindrical shells and other thin sections

// Proc. Roy. Soc. Ser. A. – 1927. – 116, No. 773. – P. 104 – 114.

17. Kuznetsov V. V. and Levyakov S. V. Nonlinear pure bending of toroidal shells

of arbitrary cross section // Int. J. Solids Struct. – 2001. – 38. – P. 7343 –

7354.

18. Karamanos S. A. Bending instabilities of elastic tubes // Ibid. – 2002. – 39. –

P. 2059 – 2085.

19. Reissner E. On finite bending of pressurized tubes //J. Appl. Mech. – 1959. –

26. – P. 386 – 392.

20. Chwalla E. Reine Biegung schlanker, dünnwandiger Röhre mit gerader

Achse // ZAMM. – 1933. – 13. – P. 48 – 53.

21. Konovalov Yu. V. Bending of an infinite cylindrical shell // Prikl. Mat. Mekh.

– 1940. – 4. – P. 35 – 54.

22. Ïàïêîâè÷ Ï. Ô. Òðóäû ïî ñòðîèòåëüíîé ìåõàíèêå êîðàáëÿ. – Ë.: Ñóä-

ïðîìãèç, 1962.

23. Kafka P. G. and Dunn M. B. Stiffness of curved tubes with internal pressure

// J. Appl. Mech. – 1956. – 23, No. 2. – P. 247 – 254.



24. Rodabaugh E. and George H. Effect of internal pressure on flexibility andstress-intensification factors of curved pipe or welding-elbows // Trans.ASME. – 1957. – 79. – P. 939 – 948.

25. Lubis A. and Boyle J. T. The pressure reduction effect in smooth pipingelbows: revisited // Int. J. Press. Vess. Piping. – 2004. – 81, No. 2. – P. 119 –125.

26. Îðûíÿê È. Â., Ðàä÷åíêî Ñ. À. Àíàëèç äåôîðìàöèé ãèáà òðóáû íà îñíîâåñìåøàííîãî ïîäõîäà. Ñîîáù. 1. Ïðîñòðàíñòâåííûé èçãèá ïî Ñåí-Âåíà-íó // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2004. – ¹ 3. – Ñ. 23 – 51.

27. Îðûíÿê È. Â., Ðàä÷åíêî Ñ. À. Àíàëèç äåôîðìàöèé ãèáà òðóáû íà îñíîâåñìåøàííîãî ïîäõîäà. Ñîîáù. 2. Ïðîñòðàíñòâåííûé èçãèá ñ ó÷åòîìâíóòðåííåãî äàâëåíèÿ // Òàì æå. – ¹ 4. – Ñ. 46 – 59.

28. Îðûíÿê È. Â., Ðàä÷åíêî Ñ. À. Àíàëèç äåôîðìàöèé ãèáà òðóáû íà îñíîâåñìåøàííîãî ïîäõîäà. Ñîîáù. 3. Ðàñ÷åò ïåðåìåùåíèé îñè ãèáà ìåòîäîìíà÷àëüíûõ ïàðàìåòðîâ // Òàì æå. – ¹ 5. – Ñ. 23 – 35.

29. Îðèíÿê ²., Áîãäàí À. ×èñëîâà ïðîöåäóðà ðîçðàõóíêó ãåîìåòðè÷íî íå-ë³í³éíî¿ çàäà÷³ Ñåí-Âåíàíà äëÿ ïðóæíî¿ çàìêíóòî¿ îáîëîíêè ç êðóãîâîþâ³ññþ // Ìàøèíîçíàâñòâî. – 2006. – ¹ 7. – Ñ. 23 – 32.

30. Guarracino F. On the analysis of cylindrical tubes under flexure: theoreticalformulations, experimental data and finite element analysis // Thin-WalledStruct. – 2003. – 41. – P. 127 – 147.

31. Orynyak I. V. and Radchenko S. A. Analytical and numerical solution for aelastic pipe bend at in-plane bending with consideration for the end effect //Int. J. Solids Struct. – 2007. – 44. – P. 1488 – 1510.

32. Boyle J. T. The finite bending of curved tubes // Ibid. – 1981. – 17. – P. 515– 529.

33. Ãðèãîëþê Ý. È., Êàáàíîâ Â. Â. Óñòîé÷èâîñòü îáîëî÷åê. – Ì.: Íàóêà,1978. – 360 ñ.

34. Wood J. D. The flexure of a uniformly pressurized, circular, cylindrical shell// Trans. ASME. – 1958. – 25. – P. 453 – 458.

35. Êèðèàêèäåñ Ê. Ï., Áýáêîê ×. Ä. ßâëåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âìÿòèí âòðóáîïðîâîäàõ. Ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè è âûïó÷èâàíèå êîíñòðóêöèé: òåî-ðèÿ è ïðàêòèêà / Ïîä ðåä. Äæ. Òîìïñîíà è Äæ. Õàíòà: Ïåð. ñ àíãë. ïîäðåä Ý. È. Ãðèãîëþêà. – Ì.: Íàóêà, 1991. – 424 ñ.




ÓÄÊ 539.4:620.17:620.191.33

Åìï³ðè÷íèé ðîçðàõóíîê øâèäêîñò³ ðîñòó âòîìíî¿ ìàêðîòð³ùèíè

â óìîâàõ ïðóæíî-ïëàñòè÷íîãî ñòàíó ìàòåð³àëó ó ¿¿ â³ñòð³ çà

øèðîêîãî ä³àïàçîíó ä³¿ ð³çíèõ ÷èííèê³â

². Ñ. Ï³íÿê

²íñòèòóò ïðîáëåì ì³öíîñò³ ³ì. Ã. Ñ. Ïèñàðåíêà ÍÀÍ Óêðà¿íè, Êè¿â, Óêðà¿íà

Íà îñíîâ³ ðàí³øå îòðèìàíèõ àâòîðîì åêñïåðèìåíòàëüíèõ äàíèõ åìï³ðè÷íî îïèñàíî øâèä-

ê³ñòü ðîñòó êîðîòêî¿ ³ äîâãî¿ òð³ùèí (ìàêðîòð³ùèíà) çà ïëèííîñò³ ïðîöåñó ðóéíóâàííÿ â

÷àñ³ ç óðàõóâàííÿì âïëèâó íà íüîãî â øèðîêîìó ä³ïàçîí³ ä³¿ ð³çíèõ ÷èííèê³â òà ëîêàëüíîãî

îïîðó ìàòåð³àëó.

Êëþ÷îâ³ ñëîâà: øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ âòîìíî¿ ìàêðîòð³ùèíè, çàëèøêîâ³

ñòèñêàëüí³ íàïðóæåííÿ íà áåðåãàõ ïîáëèçó â³ñòðÿ òð³ùèíè.

Ï î ç í à ÷ å í í ÿ

Õ , Õ * – ÷èííèêè, ùî ä³þòü çà íàÿâíîñò³ àáî â³äñóòíîñò³

ÿâèùà çàêðèòòÿ òð³ùèíè (ÇÒ, â³ñòðÿ òð³ùèíè)

�K , �K X – ïîòî÷íèé íîì³íàëüíèé ðîçìàõ êîåô³ö³ºíòà

³íòåíñèâíîñò³ íàïðóæåíü (Ê²Í) ïðè ä³¿ îäíîãî òà

ð³çíèõ ÷èííèê³â

�Kth eff, , �Kth, �Kth X, – ïîðîãîâèé åôåêòèâíèé ³ ïîðîãîâèé ðîçìàõè Ê²Í

ïðè ä³¿ îäíîãî òà ð³çíèõ ÷èííèê³â

�K fc , �K fc X, – êðèòè÷íèé ðîçìàõ Ê²Í ïðè ä³¿ îäíîãî òà ð³çíèõ

÷èííèê³â

�Keff , ,I II – åôåêòèâíèé ðîçìàõ Ê²Í íà ïåðø³é òà äðóã³é ä³ëÿíêàõ

ê³íåòè÷íî¿ ä³àãðàìè âòîìíîãî ðóéíóâàííÿ (ÊÄÂÐ)

�Keff ,1 2� , �K X1 2� , , �K X2 3� , – åôåêòèâíèé ðîçìàõ ³ ðîçìàõè Ê²Í, ùî â³äïîâ³äàþòü

ïî÷àòêó òà ê³íöþ äðóãî¿ ä³ëÿíêè ÊÄÂÐ â åôåêòèâíèõ

³ íîì³íàëüíèõ êîîðäèíàòàõ ïðè ä³¿ ð³çíèõ ÷èííèê³â

�K fcl ,0, �K fcl , �K fcl X, – êðèòè÷íèé åôåêòèâíèé ðîçìàõ Ê²Í çà íóëüîâî¿

àñèìåòð³¿ öèêëó íàâàíòàæåííÿ òà ä³¿ îäíîãî ³

ð³çíèõ ÷èííèê³â

C1, n1, C X2 , n2 – åìï³ðè÷í³ ïàðàìåòðè êîíñòðóêö³éíîãî ìàòåð³àëó

çà åôåêòèâíèõ ³ íîì³íàëüíèõ ðîçìàõ³â Ê²Í

( ) ,da dN XII – øâèäê³ñòü ðîñòó òð³ùèíè íà ñåðåäí³é ä³ëÿíö³ ÊÄÂÐ

â øèðîêîìó ä³àïàçîí³ ä³¿ ÷èííèê³â Õ

( )dc dN X , ( )da dN X , ( , )dc a dN X – øâèäêîñò³ ïîøèðåííÿ êîðîòêî¿ ³ äîâãî¿ ìàêðîòð³ùèíè

â øèðîêîìó ä³àïàçîí³ ä³¿ ÷èííèê³â Õ

q1,I , q2,I , q2,III – íàòóðàëüí³ ÷èñëà ñòåïåíåâî¿ ôóíêö³¿ â çì³ùåí³é

ñèñòåì³ êîîðäèíàò (ïîêàçíèêè ñòåïåí³)

cemb sur, , a äîâæèíà êîðîòêî¿ (âíóòð³øíÿ, ïîâåðõíåâà) òà äîâãî¿

íàñêð³çíî¿ òð³ùèí

© ². Ñ. Ï²ÍßÊ, 2008


Âñòóï. Â³äîìî áëèçüêî 100 ôîðìóë äëÿ àíàë³òè÷íîãî òà åìï³ðè÷íîãî

ðîçðàõóíêó øâèäêîñò³ ïîøèðåííÿ äîâãî¿ íàñêð³çíî¿ òð³ùèíè âòîìè â êîíñò-

ðóêö³éíèõ ìàòåð³àëàõ [1, 2]. Îäíàê ¿õ çàñòîñóâàííÿ íå äîçâîëÿº äîñòîâ³ðíî

îïèñàòè ê³íåòèêó ðîñòó äîâãî¿ òð³ùèíè (êîðîòêà âçàãàë³ íå ðîçãëÿäàºòüñÿ) íà

âñüîìó ³íòåðâàë³ ÊÄÂÐ çà ïëèííîñò³ ÷àñó ç óðàõóâàííÿì âïëèâó ÿê îäíîãî,

òàê ³ ð³çíèõ ÷èííèê³â Õ ó øèðîêîìó ä³àïàçîí³ ¿õ ä³¿ [3, 4] òà ëîêàëüíîãî

îïîðó ìàòåð³àëó [5–8].

Â³äîìî, ùî ê³íåòè÷íà ä³àãðàìà âòîìíîãî ðóéíóâàííÿ ïî îñ³ àáñöèñ

îáìåæåíà çíèçó ïîðîãîâèì ðîçìàõîì Ê²Í �K th X, , à çâåðõó – êðèòè÷íèì

çíà÷åííÿì ðîçìàõó Ê²Í �K fc X, . Ñêëàäîâèìè ÊÄÂÐ ïî îñ³ îðäèíàò º òðè

ä³ëÿíêè, à ñàìå: äâ³ êðèâîë³í³éí³ (çà íèçüêèõ da dN � �10 8 ì/öèêë òà

âèñîêèõ da dN � �10 6 ì/öèêë øâèäêîñòåé ðîñòó òð³ùèíè) ³ ñåðåäíÿ àïðîêñè-

ìîâàíà ïðÿìîë³í³éíà (ä³àïàçîí ñåðåäí³õ 10 8� ì/öèêë � � �da dN 10 6 ì/öèêë

øâèäêîñòåé).

Ê³íåòèêó ðîñòó äîâãî¿ âòîìíî¿ òð³ùèíè íà ñåðåäí³é ä³ëÿíö³ ÊÄÂÐ â

øèðîêîìó ä³àïàçîí³ ä³¿ ÷èííèê³â Õ îïèñàíî ðàí³øå [9, 10]:

da

dN

C K

KK K

X

X

n

fcl X

n n X X

�

�

��

II

ïðè, ,

,1

1 2

2

2 1

�

�� K X2 3� , . (1)

Ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ïàðàìåòðàìè Ñ1 ³ Ñ 2 ìàº íàñòóïíèé âèãëÿä:

CC

KX

fcl X

n n21

2 1,

,

, ��

(2)

à çàëåæí³ñòü ì³æ åôåêòèâíèì òà íîì³íàëüíèì ðîçìàõàìè Ê²Í çàïèñóºòüñÿ

òàê:

��

�� K

K

KK K Keff

X

n

fcl X

n nn

X X fcl X,

,

, ,II ïðè � ��

2

2 11 1 2 . (3)

Ïðîöåñ ðóéíóâàííÿ ìàòåð³àëó åëåìåíòà óìîâíî ìîæíà ðîçä³ëèòè íà òðè

åòàïè (íàíî-, ì³êðî- òà ìàêðîð³âí³), ³ ê³íåòèêà ïîøèðåííÿ äîâãî¿ íàñêð³çíî¿

òð³ùèíè âòîìè [7] åìï³ðè÷íî îïèñóºòüñÿ (âðàõîâóþòüñÿ çàêîíîì³ðíîñò³

ðîñòó òð³ùèíè ³ çì³íè ÊÄÂÐ â³ä âïëèâó ð³çíèõ ÷èííèê³â òà ðîçðîáëåí³

ï³äõîäè [3–10]) çà ïëèííîñò³ ÷àñó â øèðîêîìó ä³àïàçîí³ ä³¿ ð³çíèõ ÷èííèê³â.

Ïðè öüîìó ïðèéíÿòî, ùî ìàêñèìàëüíèé ðîçì³ð íàíîòð³ùèíè º ìåíøèì çà

âåëè÷èíó Ñ � �10 6 ì [11], à ì³êðîòð³ùèíè – çà ðîçì³ð çåðíà àáî ôàçó ïîë³-

êðèñòàë³÷íîãî ìàòåð³àëó. Ïîïðàâêà íà ë³í³éíó ìåõàí³êó ðóéíóâàííÿ [8] â³ä-

ïîâ³äàº ô³çè÷íî ìàë³é (ô³çè÷íî êîðîòêà) òð³ùèí³ [12]. Êîðîòêà òð³ùèíà, ùî

ïðîðîñòàº ç ïîâåðõí³ çðàçêà (åëåìåíòà) ÿê ïî ìàë³é À (ó ãëèáèíó çðàçêà), òàê

³ âåëèê³é Â (ïîïåðåê çðàçêà) îñÿõ åë³ïñà [8, 13], äîñë³äæóºòüñÿ ó âèãëÿä³

ïëàñòèíè [14, 15] çã³äíî ç ìåòîäèêàìè [16–18] àáî îáîëîíêè (çðàçîê íà äâî-

Åìï³ðè÷íèé ðîçðàõóíîê øâèäêîñò³ ðîñòó âòîìíî¿ ìàêðîòð³ùèíè ...


â³ñíå íàâàíòàæåííÿ). Ïîâåðõíåâà êîðîòêà òð³ùèíà ïî âåëèê³é îñ³ åë³ïñà òà

äîâãà íàñêð³çíà ðàçîì ñòàíîâëÿòü ìàêðîòð³ùèíó â åëåìåíò³. Ïîâåðõíåâà

êîðîòêà òð³ùèíà ïî ìàë³é îñ³ åë³ïñà çàëèøàºòüñÿ áåç çì³í.

Ð³ñò òð³ùèíè íà ëîêàëüíîìó ð³âí³ ñóïðîâîäæóºòüñÿ íàÿâí³ñòþ [5, 6] ÷è

â³äñóòí³ñòþ ó ¿¿ â³ñòð³ ïëàñòè÷íî¿ çîíè ³ç çàëèøêîâèìè ñòèñêàëüíèìè íàïðó-

æåííÿìè. Â³äñóòí³ñòü ïëàñòè÷íî¿ çîíè õàðàêòåðèçóº ïðóæíèé ñòàí ìàòåð³àëó

ó â³ñòð³ òð³ùèíè (êðèõêå ðóéíóâàííÿ), â òîé ÷àñ ÿê íàÿâí³ñòü ïëàñòè÷íî¿

çîíè, ùî îáìåæåíà ë³í³éíîþ ìåõàí³êîþ ðóéíóâàííÿ, – ïðóæíî-ïëàñòè÷íèé

ñòàí ìàòåð³àëó (êâàç³êðèõêå ðóéíóâàííÿ). Ïîøèðåííÿ çîíè çà ïðèéíÿòå

îáìåæåííÿ, à ïîò³ì íà âåñü íåòòî-ïåðåð³ç çóìîâëþº ïëàñòè÷íèé ñòàí ìàòå-

ð³àëó (â’ÿçêå ðóéíóâàííÿ).

