© Edições ASA, Testes e Exame MACS, 2015                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        1  

Proposta  de  Resolução  do  Exame  de  Matemática  Aplicada  às  Ciências  Sociais  –  11º  ano  –  2015  (2ª  Fase)  

 1. Divisor padrão = !""!!"#!!"#!!"#  

!""= 9,65

Filiais A B C D Quota Padrão 300 ∶ 9,65 = 31,088 560 ∶ 9,65 = 58,031 830 ∶ 9,65 = 86,010 240 ∶ 9,65 = 24,870

𝐿 𝐿 + 1   31 31 + 1 = 31,496 58 58 + 1    = 58,498 86 86 + 1 = 86,499 24 24 + 1   = 24,495 Distribuição

dos convites

31 58 86 25

De acordo com o método descrito, a filial A recebe 31 convites, a filial B 58 convites, a filial C 86 convites e a filial D 25 convites.

2. 2.1. O grafo seguinte modela a situação:

Para a alternativa 1, passar pela cidade A e só depois pela cidade E:

Para a alternativa 2, passar pela cidade D antes de passar pela cidade B:

Assim, para a alternativa 1 temos dois percursos, CBAEDC e CDAEBC, e para a alternativa 2 temos dois percursos, CDAEBC e CDEABC. O Sr. Pereira não tem razão pois ambas as alternativas permitem definir dois percursos.

2.2. Em 12 dias do mês de abril a quantia gasta em portagens foi inferior a 10 euros. A frequência relativa acumulada da classe [5, 10[ é de 30%. Como novembro tem 30 dias resulta que em 9 dias de novembro (30 x 0,3) a quantia gasta em portagens foi inferior a 10 euros. O Sr. Pereira não tem razão pois em abril são 12 dias e em novembro são 9 dias.

2.3. Considerando a distribuição normal 𝑁(𝜇,𝜎) e observando o gráfico, resulta:

𝑃(𝑋 > 𝜇 + 2𝜎) =   1 − 𝑃(𝜇 − 2𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 2𝜎)   : 2 = 1 − 0,9545 : 2 = 0,02275 ≈ 2,28%

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3. Sócios David Tomás

Distribuição temporária dos

bens

Frota de automóveis 45 pontos

Frota de motos Avião

25 + 50 = 75 pontos Sócio B Sócio A

Como o total de pontos da distribuição temporária dos bens não é igual, utilizamos a frota de motos pois é o bem que apresenta a menor diferença de pontos atribuídos.

Sócios David (Sócio B) Tomás (Sócio A) Total final de

pontos 45 + 20x 75 – 25x

Como os pontos deverão ser iguais nos dois sócios, temos:

45 + 20𝑥 = 75 − 25𝑥 ⇔ 20𝑥 + 25𝑥 = 75 − 45⇔ 45𝑥 = 30⇔ 𝑥 =3045

⇔ 𝑥 =23

Pontos atribuídos ao David: 45 + 20  × !!≈ 58,33  𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠

Pontos atribuídos ao Tomás: 75 − 25  × !

!≈ 58,33  𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠

David fica com a frota de automóveis e !

!  da frota de motos enquanto que o Tomás deverá ficar com o

avião e !  !  da frota de motos.

4.

4.1. Para t = 1 resulta 𝐶 1 = 5,1 − 3 log!" 1 + 0,1 ≈ 4,98    euros

Para t = 7 resulta 𝐶 7 = 5,1 − 3 log!" 7 + 0,1 ≈ 2,55    euros

Como C(7) – C(1) = 2,55 – 4,98 = –2,43 tem-se que a desvalorização de cada ação foi de 2,43 euros.

4.2. Para t = 2 resulta 𝐶 2 = 5,1 − 3 log!" 2 + 0,1 ≈ 4,13    euros

!!𝐶 2 ≈ 1,38

Considerando na calculadora gráfica 𝑦! =  5,1 − 3 log!" 𝑥 + 0,1 e consultando a tabela de valores seguinte,

1,38

verifica-se que foi durante 17 dias de negociações que a cotação de cada ação foi superior ao valor indicado.

𝑥 𝑦! 16 1,4795 17 1,401 18 1,327

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5. 5.1.

Representando por R – o serviço inclui transporte rodoviário; A – o serviço inclui transporte aéreo. P (R) = 87% P (A) = 45% 87 + 45 = 132% P (R∩A) = 32% P (R∩𝐴) = 87 – 32 = 55% P (A∩𝑅) = 45 – 32 = 13% P (R∩𝐴) + P(A∩𝑅) = 55 + 13 = 68% A probabilidade de, escolhido um serviço ao acaso, este ter sido efetuado recorrendo apenas a um dos tipos de transporte é de 68%.

5.2.

Seja R – a mercadoria foi transportada por meio rodoviário;

C – a mercadoria chega ao destino no prazo estabelecido.

Considerando a probabilidade total P(C) = 0,778 resulta

0,78×0,80 + 0,22×𝑥 = 0,778

⇔ 0,624 + 0,22𝑥 = 0,778

⇔ 0,22𝑥 = 0,778 − 0,624

⇔ 0,22𝑥 = 0,154

⇔ 𝑥 = 0,154: 0,22

⇔ 𝑥 = 0,7

A probabilidade pedida será 𝑃 𝑅   𝐶  )  =   !  (!∩!)!(!)

=  !,!!×!,!"!,!!"

 ≈ 0,20 = 20%

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5.3.

Seja R – nos serviços marcados, é utilizado o transporte rodoviário

P(R) = 0,8

P(𝑅) = 1 – 0,8 = 0,2 A marcação dos três serviços em que exatamente dois deles utilizam o transporte rodoviário poderá ser:

R R 𝑅 ou R 𝑅 R ou

Assim, a probabilidade será 3 × 0,8 × 0,8 × 0,2 = 0,384 = 38,4%

5.4.

Para 𝑛 = 40  ,      𝑥 = 6    , 𝑠 = 0,5     e ainda para um nível de confiança de 95% resulta Z = 1,960

A margem de erro de um intervalo de confiança a 95% para o atraso médio, em horas, da entrega de todas as mercadorias transportadas pela empresa é de:

𝐸 = 𝑥   + 𝑧  𝑠𝑛= 1,960  

0,540

≈ 0,155