Ó äàí³é ðîáîò³ íà îñíîâ³ ðàí³øå âèñëîâëåíèõ òëóìà÷åíü òà åêñïåðè-

ìåíòàëüíèõ ðåçóëüòàò³â àâòîðà ç óðàõóâàííÿì âèÿâëåíèõ çàêîíîì³ðíîñòåé

ïîøèðåííÿ òð³ùèíè, çì³íè ÊÄÂÐ [3–10] åìï³ðè÷íî îïèñàíî øâèäê³ñòü

ðîñòó êîðîòêî¿ (ïî âåëèê³é îñ³ åë³ïñà) òà äîâãî¿ íàñêð³çíî¿ òð³ùèíè (ìàêðî-

òð³ùèíè) çà ïëèííîñò³ ïðîöåñó ðóéíóâàííÿ â ÷àñ³ ç óðàõóâàííÿì âïëèâó íà

íüîãî â øèðîêîìó ä³aïàçîí³ ä³¿ ð³çíèõ ÷èííèê³â òà ëîêàëüíîãî îïîðó ìàòå-

ð³àëó.

Øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ ìàêðîòð³ùèíè (êîðîòêà ³ äîâãà). Îòðèìàí³

ðàí³øå [3–10] äàí³ âêàçóþòü íà òå, ùî ïîøèðåííÿ äîâãî¿ âòîìíî¿ òð³ùèíè â

êîíñòðóêö³éíîìó ìàòåð³àë³ ïðîò³êàº çà íàÿâíîñò³ (÷èííèêè Õ ) àáî â³äñóò-

íîñò³ (÷èííèêè Õ *) ÿâèùà çìèêàííÿ–ðîçìèêàííÿ ¿¿ â³ñòðÿ (â³äïîâ³äíî çà

íàÿâíîñò³ àáî â³äñóòíîñò³ çàëèøêîâèõ ñòèñêàëüíèõ íàïðóæåíü íà áåðåãàõ

ïîáëèçó â³ñòðÿ òð³ùèíè [5–8]).

Ïîâíèé îáñÿã ïîçíà÷åíü ó ôîðìóëàõ äëÿ ðîçðàõóíê³â øâèäêîñò³ ðîñòó

ìàêðîòð³ùèíè, ïîêàçíèê³â ñòåïåí³, çâ’ÿçêó ì³æ åôåêòèâíèì �K eff ³ íîì³-

íàëüíèì �K ðîçìàõàì Ê²Í òà âèçíà÷åííÿ äîâãîâ³÷íîñò³ êîíñòðóêö³éíîãî

åëåìåíòà ïðèâåäåíî â ðîáîòàõ [3, 6, 7].

Øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ ìàêðîòð³ùèíè ( , )dc da dN X (êîðîòêà

( ),

dc dN Xemb sur

òà äîâãà ( )da dN X , ¿õ ê³íåòèêó ðîñòó íàâåäåíî â [8]) ç

óðàõóâàííÿì ó øèðîêîìó ä³àïàçîí³ ä³¿ ÷èííèê³â Õ ó ÷àñ³ îïèñóºòüñÿ àíàëî-

ã³÷íî [7]:

( , )dc da dN X

�

� �

�

C K K

K

K K

th X fc Xn

fcl X

n n

th X fc X

122

2 1

( )

(

, ,/

,

, ,

� �

�

� � �K

K K K

Xemb sur q

th Xemb sur

Xemb sur

th X

,

,, ,

,

) ,,2 I

ÿêùî � � �� ;

( ) ,

;

(

, ,

, ,

,� �

� �

�

�

� � �

� � �

K K K

K K K

th X fc X Xq

th X X X

2

1 2

I

ÿêùî

� � �

� � �

K K K

K K K

X th X fc Xq

X X fc X

�

� �

�

�

�

�

, ,

, ,

) ,

;

,2

2 3

III

ÿêùî

��

�

��

� ��

C K

KK K K

X

n

fcl X

n n X X1

1 2 2

2

2 1

�

��

,

,, ÿêùî 3, X

�

�

��

�

��

(4)

². Ñ. Ï³íÿê


òà ä³¿ ÷èííèê³â Õ * â ÷àñ³:

( , ) *dc da dNX

�

� �

C K K

K K K

th X fc X

n

th X fc X X

emb s

222( )

(

, ,

/

, ,

,

* *

* * *

� �

� � � ur q

th X

emb sur

X

emb sur

th XK K K

) ,

;

(

,

* * *,

, ,

,

2 I

ÿêùî � � �

�

� �

� K K K

K K K

th X fc X X

q

th X X X

, ,

, ,

* * *,

* * *

) ,

;

� �

� � �

�

� ��

2

1 2

I

ÿêùî

� �

� ��

( ) ,* * *,

* *

, ,

,

� � �

� � �

K K K

K K K

X th X fc X

q

X X f

2

2 3

III

ÿêùîc X

X

n

X XC K K K K

,

,

*

* * *

;

) ,

�

�

��

�

��

� ��2 1 2 2

2�� ÿêùî�

�

�

��

�

��

3, * .X

(5)

Ïîêàçíèêè ñòåïåí³ q1, ,I q2,I òà åôåêòèâíèé �K eff ,I ðîçìàõ Ê²Í íà

ïåðø³é, à q2,III íà òðåò³é ä³ëÿíêàõ ÊÄÂÐ çà êîåô³ö³ºíòà ïðîïîðö³îíàëüíîñò³

À 1 â òî÷êàõ �K eff ,1 2� , �K X1 2� , , �K X2 3� , , �K eff ³ ïîð³âíÿííÿ øâèäêîñ-

òåé ðîñòó âòîìíî¿ ìàêðîòð³ùèíè çà íàÿâíîñò³ ¿¿ çàêðèòòÿ âèçíà÷àþòüñÿ çã³ä-

íî ç [7]:

q

Cn

K K Keff fcl

n

eff

n

1

11

1 2 0

2

1 221

,

, ,

/

,lg lg lg(

I � � �� 1 2

1 2 01 2

1 2

/

, ,/

,

)

lg[( ) ];

� � �K K Keff fcl eff� ��(6)

qC n n K K Kfcl X th X fc X

n

2

1 2 122

,

, , ,/

lg ( ) lg lg[( )

I � � � �� K

K K K

X

n

th X fc X X

1 2

1 21 2

2�

��

,

, ,/

,

]

lg[( ) ];

� � �(7)

qC n n K K Kfcl X X

n

th X

2

1 2 1 2 32

,

, , ,lg ( ) lg lg[ (

III � � � �� K

K K K

fc Xn

X th X fc X

,/

, , ,/

) ]

lg[ ( ) ].

2 2

2 31 2� � ��

(8)

Çâ’ÿçîê ì³æ åôåêòèâíèì �K eff òà íîì³íàëüíèì �K ðîçìàõîì Ê²Í íà

ïåðø³é ä³ëÿíö³ ÊÄÂÐ ìàº òàêèé âèãëÿä:

� � � � � �K K K K Keff eff fcl th X fc X, , ,/

, ,/( ) [( )I � ��1 2 0

1 2 1 2 K Xq

] ,2 I ��

��

� ��C K KK K

Keff fcl

n th X fc Xn

fcl

1 1 2 02

2

1

2

( )( )

, ,/ , ,

/

,

� ��

� X

n n

q

2 1

11

�

�

�

��

�

�

��

�

��

��

/ ,I

ïðè � � �K K Kth X X X, ,� � �1 2 .

(9)



(Ó ðîáîò³ [7] ó ôîðìóë³ (7) äîïóùåíî ïîìèëêó. Çàì³ñòü ïîêàçíèê³â ñòåïåí³

q1 , q2 ñë³ä ÷èòàòè q1, ,I q2,I .)

Ïîêàçíèêè ñòåïåí³ q2,I ³ q2,III íà ïåðø³é òà òðåò³é ä³ëÿíêàõ ÊÄÂÐ çà

êîåô³ö³ºíòà ïðîïîðö³îíàëüíîñò³ À 1 â òî÷êàõ �K X1 2� , , �K X2 3� , ³ ïîð³â-

íÿííÿ øâèäêîñòåé ðîñòó âòîìíî¿ ìàêðîòð³ùèíè çà â³äñóòíîñò³ ¿¿ çàêðèòòÿ

(÷èííèêè Õ *) âèçíà÷àþòüñÿ àíàëîã³÷íî [7]:

q

C K K Kth X fc X

n

X

n

2

22

1 22 2

,

, ,

/

,*

* * *lg lg[( ) ]

lg[(I

� ��

� � �

� � �K K Kth X fc X X, ,

/

,* * *) ];

1 2

1 2�

�

(10)

q

C K K KX th X fc X

n

2

2 2 3

22

,

, , ,

/

*

* * *lg lg[ ( ) ]

lg[III

� ��

� � �

�K K KX th X fc X2 3

1 2

��

, , ,

/* * *( ) ]

.� �

(11)

Âåðõíÿ ìåæà ïîøèðåííÿ ìàêðîòð³ùèíè çà íàÿâíîñò³ ¿¿ çàêðèòòÿ âèçíà-

÷àºòüñÿ òàê:

�K n nC

Cfcl XX

,,

. �2 11

2(12)


². Ñ. Ï³íÿê

a

á

Çàëåæí³ñòü øâèäêîñò³ ðîñòó âòîìíî¿ òð³ùèíè dc da dN, â³ä ðîçìàõó Ê²Í �K (1, 3, 5, 9, 10),

�Keff (2, 4, 11) äëÿ ñòàëåé 30Ë-1 (à) ³ D9H (á) çà ð³çíèõ êîåô³ö³ºíò³â àñèìåòð³¿ öèêëó: 1, 2 –

R 0 1, ; 3, 4 – R 0 6, ; 5 – R 0 7, (äëÿ ðèñóíêà,á R 0 65, ); 9 – R 0 75, ; 10, 11 – R �1 0, â

óìîâàõ ê³ìíàòíî¿ òåìïåðàòóðè (äëÿ ðèñóíêà,á: 10, 11 – R 0 1, ïðè Ò 213 Ê); 6 – ìåæ³

çàêðèòòÿ òð³ùèíè (âåðõíÿ ìåæà �K fcl X, ëîêàëüíîãî êðèòåð³þ ðîñòó äîâãî¿ âòîìíî¿ òð³ùè-

íè); 7 – ãðàíèö³ äðóãî¿ ä³ëÿíêè ÊÄÂÐ çà ð³çíèõ àñèìåòð³é; 8 – åìï³ðè÷í³ çàëåæíîñò³

dc da dN f K, ( ) � â³äïîâ³äíî ïðè R 0 1, ³ 0,6 (äëÿ ðèñóíêà,à) òà çà R 0 1, (T 213 Ê) ³ 0,75

(äëÿ ðèñóíêà,á).

Íà ðèñóíêó ïðèâåäåíî åêñïåðèìåíòàëüí³ é åìï³ðè÷í³ ÊÄÂÐ ñòàëåé

30Ë-1 òà D9H çà àñèìåòð³é öèêëó R �1 0 75... , , òåìïåðàòóð Ò 293 ³ 213 Ê

òà ÷àñòîòè íàâàíòàæåííÿ f 15 Ãö. Åìï³ðè÷í³ çàëåæíîñò³ dc da dN, f K( )� íàíåñåíî ñóö³ëüíèìè ë³í³ÿìè äëÿ ìàêðîòð³ùèíè (ðèñóíîê,à) òà

äîâãî¿ íàñêð³çíî¿ âòîìíî¿ òð³ùèíè (ðèñóíîê,á). Çà íàÿâíîñò³ ëîêàëüíèõ

àíîìàë³é íà íîì³íàëüíèõ ÊÄÂÐ (âïàäèíà) ðîçðàõóíîê øâèäêîñò³ ðîñòó

âòîìíî¿ òð³ùèíè ïîòð³áíî ïðîâîäèòè ïî ÊÄÂÐ, ùî â³äîáðàæàº óìîâè ðîáîòè

êîíñòðóêö³éíîãî ìàòåð³àëó, äëÿ ÿêèõ â³í ñòâîðåíèé (äëÿ ñòàë³ D9H – öå

íèçüê³ êë³ìàòè÷í³ òåìïåðàòóðè, ðèñóíîê,á).

Åìï³ðè÷í³ ôîðìóëè, âèâåäåí³ íà îñíîâ³ îòðèìàíèõ ðàí³øå àâòîðîì

åêñïåðèìåíòàëüíèõ äàíèõ, â³äîáðàæåí³ ó âèãëÿä³ ÊÄÂÐ çà ð³çíèõ àñèìåòð³é

öèêëó íàâàíòàæåííÿ [19], íèçüêèõ [6] ³ ï³äâèùåíèõ òåìïåðàòóð [20], àíàë³çó

çì³íè çàêîíîì³ðíîñòåé ÊÄÂÐ [4] òà âåðõíüî¿ ìåæ³ �K fcl X, ëîêàëüíîãî

êðèòåð³þ ðîñòó äîâãî¿ âòîìíî¿ òð³ùèíè (� � �K K Kfcl th X eff fcl X, , ,� � ) â

äâîõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò: ³ñíóþ÷³é òà çì³ùåí³é [3].

Îñê³ëüêè åìï³ðè÷íèé îïèñ øâèäêîñò³ ïîøèðåííÿ âòîìíî¿ òð³ùèíè ïðî-

âîäèâñÿ ç ïîçèö³¿ àíàë³çó çì³ùåííÿ âåðõíüî¿ ìåæ³ �K fcl X, ëîêàëüíîãî

êðèòåð³þ, ÿêà íå âèçíà÷àëàñÿ í³ íàøèìè, í³ çàðóá³æíèìè àâòîðàìè, ïîð³â-

íÿííÿ åêñïåðèìåíòàëüíèõ òà åìï³ðè÷íèõ ÊÄÂÐ âèêîíàíî ëèøå ç óðàõó-

âàííÿì âëàñíîãî åêñïåðèìåíòó.

Âèñíîâîê. Íàâåäåíî ðîçðàõóíîê øâèäêîñò³ ðîñòó êîðîòêî¿ òà äîâãî¿

íàñêð³çíî¿ òð³ùèíè çà ïëèííîñò³ ïðîöåñó ðóéíóâàííÿ â ÷àñ³ ç óðàõóâàííÿì

âïëèâó íà íüîãî â øèðîêîìó ä³àïàçîí³ ä³¿ ð³çíèõ ÷èííèê³â.

Ð å ç þ ì å

Íà îñíîâå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ àâòîðà àíàëèòè÷åñêè îïèñàíî ñêî-

ðîñòü ðîñòà êîðîòêîé è äëèííîé òðåùèí (ìàêðîòðåùèíà) â òå÷åíèå âðåìåíè

ïðîöåññà ðàçðóøåíèÿ ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ íà íåãî â øèðîêîì äèàïàçîíå

äåéñòâèÿ ðàçëè÷íûõ ôàêòîðîâ.

1. Tot L. and Krasovsky A. J. Material characterization for the reliability

assessment of cyclically loaded engineering structures // Reliability

Assessment of Cyclically Loaded Engineering Structures / R. A. Smith (Ed.).

– London: Kluwer Academic Publishers. – 1997. – Vol. 39. – P. 225 – 272.

2. ßðåìà Ñ. ß. Ìåòîäîëîãèÿ îïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ñîïðîòèâëåíèÿ

ðàçâèòèþ òðåùèí (òðåùèíîñòîéêîñòè) ìàòåðèàëîâ ïðè öèêëè÷åñêîì

íàãðóæåíèè // Ôèç.-õèì. ìåõàíèêà ìàòåðèàëîâ. – 1981. – ¹ 4. – Ñ. 100 –

110.

3. Ïèíÿê È. Ñ. Àíàëèòè÷åñêîå îïèñàíèå ñêîðîñòè ðîñòà óñòàëîñòíîé òðå-

ùèíû â ìåòàëëàõ ïðè ðàçëè÷íûõ àñèììåòðèÿõ öèêëà íàãðóæåíèÿ //

Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2001. – ¹ 5. – Ñ. 111 – 119.

4. Êðàñîâñêèé À. ß., Ïèíÿê È. Ñ. Àíàëèòè÷åñêîå îïèñàíèå ñêîðîñòè ðîñòà

óñòàëîñòíîé ìàêðîòðåùèíû â ìåòàëëàõ ïðè ðàçëè÷íûõ óñëîâèÿõ èõ

ýêñïëóàòàöèè // Ïðàö³ IV Ì³æíàð. ñèìï. ç òðèáîôàòèêè (ISTF 4). –

Òåðíîï³ëü, 2002. – Ò.1. – Ñ. 284 – 289.



5. Ïèíÿê È. Ñ. Ìèêðî- è ìàêðîñêîðîñòü ðîñòà óñòàëîñòíîé òðåùèíû â

ñòàëÿõ è ñïëàâàõ ïîä âëèÿíèåì çàêðûòèÿ òðåùèíû // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè.

– 2002. – ¹ 1. – Ñ. 88 – 101.

6. Ïèíÿê È. Ñ. Âÿçêîõðóïêèé ïåðåõîä â õëàäíîëîìêèõ ìåòàëëàõ ïðè

ìíîãîöèêëîâîì íàãðóæåíèè // Òàì æå. – ¹ 5. – Ñ. 53 – 69.

7. Ïèíÿê È. Ñ. Ê îöåíêå êèíåòèêè óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî ðîñòà ñêâîçíîé

óñòàëîñòíîé ìàêðîòðåùèíû â ìåòàëëàõ ïðè ýêñòðåìàëüíûõ è åñòåñò-

âåííûõ óñëîâèÿõ ýêñïëóàòàöèè // Òàì æå. – 2004. – ¹ 2. – Ñ. 130 – 143.

8. Ï³íÿê ². Ñ. Îö³íêà ñòàíó åëåìåíòà ç òð³ùèíîþ íà îñíîâ³ äâîõïàðàìåòðè÷-

íîãî ï³äõîäó äî éîãî ðîçðàõóíêó íà ì³öí³ñòü â óìîâàõ ïðóæíî-ïëàñòè÷-

íîãî ðóéíóâàííÿ // Ïðàö³ III Ì³æíàð. êîíô. “Ìåõàí³êà ðóéíóâàííÿ ìàòå-

ð³àë³â ³ ì³öí³ñòü êîíñòðóêö³é”. – Ëüâ³â: Ô³ç.-ìåõ. ³í-ò ³ì. Ã. Â. Êàðïåíêà

ÍÀÍ Óêðà¿íè, 2004. – Ñ. 159 – 165.

9. Ïèíÿê È. Ñ. Î äîñòîâåðíîì óðàâíåíèè âòîðîãî ó÷àñòêà êèíåòè÷åñêîé

äèàãðàììû óñòàëîñòíîãî ðàçðóøåíèÿ // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 1999. – ¹ 3.

– Ñ. 83 – 87.

10. Ï³íÿê ². Ñ. Ð³âíÿííÿ äðóãî¿ ä³ëÿíêè ê³íåòè÷íî¿ ä³àãðàìè âòîìíîãî

ðóéíóâàííÿ çà ð³çíèõ äîäàòí³õ àñèìåòð³é öèêëó íàâàíòàæåííÿ // Òàì æå.

– 2000. – ¹ 2. – Ñ. 75 – 80.

11. Ãóçü À. Í., Ðóùèöêèé ß. ß. Íàíîìàòåðèàëû. Î ìåõàíèêå íàíîìàòåðèàëîâ

// Ïðèêë. ìåõàíèêà. – 2003. – 39, ¹ 11. – Ñ. 36 – 69.

12. Ì³ëëåð Ê. Äæ. Âòîìà ìåòàë³â: ìèíóëå, ñó÷àñíå òà ìàéáóòíº. 27 ëåêö³ÿ

íà ÷åñòü Äæîíà Ïëåºðà // Ô³ç.-õ³ì. ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 1991. – ¹ 5. –

Ñ. 9 – 26.

13. Ï³íÿê ². Ñ. Áàãàòîöèêëîâå âòîìíå ðóéíóâàííÿ êîíñòðóêö³éíèõ ìàòå-

ð³àë³â ïðè ¿õ ïðóæíî-ïëàñòè÷íîìó äåôîðìóâàíí³ // Ïðàö³ XIII Ì³æíàð.

êîë. “Ìåõàí³÷íà âòîìà ìåòàë³â” (ÌÂÌ-2006). – Òåðíîï³ëü: Òåðí. äåðæ.

òåõí. óí-ò ³ì. ²âàíà Ïóëþÿ. – Òåðíîï³ëü, 2006. – Ñ. 400 – 406.

14. Ñïðàâî÷íèê ïî êîýôôèöèåíòàì èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèé. Â 2 ò. / Ïîä

ðåä. Þ. Ìóðàêàìè. – Ì.: Ìèð, 1990. – 1016 ñ.

15. Ïàòåíò 17876 Óêðà¿íà, ÌÏÊ 7 G01N1/00, G01N3/32. Çðàçîê äëÿ äîñë³ä-

æåííÿ öèêë³÷íî¿ òð³ùèíîñò³éêîñò³ ìàòåð³àë³â / Á. Î. Ãðÿçíîâ, ². Ñ. Ï³íÿê.

– ×èííèé ç 16.10.06. Áþë. ¹ 10.

16. Ìåòîäû ìåõàíè÷åñêèõ èñïûòàíèé ìàòåðèàëîâ. Îïðåäåëåíèå õàðàêòå-

ðèñòèê òðåùèíîñòîéêîñòè ïðè öèêëè÷åñêîì íàãðóæåíèè. Ìåòîäè÷åñêèå

óêàçàíèÿ. Ñåð. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, äîëãîâå÷íîñòè è íàäåæíîñòè ïðî-

äóêöèè ìàøèíîñòðîåíèÿ. – Ì.: ÌÍÒÊ “Íàäåæíîñòü ìàøèí”, 1993. –

56 ñ.

17. Ï³íÿê ². Ñ. Ìåòîäîëîã³ÿ âèâ÷åííÿ çàêîíîì³ðíîñòåé ïîøèðåííÿ âòîìíî¿

òð³ùèíè çà êðèòåð³ºì ðîñòó – ïîòî÷íèì ³ îáìåæåíèì åôåêòèâíèì ðîç-

ìàõîì Ê²Í // Âèáðàöèè â òåõíèêå è òåõíîëîãèÿõ. – 2001. – ¹ 5. – Ñ. 50

– 53.

18. Êðàñîâñüêèé À. ß., Ï³íÿê ². Ñ. Ìåòîä ïîòî÷íîãî ðîçêðèòòÿ â³ñòðÿ

òð³ùèíè â óìîâàõ öèêë³÷íîãî íàâàíòàæåííÿ // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. –

2002. – ¹ 4. – Ñ. 12 – 27.


². Ñ. Ï³íÿê

19. Ï³íÿê ². Ñ. Âïëèâ ÿâèùà çàêðèòòÿ â³ñòðÿ âòîìíî¿ òð³ùèíè íà àñèìåòð³¿

öèêëó íàâàíòàæåííÿ òà ïîðîãè òð³ùèíîñò³éêîñò³ // Òàì æå. – 2000. – ¹ 6.

– Ñ. 106 – 114.

20. Ï³íÿê ². Ñ. Öèêë³÷íà òð³ùèíîñò³éê³ñòü çâàðíîãî øâà ñòàë³ 08Õ18Í10Ò

òðóáîïðîâîä³â ÀÅÑ ï³ñëÿ 100000 ãîäèí åêñïëóàòàö³¿ // Íàä³éí³ñòü ³

äîâãîâ³÷í³ñòü ìàøèí ³ ñïîðóä. – 2007. – Âèï. 29. – Ñ. 114 – 118.




ÓÄÊ 539.3

Òåðìîóïðóãàÿ êîíòàêòíàÿ çàäà÷à äëÿ ñëîÿ, âçàèìîäåéñòâóþùåãî

ñ æåñòêèì îñíîâàíèåì ïðè íåñòàöèîíàðíîì ôðèêöèîííîì

òåïëîâûäåëåíèè

Ï. Ï. Êðàñíþê

Ëüâîâñêèé áàíêîâñêèé èíñòèòóò ÍÁÓ, Ëüâîâ, Óêðàèíà

Ðåøåíà òåðìîóïðóãàÿ çàäà÷à âçàèìîäåéñòâèÿ óïðóãîãî ñëîÿ ñ æåñòêèì îñíîâàíèåì, îò

êîòîðîãî òåëî ìîæåò îòäåëèòüñÿ ïîä äåéñòâèåì ëîêàëèçîâàííîé ïðèæèìàþùåé íàãðóç-

êè. Èññëåäîâàíî âëèÿíèå íåñòàöèîíàðíîãî ôðèêöèîííîãî òåïëîâûäåëåíèÿ, ñîïðîâîæäàþùå-

ãî ïåðåìåùåíèå ñëîÿ ïî ïîâåðõíîñòè òåïëîèçîëèðîâàííîãî îñíîâàíèÿ, è ôóíêöèîíàëüíîé

çàâèñèìîñòè ïðèæèìàþùåé íàãðóçêè íà ýòîò ïðîöåññ. Ïîêàçàíî, ÷òî óâåëè÷åíèå èíòåíñèâ-

íîñòè òåïëîâûäåëåíèÿ ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ îáëàñòè êîíòàêòà, ãäå èçìåíåíèå ñî âðå-

ìåíåì ïîñëåäíåãî îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîì ôóíêöèè èçìåíåíèÿ íàãðóçêè è ñêîðîñòè äâèæåíèÿ:

åñëè îò âðåìåíè çàâèñèò íàãðóçêà, òî îáëàñòü êîíòàêòà íå èçìåíÿåòñÿ, åñëè èçìåíÿåòñÿ

ñêîðîñòü äâèæåíèÿ, òî íàáëþäàåòñÿ ìîíîòîííîå åå óìåíüøåíèå.

Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîíòàêòíîå âçàèìîäåéñòâèå, ñëîé, ôðèêöèîííîå òåïëî-

âûäåëåíèå, íåñòàöèîíàðíàÿ òåìïåðàòóðà, îòðûâ êîíòàêòèðóþùèõ ïîâåðõ-

íîñòåé.

Î á î ç í à ÷ å í è ÿ

x, y, z – äåêàðòîâû êîîðäèíàòû

� – âðåìÿ

h – òîëùèíà ñëîÿ

� – îïåðàòîð Ëàïëàñà â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò

(äâóõìåðíûé ñëó÷àé), �� x y2 2

q x( , )� – ïðèæèìàþùàÿ íàãðóçêà

� �( ) – ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ

q x� ( , Fo), �� ( )Fo – áåçðàçìåðíûå ôóíêöèè ïðèæèìàþùåé íàãðóçêè è ñêîðîñòè

äâèæåíèÿ

p x( , )� – êîíòàêòíîå äàâëåíèå

Ò – òåìïåðàòóðà

ux , u y – êîìïîíåíòû âåêòîðà ïåðåìåùåíèé

x , y , � xy – êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé

– ïàðàìåòð, îïðåäåëÿþùèé èíòåíñèâíîñòü òåïëîâûäåëåíèÿ

Å – ìîäóëü Þíãà

�, �, k, , , f – ñîîòâåòñòâåííî êîýôôèöèåíòû Ïóàññîíà, òåïëîïðîâîäíîñòè,

òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè, ëèíåéíîãî òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ,

òåïëîîáìåíà è òðåíèÿ

a( )Fo – èçìåíÿåìàÿ ñî âðåìåíåì ïîëóøèðèíà ó÷àñòêà êîíòàêòà

Fo, Bi – êðèòåðèè Ôóðüå è Áèî

erfc( )z – ôóíêöèÿ îøèáîê

© Ï. Ï. ÊÐÀÑÍÞÊ, 2008


�m – ïîëîæèòåëüíûå êîðíè òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ çàäà÷è

Øòóðìà–Ëèóâèëëÿ

Ci( )z – èíòåãðàëüíûé êîñèíóñ

E z1 ( ) – èíòåãðàëüíàÿ ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ

i – ìíèìàÿ åäèíèöà, i2 1��

S z( ) – ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà

�( )x – �-ôóíêöèÿ Äèðàêà

T tn ( ) – ïîëèíîì ×åáûøåâà ïåðâîãî ðîäà ïîðÿäêà n

U tn ( ) – ïîëèíîì ×åáûøåâà âòîðîãî ðîäà ïîðÿäêà n

� – êîíñòàíòà Ýéëåðà

Ââåäåíèå. Êîíòàêòíîå âçàèìîäåéñòâèå òåë ñ ïîâåðõíîñòíûìè ñëîÿìè,

óïðóãèå õàðàêòåðèñòèêè êîòîðûõ îòëè÷àþòñÿ îò ñâîéñòâ îñíîâàíèÿ, ÷àñòî

âñòðå÷àåòñÿ íà ïðàêòèêå (íàïðèìåð, âàëêè, ïîêðûòûå ðåçèíîé, øèðîêî

èñïîëüçóþùèåñÿ â ïåðåðàáàòûâàþùåé ïðîìûøëåííîñòè). Åñëè òîëùèíà

ñëîÿ áîëüøå õàðàêòåðíûõ ðàçìåðîâ îáëàñòè êîíòàêòà, òî îñíîâíîå òåëî íå

âëèÿåò íà êîíòàêòíûå íàïðÿæåíèÿ, îïðåäåëÿåìûå òåîðèåé Ãåðöà, åñëè òîë-

ùèíà ñëîÿ ñîèçìåðèìà ñ ðàçìåðîì îáëàñòè êîíòàêòà èëè ìåíüøå åå, òî

êîíòàêòíîå âçàèìîäåéñòâèå çàâèñèò îò ñïîñîáà êðåïëåíèÿ ñëîÿ ê îñíîâàíèþ.

Ïðè ýòîì âîçìîæíû ñëåäóþùèå âàðèàíòû:

ñëîé ìîæåò ïîñòîÿííî íàõîäèòüñÿ â êîíòàêòå ñ îñíîâàíèåì âî âñåõ

òî÷êàõ, íî ñâîáîäíî ïðîñêàëüçûâàòü ïî íåìó;

ñëîé ìîæåò áûòü ïîëíîñòüþ ñöåïëåí ñ îñíîâàíèåì;

åñëè êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ïðåâûøàþò ãðà-

íè÷íûå íàïðÿæåíèÿ òðåíèÿ, òî ìîæåò èìåòü ìåñòî ïðîñêàëüçûâàíèå;

ñëîé, íàõîäÿùèéñÿ èçíà÷àëüíî â ïîëíîì êîíòàêòå ñ îñíîâàíèåì, ìîæåò

÷àñòè÷íî îòäåëÿòüñÿ îò íåãî ïîä âîçäåéñòâèåì íàãðóçêè.

Â ÷àñòíîñòè, â [1, 2] â îñåñèììåòðè÷íîé è ïëîñêîé ïîñòàíîâêå ðàñ-

ñìîòðåíû óïðóãèå êîíòàêòíûå çàäà÷è äëÿ ìíîãîñëîéíûõ ñèñòåì. Â ïðåä-

ïîëîæåíèè ïîëíîãî êîíòàêòà ñëîåâ èññëåäîâàíû ñëó÷àè ãëàäêîãî âçàèìî-

äåéñòâèÿ (îòñóòñòâèå êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé íà ãðàíèöå ðàçäåëà) è ïðî-

ñêàëüçûâàíèÿ. Ãëàäêèé êîíòàêò ìíîãîñëîéíûõ ñèñòåì òàêæå ðàññìàòðèâàëñÿ

â [3].

Âîîáùå ãîâîðÿ, êîíòàêò ñëîåâ – ýòî âçàèìîäåéñòâèå òåë õîðîøî ñîïðÿ-

æåííîé ôîðìû, êîòîðûå èçíà÷àëüíî âñòóïàþò â êîíòàêò ïî íåêîòîðîé îáëàñ-

òè, êîòîðàÿ ïîñëå ïðèëîæåíèÿ íàãðóçêè ìîæåò óìåíüøàòüñÿ. Ïîýòîìó, íàïðè-

ìåð, äëÿ ñëîÿ è îñíîâàíèÿ õàðàêòåðíûì ÿâëÿåòñÿ êîíòàêò ñ îòäåëåíèåì, åñëè

ñëîé ìîæåò ñâîáîäíî îòäåëèòüñÿ îò îñíîâàíèÿ ïîä äåéñòâèåì íàãðóçêè.

Â [4] ïðè èññëåäîâàíèè â îñåñèììåòðè÷íîé ïîñòàíîâêå êîíòàêòíîé

çàäà÷è î âæàòèè ñëîÿ â óïðóãîå ïîëóïðîñòðàíñòâî ñîñðåäîòî÷åííîé ñèëîé

ïîêàçàíî, ÷òî êîíòàêò òåëà ñ îñíîâàíèåì èìååò ìåñòî òîëüêî ïî êðóãîâîé

îáëàñòè. Â ïëîñêîé ïîñòàíîâêå ýòà çàäà÷à ðàññìàòðèâàëàñü â [5]. Â [6]

ïîëó÷åíî ðåøåíèå óêàçàííûõ çàäà÷ ñ íåñêîëüêî äðóãèõ ïîçèöèé. À èìåííî:

êàê â îñåñèììåòðè÷íîé, òàê è â ïëîñêîé ïîñòàíîâêå ýòà çàäà÷à ïðèâåäåíà ê

îäíîðîäíîìó èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà îòíîñè-

òåëüíî íåêîòîðîé âñïîìîãàòåëüíîé ôóíêöèè – ñîáñòâåííîé ôóíêöèè èíòå-

Òåðìîóïðóãàÿ êîíòàêòíàÿ çàäà÷à äëÿ ñëîÿ ...


ãðàëüíîãî îïåðàòîðà. Ïðè ýòîì ïðèåìëåìîé ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ

òà, ÷òî îáåñïå÷èâàåò òîëüêî ñæèìàþùèå íàïðÿæåíèÿ â çîíå êîíòàêòà.

Ðàíåå [7] èññëåäîâàíî êâàçèñòàòè÷åñêîå êîíòàêòíîå âçàèìîäåéñòâèå äâóõ

ñëîåâ, îáæàòûõ íàãðóçêîé, èçìåíÿþùåéñÿ âäîëü îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê

íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ îäíîãî èç ñîñòàâëÿþùèõ òðèáîñèñòåìó ñëîåâ ïî

ïîâåðõíîñòè äðóãîãî. Ïðè ýòîì ó÷èòûâàåòñÿ òåïëîâûäåëåíèå îò äåéñòâèÿ

ñèë òðåíèÿ. Ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå âçàèìîäåéñòâèÿ òåë ñ îäèíàêîâûìè

ãåîìåòðè÷åñêèìè, ìåõàíè÷åñêèìè è òåïëîôèçè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè è

îïðåäåëåíèè îáæèìàþùèõ íàãðóçîê èäåíòè÷íûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ôóíê-

öèÿìè, çàäà÷à ýêâèâàëåíòíà âæàòèþ ñëîÿ â æåñòêîå òåïëîèçîëèðîâàííîå

îñíîâàíèå. Â ýòîì ñëó÷àå èññëåäóåìàÿ ïðîáëåìà ïðèâåäåíà ê îäíîìó èíòå-

ãðàëüíîìó óðàâíåíèþ òèïà Âîëüòåððà âòîðîãî ðîäà îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè,

ïðîïîðöèîíàëüíîé òðàíñôîðìàíòå Ôóðüå [8] òåïëîâîãî ïîòîêà íà ïîâåðõ-

íîñòè âçàèìîäåéñòâèÿ. Íà îñíîâàíèè àíàëèòèêî-÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé

óñòàíîâëåíî, ÷òî äàæå íåïðåðûâíàÿ, íî ëîêàëèçîâàííàÿ íà íåáîëüøîì

ó÷àñòêå íàãðóçêà ÿâëÿåòñÿ ïðè÷èíîé îáðàçîâàíèÿ çîí ïîëîæèòåëüíûõ êîí-

òàêòíûõ íàïðÿæåíèé – çîí îòðûâà, èìåþùèõ òåíäåíöèþ ê ðîñòó ñ óâåëè-

÷åíèåì èíòåíñèâíîñòè òåïëîâûäåëåíèÿ. Ïðè ýòîì îäíîñâÿçíîñòü îáëàñòè

ïðèëîæåíèÿ ïðèæèìàþùåé íàãðóçêè îáåñïå÷èâàåò îäíîñâÿçíîñòü çîíû íà-

ãðóæåííîãî êîíòàêòà, à òåïëîâûäåëåíèå íå íàðóøàåò ñïëîøíîñòè êîíòàêòà,

÷òî õàðàêòåðíî ïðè ÷èñòî ñèëîâîì âçàèìîäåéñòâèè.

Óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ çîí îòðûâà òðåáóåò óòî÷íèòü ïîñòàíîâêó çàäà÷è

[7]. Íèæå ðàññìàòðèâàåòñÿ êîíòàêòíàÿ çàäà÷à î ñëîå, èçíà÷àëüíî íàõîäÿùåì-

ñÿ â ïîëíîì êîíòàêòå ñ îñíîâàíèåì, êîòîðûé ìîæåò îòäåëÿòüñÿ îò íåãî ïîä

âîçäåéñòâèåì íàãðóçêè. Èññëåäóåòñÿ âëèÿíèå íåñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà

òåïëîâûäåëåíèÿ îò äåéñòâèÿ ñèë òðåíèÿ, âîçíèêàþùèõ ïðè ïåðåìåùåíèè

óïðóãîãî ñëîÿ ïî ïîâåðõíîñòè æåñòêîãî òåïëîèçîëèðîâàííîãî îñíîâàíèÿ, íà

ìåõàíèçì îòðûâà.

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è è ïîñòðîåíèå ðåøåíèÿ. Ðàññìîò-

ðèì óïðóãèé òåïëîïðîâîäíûé ñëîé òîëùèíîé h, ïðèæàòûé ê æåñòêîìó

òåïëîíåïðîíèöàåìîìó îñíîâàíèþ íàãðóçêîé q x( , ),� ÿâëÿþùåéñÿ ôóíêöèåé

êîîðäèíàòû õ è âðåìåíè � (ðèñ. 1). Â ïðåäïîëîæåíèè ëîêàëèçîâàííîé

íàãðóçêè èìåþò ìåñòî îòäåëåíèå ñëîÿ îò îñíîâàíèÿ è îäíà îáëàñòü êîíòàêòà

ïðè îäíîñâÿçíîé îáëàñòè ïðèëîæåíèÿ íàãðóçêè [7].

Ñëîé â íàïðàâëåíèè îñè z ïåðåìåùàåòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè îñíîâàíèÿ ñ

èçìåíÿþùåéñÿ ñî âðåìåíåì ìàëîé ñêîðîñòüþ � �( ). Â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ

ñèë òðåíèÿ � yz , âîçíèêàþùèõ íà êîíòàêòèðóþùåé ïîâåðõíîñòè è ïîä÷èíåí-

íûõ çàêîíó Àìîíòîíà (� yz yf� ), â ïëîñêîñòè êîíòàêòà ïðîèñõîäèò òåïëî-

âûäåëåíèå. Ïðè ýòîì âñå òåïëî, ñãåíåðèðîâàííîå íà êîíòàêòå, âñëåäñòâèå

òåïëîèçîëÿöèè îñíîâàíèÿ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âíóòðü ñëîÿ, âûçûâàÿ òåì ñàìûì

âûïó÷èâàíèå êîíòàêòíîé ïîâåðõíîñòè è èçìåíåíèå ñî âðåìåíåì ãðàíèö

ó÷àñòêà âçàèìîäåéñòâèÿ. Òåïëîîòäà÷åé ñ ïîâåðõíîñòè y�0 â çîíå îòðûâà

ïðåíåáðåãàåì, à ìåæäó âåðõíåé ïëîñêîñòüþ ñëîÿ è îêðóæàþùåé ñðåäîé ñ

íóëåâîé òåìïåðàòóðîé ïðåäïîëàãàåì òåïëîîáìåí ïî çàêîíó Íüþòîíà.

Ïîâåäåíèå òàêîé òðèáîñèñòåìû èññëåäóåì â êâàçèñòàòè÷åñêîé ïîñòà-

íîâêå, ò.å. ïðåíåáðåãàåì äèíàìè÷åñêèìè ýôôåêòàìè, êîòîðûå ìîãóò âîçíèê-

íóòü ïðè äåéñòâèè íàãðóçêè.



Ïðè ýòèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ñëîé íàõîäèòñÿ â óñëîâèÿõ ïëîñêîé è àíòè-

ïëîñêîé äåôîðìàöèè. Âëèÿíèåì àíòèïëîñêîé äåôîðìàöèè íà âåðòèêàëüíûå

ïåðåìåùåíèÿ êîíòàêòèðóþùåé ïîâåðõíîñòè ñëîÿ è íàëè÷èåì êàñàòåëüíûõ

íàïðÿæåíèé � yx íà ïîâåðõíîñòè ó�0 ïðåíåáðåãàåì. Îòìåòèì, ÷òî ýòî íå

ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèåì, ïîñêîëüêó â êëàññè÷åñêîé òåîðèè óïðóãîñòè ïëîñêàÿ

äåôîðìàöèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ îòäåëüíî îò àíòèïëîñêîé.

Â ìàòåìàòè÷åñêîì ïëàíå çàäà÷à ïðèâîäèòñÿ ê ïîñòðîåíèþ ðåøåíèÿ

ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé òåïëîïðîâîäíîñòè

�T k T� �1�� (1)

è òåðìîóïðóãîñòè

( ) ( ) ( ) ;

( ) (

1 2 2 1

1 2

� � � � �

� �

� � � � � �

� � �

�

�

u u u T

u

x x x x y y x

y y xu u Tx y y y� � �� ) ( )2 1(2)

ïðè íà÷àëüíîì

T x y( , , ) ,0 0� (3)

ãðàíè÷íûõ è êîíòàêòíûõ óñëîâèÿõ:

y T f p x u xy y� �� 0 01: ( ) ( , ), , ( ),� � � � � ��

� � �y y yxT x x� � � � ��0 0 0, , ( ), , | | ;�(4)

y h T T q x xy y yx� �� : , ( , ), , | | ,� � � � 0 (5)

ãäå íàïðÿæåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì:

�

� ��

�

��

�

�x x x y y

Eu u T�

�

� ��

��

�

�

�

��

�

��( )

( )( );

1

1 1 2 1

1

1

�

� ��

�

��

�

�y y y x x

Eu u T�

�

� ��

��

�

�

�

��

�

��( )

( )( );

1

1 1 2 1

1

1



Ðèñ. 1. Ñõåìà êîíòàêòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ óïðóãîãî ñëîÿ ñ îñíîâàíèåì.

��

� �xy y x x y

Eu u�

��

2 1( )( ).

Êðîìå òîãî, â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ

ðàâíîâåñèÿ:

p x dx q x dx( , ) ( , ) ;( )

� ��

��

��

xp x dx xq x dx( , ) ( , )( )

� ��

��

�� (6)

– ðàâåíñòâî íóëþ ãëàâíîãî âåêòîðà è ãëàâíîãî ìîìåíòà âñåõ âíåøíèõ

óñèëèé, ïðèëîæåííûõ ê ñëîþ, ïðè âûõîäå òðèáîñèñòåìû íà óñòàíîâèâ-

øèéñÿ ðåæèì – óñëîâèÿ òåïëîâîãî áàëàíñà:

lim ( , , ) lim ( , , ) .( )� ��

� � � ��

�� yT x dx T x h dx0

�

Çäåñü è íèæå: õ , ó , z – äåêàðòîâû êîîðäèíàòû; � – âðåìÿ; �� x y2 2 –

îïåðàòîð Ëàïëàñà â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (äâóõìåðíûé ñëó÷àé);

p x( , )� – êîíòàêòíîå äàâëåíèå; Ò – òåìïåðàòóðà; ux , u y – êîìïîíåíòû

âåêòîðà ïåðåìåùåíèé; x , y , � xy – êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé; Å –

ìîäóëü Þíãà; � , �, k , – ñîîòâåòñòâåííî êîýôôèöèåíòû Ïóàññîíà, òåïëî-

ïðîâîäíîñòè, òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè è ëèíåéíîãî òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ;

� �� ; – êîýôôèöèåíò òåïëîîáìåíà; f – êîýôôèöèåíò òðåíèÿ; �( )� –

íåèçâåñòíàÿ èçìåíÿåìàÿ ñî âðåìåíåì îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü êîíòàêòà.

Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòü ïîñòàíîâêè çàäà÷è, ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà-

ãðóçêà íà ïîâåðõíîñòè y h� ñëîÿ ðàñïðåäåëåíà ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî

îñè õ�0. Òîãäà ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå p x p x( , ) ( , ),� �� è â êà÷åñòâå

îáëàñòè êîíòàêòà �( )� ìîæíî âçÿòü îòðåçîê [ ( ), ( )],�a a� � ãäå a( )� – íå-

èçâåñòíàÿ èçìåíÿåìàÿ ñî âðåìåíåì ïîëóøèðèíà ó÷àñòêà âçàèìîäåéñòâèÿ.

Âòîðîå óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ èç (6) àâòîìàòè÷åñêè âûïîëíÿåòñÿ, ïîñêîëüêó

ìîìåíò òàêîé íàãðóçêè ðàâåí íóëþ. Êðîìå òîãî, ïîâåäåíèå íà áåñêîíå÷íîñòè

ôóíêöèè q x( ) ïðåäïîëàãàåì òàêèì, ÷òî äîïóñêàåò ïðèìåíåíèå èíòåãðàëü-

íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.

Èñïîëüçóÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè óðàâíåíèÿ (1), (3),

(51) è

� � � � � � �yT x f p x S( , , ) ( ) ( , ) ( ( )),0 1��

ãäå S ( ( ))� � – ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà [9], ðàâíàÿ åäèíèöå ïðè õ ��( )� è íóëþ

ïðè õ ��( ),� à òàêæå ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé åé çàäà÷è òåðìîóïðóãîñòè

(2), (52), (53) è

y p x S xy yx� �� 0 0: ( , ) ( ( )); ; | | , � � ��

èíòåãðàëüíîå cos-ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî êîîðäèíàòå õ è Ëàïëàñà ïî

âðåìåíè � [8], ìîæíî çàïèñàòü èíòåãðàëüíûå èçîáðàæåíèÿ äëÿ òåìïåðàòó-

ðû, ïåðåìåùåíèé è íàïðÿæåíèé â ñëîå ÷åðåç íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ p x( , )�(äåòàëüíûå âûêëàäêè ïðèâåäåíû ðàíåå [7]), äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîòîðîé èñïîëü-

çóåòñÿ ïîñëåäíåå ãðàíè÷íîå óñëîâèå – êèíåìàòè÷åñêîå óñëîâèå êîíòàêòà (42):



ðàâåíñòâî íóëþ íîðìàëüíûõ ïåðåìåùåíèé ïîâåðõíîñòè ó�0 â çîíå êîí-

òàêòà. Óäîâëåòâîðèâ ýòî óñëîâèå, ïîëó÷èì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå, êîòîðîå

ïðèâåäåì â áåçðàçìåðíîì âèäå. À èìåííî: îòíåñåì ëèíåéíûå ðàçìåðû òåëà ê

òîëùèíå ñëîÿ h, íàïðÿæåíèÿ – ê âåëè÷èíå èíòåíñèâíîñòè íàãðóçêè q0 ,

òåìïåðàòóðó – ê êîìáèíàöèè ïàðàìåòðîâ �E q( ( )) :2 101� �

10�

p t t x dta

a( , ) ( )

( )

( )Fo

Fo

Fo� � �

��

� � � ��

��

Fo *

FoFo( ) ( , ) ( , ) (

( )

( )p t H t x dt d I x

a

a

0, Fo),

| | ( ).x a! Fo

(7)

Óðàâíåíèå (7) ñ óñëîâèåì ðàâíîâåñèÿ

p t dt q t dta

a( , ) ( , )*( )

( )Fo Fo

Fo

Fo�

��

�

�� (8)

è ñ ñîîòíîøåíèÿìè îãðàíè÷åííîñòè êîíòàêòíûõ íàïðÿæåíèé

p a( ( ), ) ," �Fo Fo 0 (9)

èñïîëüçóåìûõ äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíîé ãðàíèöû ó÷àñòêà êîíòàêòà, äàþò

ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ïîñòàâëåííîé çàäà÷è. Äëÿ òåìïåðàòóðû ñëîÿ

èìååì èíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå

T x y p t t x y dt da

� � � ��

( , , ) ( ) ( , ) ( , , ) .* ( )Fo FoFo

��

#

a( ) ��0

Fo

Ïðè ýòîì

� �0 10( ) ( )cos( ) ;x x d�

�� $ $ $ H x H x d( , ) ( , )cos( ) ;Fo Fo��0

$ $ $

I x q t t dt x d( , ) ( ) ( , )cos( ) cos( ) ;*Fo Fo�� 2

2 00�$ $ $ $�

�

� ��

�

f Eh0

2 1( ); �1 2 2

1( )

( ) ( )

( );$

$

$ $ $

$ $�

�

�

ch sh

sh�% ( )

( ) ( )

( );$

$

$ $ $

$ $�

�

�

12 2

ch sh

sh

Hm

( , )( ) ( )

( )

exp( ( )$

$$

$ $ $

$ $

$ �Fo

sh ch

sh

Fo� �

�

�

� �14

2 2 2

2 2 )

( ) ( ( ) )$ � �2 2 2 2 2 11 1� � �

��

�

&m mm Bi Bi

��

�

� �4

12 2

2

$$ $ $

$ $

� $ �%sh Bi ch

sh

( )( ) ( )

( )

cos( )exp( ( )m m Fo

Bi Bi

)

( ) ( ( ) );

$ � �2 2 2 2 2 11 1� � � �

�

�

&m mm



# #( , , ) ( , )cos( )

( ( ) )x y x y

yst

m

m mm

��

� ��

� � ��

2 1 2 2 11 Bi Bi

�

& '

' � � ��

��

�

��

�

&exp(( ) ) ( ) ;1 12

1

2k

m

k

mkx

x� �erfc Fo

Fo

# #st stx y y x d( , ) ( , )cos( ) ;��0

$ $ $

# st yy y

( , )( ( )) ( ( ))

( ) ( ),$

$

$ $ $

$ $ $�

� � �

�

1 1 1ch Bish

sh Bich

ãäå �0 – ìàñøòàá èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè; q x* ( , ),Fo �* ( )Fo – áåçðàçìåðíûå

ôóíêöèè ïðèæèìàþùåé ñèëû è ñêîðîñòè äâèæåíèÿ; Fo� ��kh 2 , Bi��h –

êðèòåðèè Ôóðüå è Áèî [10]; erfc( )z – ôóíêöèÿ îøèáîê [9]; �m – ïîëîæè-

òåëüíûå êîðíè òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ çàäà÷è Øòóðìà–Ëèóâèëëÿ [8],

� � �sin( ) cos( )� �Bi 0 ( ).�(0

Êîîðäèíàòà ó èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ 0 1! !ó . Â ïðèâåäåííûõ âûøå ôîð-

ìóëàõ íå ââîäèëèñü íîâûå ïåðåìåííûå äëÿ îòíåñåííûõ ê òîëùèíå ñëîÿ h

êîîðäèíàò õ , ó è ïîëóøèðèíû ó÷àñòêà âçàèìîäåéñòâèÿ a( ),Fo à òàêæå äëÿ

ôóíêöèé êîíòàêòíîãî äàâëåíèÿ p x( , )Fo è òåìïåðàòóðû Ò, îòíåñåííûõ

ñîîòâåòñòâåííî ê èíòåíñèâíîñòè íàãðóçêè q0 è êîìáèíàöèè ïàðàìåòðîâ

�E q( ( )) .2 101� �

Îïðåäåëåíèå è ïîñòðîåíèå ÷èñëåííîãî àëãîðèòìà. Íà îñíîâå ìåòîäà

òðàïåöèé [9] è ñ èñïîëüçîâàíèåì ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [11] ïðîâåäåì äèñêðå-

òèçàöèþ ïî âðåìåíè èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (7) ïðè óñëîâèÿõ (8), (9) â

÷àñîâîì ïðîìåæóòêå [ , ],*0 Fo íà êîòîðîì èññëåäóåòñÿ ïîâåäåíèå òðèáîñèñòå-

ìû (ýòîò èíòåðâàë ðàçáèâàåì íà N îòðåçêîâ âðåìåíè Fo Fok k� 1 (k�0, ...,

N ), ãäå Fo FoN � *). Òîãäà â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè Fok ïîëó÷èì èíòå-

ãðàëüíîå óðàâíåíèå

10 50 1�

�p t t x H t x dtk ka k

( , )( ( ) , ( ) ( , ))*(Fo Fo Fo

Fo� � � � �

� )

( )a kFo�

� �I x R xk k( , ) ( , );Fo Fo | | ( )x a k! Fo

ïðè óñëîâèÿõ

p a k k( ( ), ) ;" �Fo Fo 0 p x dx q t dtk ka

a

k

k( , ) ( , ) ,*( )

( )Fo Fo

Fo

Fo�

��

�

��

ãäå

R x( , ) ;0 0� R x G x( , ) , ( , );,Fo Fo1 1 0 20 25�



R x G x G x G x( , ) , ( , ) , ( ( , ) ( ,, , ,Fo Fo Fo Fo2 2 1 2 2 0 3 2 00 5 0 25� � � 1 ));

R x G x G xn n n n k n k

k

n

( , ) , ( , ) , ( ( , ), ,Fo Fo Fo� � ��

0 5 0 51 2 1

1

�

&2

� � �� G x G x G xn k n k n n n n( , )) , ( ( , ) ( , ), , ,Fo Fo Fo1 0 1 0 10 25 ) ( );n)3

G x p t H t x dtm i j i i ja

a

i

( , ) ( ) ( , ) ( , ) ,, * ( )Fo Fo Fo Fo

Fo� �

�

1

��

( )Foi� | | ( ).x a m! Fo

Èññëåäóåì ñâîéñòâà ÿäåð � 0 ( ),x H x( , ),Fo #( , , )x y Fo è ôóíêöèè

I x( , ).Fo Ïîñêîëüêó

#( , , )cos( )exp( )

( (0 1 2

1

12

y yym m

m

Fo BiFo

Bim2

� � � ��

��

� �2 2 11 � �

�

�

&Bi ) )m

è ïðè $ ��: # #( , , ) ~ ( , ) ~ exp( )$ $ $ $y y ystFo � �1 ( ),Fo*0 íà îñíîâàíèè

ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [12] ìîæíà óòâåðæäàòü, ÷òî ïðè óñëîâèè y*0 ÿäðî

#( , ,x y Fo) ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíûì, ïðè y�0 îíî èìååò ëîãàðèôìè÷åñêóþ

îñîáåííîñòü. Òîãäà ïîëó÷èì

# # #st st stx y y x d y x d( , ) ( , )cos( ) ( , )cos( )� � ��$ $ $ $ $ $�

00

1��

��

� � �

� (ln| |

(ln( ) ), ; ;

( ( | | ) ln| | ), ,x

x y

x x x y

� �

�1

1

0 0

0Ci �

+,-

� � � (

+

,.

-.

0

0 5 01 1 1 1

;

, [ ( ( )) ( ( ))], ,E y ix E y ix y� �

ãäå Ñi( ),z E z1( ) – èíòåãðàëüíûé êîñèíóñ è èíòåãðàëüíàÿ ïîêàçàòåëüíàÿ

ôóíêöèÿ; i (i2 1�� ) – ìíèìàÿ åäèíèöà; � – êîíñòàíòà Ýéëåðà [9].

Íåñêîëüêî ñëîæíåå ñèòóàöèÿ ñ äðóãèìè ÿäðàìè. Â ÷àñòíîñòè, ïðè $ �0

èìååì

� �1 246( ) ~ ( ) ~ ;$ $ $�

Hm

mm

( , ) ~exp( )

( ( ) )$

$

�

� �Fo

Fo

Bi Bim4

11 24

12

2

2 2 11

��

� � ��

�

&�

�

��

� ��

� �

�

��

�12 21

2

2 2 1( )

cos( )exp( )

( ( ) )Bi

Fo

Bi Bi4

� �

� �m m

m m�

�

�

&m 1

,

ïðè $ ��: �11( ) ~ ;$ $� � 2 2( ) ~ exp( );$ $� H ( , ) ~ ( ).$ $Fo Fo� *2 0



Ïîñêîëüêó íà áåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèÿ �1( )$ óáûâàåò êàê 1 $, ÿäðî

� 0 ( )x îáëàäàåò ëîãàðèôìè÷åñêîé îñîáåííîñòüþ [12]:

� ��

/ ( ) ln| | ( ) ln| |[ ( ) ]cos( ) exp(

*x x x xx

�� $ $ $ $1 1 )

.$

$0

�� d

ßäðà � * ( ),x H x( , )Fo è ôóíêöèÿ I x( , )Fo âûðàæàþòñÿ ðàñõîäÿùèìèñÿ

â õ�0 èíòåãðàëàìè. Â êëàññå îáîáùåííûõ ôóíêöèé ýòè èíòåãðàëû äîïóñ-

êàþò ðåãóëÿðèçàöèþ [5, 13].

Ïóñòü ôóíêöèÿ 0 $( ) â íóëå âåäåò ñåáÿ êàê $�4 , à íà áåñêîíå÷íîñòè

óáûâàåò íå ìåäëåííåå $ � �1 , ãäå *0. Ïðåäñòàâèì ïîäûíòåãðàëüíîå âûðà-

æåíèå òàê:

0 $ $ $ $ 1 $ $( )cos( ) ( , ) ,x d x d0

4

0

� ��

ãäå 1 $( , )õ ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó íåîãðàíè÷åííî äèôôåðåíöèðóåìûõ

ôóíêöèé, êîòîðûå ïðè $ �� óáûâàþò áûñòðåå ëþáîé ñòåïåíè 1 $ âìåñòå

ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè.

Îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ $�4 äåéñòâóåò íà 1 $( , )õ ñîãëàñíî ôîðìóëå [13]

$ 1 $ $ $ 1 $ 1 1 $�� 2 �

3

454

0

4

00 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ),x d x x x x

� 22 � 222 �6

78

xx

xx S d

2 3

20

30 1

!( , )

!( , ) ( ) ,,1 1 $ $9$ $

ãäå S z( ) – ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà [9].

Òàêèì îáðàçîì, ÿäðàì � * ( )x è H x( , )Fo ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå

íåïðåðûâíûå ôóíêöèè:

��

* ( )[ ( ) ]cos( ) exp( ) ,

xx x

��

� ��

�

��$ $ $ $

$ $ $1

4

2

2

1 6 3 1 2�

�

��

��0

d$;

H x |x|+m

m m

( , ,exp(

( ( )Fo) =

24 Fo)

Bi Bi2 4�

�

� � �0 51

2

2 2�

$

�

� � 11 )

��

�

��

�

�� &�

m0

��

� ��

12 2

12 2 2 1

( ) cos( )exp( )

( ( ) )

Bi Fo

Bi Bi4$

� �

� �

�%

m

m mm�

�

&1

��

�

� �4

12 2

2 2

$$ $ $

$ $

� $ �sh Bi ch

sh

( )( ) ( )

( )

cos( )exp( ( )m m Fo

( Bi Bi2

)

) ( ( ) )$ � ��

3

4

55 �

�

�

&m mm2 2 2 2 1

1 1



��

�

� �

�4

2 2

2 2

2 2$

:$ $ $

$ $

$ �

$ �

sh ch

sh

Fo

( 2

) ( )

( )

exp( ( ) )

) (

m

m 1 2 2 11 � �

6

7

88

�

�

��

�

�

&Bi Bi( ) )

cos( ) .�

$ $mm

x d

Ðåãóëÿðèçàöèÿ ôóíêöèè I x( , )Fo çàâèñèò îò âèäà ïðèæèìàþùåé íàãðóç-

êè. Åñëè q x S L x q( , ) ( | | ) ( ),*Fo Fo� � òî èìååì

q qL

( , ) ( )sin( )

;*$$

$Fo Fo� I x q I L x I L x( , ) ( )( ( ) ( ));*Fo Fo� � � �

10 0�

I xx x x x

d0 2 4

3

20

6 1 2( , ) ( )

sin( ) ,Fo � � �

��

�

��

�

�

��

�� $$

$ $ $$ ,

åñëè q x x q( , ) ( ) ( )*Fo Fo�� ( ( )� x – �-ôóíêöèÿ Äèðàêà [13], ðàññìàòðèâàåòñÿ

ñëó÷àé äåéñòâèÿ ñîñðåäîòî÷åííîé ñèëû), òî

q q( , ) ( );*$ Fo Fo� I x q I x( , ) ( ) ( );*Fo Fo�2

0�

I x xx

d0 2 4

2

20

6 3 1 2( ) ( )cos( )

,.� � �

��

�

��

�

�

��

�� $ $$ $

$

Íà îñíîâàíèè ýòîãî ïîäõîäà ïåðåìåùåíèÿì ôîðìàëüíî ïðèäàåòñÿ íåêî-

òîðîå çíà÷åíèå, çàâèñÿùåå îò ñïîñîáà ðåãóëÿðèçàöèè ÿäåð. Îäíàêî ïðè

âû÷èñëåíèè îòíîñèòåëüíûõ ïåðåìåùåíèé è ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé ðàâíî-

âåñèÿ ñëîÿ â öåëîì

p x dxLq q x S L x

ka

a k

k

k( , )

( ), ( , ) ( | |

( )

( ) *Fo

Fo Fo

Fo

Fo�

� ��

2 ) ( );

( ), ( , ) ( ) ( )

*

* *

q

q q x x qk

Fo

Fo Fo Fo�

+,- �

ïî ýòèì ðåãóëÿðèçîâàííûì ôîðìóëàì ïîëó÷åíû âïîëíå îïðåäåëåííûå çíà-

÷åíèÿ, íå çàâèñÿùèå îò ñïîñîáà ðåãóëÿðèçàöèè.

Ïðè ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòàõ ðåãóëÿðèçîâàííûõ ÿäåð èñïîëüçóþòñÿ ñëåäó-

þùèå ôîðìóëû:

� 0

4 2

24

3

5

32

175( ) ln| | ...x x

x x��

�

��

�

��

3

455

6

788�; �1

2

2( )cos( )$ $ $

;

�x d ��

� ��

��

�2 3 1 2

23

2

2

2

2; ;

� �

�

x x

x x x

, (ln( ) ),

( ( | | ) ln| | ),

= 0;

Ci (

+,- 0;

H x xm m

m m

( , ) , | |cos( )exp( )

( (Fo

Fo

Bi4��

�

� �0 5

13

2

2� ;

� �

� � Bi2 11 ) )�

�

�

&3

4

55

'm



' � � � � � � ��( , ( ) ( )( , )) ... ]0 4 12 12 2 0 5 22 2Bi Bi Fo x m�

��

�

��4 1

2 2

2

3

3 $$ $ $

$ $

� $;

� sh Bi ch

sh

( )( ) ( )

( )

cos( )exp( (m �

� � ��

�

�

& �

$ � �$ $m

m mm

x d

2

2 2 2 2 2 11 1

) )

) ( ( ) )cos( )

Fo

( Bi Bi

��

� ��

12 2

13

2

2 2 1

( ) cos( )exp( )

( ( ) )

Bi Fo

Bi Bi4;

� �

� �m m

m mm�

�

&1

��

�� 24 0 2 0 5 23

2

2 12;

�

��

exp( )

) )( , ,

m

mmx

Fo

(1+Bi( BiFo

2�

�

�

�3

4

55

6

7

88�& 2

1

) ...

m

��

�

� �

��4 2 2

2 2

3

3 $$ $ $

$ $

$ �

$ �;

� sh ch

sh

Fo

( 2

( ) ( )

( )

exp( ( ) )m

m mm

x d2 2 2 2 1

1 1) ( ( ) )cos( )

� ��

�

�

&Bi Bi�

$ $

��

� � ��

�

&24

13

2

4 2 2 11

;

�

� �

exp( )

( ( ) );

m

m mm

Fo

Bi Bi

I xx x

x0 4

5 3

220 5

47

700 4

4( ) ...� � �

�

��

�

��

3

455

6

788�;

;

�� ( )

sin( )$

$

$$

xd

� � � � � ��1

1 12 1 2

1 4 1 443

3

4iE ix E ix

x x x( ( ( )) ( ( )))

,� �

; ;

èëè

I xx

x0 4

42

24

3

5

47

700( ) ... ( )co� � �

�

��

�

��

3

455

6

788�; $� s( )$ $

;

�x d ��

4

4

��

��

�2

1

2 3 1 24

2 4 443

2

4

exp( )(cos( ) sin( ))

,,

��

; ;xx x x

x

ãäå òðåìÿ òî÷êàìè â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ îáîçíà÷åíû ÷ëåíû ïîðÿäêà ;k3 è

âûøå.

Ãðàíèöû èíòåãðèðîâàíèÿ ;k è �k âûáèðàëè òàêèìè, ÷òîáû â ðåãó-

ëÿðèçîâàííûõ ñîîòíîøåíèÿõ íà èíòåðâàëàõ [ , )0 ;k è ( , )�k � ïîäûíòå-

ãðàëüíûå ôóíêöèè �1( )$ è � 2 ( )$ ìîæíî áûëî çàìåíèòü èõ àñèìïòîòè÷åñ-

êèìè âûðàæåíèÿìè. Ïîäûíòåãðàëüíûå ôóíêöèè â ôîðìóëàõ äëÿ H x( , )Fo

òàêæå çàìåíèëè àñèìïòîòè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè íà ïðîìåæóòêå [ , ),0 3; à

èíòåãðàëàìè íà ( , )�3 � ïðåíåáðåãàëè. Çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ íà èíòåðâàëå

[ , ]; �k k ïîëó÷àëè ïóòåì ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì

êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë ìåòîäà Ôèëîíà [14].



Ïåðåõîä ê ñèììåòðè÷íîìó ïðîìåæóòêó [ , ]�1 1 ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü

êîíòàêòíîå äàâëåíèå çàäà÷è

101

1

�a p t a t xk k k( ) ( , )( ( ( )( ))Fo Fo Fo� � �

��

� � �0 5 1, ( ) ( ( )( ), ))*� Fo Fo Fok kH a t x dt

� �I a x R a xk k k k( ( ) , ) ( ( ) , )Fo Fo Fo Fo (| | )x !1 (10)

ïðè óñëîâèÿõ

p k( , ) ;" �1 0Fo

a p t dtLq q x S L x q

k kk

( ) ( , )( ), ( , ) ( | | ) (* *

Fo FoFo Fo

��

��

1

1 2 Fo

Fo ( , Fo) = Fo

);

( ), ( ) ( )* *q q x x qk �

+,-

(11)

â âèäå

p tt

tk

k( , )

( , ).Fo

Fo�

�

1

1 2(12)

Çäåñü 1( , )t kFo – íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ è îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ,

äëÿ êîòîðîé âûáèðàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ïàðíîãî èíòåðïîëÿöèîííîãî

ïîëèíîìà Ëàãðàíæà ñòåïåíè 2 1n� [15] ïî ïîëèíîìàì ×åáûøåâà ïåðâîãî

ðîäà T tm ( ) [9]:

1 1 �( , ),

( , ) ( ) ( )tn

t T t T tk j k j m j m

m

n

Fo Fo��

��

�

�

�

&1

0 51 2 2 2

1

�

�

�

��

�

�

& ,

j

n

1

1

(13)

ãäå t j nj � � �cos(( ( )) ( ( ))),� 2 1 2 2 1 j n� �1 1, ... , – íóëè ïîëèíîìà ×åáûøåâà

ïåðâîãî ðîäà ïîðÿäêà 2 1n� [9]; � j ðàâíî åäèíèöå ïðè j n( �1 è 0,5 ïðè

j n� �1.

Ïîäñòàâèâ â èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå (10) âûðàæåíèå äëÿ êîíòàêòíîãî

äàâëåíèÿ (12) ÷åðåç èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì Ëàãðàíæà (13), èíòåãðàëû ñ

ëîãàðèôìàìè âû÷èñëèì òî÷íî ïî èçâåñòíûì ôîðìóëàì [16], à çíà÷åíèÿ

ðåãóëÿðíûõ èíòåãðàëîâ îïðåäåëèì ïðèáëèæåííî ñ èñïîëüçîâàíèåì êâàäðà-

òóðíûõ ôîðìóë Ãàóññà [9]. Ïîëàãàÿ x t j� , j n� �1 1, ... , , óðàâíåíèå (10)

ïðèâåäåì â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè Fok ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñ-

êèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ â èíòåðïîëÿöèîí-

íîì ïîëèíîìå 1( , ),t j kFo êîòîðûå ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò èçìåíåíèå êîí-

òàêòíîãî äàâëåíèÿ â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè.

Óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè êîíòàêòíûõ íàïðÿæåíèé èç (111), èñïîëüçóåìîå

äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëóøèðèíû ïðîìåæóòêà êîíòàêòà, ýêâèâàëåíòíî âûïîëíå-

íèþ ñîîòíîøåíèÿ 1( , )" �1 0Fok [17]. Ïóòåì ïîäáîðà çíà÷åíèÿ a k( )Fo

ïðèõîäèì ê âûïîëíåíèþ ïðèáëèæåííîãî óñëîâèÿ, îáóñëîâëåííîãî ÷èñëåí-

íûì ïîäõîäîì ê ðåøåíèþ ñèñòåìû óðàâíåíèé | ( , )|1 <1 Fok � , ãäå < – íåêîòî-



ðîå ÷èñëî, îïðåäåëÿþùåå ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèé, êàê ïðàâèëî, <= �10 5.

Âûïîëíåíèå ýòîãî óñëîâèÿ ïîçâîëÿåò âûáðàòü ôóíêöèþ êîíòàêòíîãî äàâëå-

íèÿ â âèäå [17]

p t t tk k( , ) ( , ) .Fo Fo� �1121 (14)

Çäåñü 11( , )t kFo – íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ è îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ,

äëÿ êîòîðîé àíàëîãè÷íî (13) ñòðîèòñÿ ïàðíûé èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì

Ëàãðàíæà ñòåïåíè 2 1n� [15] ïî ïîëèíîìàì ×åáûøåâà âòîðîãî ðîäà U tm ( )

[9]:

1 1 �1 12

2 2

2

11 1( , ) ( , ) ( ) ( ) ( )t

nt t U t U tk j k j j m j m

m

Fo Fo��

� ��11

1 n

j

n

&&�

�

��

�

�

��

�

�

, (15)

ãäå t j nj � �cos(( ) ( ( ))),� 2 1 j n� �1 1, ... , – íóëè ïîëèíîìà ×åáûøåâà âòî-

ðîãî ðîäà ïîðÿäêà 2 1n� [9].

Èñïîëüçîâàíèå ôîðìóëû (14) ÷åðåç èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì Ëà-

ãðàíæà (15) ïîçâîëÿåò ïîñëå ïðèìåíåíèÿ îïèñàííîé âûøå ïðîöåäóðû îïðå-

äåëèòü ðåàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå êîíòàêòíîãî äàâëåíèÿ ïðè íàéäåííîì çíà÷å-

íèè a k( ).Fo Ïðè ðàñ÷åòàõ äîñòàòî÷íî âçÿòü øàã ðàçáèåíèÿ ïî âðåìåíè

Fo1 0 05� , , ñòåïåíü èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà Ëàãðàíæà – n�10. Òîãäà

îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèé íå ïðåâûøàåò 5%.

Îòìåòèì, ÷òî ïðîöåäóðà ðåãóëÿðèçàöèè íåÿâíî îáåñïå÷èâàåò âûïîëíå-

íèå óñëîâèé ðàâíîâåñèÿ èç (112). Ýòî íàèáîëåå òî÷íî ìîæíî ïðîñëåäèòü â

ñëó÷àå âæàòèÿ ñëîÿ â îñíîâàíèå ñîñðåäîòî÷åííîé ñèëîé. Ïîãðåøíîñòü âû-

ïîëíåíèÿ ýòîãî óñëîâèÿ íå ïðåâûøàåò 0,05%. Âîîáùå ãîâîðÿ, ðåøåíèå

ðåãóëÿðèçîâàííîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé íà ñîáñòâåí-

íûå çíà÷åíèÿ, ïîñêîëüêó, îïèðàÿñü íà ðåçóëüòàòû ðàáîòû [6], èíòåãðàëüíîå

óðàâíåíèå (7) ïðè óñëîâèè ðàâíîâåñèÿ (8) ìîæíî ïðèâåñòè ê îäíîðîäíîìó

èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ Âîëüòåððà–Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà îòíîñèòåëü-

íî íåêîòîðîé âñïîìîãàòåëüíîé ôóíêöèè – ñîáñòâåííîé ôóíêöèè ýòîãî èíòå-

ãðàëüíîãî îïåðàòîðà. Êîíòàêòíîå äàâëåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ êâàäðàòóðîé îò

ñîîòâåòñòâóþùåé ñîáñòâåííîé ôóíêöèè. Ñîîòíîøåíèå 1( , )" �1 0Fok ýêâè-

âàëåíòíî det| |A I� �� 0 – óñëîâèþ ïîèñêà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðà

À [9], èç êîòîðûõ ïðèåìëåìûì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îáåñïå÷èâàåò òîëüêî ñæè-

ìàþùèå íàïðÿæåíèÿ â çîíå êîíòàêòà.

Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ. Ïðè ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòàõ íàãðóçêà è ñêîðîñòü

ïåðåìåùåíèÿ èçìåíÿëèñü ïî çàêîíàì:

1) q x q xst* ( , ) ( )( exp( ));Fo Fo� � �1 > �* ( ) ;Fo �1

2) q x q xst* ( , ) ( );Fo � � >* ( ) exp( ),Fo Fo� � �1

ãäå >�1; q xst ( ) âûáèðàëîñü òàêèì: S L x( | | )� (ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííàÿ

íà ïðîìåæóòêå [ , ]�L L íàãðóçêà) èëè �( )õ (ñîñðåäîòî÷åííàÿ ñèëà).

Íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî àíàëèçà ýòîé çàäà÷è ïîêàçàíû íà

ðèñ. 2–6. Íà ðèñ. 2 ïðèâåäåíî ðàñïðåäåëåíèå ñòàöèîíàðíîãî êîíòàêòíîãî

äàâëåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ èçìåíåíèÿ íàãðóçêè ñîîòâåòñòâåííî ïî çàêîíàì q xst ( )�� S x( | | )5 èëè q x xst ( ) ( ).�� Êðèâûå 1–3 ïîëó÷åíû ñîîòâåòñòâåííî ïðè



çíà÷åíèÿõ �0 5, , 1,0 è 1,5, îïðåäåëÿþùèõ èíòåíñèâíîñòü òåïëîâûäåëåíèÿ.

Âèäíî, ÷òî ïîâûøåíèå èíòåíñèâíîñòè òåïëîâûäåëåíèÿ ïðèâîäèò ê óìåíü-

øåíèþ ó÷àñòêà êîíòàêòà, îäíàêî ïðè ýòîì óâåëè÷èâàåòñÿ ìàêñèìàëüíîå

çíà÷åíèå êîíòàêòíîãî äàâëåíèÿ è íåñêîëüêî èçìåíÿåòñÿ åãî ðàñïðåäåëåíèå

ïî îòíîøåíèþ ê ðàñïðåäåëåíèþ êîíòàêòíûõ íàïðÿæåíèé â óïðóãîé çàäà÷å.

Äèàïàçîí èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà 0! îãðàíè÷èâàåòñÿ âåëè÷èíîé kr =3 26,

[7, 11], ïîçâîëÿþùåé ïîëó÷èòü ðåøåíèå çàäà÷è ïðè ñòàöèîíàðíîì òåïëî-

âûäåëåíèè â óñëîâèÿõ ïîëíîãî êîíòàêòà ñëîÿ è îñíîâàíèÿ.

Ðàñïðåäåëåíèå ñòàöèîíàðíîé òåìïåðàòóðû íà ïîâåðõíîñòè ó�0 ïðè

óñëîâèè ñòàöèîíàðíîãî òåïëîâûäåëåíèÿ, âûçâàííîãî ïðèæèìàþùåé íàãðóç-

êîé q x S xst ( ) ( | | ),� �5 ïðèâåäåíî íà ðèñ. 3.

Èññëåäîâàíèÿ ðåøåíèÿ êâàçèñòàòè÷åñêîé çàäà÷è ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè

âûïîëíåíèè óñëîâèÿ � kr êîíòàêòíûå íàïðÿæåíèÿ ìîíîòîííî ïðèáëèæà-

þòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùåìó ñòàöèîíàðíîìó çíà÷åíèþ, ïîñêîëüêó ïðè óêàçàí-

íîì âûøå âûáîðå ïðèæèìàþùåé íàãðóçêè è ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ñóùåñò-

âóþò ñòàöèîíàðíûå çíà÷åíèÿ, à õàðàêòåð èõ èçìåíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûáî-

ðîì çàâèñèìîñòåé èçìåíåíèÿ ñî âðåìåíåì íàãðóçêè è ñêîðîñòè ïåðåìåùå-

íèÿ. Â ÷àñòíîñòè, ïðè âûáîðå ïåðâîé çàêîíîìåðíîñòè (èçìåíåíèå ñî âðå-

ìåíåì íàãðóçêè) âåëè÷èíà îáëàñòè êîíòàêòà çà âðåìÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà

íå èçìåíÿåòñÿ, ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ îáùèìè ñâîéñòâàìè “ãëàäêîãî óìåíüøà-

þùåãîñÿ êîíòàêòà” [6, 18]:

îáëàñòü êîíòàêòà èçìåíÿåòñÿ ñêà÷êîîáðàçíî îò íà÷àëüíîé ôîðìû è

ðàçìåðà ïðè ïðèëîæåíèè ïåðâîãî ïðèðîñòà íàãðóçêè;



áa

Ðèñ. 2. Ðàñïðåäåëåíèå ñòàöèîíàðíîãî êîíòàêòíîãî äàâëåíèÿ ïðè èçìåíåíèè íàãðóçêè ïî

çàêîíàì q x S xst ( ) ( | |)� �5 – à è q x xst ( ) ( )�� – á: 1 – � 0 5, ; 2 – �1 0, ; 3 – �1 5, . (Øòðèõ-

ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ è êðèâûå 0 îïðåäåëÿþò êîíòàêòíîå äàâëåíèå äëÿ óïðóãîé çàäà÷è; øòðè-

õîâûå ëèíèè – êîíòàêòíîå äàâëåíèå, ïîëó÷åííîå â ïðåäïîëîæåíèè ïîëíîãî êîíòàêòà ñëîÿ è

îñíîâàíèÿ [7].)

åñëè âåëè÷èíà íàãðóçêè óâåëè÷èâàåòñÿ, à åå ãåîìåòðèÿ íå èçìåíÿåòñÿ, òî

ôîðìà èëè ðàçìåðû îáëàñòè êîíòàêòà íå èçìåíÿþòñÿ;

ïåðåìåùåíèÿ, äåôîðìàöèè è íàïðÿæåíèÿ óâåëè÷èâàþòñÿ ïðÿìî ïðîïîð-

öèîíàëüíî íàãðóçêå.

Íà ðèñ. 4 ïîêàçàíî ðàñïðåäåëåíèå êâàçèñòàöèîíàðíîãî êîíòàêòíîãî

äàâëåíèÿ, âûçâàííîãî íàãðóçêîé q x S x( , ) ( | | )( exp( ))Fo Fo� � � �5 1 ( ,Bi�2 0,

�1 0, ) äëÿ çíà÷åíèé Fo�1, 2 è 4.

Ïðè âûáîðå âòîðîé çàêîíîìåðíîñòè èçìåíåíèÿ ñî âðåìåíåì íàãðóçêè è

ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ íàáëþäàåòñÿ ìîíîòîííîå óìåíüøåíèå ó÷àñòêà êîí-

òàêòà (ðèñ. 5). Êðîìå òîãî, îïðåäåëåííûå âûøå íàãðóçêà è ñêîðîñòü ïåðå-

ìåùåíèÿ, ïðèíèìàþùèå ñòàöèîíàðíûå çíà÷åíèÿ ïðè 4,5 Fo, îïðåäåëÿþò ïðî-

äîëæèòåëüíîñòü ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ äëÿ êîíòàêòíûõ íàïðÿæåíèé â ãðà-

íèöå 6Fo.

Òåìïåðàòóðà íà ïîâåðõíîñòè êîíòàêòà, ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé ïðèâå-

äåíî íà ðèñ. 6, íåñêîëüêî ìåäëåííåå âûõîäèò íà ñòàöèîíàðíîå çíà÷åíèå

( , ),Fo= 7 5 à íåêîòîðîå ðàçëè÷èå â õàðàêòåðå ðàñïðåäåëåíèÿ è çíà÷åíèÿõ

òåìïåðàòóðû, ïîëó÷åííûõ ïðè ïåðâîé è âòîðîé çàêîíîìåðíîñòÿõ èçìåíåíèÿ

íàãðóçêè è ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ, îáóñëîâëåíî âëèÿíèåì âåëè÷èíû ó÷àñòêà

êîíòàêòà.

Ìåòîäû, èñïîëüçóåìûå ïðè èññëåäîâàíèè çàäà÷è ñ îòðûâîì, ïîçâîëÿþò

ðàññìîòðåòü âçàèìîäåéñòâèå óïðóãîãî ñëîÿ ñ æåñòêèì îñíîâàíèåì, êîãäà

íà÷àëüíûé êîíòàêò ïðîèñõîäèò ïî îãðàíè÷åííîé ïîâåðõíîñòè èëè ïî ëèíèè.

Ýòî âîçìîæíî, åñëè, ñîãëàñíî òåîðèè Ãåðöà [19], âåðòèêàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ

ïîâåðõíîñòè ó�0 òåëà îò ñèëîâûõ è òåïëîâûõ ôàêòîðîâ ñ äîñòàòî÷íîé



Ðèñ. 3 Ðèñ. 4

Ðèñ. 3. Ðàñïðåäåëåíèå ñòàöèîíàðíîé òåìïåðàòóðû íà ïîâåðõíîñòè ó� 0 ïðè ïðèæèìàþùåé

íàãðóçêå q x S xst ( ) ( | |),� �5 Bi � 2 0, . (Îáîçíà÷åíèÿ òå æå, ÷òî è íà ðèñ. 2.)

Ðèñ. 4. Ðàñïðåäåëåíèå êâàçèñòàöèîíàðíîãî êîíòàêòíîãî äàâëåíèÿ, âûçâàííîãî íàãðóçêîé

q x S x( , ) ( | |)( exp( ))Fo Fo� � � �5 1 ( , , , )Bi � �2 0 1 0 äëÿ ðàçíûõ çíà÷åíèé Fo: 1 – Fo�1; 2 –

Fo� 2; 3 – Fo� 4. (Øòðèõîâàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò äàâëåíèþ äëÿ ñòàöèîíàðíîé çàäà÷è.)

òî÷íîñòüþ ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü âåðòèêàëüíûìè ïåðåìåùåíèÿìè îò ýòèõ

æå ôàêòîðîâ ïîâåðõíîñòè ó�0 ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî ñëîÿ. Â ïåðâîì ñëó÷àå

ïîëó÷èì çàäà÷ó ñ ôèêñèðîâàííûì ó÷àñòêîì êîíòàêòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ

(ãðàíè÷íîå óñëîâèå (42) îñòàâëÿåì áåç èçìåíåíèÿ), âî âòîðîì – ñ íåèçâåñòíîé

(u x u x Axy yn( , , ) ( , , ) )0 0 0 02Fo Fo� ? � � , îïðåäåëÿåìîé èç óñëîâèÿ îãðàíè-

÷åííîñòè êîíòàêòíûõ íàïðÿæåíèé (ïàðàìåòðîì n çàäàåì ïëîòíîñòü êîíòàê-

òà [19], êîýôôèöèåíòîì À – êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè òåëà â îáëàñòè âçàèìî-

äåéñòâèÿ). Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïåðåéäåì ê àíàëîãè÷íîìó (7) èíòåãðàëüíîìó

óðàâíåíèþ ñ çàìåíîé âî âòîðîì ñëó÷àå I x( , )Fo íà I x Ax n( , ) .Fo � 2

Åñëè ó÷àñòîê êîíòàêòà ôèêñèðîâàí, òî êîíòàêòíûå íàïðÿæåíèÿ íåîãðà-

íè÷åííî âîçðàñòàþò ïðè ïðèáëèæåíèè ê ãðàíèöå (êîðíåâàÿ îñîáåííîñòü).

Îäíàêî î÷åâèäíûì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ñèíãóëÿðíîñòü êîíòàêòíîãî äàâëåíèÿ

áóäåò èìåòü ìåñòî òîëüêî ïðè óñëîâèè a aef� , ãäå aef – ïîëóøèðèíà

ó÷àñòêà êîíòàêòà, ïî êîòîðîé ñëîé âçàèìîäåéñòâóåò ñ îñíîâàíèåì ïðè îòðû-

âå, íàïðèìåð, åñëè q x xst ( ) ( )�� è �0, òî aef =0 857, . Êàê ïîêàçûâàþò

÷èñëåííûå ðàñ÷åòû, äëÿ îïðåäåëåííûõ íàãðóçîê ìîæíî òàê ïîäîáðàòü ïàðà-

ìåòðû èõ ðàñïðåäåëåíèÿ, ÷òî êîíòàêò òåëà ñ îñíîâàíèåì áóäåò ïðîèñõîäèòü

íà ó÷àñòêå, ìåíüøåì íà÷àëüíîãî. Â ÷àñòíîñòè, åñëè ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè

L0 êîíòàêòíûå íàïðÿæåíèÿ, âûçâàííûå íàãðóçêîé q x S L xst ( ) ( | | ),� �0 áóäóò

ñèíãóëÿðíûìè, òî, óìåíüøàÿ èíòåðâàë ïðèëîæåíèÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäå-

ëåííîé íàãðóçêè, ïîëó÷àåì ðåãóëÿðíîå ðàñïðåäåëåíèå êîíòàêòíûõ íàïðÿæå-

íèé. Êðîìå òîãî, òåïëîâûäåëåíèå, äàæå åñëè íàãðóçêà îáåñïå÷èâàåò êîíòàêò

ïî ôèêñèðîâàííîé ïëîùàäêå, ìîæåò áûòü ïðè÷èíîé îòðûâà òåëà îò îñíî-

âàíèÿ íà êðàÿõ ó÷àñòêà êîíòàêòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ.



Ðèñ. 5 Ðèñ. 6

Ðèñ. 5. Êèíåòèêà èçìåíåíèÿ ïîëóøèðèíû ó÷àñòêà êîíòàêòà a( )Fo , Bi � 2 0, . (Îáîçíà÷åíèÿ òå

æå, ÷òî è íà ðèñ. 2,á.)

Ðèñ. 6. Ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû íà ïîâåðõíîñòè êîíòàêòà: 1–4 ïîñòðîåíû ïðè �1 0, ,

Bi � 2 0, è ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿì Fo�1 0, , 2,0, 4,0 è 6,0; òî÷êàìè îáîçíà÷åíà ñòàöè-

îíàðíàÿ òåìïåðàòóðà. (Ñïëîøíûå ëèíèè – èçìåíåíèå ñî âðåìåíåì �*, øòðèõîâûå – q*).

Ýòè âûâîäû èëëþñòðèðóþò ðèñ. 7 è 8, ãäå ïðèâåäåíî ðàñïðåäåëåíèå

ñòàöèîíàðíîãî è êâàçèñòàöèîíàðíîãî êîíòàêòíîãî äàâëåíèÿ ïðè ïðèæàòèè

òåëà ê îñíîâàíèþ ñîñðåäîòî÷åííîé ñèëîé. Óâåëè÷åíèå èíòåíñèâíîñòè òåïëî-

îáðàçîâàíèÿ ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ êîýôôèöèåíòà ïðè ñèíãóëÿðíîñòè â

âûðàæåíèè äëÿ êîíòàêòíîãî äàâëåíèÿ, ïîêà îí íå ñòàíåò ìåíüøå íóëÿ, ÷òî

ñâèäåòåëüñòâóåò îá îòðûâå òåëà îò îñíîâàíèÿ íà êðàþ ôèêñèðîâàííîãî

ó÷àñòêà êîíòàêòà. Ñ äàëüíåéøèì ðîñòîì èíòåíñèâíîñòè òåïëîîáðàçîâàíèÿ

ïëîùàäêà âçàèìîäåéñòâèÿ óìåíüøàåòñÿ.

Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé êâàçèñòàòè÷åñêèõ êîíòàêòíûõ íàïðÿæåíèé äëÿ

ñëó÷àÿ, êîãäà íåíàãðóæåííûé êîíòàêò ìåæäó òåëîì è îñíîâàíèåì ïðîèñõî-

äèò âäîëü ïðÿìîé ëèíèè (òî÷å÷íûé êîíòàêò), ïðèâåäåíû íà ðèñ. 9. Âèäíî,

÷òî ïðè ïåðâîé çàêîíîìåðíîñòè èçìåíåíèÿ íàãðóçêè è ñêîðîñòè ïåðåìåùå-

íèÿ (ðèñ. 1) îñíîâíóþ ðîëü èãðàþò óïðóãèå äåôîðìàöèè, ïðè âòîðîé –

çàêîíîìåðíîñòè òåïëîâûå (ðèñ. 2). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñî âðåìåíåì â

ïåðâîì ñëó÷àå âåëè÷èíà ïðîìåæóòêà êîíòàêòà óâåëè÷èâàåòñÿ, âî âòîðîì –

óìåíüøàåòñÿ.

Íà ðèñ. 10 ïîêàçàíî èçìåíåíèå ñî âðåìåíåì âåëè÷èíû ïîëóøèðèíû

ó÷àñòêà êîíòàêòà äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà (Bi� �2 0 0 5, , ,A è

n�1).

Êðèâûå äëÿ íåñòàöèîíàðíîé òåìïåðàòóðû íà ïîâåðõíîñòè êîíòàêòà

ïðèâåäåíû íà ðèñ. 11. Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, âåëè÷èíà ó÷àñòêà êîíòàêòà

ñóùåñòâåííî âëèÿåò íà ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû: â îäèíàêîâûå ìîìåíòû

âðåìåíè ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû ïðè áîëüøåì ó÷àñòêå êîíòàê-



Ðèñ. 7 Ðèñ. 8

Ðèñ. 7. Ðàñïðåäåëåíèå ñòàöèîíàðíîãî êîíòàêòíîãî äàâëåíèÿ ïðè âæàòèè òåëà â îñíîâàíèå

ñîñðåäîòî÷åííîé ñèëîé: 1 – � 0 5, ; 2 – �1 0, ; 3 – �1 5, . (Øòðèõîâàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò

äàâëåíèþ äëÿ óïðóãîé çàäà÷è.)

Ðèñ. 8. Ðàñïðåäåëåíèå êâàçèñòàöèîíàðíîãî êîíòàêòíîãî äàâëåíèÿ ïðè ïðèæàòèè òåëà ê

îñíîâàíèþ ñîñðåäîòî÷åííîé ñèëîé ñ èçìåíåíèåì ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ �* ( ) exp( )Fo Fo� � �1 :

0 – áåçðàçìåðíîå âðåìÿ Fo� 0; 1 – Fo� 0 5, ; 2 – Fo�1 0, ; 3 – Fo� 2 0, ; 4 – Fo� 4 0, ( , ,�1 5

Bi � 2 0, ).

òà ÿâëÿåòñÿ ìåíüøèì, ïðè ìåíüøåì ó÷àñòêå êîíòàêòà òåìïåðàòóðà ñíèæàåòñÿ

áûñòðåå.

Ðîñò ïëîòíîñòè êîíòàêòà n�2 3, , ... ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ ïîëóøèðè-

íû ó÷àñòêà êîíòàêòà, ÷òî, â îòëè÷èå îò çàäà÷è Ãåðöà [19], îãðàíè÷èâàåòñÿ

âåëè÷èíîé aef .



Ðèñ. 9. Ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ p x( , )Fo ïðè èçìåíåíèè íàãðóçêè ( ( , ) ( )( exp( ))*q x xFo Fo� � �� 1 ,

�* ( )Fo �1) – à è ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ( ( , ) ( ),*q x xFo �� * ( ) exp( )Fo Fo� � �1 ) – á: 0 – Fo� 0; 1 –

Fo� 0 5, ; 2 – Fo�1 0, ; 3 – Fo� 2 0, ; 4 – Fo� 4 0, (�1 0, , Bi � 2 0, , A � 0 5, , n�1). Øòðèõîâûå

ëèíèè ïîñòðîåíû ïðè äàâëåíèè äëÿ ñòàöèîíàðíîé çàäà÷è.

a á

Ðèñ. 10 Ðèñ. 11

Ðèñ. 10. Êèíåòèêà èçìåíåíèÿ ïîëóøèðèíû ó÷àñòêà êîíòàêòà a( )Fo äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé

: 0 – � 0; 1 – � 0 5, ; 2 – �1 0, ; 3 – �1 5, . (Øòðèõîâûå ëèíèè îïðåäåëÿþò ïîëóøèðèíó

ïðîìåæóòêà âçàèìîäåéñòâèÿ äëÿ ñòàöèîíàðíîé (ïðè � 0 – äëÿ óïðóãîé) çàäà÷è.)

Ðèñ. 11. Èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû íà ïîâåðõíîñòè êîíòàêòà ïðè Bi � 2 0, , A � 0 5, è n�1: 0 –

Fo� 0; 1 – Fo� 0 5, ; 2 – Fo�1 0, ; 3 – Fo� 2 0, ; 4 – Fo� 4 0, ; 5 – Fo� 6 0, . (Ñïëîøíûå ëèíèè –

èçìåíåíèå ñêîðîñòè äâèæåíèÿ (ïðè ïîñòîÿííîé íàãðóçêå), øòðèõîâûå – èçìåíåíèå íàãðóçêè

(ïðè íåèçìåííîé ñêîðîñòè); � – òåìïåðàòóðà äëÿ ñòàöèîíàðíîé çàäà÷è.)

Ð å ç þ ì å

Ðîçâ’ÿçàíî òåðìîïðóæíó çàäà÷ó âçàºìîä³¿ ïðóæíîãî øàðó ç æîðñòêîþ îñíî-

âîþ, â³ä ÿêî¿ ò³ëî ìîæå â³ää³ëÿòèñÿ ï³ä ä³ºþ ëîêàë³çîâàíîãî ïðèòèñêíîãî

íàâàíòàæåííÿ. Äîñë³äæåíî âïëèâ íåñòàö³îíàðíîãî ôðèêö³éíîãî òåïëîâèä³-

ëåííÿ, ùî ñóïðîâîäæóº ïåðåì³ùåííÿ øàðó ïî ïîâåðõí³ òåïëî³çîëüîâàíî¿

îñíîâè, òà ôóíêö³îíàëüíî¿ çàëåæíîñò³ ïðèòèñêíîãî íàâàíòàæåííÿ íà öåé

ïðîöåñ. Ïîêàçàíî, ùî çá³ëüøåííÿ ³íòåíñèâíîñò³ òåïëîâèä³ëåííÿ ïðèçâîäèòü

äî çìåíøåííÿ îáëàñò³ êîíòàêòó, äå çì³íà ç ÷àñîì îñòàííüîãî âèçíà÷àºòüñÿ

âèáîðîì ôóíêö³¿ çì³íè íàâàíòàæåííÿ òà øâèäêîñò³ ðóõó: ÿêùî â³ä ÷àñó

çàëåæèòü íàâàíòàæåííÿ, òî îáëàñòü êîíòàêòó º íåçì³ííîþ, ÿêùî çì³íþºòüñÿ

øâèäê³ñòü ðóõó, òî ñïîñòåð³ãàºòüñÿ ìîíîòîííå ¿¿ çìåíøåííÿ.

1. Íèêèøèí Â. Ñ., Øàïèðî Ã. Ñ. Ïðîñòðàíñòâåííûå çàäà÷è äëÿ ìíîãî-

ñëîéíûõ ñðåä: Òð. âû÷èñëèò. öåíòðà ÀÍ ÑÑÑÐ. – Ì., 1970. – 260 ñ.

2. Íèêèøèí Â. Ñ., Øàïèðî Ã. Ñ. Çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ ìíîãî-

ñëîéíûõ ñðåä. – Ì.: Íàóêà, 1973. – 132 ñ.

3. Ïåòðóøèí Â. È., Ïðèâàðíèêîâ À. Ê., Øåâëÿêîâ Þ. À. Ê ðåøåíèþ çàäà÷

äëÿ ìíîãîñëîéíîãî îñíîâàíèÿ // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ìåõàíèêà. – 1965. –

¹ 2. – Ñ. 138 – 143.

4. Ïðèâàðíèêîâ À. Ê. Î êîíòàêòå ñëîÿ ñ óïðóãèì ïîëóïðîñòðàíñòâîì //

Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. – 1972. – ¹ 4. – Ñ. 163 – 167.

5. Íàóìîâ Þ. À., Íèêèôîðîâà Â. Ä. Îá îòñòàâàíèè óïðóãîãî ñëîÿ // Ïðèêë.

ìåõàíèêà. – 1971. – 7, âûï. 11. – Ñ. 33 – 40.

6. Keer L., Dundurs J., and Tsai K. C. Problem involving receding contact

between a layer and a half-space // Trans ASME. Ser. E: J. Appl. Mech. –

1972. – 39, No. 6. – P. 1115 – 1121.

7. Êðàñíþê Ï. Ï. Êâàçèñòàòè÷åñêîå êîíòàêòíîå âçàèìîäåéñòâèå äâóõ ñëîåâ

ñ ôðèêöèîííûì òåïëîîáðàçîâàíèåì // Ôèç.-õèì. ìåõàíèêà ìàòåðèàëîâ.

– 1999. – 35, ¹ 2. – Ñ. 33 – 43.

8. Ãàëèöûí À. Ñ., Æóêîâñêèé À. Í. Èíòåãðàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è ñïå-

öèàëüíûå ôóíêöèè â çàäà÷àõ òåïëîïðîâîäíîñòè. – Êèåâ: Íàóê. äóìêà,

1976. – 282 ñ.

9. Êîðí Ã., Êîðí Ò. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ è

èíæåíåðîâ. – Ì.: Íàóêà, 1977. – 831 ñ.

10. Ëûêîâ À. Â. Òåîðèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. – Ì.: Âûñø. øê., 1967. – 596 ñ.

11. Êðàñíþê Ï. Ï. Èññëåäîâàíèå îòðûâà êîíòàêòèðóþùèõ ïîâåðõíîñòåé

ïðè òåðìîóïðóãîì âçàèìîäåéñòâèè äâóõ öèëèíäðîâ ñ íåñòàöèîíàðíûì

ôðèêöèîííûì òåïëîâûäåëåíèåì // Ïðèêë. ìåõàíèêà è òåîðåò. ôèçèêà. –

2004. – 45, ¹ 5. – Ñ. 117 – 130.

12. Àëåêñàíäðîâ Â. Ì., Êîâàëåíêî Å. Â. Çàäà÷è ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä ñî

ñìåøàííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. – Ì.: Íàóêà, 1986. – 336 ñ.

13. Ãåëüôàíä È. Ì., Øèëîâ Ã. Å. Îáîáùåííûå ôóíêöèè è äåéñòâèÿ íàä

íèìè. – Ì.: Ôèçìàòãèç, 1959. – 472 ñ.



14. Òðàíòåð Ê. Äæ. Èíòåãðàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçè-

êå. – Ì.: Ãîñòåõòåîðåòèçäàò, 1956. – 204 ñ.

15. Íàòàíñîí È. Ï. Êîíñòðóêòèâíàÿ òåîðèÿ ôóíêöèé. – Ì.–Ë.: Ãîñòåõ-

òåîðåòèçäàò, 1949. – 688 ñ.

16. Ïîïîâ Ã. ß. Êîíöåíòðàöèÿ óïðóãèõ íàïðÿæåíèé âîçëå øòàìïîâ, ðàçðå-

çîâ, òîíêèõ âêëþ÷åíèé è ïîäêðåïëåíèé. – Ì.: Íàóêà, 1982. – 344 ñ.

17. Âîðîâè÷ È. È., Àëåêñàíäðîâ Â. Ì., Áàáåøêî Â. À. Íåêëàññè÷åñêèå

ñìåøàííûå çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè. – Ì.: Íàóêà, 1974. – 456 ñ.

18. Äæîíñîí Ê. Ìåõàíèêà êîíòàêòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. – Ì.: Ìèð, 1989. –

512 ñ.

19. Øòàåðìàí È. ß. Êîíòàêòíàÿ çàäà÷à òåîðèè óïðóãîñòè. – Ì.: Ãîñòåõ-

òåîðåòèçäàò, 1949. – 270 ñ.




ÕÐÎÍÈÊÀ

Æóðíàëó “Àâòîìàòè÷åñêàÿ ñâàðêà” – 60

Æóðíàë “Àâòîìàòè÷åñêàÿ ñâàðêà” áûë îñíîâàí ïî èíèöèàòèâå àêàäå-

ìèêà Å. Î. Ïàòîíà â ìàðòå 1948 ã. Ñ 1953 ã. è ïî íàñòîÿùåå âðåìÿ ãëàâíûì

ðåäàêòîðîì æóðíàëà ÿâëÿåòñÿ àêàäåìèê Á. Å. Ïàòîí. Çà ýòî âðåìÿ â æóðíàëå

îïóáëèêîâàíî áîëåå 12000 ñòàòåé ïî ðàçëè÷íûì ïðîáëåìàì ñâàðî÷íîãî

ïðîèçâîäñòâà. Äîâîëüíî áûñòðî è íà ìíîãèå ãîäû æóðíàë çàâîåâàë øèðîêóþ

÷èòàòåëüñêóþ àóäèòîðèþ. Ýòîìó ñïîñîáñòâîâàëî ïðåæäå âñåãî òî, ÷òî â íåì

âïåðâûå îñâåùàëèñü ìíîãèå âûäàþùèåñÿ ðàçðàáîòêè è çàòåì ïðîñëåæè-

âàëîñü èõ ðàçâèòèå. Ñðåäè íèõ: äóãîâàÿ ñâàðêà ñ ïðèíóäèòåëüíûì ôîðìè-

ðîâàíèåì ìåòàëëà øâà; ýëåêòðîøëàêîâàÿ ñâàðêà; òåõíîëîãèÿ èçãîòîâëåíèÿ

ëèñòîâûõ êîíñòðóêöèé ìåòîäîì ðóëîíèðîâàíèÿ; äóãîâàÿ ñâàðêà ïî áåçêèñëî-

ðîäíîìó ôëþñó; ìíîãîñëîéíûå êîíñòðóêöèè; ñâàðíî-êîâàíûå è ñâàðíî-ëèòûå

êîíñòðóêöèè; ñâàðêà â óãëåêèñëîì ãàçå ïðîâîëîêîé ìàëîãî äèàìåòðà; ñâàðêà

ïî àêòèâèðîâàííîìó ôëþñó; èìïóëüñíî-äóãîâàÿ ñâàðêà ïëàâÿùèìñÿ ýëåêòðî-

äîì; ìíîãîýëåêòðîäíàÿ äóãîâàÿ ñâàðêà â îáùóþ âàííó; êîíòàêòíàÿ ñâàðêà

íåïðåðûâíûì îïëàâëåíèåì ðåëüñîâ è òðóá; ýëåêòðîííî-ëó÷åâàÿ ñâàðêà; ïàðî-

ôàçíûå òåõíîëîãèè; ìèêðîïëàçìåííàÿ ñâàðêà; ìåõàíèçèðîâàííàÿ ìîêðàÿ

ñâàðêà ïîä âîäîé; ïëàçìåííàÿ ðåçêà; ñâàðêà è ðåçêà âçðûâîì; òåõíîëîãèÿ

èçãîòîâëåíèÿ êðèîãåííîé òåõíèêè; ñâàðêà è íàïûëåíèå â êîñìîñå; ñâàðêà

êîìïîçèòîâ; ïëàçìåííîå è ãàçîòåðìè÷åñêîå íàïûëåíèå è ò.ä.

Ïî øèðèíå îõâàòà è ãëóáèíå îñâåùåíèÿ îïóáëèêîâàííûõ ìàòåðèàëîâ

ïîäøèâêè æóðíàëà ÷àñòî íàçûâàþò ñâàðî÷íîé ýíöèêëîïåäèåé. Æóðíàë ïîìîã

ñòàíîâëåíèþ íå îäíîãî ïîêîëåíèÿ ñâàðùèêîâ, äëÿ êîòîðûõ îí ñëóæèë íà-

ñòîëüíûì ïîñîáèåì. Æóðíàë “Àâòîìàòè÷åñêàÿ ñâàðêà” ïîïóëÿðåí ñðåäè

ó÷åíûõ, ïðåïîäàâàòåëåé, ðóêîâîäèòåëåé è ñïåöèàëèñòîâ ìíîãèõ ïðåäïðèÿ-

òèé è ôèðì Óêðàèíû, ñòðàí ÑÍÃ è äàëüíåãî çàðóáåæüÿ.

Â ïîñëåäíåå âðåìÿ æóðíàë ïðåòåðïåë èçìåíåíèÿ. Îò ñòðîãîãî àêàäåìè-

÷åñêîãî èçäàíèÿ ïðîøëûõ ëåò åãî îòëè÷àþò ñîâðåìåííûé âèä, øèðîêèé

ñïåêòð ðàçíîîáðàçíîé èíôîðìàöèè íå òîëüêî íàó÷íî-òåõíè÷åñêîãî, íî è

ïðîèçâîäñòâåííîãî õàðàêòåðà, çàìåòíàÿ äîëÿ ðåêëàìû.

Çàì. ãëàâíîãî ðåäàêòîðà

Â. Í. Ëèïîäàåâ


Matveev V. V. and Bovsunovskii O. A.

Approximated Analytical Determination of

Vibrodiagnostic Parameters of a Cracked

Elastic Body under Subharmonic Resonance

Conditions. Part 1. Strong Resonance //

Problems of Strength. – 2008. – No. 3. – P. 5–

16.

Using the approach propped by the authors in

Part 1 we discuss the approximated calculation

of vibrodiagnostic parameters of oscillatory pro-

cess of an elastic body with a closed crack in

the field of a strong subharmonic resonance of

1/2 order, whereas the amplitude of lower har-

monics of the range of free vibrations is higher

than the main amplitude of forced vibrations.

Manevich A. I. and Prokopalo E. F. Stability of

Orthotropic Thin-Walled Cylindrical Shells

in Rotation. Part 1. Theory // Problems of

Strength. – 2008. – No. 3. – P. 17–28.

Using the method of expansion by small pa-

rameter, we obtained an analytical solution of

the stability problem for orthotropic and struc-

turally-orthotropic cylindrical shells in torsion.

An available classical solution is treated as the

first approximation for this solution. Detailed

numerical analysis is provided for isotropic and

orthotropic shells. It is shown that the classical

solution error amounts to 10–20% in case of iso-

tropic shells of relatively small and average

lengths. For orthotropic shells, the classical so-

lution error is larger, as rule, than that for

isotropic ones, and can reach 40%.

Lebedev A. A. and Shvets V. P. Damage

Evaluation of Structural Steels by Scatter

Parameters of Hardness Characteristics of

Materials in Loaded and Unloaded

Conditions // Problems of Strength. – 2008. –

No. 3. – P. 29–37.

We discuss new experimental results on hard-

ness of structural steels of 25, 45, and 0N9

grades obtained using flat specimens simulta-

neously subjected to uniaxial tension with peri-

odic unloading at different levels of residual

strain/ Based on results of numerous (up to 30)

measurements, we have determined the average

values of hardness characteristics of these mate-

rials and parameters of their scatter (by

Humbel) in tests of loaded and unloaded speci-

mens. We have substantiated the technique of

determination of sensitivity indices of the mea-

sured hardness values and their scatter level as

to the loading mode, which makes it possible to

refine the hardness characteristics of materials

used in operating machinery, which are

determined during technical diagnostics of this

machinery.

Borodachev N. M. and Astanin V. V. Solution

of the Elastic Theory Spatial Problem in

Displacements for an Isotropic Elastic Layer

// Problems of Strength. – 2008. – No. 3. – P. 38–

46.

We propose a new method of solving the elastic

theory spatial problem for a layer in displace-

ments. Within framework of this approach it is

much easier to satisfy the boundary conditions

on the layer surfaces, as compared to other

known techniques. We discuss an example, for

which we provide numeric results.

Stepanov G. V., Babutskii A. I., and Mameev

I. A. Experimental Evaluation of the Electric

Current Pulse Effect on Residual Stresses in

Ti–Al–Si–Ag Coating // Problems of Strength.

– 2008. – No. 3. – P. 47–52.

According to test results and FEM simulation

analysis in elastic formulation, high-level resid-

ual stresses are generated in an thin oxida-

tion-resistant coating applied to a titanium

alloy base. Electric current pulse, subjected to a

coated specimen, results in a significant drop of

the residual stress average values in the

coating.

Karachun V. V., Kayuk Ya. F., and Mel’nik V. N.

Three-Dimensional Dynamical Problem of

Float Gyroscope Suspension // Problems of

Strength. – 2008. – No. 3. – P. 53–69.

We analyze the dynamics of a float gyroscope

suspension. A model is proposed and the

stress-strain state of the float surface is analyti-

cally described. In the general case, we study

an arbitrarily traced meridian line, which cov-

ers particular cases of convex, concave and cy-

lindrical float surfaces. We explain the origin of

generation of an additional error of a gyroscope

induced by the penetrating acoustic radiation.

Ignatovich S. R., Zakiev I. M., and Borisov

D. I. Estimation of Structural/Deformation

Abstracts


Heterogeneity of a Thin Surface Layer of

Materials by the Scratching Technique //

Problems of Strength. – 2008. – No. 3. – P. 70–

81.

Structural/deformation heterogeneity of a sur-

face layer is estimated by the scratching tech-

nique with registration of variation of the

tangential resistance force with the indenter mo-

tion. For the Vickers indenter penetration

depths of the same order as surface roughness

parameters we seek a function, which describes

the heterogeneity of the material structural/de-

formation properties along the scan trajectory

irrelative of the surface topography.

Shul’ginov B. S. Determination of the

Exponential Function Parameters for

Fatigue Curve Description // Problems of

Strength. – 2008. – No. 3. – P. 82–91.

We propose simple techniques for determina-

tion of the parameters of an exponential equa-

tion used for fatigue curve description. It is

shown that the exponential function provides

closer fit of the fatigue curve with experimental

points obtained in fatigue tests of specimens, as

compared to power or hyperbolic functions,

which are used in normative testing documents.

Vorob’ev E. V. Particular Features of Neck

Formation in Low-Temperature Discontinuous

Yielding of Metals. Part 1. Axisymmetric

Deformation // Problems of Strength. – 2008.

– No. 3. – P. 92–99.

In order to determine true values of mechanical

characteristics of metals at temperatures below

30 K, we study the particular features of multi-

ple neck formation in cylindrical specimens of

structural alloys used in cryogenic equipment,

by which the effect of low-temperature discon-

tinuous yielding is manifested. Our estimation

of the rigidity and heterogeneity of the

multiaxial stress state of typical necks has

shown that it is insignificantly different from

the linear one, whereas usage of such speci-

mens for standard mechanical tests in

cryogenic conditions is justified.

Orynyak I. V. and Radchenko S. A. Analytical

Solution of the Brazier Problem for

Thin-Walled Pipes with an Initial Cross-

Sectional Malconformation Subjected to

Pressure Load // Problems of Strength. –

2008. – No. 3. – P. 100–123.

We propose an analytical method for solution

of geometrically non-linear Brazier problem for

thin-walled pipes with an initial cross-sectional

malconformation subjected to pressure load.

We have obtained geometrical equations link-

ing the components of displacements with

strains, as well as balance equations, which

take into account variation of the pipe cross-sec-

tional curvature and position of its axis. We pro-

vide a solution in the first approximation by the

non-dimensional flexibility parameter and illus-

trate its adequacy by numerous examples. For

the case of joint action of the external bending

moment and pressure, we have obtained a

limiting curve of critical moment versus

pressure values.

Pinyak I. S. Empirical Calculation of Fatigue

Macrocrack Propagation Rate with Elastic-

Plastic Material Conditions in Its Tip for a

Wide Range of Factors and the Material

Local Resistance // Problems of Strength. –

2008. – No. 3. – P. 124–131.

Based on experimental data earlier obtained by

the author, an empirical description is provided

for fatigue propagation rates of short and long

cracks in the process of the material fracture

with account of the effects of a wide range of

factors and local resistance of the material.

Krasnyuk P. P. Thermoelastic Contact

Problem for a Layer Interacting with a Rigid

Foundation for a Case of Nonstationary

Frictional Heat Generation // Problems of

Strength. – 2008. – No. 3. – P. 132–151.

We provide solution to a thermoelastic problem

of an elastic layer interaction with a rigid foun-

dation, from which a contacting body can be

separated due to a localized hold-down load.

We study the effect of nonstationary frictional

heat generation, which accompanies the layer

displacement along the surface of heat-isolated

foundation, as well as the functional relation of

the hold-down load in this process. It is shown

that increase in the heat generation intensity re-

sults in a reduction of the contact zone area,

whereas its variation in time is controlled by

the load variation function and the motion rate:

if the load is time-dependent, then the contact

area remains constant; is the motion rate varies,

then the contact area diminishes monotonically.

Abstracts


²ÍÑÒÈÒÓÒ ÏÐÎÁËÅÌ Ì²ÖÍÎÑÒ²

³ì. Ã. Ñ. Ïèñàðåíêà

ÍÀÖ²ÎÍÀËÜÍÎ¯ ÀÊÀÄÅÌ²¯ ÍÀÓÊ ÓÊÐÀ¯ÍÈ

ÎÃÎËÎØÓª ÊÎÍÊÓÐÑÍÈÉ ÍÀÁ²Ð

â àñï³ðàíòóðó ²íñòèòóòó

ç â³äðèâîì â³ä âèðîáíèöòâà íà 2008 ð³ê çà ñïåö³àëüíîñòÿìè:

• “Ìåõàí³êà äåôîðì³âíîãî òâåðäîãî ò³ëà”

• “Äèíàì³êà òà ì³öí³ñòü ìàøèí”

Äîêóìåíòè çã³äíî ç ïîëîæåííÿì ïðî ï³äãîòîâêó íàóêîâî-ïåäàãîã³÷íèõ ³

íàóêîâèõ êàäð³â ïîäàþòüñÿ äî â³ää³ëó êàäð³â ²íñòèòóòó äî 10 âåðåñíÿ 2008 ð.

Çàðàõóâàííÿ äî àñï³ðàíòóðè ²íñòèòóòó ç 01.11.2008 ð.

Íà ÷àñ íàâ÷àííÿ â àñï³ðàíòóð³ ç â³äðèâîì â³ä âèðîáíèöòâà ³íîãîðîäí³

çàáåçïå÷óþòüñÿ ãóðòîæèòêîì.

Àäðåñà ²íñòèòóòó ïðîáëåì ì³öíîñò³ ³ì. Ã. Ñ. Ïèñàðåíêà ÍÀÍ Óêðà¿íè:

01014, Êè¿â–14, âóë. Òèì³ðÿçåâñüêà, 2,

â³ää³ë êàäð³â.


ÂÍÈÌÀÍÈÞ ÐÓÊÎÂÎÄÈÒÅËÅÉ

ÎÐÃÀÍÈÇÀÖÈÉ È ÏÐÅÄÏÐÈßÒÈÉ,

ÇÀÂÅÄÓÞÙÈÕ ÁÈÁËÈÎÒÅÊÀÌÈ

È ÍÀÓ×ÍÛÕ ÑÎÒÐÓÄÍÈÊÎÂ

Âûïèñûâàéòå æóðíàëû

Íàöèîíàëüíîé aêàäåìèè íàóê Óêðàèíû

«Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè». Ìåæäóíàðîäíûé íàó÷íî-òåõíè÷åñêèé æóðíàë

ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèì èçäàíèåì â Óêðàèíå, â êîòîðîì îñâåùàþòñÿ ðå-

çóëüòàòû ýêñïåðèìåíòàëüíûõ è ôóíäàìåíòàëüíûõ òåîðåòè÷åñêèõ íàó÷íûõ

èññëåäîâàíèé â îáëàñòè ïðî÷íîñòè ìàòåðèàëîâ è ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèé.

Ïóáëèêóåò ñòàòüè íà ðóññêîì, óêðàèíñêîì è àíãëèéñêîì ÿçûêàõ, â

êîòîðûõ ðàññìàòðèâàþòñÿ:

ïðî÷íîñòü ìàòåðèàëîâ è ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèé ïðè ðàçëè÷íûõ âèäàõ

ñèëîâîãî è òåïëîâîãî íàãðóæåíèÿ (îñîáåííî â ýêñòðåìàëüíûõ óñëîâèÿõ);

êðèòåðèè ïðåäåëüíîãî ñîñòîÿíèÿ êîíñòðóêöèé;

òåîðèè ïðî÷íîñòè êîíñòðóêöèé ñ ó÷åòîì ðåàëüíûõ óñëîâèé ýêñïëóà-

òàöèè;

òðåùèíîñòîéêîñòü è òåîðèè ðàçðóøåíèÿ ìàòåðèàëîâ, ýëåìåíòîâ êîíñò-

ðóêöèé;

òåîðèè êîëåáàíèé ðåàëüíûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì;

ðàñ÷åòû íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåìåíòîâ êîíñòðóê-

öèé (ïðèìåíåíèå ñîâðåìåííûõ ìåòîäîâ àíàëèçà);

âëèÿíèå íà ïîêàçàòåëè êîíñòðóêöèîííîé ïðî÷íîñòè ðàçëè÷íûõ ïîêðû-

òèé;

íîâûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ìåòîäû è óñòàíîâêè äëÿ ìåõàíè÷åñêèõ èñïû-

òàíèé.

Ïîäïèñàòüñÿ íà æóðíàë ìîæíî, êàê îáû÷íî, â ìåñòíûõ îòäåëåíèÿõ

ñâÿçè. Æóðíàë âêëþ÷åí â êàòàëîãè Óêðàèíû è Ðîññèè.

Íàø èíäåêñ – 70730.

Ïîäïèñêó íà íàø æóðíàë Âû ìîæåòå îôîðìèòü íåïîñðåäñòâåííî â

ðåäàêöèè æóðíàëà ñ ëþáîãî î÷åðåäíîãî íîìåðà.

Öåíà îäíîãî íîìåðà ñ ó÷åòîì ïî÷òîâûõ ðàñõîäîâ â 2008 ãîäó ñîñòàâèò:

– â ïðåäåëàõ Óêðàèíû 30 ãðí. (~ 6.0 USD).

– çà ïðåäåëàìè Óêðàèíû 300 ðîñ. ðóá. (~ 10.0 USD).

Ïî÷òîâûå ïåðåâîäû íàïðàâëÿòü ïî àäðåñó:

01014, Êèåâ, óë. Òèìèðÿçåâñêàÿ, 2.

Ðåäàêöèÿ æóðíàëà «Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè»

Øèíêàðåíêî Íèíå Ìèõàéëîâíå.

Ñïðàâêè ïî òåëåôîíó: (044) 286 5657

Îòäåëüíûì ïèñüìîì òàêæå íåîáõîäèìî ñîîáùèòü â ðåäàêöèþ òðåáóåìîå êîëè-

÷åñòâî íîìåðîâ, ñóììó è äàòó îòïðàâêè ïåðåâîäà, óêàçàòü ñâîé ïî÷òîâûé àäðåñ.

Îòïðàâêà æóðíàëîâ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñëå ïîñòóïëåíèÿ äåíåã ïîäïèñ÷èêà.


Documents

Проблемы прочности', 2008, № 3 (для ...ipp.kiev.ua/jpp-full/2008/2008_3.pdf · PROBLEMS of STRENGTH International scientific & technical journal ... BORODACHEV